MK1 - Predavanje 5

Metalne konstrukcije 1 P5-1

Aksijalno pritisnuti elementi


Primeri primene


Oblici poprečnih preseka


Specifičnosti pritisnutih elemenata -izvijanje

• Konrola napona u poprečnom preseku nijedovoljan uslov za dimenzionisanje;

• Potrebno je proveriti i stabilnost pritisnutogelementa kao celine (uticaji teorije II reda);

• Do iscrpljenja nosivosti dolazi pre nego štonominalni naponi dostignu dopuštene vrednosti!

• Problem stabilnosti pritisnutih elemenata –izvijanje prvi je razmatrao Ojler (Euler) 1744. godine;


Linearno-elastična teorija izvijanja

Osnovne pretpostavke:

• štap je idealno prav (nema geometrijskih imperfekcija),

• štap je cenrično opterećen konstantnom aksijalnom silompritiska koja deluje na njegovim krajevima,

• štap je zglobno oslonjen na oba kraja,

• poprečni presek je konstantan i jednodelan,

• sprečene su torzione deformacije i

• materijal je homogen, izotropan i linearno elastičan.


Postavka problema izvijanja – usloviravnoteže na deformisanom elementu

)(xvNM c ⋅= Moment savijanja usled sile pritiska

Problem bifurkacione stabilnosti


Diferencijalna jednačina izvijanja

v deformacija (ugib) elementa,M moment savijanja,Nc sila pritiska,EI krutost elementa na savijanje,E modul elastičnosti,I moment inercije za razmatranu osu savijanja,

EIMxvdxvd /)( −=′′=2

2

)(xvNM c ⋅=

Diferencijalna jednačina savijanja

0=⋅+′′ )()( xvEINxv c 02 =⋅+′′ )()( xvkxv EINk c /=


Rešenje diferencijalne jednačine izvijanja

kxBkxAxv cossin)( ⋅+⋅=

0)0( =v 0)( =lv

22

l

EINN Ecr π=≡

Pretpostavljeni oblik rešenja

Granični uslovi

lll

ππ ⋅=⇒=⇒= nknkk 0sin

EINk c /=

Kritična (Ojlerova) sila izvijanja


Kritičan (Ojlerov) napon izvijanja

A površina poprečnog preseka štapa,

λ vitkost štapa,

i poluprečnik inercije.

22

2

2

λππσ E

AEI

ANcr

E ===l

i/l=λ

AIi /=


Dužina izvijanja

Pomoću dužine izvijanja uzimaju se u obzir drugačiji uslovi oslanjanja;


Izvijanje u plastičnoj oblasti

60 za pcr CC λλλσ <<⋅−= 21

za 60<= λσ ycr fKorekcije Tetmajerovog rešenja


Smanjenje nosivosti realnih štapova

• U realnim uslovime polazne pretpostavke Ojlerove teorije nemogu biti ispunjene!

• Izvijanje realnih štapova nastaje pri silama znatno manjimod kritičnih (teoretskih)!


Nesavršenosti realnih štapova

• Sopstveni ili zaostali naponi;• Geometrijske imperfekcije (nesavršenosti);• Nehomogenost osnovnog materijala;• Ekscentričnost opterećenja


Sopstveni (zaostali) naponi


Početne geometrijske imperfekcije

xfxvl

πsin)( 00 =ffftot += 0


Ponašanje zakrivljenog (realnog) štapa

00 =+⋅+′′ )]()([)( xvxvEINxv c

)]()([)( xvxvNxM c 0+⋅= Moment savijanja

Diferencijalna jednačinaizvijanja realnog štapax

EIfNxv

EIN

dxxvd cc

l

πsin)()( 02

2 ⋅−=⋅+

xfxvl

πsin)( 00 =

x

EIN

fxv

c

l

l

ππ

sin

/

)(12

20

−⋅

= Rešenje diferencijalne jednačine– funkcija deformacije štapa


Deformacije realnog štapa

12 0

−==

ccr NNffv/

)/(l

crctot NN

ffff/−

⋅=+=1

100

Ukupna deformacija zakrivljenogštapa u sredini raspona

Dodatna deformacija zakrivljenogštapa u sredini raspona

f0 početna deformacija štapa u sredini raspona,

f dodatna deformacija štapa u sredini raspona,

ftot ukupna deformacija štapa u sredini raspona,

Ncr kritična (Ojlerova) sila,

Nc sila pritiska.


Krive izvijanja

• Krive izvijanja predstavljaju modifikaciju teorijskih krivihizvijanja (Ojler-Engeser);

• One definišu vezu između relativne vitkosti i koeficijentaizvijanja (bezdimenzionalne veličine);

• One treba da uvedu u proračun nesavršenosti realnihštapova kao što su: geometrijske imperfekcije, sopstveninaponi, varijacije modula elastičnosti i granice razvlačenja, ekscentricitet naprezanja...

• Zbog složenosti problema uvedena je familija evropskihkrivih izvijanja (A0, A, B, C i D) koje su definisaneteorijsko-eksperimentalnim putem;

• Sve nesavršenosti se uvode u proračun preko ekvivalentnegeometrijske imperfekcije - wo


Relativna vitkost štapa

crpl NN /=λ Relativna vitkost štapa

ypl fAN ⋅= Plastična nosivost poprečnog preska

)(λ

22

icr

EINl⋅= π Ojlerova kritična sila izvijanja

12

2

1λλ

ππλ =

⋅⋅=

⋅

⋅=

y

i

i

y

fEAIEI

fA/l

l


Vitkost na granici razvlačenja - λ1

• Vitkost štapa na granici razvlačenja je vitkost pri kojoj jeOjlerov kritičan napon jednak naponu na granicirazvlačenja!

• Za određenu vrstu čelika λ1 ima konstantnu vrednost!

yycr f

EfE⋅=⇒== πλ

λπσ 12

1

2

t ≤ 40 mm t > 40mm Vrsta čelika yf [kN/cm2] 1λ yf [kN/cm2] 1λ

S235 23,5 92,9 21,6 98,0 S355 35,5 75,9 32,4 80,0


Proračun stabilnosti pritisnutih štapovajednodelnog poprečnog preseka prema

JUS U.E7.081-1986

Νc aksijalna sila pritiskaΑ površina poprečnog preseka,σi,dop dopušten napon izvijanja,χ bezdimenzionalni koeficijent izvijanja,σdop dopušten normalni napon,fy napon na granici razvlačenja,ν koeficijent sigurnosti.

dopic

AN

,σσ ≤= νχσχσ /, ydopdopi f⋅=⋅=


Bezdimenzionalni koeficijent izvijanja - χ

, za

, za

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>−+

≤

=20

42

201

22λ

λββ

λχ 2201 λλαβ +−⋅+= ),(

Kriva izvijanja ao a b c d α 0,125 0,206 0,339 0,489 0,756

Koeficijent geometrijske imperfekcije - α


Maksimalne vitkosti pritisnutih štapova

λmax= 250 za spregove i sekundarne elemente;λmax= 200 za glavne noseće elemente;λmax= 150 za oslonačke štapove (stubove) i glavnenoseće elemente kod konstrukcija opterećenih nazamor materijala;


Merodavna vrednost bezdimenzionalnogkoeficijenta izvijanja

Potrebno je proveriti izvijanje oko obe glavne ose inercije!

U opštem slučaju mogu da se razlikuju sledeći parametri:

• poluprečnik inercije (iy , iz),

• dužine izvijanja (liy , liz) i

• relevantna kriva izvijanja (Ao, A, B, C i D).

{ }zy χχχ ,min=


Evropske krive izvijanja


Izbor odgovarajućekrive izvijanja

Tip poprečnog preseka 1)

Izvijanje upravno na

osu

Kriva 2) 3) izvijanja

y-y z-z A

Konstrukcioni šavovi

Debeli šavovi (puni provar)

y-y z-z

y-y z-z

B

C

h/b > 1,2 t < 40 mm h/b ≤ 1,2 t ≤ 40 mm

t > 40 mm

y-y z-z y-y z-z y-y z-z

A(A0) B(A) B(A) C(B)

D

t ≤ 40 mm

t > 40 mm

y-y z-z

y-y z-z

B C

C D

y-y z-z C

1) Preseci koji nisu zastupljeni u ovoj tabeli klasifikuju se prema t.2.4 i 2.5. U slučaju nedoumice za preseke sa t < 40 mm primeniti krivu izvijanja C.

2) Krive izvijanja date u zagradama primenjuju se za čelike sa fy > 430 MPa i t < 40 mm. 3) Na bazi eksperimentalno i numerički verifikovanih podataka za pojedine tipove poprečnih preseka

mogu se alternativno primeniti za druge krive izvijanja.

Zavisi od:

• Oblika poprečnog preseka;

• Odnosa visina/širina;

• Ose oko koje se razmatraizvijanje;

• Debljine lima;


Uticaj izbočavanja limova

• Kod vitkih elemenata poprečnog preseka (nožice i rebro) treba uzeti u obzir i uticaj izbočavanja lima;

• Proračun se zasniva na konceptu efektivne širine, odnosno efektivnogpoprečnog preseka;

• Izbočavanje nije merodavno ukoliko su vitkosti pojedinačnih elemenatapoprečnog preseka manje od propisanih;

max)/( tb Uslovi oslanjanja kσ Granična vitkost

S235 S355 Karakteristični primeri

0,426 yfE

tb

⋅≤ 434,0 13 11

4,00 yfE

tb

⋅≤ 33,1 39 32


Koncept efektivnog preseka

• Kada je vitkost poprečnog preseka veća odpropisane mora se uzeti u obzir izbočavanje lima;

i

n

iieffeff tbA ⋅= ∑

=1,

bb Deff ⋅= χ

Efektivna širina

Efektivna površina


Proračun centrično pritisnutih elemenataprema EC3

Kod pritisnutih elemenata neophodno je izvršiti:• Kontrolu nosivosti poprečnog preseka• Kontrolu nosivosti elementa na izvijanje!Izvijanje može da bude:• Fleksiono,• Torziono (centralno simetrični preseci),• Torziono-fleksiono (monosimetrični preseci).


Kontrola nosivosti poprečnog preseka nadejstvo sile pritiska

NEd proračunska vrednost sile pritiska (NEd= γG NG + γQ NQ ),Nc,Rd proračunska nosivost preska na pritisak,A poršina poprečnog preseka,Aeff efektivna poršina poprečnog preseka,fy granica razvlačenja,γM0 parcijalni koeficijenti sigurnosti (γM0 = 1,0)

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅

⋅=

4 klase preseke za/

3 i 2 1, klase preseke za/,

0

0

Myeff

My

RdcfA

fAN

γ

γ

RdcEd NN ,≤


Kontrola nosivosti na fleksiono izvijanje

χ bezdimenzionalni koeficijent izvijanja,

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅⋅

⋅⋅=

4 klase preseke za/

3 i 2 1, klase preseke za/,

1

1

Myeff

My

RdcfA

fAN

γχ

γχ

RdbEd NN ,≤

222

1λ

χ−Φ+Φ

= ( )[ ]220150 λλα +−⋅+⋅=Φ .,

Documents

MK1 - Predavanje 5