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Pedagogías críticas
latinoamericanas
Tunja - Boyacá
2020 Del 6 al 9 de octubre
ISSN: 2619-1849
Experiencias de maestras y maestros
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Memorias del evento ISSN: 2619-1849
BLOG PITAGÓRICO: UNA EXPERIENCIA SIGNIFICATIVA EN EL AULA
Autores:
Dueñas Salamanca, Mónica Bibiana
Villamil Pachón, Jonathan Steven
Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia
Correo electrónico:
[email protected] , [email protected]
Eje temático: Educación Matemática
Resumen: Este trabajo nace en la clase de Electiva de Profundización I de la
Licenciatura en Matemáticas de la Uptc, como una propuesta metodológica
basada en el uso de la tecnología en torno a la demostración geométrica de una
de las proposiciones de los Elementos de Euclides; a partir de una actividad
propuesta por el docente se pensó en crear un Blog matemático dirigido
principalmente a los estudiantes de básica y a todo aquel que esté interesado en
el teorema de Pitágoras (proposición 47, libro I de los Elementos de Euclides), su
historia, demostración y aplicaciones. De igual manera el blog surge como una
alternativa en medio de la situación que vivimos hoy en día, por el brote del virus
Covid-19, que obligó al confinamiento de los estudiantes y por ende nos llevó a
repensar el proceso de enseñanza, en el que es necesario buscar alternativas
para llegarle al estudiante; por ello se propone un Ambiente Virtual de
Aprendizaje (AVA) como medio de enseñanza de la geometría, enfocado al uso
de las TIC que facilite el acceso a la información de manera asertiva y que
promueva un aprendizaje significativo (Freitas, 2016). Se espera que a futuro
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esta estrategia también puede ser utilizada en las aulas presenciales como un
recurso pedagógico e interactivo en el estudio del teorema de Pitágoras.
La estructura del blog se centra en el estudio del teorema de Pitágoras que inicia
con la contextualización de sus aspectos históricos basada en un recorrido por
las diferentes culturas antiguas hasta la explicación de este en la cotidianidad;
en la construcción histórica se destaca el trabajo realizado por babilonios,
egipcios, hindúes y chinos, que de manera pragmática aplicaron el teorema de
Pitágoras para resolver problemas del contexto, lo que evidencia que esta noción
geometría ya se estudiaba mucho tiempo antes de su formalización por parte de
los griegos (Ruiz, 2003); además, se presentan datos históricos sobre Pitágoras
y sus aportes significativos en la matemática, especialmente en la geometría;
Otro aspecto que se destaca del blog, es la demostración presente en el escrito
de Chou Pei Suan Ching (200 a. C.) y algunos datos históricos del mismo, aspecto
que se articuló de manera interactiva con la modelación de la demostración y su
explicación grafica mediante una aplicación (applet) en Geogebra. Como
complemento didáctico se propone la construcción de la demostración con
material manipulativo que permita al estudiante comprender el teorema de
manera tangible y dinámico; finalmente, se concluye con un problema y su
solución para afianzar las nociones del teorema y su aplicación.
Palabras claves: Demostración del teorema de Pitágoras, Ambiente virtual de
aprendizaje, Aprendizaje significativo
Introducción
Con el cambio en la manera de dictar las clases gracias al confinamiento por el
virus Covid 19, la educación se ha visto forzada en proponer nuevos formas de
llegar a los estudiantes con una enseñanza significativa, es por ello que se ha
adoptado el trabajo y estudio de manera virtual y en consecuencia la enseñanza
tradicional se quedó en el pasado, es por ello que cada vez tanto como
estudiantes y docentes han tenido un acercamiento a las diferentes plataformas
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que ofrece internet, creando en los estudiantes una enseñanza autónoma donde
la tecnología se convierte en la principal fuente de información, unas de ellas son
los blogs, que presentan una información más llamativa, entendible y novedoso,
es por esto que surge la idea de crear una plataforma interactiva acercando la
geometría a los estudiantes desde una perspectiva diferente a la curricular.
El blog pitagórico está diseñado para mostrar en diferentes etapas la
demostración del teorema de Pitágoras realizado en el escrito de Chou Pei Suan
Ching (200 a. C.), este es de gran importancia en la matemática ya que es una
base fundamental en la geometría y es por esto que esta plataforma es una
herramienta que ayuda a comprender de manera didáctica esta demostración en
un ámbito de aprendizaje virtual. Esta propuesta va dirigida especialmente a los
estudiantes de básica, educación superior y cualquier público que esté interesado
en enriquecer su conocimiento con la demostración del teorema hecha en el libro
de Chou Pei Suan Ching (200 a. C).
Ambiente de aprendizaje en torno a las herramientas virtuales en
geometría
Metodología
Problema de investigación:
• Preguntas de investigación:
¿En qué consiste la demostración del teorema de Pitágoras?
¿De qué manera llegar a los estudiantes o personas interesadas en la
demostración del teorema de Pitágoras?
¿De qué manera didáctica se puede explicar el teorema de Pitágoras?
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• Objetos de investigación
Analiza y comprende la demostración hecha por Chou Pei Suan Ching (200
a. C.) sobre el teorema de Pitágoras mediante diferentes estrategias
didácticas
Aprende quien fue Pitágoras y sus aportes a la matemática
Analiza situación problema utilizando el método de demostración por Chou
Pei
Interactúa con diferentes materiales didácticos el teorema de Pitágoras
Descubre nuevos métodos de aprendizaje por medio del blog pitagórico
• Definición del problema
Tipos de investigación:
Este trabajo es de tipo descriptivo ya que muestra el análisis y desarrollo de la
demostración del teorema de Pitágoras hecha por Chou Pei Suan Ching (200 a.
C.), donde se desarrolla de manera minuciosa y explicativa
Diseño de investigación:
Esta investigación tiene un enfoque cualitativo (crear un espacio de recolección
de resultados donde los que están interesados en el blog plasmen sus resultados
y preguntas); con un diseño no experimental (experimental)
Selección de la muestra:
El blog va dirigido a todo tipo de persona que está interesada o quiera investigar
sobre la demostración
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Recolección de datos:
El método por el cual se realizó este proyecto
Construcción del ambiente virtual de aprendizaje
Introducción a lo que viene en el texto.
Soy docente en formación en la Universidad Pedagógica y tecnológica de
Colombia seccional Tunja, actualmente me encuentro en sexto semestre de la
carrera de licenciatura en Matemáticas, cursando la materia de Electiva de
profundización I en donde se amplía una de las ramas de la matemática, esta es
la geometría, que comprende los temas de la geometría euclidiana, no euclidiana
y finalizando por la geometría fractal; aquí me llamo la atención el desarrollo de
las diferentes demostraciones del teorema de Pitágoras en la geometría
euclidiana, por esto al realizar la actividad propuesta por el docente donde tuve
que investigar y exponer sobre la demostración correspondiente al tratado de
Chou Pei Suan Ching, aquí surgió la idea de crear un espacio interactivo donde
se reunieran los diferentes aspectos de esta demostración, abarcando tanto el
ámbito formal como las diversas aplicaciones que ofrecen una relación didáctica
con el aprendizaje significativo, desarrollándolo en la red, medio que está a
disposición de los diferentes interesados. Esto aportaría a incentivar la
investigación y como futura docente me inspira a crear contenido que facilite la
información para aumentar el interés en las personas y así crear un aprendizaje
autónomo mediante herramientas digitales como se pretende en el Blog
Pitagórico.
Aspectos históricos
La organización de los aspectos históricos que se tuvieron en cuenta durante el
desarrollo y la construcción del “Blog pitagórico”, parte desde la historia más
general, empezando por la vida de Pitágoras hasta la minuciosa demostración del
teorema, dentro del cuales se abracaron los siguientes aspectos:
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1. Pitágoras de Samos:
Pitágoras nació en Samos sobre el año 569 a.c. Abandono Samos para dirigirse
a Lesbos donde recibió una enseñanza del maestro filosófico griego presocrático
Ferécides de Siras y de Anaximandro de Mileto, con quienes estudio
fundamentalmente astronomía, física y matemáticas. (Sánchez 2011), luego se
dirigió a prepararse a Tebas durante un año donde se instruyó con honores en la
escuela sacerdotal y tras 12 años en la cárcel por la muerte del rey egipcio
Amasis, Pitágoras conoció gran variedad de cultura de las cuales aprendió y
aumento su conocimiento. Tras salir de la cárcel empezó a dictar clases en Sicilia
y en Crotona donde obtuvo gran éxito y abrió varias escuelas, allí surgieron sus
discípulos quienes fueron los encargados de dar a conocer todos sus
descubrimientos ya que este no publico nada de ellos; años más tarde Hipaso un
discípulo de Pitágoras, salió de la orden
gracias a que revelo algunos hallazgos que
se produjeron dentro de la escuela y a
demás genero acusaciones infundidas
contra sus excompañeros, lo cual causo
que esta escuela se acabara y que
Pitágoras se mudara a Metaponto donde
murió hacia el año 500 a.c.
Los aportes a la matemática, la física y la
música más representativos fueron, el
teorema de los triángulos rectángulos
(teorema de Pitágoras), hallazgo de los números amigos, números perfectos,
números poligonales, construcción de solidos perfectos, también descubrió el
modelo geocéntrico donde la tierra era el centro del universo y que la luna
orbitaba alrededor del ecuador, al igual que la ley de intervalos musicales
regulares, invención del monocordio y el uso de la música de manera medicinal
con un uso ético.
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2. Teorema de Pitágoras:
El origen el teorema de Pitágoras aún es incierto ya que este se manifiesta en
varios hallazgos arqueológicos de algunas civilizaciones como la egipcia, china,
india y mesopotámica. Una de las civilizaciones es la Babilonia, en sus invenciones
se descubrieron contenidos matemáticos plasmados en tablillas hechas de
arcillas, representando algunas nociones del teorema ya que mostraban las
relaciones de los lados de un triángulo rectángulo, estas tablillas fueron, la tablilla
Yale, la tablilla Plimpton, la tableta Susa, la tablilla de Tell Dhibayi, entre otras.
Una civilización muy conocida por sus
aportes matemáticos fue la egipcia, ya que
utilizaban constantemente mediciones, las
cuales se hacían por medio de cuerdas,
nudos y estacas, esto se implementó junto
con la noción del teorema, en la
remarcación y repartición de tierras, debido a las grandes inundaciones que
hicieron perder rastro de los linderos, es allí donde utilizaron el “triángulo egipcio”
con medidas de sus lados respectivamente de 3, 4 y 5, para sus reconstrucciones.
Los resultados matemáticos fueron encontrados en papiros como el papiro de
Kahun, el papiro de Moscú, el papiro de Rhind, el papiro de Berlín, entre otros.
Estos triángulos jugaron un papel importante en esta civilización ya que por estas
contribuciones se construyó las pirámides, se creó el triángulo de Isis y otros
significados sagrados que se le atribuyeron a este objeto matemático.
La civilización india al igual que la egipcia median por medio de cuerdas, estas
fueron utilizadas para la construcción de altares que requerían medidas
específicas, es por ellos que emplearon el triángulo rectángulo el cual en su
tiempo fue conocido como el “triángulo indio” constando de lados 5, 12 y 13.
Estos descubrimientos eran plasmados por los indios o también conocidos como
pueblo Veda en los Sulvasutras, donde se conoció que la matemática y la idea
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del teorema de Pitágoras era un conocimiento ya establecido desde alrededor del
año 1500 a.c.
La siguiente civilización es importante para el desarrollo de este proyecto ya que
es allí donde se desarrolla la demostración que se va a mostrar, esta es la
civilización China, donde sus escritos antiguos importantes de la matemática
fueron quemados por el emperador Shih Huanhg, por consiguiente, los chinos
tuvieron que reconstruidos los mismos, plasmándolos en tratados como, el Zhou
Bi Suan Jing, Chou Pei Suan Ching y el Chiu Chang Suan Shi; estos tratados
muestran diferentes ejercicios matemáticos y entre ellos se refleja la utilización
del teorema de Pitágoras, como también métodos para encontrar las soluciones,
dejando en los chinos conocimientos como las propiedades de los triángulos
rectángulos y su aplicación en la astronomía y agricultura.
3. Demostración:
Existen diferentes demostraciones que sustentan el teorema de Pitágoras, estas
fueron hechas por matemáticos reconocidos como: Euclides, Bashkara, Pappus,
Vieta, Garfield, Leonardo da Vinci, H. Boad, Loomis, Chou Pei Suan Ching, entre
otros; sustentándose de manera algebraica y geométrica dando fe que “en todo
triangulo rectángulo, la longitud de la hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de
la suma del área de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos”.
La demostración plasmada en el tratado de Chou Pei lo manifiesta con un
lenguaje numérico, este se puede ver traducido por Needham así: "Cortemos un
rectángulo (por la diagonal), de manera que la anchura sea 3 (unidades) y la
longitud 4 (unidades). La diagonal entre los (dos) extremos tendrá entonces una
longitud de 5. Ahora, tras dibujar un cuadrado sobre esta diagonal, circunscribirlo
con semirrectángulos como el que ha sido dejado en el exterior, de modo que se
forme una figura plana (cuadrada). Asi, los (cuatro) semirrectángulos exteriores,
de anchura 3, longitud 4 y diagonal 5. forman en conjunto dos rectángulos (de
24 de área); luego (cuando esto se resta de la figura plana cuadrada de área 49),
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el resto tiene 25 de área. Este (proceso) se llama 'apilamiento de rectángulos'.''
seguido de diagramas que explican su demostración de esta manera:
“Sean a y b los catetos del triángulo rectángulo ABC y c su hipotenusa, además,
A1 es el área del primer cuadrado antes de hacer la traslación y A2 el área del
segundo cuadrado, al obtener sus áreas se obtiene: A1= 4 (a . b / 2) + a² + b²
A2= c² + 4 (a . b / 2) Como son el mismo cuadrado se obtiene que: 4 (a . b / 2)
+ a² + b² = c² + 4 (a . b / 2) ⇒ c² = a² + b².” (López, 2018)
4. Chou Pei Suan Ching
De este tratado no se conoce mucho, solo se
sabe que se escribió en un lenguaje muy
retorico acompañado de figuras en términos
numéricos, su origen data del siglo IV a.c. y
allí está plasmado la concepción que tenía la
antigua china respecto al universo en el
teorema de Kai t’ien, de igual manera, este
escrito es reconocido por la demostración de la noción teorema de Pitágoras y
“se cree que Pitágoras no conoció esta obra, aunque una demostración similar
es atribuida a los pitagóricos por Eves (1976)” (López 2018). por tanto, este
hecho matemático es muy importante para la cultura china.
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Modelación de la demostración en Geogebra
Una de las ayudas para el aprendizaje en la matemática consiste en, interpretar
los problemas mediante dibujos o representaciones gráficas, que dan una
visualización de las perspectivas de la solución, es por ello que se quiso modelar
la demostración echa en Chou Pei Suan Chingch en la aplicación de Geogebra;
esta es una aplicación gratuita y de fácil accesibilidad, que desarrolla
modelaciones junto con operaciones matemáticas mediante diferentes
herramientas que facilitan la construcción en el plano, por consiguiente se
consideró importante la utilización de esta aplicación a la hora de realizar la
construcción ya que mejorar la comprensión e interacción con el lector.
Esta demostración se realizó a partir de un segmento AB, luego por medio de la
herramienta “polígono regular” se construyó el cuadrado ABCD. A continuación,
se tomó una medida arbitraria “a” en uno de sus lados y la distancia restante se
nombró “b” (teniendo siempre presente que a≠b). posteriormente con estas
medidas se construyó el polígono AGHI el cual tiene longitudes, a de largo y b
de alto, este procedimiento se realizó de la misma manera, con las mismas
dimensiones en el polígono HEDI, utilizando las herramientas de distancia, punto
en el objeto, polígono y segmentos. Al tener los dos rectángulos se trazó una
diagonal en cada uno de ellos, formando dos triángulos rectángulos como se
muestra en la imagen 1.
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Teniendo el esquema de la primera parte de la demostración, se procedió a
aplicar homotecias sobre los triángulos rectángulos HED, HID y GHF, con vectores
EC, IB y HD respectivamente como se muestra en la imagen 2, esto con el fin de
la traslación de estas figuras. Al mismo tiempo, se condicionó los triángulos a un
deslizador (n) de tal manera que su aparición y movimiento se presentaran en
un intervalo determinados.
Por último, se realizó las traslaciones (Imagen 3) de cada uno de los triángulos
rectángulos, con el fin de mostrar la transformación que ocurre en el cuadrado y
así evidenciar que las medidas son equivalentes a la primera figura. De esta
manera se concluye la demostración del teorema de Pitágoras hecha en el tratado
de Chou Pei Suan Chingch de una manera más dinámica.
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https://www.geogebra.org/classic/qyrcd2y4
Propuesta pedagógica de la demostración del teorema
A parte de las diferentes maneras de explicar la demostración del teorema de
Pitágoras, se pretende acercar al lector mediante la construcción con material
manipulable, es por esto que se propone las siguientes representaciones:
1. Construcción e identificación de las figuras geométricas en el geoplano
Materiales:
• Geoplano
• Lana de colores
• Tijeras
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2. Demostración con fichas del tangram
Materiales:
• Foami de colores
• Regla
• Tijeras
• Lápiz
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3. Dimensiones de un triángulo rectángulo con arena
Materiales:
• Palos de balso
• Arena
• Acetato
• Silicona
• Cinta de color
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Etapa de afianzamiento
Al finalizar la explicación se proponen algunos ejercicios de aplicación, que
ayudaran a repensar la demostración mediante situaciones problema que se
presentan en la cotidianidad, esto con el fin de poner a prueba lo enseñado y las
diferentes habilidades lógico matemáticas que se evidencian en estas situaciones.
Una de ellas está planteada así:
Un ingeniero fue contratado para hacer piscinas en dos hoteles distintos: en el
hotel “las estrellas” le piden que haga
una piscina en medio de un jardín, donde
uno de sus extremos tiene medidas de 6
y 8 metros (imagen A) y se pide que la
piscina tenga una profundidad de 3 m;
por otro lado, el hotel “la cabaña” le pide
hacer dos piscinas, una pequeña de 6 m
de largo por 6m de ancho con profundidad de 1 m y otra con medidas de 8m de
largo por 8m de ancho con profundidad de 2 m (imagen B).
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El ingeniero quiere saber, ¿Cuánto le costara pintar cada piscina?, tenga en
cuenta que por cada metro cuadrado que se pinta, el ingeniero cobra 20.0000
pesos. ¿Qué otros resultados usted puede deducir respecto al teorema de
Pitágoras y sus demostraciones, realizando este ejercicio?
Bibliografía
Sánchez Muñoz José Manuel (2011) Historias de Matemáticas Las Escuelas Jónica
y Pitagórica, recuperado de file:///C:/Users/USUARIO/Downloads/Dialnet-
LasEscuelasJonicaYPitagorica-3744293.pdf
https://www.caracteristicas.co/pitagoras/
http://bdigital.unal.edu.co/4613/13/patriciohaldaneacevedo.2011.pdf
