5. Uluslararas leri Teknolojiler Sempozyumu (IATS09), 13-15 Mays 2009, Karabk, Trkiye

MATEMATKSEL LEMLERN MATLAB GUIDE ANALZ

ANALYSIS OF MATHEMATICAL CALCULATIONS ON MATLAB GUI

Serdar KIRIOLUa, *,Mehmet Kenan DOLUb ve Ali ZTRKba, * Dzce nv. Tek. Eitim Fak. Bilgisayar Eitimi Bl., Dzce, Trkiye

b Dzce nv. Tek. Et. Fak. Elektrik Et. Bl., Dzce, Trkiye E-posta: serdarkirisoglu@duzce.edu.tr, kenandosoglu@duzce.edu.tr, aliozturk@duzce.edu.tr

zet Baz kark matematiksel ilemler, nmerik analiz metotlar kullanlarak bilgisayar tarafndan kk, trev ve integral hesaplamalar Matlabn grafiksel arayznde gerekletirilmitir. Birok matematiksel ilemin belirli parametreler (bu parametreler kullanc tarafndan deitirilebilir) dahilinde zm ve grafiksel olarak trevi ve integrali hesaplanm kullancya bu ilemlerde kolaylk salanmtr. Matlabn salad birok kolaylk bu programda kullanlm ve ortaya tam anlamyla bir eitici ve retici bir uygulama ortaya kmtr. Anahtar kelimeler: Gui, Nmerik Analiz, Matlabda problem zmleri. Abstract Root, derivation and integral calculations of certain complex mathematical operations through computer on the graphical interface of Matlab have been carried out by using numerical analysis methods. The solution of several mathematical operations through certain parameters (which can be changed by the user) and graphical derivation and integral calculations of those operations have been performed and this has provided ease fort he user in those operations many facilities that Matlab provides have been utilized in that program and a relatively educational and instructional application has emerged, as a result. Keywords: Gui, Numerical Analysis, Problem solutions on Matlab. 1. Giri Nmerik Analizin amac karmak nmerik problemleri sadece basit aritmetik ilemler kullanarak zmek ve verilen verilerden nmerik sonular elde etme metotlar gelitirmek ve deerlendirmektedir. Nmerik Analiz yaplrken problem zmlerinde gerek zme en yakn algoritmalar karld iin baz kk hata paylar oluabilmektedir. Bu hata paylar tolerans edilebilecek kadar kk olduunda problem zmne gerek zm kadar yaklalabilmi demektir. 2. Genel Nmerik analiz metotlarndan bazlar hazrlam olduumuz grafik arayzl (ekil 1) matlab uygulamasnda gerekletirilmitir. Bu grafik arayznde denklem kklerinin hesabnda kullanlan yntemler unlardr;

1. Bisection ( Aralk Yarlama ) 2. Kiri 3. Newton Raphson

Bu arayzde kullanlan trev alma metotlar unlardr;

1. leri farklar cinsinden trev 2. Geri farklar cinsinden trev 3. Merkezi farklar cinsinden trev

Hazrlanan arayzde kullanlan integral alma metotlar unlardr;

1. Trapez 2. Simpson

3. Metotlar Bu metotlar analiz edilirken Matlab 7.4 programnn grafiksel arayz olan GUI kullanlmtr.

ekil 1(Arayz Kesiti)

3.1. Kk Bulma Metotlar 3.1.1. Bisection (Aralk Yarlama) Bu metotta belirlenen iki aralkta denklemin kkne yaklalamaya allarak deneme yoluyla verilen denklemin kk bulunmaktadr[1]. 3.1.2. Kiri

Bu yntemde ise Bisectiondan farkl olarak fonksiyonun kkne deerler daha ok yaknsamaktadr. Burada en alt ve en st limitler yer deitirir [2]. 3.1.3. Newton Raphson Bu metotta ise karmak fonksiyonlarn polinom eklinde yazlmasnda Taylor serisi alm kullanlr. Serinin ilk iki

IATS09, Karabk niversitesi, Karabk, Trkiye

KIRIOLU, S., DOLU, M. K. ve ZTRK, A.

terimini gz nne alarak lineer olmayan denklemi zmeye alr [3]. 3.2. Trev Alma Metotlar 3.2.1. leri Farklar Cinsinden Trev Bir fonksiyonun trevi hesaplanrken hesaplanacak noktadaki trevinin hesab iin kullanlacak ikinci bir nokta ayet o noktadan ilerde ise ileri farklar yntemi olarak adlandrlr[4]. 3.2.2. Geri Farklar Cinsinden Trev Bir fonksiyonun trevi hesaplanrken hesaplanacak noktadaki trevinin hesab iin kullanlacak ikinci bir nokta ayet o noktadan geride ise geri farklar yntemi olarak adlandrlr [5]. 3.2.3. Merkezi Farklar Cinsinden Trev Bir fonksiyonun trevi hesaplanrken hesaplanacak noktadaki trev iin o noktaya x kadar yakn sandaki ve solundaki iki nokta gz nne alnarak hesap yaplrsa bu yaklama Merkezi Farklar Cinsinden Trev denir [6]. 3.3. ntegral Alma Metotlar: 3.3.1. Trapez Bu metotta verilen fonksiyonun belirli integrali hesaplanrken a ve b aralnda x ekseni ile arasna uygun bir trapez izilerek bu trapezin alan hesaplanr [7]. 3.3.2 Simpson Bu yntem trapez ynteminden daha iyi sonu vermektedir. Burada integralin alt ve st snr bykse bu aral n>=2 ve ift olacak ekilde n tane alt arala blerek ardk ift aralklar iin bu yntem kullanlr [8]. 4. Programn zellikler 4.1. Genel Programn arayznde girilecek olan fonksiyon matlab ortamnda deerlendirileceinden dolay uygun formda (rnek: x.^ 2) girilmelidir. Kullancya grsel olarak noktal (ekil 2) veya srekli bir izim olarak iki trl grsellik salanmtr.

ekil 2 (Noktal Gsterim)

Balang, biti aralklar ve izim aral kullancya braklmtr. 4.2. Kk Bulma Arayzde kk bulunacak olan non lineer ve tek deikenli fonksiyon girildikten sonra .

ekil 3 (Kk Bulma Mens)

kk bulma metodu seilerek (ekil 3) bu metot iin gerekli parametreler girilerek kk hesaplanr. ayet parametreler uygun deilse program hata mesaj vermektedir. 4.3. Trev Alma Bu kullanc mensnde(ekil 4) ise farkl ynteme ve aralklara gre trev alnarak kullancya sunulmutur.

ekil 4 (Trev Alma Mens).

KIRIOLU, S., DOLU, M. K. ve ZTRK, A.

4.4. ntegral Alma

ekil 5 (ntegral Alma Mens)

Bu kullanc mensnde (ekil 5) ise iki farkl integral alma metodu kullancya sunulmu ve grsel olarak integralin kaplad alan figrde gsterilmitir. 5.Sonular

7102 ++ xx (1) (1) Denklem kullanlarak Matlab Guide yaplan arayzde hesaplanan sonular aada liste halinde verilmitir.

izelge 1(Kk Bulma Metotlar) Kk Bulma

Balang-Biti Hassasiyet Zaman Denklem Kk Hata

Bisection [-5,5] 0.1 0.197 0.7031 0.078Kiri Yntemi [-5,5] 0.1 0.206 0.7031 0.078Newton Raphson [-5,5] 0.1 0.208 0.7491 0.0073

izelge 2 (Trev Alma Metotlar)

Trev Alma Balang Noktas Aralk Miktar Zaman Sonuleri Farklar Cinsinden 1 0.01 0.2285 -7.99Geri Farklar Cinsinden 1 0.01 0.2434 -8.01Merkezi Farklar Cinsinden - 0.01 0.2534 -8

izelge 3 (ntegral Alma Metotlar)

ntegral Alma Yamuk Alt Kenar Nokta Says Zaman SonuTrapez 0.01 - 0.4417 153.51Simpson Yntemi(1/3) - 7 0.1165 153.33Simpson Yntemi(3/8) - 8 0.1445 159.18 Matlab Guide hazrlanan arayzde elde edilen sonularda (1) Denklem kk bulma ynteminde Kiri ve Bisection yntemlerinde bulunan sonularn (Tablo 1) ayn deerde olduu zaman asndan Newton Raphsonn daha ge srede denklemi hesaplad grlmtr. Newton Raphson metodunda ise Denklem kk dier yntemlere yakn bir deer hesaplamtr. leri-Geri ve Merkezi Farklar cinsinden Trev alma metotlarnda elde edilen sonular (Tablo 2) Merkezi Farklar cinsinden trev alma metodunda leri-Geri Trev alma metodunun bulduu deerin aritmetik ortalamas

eklinde bulunmutur. Zaman asndan bu metotta birbirine yakn zamanda gerekletirilmitir. ntegral alma metotlarnda ise yamuun alt kenarnn kullanld Trapez yntemi ve Simpson1/3 yntemlerinde bulunan deer ile Simpson3/8 ynteminde bulunan deerler (Tablo 3) farkl kmtr. Trapez ynteminde hesaplama zaman Simpson ynteminden daha uzun srede olduu grlmtr. Simpson ynteminde tek noktal ve ift noktal olarak sonular nokta saylar arttka birbirlerine yaklaan sonular olduu gzlemlenmitir. Bu grsel arayzde girilen lineer olmayan denklemler tek deikenli ve baz nmerik analiz metotlar eksik olarak hazrlanmtr. Bu almaya ek olarak alma zerine baz metotlar eklenebilir ve girilebilecek fonksiyonlar ok deikenli olarak program dzenlenebilir. ou Matlab Gui ile yaplm nmerik analiz uygulamalarnda kk bulma integral alma ve trev alma metotlar ayr bir ekilde verilmitir, ancak bu almada daha iyi bir grsellikle beraber ou metot ve grafik bir arada sunulmutur. Kaynaklar

[1]. http://en.wikipedia.org/wiki/Bisection_method [2]. http://en.wikipedia.org/wiki/Regula_falsi [3]. http://en.wikipedia.org/wiki/Newton's_method [4]. ARFOLU U. Matlab 7.04 Simulink ve Mhendislik

Uygulamalar .S.13-10,13-11 2005. [5]. ARFOLU U. Matlab 7.04 Simulink ve Mhendislik

Uygulamalar .S.13-10,13-11,2005. [6]. ARFOLU U. Matlab 7.04 Simulink ve Mhendislik

Uygulamalar .S.13-10,13-12 ,2005. [7]. AAL B.Saysal Analiz S.186-187, 1989. [8]. AAL B.Saysal Analiz S.193, 1989.