Upload
zana-fumic
View
431
Download
6
Embed Size (px)
DESCRIPTION
planiranje pokusa kod upravljanja kvalitetom
Citation preview
SADRŽAJ
1. UVOD................................................................................................................2
2. PLANIRANJE POKUSA...................................................................................3
3. TEMELJNA NAČELA.......................................................................................6
4. SMJERNICE ZA PLANIRANJE POKUSA.......................................................7
5. POTPUNI PLAN POKUSA (FAKTORIJALNI PLAN POKUSA)....................10
5.1. PRIMJER POTPUNOG PLANA POKUSA 24...........................................17
6. DJELOMIČNI PLAN POKUSA.......................................................................24
6.1. REZOLUCIJA DJELOMIČNIH PLANOVA POKUSA................................24
6.2. KONSTRUIRANJE 1/2 PLANA POKUSA................................................26
6.3. PRIMJER POLOVIČNOG 24-1 DJELOMIČNOG PLANA POKUSA...........28
7. OSTALE METODE PLANIRANJA POKUSA.................................................32
7.1. METODA ODZIVNE POVRŠINE..............................................................32
7.1.1. Koncept metodologije odzivne površine............................................32
7.2. TAGUCHIJEVA METODA........................................................................35
7.3. LINEARNI REGRESIJSKI MODEL..........................................................37
8. ZAKLJUČAK..................................................................................................42
LITERATURA........................................................................................................43
POPIS SLIKA........................................................................................................44
POPIS TABLICA...................................................................................................45
1. UVOD
Veliki dio istraživanja u znanosti i inženjerstvu, a pogotovo u industriji je
empirijsko. Upotreba statističkih metoda planiranja pokusa može znatno povećati
efikasnost samog procesa eksperimentiranja i dovesti do boljih i pouzdanijih
zaključaka.
Prva primjena statistike u industriji je zabilježena u Dublinu počekom 20.
Stoljeća kada je W.S.Gosset primjenom znanstvenog pristupa riješio stanovite
tehnološke probleme u kontroli kvalitete proizvodnje piva i tako postao jedan od
prvih i najznačajnijih industrijskih statističara. Njegova metoda za promatranje
malih uzoraka je kasnije primijenjena na mnoga područja ljudskih aktivnosti. Ta
metoda je vrlo rijetko pronašla primjenu u industriji sve do 1920. godine kada je
Fisher proširuje. Ronald A. Fisher je bio inovator u primjeni statističkih metoda u
planiranju pokusa. On je razvio i prvi upotrijebio analizu varijanci kao primarnu
metodu statističke analize u planiranju pokusa. Mnoge rane primjene metode
planiranja pokusa su bile u poljoprivrednim i biološkim znanostima. Međutim, prve
industrijske primjene planiranja pokusa su se počele pojavljivati 1930-ih godina. U
početku su se pojavile u tekstilnoj i vunenoj industriji Velike Britanije. Nakon
Drugog svjetskog rata, metode planiranje pokusa su uvedene u kemijsku i
procesnu industriju u SAD-u i Zapadnoj Europi. Ova grana industrije je još uvijek
vrlo plodno područje za planiranje pokusa u proizvodnom i procesnom razvoju.
Elektronička industrija i industrija poluvodiča već mnogo godina koristi metode
planiranja pokusa s velikim uspjehom. U nekoliko posljednjih godina se probudio
ponovni interes za planiranje pokusa u SAD-u jer su mnoge industrije otkrile da
njihova prekomorska konkurencija već dugi niz godina koristi metode planiranja
pokusa te da je to vrlo bitan faktor u njihovom uspjehu. Približava se dan kada će
svaki inženjer dobiti formalnu obuku u planiranju pokusa kao dio svog
preddiplomskog obrazovanja. Uspješna integracija planiranja pokusa u
inženjersku struku je ključni faktor u budućoj konkurentnosti industrije u SAD-u.
2
2. PLANIRANJE POKUSA
Eksperimentiranje u inženjerstvu ima veliku ulogu pri razvoju novih
proizvoda kao i u razvoju i poboljšavanju procesa proizvodnje. Shematski pristup
eksperimentiranju se može predočiti metodom crne kutije koja je prikazana na slici
1.
Slika 1 Metoda crne kutije
Stanoviti sustav se karakterizira pomoću ulaznih varijabli koje mogu biti
kontrolirane i nekontrolirane varijable, te izlazne varijable, odnosno odzivi sustava.
Ulazne varijable su nezavisni čimbenici dok su izlazne varijable zavisni čimbenici.
Nepoznate i nekontrolirane varijable su uzrok pogreške mjerenja. Cilj
eksperimenta je utvrditi njihovu uzročno posljedičnu vezu.
Izbor vrijednosti nezavisnih varijabli ima velik utjecaj na procjenu utjecaja
čimbenika. Da bi se osigurala precizna procjena utjecaja, potrebno je podatke
prikupiti na pravilan način, što ovisi o odabranom planu pokusa. Cilj statističkih
metoda planiranja pokusa je pravi izbor plana za odabrani model s maksimalnom
osjetljivošću prema procjeni parametara koja time osigurava bolju pouzdanost
procjene.
Svrha korištenja metode planiranja pokusa je dobiti što više informacija o
istraživanom sustavu uz minimum eksperimentalnog i financijskog angažmana.
Sastoji se od sustavnog odabira strukturiranog plana u kojem se ulazni čimbenici
variraju na organizirani način kako bi se dobili utjecaji pojedinih čimbenika na
stanoviti odziv, odnosno kako bi se optimizirao odziv s najmanje moguće
varijabilnosti. Kako bi se zadovoljila statistička ravnoteža u planu, broj
3
potencijalnih kombinacija velikog broja ulaznih čimbenika pri raznim razinama se
može izračunati za najbolju kombinaciju s najmanjim brojem pokusa. Pokusi
unutar jednog plana će biti prikazani standardnim redom radi preglednosti,
međutim za nasumičnu distribuciju nepoznate sustavne pogreške prisutne unutar
nepoznatih nekontroliranih čimbenika, redoslijed izvođenja je potrebno odabrati na
slučajan način (randomizirati). Ukoliko je nekontrolirani čimbenik poznat i njegova
se vrijednost može motriti, njegov utjecaj se može kompenzirati upotrebom analize
kovarijance koja kombinira analizu varijance i linearnu regresiju. Ukoliko se želi
ispitati utjecaj nekontroliranih čimbenika u obliku šumova na odzivni sustav,
primjenjuje se Taguchijeva metoda o kojoj će biti riječi kasnije.
Metode planiranje pokusa imaju veliku primjenu u raznim disciplinama. U
stvari, planiranje pokusa možemo shvatiti kao dio znanstvenog procesa i kao
jedan od načina na koji možemo saznati kako sustavi ili procesi rade. Općenito,
učimo kroz niz aktivnosti u kojima stvaramo pretpostavke o procesu, obavljamo
pokuse kako bi generirali podatke iz procesa, a zatim koristimo informacije iz
pokusa kako bi napravili nove pretpostavke koje će nas dovesti do novih pokusa i
tako dalje.
Planiranje pokusa je vrlo važan alat u inženjerskom svijetu za poboljšavanje
učinkovitosti u proizvodnom procesu. Također ima veliku primjenu u razvoju novih
procesa. Primjena tehnika planiranja pokusa u ranom razvoju procesa može
rezultirati:
2.1.1. Poboljšanim učinkom procesa
2.1.2. Smanjenom varijabilnosti i bližoj usklađenosti s nominalnim ili
ciljanim zahtjevima
2.1.3. Smanjenjem vremena razvoja
2.1.4. Smanjenjem ukupnih troškova.
Metode planiranja pokusa također imaju važnu ulogu u djelatnostima projektiranja
gdje su razvijeni novi proizvodi dok su postojeći proizvodi poboljšani. Neke
primjene planiranja pokusa u projektiranju uključuju:
a) Procjenu i usporedbu osnovnih struktura planiranja
b) Procjenu materijalnih mogućnosti
c) Odabir parametara planiranja tako da proizvod radi dobro i u vrlo
različitim uvjetima, tj. tako da je proizvod robustan
d) Određivanje ključnih parametara koji utječu na izvedbu proizvoda.
4
Korištenje planiranja pokusa u ovim područjima može rezultirati proizvodima koji
su lakši za proizvodnju, proizvodima koji imaju poboljšana svojstva i pouzdanost,
nižim cijenama proizvoda, kraćim vremenom konstruiranja i razvoja.
5
3. TEMELJNA NAČELA
Tri temeljna načela planiranja pokusa su: replikacija, randomizacija i
blokiranje. Pod replikacijom smatramo ponavljanje osnovnog pokusa. Repliciranje
ima dva važna svojstva. Prvo, dopušta ispitivaču da dobije procjenu greške
pokusa. Ova procjena greške postaje osnovna mjerna jedinica za utvrđivanje jesu
li uočene razlike u podacima stvarno statistički drugačije. Drugo, ako se koristi
srednja vrijednost uzorka za procjenu utjecaja faktora u pokusu, tada replikacija
dopušta ispitivaču dobivanje preciznijih procjena tog utjecaja.
Randomizacija je glavna okosnica korištenja statističkih metoda u planiranju
pokusa. Pod randomizacijom podrazumijevamo da su obje alokacije materijala koji
se ispituje i poredak kojim se pojedina 'mjerenja' ili 'pokušaji' pokusa izvode
odabrane nasumično. Statističke metode zahtijevaju da opažanja ili greške budu
neovisno raspodijeljene slučajnim varijablama. Randomizacija najčešće čini tu
pretpostavku opravdanom. Ispravnom randomizacijom pokusa, mi također
pomažemo u osrednjavanju stranih utjecaja koji mogu biti prisutni.
Blokiranje je tehnika koja se koristi za povećanje preciznosti kod pokusa.
Blok je dio pokusnog materijala koji bi trebao biti homogeniji od cijelog seta
materijala. Blokiranje uključuje izradu usporedbi između utjecajnih uvjeta u pokusu
i svakog bloka.
Temeljna načela planiranja pokusa su vrlo važan dio svakog pokusa.
6
4. SMJERNICE ZA PLANIRANJE POKUSA
Da bi koristili statistički pristup i planiranju i analizi pokusa, bitno je da svi imaju
jasnu ideju u naprijed o pokusu koji se analizira tako da bi se jasno mogli skupiti
podaci za kvalitetno razumijevanje kako će ti isti podaci biti analizirani. Sada ćemo
obraditi neke ključne smjernice bitne za analiziranje pokusa.
1) Razumijevanje problema
Iako se ovaj dio čini vrlo očiti, nekada u praksi nije jednostavno odrediti činjenice
koje jednostavno opisuju problem. bitno je razviti sve ideje koje jasno i generalno
opisuju problem. Obično je potrebno skupiti podatke s više područja koja se bave
tim problemom (inženjerstvo, prodaja, proizvodnja, management, kupac...). Zbog
tog razloga je jako bitno skupiti tim iz više područja da bi se razvio kvalitetan plan
pokusa.
2) Odabir faktora, razina i domena
Ispitivač mora odabrati faktore koji će analizirati u pokusu, domenu i razine u kojoj
će ti faktori biti ispitani. Također se mora odlučiti kako će ti faktori biti kontrolirani
na željenim vrijednostima i kako će biti analizirani. Inženjer mora također odlučiti
područje interesa za svaku varijablu.
3) Odabir ključnih varijabli
U određivanju ključnih varijabli ispitivač mora biti siguran da će te varijable dati
korisnu informaciju o procesu. najčešće su te varijable dobivaju pomoću
aritmetičke sredini ili standardne varijacije (ili oboje). Vrlo važan faktor je i
sposobnost ocjenjivanja (ili greška mjerenja). ako je sposobnost ocjenjivanja
neprikladna, tada će relativno veliki faktori biti detektirani u pokusu ili će biti
potrebno repliciranje. Prva tri koraka možemo nazvati pripremom pokusa. Malo je
vjerojatno da jedna osoba ima adekvatno znanje potrebno za određivanje sve tri
točke u svim situacijama. Uspješnost pokusa ovisi o kvaliteti postavljanja ovih
točaka.
7
4) Odabir planiranja pokusa
Ako su prve tri točke obavljene dobro, onda je ova točka vrlo lagana. odluka o
planiranju uključuje veličinu uzorka, broj repliciranja, odabir odgovarajućeg
redoslijeda ispitivanja varijabli i analiziranje ograničenja. Ovaj korak se vrlo lako
može riješiti pomoću nekog programa. u odabiru plana je vrlo bitno biti objektivan.
U mnogo pokusa već znamo što ćemo dobiti kao rezultat. Najbitnije nam je
odrediti koliko koja varijabla ima utjecaja na pokus.
5) Izvođenje pokusa
Pri izvođenju pokusa vrlo je bitno paziti na to da se sve izvodi prema planu.
Greške u ovom dijelu pokusa uništavaju vjerodostojnost pokusa. Planiranje
unaprijed je od velike važnosti za uspjeh pokusa.
6) Statistička analiza podataka
Statistička analiza podataka se koristi da bi se dobili objektivni rezultati i zaključci.
Ako je pokus dobro isplaniran i dobro izveden, ne treba napraviti elaborat
statističke analize. Ima mnogo odličnih softverskih paketa koji pomažu u analizi
podataka. Često dolazimo do zaključka da su grafičke metode vrlo važne u analizi
i interpretaciji. Trebamo zapamtiti da statističke metode ne osiguravaju da faktor
(ili faktori) imaju određeni utjecaj. Oni jedino pružaju smjernice pouzdanosti i
vjerodostojnosti pokusa.
7) Zaključci i preporuke
Nakon što su podaci analizirani, istraživač mora dati praktične zaključke i
preporuke za dobivene rezultate i potrebne korake koji se moraju poduzeti za
poboljšanje procesa. Tijekom cjelokupnog procesa je vrlo važno imati na umu da
je istraživanje dio procesa učenja gdje mi stvaramo hipoteze o sustavu, provodimo
pokuse za istraživanje tih hipoteza i na osnovu toga radimo rezultirajuće hipoteze.
Iz ovoga zaključujemo da je proces iterativan. Obično je greška napraviti jedan
ogroman plan na početku istraživanja. Uspješan pokus zahtjeva znanja o važnim
faktorima, domena u kojima te faktore koristimo te pravilno mjerenje tih faktora.
Generalno, mi ne znamo odgovor na sva ta pitanja, ali dobivamo odgovore tijekom
izvođenja procesa. pokus se odvija u fazama i ne bi smjeli iskoristiti više od 25%
8
iskoristivih resursa u prvom pokusu. To nam osigurava da imamo dovoljno resursa
da taj pokus izvedemo onoliko puta koliko nam je potrebno i tako dobijemo
objektivan zaključak o cjelokupnom procesu.
9
5. POTPUNI PLAN POKUSA (FAKTORIJALNI PLAN POKUSA)
U faktorijalnom planiranju proučavamo utjecaj promjene razina različitih faktora
na proces. Svako ponovno ispitivanje ili replikacija uzima u obzir sve moguće
kombinacije promjena razina faktora. Učinkovito faktorijalno planiranje osigurava
da se uz najmanji broj provedenih pokusa generira maksimalna količina
informacija o tome kako ulazne varijable utječu na izlazne podatke procesa.
Broj izvedenih pokusa ovisi o broju faktora, ako imamo 3 faktora tada će broj
pokusa biti 23 tj. 8 pokusa ili ako imamo 5 faktora tada će biti 25 tj. 32 pokusa i
slično. Više od 5 faktora se kod potpunog plana ne preporuča zbog obujma
pokusa.
Iznos promjena izlaznih podataka procesa uzrokovanih promjenom razine
danog faktora naziva se ‘glavni učinak’ faktora.
Primjerice, promatrajmo jednostavni pokus prikazan na slici 2 prikazan je
potpuni plan pokusa sa dvije razine dvaju faktora, A i B. Razine faktora nazivamo
‘niska’ i visoka’ i označavamo ih sa ‘-‘ i ‘+’.
Slika 2 Grafički prikaz potpunog plana pokusa 22
10
Faktore možemo prikazati i kao kodirane (sa ‘-’ i ‘+’) u matrici procesa.
Glavni utjecajiIzlazni
podaci
A B Y
- - y1=20
+ - y2=40
- + y3=30
+ + y4=52
Tablica 1 Matrica kodiranih vrijednosti glavnih utjecaja
Glavni učinak faktora A ovdje je razlika između prosječne vrijednosti utjecaja
(odziva) faktora A (na izlaze procesa) na najnižoj razini i prosječne vrijednosti
odziva A na najvišoj razini.
A=y2+ y42
−y1+ y32
Brojčano, to izgleda:
A=40+522
−20+302
=21
Povećavanje faktora A od niske prema visokoj razini uzrokuje prosječno
povećanje odziva za dvadeset i jednu jedinicu.
S obzirom na to, glavni učinak faktora B je:
B=y3+ y42
−y1+ y22
B=30+522
−20+402
=11
Zaključujemo kako faktor A ima veći odziv na izlazne podatke procesa budući
da je njegov glavni učinak jednak dvadeset i jedan za razliku od glavnog učinka
faktora B koji je jedanaest.
11
Kod nekih eksperimenata događa se da je razlika odziva između razina jednog
faktora nije ista na svim razinama drugih faktora. To znači da je dolazi do
međudjelovanja faktora. Promatrajmo faktorijalni plan sa dva faktora kao što je
prikazan na slici 3:
Slika 3 Grafički prikaz potpunog plana pokusa 22
Pri nižoj razini faktora B (B-), utjecaj A jest:
A=50−20=30
Pri višoj razini faktora B (B+), utjecaj A jest:
A=12−40=−28
Zbog toga što utjecaj faktora A ovisi o odabranoj razini faktora B zaključuje se da
postoji međudjelovanje A i B. Razina učinka međudjelovanja jednaka je razlici
između ova dva A učinka:
AB=(−28−30)
2=−29
Međudjelovanje ova dva faktora je veliko.
12
Ove ideje mogu biti prikazane grafički. Slika 4 prikazuje odziv faktora A sa
slike 2 za obje razine faktora B. Slika 5 prikazuje odziv faktora A sa slike 3 za obje
razine faktora B. Linije na slici 5 nisu paralelne što ukazuje na međudjelovanje A i
B.
Slika 4 Odziv faktora A bez međudjelovanja faktora B
Slika 5 Odziv faktora A sa međudjelovanjem faktora B
Grafovi poput ovih povremeno su veoma korisni no ne bi se trebali koristiti kao
isključiva tehnika za analizu podataka jer je njihova interpretacija subjektivna, a
pojava često navodi na pogrešno mišljenje. Zato postoji drugo ilustrativno rješenje.
Pretpostavimo da su oba faktora kvantitativna (poput temperature, tlaka, vremena
i sl.). Tada bi regresijski model prikazivanja za faktorijalni plan s dva faktora bio
zapisan kao:
y=β0+β1 x1+β2 x2+β12 x1 x2+∈,
gdje je y odziv, βn parametri regresija čije vrijednosti moramo odrediti, x1 je
varijabla koja predstavlja faktor A, x2 je varijabla koja predstavlja faktor B i є
oznaka nasumične pogreške. Varijable x1 i x2 definirane su kodiranom skalom od -
1 do +1 (najniže i najviše razine A i B), a x1 x2 predstavlja međudjelovanje između
13
x1 i x2. U ovakvom regresijskom modelu, procjena parametara povezana je sa
procjenom učinaka. Za slučaj na slici 2 tj. prema pronađenim glavnim učincima
A=21 i B=11, odgovarajući parametri β1 i β2 dobiveni su kao ½ glavnih učinaka.
β1=10.5 i β2=5.5. Učinak međudjelovanja AB=1 pa je koeficijent međudjelovanja u
regresijskom modelu β12=0,5 . Parametar βo procjenjuje se kao prosječna
vrijednost sva četiri odziva, β0=35.5. Shodno tome, regresijski model izgleda:
y=35.5+10.5x1+5.5 x2+0.5x1 x2
Preko regresijskog modela uz pomoć odgovarajućih softvera moguće je dobiti
trodimenzionalni prikaz koji nazivamo grafom odzivne površine kao i konturne linije
konstantnih odziva.
Analogija rješavanja potpunog plana pokusa sa više faktora, odnosno
dobivanja glavnih utjecaja i međudjelovanja je ista kao i kod primjera sa dvije
razine i dva faktora. Planiranje pokusa na dvije razine sa tri faktora (23) može se
grafički prikazati pomoću kocke (slika 6).
Slika 6 Grafički prikaz potpunog plana pokusa 23
14
U matričnoj kodiranoj formi ovakav plan sa izlaznim vrijednostima možemo
prikazati (tablica 2):
Glavni utjecajiIzlazni
podaci
A B C Y
- - - y1 1
+ - - y2 a
- + - y3 b
+ + - y4 ab
- - + y5 c
+ - + y6 ac
- + + y7 bc
+ + + y8 abc
Tablica 2 Matrica kodiranih vrijednosti glavnih utjecaja za potpuni plan pokusa 23
U ovakvom pokusu sukladno sa prethodno prikazanim 22 pokusom glavni utjecaj A
može se izračunati prema formuli:
A=y2+ y4+ y6+ y8
4−y1+ y3+ y5+ y7
4
Na isti način dobivaju se glavni utjecaji B i C.
Računanje međudjelovanja AB može se prikazati pomoću matrice (tablica 3).
Od srednje vrijednosti svih umnožaka faktora A i B koji daju pozitivnu vrijednost
izlaza Y oduzmemo srednju vrijednost svih umnožaka koji daju negativnu
vrijednost izlaza Y.
15
Glavni utjecajiIzlazni
podaci
A B AB C AC BC ABC Y
- - + - + + - y1 1
+ - - - - + + y2 a
- + - - + - + y3 b
+ + + - - - - y4 c
- - + + - - + y5 ab
+ - - + + - - y6 ac
- + - + - + - y7 bc
+ + + + + + + y8 abc
Tablica 3 Matrica kodiranih vrijednosti glavnih utjecaja i međudjelovanja za 23
AB=y1+ y4+ y5+ y8
4−y2+ y3+ y6+ y7
4
Na isti način dobivamo međudjelovanja AC, BC i ABC.
Budući da postoje tri glavna utjecaja (A, B, C), tri međudjelovanja dvaju faktora
(AB, AC, BC) i međudjelovanje triju faktora (ABC). Regresijski model za ovaj
slučaj glasi:
y=β0+β1 x1+β2 x2+β3 x3+β12 x1 x2+β13 x1 x3+ β23 x2 x3+β123 x1 x2 x3+∈,
pri čemu regresijski koeficijent β0 dobivamo kao srednju vrijednost svih izlaza y, a
ostale regresijske koeficijente dobivamo kao polovice vrijednosti odgovarajućih
glavnih utjecaja odnosno međudjelovanja.
Osim potpunog plana pokusa sa dvije razine i određenim brojem faktora
postoji i potpuni plan pokusa sa tri razine i određenim brojem faktora (3k). Kod
takvog planiranja pokusa svaki faktor promatra se na tri razine: niskoj, srednjoj i
visokoj, a razine faktora kodirane su kao 0, 1 i 2. Potpuni plan pokusa sa tri razine
i k faktora se koristi za istraživanje kvadratne veze između odziva i svakog
pojedinog faktora.
Najznačajniji posebni slučaj potpunog plana pokusa je onaj koji smo već
spomenuli, sa k faktora od kojih svaki ima samo dvije razine. Razine mogu biti
16
kvantitativne (temperatura, tlak, vrijeme) ili kvalitativne (dva stroja, 'niska' i 'visoka'
razina faktora i sl.). Ukupni broj ponavljanja kod takvog planiranja pokusa iznosi
2x2x2x...x2=2k promatranja i naziva se 2k planiranje pokusa (2k faktorijalno
planiranje).
5.1. PRIMJER POTPUNOG PLANA POKUSA 24
Za prikaz potpunog plana pokusa 24 (16 pokusa) koristit ćemo primjer kemijske
promjene koje se odvijaju u tlačnom spremniku. Imamo četiri glavna utjecajna
faktora koji su: temperature (A), tlak (B), koncentracija formaldehida (C), i brzinu
miješanja (D). Zadatak je postići maksimalnu razinu filtracije. Trenutni uvjeti daju
75 l/h. Proces trenutno koristi visoku razinu formaldehida. Cilj nam je reducirati
razinu formaldehida.
Planiranje pokusa na dvije razine sa četiri faktora (24) može se grafički prikazati
pomoću dvije kocke (slika 7).
Slika 7 Grafički prikaz 24 plana pokusa
17
Matrični kodirani prikaz ovog pokusa sukladan zadanoj slici 7 je u obliku tablice 4:
Glavni utjecajiIzlazni
podaci
A B C D Y
1 - - - - 45 1
2 + - - - 71 a
3 - + - - 48 b
4 + + - - 65 ab
5 - - + - 68 c
6 + - + - 60 ac
7 - + + - 80 bc
8 + + + - 65 abc
9 - - - + 43 d
10 + - - + 100 ad
11 - + - + 45 bd
12 + + - + 104 abd
13 - - + + 75 cd
14 + - + + 86 acd
15 - + + + 70 bcd
16 + + + + 96 abcd
Tablica 4 Matrica kodiranih vrijednosti glavnih utjecaja 24 plana pokusa
Za ovaj primjer koristili smo softverski program ‘Minitab’ kako bi skratili
postupak računanja i dobili odgovarajući grafički prikaz procesa.
Matrični kodirani oblik niskih i visokih razina glavnih utjecaja kao i izlazni podaci
dobiveni u jednom ponavljanju pokusa u ‘Minitab-u’ izgledaju ovako (slika 8):
18
Slika 8 Matrični kodirani oblik niskih i visokih razina glavnih utjecaja i izlazni podaci
u Minitabu
Slijedeće, u Minitabu računamo vrijednosti glavnih utjecaja te međudjelovanja
faktora (slika 9).
Slika 9 Vrijednosti glavnih utjecaja i međudjelovanja te regresijski koeficijenti
Vrijednosti glavnih utjecaja prikazane su u stupcu ‘Effect’, a u stupcu ‘Coeff’
prikazani su regresijski koeficijenti β. Pomoću funkcije ‘Probability plot’ dobivamo
grafički prikaz efekata pri čemu su faktori koji leže duž linije tj. u njenoj
neposrednoj blizini su zanemarivi dok su oni najudaljeniji utjecaji utjecaji koji imaju
najveću važnost (slika 10).
19
20100-10-20
99
95
90
80
70605040
30
20
10
5
1
Effect
Perc
ent
A AB B
C CD D
Factor Name
Not SignificantSignificant
Effect Type
AD
AC
DC
A
Normal Plot potpunog plana pokusa(response is Razina filtracije, Alpha = 0,05)
Lenth's PSE = 2,625
Slika 10 Normal plot potpunog plana pokusa
Vidljivo je da najznačajniji utjecaj na proces imaju glavni utjecaju A, C, D i
međudjelovanja AC i AD.
Sva tri glavna utjecaja su pozitivna i ako u obzir uzmemo samo njih bilo bi
potrebno podesiti ih na visoku razinu kako bi razina filtracije bila maksimalna.
Međutim, uvijek je potrebno uzeti u obzir međudjelovanja glavnih utjecaja. Grafički
prikaz glavnih utjecaja i međudjelovanja prikazani su na slikama 11 i 12.
1-1
80
75
70
65
60
1-1
1-1
80
75
70
65
60
1-1
A
Mean
B
C D
Glavni utjecajiData Means
Slika 11 Glavni utjecaji potpunog plana pokusa
20
1-1 1-1 1-1100
75
50100
75
50100
75
50
A
B
C
D
-11
A
-11
B
-11
C
Međudjelovanja potpunog plana pokusaData Means
Slika 12 Međudjelovanja potpunog plana pokusa
Sa slike 12 vidljivo je da su kod međudjelovanja AB, BC, BD, CD linije
utjecaja gotovo paralelne iz čega se zaključuje da ta međudjelovanja nisu
značajna za razliku od međudjelovanja AC i AD kod kojih se zaključuje suprotno.
Kod AC međudjelovanja može se uočiti da je utjecaj temperature mali kada je
koncentracija pri visokoj razini, a velik kada je koncentracija pri niskoj razini.
Najbolji rezultati dobiti će se sa niskom koncentracijom pri visokoj temperaturi. Kod
AD međudjelovanja može se uočiti da je utjecaj brzine miješanja mali pri niskoj
temperaturi, a veliki pri visokoj temperaturi. Najbolji rezultat filtracije dobiti će se pri
visokoj temperaturi i brzini miješanja te niskoj koncentraciji formaldehida. Ovo
dozvoljava redukciju formaldehida što je i krajnji cilj pokusa.
Nakon zaključaka o značajnosti glavnih utjecaja i međudjelovanja dobivamo
regresijski model:
y=70.06+21.6252
∙ x1+9.8752
∙ x3+14.6252
∙ x4−18.1252
∙ x1 x3+16.6252
∙ x1 x4
21
Od ove regresijske jednadžbe pomoći 'Minitaba' dobivamo graf konturnih linija
(slika 13).
C*A
1,00,50,0-0,5-1,0
1,0
0,5
0,0
-0,5
-1,0
D*A
1,00,50,0-0,5-1,0
1,0
0,5
0,0
-0,5
-1,0
D*C
1,00,50,0-0,5-1,0
1,0
0,5
0,0
-0,5
-1,0
A -1C -1D -1
Hold Values
> – – – – – < 50
50 6060 7070 8080 9090 100
100
Rate
Konturne linije potpunog plana pokusa
Slika 13 Konturne linije potpunog plana pokusa
Tamo gdje nema krivulja nema ni međudjelovanja (DC). Kod CA možemo
uočiti da pri niskoj koncentraciji dobivamo značajnu promjenu, a pri visokoj
koncentraciji promjena je zanemariva.
Također pomoću ‘Minitaba’ možemo dobiti prikaz odzivne površine koja može
olakšati interpretaciju međudjelovanja (slika 14).
22
50
60
-1-10
-1
70
1
0
-11
Rate
C
A
40
60
80
-1-10
-1
80
100
-11
0
1
Rate
D
A
40
50
60
-1-10
-1
70
1
0
-11
Rate
D
C
A -1C -1D -1
Hold Values
Odzivne površine potpunog plana pokusa
Slika 14 Odzivne površine potpunog plana pokusa
Zaključujemo kako ukoliko želimo maksimizirati razinu filtracije, varijable A i D
moraju biti pri visokim razinama.
23
6. DJELOMIČNI PLAN POKUSA
Broj pokusa potpunih planova eksponencijalno raste s povećavanjem broja
čimbenika. Na primjer, za 5 čimbenika variranih na dvije razine potrebno je 32
pokusa (25), dok je za 6 čimbenika potrebno 64 pokusa (26). Ako osoba koja vrši
eksperimente može pretpostaviti da su određeni utjecaji višeg reda interakcija se
mogu zanemariti te da su dovoljne informacije utjecaja glavnih čimbenika i da su
za eksperiment dovoljne interakcije nižih redova čimbenika tada se može koristiti
djelomični plan pokusa.
Djelomični plan pokusa je među najčešće korištenim tipovima metoda za
planiranje pokusa. Najčešće se koristi kod analitičkih analiza. U tim se
eksperimentima uzima se u obzir velik broj čimbenika u svrhu utvrđivanja onih
čimbenika koji imaju najviše utjecaja. Zato, ukoliko je broj čimbenika relativno
velik, željene preliminarne informacije se mogu dobiti upotrebom samo pojedinog
dijela potpunog plana, ako se međudjelovanja višeg reda (između više od dva
čimbenika) mogu zanemariti. Pri tome se zanemaruju utjecaji međudjelovanja
između tri i više čimbenika i promatra se utjecaj samo pojedinačnih čimbenika i
eventualno međudjelovanja prvog reda. Na taj je način moguće odabrati dio
potpunog plana i izostaviti određene pokuse. Broj pokusa je u tom slučaju N = 2 k-l,
gdje je k ukupni broj čimbenika i l cijeli broj koji ukazuje na nepotpunost plana. Za l
= 0, faktorijalni plan je potpun. U načelu, izabire se 1/2 , 1/4, 1/8 itd. potpunog
plana, pri čemu izabrani kandidati trebaju biti uravnoteženi i ortogonalni. Pri
konstrukciji 2 k-l matrice polazi se od 2 k matrice u kojoj je l čimbenika zamijenjena
s određenim međudjelovanjima.
6.1.REZOLUCIJA DJELOMIČNIH PLANOVA POKUSA
Rezolucija djelomičnih faktorijalnih planova govori u kojoj mjeri su
međudjelovanja žrtvovana za procjenu novih čimbenika i označuje se rimskim
brojevima. Najčešće korištene rezolucije su III, IV i V.
Pri rezoluciji III glavni utjecaji nisu zamijenjeni s ostalim glavnim utjecajima, ali
su glavni utjecaji zamijenjeni su međudjelovanjem drugog reda. Kod rezolucije IV
glavni utjecaji nisu zamijenjeni s drugim glavnim utjecajima ili s međudjelovanjima
24
drugog reda, ali su međudjelovanja drugog reda zamijenjena s drugim
međudjelovanjem drugog reda. Kod rezolucije V međudjelovanja drugog reda su
zamijenjena s međudjelovanjem trećeg reda.
U tablici su prikazane korisne rezolucije za izradu djelomičnog plana pokusa.
Broj
čimbenika (k)
Specifikacija
plana
Rezolucij
a
Broj pokusa
(N)
3 23-1 III 4
4 24-1 IV 8
5 25-1 V 16
5 25-2 III 8
6 26-1 VI 32
6 26-2 IV 16
6 26-3 III 8
7 27-1 VII 64
7 27-2 IV 32
7 27-3 IV 16
7 27-4 III 8
Tablica 5 Korisne rezolucije za izradu djelomičnog plana pokusa
U skladu s time, potpuni faktorijalni planovi imaju rezoluciju „beskonačno“. Na
slici 15 je ilustriran princip konstrukcije djelomičnih planova na primjeru 2 3-1 plana.
Plan se sastoji od polovice pokusa 23 potpunog plana (2 3-1=2 3/2=22). Pri tome je
treći čimbenik (C) zamijenjen s međudjelovanjem (AB).
(a) (b)
Slika 15 Grafički prikaz plana s tri čimbenika na dvije razine: (a) 23 punog faktorijalnog
plana i (b) 2 3-1 djelomičnog faktorijalnog plana
25
Na drugi način promatrano, 23-1 djelomični plan se može shvatiti kao 22 plan
(dva čimbenika na dvije razine), ali uz dodatak još jedne dimenzije - treći čimbenik.
Navedeni plan ima rezoluciju III. Kod većeg broja čimbenika postoji mogućnost
odabira rezolucije ovisno o broju pokusa.
6.2. KONSTRUIRANJE 1/2 PLANA POKUSA
Kod situacija u kojoj imamo tri faktora na dvije razine koje su od važnosti, a
nemamo dovoljno resursa za testiranje svih kombinacija (23=8) nego na primjer za
1/2 pokusa, tada se koristi polovina faktorijalnog plana (23-1). Tablica 6 prikazuje
matrični kodirani potpuni plan pokusa na dvije razine s tri faktora čije su
kombinacije poslagane tako da ABC u prvoj polovici ima sve visoke razine
međudjelovanja, a u drugoj sve niske.
Kombinacij
e
Glavni utjecaji
I A B CA
B
A
C
B
C
AB
C
a + + - - - - + +
b + - + - + - +
c + - - + + - - +
abc + + + + + + + +
ab + + + - + - - -
ac + + - + - + - -
bc + - + + - - + -
(1) + - - - + + + -
Tablica 6 Razine čimbenika
Na tako konstruiranoj matrici odabiremo jednu od polovica matrice kao temelj
za formiranje polovičnog plana pokusa (23-1). Uobičajeno je odabrati onu polovicu
matrice u kojoj međudjelovanje ABC ima sve pozitivne vrijednosti isto kao i
identifikacijski stupac I. Iz toga slijedi da je I=ABC što nam predstavlja definirajuću
relaciju za formiranje polovičnog 23-1 plana pokusa. Moguće je odabrati i donju
polovicu matrice gdje međudjelovanje ABC ima niske razine i u tom slučaju
I = - ABC. U praksi se najčešće koristi prva navedena relacija.
26
Grafički prikaz ovakvog plana pokusa prikazan je na slici 16.
Slika 16 Grafički prikaz 23-1 djelomičnog plana pokusa
Prema tablici 6 glavni učinci A, B i C se dobiju prema slijedećim relacijama:
lA=12
(a−b−c+abc )
lB=12
(−a+b−c+abc )
lC=12(−a−b+c+abc )
Može se zamijetiti da su utjecaji međudjelovanja jednaki glavnim utjecajima:
lBC=12
(a−b−c+abc )
lAC=12
(−a+b−c+abc )
lAB=12(−a−b+c+abc )
Prema tome zaključujemo da je lA = lBC, lB = lAC i lC = lAB stoga je nemoguće razlikovati
A i BC, B i AC i C i AB. Kada radimo procjenu glavnih utjecaja A, B, i C zapravo
27
procjenjujemo A+BC, B+AC, C+AB. Dva ili više čimbenika koji imaju ovo svojstvo
nazivaju se aliasi. U našem slučaju A i BC su aliasi, B i AC su aliasi i C i AB su
aliasi. Ovo svojstvo se može isto tako odrediti preko identifikacijskog faktora I:
A · I = A · ABC = A2BC
Budući da je kvadrat bilo kojeg stupca jednak identifikacijskom stupcu I proizlazi
da je:
A = BC
6.3.PRIMJER POLOVIČNOG 24-1 DJELOMIČNOG PLANA POKUSA
Za ovaj primjer koristit ćemo iste podatke kao i kod primjera za potpuni plan
pokusa 24. U potpunom planu smo zaključili da su glavni utjecaji A,C i D i
međudjelovanja AC i AD najznačajniji. Sada ćemo vidjeti rezultate pokusa
dobivene s 8 pokusa za razliku od 16 pokusa izvedenih kod potpunog djelomičnog
plana. Ovaj djelomični plan ima rezoluciju IV (I=ABCD). Prvo moramo dizajnirati
osnovni potpuni plan pokusa 23 kao što je prikazano u tablici 7:
A B CD=AB
C
Kombinacij
e
Izlazni
podaci
1 - - - - (1) 45
2 + - - + ad 100
3 - + - + bd 45
4 + + - - ab 65
5 - - + + cd 75
6 + - + - ac 60
7 - + + - bc 80
8 + + + + abcd 96
Tablica 7 Kodirana matrica za izradu djelomičnog plana pokusa 24-1
Kao što vidimo iz tablice 7, imamo tri glavna faktora i dodatni faktor D koji je
alias s međudjelovanjem ABC (D=ABC). Kod ovog djelomičnog plana pokusa
aliasi su A=BCD, B=ACD, C=ABD i već spomenuti D=ABC. Aliasi drugog reda su
28
AB=CD, AC=BD, BC=AD. Prema već riješenom primjeru potpunog 24 plana
pokusa uzimamo odgovarajuće podatke filtracije prema dobivenim kombinacija iz
kodirane matrice npr. Pri niskoj razini A, B, C, i D (kombinacija (1)) razina filtracije
je 45.
Procjene glavnih efekata računaju se kao glavni efekti kod potpunog plana
pokusa. Za procjenu efekta A, prema tablici formula glasi:
lA=14(−(1 )+ad−bd+ab−cd+ac−bc+abcd)
lA=14
(−45+100−45+65−75+60−80+96 )
lA=19.00→ A+BCD
Prema tablici 7, formula za dobivanje procjene vrijednosti međudjelovanja AB
glasi:
lAB=14
((1 )−ad−bd+ab+cd−ac−bc+abcd)
lAB=14
(45−100−45+65+75−60−80+96 )
lAB=−1.00→AB+CD
Pomoću softverskog paketa 'Minitab' procijenili smo ostale glavne utjecaje i
međudjelovanja (slika 17).
Slika 17 Vrijednosti glavnih utjecaja i međudjelovanja te regresijski koeficijenti
Budući da iz poglavlja 5 imamo riješen potpuni plan pokusa za ovaj primjer
znamo da vrijednost glavnog utjecaja A iznosi 21.625, a vrijednost međudjelovanja
BCD iznosi -2.625 što potvrđuje da je njihov zbroj (A+BCD) jednak našoj procjeni
29
glavnog utjecaja A (lA). Iz ove procjene glavnih utjecaja i međudjelovanja vidljivo
je, sukladno dobivenim rezultatima u potpunom planu pokusa, da su glavni utjecaji
A, C i D i međudjelovanja AC i AD najznačajnija. Prema tome glavni utjecaj B je
zanemariv i na slici 18 je dan grafički prikaz glavnih utjecaja i međudjelovanja
dobiven u 'Minitabu'.
1
-1
1
-1
1-1
D
C
A
96
10045
75
60
6545
80
Cube Plot za djelomični plan pokusa
Slika 18 Cube plot – prikaz glavnih utjecaja međudjelovanja
Iz grafičkog prikaza zaključujemo da kada je temperatura (A) na niskoj razini,
koncentracija (C) ima visoku vrijednost. A kada je temperatura (A) na visokoj
razini, koncentracija (C) se beznačajno mijenja zbog međudjelovanja AC. Isto
tako, kada je temperatura (A) na niskoj razini, brzina miješanja (D) je zanemariva,
a kada je temperatura (A) na visokoj razini, razina brzine miješanja (D) je visoka
zbog međudjelovanja AD.
Odgovarajući regresijski model glasi:
y=70.75+ 192∙ x1+
142∙ x3+
16.52∙ x4−
18.52∙ x1 x3+
192∙ x1 x4
Iz ovog regresijskog modela pomoću 'Minitaba' dobivamo ogovarajuće grafičke
prikaze odziva površina i konturnih linija (slike 19 i 20).
30
C*A
1,00,50,0-0,5-1,0
1,0
0,5
0,0
-0,5
-1,0
D*A
1,00,50,0-0,5-1,0
1,0
0,5
0,0
-0,5
-1,0
D*C
1,00,50,0-0,5-1,0
1,0
0,5
0,0
-0,5
-1,0
A -1C -1D -1
Hold Values
> – – – – – < 50
50 6060 7070 8080 9090 100
100
C9
Konturne linije djelomičnog plana pokusa
Slika 19 Konturne linije potpunog plana pokusa
50
60
70
-1-10
-1
70
80
-11
0
1
C9
C
A
40
60
80
-1-10
-1
80
100
-11
0
1
C9
D
A
50
60
70
-1-10
-1
70
80
1
0
-11
C9
D
C
A -1C -1D -1
Hold Values
Odzivne površine djelomičnog plana pokusa
Slika 20 Odzivne površine potpunog plana pokusa
Ovi grafički prikazi koriste se za lakšu interpretaciju dobivenih rezultata.
31
Ponovno zaključujemo, kao i kod potpunog plana pokusa, da ako želimo
maksimizirati razinu filtracije, varijable A i D moraju biti pri visokim razinama.
7. OSTALE METODE PLANIRANJA POKUSA
7.1. METODA ODZIVNE POVRŠINE
Metodologija odzivne površine (engl. Response Surface Methodology, RSM)
je sažetak matematičkih i statističkih metoda kojima se modeliraju i analiziraju
utjecaji nekoliko faktora (nezavisne varijable) na promatrani odziv. Kada se
jednom ustanovi zakonitost ili odnos nezavisnih varijabli preko matematičkog
oblika, odzivne funkcije, takav oblik opisa pojave može poslužiti za donošenje
konkretnih zaključaka o prirodi pojave i biti dobrom podlogom optimiranju poznatim
metodama optimizacije. U prošlom stoljeću RSM se razvijao na području pokusa
vezanih za istraživanje procesa u kemijskoj industriji, nakon čega se uporaba
proširila i na ostala područja industrijskih i znanstveno istraživačkih područja,
posebice u područjima razvoja novih materijala i postupaka. Stoga se može
zaključiti da je metoda odzivne površine postala jednim od osnovnih alata u
planiranju i analizi pokusa. Danas je nezamislivo planirano eksperimentiranje bez
uporabe suvremenih programskih paketa koji se bave područjem planiranja i
analize pokusa, a sadržavaju tehnike planiranja i optimizacije koje su bazirane na
metodologiji odzivne površine.
7.1.1. Koncept metodologije odzivne površine
Osnovna ideja metodologije odzivne površine jest dobiti odnos utjecajnih
(nezavisnih) faktora na zavisnu varijablu (odziv) kroz odzivnu funkciju. Također je
moguće razlučiti efekte pojedinih članova modela, kao glavne efekte ili interakcije.
Kao uvjet za uporabu RSM-a trebaju postojati barem dvije nezavisne varijable (x1 i
x2) i jedna zavisna varijabla (y). Rezultat procesa (zavisne varijable) je moguće
formulirati preko izraza:
y=f (x1 , x2 )+ε
gdje je ε pogreška ili šum koji se javlja u odzivu y. Nadalje, očekivana vrijednost
odziva može se formulirati preko sljedećeg izraza:
32
E( y)=f (x1 , x2 )
To je ujedno i oblik odzivne površine. Odzivna površina može se i prikazuje se
grafički u cijelom eksperimentalnom području, području mogućih kombinacija
faktora.
Na slici 21 je prikazan primjer odzivne površine samo s dva faktora zbog
jednostavnosti prikaza. Kako bi se lakše vizualizirala odzivna površina
dvodimenzionalnim prikazom, upotrebljava se i konturni dijagram. U suštini
konturni dijagram daje konture odzivne površine kao što je i prikazano na slici 22.
Slika 21 Primjer odzivne površine (slučaj s dva faktora)
33
Slika 22 Konturni dijagram odzivne površine
Linije konstantnog odziva (konture) su nacrtane u ravnini x1x2. Svaka
kontura odgovara određenoj vrijednosti (visini) odzivne površine. Prikaz kontura je
koristan u proučavanju promjena razina x1 i x2 koje rezultiraju promjenom oblika ili
visine odzivne površine, a koristit će se u daljnjem radu i pri prikazivanju ostalih
parametara poput standardne pogreške.
U većini RSM problema, oblik veze između odziva i nezavisnih varijabli je
nepoznat. Prema tome, prvi korak u RSM metodi je traženje odgovarajuće
aproksimacijske veze у i nezavisnih varijabli. Obično se koristi polinom nižeg reda
u odgovarajućim područjima nezavisnih varijabli xi. Ako je odziv moguće dobro
modelirati linearnom funkcijom nezavisnih varijabli, tada je aproksimacijska
funkcija model prvog reda:
y=β0+β1 x1+β2 x2+…βk xk+ε
U slučaju da postoji nelinearnost i da linearna funkcija nije odgovarajuća
aproksimacija odziva potrebno je koristiti polinom višeg stupnja. Budući da je to
tipičan slučaj u praksi, najčešće će se upotrebljavati model odziva drugog reda:
y=β0+∑i=1
k
β i xi+∑i=1
k
β ii x i2+∑
i< j∑j=2β ij x i x j+ε
Naravno, malo je vjerojatno da će model polinoma biti prihvatljiva
aproksimacija odziva za cijelo područje nezavisnih varijabli, a izvan područja
eksperimentalnog prostora. Stoga je funkcija odziva određena granicama
eksperimentalnog prostora.
U većini literature, navodi se kako se funkcija odziva može koristiti na
području eksperimentalnog prostora te jedan određeni dio izvan njega
(ekstrapolacija), i to 10 15%. Tu činjenicu je moguće potkrijepiti i razvojem
standardne pogreške modela preko eksperimentalnog prostora čiji oblik pokazuje
trend iznimnog povećanja nepreciznosti izlaskom iz definiranog prostora
eksperimentiranja. Područje eksperimentalnog prostora je poželjno što detaljnije
opisati, upotrebom dovoljno guste mreže. U praksi postaje neizvedivo imati gustu
34
mrežu (kombinacija faktora i vrijednost odziva) koja generira preveliki broj
eksperimentalnih točaka. Iz tog razloga će polazište biti u minimalnom potrebnom
broju eksperimentalnih točaka, što za posljedicu ima i smanjenje utroška resursa.
Bit metode određivanja koeficijenata jest metoda minimiziranja sume
kvadrata odstupanja. Procjene koeficijenata β su vrijednosti parametara koje
minimiziraju sumu kvadrata modela. Nakon određivanja koeficijenata funkcije
odziva radi se analiza i test adekvatnosti odzivne funkcije (odzivne površine). Ako
je prikladna površina dobra aproksimacija stvarne odzivne funkcije, tada će
analiza prikladne površine biti jednaka analizi cijeloga sustava (procesa).
Konačni cilj RSM-a je određivanje optimalnih uvjeta procesa i sustava, ili
utvrđivanje područja faktora u kojem su radne specifikacije ili ograničenja
zadovoljena.
7.2.TAGUCHIJEVA METODA
Tijekom 1980-tih Genichi Taguchi (1986; 1987) razvio je metodu za
pronalaženje produkata proizvodnje visoke kvalitete bez obzira na varijacije
procesnih parametara. Takvi procesi se nazivaju robusnim procesima, budući da
su neosjetljivi na šumove. Kad kažemo robustan, mislimo na proizvod ili proces
koji se ponaša neprestano onako kako od njega tražimo i koji je relativno
neosjetljiv na čimbenike koje je teško kontrolirati. Metoda je vrlo popularna u
industriji radi jednostavnosti pristupa i potakla je razvoj nove proizvodne filozofije.
Ova metoda definira idealnu kvalitetu, funkciju gubitka kvalitete i robustan dizajn.
Glavna ideja Taguchijeve metodologije je primjena tehnika planiranja
pokusa s ciljem definiranja razina kontroliranih čimbenika koji čine proces
robusnim i uz prisutnost nekontroliranih čimbenika (šumova). Pri tome prisutni
šumovi imaju velik utjecaj na odziv procesa, odnosno kvalitetu proizvoda, a nije ih
moguće kontrolirati ili je ekonomski prezahtjevno da se održavaju na određenoj
konstantnoj vrijednosti. Šumovi su glavni razlog pojave varijacije u sustavu.
Taguchijevom metodom se kvaliteta produkta definira kao odstupanje, odnosno
devijacija stanovitog odziva od željene vrijednosti.
Pokusi se provode na način da se utvrdi raspon varijabilnosti nastao kao
posljedica variranja kontroliranih čimbenika i nekontroliranih čimbenika (šumova).
Taguchi preporuča korištenje ortogonalne matrice plana pokusa, potpuni plan
35
pokusa, jedan za svaki od dvije grupe čimbenika (kontrolirane varijable i šumovi).
Za razliku od tradicionalnog Fisher-ovog pristupa koji podrazumijeva da se greška
distribuira nasumično unutar plana, Taguchijev plan omogućuje analizu utjecaja
greške (šumova) na odziv.
Razine procesnih parametra formiraju takozvanu unutarnju matricu, dok
potpuni plan šumova čini vanjsku matricu. Vanjska matrica se sastoji od četiri
retka, n=22 (2-razine, 3-čimbenika potpuni plan), dok unutarnja matrica ima osam
stupaca, m=23 (2-razine, 3-čimbenika potpuni plan). Takav Tagucijev plan je
slikovito prikazan kao klasični plan kontroliranih čimbenika koji čini unutarnju
matricu, uz dodatak vanjske matrice šumova u svaki kut unutarnje matrice (slika
23).
Slika 23 Dijagram vanjske matrice 22 uvjeta šumova (E) i unutarnje matrice 23 uvjeta
procesnih parametara (X) Taguchijevog plana pokusa
Na taj način, imamo 22×23=32 definirana eksperimentalna uvjeta i odziv
procesa se motri za svaki set uvjeta (yij), te se računa signal-šum omjer (S/N) za
svaku točku unutarnje matrice. Pri tome, kombinacija razina kontroliranih
čimbenika koja odgovara najvećoj vrijednosti S/N predstavlja najrobusnije uvjete
proizvodnje u granicama ispitivanih utjecaja šumova.
Postoje tri formulacije S/N prema Taguchiju:
1. Manje je bolje – u slučajevima kada je ciljana vrijednost odziva oko nule
(npr. emisija štetnih plinova, potrošnja energije):
36
(S/N ) J=−10 log 1n∑i=1
n
[ yij2 ] , j=1…m
2. Više je bolje – u slučajevima kada se teži maksimalnoj ciljanoj vrijednosti
odziva (npr. prinos produkta, konverzija reaktanata u produkte):
(S/N ) J=−10 log [ 1n∑i=1n
[ 1y ij2 ]] , j=1…m3. Sredina je najbolje – u slučajevima kada se teži srednjoj ciljanoj vrijednosti
odziva (npr. veličina čestica, svojstva produkta):
(S/N ) J=−10 log s2 , j=1…m
pri čemu je s2 varijanca:
s2=∑i=1
n ( ( y ij− y )2
n−1 )7.3.LINEARNI REGRESIJSKI MODEL
Pretpostavimo da postoji jedna zavisna varijabla ili odziv y koji ovisi o k
nezavisnim ili regresijskim varijablama kao npr. x1, x2,….., xk. Veza između tih
varijabli je karakterizirana matematičkim modelom nazvanim regresijski model.
Regresijski model je uklopljen u set uzoraka podataka. U nekim primjerima, poznat
je točan oblik veze između y i x1, x2,….., xk, recimo y=φ(x1, x2,….., xk). Međutim, u
većini slučajeva, veza je nepoznata, te se stoga izabiru prigodne funkcije za
aproksimaciju φ. Polinomni modeli nižeg reda se široko koriste kao aproksimirane
funkcije.
Regresijske metode se često koriste za analizu podataka iz neplaniranih
pokusa, koji se mogu dobiti iz promatranja nekontroliranih fenomena ili povijesnih
zapisa. Regresijska analiza je isto vrlo korisna u dizajniranju pokusa gdje je nešto
''pošlo po krivu''.
U jednostavnoj linearnoj regresiji za modeliranje n točaka postoji jedna
nezavisna varijabla xi i dva parametra β0 i β1:
37
yi= β0+ β1xi + εi, i=1,…,n.
Kod višestrukih linearnih regresija postoje nekoliko nezavisnih varijabli ili
funkcija nezavisnih varijabli, te bi regresijski model bio:
y= β0+ β1x1 + β2x2 + … + βkxk + εi
gdje je k broj nezavisnih varijabli, a εi je pogreška. Indeks i označuje određeno
promatranje.
Ako su nam dani određeni uzorci iz podataka, procjenjujemo parametre iz
podataka i dobivamo linearni regresijski model:
y i= β0+ β1 x i
Ostatak,
e i= y i+ y i
je razlika između vrijednosti zavisne varijable predviđene od strane modela, y i, i
stvarne vrijednosti zavisne varijable y i. Jedna od metodi pretpostavki je metoda
najmanjih kvadrata. Ova metoda sadrži procijene parametara i minimizira sumu
kvadrata ostataka, SSE:
SSE=∑i=1
n
ei2
Nakon što smo dobili prikladnu regresiju moramo saznati koliko dobro model
odgovara podacima. Dakle, jednom kad je model regresije izrađen potrebno je
provjeriti da li pristaje model i statističko značenje procijenjenih parametara. Prvo
provjeravamo da li ukupno sve pristaje, a nakon toga testiramo značenje svake
pojedine nezavisne varijable. Najčešće korištene provjere koliko model ''dobro''
pristaje su R-kvadratne, analize uzoraka ostataka i testiranje hipoteza. Statističko
značenje može biti provjereno pomoću F-testa ukupnog pristajanja, popraćenog
sa t-testovima pojedinog parametara.
38
Pod daljnjom pretpostavkom da je greška normalno distribuirana , možemo se
služiti ovima procijenjenima standardnim greškama kako bi izradili pouzdane
intervale i proveli testove hipoteza o populaciji parametara.
Hipoteze:
Sve nezavisne varijable su nevažne za predviđanje y
HO : β1=β2=β3…=βk
Najmanje jedna nezavisna varijabla je korisna za predviđanje y
H A : najmanje jedan βk=0
Provjera hipoteza
Slika 24 Provjera hipoteza
Provjera hipoteza:
- na temelju informacija iz uzorka
- rezultira u jednoj od dvije odluke:
o odluka da se H0 odbaci
o odluka da se H0 ne odbaci, jer uzorak nije dao dovoljno dokaza da bi
se H0 odbacila.
- H0 i H1 se uvijek postavljaju tako da isključuju jedna drugu
- kada odbacujemo H0, pretpostavljamo da je H1 točna.
- u zaključivanju koristimo zakone vjerojatnosti.
39
Općenito, lakše je dokazati da je neka hipoteza lažna nego da je točna.
- Prihvaćanje H0 ne znači da je ona točna, nego da uzorak ne daje dovoljno
dokaza da je H0 lažna.
- Prihvaćamo H0 sve dok nije prikupljeno dovoljno dokaza koji je obaraju
Koraci u provjeri hipoteza:
1) Definiramo H0 i H1
2) Odredimo α (razinu značajnosti)
3) Izračunamo procjenu parametra
4) Odredimo statistiku za provjeru i njezinu raspodjelu kada vrijedi H0 i
izračunamo njenu vrijednost iz uzorka
5) Odredimo kritičnu vrijednost, kritično područje
6) Usporedimo izračunatu vrijednost statistike za provjeru sa kritičnim
vrijednostima i donosimo zaključak
Slika 25 Prikaz razine značajnosti, kritične vrijednosti i kritičnog područja poznate
raspodjele
P-vrijednost
Drugi način da se odluči o prihvaćanju ili odbijanju nul hipoteze H0, je da se
utvrdi vjerojatnost da izračunata vrijednost statistike za provjeru pripada distribuciji
kada H0 vrijedi . Može se reći da se H0 odbacuje uz vjerojatnost pogreške koja je
jednaka P vrijednosti. P vrijednost se može koristiti i kada je razina značajnosti
unaprijed određena. Za zadanu razinu značajnosti α, ako je P vrijednost manja od
α, H0 se odbacuje uz α razinu značajnosti.
40
Moguće greške kod statističkog zaključivanja
Kod zaključivanja na temelju uzorka moguća su dva pogrešna zaključka:
a) Tip I greška = odbacivanje nul hipoteze H0, a da je zapravo H0 istinita
b) Tip II greška = ne odbacivanje H0, a da je zapravo H0 lažna.
Način kontrole (smanjenja vjerojatnosti) tip I i tip II greške:
- Povećati uzorak
- Smanjiti varijancu
- Povećati utjecaj
Vjerojatnost tip I greške (α, P-vrijednost)
- Poznata ili se lako izračuna
- Postavlja ju sam istraživač kao razinu značajnosti
Vjerojatnost tipa II greške (β)
- Često teško izračunati
- Mora se pretpostaviti raspodjela ako je H1 točno i na temelju te raspodjele
pokušati odrediti β.
41
8. ZAKLJUČAK
Metode planiranja pokusa i njihova statistička obrada značajno ubrzavaju i
poboljšavaju proces istraživanja i dovode do pouzdanijih zaključaka, te stoga
zaslužuju veću primjenu u industriji i u akademskoj zajednici.
Za razliku od eksperimentiranja koje podrazumijeva variranje vrijednosti jednog
čimbenika dok se ostali drže na konstantnim vrijednostima, statističke metode
planiranja pokusa omogućuju istovremeno variranje više čimbenika, čija naknadna
analiza omogućava dobivanje podataka o njihovom utjecaju kao i utjecaj
međudjelovanja čimbenika. Budući da ljudi mogu pratiti pojedinačno utjecaj samo
jednog čimbenika, potrebni su računalni algoritmi kako bi se omogućila usporedba
više čimbenika odjednom kao i njihova međudjelovanja.
Eksperimentiranje je najbolje provoditi u fazama pri čemu svaka faza pruža
uvid kako pristupiti sljedećem pokusu. Upotreba djelomičnih planova pokusa može
drastično smanjiti broj pokusa jer zanemaruju međudjelovanja prvog ili višeg reda,
ovisno o rezoluciji plana. Često, međudjelovanja višeg reda unose samo dodatnu
kompleksnost i nisu od interesa ukoliko se istraživani proces želi opisati
maksimalno pojednostavljenim matematičkim modelom. Stoga djelomični planovi
pokusa nalaze veliku primjenu u istraživanju, razvoju i unapređenju procesa u
industriji.
42
LITERATURA
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
43
POPIS SLIKA
SLIKA 1 METODA CRNE KUTIJE................................................................................................3
SLIKA 2 GRAFIČKI PRIKAZ POTPUNOG PLANA POKUSA 22........................................................10
SLIKA 3 GRAFIČKI PRIKAZ POTPUNOG PLANA POKUSA 22........................................................12
SLIKA 4 ODZIV FAKTORA A BEZ MEĐUDJELOVANJA FAKTORA B...............................................13
SLIKA 5 ODZIV FAKTORA A SA MEĐUDJELOVANJEM FAKTORA B..............................................13
SLIKA 6 GRAFIČKI PRIKAZ POTPUNOG PLANA POKUSA 23........................................................14
SLIKA 7 GRAFIČKI PRIKAZ 24 PLANA POKUSA.........................................................................17
SLIKA 8 MATRIČNI KODIRANI OBLIK NISKIH I VISOKIH RAZINA GLAVNIH UTJECAJA I IZLAZNI PODACI
U MINITABU...................................................................................................................19
SLIKA 9 VRIJEDNOSTI GLAVNIH UTJECAJA I MEĐUDJELOVANJA TE REGRESIJSKI KOEFICIJENTI...19
SLIKA 10 NORMAL PLOT POTPUNOG PLANA POKUSA..............................................................20
SLIKA 11 GLAVNI UTJECAJI POTPUNOG PLANA POKUSA..........................................................20
SLIKA 12 MEĐUDJELOVANJA POTPUNOG PLANA POKUSA........................................................21
SLIKA 13 KONTURNE LINIJE POTPUNOG PLANA POKUSA.........................................................22
SLIKA 14 ODZIVNE POVRŠINE POTPUNOG PLANA POKUSA......................................................23
SLIKA 15 GRAFIČKI PRIKAZ PLANA S TRI ČIMBENIKA NA DVIJE RAZINE: (A) 23 PUNOG
FAKTORIJALNOG PLANA I (B) 2 3-1 DJELOMIČNOG FAKTORIJALNOG PLANA..........................25
SLIKA 16 GRAFIČKI PRIKAZ 23-1 DJELOMIČNOG PLANA POKUSA...............................................27
SLIKA 17 VRIJEDNOSTI GLAVNIH UTJECAJA I MEĐUDJELOVANJA TE REGRESIJSKI KOEFICIJENTI.29
SLIKA 18 CUBE PLOT – PRIKAZ GLAVNIH UTJECAJA MEĐUDJELOVANJA....................................30
SLIKA 19 KONTURNE LINIJE POTPUNOG PLANA POKUSA.........................................................31
SLIKA 20 ODZIVNE POVRŠINE POTPUNOG PLANA POKUSA......................................................31
SLIKA 21 PRIMJER ODZIVNE POVRŠINE (SLUČAJ S DVA FAKTORA)...........................................33
SLIKA 22 KONTURNI DIJAGRAM ODZIVNE POVRŠINE................................................................33
SLIKA 23 DIJAGRAM VANJSKE MATRICE 22 UVJETA ŠUMOVA (E) I UNUTARNJE MATRICE 23
UVJETA PROCESNIH PARAMETARA (X) TAGUCHIJEVOG PLANA POKUSA.............................36
SLIKA 24 PROVJERA HIPOTEZA.............................................................................................39
SLIKA 25 PRIKAZ RAZINE ZNAČAJNOSTI, KRITIČNE VRIJEDNOSTI I KRITIČNOG PODRUČJA
POZNATE RASPODJELE..................................................................................................40
44
POPIS TABLICA
TABLICA 1 MATRICA KODIRANIH VRIJEDNOSTI GLAVNIH UTJECAJA...........................................11
TABLICA 2 MATRICA KODIRANIH VRIJEDNOSTI GLAVNIH UTJECAJA ZA POTPUNI PLAN POKUSA . .15
TABLICA 3 MATRICA KODIRANIH VRIJEDNOSTI GLAVNIH UTJECAJA I MEĐUDJELOVANJA ZA 23....16
TABLICA 4 MATRICA KODIRANIH VRIJEDNOSTI GLAVNIH UTJECAJA 24 PLANA POKUSA...............18
TABLICA 5 KORISNE REZOLUCIJE ZA IZRADU DJELOMIČNOG PLANA POKUSA............................25
TABLICA 6 RAZINE ČIMBENIKA...............................................................................................26
TABLICA 7 KODIRANA MATRICA ZA IZRADU DJELOMIČNOG PLANA POKUSA 24-1.........................28
45