BAB IPROGRAM LINIER

A. Pengertian Program Linier.Program Linier (PL) adalah bagian dari Matematika yang membahas masalah nilai optimum(nilai Maksimum atau Minimum). Nilai optimum dari suatu persoalan, menyangkut beberapa syaratantara lain bentuk pertidaksamaan berbentuk linierdan tidak negative, Masalah optimum tersebut dikaitkan dengan keuntungan maksimum., atau andaikan terjadi kerugian diharapkan kerugian minimum. Di dalam masalah program linier disamping fungsi syarat berbentuk persamaan linier. maka disyaratkan bentuk yang lain adalah tidak negatif dan fungsi sasarannya juga dibutuhkan.Dalam penyelesaian kasus P.L. maka kita tidak terlepas dari pengertian matriks.Suatu persamaan dengan m persamaan dan n variabel bebas, maka untuk menyelesaikan persamaan tersebut mempunyai solusi tunggal atau banyak.Kita harus menyelesaikan rank matriks.Ada beberapa cara untuk menyelesaikan persamaan dengan m dan n variabel, setelah kita tahu rank matriks, antara lain dengan cara substitusi, eliminasi gauss dan sebagainya.Rank Matriks:

Determinant terbesar yang tidak sama dengan 0 (nol) jika persamaan Dengan A adalah matriks berukuran mxn dan B matriks kolom mx1, mka untuk menyelesaikan persamaan tersebut kita harus menyelesaikan Rank (r) matriks tersebut.

Jika rA r AB , maka dikatakan persamaan tidak punya penyelesaian.Jika rA= rAB= p, dengan p = n persamaan maka mempunyai solusi tunggal.Jika p < n, perbesaran punya solusi banyak.Contoh:1. 2x + y = 104x + 2y = 20

, Artinya rA = 1

Artinya rAB = 1rA = rAB = 1, m = 2, n = 2

rA = 1, n = 2,p < n1 < 2banyak solusi(m-r) persamaan bisa dihilangkan 2-1 = persamaan dihilangkan(n-r) variabel sebarang 2x + y = 104x + 2y = 20ambil salah satu persamaan Misal:

2x + y = 10, dimana y =

2x = 10 -

x = 5 -

jadi solusi (x,y) adalah (5 - , )2. x + y = 52x y = 1

rA = = (-1) 2 0rAB = 2rA = rAB = n = 2m =2 , n = 2(n-r) = 2-2 = 0variabel sebarang(m-r) = 2-2 = 0P = n solusi tunggalx + y = 52 = 22x y = 1 + 3x = 6 , x = 2 dan dengan memasukkan nilai x = 2 ke salah satu persamaan di atas diperoleh nilai y = 3, jadi solusi (x,y) adalah (2,3)

B. Mencari Invers Matrik dengan elininasi barisEliminasi baris akan digunakan untuk mendasari Penyelesaian Program Linier dengan metode simpek. Berikut akan diberikan mencari invers matrik dengan eliminasi gauss yourdan sebagai berikut:Carilah invers matrik A = Jawab:

Jadi invers matrik A adalah A-1 = C. Bentuk persamaan linier dalam program linierContoh :1. Minimumkan f = 4x + 6y dengan syarat

2x + 3y 120

2x + 1,5y 80

x 0, y 02. maksimumkan f = 4x + 5y dengan syarat

2x + 3y 120

2x + 1,5y 80

x 0, y 0

Dari contoh 1 dan 2, fungsi f dikatakan sebagai fungsi sasaran dan fungsi syaratnya berbentuk pertidaksamaan, juga vareabel x dan y harus 0, karena dalam program linier disyaratkan tidak negatif sebab berhubungan dengan barang atau jasa.Untuk menyelesaikan soal no 1 dan 2 maka kita harus mencari penyelesaian fisibel dan mengoptimalkan fungsi sasaran. Penyelesaian fisibel : himpunan pasangan berurutan yang memenuhi fungsi syarat. Cara penyelesaian :Ada dua cara untuk menyelesaikan masalah P.L. :1. Cara grafik Masalah PL dapat diselesaikan dengan cara grafik jika sistem pertidaksamaan pada fungsi syarat memiliki 2 variabel dan fungsinya berbentuk linier .Adapun langkah-langkah untuk menyelesaikan dengan cara grafik adalah sebagai berikut a. Tentukan himpunan penyelesaian (himpunan fisibel)b. Carilah harga fungsi sasaran f yang terbesar/ terkecil pada titik-titik perpotongan dari himpunan fisibel atau dengan cara menggunakan garis selidik.2. Dengan metode simplek Masalah PL dapat diselesaikan dengan cara simplek jika banyaknya vareabel pada fungsi syarat lebih atau sama dengan dua. Pembahasan lebih lanjut untuk cara simplek setelah contoh-contoh berikut.Contoh-contoh :1. Minimumkan f = 4x + 6y , dengan fungsi syarat

2x + 3y 120

2x + 1,5y 80

x 0, y 0

Jawab : untuk menyelesaikan dengan cara grafik dicari himpuna fisibel dengan cara mencari daerah yang memenuhi

5440Fs(20,80/34060Semua fungsi syarat.4x + 6y = 0, x = 0, y = 0 * 2x + 3y =120x = 0, y = 40 y = 0, x = 60* 2x + 1,5y = 80 x = 0, y = 54 y = 0, x = 40* 2x + 3y =120* 2x + 1,5y = 80 -Fs = daerah yang memenuhi semua fungsi syarat1,5y = 40, sehingga y = 80/3 dan nilai x = 20dari grafik di atas diperoleh titik-titik perpotongan dan nilai fungsi sasarannya adalah: titik:(0,0), dengan nilai fungsi sasaran f = 4.0 + 6.0 = 0(40,0), dengan nilai fungsi sasaran f = 44.40 + 6.0 = 160(20,80/3), dengan nilai fungsi sasaran f = 4.20 + 6.(80/3) = 240(0,40), dengan nilai fungsi sasaran f = 4.0 + 6.40 = 240Karena kasus meminimumkan maka dicari harga fungsi sasaran f yang terkecil adalahtitik (0,0). Sehingga nilai minimum dari masalah di atas berada pada titik (0,0) denganh nilai fungsui sasaran adalah 0

5440Fs(20,80/340602. Maximumkanf = 4x + 6y, dengan fungsi syarat

2x + 3y 120

2x + 1,5y 80

x 0, y 0Jawab :untuk menyelesaikan dengan grafik dicari himpuna fisibel dengan cara mencari daerah yang memenuhi Semua fungsi syarat.Fs daerah himpunan yang memenuhi semua fungsi syaratTitik (0,0), dengan nilai fungsi sasaran f = 0(40,0), dengan nilai fungsi sasaran f = 160(20,880/3),dengan nilai fungsi sasaran f = 213,33(0,40), dengan nilai fungsi sasaran f = 200Karena kasusnya memaksimumkan, maka dicari nilai fungsi sasaran yang memilik terbesar , yaitu pada titik (20,80/3), dengan nilai fungsi sasaran f = 213,33

D. Penyelesaian nilai optimum cara grafik dengan menggunakan garis selidikUntuk menyelesaikan nilai optimum dengan menggunakan garis selidik langkah-langkahnya sebagai berikut:a. Carilah daerah himpunan fisibel b. Beri harga sama dengan k pada fungsi sasaran, dan biasanya nilai k hasil kali koefisien x dan y ( misal untuk contoh di atas 4x + 6y = k = 24)c. Geser nilai f ke paling kiri bila kasusnya minimum, geser ke paling kanan bila kasusnya maksimum pada koefisien fisibel.

5440

40 6041 d. Nilai optimum dicapai pada titik paling kiri untuk kasus minimum, dan paling kanan untuk kasusu maksimum.e. Nilai f diperoleh dengan memasukan harga (x,y) pada butir d, jika kasus minimum nilai fungsi sasaran f = 4x + 6y sama dengan 0, di titik (0,0)Jawab :1. 2) 4x + 6y = k = 243) Geser ke kiri 4) Ketemu titik yang dicari, (0,0)5) Memenuhi harga f = 4x + 6y pada titik (0,0)2. 2) 4x 5y = k = 20 3) geser ke kanan 4) Ketemu titik yang dicari (20, 80/3)5) Memenuhi / memasukan harga f = 4x -5y di titik (20,80/3) diperoleh nilai 240

Dalam kenyataan masalah PL selalu berhubungan dengan soal cerita, sehingga sebelum persoalan PL diselesaikan , harus diubah dulu soal cerita tersebut ke dalam bentuk baku model matematika masalah PL, baru setelah itu diselesaikan masalah PL tersebut secara grafik atau model simplek. Tergantung dari banyaknya vareabel dari masalah PL yang sedang dibicarakan. Jika jumlah vareabel pada fungsi syarat dan fungsi tujuan lebih dari 2 vareabel penyelesaiannya dianjurkan menggunakan metode siplek, tetapi jika jumlah vareabel pada fungsi syarat dan fungsi tujuan hanya dua vareabel disarankan menggunakan cara grafik

Contoh : 1. Seorang petani mempunyai 16 Ha tanah yang dapat ditanami padi atau jagung. Sarana produksi adalah tanah, modal dan air yang ketiganya terbatas. data mengenai sarana perkwintal padi dan jagung beserta persediaan masing-masing tertera sebagai berikut :SaranaPadiJagungPersediaan

TanahModalAir1/5$3000122/5$2000016 Ha$120.000360 jam

Untung$2000$1000

Untuk menyelesaikan soal cerita tersebut di atas dapat dibuat model matematika yang berbentuk program linier dengan cara memisalkan padi = x dan jagung = y sehingga diperoleh model matematika PL sebagai berikut:

1/5x + 2/5y 16

3000x + 2000y 120.000

12x + 0y 360

x 0, y 0f = 2000x + 1000y ( carilah keuntungan maksimum)Setelah model matematika masalah PL diperoleh, akan diselesaikan dengan cara grafik. Yaitu dengan cara mencari himpunan fisibel dengan cara mencari titik potong sumbu X dan sumbu Y dari masing-masing fungsi syarat adapun hasilnya adalah sebagai berikut:

* x + 2y = 80

6040(20,30)(30,15)80Fs40 3x + 2y = 120 -2x = -40 x = 20 y = 30* x + 2y = 80 x = 0, y = 40 y = 0, x = 80* 3x + 2y = 120 x = 0, y = 60 y = 0, x = 40Fs daerah himpunan yang memenuhi semua fungsi syarat* x + 0y = 30 x =0, y = 0 y = 0, x = 30

Untuk mementukan nilai maksimum, maka diuji semua titik potong pada daerah himpunan fisibel. Adapun titik-titik yang perlu di uji adalah: titik (0,0), diperoleh nilai fungsi sasaran f = 2000x + 100y = 2000. 0 +100.0 = 0(30,0),diperoleh nilai fungsi sasaran f = 60.000(20,30),diperoleh nilai fungsi sasaran f = 70.000(0,40),diperoleh nilai fungsi sasaran f = 40.000(30,15),diperoleh nilai fungsi sasaran f = 75.000Karena kasusnya adalah maksimum maka dicari nilai fungsi sasaran yang terbesar yaitu 75.000 di titik (30,15). Jadi keuntungan maksimum adalah #75.000

2. Sebuah perusahaan menghasilkan 2 jenis barang 1 dan 2. kedua barang tersebut dikerjakan dengan menggunakan mesin A dan mesin B. Untuk membuat barang 1 diperlukan waktu 3 jam di Mesin A dan 4 jam di Mesin B. Untuk barang 2 diperlukan waktu 6 jam di Mesin A dan 3 jam di Mmesin B. Kedua mesin masing-masing bekerja tidak lebih 24 jam seharinya. Jika barang 1 dijual dengan harga $2000 dan barang 2 dijual dengan harga $3000 perbuah. Tentukan banyak Barang 1 dan Barang 2 agar penjualan maksimum?Untuk menyelesaikan soal cerita tersebut di atas dapat dibuat model matematika yang berbentuk program linier dengan cara memisalkan mesin A= A dan mesin B = B, barang 1 = x, Barang 2 = y, sehingga diperoleh tabel sebagai berikut:

Waktu (1 hari = 24 jam)ABPenjualan

x3 jam4 jam2000

y6 jam3 jam3000

Dari tabel tersebut dapat dibuat model matematika PL sebagai berikut:

3x + 6y 24

4x + 3y 24

x 0, y 0Setelah model PL diperoleh akan diselesaikan dengan cara grafik. Yaitu dengan cara mencari himpunan fisibel dengan cara mencari titik potong sumbu X dan sumbu Y dari masing-masing fungsi syarat. adapun hasilnya adalah sebagai berikut: * 3x + 6y = 24 X 13x + 6y = 24 4x + 3y = 24 X 28x + 6y = 48 -

* 3x + 6y = 24x08y40 -5x = -24 x = 4,8y = 1,6

8(4,8;1,6)468* 4x + 3y = 24x06y80

dengan fungsi sasaran f = 200 x + 3000 yFsdi titik (4,8; 1,6), nilai f = 14.400 (0,0), nilaif = 0 (6,0), nilaif = 12.000 (0,4), nilaif = 12.000Fs daerah himpunan yang memenuhi semua fungsi syarat

Karena kasusnya memaksimumkan, sehingga penghasilan maksimum dicapai pada Barang 1 = 4,8 dan Barang 2 = 1,6 dengan nilai keuntungan $14.400

3. suatu perusahaan radio membuat 2 jenis radio A dan B. Dalam pembuatan diperlukan 3 proses yaitu proses I, II, III. Setiap radio jenis radio A dan B membutuhkan proses dengan perincian sebagai berikut :JenisProses IProses IIProses III

A10,80,5

B1,220

Perusahaan tersebut mempunyai tenaga kerja sbb :I. 1200 jam kerjaII. 1600 jam kerja III. 500 jam kerjaJika setiap radio dijual $10.000 jenis A dan $20.000 untuk jenis B. Sedangkan biaya produksi akan tertutup jika dibuat 200 radio A dan 160 radio B. Tentukan banyaknya radio A dan B harus dibuat agar memperoleh keuntungan maksimum.Untuk menyelesaikan soal cerita tersebut di atas dapat dibuat model matematika yang berbentuk program linier dengan cara memisalkan Radio A= xdan Radio B = y, , sehingga diperoleh tabel sebagai berikut:JenisProses IProses IIProses III

x10,80,5

y1,220

12001600500

Dari tabel tersebut dapat dibuat model matematika PL sebagai berikut:- maksimumkan f = 10.000x + 20.000y

- dengan syarat x + 1,2y 1200

0,8 x + 2 y 1600

0,5 x + 0 y 500

x 200, y 160Setelah model PL diperoleh akan diselesaikan dengan cara grafik. Yaitu dengan cara mencari himpunan fisibel dengan cara mencari titik potong sumbu x dan sumbu y dari masing-masing fungsi syarat. adapun hasilnya adalah sebagai berikut: * x + 1,2 y = 1200x01200

y10000

* 0,8 x + 2 y = 1600x02000

y8000

* 0,5 x + 0 y 500 x = 0, y = 0 y = 0, x = 1000* 0,8 x + 2 y = 16000,5 x = 500 x = 1000 y = 400Garis selidik:x + 1,2 y = 1200x 55 x + 6 y = 60000,8 x + 2 y = 1600x 32,4x + 6y = 4800 - 2,6 x = 1200x = 461,54 dan y = 615

20001000200

1200* 0,8x + 2y =1600x = 200

(461,54;615)800y = 720

Fs* x + 1,2y = 1200x = 100, y = 1008 y = 106

Fs derah himpunan yang memenuhi semua fungsi syaratDengan fungsi sasaran f = 10.000x + 20.000y, untuk menentukan keuntungan maksimum ,kita uji harga semua titik potong pada daerah himpunan fisibel.Adapun titik-titik yang perlu diuji adalah:Pada titik (200, 720), nilai f = 16.400.000 (461,54;615), nilai f = 16.910.000 (1008, 160), nilai f = 13.280.000 (1000, 100), nilai f = 10.200.000Jadi keuntungan maksimum = $16.910.000 di titk (461,54;615) atau dengan kata lain jumlah radio yang diproduksi jenis radio A sebanyak 461,54 buah dan jenis radio B sebanyak 615 buah.

SOAL-SOAL LATIHAN1. Berikan beberapa contoh persoalan LP antara lain dalam bidang ekonomi,pemasaran, distribusi, produksi. Berikan contoh pembatasan !2. Sebutkan syaratnya agar persoalan dapat dipecahkan dengan teknik PL. 3. Cari x,yMaksimumkan Z = 15x + 10y Dengan syarat: 2x + 3y 8x + 2y 5 x 0, y 0pecahkan dengan metode grafik.4. Cari x, yMinimumkan Z = 8x +5y Dengan syarat: 2x + y 15 3x + 2y 10x 0, y 0pecahkan dengan metode grafik.

BAB IIMETODE SIMPLEK (ALGORITMA SIMPLEK)

Algoritma simplek adalah Suatu prosedur iterasi untuk mendapatkan solusi dasar yang fisibel dari sistem persamaan-persamaan dan sekaligus mengetes jawaban yang optimum.Metode simplek dapat menyelesaikan persoalan dalam program linear dengan banyaknya beba, artinya banyaknya vareabel dalam fungsi syarat 2variabel atau lebih. Macam-macam kasus yang dapat diselesaikan dengan metode simplek antara lain :1. kasus maximum2. kasus minimum3. kasus campuran

A. Metode Simplek Kasus MaksimumAdapun langkah-langkah untuk menyelesaikan kasus maksimum dengan metode simplek adalah sebagai berikut:1. Mengubah bentuk pertidaksamaan menjadi bentuk persamaan (bentuk kanonik) dengan cara mengubah atau memasukan peubah semu (Slack).2. Mencari kolom kunci Dengan cara memilih nilai Cj Zj yang terbesar yang akan digunakan sebagi peubah pengganti.3. Mencari baris kunciYaitu hasil bagi antara kuantitas dengan bilangan dalam kolom kunci yang terkecil dan bukan negatif atau nol4. Mencari bilangan kunciYaitu bilangan yang diperoleh dari perpotongan antara baris kunci dengan kolom kunci.5. Membuat bilangan baris baruCaranya bilangan baris lama dikurangi hasil kali rasio dengan bilangan berkaitan baris kunci. Untuk mencari rasio dirumuskan Bl r Br= 0, sehingga diperoleh harga rasionya dan digunakan menentukan bilangan baris baru.Kasus maksimum dicapai setelah semua Cj Zj 0.

Untuk memberikan gambaran akan diberikan contoh menerapkan masalah PL dengan metode simplek.Misalkan diberikan kasus masalah PL sebagai berikut:Tentukan keuntungan maksimum dari fungsi sasaran f = 50x + 40y dengan syarat :

2x + y 80

x + 2y 90Dengan menggunakan langkah-langkah metode simplek dapat diselesaikan sebagai berikut:1. mengubah fungsi syarat menjadi bentuk sama dengan ( bentuk kanonik), caranya dengan menambah variabel Slack (S).Jadi bentuk kanoniknya adalah :2x + y + S1 = 80x + 2y + S2 = 90Atau bentuk kanonik dibawa ke bentuk kanonik sempurna seperti berikut 2x + y + S1 + 0S2 = 80x + 2y + 0S1 + S2 = 90 dengan f = 50x + 40y + 0S1 + 0S2Bentuk tersebut merupakan bentuk kanonik yang sudah siap dimasukkan dalam tabel simplek. 2. Memasukkan bentuk kanonik tersebut ke dalam table simplek. Adapun tabel simplek yang dipersiapkan adalah:CiZjXi\ Xj50 40 0 0x y S1 S2BiRi

00S1S22 1 1 01 2 0 1809080/290/1

ZjCj-Zj0 0 0 050 40 0 000

3 Mencari kolom kunci Dengan cara memilih nilai Cj Zj yang terbesar yang akan digunakan sebagi peubah pengganti. Sebelum mencari nilai Cj Zj yang terbesar. Terlebih dahulu dicari nilai Zj dengan cara: Z1 = 0.2+0.1= 0; Z2 = 0.1+0.2 = 0;Z3 = 0.1 + 0.0 = 0 dan Z4 = 0.0 + 0.1 = 0.Setelah diperoleh nilai Zj langkah selanjutnya mencari nilai Cj Zj dengan cara:C1-Z1 = 50 0 = 50; C2- Z2 = 40 0 = 40; C3 - Z3= 0 0 = 0; C4 Z4 = 0 0 = 0 Dari nilai Cj Zj yang memiliki nilai terbesar adalah C1 Z1 = 50 ( kolom satu), yang dipilih sebagai kolom kunci, sekaligus x sebagai peubah pengganti 4. Mencari baris kunciYaitu hasil bagi antara kuantitas dengan bilangan dalam kolom kunci yang terkecil dan bukan negatif atau nol. Sebelum kita mencari kolom kunci dicari dulu nilai hasil bagi antara kuantitas dengan bilangan dalam kolom kunci yang dilambangkan dengan Ri dengan cara membagi kolom bi dengan elemen pada kolom satu yang telah dipilih sebagai kolom kunci, sehingga diperoleh harga R1 = 80/2 = 40 dan R2 = 80/2 = 45. Dari harga Ri yang dipilih sebagai baris kunci adalah nilai Ri yang terkecil yaitu R1 = 40. Dengan kata lain yang terpilih sebagai baris kunci adalah baris pertama yang memiliki Ri terkecil.5. Mencari bilangan kunciYaitu perpotongan antara baris kunci dengan kolom kunci. Dari hasil perhitungan di atas yang menjadi bilangan kunci adalah perpotongan antara kolom satu dengan baris satu dan diperoleh bilangan kuncinya adalah 26. Membuat bilangan baris baru.Karena pada kolom Cj Zj masih ada harga yang positip, maka dilakukan perbaikan tabel dengan cara membuat baris baru. Dalam membuat baris baru caranya:pada baris ke satu elemen-elemen pada baris kunci di bagi dengan bilangan kunci, karena bilangan kunci dua maka semua elemen-elemen pada baris satu dibagi dengan dua. Elemen baru pada baris dua caranya: elemen-elemen beris dua dikurangi setengah kali elemen-elemen baris pertama. Selanjutnya cara lebih rinci lihat contoh berikutContoh :Tentukan keuntungan maksimum dari fungsi sasaran f = 50x + 40y dengan syarat :

2x + y 40

x + 2y 48

x 0, y 0Sebelum diselesaikan dengan cara simplek terlebih dahulu diselesaikan dengan cara grafik yang nantinya untuk dibandingkan hasilnya dengan metode simplekAdapun penyelesaian secara grafik adalah sebagai berikut a. Dengan cara grafik

402x + y = 40x020

y40240

(10 2/3, 18 2/3)x + 2y = 48x048

y240

Fs

20482x + y = 40x 12x + y = 40x + 2y = 48x 22x + 4y = 96 Fs adalah himpunan yang memenuhi -3y = -56 semua fungsi syarat y = 18 2/3 x = 10 2/3dengan fungsi sasaran f = 50x + 40ydiperoleh nilai yang memaksimalkan persoalan adalah di titik (10 2/3,18 2/3) dengan nilai fungsi sasaran f = 50.(10 2/3) + 40.(18 2/3) = 3760/3Setelah cara grafik didapatkan , langkah selanjutnya akan diselesaikan dengan metode simplek sebagai berikutb. Dengan cara simplek Dengan metode simplek berarti mengubah fungsi syarat menjadi bentuk sama dengan ( bentuk kanonik), caranya dengan menambah variabel Slack (S).Jadi bentuk kanoninya adalah :2x + y + S1 = 40x + 2y + S2 = 48karena bentuk kanonik belim sempurna maka dibawa ke bentuk kanonik sempurna seperti berikut 2x + y + S1 + 0S2 = 40x + 2y + 0S1 + S2 = 48 dengan fungsi sasaran f = 50x + 40y + 0S1 + 0S2Bentuk tersebut merupakan bentuk kanonik yang sudah siap dimasukkan dalam tabel simplek Penyelesaian dalam bentuk tabel simplekCiZjXi\Xj50 40 0 0x y S1 S2BiRi

00S1S22 1 1 01 2 0 1404840/248/1

ZjCj-Zj0 0 0 050 40 0 000

500xS21 1/2 1/2 00 1/2 -1/2 120284018 2/3

ZjCj-Zj50 25 25 00 15 -25 01000

5040xy 1 0 2/3 -1/3 0 1 -1/3 2/310 2/318 2/3

ZjCj-Zj 50 40 20 10 0 0 -20 -103760/3

Karena semua nilai Cj-Zj 0 maka kasus maksimum telah tercapai pada x = 10 2/3 dan y = 18 2/3. Dengan nilai fungsi sasaran f = 50.10 2/3 + 40.18 2/3 = 3760/3Ternyata dari contoh di atas, setelah diselesaikan dengan cara grafik dan dengan metode simplek hasilnya sama. Artinya kita dapat menyelesaikan contoh di atas yang hanya terdiri 2 vareabel dengan salah satu cara grafik atau metode simplek, tetapi bila banyaknya vareabel lebih dari dua vareabel dianjurkan dengan metode simplek, karena cara grafik dengan demensi tiga kita akan mengalami kesulitan dalam menggambar dan menentukan himpunan fisibel. Contoh :Tentukan nilai maksimum fungsi sasaran f = 2x + y

Dengan syarat:2y - x 8

2y + x 16

2y + 2x 20

x 0, y 0

Jawab:Ubah dulu bentuk di atas menjadi bentuk kanonik seperti bentuk berikut f = y + 2x + 0S1 + 0S2 + 0S32y x + S1 + 0S2 + 0S3 = 82y + x + 0S1 + S2 + S3 = 162y + 2x + 0 S1 + S3 = 20Setelah bentuk kanonik diperoleh. Siapkan tabel simplek seperti poses berikut. Lakukan proses iterasi pada langkah-langkah simplek. Dengan mengikuti langkah berikut:

CiZjXi/Xj 1 2 0 0 0 x y S1 S2 S3BiRi

000S1S2S3 2 -1 1 0 0 2 1 0 1 0 2 2 0 0 1816208/-1=-816/1=1620/2=10

ZjCj-Zj 0 0 0 0 0 1 2 0 0 00

002S1S2x 3 0 1 0 1/2 1 0 0 1 -1/2 1 1 0 0 1/218610

ZjCj-Zj 2 2 0 0 1 0 0 0 0 -120

Karena semua nilai Cj-Zj 0 maka maksimum tercapai pada x = 10, y = 0 dengan fungsi sasaran f = 2.10 + 1.0 = 20

Contoh:Tentukan nilai maksimum dari f = 2x + 4y + 3z

dengan syarat:2y + x 80

4y + x + 2z 120

x 0, y 0, z 0

jawab:Ubah dulu bentuk di atas menjadi bentuk kanonik seperti bentuk berikut x + 2y + S1 + 0S2 = 80x + 4y +2z + 0S1 + S2 = 120dengan fungsi sasaran f = 2x + 4y + 3z + 0S1 + 0S2

Setelah bentuk kanonik diperoleh. Siapkan tabel simplek seperti poses berikut. Lakukan proses iterasi. Dengan mengikuti langkah berikut:

CiCjXi/Xj 1 2 0 0 0 x y z S1 S2BiRi

00S1S2 1 2 0 1 0 1 4 2 0 1801204030

ZjCj-Zj 0 0 0 0 0 2 4 3 0 00

04S1y1/2 0 -1 1 -1/2 1/4 1 1/2 0 1/4203040120

ZjCj-Zj 1 4 2 0 11 0 1 0 -1120

24xy 1 0 -2 2 1 0 1 1 -1/2 1/24020

ZjCj-Zj 2 4 0 2 4 -1 -2 0 -2 -4160

Karena semua nilai Cj-Zj 0 maka maksimum dicapai pada x = 40; y = 20; z = 0 dengan nilai fungsi sasaran f = 2.40 + 4.20 + 3.0 = 160

B. Metode Simplek Kasus MinimumUntuk menyelesaikan kasus PL minimum dengan metode simplek diperlukan langkah-langkah sebagai berikut :1. Mengubah fungsi syarat bentuk pertidaksamaan () menjadi persamaan dengan mengurangi peubah Slack, tetapi akibat mengurangi peubah Slack jika variabel pokok dimisalkan 0 (nol) seperti pada program simplek kasus maksimum, maka akan diperoleh nilai awal S1, S2 yang harganya negatif dan ini tidak memenuhi persyaratan awal karena syarat tidak boleh negatif. Untuk itu agar tidak melanggar persyaratan awal maka kita tambah peubah Artificial, sehingga nilai variabel bila diberi nilai0(nol) maka sistem persamaan dari fungsi syarat memiliki nilai positif( tidak melanggar syarat).2. Mencari kolom kunci Dengan cara mencari nilai Cj-Zj yang terkecil3. Mencari baris kunci yaitu hasil bagi dari kuantitas dengan bilangan dalam kolom kunci yang terkecil dan bukan negatif.4. Mencari bilangan kunci yaitu perpotongan baris kunci dengan kolom kunci.5. Membuat baris baru yaitu bilangan baris lama dikurangi hasil kali rasio dengan bilangan berkaitan dengan baris kunci. Untuk mencari rasio dirumuskan Bl rBr = 0, sehingga diperoleh harga rasionya dan digunakan untuk menentukan bilangan baris baru.6. Kasus minimum dicapai bila semua nilai Cj-Zj 0.

Bila belum dicapai maka diulang kembali, untuk baris berikutnya sampai dicapai semua nilai Cj-Zj 0.Untuk memberikan gambaran akan diberikan contoh menerapkan masalah PL dengan metode simplek.Misalkan diberikan kasus masalah PL sebagai berikut:Minimumkan f= 3x + 10y

Dengan syarat : 2x + 4y 80

4x + 5y 125

x 0, y 01. Mengubah fungsi syarat menjadi bentuk sama dengan ( bentuk kanonik), caranya dengan menambah variabel Slack (S) dan menambah vareabel artificial A.Jadi bentuk kanoniknya adalah :2x +4 y - S1+ A1 = 804x + 5y - S2+ A2 = 125Atau bentuk kanonik dibawa ke bentuk kanonik sempurna seperti berikut 2x + 4y - S1 + 0S2 +A1 + 0A2 = 804x + 5y + 0S1 - S2 + 0A1 + A2 = 125 dengan Fungsi sasaran f = 3x + 10y + 0S1 + 0S2 + MA1 + MA2Bentuk tersebut merupakan bentuk kanonik yang sudah siap dimasukkan dalam tabel simplek.

Adapun tabel simplek yang dipersiapkan adalah:

CiCjXi/Xj3x10y0S10S2MA1MA2biRi

MMAA2445-100-11001801252025

ZjCj-Zj6M3-6M9M10 9M-MM-MM-MMM0M0

3 Mencari kolom kunci Dengan cara memilih nilai Cj Zj yang terkecil yang akan digunakan sebagi peubah pengganti. Sebelum mencari nilai Cj Zj yang terbesar. Terlebih dahulu dicari nilai Zj dengan cara: Z1 = 2.M +4. M= 6M; Z2 = 4.M + 5.M = 9M;Z3 = -1.M + 0.M = -M;Z4 = 0.M + -1.M = -M;Z5 = 1.M +0.M = M; Z6 = 0.M + 1.M = MSetelah diperoleh nilai Zj langkah selanjutnya mencari nilai Cj Zj dengan cara:C1-Z1 = 3- 6M; C2- Z2 = 10 - 9M; C3 - Z3= 0 - (-M) = M; C4 - Z4 = 0 (-M)=M C5 Z5= M-M = 0; C6 Z6= M -M=0Dari nilai Cj Zj yang memiliki nilai terkecil adalah C2 Z2= 10 - 9M ( kolom dua), yang dipilih sebagai kolom kunci, sekaligus y sebagai peubah pengganti 7. Mencari baris kunciYaitu hasil bagi antara kuantitas dengan bilangan dalam kolom kunci yang terkecil dan bukan negatif atau nol. Sebelum kita mencari kolom kunci dicari dulu nilai hasil bagi antara kuantitas dengan bilangan dalam kolom kunci yang dilambangkan dengan Ri dengan cara membagi kolom bi dengan elemen pada kolom satu yang telah dipilih sebagai kolom kunci, sehingga diperoleh harga R1 = 80/4 = 20 dan R2 = 125/5 = 25. Dari harga Ri yang dipilih sebagai baris kunci adalah nilai Ri yang terkecil yaitu R1 = 20. Dengan kata lain yang terpilih sebagai baris kunci adalah baris pertama yang memiliki Ri terkecil.8. Mencari bilangan kunciYaitu perpotongan antara baris kunci dengan kolom kunci. Sehingga yang menjadi bilangan kunci adalah perpotongan antara kolom dua dengan baris satu dan diperoleh bilangan kuncinya adalah 49. Membuat bilangan baris baru.Karena pada kolom Cj Zj masih ada harga yang positip, maka dilakukan perbaikan tabel dengan cara membuat baris baru. Dalam membuat baris baru caranya:pada baris ke satu elemen-elemen pada baris kunci di bagi dengan bilangan kunci, karena bilangan kunci empat maka semua elemen-elemen pada baris satu dibagi dengan empet. Elemen baru pada baris dua caranya: elemen-elemen beris dua dikurangi seperempat kali elemen-elemen baris pertama. Selanjutnya cara lebih rinci lihat contoh berikut.

Contoh :Dua buah makanan yang dibuat memerlukan 2 buah vitamin A dan B. Untuk membuat makanan 1 diperlukan 2 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B. Sedangkan untuk membuat makanan 2 diperlukan 4 unit vitamin A dan 2 unit vitamin B. Bila keperluan sehari untuk vitamin A dan vitamin B masing-masing paling sedikit 40 unit dan 50 unit. Sedangkan harga makanan untuk makanan 1 adalah $ 3,- dan untuk makan 2 adalah $ 2,5,-Berapa kebutuhan minimum?

25Jawab :Secara grafik

2x + 4y = 40minimumkan f= 3x + 2,5y

Dengan syarat : 2x + 4y 40

3x + 2y 50

x 0, y 0

16 2/3202x + 4y = 403x + 2y = 50

3x + 2y = 50x = 0 , y = 10x = 0, y = 25 y = 0, x = 20y = 0, x = 16 2/3Fs adalah himpunan yang memenuhiSemua fungsi syarat2x + 4y = 40 x 12x + 4y = 403x + 2y = 50x 2 6x + 4y = 100 -4x = -60

x = 15 y = 2,5f minimum pada (15 ; 2,5) dengan nilai fungsi sasaran f = 3.15 + 2,5.2,5= 51, 25 Jadi kebutuhan minimum untuk membuat dua jenis makanan adalah $51,25.

Dengan metode simplek :Jika diselesaikan dengan metode simplek maka diubah menjadi bentuk kanonik dulu sepwrti berikut:2x + 4y S1 + 0S2 + A1 + 0A2 = 403x + 2y + 0S1 S2 + 0A1 + A2 = 50

Dengan f = 3x + 2,5y + + + + dengan M nilai yang sangat besar ().

Tabel simpleknya

CiCjXi/Xj3x2,5y0S10S2MA1MA2biRi

MMA1A22342-100-1100140501025

ZjCj-Zj5M3-5M6M2,5 6M-MM-MM-MMM0M0

2,5MyA2210-0,250,50-10,25-0,50110302015

ZjCj-Zj5/4+2M7/4-2M2,505/8+0,5M5/8-0,5M-MM5/8-0,5M-5/8+1/2MM0

2,53yx0110-3/8-3/8-1/4-2,515

ZjCj-Zj302,50-3/163/16-7/87/83/16M-3/167/8M-7/8152,5

Jadi biaya minimumadalah = 3.$15 + 2,5.$ 2,5 = $ 51,25CATATAN : Dari contoh-contoh di atas dapat ditarik kesimpulan bahwa :1. Kasus maksimum tercapai optimum apabila setiap Cj-Zj 02. Kasus minimum tercapai optimum apabila setiap Cj-Zj 03. Dalam kasus maksimum, fungsi syarat berbentuk pertidaksamaan lebih kecil atau sama dengan ().4. Dalam kasus minimum, fungsi syarat berbentuk pertidaksamaan lebih besar atau sama dengan ().5. Untuk kasus maksimum bila terdapat peubah artificial maka nilai M pada fungsi sasaran dibei tanda negatif. Seperti gambaran berikutCiCj

ZjCj-Zj... ... ... 0 0 0 -M -M -Mx y z S1 S2 S3 A1 A2 A3

... ... ... ... ... ... -M -M -MbiRi

6. Untuk kasus minimum bila terdapat peubah artificial maka nilai M pada fungsi sasaran diberi tanda positif. Seperti gambaran berikut.CiCj

ZjCj-Zj... ... ... 0 0 0 M M Mx y z S1 S2 S3 A1 A2 A3

... ... ... ... ... ... M M MbiRi

E. Metode Simplek Kasus CampuranUntuk kasus campuran adalah suatu PL dimana fungsi syarat yang disamping memiliki pertidaksamaan juga memiliki persamaan atau kombinasi dari bentuk pertidaksamaan lebih kecil atau sama dengan,pertidaksamaan lebih besar atau sama dengan,persamaan. Jika fungsi syarat berbentuk Persamaan ditangani dengan melengkapinya dengan menambahkan variabel articial yang tidak negatif.Contoh : Minimumkan f = 7x + 15y, dengan syarat :

2x + 4y 205x + 8y = 30Persamaan persamaan yang disiapkan untuk tabel simplek adalah:2x + 4y S1 + A1 + 0 A2 = 205x + 8y + 0S1 + 0A1 + A2 = 30, dengan fungsi sasaran f = 7x + 5y + 0S1 + MA1 + MA2jika bentuk kanonik tersebut dimasukkan dalam tabel simplek dan diselesaikan maka diperoleh solusi PL kasus campuran. silakan dicoba

Beberapa ketentuan lainyang sering ditemukan dalam masalah PL:1. kasus tidak mempunyai solusi.Kasus ini terjadi jika pada kolom kunci masih terdapat peubah artificial setelah solusi optimum diperoleh ( semua Cj Zj 0 untuk kasus minimum dan semua Cj Zj 0 untuk kasus maksimum)

Contoh:Maksimumkan fungsi sasaran f = x + 2y,

dengan syarat:x + y 4

x + y 6

x 0, y 0

6

Fs tidak ada4

64

Secara grafik mereka tidak memiliki himpunan fisibel, sehingga dikatakan tidak memiliki solusi. Jika diselesaikan dengan cara simplek, setelah semua nilai Cj-Zj positip maka pada kolom Cj masih terdapat A (artificial) yang berdampak pada nilai fungsi sasaran dengan harga yang tidak terbatas. Dengan demikian dapat disimpulkan masalah PL tersebut tidak memiliki solusi2. Kasus terdapat banyak jawaban Suatu program linier akan mempunyai banyak jawab jika solusi optimum sudah tercapai tetapi pada tabel akhir baris Cj-Zj memuat bilangan 0 (nol) pada peubah dasar (bukan peubah slack atau artificial) dengan cara memasukkan peubah dasar yang belum masuk, maka dengan proses iterasi lagi akan diperoleh solusi kedua dengan nilai fungsi sasaran yang sama, solusi yang lain dapat dilakukan dengan cara kombinasi linier dari dua solusi yang sudah diperoleh.

Contoh:maksimumkan f = 6x + 2y dengan syarat:

4x + 5y 20

3x + y 6

x 0, y 0, dari kasus tersebut dapat dibuat bentuk kanonik sebagai berikut:4x + 5y + 1S1+0S2 = 20 3x + y +0S1 +1S2 =6Dengan fungsi sasaran f = 6x +2y + 0S1 +0S2Setelah bentuk kanonik di peroleh dapat dimasukkan dalam tabel simplek sebagai berikut:

Tabel simplek yang sudah siap untuk dilaksanakan proses iterasi

CiCjXi/Xj 6 2 0 0 x y S1 S2BiRi

00S1S2 4 5 1 0 3 1 0 1 2065 2

ZjCj-Zj 0 0 0 062 0 00

06S1x0 11/3 1 -4/3 1 1/3 0 1/3 122

ZjCj-Zj 6 2 0 2 0 0 0 -2 12

Karena semua Cj Zj 0, maka solusi maksimum tercapai dengan x = 2; y = 0 dan nilai fungsi sasaran f = 12 yang merupakan solusi pertama.Terlihat bahwa semua nilai Cj Zj pada peubah dasar semuanya nol ( Cj Zj pada peubah x dan y harganya nol) maka kasus PL tersebut memiliki solusi banyak. Dengan memasukkan peubah y, maka akan diperoleh solusi kedua dengan langkah simplek sebagai berikut:CiCjXi/Xj 6 2 0 0 x y S1 S2BiRi

06S1x011/31 -4/3 1 1/3 0 1/3 12236/116

ZjCj-Zj 6 2 0 2 0 0 0 -2 12

26yx0 1 3/11 -4/11 1 0 -1/11 5/11 36/1110/11

ZjCj-Zj 6 2 0 2 0 0 0 -2 12

Karena semua Cj Zj 0, maka solusi maksimum tercapai dengan x = 10/11; y = 36/11 dan nilai fungsi sasaran f = 12 yang merupakan solusi kedua. Himpunan penyelesaian yang lain dapat di rumuskan merupakan kombinasi linier dari dua buah solusi dengan rumus.Xn= bx1 + (1-b)x2Yn = by1 + (1-b) y2, dengan nilai b R ( bilangan real)Disini diberikan contoh mencari solusi lain bila menggunakan solusi pertama x =2; y = 0 dan solusi kedua x = 10/11; y = 36/11 dan dengan mengambil nilai b =1/2 diperoleh solusi ketigayaitu:x3 = . 2 + ( 1- ) 10/11 = 1 + 10/22 = 32/22 = 16/11y3 = . 0 +(1- ) 36/11 = 0 + 36/22 = 18/11dengan nilai f = 6x + 2y = 6. 16/11 + 2. 18/11 = 96/11 + 36/11 = 12untuk sisitem PL yang memiliki 3 vareabel (x,y,z). untuk mencari solusi yang lain dengan rumus sama yaitu:xn = b x1+ (1-b) x2yn = b y1+ (1-b)y2zn = b z1+ (1-b)z2, dengan nilai b R ( bilangan real)nilai tersebut dapat ditentukan dengan cara yang sama seperti halnya menentukan harga x dan y seperti di atas 3. Konsep jawab yang tidak terbatas Sistem Program linier dikatakan mempunyai jawab yang tidak terbatas apabila dalam proses iterasi kolom kunci yang terpilih untuk dilakukan perbaikan tetapi semua unsur-unsur dalam kolom kunci semuanya nilainya negatif.Contoh :Maksimumkan :f = x + 2y dengan syarat:

-x + y 2 , x + y 4

x 0, y 0Untuk menyelesaikan kasus ini dapat diselesaikan dengan cara grafik atau dengan metode simplek, dalam kasus ini akan diselesaikan dengan metode simplek sebagai berikut :CiCj6 1 2 0 0 -M x y S S ABiRi

0-MSA -1 1 1 0 0 1 1 0 M -M2-4M2

ZjCj-Zj -M -M 0 M -M1+M 2+M 0 - M 0-4M

2-MyA -1 1 1 0 0 2 0 -1 -2 122-21

ZjCj-Zj -2 2 2M 2M -M3+2M 0 -2M -2M 04-2M

21yx 0 1 -1/2 -1 1/2 1 0 -1/2 -1 1/231-3-1

ZjCj-Zj 1 2 -1,5 -3 1,5 0 0 1,5 3 -M-1,5

Karena Cj Zj pada kolom kunci harganya 3 (pada kolom empat), yang akan dijadikan peubah pengganti bilangan-bilangan semuanya negatif, akibatnya akibatnya ketika kita akan mencari baris kunci diperoleh nilai Ri semuanya negatif seperti yang terlihat pada tabel di atas, sehigga tidak mungkin kita bisa mencari baris kunci. Kesimpulannya PL tersebut mempunyai solusi yang tidak terbatas.

SOAL-SOAL LATIHAN1. Maksimumkan f = x + 2y Dengan syarat x + 3y 10x + y 6x y 3x,y 02. Minimumkan f = 5x + 2y 4z Dengan syarat 3x + 2y + 4z 182x y + 3z 40 y + z 7x, y ,z 03. Pemilik perusahaan mempunyai persediaan 3 macam bahan mentah yang masing-masing tersedia 24, 18 dan 36 satuan. Dengan memproduksi dua macam barang dengan menggunakan 3 macam bahan mentah tersebut. Satu unit (satuan) barang pertama memerlukan 4,2 dan 3 unit bahan mentah pertama, kedua ketiga. Satu unit barang kedua memerlukan 6, 1 dan 9 unit bahan mentah pertama, kedua dan ketiga. Apabila semua hasil produksi dijual, satu unit barang pertama laku Rp 5 ribu dan satu unit kedua laku Rp 8 ribu dan barang ketiga Rp 10 ribu. Berapa produksi masing-masing barang agar jumlah penerimaan hasil penjualan maksimum dengan pembatasan bahwa bahan mentah yang dipergunakan tidak melebihi persediaan yang ada dan produksi tidak mungkin negatif (xj 0, j = 1,2, 3, xj = jumlah produksi barang j). Pergunakan metode simpleks.4. Tiga macam produksi masing-masing harus diproses melalui tiga macam mesin. Mesin pertama, mesin kedua, mesin ketiga hanya bisa dipakai masing-masing selama 60 jam, 40 jam dan 80 jam selama satu minggu. Barang pertama harus diproses malalui mesin pertama, kedua dan ketiga, masing-masing memerlukan waktu selama 3 jam, 2 jam dan 1 jam. Barang kedua selama 2 jam, 1 jam dan 3 jam dan barang ketiga selama 2 jam, 2 jam dan 2 jam. Satu satuan barang pertama, kedua dan ketiga, apabila dijual dapat menghasilkan keuntungan masing-masing sebesar Rp 2 ribu, Rp 4 ribu dan Rp 3 ribu. Berapa produksi masing-masing barang selama satu minggu agar dapat dicapai jumlah keuntungan yang maksimum dengan memperhatikan pembatasan bahwa mesin tidak bisa bekerja lebih lama dari waktu yang disebutkan diatas. Pergunakan metode simpleks.

BAB IIIPRIMAL DAN DUAL

Primal dan Dual adalah masalah program linier yang saling berhubungan. Misalnya ada model program linier seperti dibawah ini:Baju IBaju IITersedia

KatunSuteraTeteron211123161115

Harga$30$50

Berapa banyak baju I dan II harus dibuat, agar keuntungan maksimum !Dari contoh diatas maka model matematika dari program linier adalah:

2x + y 16

x + 2y 11

x + 3y 15

x 0, y 0Dengan fungsi sasaran memaksimumkan f = 30x + 50y. Bila model matematika dijadikan persamaan 1 maka persamaan 1 sebagai primalnya. Sedangkan untuk menentukan dualnya adalah:

2p + q + r 30

p + 2q + 3r 50

p,q,r 0, dengan fungsi sasaran minimum f = 16p + 11q + 15rJika persamaan ini sebagai persamaaan 2, maka persamaan 2 sebagai dualnya, atau sebaliknya.Soal:Dari contoh di atas tentukanlah solusi primal dan dualnya:Jawab:

10

3,5

(3,4,7,2)3

81115FsFs himpunan yang memenuhi semua fungsi syarat.x + 2y = 11............(1)x + 3y = 15x + 3y = 15............(2) x = 153y = 15-x y = 3 y = (15-x)/3x + 2(15 - x)/3 =11x + 10- (2x)/3 = 11x = 3 Setelah diperoleh harga x dan y dan diperolehy = 4melaluai garis selidik , maka nilai fungsi sasarannya(0,5), nilai fungsi sasaran f = 0 + 5.50 = 250(3,4),nilai fungsi sasaran f = 90 + 200 = 2902x + y = 16............(3)(7,2),nilai fungsi sasaran f = 210 + 100 = 310x =8,y = 16(8,0),nilai fungsi sasaran f = 240 + 0 = 240Dari (3) dan (1) diperoleh:Nilai optimum dicapai pada x = 7, y = 2 2x + y = 16dengan nilai fungsi f = 310, atau dengan bahasa lain 2x + 4y = 22 -Baju I = x = 7 -3y = -6Baju II = y = 2, dengan keuntungan y = 2maksimum $310 , sebagai solusi primalnya x = 7Setelah solusi primal diperoleh untuk menetukan solusi dualnya:

p > 0 q > 0 r = 0

x =7 >0y = 2> 02 1 11 2 3= 30= 50

=16 =11 0 dan persamaan kedua sama dengan 12, yang berdampak harga q > 0 dan bentuk tabelnya seperti di bawah ini. p > 0 q > 0

x = 2>0y =3 > 01322 = 3= 4

=8=12

Dari data tabel tersebut untuk menyelesaikan solusi dual dengan memperhatikan harga x > 0 dan y > 0, diperoleh persamaan ke kanan sehingga diperoleh persamaan dualnya adalah :p + 3 q = 32 p + 2 q = 4 Bentuk tersebut merupakan sistema persamaan dengan dua vareabel dan memiliki solusi tunggal dengan nilai p = 1,5 dan q = 0,5Jadi solusi dualnya pada p = 1,5 dan q = 0,5.Dengan nilai fungsi sasaran g = = 8p + 12qg = 8.1,5 + 12.0,5 = 12 + 6 = 18Ciri khas solusi primal dan dual betul mana kala harga funsi sasaran solusi primal dan solusi dual sama. Dalam cintoh di atas solusi primal adalah 18, sedangkan solusi dual juga 18 sehingga solusi primal dan dual hasilnya sama. Dengan kata lain penyelesaian primal dan dual betul.

CATATAN:Bila kasus maksimum dianggap primal dan syarat pertidaksamaan belum memenuhi kasus maksimum, maka pertidaksamaan harus diubah dahulu sebelum menentukan dualnya yang merupakan kasus minimum.

Contoh: maksimumkam f = 4U+ 3V + W, dengan fungsi syarat:

U + 2V + W 2

2U V + 5W 6

5U + 2V + W 7

U,V,W 0 ,Model PL tersebut belum berbentuk baku, sehingga bila ditemukan model PL belum berbentuk baku, maka untuk menentukan solusi primal maupun dualnya, ubah dulu bentuk pertidaksamaan menjadi bentuk baku.adapun bentuk baku model primal dan dual adalah: Misalkan Primalnya Maksimumkan f = f(x,y,z) Dengan syarat AX BMaka bentuk baku dualnya adalah minimalkan g = g (p,q,r,s) Dengan syarat CY D atau sebaliknya bila model primalnya minimalkan f = f(x,y,z) dengan syarat AX B maka model dualnya maksimalkan g = g(p,q,r,s)dengan syarat CY D Bentuk di atas adalah bentuk kasus maksimum yang belum baku karena fungsi syarat berbentuk lebih besar atau sama dengan ( ) , maka sebelum menentukan dualnya diubah dulu kebentuk baku kasus maksimum yaitu fungsi syarat diubah ke bentuk lebih kecil atau sama dengan. Adapun hasil ubahannya adalah :maksimumkan f = 4U + 3V + W

dengan fungsi syarat -U 2V W -2

-2U + V 5W -6

-5U 2V W -7

U,V,W 0 sedangkan model dualnya adalahMinimalkan g = -2x - 6y - 7zdengan fungsi syarat -x 2y 5z 4-2x + y 2z 3-x 5y z 1

x,y,z 0dari model tersebut baru dapat diselesaikan solusi primal dan dual dengan langkah-langkan yang sudah dijelaskan.

SOAL-SOAL LATIHAN1. Tentukan solusi primal dan dual dari maksimumkan f = 3x + 5y + 2z Dengan syarat 2x y + 3z 6x + 2y + 4z 8x 0, y 0, z 02. Tentukan solusi primal dan dial dari minimumkan f 2x +6y + 7z Dengan syarat x + 2y + 5z 42x y + 2z 33x + 5y +z 1x 0, y 0, z 03. Tentukan solusi primal dan dual dari maksimumkan f = 10u +12v + 12w Dengan syarat 5u +2v + w 3u + 2v + 4w 3u 0, v 0, w 0

4. Cari x, y yang memaksimumkan f = 2x + y Dengan syarat : 3x + 5y 15 6x + 2y 24 x 0, y 0

rumuskan persoalan rangkap (dual problem) berdasarkan persoalan utama tersebut. Kemudian pecahkan persoalan utama dan rangkap dengan menggunakan metode simplek! Tunjukan bahwa fmaks = f min

5. Cari x, y, z yang memaksimumkan f = 10x + y + 2z Dengan syarat : x + y 2z 10 4x + y + z 20 x 0, y 0, z 0rumuskan persoalan rangkap berrdasarkan persoalan utama diatas! Dengan menggunakan metode simplek pecahkan persoalan utama dan persoalan rangkap tersebut!

6. a. Dengan menggunakan metode grafik, pecahkan persoalan LP berikut :cari x, yyang memaksimalkan f = 2x + y dengan syarat : x + 3y 1500 x + y 700 x 2y 200 3x 4x 1200 x 0, y 0 b. kemudian rumuskan persoalan tersebut menjadi persoalan rangkap dan pecahkan dengan metode simpleks.

BAB IVKEMROSOTAN(degeneracy)Kasus degenerasi timbul karena adanya 2 hal:1. Tabel program simplek awal dapat sedemikian rupa bahwa satu atau lebih variabel bernilai 0 (dalam kolom kwantitas). Jika hal ini terjadi, maka nilai hasil pembagian yang menentukan minimum pergantian adalah 0. maka akan terjadi bahwa proses pergantian tidak dapat dilaksanakan karena variabel yang harus diganti sudah bernilai 0.2. Nilai hasil pembagian yang tidak negatif yang menentukan baris kunci mungkin sama untuk 2 atau lebih variabel yang sedang dalam baris. Jika ini terjadi maka akan terjalin adanya suatu keterkaitan dalam pemilihan terhadap baris kunci. Dalam hal ini, penghapus terhadap salah satu variabel yang terikat akan mengakibatkan bahwa variabel terikat lainnya akan susut menjadi 0. Sebagai akibat dari tindakan ini maka satu atau lebih vektor basis akan memiliki nilai 0.Usaha untuk menyelesaikan kasus ini akan menunjukan bahwa:1. Setelah berkali-kali Iterasi, penyelesaian optimal akan diperoleh. Atau 2. Masalah mulai menjalani suatu siklus, sehingga menghalangi tercapainya suatu penyelesaian optimal.Contoh masalah: Maksimumkan: 22x + 30y + 25z, dengan syarat:

2x + 2y 100 ; 2x + y + z 100 ; x + 2y + 2z 100 ; x 0, y 0, z 0CiCjXi/Xj 22 30 25 0 0 0 x y z S1 S2 S3biRi

000S1S2S3 2 2 0 1 0 0 2 1 1 0 1 0 1 2 2 0 0 11001001005010050

ZjCj-Zj 0 0 0 0 0 0 22 30 25 0 0 0

22030xS2y 1 0 -2 1 0 -1 0 0 3 -3/2 1 1 0 1 2 -1/2 0 10505050/350/2

ZjCj-Zj 15 30 30 0 0 15 0 0 9 -7 0 -8

222530xzy 1 0 0 0 2/3 -1/3 0 0 1 -1/2 1/3 1/3 0 1 0 1/2 -2/3 1/3100/350/350/3

ZjCj-Zj 22 30 25 5/2 3 11 0 0 0 -5/2 -3 -11

Cj-Zj 0 maka sudah mencapai nilai maksimum dengan x = 100/3, y = 50/3, z = 50/3.Catatan :1. Pemilihan salah satu variabel terikat secara Semarang dapat menyebabkan langkah dan proses yang lebih panjang untuk mencapai solusi yang optimal. 2. Suatu situasi yang lebih gawat lagi, jika pemilihan variable terikat secara sebarang mengakibatkan suatu proses siklus.Untuk lebih mudahnya di dalam menyelesaikan masalah dengan bentuk kemerosotan dalah dengan prosedur sebagai berikut:1. Tentukan variable-variabel terikat atau barisnya.2. Untuk setiap kolom identiti (dimulai kolom paling kiri dalam identiti dengan memproses satu demi satu dari kanan), hitunglah suatu perbandingan dengan membagi angka setiap baris terikat dengan bilangan kolom kunci yang ada di dalam baris tersebut (jadi matrik satuan).3. Bandingkan hasil bagi ini, kolom demi kolom, diproses ke kanan. Untuk perbandingan pertama kali tidak sama, ikatan sudah putus.4. Diantara barisan-barisan yang terikat, yang satu dimana perbandingan aljabarnya lebih kecil ditunjuk sebagai baris kunci.5. Jika perbandingan dalam identiti tidak mematahkan ikatan bentuklah perbandingan-perbandingan untuk kolom-kolom dari badan utama, dan pilih baris kunci sebagai dijelaskan dalam langkah 3 dan 4.

SOAL-SOAL LATIHAN 1. BULOG bermaksud mengangkut beras dari 3 gudang beras ke daerah minus (daerah kekurangan beras). Beras tersedia dalam 3 gudang beras, masing-masing sebanyak 120, 160 dan 160 satuan. Tiga daerah minus tesebut memerlukan beras masing-masing sebanyak 140, 200 dan 80 satuan. Biaya angkut beras dalam satuan, dinyatakan dalam ribuan rupiah adalah sebagai berikut : dari gudang pertama ke daerah minus 1,2,3sebesar 1, 2 dan 3 ribuan rupiah. Dari gudang kedua kedaerah minus 1,2,3 sebesar 4, 3 dan 5 ribuan rupiah. Dari gudang ketiga ke daerah minus 1,2,3 sebesar 1, 2 dan 3 ribuan rupiah. Buatlah pengaturan distribusi beras tersebut sehingga tercapai jumlah biaya transportasi minimum.ingat suplai > permintaan.

BAB VMODEL TRANSPORTASIModel transportasi merupakan model khusus dari PL dengan tujuan untuk mengangkut barang tunggal dari berbagai asal (Origin) ke berbagai tujuan (Destination), dengan biaya angkut serendah mungkin. Banyaknya barang yang tersedia di berbagai asal dan jumlah barang yang diminta oleh berbagai asal dengan berbagai tempat tujuan tersirat dalam masalah yang harus ditangani. Model transportasi mempunyai ciri-ciri sebagai berikut:1. Fungsi obyektif yang linier.

f(x) = cx + cx + cx + ... = 2. Struktur persyaratan linier.

Dengan aij merupakan koefisien struktural yang mencerminkan spesifikasi teknik yang akan dibahas dan ia tampil sebagai variabel struktural dalam persyaratan struktural. adalah sekumpulan konstanta yang menggambarkan kapasitas maksimum atau minimum dari fasilitas yang ada maupun sumber-sumber yang tersedia.Bentuk persyaratan strukturalnya:

a11x1 + a12x2 + a13x3 + a14x4 + ........ + a1nxn b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 + a24x4 + ........ + a2nxn b2.........................................................................

am1x1 + am2x2 + am3x3 + am4x4 + + amnxnbm3. Persyaratan tidak negatif.Variabel struktural variabelSlack buatan dari masalah program linier terbatas pada nilai-nilai tidak negatif, ditulis: Xj> 0j = 1,2,3,......,n Si> 0i = 1,2,3,......,mMasalah program linier dapat susut menjadi maslah transportasi jika:1. koefisien dari variabel struktural yaitu terbatas pada nilai nol atau satu.2. terdapat adanya kehomogenan antara unit-unit dalam persyaratan.

Model transportasi mempunyai bentuk:

D1D2.............Dnbi(Kapasitas)

O1C11C12.............C1n

O2C21C22.............C2n

.................................................................

OnCn1Cn2.............Cnn

di permintaan

Cara menetukan tabel awal transportasi:Cara menentukan tabel awal harus memenuhi (m + n 1) sel harus diisi, adapun caranya tabel awal bisa disusun menurut cara-cara:1. Aturan NWC (North West Corner)Diisi mulai dari sudut kiri atas.2. Aturan VAM (Vogel Aproximation Method)Diisi berdasarkan beda kolom atau beda baris dari dua ongkos termurah. Nilai tinggi atau penalti tertinggi yang diisi hingga memenuhi syarat : ( m + n 1 ) tempat yang harus diisi.3. Mengisi sel dari semua sel yamg mempunyai ongkos termurah diisi terlebih dulu baru dilanjutkan dengan nilai diatasnya atau inspeksi.Contoh cara I: NWCCara NWC adalah cara mengisi sel simulai dari sudut kiri atas. Dalam hal ini dimulai diri sel O1D1 baru dilanjutkan ke sel yang lain. D1D2D3D4D5bi

O1 40 12 15 49 5 955

O285 40 66745

O3112 10 4 20 7730

O410156 10 9 40 150

di4020503040 180 180

Dari tabel tersebut diperoleh banyaknya Origin = 4, Distination = 5, maka jumlah sel yang harus diisi sebanyak (4 + 5 1) sel = 8 sel Syarat pertama terpenuhi, sedangkan nilai awal fungsi tujuan adalah:f =12.40 + 1.5 + 4.10 + 7.20 + 9.10 + 1.40 = 1095Nilai fungsi tujuan f= 1095 di atas diperoleh dengan cara menjumlahkan hasil kali harga cij dengan kapasitas pada sel terisi

Cara II: VAMCara VAM adalah cara mengisi sel tabel transportasi dengan memperhatikan beda kolom dan beda baris. Yang masuk sebagai sel terisi adalag sel dengan ongkos termurah pada beda kolom atau beda baris terbesar. Berdasarkan pada hasil hitungan beda kolom dan beda baris dari dua ongkos terendah, maka dapat dilihat bahwa nilai beda kolom dan beda baris pada tabel transportasi yang terbesar adalah 7 yang berada pada kolom D1, sehingga sel yang perlu disi dulu adalah sel O3D1 dengan jumlah dengan ongkos termurah pada kolom D1 dan kuantitas D1 sebesar 40 akan diisi O3 sebesar 30, berdampak kapasitas O3 sebesar 30 habis untuk memenuhi kebutuhan D1 sementara kebutuhanD1 sebesar 40 baru terisi 30 dari O3 dan masih kekurangan 10.

Secara rinci dapat dilihat tabel transportasi berikut.D1D2D3D4D5Beda kolom

O1 1249 5 91

O2816675

O3301124773

O410156915

Beda baris73216

55

4530 05040 10 20 5030 40

Dari tabel di atas terlihat bahwa pada sel O3D1 telah terpenuhi, maka berakibat baris pada O3 dapat dihilangkan, sehigga ukuran tabel trasportasi yang semula berukuran (4x5) berubah menjadi (3 x 5). D1D2D3D4D5Beda kolom

O11249591

O2816640 75

O410156915

Beda baris23016

5545

50 1010 2050 3040 0Dari tabel di atas terlihat bahwa pada sel O2D5 telah terpenuhi, maka berakibat kolom pada D5 dapat dihilangkan, sehigga ukuran tabel trasportasi yang semula berukuran (3x5) berubah menjadi (3 x 4).

D1D2D3D4Beda kolom

O1124951

O2820 1665

O41015695

Beda baris2301

45 25

20 0Dari tabel di atas terlihat bahwa pada sel O2D2 telah terpenuhi, maka berakibat kolom pada D2 dapat dihilangkan, sehigga ukuran tabel trasportasi yang semula berukuran (3x4) berubah menjadi (3 x 3). Dengan cara yang sama diperoleh tabel transportasi berikut yang pada akhirnya akan diperoleh tabel awal dengan cara VAM

D1D3D4Beda kolom

O1129 3054

O28660

O410693

Beda baris201

55 2525

1010 50 30 0D1D3Beda kolom

O11293

O2862

O4101064

Beda baris20

2525

10 0 .10 50 40 D1D3Beda kolom

O11293

O210 862

Beda baris40

2525 15

. 10 0 40

D3Beda kolom

O125 9

O2156

Beda baris0

2515

. 40 Secara keseluruhan tabel menggunakan metode VAM adalah sbb:

ORIGINDESTINATIONTOTAL

D1D2D3D4D5

O112425930 5955

O210 820 115 66745

O33011247730

O4101510 6940150

Beda baris4020503040180 180

Biaya total f = 8.10 + 1.30 + 1.20 + 9.25 + 6.15 + 6.10 + 5.30 1.40 = 80 + 30 + 20 + 225 + 90 + 60 + 150 + 40 = 695

Dari sini terlihat jelas bahwa biaya total yang diperoleh dengan metode VAM jauh lebih rendah dari pada yang diperoleh dengan metode NWC.

Cara III : inspeksi Untuk mengsi tabel awal dengan cara inspeksi adalah dengan mengisi sel dengan ongkos termurah dulu, baru dilanjutkan pada ongkos yang lebih mahal. Dalam tabel di bawah, sel yang pertama diisi adalah sel dengan angkos 1 yaitu sel O3D1, O4D5, O2D2, lalu ongkos selanjutnya adalah sel dengan ongkos 5 yaitu O1D4,lalu ongkos selanjutnya adalah sel dengan ongkos 6 yaitu O2D3 ,O4D3, lalu ongkos selanjutnya adalah sel dengan ongkos 9 yaitu O1D3, lalu ongkos selanjutnya adalah sel dengan ongkos 12 yaitu O1D1 secara rinci dapat dilihat table transportasi berikut.

ORIGINDESTINATIONTOTAL

D1D2D3D4D5

O11012415930 5 955 25 0

O28201 256 6 7645 25 0

O3301 1247 75130 0

O4 10 15106940 150 10 0

4020503040 180180

10 0 250 0

8 3 7 4 2

Biaya total : f = 12.10 + 1.30 + 20.1 + 9.15 + 6.25 + 6.10 + 5.30 + 1.40 = 705Terlihat bahwa biaya yang diperlukan dari tabel awal dengan menggunakan tiga model diperoleh: tertinggi NWC sebesar 1095 , selanjutnya Inspeksi sebesar 705 dan terendah adalan VAM sebesar 695 . Sehingga timbul pertanyaan bagaimana menentukan biaya minimum?

Menguji nilai minimumSetelah tabel awal sudah diperoleh dengan menggunakan salah satu cara (NWC,VAM dan Inspeksi), untuk mengetahui apakah model transportasi sudah mencapai minimum, maka dapat dilakukan dengan 3 cara yaitu:A. Coba-cobaB. Steeping StoneC. ModiDari ketiga cara tersebut masing-masing cara memilik keunggulan dan kelemahan. Seseorang ketika akan menyelesaikan kasus transportasi dapat memilih salah satu cara, dalam pembahasan selanjutnya buku ini akan banyak menggunakan cara Modi. Tahap selanjutnya akan dijelaskan masing-masing cara mencari nilai minimum sebagai berikut:A. Metode Coba-cobaMetode ini adalah metode yang paling sederhana dengan cara coba-coba mengisi sel yang ada dengan aturan sel terisi sebanyak (m + n 1) . Metode ini tidak mungkin digunakan untuk nilai m dan n yang besar, karena kurang efektif.

Cara coba-coba model satuD1D2

O120 330 550

O2201 820

4030 7070

Sel yang diisi O1D1, O1D2 , O2D1, dengan ongkos f = 20.3 + 30.5 + 20.1 = 230 (cara yang baik karena hasil yang minimum). Sedangkan bila menggunakan model dua nilai f = 330 yang lebih tinggi dari model satu yang model penjabaranya seperti berikut.Cara coba-coba model duaD1D2

O140 310550

O2120 820

4030 7070

dengan ongkos f = 40.3 + 10.5 + 20.8 = 330Jika metode coba-coba ini dilaksanakan kendala utamanya adalah kita sulit menentukan secara pasti ada berapa kombinasi model yang dapat dibuat, masih dihadapkan lagi persoalan bagaimana kita mengisi sel yang memenuhi (m + n 1) dan ketidak pastian tabel mana yang akan memberikan nilai yang minimum, karena sifat coba-coba tersebut.

B. Metode Steeping StoneLangkah-langkah untuk menyelesaikan nilai optimum menurut Steeping Stone dalah sebagai berikut:a. Menyusun solusi dasar yang memenuhi syarat m + n 1 sel yang harus terisi dengan menggunakan salah satu metode yang ada NWC, VAM dan inspeksi.b. Setelah fungsi dasar yang memenuhi syarat diperoleh maka langkah selanjutnya mecari Opportunity Cost (OC) dari sel-sel yang kosong dengan cara membuat siklus yang tertutup.c. Kalau ada sel kosong yang memiliki OC positif maka penyelesaian optimum belum tercapai dan perbaikan harus diadakan dengan cara mengikutsertakan sel kosong yang mempunyai OC terbesar.d. Besarnya OC = - (siklus) .Misalkan diberikan model transportasi tabel awal menggunakan cara inspeksi seperti berikut.

D1D2D3D4D5

O110 12415 930 5 955

O28 OC terbesar20 125 66745

O330 11247730

O41015106940150

4020503040

Maka cara melakukan perbaikan dengan cara mengikut sertakan sel kosong yang mempunyai OC terbesar.Ilustrasi : berdasar tabel di atas akan diberikan cara menghitung OC sel kosong: Misal kita ingin mengisi OC pada sel kosong untuk O2D1 untuk mengisi sel O2D1 kita harus membuat siklus dulu .Adapun cara membuat suklus adalah memasukkan selkosong dengan OC terbesar dihubungkan dengan sel terisi yang memiliki jarak terdekat. Misal kita akan memasukkan sel O2D1 yang memiliki OC terbesar, maka siklus terpendeknya adalah: siklus O2D1 adalah (O2D1 O2D3 + O1D3 O1D1). Sedangkan hasil hitungan OC sel kosong O2D1 adalah: OC sel kosong O2D1= - (O2D1 O2D3 + O1D3 O1D1)= - ( 8 6 + 9 12) = 21Begitu juga dengan cara yang sama kita dapat menghitung sel kosong yang lain yaitu

OC untuk O4D1OC O4D1= - (O4D1 O4D3 + O1D3 O1D1) = - ( 10 6 + 9 12) = -1

OC untuk O3D2OC O3D2 = - (O3D2 O2D2 + O2D3 O1D3 + O1D1 O3D1) = - (12 1 + 6 - 9 + 12-1) = - 19Contoh di atas, kita hanya menghitung 3 OC pada sel kosong faktanya kita harus menghitung 12 OC pada sel kosong. Dari 12 OC pada sel kosong tersebut harus dicari mana yang OCnya positif terbesar itulah yang masuk dalam tabel perbaikan, sampai semua sel kosong yang ada semua OCnya sudah nol atau negatif. Bila dihitung semuannya ternyata yang mempunyai OC positif terbesar adalah OC sel O2D1 , sehingga sel O2D1 harus diperbaiki dengan cara memasukkan sel tersebut untuk tabel perbaikan atau diisi dengan menggunakan siklus (O2D1 O2D3 + O1D3 O1D1) dengan barang yang dimasukkan sebanyak 10 unit,sel O2D3 berkurang 10, sel O1D3 bertambah 10 serta sel O1D1 berkurang 10 menjadi nol, sehingga dari tabel di atas berubah menjadi tabel berikut.D1D2D3D4D5

O112425 930 5 955

O210820 115 66745

O33011247730

O4101510 6940 150

4020503040

Setelah program diperbaiki seperti bentuk di atas apakah program perbaikan merupakan solusi minimal?Untuk menjawab pertanyaan ini kita harus mengullangi langkah (b), yaitu mencari OC dari sel-sel yang kosong apakah masih terdapat nilai OC positif?. Bila masih ditemukan sel kosong dengan OC positif maka program belum optimal, sehingga kita harus mengulangi langkah (c) yaitu memasukan sel kosong yang mempunyai OC terbesar diikut sertakan dalam perbaikan program. Program dicek kembali dan seterusnya hingga akhirnya tercapai solusi minimal.Untuk di cek. Bahwa tabel di atas semua OC sudah tidak ada yang positif, sehingga minimal tercapai. Ternyata jawaban pertanyaan di atas adalah biaya minimal sudah tercapai, karena semua sel kosong setelah dihitung nilai OC sudah nol atau negatif dengan nilai biaya f = 8.10 + 1.30 + 1.20 + 9.25 + 6.15 + 6.10 + 5.30 1.40 = 695

C. Cara ModiCara lain untuk mencari solusi optimum adalah dengan cara Modi. Adapun langkah-langkah penyelesaian dengan cara modi adalah sebagai berikut:a. Mencari solusi dasar yang memenuhi syarat sel terisi sebanyak (m + n 1), Cara mengisi table awal bias menggunakan salah satu metode NWC, VAM, atau inspeksi. Jika jumlah sel yang terisi melebihi dari (m + n 1) maka salah hitung Tetapi jika sel yang terisi kurang dari (m + n 1) maka solusi table awal mengalami degenerate atau kemerosotan. b. Menentukan OC dari setiap sel kosong, caranya :1. Tentukan bilangan baris dari bilangan kolom secara lengkap.2. Untuk setiap sel terisi berlaku Cij = Ui + Vj biasanya diambil U1 = 01 Hitung implied cost dari setiap sel yang kosong dengan bilangan baris dan bilangan kolom.1. Tentukan OC dari setiap sel kosong dimana OC = (Ui + Vj ) Cij.Jika setiap sel kosong sudah tidak adasel yang mempunyai OC positif maka solusi sudah optimal, tetapi jika masih ada sel kosong yang memiliki OC positif maka program belum optimal, sehingga perlu diperbaiki. c. Merancang perbaikan program yaitu dengan cara memasukkan sel kosong yang memiliki OC positif terbesar yang diikut sertakan dalam program perbaikan.Contoh 1: Carilah Solusi minimum dari model transportasi dengan tabel awal dengan cara Inspeksi Cij D1D2D3D4D5

O110 12

4oc=(0+4)-4 =015930 59oc=(0+4)-9=-555U1 = 0

O28oc=(-3+11)-8=120 12566oc= -7oc = -45U2 = -3

O330 112oc = -4oc = -7oc = -7oc = -30U3 = -10

O410oc = -15oc = -10 69oc = -40 150U4 = - 3

4020503040

V1=11 V2= 4 V3=9 V4=5V5=4Dari di atas setelah semua sel kosong dihitung nilai OCnya , ternyata masih ada sel O2D1 yang masih positif dengan nilai OC = (-3 + 11)-8 = + 1, sehingga sel O2D1 masuk dalam sel perbaikan sengan siklusnya adalah (O2D1 O2D3 + O1D3 O1D1) dengan barang yang dimasukkan sebanyak 10 unit,sel O2D3 berkurang 10, sel O1D3 bertambah 10 serta sel O1D1 berkurang 10 menjadi nol, sehingga dari tabel di atas berubah menjadi tabel berikut.CijD1D2D3D4D5

O112425 930 5955 U1 = 0

O21082011566745U2 = -3

O330 11247730U3 = -10

O4101510 6940 150U4 = -3

4020503040

V1=11 V2= 4 V3=9 V4=5 V5=4Karena OC = Ui + Vj Cij, keseluruhannya telah berharga 0 maka telah mencapai optimum dengan nilai biaya adalah f= 25.9 + 30.5 + 10.8 + 20.1 + 15.6 + 30.1 + 10.6 + 40.1 = 695Contoh 2: Carilah Solusi minimum dari model transportasi dengan tabel awal dengan cara VAM

CijD1D2D3D4D5

O112425 930 5955U1 = 0

O21082011566745U2 = -3

O330 11247730U3 = -10

O4101510 6940 150U4 = -3

4020503040

V1=11 V2= 4 V3=9 V4=5V5=4Karena semua OC = Ui + Vj Cij 0 maka telah mencapai optimum dengan nilai biaya minimum f = 695Contoh 3 Carilah Solusi minimum dari model transportasi dengan tabel awal dengan cara NWC

D1D2D3D4D5bi

O130410 31OC = +32640U1= 0

O2520210 34530U2=-1

O33Oc = +35OC = 0 20 6 15 3235U3=2

O42OC= +64OC = +3 4OC = +4 5515 320U4=4

30V1=430V2= 330V3=420V4=115V5=-1

ternyata masih ada sel O4D3yang masih positif dengan nilai OC = (4 +4)-2 = + 6, sehingga sel O4D3 masuk dalam sel perbaikan sengan siklusnya adalah (O4D3 O4D4+ O3D4 O3D3) dengan barang yang dimasukkan sebanyak 5 unit,sel O4D4 berkurang 5, sel O3D4 bertambah 5 serta sel O3D3 berkurang 5 , sehingga dari tabel di atas berubah menjadi tabel berikutD1D2D3D4D5bi

O125 415 31OC = +32640U1= 0

O2515215 34530U2=-1

O33Oc = +35OC = 0 15 6 20 3235U3=2

O4 5 2

4

4

515 320U4=-2

30V1=430V2= 330V3=420V4=115V5=-1

Dengan cara yang sama selanjutnya hasil perbaikan table seperti berikut.

D1D2D3D4D5bi

O110 4 30 31OC = +32OC = +2640U1= 0

O25230 34530U2=-1

O3 15 3

5OC = 0 6 20 3235U3=-1

O4 5 2

4

4

515 320U4=-2

30V1=430V2= 330V3=420V4=415V5=5

Dengan cara yang sama selanjutnya hasil perbaikan table seperti berikut.

D1D2D3D4D5bi

O110 4 3 30 1

2OC = +2640U1= 0

O25302 34530U2=-1

O3 15 3

5OC = 0 6 20 3235U3=-1

O4 5 2

4

4

515 320U4=-2

30V1=430V2= 330V3=120V4=415V5=5

Dengan cara yang sama selanjutnya hasil perbaikan table seperti berikut.D1D2D3D4D5bi

O14 3 30 1

10 2

640U1= 0

O25302 34530U2=-1

O3 25 3

5OC = 0 6 10 32OC = + 235U3=1

O4 5 2

4

4

515 320U4=0

30V1=230V2= 330V3=120V4=215V5=3

Dengan cara yang sama selanjutnya hasil perbaikan table seperti berikut.

D1D2D3D4D5bi

O14 3 30 1

10 2

640U1= 0

O25302 34530U2=-1

O3 10 3

5

6 10 3 15 2

35U3=1

O4 20 2

4

4

5320U4=0

30V1=230V2= 330V3=120V4=215V5=1

Semua OC pada sel kosong semuanya sudah negatif maka kasus minimum dipenuhi dengan nilai minimum f = 3. +1.30 +2.10 +2.30 + 3.10 + 3.10 +2.15 +2.20 = 240Penyelesaian transportasi kasus maksimum Untuk menyelesaikan transportasi kasis maksimum dapat dilaksanakan dengan langah-langkah sebagai berikut:1. Kurangkan semua Cij dengan harga Cij yang terbesar.2. Setelah semua Cij dikurangi dengan Cij yang terbesar maka kasusnya akan berubah menjadi kasus minimum.3. Ikutilah kasus minimum dengan cara di depan.4. Harga fungsi sasarannya diambil dari tabel awal sebelum dikurangi Cij yang terbesar.Contoh:Tentukan keuntungan-keuntungan maksimum bila Cij menyatakan bahwa yang diperoleh dari tabel berikut :

D1D2D3bi

O1 56 48856

O216 1666 241682

O3836 16 41 2477

dj7210241215 215

Syarat maksimum : Ui + Vj Cij > 0Untuk menyelesaikan kasus maksimum, caranya dengan mengubah menjadi kasus minimum. Adapun langkahnya dengan cara mengurangi semua Cij dengan Cij yang terbesardalan hal ini semua Cij dikurangi dengan 24, sehingga diperoleh tabel berikut:

D1D2D3

O156-20-16OC= +4-16OC= +12U1 = 0

O216 -866 0-8OC=+20U2 = 12

O3-16OC=036-8410U3 = 4

V1=-20V2=-12V3=-4

Setelah semua Cij dikurang dengan C22 =24 (Cij terbesar) tabel di atas sudah berubah menjadi kasus minimum sehingga untuk menyelesaikan dapat diikuti langkah-langkah kasus minimum seperti di atas. Adapun langkah langkahnya adalah memasukkan sel O2D3 yang

memiliki OC = 20 (OC terbesar) merupakan sel yang memerlukaan perbaikan. Adapun sel O2D3 dengan siklusnya adalah (O2D3- O2D2+ O3D2- O3D3) . dengan perbaikan tersebut hasil tabelnya perbaikan adalah berikut:

D1D2D3

O156-20-16OC=+4-16OC=+20U1 = 0

O216-825041 -8U2 = 12

O3-16OC= -77-8

0OC= 0U3 = 4

V1=-20V2=-12V3=-4

Dari tabel di atas, maka sel O1D3 merupakan sel yang perlu diperbaiki, dengan siklusnya adalah (O1D3- O1D1+ O2D1- O2D3) adapun hasil tabel perbaikan adalah berikut

D1D2D3

O1 15-20-16OC= +441 -16U1 = 0

O257 -8250 -8OC= +4U2 = 12

O3-16OC= +477 -80OC= -U3 = 4

V1=-20V2=-12V3=-16

Dari tabel di atas, maka sel O1D2 merupakan sel yang perlu diperbaiki, dengan siklusnya adalah (O1D2 - O1D1 + O2D1- O2D2) adapun hasil tabel perbaikan adalah berikut

D1D2D3

O1 -20OC = -15-16

41-16

U1 = 0

O272-8 100-8OC= + 8U2 = 16

O3-16OC=077 -80OC=-U3 = 8

V1=-24V2=-16V3=-16

Dari tabel di atas, maka sel O2D3 merupakan sel yang perlu diperbaiki, dengan siklusnya adalah (O2D3 O2D2 + O1D2 O1D3) adapun hasil tabel perbaikan adalah berikut

D1D2D3

O1 -20OC= +425-16

31-16

U1 = 0

O272-80OC = -10 -8

U2 = 8

O3-16OC=+ 877 -80OC=-U3 = 8

V1=-16V2=-16V3=-16

Dari tabel di atas, maka sel O3D1 merupakan sel yang perlu diperbaiki, dengan siklusnya adalah (O3D1 O3D2 + O1D2 O1D3 + O2D3 O2D1) adapun hasil tabel perbaikan adalah berikut

D1D2D3

O1 -20OC=-56-16

-16OC = - 56U1= 0

O241-80OC = 0 41 -8

82U2= 16

O331-16

46-80OC=-77U3= 8

7210241

V1= -24 V2= -16 V3=-24

Karena semua sel kosong telah memiliki OC negatif atau nol maka kasus minimum tercapai. Karena kasusnya maksimum, maka hasil di atas di bawa ke tabel transportasi awal atau tabel semula dengan hasil berikut.

D1D2D3kuantitas

O1 4

568

8

56

O241162441 16

82

O3318

461624

77

kapasitas7210241

Pada program terakhir telah mencapai maksimal , dengan nilai maksimum f = 8.56 + 16. 41 + 16. 41 + 8. 31 + 16. 46 = 448 + 656 + 656 +248 + 736 = 2744

D. Masalah transportasi dimana Origin dan Deman tidak seimbang (Permintaan dan Persediaan tidak seimbang) Kasus ini diakibatkan oleh bi dj, hal ini dimungkinkan oleh 2 hal:1. bi > dj maka kita menambah D semu/dumy dengan Cij dibuat harganya nolContoh:D1D2D3bi

O1542200

O2631400

200200100 600500

Karena jumlah bi dengan jumlah dj tidak sama, maka kasus tersebut dakatakan kasus tidak seimbang. Untuk menyelesaikan kasus ini maka kita harus menambah Destinaton semu (Ds) , karena bi > dj hasil tabel berikut :

D1D2D3Ds bi

O15420200

O26310400

200200100100 600600

Setelah kita menambah Ds , maka kasusnya berubah menjadi kasus seimbang, kita bisa mengisi tabel awal dengan salah satu cara (NWC, VAM, Inspeksi) dan setelah diisi kita dapat menentukan nilai optimum dengan cara modi. Tabel awal di bawah dilakukan dengan cara NWC.D1D2D3Ds bi

O1100 5 100 420200

O26200 3100 1100 0400

100200100100 600600

Tabel di atas merupakan kasus yang sudah seimbang (bi = dj). Selanjutnya untuk kasus dimana dj > bi kita tinggal menambah Origin semu/O semu seperti kasus dua beriku.2. bi < dj maka kita menambah O semu/origin semu dengan Cij diberi harga nol.Contoh:D1D2D3bi

O1542200

O2631300

200400100 500700

Karena jumlah bi dengan jumlah dj tidak sama, maka kasus tersebut dakatakan kasus tidak seimbang. Untuk menyelesaikan kasus ini maka kita harus menambah Origin semu (Os), karena bi < dj hasilnya tabel berikut :

D1D2D3

O1542200

O2631300

Os000200

200400100 700700

Setelah kita menambah Os , maka kasusnya berubah menjadi kasus seimbang, kita bisa mengisi tabel awal dengan salah satu cara (NWC, VAM, Inspeksi) dan setelah diisi kita dapat menentukan nilai optimum dengan cara modi.

D1D2D3

O1150 550 4 2200

O2630031300

Os0100 01000200

150450100 700700

Contoh: tentukan nilai minimum dari tabel transportasi berikut

D1D2D3

O156 48856

O2261656241682

O3846 16312477

Os0030030

8210261

Dari tabel di atas akan dicari nilai minimum dengan cara modi sebagai berikut

D1D2D3

O156 48OC = + 48OC = + 4U1=0

O2261625 243116U2=12

O3877 1624U3=4

Os00300U4=-4

V1=4V2=12V3=4

Dari tabel di atas, maka sel O1D3 merupakan sel yang perlu diperbaiki, dengan siklusnya adalah (O1D3 O1D1 + O2D1 O2D3 ) adapun hasil tabel perbaikan adalah berikut

D1D2D3

O12548OC = 4318U1=0

O25716252416OC = 0U2=12

O38OC = 077 1624U3=4

Os00OC = + 4300U4=-8

V1=4V2=12V3=8

Dari tabel di atas, maka sel O1D2 merupakan sel yang perlu diperbaiki, dengan siklusnya adalah (O1D2 O1D1 + O2D1 O2D2 ) adapun hasil tabel perbaikan adalah berikut

D1D2D3

O1 4258

318U1=0

O282162416OC = +4U2=12

O38OC = +477 1624U3=8

Os00OC = 0300U4=-8

V1=4V2=8V3=8

Dari tabel di atas, maka sel O2D3 merupakan sel yang perlu diperbaiki, dengan siklusnya adalah (O2D3 O1D3 + O1D1 O2D1 ) adapun hasil tabel perbaikan adalah berikut

D1D2D3

O131 4258

8U1=0

O251162431 16

U2=12

O38OC = +477 1624U3=8

Os00OC = + 4300U4=-4

V1=4V2=8V3=4

Dari tabel di atas, maka sel O3D1 merupakan sel yang perlu diperbaiki, dengan siklusnya adalah (O3D1 O3D2 + O1D2 O1D1 ) adapun hasil tabel perbaikan adalah berikut D1D2D3

O14568

8U1=0

O251162431 16

U2=16

O331 8

461624U3=8

Os00OC = +8300U4=0

V1=0V2=8V3=0

Dari tabel di atas, maka sel O3D1 merupakan sel yang perlu diperbaiki, dengan siklusnya adalah (OsD2 OsD3 + O2D3 O2D1 + O3D1 O3D2 ) adapun hasil tabel perbaikan adalah berikut D1D2D3

O14568

856 U1=0

O221162461 16

82U2=16

O361 8

16162477U3=8

Os030 0

030U4=-8

82V1=0102V2=861V3=0

Semua OC pada sel kosong sudah negatif semua sehingga minimum tercapai dengan nilai minimum f = 8.56 + 16.21 + 16.61 + 8. 61 + 16. 16 + 0.30 = 448 + 336 + 976 +256 + 0 = 2.016

E. Kasus solusi banyakSuatu solusi dari masalah transportasi nilai optimalnya tidak selalu tunggal, (mungkin banyak), karena penentu solusi optimal bila untuk setiap OC sel kosong harus 0. Bila di dalam solusi optimal terdapat OC = 0 pada sel kosong maka dengan memasukkan sel yang mempunyai OC = 0 itu juga merupakan solusi optimal yang fungsi sasarannya = fungsi sebelumnya.

Contoh 1: Carilah Solusi minimum dari model transportasi dengan tabel awal dengan cara Inspeksi Cij D1D2D3D4D5

O1 20 20

4oc=(0+4)-4 =015935 510oc=(0+4)-10=-670U1 = 0

O28oc=(-3+11)-8=13012568oc= -7oc = -55U2 = -3

O330 115oc = -5oc = -9oc = -7oc = -30U3 = -10

O415oc = -10oc = -10 69oc = -45155U4 = - 3

5030503545

V1=11 V2= 4 V3=9 V4=5V5=4

Dari tabel di atas setelah semua sel kosong dihitung nilai OCnya , ternyata masih ada sel O2D1 yang masih positif dengan nilai OC = (-3 + 11)-8 = + 1, sehingga sel O2D1 masuk dalam sel perbaikan sengan siklusnya adalah (O2D1 O2D3 + O1D3 O1D1) dengan barang yang dimasukkan sebanyak 20 unit,sel O2D3 berkurang 20, sel O1D3 bertambah 20 serta sel O1D1 berkurang 20 menjadi nol, sehingga dari tabel di atas berubah menjadi tabel berikut.

Cij D1D2D3D4D5

O120

4oc=(0+4)-4 =035935 510oc=(0+4)-10=-670U1 = 0

O220 8

301568oc= -7oc = -55U2 = -3

O330 115oc = -5oc = -9oc = -7oc = -30U3 = -10

O415oc = -10oc = -10 69oc = -45155U4 = - 3

5030503545

V1=11 V2= 4 V3=9 V4=5V5=4Karena semua OC = Ui + Vj Cij 0 maka telah mencapai minimum dengan nilai biaya adalah f= 35.9 + 35.5 + 20.8 + 30.1 + 5.6 + 30.1 + 10.6 + 45.1 = 315 + 175 + 160 + 30 + 30 + 30 + 60 + 45 = 845Terlihat bahwa tebel di atas, pada sel O1D2 memiliki OC = 0 yang menunjukkan ciri solusi banyak, sehingga dengan memasukkan sel O1D2 sebagai sel yang diperbaiki maka akan diperoleh solusi kedua dengan hasil berikut:Cij D1D2D3D4D5

O120

30 4

5935 510

70U1 = 0

O220 8

13568oc= -7oc = -55U2 = -3

O330 115oc = -5oc = -9oc = -7oc = -30U3 = -10

O415oc = -10oc = -10 69oc = -45155U4 = - 3

5030503545

V1=11 V2= 4 V3=9 V4=5V5=4

Nilai minimum f= 30.4 + 5.9 + 35.5+ 20.8 + 35.6 + 30.1 + 10.6 + 45.1 = 120 +45 + 175 + 160+ 210 + 30 + 60 + 45 = 845Sehingga dapat disimpulkan bahwa jika kasus optimum tercapai , tetapi ada OC sel kosong memiliki harga sama dengan nol, maka transportasi tersebut memiliki solusi banyak, untuk menentukan solusi yang lain caranya dengan memasukkan sel kosong yang memiliki OC sama dengan nol diikutkan dalam perbaikan. F. Kasus degenerate/kemerosotan Kasus degenerate terjadi apabila jumlah sel yang terisi dari masalah transportasi kurang dari (m + n 1) kasus ini bisa terjadi :1. Degenerite bisa terjadi diawal penentuan masalah transportasi ( cara penentuan tabel awal bisa menggunakan salah satu cara :metode NWC, VAM, Inspeksi).Contoh :D1D2D3kuantitas

O1200 5 12200

O26200 3100 2300

200200100

Dengan mengisi tabel awal dengan cara NWC,tabel yang terisi hanya 3 sel pada hal seharusnya ada 4 sel, hal ini terjadi degenerate. Sehingga untuk memenuhi sel terisi (m + N -1) harus menambah satu sel dengan nilai dan dipilih pada sel O1D2 yang memiliki ongkos termurah seperti tabel di atas.

Contoh 1 Carilah biaya minimum dari tabel merosot diawal program berikut

D1D2D3

O12021220

O2315 425 140

201525 6060

D1D2D3

O120 212U1 = 0

O2315 425 1U2 = 3

V1 = 2V1 = 1V3 = -2

D1D2D3

O15 215 12U1 = 0

O21534251U2 = 1

V1 = 2V1 = 1V3 = 0

Nilai minimal dicapai dengan biaya minimum f = 2.5 +1.15 +3.15 +1.25 = 95

2. Degenerite bisa terjadi pada saaat pertengahan mencari nilai optimum.Langkah untuk mengatasi kasus degenerate dengan cara menambah (epsilon) sehingga syarat sel yang terisi (m + n 1) dipenuhi. Jika kasus merupakan kasus minimum letakkan harga pada ongkos yang terendah. Sedangkan harga sendiri mendekati 0, sehingga penjumlahan atau pengurangan dengan tidak mempengaruhi harga.Kemerosotan saat menentukan program optimum terjadi karena :Dengan memasukan Oppurtunity Cost tertinggi mengakibatkan kekosongan 2 sel atau lebih diantara sel tersebut dalam program. Agar tidak terjadi kemerosotan maka biasanya bisa ditempatkan pada sel dengan ukuran ongkos terendah yang telah mengalami kemerosotan tadi.

Contoh 2 Carilah biaya minimum dari tabel merosot di pertengahan proses berikut:

D1D2D3D4D5

O130 410 312640

O2520 210 34530

O3 355 6153220

O42445 55 3 10

303015205

D1D2D3D4D5

O130 410 3126 U1= 0

O2520 210345U2 = -1

O3355 615 32U3 = 2

O42445 55 3 U4 = 4

V1 = 4V2 = 3V3 = 4V4 = 1V5 = -1

D1D2D3D4D5

O125415 3126U1= 0

O255215 345U2 = -1

O33562032U3 = -4

O45 24455 3 U4 = -2

V1 = 4V2 = 3V3 = 4V4 = 7V5 = 5

D1D2D3D4D5

O125 4153126U1= 0

O2515 215345U2 = -1

O335620 32U3 = 1

O45 24455 3 U4 = -2

V1 = 4V2 = 3V3 = 4V4 = 2V5 = 5

D1D2D3D4D5

O120 415 31526U1= 0

O2515 215 345U2 = -1

O335615352U3 = 1

O41024453 U4 = -2

V1 = 4V2 = 3V3 = 4V4 = 2V5 = 1

D1D2D3D4D5

O120 4315 15 26U1= 0

O2530 2345U2 = -1

O335615 35 2U3 = 1

O410 24453 U4 = -2

V1 = 4V2 = 3V3 = 1V4 = 2V5 = 1

D1D2D3D4D5

O15 4315 12026U1= 0

O2530 2345U2 = -1

O315 35635 2U3 = -1

O410 24453 U4 = -2

V1 = 4V2 = 3V3 = 1V4 = 2V5 = 3

Nilai minimal telah tercapai dengan f = 5.4 + 15.1 + 20.2 + 30.2 + 15.3 + 5.2 + 10.2 = 210CATATAN :Suatu solusi dari masalah transportasi nilai optimalnya tidak selalu tunggal, karena suatu solusi optimal bila untuk setiap Oppurtunity Cost setiap sel kosong 0.Bila didalam solusi optimal terdapat OC = 0 maka dengan memasukan sel yang mempunyai OC = 0 tersebut juga akan merupakan solusi optimal yang fungsi sasarannya akan sama dengan fungsi sebelumnya.

G. Kasus Jalan RusakJika Masalah transportasi ada salah satu jalan rusak, maka untuk menyelesaikan persoalan tersebut dengan cara jalan yang rusak tersebut tidak akan diisi biarpun biayanya murah, karena pada hakekatnya ketika terdapat jalan rusak dampaknya memerlukan biaya yang mahal. Untuk itu agar sel yang memuat jalan rusak diberi kode M sehingga tidak akan terisi, tetapi untuk menghitung jumlah sel terisi sel pada jalan risak tidak dihitung.

Contoh 1: Carilah Solusi minimum dari model transportasi Jika Jalan O2D4 rusak

Cij D1D2D3D4D5bi

O119

4

9 510

80

O28161

7

60

O3115

5

9

7

30

O415

12

139

155

5040503550

Solusi minimum dari model transportasi akan diselesaikan dengan tabel awal cara Inspeksi

Cij D1D2D3D4D5

O11519

4oc = 0 30935 510 oc = -80U1 = 0

O28oc = 19-3-8=84012061M7oc = -60U2 = -3

O330 115oc = -5oc = -9oc = -7oc = -30U3 = -18

O4 515

12oc = -13oc = -12oc = -50155U4 = - 4

5040503550

V1=19 V2= 4 V3=9 V4=5V5=5

Pada sel O2D4 agar tidak terisi maka diberi lambang M, karena kalau tidak diberi lambing M kemungkinan besar akan terisi, sebab ongkosnya murah.Dari tabel di atas setelah semua sel kosong dihitung nilai OCnya , ternyata masih ada sel O2D1 yang masih positif dengan nilai OC = (-3 + 19)-8 = + 8, sehingga sel O2D1 masuk dalam sel perbaikan sengan siklusnya adalah (O2D1 O2D3 + O1D3 O1D1) dengan barang yang dimasukkan sebanyak 15 unit,sel O2D3 berkurang 15, sel O1D3 bertambah 15 serta sel O1D1 berkurang 15 menjadi nol, sehingga dari tabel di atas berubah menjadi tabel berikut.

Cij D1D2D3D4D5

O119 oc = -4oc=(0+4)-4 =045935 510oc= -80U1 = 0

O2158

401561M7oc = -60U2 = -3

O330 115oc = -5oc = -9oc = -7oc = -30U3 = -10

O4515

12oc = -13oc = 012oc = -50155U4 = 4

5040503550

V1= 11 V2= 4 V3=9 V4=5V5=-3

Karena semua OC = Ui + Vj Cij 0 maka telah mencapai minimum dengan nilai biaya adalah f= 45.9 + 35.5 + 15.8 + 40.1 + 5.6 + 30.1 + 5.15 + 50.1 = 405 + 175 + 120 + 40 + 30 + 30 + 75 + 50 = 925

SOAL-SOAL LATIHAN1. Seorang manager pemasaran diminta mengelola 5 pabrik dengan kapasitas masing-masing 90, 60, 40, 80, 50 dan 6 agen dengan kapasitas masing-masing agen 50, 70, 60, 70, 60, 40. Bila biaya tiap unit tertera dalam tabel sebagai berikut :D1D2D3D4D5D6

O14876910

O2265956

O3886735

O4276597

O58691071

Tentukan model pendistribusian agar diperoleh biaya minimaldan tentukan biaya yang diperlukan?2. Seorang manager pemasaran diminta mengelola 5 pabrik dengan kapasitas masing-masing 80, 60, 50, 70, 65 dan 6 agen dengan kapasitas masing-masing agen 80, 70, 50, 70, 60, 70. Bila keuntungan tiap unit tertera dalam tabel sebagai berikut :

D1D2D3D4D5D6

O11582061210

O2256159518

O318816171325

O42010625917

O5181619101730

Tentukan model pendistribusian agar diperoleh keuntungan maksimum dan tentukan keuntungannya?3. Dengan informasi berikut, cari pemecahan persoalan transportasi yang optimal dengan menggunakan metode batu loncatan (modi)Pabrik bahanbangunanSuplai dalam satuanLokasi ProyekPermintaan dalam satuan

P135L145

P240L250

P340L320

Informasi biaya angkut per satuan barang dari pabrik ke lokasi proyek dalam ribuan Rp. ProyekDariL1L2L3

P151010

P2203020

P35812

BAB VIASSIGMENT PROBLEM (MASALAH PENUGASAN)

A. PENDAHULUANMasalah penugasan (Assigment problem) merupakan salah satu persoalan transportasi yang merupakan kasus khusus dari masalah linier programming pada umumnya. Sehingga sebagai dasar penyelesaian masalah penugasan adalah linier programming dan khususnya transportasi yang mengalami degenerate (penyusutan). Dalam dunia usaha atau bisnis dan industry manajemen sering mengalami masalah-masalah yang berhubungan penugasan optimal dari bermacam-macam sumber yang produktif atau personalia yang mempunyai tingkat efisiensi yang bebeda, untuk tugas yang berbeda pula.Masalah penugasan (Assigment Problem) pertama-tama dikenalkan oleh seorang ahli matematika dari Hongaria yang bernama D Konig dalam tahun 1916, dimana aturan mainnya adalah sebagai berikut : Jika dalam suatu perusahaan tersedia n fasilitas (mesin, orang dan peralatan) hanya dapat melaksanakan pekerjaan satu jenis. Jadi masalah penugasan akan mencakup sejumlah n sumber yang mempunyai n tugas. Sehingga bentuk penugasan dapat kita susun dalam matriks dengan ukuran atau ordo n x n, dimana baris menyatakan sumber-sumber dan kolom menyatakan tugas-tugas.

B. MODEL DAN MACAM-MACAM PERSOALAN PENUGASAN 1. Model Matematika Masalah Penugasan Secara matematika masalah penugasan dapat kita tulis dalam suatu bentuk linierprogramming sebagai berikut :(memaksimumkan/meminimumkan)Dengan syarat :1. Xij= (Xij)22. 3. Xij 0Dengan :Z = Nilai optimum (max/min) dari persoalan penugasanCij = Ongkos atau keuntungan yang sudah diketahuiXij = Pekerjaan I yang dikerjakan oleh jDari syarat tersebut diatas dapat kita terjemahkan sebagai berikut :1. Karena Xij = (Xij)2, maka nilai dari Xij adalah 1, kalau pekerjaan I dikerjakan oleh mesin j

Xij = 0, untuk yang lain

2. , artinya Setiap baris dalam kolom matriks X akan mempunyai satu sel atau kotak dengan nilai satu, sedang kotak lainnya nol. Ini berarti suatu himpunan dengan n elemen harus dipilih dari matriks C = (Cij), sedemikian rupa sehingga tidak ada dua garis atau kolom yang mempunyai elemen sama, atau dengan kata lain tiap baris atau kolom hanya terdapat satu harga Xij = 1 dan lainnya nol, dan baris yang satu dengan baris yang lainnya tidak boleh sama.3. Xij 0 artinya nilai Xij minimal nol dan maksimal 1, sehingga kita mencari Xij = 0 dan kapan Xij = 1, atau dengan kata lain persyaratan dari Xij tidak negatif.

2. Macam-macam Persoalan PenugasanPada prinsipnya peersoalan penugasan adalah suatu persoalan untuk mencari nilai optimal, sehingga dari sini suatu perusahaan atau instansi berusaha bagaimana suatu persoalan bisa mencapai nilai minimum?, atau dengan perkataan lain bagaimana suatu pekerjaan dapat diselesaikan dengan biaya minimum, sedangkan dalam kasus maksimum biasanya dipakai untuk mencari tingkat keuntungan maximum atau indek produktifitas, artinya efektifitas pelaksanaan tugas oleh karyawan individu diukur dengan jumlah kontribusi keuntungan.Seperti pada pembicaraan didepan bahwa persoalan penugasan disyaratkan berbentuk bujur sangkar, artinya jumlah sumber sama dengan jumlah tugas. Dari sini maka persoalan penugasan mempunyai tiga bentuk yaitu :1. Bentuk bujur sangkar, yaitu bentuk penugasan dimana banyaknya tugas sama dengan banyaknya sumber.2. Bentuk segi empat, yaitu bentuk penugasan dimana jumlah pekerjaan tidak sama dengan jumlah sumber. Maka biar menjadi bentuk bujur sangkar harus ditambah semu(karyawan atau pekerjaan semu) tergantung bentuknya. Dan dalam kenyataannya selisih antara baris dan kolom hanya satu, karena kalau terlalu banyak selisihnya maka biasanya pimpinan akan mengambil kebijaksanaan.3. Bentuk khusus yaitu bentuk penugasan dari salah satu bentuk (1) dan (2), namun kadang-kadang beberapa elemen matriks tidak diketahui. Ada sejumlah alas an mengapa terdapat elemen yang tidak diketahui? Tidak lain kar