Phuong Trinh Vip Han Cap 1

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh

Bộ môn Toán Ứng dụng-------------------------------------------------------------------------------------

Giải tích 1

Chương 4: Phương trình vi phân cấp 1.

• Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (11/2008)

[email protected]

Nội dung---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I – Định nghĩa.

1 – Phương trình vi phân tách biến

2 – Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

3 – Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1

4 – Phương trình vi phân toàn phần

II – Các dạng phương trình vi phân:

5 – Phương trình Bernoulli

I. Các khái niệm cơ bản

Cho mạch điện như hình bên.

Điện thế tại nguồn E ở thời điểm t: E(t) volt

Điện trở R (Ohm), cuộn cảm L (Henry)

Dòng điện chạy qua ở thời điểm t là I(t) ampe

Theo định luật Ohm: dòng điện tại thời điểm t được

tính bởi công thức:

( )( ) ( )

dI tL RI t E t

dt

Ptrình vi phân cấp 1.


Định nghĩa

Phương trình chứa đạo hàm hay vi phân của một hoặc

một vài hàm cần tìm được gọi là phương trình vi phân.

Phương trình chứa đạo hàm của một biến độc lập gọi

là phương trình vi phân thường (Differential Equation)

Phương trình chứa đạo hàm riêng gọi là phương trình vi

phân đạo hàm riêng (Partial Differential equation PDE).


phương trình vi phân cấp 3.

Định nghĩa

Cấp cao nhất của đạo hàm trong phương trình vi phân

gọi là cấp của phương trình vi phân.

3 22

33 xd y d y

edxdx

'''( ) 3 sin

yy x x x

x phương trình vi phân cấp 2

phương trình đạo hàm riêng cấp 2

2 2

21

u u

x yx


Nếu giải ra được :( ) ' ( 1)( , , ,..., )n ny x y y y ( )ny

Định nghĩa

Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp n

' ( )( , , ,..., ) 0 (1)nF x y y y

2 ' 3(3 ) ( 2 ) 0yy x e y y x Ví dụ:

2 2 22x xy dy x y dx Ví dụ:

Giải ra được:2 2

'

2

2dy x yy

dx x xy


, y Cx C R

Định nghĩa

Nghiệm của phương trình (1) trên khoảng I là một hàm

xác định trên I sao cho khi thay vào (1) ta được

đồng nhất thức.

( )y x

Đồ thị của nghiệm gọi là đường cong tích phân( )y x

Ví dụ: Phương trình vi phân có nghiệm là' 10y y

x

vì thỏa phương trình vi phân đã cho.


Nếu giải ra được :

Định nghĩa

Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp 1

'( , , ) 0 (2)F x y y

' ( , ) (3)y x y'y

Ví dụ: Các phương trình vi phân cấp 1:

' xy y xe

2 2 2( ) ( ) 0y x dy xy y dx

2

' '1y xy y

dạng (3)

dạng (3)

phương trình Clairaut, dạng (2)


Bài toán Cauchy

Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phương

trình (2) hoặc (3) thỏa điều kiện ban đầu (điều kiện biên)

0 0( ) (4)y x y

Nghiệm của phương trình (2) hoặc (3) là họ đường cong

tích phân phụ thuộc hằng số C.

Nghiệm của bài toán Cauchy là đường cong tích phân

đi qua điểm cho trước0 0( , )x y

nghiệm của phương trình là họ đương cong tích phân:


3, y Cx C R

Ví dụ: Phương trình vi phân ' 30y y

x

Xét bài toán Cauchy ' 30, (1) 3 y y y

x

Ta có 33 1C 3C

Nghiệm của bài toán Cauchy 33y x


Đường cong tích phân trong vài trường hợp

33y x3y x

3y x

32y x

Nghiệm của bài toán

Cauchy là đường

cong màu đỏ.

Đường cong qua

điểm (1,3).


Nếu hàm y = f(x) liên tục trong miền mở , thì

Định lý (tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy)

với mọi điểm , bài toán Côsi (3) với điều kiện

(4) có nghiệm xác định trong lân cận của x0.

0 0,x y D

2D R

Ngoài ra nếu đạo hàm riêng cũng liên tục trong D, thìf

y

nghiệm này là duy nhất.

Nghiệm của phương trình cấp 1 phụ thuộc hằng C.


Định nghĩa

Nghiệm tổng quát của phương trình cấp 1: ( , )y x C

Nghiệm riêng là nghiệm thu được từ nghiệm tổng quát

bằng cách cho C hằng số cụ thể ( ví dụ nghiệm bài toán

Côsi).

Nghiệm kỳ dị là nghiệm không thể thu được từ nghiệm

tổng quát cho dù C lấy bất kỳ giá trị nào.

Giải phương trình vi phân là tìm ra các nghiệm của nó.


Trong chương trình này, ta giải phương trình theo

cách không đầy đủ, không chặt chẽ (ví dụ: khi chia

cho y không biết y có triệt tiêu không).

Để khảo sát nghiệm một cách đầy đủ, các em có thể

tham khảo sách Jean – Marie Monier, giải tích tập 2 và 4.

II.1 Phương trình vi phân tách biến

Dạng ( ) ( ) 0f x dx g y dy

Cách giải: tích phân hai vế ta được

( ) ( )f x dx g y dy C

Ví dụ Giải pt 2 20

1 1

dy dx

y x

2 21 1

dy dxC

y x

arctan arctany x C Nghiệm của phương trình:

arctan arctany x C

arctan arctany x C

Các dạng có thể đưa về phương trình vi phân tách biến

Cách giải: Có thể đưa về phương trình tách biến

Dạng 11 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0f x g y dx f x g y dy

Nếu tại y = b, thì y = b là một nghiệm riêng.1( ) 0g y

Nếu tại x = a, thì x = a là một nghiệm riêng.2( ) 0f x

Nếu , chia hai vế cho2 1( ) ( ) 0f x g y 2 1( ) ( ) 0f x g y

Phương trình tách biến 1 2

2 1

( ) ( )0

( ) ( )

f x g ydx dy

f x g y

II.1 Phương trình vi phân tách biến

Ví dụ Giải pt 2 2tan sin cos cot 0x ydx x ydy

2 2

tan cot0

cos sin

x ydx dy

x y

2 2

tan cot

cos sin

x ydx dy C

x y

2 2tan cotx y C Nghiệm của phương trình:

Ví dụ Giải pt 2 2(1 ) (1 ) 0x x dy y dx

2 20

1 (1 )

dy dx

y x x

2 21 (1 )

dy dxC

y x x

21arctan ln | | ln(1 )

2y x x C Nghiệm của phương trình:

Ví dụ Giải phương trình3 2( 1) ( 2) 0x dy y dx

Phương trình trên được viết lại:

2 30

( 2) ( 1)

dy dx

y x

Tích phân hai vế 2 3( 2) ( 1)

dy dxC

y x

2 3( 2) ( 2) ( 1) ( 1)y d y x d x C

2

1 1 1

2 2 ( 1)C

y x

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là:

Ví dụ Giải phương trình ' 0xy x y y


1 0dy

x y ydx

Tích phân hai vế1y dxdy C

y x

1/ 2 1/ 21y dy x dx C

y

2 ln | | 2y y x C


10

y dxdy

y x

2 ln | | 2y y x C

Ví dụ Giải phương trình 2 '2 3 0x y x y y


22 30

3 2

x y

x y

dy

dx

Tích phân hai vế1y dxdy C

y x

218

3

x

ydx dy C

2 /3 18

ln 2 /3 ln(18)

x y

C


218 0

3

x

ydx dy

Các dạng có thể đưa về phương trình vi phân tách biến

Cách giải:

Dạng 2' ( ), 0, 0 y f ax by c b a

Đặt u ax by c ' 'u a by

' ( )u a b f u

( )

dudx

a b f u

' ( )u a b f u

Nếu , giải tìm . Kiểm tra có phải là nghiệm.( ) 0a b f u u

Nếu , chia hai vế cho( ) 0a b f u ( )a bf u

Đây là phương trình tách biến

(biến u riêng, biến x riêng)

Ví dụ Giải phương trình' 1 2 3

4 6 5

x yy

x y

' 2 3 1

2( 2 3 1) 3

x yy

x y

Thay vào pt đã cho

Nghiệm của phương trình vi phân là

2 3 1u x y ' '2 3u y

' 2

3 2 3

u u

u

' 32

2 3

uu

u

6

2 3

udu dx

u

2 3

6

udu dx

u

2 3

6

udu dx

u

2 9ln | 6 |u u x C

2( 2 3 1) 9ln | 2 3 7 |x y x y x C

Ví dụ Giải phương trình' 2 3

4 6 5

x yy

x y

Bỏ số 1 ở tử ta vẫn được phương trình vi phân dạng

đang xét.

Ví dụ Giải phương trình' 1 2 3

2 6 5

x yy

x y

Thay số 4 bởi một số khác (số 2) thì phương trình

này không có dạng phương trình vi phân đang xét.

Chú ý:

II.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

( ) ( )( )p x dx p x dxy e q x e dx C

Dạng ' ( ) ( )y p x y q x

Cách giải: Nhân hai vế cho ( )p x dxe

' ( ) ( ) ( )( ) ( )p x dx p x dx p x dxy e p x y e q x e

'

( ) ( )( )p x dx p x dxy e q x e


Ví dụ Giải phương trình' cot siny y x x

( ) cot , ( ) sinp x x q x x


cot cotsinxdx xdxy e x e dx C

cos cos

sin sinsin

x xdx dx

x xy e x e dx C

sinsin

sin

xy x dx C

x

sin x x C

Chú ý: Chỉ lấy một nguyên hàm của ( )p x dx

Ví dụ Giải phương trình2 '( 1) 4 3x y xy

2 2

4 3( ) , ( )

1 1

xp x q x

x x


2 22ln( 1) 2ln( 1)

2

3

1

x xy e e dx Cx

Chia hai vế cho 2 1 0x '

2 2

4 3

1 1

xy y

x x

2

2

4( ) 2ln( 1)

1

xdxp x dx x

x

2

2

2 2 2

1 31

( 1) 1y x dx C

x x

3

2 2

3

( 1)

x x C

x

Ví dụ Giải phương trình , y(2) = 1.'(1 )( ) xx y y e

( ) 1, ( )1

xep x q x

x


1

xx xe

e e dx Cx

( )p x dx dx x

ln |1 |xy e x C

'

1

xey y

x

Với điều kiện y(2) = 1: 21 ln |1 2 |e C 2C e

Nghiệm của phương trình:

2ln |1 |xy e x e 2ln |1 |x xe x e

II.3 Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1

Dạng ' yy f

x

Cách giải: Đặty

ux

y xu ' 'y u x u

Khi đó: ' ( )u x u f u ' ( )x u f u u

Nếu , thì giải pt này ta có các nghiệm riêng.( ) 0f u u

Nếu ( ) 0 :f u u ( )du

x f u udx

( )

du dx

f u u x

là phương trình tách biến

Ví dụ Giải phương trình' ln

xy x y y

y

' lnu x u u u u

Đặt /u y x' 'y u x u

lndu

x u udx

ln

du dx

u u x

ln

du dxC

u u x

ln | ln | || ln | | lnu x C ln

ln | | lnu

Cx

lnu C x 1C xu e

' lny y y

yx x x 'ln

y y yy

x x x

1C xy xe

kết hợp

điều kiện

Ví dụ Giải phương trình , (-1) 1 xdy ydx ydy y

'

1

uu x u

u

Đặt /u y x ' 'y u x u

1

du ux u

dx u

2

(1 )u du dx

xu

2

(1 )u du dxC

xu

1ln | | ln | |u x C

u

1ln | |xu C

u

( )x y dy ydx ' dy yy

dx x y

/

1 /

y x

y x

2

1

u

u

ln | |x y C y

1 ln1C

1C nghiệm pt: (1 ln | |)x y y

II.3 Các dạng đưa về phương trình đẳng cấp

là hàm đẳng cấp bậc 0.

Dạng ' ,y f x y

với là hàm đẳng cấp bậc 0 ( )( , )f x y ( , ) ( , )t f tx ty f x y

2

2

2( , )

x xyf x y

xy y

2

2

2( , )

tx tx tyf tx ty

tx ty ty

2

2

2( , )

x xyf x y

xy y

Ví dụ Giải phương trình2 2( ) 2 0x y dx xydy

2 2'

2

dy x yy

dx xy

2' 1

2

uu x u

u

21 /

2 /

y x

y x

Đặt /u y x ' 'y u x u

2 21 1

2 2

du u ux u

dx u u

2

2

1

udu dx

xu

2

2

1

udu dxC

xu

2ln |1 | ln | | lnu x C 2ln | (1 ) | lnx u C

2(1 )x u C 2

1(1 )x u C C

hàm đẳng cấp bậc 0.

II.3 Các dạng đưa về phương trình đẳng cấp

Dạng' 1 1 1a x b y c

y fax by c

Trường hợp 1:

' 1 0 1 0 1

0 0

( ) ( ) )

( ) ( )

a X x b Y y cY f

a X x b Y y c

1 1 1 0

0

a x b y c

ax by c

có duy nhất

nghiệm 0 0( , )x y

Đổi biến:0 0, - X x x Y y y ' 'y Y

1 1a X bYf

aX bY

1 1'

/

/

a b Y XY f

a b Y X

là phương trình đẳng cấp.

II.3 Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1

Trường hợp 2: 1 10

a b

a b

Đổi biến: u ax by ' 'u a by

' 1k u cu a b f

u c

phương trình tách biến

1 1a bk

a b Giả sử

' 1 1 1a x b y cy f

ax by c

' 1 1 1a x b y cb y b f

ax by c

1du k u ca b f

dx u c

Ví dụ Giải phương trình (1 ) ( 3) 0x y dy x y dx

' 3

1

dy x yy

dx x y

1 1 1a x b y c

fax by c

Giải hệ:3 0

1 0

x y

x y

0 0, 2,1x y

Đổi biến: 2, -1 X x Y y ' 'y Y

' ( 2) ( 1) 3

1 ( 2) ( 1)

X YY

X Y

X Y

X Y

1 /

1 /

Y X

Y X

Đây là phương trình vi phân đẳng cấp.

II.4 Phương trình vi phân toàn phần

Cách giải: Nghiệm tổng quát của phương trình: ( , )u x y C

Dạng ( , ) ( , ) 0P x y dx Q x y dy

trong đóQ P

x y

0 0

0( , ) ( , ) ( , )

yx

x y

u x y P x y dx Q x y dy C Với

trong đó là một điểm tùy ý mà P, Q liên tục. 0 0,x y

II.4 Phương trình vi phân toàn phần

Cách khác: Nghiệm tổng quát : ( , )u x y C

( , ) ( , ) ( , )du x y P x y dx Q x y dy Với

( , ) ( , ) ( )u x y P x y dx g y ( , )

( , )

uP x y

x

uQ x y

y

Đạo hàm hai vế theo y (coi x là hằng)

''

( , ) ( )y

uP x y dx g y

y

( , )Q x y

'( )g y ( )g y ( , )u x y

Ví dụ Giải phương trình 2(2 3) (2 3 ) 0y dx x y dy

Đây là phương trình vi phân toàn phần.

( , ) 2 3P x y y 2P

y

2( , ) 2 3Q x y x y 2Q

x

2Q P

x y

Nghiệm tổng quát: ( , )u x y C

0 0

( , ) ( , ) (0, )

yx

u x y P x y dx Q y dy 2

0 0

(2 3) 3

yx

y dx y dy

3( , ) 2 3u x y xy x y

Nghiệm tổng quát: 32 3xy x y C

Ví dụ Giải phương trình 2 2 3(3 7) 2 0x y dx x ydy

Đây là phương trình vi phân toàn phần.

2 2( , ) 3 7P x y x y 26

Px y

y

2( , ) 2 3Q x y x y 26Q

x yx

26Q P

x yx y


0 0

( , ) ( , ) (0, )

yx

u x y P x y dx Q y dy 2 2

0 0

(3 7) 0

yx

x y dx dy

3 2( , ) 7u x y x y x

Nghiệm tổng quát: 3 2 7x y x C

Phương trình vi phân toàn phần.

xy xyPe xye

y

xy xyQe xye

x


0

0

0

( , ) (2 ) (1 )0

yxxy yu x y x ye dx e dy

2

00

x yxyx e y

Nghiệm tổng quát: 2 xyx e y C

Ví dụ Giải (2 ) (1 ) 0xy xyx ye dx xe dy (0) 1y

Điều kiện 2 .10 10 e C 2C

Nghiệm thỏa điều kiện ban đầu: 2 2xyx e y

Phương trình vi phân toàn phần.

/

2

x yP xe

y y

/

2

x yQ xe

x y


0 1

/( , ) ( ) 1

yxx yu x y x e dx dy

2/

1

02

x

yx yxye y

Nghiệm tổng quát:2

/

2

x yxye y y C

Ví dụ Giải/ /( ) (1 ) 0x y x y x

x e dx e dyy

(0) 2y

Điều kiện 02 2/0 2e C 2C

Nghiệm thỏa điều kiện ban đầu:2

/ 22

x yxye

II.4 Phương trình vi phân Bernoulli

Dạng ' ( ) ( ) , 1, 0 y p x y q x y

Cách giải: Chia hai vế cho :y

'

1

1(1 ) (1 ) ( ) (1 ) ( )

yp x q x

y y

1z y Đặt'

' ' (1 )(1 ) .

yz y y

y

' (1 ) ( ) (1 ) ( )z p x z q x

Đây là phương trình vi phân tuyến tính với hàm z(x).

Phương trình Bernoulli.

Đặt , ta có:1z y

Ví dụ Giải' 2 ln , (1) 1 xy y y x y

1(1) 1

(1)z

y Điều kiện 0C

Nghiệm pt: ln 1z x

' 21 ln xy y y

x x

Chia hai vế cho2 :y

'1

2

1 lny xy

x xy

' 1 ln xz z

x x

Giải pt tuyến tính:ln 1

ln 1x

z x C x Cxx x

1

1 lny

x

Ví dụ Giải' 2 5 2 2 /39 3( ) , (0) 1 y x y x x y y

Nghiệm tổng quát pt đã cho:

' 2 /3 '1

3z y y

Có phương trình tuyến tính:

3 3 3 33 3

2

3 3

x x x xx xz e e C e Ce

Phương trình Bernoulli 2/3.

Đặt1 1 2 /3 1/3z y y y

' 2 5 23z x z x x

3 33

1/3 2

3

x xxy e Ce

Điều kiện y(0) = 1, suy ra C = 1.

3 33

1/3 2

3

x xxy e e Nghiệm bài toán Côsi:

Đường cong tích phân thỏa bài toán Côsi: y(0) = 1

Bài tập. Nhận dạng và giải các phương trình vi phân

'1) cosh( ) y x y

' 32) 0 xy y xy

2 ' 23) 0 x y xy y

2 26) 1 1 0 y dx y x dy

2'

2

14) , (0) 1

1

yy y

x

3 ' 2 25) ( ) x y y x y

'7) sin ln 0, ( / 2) y x y y y e

8) sin cos cos sin , (0) / 4 y xdy y xdx y

2 ' 29) 0 x y xy y

'11) x y

yx y

2 2 ' '12) y x y xyy

2 210) ) ( ) 0 (xy x dx y x y dy

2 2 213) (3 3 ) ( 2 ) y xy x dx x xy dy

' 2 214) xy y x y

2 215) 3 2 0, (0) 1 y x dy xy y

2 2'

2 2

216) , (1) 1

2

y xy xy y

y xy x

2'17) 2 xy xy xe

218) 2 ( 6 ) 0 ydx y x dy

' 219) ( ) ( 1) xy y x x e

'20) , (1) 01

y

xy x yx

2 2 221) 1 ( ) , (1) / 4 x x dy y yx x dx y

2 2'

2 2

222) , (1) 1

2

y xy xy y

y xy x

2'

2

124)

(1 )

yy

xy x

'23) sin sin2 2

x y x y

y

325) ( ) ydx y x dy

' 226) ( ) y x y

2 227) 2 0 x xy y dy y dx

2 2 228)

2

dx dy

x xy y y xy

'

29) tan xy y y

x x

'

'30) 2, (1) 1

y xyy

x yy

'

231) 1 , (0) 1

1

yy x y

x

'32) (1 ) , (0) 0 x ye yy e y

' 2 5 233) 3 , (0) 1 y x y x x y

' 2 534)

2 4

y xy

x y

3 135)

2 1

'

yx y

x y

236) 01

'

yy

yx

' 237) 4 0 xy y x y

'

2

2238)

cos

yyy

x x

' 239) ln xy y y x

'40) ( 1) ( 1) (3 2 ) 0 x x xe y e y e

2 441) 0'

yy

x yx

' 2 342) 2 2 0 xy y x y

3 2 3 243) (2 ) (2 ) 0 x xy dx y x y dy

2 2 2 244)

xdy ydxdx

x y x y

45) ( 2 ) 0 y xe dx xe y dy

22 246)

xdx ydy ydx xdy

xx y

2 2

247) '

yy xy x

y

3 2 248) 2 ) ( ) 0 ( y xy dx x x y dy

Documents

Phuong Trinh Vip Han Cap 1