Embed Size (px)
Citation preview
MATEMATYKA
MATERIAŁY POMOCNICZE
DLA STUDENTÓW
DO NAUKI MATEMATYKI
2
KATOLICKI UNIWERSYTET LUBELSKI
JANA PAWAŁA II
Wydział Zamiejscowy Prawa i Nauk o Społeczeństwie
w Stalowej Woli
3
Maria Borowska
MATEMATYKA
MATERIAŁY POMOCNICZE
DLA STUDENTÓW
DO NAUKI MATEMATYKI
H. Steinhaus (1887-1972):
"Między duchem, a materią
pośredniczy matematyka"
(Napis na płycie nagrobnej
H. Steinhausa)
Stalowa Wola 2015
4
Recenzenci naukowi
prof. zw. dr hab. Edward Nowak Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu
Politechnika Rzeszowska
prof. zw. dr hab. Tadeusz Galanc Politechnika Wrocławska
Wyższa Szkoła Zarządzania "EDUKACJA" we Wrocławiu
Redakcja techniczna
mgr Monika Paruch
mgr Lucjan Paruch
© Copyright by Maria Borowska 2015
Wersja elektroniczna opracowania pod adresem: moodle.nazwa.pl/mat/
ISBN 978-83-61307-27-3
Druk i oprawa:
Wydawnictwo Diecezjalne i Drukarnia w Sandomierzu
ul. Żeromskiego 4, 27-600 Sandomierz
tel. 15 64 40 400, fax. 15 832 77 87
www.wds.pl, zamó[email protected]
5
Spis treści
Wstęp ......................................................................................................................................... 11
1. Zdania, zbiory i liczby rzeczywiste ...................................................................................... 13
1.1. Rachunek zdań i rachunek zbiorów ................................................................................. 13
1.1.1. Podstawowe wiadomości o języku matematycznym ............................................... 13
1.1.2. Zdania złożone i ich wartości logiczne .................................................................... 13
1.1.3. Prawa rachunku zdań (tautologie, prawa logiczne) .................................................. 15
1.1.4. Prawa rachunku kwantyfikatorów ............................................................................ 15
1.1.5. Zbiory i działania na zbiorach .................................................................................. 16
1.1.6. Prawa działań na zbiorach ........................................................................................ 18
1.2. Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory..................................................................... 20
1.2.1. Ilustracja graficzna na diagramach Venna ............................................................... 20
1.2.2. Przedziały na osi liczbowej ...................................................................................... 22
1.2.3. Rodzaje przedziałów liczbowych ............................................................................. 22
1.3. Wartość bezwzględna i jej interpretacja graficzna .......................................................... 24
1.3.1. Definicja wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej .............................................. 24
1.3.2. Podstawowe własności wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej ........................ 24
1.3.3. Interpretacja wartości bezwzględnej na osi liczbowej ............................................. 25
1.3.4. Wartość bezwzględna, jako odległość między dwiema liczbami na osi liczbowej .. 25
1.3.5. Zbiory na osi liczbowej opisane równaniami i nierównościami z wartością
bezwzględną ............................................................................................................ 26
1.3.6. Niektóre równania z wartością bezwzględną ........................................................... 28
1.3.7. Niektóre nierówności z wartością bezwzględną ...................................................... 29
1.4. Potęgowanie, pierwiastkowanie i logarytmowanie ......................................................... 32
1.4.1. Definicja potęgi ........................................................................................................ 32
1.4.2. Prawa działań na potęgach ....................................................................................... 32
1.4.3. Definicja pierwiastka n-tego stopnia z liczby a ....................................................... 33
1.4.4. Prawa działań na pierwiastkach ............................................................................... 33
1.4.5. Logarytm i jego własności ....................................................................................... 35
1.4.6. Prawa działań na logarytmach ................................................................................. 36
1.5. Indukcja matematyczna ................................................................................................... 39
1.5.1. Indukcja przyrodnicza, a indukcja matematyczna.................................................... 39
1.5.2. Zasada indukcji matematycznej ............................................................................... 39
1.5.3. Schemat rozumowania w indukcji matematycznej .................................................. 40
1.6. Dwumian Newtona .......................................................................................................... 42
1.6.1. Pojęcie silni .............................................................................................................. 42
1.6.2. Symbol Newtona ...................................................................................................... 42
1.6.3. Trójkąt Pascala (dwie wersje) .................................................................................. 42
1.6.4. Wzór dwumianowy Newtona ................................................................................... 43
1.6.5. Wzór ogólny na k-ty wyraz rozwinięcia we wzorze dwumianowym Newtona ....... 43
1.6.6. Związek trójkąta Pascala ze wzorem Newtona ........................................................ 43
1.6.7. Wnioski ze wzoru dwumianowego Newtona ........................................................... 43
2. Liczby zespolone ................................................................................................................... 45
2.1. Geneza zbioru liczb zespolonych .................................................................................... 45
2.2. Różne postacie liczb zespolonych ................................................................................... 46
2.2.1. Postać algebraiczna liczby zespolonej ..................................................................... 46
6
2.2.2. Interpretacja geometryczna liczby zespolonej ......................................................... 46
2.2.3 Sprzężenie i liczba przeciwna ................................................................................... 46
2.2.4. Moduł liczby zespolonej .......................................................................................... 47
2.2.5. Interpretacja wektorowa ........................................................................................... 47
2.2.6. Biegunowy układ współrzędnych ............................................................................ 48
2.2.7. Postać trygonometryczna liczby zespolonej............................................................. 50
2.3. Działania w zbiorze liczb zespolonych ........................................................................... 51
2.3.1. Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie liczb zespolonych ........................ 51
2.3.2. Potęgowanie i pierwiastkowanie liczb zespolonych ................................................ 51
2.3.3. Wybrane własności liczb zespolonych ..................................................................... 52
3. Funkcje i ich własności ......................................................................................................... 55
3.1. Funkcja, jako relacja ........................................................................................................ 55
3.2. Własności funkcji ............................................................................................................ 56
3.2.1. Podstawowe własności funkcji ................................................................................ 56
3.2.2. Interpretacja graficzna podstawowych własności funkcji ........................................ 61
3.2.3. Odczytywanie własności funkcji z jej wykresu ....................................................... 64
3.3. Przekształcenia geometryczne wykresu funkcji .............................................................. 68
3.3.1. Przesunięcie wykresu funkcji wzdłuż osi OX (równolegle do osi OX) .................... 68
3.3.2. Przesunięcie wykresu funkcji wzdłuż osi OY (równolegle do osi OY) .................... 68
3.3.3. Przesunięcie wykresu funkcji wzdłuż obu osi układu współrzędnych ..................... 69
3.3.4. Przekształcenie wykresu funkcji przez symetrię względem osi układu
współrzędnych ........................................................................................................ 71
3.3.5. Przekształcenie wykresu funkcji przez zmianę skali ................................................ 72
3.3.6. Wykresy funkcji z wartością bezwzględną .............................................................. 74
4. Wielomiany i funkcje wymierne .......................................................................................... 79
4.1. Funkcja liniowa ............................................................................................................... 79
4.1.1. Definicja, wykres i własności funkcji liniowej ........................................................ 79
4.1.2. Równania i nierówności liniowe (I-go stopnia 0a ) ............................................. 81
4.1.3. Równania liniowe z parametrem .............................................................................. 81
4.1.4. Układy równań liniowych (I-go stopnia 0 0a b )
z dwiema niewiadomymi ........................................................................................ 82
4.1.5. Układy równań liniowych z parametrem ................................................................. 85
4.1.6. Układy równań liniowych z wartością bezwzględną ............................................... 86
4.1.7. Układy trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi ...................................... 87
4.1.8. Układy nierówności liniowych ................................................................................ 89
4.2. Funkcja kwadratowa ........................................................................................................ 94
4.2.1. Definicja, wykres i własności funkcji kwadratowej ................................................. 94
4.2.2. Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą
(drugiego stopnia 0a ) ......................................................................................... 98
4.2.3. Równania i nierówności kwadratowe niezupełne ( 00 cb ) ........................... 101
4.2.4. Przykłady równań sprowadzalnych do równań kwadratowych ............................. 102
4.2.5. Równania stopnia drugiego z dwiema niewiadomymi ........................................... 103
4.2.6. Informacja o nierównościach stopnia drugiego z dwiema niewiadomymi ............ 106
4.2.7. Układy równań, z których co najmniej jedno równanie jest równaniem
kwadratowym ........................................................................................................ 107
4.2.8. Równania, nierówności i układy równań drugiego stopnia
z wartością bezwzględną ....................................................................................... 111
4.2.9. Równania i nierówności kwadratowe z parametrem .............................................. 113
4.2.10. Układy równań drugiego stopnia z parametrem ................................................... 116
7
4.3. Wielomiany i działania na nich ..................................................................................... 119
4.3.1. Pojęcie wielomianu ................................................................................................ 119
4.3.2. Wielomiany stopnia n jednej zmiennej rzeczywistej ............................................. 121
4.3.3. Działania na wielomianach .................................................................................... 121
4.4. Twierdzenia o własnościach wielomianów ................................................................... 125
4.4.1. Schemat Hornera .................................................................................................... 125
4.4.2. Twierdzenia o stopniu sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu wielomianów ................ 126
4.4.3. Twierdzenia związane z rozkładem wielomianu, z podzielnością
wielomianu przez dwumian oraz z istnieniem pierwiastka wielomianu ............... 126
4.4.4. Wzory Viete’a dla wielomianów trzeciego i czwartego stopnia ............................ 127
4.4.5. Metody rozkładu wielomianów na czynniki .......................................................... 128
4.4.6. Równania i nierówności wielomianowe................................................................. 129
4.5. Wyrażenia i funkcje wymierne ...................................................................................... 134
4.5.1. Wyrażenia wymierne i działania na nich ............................................................... 134
4.5.2. Funkcje wymierne .................................................................................................. 135
4.6. Równania i nierówności wymierne ............................................................................... 139
4.6.1. Definicje: równania i nierówności wymiernej ....................................................... 139
4.6.2. Analogie między procedurą rozwiązywania równań i nierówności wymiernych .. 140
4.6.3. Równania i nierówności związane z funkcją homograficzną ................................. 141
5. Funkcje trygonometryczne ................................................................................................ 145
5.1. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym .............................. 145
5.1.1. Miara stopniowa i łukowa kąta .............................................................................. 145
5.1.2. Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego .............................................. 145
5.1.3. Wartości funkcji trygonometrycznych wybranych kątów ...................................... 146
5.2. Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta .................................................................. 148
5.2.1. Kąt skierowany w układzie współrzędnych ........................................................... 148
5.2.2. Definicje funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta ........................................ 148
5.2.3. Wartości funkcji trygonometrycznych kątów 360;0 .................................. 149
5.2.4. Wzory redukcyjne .................................................................................................. 149
5.3. Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej ........................................................ 151
5.3.1. Definicje funkcji trygonometrycznych zmiennej rzeczywistej .............................. 151
5.3.2. Tabela zmienności funkcji trygonometrycznych w przedziale 2;0x ............ 151
5.3.3. Okresowość funkcji trygonometrycznych .............................................................. 151
5.3.4. Wykresy funkcji trygonometrycznych zmiennej rzeczywistej ............................... 152
5.3.5. Związki między funkcjami trygonometrycznymi .................................................. 153
5.4. Typy elementarnych równań trygonometrycznych ....................................................... 156
6. Funkcje cyklometryczne..................................................................................................... 159
6.1. Arcus sinus .................................................................................................................... 159
6.2. Arcus cosinus ................................................................................................................ 159
6.3. Arcus tangens ................................................................................................................ 160
6.4. Arcus cotangens ............................................................................................................ 160
7. Funkcje potęgowe, wykładnicze i logarytmiczne ............................................................. 163
7.1. Funkcja potęgowa.......................................................................................................... 163
7.1.1. Potęga o wykładniku rzeczywistym ....................................................................... 163
7.1.2. Definicja, wykres i własności funkcji potęgowej ................................................... 164
7.2. Funkcja wykładnicza ..................................................................................................... 169
7.2.1. Definicja, wykres i własności funkcji wykładniczej .............................................. 169
8
7.2.2. Równania i nierówności wykładnicze .................................................................... 170
7.3. Funkcja logarytmiczna .................................................................................................. 173
7.3.1. Definicja, wykres i własności funkcji logarytmicznej ........................................... 173
7.3.2. Funkcja logarytmiczna, jako odwrotna do wykładniczej ....................................... 175
7.3.3. Równania i nierówności logarytmiczne ................................................................. 176
8. Ciągi, granica ciągu i szeregi liczbowe .............................................................................. 183
8.1. Ciąg, jako funkcja.......................................................................................................... 183
8.2. Granica ciągu ................................................................................................................. 186
8.2.1. Pojęcia pomocnicze ................................................................................................ 186
8.2.2. Definicja granicy właściwej ciągu ......................................................................... 186
8.2.3. Ciągi zbieżne i ich własności ................................................................................. 187
8.2.4. Definicja granicy niewłaściwej ciągu .................................................................... 187
8.2.5. Własności ciągów rozbieżnych do nieskończoności .............................................. 188
8.2.6. Niektóre granice ciągów ........................................................................................ 189
8.3. Szeregi liczbowe............................................................................................................ 190
8.3.1 Pojęcie szeregu liczbowego .................................................................................... 190
8.3.2. Problem zbieżności szeregu liczbowego ................................................................ 191
8.3.3. Przykłady szeregów liczbowych ............................................................................ 192
8.3.4 Warunek konieczny zbieżności szeregu .................................................................. 193
8.3.5. Wybrane kryteria (warunki wystarczające) zbieżności szeregów .......................... 194
8.3.6. Szereg potęgowy, jako szczególny przypadek szeregu funkcyjnego ..................... 196
9. Granica funkcji i ciągłość funkcji ...................................................................................... 197
9.1. Granica funkcji w punkcie 0x ....................................................................................... 197
9.1.1. Informacje wstępne o granicy funkcji w punkcie 0x
(czyli: 0x x ):
0
limx x
f x
..................................................................................... 197
9.1.2. Definicja granicy funkcji w punkcie 0x ................................................................. 198
9.1.3. Zestawienie informacji o granicy funkcji w punkcie 0x
i o asymptotach pionowych ................................................................................... 201
9.2. Granica funkcji w nieskończoności ............................................................................... 203
9.2.1. Informacje wstępne o granicy funkcji w nieskończoności
(czyli: x ): xfx lim .................................................................................... 203
9.2.2. Definicja granicy funkcji w nieskończoności ........................................................ 204
9.2.3. Zestawienie informacji o granicy funkcji w nieskończoności ( )
i o asymptotach poziomych ................................................................................... 208
9.3. Zestawienie różnych granic funkcji oraz asymptot pionowych i poziomych
wraz z ich geometryczną interpretacją .......................................................................... 208
9.4. Ciągłość funkcji ............................................................................................................. 211
9.4.1. Ciągłość funkcji w punkcie fDx 0 ...................................................................... 211
9.4.2. Nieciągłość funkcji w punkcie fDx 0 ................................................................. 212
9.4.3. Ciągłość funkcji w przedziale ................................................................................ 213
9.4.4. Własności funkcji ciągłych .................................................................................... 213
10. Rachunek pochodnych (rachunek różniczkowy) ........................................................... 217
10.1. Pochodna funkcji jednej zmiennej ............................................................................... 217
9
10.1.1. Pojęcia wstępne prowadzące do zdefiniowania pochodnej funkcji
jednej zmiennej w punkcie 0x ............................................................................... 217
10.1.2. Pojęcie pochodnej funkcji jednej zmiennej w punkcie 0x ................................... 218
10.1.3. Interpretacja geometryczna ilorazu różnicowego oraz pochodnej
funkcji jednej zmiennej w punkcie 0x .................................................................. 219
10.1.4. Pochodna, jako funkcja – wzory na pochodne ..................................................... 221
10.1.5. Niektóre zastosowania pochodnej ........................................................................ 225
10.1.6. Reguła de l'Hospitala ........................................................................................... 226
10.1.7. Pochodna, a monotoniczność i ekstremum funkcji jednej zmiennej .................... 227
10.1.8. Największa i najmniejsza wartość funkcji w przedziale (ekstremum globalne) .. 232
10.1.9. Druga pochodna, a wypukłość, wklęsłość i punkty przegięcia ............................ 234
10.1.10. Badanie przebiegu zmienności funkcji............................................................... 235
10.1.11. Praktyczne zastosowanie pochodnej w zadaniach optymalizacyjnych .............. 239
10.2. Pochodna funkcji dwóch (wielu) zmiennych .............................................................. 244
10.2.1. Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych rzeczywistych ....................................... 244
10.2.2. Pochodne cząstkowe funkcji dwóch zmiennych .................................................. 246
10.2.3. Ekstremum lokalne funkcji dwóch zmiennych .................................................... 248
11. Rachunek całkowy ............................................................................................................ 251
11.1. Określenie całki nieoznaczonej ................................................................................... 251
11.1.1. Funkcja pierwotna F x funkcji f x ............................................................... 251
11.1.2. Całka nieoznaczona funkcji f x ....................................................................... 251
11.2. Wzory na całkowanie .................................................................................................. 252
11.3. Podstawowe metody całkowania ................................................................................. 253
11.3.1. Całkowanie przez podstawienie (przez zamianę zmiennych) .............................. 253
11.3.2. Całkowanie przez części ...................................................................................... 253
11.4. Całka oznaczona .......................................................................................................... 254
11.4.1. Geneza całki oznaczonej funkcji ciągłej i nieujemnej f x określonej na
przedziale ,a b .................................................................................................... 254
11.4.2. Związek całki oznaczonej z całką nieoznaczoną ................................................. 255
11.4.3. Niektóre własności całki oznaczonej ................................................................... 255
11.5. Niektóre zastosowania całki oznaczonej ..................................................................... 257
11.6. Wybrane równania różniczkowe ................................................................................. 260
11.6.1. Równanie różniczkowe, jako szczególny rodzaj równania funkcyjnego ............. 260
11.6.2. Metody całkowania wybranych równań różniczkowych ..................................... 261
12. Rachunek wektorowy ....................................................................................................... 265
12.1. Wektory w ujęciu syntetycznym ................................................................................. 265
12.1.1. Definicja wektora i pojęć z nim związanych ........................................................ 265
12.1.2. Działania na wektorach ........................................................................................ 267
12.1.3. Własności związane z działaniami na wektorach ................................................. 268
12.1.4. Iloczyn skalarny wektorów i jego własności ........................................................ 269
12.1.5. Spostrzeżenia dotyczące rachunku wektorów ...................................................... 270
12.2. Wektory w ujęciu analitycznym .................................................................................. 272
12.2.1. Analityczny opis punktu ...................................................................................... 273
12.2.2. Analityczny opis wektora ..................................................................................... 273
12.2.3. Długość wektora i długość odcinka we współrzędnych ....................................... 274
12.2.4. Działania na wektorach na płaszczyźnie w ujęciu analitycznym ......................... 275
12.2.5. Warunki: prostopadłości oraz równoległości wektorów ...................................... 277
10
12.2.6. Kąt pary wektorów niezerowych na płaszczyźnie................................................ 278
13. Rachunek macierzowy ...................................................................................................... 281
13.1. Podstawowe informacje o przestrzeni wektorowej ..................................................... 281
13.1.1. Przestrzeń wektorowa n .................................................................................... 281
13.1.2. Ważne definicje związane z przestrzenią wektorową n .................................... 282
13.2. Macierze ...................................................................................................................... 283
13.2.1. Wprowadzenie pojęcia macierzy ......................................................................... 283
13.2.2. Rodzaje macierzy ................................................................................................. 285
13.2.3. Działania na macierzach ...................................................................................... 286
13.2.4. Rząd macierzy ...................................................................................................... 288
13.2.5. Wyznacznik macierzy .......................................................................................... 289
13.2.6. Macierz odwrotna ................................................................................................ 292
13.3. Układy równań liniowych ........................................................................................... 295
13.3.1. Układ n równań liniowych o k niewiadomych .................................................. 295
13.3.2. Rozwiązywanie układów równań liniowych ........................................................ 296
13.3.3. Informacja o układach nierówności liniowych .................................................... 308
Skorowidz ................................................................................................................................ 309
Bibliografia .............................................................................................................................. 313
Summary ................................................................................................................................. 315
11
Wstęp
Publikacja ta jest adresowana do studentów różnych kierunków studiów
uczących się na I (lub na I i II) roku matematyki i pragnących utrwalić,
powtórzyć i usystematyzować swoją wiedzę i umiejętności w zakresie tego
przedmiotu na studiach wraz z przypomnieniem materiału ze szkoły średniej.
Kompetencje te są niezbędne w pomyślnym przygotowywaniu się na bieżąco
do zajęć z matematyki oraz finalnie do egzaminu z tego przedmiotu.
Opracowanie prezentuje w sposób zwięzły i usystematyzowany
standardowy materiał programowy matematyki na początkowych latach
szerokiego ogółu studiów wyższych wraz z obszernym przypomnieniem
niezbędnych wiadomości z zakresu (również rozszerzonego) szkoły średniej -
tym bardziej, iż na ogół studentami różnych kierunków studiów są absolwenci
zakresu podstawowego matematyki ze szkoły średniej i ich matematyczne
kompetencje są znacznie uboższe w porównaniu z absolwentami po zakresie
rozszerzonym tego przedmiotu.
Treści merytoryczne są poparte licznymi przykładowo rozwiązanymi
zadaniami, wzbogaconymi wyczerpującym komentarzem wyjaśniającym
kolejne etapy postępowania. Doboru większości przykładowo rozwiązanych
zadań dokonała mgr Anna Jatczak.
Mam nadzieję, że niniejsze materiały pomocnicze - mimo, iż nie
stanowią one systematycznego wykładu matematyki - będą istotną pomocą
edukacyjną dla studentów różnych kierunków studiów pragnących nauczyć się
matematyki na zadowalającym poziomie.
12
13
1. Zdania, zbiory i liczby rzeczywiste
1.1. Rachunek zdań i rachunek zbiorów
1.1.1. Podstawowe wiadomości o języku matematycznym
Zdanie (w logice) jest to wyrażenie w trybie orzekającym, które jest:
albo prawdziwe – ma wartość logiczną 1,
albo fałszywe – ma wartość logiczną 0.
Symbole zdań: p, q, r.
Forma zdaniowa (funkcja zdaniowa, predykat) określona w dziedzinie D jest
to wyrażanie zawierające zmienną (lub zmienne), które staje się zdaniem, gdy
w miejsce zmiennej (lub zmiennych) podstawimy nazwę (lub nazwy)
dowolnego elementu (lub dowolnych elementów) zbioru D.
Symbole form zdaniowych: xf , yxf , .
Zbiór elementów spełniających formę zdaniową jest to zbiór tych elementów
dziedziny D, które po podstawieniu w miejsce zmiennych czynią z formy
zdaniowej zdanie prawdziwe.
Funktory zdaniotwórcze, to następujące spójniki:
„nieprawda, że” - symbol ~ (może występować przed jednym zdaniem)
„i” - symbol
„lub” - symbol (muszą łączyć co najmniej dwa zdania)
„jeżeli ..., to ... ” - symbol
„wtedy i tylko wtedy”- symbol
Kwantyfikatory są to następujące zwroty:
„dla każdego x ...” - symbol x albo
x
(kwantyfikator duży, ogólny)
„istnieje x, takie że ...” - symbol x
albo x
(kwantyfikator mały, szczegółowy, egzystencjalny)
Kwantyfikatory służą do budowania zdań.
1.1.2. Zdania złożone i ich wartości logiczne
p~
negacja
p q qp
koniunkcja
qp
alternatywa
qp
implikacja
qp
równoważność
0 1 1 1 1 1 1
1 0 1 0 1 1 0
1 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 1
prawdziwa,
gdy oba zdania są prawdziwe
fałszywa, gdy
oba zdania są fałszywe
fałszywa, gdy
z prawdy wynika fałsz
prawdziwa, gdy
oba zdania mają
te same wartości
logiczne
14
Uwaga: W implikacji zdania proste p i q mają szczególne nazwy
p (poprzednik implikacji; założenie; q (następnik implikacji; teza;
warunek wystarczający dla q ) warunek konieczny dla p )
Przykładowe zadanie Sprawdź, czy jest tautologią następujące zdanie:
a) qpqp ,
b) qpqp ~~ .
Komentarz Rozwiązanie
Sprawdzamy
metodą zero-
jedynkową.
Konstruujemy
tabelę wpisując
w kolumnach
kolejno zdania
proste i coraz
bardziej złożone
występujące
w zapisie
sprawdzanego
zdania.
W ostatecznej
kolumnie jest całe
sprawdzane zdanie.
W a) są same
jedynki, czyli
zdanie jest zawsze
prawdziwe.
a) p q qp pqp qpqp
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
Odp. Zdanie jest tautologią.
Otrzymane w
ostatniej kolumnie
pierwsze zero
świadczy o tym, że
zdanie nie będzie
zawsze prawdziwe
i dalsze
uzupełnianie
ostatniej kolumny
jest już zbędne.
b) p q qp qp~ q~ qp ~ qpqp ~~
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
1
0
nie jest tautologią
Odp. Zdanie nie jest tautologią.
15
1.1.3. Prawa rachunku zdań (tautologie, prawa logiczne)
Prawo negacji koniunkcji alternatywy implikacji
negacji p~~
qpqp ~~~ qpqp ~~~ qpqp ~~
prawa de Morgana dla zdań
tożsamości ppp ppp
przemienności pqqp pqqp
łączności rqprqp rqprqp
przechodniości (tranzytywności)
rprqqp
transpozycji pqqp ~~
Ponadto:
a) prawa rozdzielności:
rpqprqp - koniunkcji względem alternatywy
rpqprqp - alternatywy względem koniunkcji
b) związek implikacji z alternatywą: qpqp ~
c) związek równoważności z implikacją: pqqpqp
1.1.4. Prawa rachunku kwantyfikatorów
Jeżeli xf i xg są formami zdaniowymi o zakresie zmienności Xx , to:
a)
~ ~
~ ~
x x
x x
f x f x
f x f x
prawa de Morgana dla kwantyfikatorów
b) xgxfxgxfxxx
c) xgxfxgxfxxx
d) xfxfxx
e) xgxfxgxfxxx
f) xgxfxgxfxxx
Ponadto: jeżeli yxf , jest formą zdaniową o zakresie zmiennych Xx
i Yy , to
prawa rozdzielności
16
g)
yxfyxf
yxfyxf
xyyx
xyyx
,,
,,
prawa przemienności
h) yxfyxfxyyx
,,
Przykładowe zadanie Zapisz przy pomocy kwantyfikatorów następujące zdanie: Nie ma liczby
naturalnej ujemnej oraz doprowadź go do prostszej postaci i oceń jego wartość
logiczną. Komentarz Rozwiązanie
Zwrot: nie ma ... oznacza, że nie istnieje ....
. - to symbol zbioru liczb naturalnych.
Liczba ujemna, to liczba mniejsza od zera.
~ 0n
n
Na podstawie odpowiedniego prawa de
Morgana dla kwantyfikatorów
przekształcamy zbudowane zdanie.
Zaprzeczenie ~ 0n oznacza 0n .
~ 0 ~ 0 0n n n
n n n
Otrzymane zdanie, to: Każda liczba
naturalna jest nieujemna.
Odp. Zdanie to jest prawdziwe.
1.1.5. Zbiory i działania na zbiorach
W matematyce istnieją pojęcia: definiowalne i niedefiniowalne, czyli
pierwotne, których się nie definiuje oraz własności, które się dowodzi, czyli
twierdzenia i takie, które przyjmuje się bez dowodu zwane aksjomatami.
Zbiór jest pojęciem pierwotnym (nie ma definicji zbioru). Zbiory określamy
poprzez podanie własności elementów zbioru (np. własności wyrażone poprzez
formę zdaniową) lub poprzez podanie wszystkich elementów.
Zbiory oznaczamy dużymi literami alfabetu łacińskiego: A, B, C, elementy
zbioru - zwykle małymi: a, b, c. Zbiór pusty oznaczamy: .
Zdanie: „element a należy do zbioru A” zapisujemy: Aa . Symbol:
czytamy „nie należy”.
Działania na zbiorach definiujemy za pomocą zdań logicznych.
Rachunek zdań Rachunek zbiorów
Zdania Nazwy Zbiory Nazwy Zbiory, a formy zdaniowe
qp, zdania proste
BA,
B
A
zbiory
xqxB
xpxA
:
:
17
p~ negacja A
A
A
dopełnienie
(uzupełnienie
zbioru) xpxA :~
qp
koniunkcja
BA
BA
iloczyn
(mnogościowy
zbiorów) xqxpxBA :
qp ~
BA \
BA
różnica
zbiorów xqxpxBA ~:\
qp alternatywa
BA
BA
suma zbiorów xqxpxBA :
qp implikacja
BA
B
A
inkluzja
(zawieranie)
zbiorów
x
p x q x
qp równoważność
BA
BA
równość
zbiorów
x
p x q x
Zbiory, których iloczyn jest zbiorem pustym ( BA ) nazywamy
rozłącznymi.
Uwaga: Suma 1 2
1
n
n i
i
A A A A
, 1 2 i
i
A A A
, to suma
uogólniona.
Iloczyn: 1 2
1
n
n i
i
A A A A
, 1 2 i
i
A A A
, to iloczyn
uogólniony.
W teorii zbiorów oprócz iloczynu (mnogościowego), czyli części wspólnej
zbiorów A i B : A B , wyróżniamy jeszcze inny iloczyn zbiorów zwany
iloczynem kartezjańskim (produktem) zbiorów A i B oznaczonym: A B .
Jest to zbiór uporządkowanych par elementów, takich, że pierwszy element
należy do pierwszego zbioru, a drugi - do drugiego zbioru. Zatem
, :A B a b a A b B .
W szczególności: kwadrat kartezjański, to 2A A A , zaś n -ta potęga
zbioru, to razy
n
n
A A A A .
18
Przykładem iloczynu kartezjańskiego jest płaszczyzna z układem
współrzędnych: 2
2
1.1.6. Prawa działań na zbiorach
Z odpowiednich praw logicznych można wyprowadzić następujące prawa
działań na zbiorach:
a) A B B A ; A B B A
b) A B C A B C ; A B C A B C
c) A B A B
; A B A B
(prawa de Morgana dla zbiorów)
d) A A A ; A A A
e) A B C A B A C
A B C A B A C
f) A A ; A
g) ABA h) A A B ; B A B
i) BBAABABA
j) BAABBA
k) A B C A B A C
l) A B C A B A C (prawa rozdzielności)
m) \ \A B C A B A C
n) A B B A (iloczyn kartezjański nie jest przemienny)
Przykładowe zadanie
Sprawdź, czy równość: BABA \ jest prawdziwa dla
, : 4 1A x y x y , , : 2B x y x y .
Podaj interpretację graficzną rozwiązania na płaszczyźnie 2.
(prawa rozdzielności)
19
Komentarz Rozwiązanie
Wyznaczymy zbiór A i podamy jego
interpretację graficzną.
4 1 1 4 1 3 5
, : 3 5
x x x
A x y x y
1 62 3 54
A
X
Y
Wyznaczymy zbiór B i podamy jego
interpretację graficzną.
2 2 2
, : 2 2
y y y
B x y x y y
1
-3
2
1
3
2
B
-1
-2
X
Y
Wyznaczymy zbiór B’
, : 2B x y x y
i podamy jego interpretację graficzną.
2 2 2
, : 2 2
y y
B x y x y
1
-3
2
1
3
2
B' -1
-2
X
Y
20
Wyznaczymy zbiór BA \ i podamy jego
interpretację graficzną.
1
-3
2
1
3
2
-1
-2
1 62 3 4 54
BA \
X
Y
2253:,\ yxyxBA
Wyznaczymy zbiór BA i podamy jego
interpretację graficzną.
1 2 31
-3
2
1
3
2
-1
-2
43 5 6
BA
X
Y
2253:, yxyxBA
Zatem otrzymaliśmy BABA \
Formułujemy odpowiedź. Odp. Podana w treści zadania równość jest prawdziwa.
1.2. Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory
1.2.1. Ilustracja graficzna na diagramach Venna
0,1,2,... – zbiór liczb naturalnych
1,2,... – zbiór liczb naturalnych dodatnich
..., 2, 1,0,1,2,... – zbiór liczb całkowitych
: cn
q q c n – zbiór liczb wymiernych
Każda liczba wymierna ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe albo
skończone (czyli o okresie zero).
21
– zbiór liczb niewymiernych, czyli mających rozwinięcie dziesiętne
nieskończone i nieokresowe (np. ...73,13...,41,12...,14,3 )
Każda liczba rzeczywista ma rozwinięcie dziesiętne okresowe (nieskończone
albo skończone, gdy okres jest równy zero) – gdy jest liczbą wymierną, albo
nieokresowe nieskończone – gdy jest liczbą niewymierną.
Liczba rzeczywista ma rozwinięcie dziesiętne
okresowe lub
skończone ALBO
nieokresowe
i nieskończone
jest liczb wymierną jest liczbą niewymierną
- zbiór liczb rzeczywistych
Ważne spostrzeżenia:
;
;
0
– zbiór liczb rzeczywistych dodatnich (analogicznie oznaczamy
,
)
– zbiór liczb rzeczywistych ujemnych (analogicznie oznaczamy
,
)
Przykładowe zadanie
Wyznacz liczby całkowite x i y będące rozwiązaniem równania 52 xyxy .
Komentarz Rozwiązanie
Przekształcimy lewą stronę równania
do postaci iloczynu.
312
322
322
52
yx
xxy
xxy
xyxy
Liczba 3 jest iloczynem liczb
całkowitych 3 i 1 oraz -3 i -1. Zatem:
2 1 3 1 *
lub
2 1 3 1 **
x y
x y
Rozwiązujemy równania (*) i (**). * 2 1 3 1x y
11
32
y
x lub
31
12
y
x
22
0
5
y
x lub
2
3
y
x
** 2 1 3 1x y
11
32
y
x lub
31
12
y
x
2
1
y
x lub
4
1
y
x
Formułujemy odpowiedź. Odp. Rozwiązaniami równania w zbiorze liczb całkowitych
są:
0
5
y
x,
2
3
y
x,
2
1
y
x,
4
1
y
x.
1.2.2. Przedziały na osi liczbowej
Zbiór liczb rzeczywistych ilustruje oś liczbowa. Każdej liczbie rzeczywistej
odpowiada jednoznacznie wyznaczony punkt na osi liczbowej.
Oś liczbowa, to prosta z wyróżnionym punktem 0, zwrotem dodatnim
i jednostką:
Innymi ważnymi podzbiorami liczb rzeczywistych są przedziały liczbowe.
Przedziały liczbowe są to zbiory liczb rzeczywistych większych (większych lub
równych) lub mniejszych (mniejszych lub równych) od ustalonej liczby a ,
ewentualnie liczby rzeczywistych zawartych pomiędzy dowolnymi liczbami:
a , b i a b .
1.2.3. Rodzaje przedziałów liczbowych
Rodzaj
przedziału
Niech
x
,a b a b
Nazwa Symbol Interpretacja na osi liczbowej
axx : prawostronnie otwarty
nieograniczony a,
a
axx : prawostronnie domknięty
nieograniczony a,
a
axx : lewostronnie otwarty
nieograniczony ,a
a
0 1 (zwrot dodatni)
(jednostka)
(punkt
zerowy)
(półoś ujemna ) (półoś dodatnia )
23
axx : lewostronnie domknięty
nieograniczony ,a
a
bxax : obustronnie otwarty
ograniczony ba;
a b
bxax : obustronnie domknięty
ograniczony ba;
a b
bxax :
lewostronnie otwarty
(prawostronnie domknięty)
ograniczony
ba; a b
bxax :
prawostronnie otwarty
(lewostronnie domknięty)
ograniczony
ba; a b
Działania mnogościowe na zbiorach: wyznaczanie sum, iloczynów i różnic oraz
dopełnień na przedziałach liczbowych ilustruje przykładowe zadanie.
Przykładowe zadanie
Dane są zbiory 3,4A i ,1B . Wyznacz zbiory:
a) BA
b) BA
c) BA \
d) AB \
e) A
f) B
Przedstaw interpretację tych zbiorów na osi liczbowej oraz zapisz je przy
pomocy nierówności. Komentarz Rozwiązanie
Zbiory A i B zaznaczymy na osi liczbowej,
a następnie wykonamy podane działania.
Wyznaczone zbiory opiszemy przy pomocy
nierówności.
a)
-5 5-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
1,3
:1 3
A B
A B x x
b)
-5 5-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
4,
: 4
A B
A B x x
24
c)
-5 5-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
\ 4,1
\ : 4 1
A B
A B x x
d)
-5 5-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
\ 3,
\ : 3
B A
B A x x
e)
-5 5-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
, 4 3,
: 4 3
A
A x x x
f)
-5 5-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
,1
: 1
B
B x x
1.3. Wartość bezwzględna i jej interpretacja graficzna
1.3.1. Definicja wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej
. ; gdy 0
; gdy 0
df x xx
x x
,
np. 5 5, bo 5 0; 3 3 3, bo 3 0x x
1.3.2. Podstawowe własności wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej
Dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwe są następujące warunki:
a) 0x h) yxyx
25
b) xx
c) 00 xx
d) yxyx
e) 0; yy
x
y
x
f) yxyx
g) yxyx
i) xx 2
j) 22
xx
k) axaxax
l)
axaax 0a
m)
axaxax
1.3.3. Interpretacja wartości bezwzględnej na osi liczbowej
Wartość bezwzględna liczby x: x jest to odległość liczby x od zera na osi
liczbowej:
x x
x-x 0
1.3.4. Wartość bezwzględna, jako odległość między dwiema liczbami na osi
liczbowej
Niech a i b . Odległość d między liczbami rzeczywistymi a i b wynosi
ba :
oraz
Uwaga: Jeśli a b , to 0d a a
Wniosek: abba
Np. 3412115121215
-4 -1 2 12 15
3 3 3
ba
abbad , gdyż ba
d
ab
babad , gdyż ba
d
26
1.3.5. Zbiory na osi liczbowej opisane równaniami i nierównościami
z wartością bezwzględną
a) w równaniu: x a b , ( 0b ), czyli x a b x a b chodzi
o znalezienie liczb x, na osi liczbowej, odległych od liczby a o odległość b.
, dlax a b x a , dlax a b x a
bax bax
(a-b) (a+b)
a
b b Zatem babax ; .
b) w nierówności: x a b , ( 0b ), czyli b x a b chodzi
o znalezienie liczb x, na osi liczbowej, odległych od liczby a o odległość
mniejszą niż b.
x a bb x a b
x a b
(a-b) (a+b)
a
b b Zatem babax ; .
c) w nierówności: x a b , ( 0b ), czyli b x a b chodzi
o znalezienie liczb x, na osi liczbowej, odległych od liczby a o odległość
mniejszą lub równą b.
x a bb x a b
x a b
(a-b) (a+b)
a
b b Zatem babax ; .
d) w nierówności: x a b , ( 0b ), czyli x a b x a b chodzi
o znalezienie liczb x, na osi liczbowej, odległych od liczby a o odległość
większą niż b.
27
, dlax a b x a , dlax a b x a
bax bax
(a-b) (a+b)
a
b b Zatem ;; babax .
e) w nierówności: x a b , ( 0b ), czyli x a b x a b chodzi
o znalezienie liczb x, na osi liczbowej, odległych od liczby a o odległość
większą lub równą b.
, dlax a b x a , dlax a b x a
bax bax
(a-b) (a+b)
a
b b Zatem ;; babax .
Przykładowe zadanie
a) Dla 2,1x zapisz wyrażenie xx 21452 nie używając symbolu
wartości bezwzględnej.
b) Zapisz wyrażenie 2,2
842 23
x
x
xxx używając symbolu wartości
bezwzględnej. Komentarz Rozwiązanie
Z definicji wartości bezwzględnej
otrzymujemy:
a)
52
52
12
12
2 5 dla ,2 5
2 5 dla ,
1 2 dla ,1 2
1 2 dla ,
x xx
x x
x xx
x x
25,2,1 i ,2,1
21
zatem dla 2,1x dane wyrażenie
możemy zapisać w równoważnej postaci.
910
8452
21452
21452
x
xx
xx
xx
Otrzymaliśmy więc: 91021452 xxx dla 2,1x
28
Przekształcamy wyrażenie pod
pierwiastkiem.
b)
22
222
2
24
2
242
2842
222
2223
xxxx
xxx
x
xx
x
xxx
xxxx
Korzystając z równości aa 2
otrzymujemy:
222
xx
Zatem mamy:
222
842 223
xx
x
xxx
Formułujemy odpowiedź. Odp.
a) 91021452 xxx dla 2,1x ,
b) 22
842 23
x
x
xxx dla 2x .
1.3.6. Niektóre równania z wartością bezwzględną
a) Równanie 0; abaxx jest równoważne alternatywie trzech
równań w poszczególnych dziedzinach – częściach osi liczbowej:
22
bax
baxx
ba
baxxab
x
baxx
dla 0x dla ax 0 dla ax
0 a
Równość ta może
być: albo prwadziwa
albo fałszywa
(w zależności od
wartości a i b )
i wtedy może tu być
albo nieskończenie
wiele rozwiązań
a,0
albo nie być ich wcale.
(przedział )
Rozwiązaniem są liczby x spełniające poszczególne równania i należące do
poszczególnych dziedzin.
b) Równanie cbadcxbxax ; jest równoważne
alternatywie czterech równań w poszczególnych dziedzinach – częściach osi
liczbowej:
33
cbadx
dcxbxax
cbadx
dcxbxax
cbadx
dcxbxaxcbad
x
dcxbxax
dla ax dla bxa dla cxb dla cx
a b c
Rozwiązaniem są obliczone liczby x należące do poszczególnych dziedzin.
29
1.3.7. Niektóre nierówności z wartością bezwzględną
a) Nierówność 0; abaxx jest równoważna alternatywie trzech
nierówności w poszczególnych dziedzinach – częściach osi liczbowej:
22
bax
baxx
ba
baxxab
x
baxx
dla 0x dla ax 0 dla ax
0 a
Nierówność ta może
być: albo prwadziwa
albo fałszywa
(w zależności od
wartości a i b )
i wtedy może tu być
rozwiązaniem
przedział a,0
albo . Rozwiązaniem jest suma rozwiązań poszczególnych nierówności
w poszczególnych dziedzinach.
b) Nierówność bacbxaxx ; jest równoważna alternatywie
czterech nierówności w poszczególnych dziedzinach – częściach osi liczbowej: dla bxa
b
33
bacx
cbxaxx
bacx
cbxaxx
bacx
cbxaxxbac
x
cbxaxx
0 a
dla 0x dla ax 0 dla bx
Rozwiązaniem jest suma rozwiązań poszczególnych nierówności
w poszczególnych dziedzinach.
Uwaga: Podziału osi liczbowej na poszczególne części dokonujemy
zaznaczając na niej miejsca zerowe wyrażeń opatrzonych wartością
bezwzględną.
Przykładowe zadanie 1
Rozwiąż równanie 614343 xx .
Komentarz Rozwiązanie
Zaznaczamy na osi liczbowej miejsca
zerowe wyrażeń: 4 1x i 3 4x ,
występujących pod wartością
bezwzględną.
Przedstawimy na osi liczbowej
rozwiązania nierówności 043 x ,
043 x , 014 x , 014 x .
34
043
x
x
41
014
x
x
0
41
043 x
043 x
014 x
014 x 34
30
Zdefiniujemy występujące w równaniu
wartości bezwzględne.
43
43
14
14
3 4 dla ,3 4
3 4 dla ,
4 1 dla ,4 1
4 1 dla ,
x xx
x x
x xx
x x
Równanie 614343 xx jest
równoważne alternatywie trzech
równań w poszczególnych dziedzinach.
14
3 4 3 4 1 6 dla , *x x x
lub
1 44 3
3 4 3 4 1 6 dla , **x x x
lub
43
3 4 3 4 1 6 dla , ***x x x
Kolejno rozwiążemy równania (*), (**),
(***).
(*)
14
1 13 4
3 4 3 4 1 6 dla ,
15 5
,
x x x
x
x
(**)
1 44 3
1 1 49 4 3
3 4 3 4 1 6 dla ,
9 1
,
x x x
x
x
(***)
43
7 415 3
3 4 3 4 1 6 dla ,
15 7
,
x x x
x
x
brak rozwiązania
Wyznaczymy rozwiązanie równania
614343 xx . 91
231
1 , xx
Formułujemy odpowiedź. Odp. Rozwiązaniami równania 614343 xx są
91
231
1 , xx .
Przykładowe zadanie 2
Rozwiąż układ nierówności
22
2
yx
yx.
31
Komentarz Rozwiązanie
Pierwszą nierówność przedstawimy
w postaci koniunkcji dwóch
nierówności. Zaznaczymy jej
rozwiązanie w układzie
współrzędnych.
2 2 2
2 2
2 2
x y x y
x y x y
y x y x
2
-2 2
-2
2 xy
2 xy
Drugą nierówność przedstawimy
w postaci alternatywy dwóch
nierówności. Zaznaczymy jej
rozwiązanie w układzie
współrzędnych. 22
4242
42
21
21
xyxy
yxyx
yx
-2-4
2
2 4
-2
221 xy
221 xy
Wyznaczymy rozwiązanie układu
nierówności. Jest ono częścią wspólną
rozwiązań obu nierówności.
-2-4
2
2
4
-2
32
1.4. Potęgowanie, pierwiastkowanie i logarytmowanie
1.4.1. Definicja potęgi
Potęga o podstawie a i wykładniku c
(wykładnik potęgi)
(podstawa potęgi)
ca a
a) o wykładniku naturalnym :c n
0
czynników
1; 0
... ;n
n
a a
a a a a n
b) o wykładniku całkowitym ujemnym c n :
1; 0;n
na a n
a
c) o wykładniku wymiernym c :
- dodatnim ; ;mn
c m n :
; 0mn n ma a a
- ujemnym ; ;mn
c m n :
1; 0
mn
n ma a
a
d) o wykładniku niewymiernym, np. 3,14 3 3,1 3,14 3,15 3,2 4
(ciąg zbieżny do ) (ciąg zbieżny do )
, , , , , , ; 0a a
a a a a a a a a
Uwaga: Potęga o wykładniku rzeczywistym jest omówiona w module 7.1.1.
1.4.2. Prawa działań na potęgach
Przy stosownych założeniach mamy:
a) nmnm aaa
b) nm
n
m
aa
a
c) nmnm aa
d) nnnbaba
33
e) n
nn
b
a
b
a
f) 2222 bababa
g) 3223333 babbaaba wzory skróconego
h) bababa 22 mnożenia
i) 2233 babababa
1.4.3. Definicja pierwiastka n-tego stopnia z liczby a
Pierwiastek n-tego stopnia z liczby a ( 0a )
(stopień pierwiastka) (liczba
pod pierwiastkiem)
n a
.df
nn a b a b ; 0a ; 0b ; \ 1n
Dla 0a i 12 kn ; k : nn aa
1.4.4. Prawa działań na pierwiastkach
Przy stosownych założeniach mamy:
a) mnn m aa
b) nnn baba
c) n
n
n
b
a
b
a
d) mnn m aa
e) ; dla 2 ;
; dla 2 1;
n na n k k
aa n k k
Przykładowe zadanie
Wykaż, że podane liczby należą do zbioru liczb naturalnych:
1 33 4
2 1 015
0,027 625 3 6k ; 3
20, 4l ;
1 1
9 4 5 9 4 5m
;
22 475 22 475
2 2n
.
34
Komentarz Rozwiązanie
Wyznaczymy k.
Obliczymy potęgi, a następnie wykonamy
działania arytmetyczne.
1 33 4
13
2 1 015
32 4
33
0,027 625 3 6
27 15 625 1
1000 3
1000 125 5 1
27 3
10 125 125 1
3 3
104
k
k
k
k
k
Najpierw ułamek okresowy zamienimy na
ułamek zwykły. Następnie wyznaczymy l.
Niech
0, 4x
0,44444... / 10
10 4,4444...
x
x
10 4,4444... 0,4444...x x
9 4x
4
9x
4
0, 49
3 3 34 22 2 9 2 3
0, 4 1l
Wyznaczymy m. Usuniemy
niewymierność z mianowników ułamków,
a następnie wykonamy dodawanie.
2 2
2 2
1 1
9 4 5 9 4 5
9 4 5 9 4 5
9 4 5 9 4 5 9 4 5 9 4 5
9 4 5 9 4 5
9 4 5 9 4 5
9 4 5 9 4 5 9 4 5 9 4 5
81 80 81 80 1 1
9 4 5 9 4 5 18
m
35
Wyznaczymy kwadrat liczby n, a
następnie tę liczbę. Liczba n jest sumą
pierwiastków kwadratowych. Jest to liczba
nieujemna.
22
22 22 475 22 475
2 2
2 22 475 22 475 22 475 22 475
2 2 2 2
22 4752 475 475
2 4 2
2 484 475
2
2
2
2
2
2
11 2 11
22 2
22 9
22 3
25
255
0
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
Formułujemy odpowiedź. Odp. Liczby 104k , 1l , 18m , 5n należą
do zbioru liczb naturalnych.
1.4.5. Logarytm i jego własności
Logarytm o podstawie a z liczby logarytmowanej b.
balog
Założenia:
1
0
0
a
a
b
(podstawa logarytmu)
(liczba logarytmowana)
;
Logarytm o podstawie ,11,0a liczby dodatniej 0bb jest to
wykładnik c , do którego należy podnieść podstawę a , żeby otrzymać liczbę
logarytmowaną b :
bacb cdef
a log
cba log ba
c
liczba a jest podstawą
i logarytmu, i potęgi
logarytmowanie potęgowanie
związeklogarytmowania z potęgowaniem
Uwaga 1: Logarytmowanie, to operacja odwrotna do potęgowania
36
Uwaga 2: Potęgowanie ma dwa działania do siebie odwrotne: pierwiastkowanie
i logarytmowanie.
I. Jeśli ze związku: bac chcemy obliczyć podstawę a, to pierwiastkujemy:
cc baba ;
0
0
b
a
związek
potęgowania z pierwiastkowaniem
II. Jeśli ze związku: bac chcemy obliczyć wykładnik c, to logarytmujemy:
związek
potęgowania z logarytmowaniem
bcba a
c log ;
0
10
b
aa
Zatem
ba
;log bc a
; ba c
c
pierwiastkowanie logarytmowanie
0
0
b
a
0
1
0
b
a
a
\ 0;1c
np.
125log31255
1255
3
3
91
3
291
31
912
log2
3
912
31
91
3
1log2
Uwaga 3: Symbol: blog (bez zapisu podstawy), to logarytm dziesiętny
(o podstawie 10): bb 10loglog (analogicznie, jak nie pisze się dwójki przy
pierwiastku kwadratowym: 2 aa ).
Symbol: bln to logarytm naturalny, czyli o podstawie e: bb elogln (gdzie
e – liczba Nepera – jest to en
nn
11lim , e – jest liczbą niewymierną:
2,7182e ).
1.4.6. Prawa działań na logarytmach
Niektóre prawa działań na logarytmach mają swoje odpowiedniki w prawach
działań na potęgach.
Przy stosownych założeniach mamy:
37
Lp. Prawa działań
na logarytmach na potęgach
1.
cb aa loglog cba log cb aa cba
(suma logarytmów o tej
samej podstawie) =
(logarytm
iloczynu)
(iloczyn potęg o tej
samej podstawie) =
(potęga o sumie
wykładników)
2.
cb aa loglog c
balog cb
c
b
aaa
a:
cba
(różnica logarytmów o
tej samej podstawie) = (logarytm ilorazu)
(iloraz potęg o tej
samej podstawie) =
(potęga o różnicy
wykładników)
3.
c
a blog bc alog cba cba
(logarytm potęgi) =
(iloczyn
wykładnika i
logarytmu z
podstawy potęgi)
(potęga potęgi) = (potęga o iloczynie
wykładników)
Oto pozostałe prawa działań na logarytmach:
4. ccb aba logloglog , inaczej c
cb
b
aa
log
loglog
(zamiana podstawy logarytmu)
5. a
bb
alog
1log
(zamiana podstawy z liczbą logarytmowaną)
6. bb anan loglog 1
7. bb ann
a loglog 1
Uwaga: Własność 2 (w w/w tabeli) dotyczy logarytmu ilorazu: cb
alog i często
jest mylona z ilorazem logarytmów. Należy więc zapamiętać, że: iloraz
logarytmów to wyrażenie: cbc
baa
a
a log:loglog
log , natomiast logarytm
ilorazu, to różnica logarytmów: cb aacb
a logloglog (oczywiście przy
wspólnej podstawie a).
38
Przykładowe zadanie
Wykaż, że para liczb
27log9log3log2 5,042
2
2
x i 2666 2log12log3log y
jest rozwiązaniem układu równań:
01,010
9logloglog2
xy
yx.
Komentarz Rozwiązanie
Wyznaczamy x. 27log9log3log2
22 5,042
x
5,0log
27log
4log
9log9log
22
2
2
2
22
x
1
27log
2
9log9log
22
222
x
27log9log2
19log
2
2 222
x
27log9log2
1
22 22
x
27log3log
2
2 22
x
91
2log
22x
3log2
22 2
x
3log2
2
1 2x
3log2 221
2
x
3log2 2x
3x
Wyznaczamy y. 2666 2log12log3log y
2666 2log43log3log y
26666 2log4log3log3log y
2666
2
6 2log4log3log3log y
2666
2
6 2log2log3log23log y
266 2log3log y
26 6logy
21y
1y
Sprawdzimy, czy 3x i 1y
spełniają oba równania.
1°. 9logloglog2 yx
PL 9log09log1log3log2
39
2°. 01,010 xy
PL 01,01010 231
Formułujemy odpowiedź. Rozwiązaniem danego układu równań jest para
liczb 3x i 1y .
1.5. Indukcja matematyczna
1.5.1. Indukcja przyrodnicza, a indukcja matematyczna
Indukcja przyrodnicza (niezupełna), to rozumowanie uogólniające,
prowadzące do sformułowania ogólnego twierdzenia na podstawie obserwacji
skończonej liczby przypadków. Jednak takie rozumowanie nie jest niezawodne.
Stosowanie indukcji przyrodniczej w matematyce upoważnia jedynie do
sformułowania hipotezy, którą następnie należy udowodnić. W matematyce zaś
stosujemy indukcję matematyczną.
Indukcja matematyczna (zupełna) jest to metoda dowodzenia twierdzeń
dotyczących liczb naturalnych.
1.5.2. Zasada indukcji matematycznej
Niech nT oznacza twierdzenie dotyczące liczb naturalnych. Wówczas
prawdziwe jest następujące twierdzenie zwane zasadą indukcji
matematycznej:
Jeżeli:
1 twierdzenie jest prawdziwe dla ustalonej liczby naturalnej 0n (np.
210 000 nnn ), czyli zachodzi 0nT ,
i 2 z prawdziwości twierdzenia dla dowolnej liczby naturalnej 0nk wynika
prawdziwość twierdzenia dla liczby następnej: 1k , czyli prawdziwa jest
implikacja 01 ;T k T k k n ,
to twierdzenie jest prawdziwe dla każdej liczby naturalnej 0nn .
Dowód przeprowadzany metodą indukcji matematycznej nazywamy dowodem
indukcyjnym. Składa się on z dwóch etapów:
1º sprawdzenie prawdziwości 0nT
2º wykazanie prawdziwości implikacji 0;1 nkkTkT
Etap 1º nazywamy pierwszym krokiem indukcyjnym, zaś etap 2º - drugim
krokiem indukcyjnym.
40
1.5.3. Schemat rozumowania w indukcji matematycznej
0
0
0
1
2
1kn n
k n
T n T k T k T n
Dowód indukcyjny:
1º sprawdzenie nT dla 0nn (np. 10 n ), czyli 0nT
2º zbudowanie implikacji: 1 kTkT wraz z jej dowodem:
Założenie 0; nkkT
Teza 1kT
dowód 2º: 1 kTkT
Ostateczna konkluzja na mocy zasady indukcji matematycznej:
1 2n
T n
Przykładowe zadanie 1
Metodą indukcji matematycznej wykaż, że dla każdej liczby naturalnej
dodatniej n zachodzi równość:
12
2
1
11...
4
11
3
11
2
11
2222
n
n
n.
Komentarz Rozwiązanie
Sprawdzimy słuszność twierdzenia dla
10 n (etap 1).
PL
P
L
43
11221
43
2
1
11
122 11
Formułujemy implikację (etap 2). Założenie 2 2 2
21 1 1
2 12 3 11 1 ... 1 dla 1k
kkk
Teza
223
2
1
1
1
3
1
2
12222 11...11
kk
kk
Przeprowadzimy dowód implikacji (cd.
etapu 2).
P
L
kk
kk
kk
kk
kkk
kkkkk
kkkk
kkkk
kk
k
k
k
kk
kkk
kk
223
212
31
212
131
21233
21234
212144
212
12
2
12
122
2
112
2
2
1
1
1
3
1
2
1
2
222
2
2
2
2222
1
11...11
Formułujemy uzasadnienie. Na mocy 1º i 2º równość
41
12
2
1
11...
4
11
3
11
2
11
2222
n
n
n
jest spełniona przez każdą dodatnią liczbę naturalną n.
Przykładowe zadanie 2
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba 116 92 nn jest podzielna przez
11. Komentarz Rozwiązanie
Skoro twierdzenie dotyczy liczb
naturalnych, więc udowodnimy je
metodą indukcji matematycznej.
Sprawdzimy słuszność twierdzenia dla
00 n (etap 1).
11|11
92|11
92|11
11
10106
Formułujemy implikację (etap 2). Założenie 6 1 111| 2 9 dla 0k k k
Teza 276 92|11 kk
Przeprowadzimy dowód implikacji
(cd. etapu 2).
1116
1116
1116
116
116
1616
11616
276
95119264|11
9559264|11
559649642|11
55649642|11
99642|11
9922|11
92|11
92|11
kkk
kkk
kkk
kk
kk
kk
kk
kk
116 9264|11 kk - z założenia indukcyjnego
19511|11 k - 11 jest jednym z czynników iloczynu, zatem
1116 95119264|11 kkk - różnica liczb podzielnych
przez 11
Formułujemy uzasadnienie. Na mocy 1º i 2º twierdzenie 116 92|11 nn
jest prawdziwe
dla każdej liczby naturalnej n.
Uwaga: Zapis: |a b czytamy: liczba a jest podzielna przez b ( b dzieli a ),
czyli: liczba b jest dzielnikiem liczby a .
42
1.6. Dwumian Newtona
1.6.1. Pojęcie silni
0! 1
! 1 2 1 ;n n n n
np. 244321!4 , 0! 1 , 1! 1 .
Uwaga: Zapis !n czytamy: n silnia.
1.6.2. Symbol Newtona
a) Definicja symbolu
k
n:
!
; ,! !
n nk n k n
k k n k
np. 452
109
!2!8
!10
8
10
b) Niektóre własności symbolu Newtona:
(1) Dla n :
1;2
1
2;
1;1
0
n
nnnnn
nn
(2) Dla , 1n k k n k n :
1
1
1;
k
n
k
n
k
n
kn
n
k
n
Uwaga: Zapis: n
k
czytamy: n nad k lub k po n .
1.6.3. Trójkąt Pascala (dwie wersje)
3
3
2
3
2
2
1
3
1
2
1
1
0
3
0
2
0
1
0
0
1
1 1
1 1
1 1
2
3 3
43
1.6.4. Wzór dwumianowy Newtona
- wyraża każdą naturalną potęgę dwumianu ba :
0 1 2 0 ; , ,0 1
n n n n k k nn n n n
a b a b a b a b a b n k k nk n
w skrócie:
0
nn n k k
k
na b a b
k
.
1.6.5. Wzór ogólny na k-ty wyraz rozwinięcia we wzorze dwumianowym
Newtona
1 1; 1,2, , 11
n k k
k
nc a b k n
k
1.6.6. Związek trójkąta Pascala ze wzorem Newtona
3
3
2
3
2
2
1
3
1
2
1
1
0
3
0
2
0
1
0
0
3
3
2
3
2
2
1
3
1
2
1
1
0
3
0
2
0
1
0
0
0
ba
1
ba
2
ba
3
ba
a
2a
3a
b
2b
3b
ab
ba 2 2ab
1
1 1
1 1
1 1
2
3 3
1
1 1
1 1
1 1
2
3 3
0
ba
1
ba
2
ba
3
ba
a
2a
3a
b
2b
3b
ab
ba 2 2ab
1.6.7. Wnioski ze wzoru dwumianowego Newtona
a) nnkknknnnb
n
nba
k
nba
na
nba
11
10
1
b) Suma wszystkich współczynników we wzorze dwumianowym Newtona
nba :
44
n
n
nnnn2
210
(dla 1a b )
c) Suma wszystkich współczynników we wzorze dwumianowym Newtona
nba :
01210
n
nnnn n (dla 1a b )
Przykładowe zadanie
Wyznacz dwudziesty wyraz rozwinięcia dwumianu , jeżeli wiadomo,
że suma współczynników drugiego i trzeciego wyrazu rozwinięcia wynosi 325. Komentarz Rozwiązanie
Wyznaczymy sumę współczynników
wyrazu drugiego i trzeciego
rozwinięcia dwumianu.
22!2
1!2
1!1
!1
!2!2
!
!1!1
!
21
2 nnn
n
nnn
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
Wiedząc, że suma ta wynosi 325
zapisujemy równanie, którego
rozwiązanie wyznaczy wykładnik
potęgi n.
3252
2
nn
n dla n
06502 nn
512601
1 511 2
26n
1 512 2
25n
Wyznaczamy dwudziesty wyraz
rozwinięcia dwumianu .
19
2
19 1
19
xx
n
nn
dla 25n
3232
!987654321252423222120!19386
!19!6!25
1926
19
2
1925
177100
6
251
1925
25
xxxx
xxx
x
Formułujemy odpowiedź. Odp. Dwudziestym wyrazem rozwinięcia dwumianu
jest 32177100 x .
nx
x 2
1
nx
x 2
1
nx
x 2
1
45
2. Liczby zespolone
2.1. Geneza zbioru liczb zespolonych
Wiadomo, że 2 0
xx
, stąd liczby ujemne nie mają ani pierwiastka
kwadratowego, ani pierwiastka żadnego innego stopnia parzystego. Zatem
równania kwadratowe o wyróżniku ujemnym ( 0 ) nie mają pierwiastków
rzeczywistych; nie są też rozkładalne na czynniki liniowe o współczynnikach
rzeczywistych wielomiany: 2 1x x , czy 4 1x .
Liczby zespolone wprowadzono w XVI w. w związku z badaniami
sposobów rozwiązań równań algebraicznych. Np. równanie 2 1 0x nie ma
rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych, bo w nie istnieje 1 .
Aby uniknąć tych trudności wprowadzono tzw. "liczbę urojoną"
1i , w odróżnieniu od już poprzednio znanych liczb "rzeczywistych".
Stąd zbiór liczb rzeczywistych uległ rozszerzeniu do zbioru liczb
zespolonych , w którym wykonalne jest pierwiastkowanie liczb ujemnych.
Więc zdanie 2 0
xx
jest prawdziwe, gdyż 2 1i .
Warto więc zauważyć, że , czyli .
Na przełomie XIX i XX wieku dla wielu matematyków słowo "liczba" - bez
przymiotników - oznaczało liczbę zespoloną.
Obecnie liczby zespolone są niezbędnym narzędziem matematyki, fizyki, czy
elektrotechniki.
46
2.2. Różne postacie liczb zespolonych
2.2.1. Postać algebraiczna liczby zespolonej
2; 1z a bi a b i z
część rzeczywista liczby zespolonej z : re a z
część urojona liczby zespolonej z : im b z
Jeżeli 0b , to 0z a i a jest liczbą rzeczywistą. Zatem liczby rzeczywiste,
to takie liczby zespolone, dla których im 0z .
2.2.2. Interpretacja geometryczna liczby zespolonej
Liczby zespolone interpretujemy jako punkty płaszczyzny. Stąd liczbie
zespolonej z a bi opowiada punkt o współrzędnych ,a b płaszczyzny
z układem współrzędnych.
a
(a,b) b
X
Y
z=a+bi
oś urojona
oś rzeczywista
W szczególności:
X
Y
z=i
0
0,1
liczbie (jednostce) urojonej odpowiada punkt
0,1 .
Oś rzeczywista (pozioma) to oś liczbowa ilustrująca zbiór liczb rzeczywistych.
Płaszczyzna z układem współrzędnych to ilustracja zbioru liczb zespolonych.
2.2.3 Sprzężenie i liczba przeciwna
Liczba zespolona: z a bi ; ,a b
Sprzężenie liczby zespolonej: z a bi
Liczba przeciwna: z a bi
47
a
b
X
Y
z
-a -b z
-z
Operacji sprzężenia odpowiada na płaszczyźnie symetria osiowa względem osi
rzeczywistej OX .
Operacji przejścia do liczby przeciwnej odpowiada na płaszczyźnie symetria
środkowa względem początku układu współrzędnych 0,0O .
2.2.4. Moduł liczby zespolonej
2 2z a bi a b
a
b
X
Y
z=a+bi
0
z
z oznacza odległość punktu o współrzędnych ,a b , czyli liczby zespolonej
z a bi od początku układu współrzędnych. W szczególności wartość
bezwzględna liczby rzeczywistej nazywana jest również modułem tej liczby.
2.2.5. Interpretacja wektorowa
Liczba zespolona z a bi , to wektor 0z o początku w punkcie 0,0O
i końcu w punkcie ,a b .
Moduł z oznacza długość wektora 0z .
a
b
X
Y
z
-a -b z
-z
z
z z
48
2.2.6. Biegunowy układ współrzędnych
Kartezjański układ współrzędnych na płaszczyźnie tworzą dwie przecinające
się osie liczbowe prostopadłe (OX i OY ) o równych jednostkach:
x
y
X
Y
P
0
,x y
Współrzędne kartezjańskie punktu P płaszczyzny, to para liczb ,x y .
Biegunowy układ współrzędnych na płaszczyźnie tworzą: punkt O zwany
biegunem i wychodząca z niego półoś dodatnia zwana osią biegunową:
r
P
0
,r
oś biegunowa
Współrzędne biegunowe punktu P płaszczyzny, to para liczb ,r , gdzie
r OP jest odległością punktu P od bieguna, czyli długością wektora
wodzącego OP , zaś jest miarą (np. łukową) kąta nachylenia OP do osi
biegunowej, czyli kąta skierowanego o początkowym ramieniu wzdłuż osi
biegunowej, a końcowym jako wektor OP .
We współrzędnych biegunowych ,r liczba 0r i dla jednoznaczności
przyjmujemy: 0 2 .
Przykładowe zadanie Znajdź:
a) współrzędne biegunowe punktu 4;4 3P ,
b) współrzędne kartezjańskie punktu 116
4;P .
Komentarz Rozwiązanie
Współrzędne kartezjańskie to ,a b , zaś
biegunowe to ,r .
Korzystamy z kartezjańskiego układu
współrzędnych przyjmując jego początek
za biegun, a dodatnią półoś OX za oś
biegunową.
a)
4;4 3P , czyli 4a , 4 3b
Należy więc znaleźć r i .
49
r
X
YP
0
4 34
4 34
4-4
Z trójkąta prostokątnego o
przyprostokątnych długości 4 i 4 3
obliczany długość przeciwprostokątnej r
oraz miarę kąta ostrego .
Na podstawie rysunku obliczamy
2
24 4 3 8r
oraz
4 3 3
8 2sin
4 18 2
cos
Stąd 3
Zaś 23
Formułujemy odpowiedź. Odp. Współrzędne biegunowe punku 23
8;P .
Współrzędne biegunowe to ,r , zaś
kartezjańskie to ,a b .
b)
116
4;P , czyli 4r , 116
Należy więc znaleźć a i b .
r X
Y
0
b
aa
b
Analogicznie jak w a) korzystamy z
trójkąta prostokątnego na rysunku z
dwoma układami współrzędnych
nałożonymi na siebie.
Na podstawie danych wg rysunku mamy
116
cos 2 ar
116
sin 2b
r
2 2 4r a b
Czyli
3
6 2 4cos a
16 2 4
sinb
Stąd 2b ; 2 3a
Z warunku 2b wybieramy 2b ,
gdyż 116 spełnia warunek:
32
2 , czyli rzędna punktu P
jest ujemna. Formułujemy odpowiedź.
Odp. Współrzędne kartezjańskie punktu
2 3; 2P .
50
2.2.7. Postać trygonometryczna liczby zespolonej
Każda liczba zespolona z a bi da się przedstawić w postaci
trygonometrycznej:
cos sinz z i .
Wystarczy w tym celu posłużyć się współrzędnymi biegunowymi
a
b
X
Y
z=a+bi
0
z r
2 2r z a b ;
cos ;
sin
a
z
b
z
Miara kąta , to argument liczby zespolonej z :
arg 2 ; 0, 1, 2,z k k .
Czyli liczbie zespolonej 0z odpowiada nieskończenie wiele argumentów.
Argument liczby z spełniający warunek: nazywa się argumentem
głównym tej liczby i oznacza się go Arg z . Czyli Arg z .
Przykładowe zadanie
Przedstaw liczbę 1z i w postaci trygonometrycznej. Komentarz Rozwiązanie
Należy znaleźć z oraz posługując się
wzorem na z i warunkami na .
1z i , czyli 1a , 1b
Obliczmy 221 1 2z .
Wyznaczmy wiedząc, że 1
2cos
i 1
2sin oraz znając położenie punktu P
w kartezjańskim układzie współrzędnych:
X
Y
-1
1
P(1,-1)
z
Kąt o mierze jest kątem ćwiartki
czwartej ( sin 0 cos 0 )
Stąd 74 4
2
Zatem 7 74 4
1 2 cos sinz i i
Z własności funkcji trygonometrycznej
(wzory redukcyjne). Odp. 4 4
2 cos sinz i .
51
2.3. Działania w zbiorze liczb zespolonych
2.3.1. Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie liczb zespolonych
Niech 1z a bi ,
2z c di , gdzie , , ,a b c d , 2 1i
Wtedy:
1 2z z a c b d i
1 2z z a c b d i
1 2z z ac bd ad bc i
1 21 2 22 2 2 2
2 2
: , dla 0z z ac bd bc ad
z z i zc d c dz z
Niech 1 1 cos sinz z i , 2 2 cos sinz z i
Wtedy:
1 2 1 2 cos sinz z z z i
112
2 2
cos sin , dla 0zz
i zz z
W szczególności: 1 1
1 1cos sini
z z
Mnożąc liczby zespolone w postaci trygonometrycznej wystarczy moduły
pomnożyć, a ich argumenty dodać. Dzieląc zaś liczby zespolone - moduły
dzielimy, a argumenty odejmujemy.
2.3.2. Potęgowanie i pierwiastkowanie liczb zespolonych
Niech n i cos sinz z i
Wtedy cos sinnnz z n i n
dla 1z mamy: cos sin cos sinn
i n i n (wzór Moivre'a)
oraz 2 2cos sin , gdzie 0,1, , 1
k kn nn n
z z i k n
.
Każda liczba zespolona ma dokładnie n pierwiastków n -tego stopnia
0 1 1, , , nw w w dla poszczególnych 0,1, , 1k n .
52
Wszystkie n -te pierwiastki z liczby zespolonej z mają równe moduły,
czyli należą do tego samego okręgu o środku 0,0O i promieniu r z .
Argument każdego z tych pierwiastków różni się od argumentu poprzedniego
pierwiastka o 2n , czyli wszystkie one dzielą okrąg na n równych części. Są
więc wierzchołkami n -kąta foremnego wpisanego w ten okrąg.
W szczególności np. 0w ,
1w , ..., 5w , jako pierwiastki szóstego stopnia z liczby
1z , są wierzchołkami sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg 1z .
X
Y
0W
1W
3W
4W
5W
2W
1
1
2.3.3. Wybrane własności liczb zespolonych
a) 2 2z z a b
b) z z
c) 2
z z z
d) 1 2 1 2z z z z
e) 1 2 1 2z z z z
f) 1 1
2 2
z z
z z
,
2 0z
g) 2
z za
,
2
z zb
i
h) Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych jest przemienne i łączne,
a mnożenie - rozdzielne względem dodawania.
i) 1 2 1 2z z z z
j) 1 2 1 2z z z z
Przykładowe zadanie
Określ, jaką krzywą przedstawia równanie: 2z i z i .
Komentarz Rozwiązanie
Przyjmujemy postać z x iy zamiast Niech z jako liczba zespolona będzie postaci
z x iy , ,x y .
53
z a bi , gdyż z treści zadania wynika,
że chodzi o pewną krzywą na płaszczyźnie
z układem współrzędnych XOY .
Więc równanie ma postać:
1 2 1x i y x i y .
Stosujemy wzór na moduł liczby
zespolonej.
Po obliczeniu modułów z każdej ze stron, mamy
równość postaci:
2 22 21 2 1x y x y
Pozbywamy się pierwiastków
i wykonujemy wskazane działania oraz
redukcję wyrazów podobnych.
Stąd otrzymujemy równanie: 2 2 10
31 0x y y
Sprowadzając równanie okręgu do postaci
kanonicznej łatwo odczytujemy
współrzędne jego środka i długość okręgu.
Jest to okrąg o równaniu:
22 5 16
3 9x y
Formułujemy odpowiedź. Odp. Jest to okrąg o środku w punkcie
53
0;S i promieniu długości 43
r .
54
55
3. Funkcje i ich własności
3.1. Funkcja, jako relacja
Niech X Y . Relacja w zbiorze X Y jest to dowolny podzbiór
iloczynu kartezjańskiego X Y , np. 2, :x y x y x y .
Relacje posiadają różne własności.
Funkcja f jest szczególnym przypadkiem relacji.
Jeżeli każdemu elementowi x X jest przyporządkowany dokładnie jeden
element y Y , to na zbiorze X została określona funkcja (odwzorowująca
zbiór X w zbiór Y ), co zapisujemy:
1
(przeciwdziedzina(dziedzinafunkcji )
)
:
ff
DD
f X Y
, czyli (argument, (wartośćzmienna funkcji,niezależna) zmienna
zależna)
:f x y ; x X y Y
Uwaga: Wykres x
y
0
nie jest wykresem funkcji, tylko pewnej relacji.
Jeśli każda prosta pionowa ma z wykresem nie więcej niż jeden punkt wspólny,
to wykres ten jest wykresem funkcji.
Funkcję można określić na wiele sposobów, np. podając jej wzór (przepis na
przyporządkowanie f ), czyli y f x .
Jeżeli X i Y , to jest to funkcja rzeczywista jednej zmiennej
rzeczywistej, np.: 2
1
1:
xf x y
, (funkcja liczbo-liczbowa).
Jeżeli X i Y , to jest to funkcja rzeczywista dwóch
zmiennych rzeczywistych, np.: 2 3: ,f x y z x y .
Jeżeli X i Y , to jest to funkcja rzeczywista wielu
zmiennych rzeczywistych, np. 2
1 2
1
: , , ,n
n i
i
f x x x y x
.
Zbiór :wx X
Y f X y y f x Y
nazywamy zbiorem wartości
funkcji f .
Gdy f X Y , to f odwzorowuje zbiór X na Y , gdy zaś f X Y , to
f odwzorowuje zbiór X w Y .
Wykres funkcji :f X Y to zbiór punktów
, :x y y f x x X y Y
Równanie y f x to równanie wykresu funkcji.
56
argu
men
ty i
war
tośc
i fu
nkcj
i
są w
tej
sam
ej z
ależ
no
ści
argu
men
ty i
war
tośc
i fu
nkcj
i
są w
od
wro
tnej
zal
eżn
ośc
i
funk
cje
ściś
le
mo
noto
nic
zne
funk
cje
mono
tonic
zne
3.2. Własności funkcji
3.2.1. Podstawowe własności funkcji
a) Miejsce zerowe funkcji jest to ta wartość argumentu, dla której wartość
funkcji jest równa zero. Miejsc zerowych funkcji szukamy, rozwiązując
równanie:
0xf
(wartość
funkcji)(zero)
b) Znaki funkcji, to problem znaków wartości funkcji. Aby wyznaczyć te
wartości argumentu (np. przedział), dla których funkcja przyjmuje wartości
dodatnie (odpowiednio ujemne), należy rozwiązać nierówność
(wartości
dodatniefunkcji)
(znaku plusowego)
0f x odpowiednio:
(wartości
ujemnefunkcji)
(znaku minusowego)
0f x
Wniosek dotyczący podpunktów a) i b):
Zamiast rozwiązywać oddzielnie równanie: 0xf oraz dwie nierówności:
0xf i 0xf , wystarczy rozwiązać tylko równanie: 0xf i obliczone
miejsca zerowe zaznaczyć na osi liczbowej wraz z siatką znaków, która
odpowiada znakom wartości funkcji.
c) Monotoniczność funkcji, to problem, dla jakich argumentów, w jakich
przedziałach (na osi OX) funkcja rośnie (f), a w jakich maleje (f). Niech
fA D (np. ,A a b
1 2, ,x x a b
Typ
monotoniczności
1 2x x
(ze wzrostem argumentu)
f
(f. rosnąca)
1 2f x f x
(wzrastają wartości funkcji)
_f
(f. słabo rosnąca – niemalejąca)
21 xfxf
(wartości funkcji nie maleją)
f
(f. malejąca)
1 2f x f x
(wartości funkcji maleją)
f
(f. słabo malejąca –
nierosnąca)
21 xfxf
(wartości funkcji nie rosną)
f const. (f. stała)
21 xfxf
(wartości funkcji są stałe)
57
d) Ekstremum globalne funkcji to wspólna nazwa najmniejszej (minimalnej)
i największej (maksymalnej) wartości funkcji.
Funkcja f osiąga w punkcie fDx 0 (ewentualnie w przedziale ba; wartość
najmniejszą (odpowiednio największą) równą , jeśli
0xfxf
wartości funkcji
w dowolnym
argumencie
nie
przekraczają
wartości
ekstremalnej
baDx f ;
Zatem jest wartością najmniejszą (największą) gdy mniejszej (większej)
nie ma.
e) Superpozycja (złożenie) funkcji f z funkcją g jest to nowa funkcja h złożona
w następujący sposób z funkcji f i g:
fDX
gDY
1 gDZ Xf
f
h
g
(fun. wew.) (fun. zewn.): f gh X Y Z ,
.
superpozycja
ozn
h x g f x g f x
Aby założenie ZXh : było zrealizowane musi być spełniony warunek:
f
gx D
f x D
, a więc YDXf g .
Niezrealizowanie tego warunku ilustruje następujący rysunek:
X
gDY
Z
f g
Xf
x
xfy
i wtedy gDxf czyli xfg nie istnieje (zbiór YDg jest za mały i nie
obejmuje wszystkich wartości funkcji f).
Uwaga: Składanie funkcji nie jest przemienne: gffg
0xf
0xf
58
f) Równość funkcji 1f i
2f :
1 2 1 2
(identyczność dziedzin)
(równość wartości funkcji)
f
f fx D
D D D f x f x
g) Różnowartościowość funkcji
Graf: X Y
1x
2x
3x
4y
3y
2y
1y
przedstawia odwzorowanie, które nie jest funkcją
32
3
2
2: yyy
yxf
,
gdyż jednemu argumentowi 2x odpowiadają dwie różne wartości y (32 yy ).
Natomiast graf:
X Y 1x
2x
3x
2y
1y
przedstawia funkcję, mimo, że argumentom: 2x i
3x odpowiada ten sam 2y
(ale każdemu x jest przyporządkowany tylko jeden y). Jest to funkcja, która
różnym argumentom przyporządkowuje niekoniecznie różne wartości funkcji,
nie jest więc różnowartościowa.
Definicja: Funkcja YXf : jest różnowartościowa, gdy
2121, 21
xfxfxxXxx
różnym
argumentomoodpowiadają
różnewartościfunkcji
Symbol różnowartościowości: YXf 11:
np. Rxxxf ,2 jest funkcją różnowartościową, gdyż
1 2
1 2 1 1 2 2,
2 2x x R
x x f x x x f x
;
ale Rxxxg ,2 nie jest różnowartościowa, gdyż
2
22
221
3
3.
,
393
2
1
21
xfxfxx
x
xnp
xx
argumety
różne, ale
wartości funkcji w tych
argumentach są równe
59
Wniosek: Funkcje ściśle monotoniczne (f i f) są funkcjami
różnowartościowymi.
Interpretacja graficzna:
Wykres funkcji różnowartościowej ma następującą własność: każda prosta
pozioma ma z wykresem funkcji różnowartościowej co najwyżej jeden
punkt wspólny.
x
y
To nie jest wykres
funkcji różnowartościowej
x
y
To jest wykres
funkcji różnowartościowej Jeśli zaś istnieje choć jedna prosta pozioma mająca z wykresem funkcji więcej
niż jeden punkt wspólny, to funkcja nie jest różnowartościowa.
h) Pojęcie funkcji odwrotnej do danej
Niech odwzorowanie YXf na: będzie funkcją, np.
X Y 1x
2x
3x
2y
1y
f
3y
lub
X Y 1x
2x
3x
2y
1y
f
Rozpatrzmy odwzorowanie odwrotne, w którym elementom Yy
przyporządkowuje się elementy Xx :
X Y 1x
2x
3x
2y
1y
3y
oraz
X Y 1x
2x
3x
2y
1y
To odwzorowanie: XY
(odwrotne do f) jest funkcją, gdyż
funkcja YXf na: była
różnowartościowa.
To odwzorowanie: XY
(odwrotne do f) nie jest funkcją,
tylko odwzorowaniem, gdyż
funkcja YXf : nie była
różnowartościowa.
Zatem, aby odwzorowanie odwrotne: XY (gdy YXf na: jest funkcją)
było też funkcją, musi więc dana funkcja f być różnowartościowa. Wówczas
takie odwzorowanie odwrotne nazywamy funkcją odwrotną i oznaczamy: 1f
, czyli XYf :1 .
60
Spostrzeżenia:
Przy założeniu, że
YXf na
11:
:
- f
na
ff
na
f DDfDDf 111 ::
czyli ffffDDDD
1111
- yfxyfxfyxf 11 ::
zatem yfxxfy 1
- Wykresy: funkcji f oraz funkcji 1f są do siebie symetryczne względem
prostej xy na płaszczyźnie XOY:
x
y
0
xy
1f
f
i) Parzystość funkcji
Problem parzystości obejmuje dwa zagadnienia: funkcje parzyste i funkcje
nieparzyste.
Funkcja
Parzysta Nieparzysta
Warunek
definicyjny
f
fx D
x D
xfxf
(zmiana znaku argumentu nie zmienia
wartości funkcji)
xfxf
(zmiana znaku argumentu zmienia
znak funkcji)
Symetria
wykresu
np.
0
Y
X
Wykres symetryczny względem osi
OY (symetria osiowa)
np.
0
Y
X
Wykres symetryczny względem
0,0O (symetria środkowa)
Ogląd wykresu sugeruje, czy wykres jest symetryczny, czy nie jest.
61
Uwaga: Istnieją funkcje, które nie są ani parzyste, ani nieparzyste, np.
xxxf 2 , gdyż xfxxxxxf 22
i xfxxxf 2 .
j) Okresowość funkcji
Funkcja f jest okresowa, gdy
\ 0 (dodanie do argumentu okresu
nie zmienia wartości funkcji)(zwana okresem)f
ft R x D
t
x t D f x t f x
Jeśli określony fragment wykresu powtarza się tak, że cały wykres można
otrzymać przez powielenie tego fragmentu, to mamy do czynienie z funkcją
okresową, np.:
x
y
lub wykresy funkcji trygonometrycznych
W przeciwnym przypadku funkcja nie jest okresowa.
Jeśli istnieje najmniejszy spośród wszystkich dodatnich okresów funkcji f, to
nazywamy go okresem podstawowym (zasadniczym) funkcji f. Np. funkcja
tgxy jest okresowa, jej okres podstawowy t i tgxxtg dla
kx 2
:
1
1
0 2
2
1
2
1
2
3x
y
(powtarzający
się fragment
wykresu)
3.2.2. Interpretacja graficzna podstawowych własności funkcji
a) Dziedzina i zbiór wartości
Dziedzina fD jest to prostokątny rzut wykresu („prostopadły cień”) na oś OX,
zaś zbiór wartości WY - analogicznie – na oś OY.
62
b) Miejsca zerowe
Zgodnie z definicją: 0x jest miejscem zerowym, gdy 00 xf , zatem
graficznie odpowiada mu punkt 0;0x . Miejsc zerowych funkcji szukamy
w punktach przecięcia jej wykresu z osią OX.
c) Znaki funkcji Uwaga: W matematyce są 2 znaki:
+ – znak dodatni oraz
- – znak ujemny
Wyrażenie: „znak funkcji” oznacza: „znak wartości funkcji”.
Graficznym odpowiednikiem nierówności:
0xf jest fragment wykresu nad osią OX (w górnej półpłaszczyźnie),
0xf jest fragment wykresu pod osią OX (w dolnej półpłaszczyźnie).
d) Monotoniczność funkcji Symbol funkcji monotonicznej oznacza ułożenie jej wykresu:
rosnącej: - kierunek: od lewego dolnego do prawego górnego
malejącej: - kierunek: od lewego górnego do prawego dolnego
e) Ekstremum, wartość największa i najmniejsza Ekstremum lokalne (maksimum i minimum), to własność lokalna. Maksimum
oznacza lokalnie wartość największą, zaś minimum – lokalnie wartość
najmniejszą. Na wykresie ekstremum oznacza lokalnie najwyżej lub lokalnie
najniżej położony punkt – czyli
„wzniesienie”: (max)
lub „zagłębienie”: (min) .
Wartość największa funkcji to maksimum globalne w całej dziedzinie lub
w przedziale ba; . Graficznie wartości największej odpowiada najwyższy
punkt wykresu funkcji.
Wartość najmniejsza funkcji to minimum globalne w całej dziedzinie lub
w przedziale ba; . Graficznie wartości najmniejszej odpowiada najniższy
punkt wykresu funkcji.
Oto przykład wykresu funkcji, która ma ekstremum i nie ma ani wartości
największej, ani najmniejszej w RD f :
x
y
RRxfy :
1x2x
1xf
2xf
(max)
(min)
63
Funkcja ta osiąga w 1x maksimum (lokalne) równe 1max xfxf oraz
w 2x minimum (lokalne) równe 2min xfxf .
Uwaga: Funkcja ściśle monotoniczna w całej dziedzinie nie ma ekstremum.
Przykładowe zadanie 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
x
y
Rysunek przedstawia wykres funkcji xf . Na jego podstawie podaj:
a) dziedzinę i zbiór wartości funkcji,
b) miejsca zerowe funkcji,
c) argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartość równą -3,
d) przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości dodatnie,
e) przedziały, w których funkcja jest malejąca,
f) największą i najmniejszą wartość funkcji w przedziale 10;1 .
Komentarz Rozwiązanie
Odczytujemy z wykresu dziedzinę i zbiór
wartości funkcji. 10; 2 2;fD , 6;wY
Odczytujemy z wykresu miejsca zerowe
funkcji. Na rysunku są to punkty przecięcia
wykresu z osią OX.
7240 000 xxxxf
Odczytujemy z wykresu argumenty, dla
których funkcja przyjmuje wartość -3. 53 xxf
Odczytujemy z wykresu argumenty, dla
których funkcja przyjmuje wartości dodatnie.
Odpowiada im ta część wykresu, która jest
położona nad osią OX.
;72;22;40 xxf
Odczytujemy z wykresu przedziały, w których
funkcja jest malejąca. xf 5;28;10 xx
Odczytujemy z wykresu najmniejszą wartość
m oraz największą wartość M funkcji w
przedziale 10;1 . 5 2m f , 10 8M f
64
Przykładowe zadanie 2
Wykaż, że funkcja:
a) 43 xxf jest różnowartościowa,
b) 4
42
x
xxf jest funkcją parzystą.
Komentarz Rozwiązanie
Wykażemy, że dla dowolnych dwóch
różnych argumentów 1x i 2x funkcja
xf przyjmuje różne wartości.
a)
1 2
1 2 1 2 1 2
1 1
2 2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2,
3 4
Niech , i 0
3 4
3 4
3 4 3 4
3 4 3 4 3 0 dla 0
f
f
f
x x D
f x x
D
x x D x x x x
f x x
f x x
f x f x x x
x x x x x x
x x f x f x
tzn. że xf jest funkcją różnowartościową.
Wykażemy, że dla dowolnych
argumentów x i –x funkcja xf
przyjmuje tę samą wartość.
b)
2
\ 2;2
2 2 22
4
4
\ 2;2
zatem
4 4 4
44 1 4
f
f
f fx R
fx D
xf x
x
D
x D x D
x x xf x f x
xx x
x D f x f x
tzn. że xf jest funkcją parzystą.
3.2.3. Odczytywanie własności funkcji z jej wykresu
Największą rolę w analizie określonego fragmentu rzeczywistości
odgrywają wykresy prezentujące własności i dynamikę wybranych zjawisk.
Analizując wykres (model) można wyciągać różne wnioski o przebiegu
przedstawianego zjawiska.
65
Oto podstawowe własności, które odczytujemy analizując wykres
określonej zależności – funkcji.
Dany jest wykres funkcji xfy :
1 2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5
-1
-2
-3
-4
1
2
3
x
y
( pionowe strzałki
oznaczają prostokątny rzut
wykresu na oś OX)
( poziome strzałki
oznaczają prostokątny rzut
wykresu na oś OY)
Na podstawie w/w wykresu będą odczytywane niżej wymienione własności
funkcji.
a) Dziedzina i zbiór wartości
Na rysunku 8,5fD , 3,4WY .
b) Miejsca zerowe
Na rysunku punkty przecięcia wykresu z osią OX, to: 0,1 , 0,21 , 0;7,3 .
Zatem są trzy miejsca zerowe: 11 x , 21
2 x , 7,33 x .
c) Parzystość i nieparzystość Przykładowy rysunek przedstawia funkcję, która nie jest parzysta i nie jest
nieparzysta, ponieważ jej wykres nie jest ani osiowo symetryczny ani środkowo
symetryczny.
d) Okresowość Rysunek przedstawia funkcję, która nie jest okresowa, gdyż jej wykresu nie da
się otrzymać przez powielenie ustalonego jego fragmentu.
Uwaga dotycząca poniższych modułów: e), f) h): Odpowiedzi na pytanie:
gdzie? (np. gdzie funkcja rośnie, gdzie osiąga wartość najmniejszą) – szukamy
na osi poziomej (OX) – czyli dla jakich x. Odpowiedzi zaś na pytanie: ile? (np.
ile wynosi max funkcji) – szukamy na osi pionowej (OY) – czyli chodzi
o wartość funkcji.
66
e) Znaki funkcji Znaki funkcji, której wykres analizujemy można zilustrować następująco:
1 2 3 8-1-2-3-4-5 x0 5 6 7
(znak dodatni)
(znak ujemny)
(miejsca zerowe)
(wykres nad osią OX)
(wykres pod osią OX)
0xf
0xf
01 xf 02 xf 03 xf
1x 2x 3x
półpłaszczyzna
górna
dolna
półpłaszczyzna
43,7
A więc:
0xf dla 7,3;1;521x - funkcja jest znaku dodatniego,
0xf dla 8;7,3;121 x - funkcja jest znaku ujemnego.
f) Monotoniczność Monotoniczność tej funkcji można zilustrować następująco:
1 2 3 4 8-1-2-3-4-5 x5 6 70
f f f f f f const. f const. f
Funkcja jest monotoniczna w niektórych przedziałach (jest przedziałami
monotoniczna):
- funkcja rośnie (f) w trzech następujących przedziałach: dla 4;5 x ,
3;0x , 8;7x ,
- funkcja maleje (f) w trzech następujących przedziałach: dla 0;3x ,
4;3x , 7;5x .
g) Różnowartościowość Rysunek wykresu przedstawia wykres funkcji, która nie jest różnowartościowa
(istnieje co najmniej jedna pozioma prosta mająca z wykresem więcej niż jeden
punkt wspólny)
h) Ekstremum, wartość największa i najmniejsza funkcji
Rysunek przedstawia wykres funkcji, która np. dla 0x osiąga minimum
lokalne równe 20 f , nie jest to jednak wartość najmniejsza, gdyż istnieje
od niej wartość mniejsza niż -2, np. dla 7x funkcja osiąga wartość jeszcze
mniejszą, bo równą 47 f .
Na rysunku mamy: dla 3x , 33 f i to jest największa wartość funkcji
(większej nie ma), zaś: dla 7x , 47 f i to jest najmniejsza wartość
funkcji (mniejszej nie ma).
Zatem wartości największej na wykresie odpowiada punkt 3;3 (-najwyżej
położony), zaś wartości najmniejszej punkt 4;7 (-najniżej położony).
67
Przykładowe zadanie Na wykresie zostały przedstawione ceny akcji w miesiącu czerwcu
przedsiębiorstw A i B. Na jego podstawie podaj:
a) akcje którego z przedsiębiorstw były droższe w dniu 24 czerwca, ile
wynosiła różnica ich cen;
b) o ile wzrosła cena akcji przedsiębiorstwa A w okresie od 5 czerwca do 15
czerwca;
c) W dniu 1 czerwca panowie Nowak i Kowalski kupili każdy po 100 akcji
przedsiębiorstwa A. Pan Nowak 10 czerwca sprzedał akcje przedsiębiorstwa A
i za otrzymaną kwotę kupił akcje przedsiębiorstwa B. W dniu 30 czerwca obaj
panowie sprzedali swoje akcje. Czy przeprowadzona w dniu 10 czerwca
transakcja przez pana Nowaka była dla niego korzystna. Odpowiedź uzasadnij
wykonując obliczenia. zł
czerwiec1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
B
A
A
B
Komentarz Rozwiązanie
Odczytujemy z wykresu ceny akcji obu
przedsiębiorstw w dniu 24 czerwca i obliczamy ich
różnicę.
a)
A: 37zł
B: 33zł
37zł > 33zł
37zł – 33zł = 4zł
Odczytujemy z wykresu cenę akcji przedsiębiorstwa
A w dniach 5 i 15 czerwca i obliczamy jej wzrost.
b)
5.06: 35zł
15.06: 40zł
40zł – 35zł = 5zł
W dniu 10 czerwca cena akcji przedsiębiorstwa A
wynosi 36zł, a cena akcji przedsiębiorstwa B
wynosiła 30zł. Obliczymy, jaką kwotę uzyskał pan
Nowak ze sprzedaży 100 akcji przedsiębiorstwa A
oraz ile kupił akcji przedsiębiorstwa B.
c)
100 36zł = 3600zł
3600zł 30 = 120
Obliczymy jaką kwotę uzyskali panowie ze sprzedaży
akcji 30 czerwca. W tym dniu cena akcji
przedsiębiorstwa A wynosiła 34zł, zaś
przedsiębiorstwa B 32zł.
100 34zł = 3400zł
120 32zł = 3840zł
3840zł > 3400zł
3840zł – 3400zł = 440zł
Formułujemy odpowiedź. Odp.
a) 24 czerwca akcje przedsiębiorstwa A były
droższe o 4 zł.
b) W okresie od 5 do 15 czerwca cena akcji
przedsiębiorstwa A wzrosła o 5zł.
c) Transakcja dokonana przez pana Nowaka była
korzystna. Zyskał on 440zł.
68
3.3. Przekształcenia geometryczne wykresu funkcji
Dany jest wykres funkcji:
x
y xfy
1 2 3 4-1-2-3 0
-1
1
2
3.3.1. Przesunięcie wykresu funkcji wzdłuż osi OX (równolegle do osi OX)
Przedstawiony wykres zostanie przesunięty w prawo oraz w lewo, czyli wzdłuż
osi OX.
Niech p oznacza liczbę jednostek, o którą dokonujemy przesunięcia.
x
y xfy
1 2 3 4-1-2-3 0
-1
1
2
-4-5
(wzór funkcji przedprzesunięciem jej wykresu)
pxfy (wzór funkcji po przesunięciuwykresu y=f(x) w prawoo p jednostek)
pxfy (wzór funkcji po przesunięciuwykresu y=f(x) w lewoo p jednostek)
(przesunięcie w prawo,np. o p =1,5)
(przesunięcie w lewo,np. o p =3)
Przesunięcie w prawo jest to przesunięcie o wektor 0,1 pp .
Przesunięcie w lewo jest to przesunięcie o wektor 0,2 pp .
Wzór funkcji po przesunięciu
w lewo o wektor 0,p
Wzór funkcji przed
przesunięciem jej wykresu
Wzór funkcji po przesunięciu
w prawo o wektor 0,p
pxfy xfy pxfy
3.3.2. Przesunięcie wykresu funkcji wzdłuż osi OY (równolegle do osi OY)
Przedstawiony wykres zostanie przesunięty górę oraz w dół, czyli wzdłuż osi
OY.
Niech q oznacza liczbę jednostek, o którą dokonujemy przesunięcia.
69
x
y
xfy
1 2 3 4-1-2-3 0
-1
1
2
(wzór funkcji przedprzesunięciem jej wykresu)
qxfy (wzór funkcji po przesunięciuwykresu y=f(x) w góręo q jednostek)
qxfy (wzór funkcji po przesunięciuwykresu y=f(x) w dóło q jednostek)
(przesunięcie w górę,np. o q =2)
(przesunięcie w dół,np. o q =3)
3
4
5
-2
-3
-4
-5
Przesunięcie w górę jest to przesunięcie o wektor qq ,01 .
Przesunięcie w dół jest to przesunięcie w wektor qq ,02.
Wzór funkcji po przesunięciu w górę o wektor q,0 qxfy
Wzór funkcji przed przesunięciem jej wykresu xfy
Wzór funkcji po przesunięciu w dół o wektor q,0 qxfy
3.3.3. Przesunięcie wykresu funkcji wzdłuż obu osi układu współrzędnych
Dany wykres funkcji xfy można przesuwać wzdłuż obu osi: OX i OY
o wektor qp, . Zakładając, że p i q są dodatnimi liczbami, możemy
rozpatrywać cztery przypadki, które ilustruje rysunek:
x
y
(w lewo i w górę
o wektor
qp, )(w prawo i w górę
o wektor qp, )
(w lewo i w dół
o wektor -qp , )
(w prawo i w dół
o wektor -qp, )
xfy
qpxfy
qpxfy
qpxfy
qpxfy
70
Podsumowanie:
qpxfy
(wzór funkcji po
przesunięciu w lewo
i w górę:
o wektor qp, )
qxfy
(wzór funkcji po
przesunięciu górę:
o wektor q,0 )
qpxfy
(wzór funkcji po
przesunięciu w prawo
i w górę:
o wektor qp, )
(w lewo i w górę) qp,
q,0
(w górę) qp,
(w prawo i w górę)
pxfy
(wzór funkcji po
przesunięciu w lewo:
o wektor 0,p )
0,p
(w lewo)
xfy
(wzór funkcji przed
przesunięciem jej
wykresu)
0,p
(w
prawo)
pxfy
(wzór funkcji po
przesunięciu w prawo:
o wektor 0,p )
(w lewo i w dół) qp ,
(w dół)
q,0 qp ,
(w prawo i w dół)
qpxfy
(wzór funkcji po
przesunięciu w lewo
i w dół:
o wektor qp , )
qxfy
(wzór funkcji po
przesunięciu w dół:
o wektor q,0 )
qpxfy
(wzór funkcji po
przesunięciu w prawo
i w dół:
o wektor qp , )
Przykładowe zadanie
Na rysunku zostały przedstawione wykresy funkcji xf i xg . Wykres jednej
funkcji otrzymujemy przesuwając wzdłuż osi układu współrzędnych wykres
drugiej funkcji. Zapisz te zależności przy pomocy wzorów obu funkcji.
a)
x
y
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
-1-2-3-4-5
xfy
xgy
b)
x
y
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
-1-2-3-4-5
xfy
xgy
71
Komentarz Rozwiązanie
Wykres xgy powstaje z przesunięcia wykresu
xfy o 5 jednostek o dół wzdłuż osi OY.
Wektorem przesunięcia jest 5;01 v . Wykres
xfy powstaje z przesunięcia wykresu
xgy o 5 jednostek do góry wzdłuż osi OY.
Wektorem przesunięcia jest 5;02 v .
a)
x
y
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
-1-2-3-4-5
xfy
xgy
1v
2v
5
5
xgxf
xfxg
Wykres xgy powstaje przesunięcia wykresu
xfy o 4 jednostki w prawo wzdłuż osi OX.
Wektorem przesunięcia jest 0;41 v . Wykres
xfy powstaje z przesunięcia wykresu
xgy o 4 jednostki w lewo wzdłuż osi OX.
Wektorem przesunięcia jest 0;42 v .
b)
x
y
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
-1-2-3-4-5
xfy xgy
2v
1v
4
4
xgxf
xfxg
3.3.4. Przekształcenie wykresu funkcji przez symetrię względem osi układu
współrzędnych
a) wykres funkcji y f x jest obrazem wykresu funkcji xfy
w symetrii względem osi OY, np.:
x
y xfy
1 2 3 4-1-2-3 0
-1
1
2 xfy
72
Argumenty funkcji xfy i xfy różnią się znakiem i punkty, których
odcięte różnią się znakiem są symetryczne względem osi OY.
b) wykres funkcji y f x jest obrazem wykresu funkcji xfy
w symetrii względem osi OX, np.:
x
y xfy
1 2 3 4-1-2-3 0
-1
1
2 xfy
Wartości funkcji xfy i xfy różnią się znakiem i punkty, których
rzędne różnią się znakiem są symetryczne względem osi OX.
c) wykres funkcji y f x jest obrazem wykresu funkcji xfy
w symetrii względem początku układu współrzędnych 0,0O (czyli
w złożeniu symetrii względem obu osi OX i OY), np.:
x
y xfy
1 2 3 4-1-2-3 0
-1
1
2
xfy
We wzorach xfy i xfy zarówno argumenty, jak i wartości funkcji
różnią się znakami i punkty, których zarówno odcięte, jak i rzędne różnią się
znakami są symetryczne względem początku układu współrzędnych.
3.3.5. Przekształcenie wykresu funkcji przez zmianę skali
Niech liczba \ 1k .
Zmiana skali w stosunku k może dotyczyć: osi OX, osi OY lub osi OX
i OY.
a) Wykres funkcji y f k x jest obrazem wykresu funkcji xfy
w powinowactwie prostokątnym o skali k1 względem osi OX, np.:
73
x
y xfy
1 2 3 4-1-2-3 0
-1
1
2
xfy 2 xfy21
Uwaga: Nie zmieniają się rzuty prostokątne wszystkich trzech wykresów na oś
OY.
Wykres funkcji xfy ulega k-krotnym „ściśnięciu z lewa i z prawa” - jeśli
1k lub analogicznemu rozciągnięciu w lewi i prawo – jeśli 10 k .
b) wykres funkcji y k f x jest obrazem wykresu funkcji xfy
w powinowactwie prostokątnym o skali k względem osi OY, np.:
x
y
xfy
1 2 3 4-1-2-3 0
-1
1
2
3
4
xfy 2
xfy21
Uwaga: Nie zmieniają się rzuty prostokątne wszystkich trzech wykresów na oś
OX.
Jeśli 1k wykres funkcji xfy ulega k-krotnemu „rozciągnięciu w górę
i w dół” lub „spłaszczeniu z góry i z dołu” – jeśli 10 k .
c) wykres funkcji 2 1y k f k x jest obrazem wykresu funkcji xfy
w obu przekształceniach zarazem (w złożeniu): w powinowactwie
prostokątnym o skali 1
1k względem osi OX i w powinowactwie prostokątnym
o skali 2k względem osi OY ( 1\, 21 Rkk ), np.:
74
x
y
xfy
1 2 3 4-1-2-3 0
-1
1
2
3
4
xfy 22
Wykres funkcji xfy ulega 1k -krotnemu ściśnięciu (lub rozciągnięciu)
z prawa i z lewa oraz 2k -krotnemu rozciągnięciu (lub spłaszczeniu) w górę
i w dół.
3.3.6. Wykresy funkcji z wartością bezwzględną
Rozpatrzmy wykresy funkcji, we wzorze których pod wartością
bezwzględną występuje argument: xfy lub wartość funkcji: xfy lub
zarówno argument jak i wartość funkcji: xfy .
a) zgodnie z definicją wartości bezwzględnej:
; dla 0
; dla 0
f x xy f x
f x x
Wykres funkcji y f x jest sumą wykresów funkcji y f x dla 0x
oraz y f x dla 0x .
x
y xfy
1 2 3 4-1-2-3 0
-1
1
xfxfy
xfxfy
dla 0x
xfxf , czyli
w prawej półpłaszczyźnie
oba wykresy są identyczne
dla 0x
xfxf , czyli
w lewej półpłaszczyźnie
ma miejsce symetria wykresu
względem osi OY
2
75
b) zgodnie z definicją wartości bezwzględnej:
; dla tych , dla których 0
; dla tych , dla których 0
f x x f xy f x
f x x f x
Wykres funkcji y f x jest sumą wykresów funkcji y f x dla
0xf oraz y f x dla 0xf .
x
y xfy
1 4-1-2-3 0
-1
1
2 xfy
dla tych x, dla których
funkcja xfy przyjmuje wartości
dodatnie, mamy xfxfy ,
czyli wykresy są identyczne
w górnej p ółpłaszczyźnie
dla tych x, dla których
funkcja xfy przyjmuje wartości
ujemne , mamy xfxfy ,
a więc wykres z dolnej półpłaszczyzny
staje się symetryczny względem osi OX
i znajduje się też w górnej półpłaszczyźnie
2 3
Uwaga: Wykres funkcji xfy nie znajdzie się pod osią OX, gdyż
0fx D
f x
.
c) zgodnie z definicją wartości bezwzględnej:
; dla 0 0
; dla 0 0
; dla 0 0
; dla 0 0
f x x f xf x
f x x f xy f x
f x x f xf x
f x x f x
.
Wykres funkcji xfy jest sumą wykresów xfy i xfy , dla tych
x, dla których funkcja xfy przyjmuje wartości dodatnie, natomiast dla tych
x, dla których funkcja xfy przyjmuje wartości ujemne – jest sumą
wykresów xfy i xfy .
x
y
xfy
1 2 3 4-1-2 0
-1
1
2
-3
xfy xfxf
xfxf
xfxf xfxf
xfxf
dla 0x :
xfxf
dla 0x :
xfxf
76
Przykładowe zadanie Narysuj wykresy funkcji:
xxg sin dla 2;2x ,
xxh cos dla 4;0x ,
a następnie sporządź wykresy funkcji: xg , xg , xg 2 , xh , xh ,
xh2 . Zapisz wzory otrzymanych funkcji.
Komentarz Rozwiązanie
Rysujemy wykres funkcji xxg sin
dla 2;2x .
1
10
2 x
y
2 23
23
21
21
xxg sin dla 2;2x
Sporządzamy wykres funkcji xg .
1
10
2 x
y
2 23
23
21
21
xy sin
xxg sin
Sporządzamy wykres funkcji xg .
1
10
2 x
y
2 23
23
21
21
xy sin
xxg sin
Sporządzamy wykres funkcji xg 2 .
1
10
2 x
y
2 23
23
21
21
xy 2sin
xxg 2sin2
77
Rysujemy wykres funkcji xxh cos
dla 4;0x . 1
10
2 x
y
21
23
25
27 3 4
xxh cos dla 4;0x
Sporządzamy wykres funkcji xh .
1
10
2 x
y
21
23
25
27 3 4
xy cos
xxh cos
Sporządzamy wykres funkcji xh .
1
10
2 x
y
21
23
25
27 3 4
xy cos
xxh cos
Sporządzamy wykres funkcji xh2 .
1
0 2 x
y
21
23
25
27 3 4
2
-2
-1
xy cos2
xxh cos22
78
79
4. Wielomiany i funkcje wymierne
4.1. Funkcja liniowa
4.1.1. Definicja, wykres i własności funkcji liniowej
Funkcja liniowa, to funkcja postaci:
: ; , ustalonef x y ax b a b
fD , 1
fD , a – współczynnik kierunkowy, b – wyraz wolny.
Wykresem funkcji liniowej jest prosta nachylona do półosi OX pod kątem ,
takim, że tga i przecinająca oś OY w punkcie b,0 :
b,0
X
Y
0
baxy
Własności funkcji liniowej:
a) f: 0a
b,0
X
Y
0
baxy
- ostry
f stała: 0a
b,0
X
Y
0
by
0
f: 0a
b,0
X
Y
0
baxy
- rozwarty b) dla 0a miejscem zerowym jest
abx 0
:
X
Y
0
baxy
0a
ab
X
Y
0
baxy
0a
ab
c) dla
0
0
b
a funkcja liniowa ma nieskończenie wiele miejsc zerowych:
80
X
Y
0
y 0
d) dla
0
0
b
a - brak miejsc zerowych:
b,0
X
Y
0
by
0b
b,0
X
Y
0
by
0b
Uwaga: Na płaszczyźnie z układem współrzędnych XOY równanie: baxy
przedstawia prostą. Natomiast każdej z nierówności:
baxy
lub
baxy
odpowiada półpłaszczyzna „pod” lub „nad” prostą o równaniu
baxy :
X
Y
baxy
baxy
X
Y
baxy
baxy
zaznaczone półpłaszczyzny wraz z prostą, gdy nierówność jest słaba ( , )
X
Y
baxy
baxy
X
Y
baxy baxy
zaznaczone półpłaszczyzny bez prostej, gdy nierówność jest mocna ( , )
81
4.1.2. Równania i nierówności liniowe (I-go stopnia 0a )
Równanie liniowe Nierówności liniowe
defi
nic
ja
0bax
0
bax
0
bax
tok
ro
zw
iązy
wa
nia
bax
bax
bax
dla
0a : dla 0a : dla 0a : dla 0a : dla 0a : dla 0a :
b0 abx
abx
abx
abx
- jedno
rozwią-
zanie (pierwia-
stek)
dla 0b
PL
- nieskoń-
czenie wiele
rozwiązań
dla
0b
PL
- brak
rozwią-zań
ab
abx ;
lub:
dla abx
ab
abx ;
ab
;abx
lub:
dla abx
ab
;abx
ab
;abx
lub:
dla abx
ab
;abx
ab
abx ;
lub:
dla abx
ab
abx ;
Uwaga: Tok rozwiązywania równania jest analogiczny, jak tok rozwiązywania
nierówności. Rozwiązywanie równania kończy się wraz z obliczeniem
pierwiastka (pierwiastków) lub stwierdzeniem braku rozwiązań. Natomiast
rozwiązywanie nierówności zakończone jest ilustracją na osi liczbowej
i odczytaniem zeń przedziałów rozwiązań. Spostrzeżenie to odnosi się do
wszystkich równań i nierówności – nie tylko liniowych.
4.1.3. Równania liniowe z parametrem
Oznaczenia: x – niewiadoma
k – parametr (ustalona liczba rzeczywista zadana nie
liczbowo, tylko literowo)
ka – współczynnik a zależny od parametru k
kb – wyraz wolny b zależny od parametru k
Poniższy schemat przedstawia dyskusję istnienia i liczby rozwiązań równania
liniowego z parametrem.
abx
82
;0 kbxka Rx (dziedzina równania)
kbxka
dla
kb
ka 0
dowolne
dla
kb
ka 0
dowolne
ka
kbx
(pierwiastek równania)
ISTNIEJE JEDNO ROZWIĄZANIE
kbx 0
dla
0
0
kb
kadla
0
0
kb
ka
00 x kbx 0(równanie tożssamościowe, bo L=P) (równanie sprzeczne, bo L
RxISTNIEIE NISKOŃCZENIE WIELE ROZWIĄZAŃ
BRAK ROZWIĄZAŃ
P)
np.
(jedno rozwiązanie)
00 x
(tożsamość, bo L=P) (sprzeczność, bo LP)
0112 kxk
kxk 112
dla 11 kk dla 11 kk
1
1
kx
Dla 11 kk równanie ma jedno
rozwiązanie
(postaci: 1
1
kx )
dla 1k dla 1k
00
Dla 1k równanie ma
nieskończenie wiele
rozwiązań Rx
Dla 1k równanie nie ma
rozwiązania
20 x 20
4.1.4. Układy równań liniowych (I-go stopnia 0 0a b ) z dwiema
niewiadomymi
a) Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi: x i y ma postać:
222
111
cybxa
cybxa (każde z równań jest równaniem liniowym z dwiema
niewiadomymi)
b) Rozwiązać układ to obliczyć niewiadome x i y.
c) Rozwiązaniem układu jest para liczb yx, spełniających oba równania
równocześnie.
83
d) Metody rozwiązywania układu równań liniowych, to metoda graficzna
(rysunkowa) oraz kilka metod algebraicznych (rachunkowych).
e) Graficzna metoda rozwiązywania układów równań liniowych polega na
graficznym zilustrowaniu każdego równania na płaszczyźnie z układem
współrzędnych:
0;
0;
2
1
222
111
2
2
2
2
1
1
1
1
bxy
bxy
cybxa
cybxa
b
c
b
a
b
c
b
a
.
np.
1
1
b
c
2
2
b
c
0x
0y
00 , yxP
1
1
1
1
b
c
b
axy
2
2
2
2
b
c
b
axy
Gdy równania przedstawiają proste przecinające się w punkcie 00 , yxP
rozwiązaniem układu (w tym przykładzie) jest para liczb 00 , yx , czyli
współrzędne punktu przecięcia się prostych o równaniach: 1
1
1
1
b
c
b
axy
i 2
2
2
2
b
c
b
axy (dla 21 0 bb ).
Uwaga: Dwie proste na płaszczyźnie mogą: albo przecinać się w jednym
punkcie, albo być równoległe (rozłączne lub pokrywające się).
Metoda graficzna jest dość szybka (wystarczy narysować 2 proste
i zinterpretować ich wzajemne położenie na płaszczyźnie), lecz dokładne
odczytanie współrzędnych punktu wspólnego może być trudne lub obarczone
błędem, stąd warto niekiedy ponadto stosować metody algebraiczne.
f) Algebraiczne metody rozwiązywania układów równań liniowych polegają
na rachunkowym obliczeniu liczb x i y spełniających układ równań.
Poniżej są omówione trzy metody algebraiczne: metoda podstawiania, metoda
przeciwnych współczynników oraz metoda wyznaczników.
g) Metoda podstawiania polega na podstawianiu, obliczonej z któregoś
równania, którejś niewiadomej (x lub y) do innego równania – otrzymując zeń
równanie z jedną niewiadomą. Po obliczeniu tej niewiadomej (znów
podstawiając) obliczamy drugą niewiadomą, np.
84
2121
1221
21211
12211
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
222222
111
aabb
cacb
aabbb
cacba
b
c
b
a
b
c
b
a
b
c
y
x
cybya
yx
cybxa
cybxa przy stosownych
założeniach.
h) Metoda przeciwnych współczynników (inaczej – dodawania stronami)
polega na uzyskaniu przeciwnych współczynników przy tej samej niewiadomej
w obu równaniach i następnie na dodaniu obu równań stronami. Z czego
obliczmy kolejne niewiadome: x oraz y, np.
1 1 1 1 2 1 2 1 2
2 2 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
dodajemy
stronami
a x b y c a a x b a y c a
a x b y c a a x a b y a c
b a a b y c a a c
stąd
2121
2121
21211
21211
1
1
baab
caac
baaba
caacb
a
c
y
x, przy stosownych założeniach.
i) Metoda wyznaczników polega na obliczeniu trzech wyznaczników
i zastosowaniu ich do wzorów na x i y,
(Wyznacznik (II stopnia): DC
BA to liczba obliczona w następujący sposób:
BCADDC
BA df
.)
np.
22
11
22
11
22
11
22
11
222
111
ba
ba
ca
ca
W
Wy
ba
ba
bc
bc
W
Wx
cybxa
cybxa
y
x
, przy stosownych założeniach
Uwaga: W g), h), i) potrzebne są stosowne założenia – jakie, i co ma miejsce
w przypadku ich braku – jest omówione w kolejnym module.
85
4.1.5. Układy równań liniowych z parametrem
Oznaczenia: x, y – niewiadome
k – parametr
kf i, kgi
, khi – funkcje parametru k w roli
współczynników (odpowiednio ia ,
ib ,
ic ) układu ( 2,1i )
khykgxkf
khykgxkf
222
111
Mogą zaistnieć 3 następujące przypadki w zależności od wartości
wyznaczników kgkf
kgkfW
22
11 ,
kgkh
kgkhWx
22
11 ,
khkf
khkfWy
22
11 :
I II III
Układ oznaczony
(układ równań
niezależnych),
gdy
0W
Wówczas istnieje jedno
rozwiązanie
W
W
W
W
y
x
y
x
0
0
Układ nieoznaczony
(układ równań zależnych),
gdy
0
0
0
0
yxW
W
W
W
Wówczas istnieje
nieskończenie wiele
rozwiązań
Układ sprzeczny
(układ równań sprzecznych),
gdy
yx WW
W
0
0
Wówczas brak rozwiązań
Układ ma rozwiązanie
Układ nie ma rozwiązań
Każde z równań przedstawia pewną prostą na płaszczyźnie:
Graficznie proste przecinają
się
00 , yx
Graficznie proste pokrywają
się
Graficznie proste są rozłączne
Proste równoległe
Powyższe przypadki można ująć w następujący schemat:
86
Rozwiązanie istnieje
0W
0W
00 yxWW
Układ oznaczony
(możliwe dwa przypadki) W
W
W
W yx yx 00 ;
00 , yx
Układ nieoznaczony Układ sprzeczny
yx
WW 0
Proste są równoległe np.
11
131
ykx
yxk
411
312
k
k
kW
211
31
k
kWx , 2
11
11
k
kWy
Dla 2k ( 0W ) układ ma 1 rozwiązanie:
21
21
k
k
y
x – jest oznaczony.
Dla 2k ( yx WWW 0 ) układ ma nieskończenie wiele rozwiązań – jest
nieoznaczony.
Dla 2k (tylko 0W ) układ nie ma rozwiązań – jest sprzeczny.
4.1.6. Układy równań liniowych z wartością bezwzględną
a) Układ
byx
ayx jest równoważny alternatywie czterech układów równań
w poszczególnych dziedzinach – częściach płaszczyzny XOY:
87
dla
byx
ayx
y
x:
0
0 dla
byx
ayx
y
x:
0
0
dla
byx
ayx
y
x:
0
0 dla
byx
ayx
y
x:
0
0
Rozwiązaniem jest suma rozwiązań w poszczególnych dziedzinach.
b) Układ 0
0;
b
a
dbyax
cbyax jest równoważny alternatywie czterech
układów równań w poszczególnych dziedzinach – częściach płaszczyzny XOY:
a
b
dla
badyx
bacyx
by
ax: dla
badyx
bacyx
by
ax:
dla
badyx
bacyx
by
ax: dla
badyx
bacyx
by
ax:
Rozwiązaniem jest suma rozwiązań poszczególnych układów równań
w poszczególnych dziedzinach.
4.1.7. Układy trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi
a) Postać układu trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi:
3333
2222
1111
dzcybxa
dzcybxa
dzcybxa
.
b) Rozwiązać układ to obliczyć niewiadome liczby x , y , z .
88
c) Rozwiązaniem układu jest trójka liczba , ,x y z spełniająca trzy równania
równocześnie.
d) pojęcie wyznacznika III stopnia:
+ + +-- -
df
HGIHG
EDFED
BACBA
IHG
FED
CBA
BDIAFHCEGCDHBFGAEI
np.
3010040
012
130
021
e) Metoda wyznacznikowa rozwiązywania układu trzech równań liniowych
z trzema niewiadomymi
3333
2222
1111
dzcybxa
dzcybxa
dzcybxa
,
333
222
111
333
222
111
333
222
111
333
222
111
;;;
dba
dba
dba
W
cda
cda
cda
W
cbd
cbd
cbd
W
cba
cba
cba
W zyx
Rozwiązaniem układu jest trójka liczb spełniających ten układ:
W
W
W
W
W
W zyx zyx ;; przy stosowanych założeniach.
f) Metoda podstawiania i metoda przeciwnych współczynników dla trzech
równań liniowych z trzema niewiadomymi są analogiczne jak dla układu
dwóch równań z dwiema niewiadomymi.
Uwaga 1: Podobnie jak dla układu dwóch równań o dwóch niewiadomych,
można sformułować kryteria rozpoznawania, kiedy układ ma dokładnie jedno
rozwiązanie (np. 0W ), kiedy ma nieskończenie wiele rozwiązań, a kiedy nie
ma rozwiązań (np. 0 0 0 0x y zW W W W ).
Uwaga 2: Analogicznie, jak układ dwóch równań liniowych o dwóch
niewiadomych przedstawia graficznie wzajemnie położenie dwóch prostych na
płaszczyźnie, tak interpretacją graficzna układu trzech równań liniowych
o trzech niewiadomych jest wzajemne położenie trzech płaszczyzn
w przestrzeni (przy stosowanych założeniach).
89
4.1.8. Układy nierówności liniowych
a) Układ nierówności liniowych z jedną niewiadomą to koniunkcja dwóch
lub trzech nierówności liniowych z jedną niewiadomą x typu: 0bax
000 .
Rozwiązujemy każdą nierówność względem niewiadomej, ilustrujemy na
wspólnej osi otrzymane rozwiązania oraz wybieramy część wspólną
zaznaczonych przedziałów.
np.
2
2
1
1
0
0
22
11
a
b
a
b
x
x
bxa
bxa, dla 00 21 aa
2
2
a
b
1
1
a
b
dla 1
1
2
2
a
b
a
b
1
1
2
2 ;a
b
a
bx
b) Układ nierówności liniowych z dwiema niewiadomymi to koniunkcja
nierówności, z która każda jest postaci: 0 cbyax 000 .
- Położenie na płaszczyźnie punktów, których współrzędne spełniają
określony warunek
Równanie liniowe z dwiema niewiadomymi: 0 cbyax przedstawia na
płaszczyźnie prostą o równaniu:
.0
lub
.0
npbdlax
npbdlaxy
ac
bc
ba
x
y
0
bc
x
y
0
ac
Każda z nierówności liniowych z dwiema niewiadomymi: 0 cbyax
000 przedstawia na płaszczyźnie półpłaszczyznę
wyznaczoną przez prostą 0 cbyax , lub albo całą płaszczyznę.
90
(Punkt yx, prostej
0 cbyax )
(Liczby yx, spełniają równanie
0 cbyax )
(Punkt yx, półpłaszczyzny
0
cbyax
nad (pod) prostą 0 cbyax )
(Liczby yx, spełniają nierówność
0
cbyax )
np.
0 cbyax
0 cbyax
0 cbyax
x
y
0
Uwaga: W przypadku nierówności słabej chodzi o sumę półpłaszczyzny
i prostej, czyli o półpłaszczyznę z prostą, zaś w przypadku nierówności ostrej –
o półpłaszczyznę bez prostej.
- Rozwiązywanie układów nierówności liniowych z dwiema niewiadomymi
– odbywa się to tylko metodą graficzną.
Należy znaleźć obrazy graficzne, czyli półpłaszczyzny odpowiadające każdej
z nierówności układu. Rozwiązaniem układu nierówności liniowych z dwiema
niewiadomymi – jako koniunkcji – jest część wspólna obrazów graficznych
każdej z nierówności układu, czyli iloczyn teoriomnogościowy ( )
półpłaszczyzn.
Np.
2
2
2
2
1
1
1
1
0
0
222
111
b
c
b
a
b
c
b
a
xy
xy
cybxa
cybxa dla
1
2
0
0
a
a
półpłaszczyzna
1 nad prostą 1
1
1
1
b
c
b
axy bez tej prostej
półpłaszczyzna 2
pod prostą 2
2
2
2
b
c
b
axy wraz z tą prostą
91
x
y
0
1
2
21
0111 cybxa
0222 cybxa
Rozwiązaniem w/w układu jest część wspólna półpłaszczyzna 1 i 2 :
21 .
Przykładowe zadanie 1
Napisz wzory funkcji liniowych xf , xg i xh takich, że:
1° do wykresu funkcji xf należą punkty 4;2A i 2;7 B ,
2° wykres funkcji xg jest równoległy do wykresu funkcji xf i do niego
należy punkt 4;5C ,
3° wykres funkcji xh jest nachylony do osi OX pod kątem 30° i funkcje xh
i xg mają wspólne miejsce zerowe.
Komentarz Rozwiązanie
Wyznaczymy współczynniki we
wzorze funkcji xf . Podstawiając
do wzoru współrzędne punktów A i B
utworzymy układ równań z dwoma
niewiadomymi, który następnie
rozwiążemy.
11 bxaxf
272;7
424;2
fxfyB
fxfyA
38
1
132
32
1
1
11
11
42
69
27
42
b
b
a
a
ba
ba
38
32 xxf
Wyznaczymy współczynniki we
wzorze funkcji xg . Funkcje, które
mają wykresy równoległe mają ten
sam współczynnik kierunkowy.
22 bxaxg
454;5
32
12
gxgyC
aa
92
322
2
232 45
b
b
322
32 xxg
Wyznaczymy współczynniki we
wzorze funkcji xh . Prosta
xhy przecina oś OX w punkcie,
którego współrzędną jest rozwiązanie
równania 0322
32 x .
33 bxaxh
01111
30
0
3
33
hx
tga
3
3113
33
3 011
b
b
3
311
3
3 xxh
Formułujemy odpowiedź. Odp. Poszukiwane funkcje określone są wzorami:
38
32 xxf
322
32 xxg
3
311
3
3 xxh .
Przykładowe zadanie 2
Sporządź wykresy funkcji stanowiących odpowiedzi poprzedniego zadania
w jednym układzie współrzędnych oraz oblicz pole figury ograniczonej osiami
układu współrzędnych i prostymi xfy i xgy .
Komentarz Rozwiązanie
Wykonamy wykresy funkcji xf ,
xg i xh oraz zaznaczymy
figurę ograniczoną przez proste
xfy i xgy oraz osie
układu współrzędnych. Jest nią trapez
4321 PPPP 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x
y
1
2
3
4
5
6
7
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-1-2-3-4-5-6 0
A
C
B
y=f(x)
y=g(x)
y=h(x)
30°
4P
3P
2P1P
Wyznaczamy współrzędne
wierzchołków trapezu. Są to punkty
przecięcia się wykresów funkcji
xf i xg z osiami układu
współrzędnych.
38
32 xxf
38
438
1
;00
0;440
Pf
Pxxf
322
32 xxg
322
3322
2
;00
0;11110
Pg
Pxxg
93
Obliczamy pole trapezu.
35
411
4321
4321
4321
4321
41324321
6210
38
21
322
21
4121
3221
PPPP
PPPP
PPPP
PPPP
POPPOPPPPP
P
P
P
OPOPOPOPP
PPP
Formułujemy odpowiedź. Odp. Pole figury wynosi 35.
Przykładowe zadanie 3
Rozwiąż układ nierówności
22
2
yx
yx.
Komentarz Rozwiązanie
Pierwszą nierówność przedstawimy
w postaci koniunkcji dwóch nierówności.
Zaznaczymy jej rozwiązanie w układzie
współrzędnych.
22
22
22
2
xyxy
yxyx
yx
yx
2
-2 2
-2
2 xy
2 xy
Drugą nierówność przedstawimy
w postaci alternatywy dwóch
nierówności. Zaznaczymy jej rozwiązanie
w układzie współrzędnych. 22
4242
42
21
21
xyxy
yxyx
yx
-2-4
2
2 4
-2
221 xy
221 xy
94
Wyznaczymy rozwiązanie układu
nierówności. Jest ono częścią wspólną
rozwiązań obu nierówności.
-2-4
2
2
4
-2
4.2. Funkcja kwadratowa
4.2.1. Definicja, wykres i własności funkcji kwadratowej
a) Funkcja kwadratowa (inaczej: trójmian kwadratowy) jest to funkcja
postaci:
2 , , \ 0 , ,y ax bx c x a b c .
Uwaga: Gdyby 0a , to funkcja byłaby liniowa: cbxy .
b) Wyróżnik trójmianu kwadratowego to liczba acb 42 .
c) Dziedzina i zbiór wartości funkcji kwadratowej: fD
0,
0,
4
4
adla
adla
Y
a
a
W
4a W
4a W
d) Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola:
dla 0a
(gałęzie ku górze)
dla 0a
(gałęzie w dół)
95
e) Postacie trójmiany kwadratowego: Postacie trójmianu kwadratowego
Ogólna Kanoniczna Iloczynowa
(tylko dla )
Wzór cbxaxy 2
,
gdzie
aa
b qp42
;
0
21 xxxxay
gdzie a
bx22,1
0
20xxay
gdzie
pxa
b 20
Informacje
wynikające
ze wzoru
Ułożenie gałęzi paraboli Współrzędne wierzchołka
aa
bW42
;
W
W
Dwa miejsca zerowe:
21, xx
X 2x 1x
1x 2x
Jedno miejsce zerowe:
0x
X
0x
0x
0a
0a
f) Miejsca zerowe (pierwiastki) trójmianu kwadratowego (ich istnienie i liczba)
zależą od znaku wyróżnika : Istnienie miejsc zerowych Liczba miejsc zerowych
0
Istnieją
Dwa miejsca zerowe
ab
ab xx
2221 ;
0
Jedno miejsce zerowe
021 xxxozn
pxa
b 20
0 Nie istnieją Żadnych miejsc zerowych
g) Znaki trójmianu kwadratowego zależą od znaku współczynnika a i znaku
wyróżnika : Znak współczyn-
nika a
Znak
wyróżnika
0a 0a
0
X
1x 2x
+ + -
0y dla
,, 21 xxx
0y dla 21, xxx
X
1x 2x
+ - -
0y dla 21, xxx
0y dla
,, 21 xxx
0
qpxay 2
96
0 X
+ +
0x 0y dla
,, 00 xxx
0y dla x
X
- -
0x
0y dla x
0y dla
,, 00 xxx
0 X
+
0y dla x
0y dla x tró
jmia
n k
wad
rato
wy
ma
stał
y z
nak
X -
0y dla x
0y dla x
Uwaga: Trójmian kwadratowy ma stały znak taki, jak znak współczynnika a,
gdy wyróżnik trójmianu kwadratowego jest ujemny.
h) Przedziały monotoniczności trójmianu kwadratowego zależą od znaku
współczynnika a Znak
współczynnika
a
Monotoniczność
trójmianu
kwadratowego
0a
qp,W
0a
qp,W
f ;x p ;x p
f ;x p ;x p
i) Ekstremum (globalne) trójmianu kwadratowego związane jest
z wierzchołkiem jego wykresu (paraboli) i zależy od znaku współczynnika a
Znak współczynnika
a
Ekstremum
globalne
0a
qp,W
0a
qp,W
Maksimum globalne
(wartość największa) brak
Dla a
bpx2
trójmian
kwadratowy osiąga wartość
największą równą
a
qpf4
Minimum globalne
(wartość najmniejsza)
Dla a
bpx2
trójmian
kwadratowy osiąga wartość
najmniejszą równą a
qpf4
brak
97
j) Różne położenia wykresu trójmianu kwadratowego na płaszczyźnie
z układem współrzędnych zależą od znaku współczynnika a i od znaku
wyróżnika : Znak
współczynnika
a
Wartość
wyróżnika
0a 0a
0 X
1x
2x
Y
0
c
X
1x 2x
Y
0
c
0 X
0x X
Y
0
c
X 0x X
Y
0
c
0
X X X
Y
0
c
X X X
Y
0
c
Uwaga: Do wykresu trójmianu kwadratowego należy punkt c,0 - jest to punkt
przecięcia paraboli z osią OY.
k) Wzory Viete’a
Założenie 0 (istnieją miejsca zerowe).
Wówczas:
- suma i iloczyn miejsc zerowych (pierwiastków) trójmianu kwadratowego:
suma: 1 2
bx x
a , iloczyn: 1 2
cx x
a
Są to podstawowe wzory Viete’a. Na ich podstawie można wyprowadzić
jeszcze inne wzory.
98
0
0
0
0
2
2
2
2
cbxax
cbxax
cbxax
cbxax
- suma odwrotności pierwiastków trójmianu kwadratowego:
1 2
1 2 1 2
1 1 x x b
x x x x c
- suma kwadratów pierwiastków trójmianu kwadratowego:
2
22 2
1 2 1 2 1 2 22 2
b cx x x x x x
a a
- suma odwrotności kwadratów pierwiastków trójmianu kwadratowego:
2 2 2
1 2
22 2 2
1 2 1 2
1 1 2x x b ac
x x cx x
Uwaga: Stosując wzory na 1x , 2x można wykazać wzór na wartość
bezwzględną różnicy miejsc zerowych:
aaxx
21
4.2.2. Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą (drugiego
stopnia 0a )
Założenie: 0a (gdyby było 0a , to równanie stało by się liniowym:
0cbx ).
Ponadto: gdy cb 0 , to zarówno równanie, nierówność, jak i trójmian
kwadratowy nazywamy zupełnym. Równanie Nierówność
drugiego stopnia ( 0a )
02 cbxax
nierówności
ostre
nierówności
słabe
Rozwiązywanie równania kwadratowego
polega na wyznaczaniu miejsc zerowych
trójmianu kwadratowego
Rozwiązywanie nierówności kwadratowej
polega na badaniu znaku trójmianu
kwadratowego
a) Pierwiastek równania kwadratowego to liczba x, która spełnia równanie:
02 cbxax . Istnienie i liczba pierwiastków równania kwadratowego zależą
od znaku wyróżnika :
99
02 cbxax
0 0 0
istnieją dwa pierwiastki istniej e jeden pierwiastek brak pierwiastków
a
bx
a
bx
2
2
2
1
a
bx
20
zwany podwójnym
ozn
xxx 021
Uwaga: Dla pierwiastków równania kwadratowego prawdziwe są wzory
Viete’a.
b) Zbiorem rozwiązań nierówności kwadratowej są liczby x spełniające
nierówność:
02
cbxax lub
02
cbxax . Zbiór rozwiązań
nierówności kwadratowej zależy od znaku współczynnika a i znaku wyróżnika
:
(1) przypadek nierówności:
02
cbxax :
0
2
cbxax (chodzi o dodatni (+)
znak trójmianu kwadratowego)
;;
;;
21
21
xxx
xxx
Rx
xRx
0\
Rx
Rx
1x 2x
+ +- + +
0x
+
1x 2x
- -+ - -
0x
-
21
21
;
;
xxx
xxx
0xx
x
x
x
0 0 0 0 0 0
0a 0a
100
(2) przypadek nierówności:
02
cbxax :
0
2 cbxax (chodzi o ujemny (-)
znak trójmianu kwadratowego)
;;
;;
21
21
xxx
xxx
Rx
xRx
0\
Rx
Rx
1x 2x
+ +- + +
0x
+
1x 2x
- -+ - -
0x
-
21
21
;
;
xxx
xxx
0xx
x
x
x
0 0 0 0 0 0
0a 0a
Uwaga: W przypadku nierówności ostrych ( 00 ) końce 1x , 2x (
0x ) nie
należą do zbioru rozwiązań – przedziały są w tych końcach otwarte.
W przypadku zaś nierówności słabych ( 00 ) końce 1x , 2x (0x ) należą
do zbioru rozwiązań (bo w nich zrealizowane są równości: 0 ) – przedziały są
więc w tych końcach domknięte.
c) Porównanie procedury rozwiązywania równania i nierówności
kwadratowej.
Równanie
02 xbxax
Nierówności
00 22
xbxaxxbxax
obliczamy:
wyróżnik oraz istniejące pierwiastki (miejsca zerowe funkcji kwadratowej) 1x , 2x lub 0x ,
ewentualnie stwierdzamy ich brak
formułujemy odpowiedź:
1x , 2x lub 0x
albo stwierdzamy brak pierwiastków
ilustrujemy znaki trójmianu kwadratowego na osi
liczbowej, zaznaczamy stosowny przedział
i formułujemy odpowiedź: x
Uwaga: Początkowe etapy rozwiązywania zarówno równania, jak i nierówności
są identyczne. Rozwiązywanie równania kończy się w momencie obliczania
pierwiastków. Nierówność ilustruje się jeszcze na osi liczbowej i wybiera
stosowny przedział.
101
4.2.3. Równania i nierówności kwadratowe niezupełne ( 00 cb )
W trójmianie kwadratowym cbxax 2 mamy 0a . Rozpatrzmy różne
wartości współczynników b i c w trójmianie kwadratowym cbxax 2 . b
c 0b 0b
0c 2ax
trójmian kwadratowy niezupełny
bxax 2
trójmian kwadratowy niezupełny
0c cax 2
trójmian kwadratowy niezupełny
cbxax 2
trójmian kwadratowy zupełny
a) Równania kwadratowe niezupełne można rozwiązywać bez obliczania
wyróżnika : Równanie
niezupełne 02 ax 02 bxax 02 cax
Sposób
rozwiązywania 0
0
0
2
x
x
(pierwiastek
podwójny)
a
bxx
baxx
21 0
0
a
cx 2
0
a
c 0
a
c
brak pierwiastków
ac
ac
x
x
2
1
b) Nierówności kwadratowe niezupełne można rozwiązywać bez obliczania
wyróżnika :
(1) przypadek: 0 cb :
Nierówność 02 ax 02 ax 02 ax 02 ax
Sposób
rozwiązywania
(dla 0a
02 x
nierówność fałszywa
(bo 2 0
x R
x
)
x
02 x
nierówność spełniona tylko dla
0x
0x
02 x
nierówność prawdziwa dla
0x
\ 0x
02 x
nierówność zawsze
prawdziwa
x
102
(2) przypadek: 00 cb :
Nierówność 02 bxax 02 bxax 02 bxax 02 bxax
Sposób
rozwiązywania
0baxx
np. 00 ba
+ +-
0 ab
abx ;0
0baxx
np. 00 ba
+-
0 ab
-
;0;abx
0baxx
np. 00 ba
+-
0 ab
-
0;abx
0baxx
np. 00 ba
+ +-
0 ab
;0;abx
(3) przypadek: 00 cb :
Nierówność 02 cax 02 cax 02 cax 02 cax
Sposób
rozwiązywania
cax 2
np. 0a
acx 2
np.
acx
ac
ac
ac
acx ;
cax 2
np. 0a
acx 2
np. 0c
acx
ac
ac
;;ac
acx
cax 2
np. 0a
acx 2
np. 0c
(wtedy
0ac
i
acx 2
jest
nierównością
fałszywą)
x
cax 2
np. 0a
acx 2
np. 0c
(wtedy
0ac
i
acx 2
jest
nierównością zawsze
prawdziwą)
x
4.2.4. Przykłady równań sprowadzalnych do równań kwadratowych
a) równania dwukwadratowe
(1) 4 2 0ax bx c x
Stosując podstawienie: 2xt ( 0t ) sprowadzamy do równania kwadratowego
002 tcbtat i po obliczeniu jego pierwiastków, np. 1t , 2t ( 0 )
rozwiązujemy równania: 2
2
1
2 txtx .
Wówczas 11 tx ,
12 tx , 23 tx ,
24 tx są pierwiastkami
równania dwukwadratowego.
(2) 6 3 0ax bx c x
Stosując podstawienie: 3xt ( t ) sprowadzamy do równania
kwadratowego 2 0at bt c t i po obliczeniu jego pierwiastków, np. 1t ,
2t rozwiązujemy równania: 2
3
1
3 txtx .
Wówczas 311 tx , 3
22 tx , są pierwiastkami równania dwukwadratowego.
0c
103
b) Równania w module a) rozwiązuje się stosując metodę zmiennej
pomocniczej. Tę metodę można też zastosować do rozwiązania innych równań:
(1) 00 xcxbax
Podstawiając: xt ( 0t ) otrzymujemy równanie kwadratowe
02 cbtat , którego pierwiastkami są np. 1t , 2t .
Wówczas, gdy np. 01 t , 02 t , mamy 1211 txtx ( 02 t -
odpada, bo 0t ). Są to pierwiastki równania: 0 cxbax .
(2) dxcdxbax 0
Podstawiając: dxt ( 0t ) otrzymujemy równanie kwadratowe
02 adcbtat , którego pierwiastkami są np. 1t , 2t .
Wówczas, gdy np. 01 t , 02 t , mamy dtx 2
2 ( 01 t - odpada, bo 0t ).
Jest to pierwiastek równania: 0 cdxbax .
4.2.5. Równania stopnia drugiego z dwiema niewiadomymi
a) Wprowadzenie. Wzór funkcji liniowej: baxy można traktować jako
równanie stopnia pierwszego (zmienne występują w co najwyżej potędze
pierwszej) z dwiema niewiadomymi x i y. Wykresem funkcji liniowej jest
prosta, więc związek baxy nazywa się równaniem prostej. Równanie
prostej można przekształcić do postaci ogólnej: 0 CByAx .
Analogicznie, wzór funkcji kwadratowej cbxaxy 2 jest przykładem
równania stopnia drugiego (jedna ze zmiennych występuje w co najwyżej
drugiej potędze) z dwiema niewiadomymi x i y. Wykresem funkcji
kwadratowej jest parabola, więc związek cbxaxy 2 nazywa się
równaniem paraboli, a parabolę – krzywą stopnia drugiego.
b) Definicja. Ogólnie równanie stopnia drugiego z dwiema niewiadomymi x
i y jest to równanie postaci: 022 FEyDxCyBxyAx , gdzie
RFEDCBA ,,,,, oraz 0222 CBA (czyli przynajmniej jeden ze
współczynników A, B, C jest różny od zera).
Obraz graficzny tego równania, to krzywa stopnia drugiego.
c) Przykłady niektórych równań drugiego stopnia
0;022 EDBFCyAx
0;02 CBFEyDxAx
0;02 FEBADxCy
0;0 EDCAFBxy
104
d) Rozwiązanie równania stopnia drugiego z dwiema niewiadomymi jest to
każda para liczb yx, spełniająca to równanie. Graficznie są to punkty
o współrzędnych yx, należące do krzywej stopnia drugiego.
e) Obrazem graficznym zbioru rozwiązań równania drugiego stopnia
z dwiema niewiadomymi mogą być np.:
Nazwa krzywej Postać równania stopnia drugiego
z dwiema niewiadomymi
Obraz graficzny
rozwiązania
Krz
yw
e st
ożk
ow
e
Parabola
cbxaxy 2
(równanie ma nieskończenie wiele
rozwiązań)
X
Y
0
cbyayx 2
(równanie ma nieskończenie wiele
rozwiązań)
X
Y
0
Okrąg 02222 cbyaxyx
(równanie ma nieskończenie wiele
rozwiązań) X
Y
0 a
b
Elipsa ba
ba
b
y
a
x
0,,1
2
2
2
2
(równanie ma nieskończenie wiele
rozwiązań)
X
Y
0 a
b
Hiperbola 0,,1
2
2
2
2
bab
y
a
x
(równanie ma nieskończenie wiele
rozwiązań)
X
Y
0 a
105
1, kkxy
(równanie ma nieskończenie wiele
rozwiązań) X
Y
0
(dla 0k )
Suma prostych
(przecinających
się
0222111 cybxacybxa
(równanie ma nieskończenie wiele
rozwiązań)
X
Y
0
0111 cybxa
0222 cybxa
0
2 cbyax
(równanie ma nieskończenie wiele
rozwiązań)
X
Y
0
pokrywających
się)
Punkt 0,0O
022 yx
(równanie ma jedno rozwiązanie
0,0 yx )
X
Y
0
Uwaga: Rozwiązaniem równania stopnia drugiego z dwiema niewiadomymi
może być zbiór pusty, np. równanie 0422 yx nie ma rozwiązania.
f) Krzywe stożkowe można otrzymać na powierzchni stożkowej wskutek
przecięcia jej płaszczyznami różnie nachylonymi do osi tej powierzchni:
okrąg
elipsa
parabola
hiperbola (dwie gałęzie)
106
4.2.6. Informacja o nierównościach stopnia drugiego z dwiema
niewiadomymi
a) Ogólnie, jeśli wykresem pewnej funkcji xfy jest krzywa L zawarta
w płaszczyźnie XOY, to każdy punkt tej krzywej ma współrzędne yx,
spełniające równanie tej krzywej, czyli związane zależnością xfy . Jest to
równanie z dwiema niewiadomymi.
x
y
0
L: xfy
Krzywa L dzieli płaszczyznę XOY na dwie części (nad krzywą i pod krzywą).
Każda z tych części jest graficznym obrazem odpowiedniej nierówności ostrej
xfy lub xfy .
x
y
0
L: xfy
xfy
xfy
Punkty leżące nad (pod) krzywą L mają tę własność, że ich współrzędne
spełniają nierówność xfy (-odpowiednio xfy ). Obrazem graficznym
nierówności słabej xfy lub xfy jest – odpowiednio – część
płaszczyzny nad prostą L lub pod krzywą L ale wraz z krzywą L, bo
współrzędne punktów krzywej L realizują nierówność xfy
x
y
0
L: xfy xfy
x
y
0
L: xfy
xfy
Najwyższy stopień potęgi niewiadomych x i y występujących w związkach:
xfy , xfy , xfy , xfy i xfy to stopień równania, czy
nierówności z dwiema niewiadomymi.
107
b) Analogie między równaniami i nierównościami liniowymi (pierwszego
stopnia) z dwiema niewiadomymi, a niektórymi równaniami i nierównościami
drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi ilustruje poniższa tabelka: Nazwa,
stopień
związku
Związek
między dwiema
niewiadomymi x i y
Liniowe,
stopnia pierwszego
Kwadratowe,
stopnia drugiego
(niektóre)
Równania
z 2 niewiadomymi
baxy
lub
0 CByAx
X
Y
0
prosta
np. cbxaxy 2
X
Y
0
parabola
np. 222 ryx
X
Y
0 r
okrąg
Nierówność
z 2 niewiadomymi
np. baxy
lub
0 CByAx
0,0,0
X
Y
0
półpłaszczyzna
np. cbxaxy 2
0,0,0
X
Y
0
częśćpłaszczyzny
np. 222 ryx
X
Y
0 r
koło
bez okręgu
c) Porównanie równań i nierówności z jedną niewiadomą z równaniami
i nierównościami z dwiema niewiadomymi:
W odróżnieniu od równań, czy nierówności (bez względu na ich stopień)
z jedną niewiadomą (które rozwiązujemy algebraicznie obliczając tę jedną
niewiadomą) zarówno równania, jak i nierówności z dwiema niewiadomymi
(bez względu na ich stopień) rozwiązujemy tylko graficznie ilustrując na
płaszczyźnie XOY obraz graficzny danego równania, czy nierówności z dwiema
niewiadomymi.
4.2.7. Układy równań, z których co najmniej jedno równanie jest
równaniem kwadratowym
Rozpatrzmy układ dwóch równań o dwóch niewiadomych x i y, z których co
najmniej jedno równanie jest równaniem kwadratowym. Oto przykłady:
a) Przykład układu równań o dwóch niewiadomych złożonego z równania
liniowego i równania kwadratowego:
cbxaxy
pnmx
2
- równanie liniowe z 2 niewiadomymi
- równanie kwadratowe z 2 niewiadomymi ( 0a )
108
Metoda algebraiczna polega na obliczeniu pary liczb yx, spełniającej
powyższy układ. W tym celu z równania liniowego obliczamy x lub y
i podstawiamy do równania kwadratowego i rugując w ten sposób jedną
niewiadomą otrzymujemy równanie kwadratowe z jedną niewiadomą:
cbxaxx
nxy
n
p
nm
n
p
nm
2
0;
Rozwiązując równanie kwadratowe 02 n
p
nm cxbax wyznaczamy x,
a następnie n
p
nm xy . Rozwiązaniem w/w układu jest wyznaczona para
liczb yx, spełniająca dany układ równań.
Metoda graficzna polega na narysowaniu w jednym układzie współrzędnych
wykresów obu równań (paraboli i prostej z w/w przykładu): cbxaxy 2
pnymx
A
B
2y
1y
2x
1x
oraz odczytaniu współrzędnych istniejących punktów wspólnych obu
wykresów (np. paraboli i prostej: 11, yxA i 22 , yxB ). Geometryczną
interpretacją rozwiązania układów równań są istniejące punkty wspólne obu
wykresów.
Uwaga: W przypadku, gdy w układzie dwóch równań jedno równanie jest
stopnia pierwszego, to przedstawia ono prostą, zaś równanie drugiego stopnia –
krzywą stopnia drugiego, np. parabolę, hiperbolę, czy okrąg. Zatem
w rozwiązywaniu takiego układu chodzi o wzajemne położenie prostej z
krzywą drugiego stopnia. Stąd też układ może nie mieć rozwiązań albo mieć
jedno lub dwa rozwiązania. Oto przykłady: Liczba rozwiązań
układu
Przykłady
Brak rozwiązań
Rozwiązanie istnieje
Jedno rozwiązanie Dwa rozwiązania
parabola
i prosta X
Y
0
X
Y
0
00 , yx
X
Y
0
11, yx
22 , yx
109
prosta
i hiperbola X
Y
0
X
Y
0
00 , yx
X
Y
0
11, yx
22 , yx
prosta
i okrąg X
Y
0
X
Y
0
00 , yx
X
Y
0
11, yx
22 , yx
b) Przykład układu równań o dwóch niewiadomych złożonego z dwóch równań
drugiego stopnia:
222ryx
kxy oba równania są równaniami
drugiego stopnia z 2 niewiadomymi
Metoda algebraiczna polega na obliczeniu par liczb yx, spełniających oba
równania. Najczęściej stosujemy metodę podstawiania, np. obliczony
z pierwszego równania y podstawiamy do drugiego równania:
222
0;
rx
xy
xk
xk
Obliczamy x z drugiego równania (dwukwadratowego): 02224 kxrx ,
a następnie y z pierwszego równania: xky . Rozwiązaniem w/w układu są
wszystkie pary liczb yx, spełniające dany układ równań.
Metoda graficzna polega na narysowaniu w jednym układzie współrzędnych
wykresów obu równań (hiperboli i okręgu z w/w przykładu):
X
Y
0
kxy
222 ryx
11, yx
22 , yx
33 , yx
44 , yx
oraz odczytaniu współrzędnych istniejących punktów wspólnych obu
wykresów.
Wykresy obu równań mogą nie mieć punktów wspólnych, wówczas układ
równań nie ma rozwiązania.
Uwaga 1: Można też rozpatrywać układy nierówności o dwóch niewiadomych
złożone z co najmniej jednej nierówności kwadratowej. Takie układy
rozwiązujemy tylko graficznie zacieniowując fragmenty płaszczyzny
odpowiadające nierównościom układu. Rozwiązaniem układu jest istniejąca
110
część wspólna (iloczyn mnogościowy) zaznaczonych podzbiorów płaszczyzny
odpowiadających poszczególnym nierównościom, np.:
Bpnymx
Acbxaxy
:
:2
X
Y A
B
0
BA
lub
X
Y
Bryx
Akxy
:
:
222
A
B
0
BA
Uwaga 2: Zbiór rozwiązań układu: BA może być zbiorem jednopunktowym,
np.:
X
Y
0
00 , yxP
00 , yxPBA
albo zbiorem pustym, np.:
X
Y
0
BA .
Przykładowe zadanie
Chłopiec rzucił piłkę. Wysokość piłki h wyrażona w metrach jest funkcją
odległości s wyrażonej w metrach chłopca i punktu na ziemi, nad którym
znajduje się piłka i wyraża się wzorem 2852
1285 sssh .
a) Na jakiej wysokości znajdowała się piłka w chwili wyrzucenia jej przez
chłopca?
b) Jaką największą wysokość osiągnęła piłka?
c) W jakiej odległości od chłopca piłka upadła na ziemię? Wynik podaj
z dokładnością do 0,01m.
111
Komentarz Rozwiązanie
W chwili wyrzucenia piłki odległość
s była równa 0. Zatem wysokość, na
której się znajdowała wynosiła 0h .
Obliczymy tę wartość.
a)
mh
h
20
2000852
1285
Funkcja sh jest funkcją
kwadratową, która osiąga największą
wartość, gdyż 0128
5 a .
Wartość ta jest równa drugiej
współrzędnej wierzchołka paraboli
będącej wykresem funkcji.
Wyznaczymy tę współrzędną.
b)
2852
1285 sssh dla 0s
285
1285 cba
6445
12852
85
2
24
4
acb
mh
h
ha
5,4
:
max
12820
6445
max
4max
W chwili upadku na ziemię wysokość
h wynosiła 0. Zatem rozwiązujemy
równanie 0sh .
c)
0sh dla 0s
8
53
6445
852
1285 02
ss
0
2
2
5
5358
1285
8
53
85
22
5
5358
1285
8
53
85
21
ab
ab
s
s
ms 73,18733,185
5358
Formułujemy odpowiedź. Odp.
a) W chwili wyrzucenia piłka znajdowała się na
wysokości 2m nad ziemią.
b) Największa wysokość, jaką osiągnęła piłka wynosiła
4,5m.
c) Piłka upadła na ziemię w odległości 18,73m od
chłopca.
4.2.8. Równania, nierówności i układy równań drugiego stopnia
z wartością bezwzględną
W tym bloku będą omówione niektóre równania, nierówności i układy równań
stopnia drugiego, w których niewiadome będą występować pod wartością
bezwzględną.
112
a) Jeśli pod wartością bezwzględną występuje tylko sam x: x , czy y: y to –
korzystając z definicji wartości bezwzględnej. Oto przykłady:
(1) równanie 02 cxbax , 0a rozwiązujemy jako alternatywę dwóch
przypadków:
dla 0x
mamy rozwiązać równanie
02 cbxax w dziedzinie ;0
dla 0x
mamy rozwiązać równanie
02 cbxax w dziedzinie 0;
Rozwiązaniem równania 02 cxbax jest suma rozwiązań równań z obu
przypadków.
(2) nierówność 02 cxbax , 0a rozwiązujemy jako alternatywę dwóch
przypadków:
dla 0x
mamy rozwiązać nierówność
02 cbxax w dziedzinie ;0
dla 0x
mamy rozwiązać nierówność
02 cbxax w dziedzinie 0;
Rozwiązaniem nierówności 02 cxbax jest suma rozwiązań nierówności
z obu przypadków.
(3) np. układ równań
0
0;2
pynmx
acxbaxy rozwiązujemy jako alternatywę
czterech przypadków:
dla
0
0
y
x
rozwiązujemy układ:
0
2
pnymx
cbxaxy
dla
0
0
y
x
rozwiązujemy układ:
0
2
pnymx
cbxaxy
dla
0
0
y
x
rozwiązujemy układ:
0
2
pnymx
cbxaxy
dla
0
0
y
x
rozwiązujemy układ:
0
2
pnymx
cbxaxy
Rozwiązaniem układu jest suma rozwiązań z poszczególnych przypadków.
b) Jeśli pod wartością bezwzględną występuje pewne wyrażenie zawierające
niewiadomą x, to rozpatrujemy alternatywę różnych przypadków ze względu na
założenia dotyczące znaków poszczególnych wyrażeń pod wartością
bezwzględną. Oto przykłady.
113
(1) 02 cbxax , 0a . Najpierw określamy znak wyrażenia
2ax bx x ax b . Gdy np.
0
0
b
a
0
a
b
+ +-
Zatem
dla ;0;abx
rozwiązujemy równanie
02 cbxax w dziedzinie
;0;ab
dla abx ;0
rozwiązujemy równanie
02 cbxax w dziedzinie ab;0
Rozwiązaniem równania 02 cbxax jest suma rozwiązań z obu
przypadków.
(2) 02 cbxax ,
0
0
b
a. Rozpatrujemy dwa przypadki:
dla bcx
rozwiązujemy nierówność
02 cbxax w dziedzinie
;bc
dla bcx
rozwiązujemy nierówność
02 cbxax w dziedzinie
bc ;
Rozwiązaniem nierówności 02 cbxax jest suma rozwiązań z obu
przypadków.
c) Jeśli wartość bezwzględna obejmuje jedną ze stron równania, czy
nierówności, to możemy skorzystać z własności k), l) lub m) wartości
bezwzględnej przytoczonych w 1.3.2.
4.2.9. Równania i nierówności kwadratowe z parametrem
Założenie: 0a , x – nazwa niewiadomej.
W równaniu: 02 cbxax oraz w nierównościach: 02 cbxax
( 0,0,0 ) współczynniki a, b, c mogą nie być dane poprzez liczby, tylko
być wyrażone literowo – czyli wyrażone poprzez parametr k lub m, np.
0112 mxmmx . Takie równanie, czy nierówności są to równania
i nierówności z parametrem. W zadaniach dotyczących równań, czy
nierównościach z parametrem podstawiony jest problem: dla jakich wartości
parametru (np.) m zachodzą określone warunki: np. istnieje tylko jeden
114
pierwiastek równania 02 cbxax , czy: prawdziwa jest nierówność:
02 cbxax dla x .
Rozwiązując takie problemy należy wyrażone w zadaniach warunki dotyczące
parametru przeformułować na język matematyczny i tak sformalizowane
zależności rozwiązać.
a) W zadaniach dotyczących równań kwadratowych z parametrem do
najczęściej spotykanych warunków pod adresem parametru należą:
Lp. Fragment z treści zadania
(język polski)
Język
sformalizowany
(matematyczny)
Uzasadnienie
(1) równanie kwadratowe ma
pierwiastki
0
0a równanie jest kwadratowe
istnienie pierwiastków
(2) równanie kwadratowe nie ma
pierwiastków
0
0a równanie jest kwadratowe
pierwiastki nie istnieją
(3) równanie kwadratowe ma dwa
różne pierwiastki
0
0a równanie jest kwadratowe
dwa różne pierwiastki
(4)
pierwiastki równania
kwadratowego są różnych
znaków
0
0
0
ac
a równanie jest kwadratowe
pierwiastki istnieją (różne)
ze wzorów Viete’a – iloczyn pierwiastków różnych znaków jest ujemny
(5)
pierwiastki równania
kwadratowego są jednakowych
znaków
0
0
0ac
a równanie jest kwadratowe
pierwiastki istnieją,a w szczególności mogąbyć sobie równe
iloczyn liczb jednakowychznaków jest dodatni -- wzory Viete'a
(6) oba pierwiastki równania
kwadratowego są dodatnie
0
0
0ab
0ac
a równanie jest kwadratowe
pierwiastki istnieją,a w szczególności mogąbyć sobie równe iloczyn liczb dodatnichjest dodatni - wzory Viete'a
suma liczb dodatnichjest dodatnia - wzory Viete'a
(7) oba pierwiastku równania
kwadratowego są ujemne
0
0
0ab
0ac
a równanie jest kwadratowe
pierwiastki istnieją,a w szczególności mogąbyć sobie równe iloczyn liczb ujemnychjest dodatni - wzory Viete'a
suma liczb ujemnychjest ujemna - wzory Viete'a
115
(8)
suma odwrotności
pierwiastków równania
kwadratowego jest np. liczbą
większą od jeden
0
0a równanie jest kwadratowe
pierwiastki istnieją,a w szczególności mogąbyć sobie równe
suma osrotności- ze wzorów Viete'a -jest liczbą większą od 1
1cb
b) W zadaniach dotyczących nierówności kwadratowych z parametrem do
najczęściej spotykanych warunków pod adresem parametru należą:
Lp. Fragment z treści zadani
(język polski)
Język
sformalizowany
(matematyczny)
Uzasadnienie
(1)
nierówność 02 cbxax
zachodzi dla każdej liczby
rzeczywistej x (trójmian
kwadratowy ma znak dodatni)
0
0
a
gałęzie paraboli skierowane są
ku górze i brakuje miejsc
zerowych
(2)
nierówność 02 cbxax
zachodzi dla każdej liczby
rzeczywistej x (trójmian
kwadratowy ma nieujemny
znak)
0
0
a
gałęzie paraboli skierowane ku
górze i co najwyżej jedno
miejsce zerowe
(3)
nierówność 02 cbxax
zachodzi dla każdej liczby
rzeczywistej x (trójmian
kwadratowy ma ujemny znak
0
0
a
gałęzie paraboli skierowane
w dół i brak miejsc zerowych
(4)
nierówność 02 cbxax
zachodzi dla każdej liczby
rzeczywistej x (trójmian
kwadratowy ma niedodatni
znak)
0
0
a
gałęzie paraboli skierowane
w dół i co najwyżej jedno
miejsce zerowe
Uwaga: W przypadku, gdy współczynnik a w trójmianie kwadratowym
cbxax 2 (zarówno w sytuacji równania, jak i nierówności) zależy od
parametru, to dyskusję należy przeprowadzać w dwóch wersjach:
1. gdy 0a (równanie, czy nierówność są kwadratowe)
oraz
2. gdy 0a (równanie, czy nierówność jest liniowa: 0 xbx
( 0,0,0,0 )) – wówczas należy skorzystać z własności funkcji liniowej.
116
4.2.10. Układy równań drugiego stopnia z parametrem
Układy równań, z których jedno równanie jest co najmniej stopnia pierwszego
może zawierać (oprócz niewiadomych x, y) parametr (np. m). Rozwiązując
takie układy metodą algebraiczną (na ogół metodę podstawiania), po
wyrugowaniu jednej niewiadomej otrzymujemy równanie kwadratowe z jedną
niewiadomą i z parametrem. Wówczas przeprowadzamy dyskusję istnienia
i liczby rozwiązań równania kwadratowego a w następnej kolejności całego
układu równań.
Zależność liczby rozwiązań układu równań od różnych wartości parametru
można przedstawić graficznie.
Oto dwa przykłady:
a)
0101 2
22
mxx
mxy
yx
mxy
Przeprowadzamy dyskusję istnienia i liczby rozwiązań równania:
012 mxx .
Istnienie i liczba rozwiązań tego równania (co za tym idzie całego układu
równań) zależy od wartości wyróżnika 34 m . Dla
43
2
m
mxy
01 yx
11, yx
22 , yx
01 yx
00 , yx
-1 -1
-1 -1
432 xy
01 yx
-1 -1
43
2
m
mxy
Interpretacja graficzna:
43
0
mczyli
43
0
mczyli 43
0
mczyli
równanie kwadratowe równanie kwadratowe równanie kwadratowema 2 pierwiastki: 1x , 2x ma 1 pierwiast ek: 0x nie ma pierwiastków
układ równań układ równań układ równań
ma 2 rozwiązania:
11, yx ,
22 , yx
ma 1 rozwiązanie:
00 , yx
nie ma rozwiązań
b)
01
0;1
224
1
222xmx
xy
myx
yx x
Przeprowadzamy dyskusję istnienia i liczby rozwiązań równania:
. 01224 xmx
117
Istnienie i liczba rozwiązań tego równania (co za tym idzie całego układu
równań) zależy od istnienia i liczby rozwiązań równania dla
02 xt , którego wyróżnik 44 m . Dla
Interpretacja graficzna:
0czyli 0
czyli
0czyli
układ równań układ równań układ równańma 4 rozwiązania:
11, yx ,
22 , yx
ma 2 rozwiązania: nie ma rozwiązań
;22;m 2;2m2m
równanie 0122 tmt równanie 0122 tmt równanie 0122 tmt ma 2 pierwiastki 0,, 2121 tttt ma 1 pierwiast ek 0t nie ma pierwiastków
równanie 01224 xmx równanie 01224 xmx równanie 01224 xmx ma 4 pierwiastki : ma 2 pierwiastki : nie ma pierwiastków
4321 ,,, xxxx 21, xx
44332211 ,,,,,,, yxyxyxyx
44 , yx
33 , yx
22 , yx
11, yx
1xy
;22;
222
m
myx
1xy
11, yx
22 , yx
1xy
2;2
222
m
myx222 yx
1xy 1xy 1xy
Przykładowe zadanie 1
Dla jakich wartości m równanie 06232 mxmx ma dwa różne
pierwiastki oba większe od 1. Komentarz Rozwiązanie
Funkcja
6232 mxmxxf
dla każdej wartości parametru m jest
funkcją kwadratową. Wyznaczymy
jej wyróżnik.
6231 mcmba
acb 42
621432
mmm
1522 mmm
Równanie
06232 mxmx ma
dwa różne pierwiastki większe od 1
wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja
xf ma dwa różne miejsca zerowe
większe od 1.
2
322
0 2 15 0 *
1 0 4 0 **
***11mb
a
m m
f m
0122 tmt
118
xfy
1f
1x 2x
1x
ab
2
Rysunek przedstawia wykres funkcji
spełniającej warunki zadania.
Tworzymy układ nierówności
wynikających z zadania.
Wyznaczamy rozwiązanie układu
nierówności, które jest iloczynem
nierówności (*), (**), (***).
(*)
3
5
864
0152
282
2
282
1
2
m
m
mm
m
1522 mmy
-5 3
++
-
;35;m
(**)
4;
4
04
m
m
m
(***)
1;
1
12
3
m
m
m
Wyznaczamy rozwiązanie zadania
i formułujemy odpowiedź.
(*) i (**) i (***)
m -5 31 4
5;m
119
Przykładowe zadanie 2
Dla jakich wartości m kwadrat różnicy różnych pierwiastków równania
06232 mxmx jest większy do 10.
Komentarz Rozwiązanie
Wyrazimy kwadrat różnicy
pierwiastków równania
06232 mxmx
w zależności od parametru m.
Zastosujemy wzory Viete’a.
152
44
4
22
2
2
162
2
1
32
21
2
21
2121
2
21
2
221
2
1
2
21
mm
xxxx
xxxxxx
xxxxxx
mm
ac
ab
Zapisujemy układ nierówności
wynikających z zadania.
2
2 2
1 2
0 * *2 15 0
** **10 2 15 10
m m
x x m m
(*) ;35;01522 mmm
(**)
261
261
262104
0152
0152
2
26222
2
26221
2
2
m
m
mm
mm
m
2522 mmy
++
-261261
Wyznaczamy rozwiązania
zadania i formułujemy
odpowiedź.
(*) i (**)
m 261261-5 3
4.3. Wielomiany i działania na nich
4.3.1. Pojęcie wielomianu
a) Wyrażenie algebraiczne – to wyrażenie złożone z liczb i/lub liter
połączonych znakami działań matematycznych i nawiasami, np. 8 , x , yx8 ,
yxa 82 , 228 yx , bayx
2.
Liczby to współczynniki. Litery to zmienne.
;2615;m
120
Jeśli w miejsce liter wstawimy liczby i wykonamy działania, to obliczymy
wartość liczbową wyrażenia algebraicznego, np. dla 2x i 3y wyrażenie
przyjmuje wartość 13.
b) Jednomian jednej zmiennej rzeczywistej – to wyrażenie algebraiczne
postaci iloczynu liczby niezerowej i litery w potędze naturalnej: nax ,
\ 0a , Nn , x
a – współczynnik wielomianu
x – zmienna rzeczywista
n – stopień wielomianu
Np. 23x – to jednomian II stopnia
3 – to jednomian 0 stopnia ( 033 x )
Uwaga 1: 0 – to jednomian zerowy, który nie ma określonego stopnia
Uwaga 2: kn yx5 – to jednomian dwóch zmiennych x i y
Jednomiany podobne – zawierają te same zmienne w tych samych potęgach,
np. 53x oraz 55x i yx22 oraz yx2
31 są podobne, zaś yx22 oraz
2
31 xy nie są
podobne.
c) Dwumian – to suma dwóch jednomianów, np. xx 23 , 12 x , xxy3 .
Uwaga: Funkcja liniowa: baxxf dla i - to dwumian stopnia
pierwszego jednej zmiennej rzeczywistej.
d) Trójmian – to suma trzech jednomianów, np. xxx 265 , 12 2 xx ,
352
21 yyx .
Uwaga: Funkcja kwadratowa (trójmian kwadratowy): cbxaxxf 2 dla
, 0b , 0c , to trójmian stopnia drugiego jednej zmiennej rzeczywistej.
e) Wielomian – to suma algebraiczna (wielu) jednomianów, np.
10523 234 xxxx , 123 xxx , yxyxxy 22 32 . Poszczególne
składniki sumy to wyrazy wielomianu.
Uwaga: Jednomiany, dwumiany i trójmiany, to szczególne przypadki
wielomianów, np. 000033 2344 xxxxx , ,
101 233 xxxxx .
yx8
0a 0b
0a
002323 xxxxx
121
4.3.2. Wielomiany stopnia n jednej zmiennej rzeczywistej
Jest to funkcja postaci:
1 2 2 0
1 2 2 1 0
dfn n n
n n nW x a x a x a x a x a x a x
,
gdzie 0 1 1, , , na a a , \ 0na , n , x .
Liczby naaa ,,, 10 to współczynniki wielomianu.
Współczynnik 0a to wyraz wolny wielomianu ( 10 x ).
Wykładnik n to stopień wielomianu.
Wartość wielomianu w punkcie 0x jest liczba
.
Pierwiastek wielomianu, to miejsce zerowe wielomianu:
(0x - pierwiastek wielomianu)
df
( 00 xW ).
Uwaga: 0111 aaaaW nn (suma współczynników wielomianu)
00 aW (wyraz wolny wielomianu)
Przykłady odczytania stopnia wielomianu i jego współczynników:
153 35 xxxW - to wielomian stopnia V o następujących
współczynnikach:
przy 5x : 35 a ,
przy 4x : 04 a ,
przy 3x : 53 a ,
przy 2x : 02 a ,
przy 1x : 01 a ,
przy 0x : 10 a (wyraz wolny)
Wielomian jest uporządkowany, gdy jego wyrazy są uporządkowane wg
malejących (lub rosnących) potęg.
4.3.3. Działania na wielomianach
a) Porównywanie wielomianów
(dwa wielomiany
(dla każdej wartości są równe)
zmiennej rzeczywistej
przyjmują te same wartości)
df
p R
p
x
P x Q x W p Q p
001
2
02
1
0100 axaxaxaxaxW n
n
n
n
122
Uwaga: Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego
stopnia i mają równe odpowiednie współczynniki przy odpowiednich
potęgach zmiennej.
Porównując dwa wielomiany należy więc porównać ich stopnie oraz
odpowiednie współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej.
b) Mnożenie wielomianu przez liczbę k :
xPk - mnożymy każdy wyraz wielomianu przez liczbę k .
c) Dodawanie wielomianów:
xQxP - dodajemy wyrazy podobne
d) Odejmowanie wielomianów:
xQxPxQxP - do wielomianu dodajemy wielomian xQ
pomnożony przez liczbę 1k .
e) Mnożenie wielomianów:
xQxP - mnożymy każdy wyraz wielomianu przez każdy wyraz
wielomianu i przeprowadzamy redukcję wyrazów podobnych, np.
. Posłużymy się tabelką:
xP
xQ
2x x3 2
32x 26x x4
7 27x x21 14
14172 23 xxxxQxP
f) Dzielenie wielomianów:
Dzieląc wielomian przez ( 0 ) otrzymujemy ich iloraz xW oraz
resztę xR (która może nie być zerem) – analogicznie do dzielenia liczb
całkowitych, np.: 123 : 8 = 15- 8= 43- 40
= 3; reszta = 3
lub 128 : 8 = 16- 8= 48- 48= = ; reszta = 0
Zatem 3158123 Zatem 168128
xP
xP
xP
xQ
72232 xxxxQxP
x2
xP xQ
123
Oto przykłady:
(1)
3274:1352 223 xxxxxx
x14x8 2x32
1113 2 xx
21123 2 xx
22 x 22 xxR
2
32
x
x
2
23
x
x
Zatem
2232741352 223 xxxxxxx
xRxWxQxP (dzielna) (dzielnik) (iloraz) (reszta)
(2)
21:2332 223 xxxxxx
xx2x32
222 xx
224 2 xx
0xR
2
2
3
2
2
x
x
2
2
2
4
x
x
4
(wielomian zerowy) Zatem
312332 223 xxxxxx
xWxQxP (dzielna) (dzielnik) (iloraz)
2
W przykładzie (1) wielomian nie jest podzielny przez wielomian xQ
(bo 0xR ), zaś w (2) wielomian xP jest podzielny przez wielomian
(bo 0xR ).
Uwaga: Stopień reszty xR jest mniejszy od stopnia dzielnika xQ lub reszta
xR jest wielomianem zerowym.
Przykładowe zadanie
a) Dla jakich wartości k, l, m wielomiany:
364424 234 lxxlkmxxxW oraz
362524 234 xmkxmkxmxxQ są równe?
xP
xQ
124
b) Dla wyznaczonych wartości k, l, m zapisz wielomian xW w postaci
kwadratowej trójmianu kwadratowego. Komentarz Rozwiązanie
Wielomiany i xQ są
tego samego stopnia. Ich równość
jest równoważna równości
współczynników przy
odpowiednich potęgach x.
Zapisujemy układ równań
z niewiadomymi k, l, m, który
następnie rozwiążemy.
a)
mkl
mklk
mm
24
54
22
,
224
254
2
kl
klk
m
, ,
5
3
2
k
l
m
Dla wyznaczonych k, l, m
wielomian ma postać: 36122344 234 xxxxxW
Wyznaczamy kwadrat trójmianu
cbxax 2, 0a obliczając
iloczyn
2 2ax bx c ax bx c
. Posłużymy się tabelką.
b)
2ax bx c
2ax 2 4a x
3abx 2acx
bx 3abx 2 2b x bcx
c 2acx bcx 2c
2
2 2 4 3 2 2 22 2 2ax bx c a x abx b ac x bcx c
Przedstawimy wielomian
w postaci kwadratu trójmianu
cbxax 2, 0a .
22234 36122344 cbxaxxxxx
222342
234
222
36122344
cbcxxacbabxxa
xxxx
Porównując współczynniki przy
odpowiednich potęgach
otrzymujemy:
36
122
232
42
224
2
2
2
c
bc
acb
ab
aaa
366
12612
62341
144
2
2
2cc
bb
a
lub
xW
2224
2
2
kk
kl
m
5
2
2
k
kl
m
xW
xW
125
366
12612
62341
144
2
2
2 cc
bb
a
Formułujemy odpowiedź. Odp.
a) Wielomiany i xQ są równe dla 5k , 3l , 2m
.
b) lub .
4.4. Twierdzenia o własnościach wielomianów
4.4.1. Schemat Hornera
Schemat Hornera służy do dzielenia wielomianu
1 2
1 2 1 0
n n
n nW x a x a x a x a x a
0na przez dwumian px przy
pomocy następującej tabelki:
na 1na …
2a 1a 0a (współczynniki xW )
p
(spisujemy)
na 1 nn apa
…..........
mnożymy
reszta z dzielenia
xW przez px
współczyniki ilorazu (wielomianu o stopień niższego od ) xW
R
Np.
5 4 6 -7
1 5 9 15 8
p współczynniki
ilorazureszta
współczynniki W(x)
Zatem 815951 2 xxxxW
22 62 xxxW
22 62 xxxW
xW
22 62 xxxW 22 62 xxxW
1;7645 23 xpxxxxxW
126
4.4.2. Twierdzenia o stopniu sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu wielomianów
Niech mxQstnxPst ..
Wówczas:
a) xQstxPstxQxPst ...
b) xQstxPstxQxPst ... (dla xQxP 0 )
c) 0..... xRxQstxRstxQstxPstxWstxRxWxQxP
4.4.3. Twierdzenia związane z rozkładem wielomianu, z podzielnością
wielomianu przez dwumian oraz z istnieniem pierwiastka wielomianu
a) Twierdzenie o rozkładzie wielomianu:
0
P x W x
Q x R x
P x Q x W x R x
(gdzie )
b) Twierdzenie o rozkładzie wielomianu na czynniki:
(1) Jeżeli npp ,,1 są pierwiastkami wielomianu xP stopnia n, to xW da
się rozłożyć na czynniki: npxpxpxaxW 21.
(2) Każdy wielomian 0xP jest iloczynem czynników stopnia co najwyżej
drugiego.
c) Twierdzenie (Bezoute’a) o podzielności wielomianu przez dwumian
:
Liczba p jest wielomian jest
pierwiastkiem wielomianu : podzielny przez :
d) Twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian
:
Reszta R z dzieleni wielomianu przez dwumian jest równa
pPR .
Uwaga: Twierdzenie to pozwala obliczyć resztę z dzielenia wielomianu
przez dwumian px bez wykonywania dzielenia, np. reszta z dzielenia
wielomianu xP przez np. 3x wynosi , zaś przez wynosi
.
xQstxRstxR ..0
xP
px
xP px
0pW 0xR
xP
px
xP px
xP
3P 2x
2P
127
e) Twierdzenie o krotności pierwiastka wielomianu:
Liczba p jest pierwiastkiem k-krotnym wielomianu wtedy i tylko wtedy,
gdy wielomian jest podzielny przez , a nie jest podzielny przez
.
f) Twierdzenie o związku stopnia wielomianu z liczbą jego pierwiastków:
Każdy niezerowy wielomian stopnia n może mieć co najwyżej n pierwiastków.
g) Twierdzenie o pierwiastku wielomianu o współczynnikach całkowitych:
(1) Jeżeli liczba całkowita jest pierwiastkiem wielomianu
o współczynnikach całkowitych, to jest ona dzielnikiem wyrazu wolnego
wielomianu xP .
(2) Jeżeli ułamek nieskracalny jest pierwiastkiem wielomianu
o współczynnikach całkowitych, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego ( ),
zaś q jest dzielnikiem współczynnika wielomianu .
h) Twierdzenie o związku istnienia pierwiastka wielomianu z rozkładem
wielomianu:
Jeżeli wielomian stopnia co najmniej drugiego o współczynnikach
rzeczywistych (wymiernych) ma pierwiastek rzeczywisty (wymierny), to jest
rozkładalny na iloczyn wielomianów o współczynnikach rzeczywistych
(wymiernych).
i) Zasadnicze twierdzenie teorii wielomianów:
Jedynymi wielomianami nie rozkładalnymi na iloczyn wielomianów
o współczynnikach rzeczywistych są wielomiany stopnia pierwszego oraz
wielomiany stopnia drugiego o ujemnym wyróżniku.
j) Twierdzenie o istnieniu pierwiastka wielomianu stopnia nieparzystego:
Każdy wielomian stopnia nieparzystego o współczynnikach rzeczywistych ma
co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.
4.4.4. Wzory Viete’a dla wielomianów trzeciego i czwartego stopnia
Analogicznie, jak wzory Viete’a wyrażają zależność pierwiastków trójmianu
kwadratowego od jego współczynników, tak też dla wielomianów trzeciego
i czwartego stopnia zachodzą następujące związki:
xP
xW kpx
1
kpx
0p xP
0a
q
p xP
0a
na xP
128
a) ( - pierwiastki wielomianu
)
b) ( - pierwiastki wielomianu
)
4.4.5. Metody rozkładu wielomianów na czynniki
a) Grupowanie wyrazów, np.
b) wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, np.
c) stosowanie wzorów skróconego mnożenia, np.
d) dla trójmianu kwadratowego sprowadzenie do postaci iloczynowej
321 ,, xxx
0;23 adcxbxaxxP
a
cxxxxxx
a
dxxx
a
bxxx
133221
321
321
4321 ,,, xxxx
0;234 aedxcxbxaxxP
a
dxxxxxxxxxxxx
a
cxxxxxxxxxxxx
a
exxxx
a
bxxxx
432431421321
434232413121
4321
4321
28782
28872
23
23
xxxxP
xxxxP
724
4742
2
22
xxxP
xxxxP
7222 xxxxP
129
e) wykorzystanie twierdzenia Bezoutea i twierdzeń o pierwiastkach
całkowitych i wymiernych wielomianu oraz wzorów Viete’a
f) stosowanie schematu Hornera, np.
4.4.6. Równania i nierówności wielomianowe
Wymienione wcześniej twierdzenia o wielomianach mają zastosowanie do
rozwiązywania równań i nierówności wielomianowych zwanych
algebraicznymi stopnia n ( ). Dla mamy równania i nierówności
liniowe, zaś dla mamy równania i nierówności kwadratowe.
a) Definicje
Niech będzie wielomianem stopnia
n ( ) jednej zmiennej rzeczywistej x .
Równanie wielomianowe:
Rozwiązywanie równań wielomianowych polega na poszukiwaniu
pierwiastków wielomianu .
Rozwiązaniem równania wielomianowego są miejsca zerowe (pierwiastki)
wielomianu - o ile istnieją.
Nierówności wielomianowe: ostre (mocne) słabe
0, 0, 0, 0.P x P x P x P x
Rozwiązywanie nierówności wielomianowych polega na wyznaczaniu
przedziałów, dla których wielomian ma znak: dodatni ( ), ujemny
( ), nieujemny ( ), niedodatni ( ).
Zbiorem rozwiązań nierówności wielomianowej jest zbiór (przedział),
w którym wielomian ma określony (wyżej) znak.
Uwaga: Równania i nierówności liniowe i kwadratowe są szczególnymi
przypadkami równań i nierówności wielomianowych.
6141 23 xxxxP
1 -4 1 6
2 1 -2 -3 0
3212 2 xxxxP
(reszta = 0, czyli xP jest podzielny przez 2x )
3n 1n
2n
01
2
2
1
1 axaxaxaxaxP n
n
n
n
0na
0xP
xP
xP
xP 0
0 0 0
xP
130
b) Analogie między procedurą rozwiązywania równań i nierówności
wielomianowych
Równanie Nierówności
Wielomianowe
Po
stać
To
k r
ozw
iązy
wan
ia
Rozkład wielomianu na czynniki niższych stopni (nierozkładalnych) z zastosowaniem
twierdzeń o własnościach wielomianów
np.
Korzystając z własności iloczynu:
iloczyn jest równy zero wtedy i
tylko wtedy, gdy co najmniej jeden
z jego czynników jest równy zero –
wyznaczamy miejsca zerowe
poszczególnych czynników
rozkładu:
.
Liczby są
pierwiastkami równania .
np.
Miejsca zerowe poszczególnych czynników rozkładu
zaznaczamy na osi liczbowej:
Równanie jest już rozwiązane,
a rozwiązywanie nierówności jest
jeszcze kontynuowane.
oraz określamy znaki poszczególnych czynników:
w
poszczególnych przedziałach na osi liczbowej
ponieważ znak wielomianu (jako iloczynu)
zależy od znaku poszczególnych czynników rozkładu
.
Można w tym celu posłużyć się tzw. siatką znaków
w poniższej tabelce:
np.
...
+ 0 + - - + + 0 + -
... ... ... ... ... ... ... - + + 0 +
- 0 + 0 - 0 +
+ – oznacza znak dodatni
- – oznacza znak ujemny
0 – oznacza miejsce zerowe
Oto graficzna interpretacja znaków wielomianu
na osi liczbowej (siatka znaków) w rozpatrywanym
przykładzie:
0xP 0)(
0)(
xPxP
xP
021 nxxxxxxa
nxxxxxx 21
nxxx ,,, 21
xP
0)(
0)(
21
21
n
n
xxxxxxa
xxxxxxa
nxx2x1 x3
nxxxxxx ,,, 21
xP
xP
:x 1; x 1x 21; xx 2x nx ;nx
1xx
2xx
nxx
xP
xP
131
nxx2x1
+ +- - xPy
(szkic wykresu xP )
Następnie wybieramy przedziały odpowiadające
typowi rozwiązywanej nierówności
( ).
Dla nierówności ostrych – przedziały obustronnie
otwarte, dla słabych – obustronnie domknięte
w końcach przedziału ( ), gdyż w tych
punktach zrealizowane są równości.
Zbiorem rozwiązań nierówności jest suma
teoriomnogościowa wybranych przedziałów.
c) Przykład równania i nierówności wielomianowej Równanie wielomianowe Nierówność wielomianowa
Rozkładając wielomian po lewej stronie na czynniki, otrzymujemy:
Odp. Pierwiastkami równania
są:
(pojedynczy)
(podwójny)
(pojedynczy)
Siatka znaków:
- 0 + + + + +
+ + + 0 + + +
- - - - - 0 + + 0 - 0 - 0 +
Interpretacja na osi liczbowej:
Rozwiązujemy nierówność słabą , wybieramy
więc przedziały z „+” wraz z punktami: -1, 2, 3:
Odp.
Uwaga: W sąsiedztwie pierwiastków o krotności nieparzystej (np. ,
- pojedyncze) wielomian zmienia znak na przeciwny ( -1 3 ),
natomiast w sąsiedztwie pierwiastków o krotności parzystej (np. -
podwójny) – wielomian nie zmienia znaku ( 2 ).
0,0,0,0
ix ni ,,1
012496 234 xxxx 012496 234 xxxx
03212
xxx
3,2,1 321 xxx
11 x
22 x
33 x
03212
xxx
-1 2 3(p. pojedynczy)
(p. pojedynczy)(p. podwójny)
:x 1; 1 2;1 2 3;2 3 ;3
1x
22x
3x
xP
-1 2 3
+ +- -
0xP
-1 2 3
;321;x
11 x
33 x
22 x
132
d) Równania i nierówności wielomianowe z wartością bezwzględną
i z parametrem rozwiązujemy analogicznie, jak równania i nierówności liniowe
i kwadratowe z wartością bezwzględną i z parametrem.
Przykładowe zadanie
Dany jest wielomian .
Znajdź współczynniki a i b wiedząc, że dwa różne pierwiastki trójmianu
są również pierwiastkami wielomianu . Dla wyznaczonych
wartości a i b rozwiąż równanie .
Komentarz Rozwiązanie
Trójmian możemy
przedstawić w postaci
, gdzie
i są jego różnymi
pierwiastkami.
Jeżeli i są również
pierwiastkami wielomianu
, to jest on podzielny
przez każdy z dwumianów
i , co jest
równoważne temu, że wielomian
jest podzielny przez ich
iloczyn
. Wykonamy dzielenie
wielomianów.
Otrzymana z dzielenia reszta R
musi być równa 0.
dla lub dla
bxxaxxxW 55 234
baxx 2 xW
0xW
baxx 2
21 xxxx 1x
2x
1x 2x
xW
1xx 2xx
xW
baxxxxxx 2
21
bbxbaa
bbaxbxb
bxxb
bxaxx
bxbaxxbxxaxx
655
555
55
5:55
2
2
2
234
22234
06
055
0655
2
2
bb
baa
bbxbaaR
6006
055
bbbb
baa
0b 6b
0
1
1
055
b
a
a
a
6
5
5
0655
b
a
a
aa
133
Dla i
rozwiążemy równanie
.
Dla i rozwiążemy
równanie .
Sprawdzimy przy pomocy
schematu Hornera, czy równanie
ma pierwiastki całkowite. Mogą
nimi być dzielniki liczby -6.
1 5 5 -5 -6
1 1 6 11 6 0
1 6 11 6
-1 1 5 6 0
Formułujemy odpowiedź. Odp. Dla i pierwiastkami równania są ,
. Dla i pierwiastkami równania są ,
, , .
1a 0b
0xW
x
x
x
xx
x
xxx
xxx
xxxx
xxxx
xxxxxW
5
05
01
01
051
051
0151
055
055
2
2
2
1
2
3
3
234
234
5a 6b
0xW
06555
6555
234
234
xxxx
xxxxxW
061161
06555
23
234
xxxx
xxxx
06511
061161
2
23
xxxx
xxxx
2
3
1
11
0650101
215
4
215
321
2
x
xxx
xxxx
1a 0b 11 x
02 x 5a 6b 11 x
12 x 33 x 24 x
134
4.5. Wyrażenia i funkcje wymierne
Przymiotnik „wymierne” oznacza „ułamkowe”. Liczby wymierne, to inaczej
ułamki. Stąd też wyrażenia wymierne, to wyrażenia ułamkowe, np. ,
, a funkcje wymierne, to funkcje ułamkowe, np. ,
.
4.5.1. Wyrażenia wymierne i działania na nich
a) Wyrażenie wymierne to iloraz dwóch wyrażeń algebraicznych, np. -
z jedną zmienną x, lub - z kilkoma zmiennymi.
b) Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb, które po
podstawieniu za zmienne nie spowodują utraty sensu liczbowego danego
wyrażenia wymiernego. Sens liczbowy wyrażenia może być utracony wówczas,
gdy mianownik wyrażenia wymiernego przyjmuje wartość zero.
Zatem dziedziną wyrażenia wymiernego z jedną zmienną jest zbiór liczb
rzeczywistych oprócz miejsc zerowych mianownika, np. dziedziną wyrażenia
wymiernego jest 2\ : 5 6 0D a a a , czyli \ 2,3D .
c) Działania arytmetyczne na wyrażeniach wymiernych wykonujemy
analogicznie, jak na liczbach wymiernych:
(1) dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych wykonujemy po
sprowadzeniu ich do wspólnego mianownika, np.:
(2) mnożenie wyrażeń wymiernych polega na mnożeniu liczników oraz
mianowników, np.:
22
3
yx
x
b
ba
2
22
1
32
x
xy
x
xy
32
1
132
x
x
cba
ab
3
65
12
aa
a
1
113
1
1
1
33
22
2
a
aaa
aa
a
a
2
2
222 bab
aba
b
ba
ba
a
135
(3) dzielenie wyrażeń wymiernych odbywa się poprzez mnożenie dzielnej
przez odwrotność dzielnika, np.:
(4) skracanie wyrażeń wymiernych polega na podzieleniu licznika
i mianownika przez takie samo wyrażenie ( ), np.:
(5) rozszerzanie wyrażeń wymiernych polega na pomnożeniu licznika
i mianownika przez takie samo wyrażenie ( ), np.:
4.5.2. Funkcje wymierne
a) Definicja Funkcja wymierna, to iloraz dwóch wielomianów jednej zmiennej
, 0
P xf x Q x
Q x .
b) Dziedziną funkcji wymiernej jest zbiór liczb rzeczywistych bez miejsc
zerowych wielomianu Q x w mianowniku
\ : 0fD x Q x , czyli : 0fD x Q x .
c) Przykłady funkcji wymiernych:
2
3 1; \ 1,3
4 3f
xf x D
x x
2
3 1;
4 7f
xf x D
x x
; 0; \ 0f
kf x k D
x - funkcja homograficzna
(proporcjonalność odwrotna)
Uwaga: Proporcjonalność prostą określa funkcja liniowa y kx .
22
2
2:
ba
ab
b
ba
ba
a
0
bababa
ba
ba
ba
122
0
22
22 2222
ba
abba
baba
baab
ba
ab
136
d) Funkcja homograficzna to szczególny przypadek funkcji wymiernej, gdzie
zarówno licznik , jak i mianownik są wielomianami I stopnia:
; gdzie .
Dziedziną funkcji homograficznej jest zbiór \ df c
D .
e) Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola powstała po przesunięciu
wzdłuż osi układu współrzędnych (w prawo-lewo i w górę-dół, czyli o wektor
) hiperboli ( ). Np. aby naszkicować wykres funkcji
należy jej wzór tak przekształcić, aby móc odczytać zwroty
przesunięcia (współrzędne wektora przesunięcia) oraz równanie hiperboli przed
przesunięciem:
.
Stąd wykres funkcji powstał z przesunięcia wykresu funkcji
wzdłuż osi OX (w prawo) o 2 jednostki i wzdłuż osi OY (w górę) o jednostki
(o wektor ).
X
Y
3
2
2 2
1 6
1
63
12
x
xy
63
12
x
xy
xy 3
5
xy 3
5
f) Odczytywanie własności funkcji homograficznej , ,
(dziedziny, zbioru wartości, miejsca zerowego, przedziałów
monotoniczność i przedziałów, w których funkcja ma znak dodatni – ujemny)
na podstawie sporządzonego wykresu, np.:
xP xQ
dcx
baxxf
bcadc 0
qp,x
ky 0k
63
12
x
xy
3
235
223
522
63
522
63
12
xx
x
x
x
x
xy
63
12
x
xy
xy 3
5
32
32,2
dcx
baxxf
cdx
0bcad
137
X
Y
dcx
baxy
dcx
baxy
c
a
d
b
a
b c
d
Dziedzina: \ d
f cD
Zbiór wartości: ; ;a aW c c
Y
Miejsce zerowe: (jest to zarazem miejsce zerowe licznika)
Punkt szczególny: punkt przecięcia wykresu z osią OY:
W tym przykładzie:
f dla
f dla ; dc
x oraz dla ;dc
x
i nie istnieje
dla
dla
Asymptoty: pionowa: dc
x , pozioma: ac
y .
Przykładowe zadanie
X
Y
1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
6
-1-2-3-4-5-6-1
-2
-3
-4
-5
-6
xfy
P
a) Rysunek przedstawia wykres funkcji xf postaci dx
cbxxf
. Znajdź
współczynniki we wzorze funkcji xf .
abx 0
db;0
x
maxf minf
0xf ;;cd
abx
0xf cd
abx ;
138
b) Wykres funkcji xf otrzymano w wyniku przesunięcia wzdłuż osi układu
współrzędnych wykresu funkcji xg postaci x
axg . Znajdź współczynnik
a.
c) Narysuj wykres funkcji xg oraz podaj rozwiązanie nierówności
xgxf .
Komentarz Rozwiązanie
Wyznaczymy współczynniki b,
c, d korzystając kolejno z:
1° prosta 2x jest asymptotą
pionową wykresu funkcji,
2° wykres funkcji przecina oś OY
w punkcie 2;0 ,
3° do wykresu funkcji należy
punkt 5;3 P .
a)
dx
cbxxf
00 2
3 3 43 3 2
2 0 21
2 2 2 4
3 5 5 3
b c cd
b c bd
d d
x
b
2
43
x
xxf dla 2x
Wykres funkcji xf powstał
z przesunięcia wykresu xg
o 2 jednostki w lewo wzdłuż osi
OX i 3 jednostki w dół wzdłuż
osi OY. Zatem wzór funkcji
32
xaxf . Wykonamy
przekształcenia, aby otrzymać tę
postać.
b)
2
2
2
23
2
223
2
4623
2
43
xx
x
x
x
x
x
x
xxf
32
2
xxf dla 2x
Podajemy współczynnik a i wzór
funkcji xg .
2a
x
xg2
dla 0x
Wykonujemy wykres funkcji
xg i odczytujemy rozwiązanie
nierówności xgxf .
c)
X
Y
1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
6
-1-2-3-4-5-6-1
-2
-3
-4
-5
-6
xfy
xgy
0;2 xxgxf
Formułujemy odpowiedź. Odp. Funkcja xf jest określona wzorem
139
2
43
x
xxf , 2x , jej wykres powstał
z przesunięcia wzdłuż osi układu współrzędnych wykresu
funkcji x
xg2
, 0x . Rozwiązaniem nierówności
xgxf jest 0;2 .
4.6. Równania i nierówności wymierne
4.6.1. Definicje: równania i nierówności wymiernej
Niech xP i xQ będą wielomianami jednej zmiennej; 0xQ
a) Równanie wymierne:
0xQ
xP
Dziedzina równania wymiernego: \ : 0rD x Q x
Rozwiązywanie równania wymiernego polega na poszukiwaniu miejsca
zerowego funkcji wymiernej xQ
xPxf .
Rozwiązaniem (pierwiastkiem) równania wymiernego są te liczby dziedziny
równania, które spełniają równanie.
b) Nierówności wymierne:
ostre (mocne) słabe
0, 0, 0, 0P x P x P x P x
Q x Q x Q x Q x
Dziedzina nierówności wymiernej: \ : 0nrD x Q x
Rozwiązywanie nierówności wymiernych polega na wyznaczaniu
przedziałów, w których funkcja wymierna: xQ
xPxf ma znak: dodatni
( 0 ), ujemny ( 0 ), nieujemny ( 0 ), niedodatni ( 0 ).
Zbiorem rozwiązań nierówności wymiernej jest zbiór (przedział), w którym
funkcja wymierna xQ
xPxf ma określony (wyżej) znak.
140
4.6.2. Analogie między procedurą rozwiązywania równań i nierówności
wymiernych
Równanie wymierne Nierówności wymierne
Po
sta
ć
0xQ
xP
00
xQ
xP
xQ
xP
To
k
rozw
iązy
wa
nia
Wyznaczenie dziedziny \D {miejsca zerowe mianowników}.
Uwaga: W przypadku, gdy równanie czy nierówność nie ma po prawej stronie liczby
zero, tylko inną liczbę lub wyrażenie algebraiczne czy wymierne, to należy przenieść
wszystkie wyrażenia na stronę lewą (tak, by po prawej stronie było tylko zero) i
wykonując po stronie lewej działania na wyrażeniach wymiernych uzyskać stronę lewą
w postaci ilorazu wielomianów: xQ
xP.
Rozwiązaniem równania
0xQ
xP jest
każde miejsce zerowe wielomianu xP
należące do dziedziny równania
wymiernego. Zatem rozwiązanie
równania wymiernego
0xQ
xP
sprowadza się do rozwiązania równania
wielomianowego: 0xP w
dziedzinie \ : 0rD x Q x .
Liczby x spełniające równanie 0xP
i należące do dziedziny rD są
pierwiastkami równania wymiernego.
Nierówności wymierne rozwiązujemy
z wykorzystaniem następującego faktu:
znak ilorazu jest zawsze taki sam, jak znak
iloczynu. Zatem problem znaku ilorazu
xQ
xP (lewej strony nierówności) jest
równoważny problemowi znaku iloczynu:
xQxP w dziedzinie ilorazu. Stąd
nierówności
0
xQ
xP,
0
xQ
xP są
równoważne nierównościom
wielomianowym:
0
xQxP ,
0
xQxP
rozwiązywanym w dziedzinie
\ : 0nrD x Q x . Zbiorem
rozwiązań nierówności wymiernych jest
część wspólna (iloczyn) zbioru rozwiązań
odpowiednich nierówności
wielomianowych i zbioru nrD .
141
4.6.3. Równania i nierówności związane z funkcją homograficzną
dcx
baxxf
; 0c ; 0bcad
Równanie Nierówności
Związane z funkcją homograficzną
Po
sta
ć
0
dcx
bax
To
k r
ozw
iązy
wa
nia
Gdyby po prawej stronie nie było (samego) zera, należałoby przenieść wyrazy na stronę
lewą, wykonać tam działania i doprowadzić lewą stroną do postaci ilorazu dcx
bax
,
mając po prawej stronie (samo) zero.
Wyznaczenie dziedziny \ dc
D
Rozwiązaniem równania
0
dcx
bax jest miejsce
zerowe licznika: bax
należące do dziedziny .
Zatem, jeśli , to
pierwiastkiem równana jest
a
bx .
Rozwiązując nierówności
korzystamy
z faktu, że znak ilorazu jest zawsze taki sam, jak znak
iloczyny i przekształcamy je do postaci nierówności
wielomianowych:
00
dcxbaxdcxbax ,
które rozwiązujemy w dziedzinie .
Rozwiązanie równania -
zakończone
Zbiorem rozwiązań nierówności wymiernej jest część
wspólna (iloczyn) zbioru rozwiązań odpowiedniej
nierówności wielomianowej i zbioru .
Oto przykład:
Równanie Nierówności
Związane z funkcją homograficzną
Po
sta
ć
1
3
1
2
x
x
x
x
1
3
1
2
x
x
x
x
To
k r
ozw
iązy
wa
nia
Wyznaczamy dziedzinę \ 1,2D .
Przekształcamy, tak, aby lewa strona była postaci xQ
xP zaś prawa równa zero.
0
21
48
xx
x
po obustronnym pomnożeniu przez
0
21
48
xx
x
po zmianie ilorazu na iloczyn otrzymujemy
nierówność wielomianową:
00
dcx
bax
dcx
bax
D
Da
bx
00
dcx
bax
dcx
bax
D
D
142
21 xx otrzymujemy równanie
wielomianowe Dxx 048 .
Odp. 21x .
Dxxxx 02148
przedstawiając graficznie z uwzględnieniem
dziedziny D :
Rozwiązanie równania - zakończone -1 2 2
1
+ + - -
otrzymujemy:
Odp. ;2;121x .
Uwaga: Zamiast zamiany ilorazu xQ
xP na iloczyn xQxP
w nierównościach:
0
P x
Q x
, można obustronnie mnożyć te nierówności przez
kwadrat mianownika (jest on dodatni) i otrzymać równoważne nierówności
o tym samym kierunku: 0
xQxP .
Przykładowe zadanie
Rozwiąż:
a) 284
7
x
x; b)
2
2
21
22
2
xx
x
x
x
x
x.
Komentarz Rozwiązanie
Wyznaczymy dziedzinę
nierówności, a następnie
przekształcimy je do
postaci równoważnego
iloczynu.
a)
284
7
x
x
dla 084 x
2x
\ 2nrD
0284
7
x
x
0
84
8427
x
xx
143
08499
084
99
xx
x
x
021 xx
2
02
1
01
x
x
x
x
+- -
-2 -1
Odp. a) ;12;x
Wyznaczymy dziedzinę
równania, a następnie jego
lewą stronę zapiszemy
w postaci ułamka.
Porównując liczniki
ułamków po obu stronach
równania wyznaczymy
niewiadomą x.
b)
2
2
21
22
2
xx
x
x
x
x
x
dla 022 xx
1
2
39
231
2
231
1
x
x
\ 2;1rD
21
2
21
2 2
xx
x
x
x
x
x
21
2
21
122 2
xx
x
xx
xxxx
25
21
2
21
5
22
22
xxx
xx
x
xx
xx
rDx 52
Odp. b) 52x
Formułujemy odpowiedź. Odp.
a) ;12;x
b) 52x
144
145
5. Funkcje trygonometryczne
5.1. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie
prostokątnym
5.1.1. Miara stopniowa i łukowa kąta
Miara stopniowa: jednostką jest 1360
1 część kąta pełnego
061 ; 061
Miara łukowa (radialna): jednostką jest 1 rad (radian)
Radian jest miarą kąta środkowego opartego na łuku o długości równej
promieniowi okręgu.
rl
r
r1 rad
Związek miary stopniowej z łukową:
rad 180X
, np. 30 rad
6
rad180
x
, np. rad 454
5.1.2. Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego
A B
C
a b
c
a, b – przyprostokątne
c – przeciwprostokątna
, – kąty ostre w trójkącie prostokątnym
90
przyprostokątna przeciwległa kątowi sin
przeciwprostokątna
a
c
przyprostokątna przyległa kątowi cos
przeciwprostokątna
b
c
przyprostokątna przeciwległa kątowi tg
przyprostokątna przyległa kątowi
a
b
przyprostokątna przyległa kątowi ctg
przyprostokątna przeciwległa kątowi
b
a
146
5.1.3. Wartości funkcji trygonometrycznych wybranych kątów
Wartość
funkcji
trygonometrycznych 6
30
4
45
3
60
sin 12
2
2
3
2
cos 3
2 2
2
12
tg 3
3 1 3
ctg 3 1 3
3
Przykładowe zadanie
Na rysunku została przedstawiona
przednia ściana zegara. Drewniana
obudowa ma kształt pięciokąta, który ma
oś symetrii. Oblicz długość średnicy tarczy
zegara.
Komentarz Rozwiązanie
Wykonamy oznaczenia na
rysunku oraz opiszemy je.
A B
C
D
E
F G H
S
O
20 60
12 120
AB cm DAF
CH cm DCE
Prosta CH jest osią symetrii
pięciokąta. Stąd wynikają
równości:
12
12
12
60
60
AD BE
DC EC
AF GB
AH HB AB
DO OE DE
DAF GBE
DCO OCE DCE
12cm
20cm
60
120
147
Trójkąt AFD jest prostokątny.
Wyznaczymy tangens
DAF .
60
3 3 *
DFtg DAF
AF
DFtg
AF
DFDF AF
AF
Trójkąt DOC jest trójkątem
prostokątnym. Wyrazimy
długości jego
przyprostokątnych. 12
2 2
2 20 2
10
12
AB FG AF DE AF
DE AB AF AF
DO DE AF
CH CO OH CO DF
CO CH DF DF
Uwzględniając (*) otrzymujemy
312 AFCO
Wyznaczymy tangens
DCO .
60
103 10 3 12 3
12 3
10 12 3 3 6 3 5
DOtg DCO
CO
DOtg
CO
AFAF AF
AF
AF AF AF
Obliczymy długość odcinka
DE. Długość ta jest równa
długości średnicy tarczy
zegara.
325631230
536220220
DE
AFDE
Formułujemy odpowiedź. Odp. Średnica tarczy zegara ma długość cm3256 .
148
5.2. Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta
5.2.1. Kąt skierowany w układzie współrzędnych
Kąt skierowany:
A
B
O
O – wierzchołek kąta
OA – ramię początkowe kąta OB – ramię końcowe kąta
Kąt skierowany w układzie współrzędnych XOY:
O(0,0) – wierzchołek kąta
OX – ramię początkowe kąta OP – ramię końcowe kąta ; 0,0, OyxP
O X
Y
P
O X
Y
P
O X
Y
P
O X
Y
P
– kąt ćwiartki I – kąt ćwiartki I I – kąt ćwiartki I II – kąt ćwiartki IV
– dowolny kąt
5.2.2. Definicje funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta
Niech 22 yxrOP ; 0r – promień wodzący punktu yxP , . Dla
dowolnego kąta przyjmujemy rzędna punktu
sinpromień wodzący
, - dowolne; 0odcięta punktu
cospromień wodzący
y P
rx y r
x P
r
0rzędna punktu tg ;
- dowolneodcięta punktu
xy P
yx P
0odcięta punktu ctg ;
- dowolnerzędna punktu
yx P
xy P
149
5.2.3. Wartości funkcji trygonometrycznych kątów 360;0
Na podstawie definicji można obliczyć wartości funkcji trygonometrycznych
niektórych szczególnych kątów oraz znaki funkcji trygonometrycznych kątów
różnych ćwiartek.
Wartości
funkcji
trygonome-trycznych
0
0
kąt
I ćw.
2
90
kąt
II ćw.
180
kąt
III ćw.
32
270
kąt
IV ćw.
360
2
0
0
x
y
r x
0
0
0
r
y
x
0
0
x
y
r y
0
0
0
r
y
x
0
0
x
y
r x
0
0
0
r
y
x
0
0
x
y
x y
0
0
0
r
y
x
0
0
x
y
r x
sin 0 + 1 + 0 - -1 - 0
cos 1 + 0 - -1 - 0 + 1
tg 0 + nie
istnieje - 0 + nie istnieje - 0
ctg nie
istnieje + 0 -
nie istnieje
+ 0 - nie
istnieje
5.2.4. Wzory redukcyjne
2
90
180
2
3270
2360
00
Ićw. IIćw.
IIIćw. IVćw.
150
Przykładowe zadanie
Oblicz cossin wiedząc, że jest takim kątem, że 23
sin cos .
Komentarz Rozwiązanie
Korzystając z definicji funkcji
sinus i cosinus kąta zapisujemy
równość 3
2cossin
w równoważnej postaci.
2 2sin cos
3 3
y x
r r
gdzie yxP , jest dowolnym punktem na końcowym
ramieniu kąta oraz 0222 yxr
Po podniesieniu obu stron
równości do kwadratu i wykonaniu
przekształceń otrzymujemy
zależność (*).
2 22
3
y x
r r
2
2
4
9
y x
r
2 2
2
2 4
9
x xy y
r
2 2
2 2
2 4
9
x y xy
r r
2
2 2
2 4
9
r xy
r r
2
2 41
9
xy
r
2
2 5*
9
xy
r
Korzystając z definicji zapisujemy
wyrażenie cossin . r
x
r
y cossin
Po podniesieniu do kwadratu
otrzymujemy
222
2
22
22
2
222
2
21
22
2cossin
r
xy
r
xy
r
r
r
xy
r
yx
r
xxyy
r
x
r
y
Uwzględniając (*) obliczamy 2 5 14
9 9sin cos 1
Wyznaczymy wartość wyrażenia
cossin .
22 14 14
3 3sin cos sin cos
lub
22 14 14
3 3sin cos sin cos
Formułujemy odpowiedź. Odp. Wartość wyrażenia cossin wynosi
14
3 lub
14
3 .
151
5.3. Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej
5.3.1. Definicje funkcji trygonometrycznych zmiennej rzeczywistej
a) sin : 1,1
sinx y x
b) cos : 1,1
cosx y x
c) 2tg : \ :x x k k
tgx y x
d) ctg : \ :x x k k
ctgx y x
5.3.2. Tabela zmienności funkcji trygonometrycznych w przedziale
2;0x
x 0 20;
2 2
; 32
; 32 3
2;2 2
sin 0 1 0 -1 0
cos 1 0 -1 0 1
tg 0
0
0
ctg 0
0
5.3.3. Okresowość funkcji trygonometrycznych
Dla k zachodzi:
sin 2 sin cos 2 cos
tg tg ctg ctg
x k x x k x
x k x x k x
152
x
2;x k k
;x k k
5.3.4. Wykresy funkcji trygonometrycznych zmiennej rzeczywistej
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
2
3
2
3
2
3
x
x
x
x
y
xy sin
xy cos
tgxy
ctgxy
Przykładowe zadanie
Narysuj w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji xxf cos
i 1sin xxg dla 4,0x . Na podstawie wykresów podaj:
a) miejsca zerowe funkcji xg ,
b) przedziały, w których obie funkcje jednocześnie są malejące,
c) rozwiązanie nierówności 01sincos xx .
Komentarz Rozwiązanie
Sporządzamy wykresy funkcji. Wykres
funkcji xg otrzymujemy przesuwając
o 1 jednostkę do góry wzdłuż osi OY
wykres xy sin . 2
7 2
5 2
3 2
2 3 4 x
y
1 2
1
1sin xy
xy cos
Odczytujemy z wykresu miejsca zerowe
funkcji xg . 3 7
0 02 2,x x
Odczytujemy z wykresu przedziały,
w których obie funkcje jednocześnie są
malejące.
52 2; , ;3
okres
2
okres
153
Wyznaczamy rozwiązanie nierówności
01sincos xx . Funkcja xg
nie przyjmuje wartości ujemnych.
Zatem 00 xfxgxf .
Odczytujemy z wykresu zbiór
argumentów, dla których funkcja xf
przyjmuje wartości ujemne
(argumentom tym odpowiada część
wykresu funkcji poniżej osi OX).
3 5 72 2 2 2
cos sin 1 0 cos 0
; ;
x x x
x
Formułujemy odpowiedź. Odp. Miejscami zerowymi funkcji xg są 32 i 7
2 .
Funkcje xf i xg są jednocześnie malejące
w przedziałach 2; oraz 5
2;3 . Rozwiązaniem
nierówności 01sincos xx jest zbiór
3 5 72 2 2 2; ; .
5.3.5. Związki między funkcjami trygonometrycznymi
a) Najprostsze tożsamości trygonometryczne
Związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego argumentu
(1) 1cossin 22 xx
(2) 2
sintg ;
cos
xx x k k
x
(3) cos
ctg ;sin
xx x k k
x
(4) 2
tg ctg 1;x x x k k
(5) 2
1tg
ctgxx x k k
(6) 2
1ctg
tgx x k k
x
b) Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy argumentów (dla tych
argumentów, dla których są one określone)
(1) yxyxyx sincoscossinsin
(2) yxyxyx sinsincoscoscos
(3) tg tg
tg1 tg tg
x yx y
x y
(4) ctg ctg 1
ctgctg ctg
x yx y
x y
154
c) Funkcje trygonometryczne wielokrotności argumentów (dla tych
argumentów, dla których są one określone)
(1) xxx cossin22sin
(2) xxxxx 2222 sin211cos2sincos2cos
(3) 2
2tgtg2
1 tg
xx
x
(4) 2ctg 1
ctg22ctg
xx
x
d) Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych (dla tych argumentów, dla
których są one określone)
(1) 2
cos2
sin2sinsinyxyx
yx
(2) 2
sin2
cos2sinsinyxyx
yx
(3) 2
cos2
cos2coscosyxyx
yx
(4) 2
sin2
sin2coscosyxyx
yx
(5) sin
tg tgcos cos
x yx y
x y
(6) sin
ctg ctgsin sin
y xx y
x y
Przykładowe zadanie
Wykaż, że
a) sin 1
ctg1 cos sin
xx
x x
,
b) 7cos25sin11sin61sin47sin . Komentarz Rozwiązanie
Określimy dziedzinę wyrażenia. a)
2 2
1 1
1 cos 0sin 0
cos 1 i, C
2 ,
xx
xx k k
x k k
: ,D x x k k
155
Przekształcimy lewą stronę równości.
Kolejno:
- zastąpimy ctgx przez x
x
sin
cos,
- sprowadzimy ułamki do wspólnego
mianownika i wykonamy dodawanie,
- zastosujemy wzór 1cossin 22 xx ,
- skrócimy ułamek przez 1cos x .
W wyniku tych przekształceń otrzymujemy
wyrażenia równe prawej stronie tożsamości.
2 2
sin cos sinctg
1 cos sin 1 cos
cos 1 cos sin sin
sin 1 cos
cos cos sin cos 1
sin 1 cos sin 1 cos
1
sin
x x xL x
x x x
x x x x
x x
x x x x
x x x x
Px
PL
Korzystając ze wzoru
2sin
2cos2sinsin
yxyxyx
obliczymy kolejno różnice:
25sin41sin i 11sin61sin .
b)
25sin36cos2
2
1161sin
2
1161cos211sin61sin
11sin36cos2
2
2547sin
2
2547cos225sin47sin
Przekształcimy lewą stronę równości.
sin 47 sin 61 sin11 sin 25
sin 47 sin11 sin 61 sin 25
2cos36 sin11 2cos36 sin 25
2cos36 sin11 sin 25 *
L
Obliczymy sumę 25sin11sin .
Stosujemy wzór
2cos
2sin2sinsin
yxyxyx
.
7cos18cos27cos18sin2
2
2511cos
2
2511sin225sin11sin
Po podstawieniu obliczonej sumy do (*)
otrzymujemy (**).
2cos36 2sin18 cos7
4cos36 sin18 cos7 **
Wyznaczymy wartość 18sin .
Ponieważ 18236 możemy
zastosować wzór xxx cossin22sin .
18cos2
36sin18sin
18cos18sin236sin
Obliczoną wartość podstawiamy do **.
7cos18cos
36cos36sin2
7cos18cos2
36sin36cos47cos18sin36cos4
156
Uwzględniając związki
36cos36sin272sin
i 18cos72sin mamy
PL
P
7cos7cos
72sin
72sin7cos
18cos
72sin
Formułujemy odpowiedź. Odp. Obie równości podane w treści zadania są
prawdziwe.
5.4. Typy elementarnych równań trygonometrycznych
Elementarne równanie
trygonometryczne Ilustracja graficzna
Rozwiązanie
podstawowe: 0x
Rozwiązanie
ogólne: x
sin ;x a x
ma rozwiązanie dla
1,1a
a
0x
2;
20
x
kxx 20
albo
kxx 20
k
cos ;x a x
ma rozwiązanie dla
1,1a
0x
a
,00 x kxx 20
k
tg ;2
x a x k
k
ma rozwiązanie dla
a
a
0x
2;
20
x
kxx 0
k
157
ctg ;x a x k
k
ma rozwiązanie dla
a
a
0x
,00 x kxx 0
k
Przykładowe zadanie
Rozwiąż równanie: 2144 cossin xx dla 2;0x .
Komentarz Rozwiązanie
Lewą stronę równania możemy
przedstawić jako różnicę kwadratów.
4 4 12
2 22 2 1
2
sin cos dla 0;2
sin cos
x x x
x x
Zapisujemy wzory na różnicę kwadratów
1cossin 22 xx .
2 2 2 2 12
2 2 12
2 2 12
2 12
2 32
2 34
2 22 23 3
2 2
3 3
2 2
sin cos sin cos
sin cos
sin 1 sin
2sin 1
2sin
sin
sin lub sin
sin * lub sin **
x x x x
x x
x x
x
x
x
x x
x x
Wyznaczamy rozwiązanie równania (*)
dla 2;0x . 2
3sin x
3sinsin x lub
3
sinsin x
3x lub
32
3 x
158
Wyznaczymy rozwiązanie równania (**)
dla 2;0x . 2
3sin x
3
sinsin x lub
3
2sinsin x
34sinsin x lub
35sinsin x
34x lub
35x
Wyznaczymy rozwiązanie równania
2144 cossin xx dla 2;0x .
3dla 1,2,4,5kx k
159
6. Funkcje cyklometryczne
Są to funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych, po odpowiednim
zawężeniu ich dziedziny tak, aby były one różnowartościowe. Ich wykresy
otrzymujemy przez symetrię względem prostej y x wykresów funkcji
trygonometrycznych.
6.1. Arcus sinus
sin arcsiny x x y
2 2arcsin : 1;1 ;
2 2arcsin : arcsin 1;1 ;x y x x y
1
1
0
2
1
2
1x
y
xy sin
2
1
2
1
1 1
arcsiny x
y=x
6.2. Arcus cosinus
cos arccosy x x y
arccos : 1;1 0;
arccos : arccos 1;1 0;x y x x y
1
1
0
2
1x
y
2
1
1 1
y=x
xy cos
arccosy x
160
6.3. Arcus tangens
tg arctgy x x y
2 2arctg : ;
2 2arctg : arctg ;x y x x y
0
2
1
2
1x
y
tgxy
arctgy x
y=x
6.4. Arcus cotangens
ctg arcctgy x x y
arcctg : 0;
arcctg : arcctg 0;x y x x y
0
2
1
2
1 x
y
ctgxy
arcctgy x
y=x
161
Przykładowe zadanie
Oblicz: 12
arcsin , 2
2arccos , arctg 3 , arcctg0 .
Komentarz Rozwiązanie
Korzystamy z zależności: arcsiny x , to
sinx y .
Niech 12
arcsiny
Czyli 12
sin y
Zatem 6
y
Odp. 12 6
arcsin .
arccosy x , to cosx y Niech 2
2arccosy
Czyli 2
2cos y
Zatem 4
y
Odp. 2
2 4arccos .
arctgy x , to tgx y Niech arctg 3y
Czyli tg 3y
Zatem 3
y
Odp. 3
arctg 3 .
arcctgy x , to ctgx y Niech arcctg0y
Czyli ctg 0y
Zatem 2
y
Odp. 2
arcctg0
162
163
7. Funkcje potęgowe, wykładnicze i logarytmiczne
7.1. Funkcja potęgowa
7.1.1. Potęga o wykładniku rzeczywistym
a) Definicja potęgi o wykładniku naturalnym, całkowitym i wymiernym oraz związek potęgi z pierwiastkiem są omówione w module 1.4.
b) Potęga o wykładniku niewymiernym: ka , gdzie k jest liczbą niewymierną, a
Wykładnik k , jako liczba niewymierna, ma rozwinięcie dziesiętne
nieskończone i nieokresowe, np. 3,141592653589793238462643 Liczbę
niewymierną k można przybliżyć dwoma ciągami przybliżeń:
np - z niedomiarem i nP - z nadmiarem. Wówczas
,n n n nn
p k P p P
, np.
43
np
nP
dla :
ciąg przybliżeń z niedomiarem: ;141,3;14,3;1,3;3np
ciąg przybliżeń z nadmiarem: ;142,3;15,3;2,3;4nP
Każdemu z ciągów przybliżeń: np i nP wykładnika k odpowiada ciąg
potęg nn Pkpaaa .
Wyrazy ciągów: npa i nP
a , to potęgi o wykładnikach wymiernych.
Ciągi: npa i nP
a są monotoniczne i ograniczone: ograniczony
z góry
npa i
ograniczony
z dołu
nPa , a więc
zbieżne.
Ponadto ciągi te mają wspólną granicę: ka . Czyli: nn P
n
kp
naaa
limlim .
c) Własności potęg o wykładniku niewymiernym – są takie same, jak
własności potęg o wykładniku wymiernym (w tym naturalnym i całkowitym).
d) Potęga o wykładniku rzeczywistym: ra , r - jest liczbą rzeczywistą, 0a .
Qr
Qr
Rr
(potęga o wykładniku wymiernym)
(potęga o wykładniku niewymiernym)
164
e) Własności potęg o wykładniku rzeczywistym – są takie same, jak
własności potęg o wykładniku wymiernym
7.1.2. Definicja, wykres i własności funkcji potęgowej
a) Funkcja potęgowa (argument jest w potędze t ) – to funkcja postaci:
, gdzie tx y x t
Np. 3xy , 51
xy , 2 xy .
b) Dziedzina fD funkcji potęgowej zależy od wartości wykładnika t :
(1) ft D , np. 3xy ; fD
(2) \ 0ft D , np. 2
2 1
xxy ; \ 0fD
(3) \ 0ft D , np. xxy 21
; 0fD
(4) \ ft D , np. 4
141
xxy
; fD
(5) ft D , np.
3xy ;
Uwaga: Funkcje nxxf1
i n xxg dla 2n k k są równe, bo:
1
0n n
f gx x D D , ale dla 2 1 \ 1n k k są one różne,
bo mają różne dziedziny: 0f gD D .
c) Ogólne własności funkcji potęgowych txy , t
(1) monotoniczność
0t 0t 0t
ty x dla
,0x consty 1 dla x
ty x dla
,0x
(2) parzystość dla t :
t
2 2t t k t t k 2 1 2 1t t k t t k
txy - parzysta,
gdy t - parzysta ( t )
txy - nieparzysta,
gdy t - nieparzysta ( t )
(3) funkcje potęgowe nie są okresowe
165
d) Przykład równania potęgowego i nierówności potęgowej:
(1) równanie potęgowe: 432
x ; 0rD
642 x (równanie kwadratowe w rD )
1 8 0x
2 8 0x
Odp. 8x
(2) nierówność potęgowa: 21 xx ; 0nrD
211
xx (nierówność wymierna)
01
2
x
x
012 xx
0 1 nrDx
Odp. ,0 0,1x
e) Wykresy i własności niektórych funkcji potęgowych. Wartość wykładnika t Postać funkcji Wykres Własności
t
0t 10 xy
X
Y
0
1 1y
\ 0fD ,
funkcja stała,
brak miejsc
zerowych,
brak ekstremum,
funkcja parzysta
t – liczba parzysta
2 ,t k k
np. 2
4
6
y x
y x
y x
X
Y
0
4
2
xy
xy
fD ,
funkcja
niemonotoniczna,
ma miejsce zerowe:
00 x , ma min.
0,0 mm yx
funkcja parzysta,
funkcja nieujemna
t – liczba
nieparzysta
2 1,t k k
np. 1
3
5
y x
y x
y x
X
Y
1
1
-1
-1
5
3
1
xyxy
xy
fD , f ,
nieparzysta,
ma miejsce zerowe:
00 x ,
brak ekstremum
166
t
t – liczba parzysta
2 ,t k k
np.
2
4
2 1
4 1
x
x
y x
y x
X
Y
1
-1 1
4
2
xy
xy
\ 0fD ,
funkcja
niemonotoniczna,
brak miejsc
zerowych,
brak ekstremum,
funkcja parzysta,
funkcja dodatnia
t
t – liczba nieparzysta
2 1,t k k
np.
3
1 1
3 1
x
x
y x
y x
X
Y
1
1-1
-1
31
1
x
x
y
y
\ 0fD ,
funkcja
niemonotoniczna,
brak miejsc
zerowych,
brak ekstremum,
funkcja nieparzysta
1k
t t ,
3,2k
np.
51
41
31
21
4
xy
xxy
xy
xxy
X
Y 1
1
41
312
1
xyxy
xy
0fD ,
f , funkcja
nieujemna,
ma miejsce zerowe:
00 x ,
nie ma ekstremum
Uwaga: Funkcja kxy1
, dla 0x jest funkcją odwrotną do funkcji kxy dla ,3,2k ,
np. 2xy dla 2
1
0 xyx to funkcje wzajemnie odwrotne
Uwaga: Dla ,4,3,212 kkn
Wykres funkcji nxy1
,
np. 31
xy , to:
X
Y 31
xy
0x
Wykres funkcji n xy ,
np. 3 xy , to:
X
Y
3 xy
Rx
Przykładowe zadanie 1
Rozwiąż metodą graficzną układy nierówności:
xy
xy 3
oraz wyznacz współrzędne punktów przecięcia się krzywych określonych
równaniami: 3xy i xy .
167
Komentarz Rozwiązanie
Wyznaczymy rozwiązania
nierówności 3xy
i xy .
1 2 3 4X
Y
-1 0-2-3-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
1
2
3
4
5
6
7
8
1 2 3 4X
Y
-1 0-2-3-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
1
2
3
4
5
6
7
8
3xy
Rxxy ,3
xy
0, xxy
Rozwiązaniem układu
nierówności jest część
wspólna rozwiązań obu
nierówności. Współrzędne
punktów przecięcia się obu
krzywych wyznaczymy
rozwiązując układ równań
xy
xy 3
xy
xy 3
dla 0x
2
3
3 /
xy
xx
3
6
xy
xx
3
6 0
xy
xx
3
5 1001
xy
xxxx
0
0
y
x
1
1
y
x
1 2 3 4X
Y
-1 0-2-3-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
1
2
3
4
5
6
7
8
xy 3
xy
A
B
0,0A
1,1B
Formułujemy odpowiedź.
Odp. Krzywe 3y x i y x , 0x przecinają się w
punktach 0,0A i 1,1B .
168
1X
Y
-1 0-1
1
4xy
1yx
C
1,1C
Przykładowe zadanie 2
Rozwiąż metodą graficzną układy nierówności:
1
4
xy
xy
oraz wyznacz współrzędne punktów przecięcia się krzywych określonych
równaniami: 4xy i 1 xy .
Komentarz Rozwiązanie
Wyznaczamy rozwiązania
nierówności 4xy i
1 xy , 0x
1X
Y
-1 0-1
1
1X
Y
-1 0-1
1
4xy
4xy
x
y 1
0,1 xyx
Wyznaczamy rozwiązanie
układu nierówności oraz
współrzędne punktu C.
1
4
xy
xy dla 0x
4
14 /
xy
xxx
4
05
xy
xx
4
5 1
xy
x
1
1
y
x
Formułujemy odpowiedź. Odp. Krzywe 4xy i
1 xy , 0x przecinają się w
punkcie 1,1C .
169
7.2. Funkcja wykładnicza
7.2.1. Definicja, wykres i własności funkcji wykładniczej
a) Funkcja wykładnicza (argument w wykładniku) – to funkcja postaci:
, 0,xx y a a x
Uwaga: Dla 1a funkcja wykładnicza 1 xay staje się funkcją liniową
(stałą), stąd też w definicji można przyjąć dodatkowo że 1a .
b) Dziedzina funkcji wykładniczej: xaD
c) Własności funkcji wykładniczej
(1) 1 xa y a (f. rosnąca)
(2) 0 1 xa y a (f. malejąca)
(3) 1 1a y (f. stała)
(4) xaya 1 (jest różnowartościowa)
(5)
0
0x
xa
a
(funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla fDx )
(6) brak miejsc zerowych
(7) brak ekstremum
(8) punkt szczególny: 0;1P
d) Wykres funkcji wykładniczej – to krzywa wykładnicza – jej położenie
zależy od wartości podstawy 0a
X
Y
1,0P
xay xay dla 10 a dla 1a
(f ) (f )
X
Y
1,0P
1y
dla 10 aa dla 1a
Uwaga 1: Dla 1a funkcja wykładnicza jest różnowartościowa.
Uwaga 2: Wykresy funkcji: xay i xa
y 1 są do siebie symetryczne
względem osi OY 1,0,1 1 a
a .
Uwaga 3: Wykres funkcji wykładniczej xay ma asymptotę poziomą: 0y
(oś OX).
0 dla 0,1lim
dla 1
x
x
aa
a
dla 0,1lim
0 dla 1
x
x
aa
a
170
e) Własność funkcji wykładniczej: xay 10 aa wynikająca
z różnowartościowości i stosowana do rozwiązywania równań
wykładniczych:
2121 xxaa
xx (podstawę a można opuścić)
f) Własności funkcji wykładniczej: xay ; 10 aa wynikające
z monotoniczności i stosowane do rozwiązywania nierówności
wykładniczych.
dla 10 a dla 1a
1 2
1 2
x xa a
x x
1 2
1 2
x xa a
x x
1 2
1 2
x xa a
x x
1 2
1 2
x xa a
x x
Dla 1,0a wartości funkcji:
1
1
xaxf i 2
2
xaxf
są w odwrotnej zależności, jak argumenty 1x i 2x .
Dla ,1a wartości funkcji:
1
1
xaxf i 2
2
xaxf
są w takiej samej zależności, jak argumenty 1x i 2x .
Uwaga: Zależności w powyższej tabeli odnoszą się również do nierówności
słabych.
7.2.2. Równania i nierówności wykładnicze
Zarówno równanie, jak i nierówność (nie tylko wykładnicze) we wstępnym
etapie rozwiązujemy wykonując te same przekształcenia.
a) Definicja: Równanie wykładnicze i nierówność wykładnicza ma
niewiadomą usytuowaną w wykładniku potęgi (stąd pochodzi nazwa), np.
22
313
xx ; 12
52
25
xx
.
b) Wspólna procedura rozwiązywania niektórych równań i nierówności
wykładniczych:
(1) wyznaczenie dziedziny,
(2) sprowadzenie obu stron równania i nierówności do jednakowych
(wspólnych) podstaw,
171
(3) porównanie wykładników obu stron – po opuszczeniu wspólnych podstaw: W przypadku równania:
przyrównujemy same wykładniki otrzymując
równanie wielomianowe, lub wymierne, które
następnie rozwiązujemy. Wybieramy z
dziedziny równania wykładniczego obliczone
wartości niewiadomej (x) i formułujemy
odpowiedź.
W przypadku nierówności:
porównując te same wykładniki: albo
zmieniamy kierunek nierówności na
przeciwny (gdy podstawa 1,0a , albo
zachowujemy taki sam kierunek nierówności,
gdy podstawa ,1a .
Otrzymaną nierówność wielomianową lub
wymierną rozwiązujemy wraz z ilustracją na
osi liczbowej. Zbiór jej rozwiązań zawężamy
do dziedziny nierówności wykładniczej;
formułujemy odpowiedź.
c) Układ równań lub nierówności wykładniczych to koniunkcja odpowiednio
równań lub nierówności wykładniczych.
d) Przykłady: Równanie Nierówność
wykładnicze/wykładnicza
5
32
6
5,1
xx
\ 0rD
wyznaczanie
dziedziny 5
32
6
5,1
xx
\ 0nrD
xx 65
23
23
xxx /5 6
rDxxx 0652
032 xx
rDx 21
rDx 32
sprowadzenie
obu stron do
wspólnych
podstaw,
porównanie
wykładników po
opuszczeniu
podstaw,
rozwiązywanie
w wyznaczonej
na początku
dziedzinie
5
32
32
6 x
x
(zmiana kierunku nierówności)
56 x
x
(podstawa 1,032 a )
056 x
x
nrDxx
xx
0
652
0652
x
xx
0652 xxx
nrDxxxx 032
0 1 2
-+-+
Odp. 21 x , 32 x sformułowanie
odpowiedzi Odp. 3;20, x
172
Przykładowe zdanie
Określ liczbę rozwiązań równania 1
222
2
n
nx w zależności od wartości n.
Podaj wzór i sporządź wykres funkcji ng wyrażającej liczbę pierwiastków
równania 1
222
2
n
nx w zależności od wartości n.
Komentarz Rozwiązanie
Wykonamy wykres funkcji
22 xxf przekształcając
kolejno wykresy funkcji:
1° xxf 21
2° 22212 xxfxf
3° 222 xxfxf
x -1 0 1 2 3
x2 21
1 2 4 8
1 2 3 4X
Y
-1 0-2-3-1
-2
1
2
3
4
5
6
7
8 xy 2
1 2 3 4X
Y
-1 0-2-3-1
-2
1
2
3
4
5
6
7
8
22 xy
1 2 3 4X
Y
-1 0-2-3-1
-2
1
2
3
4
5
6
7
8
22 xy
Oznaczamy 1
22
n
n przez t .
Liczba rozwiązań równania
tx 22 jest równa liczbie
punktów wspólnych krzywej
o równaniu 22 xy i
prostej ty i zależy od
wartości t .
1 2 3 4X
Y
-1 0-2-3-1
-2
1
2
3
4
5
6
7
8 22 xy
2 ty jeden punkt wspólny
2 ty jeden punk t wspólny
20, tty dwa punkty wspólne0 ty jeden punkt wspólny
0 ty brak punktów wspólnych
Równanie tx 22 nie ma
rozwiązań dla 0t .
Wyznaczymy wartości n, dla
których równanie
1
222
2
n
nx nie ma
rozwiązań.
0t
2,20201
12
nnn
n
n
173
Równanie tx 22 ma jedno
rozwiązanie dla 0t lub 2t. Wyznaczymy wartości n, dla
których równanie
1
222
2
n
nx ma jedno
rozwiązanie.
20 tt
01
12
n
n 2
1
12
n
n
02 n
21
1222
2
n
nn
2n 01
22
2
n
nn
02 2 nn
012 nn
21;0n
Równanie tx 22 ma dwa
rozwiązania dla 20 t .
Wyznaczymy wartości n, dla
których równanie
1
222
2
n
nx ma dwa
rozwiązania.
;0,2202021nnttt
;0,221n
Zapisujemy wzór funkcji ng :
12
12
0 dla , 2
1 dla 2 0,
2 dla 2,0 ;
n
g n n n
n
i narysujemy jej wykres.
Liczba rozwiązań równania
1 2 3 4X
Y
-10
-2-3 -1
-2
1
2
Formułujemy odpowiedź. Odp. Równanie
1
222
2
n
nx ma dwa rozwiązania dla
;0,221n , jedno rozwiązanie dla 2n lub
21,0n , nie ma rozwiązań dla 2,n .
7.3. Funkcja logarytmiczna
7.3.1. Definicja, wykres i własności funkcji logarytmicznej
a) Funkcja logarytmiczna (argument pod logarytmem) – to funkcja postaci:
log ; 0 1,ax y x a a x
174
b) Dziedzina funkcji logarytmicznej: log xD
c) Własności funkcji logarytmicznej:
(1) 1 logaa y x (f. rosnąca)
(2) 0 1 logaa y x (f. malejąca)
(3) xy alog jest różnowartościowa
(4)
0 1
logaxa a
x
(f. przyjmuje wartości rzeczywiste)
(5) 10 x ma jedno miejsce zerowe
(6) brak ekstremum
(7) Punkt szczególny 1;0P
d) Wykres funkcji logarytmicznej – to krzywa logarytmiczna – jej położenie
zależy od wartości a 10 aa
X
Y
1,0Pdla 10 a
dla 1a
(f )
(f )
xy alog
xy alog Uwaga 1: Wykresy funkcji xy alog i xy
a1log są do siebie symetryczne
względem osi OX.
Uwaga 2: Wykres funkcji logarytmicznej ma w 0x prawostronną asymptotę
pionową: 0x (oś OY)
0
; dla 0,1lim log
; dla 1,a
x
ax
a
e) Własność funkcji logarytmicznej: xy alog 10 aa wynikająca
z różnowartościowości i stosowana do rozwiązywania równań
logarytmicznych:
2121 loglog xxxx aa
(logarytm o podstawie a można opuścić)
monotoniczność zależy od a
175
f) Własności funkcji logarytmicznej: xy alog 10 aa wynikające
z monotoniczności i stonowane do rozwiązywania nierówności
logarytmicznych:
dla 10 a dla 1a
1 2
1 2
log loga ax x
x x
1 2
1 2
log loga ax x
x x
1 2
1 2
log loga ax x
x x
1 2
1 2
log loga ax x
x x
Dla 1,0a wartości funkcji
11 log xxf a i 22 log xxf a
są w odwrotnej zależności, jak argumenty 1x i 2x
Dla ,1a wartości funkcji
11 log xxf a i 22 log xxf a
są w takiej samej zależności, jak argumenty 1x i 2x
Uwaga: Zależności w powyższej tabeli odnoszą się również do nierówności
słabych.
7.3.2. Funkcja logarytmiczna, jako odwrotna do wykładniczej
a) Przypomnienie:
1 1
1 1 1 1
1 1
1
: :
: :
na na
f f f ff ff D D f D D D D
f x y f x f y x f y
y f x x f y
b) Funkcja wykładnicza, a logarytmiczna
funkcja wykładnicza f funkcja logarytmiczna 1f
1: x x
nax
a aa D D
1 1
log loglog : x xa aa x xa a
y D D D D
xx ayxa : yxyy aa log:log
logx
ay a x y
c) Wykresy funkcji wykładniczej i logarytmicznej:
X
Y
1,0
0,1
fay x
1log fxy a
dla 1a :
xy
X
Y
1,0
0,1
fay x
1log fxy a
xy
dla 10 a :
X
Y
1,0
0,1
10 aay x
1 aay x 1log axy a
10log axy a
176
d) Porównanie własności funkcji wykładniczej i logarytmicznej: Funkcja
wykładnicza xay 10 aa
Własności logarytmiczna
xy alog 10 aa
D ; 1D
dziedzina D ; 1D
2121 xxaa
xx
(opuszczamy wspólną podstawę) różnowartościowość
2121 loglog xxxx aa
(opuszczamy logarytm o wspólnej
podstawie)
2111 xxaa
xx
1a
(kierunek
nierówności bez
zmian)
2121 loglog xxxx aa
2111 xxaa
xx
10 a
(kierunek
nierówności
zmieniamy na
przeciwny)
2121 loglog xxxx aa
0;1P
Punkt przecięcia wykresu z osią
OY
punkt szczególny 1;0P
Punkt przecięcia wykresu z osią OX
Oś OX jest asymptotą poziomą asymptota wykresu Oś OY jest asymptotą pionową
x
aS
x yayOY
1 symetria wykresów xyxya
OXS
a 1loglog
Brak ekstremum
7.3.3. Równania i nierówności logarytmiczne
Zarówno równanie, jak i nierówność (nie tylko logarytmiczne) we wstępnym
etapie rozwiązujemy wykonując te same przekształcenia.
a) Definicja:
Równanie logarytmiczne i nierówność logarytmiczna ma niewiadomą
usytuowaną pod logarytmem (stąd nazwa), jako wyrażenie logarytmowane lub
jako podstawa logarytmu:
Np. 252log 4 x , 23log 2 xx ,
31log3log 22 xx , 12log1log xx xx
177
b) Wspólna procedura rozwiązywania niektórych równań i nierówności
logarytmicznych:
(1) wyznaczanie dziedziny:
Należy tu również pamiętać, że:
(I) wyrażenie logarytmowane musi być dodatnie
i (II) podstawa logarytmu (o ile zależy od niewiadomej), musi być dodatnia
i różna od 1.
Np. aby wyrażenie: 1
3log 2
x
xx
miało sens liczbowy nie wystarczy założyć, że
mianownik 1x jest różny od zera; należy ponadto założyć, że: (I) 01
3
x
x,
jako wyrażenie logarytmowane, i (II) 1202 xx , jako podstawa
logarytmu
(2) sprowadzenie obu stron równania i nierówności do logarytmów
o jednakowych (wspólnych) podstawach po, ewentualnym, uprzednim
zastosowaniu praw działań na logarytmach, np.:
- zastąpienie sumy logarytmów logarytmem iloczynu,
- zastąpienie różnicy logarytmów logarytmem ilorazu,
- zastąpienie iloczynu liczby i logarytmu - logarytmem potęgi,
(3) mając po obu stronach (równania, czy nierówności) logarytm o tej samej
podstawie przystępujemy do porównania wyrażeń logarytmowanych –
opuszczając logarytmy o wspólnych podstawach: w przypadku równania: w przypadku nierówności:
przyrównujemy same wyrażenia
logarytmowane otrzymując równanie
wielomianowe lub wymierne (ewentualnie
wykładnicze), które rozwiązujemy.
Wybieramy z dziedziny równania
logarytmicznego obliczone wartości
niewiadomej x i formułujemy odpowiedź.
porównując same wyrażenia logarytmowane:
albo zmieniamy kierunek nierówności na
przeciwny (gdy podstawa 1,0a ), albo
zachowujemy taki sam kierunek nierówności,
gdy podstawa ,1a .
Otrzymaną nierówność wielomianową, lub
wymierną (ewentualnie wykładniczą)
rozwiązujemy wraz z ilustracją na osi
liczbowej i zawężamy do dziedziny
nierówności logarytmicznej; formułujemy
odpowiedź.
Uwaga: Niekiedy – w przypadku bardzo skomplikowanych wyrażeń
logarytmowanych nie wyznacza się explicite dziedziny na początku
rozwiązywania, a dopiero na końcu po obliczeniu niewiadomych (x) sprawdza
się, podstawiając, czy wyrażenia logarytmowane są dodatnie, czyli, czy
logarytmy mają sens liczbowy – bywa to łatwiejsze, niż rozwiązywanie
wstępnych założeń. Jednak nie wolno zapomnieć o końcowym sprawdzeniu,
o którym jest powyżej mowa.
178
c) Układ równań lub nierówności logarytmicznych to koniunkcja
odpowiednio równań lub nierówności logarytmicznych.
d) Przykłady: Lp. Równania logarytmiczne Nierówności logarytmiczne
1. 35log 2 x
Założenia: 05x
czyli 5x
5
,5rD
wyznaczenie
dziedziny
35log 2 x
Założenia: 05x
czyli 5x
5
,5nrD
I sposób na podstawie definicji logarytmu:
325 x
,513x
Odp. 13x
II sposób:
8log5log 22 x
rDxx 85
,513x
sprowadzenie
obu stron do
równych podstaw
8log5log 22 x
Odp. 13x
porównanie
wyrażeń
logarytmowa-nych po
opuszczeniu
logarytmów o wspólnych
podstawach
rozwiązujemy w wyznaczonej na
początku
dziedzinie wraz z odpowiedzią
podstawa logarytmu
,12a
kierunek nierówności zachowujemy
nrDxx 85
13x
5 13
nrD
Odp. 13;5x
2. 22log1log xx xx
Założenia:
10
2
1
xx
x
x
0,1 1,rD
Wyznaczanie
dziedziny
12log1log xx xx
Założenia:
10
2
1
xx
x
x
,11,0nrD
221log xxx
z definicji logarytmu
2 23 2x x x
,513x
rDx 32
Odp.: Brak rozwiązań
Skorzystanie z praw działań na
logarytmach
12
log 1xx x
179
Sprowadzenie obu stron
nierówności do
logarytmów o jednakowych
podstawach
12
log logxx xx
x
są dwa przypadki
1° 1,0x 2° ,1x
Podstawa
xa jest
nieznana więc należy,
rozwiązać w
obu wersjach: ze zmianą
kierunku
nierówności w 1° i bez zmiany
kierunku
nierówności w 2°
12
xx
x
2 12
0x xx
12
xx
x
2 12
0x xx
02
2
15
2
15
x
xx
1,0 x
0
2
2
15
2
15
x
xx
,1x
-2 0 1
215
215
-+-+
nrD
-2 0 1
215
215
-+-+
nrD
5 1
2;1x x
Odp. 5 1
2;1x
Przykładowe zadanie 1
Rozwiąż układ równań:
2log3loglog
13log1log 22
yxyx
yx.
Komentarz Rozwiązanie
Wyznaczymy
dziedzinę układu
równań.
022 yx 0 yx 0 yx
00 yx xy xy
lub
00 xy
1
1
xy xy
D
Przekształcimy oba
równania do postaci
równoważnych
stosując własności
logarytmów i prawa
działań na nich.
13log1log 22 yx
2log3loglog yxyx
10log13loglog 22 yx 8loglog
yx
yx
130loglog 22 yx 8
yx
yx
13022 yx
180
8 9 7 *x y x y y x
13022
xyyx
2 2
64 ***x y x y
2
130 2 **x y xy
Porównując (**)
i (***) otrzymujemy
równanie:
2642130 yxxy
xyyxxy 264642130 22
xyxy 128130642130
13063130 xy
63xy
Uwzględniając (*)
mamy: 636363 xy
636397 yx
979777 xx
99 xx
9x
63 yx
7y
7
9
y
x
Formułujemy
odpowiedź.
7
9
y
x
Przykładowe zadanie 2
Wykaż, że para liczb
27log9log3log2 5,042
2
2
x i 2666 2log12log3log y
są rozwiązaniami układu równań:
01,010
9logloglog2
xy
yx.
Komentarz Rozwiązanie
Wyznaczamy x. 27log9log3log2
22 5,042
x
5,0log
27log
4log
9log9log
22
2
2
2
22
x
1
27log
2
9log9log
22
222
x
27log9log2
19log
2
2 222
x
181
27log9log2
1
22 22
x
27log3log
2
2 22
x
91
2log
22x
3log2
22 2
x
3log2
2
1 2x
3log2 221
2
x
3log2 2x
3x
Wyznaczamy y. 2666 2log12log3log y
2666 2log43log3log y
26666 2log4log3log3log y
2666
2
6 2log4log3log3log y
2666
2
6 2log2log3log23log y
266 2log3log y
26 6logy
21y
1y
Sprawdzimy, czy
3x i 1y
spełniają oba
równania.
1°. 9logloglog2 yx
PL 9log09log1log3log2
2°. 01,010 xy
PL 01,01010 231
Formułujemy
odpowiedź. Rozwiązaniem danego układu równań jest para liczb 3x i 1y .
182
183
8. Ciągi, granica ciągu i szeregi liczbowe
8.1. Ciąg, jako funkcja
a) funkcja
(dziedzina)(zbiór wartości funkcji)
: Wf X Y X Y
(argument funkcji)
(wartość funkcji)
:f x y f x
b) ciąg nieskończony
(zbiór liczb naturalnych (zbiór wyrazów ciągu)
dodatnich)
:n Wa Y
(numer wyrazu ciągu)
( -ty wyraz ciągu)
:n n
n
a n a f n
np. numerowanie kolejnych edycji czasopisma liczbami porządkowymi
c) ciąg skończony
(skończony zbiór liczb (zbiór wyrazów ciągu)
naturalnych dodatnich)
: 1,2,3, ,n Wa k Y
1
2
3
1 pierwszy wyraz ciągu
2 drugi wyraz ciągu
3 trzeci wyraz ciągu
-ty wyraz ciąguk
a
a
a
k a k
np. ponumerowanie osób w danej grupie
d) ciąg liczbowy (nieskończony)
(zbiór liczb rzeczywistych)(zbiór liczb naturalnych
dodatnich)
:na
(numer wyrazu ciągu) (każdy wyraz ciagu jest liczbą)
:n na n a
np. numerowanie liczb:
184
liczb parzystych:
1
2
3
4
1 2
2 4
3 6
4 8
2n
a
a
a
a
n a n
lub liczb nieparzystych:
1
2
3
4
1 1
2 3
3 5
4 7
2 1n
a
a
a
a
n a n
e) n -ta suma częściowa ciągu to suma n początkowych wyrazów ciągu na
1 2
1
n
n n n
i
S a a a a
f) monotoniczność ciągu
1
1
1
(ciąg rosnący)(każdy następny wyraz
ciągu (oprócz ) jest
większy od poprzedniego)
1
(ciąg malejący)(każdy następny wyraz
ciągu (oprócz ) jest
mniejszy od poprzedniego)
n n nn
a
n n nn
a
a a a
a a a
1
1
(ciąg niemalejący)(każdy następny wyraz
ciągu (oprócz ) nie jest
mniejszy od poprzedniego)
1
(ciąg nierosnący)(każdy następny w
ciągi ściśle
monotoniczne
n n nn
a
n n nn
a a a
a a a
1
yraz
ciągu (oprócz ) nie jest
większy od poprzedniego)
1
(ciąg stały)(wszystkie wyrazy
są sobie równe)
ciągi
monotoniczne
const.
a
n n nn
a a a
g) sposoby określania ciągu
(1) poprzez słowny opis, np. na oznacza n -tą liczbę pierwszą
(2) poprzez wzór:
- ogólny, np. 11n
n na (tj. wzór na ogólny wyraz ciągu)
185
- rekurencyjny (indukcyjny)
np.
1
11 3
dany jest pierwszy (początkowy) wyraz
lub kilka pierwszych wyrazów i
podana jest zależność każdego następnego
wyrazu od wyrazu poprzedniego
3
n n
a
a a
h) wykres ciągu
Wykres ciągu jest to zbiór punktów o współrzędnych ; nn a , np. an
n
an
n
an
n
i) przykład ciągu arytmetycznego i geometrycznego - porównanie własności CIĄG
ARYTMETYCZNY ZAGADNIENIA
CIĄG
GEOMETRYCZNY
rAa ;1 Co wyznacza ciąg qGa ;1
1n nr const n
a a r
r - różnica
Definicja
(co jest stałe)
1
0n
n
nq const na
aq
a
q- iloraz
raa
Aa
nn 1
1
Definicja
rekurencyjna (jak
tworzy się kolejne
wyrazy)
qaa
Ga
nn 1
1
rnaan 11 Wzór na ogólny
wyraz 1
1
n
n qaa
naa
S n
n2
1
Wzór na sumę n
początkowych
wyrazów
1;
1
1
1;
1
1
qa
qna
S nn
0na r
0na r
stały 0na r
Monotoniczność
q>0
01a 0<q<1 q>1 q=1
01a ciąg
stały
01a ciąg
stały
2
11 nn
n
aaa
Własność
uzasadniająca
nazwę ciągu
2
1 1n n na a a
1 1 ; 0n n n nn
a a a a
186
j) ciąg ograniczony
(wartości wszystkich wyrazów ciągu są ogranicznone)
- ograniczony n nM n
a a M
k) podciąg ciągu
Dany jest ciąg liczbowy na oraz ciąg wskaźników kn , który jest rosnącym
ciągiem liczb naturalnych. Podciągiem ciągu na jest każdy ciąg kna
utworzony z wyrazów ciągu na . Każdy podciąg ma nieskończenie wiele
podciągów (np. podciąg ciągu o wyrazach o numerach parzystych lub
nieparzystych itp.)
8.2. Granica ciągu
8.2.1. Pojęcia pomocnicze
a) zwrot: „prawie wszystkie wyrazy ciągu” oznacza w matematyce
„wszystkie wyrazy ciągu z wyjątkiem co najwyżej skończonej początkowej
liczby wyrazów”, np.
1 2 3 1 1 2
początkowa prawie wszystkie
skończona wyrazy
liczba wyrazów
wszystkie wyrazy
, , ,..., , , , , ,...n n n n n
n
a a a a a a a a
b) otoczenie ,U g liczby g (punktu na osi liczbowej) o promieniu 0
jest to przedział otwarty gg ; , którego punkt g jest środkiem.
g g g
,U g
8.2.2. Definicja granicy właściwej ciągu
0 0(liczba jest 0
(do każdego otoczenia liczby należągranicą ciągu)
prawie wszystkie wyrazy ciągu )
lim
n
n ng n n n
g
a
g a a g
Uwaga: Granica właściwa oznacza, że g jest liczbą.
187
Interpretacja na osi (an):
(an) 1a
2a 3a g g g
0na
10na 20 na
na rysunku początkowa skończona liczba wyrazów nie należy do -owego
otoczenia liczby g: ggaaa n ;,...,,021 , natomiast wyrazy
o wskaźnikach 0nn , czyli ,..., 21 00 nn aa spełniają warunek gan
, czyli
należą do otoczenia -owego liczby g i są to prawie wszystkie wyrazy ciągu
(an) ggaa nn ;,..., 21 00.
8.2.3. Ciągi zbieżne i ich własności
Ciąg zbieżny, to ciąg, który ma granicę (właściwą: g ).
Ciąg, który nie ma granicy jest ciągiem rozbieżnym.
Własności ciągów zbieżnych:
Jeżeli aann
lim , bbnn
lim , k , to
a) akakka nn
nn
limlim
b) bababa nn
nn
nnn
limlimlim
c) bababa nn
nn
nnn
limlimlim
d) lim
0 limlim
nn n
nn
n n nn
aa ab b
b b b
e) Każdy ciąg ograniczony i monotoniczny jest zbieżny.
Uwaga: Własności a) – d) to rachunek granic skończonych (właściwych).
8.2.4. Definicja granicy niewłaściwej ciągu
0 0(ciąg jest rozbieżny(prawie wszystkie wyrazy ciągu są
do )większe od dowolnej liczby )
lim
n
n nn
M n n na
M
a a M
0 0(ciąg jest rozbieżny(prawie wszystkie wyrazy ciągu są
do )mniejsze od dowolnej liczby )
lim
n
n nn
m n n na
m
a a m
O ciągu rozbieżnym do + (-) mówimy, że ma granicę niewłaściwą.
188
8.2.5. Własności ciągów rozbieżnych do nieskończoności
(przy stosownych założeniach)
a)
0
1limlim
nn
nn a
a
b)
0 0
10 lim 0 lim
( )n n
n nn n n n
a aa
c)
lim
lim( )lim 0
( )
nn
n nn
nn
a
a bb b
d)
lim lim
lim lim
n n nn n
n n nn n
a a b
b a b
e)
lim lim
lim lim
n n nn n
n n nn n
a a b
b a b
f) lim
limlim
nn
n nn
nn
aa b
b
Uwaga: Rachunek granic nieskończonych jest w dużej części analogiczny do
rachunku granic skończonych. Są jednak pewne odstępstwa. Np. jeśli
równocześnie
nn
alim i
nn
blim , to
nnn
balim jest
wyrażeniem nieoznaczonym zwanym symbolem nieoznaczonym.
Oto symbole nieoznaczone:
0 00, , , 0 , , 1 , 0
0
Przykładowe zadanie
Oblicz granice ciągów
a) 52
123lim
2
2
n
nn
n, b)
543
42lim
n
nn
n, c) 32 321lim nn
n
, d) lim 1
nn n
.
189
Komentarz Rozwiązanie
Przy obliczaniu granic ciągów
korzystamy z praw działań
arytmetycznych na granicach ciągów.
a)
2
3
02
003
2lim
3lim
2
3lim
52
123lim
2
2
2
2
5
12
5
12
2
2
nn
nnn
n
nn
n
n n
nn
b)
3
1
053
10
53lim
1lim
513
1lim
3lim
543
42lim
41
21
41
21
4
5
4
4
4
4
4
2
n
n
n
n
n
n
n
nn
nn
nnn
n
n
n
n
n
c)
3003lim
321lim
213
32
3 nnn
n
n
nn
d)
2
2 3 4
2
1 1
1 1 1
lim 1
1 1lim
1
1lim
1
1lim
n
n
n
n n
n
n n n
n n
n n n n
n n
n n
n n
8.2.6. Niektóre granice ciągów
a) limn
a a
b) 1lim 0n
n
190
c) 0; 0 1
lim; 1
n
n
aa
a
d) lim 1n
nn
e) lim 1; 0n
na a
f) 1
(liczba niewymierna,
podstawa logarytmu
naturalnego)
lim 1 ; 2,71828n
nn
e e
g) twierdzenie o trzech ciągach
limlim lim
n n n
nn
n nn n
a b cb g
a c g
Przykładowe zadanie Oblicz:
a) 3 2
44
limn
n
n
, b) lim 2 3 4n n n n
n .
Komentarz Rozwiązanie
Przekształcamy wzór na wyraz ciągu
i korzystamy z działań arytmetycznych
na granicach ciągu.
a)
4
4
3
3 2 24
4 4
4
12
2 12 2 12
4
4
1lim lim 1 1
1lim 1 1 1
n
n
n
nn n
nn n
n
nne e
Korzystamy z twierdzenia o trzech
ciągach przyjmując
2 3 4n n n n
nb i ograniczając nb
stosownie dobranymi ciągami
4n n
na i 3 4n n
nc o tej samej
wspólnej granicy.
b) mamy
4 2 3 4 3 4n n nn n n n n
czyli
4 2 3 4 4 3n n n n n
Ponieważ
lim 4 4n
i lim 4 3 4n
n
Więc
lim 2 3 4 4n n n n
n
8.3. Szeregi liczbowe
8.3.1 Pojęcie szeregu liczbowego
Niech na będzie dowolnym nieskończonym ciągiem liczbowym.
191
a) Ciąg sum częściowych nS to ciąg:
1 1
2
2 1 2
1
3
3 1 2 3
1
1 2 3
1
... (suma początkowych wyrazów ciągu)
i
i
i
i
k
k i k
i
S a
S a a a
S a a a a
S a a a a a k
Suma zaś wszystkich, nieskończonej liczby wyrazów ciągu to:
1 2
1
...i n
i
S a a a a
b) Szereg liczbowy tworzy suma nieskończonej liczby wyrazów ciągu:
1 2 ...na a a .
Symbol szeregu: 1
i
i
a
lub 1
n
n
a
.
8.3.2. Problem zbieżności szeregu liczbowego
a) Szereg 1
n
n
a
jest zbieżny, jeżeli ciąg sum częściowych 1 2, , , nS S S ma
granicę S : lim nn
S S
. Wtedy liczbę S nazywamy sumą szeregu i oznaczamy:
1
n
n
a S
.
b) Szereg 1
n
n
a
jest rozbieżny, jeżeli nie istnieje granica: lim nn
S
ciągu sum
częściowych nS .
c) Uwaga: Suma skończona: 1
k
n
n
a
zawsze istnieje i nie zależy od kolejności
dodawania jej składników. Suma nieskończona 1
n
n
a
nie zawsze istnieje
i w pewnych przypadkach zależy od kolejności dodawania jej składników.
192
d) Szereg 1
n
n
a
jest ograniczony, jeżeli ciąg sum częściowych nS jest
ograniczony.
e) Szereg 1
n
n
a
jest bezwzględnie zbieżny, jeżeli szereg 1
n
n
a
jest zbieżny.
Z bezwzględnej zbieżności szeregu wynika jego zbieżność.
f) Jeżeli szeregi: 1
n
n
a
i 1
n
n
b
są zbieżne, to 1 1 1
n n n n
n n n
a b a b
oraz
1 1
n n
n n
c a c a
, dla c .
8.3.3. Przykłady szeregów liczbowych
a) Szereg geometryczny
Niech na będzie nieskończonym ciągiem geometrycznym. Wówczas szereg:
1
1
1
1
1
2
111 ......
n
n
n qaqaqaqaa jest szeregiem geometrycznym.
Szereg geometryczny dla 1q (warunek zbieżności) lub 1 0a jest zbieżny
i ma sumę 1
1
aS
q
, czyli 1 1
1
1 1
n
n
aa q
q
, 1q . Dla 1q szereg
geometryczny jest rozbieżny.
b) Szereg harmoniczny: 1
1
n
n
jest rozbieżny do
c) Szereg anharmoniczny: 1 1
1
1n
n
n
jest zbieżny do 4
d) Szereg harmoniczny rzędu 0 : 1
1n
n
jest zbieżny, dla 1
rozbieżny, dla 1
e) Szereg
1
11
n nn
jest zbieżny i ma sumę 1S , czyli
1
11
1n n
n
193
f) Szereg 1!
1
n
n
jest zbieżny i 1!
1
n
n
e
(suma znana)
g) Szereg 2
2
16
1n
n
(zbieżny o znanej sumie)
h) Szereg (geometryczny) 11
1
n a
n
a
, dla 1a (zbieżny o znanej sumie)
i) Szereg 1
1n
n
jest rozbieżny
j) Szereg 1
sinn
n
jest rozbieżny
8.3.4 Warunek konieczny zbieżności szeregu
Jeżeli szereg 1
n
n
a
jest zbieżny to
(warunek konieczny
zbieżności szeregu)
lim 0nn
a
.
Uwaga: Niespełnienie warunku koniecznego zbieżności szeregu wystarcza do
stwierdzenia rozbieżności szeregu (z prawa transpozycji implikacji), czyli:
1
lim 0 jest rozbieżnyn nn
n
a a
Przykładowe zadanie Zbadaj warunek konieczny zbieżności szeregu:
a) 3 12 5
1
nn
n
, b) 2
5 1
4 2 71
n
n nn
.
Co możesz powiedzieć o zbieżności każdego z tych szeregów. Komentarz Rozwiązanie
Odczytujemy na i obliczamy granicę ciągu
na sprawdzając, ze jest równo zero.
a)
W szeregu: 3 12 5
1
nn
n
3 12 5
nn n
a
3 1 32 5 2
lim lim 0nn n
n na
Czyli warunek konieczny zbieżności szeregu
194
nie jest spełniony, więc szereg 3 12 5
1
nn
n
jest
rozbieżny.
b)
W szeregu: 2
5 1
4 2 71
n
n nn
2
5 1
4 2 7
nn n n
a
2
5 1
4 2 7lim lim 0n
n n nn na
Czyli warunek konieczny zbieżności szeregu
jest spełniony, ale jest to tylko warunek
konieczny, a więc to nie wystarcza do
stwierdzenia ani zbieżności ani rozbieżności.
Zatem o zbieżności szeregu nic nie wiemy.
8.3.5. Wybrane kryteria (warunki wystarczające) zbieżności szeregów
a) Kryterium d'Alemberta (ilorazowe)
1 1
1
szereg jest zbieżny1
lim1
szereg jest rozbieżny
0,
n
n
n
na
an
n
n
n
a
g
a
a n
b) Kryterium Cauchy'ego (pierwiastkowe)
1
1
szereg jest zbieżny1
lim1
szereg jest rozbieżny
0,
n
nnn
n
n
n
n
a
a g
a
a n
c) Kryterium porównawcze
Dane są dwa szeregi: 1
n
n
a
i 1
n
n
b
o wyrazach dodatnich takich, że począwszy
od pewnego n n na b . Wtedy:
195
1 1
(zbieżna majoranta)
szereg zbieżny szereg zbieżnyn n
n n
b a
oraz
1 1
(rozbieżna minoranta)
szereg rozbieżny szereg rozbieżnyn n
n n
a b
d) Kryterium Dirichleta
1
1
ciąg monotoniczny i zbieżny do zera
oraz szereg zbieżny
szereg ograniczony
n
n n
n
n
n
a
a b
b
e) Kryterium Leibniza
2
1
ciąg malejący o wyrazachszereg (naprzemienny) 1 zbieżny
nieujemnych i zbieżny do zera
n
n
n
aa
Przykładowe zadanie Zbadaj zbieżność szeregów:
a) 1
1
nnn
, b) 2
1
n
n
n
, c) 2
1
1
nn
n
n
.
Komentarz Rozwiązanie
Stosując kryterium porównawcze
ustalamy zbieżną majorantę.
a)
Dla 2n szereg 2
1
21
n
n
jest zbieżny
(geometryczny) i prawdziwa jest nierówność
2
1 1
21 1
n nnn n
, więc szereg 1
1
nnn
jest zbieżny.
Stosujemy kryterium d'Alamberta. b)
1
1
1
11 12 22 2
lim lim : lim 1n n
n nn
a n na
n n n
, zatem
szereg 2
1
n
n
n
jest zbieżny.
196
Stosujemy kryterium Cauchy'ego. c)
2
1
1 11 1
lim lim lim 1n
nn
n nnn n e
n n na
,
zatem szereg 2
1
1
nn
n
n
jest zbieżny.
8.3.6. Szereg potęgowy, jako szczególny przypadek szeregu funkcyjnego
a) Szereg funkcyjny utworzony z funkcji jednej zmiennej jest to szereg:
1 2
1
n n
n
f x f x f x f x
b) Szereg potęgowy, to szereg funkcyjny postaci:
2
0 1 2
1
n n
n n
n
a x a a x a x a x
ze współczynnikami na , n ,
np. !
0
nxn
n
, jest on zbieżny dla x do sumy równej xe .
197
9. Granica funkcji i ciągłość funkcji
9.1. Granica funkcji w punkcie 0x
9.1.1. Informacje wstępne o granicy funkcji w punkcie 0x (czyli:
0x x ):
0
limx x
f x
Granica funkcji w punkcie
0
0
(czyli )
w punkcie
x x
x
: 0
limx x
f x
xfxx 0
lim
właściwa niewłaściwa
Rgxfxx
0
lim
xfxlim
X
Y
X
Y
g
x0
xfy
x0
xfy
xfy
X
Y
x0
xfy
xfy
lewostronna prawostronna
granice
jednostronne
lewostronna prawostronna
granice
jednostronne
gxfxx
0
lim gxfxx
0
lim
xfxx 0
lim
xfxx 0
lim
X
Y
g
x0
xfy X
Y
g
x0
xfy
X
Y
x0
xfy
X
Y
x0
xfy
X
Y
x0
xfy
X
Y
x0
xfy
(skończona) (nieskończona)
x0
xfxlim
x0
xfxx 0
lim
xfxx 0
lim
198
Uwaga: W granicach jednostronnych:
zapis: „
0xx ” oznacza koniunkcję:
0
0
xx
xx oraz „
0xx ” analogicznie:
0
0
xx
xx.
9.1.2. Definicja granicy funkcji w punkcie 0x
a) Definicja właściwej granicy funkcji w punkcie :0x 0
limx x
f x g
wg Heinego: wg Cauchy’ego:
0
0
ciąg odpowiednich0
wartości funkcji
jest zbieżny do
dowolny ciąg
argumentów jest
zbieżny do
lim lim
n fn
n nn n
nn
g
x
x D
x x f x g
x x
0
0
00 0
wartości funkcji w tychdowolne argumenty są w argumentach są w
otoczeniu -owym liczby otoczeniu -owym liczby
(por. z: lim ) (por. z: l
0f
nn
x D
x g
x x
x x f x g
im )nn
f x g
Uwaga: W definicji właściwej granicy jednostronnej w punkcie 0x dochodzi
koniunktywnie założenie: 0xx lub odpowiednio
0xx .
b) Interpretacja geometryczna właściwej granicy funkcji w punkcie
gxfxxx
0
lim:0 :
X
Y
g
x0
xfy
x
xf
g
g
0x 0x
ggxf ;
to oznacza, że
gxf
czyli
gxf nn
lim
00 ; xxx
to oznacza, że
0xxDx f
czyli
0lim xx nn
dla
n xx 0
fNn
n Dx
„Czerpiąc ” argumenty
0xx z otoczenia -owego punktu 0x , czyli
z przedziału: 00 ;xx mamy pewność, że wartości funkcji (w tych
argumentach) „wpadną” do otoczenia -owego liczby g, czyli do przedziału
gg ; .
199
Uwaga: Dla granicy jednostronnej rozpatrujemy otoczenie lewostronne, czyli
00 ;xx , lub otoczenie prawostronne 00;xx punktu 0x dla
odpowiednio granicy lewo- i prawostronnej.
c) Definicja niewłaściwej granicy funkcji w punkcie 0 :x
0
limx x
f x
wg Heinego: wg Cauchy’ego:
0
0
ciąg odpowiednich0
wartości funkcji jest
dowolny ciąg rozbieżny do
argumentów jest
zbieżny do
lim lim
n fn
n nn n
nn
x
x D
x x f x
x x
( )
0
0
00
wartości funkcji w tychdowolne argumenty są w
argumentach są większeotoczeniu -owym liczby
(mniejsze) od dowolnej
(por. z: lim ) liczb
0f
nn
M x D
x
x x
x x f x M
y dodatniej (ujemnej)
(por. z: lim )nn
f x g
Uwaga: W definicji niewłaściwej granicy jednostronnej w punkcie 0x dochodzi
koniunktywnie założenie: 0xx lub odpowiednio
0xx .
d) Interpretacja geometryczna niewłaściwej granicy funkcji w punkcie
xfxxx 0
lim:0 - asymptoty pionowe
X
Y
xfy
Mxf
nn
xflim
M
xf
x
00 ; xxx
0x0x0x
0lim xxnn
xfxx 0
lim
0xx
X
Y
xfy
Mxf
M
xf
x
00 ; xxx
0x0x0x
0lim xxnn
xfxx 0
lim
nn
xflim
0xx
„Czerpiąc ” argumenty 0xx
z otoczenia -owego punktu 0x mamy
pewność, że wartości funkcji (w tych
argumentach) „uciekają” do (są
większe od dowolnej liczby 0M )
„Czerpiąc ” argumenty 0xx
z otoczenia -owego punktu 0x mamy
pewność, że wartości funkcji (w tych
argumentach) „uciekają” do (są
mniejsze od dowolnej liczby 0M )
Wtedy wykres funkcji ma w punkcie 0x asymptotę pionową (prostą) o równaniu
0xx .
200
Asymptota (wykresu) funkcji, to prosta, do której wykres funkcji
coraz bardziej zbliża się, ale się z nią nie przetnie: dystans między wykresem,
a prostą jest dowolnie mały, ale zawsze dodatni.
Uwaga 1: W przypadku granicy niewłaściwej, jednostronnej (w punkcie 0x )
rozpatrujemy lewą lub prawą połowę przedziału 00 ; xx . Wówczas
mamy asymptotę pionową jednostronną: 0xx :
X
Y
0x0x
X
Y
0x0x
lewostronna lub prawostronna
0xx 0xx
Asymptota:
Uwaga 2: Prosta o równaniu
0xx jest asymptotą pionową, obustronną, gdy
jest równocześnie asymptotą lewostronną i prawostronną:
X
Y
0x
nxx
xf0
lim
nxx
xf0
lim
nxx
nxx
xf
xf
o
o
lim
lim
nxx
nxx
xf
xf
o
o
lim
lim
X
Y
0xX
Y
0xX
Y
0x
0xx 0xx 0xx 0xx
Uwaga 3: W punkcie 0x brak asymptoty pionowej, gdy:
0
limx x
f x g
.
e) Twierdzenia dotyczące granicy funkcji w punkcie 0x
(I) Twierdzenie o istnieniu granicy funkcji w punkcie 0x :
Funkcja ma właściwą granicę w punkcie
gxfxx
0
lim
Istniejące granice jednostronne w punkcie
0x są sobie równe:
gxfxfgxxxx
00
limlim
(II) Twierdzenie o jedyności granicy funkcji w punkcie 0x :
Jeżeli funkcja ma w danym punkcie granicę, to tylko jedną.
201
(III) 0
limx x
c c
; 0 0 0
lim lim limx x x x x x
f x g x f x g x
;
0 0 0
lim lim limx x x x x x
f x g x f x g x
;
0
0
0
limlim
lim
x x
x x
x x
f xf x
g x g x
(przy stosownych założeniach)
(IV) 0 0
1lim lim 0f xx x x x
f x
(V)
xfxx
xx
xf
xf
1
0
0
lim0
0lim
(VI)
xcfc
xf
xx
xx
0
0 lim0
lim
(VII)
xcfc
xf
xx
xx
0
0 lim0
lim
(VIII) 00
lim xtxtxx
; gdzie 0xt oznacza funkcje trygonometryczne,
wielomianowe, wykładniczą lub logarytmiczną, a 0x należy do odpowiedniej
dziedziny odpowiedniej funkcji.
(IX) ax
ax
x
sinlim
0; w szczególności:
0
sinlim 1x
x
x
(X) 0
tglimx
axa
x ; w szczególności:
0
tglim 1x
x
x
9.1.3. Zestawienie informacji o granicy funkcji w punkcie 0x i o
asymptotach pionowych
Gdzie dążą
argumenty x
Gdzie dążą
wartości funkcji
xf
0xx
granica lewostronna
0xx
granica w punkcie
0x
0xx
granica prawostronna
xf
granica niewłaściwa w
0x , jest asymptota
pionowa: 0xx
xfxx 0
lim
granica lewostronna w
0x niewłaściwa, jest
asymptota pionowa
lewostronna: 0xx
xfxx 0
lim
granica niewłaściwa
w 0x , jest asymptota
pionowa obustronna:
0xx
xfxx 0
lim
granica prawostronna w
0x niewłaściwa, jest
asymptota pionowa
prawostronna: 0xx
202
gxf
granica właściwa w
0x , brak asymptoty
pionowej w 0x
gxfxx
0
lim
granica lewostronna w
0x właściwa, nie ma
asymptoty pionowej
lewostronnej w 0x
gxfxx
0
lim
granica właściwa w
0x , nie ma
asymptoty pionowej
w 0x
gxfxx
0
lim
granica prawostronna
właściwa w 0x , nie ma
asymptoty pionowej
prawostronnej w 0x
xf
granica niewłaściwa w
0x , jest asymptota
pionowa: 0xx
xfxx 0
lim
granica lewostronna w
0x niewłaściwa, jest
asymptota pionowa
lewostronna: 0xx
xfxx 0
lim
granica niewłaściwa
w 0x , jest asymptota
pionowa obustronna:
0xx
xfxx 0
lim
granica prawostronna w
0x niewłaściwa,
asymptota pionowa
prawostronna: 0xx
Przykładowe zadanie 1 Oblicz granicę funkcji:
a) 1
1 11lim
xx , b)
2 5 62
2lim x x
xx
, c) sin 2
30
lim xx
x.
Komentarz Rozwiązanie
Rozpatrujemy stosując znane
twierdzenia, do czego dąży
każdy wyraz w liczniku i
mianowniku - można
pomocniczo to opisywać
strzałkami.
a) 1
2
2 1
2 11 131 1 2 11
limxx
W przypadku stwierdzenia
nieoznaczoności, należy jej
"uniknąć" np. rozkładając na
czynniki występujące
wielomiany.
b)
0
2
0
5 6 3 20022 2
lim limx x x x
xx x
2x
2
lim 3 1x
x
Korzystamy ze znanej granicy: sin
0lim 1x
xx
c)
1
sin 2 sin 22 2 23 3 2 3 300
2 0
lim lim 1x xx xxx
x
Przykładowe zadanie 2
Oblicz granice jednostronne funkcji 1
1xf x e w punkcie 0 1x .
Komentarz Rozwiązanie
Rozpatrujemy do czego dąży każdy fragment
występujący w zapisie wzoru funkcji.
Wpierw obliczamy granicę lewostronną,
czyli dla 1x 1x :1
1
1lim x
xe
x 1xx<1
Gdy 1x , to 1 0x , czyli
wyrażenie 1x dąży do zera przyjmując
wartości ujemne 0. Wtedy wyrażenie w
wykładniku:
0
1
1x
(na podstawie
203
x 1x
y
11x
y
1
11
limx
x
wykresu funkcji homograficznej).
Zatem 1
1 0xe (na podstawie wykresu
rosnącej funkcji wykładniczej).
Stąd 1
1
1lim 0x
xe
t
y
11x
t
1
ty e
lim 0t
te
Następnie obliczamy granicę prawostronną,
czyli dla 1x 1x : 1
1
1lim x
xe
x
x>1 1 x
x
y
11x
y
1 x
11
1lim
xx
t
y 1
1xt
1
ty e
lim t
te
Gdy 1x , to 1 0x , czyli
wyrażenie 1x dąży do zera przyjmując
wartości dodatnie 0. Wtedy wyrażenie
w wykładniku
0
1
1x
(na
podstawie wykresu funkcji homograficznej).
Zatem 1
1xe (na podstawie wykresu
rosnącej funkcji wykładniczej).
Stąd 1
1
1lim x
xe
.
9.2. Granica funkcji w nieskończoności
9.2.1. Informacje wstępne o granicy funkcji w nieskończoności (czyli:
x ): xfx lim
Granica funkcji w nieskończoności (czyli x ): limx
f x
204
X
Y
xfx
lim
xfx lim xf
x lim
właściwa niewłaściwa właściwa niewłaściwa
gxfx
lim
xf
xlim
gxfx
lim
xf
xlim
g
X
Y
g
X
Y
X
Y
xfxlim
xfxlim
X
Y
g
X
Y
g
X
Y
X
Y
xfxlim
xfxlim
xfy
xfy
xfy
xfy
xfy
xfy
xfy
xfy
Uwaga: Nie ma pojęcia granicy jednostronnej w nieskończoności. Wiadomo, że
do dąży się od lewej strony: po x ; zaś do od prawej strony: po
x .
9.2.2. Definicja granicy funkcji w nieskończoności
a) Definicja właściwej granicy funkcji w nieskończoności:
limx
f x g
:
wg Heinego: wg Cauchy’ego:
ciąg odpowiednich wartości
funkcji jest zbieżny do
dowolny ciąg argumentów
jest rozbieżny do ( )
lim
lim( )
n fn
nn
nn
g
x D
f x g
x
0
0wartości funkcji w tych( )
argumentach są w dowolne argumenty są większe
otoczeniu -owym l(mniejsze) od pewnej liczby
dodatniej (ujemnej)
por.: lim
f
nn
x DK
x
x K f x g
iczby
por.: lim nn
g
f x g
205
b) Interpretacja geometryczna właściwej granicy funkcji w nieskończoności:
gxfx
lim - asymptoty poziome:
gxfx
lim gxfx
lim
X
Y xfy
x
xfg
g
g
K
ggxf ;
0Kx
X
Y xfy
x
xf
gg
g
K
0Kx
gy
gy
X
Y xfy
x
xfg
g
g
K
ggxf ;
0Kx
X
Y xfy
x
xf
gg
g
K
0Kx
gy
gy
„czerpiąc” argumenty x dostatecznie małe,
0 Kx , mamy pewność, że
wartości funkcji (w tych argumentach)
należą do otoczenia - owego liczby g.
„czerpiąc” argumenty x dostatecznie duże,
0 Kx , mamy pewność, że wartości
funkcji (w tych argumentach) należą do
otoczenia - owego liczby g.
Wtedy wykres funkcji ma w lub w asymptotę poziomą (prostą) o równaniu:
gy .
Uwaga: Mogą zachodzić alternatywnie następujące przypadki asymptoty
poziomej: gy :
1° Asymptota pozioma w :
gxfx
lim 2° Asymptota pozioma w :
gxfx
lim
X
Y xfy
g
X
Y
g
gy
gy
xfy
X
Y xfy
g
X
Y xfy
g
gy
gy
3° Asymptota pozioma w i w :
2
1
lim
lim
gxf
gxf
x
x
X
Y xfy
1gy
2gy
1g
2g
0
X
Y
xfy
1gy
2gy
1g
2g
0
X
Y
xfy
1gy
2gy
1g
2g
0
X
Y
xfy
1gy
2gy
1g
2g
0
Oczywiście może być: 21 gg .
206
c) Definicja niewłaściwej granicy funkcji w nieskończoności :
limx
f x
:
skrócony zapis 4 przypadków: lim
lim lim
x
x x
f x
f x f x
wg Heinego: wg Cauchy’ego:
ciąg odpowiednich wartości
funkcji jest rozbieżny do dowolny ciąg argumentów
jest rozbieżny do
lim
lim
n fn
nn
nn
x D
f x
x
0 0
wartości funkcji w tych
dowolne argumenty są większe argumentach są większe
(mniejsze) od pewnej liczby (mniejsze) od pewnej liczby
dodatniej (ujemnej) dodatniej
fx D
M K
x K f x M
(ujemnej)
por.: lim nn
f x
d) Interpretacja geometryczna niewłaściwej granicy funkcji w nieskończoności:
xfxlim
X
Y xfy
0
xfxlim
xfxlim
X
Y
xfy
0
xfxlim
xf
xlim
X
Y
xfy
0
xfxlim
xfxlim
X
Y
xfy
0
xfxlim
xfxlim
Uwaga: Jeśli
xfxlim to brak jest asymptoty poziomej.
e) Niektóre własności granic funkcji w nieskończoności
(I) 1lim 1x
xx
e
ex x
x
1
1lim0
(II) 1lim1
xax
; 0a
(III)
207
1
1 1 0
1
1 1 0
( )
0; dla
lim ; dla
; dla 0 ( )
0
,
m m
m m n n
n n
n n
mx n
m
n
n mW x a n m
bP x
an mb
W x a x a x a x a a b
m nP x b x b x b x b
(IV) ccx
lim ccx
0
lim , gdzie .constc
(V) Własności dotyczące działań arytmetycznych na właściwych granicach
funkcji na ogół nie mają odpowiedników dotyczących granic niewłaściwych,
jednak prawdziwe są następujące zasady, dla a :
a ; a ; a ; a ; ;
; ; ; ; ;
0 ; 0a ;
; dla 0
; dla 0
aa
a
;
; dla 0
; dla 0
a
aa
;
; dla 1
0; dla 0 1
aa
a
;
0; dla 1
; dla 0 1
aa
a
; ; dla 0
0; dla 0
aa
a
Uwaga: , ale nie jest określone,
, ale nie jest określone,
1aa dla 0a , ale 0
0 czy
nie jest określone,
0 0a , ale 0 nie jest określone,
0 0a dla 0a , ale 00 nie jest określone,
1 1a , 0 1a dla 0a , ale 1 , 0 , 00 nie jest określone.
f) Symbole nieoznaczone:
00 ;
; 0 ; ; ; 0 ; 00 ; 1
208
9.2.3. Zestawienie informacji o granicy funkcji w nieskończoności ( ) i o
asymptotach poziomych
Gdzie dążą
argumenty x
Gdzie dążą
wartości funkcji xf
x
granica w
x
granica w
xf , granica
niewłaściwa w
nieskończoności, nie ma
asymptoty poziomej
xfxlim , granica
niewłaściwa w , nie ma
asymptoty poziomej w
xfxlim , granica
niewłaściwa w , nie ma
asymptoty poziomej w
gxf , granica właściwa
w nieskończoności, jest
asymptota pozioma: gy
gxfx
lim , granica
właściwa w , jest
asymptota pozioma: gy
w
gxfx
lim , granica
właściwa w , jest
asymptota pozioma: gy
w
xf , granica
niewłaściwa w
nieskończoności, nie ma
asymptoty poziomej
xfxlim , granica
niewłaściwa w , nie ma
asymptoty poziomej w
xfxlim , granica
niewłaściwa w , nie ma
asymptoty poziomej w
9.3. Zestawienie różnych granic funkcji oraz asymptot
pionowych i poziomych wraz z ich geometryczną interpretacją Argument x -
- gdzie
granica
Wartość
funkcji xf -
- jaka granica
x
w nieskończo-
ności
0xx
lewostronna w
punkcie 0x
0xx
w punkcie 0x
0xx
prawostronna
w punkcie 0x
x
w nieskończo-
ności
xf
granica
niewłaściwa
xfxlim
0X
Y
xfy
xfy
brak
asymptoty
poziomej w
xfxx 0
lim
0X
Y
xfy
0x
w 0x
asymptota
pionowa
lewostronna:
0xx
xfxx 0
lim
0X
Y
xfy
0x
w 0x
asymptota
pionowa
obustronna:
0xx
xfxx 0
lim
0X
Y
xfy
0x
w 0x
asymptota
pionowa
prawostronna:
0xx
xfxlim
0
X
Y
xfy
brak
asymptoty
poziomej w
209
gxf
granica właściwa
gxfx
lim
0X
Y
xfy
g
0X
Y
xfy
g
asymptota
pozioma w
: gy
gxfxx
0
lim
0X
Y
xfy
g
0x
brak
asymptoty
pionowej w
0x
gxfxx
0
lim
0X
Y
xfy
g
0x
brak
asymptoty
pionowej w
0x
gxfxx
0
lim
0X
Y
xfy
g
0x
brak
asymptoty
pionowej w
0x
gxfx
lim
0X
Y
xfy
g
0X
Y
xfy
g
asymptota
pozioma w
: gy
xf
granica
niewłaściwa
xfxlim
0X
Y
xfy
brak
asymptoty
poziomej w
xfxx 0
lim
0X
Y
xfy
0x
w 0x
asymptota
pionowa
lewostronna:
0xx
xfxx 0
lim
0X
Y
xfy
0x
w 0x
asymptota
pionowa
obustronna:
0xx
xfxx 0
lim
0X
Y
xfy
0x
w 0x
asymptota
pionowa
prawostronna:
0xx
xfxlim
0X
Y
xfy
brak
asymptoty
poziomej w
Uwaga 1: Może zdarzyć się przypadek funkcji, której
0 0
lim limx x x x
f x f x
(lub na odwrót), czyli
0X
Y
xfy
0x
lub
0X
Y
xfy
0x
,
czego nie prezentuje ww. tabela. Wtedy 0x x jest asymptotą pionową
obustronną w 0x .
Uwaga 2: Granica funkcji w : xfx lim jest uogólnieniem granicy ciągu:
nn
a
lim , ciąg jest bowiem szczególnym przypadkiem funkcji, której
argumentami są n ; są to wskaźniki ciągu (numery wyrazów). Stąd granice
funkcji w obliczamy analogicznie, jak granice ciągów.
210
Przykładowe zadanie 1 Oblicz:
a) 2 2lim 4 1 5 3x
x x x x
, b) 3 2
2
4 3 1lim
2 5 6x
x x x
x x
.
Komentarz Rozwiązanie
Rozpatrujemy do czego dąży każdy
wyraz (można też pomocniczo
opisywać strzałeczkami co do czego
dąży). Gdy stwierdzimy symbol
nieoznaczony, to należy równoważnie
przekształcać zapis i znów opisujemy
do czego dążą poszczególne
wyrażenia.
a)
1
2 2
2
2 2
2 2
4
12
5 34 1
lim( 4 1 5 3)
4lim
4 1 5 3
1lim
1 1
x
x
x
xx xx x
x x x x
x
x x x x
b)
4
2 3
2 3
0
3 2
2
3 1 1
5 62
4 3 1lim
2 5 6
4lim
x
x x x
xx x x
x x x
x x
Przykładowe zadanie 2
Wyznacz asymptoty funkcji 2
2
3 12 15
25
x xf x
x
.
Komentarz Rozwiązanie
Punkty nieokreśloności funkcji,
to 5x i 5x .
Asymptota pionowa może być
w punktach nieokreśloności, o ile
granica funkcji w tych punktach
jest niewłaściwa (jednostronna
lub dwustronna).
Poszukujemy asymptoty
pionowej w punkcie 0 5x
x
x<5 5x
5 0x ( 5x
przyjmuje wartości ujemne)
Wyznaczamy dziedzinę funkcji: 2
2
3 12 15
25
x xf x
x
;
zał.: 5 5x x
\ 5;5fD
Poszukujemy asymptot pionowych w 5x i 5x .
0
0
2
0025 5
3 1 53 12 15lim lim
25x x
x xx x
x
5x
12
0
5
5
3 1lim
5x
x
x
x
211
Na tym etapie wiadomo, że
prosta 5x jest asymptotą
lewostronną (bo granica
lewostronna jest niewłaściwa).
Sprawdzamy, czy ponadto jest
granicą prawostronną.
x
x>5 5 x
5 0x ( 5x
przyjmuje wartości dodatnie)
Granica prawostronna jest też
niewłaściwa, stąd prosta 5x
jest też asymptotą prawostronną.
0
0
2
0025 5
3 1 53 12 15lim lim
25x x
x xx x
x
5x
12
0
5
5
3 1lim
5x
x
x
x
Obustronne granice funkcji w punkcie nieokreśloności
0 5x są niewłaściwe, zatem prosta 5x jest asymptotą
pionową obustronną.
Analogicznie sprawdzamy, czy
jest asymptota pionowa w
0 5x .
Granica funkcji w 0 5x
zarówno lewostronna, jak
i prawostronna jest taka sama,
więc nie musimy obliczać
oddzielnie tych granic.
0
0
2
0025 5
3 1 53 12 15lim lim
25x x
x xx x
x
5x
18
10
5
5
3 1lim 1,8
5x
x
x
x
Granica funkcji w 0 5x jest właściwa, więc w punkcie
0 5x brak asymptoty pionowej.
Aby wyznaczyć ewentualne
asymptoty poziome, należy
obliczyć granice funkcji w .
Obie granice tej funkcji są takie
same, więc liczymy je
równocześnie. Są one właściwe.
Poszukamy asymptoty poziomej.
2
2
2
2
1512
5
3 12 15lim
25
3lim 3
1
x
x x
xx
x x
x
Prosta 3y jest asymptotą poziomą w .
Formułujemy odpowiedź. Odp. Asymptotami są proste: 5x i 3y .
9.4. Ciągłość funkcji
9.4.1. Ciągłość funkcji w punkcie fDx 0
0
0
lim0
funkcja ma
właściwą granicę
w punkcie
- ciągła
w x x
df
f x gf
x
f
x D
i
0
granica ta jest równa
wartości funkcji
w punkcie x
g f x
212
Funkcja jest ciągła w zbiorze (np. w dziedzinie), gdy jest ciągła w każdym
punkcie tego zbioru.
Uwaga 1: Jeśli tylko granica jednostronna jest równa wartości funkcji
w punkcie 0x , to mówimy o ciągłości jednostronnej (prawostronnej lub
lewostronnej).
Uwaga 2: Ciągłość funkcji, to ciągłość lewostronna i prawostronna
równocześnie.
Uwaga 3: Aby zbadać ciągłość funkcji w punkcie 0x , należy koniunktywnie
wykonać następujące czynności:
1° obliczyć granicę funkcji w punkcie 0x : xf
xx 0
lim
xfxx 0
lim
to wspólna wartość granic jednostronnych
0 0
0lim
lim limx x x x
x xf x
f x f x
2° obliczyć wartość funkcji w punkcie 0x : 0xf
3° sprawdzić równość: 0
?
0
lim xfxfxx
9.4.2. Nieciągłość funkcji w punkcie fDx 0
Funkcja jest nieciągła w punkcie gdy:
nie ma granicy w punkcie fDx 0 : lub
ma właściwą granicę w punkcie 0x :
xfxx 0
lim
, ale inną niż wartość funkcji w
punkcie 0x
np.:
0X
Y
g
0x 0
X
Y
g
0x
0xf
0xf
0X
Y
g
0x
0xf
(
xfgxf
xxxx 00
limlim
0xfg - nie ma nawet ciągłości
lewostronnej)
(
000
limlim xfxfgxfxxxx
ciągłość tylko prawostronna)
0
0
lim xfgxfxx
fDx 0
213
jednostronna ciągłość w końcach przedziału ba,
9.4.3. Ciągłość funkcji w przedziale
(1) w przedziale otwartym ba, :
(f - ciągła w fDba , )df
(
00
0,
(funkcja ciągła w każdym
punkcie przedziału , )
limx x
x a b
a b
f x f x
)
(2) w przedziale domkniętym ba, :
(f - ciągła w fDba , )df
00
0,
prawostronna ciągłość w lewym lewostronna ciągłość w prawym
końcu przedziału ; końcu przedziału ;
lim
lim lim
x xx a b
x a x b
a a b b a b
f x f x
f x f a f x f b
Uwaga: Wielomiany, funkcje wymierne, trygonometryczne oraz funkcja
wykładnicza i logarytmiczna są funkcjami ciągłymi w swoich dziedzinach.
Natomiast xxf (liczba całkowita nie większa od x) nie jest ciągła dla
argumentów całkowitych:
0X
Y
1 2-2 -1
xy
9.4.4. Własności funkcji ciągłych
(1)
0
ciągła w oraz:ciągłe w
: ciągła dla 0
f
f g fg g
f g Af D RA D D
g D R g x
(2) Funkcja odwrotna do funkcji ciągłej i monotonicznej jest ciągła
i monotoniczna (tak samo).
(3) Złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą w swojej dziedzinie.
(4) Ważne twierdzenia o własnościach funkcji ciągłych:
ciągłość
w przedziale
otwartym ba,
214
(I) O lokalnym zachowaniu znaku:
f - ciągła w otoczeniu U punktu 0x
i 0 0f x
(
0f x
w pewnym otoczeniu UV )
(znak funkcji w punkcie 0x jest zachowany wokół punktu
0x )
(II) O zerowaniu się funkcji ciągłej:
funkcja ciągła w ba, i 0bfaf
(tzn. af i bf są przeciwnych
znaków)
0
0,
0x a b
f x
(geometrycznie: punkty afa; i bfb;
leżą po przeciwnych stronach osi OX) (wykres funkcji przecina oś OX)
np.
0X
Y
0x 0
X
Y
0x
a b a b
af
af
bf
bf
afa,
afa,
bfb,
bfb,
(III) Twierdzenie Weierstrassa (o przyjmowaniu wartości najmniejszej
i największej):
(funkcja ciągła w ba, ) wartość najmniejsza w ba,
wartość największa w ba,
np.:
0X
Y
a b
m
M
af
bf
0X
Y
a b
bfM
afm
1 2
1
, 2x x
f x m
f x M
215
(IV) Własność Darboux (o przyjmowaniu wartości pośredniej):
f - ciągła w ba,
1
1,x a b
f x m
wartość najmniejsza w ba,
2
2,x a b
f x M
wartość największa w ba,
0 0
0 0, ,y m M x a b
y f x
funkcja ciągła w ,a b przyjmuje wszystkie wartości pośrednie 0y między wartością najmniejszą
m i największą M
np.:
0X
Y
a b
m
M
0x 1x
2x
0y
0X
Y
a b
M
m
0x
0y
Przykładowe zadanie
Zbadaj ciągłość funkcji określonej wzorem:
2
2 8dla 6
4
8 14 dla 6 1
3 4 dla 1
2 dla 6, 1
xx
x
x x xf x
x x
x
Komentarz Rozwiązanie
Funkcja xf jest określona w
zbiorze liczb rzeczywistych. Jej
ciągłość w przedziałach 6, ,
1,6 , ,1 , wynika z
ciągłości w tych przedziałach
odpowiednio funkcji
4
821
x
xxf ,
1482
2 xxxf ,
433 xxf .
Zbadamy ciągłość funkcji xf w
punktach 61 x i 12 x .
61 x
24
82limlim
66
x
xxf
xx
2148limlim 2
66
xxxf
xx
261 fxf
26limlimlim666
fxfxfxfxxx
funkcja xf jest ciągła w punkcie 61 x
12 x
7148limlim 2
11
xxxf
xx
743limlim11
xxfxx
216
W punkcie 0 6x funkcja na
granicę, która jest równa wartości
funkcji w tym punkcie.
Funkcja ma granicę w 0 1x , ale
inną niż wartość funkcji w tym
punkcie.
212 fxf
217limlimlim111
fxfxfxfxxx
funkcja xf nie jest ciągła w punkcie 12 x
Formułujemy odpowiedź. Odp. Funkcja xf nie jest ciągła w punkcie 1x .
217
10. Rachunek pochodnych (rachunek różniczkowy)
10.1. Pochodna funkcji jednej zmiennej
10.1.1. Pojęcia wstępne prowadzące do zdefiniowania pochodnej funkcji
jednej zmiennej w punkcie 0x
Poszczególne etapy konstrukcji (teoretycznej) pochodnej funkcji w punkcie 0x
są umieszczone w tabeli oraz ilustrowane przykładami rachunkowymi. Konstrukcja teoretyczna Przykłady rachunkowe
Dana jest funkcja
0: ,f ff D x D - ustalony
:f
2; 0
3 xxy
: \ 0 \ 0f
3; 01 xyx
1. Przyrost argumentu od 0x do x :
00; xxxxxh
0x x
x
<
0xx
x
<
0x 0x
xxx 0
x
x
20
02 xx
x
x
20 x
80 y
xf
8,2A
3xy 3xxfy
0 0
32 2 8
y f x
f
83 xxf
x
x
30
03 xx
x
x
xf
3
31
0 y
x
y 1
31,3A
x
xfy 1
31
00 3 fxfy
311
xxf
2. Przyrost wartości funkcji odpowiadający
przyrostowi argumentu:
0
0 0
f x f x f x
f x x f x
3. Iloraz różnicowy:
x
xfu
przyrost wartości funkcji
przyrost argumentu
2
83
x
xu
3
311
xu x
4. Granica ilorazu różnicowego przy
0x (czyli 0xx ):
0
0
0
0 0
0
lim
lim
x x
x
f x f x
x x
f x x f x
x
2
8lim
3
2 x
x
x
1242lim 2
2
xx
x
granica właściwa
3lim 3
11
3 x
x
x
91
3 3
1lim
xx
granica właściwa
5. Pochodna funkcji w punkcie 0x :
Istniejąca, właściwa granica ilorazu
różnicowego dla 0xx jest pochodną
2; 0
3 xxxf
122 f
pochodna funkcji
3; 01 xxfx
913 f
218
funkcji w punkcie 0x :
x
xfxf
x
00 lim
3xy w punkcie
20 x jest równa 12
pochodna funkcji x
y 1
w punkcie 30 x jest
równa 91
10.1.2. Pojęcie pochodnej funkcji jednej zmiennej w punkcie 0x
a) Definicja pochodnej funkcji w punkcie fDx 0 ; symbol 0xf :
0xf = (o ile istnieje właściwa)
0
0
0
limxx
xfxf
xx
(1) Pochodna lewostronna:
0xf (o ile istnieje właściwa)
0
0
0
limxx
xfxf
xx
(2) Pochodna prawostronna:
0xf (o ile istnieje właściwa)
0
0
0
limxx
xfxf
xx
b) Pojęcie funkcji różniczkowalnej:
(1) Funkcja różniczkowalna w punkcie, to taka która ma w tym punkcie
pochodną.
(2) Funkcja różniczkowalna w przedziale otwartym ba; , to taka, która ma
pochodną w każdym punkcie tego przedziału.
(3) Funkcja różniczkowalna w przedziale domkniętym ba; , to taka, która jest
różniczkowalna w przedziale, otwartym ba; oraz jest prawostronnie
różniczkowalna w lewym końcu przedziału a i lewostronnie różniczkowalna
w prawym końcu przedziału b .
(4) Różniczkowanie, to obliczanie pochodnej funkcji.
c) Związek różniczkowalności z ciągłością funkcji w punkcie:
(f - różniczkowalna w punkcie 0x ) (f - ciągła w punkcie
0x )
219
10.1.3. Interpretacja geometryczna ilorazu różnicowego oraz pochodnej
funkcji jednej zmiennej w punkcie 0x
(1) Interpretacja geometryczna: ilorazu różnicowego oraz pochodnej funkcji
punkcie.
Interpretacja geometryczna: ilorazu różnicowego: x
xfu
w ogólnym przypadku
xfy ; fDx 0
w przykładach z 10.1.1. 3xy ; 20 x x
y 1 ; 30 x
x
xf
A
0A
xfy
0x x
y
00 xfy
- kąt nachylenia siecznej AA0 do
OX
Iloraz różnicowy:
tg
x
xfu
= współczynnik
kierunkowy siecznej AA0 wykresu
przechodzącej przez punkty 000 , yxA i
xfxA , .
Sieczna AA0 ma równanie: buxy ,
gdzie x
xfu
.
8
3xy
27
2 3
x
xf
A
0A
0,0 xfx
0
1
19
x
xfu
dla 3x :
tgu 191
19
- kąt ostry
prosta AA0, to sieczna do
wykresu 3xy
przechodząca przez punkty
8,20A i 7,3A .
Sieczna AA0 ma równanie:
3019 xy ; 19u .
3
31
x
y 1
x
xf
A
0 A
21
2
0,0 xfx
0
3
5
x
xfu
dla 21x :
tgu
32
25
35
- kąt rozwarty
prosta AA0, to sieczna do
wykresu x
y 1
przechodząca przez punkty
31
0 ,3A i 2,21A .
Sieczna AA0 ma
równanie: 532 xy ;
32u .
220
Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji w punkcie: 0xf
w ogólnym przypadku
xfy ; fDx 0
w przykładach z 10.1.1. 3xy ; 20 x x
y 1 ; 30 x
0
0
xx
xfxfu
00
xfxx
(dąży)
Wtedy: 0x
0xfxf
000 ,, yxAyxA
sieczna AA0 stycznej w
0A
- kąt - kąt
siecznej stycznej
z OX z
OX
A
0A
xfy
0x x
y
0y
A A
- kat nachylenia stycznej w 0A z
OX
Granicznym położeniem siecznej AA0
jest styczna do wykresu w punkcie 0A .
Zatem tgxf 0 współczynnik
kierunkowy stycznej do wykresu funkcji w
punkcie 000 , yxA , czyli w punkcie o
odciętej 0x . Styczna do wykresu funkcji
xfy w 00 wAx ma równanie:
nxxfy 0
8
3xy
2
A
0A
A
A
Po przejściu granicznym dla
20 xx , sieczna
AA0 stycznej w
punkcie 8,20A
Styczna do wykresu funkcji 3xy w 20 x jest
nachylona do OX pod
kątem , takim, że kąt
tg 2f ; w 10.1.1.
(a4) i (a5) była obliczana
pochodna funkcji 3xy w
20 x :
0122 f
- kat ostry.
Styczna do wykresu funkcji 3xy w 20 x ma
równanie: 1612 xy
3
31
x
y 1
A
0 A
A
A
Po przejściu granicznym
dla 31
0 xx ,
sieczna AA0 stycznej
w punkcie 31
0 ,3A
Styczna do wykresu
funkcji x
y 1 w 30 x
jest nachylona do OX
pod kątem , takim, że
kąt 3ftg ; w
10.1.1. (a4) i (a5) była
obliczana pochodna funkcji
xy 1 w 30 x :
0391 f
- kat rozwarty.
Styczna do wykresu
funkcji x
y 1 w 30 x
ma równanie:
32
91 xy
Uwaga:
(1) Równanie stycznej do wykresu funkcji xfy w punkcie 0x ma postać:
000 xxxfxfy
(2) Interpretacja fizyczna ilorazu różnicowego oraz pochodnej funkcji punkcie:
Niech np. tss oznacza drogę s, jako funkcję czasu t.
221
Iloraz różnicowy: t
tsu
= prędkość średnia
Pochodna funkcji w 0t :
0
00
0
limtt
tststs
tt
= prędkość chwilowa w chwili
0t
(3) Interpretacja ekonomiczna ilorazu różnicowego oraz pochodnej funkcji
punkcie:
Niech np. xKK oznacza koszt całkowity wyprodukowania x jednostek
pewnego dobra.
Iloraz różnicowy: x
xKu
= średni koszt wytworzenia każdej
z dodatkowych jednostek
Pochodna funkcji w punkcie 0x :
0xK koszt krańcowy przy poziomie
produkcji 0x jednostek
10.1.4. Pochodna, jako funkcja – wzory na pochodne
a) Określenie pochodnej
W 10.1.1. jest przedstawiona konstrukcja pochodnej funkcji w punkcie 0x :
0xf , gdzie 0x - to dowolnie ustalony punkt dziedziny fD . Prowadząc taką
konstrukcję w każdym fDx 0 otrzymujemy odwzorowanie f , które
każdemu punktowi 0x przyporządkowuje pochodną funkcji w tym punkcie:
00 xfx , np.
- w przykładzie z funkcją 3xy mamy: 122 00 xfx
- w przykładzie z funkcją x
y 1 mamy: 91
00 3 xfx
Odwzorowanie f takie, że fDxxfxf ;: nazywa się pochodną
funkcji.
Zatem funkcji xfy odpowiada nowa funkcja y f x
przyporządkowująca każdemu punktowi x (w szczególności 0xx ) wartość
pochodnej xf (w szczególności 0xf ) w tym punkcie.
Np.
(1) 3xxfy , mamy 2
0
2
00
2
0
0
3
0 3limlim00
xxxxxxx
xxxf
xxxx
,
czyli 23 3xx
222
(2) x
xfy 1 , mamy 200
0
0
1
00
11
0
1limlim
xxx
xx
xx xxxxxf
, czyli 2
11
xx
W ogólności dziedzina funkcji f i jej pochodnej f to różne zbiory ff DD .
Uwaga: Jeżeli pochodna f jest funkcją różniczkowalną, to jej pochodna f
jest drugą pochodną funkcji fff : .
b) Podstawowe wzory na pochodne (przy stosowanych założeniach):
(1) 1 nn nxx dla n
(2) xx cossin
xx sincos
(3) 2
1tg
cosx
x
2
1ctg
sinx
x
(4) aaa xx ln
ax
xaln
1log
(5) 2
1arcsin
1 x
(6) 2
1arc tg
1 x
(7) 0
c , c - stała
(8) xfcxcf
; c
(9) xgxfxgxf
(10) xgxfxgxfxgxf
(11)
2xg
xgxfxgxf
xg
xf
;
c) Pochodna funkcji złożonej:
Przy stosownych założeniach:
f x z w x z w x w x
d) Twierdzenia o funkcjach ciągłych w przedziale domkniętym
i różniczkowanych wewnątrz tego przedziału:
(1) Twierdzenie Lagrange’a (o wartości średniej):
f - ciągła w ba,
f - różniczkowalna w ba,
,c a b
f b f af c
b a
223
Geometrycznie:
B
xfy
a
C
A
bc
af
bf
cf
ab
afbf
Teza twierdzenie oznacza istnienie punktu cfcC , , w którym styczna do
wykresu funkcji xfy jest równoległa do siecznej AB , gdzie afaA ,
i bfbB , , zaś
ab
afbf
oraz cf są współczynnikami kierunkowymi
odpowiednio: siecznej i stycznej.
(2) Twierdzenie Rolle`a (o wartości średniej):
f - ciągła w ba,
f - różniczkowalna w ba,
bfaf
,
0c a b
f c
Geometrycznie:
B
xfy
a
A
bc
bfaf
Skoro wartości funkcji na końcach przedziału są jednakowe: bfaf , to
w pewnym punkcie (c), (co najmniej jednym) wewnątrz tego przedziału,
styczna do wykresu jest równoległa do osi OX ( 0 cf ).
Uwaga 1: Twierdzenie Rolle`a jest szczególnym przypadkiem twierdzenia
Lagrange`a.
Uwaga 2. Funkcję można różniczkować więcej razy. Może ona mieć pochodną
różniczkowalną. Jeżeli pochodna y f x istnieje, to jej pochodną
y f x nazywamy drugą pochodną funkcji y f x . Gdy istnieje
pochodna drugiej pochodnej, to nazywamy ją trzecią pochodną itd. Postępując
indukcyjnie, mając określoną pochodną 1n
f x
rzędu 1n definiujemy n -
tą pochodną nf x funkcji f .
224
Przykładowe zadanie
Dane są funkcje 3
82
x
xxf i 2xxg
a) Napisz równanie stycznej k do wykresu funkcji xf w punkcie 25,1P .
b) Napisz równanie stycznej l do wykresu funkcji xg , która jest prostopadła
do stycznej k . Komentarz Rozwiązanie
Wykonamy wykresy obu funkcji. 2
3
2
3
82
xx
xxf dla 3x
2xxg dla x
1
2
3
4
5
9
16
-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5
Y
X
P
Sk
l
R
3
82
x
xy
2xy
Wyznaczymy pochodne obu funkcji.
223
2
3
18232
3
82
xx
xx
x
xxf
xxxg 22
Piszemy równanie prostej k będącej
styczną do wykresu funkcji xf w
punkcie P .
a)
000: xxxfxfyk
25,1P
10 x
25
0 1 fxf
225
8
1
2031
21
fxf
1:81
25 xyk
821
81: xyk
Styczna l do wykresu funkcji xg
prostopadła do stycznej k ma
współczynnik kierunkowy równy 8.
Wyznaczymy współrzędne punktu
styczności R , a następnie napiszemy
równanie prostej l .
b)
80 xg
82 0 x
40 x
1640 gxg
4;16R - punkt styczności
000: xxxgxgyl
4816: xyl
168: xyl
10.1.5. Niektóre zastosowania pochodnej
a) Różniczka funkcji f w punkcie 0x i przyrostu argumentu h ( 0 ) jest to
iloczyn pochodnej funkcji w tym punkcie i przyrostu h :
0 0,df x h f x h
Różniczka funkcji i przyrost wartości funkcji wywołany małym przyrostem
argumentu h są prawie równe:
0 0 0f x h f x f x h
Własność tę można wykorzystać do szacowania przyrostu wartości funkcji przy
małych zmianach argumentu oraz do obliczania przybliżonej wartości funkcji
po zmianie argumentu z 0x na
0x h . Więc dla małych h mamy przybliżoną
wartość funkcji dla argumentu 0x h :
0 0 0 ,f x h f x df x h
Dla funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej n -krotnie różniczkowalnej
uogólnieniem powyższego wzoru jest wzór Taylora
2
0 0 0 0 01! 2! !
n nh h hn
f x f x h f x f x f x f x
i jego szczególny przypadek (dla 0 0x , h x ) - wzór Maclaurina
2
1! 2! !0 0 0 0
n nx x xn
f x f f f f
- pozwalający rozwinąć funkcję w szereg potęgowy, np.: 21 1 1
1! 2! !1x n
ne x x x .
226
b) Tempo zmian wartości funkcji Jest to problem, czy funkcja rośnie (maleje) coraz szybciej, czy coraz wolniej.
Zależy to od znaku pierwszej i drugiej pochodnej tej funkcji. Zależności te
przedstawione są w następującej tabeli.
Znak f
Znak f 0f ( f ) 0f ( f )
0f ( fWYP
)
f
rośnie coraz szybciej
f
maleje coraz wolniej
0f ( f
WKL )
f
rośnie coraz wolniej
f
maleje coraz szybciej
c) Elastyczność funkcji Jest to przybliżona miara procentowego przyrostu wartości funkcji dla
przyrostu argumentu tej funkcji o 1% . Wyraża się ona wzorem
x
Ef x f xf x
.
Dla funkcji rosnącej Ef x jest dodatnia (gdyż 0f x ), dla malejącej zaś
jest ujemna (gdyż 0f x ).
10.1.6. Reguła de l'Hospitala
Ma ona zastosowanie do obliczania granic w przypadku stwierdzenia symboli
nieoznaczonych postaci: 00
,
.
0
0 0
0 0
0 0
, - różniczkowalne w pewnym przedziale
0
istnieje lim
lim limlim 0 lim
lub
lim lim
f x
g xx x
x x x x
x x x x
x x x x
f g
g x
f x f x
f x g x g x g x
f x g x
Uwaga: Symbol nieoznaczony 0 można sprowadzić do symbolu
.
227
Przykładowe zadanie
Oblicz: 0
lim lnx
x x
.
Komentarz Rozwiązanie
Opisujemy do czego dążą poszczególne
czynniki. Symbol nieoznaczony 0
sprowadzamy do symbolu i
stosujemy regułę de l'Hospitala (d'H).
2
d'H
10 0
0
1
10 0 01
lnlim ln 0 lim
lnlim lim lim 0
x xx
x
x x xxx
xx x
xx
10.1.7. Pochodna, a monotoniczność i ekstremum funkcji jednej zmiennej
a) Uwagi wstępne
Rachunek pochodnych, to część rachunku różniczkowego (dział matematyki)
zajmującego się związkami między funkcjami f i ich pochodnymi f . Otóż
własności funkcji f pochodnej determinują pewne własności funkcji f
(funkcji danej).
Wartość pochodnej funkcji w punkcie jest związana z nachyleniem stycznej do
wykresu w tym punkcie do OX :
(1)
xfy
1x
2x 3x
123
X
Y
,, 2211 tgxftgxf
,, 21 - kąty ostre
0ixf dla f ; 3,2,1i
xfy
1x
2x 3x
123
X
Y
,, 2211 tgxftgxf
,, 21 - kąty rozwarte
0ixf dla f ; 3,2,1i
(Rysunki sugerują, związek pochodnej f z monotonicznością funkcji)
228
(2)
xfy
maxy
maxx
M
X
Y
00max tgxf
(styczna w M || do OX)
xfy
miny
minx
M
X
Y
00min tgxf
(styczna w M || do OX)
(Rysunki sugerują, związek pochodnej f z ekstremum funkcji)
b) Związek pochodnej funkcji z monotonicznością i ekstremum funkcji
(1) Pochodna, a monotoniczność funkcji – wnioski z twierdzenia Lagrange’a
Jeżeli funkcja xfy jest różniczkowalna w pewnym przedziale
(ograniczonym lub nie), to dla dowolnego x z tego przedziału mamy
następujące związki miedzy pochodną, a monotonicznością funkcji w tym
przedziale:
I fxf 0
II fxf 0
III fxf 0 const.
Uwaga: przy w/w założeniach zachodzą ponadto następujące implikacje:
f 0 xf ,
f 0 xf .
(2) Pochodna, a ekstremum funkcji
- Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej.
Jeżeli funkcja xfy jest różniczkowalna w punkcie 0x i ma w tym punkcie
ekstremum, to 00 xf :
(f ma w 0x ekstremum) ( 00 xf )
Uwaga 1: Warunek 00 xf (jako następnik implikacji),
to warunek konieczny, ale nie wystarczający dla istnienia
ekstremum, np. rozwiązując równanie 00 xf dla funkcji
03: 23 xxy otrzymujemy 0x . Ale w 0 0x funkcja
3xy nie ma ekstremum, mimo, że 0 0 0f x f -
czyli warunek konieczny jest spełniony, ale to nie
wystarcza, gdyż warunek zerowania się pochodnej nie jest
warunkiem wystarczającym na ekstremum.
3xy
X
Y
0
w 00 x
nie ma
ekstremum
(choć 00 f ' )
229
Uwaga2: Jeżeli f ma w 0x pochodną różną od zera: 00 xf , to f nie ma
w 0x ekstremum:
00 xf )(w 0x nie ma ekstremum
(z prawa transpozycji)
c) Warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej.
Jeżeli funkcja f jest ciągłą w punkcie 0x , różniczkowalna w jego sąsiedztwie
i pochodna funkcji w sąsiedztwie tego punktu zmienia znak:
zachowanie funkcji f:
zachowanie pochodnej f’: + -
0x X
zachowanie funkcji f:
zachowanie pochodnej f’: +-
0x X
z dodatniego na ujemny
to w 0x jest maksimum
lub z ujemnego na dodatni
to w 0x jest minimum
Czyli:
xfy
maxy
max0 xx
f f
X
Y
xfy
miny
min0 xx
f f X
Y
(w lewym
sąsiedztwie punktu
0x funkcja rośnie
f )
(w prawym
sąsiedztwie punktu
0x funkcja maleje
f )
(w lewym sąsiedztwie
punktu 0x funkcja
maleje f )
(w prawym
sąsiedztwie
punktu 0x
funkcja rośnie
f )
Wtedy (w 0x jest max)
max0 xx Wtedy (w 0x jest min)
min0 xx
Wtedy w 0x jest ekstremum (lokalne).
Uwaga: Przez sąsiedztwo punktu 0x należy rozumieć sumę przedziałów:
00 ;xx 00;xx , dla 0
lewe sąsiedztwo 0x prawe sąsiedztwo
0x
0x 0x 0x
Oczywiście, gdy w sąsiedztwie (lewym i prawym) punktu 0x pochodna nie
zmienia znaku, to w punkcie 0x nie ma ekstremum np. ,3xy 23xy ;
00 xy . Punkt 0x jest punktem przegięcia (wykresu) funkcji 3xy .
230
3xy
X
Y
0
d) Procedura wyznaczania ekstremum funkcji:
Lp.
Etapy
procedury dla
funkcji:
xfy
Przykłady
7
716
325
5343
34 xxxxxy ,
x
1; 1
1y x
x
1. Obliczamy
pochodną
funkcji:
xfy
65432 4344 xxxxxy , x
2
1; 1
1y x
x
2. Budujemy
warunek
konieczny na
ekstremum,
czyli
rozwiązujemy
równanie:
0 xf
04344 65432 xxxxx
0112 22 xxxx
są to miejsca zerowe
pochodnej,
czyli punkty, w których może być ekstremum
(tzw. „punkty podejrzane”, kandydujące do
ekstremum).
0
1
12
x
To równanie nie ma rozwiązań:
0 xf , 1x , czyli brak
ekstremum.
Ponadto w tym przykładzie bez
dodatkowych obliczeń można
omówić znak pochodnej, czyli
monotoniczność funkcji:
2
10; 1
1f x x
x
, więc funkcja jest przedziałami
rosnąca dla ,1x oraz
dla 1,x .
3. Badamy
warunek
wystarczający
na ekstremum,
czyli badany
znak
pochodnej w
sąsiedztwie jej
miejsc
zerowych
(czyli punktów
kandydujących
do ekstremum)
f:
f’: + +
-2 -1 0 1
- - -
x
Pochodna f zmienia znak tylko w
sąsiedztwie: 13 x i 15 x zatem w
1x i w 1x jest ekstremum:
f:
f’: + +
-1 1
- -
x
W sąsiedztwie punktu 1x pochodna
zmienia znak z ujemnego na dodatni, więc w
1x jest minimum, zaś w sąsiedztwie
punktu 1x pochodna zmienia znak z
dodatniego na ujemny, więc w 1x jest
f:
f’: +
0x
+x
pochodna nie zmienia znaku, więc w 00 x nie ma
ekstremum (bowiem spełniony jest tylko warunek
konieczny na ekstremum)
1
0
1
2
6
54
3
21
x
xx
x
xx
231
maksimum.
W pozostałych punktach: 2x oraz
0x nie ma ekstremum, bo w ich
sąsiedztwie pochodna nie zmienia znaku:
f:
f’: + +
-2 0
- -
x
Czyli funkcja w sąsiedztwie tych punktów nie
zmienia typu monotoniczności (maleje i
maleje, oraz rośnie i rośnie)
Są to punkty przegięcia
4. Obliczamy
wartość
funkcji w
punktach
ekstremalnych
359
71
32
53
34
min 11 fy
10597
71
32
53
34
max 11 fy
Uwaga: Ilustracja zachowania się pochodnej f i funkcji f na osi
liczbowej: f:
f’: + +
-2 -1 0 1
- - -
x w celu ustalenia ekstremum, np. w w/w przykładzie, upoważnia - bez
dodatkowych obliczeń – do omówienia monotoniczności funkcji w oparciu
o zaznaczone znaki , pochodnej. (wnioski z twierdzenia Lagrange`a
w 10.1.7.b)).
Stąd też w w/w przykładzie: f dla 01,1 fx oraz f dla
1,x oraz dla 0,1 fx .
e) Procedura badania monotoniczności funkcji
(1) Obliczenie pochodnej: xf ,
(2) Zbadanie znaku pochodnej, czyli rozwiązanie dwóch nierówności:
0 xf oraz 0 xf
(dla znalezienia przedziałów,
w których funkcja rośnie)
(dla znalezienia przedziałów,
w których funkcja maleje)
W celu technicznego skrócenia w/w procedury: rozwiązywania dwóch
pokrewnych nierówności: 0 xf i 0 xf , można:
(1) wyznaczyć miejsca zerowe pochodnej (rozwiązując równania 0 xf ),
(2) zaznaczyć obliczone pierwiastki pochodnej na osi liczbowej, oraz
(3) ustalić znak pochodnej w poszczególnych przedziałach – są to zbiory
rozwiązań każdej z nierówności: 0 xf , 0 xf .
232
Procedura rozwiązywania równań i nierówności w początkowych etapach jest
bowiem taka sama.
Uwaga: Zarówno monotoniczność, jak i ekstremum funkcji, to problemy
pokrewne i dające się rozwiązać przy pomocy pochodnej. Ponadto rozwiązując
zadanie polegające na wyznaczeniu ekstremum, można ponadto określić
monotoniczność – bez dodatkowych obliczeń, tylko w oparciu o warunek
wystarczający na ekstremum. Natomiast badając monotoniczność funkcji, przy
okazji otrzymujemy informację o ewentualnych ekstremach.
Zawsze jednak wszelkie rozważania należy zawężać do dziedziny funkcji f
i dziedziny jej pochodnej f .
10.1.8. Największa i najmniejsza wartość funkcji w przedziale (ekstremum
globalne)
Na mocy własności funkcji ciągłych w przedziale domkniętym:
(tw. Weierstrassa i wł Darboux) wiemy, że każda funkcja ciągła w ba, osiąga
w tym przedziale zarówno wartość największą, jak i najmniejszą oraz wszystkie
wartości pośrednie między nimi.
Aby wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji ciągłej
w przedziale domkniętym ba, i różniczkowalnej w przedziale otwartym
ba, , należy wykonać następujące kroki:
a) wyznaczyć ekstremum (lokalne) funkcji wewnątrz przedziału,
b) obliczyć wartości funkcji f na końcach przedziału: af i bf ,
c) spośród obliczonych wartości (z w/w a) i b)) wybrać największą oraz
najmniejszą.
Uwaga: Funkcja może osiągnąć wartość największą M lub najmniejszą m na
końcach przedziału ba, czyli dla ax lub bx ewentualnie wewnątrz
ba, , czyli dla bax , .
Oto rysunkowe przykłady niektórych przypadków
233
xfy af
bf
ba 2x
1x
M
m
xfy
ba
Maf
mbf
xfy
bf
a 0x
M
b
maf
, ,m M f a f b afM
bfm
afm
,M f a f b
(wartość największa M
i wartość najmniejsza m
dla argumentów x z
przedziału ba, dla:
21, xx )
(wartość największa M
i wartość najmniejsza m na
krańcach przedziału dla:
ax i bx )
(tylko jedna z wartości: m
jest osiągnięta na końcu
przedziału: dla ax , zaś
M jest osiągnięta
wewnątrz przedziału, dla
0xx )
Przykładowe zadanie
Wyznacz współczynniki we wzorze funkcji cbxaxxxf 23 , wiedząc,
że przedział 2,1 jest przedziałem, w którym ta funkcja jest malejąca oraz dla
1x osiąga maksimum, którego wartość wynosi 2. Komentarz Rozwiązanie
Wyznaczamy pochodną funkcji
xf . cbxaxxxf 23
baxxxf 23 2
Zapisujemy warunki wynikające
z treści zadania. f x dla 02012,1 ffx
21max f
Budujemy układ równań z
niewiadomymi a , b , c , który
następnie rozwiązujemy.
2111
02223
01213
23
2
2
cba
ba
ba
3
124
32
cba
ba
ba
21
21
21
21
1361
61214
196
cc
bb
aa
Zapisujemy wzór funkcji xf . 212
213 161 xxxxf
Formułujemy odpowiedź. Odp. Funkcja xf jest określona wzorem
212
213 161 xxxxf .
234
10.1.9. Druga pochodna, a wypukłość, wklęsłość i punkty przegięcia
Funkcja wypukła ( )
xfy
X
Y
a b
styczna
0x
WYP
Wykres w przedziale ;a b jest nad każdą
styczną w dowolnym punkcie 0 ;x a b .
Funkcja wklęsła ( )
xfy
a
b X
Y
styczna
0x
WKL
Wykres w przedziale ;a b jest pod każdą
styczną w dowolnym punkcie 0 ;x a b .
Funkcja dwukrotne różniczkowalna w ;a b jest wypukła (wklęsła) wtedy
i tylko wtedy, gdy jej druga pochodna jest dodatnia (ujemna). Np. f:
f'': +
0x
-x
WYPWKL
Punkt 0 0;P x f x krzywej y f x posiadającej styczną w tym punkcie
nazywa się punktem przegięcia, gdy f x jest wypukła po jednej stronie
punktu 0x i wklęsła po drugiej stronie tego punktu. Np.:
xfy
X
Y
0x
WYP
WKL
P
0x f
lub
xfy
X
Y
0x
WYP
WKL
P
0x f
Punkt przegięcia funkcji dwukrotnie różniczkowalnej jest punktem zmiany
znaku jej drugiej pochodnej. Zatem w punkcie przegięcia funkcji zeruje się
druga pochodna. Np.: f:
f'': +
0x
-x
WYPWKL
0 0f x
lub
f:
f'': +
0x
-x
WYPWKL
0 0f x
Przykładowe zadanie Znajdź przedziały wypukłości, wklęsłości i punkty przegięcia funkcji
4 3 218 24 12f x x x x x .
235
Komentarz Rozwiązanie
Obliczamy f x i f x . 4 3 218 24 12f x x x x x ;
fD
3 24 3 36 24f x x x x ; fD
212 6 36f x x x ; fD
Rozwiązujemy równanie 0f x i
określamy znaki drugiej pochodnej.
0f x
212 6 36 0/ :6x x 22 6 0x x
49 , 7
Miejsca zerowe drugiej pochodnej są
punktami podejrzanymi o przegięcie. Aby
to rozstrzygnąć należy zbadać znak drugiej
pochodnej w sąsiedztwie tych punktów.
1 2x , 32 2
x
f:
f'': + -x
WYPWKL
+
WYP
2 3
2punkt
przegieciapunkt
przegiecia Obliczmy wartość funkcji w punktach przegięcia
2 124f , 3 12 16
8f
Odp. Funkcja jest wypukła w przedziałach
; 2 i 32; , a wklęsła w przedziale
32
2; i ma dwa punkty przegięcia:
2; 124 oraz 3 12 16; 8 .
10.1.10. Badanie przebiegu zmienności funkcji
Etapy badania:
I. Dziedzina funkcji, granice na krańcach (końcach) dziedziny i asymptoty.
II. Punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych.
III. Monotoniczność i ekstremum.
IV Wypukłość i punkty przegięcia.
V. Tabela zmienności i wykres.
Uwaga: Etap IV można opuścić.
Przykładowe zadanie Zbadaj przebieg zmienności funkcji:
a) 2 42f x x x , b) 2
2
4
9
xf x
x
.
236
Komentarz Rozwiązanie
Wykonujemy etapy: I,
II, III, IV i V.
a)
2 42f x x x
fD :
Brak asymptot pionowych, gdyż brak jest punktów nieokreśloności.
2
2 4 4 2
1
lim 2 lim 1 1xx x
x x x
W brak asymptoty poziomej.
2
2 4 4 2
1
lim 2 lim 1 1xx x
x x x
W brak asymptoty poziomej.
Etap I
Etap II
Punkty szczególne
wykresu:
0;0 , 2;0 ,
2;0
:OX 0f x
2 42 0x x
2 2 2 0x x
miejsca zerowe
0 2 2x x x
:OY 0 0f
Etap III
Punkty ekstremalne
wykresu:
max
1;1 , 1;1 ,
min
0;0
34 4f x x x ; x
0f x (warunek konieczny na ekstremum)
34 4 0x x
24 1 0x x
punkty podejrzane o ekstremum
0 1 1x x x
f:
f’: + +
-1 0 1
- -
x
max maxmin
max 1 1f x f
max 1 1f x f
min 0 0f x f
Etap IV
24 12f x x ; x
237
Punkty przegięcia
wykresu:
3 53 9
; , 3 53 9
;
0f x (warunek konieczny na punkty przegięcia)
24 12 0x
3 31 13 3 3 3
x x
f:
f'': +-x
WYPWKL
punktprzegiecia
punktprzegiecia
-
WKL
3
3 3
3
3 53 9
f
3 53 9
f
Etap V
Tabelę zmienności
redagujemy na
podstawie ilustracji na
osi liczbowej z etapów
III i IV.
x ; 1 1 3
31; 3
3 3
3;0 0 3
30; 3
3
3
3;1 1 1;
f + 0 - - - 0 + + + 0 -
f - - - 0 + + + 0 - - -
f
max
1
p.pg 59
min
0
p.pg 59
max
1
x 3
3 3
3
y
1 1
1
59
2 2
2 42y x x
Wykonujemy etapy I,
II, III i V.
b)
2
2
4
9
xf x
x
; zał.
2 9 0x
3 3x x
\ 3;3fD
2
2
42
2 9
14lim lim 1
9 1
x
x xx
x
x
Etap I
Są punkty
nieokreśloności 3x
i 3x
238
3x 3x
3 0
3 0 i dąży do zera
x
x
czyli
3
3 3 0x
x x
Asymptota pozioma: 1y
5 5
0
2 2
23 3
0
4 4lim lim
3 39x x
x x
x xx
3x
x
3 0
3 0 i dąży do zera
x
x
czyli
3
3 3 0x
x x
5
2
3
0
4lim
3 3x
x
x x
Asymptota pionowa obustronna: 3x
3x 3x
3 0 i dąży do zera
3 0
x
x
czyli
3
3 3 0x
x x
5
2
3
0
4lim
3 3x
x
x x
3x
x
3 0 i dąży do zera
3 0
x
x
czyli
3
3 3 0x
x x
5
2
3
0
4lim
3 3x
x
x x
Asymptota pionowa: 3x
Etap II
Punkty szczególne:
2;0 , 2;0 ,
49
0;
:OX 0f x
2
2
2
40 / 9
9
xx
x
2 4 0x
miejsca zerowe
2 2x x
:OY 49
0f
Etap III
2 2
22
2 9 2 4
9
x x x xf x
x
; \ 3;3x
239
Punkt ekstremalny
49
max
0;
22
10
9
xf x
x
0f x (warunek konieczny na ekstremum)
22
22
100 / 9
9
xx
x
10 0x
0x (punkt podejrzany o ekstremum)
f:
f’: + +
-3 0 3
- -
x
max
49
max 0f x f
Etap IV opuszczony
Etap V
Tabelę zmienności
redagujemy w oparciu
o ilustrację na osi
liczbowej z etapu III.
x ; 3 3 3;0 0 0;3 3 3;
f + + 0 - -
f 1
max
49
1
-3
1
3 x
y
-2 2
49
1y
3x 3x
2
2
4
9
xy
x
10.1.11. Praktyczne zastosowanie pochodnej w zadaniach
optymalizacyjnych
Wykorzystując związek pochodnej funkcji z jej ekstremum (lokalnym)
można optymalizować dowolną funkcję różniczkowalną. Właśnie temu
zagadnieniu poświęcony jest niniejszy moduł.
Oto kolejne etapy procedury rozwiązywania zadań optymalizacyjnych
z wykorzystaniem pochodnej zilustrowane przykładami:
240
Etapy procedury
w zadaniu
optymalizacyjnym,
którego celem jest taki
dobór parametrów, aby
występująca w zadaniu
wielkość osiągnęła
ekstremum (globalne)
w danym przedziale
Przykłady
Który z walców o danej objętości
V ma najmniejsze pole
powierzchni całkowitej
Jakie powinny być wymiary stożka
wpisanego w kulę
o promieniu R , tak, aby jego
objętość była największa.
Dla porządku należy
wypisać dane, wraz
z rysunkiem sytuacji,
o której mowa
w zadaniu (najczęściej
w zadaniach o bryłach
chodzi o minimum
powierzchni (by zużyć
jak najmniej materiału
na zbudowanie danej
bryły) lub o maksimum
objętości (np. aby
pojemnik był o
największej pojemności)
Dane:
V (literowo, nie liczbowo)
h
r
hrV 2
Szukane:
r , h (słowo „który” – dotyczy
wymiarów walca) tak, aby cP
było najmniejsze 0,0 hr
Dane:
R (promień kuli dany literowo,
nie liczbowo)
Rh
r
Rh-R
Szukane:
r , h (wymiary stożka) tak, aby
V była największa
0,0 hr
Zbudowanie funkcji
celu, która na początku
jest na ogół funkcją
dwóch zmiennych
rhrPc 22 2
rhrhrPc 22,
0,0 hr
funkcja dwóch zmiennych: r , h
hrV 2
31
hrhrV 2
31,
- funkcja dwóch zmiennych r , h
Na podstawie danych
informacji z treści
zadania wyliczamy
zależność jednej
zmiennej od drugiej
(występującej w funkcji
celu)
Z danej objętości hrV 2
obliczamy np. 2r
Vh
(lepiej wyliczyć h niż r , bo
potrzebne byłoby r i 2r we
wzorze na cP ).
Z danej informacji wpisania
otrzymujemy trójkąt:
r
Rh-R
,
z którego obliczamy 22 2 hhRr
(wystarczy obliczyć 2r , nie samo
r , bo we wzorze na V jest
właśnie 2r ).
Otrzymaną zależność
podstawiamy do funkcji
celu po to, by otrzymać
zeń funkcję jednej
zmiennej
0;2 2
r
r
VrrPc
- funkcja jednej zmiennej r -
jako funkcja wymierna jest
różniczkowalna w swojej
dziedzinie
3
312
32 hRhhV
funkcja jednej zmiennej h - jako
wielomian (3-ego stopnia) jest
funkcją różniczkowalną
Treść zadania poleca
wyznaczyć określoną
zmienną, aby
zbudowana funkcja
0;222
r
r
VrrPc
Z warunku koniecznego na
0;2
34 hhRhhV
Z warunku koniecznego na
ekstremum:
241
osiągała wartość
optymalną
(ekstremalną).
Stosujemy w tym celu
rachunek pochodnych:
rozwiązujemy warunek
konieczny
i sprawdzamy warunek
wystarczający.
Po stwierdzeniu
ekstremum obliczamy
pozostałą szukaną
zmienną
ekstremum:
0;0 rrPc
0;0222
r
r
Vr
02
3
Vr .
Czyli być może dla 3
2
Vr
jest rPc najmniejsza, ale
trzeba się o tym przekonać
sprawdzając warunek
wystarczający na ekstremum:
+
0
-
:cP :cP
3
2
Vr
Więc 3min
2
Vr
zaś 3min
4
Vh
0;0 hhV
02
34 hRh
Rhh34
21 0
( 01 h nie należy do dziedziny,
zaś Rh34
2 należy do
dziedziny).
Czyli być może dla Rh34 jest
hV największa ale trzeba się
o tym przekonać sprawdzając
warunek wystarczający na
ekstremum:
+
0
-
:V :V
R34 h
Więc Rh34
max
Rr3
22max
Formułujemy
odpowiedź
Odp. Dla 3
2
Vr i
34
Vh pole powierzchni
walca osiąga wartość najmniejszą
Odp. Dla Rh34 i Rr
3
22
objętość walca jest największa
Uwaga: W każdym z powyższych przykładów można ponadto obliczyć
optymalną wartość funkcji celu:
3
min3
minmin
4;
2
Vh
VrPP cc oraz
RhRrVV
3
4;
3
22maxmaxmax .
Podsumowując tok rozwiązywania zadań optymalizacyjnych
stwierdzamy, iż istota postępowania polega na znalezieniu wzoru
różniczkowalnej funkcji celu ustalającej zależność między poszukiwanymi
zmiennymi. Następnie wyznacza się ekstremum (lokalne) tej funkcji. Można
tego dokonać na dwa sposoby:
242
(I) jeśli funkcja celu jest funkcją
kwadratową; wówczas można obliczyć
ekstremum tej funkcji bez rachunku
pochodnych – wykorzystując ekstremum
funkcji kwadratowej.
lub
(II) jeśli funkcja celu nie jest funkcją
kwadratową; wówczas obliczamy
ekstremum tej funkcji wykorzystując
rachunek pochodnych dotyczący związku
pochodnej z ekstremum funkcji.
Przykładowe zadanie
Odcinki 21AA , 21BB , 21CC , 21DD , mają długość 10 i są krawędziami
bocznymi sześcianu. W jakiej odległości od wierzchołka 1A , należy zaznaczyć
punkt M należący do przekątnej 11CA , tak aby suma jego odległości od
wierzchołków 2B i 2D była możliwie najmniejsza.
Komentarz Rozwiązanie
Wykonamy rysunek wraz
z oznaczeniami.
Dodatkowo narysujemy
podstawę sześcianu.
2A
1A
2B
1 B
2C
1
C
2D
1D
M
N
x
Oznaczenia:
x - odległość punktu M od wierzchołka 1A
MAx 1
S - suma odległości punktu M od wierzchołków 2B i 2D
22 MDMBS
Dane:
10 - długość krawędzi sześcianu
Szukane:
x - tak, aby suma S była najmniejsza
Dodatkowo narysujemy
podstawę dolną sześcianu.
2A
2B
2C
2D
N
P
podstawa dolna sześcianu N - rzut prostokątny punktu M na przeciwległą ścianę sześcianu
243
Obliczymy odległości punktu
M od wierzchołków 2B
i 2D .
PNA2
xMANA 12
222
2
2
2 2 NPNPPANA
2
2
22
2222 x
NPx
NPNPx
NPB2
2
2102222
xPABAPB
22
2
2
22
22
210
2
xxPBNPNB
2210100
2
222
2
xx
xNB
22
2 210100 xxNB
MNB2
222
2
22
2 21010010 xNBMNMB
2
2 210200 xxMB
Zapiszemy sumę S jako
funkcję długości odcinka
xMA 1 . Jej dziedziną
jest zakres zmienności x
(długość x jest najmniejsza
od długości przekątnej
21011 CA ).
222 2 MBMDMBS
21002102002 2 xdlaxxxS
Zbadamy przebieg
zmienności funkcji xS .
22102002 xxxS
2
22102002
2102002
12 xx
xxxS
2210200
2210
xx
xxS
25022100 xxxS
244
+
0
-
25 210
0
: xS: xS
25minmin SxS
Formułujemy odpowiedź. Odp. Punkt M należy zaznaczyć w odległości 25 od
wierzchołka 1A .
10.2. Pochodna funkcji dwóch (wielu) zmiennych
10.2.1. Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych rzeczywistych
a) Funkcja rzeczywista jednej zmiennej rzeczywistej (funkcja liczbo-
liczbowa):
:f , czyli :f x y f x
b) Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych rzeczywistych:
2
:f , czyli : , ,f x y z f x y lub inaczej
1 2 1 2: , ,f x x y f x x
np. objętość walca jest funkcją dwóch zmiennych: długości promienia
podstawy r i długości jego wysokości h : 2,V r h r h .
c) Funkcja rzeczywista trzech zmiennych rzeczywistych:
3
:f , czyli : , , , ,f x y z t f x y z lub inaczej
1 2 3 1 2 3: , , , ,f x x x y f x x x
Uogólniając, funkcja rzeczywista n (wielu) zmiennych rzeczywistych:
: nf , czyli 1 2 1 2: , , , , , ,n nf x x x y f x x x
Uwaga: Własności funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej (np.
dziedzina, wykres, granica, ciągłość, pochodna, itd.) można odnosić do funkcji
rzeczywistej wielu zmiennych rzeczywistych.
245
d) Wykres funkcji dwóch zmiennych rzeczywistych:
Analogicznie, jak wykresem funkcji jednej zmiennej rzeczywistej jest np.
pewna krzywa na płaszczyźnie 2 :
xfy
X
Y
0
Wykresem funkcji dwóch zmiennych rzeczywistych jest np. pewna
powierzchnia w przestrzeni 3 :
Y
Z
0
X
,z f x y
Przykładowe zadanie
Określ dziedzinę i wykres funkcji 2 2
1 2 1 2, 25f x x x x .
Komentarz Rozwiązanie
Wyznaczanie dziedziny.
Wyrażenie pod pierwiastkiem nie może być
ujemne.
2 2
1 2 1 2, 25f x x x x
Zał. 2 2
1 225 0x x
Czyli 2 2
1 2 25x x
Jest to koło domknięte o środku w początku
układu współrzędnych i promieniu 5r na
płaszczyźnie 1 2X OX .
20,0 ; 5fD k S r
1X
2X
5
5
5
5
Określenie wykresu funkcji. 2 2
1 225 0y x x y
Czyli 2 2 2
1 225y x x
Po przekształceniu: 2 2 2
1 2 25 0x x y y
246
Równanie 2 2 2 2
1 2x x y r przedstawia
sferę o środku 0;0;0O i promieniu r
w przestrzeni 3.
Zatem 2 2
1 225y x x przedstawia
półsferę o środku 0;0;0O i promieniu
5r nad płaszczyzną 1 2X OX (bo 0y ).
Ta powierzchnia (półsfera) w 3 jest
wykresem funkcji 2 2
1 225y x x .
1X
2X
5
5
5
5
Y
5
10.2.2. Pochodne cząstkowe funkcji dwóch zmiennych
Dana jest funkcja ,z f x y .
a) Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu:
- względem zmiennej x ( .y const ):
istn.
wł. 0
, ,, , limx
x
f x x y f x yfx y f x y
x x
- względem zmiennej y ( .x const ):
istn.
wł. 0
, ,, , limy
y
f x y y f x yfx y f x y
y y
Wektor , ; ,x yf x y f x y , zwany gradientem funkcji ,f x y , oznacza
kierunek największego wzrostu funkcji ,f x y .
Uogólniając, dla funkcji wielu zmiennych 1 2, , , ny f x x x mamy n
pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu
1 2 3
1 2 3
, , , ,nx x x x
n
f f f ff f f f
x x x x
.
b) Pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji dwóch zmiennych ,f x y :
2 istn.
2 wł. 0
2 istn.
2 wł. 0
pochodne
czyste
drugiego rzędu
, ,, , lim
, ,, , lim
x x
xx x xx
x x
yy y yy
f x x y f x yfx y f x y f
x x
f x y y f x yfx y f x y f
y y
247
2 istn.
wł. 0
2 istn.
wł. 0
pochodne
mieszane
drugiego rzędu
, ,, , lim
, ,, , lim
x x
xy x yy
y y
yx y xx
f x y y f x yfx y f x y f
x y y
f x x y f x yfx y f x y f
y x x
Macierz drugich pochodnych: ,xx xy
yx yy
f ff x y
f f
dla funkcji ciągłych
jest macierzą symetryczną ( xy yxf f ).
Uwaga: Pochodne funkcji dwóch (wielu) zmiennych kolejno (wyższych)
rzędów określa się analogicznie, jak dla funkcji jednej zmiennej.
Przykładowe zadanie Oblicz pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji
2, , 3 2y x
zt x y z xy z .
Komentarz Rozwiązanie
Znane wzory na pochodne funkcji jednej
zmiennej obowiązują też przy obliczaniu
pochodnych cząstkowych.
2, , 3 2y x
zt x y z xy z
Obliczając xt , zmienne y i z uznajemy za
stałe.
Składnik 23xy przy stałym y jest liniowy.
Składnik y
z jest stały, więc jego pochodna po
x jest zerem.
Składnik 2 xz , przy stałym z jest ze względu
na x postaci wykładniczej.
3,14 , więc to stała, i jej pochodna
jest równa zero.
2, , 3 2 lnx
xt x y z y z z
Obliczając yt , zmienne x i z uznajemy za
stałe.
Składnik 23xy ze względu na y jest funkcją
kwadratową, zaś 3x to stały współczynnik.
Składnik y
z ze względu na y jest liniowy o
współczynniku 1z
.
Dwa ostatnie składnik są stałe i nie zależą od
y .
1, , 6y zt x y z xy
Obliczając zt zmienne x i y uznajemy za
stałe.
Składnik y
z ma pochodną:
2
1, , 2y x
z zt x y z xz
248
2 2
1 1y y
z z z z zzy y
.
Składnik 2 xz ze względu na z jest funkcją
potęgową o wykładniku x , liczba 2 jest
stałym czynnikiem.
Pozostałe składniki nie zależą od z .
10.2.3. Ekstremum lokalne funkcji dwóch zmiennych
a) Warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego funkcji mającej obie
pochodne cząstkowe w punkcie 0 0, fx y D
0 0
0 0 0 0
warunek konieczny
, 0 ma ekstremum lokalne
w punkcie , , 0
x
f y
f x yf
x y D f x y
Rozwiązując układ równań
0 0
0 0
, 0
, 0
x
y
f x y
f x y
otrzymujemy punkty
podejrzane o istnienie w nich ekstremum funkcji, tzw. punkty stacjonarne.
W nich może, ale nie musi wystąpić ekstremum.
b) Warunek wystarczający na istnienie ekstremum lokalnego (funkcji
mającej w otoczeniu punktu stacjonarnego 0 0, fx y D ciągłe pochodne
cząstkowe drugiego rzędu)
0 0
0 0
0 0
0 0
wyznacznik macierzy drugich
pochodnych funkcji ,
, 0
, 0funkcja , ma w punkcie
, ekstremum lokalnedet , 0
x
y
f x y
f x y
f x yf x y
x yf x y
A ponadto: jeżeli 0 0, 0xxf x y , to tym ekstremum jest maksimum (lokalne),
a jeżeli 0 0, 0xxf x y , to tym ekstremum jest minimum (lokalne).
W przypadku, gdy 0 0det , 0f x y , to w punkcie stacjonarnym 0 0,x y
funkcja nie ma ekstremum lokalnego.
Jeśli 0 0det , 0f x y , to mamy przypadek wątpliwy. Wówczas punkt 0 0,x y
należy badać stosując definicję ekstremum lokalnego.
249
Przykładowe zadanie
Wyznacz ekstremum lokalne funkcji 3 2, 6 3z f x y x xy xy .
Komentarz Rozwiązanie
Wyznaczanie dziedziny. 3 2, 6 3z f x y x xy xy
2
fD
Obliczanie pochodnych
cząstkowych. 2 2, 3 6x xz f x y x y y
, 2 6y yz f x y xy x
Warunek konieczny na
ekstremum:
0 0
0 0
, 0
, 0
x
y
f x y
f x y
2 23 6 0
2 3 02 6 0
2 0 3 0
0 3
x y y
x yxy x
x y
x y
Dla:
0 3x y
2 26 0 3 9y y x
26 0 3y y x
0 6 3 3y y x x
Punkty stacjonarne:
0;0 , 0; 6 , 3; 3 , 3; 3
Macierz drugich
pochodnych. 6 2 6
,2 6 2
x yf x y
y x
Obliczenie wyznacznika
macierzy drugich
pochodnych.
22 2 2det , 12 2 6 12 4 24 36f x y x y x y y
Sprawdzenie warunku
wystarczającego dla
poszczególnych punktów
stacjonarnych.
Dla 0;0 :
det 0;0 36 0f . Stąd w punkcie 0;0 brak
ekstremum.
Dla 0; 6 :
det 0; 6 36 0f . Stąd w punkcie 0; 6 brak
ekstremum.
Dla 3; 3 :
det 3; 3 36 0f . Stąd w punkcie 3; 3 jest
ekstremum, a ponieważ 3; 3 6 3 0xxf , to tym
ekstremum jest minimum.
250
Dla 3; 3 :
det 3; 3 36 0f . Stąd w punkcie 3; 3 jest
ekstremum, a ponieważ 3; 3 6 3 0xxf , to tym
ekstremum jest maksimum.
Obliczenie wartości funkcji
w punktach ekstremalnych. min 3; 3 7 3z f
W punkcie 3; 3; 7 3 funkcja ma minimum (na
wykresie).
max 3; 3 5 3z f
W punkcie 3; 3;5 3 funkcja ma maksimum (na
wykresie).
Odp. Funkcja osiąga ekstremum lokalne w dwóch punktach:
minimum w punkcie 3; 3 równe 7 3 i maksimum w
punkcie 3; 3 równe 5 3 .
251
11. Rachunek całkowy
Matematyczne operacje (działania) mają na ogół operacje odwrotne.
Operacje wzajemnie odwrotne to np. dodawanie i odejmowanie, mnożenie
i dzielenie, potęgowanie i pierwiastkowanie (a także logarytmowanie).
Obliczanie pochodnych, to różniczkowanie (rachunek pochodnych to
inaczej rachunek różniczkowy). Operacją odwrotną do różniczkowania jest
całkowanie (obliczanie całki nieoznaczonej, inaczej funkcji pierwotnej).
Całkując poszukujemy funkcji, której pochodną znamy.
Stąd też każdy wzór na pochodną pewnej funkcji, daje automatycznie
wzór na całkę nieoznaczoną.
11.1. Określenie całki nieoznaczonej
11.1.1. Funkcja pierwotna F x funkcji f x
jest funkcją ;
dla pierwotną funkcji
df
x
F x F x f x
xf x
inaczej: dF x f x dx (bo
dF x
dxf x )
np. 2F x x jest funkcją pierwotną funkcji 3
3xf x , ale też funkcji
3
34xg x , bo zarówno
3 2
3x x , jak i
3 2
34x x
.
Jeśli F x jest funkcją pierwotną f x , to F x c jest również funkcją
pierwotną funkcji f x .
11.1.2. Całka nieoznaczona funkcji f x
Jest to każda funkcja, której pochodna jest równa f x .
funkcja podcałkowa
stałaróżniczkowanie
całkowania
całkowanie
; f x dx F x c c f x F x
dwuczęściowy symbol całki
Funkcja, która ma funkcję pierwotną (całkę) nazywa się funkcją całkowalną.
252
11.2. Wzory na całkowanie ( c , przy stosownych założeniach)
1
; 11
nn x
x dx c nn
1 lndxx xdx x c
; adx ax c a , w szczególności: dx x c
; 0ln
xx a
a dx c aa
x xe dx e c
sin cosxdx x c
cos sinxdx x c
2
1arctg
1dx x c
x
2
1arcsin
1c c
x
kf x dx k f x dx
f x g x dx f x dx g x dx
ln
f xdx f x c
f x
Przykładowe zadanie
Oblicz 3 54 7 33
5 1x xxx
x x dx .
Komentarz Rozwiązanie
Przekształcamy
funkcję podcałkową i
stosujemy wzory na
całkowanie.
Stała c jest sumą
stałych całkowania
poszczególnych
całek.
Doprowadzamy
funkcję pierwotną do
prostszej postaci.
3 14 2
7 1 64 2
3 54 7 33
5 13
254 17 6 ln5 6
3 6 24 54 1 17 6 ln5 6
5 1
7 5 3
14 3ln
14 3ln
x
x
x xxx
x dxx
x
x x dx
x dx x dx x dx dx xdx dx
x x x x x c
x x x x x x x c
253
11.3. Podstawowe metody całkowania
11.3.1. Całkowanie przez podstawienie (przez zamianę zmiennych)
po obliczeniu tejpodstawienie (czyli zamiana
całki powracamyzmiennych):
do zmiennej po obustronnym zróżniczkowaniu
podstawienie:
g x t
x
g x dx dt
f g x g x dx f t dt
11.3.2. Całkowanie przez części
ta całka powinna być
częściowe całkowaniełatwiejsza do obliczenia
od początkowej
po lewej stronie wzoru
f x g x dx f x g x f x g x dx
Przykładowe zadanie
Oblicz: a) 2 1x x dx , b)
2 lnx xdx , c) arctg xdx .
Komentarz Rozwiązanie
Całkujemy przez podstawienie.
Podstawienie: 2 1x t
różniczkujemy obustronnie i
otrzymujemy: 2xdx dt (bo
2dtdx
x )
Powracamy do zmiennej x .
a)
312 2
2
2
12
1 1 1 12 2 3 3
2 213
1
1 2 / : 2
1 1
x t
x x dx xdx dt
xdx dt
tdt t dt t c t t c
x x c
Całkujemy przez części. b)
3
3 3 3
3
2
2
13
21 13 3 3 3
313 9
ln ;
ln różniczkujemy; całkujemy
;
ln ln
ln
xx
x x xx
x
f x x g x x
x xdx
f x g x
x dx x x dx
x x c
254
Całkujemy przez części. c)
2
2
1
1
1
arctg 1 arctg
arctg
arctg ; 1
;
arctg
x
x
x
xdx xdx
x xdx
f x x g x x
f x g x x
x x dx
Do obliczenia 21
x
xdx
stosujemy
metodę całkowania przez
podstawienie.
2
12
1 12 2
212
podstawienie:
1arctg
2
arctg arctg ln
arctg ln 1
dtt
x tx x
xdx dt
xdx dt
x x x x t c
x x x c
11.4. Całka oznaczona
11.4.1. Geneza całki oznaczonej funkcji ciągłej i nieujemnej f x
określonej na przedziale ,a b
X
Y xfy
1c
2c 3c
0x a
1x 2x
nb x
1
x
2
x
S - zakreskowane pole (trapezu krzywoliniowego)
istn.
wł1
lim
bn
i in
i a
S f c x f x dx
Całka oznaczona na przedziale ,a b : b
a
f x dx jest to pole figury
ograniczonej przez wykres funkcji f x , oś OX oraz proste o równaniach:
255
x a i x b . Liczba a , to dolna granica całkowania, liczba b , to górna
granica całkowania.
Uwaga 1: Analogicznie definiuje się całkę podwójną funkcji dwóch zmiennych
na określonym zbiorze.
Uwaga 2: Definiuje się też całki na przedziale nieograniczonym, są to całki
niewłaściwe.
11.4.2. Związek całki oznaczonej z całką nieoznaczoną
funkcja pierwotna
funkcji podcałkowej
|
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
11.4.3. Niektóre własności całki oznaczonej
Niech f x i g x będą funkcjami całkowalnymi w przedziale ,a b .
(I) ;
b b
a a
kf x dx k f x dx k
(II) b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
(III) b a
a b
f x dx f x dx
(IV)
,
b b
a a
f x g xf x dx g x dx
x a b
(V) ,
b c b
a a c
c a b f x dx f x dx f x dx
(VI) Zamiana zmiennych w całce oznaczonej
256
zmiana granic
całkowania:
na
i na
: , ,
ma ciągłą pochodną na ,
;
: ,
jest ciągła na ,
b
a t dt
a
b
g a b
g a b
g a g b f g x g x dx f t dt
f
f
Przykładowe zadanie
Oblicz 2
3 5
0
sin cosx xdx
.
Komentarz Rozwiązanie
Przekształcamy
funkcję podcałkową.
2 2
2 2
3 5 2 5
0 0
2 5 5 7
0 0
sin cos sin cos sin
1 cos cos sin cos cos sin
x xdx x x xdx
x x xdx x x xdx
Całkujemy przez
zamianę zmiennych
(przez podstawienie)
wraz ze zmianą granic
całkowania 0 na 1 i
2 na 0 .
2 2
0 1 1
5 7 5 7
1 0 0
cos
sin
sin
0; cos0 1
; cos 0
x t
xdx dt
xdx dt
x t
x t
t t dt t dt t dt
Stosujemy własności
całki nieoznaczonej.
6 1 8 11 10 06 8
1 1 1 1 16 8 6 8 24
| |
0 0
t t
257
11.5. Niektóre zastosowania całki oznaczonej
a) Pole trapezu krzywoliniowego
X
Y
xfy
ab
c
1S
2S
1 2
c b
a c
S S S f x dx f x dx
b) Pole obszaru płaskiego
X
Y
xfy
S
xgy
1x
2x
1 1
2 2
f x g x
f x g x
2
1
x
x
S f x g x dx
c) Długość łuku krzywej
X
Y
xfy
a b
l
2
1
b
a
l f x dx
258
d) Objętość bryły obrotowej
X
Y
a b
l
y f x
Łuk krzywej y f x obraca się przestrzennie wokół osi OX .
2
b
a
V f x dx
e) Pole powierzchni bocznej bryły obrotowej
X
Y
a b
l
y f x
2
2 1
b
b
a
S f x f x dx
Przykładowe zadanie Wyprowadź wzór na objętość i pole powierzchni całkowitej stożka ściętego
o wysokości h i promieniach podstawy r i R . Komentarz Rozwiązanie
Sporządzamy rysunek.
Stożek ścięty powstaje z obrotu
wokół osi OX odcinka prostej R r
hy x r , do której należą
końce tego odcinka
o współrzędnych ,O r
i ,h R .
Stosujemy wzory z całką
oznaczoną.
X
Y
h
R
r
y x rR rh
259
Obliczamy objętość stożka
ściętego.
3
2
0
2
3
2 213
0;
;
|
R rh
R rhh
R r hh R r
R
Rh h trR r R r
r
x r t
dx dt
V x r dx dx dt
x t r
x h t R
t dt
h R Rr r
Obliczamy pole powierzchni
bocznej stożka ściętego.
2
0
2
0
2
2 1
2 1
2 1
0;
;
2
h
R r R rb h h
h
R r R rh h
R rh
R rh R
hR rhh R rR r
r
S x r dx
x r dx
x r t
dx dt
t dtdx dt
x t r
x h t R
22h R r
h
h2
2
tR r
22|Rr h R r R r
Do pola powierzchni bocznej
wystarczy jeszcze dodać pola
powierzchni obu podstaw, aby
otrzymać pole powierzchni
całkowitej stożka ściętego.
22 2 2
22 2 2
cS h R r R r r R
h R r R r r R
Formułujemy odpowiedź. Odp. 2 21
3V h R Rr r ,
22 2 2
cS h R r R r r R .
260
11.6. Wybrane równania różniczkowe
11.6.1. Równanie różniczkowe, jako szczególny rodzaj równania
funkcyjnego
a) Jeżeli w równaniu niewiadomą jest pewna funkcja ?y f x , to
równanie takie nazywamy równaniem funkcyjnym, np. 5 0y x , gdzie
?y f x . Równanie funkcyjne ma postać:
, 0;F x y gdzie ?y f x
czyli , 0;F x f x
b) Jeżeli w równaniu funkcyjnym wystąpią również pochodne szukanej funkcji,
to nazywa się ono równaniem funkcyjnym różniczkowym lub równaniem
różniczkowym, np. 3 4 5y y x , gdzie ?y f x .
c) Jeżeli w równaniu różniczkowym poszukiwaną funkcją jest funkcja jednej
zmiennej, to jest to równanie różniczkowe zwyczajne. Ma ono postać: , , , , , 0;n
F x y y y y gdzie ?y f x
Najwyższy rząd pochodnej szukanej funkcji f x (liczbę n ) nazywamy
rzędem równania różniczkowego, np.
, , 0F x y y to równanie różniczkowe pierwszego rzędu
, , , 0F x y y y to równanie różniczkowe drugiego rzędu
d) Rozwiązaniem szczególnym lub całką szczególną nazywamy każdą funkcję
f x , która podstawiona w miejsce funkcji niewiadomej y , spełnia to
równanie, czyli np.
, , 0F x f x f x .
Zbiór wszystkich funkcji spełniających równanie różniczkowe nazywamy
rozwiązaniem ogólnym lub całką ogólną. Wykresy tych funkcji nazywamy
krzywymi całkowymi. Znajdowanie całek równania różniczkowego nazywamy
całkowaniem tego równania.
e) Pewne dodatkowe warunki nakładane na poszukiwaną w równaniu
różniczkowym funkcję nazywamy warunkami początkowymi lub
brzegowymi, np. , , 0F x y y , gdzie ?y f x taka, że 0 0f x y ,
czyli do krzywej całkowej ma należeć punkt 0 0,x y .
261
Uwaga: Jeśli niewiadomą funkcją w równaniu różniczkowym jest funkcja wielu
zmiennych, a równanie różniczkowe zawiera pochodne cząstkowe, to
nazywamy je równaniem różniczkowym cząstkowym.
11.6.2. Metody całkowania wybranych równań różniczkowych
a) Równania typu:
y f x , f x - funkcja ciągła,
posiadają zawsze rozwiązanie postaci: y f x dx .
b) Równania różniczkowe o rozdzielonych zmiennych:
dy
dxg x h y ,
gdzie g x i h y są znanymi funkcjami, z których każda zależy od jednej
zmiennej, zaś y f x jest szukaną funkcją.
Aby rozwiązać takie równanie, rozdzielamy zmienne:
1
h ydy g x dx
i całkujemy obie strony:
1
h ydy g x dx .
c) Równania różniczkowe postaci:
dy
dxg ax by c ,
gdzie , ,a b c są stałymi a ?y f x .
Podstawiając pomocniczą niewiadomą
t x ax by c , gdzie ?y f x
i różniczkując obustronnie podstawienie mamy:
dydtdx dx
a b a bg t
równanie różniczkowe o rozdzielonych zmiennych:
dtdx
a bg t ,
które po rozdzieleniu zmiennych:
dt
a bg tdx
całkujemy:
dt
a bg tdx x d
( d - stała całkowania)
i wyznaczmy funkcję t x , a następnie całkę ogólną:
262
t x ax c
by f x
0b .
d) Równania różniczkowe jednorodne:
dy y
dx xg
(prawa strona jest funkcją ilorazu ; 0y
xx ). Podstawiając pomocniczą
niewiadomą:
y
xt x , skąd y t x x ,
i różniczkując obustronnie mamy: dt xdy
dx dxx t x g t x ,
równanie o rozdzielonych zmiennych:
dtdx
x t g t ,
które po rozdzieleniu zamiennych:
dt dx
xg t t
całkujemy:
lndt dx
xg t tx c
( c - stała całkowania)
i wyznaczamy funkcję t x , a następnie całkę ogólną
y t x x .
e) Równania różniczkowe liniowe jednorodne:
0dy
dxg x y ( g x - znana funkcja, ?y f x ).
Rozdzielamy zmienne:
dy
yg x dx ,
całkujemy
dy
yg x dx
i otrzymujemy:
ln y g x dx c ( c - stała całkowania),
skąd g x dx cy e e
,
czyli całka ogólna ma postać: g x dx
y ke ( ck e ).
Przykładowe zadanie Rozwiąż równania:
a) 2 3y x z warunkiem początkowym: 0 0y ,
263
b) 2 2 0x xy dx xydy .
Rozwiązanie Komentarz
Zamiast y piszemy dy
dx. Zapis
0 0y oznacza, że poszukiwana
funkcja y f x ma spełniać
warunek: dla 0x , 0y , czyli
0 0f .
Poszukujemy wpierw całkę ogólną
wykorzystując warunek początkowy,
uzyskując całkę szczególną.
a)
2 3 0 0y x y
2 3 /dy
dxx dx
2 3dy x dx
2 3dy x dx
2 3y x x c - całka ogólna
Podstawiając w całce ogólnej 0x i 0y
obliczamy c : 20 0 3 0 c
Czyli 0c
Wtedy 2 3y x x - całka szczególna
Formułujemy odpowiedź. Odp. 2 3y x x
Rozwiązanie ogólne i szczególne można
ponadto zilustrować graficznie.
Wyróżniona, spośród krzywych
całkowych, krzywa spełnia warunek
początkowy, czyli należy do niej punkt
0;0 .
Interpretacja graficzna:
X
Y
3 0
3
2
9
4
2 3y x x 2 3y x x c
krzywecałkowe:
Równanie bez warunku początkowego.
Po przekształceniu otrzymujemy
równanie jednorodne.
b)
2 2 0x xy dx xydy
2 2 / :xydy x xy dx xydx
2 1 22y
x
y
x
x xydy
dx xy
Czyli
1 2y
x
y
x
dy
dx
Podstawiamy y
xt x , skąd y t x x i
różniczkujemy:
264
Upraszczając, zamiast t x piszemy t ,
pamiętając, że t jest funkcją argumentu
x .
dy dtdx dx
t x
Po podstawieniu otrzymujemy równanie:
1 2tdtdx t
t x
Rozdzielamy zmienne. Czyli
1 2
1t
t
dxxt
dt
Stąd
2
1
t dxxt
dt
Całkujemy każdą ze stron (P i L).
21
t dxxt
dt
1lndxx
P x c
2
2 2
1
1 12
121
podst. 1
1
ln
ln 1
t
t
v dv dvv vv v
t
t v
L dt dt dv
t v
dv v c
t c
Zatem
11 21
ln 1 ln ; t
t x c c c c
Czyli
11
ln 1t
t x c
Powracamy do podstawienia y
xt x . ln x
y xy x c
Zwykle rozwiązanie jest w postaci tzw.
rozwikłanej: y f x , ale czasem
jest w postaci uwikłanej: , 0F x y
i nie jest łatwo z niej wyliczyć y , jako
funkcję x .
Poszukiwana całka ogólna y f x spełnia
następujące równanie: ln xy x
y x c
.
Formułujemy odpowiedź. Odp. Funkcja y f x w postaci uwikłanej:
ln xy x
y x c
.
265
12. Rachunek wektorowy
12.1. Wektory w ujęciu syntetycznym
12.1.1. Definicja wektora i pojęć z nim związanych
a) Wektor zaczepiony Mając dane dowolne dwa punkty A i B na płaszczyźnie można uznać jeden
z nich jako pierwszy – początkowy, drugi zaś jako drugi – końcowy.
Wektor zaczepiony (związany) jest to uporządkowana para punktów: (A,B),
w której pierwszy (A) nazywa się początkiem, drugi zaś (B) – końcem wektora.
Wektor o początku A, czyli zaczepiony w punkcie A i końcu B oznacza się jako:
AB lub jednoliterowo: u , v .
Graficznym przedstawieniem wektora AB jest strzałka z grotem przy jego
końcu (B)
A
B
Uwaga: Warto zauważyć podobieństwo i różnicę między:
odcinkiem AB i wektorem AB
A
B
w odcinku AB oba punkty: A, B nie są
uporządkowane, stąd zarówno punkt A, jak i B
to końce odcinka AB
A
B
w wektorze AB punkty A i B są
uporządkowane A – jest początkiem, B –
końcem wektora AB . Wektor AB to jakby
odcinek skierowany.
Nawet symbole: odcinka AB i wektora AB są w pewnym stopniu podobne,
lecz sugerują istotną różnicę między nimi (nad AB – kreska albo strzałka).
b) Wektor zerowy
Jeśli punkt A i B pokrywają się: BA to AB jest wektorem zerowym
(punktem). Oznaczenie: 0
c) Długość wektora
Jest to odległość punktów A i B. Oznaczenie ABAB
Uwaga: długość wektora zerowego jest równa zero: 00 .
266
d) Cechy charakterystyczne wektora zaczepionego Są to: punkt zaczepienia (A), kierunek (wyznaczona prosta AB), zwrot
(wyznaczony przez grot strzałki), długość (odległość początku do końca lub
końca do początku).
e) Równoległość wektorów Dwa wektory są równoległe jeśli proste je zawierające są równoległe.
CDABprCDAB ||.||
A
B
C
D
Wektory równoległe mają ten sam kierunek
Uwaga: Wektor zerowy 0 nie ma kierunku.
f) Zgodność i przeciwieństwo zwrotów wektorów
Niech CDAB 0
Prowadzimy dodatkowe proste AC i BD.
(1) Gdy pr. pr.AB CD , to:
A
B
C
D
tu: BDAC , więc zwroty AB
i CD są zgodne ( B i D do tej samej
strony prostej AC , czyli półpłaszczyzny
o krawędzi AC w kierunku B )
A
B
C
D
M
tu: BDAC , więc zwroty AB
i CD są przeciwne ( B i D do różnych
stron prostych AC (czyli do różnych
półpłaszczyzn o krawędzi AC ))
(2) Gdy pr. pr.AB CD (pokrywają się):
A
B
C
D
tu: CDAB , więc zwroty są zgodne
A
BC
D
tu: CDAB ani
ABCD ,
więc zwroty są przeciwne
Uwaga: Symbol AB oznacza półprostą o początku A w kierunku B .
267
g) Wektory równe (równoważne) - gdy maja tą samą: długość, kierunek i zwrot
A
B C
D
E
FG
H
AB CD EF GH
Uwaga: Każde dwa wektory zerowe są równe.
h) Wektory przeciwne - gdy mają tą samą: długość i kierunek ale przeciwne zwroty
A
B
C
D
AC CD
i) Wektor swobodny (reprezentant zbioru równych wektorów) Jest to zbiór wszystkich wektorów równych (równoważnych) danemu
wektorowi AB .
12.1.2. Działania na wektorach
a) Suma wektorów: vu
Niech dowolny punkt A – będzie początkiem wektora u , zaś koniec u
uznajemy za początek v : A
uv
Wówczas wektor, którego początek jest w początku pierwszego wektora ( u ),
zaś koniec w końcu drugiego wektora ( v ) jest sumą w wektorów: wvu :
A
uv
wvu
(tj. tzw. zasada trójkąta)
Inaczej, można wykorzystać zasadę równoległoboku
A
u
v
vu
( vu zawiera się w przekątnej równoległoboku rozpiętego na u i v .
268
b) Różnica wektorów: vu jest określana, jako suma wektora u i v
(przeciwnego do v )
vu = vu
u
v
u
v
vu
c) Iloczyn niezerowego wektora przez liczbę niezerową:
Niech }0{\Rk - niezerowa liczba; 0u - wektor niezerowy
Wówczas uk jest to wektor v , taki że:
1° uv ||
2° | || |v k u
3° dla 0k zwroty wektorów v i u są zgodne, zaś dla 0k zwroty
wektorów v i u są przeciwne
k 1k 1k 01 k 10 k 1k 1k
uk
u
uk
u
uk
uuk
u
uk
u
uk
u
uk
uuk
uuk
Wniosek 0
0
||u
k
ku u
Uwaga 1: Jeśli 0u , to \{0}
0 0k
ku k
Uwaga 2: Gdyby 0k , to 0u
ku
12.1.3. Własności związane z działaniami na wektorach
a)
,
u
k l
k lu kl u
(łączność mnożenia wektora przez liczby)
b) uv
k
k u v ku kv
(rozdzielność mnożenia wektora przez liczbę
względem dodawania wektorów)
269
c)
,
u
k l
k l u ku lu
(rozdzielność mnożenia wektora przez liczbę
względem sumy liczb)
d) \{0},
||ku v
u v v ku
(warunek równoległości wektorów)
e) pr .k
P AB AP k AB
(warunek współliniowości trzech punktów)
AB
P
f) 0k
P AB AP k AB
(półprosta o początku A w kierunku B: AB )
A B P
AB
g) 0k
P AB AP k AB
(półprosta dopełniająca do półprostej o początku A w kierunku B: AB )
A BP
AB
12.1.4. Iloczyn skalarny wektorów i jego własności
a) Kąt pary wektorów: ,u v jest to kąt AOB w którym
vOBuOA
dla
u
v
,u v u
v O
A
B
b) Iloczyn skalarny niezerowych wektorów: u , v , to następująca liczba:
cos ,df
u v u v u v
270
Wniosek: 22
uuuuozn
kwadrat skalarny wektora.
Zatem 2
uu (długość wektora).
Uwaga 1: Dla wektorów vu 0 - ich iloczyn skalarny jest liczbą zero.
Uwaga 2: Z definicji iloczynu skalarnego wektorów mamy wzór na cosinus
kąta pary wektorów: cos ,u v
u vu v
.
c) Własności iloczynu skalarnego wektorów:
(I) uv
u v v u (przemienność)
(II) , ,u v w
u v w u v u w (rozdzielność iloczynu skalarnego względem
sumy wektorów)
(III) ,
,
u v
a b
au bv ab u v
(łączność mieszana)
(IV) 0
0u v
u v u v
(warunek prostopadłości wektorów)
Uwaga: Wektor zerowy jest prostopadły do każdego wektora.
12.1.5. Spostrzeżenia dotyczące rachunku wektorów
a) Suma i różnica wektorów jest wektorem.
b) Iloczyn wektora i liczby jest wektorem.
c) Iloczyn skalarny wektorów jest liczbą.
d) Porównanie warunków: równoległości i prostopadłości wektorów
(niezerowych) Warunek
Równoległości (związany z iloczynem
wektora przez liczbę vu || )
Prostopadłości (związany z iloczynem
skalarnym wektorów vu )
0k
v ku
np.
uukv
0vu
u
v
271
u
ukv
u
v
Przykładowe zadanie
Punkty A, B, C, D, E, F są kolejnymi wierzchołkami sześciokąta foremnego,
zaś S jest punktem przecięcia się jego przekątnych.
a) Podaj wektory równe wektorowi FE ;
b) Podaj wektory przeciwne do wektora AS ;
c) Podaj wektory, które mają tę samą długość co wektor FD ;
d) Każdy z wektorów AB , DF , BC , FC przedstaw w postaci BEnADm ,
gdzie m i n są odpowiednio dobranymi liczbami. Komentarz Rozwiązanie
Wykonamy rysunek sześciokąta
foremnego. Zaznaczymy wektor
FE i wektory mu równe.
a)
A B
C
DE
FS
BCSDASFE
Na rysunku zaznaczymy wektor
AS i wektory do niego
przeciwne.
b) A B
C
DE
FS
SAAS
272
CBAS
DSAS
EFAS
Na rysunku zaznaczymy wektor
FD i wektory o tej samej
długości.
c)
A B
C
DE
FS
ECFBDBEACADF
CEBFBDAEACFD
Na rysunku zaznaczymy wektory
AD i BE oraz wektory AB ,
DF , BC , FC .
Następnie wyznaczymy liczby m
i n.
d)
A B
C
DE
FS
21
21
21 nmBEADAB
21
21 1 nmBEADADAFDF
0021
21 nmBEADBC
1 12 2
1 1
FC FA AC BE AD BE
AD BE m n
12.2. Wektory w ujęciu analitycznym
W poprzednim dziale jest omówiony rachunek wektorowy bez udziału
współrzędnych. W tym zaś bloku wektory i działania na nich opisywane są
poprzez związki miedzy współrzędnymi na płaszczyźnie, jest to ujęcie
analityczne rachunku wektorowego.
273
12.2.1. Analityczny opis punktu
Punkt – pojecie pierwotne (bez definicji), obiekt geometryczny zwykle
zaznaczany kropką: A lub przecinającymi się kreseczkami: A . Można go
opisać liczbą lub liczbami w zależności od tego, gdzie (w jakiej przestrzeni:
jedno-, dwu-, czy trójmianowej) jest on usytuowany:
Na osi liczbowej
(w przestrzeni
jednowymiarowej)
Na płaszczyźnie
z układem
współrzędnych
(w przestrzeni
dwuwymiarowej)
W przestrzeni
z układem
współrzędnych
(w przestrzeni
trójwymiarowej)
Liczba
współrzędnych
XA(x)0
Punkt ma jedną
współrzędną: xA
X
A(x,y)
0 x
y
Y
Punkt ma dwie
współrzędne: yxA ,
X
A(x,y,z)
xy Y
Z
z
Punkt ma trzy
współrzędne zyxA ,,
Analityczny
opis punktu:
pojedyncza liczba
rzeczywista: x
para liczb rzeczywistych:
yx,
trójka liczb
rzeczywistych: zyx ,,
Przykłady X0 2A
23B1 5C X
Y
0,0O
1,2A
3,0 B 3,5 C X
Y
Z
2,2,1A
0,3,0B
1,0,0 C
0,0,0O
1
1
1
2
2 3
12.2.2. Analityczny opis wektora
Współrzędne wektora obliczamy następująco:
Od współrzędnych końca wektora odejmujemy współrzędne początku.
Uwaga: Zapamiętując, w geometrii analitycznej, słowną zasadę obliczania (j.w.
współrzędnych wektora) nie jesteśmy uzależnieni od sposobu oznaczania
współrzędnych poprzez różne litery: np. 11, yx , czy AA yx , , czy konkretne
liczby.
Współrzędne wektora zapisujemy w nawiasach kwadratowych: [...].
w odróżnieniu od współrzędnych punktu w nawiasach okrągłych: (...).
Na osi liczbowej np.
AxA , BxB
Na płaszczyźnie np.
AA yxA , , BB yxB ,
W przestrzeni np.
AAA zyxA ,, , BBB zyxB ,,
Współrzędne
wektora AB
Współrzędne
wektora v
][ AB xxAB
vxv Wektor ma jedną
współrzędną
],[ ABAB yyxxAB
],[ vv yxv Wektor ma dwie
współrzędne
],,[
],,[
vvv
ABABAB
zyxv
zzyyxxAB
Wektor ma trzy współrzędne
Analityczny
opis wektora: pojedyncza liczba: x para liczb: yx, trójka liczb: zyx ,,
274
Przykłady X 1A 2B
]3[AB
X
Y
1,3B
1,A 1
]2,4[AB
X
Y
Z
0,0,0A
1,1,1B
]1,1,1[AB
Uwaga: Jednostkowe wektory zawarte w poszczególnych osiach współrzędnych
nazywamy: wersorami osi:
X0 1
X
Y
0 1
1w
w
2
1
X
Y
Z
11
1 w3
w2w1
]1[w
OYw
OXw
]1,0[
]0,1[
2
1
OZw
OYw
OXw
]1,0,0[
]0,1,0[
]0,0,1[
3
2
1
12.2.3. Długość wektora i długość odcinka we współrzędnych
Długość wektora to pierwiastek z sumy kwadratów jego współrzędnych.
Długość odcinka jest to pierwiastek z sumy kwadratów różnic odpowiednich
współrzędnych jego końców.
Na osi liczbowej. Na płaszczyźnie W przestrzeni
Długość
wektora AB i
długość
odcinka AB
(czyli odległość
punktów A
i B )
X
AxA
BxB
2
B A
A B
AB x x
x x AB AB
X
Y
AA yxA ,
BB yxB ,
2 2
B A B A
AB
x x y y
AB AB
X
Y
Z
AAA zyxA ,,
BBB zyxB ,,
2 2 2
B A B A B A
AB
x x y y z z
AB AB
Długość
wektora v 2
[ ]v
v
v x
v x x
2 2
[ , ]v v
v v
v x y
v x y
2 2 2
[ , , ]v v v
v v v
v x y z
v x y z
275
Uwaga 1: Długość wektora AB (jako odległość jego końca do początku), to
długość odcinka o końcach A, B. Zatem oba wzory oznaczają to samo:
ABAB
A także jest to odległość dwóch punktów A, B: ABABAB .
Uwaga 2: Następujące wyrażenia są równe:
2222
BABAABAB yyxxyyxx , ponieważ liczby: AB xx
i BA xx oraz AB yy i BA yy różnią się znakiem, a ich kwadraty są takie
same: 22
BAAA xxxx oraz 22
BAAB yyyy .
12.2.4. Działania na wektorach na płaszczyźnie w ujęciu analitycznym
W poprzednich modułach zagadnienia są prezentowane na osi liczbowej, na
płaszczyźnie i przestrzeni tak, aby widoczne były analogie ze względu na
wymiar przestrzeni. Począwszy od tego bloku ograniczymy się jedynie do
płaszczyzny mając nadzieję, iż czytelnik jest w stanie samodzielnie zawężyć
omawiane pojęcia do prostej (przestrzeni jednowymiarowej) oraz
ekstrapolować je na przestrzeń (trójwymiarową).
a) Równość wektorów
Wektory równe mają identyczne odpowiednie współrzędne.
Uwaga: Użyte słowo: „odpowiednie” (tu i dalej) jest bardzo ważne, gdyż
oznacza że pierwsze współrzędne porównujemy (kojarzymy) z pierwszymi,
drugie zaś z drugimi (itd.) (nie na odwrót!).
vu
vuvvuu
yy
xxyxvyxu ],[],,[
są równe
(równość pierwszych współrzędnych)
(równość drugich współrzędnych)
b) Wektory przeciwne
Współrzędne wektorów przeciwnych różną się tylko znakiem.
],[],[ uuuu yxuyxu ,
np. jeżeli ]3,1[u , to ]3,1[ u
c) Dodawanie (odejmowanie) wektorów
Dodajemy (odejmujemy) wektory dodając (odejmując) ich odpowiednie
współrzędne.
],,[],[
],[vuvu
vv
uuyyxxvu
yxv
yxu
276
d) Mnożenie wektora przez liczbę rzeczywistą Mnożąc wektor przez liczbę mnożymy każdą współrzędną przez te liczbę.
[ , ]
[ , ]u uu u
u x yku kx ky
k
e) Stosunek podziału odcinka AB (wektora AB )
jest to liczba k, taka, że PBkAP :
; wartość bezwzględna stosunku długości wektorów ,
0;
APP A AP PB
k PB
P A
A
B
P
Stąd dla 1k mamy wzór na współrzędne punktu (podziału) P:
1;
1 k
kyy
k
kxxP BABA
P
AA yxA ,
BB yxB ,
Uwaga: Dla 1k , taki punkt P nie istnieje.
f) Środek odcinka AB
Środek S odcinka AB dzieli go w stosunku 1k
Współrzędne środka odcinka są średnimi arytmetycznymi odpowiednich
współrzędnych jego końców.
2,
2
BABA yyxxS
AA yxA ,
BB yxB ,
S
Uwaga: Środek ciężkości
cS trójkąta ABC, gdzie ;A AA x y , ;B BB x y ,
;C CC x y ma współrzędne:
277
3,
3
CBACBAc
yyyxxxS
A B
C
cS
g) Iloczyn skalarny wektorów Iloczyn skalarny wektorów to suma iloczynów jego odpowiednich
współrzędnych.
[ , ]
,[ , ]
u u
u u v v
v v
u x yu v x y x y
v x y
12.2.5. Warunki: prostopadłości oraz równoległości wektorów
a) Warunek prostopadłości wektorów niezerowych Dwa wektory niezerowe są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy suma
iloczynów jego odpowiednich współrzędnych jest równa zero (czyli ich iloczyn
skalarny wynosi 0).
0
0[ , ], [ , ]u u v v
u vu v
u x y v x y
b) Warunek równoległości wektorów niezerowych (1) Wyznacznik pary wektorów jest to liczba:
[ , ]
,[ , ]
u u u u
u v v u
v vv v
u x y x yd u v x y x y
x yv x y
np. jeżeli ]5,2[],4,3[ vu
to 781552
43,
vud
Uwaga: , sin ,d u v u v u v
(2) Zastosowanie wyznacznika pary wektorów do obliczania pól:
równoległoboku i trójkąta:
278
AA yxA ,
BB yxB ,
CC yxC ,
v
u
D
Pole równoległoboku ABCD (rozpiętego na wektorach AB , AC )
, | |B A B A
ABCD
C A C A
x x y yP d AB AC
x x y y
Pole trójkąta ABC (rozpiętego na wektorach AB , AC )
1 12 2
, | |B A B A
ABC
C A C A
x x y yP d AB AC
x x y y
(3) Warunek równoległości wektorów: ],[ uu yxu , ],[ vv yxv
Dwa wektory niezerowe są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik
pary tych wektorów jest równy zero.
0
[ , ] 0
[ , ]
u u
u u
v v
v v
u vx y
u x yx y
v x y
czyli 0 uvvu yxyx lub v
u
v
u
y
y
x
x ,
12.2.6. Kąt pary wektorów niezerowych na płaszczyźnie
a) Cosinusy kierunkowe wektora ],[ uu yxu , są to liczby
gdzie , są to kąty, jakie tworzy wektor u z dodatnimi odpowiednimi
półosiami układu współrzędnych.
cos
cos
u
u
x
u
y
u
Y
X
uy
ux
uu yxu ,
u
279
b) Cosinus kąta pary wektorów ],[ uu yxu , ],[ vv yxv :
cos , u v u vx x y yu vu v
u v u v
.
c) Sinus kąta pary wektorów ],[ uu yxu , ],[ vv yxv :
sin ,
u u
v v u v v u
x y
x y x y x yu v
u v u v
.
Przykładowe zadanie
Punkty 3,1P i 2,3Q dzielą bok AB trójkąta ABC na trzy równe części.
a) Wiedząc, że 8,4 C wyznacz współrzędne wierzchołków A i B.
b) Bez wyznaczania miar kątów wykaż, że miara tego kąta trójkąta, którego
wierzchołkiem jest punkt C jest mniejsza od 60 .
c) Oblicz pole trójkąta ABC. Komentarz Rozwiązanie
Wyznaczymy współrzędne
wierzchołków A i B trójkąta
porównując współrzędne równych
wektorów.
a)
AP
Q
B
C
1
1
1;3 , 3;2P Q
BBAA yxByxA ,,,
QBPQAP
2;332;133;1 BBAA yxyx
13
41
A
A
y
x
12
43
B
B
y
x
4
5
A
A
y
x
1
7
B
B
y
x
(5;4)A ( 7;1)B
280
Wyznaczymy wartości funkcji sinus
i cosinus kąta ACB .
b)
12;984;45 CA
9;381;47 CB
15129 22 CA
1039093 22CB
9 9 12 3 81 36 117sin
15 3 10 45 10 45 10
13 13 10
505 10
9 3 12 9 27 108cos
15 3 10 45 10
81 9 9 10
5045 10 5 10
Kąt jest kątem ostrym. Dla
90,0 funkcja sinus jest
funkcją rosnącą, co oznacza, że sinus
kąta o większej mierze jest większy
od sinusa kąta o mniejszej mierze.
0cos
0sin
, zatem 90,0
8222,050
1013sin
8660,02
360sin
8660,08222,0
sin sin60 60
Wyznaczymy pole ABC . c)
12;984;45 CA
9;381;47 CB
117368193
129,
CBCAd
CBCAdP ABC ,21
21
21 58117 ABCP
Formułujemy odpowiedź. Odp. a) Wierzchołkami trójkąta są punkty
(5;4)A , ( 7;1)B , ( 4; 8)C .
b) Kąt o wierzchołku C ma miarę mniejszą niż 60 .
c) Pole trójkąta wynosi 2158 .
281
13. Rachunek macierzowy
13.1. Podstawowe informacje o przestrzeni wektorowej
13.1.1. Przestrzeń wektorowa n
a) Przestrzeń wektorowa n jest to iloczyn kartezjański zbioru n razy:
razy
n
n
wraz ze zdefiniowanymi dwoma działaniami na elementach tego zbioru.
Elementy tego zbioru: 1 2, , , n
nx x x x nazywa się wektorami,
a 1 2, , , nx x x jego współrzędnymi, zaś liczby rzeczywiste k - skalarami
(liczbami). Element 0,0, ,0O - to wektor zerowy.
W n określone są dwa działania:
1 2 1 2 1 1 2 2
,dodawanie wektorów
1 2 1 2
mnożenie wektora przez skalar
, , , , , , , , ,
, , , , , ,
n
n
n n n n
x y
n n
x
k
x y x x x y y y x y x y x y
kx k x x x kx kx kx
Uwaga: W nauczaniu szkolnym wektory oznaczamy ze strzałką nad literą, a ich
współrzędne umieszczamy w nawiasie kwadratowym, zaś w przestrzeni
wektorowej n w nawiasie zwykłym (okrągłym). Poza tym działania na
wektorach w przestrzeni wektorowej n są analogiczne, jak działania na
wektorach na płaszczyźnie z układem współrzędnych.
Ponadto pojęcia: długość wektora, iloczyn skalarny i równoległość
wektorów mają swoje odpowiedniki (analogony) w przestrzeni wektorowej n .
b) Norma (długość) wektora w n , to liczba:
2 2 2 2
1 2 1 2
1
, , ,n
n i n
i
x x x x x x x x
c) Odległość dwóch wektorów: 1 2, , , nx x x x i 1 2, , , ny y y y w n ,
to długość ich różnicy, czyli wektora x y :
2
1
n
i i
i
x y x y
282
d) Iloczyn skalarny dwóch wektorów w n 1 2, , , nx x x x
i 1 2, , , ny y y y , to liczba (skalar):
1
n
i i
i
x y x y
e) Równoległość wektorów w n :
||df
k
x y y kx
f) Prostopadłość wektorów w n :
0x y x y
13.1.2. Ważne definicje związane z przestrzenią wektorową n
a) Kombinacja liniowa wektorów 1 2, , , kv v v o współczynnikach liczbowych
1 2, , , n , to wektor:
1 1 2 2
1
k
i i k k
i
w v v v v
b) Liniowa zależność wektorów 1 2, , , kv v v :
1 21, , 1
kombinacja liniowa wektorów
jest wektorem zerowym
0 0 , , ,k
i i i ki k i
v
Uwaga: Układ wektorów jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy
przynajmniej jeden z nich jest liniową kombinacją pozostałych wektorów.
c) Liniowa niezależność wektorów:
Układ wektorów 1 2, , , kv v v jest liniowo niezależny, jeżeli nie jest liniowo
zależny, tzn.:
1, ,1
0 0k
i i ii ki
v
283
d) Baza przestrzeni wektorowej n , to każdy układ n wektorów liniowo
niezależnych, np. 1 1,0,0, ,0e , 2 0,1,0, ,0e , ..., 0,0,0, ,1ne -
jest to baza kanoniczna.
Liczbę n - nazywamy wymiarem przestrzeni wektora n .
Przykładowe zadanie
Zbadaj liniową niezależność wektorów 3;2;0x , 1; 4;3y , 2;0;0z
w przestrzeni wektorowej 3 . Komentarz Rozwiązanie
Budujemy kombinację
liniową tych wektorów ze
współczynnikami
1 2 3, , i
przyrównujemy ją do
wektora zerowego.
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 2
3;2;0 1; 4;3 2;0;0
3 2 ;2 4 ;3 0;0;0
x y z
Stąd musi być spełniony układ równań:
1 2 3
1 2
2 2
3 2 0
2 4 0
3 0 0
1 12 0 0
3 32 0 0
Czyli 1 2 3 0 - jest to jedyne rozwiązanie tego układu.
Formułujemy odpowiedź. Odp. Wektory x , y , z są liniowo niezależne.
Uwaga: Układ tych wektorów, jako liniowo niezależny, może stanowić bazę
przestrzeni 3 .
13.2. Macierze
13.2.1. Wprowadzenie pojęcia macierzy
a) Ciąg liczbowy, a macierz.
Ciąg liczbowy to funkcja, której dziedziną jest
:
:na
: ; ,n i na i a i a
i - numer wyrazu, ia - wyraz ciągu
Macierz, to funkcja określona na iloczynie kartezjańskim :
A :n k
A : ; ; ; ,n k ij iji j a i j a
ija - element macierzy
284
1, ,i n - numer wiersza
1, ,j k - numer kolumny
n k - oznacza wymiar macierzy
n - to liczba wierszy macierzy (wiersze są ustawione poziomo)
k - to liczba kolumn macierzy (kolumny są ustawione pionowo)
Symbol macierzy: A, B, C, (lub An k nka z podaniem wymiaru
macierzy)
11 12 1
21 22 2
1 2
1-szy wiersz
2-gi wierszA=
-ty wiersz
1-sza 2-ga -ta
kolumna
k
k
n n nk
a a a
a a a
a a a n
k
Element ija to element i -tego wiersza i j -tej kolumny.
b) Macierz, a wektor przestrzeni wektorowej.
Szczególnym przypadkiem macierzy jest wektor.
Wektor wierszowy (zapisany horyzontalnie, czyli poziomo):
1 2, , , k
ka a a to macierz o jednym wierszu i k kolumnach, czyli
o wymiarze: 1 k .
Wektor kolumnowy (zapisany wertykalnie, czyli pionowo):
1
2 n
n
a
a
a
to
macierz o n wierszach i jednej kolumnie, czyli o wymiarze: 1n .
Zatem macierz o jednym wierszu (o jednej kolumnie) to wektor.
Uwaga: Macierz można uznać za uogólnienie ciągu lub wektora.
285
13.2.2. Rodzaje macierzy
a) Macierz zerowa: wszystkie elementy są zerami:
0 0 0
0 0 0O
0 0 0
b) Macierz kwadratowa: n k , czyli An n:
11 12 1
21 22 2
1 2
A
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
Elementy iia :
11 22, , , nna a a tworzą główną przekątną macierzy. Liczba n
nazywa się stopniem macierzy.
c) Macierz diagonalna (przekątniowa), to macierz kwadratowa, której
elementy na głównej przekątnej są różne od zera, z poza nią są zerami:
11
22
0 0
0 0
0 0 nn
a
a
a
d) Macierz jednostkowa, to macierz diagonalna, która na głównej przekątnej
ma tylko jedynki, oznaczenie I:
1 0 0
0 1 0I
0 0 1
e) Macierz symetryczna, to macierz kwadratowa, która ma elementy nad i pod
główną przekątną takie same (równe): ij jia a .
f) Macierz trójkątna, to macierz kwadratowa, której wszystkie elementy nad
lub pod główną przekątną są zerami:
286
11
21 22
1 2
0 0
0
n n nn
a
a a
a a a
lub
11 12 1
22 20
0 0
n
n
nn
a a a
a a
a
13.2.3. Działania na macierzach
Niech 1, ,i n , 1, ,j k i An k ija .
a) Równość macierzy, to równość ich wymiarów i identyczność ich
odpowiednich elementów:
1, ,
1, ,
A Bn k n k ij iji n
j k
a b
b) Transponowanie macierzy (zawsze wykonalne) - jest to zamiana wierszy
na kolumny (i na odwrót):
macierz
transponowana
AT
T
ij jia a
Uwaga 1: Prawdziwa jest równość: A AT
T .
Uwaga 2: Dla macierzy A symetrycznej: A AT .
c) Mnożenie macierzy przez liczbę rzeczywistą k (zawsze wykonalne):
An k ij ijk k a ka
(mnożymy każdy element macierzy przez liczbę k)
d) Dodawanie (odejmowanie) macierzy (wykonalne tylko wtedy, gdy
wymiary macierzy są identyczne):
A Bn k n k ij ij ij ija b a b
(dodajemy (odejmujemy) odpowiednie elementy obu macierzy)
Uwaga: Dodawanie macierzy jest przemienne i łączne.
e) Mnożenie macierzy przez macierz (wykonalne tylko wówczas, gdy liczba
kolumn pierwszej macierzy jest równa liczbie wierszy drugiej macierzy): An k
Bk m Cn m
(to samo)
(to samo)(to samo)
287
Czyli
ij jl ila b c , gdzie 1
; 1, , , 1, ,k
il ij jl
j
c a b i n l m
(mnożymy poszczególne elementy w wierszu przez odpowiednie elementy
w kolumnie i te iloczyny sumujemy)
Uwaga 1: Iloczyn macierzy jest macierzą o liczbie wierszy takiej jak pierwsza
macierz i o liczbie kolumn takiej jak druga macierz.
Uwaga 2: Mnożenie macierzy nie jest przemienne: AB BA . Iloczyn macierzy
niezerowych może być macierzą zerową.
Uwaga 3: Prawdziwe są równości: I A A I A .
f) Operacje (przekształcenia) elementarne macierzy, to każde z następujących
przekształceń:
(1) pomnożenie każdego elementu dowolnego wiersza (kolumny) macierzy
przez liczbę różną od zera,
(2) dodanie do poszczególnych elementów dowolnego wiersza (kolumny)
odpowiednich elementów innego wiersza (kolumny) pomnożonych przez
dowolną liczbę różną od zera,
(3) zamiana miejscami dwóch dowolnych wierszy (kolumn) macierzy.
Macierze otrzymane w wyniku operacji elementarnych nazywamy macierzami
równoważnymi (oznaczenie A B ).
Uwaga: Analogiczne operacje, jak na wierszach macierzy wykonuje się na
równaniach układu równań, aby rozwiązać układ równań metodą przeciwnych
współczynników.
Stosując skończenie wiele operacji elementarnych można macierz A
sprowadzić do postaci kanonicznej, bazowej, tj. I R
O O
r
, gdzie Ir to macierz
jednostkowa stopnia r , R - tzw. macierz resztowa, a O - macierz zerowa.
Wówczas macierz A jest rzędu r : Arz r (jest to m.in. jeden ze sposobów
obliczania rzędu macierzy).
Przykładowe zadanie Dane są macierze:
3 2 1 0
A 0 1 2 4
1 0 3 0
i
0 1
1 0B
3 2
2 1
.
Wyznacz A B i B A .
288
Komentarz Rozwiązanie
Przed przystąpienie do działania na
macierzach należy sprawdzić, czy jest ono
wykonalne. W tym przypadku chodzi
o mnożenie. 3 4
3 2 1 0
A 0 1 2 4
1 0 3 0
4 2
0 1
1 0B
3 2
2 1
3 4 4 2
mnożenie
jest
wykonalne
A B ; 4 2 3 4
mnożenie
nie jest
wykonalne
B A
Iloczyn macierzy AB będzie macierzą
o wymiarze 3 2 . Wykonujemy mnożenie AB .
Natomiast BA nie jest wykonalne.
Dla wygody można te macierze
odpowiednio zapisać, aby ułatwić sobie
wyznaczenie iloczynu A B . Wówczas
mnożąc i -ty wiersz macierzy A przez
j -tą kolumnę macierzy B otrzymujemy
element w i -tym wierszu i j -tej
kolumnie macierzy, która jest iloczynem
tych macierzy.
3 2
0 1
1 0
3 2
2 1
3 2 1 0 1 5
0 1 2 4 15 0
1 0 3 0 9 7
Formułujemy odpowiedź.
Odp.
1 5
A B 15 0
9 7
, B A niewykonalne.
13.2.4. Rząd macierzy
Jest to maksymalna liczba liniowo niezależnych wierszy (wektorów
horyzontalnych) lub kolumn (wektorów wertykalnych) tej macierzy.
Oznaczenie: Arz .
289
Np.
1 2 3
0 1 1 2
2 1 3
rz
, bo 3 1 2k k k
więc układ wektorów kolumn: 1 2 3, ,k k k jest liniowo zależny.
Uwaga 1: A min ,n krz n k .
Uwaga 2: Każda operacja elementarna zachowuje rząd macierzy. Rząd
macierzy nie zmieni się po skreśleniu wiersza lub kolumny złożonej z samych
zer.
13.2.5. Wyznacznik macierzy
Uwaga: dotyczy tylko macierzy kwadratowej.
Oznaczenia: det A lub
11 12 1
21 22 2
1 2
A
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
.
a) Wyznacznik macierzy, to liczna rzeczywista obliczana w następujący
sposób:
(1) Dla macierzy pierwszego stopnia 1n :
11 1df
a
(2) Dla macierzy drugiego stopnia:
11 12
11 22 21 12
21 22 iloczyn elementów na iloczyn elementów na
głównej przekątnej niegłównej przekątnej
a aa a a a
a a
(3) Dla macierzy trzeciego stopnia 3n (metoda Sarrusa):
po prawej stronie
dopisujemy dwie
pierwsze kolumny
te elementy mnożymy
i poprzedzone plusem
sumujemy
11a 12a 13a
-21a 22a 23a
31a 32a 33a
11a 12a
21a 22a
31a 32a
11a 22a 33a + 12a 23a 31a + 13a 21a 32a +
- -31a 22a 13a 32a 23a 11a 33a 21a 12a
te elementy mnożymy
i poprzedzone minusem
sumujemy
290
Uwaga: Wygodny sposób obliczania wyznacznika macierzy trzeciego stopnia
bez dopisywania dwóch pierwszych kolumn z prawej strony (czy dwóch
pierwszych wierszy u dołu):
Oto schemat: kropki oznaczają elementy macierzy, a łączące je odcinki
wskazują iloczyny tych elementów:
te iloczyny
poprzedzone plusem
sumujemy
te iloczyny
poprzedzone minusem
sumujemy
dodajemy Dodając tak obliczone iloczyny otrzymujemy wyznacznik macierzy trzeciego
stopnia.
(4) Dla macierzy dowolnego stopnia n :
wzór (rozwinięcie) Laplace'a
1 podmacierz (stopnia 1)czynnik regulujący znak 1
1 macierw zależności od parzystości
sumujemy (rozwijamy)wykładnika
po elementach wiersza
lub po elementach kolumny
det A 1 det An
i j ij
iji n
j
i ji
j
a
zy A (stopnia )
powstałej z A poprzez
skreślenie w niej -tego
wiersza i -tej kolumny
minor, czyli wyznacznik
podmacierzy A
- zminoryzowanej
(pomniejszonej) w
stosunku do macierzy A
- dopełnie
ij
ij
n
i
j
d nie algebraiczne elementu o numerze , ,
czyli elementu ij
i j
a
Wzór Laplace'a sprowadza obliczenie wyznacznika macierzy stopnia n
do obliczania, w kolejnych składnikach sumy, wyznaczników macierzy
(podmacierzy) o stopniu 1n (niższym). Najwygodniej obliczać taką sumę,
która ma najwięcej zerowych składników, czyli rozwijać względem wiersza lub
kolumny zawierającej najwięcej elementów zerowych.
Można taką sytuację spowodować dodając do wiersza (kolumny) inny
wiersz (kolumnę) pomnożony (pomnożoną) przez stosownie dobraną niezerową
liczbę, gdyż taka operacja elementarna nie zmienia wyznacznika.
Macierz, której wyznacznik jest różny od zera nazywa się macierzą
nieosobliwą.
291
Uwaga: Jeżeli:
1 macierz zawiera wiersz (kolumnę) złożony z samych zer lub ma dwa wiersze
(kolumny) identyczne, to wyznacznik takiej macierzy jest równy zero (macierz
osobliwa),
2 macierz zawiera dwa "proporcjonalne" (równoległe jako wektory) wiersze
(kolumny), to jej wyznacznik jest równy zero (macierz osobliwa),
3 raz przestawimy dwa wiersze (kolumny) macierzy ze sobą miejscami, to
wyznacznik takiej macierzy zmieni znak na przeciwny.
b) Wybrane własności wyznacznika:
(1) Wyznacznik macierzy diagonalnej jest równy iloczynowi elementów na
głównej przekątnej: 1
det An
diag ii
i
a
. Stąd wyznacznik macierzy jednostkowej
jest równy 1: det I 1 .
(2) det A det AT , również A ATrz rz (transponowanie nie zmienia ani
wyznacznika ani rzędu macierzy)
(3)
A stopnia
det A det A;n
n
n
k k k
(4) det AB det A det B det BA
Uwaga: Rząd macierzy jest równy największemu stopniowi r podmacierzy
nieosobliwej (czyli stopniu minora różnego od zera).
Przykładowe zadanie Oblicz:
a)
3 1 0 5
2 0 1 3
0 1 3 0
1 3 2 2
, b) 2 1 3
1 0 0.
Komentarz Rozwiązanie
Wyznacznik istnieje,
bo macierz jest
kwadratowa.
Stosujemy wzór
Laplace'a.
Analizujemy, w
którym wierszu
(kolumnie) jest
najwięcej zer. W
wierszu 1-ym, 2-gim o
3-cim oraz w każdej
kolumnie występują
a)
292
zera. Jednak w wierszu
3-cim są dwa zera,
więc rozwiniemy
względem 3-go
wiersza. Suma ze
wzoru Laplace'a ma
więc dwa składniki
(pierwszy z 31 0a i
ostatni z 34 0a )
równe zero, zaś
niezerowe składniki
zawierają 32 1a i
33 3a .
Wyznacznik jest różny
od zera, więc macierz
jest nieosobliwa.
32
32
wg wzoru
3 2
Laplace'a
czyli 3, 2
minor, czyli wyznacznik
podmacierzy powstałej z A
po skreśleniu wiersza i kolumny
na skrzyżowaniu których jest
3 1 0 53 0 5
2 0 1 31 1 2 1 3
0 1 3 01 2 2
1 3 2 2
i j
a
i j
a
33
33
1
3 3
czyli 3, 3
minor, czyli wyznacznik
podmacierzy uzyskanej po
skreśleniu wiersza i kolumny
na skrzyżowaniu których jest 3
z metody Sarrusa
3 1 5
3 1 2 0 3
1 3 2
1 1 6 0 20 5 0 18
i j
a
i j
a
z metody Sarrusa
3 1 0 3 30 0 4 27
1 6 5
Formułujemy
odpowiedź. Odp. det A 5
Macierz nie jest
macierzą kwadratową.
b)
2 1 3det
1 0 0 nie istnieje.
13.2.6. Macierz odwrotna
Uwaga: istnieje tylko dla macierzy nieosobliwej.
Niech A - macierz nieosobliwa stopnia n .
a) Oznaczenie: 1A .
Macierz odwrotna spełnia warunek: 1 1
macierz
jednostkowa
A A A A I
1 1det A
tzw. macierz dołączona,
jest to transponowana macierz
dopełnień algebraicznych:
A D
det A 0 (A A )
d T
d
(wzór na obliczanie macierzy odwrotnej do A )
gdzie macierz dopełnień algebraicznych ma postać:
293
minor podmacierzy A
(jak we wzorze
Laplace'a)
D ; 1 det Aij
i j ij
ij ijd d
Aby wyznaczyć macierz odwrotną do danej macierzy A należy:
1 sprawdzić, czy dana macierz jest nieosobliwa,
2 obliczyć wg wzoru każdy element ijd macierzy dopełnień algebraicznych
i zbudować tę macierz D ,
3 wyznaczyć macierz dołączoną A Dd T ,
4 wyznaczyć macierz odwrotną 1A wg wzoru na macierz odwrotną.
Przykładowe zadanie
Wyznacz
11 0 2
3 1 1
2 0 3
.
Komentarz Rozwiązanie
Sprawdzamy, czy macierz jest
nieosobliwa ( det A 0 ).
metoda Sarrusa
1 0 2
3 1 1 3 0 0 4 0 0 1 0
2 0 3
det A 1 0 , więc macierz jest nieosobliwa
i istnieje 1A.
Obliczamy kolejne dopełnienia
algebraiczne poszczególnych
elementów danej macierzy.
2
111
1minor dla
podmacierzy
po skreśleniu
1 -ego wiersza
i 1 -tej kolumny
1 11 1 3 0 3
0 3i
j
i
j
d
3
121
2
3 11 1 9 2 7
2 3i
j
d
4
131
3
3 11 1 0 2 2
2 0i
j
d
294
3
212
1
kolumna z samych zer
0 21 0
0 3i
j
d
4
222
2
1 21 1 3 4 1
2 3i
j
d
5
232
3
1 01 0
2 0i
j
d
4
313
1
0 21 1 0 2 2
1 1i
j
d
5
323
2
1 21 1 1 6 5
3 1i
j
d
6
333
3
1 01 1 1 0 1
3 1i
j
d
Budujemy macierz dopełnień
algebraicznych. 3 7 2
D 0 1 0
2 5 1
Transponujemy macierz D i
otrzymujemy macierz dołączoną Ad.
3 0 2
D 7 1 5 A
2 0 1
T d
Wyznaczamy macierz odwrotną wg
wzoru. 1 1
1
3 0 2 3 0 2
A 7 1 5 7 1 5
2 0 1 2 0 1
Formułujemy odpowiedź.
Odp. 1
3 0 2
A 7 1 5
2 0 1
.
295
b) Wybrane własności macierzy odwrotnej:
(1) 1 1 1AB B A
(2) 1 1det A
det A
(3) 1
1A A
(4) 1
1A AT
T
(5) 1 11A A ; 0
kk k
13.3. Układy równań liniowych
13.3.1. Układ n równań liniowych o k niewiadomych
Jest to układ zawierający n równań o k niewiadomych:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
k k
k k
n n nk k n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
;
gdzie , 1, , , 1, ,ija i n j k - to dane współczynniki liczbowe
układu
, 1, ,ib i n - to dane wyrazy wolne układu (dane liczby)
, 1, ,jx j k - to niewiadome układu
Można go krócej zapisać: 1
k
ij j i
i
a x b
, dla 1, ,i n .
Ww. układ w postaci macierzowej:
11 12 1 1 1
21 22 2 2 2
1 2 1 1
macierz A (główna) układu kolumna ko
złożone ze współczynników niewiadomych
tego układu (wektor)
k
k
n n nk k nn k k n
x
a a a x b
a a a x b
a a a x b
lumna
wyrazów wolnych
(wektor)
b
296
czyli A x b , gdzie
11 12 1
21 22 2
1 2
A
k
k
n k
n n nk
a a a
a a a
a a a
jest macierzą główną tego
układu.
Macierz uzupełniona (rozszerzona) układu:
11 12 1 1
21 22 2 2
1
1 2
A
k
ku
n k
n n nk n
a a a b
a a a b
a a a b
Ww. układ w postaci wektorowej:
1 1 2 2 k ka x a x a x b ;
gdzie
11
21
1
1n
a
aa
a
,
12
22
2
2n
a
aa
a
, ...,
1
2
k
k
k
nk
a
aa
a
,
1
2
n
b
bb
b
są wektorami
kolumnowymi.
Jeśli wektor b jest wektorem zerowym, to układ nazywamy układem
jednorodnym: A 0x .
Jeśli wektor b nie jest wektorem zerowym, to układ nazywamy układem
niejednorodnym: A x b .
Uwaga: Czasem zamiast niewiadomych 1 2, , , nx x x stosujemy dla
przejrzystości litery: , , , , ,x y z t v , itp.
13.3.2. Rozwiązywanie układów równań liniowych
a) Rozwiązaniem układu równań liniowych jest układ liczb: 1 2, , , nx x x
,
czyli wektor
1
20
n
x
xx
x
spełniający układ równań.
297
Układ równań liniowych
nie ma rozwiązań ma rozwiązanie
ALBO
jest sprzeczny jest niesprzeczny
ma dokładnie jedno
rozwiązanie
ma nieskończenie wiele
rozwiązań
ALBO
jest oznaczony jest nieoznaczony
b) Twierdzenie Kroneckera-Capellego (o niesprzeczności układu równań,
czyli o istnieniu rozwiązania układu)
(wspólna wartość
obu rzędów)
Układ równań
liniowych maA A
rozwiązanie
(jest niesprzeczny)
u
rrz rz
Jeżeli ten wspólny rząd r obu macierzy: A i Au jest równy ponadto
liczbie niewiadomych k , czyli r k , to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie
- jest to układ oznaczony.
Jeżeli zaś ten wspólny rząd r obu macierzy: A i Au jest mniejszy od
liczby niewiadomych k , czyli r k , to k r niewiadomych można przyjąć
dowolnie, jako parametry, a pozostałe r niewiadomych wyznacza się z układu
r równań o r niewiadomych. Wyznaczonych r rozwiązań wyraża się poprzez
k r parametrów, czyli przy każdym przyjęciu konkretnych liczb za
parametry, otrzymujemy inny zestaw rozwiązań. Układ jest więc nieoznaczony.
Oto przykład układu 3-ch równań o 4-ch niewiadomych:
12
2 3
4 3 7 2 11
3 4 7
x y z t
x y z t
x y z t
; 3, 4n k
298
Macierz główna układu: 3 4
12
2 1 1 1
A 4 3 7 2
3 1 4
ma rząd 2r , bo jest to
najwyższy stopień niezerowego minora: 2 1
10 04 3
, zaś wszystkie jej
minory 3-go stopnia się zerują. Macierz dołączona:
3 4
12
2 1 1 1 3
A 4 3 7 2 11
3 1 4 7
u
ma też rząd 2r , bo też wszystkie jej minory
3-go stopnia są równe zero. Stąd A Aur rz rz , jest to więcm w myśl tw.
Kroneckera-Capellego, układ mający rozwiązanie (jest niesprzeczny).
Rozwiązujemy go w sposób następujący. Skoro minor: 2 1
04 3
i 2r , to
rozwiązujemy następujący układ 2-ch równań o 2-ch niewiadomych:
2 3
4 3 11 7 2
x y z t
x y z t
, gdzie składniki o współczynnikach niewystępujących
w tym minorze przenosimy na prawą stronę. Odrzucając 3-cie równanie,
którego współczynniki nie uczestniczą w ww. minorze. Macierz główna tego
układu 2 1
A4 3
jest nieosobliwa (2 1
10 04 3
) (tj. ten minor
niezerowy).
Układ ten ma następujące rozwiązanie:
110
45
2
1
x z t
y z t
, gdzie t i z uznajemy
za parametry, np. z p i t q , gdzie ,p q . Zatem układ o 4-ch
niewiadomych ma następujące rozwiązanie:
110
45
2
1
x p q
y p q
z p
t q
, gdzie ,p q ,
czyli wyrażone poprzez parametry p i q . Stąd tych rozwiązań jest
nieskończenie wiele (tyle, ile różnych możliwych podstawień liczbowych
w miejsce p i q ). Każde z tych rozwiązań spełnia też trzecie równanie
(wcześniej odrzucone).
299
c) Jeśli n k (macierz układu A jest macierzą kwadratową), to układ ma n
równań i n niewiadomych:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
n n
n n
n n nn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
i nazywamy go układem Cramera.
Dla układu Cramera: A Aur rz rz n , więc jeśli det A 0 , to ma ona
rozwiązanie postaci (wzory Cramera):
det A
det A, 1, ,i
ix i n ,
gdzie Ai jest macierzą powstałą z macierzy A przez zastąpieniu w niej i -tej
kolumny, kolumną wyrazów wolnych (czyli 1n -szą kolumnę w macierzy
1Au
n n ).
d) Jeśli n k (macierz układu An k nie jest macierzą kwadratową), to układ
(niejednorodny) ma n równań i k niewiadomych. Wtedy:
300
A Aurz rz A Aur rz rz n (tw. Kroneckera-Capellego)
nie ma
rozwiązań
(układ
sprzeczny)
ma rozwiązanie
(układ
niesprzeczny)
Wtedy:
r n k
n k
r n
r k
r k
rozwiązujemy układ
Cramera
(ma rozwiązanie gdy
det A 0 )
rozwiązując układ (Cramera) k równań
z k niewiadomymi otrzymujemy jego
rozwiązanie (układ oznaczony), a gdy
k n , to rozwiązanie to spełnia też
n k pozostałych równań
w macierzy A (głównej) tego
układu znajdujemy niezerowy minor
najniższego stopnia ( r )
i odrzucamy równania, których
współczynniki nie uczestniczyły
w tym minorze oraz przenosimy na
prawą stronę równań składniki ze
współczynnikami nie
występującymi w tym minorze
uznając niewiadome po prawej
stronie jako parametry; powstały
w ten sposób nowy układ r równań
o r niewiadomych (układ Cramera)
ma rozwiązanie wyrażone poprzez
k r pozostałych niewiadomych
(parametrów) - czyli układ ma
nieskończenie wiele rozwiązań dla
różnych podstawień różnych liczb
za parametry (układ nieoznaczony)
e) Układ jednorodny ma zawsze rozwiązanie. Jednym z jego rozwiązań jest
rozwiązanie zerowe: 1 2 0nx x x .
Rozwiązanie zerowe jednorodnego układu oznaczonego jest jego jedynym
rozwiązaniem. Jednorodny układ nieoznaczony, oprócz rozwiązania zerowego,
na jeszcze nieskończenie wiele rozwiązań niezerowych.
301
Oto przykład układu jednorodnego:
5 3 0
3 4 10 16 0
2 3 5 0
6 4 8 20 0
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t
4n k .
Macierz główna układu 4 4
1 5 3 1
3 4 10 16A
2 3 1 5
6 4 8 20
ma rząd 2r , bo minor 2-
go stopnia jest niezerowy: 1 5
19 03 4
, zaś wszystkie jej minory 3-go
stopnia się zerują ( 2r jest to więc najwyższy stopień niezerowego minora).
Ponadto r k ( 2 4 ), zatem rozwiązujemy układ 2-ch równań o 2-ch
niewiadomych x i y : 5 3
3 4 10 16
x y z t
x y z t
, którego macierz główna:
1 50
3 4
jest nieosobliwa (tj. ten minor niezerowy) i przenosząc pozostałe
składniki na prawą stronę, uznajemy niewiadome z i t za parametry. Po
rozwiązaniu otrzymujemy: 2 4x z t
y z t
. Przyjmując np. z p i t q , gdzie
,p q otrzymujemy następujące rozwiązanie jednorodnego układu 4-ech
równań o 4-ech niewiadomych:
2 4x p q
y p q
z p
t q
, dla ,p q . Rozwiązań tych
jest nieskończenie wiele ( ,p q ), czyli jest to układ nieoznaczony. Dla
0p q otrzymujemy rozwiązanie zerowe: 0x y z t .
Przykładowe zadanie Rozwiąż układ równań:
a)
2 1
4 3 4 4
5 3 4 5 5
5 0
x y x t
x y z t
x y z t
x y t
, b)
2 2 3 10
5 4 1
3 5 6 11
2 7
x y z
x y z
x y z
x y z
.
302
Komentarz Rozwiązanie
Badamy rzędy: macierzy głównej 4 4A
i
macierzy uzupełnionej 4 5Au
.
Nie jest spełnione twierdzenie
Kroneckera-Capellego.
a)
2 1
4 3 4 4
5 3 4 5 5
5 0
x y x t
x y z t
x y z t
x y t
4n - liczba równań
4k - liczba niewiadomych
4 4A 2rz , bo minor 2-go stopnia:
1 20
4 1 , a wszystkie minory 3-go stopnia są
zerowe.
4 5A 3urz , bo
1 2 1
4 1 4 7 0
1 5 0
, a
wszystkie minory 4-go stopnia są zerowe, więc
najwyższy stopień niezerowego minora jest
równy 3.
4 4 4 5A 2 A 3urz rz .
Więc układ nie ma rozwiązania, jest sprzeczny.
Formułujemy odpowiedź. Odp. Brak rozwiązania.
Obliczamy 4 3Arz
i 4 4Aurz i
sprawdzamy, czy są równe.
b)
2 2 3 10
5 4 1
3 5 6 11
2 7
x y z
x y z
x y z
x y z
4n - liczba równań
3k - liczba niewiadomych
4 3A 3rz , bo 3 tj. najwyższy stopień
niezerowego minora
2 2 3
5 4 1 83 0
3 5 6
,
a minor 4-go rzędu nie istnieje.
4 4A 3urz . bo 3 tj. najwyższy stopień
niezerowego minora, a minor 4-go rzędu jest
303
zerowy 4 4
2 2 3 10
5 4 1 1det A 0
3 5 6 11
1 2 1 7
u
.
Jest spełnione tw. Kroneckera-Capellego. Zachodzi więc równość 4 3 4 4A Aurz rz ,
3r gwarantująca niesprzeczność tego układu
równań, czyli układ ma rozwiązanie.
Aby znaleźć rozwiązanie układu należy
rozwiązać układ 3-ch równań o 3-ch
niewiadomych (opuszczone 4-te
równanie). Współczynniki tego układu
uczestniczą w minorze 3-go stopnia
różnym od zera.
Poszukujemy więc rozwiązania układu:
2 2 3 10
5 4 1
3 5 6 11
x y z
x y z
x y z
Stosując wzory Cramera:
10 2 3
1 4 1
11 5 6 831
det A 83x
2 10 3
5 1 1
3 11 6 1662
det A 83y
2 2 10
5 4 1
3 5 11 3324
det A 83z
Otrzymane rozwiązanie to:
1
2
4
x
y
z
; spełnia ono
też 4-te równanie.
Formułujemy odpowiedź Odp. Rozwiązanie układu to
1, 2, 4x y z .
304
f) Przykład rozwiązywania układu równań liniowych z zastosowaniem
macierzy odwrotnej
Postać macierzowa układu równań: A x b ; A - macierz główna układu, x -
wektor kolumnowy niewiadomych, b - wektor wyrazów wolnych
(kolumnowy).
Wiedząc, że dla det A 0 (istnieje 1A ), powyższy układ równań jest
równoważny następującemu układowi: 1 1 1 1
I I
A A AA A Ax x b b
Zatem niewiadomy wektor x ma postać: 1Ax b lub 1Ax b (bo: I x x ).
Wystarczy więc znaleźć macierz odwrotną 1A (o ile istnienie) do macierzy
głównej układu i pomnożyć ją przez wektor wyrazów wolnych b .
Przykładowe zadanie
Rozwiąż układ równań:
2 3 4
0
2 8
a b c
a b c
a b c
z niewiadomymi a , b , c .
Komentarz Rozwiązanie
Układ równań przedstawiamy w
postaci macierzowej. Obliczamy
wyznacznik macierzy głównej tego
układu.
2 1 3 4
1 1 1 0
2 1 1 8
a
b
c
, gdzie niewiadomy wektor
to
a
v b
c
2 1 3
det 1 1 1 2 2 3 6 2 1 4 0
2 1 1
A - nieosobliwa, więc istnieje 1A.
Wyznaczamy macierz odwróconą
do macierzy A .
1 14
1 1 1 1 1 1
1 1 2 1 2 1
1 3 2 3 2 1A
1 1 2 1 2 1
1 3 2 3 2 1
1 1 1 1 1 1
T
305
Czyli
1 12 2
1 3 14 4
1 14 4
1
A 2
0
Znajdujemy wektor z
niewiadomymi a , b , c .
1 12 2
3 14 4
1 14 4
1 4 2 4 2
2 0 3 2 1
0 8 1 2 3
a
v b
c
Odp. 2a , 1b , 3c .
g) Przykład rozwiązywania układu równań liniowych z wykorzystaniem
macierzy w postaci bazowej (układ równań w postaci bazowej).
Ponieważ zbiory rozwiązań układów równoważnych są identyczne, więc
przekształcając równoważnie, za pomocą wybranych operacji elementarnych,
macierz uzupełniona Au danego układu - nie przestawiając w niej kolumny
wyrazów wolnych (ostatniej) - sprowadzamy dany układ do równoważnego
układu o macierzy w postaci bazowej: I R
O O
r
.
W tak przekształconym układzie równań występujące zmienne ze
współczynnikami pochodzącymi z podmacierzy jednostkowej Ir macierzy
bazowej I R
O O
r
zwane są zmiennymi bazowymi, pozostałe zaś - zmiennymi
niebazowymi (swobodnymi).
Tak przekształcony układ z pominięciem kilku ostatnich równań
tożsamościowych, odpowiadających podmacierzom zerowym w macierzy
bazowej I R
O O
r
zwany jest układem równań w postaci bazowej.
Przykładowe zadanie
Rozwiąż układ równań:
a) 12
2 1
2
2 0
2 3 3
x y z
y z
x y z
x z
, b) 2 3 6
2 2 4
x y z
x y z
.
Komentarz Rozwiązanie
Budujemy macierz uzupełnioną Au
tego układu i przekształcając ją
równoważnie z wykorzystaniem
a)
306
odpowiednich operacji
elementarnych (na wierszach).
Otrzymujemy macierz równoważną
w sensie operacji elementarnych.
Jest to macierz bazowa
1 0 0 3
I R 0 1 0 2
O O 0 0 1 1
0 0 0 0
r
, gdzie 3
1 0 0
I I 0 1 0
0 0 1
r
i
3
R 2
1
.
122
3 1
4 1
1 2
3 2
4 2
22 35
135
34 35
1 1 2 1
20 1 2A ~
1 2 1 0
22 0 3 3
1 1 2 1
0 1 2 4~ ~
0 1 3 1
20 2 1 5
1 0 0 3
0 1 2 4~ ~
0 0 5 5
0 0 3 3
1 0 0 3
0 1 0 2~
0 0 1 1
0 0 0 0
uw
w w
w w
w w
w w
w w
w w
w
w w
Otrzymujemy rozwiązywany układ
w postaci bazowej. 1 0 0 3
0 1 0 2
0 0 1 1
0 0 0 0
x
y
z
, czyli
0 0 3
0 0 2 układ równań w postaci bazowej
0 0 1
0 0 0 0 - równanie tożsamościowe
x y z
x y z
x y z
x y z
307
Zatem:
3
2
1
x
y
z
Formułujemy odpowiedź. Odp. 3, 2, 1x y z .
Budujemy macierz uzupełnioną Au. b)
2 1
1 2
122
72
1 2 3 6A ~
22 2 1 4
1 2 3 6~ ~
0 2 7 8
1 0 4 2~
0 1 4
u
w w
w w
w
Macierz bazowa
72
1 0 4 2I R
0 1 4O O
r
,
gdzie 2
1 0I I
0 1r
i
72
4 2R
4
, podmacierzy
zerowych brak.
Otrzymujemy układ w postaci bazowej:
72
1 0 4 2
0 1 4
x
y
z
Układ w postaci bazowej względem
x i y . Są to zmienne bazowe, a z
- zmienną niebazową.
Czyli
72
4 2
4
x z
y z
Skąd
72
4 2
4
x z
y z
są wyrażone poprzez z .
Przyjmując z p (parametr), p układ równań ma
nieskończenie wiele rozwiązań postaci:
Rozwiązanie ogólne układu to
72
4 2
4
x p
y p
z p
.
72
4 2
4
x p
y p
z p
Rozwiązanie bazowe względem x i
y , to rozwiązanie dla 0z , czyli:
Odp. Układ nieoznaczony o nieskończenie wielu
rozwiązaniach postaci 72
4 2, 4 ,x p y y z p ,
p .
308
zmiennazmienne
niebazowabazowe
(swobodna)
( 2, 4, 0)x y z .
Uwaga: Macierz można sprowadzić do postaci bazowej na ogół na kilka
sposobów. W związku z tym można uzyskać postać bazową układu równań
względem różnego zestawu zmiennych bazowych. W ww. przykładzie
zmiennymi bazowymi może być nie tylko x i y , ale y i z lub x i z .
Rozwiązań bazowych jest tyle, ile baz w danej przestrzeni.
13.3.3. Informacja o układach nierówności liniowych
a) Nierówność linowa z k niewiadomymi:
1
n
i i
i
a x b
; ,ia b - dane liczbowe, ix - niewiadome
Rozwiązaniem nierówności liniowej jest układ liczb 1 2, , , nx x x
spełniający
daną nierówność.
b) Układ n nierówności liniowych to koniunkcja n nierówności liniowych
z k niewiadomymi.
Stosując postać macierzową układu nierówności (analogicznie jak układu
równań), można go zapisać następująco:
A x b
; ( An k - macierz układu, x - zestaw niewiadomych, b - wyrazy wolne)
Rozwiązaniem układu nierówności liniowych jest zbiór wszystkich punktów
1 2, , , kx x x
przestrzeni k , których współrzędne spełniają każdą
nierówność tego układu.
Do rozwiązywania układów nierówności liniowych wykorzystuje się
umiejętności rozwiązywania układów równań liniowych i rachunek
macierzowy.
309
Skorowidz aksjomat .................................................. 16
alternatywa.............................................. 13
arcus cosinus ......................................... 159
– cotangens ......................................... 160
– sinus ................................................. 159
– tangens ............................................. 160
argument główny liczby zespolonej ....... 50
argument liczby zespolonej .................... 50
–, zmienna niezależna ........................... 55
asymptota pionowa ............................... 199
– pozioma ........................................... 205
badanie funkcji ..................................... 235
baza przestrzeni wektorowej ................. 283
biegunowy układ współrzędnych ............ 48
całka nieoznaczona ............................... 251
– ogólna .............................................. 260
– oznaczona ........................................ 254
– szczególna ........................................ 260
całkowanie ............................................ 251
– przez części ...................................... 253
– przez podstawienie ........................... 253
ciąg ....................................................... 183
– nieskończony ................................... 183
– ograniczony ..................................... 186
– rozbieżny ......................................... 187
– skończony ........................................ 183
– sum częściowych ............................. 191
– zbieżny ............................................. 187
ciągłość funkcji ..................................... 197
cosinus kąta pary wektorów .................. 279
część rzeczywista liczby zespolonej ....... 46
– urojona liczby zespolonej .................. 46
długość łuku krzywej ............................ 257
– wektora .................................... 265, 274
dopełnienie (uzupełnienie zbioru) .......... 17
dowód indukcyjny .................................. 39
druga pochodna ..................................... 234
dwumian ............................................... 120
działania mnogościowe na zbiorach ....... 23
dziedzina ................................................. 55
ekstremum funkcji dwóch zmiennych .. 248
– funkcji jednej zmiennej .................... 227
– globalne funkcji ................................. 57
– lokalne ............................................... 62
elastyczność funkcji .............................. 226
forma zdaniowa ...................................... 13
funkcja .................................................... 55
– ciągła ................................................ 212
– homograficzna .................................. 136
– kwadratowa ........................................ 94
– liniowa ................................................ 79
– logarytmiczna ................................... 173
– nieparzysta ......................................... 60
– odwrotna ............................................. 59
– okresowa ............................................ 61
– parzysta .............................................. 60
– pierwotna .......................................... 251
– potęgowa .................................. 163, 164
– różniczkowalna ................................ 218
– rzeczywista dwóch zmiennych
rzeczywistych ............................. 55, 244
– – jednej zmiennej rzeczywistej.......... 55
– – wielu zmiennych rzeczywistych ..... 55
– wykładnicza...................................... 169
– zdaniowa ............................................ 13
funkcje cyklometryczne ........................ 159
– trygonometryczne dowolnego kąta .. 148
– – kąta ostrego .................................. 145
– – zmiennej rzeczywistej .................. 151
– wymierne .................................... 79, 135
funktory zdaniotwórcze ........................... 13
gradient.................................................. 246
granica ciągu ................................. 183, 186
– funkcji .............................................. 197
– – w nieskończoności........................ 203
– – w punkcie ..................................... 197
– niewłaściwa ...................................... 187
– właściwa ........................................... 186
iloczyn (mnogościowy zbiorów) ............. 17
– kartezjański zbiorów .......................... 17
– skalarny wektorów ........................... 269
– wektora przez liczbę ......................... 268
iloraz różnicowy .................................... 217
implikacja ................................................ 13
indukcja matematyczna ........................... 39
inkluzja (zawieranie zbiorów) ................. 17
jednomian .............................................. 120
kartezjański układ współrzędnych........... 48
kąt pary wektorów ................................. 278
kombinacja liniowa wektorów .............. 282
koniunkcja ............................................... 13
krotność pierwiastka wielomianu .......... 127
kryteria zbieżności szeregów ................ 194
krzywa całkowa ..................................... 260
krzywe stożkowe ................................... 105
kwadrat kartezjański ................................ 17
310
kwantyfikatory ........................................ 13
liczba urojona ......................................... 45
liczby zespolone ..................................... 45
liniowa niezależność wektorów ............ 282
– zależność wektorów ......................... 282
logarytm .................................................. 35
– o podstawie a z liczby
logarytmowanej b ............................... 35
logarytmowanie ...................................... 32
macierz ................................................. 283
– diagonalna ........................................ 285
– dopełnień algebraicznych ................ 292
– jednostkowa ..................................... 285
– kwadratowa ...................................... 285
– nieosobliwa ...................................... 290
– odwrotna .......................................... 292
– osobliwa ........................................... 291
– symetryczna ..................................... 285
– transponowana ................................. 286
– trójkątna ........................................... 285
– uzupełniona ...................................... 296
– zerowa .............................................. 285
metody całkowania ............................... 253
– rozkładu wielomianów na czynniki . 128
– rozwiązywania układu równań
liniowych ............................................ 83
miejsce zerowe ....................................... 56
moduł liczby zespolonej ......................... 47
monotoniczność ciągu .......................... 184
– funkcji ................................................ 56
nierówności kwadratowe ........................ 98
– – niezupełne .................................... 101
– liniowe ............................................... 81
– wielomianowe .................................. 129
– z wartością bezwzględną ................... 29
nierówność logarytmiczna .................... 176
– potęgowa .......................................... 165
– wykładnicza ..................................... 170
– wymierna ......................................... 139
norma wektora ...................................... 281
n-ta suma częściowa ciągu .................... 184
objętość bryły obrotowej ...................... 258
odległość dwóch wektorów .................. 281
okresowość funkcji ................................. 61
oś liczbowa ............................................. 22
parzystość funkcji ................................... 60
pawa rachunku zdań ............................... 15
pierwiastek n-tego stopnia z liczby a ...... 33
– wielomianu ...................................... 121
pierwiastkowanie .................................... 32
pochodna funkcji .................................. 217
– – dwóch (wielu) zmiennych ............ 244
– – w punkcie ..................................... 217
– – złożonej ........................................ 222
– lewostronna ...................................... 218
– prawostronna .................................... 218
pochodne cząstkowe .............................. 246
podciąg ciągu ........................................ 186
pojęcie pierwotne .................................... 16
pole obszaru płaskiego .......................... 257
– powierzchni bocznej bryły
obrotowej .......................................... 258
– trapezu krzywoliniowego ................. 257
postać algebraiczna liczby zespolonej ..... 46
– macierzowa układu równań .............. 304
– trygonometryczna liczby zespolonej .. 50
potęga o podstawie a i wykładniku c ...... 32
– – wykładniku całkowitym ujemnym . 32
– – – naturalnym .................................. 32
– – – niewymiernym ............................ 32
– – – rzeczywistym ............................ 163
– – – wymiernym ................................ 32
– – – – dodatnim ................................. 32
– – – – ujemnym ................................. 32
potęgowanie ............................................ 32
prawa działań na logarytmach ................. 36
– – na pierwiastkach ............................. 33
– – na potęgach..................................... 32
– – na zbiorach ..................................... 18
– logiczne .............................................. 15
– rachunku kwantyfikatorów ................. 15
prawie wszystkie wyrazy ciągu ............. 186
predykat ................................................... 13
przeciwdziedzina ..................................... 55
przedziały liczbowe ................................. 22
przestrzeń wektorowa ............................ 281
przesunięcie wykresu funkcji .................. 68
punkt przegięcia ............................ 229, 234
reguła de l'Hospitala .............................. 226
relacja ...................................................... 55
rozwinięcie dziesiętne nieskończone
i nieokresowe ...................................... 21
– – nieskończone okresowe .................. 20
równania kwadratowe ............................. 98
– – niezupełne .................................... 101
– liniowe ................................................ 81
– – z parametrem .................................. 81
– stopnia drugiego z dwiema
niewiadomymi .................................. 103
– trygonometryczne ............................. 156
– z wartością bezwzględną .................... 28
równanie funkcyjne ............................... 260
311
– logarytmiczne .................................. 176
– potęgowe .......................................... 165
– różniczkowe ..................................... 260
– – jednorodne ................................... 262
– – liniowe jednorodne ...................... 262
– – o rozdzielonych zmiennych ......... 261
– – zwyczajne .................................... 260
– wielomianowe .................................. 129
– wykładnicze ..................................... 170
– wykresu funkcji ................................. 55
– wymierne ......................................... 139
równoległość wektorów ........................ 266
równość funkcji ...................................... 58
– zbiorów .............................................. 17
równoważność ........................................ 13
różnica wektorów.................................. 268
– zbiorów .............................................. 17
różniczka funkcji .................................. 225
różniczkowanie ..................................... 251
różnowartościowość funkcji ................... 58
rząd macierzy ........................................ 288
schemat Hornera ................................... 125
silnia ....................................................... 42
sinus kąta pary wektorów ..................... 279
sprzężenie liczby zespolonej ................... 46
stopień wielomianu ............................... 121
suma nieskończona ............................... 191
– skończona ........................................ 191
– szeregu ............................................. 191
– wektorów ......................................... 267
– zbiorów .............................................. 17
superpozycja (złożenie) funkcji .............. 57
symbol Newtona ..................................... 42
symbole nieoznaczone .......................... 207
szereg bezwzględnie zbieżny ............... 192
– ograniczony .................................... 192
– rozbieżny ........................................ 191
– zbieżny ............................................ 191
– anharmoniczny ................................. 192
– funkcyjny ......................................... 196
– geometryczny ................................... 192
– harmoniczny .................................... 192
– – rzędu α ......................................... 192
– liczbowy........................................... 191
– potęgowy ................................. 196, 225
– liczbowy........................................... 183
środek odcinka ...................................... 276
tautologia ................................................ 15
trójkąt Pascala ......................................... 42
trójmian ................................................. 120
układ nierówności liniowych ................ 308
– – – z dwiema niewiadomymi ........... 89
– – – z jedną niewiadomą .................... 89
– – wykładniczych .............................. 171
– równań w postaci bazowej ............... 305
– – wykładniczych .............................. 171
– nierówności liniowych ....................... 89
– równań liniowych z dwiema
niewiadomymi .................................... 82
wartość bezwzględna .............................. 24
– funkcji, zmienna zależna .................... 55
warunek konieczny .................................. 14
– – zbieżności szeregu ........................ 193
– początkowy ...................................... 260
– wystarczający ..................................... 14
wektor.................................................... 265
– kolumnowy ....................................... 284
– przeciwny ......................................... 267
– swobodny ......................................... 267
– wierszowy ........................................ 284
– zaczepiony ........................................ 265
– zerowy .............................................. 265
wielomian .............................................. 120
wielomiany ...................................... 79, 119
wklęsłość ............................................... 234
własności wartości bezwzględnej
liczby rzeczywistej .............................. 24
współczynniki wielomianu .................... 121
współrzędne wektora ............................. 273
wykres ciągu ......................................... 185
wypukłość ............................................. 234
wyraz wolny wielomianu ...................... 121
wyrazy wielomianu ............................... 120
wyrażenie algebraiczne ......................... 119
wyrażenie wymierne ............................. 134
wyznacznik macierzy ............................ 289
– pary wektorów .................................. 277
wzory na całkowanie ............................. 252
– na pochodne ..................................... 222
– redukcyjne ........................................ 149
– Viete’a ................................................ 97
wzór dwumianowy Newtona ................... 43
– Laplace'a........................................... 290
– Maclaurina ....................................... 225
– Moivre'a ............................................. 51
– na ogólny wyraz ciągu...................... 184
– rekurencyjny ..................................... 185
– Taylora ............................................. 225
zadania optymalizacyjne ....................... 239
zasada indukcji matematycznej ............... 39
zbiory rozłączne ...................................... 17
zbiór ........................................................ 16
312
– elementów spełniających formę
zdaniową ............................................ 13
– liczb całkowitych ............................... 20
– – naturalnych .................................... 20
– – – dodatnich.................................... 20
– – niewymiernych .............................. 21
– – rzeczywistych ................................ 21
– – – dodatnich .................................... 21
– – – ujemnych .................................... 21
– – wymiernych .................................... 20
– wartości funkcji .................................. 55
zdanie ...................................................... 13
znaki funkcji ............................................ 56
313
Bibliografia
1. S. Banach, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 1979
2. J. Banaś, Podstawy matematyki dla ekonomistów, WNT, Warszawa 2005
3. J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT,
Warszawa 2003
4. T. Bażanowska, M. Nykowska, Zbiór zadań z matematyki dla studentów
wyższych uczelni ekonomicznych, Kwantum, Warszawa 1997
5. M. Borowska, A. Jatczak, Matematyka. Vademecum maturalne. Zakres
rozszerzony, Operon, Gdynia 2004
6. J.N. Bronsztein, K.A. Siemiendioyew, Matematyka. Poradnik
encyklopedyczny, PWN, Warszawa 1970
7. G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy t. 1 i t. 2, PWN,
Warszawa 2000
8. W. Guzicki, P. Zakrzewski, Wstęp do matematyki. Zbiór zadań, PWN,
Warszawa 2005
9. W. Guzicki, P. Zakrzewski, Wykłady ze wstępu do matematyki.
Wprowadzenie do teorii mnogości, PWN, Warszawa 2005
10. W. Janowski, J. Kaczmarski, Liczby i zmienne zespolone, WSiP,
Warszawa 1986
11. L. Jeśmianowicz, J. Łoś, Zbiór zadań z algebry, PWN, Warszawa 1972
12. E. Kaczmarska, Vademecum maturzysty, Warszawa 1992
13. T. Karolak, Repetytorium z matematyki, Warszawa 2004
14. W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 1979
15. M. Kordos, M. Skwarczyński, W. Zawadowski, Leksykon matematyczny,
Warszawa 2000
16. J. Kubala, W. Smaga, T. Stanisz, Elementy algebry liniowej, PWN,
Warszawa 1983
17. K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 1979
18. K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii, PWN, Warszawa
2004
19. J. Królikowski, C.K. Steckiewicz, Matematyka. Wzory, definicje, tablice,
Warszawa 1979
20. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach t. 1 i t. 2,
PWN, Warszawa 1998
21. R. Leitner, Zarys matematyki wyższej dla inżynierów, WNT, Warszawa
1977
22. N.M. Matwiejew, Metody całkowe równań różniczkowych zwyczajnych,
PWN, Warszawa 1972
23. Z. Opial, Algebra wyższa, PWN, Warszawa 1970
314
24. J. Pietraszko, Matematyka. Teoria, przykłady, zadania, PW, Warszawa
1997
25. H. Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, PWN, Warszawa 2004
26. W. Stankiewicz, Zadania z matematyki dla wyższych uczelni
technicznych, PWN, Warszawa 1982
27. W. Żakowski, Matematyka. Ćwiczenia problemowe dla politechnik,
WNT, Warszawa 1993
315
Summary
Publication: "Mathematics Supplementing materials for students eager
to study mathematics" is addressed for students of various faculties, who have
mathematics on their first or second year of studies and are willing to revise and
consolidate their knowledge and skills in the scope of this academic subject
together with reminding material from high school. These competences are
indispensable for auspicious preparations for the current participation in
lectures as well as finally preparing to the exam.
The study presents in a concise and systemized way the standard
curriculum material of mathematics in the beginning years of academic studies
together with comprehensive collection of vital information from the scope of
high school (also on the extended level). More often than not, students of
different faculties have had mathematics on a basic level during their high
school education therefore their mathematic comeprences are much more
poorer than their counterparts who studied mathematics on the extended level.
Substantive contents are supported by numerous exemplary solved tasks
enriched with profound commentary explaining consecutive stages of conduct.
The present supplementing materials, despite not being the systematic
lecture of mathematics, are the crucial didactic aid for students of different
faculties, who wish to acquire mathematics on a decent level.
The key word are present in the index.
