Método para la interpolación y extrapolación de segmentos

proporcionales. Y su aplicación en la duplicación del cubo

Rodolfo A. Nieves Rivas

(Fundación Integral para el Desarrollo Comunitario (F.I.D.E.C.) San Carlos-Cojedes-

Venezuela)

fesol7luzley@gmail.com

Resumen En este artículo se presenta un método de construcción geométrica fundamentado en el

teorema de altura de Euclides. Luego se utiliza en la demostración de la duplicación del

cubo.

Palabras clave Método, problema análogo, duplicación del cubo, geometría Euclideana

Abstract In this article is presented a geometric construction method based on the Euclid’s height

theorem. Then, it is used on the proof of the duplication of the cube.

Keywords Method, analogous problem, duplication of the cube, Euclidean geometry

1. Introducción

El objetivo de este artículo es presentar un método que permite interpolar y extrapolar

segmento de rectas entre dos segmentos dados o arbitrarios y su aplicación en la duplicación del

cubo está garantizada por el teorema de altura de Euclides por ser este el que reúne los criterios y

condiciones necesarias y suficientes para tratar este tema. El problema consiste en hallar el lado de

un cubo que tenga volumen doble que otro cubo de lado dado, es decir, dado un cubo de arista: a y

volumen: V, se debe hallar la arista: a’ de un cubo de volumen: 2V, donde: ' 3 2a V

Los tres grandes problemas de las construcciones geométricas griegas son: :(Pérez A., 2000)

a) La duplicación del cubo,

b) La trisección del ángulo

c) La cuadratura del círculo.

Estos Problemas tienen como condición el uso exclusivo de la regla sin marcas y el compás.

(Biosca.F.M., 1961)

Cabe destacar que las operaciones geométricas elementales pueden reducirse a las cuatro

siguientes:(Pérez. A., 2000) (Biosca, F.M., 1961)

a) determinar la recta que pasa por dos puntos o su correlativo dual,

b) determinar el punto de intersección de dos rectas,

c) trazar las intersecciones de una recta y una circunferencia y

d) determinar la intersección de dos circunferencias no concéntricas

Es necesario tener en consideración que está demostrada la imposibilidad de resolver estos

problemas con estas herramientas Euclidianas. (Chambadal L., 1984). (Pérez Sanz. A., 2007)

2. Marco teórico (Nieves. R., 2007)

Teorema 1: El ángulo inscrito (periférico) en la semicircunferencia es un ángulo recto.

(Thales).

Teorema 2: Toda paralela a un lado de un triángulo divide a los otros dos lados en

segmentos proporcionales. (Thales).

Teorema 3: En un triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa es media

proporcional entre las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. (Euclides).

Corolario 1: Las bisectrices de dos ángulos centrales suplementarios. Son perpendiculares.

Corolario 2: La bisectriz de cualquier ángulo central es perpendicular a la cuerda que lo

determina.

Corolario 3: La bisectriz de cualquier ángulo central es paralela a la cuerda de su ángulo

suplementario correspondiente.

3. Desarrollo metodológico

Figura 1

3.1. Análisis descriptivo de la figura 1

3 34 16 JK

3 4 1 BJ

34 16 KD

5 DB

.BA AK AJ

.JA AD AK

JBA AJK KAD

JD BK

ADK AKJ AJB

90ºBJK JKD

JK NL

BJ FL DK

LF NL

BN NJ

BL LK

JM MD

BH HG

MJ MK MD

LB LJ LK

AB AG AE AC CD

4. Resultados: Aplicación en la duplicación del cubo

Figura 2

Cuando:

3 4AK 2AD 1AB 3 2AJ

5. Objetivo

5.1. Método para la interpolación y extrapolación de segmentos proporcionales

Primer paso: En una recta: r se colocan tres puntos: B, A y D arbitrarios.

Segundo paso: Se traza una recta perpendicular: s a la recta: r en el punto: A

Tercer paso: Se construye la mediatriz del segmento de recta: BD y se determina el punto: E.

Luego centrando en el punto: E y abertura: EB se construye una semicircunferencia.

Determinándose de esta forma los segmentos de recta: BA y AC por el Teorema: 3.

Cuarto paso: Se unen los puntos: B con D y luego D con C, determinándose de esta forma el

ángulo recto: BCD por el Teorema: 1.

Quinto paso: Se construye una recta perpendicular al segmento de recta: DC desde el punto: C.

Determinando de esta forma el punto: F en la recta: s, obteniéndose el segmento de recta: AF por

extrapolación.

Sexto paso: Se construye la mediatriz del segmento de recta: DF, determinándose de esta forma el

punto: G en el segmento de recta: DF.

Séptimo paso: Se construye una semicircunferencia con centro: G y abertura: GF,

determinándose de esta forma el segmento de recta: AC interpolado entre los segmentos de recta:

DA y AF.

Octavo paso: Se construye la mediatriz del segmento de recta: DC, determinándose el punto: H y

el punto: P los cuales se demuestran que ambos son los puntos centrales de los segmentos de recta:

DC y BF respectivamente con el Teorema: 3 y los corolarios: 1, 2 y 3.

6. Problema análogo (Polya G., 2002)

Figura 3

Si:

3 02AB3 12AC

3 22AD3 32AE

3 42AF3 52AG

3 62AH

Entonces:

90ºBCD CDE DEF EFG FGH

6.1. Demostración con el teorema de altura de Euclides

Figura 4

2 .AC BA AD 2 .AD CA AE 2 .AE DA AF 2 .AF EA AG 2 .AG FA AH

7. Conclusión y recomendación

33: 2XSI X X

K

: . . . .Cuando X Arista del Cubo a Duplicar

3 3: (1 2 4)Entonces K

7.1. Sugerencias y recomendación

Aplíquese el desarrollo binomial. (Como transformar un binomio en monomio).

:

n

nxSi x ax

K

1

0 1:

( 1) ( ) 1

i nn i

i

n

a

Entonces Ka a

Este artículo es dedicado a la memoria del gran matemático Noruego:

Niels Henrik Abel (1802-1829)

“Por haber observado lo que otros no quisieron ver”

Bibliografía

Biosca, F.M. (1961). Aritmética, Algebra y Geometría. Enciclopedia. Madrid: Labor S.A.

Chambadal, L. (1984). Diccionario de Matemáticas. 99. Ed.Grijalbo: Mexico.

Nieves, R. (2007). Método para la obtención de segmentos proporcionales por iteración con regla y

compás y su aplicación a la duplicación del cubo. XVII Jornadas Técnicas de Investigación y I

de Postgrado. Memorias Unellez, 133-140. Editorial Horizonte C.A.: Barquisimeto.

Pérez, A. (2000). La cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la trisección del

ángulo. Calendario de Matemáticas. Cenamec.

Pérez Sanz, A. (2007). Malditos sean la regla y el compás.XIII JAEM. Recuperado el 15 de agosto

de 2011, de http://platea.pntic.mec.es/aperez4/

Polya, G. (2002). Como plantear y resolver problemas. Mexico: Trillas.

Rodolfo A. Nieves Rivas: Nace en la Ciudad de Tinaquillo estado Cojedes –Venezuela, ha sido ponente

en tres jornadas de técnicas de investigación y postgrado en la Universidad Experimental de los Llanos

Ezequiel Zamora y además participó en la primera jornada sobre la enseñanza de las matemáticas. Dictó

conferencia en La Universidad de los Andes estado Mérida. Dictó taller foro sobre el uso de la regla sin

marcas y el compás. Actualmente presta sus servicios sobre gestión de la educación en la Fundación

Integral para el Desarrollo Comunitario (F.I.D.E.C.). Ha publicado 22 artículos y actualmente tiene dos

trabajos de investigación en proceso de arbitraje donde presenta cuatro métodos geométricos aplicables a

la Duplicación del Cubo.E-mail:fesol7luzley@gmail.com