Embed Size (px)
Citation preview
SVEUČILIŠTE U RIJECI
EKONOMSKI FAKULTET
Ana Ćosić
PRIMJENA TEORIJE GRAFOVA KOD PROBLEMA
TRANSPORTNE OPSKRBE BANKOMATA PRIVREDNE BANKE
ZAGREB
DIPLOMSKI RAD
Rijeka 2014
SVEUČILIŠTE U RIJECI
EKONOMSKI FAKULTET
PRIMJENA TEORIJE GRAFOVA KOD PROBLEMA
TRANSPORTNE OPSKRBE BANKOMATA PRIVREDNE BANKE
ZAGREB
DIPLOMSKI RAD
Predmet: Teorija odlučivanja
Mentor: dr.sc. Alemka Šegota
Student: Ana Ćosić
Studijski smjer: Marketing
JMBAG: 0081126464
Rijeka, srpanj 2014.
SADRŽAJ
1. UVOD ............................................................................................................................ 1
1.1. Problem i predmet istraživanja .............................................................................. 1
1.2. Svrha i cilj istraživanja ............................................................................................ 1
1.3. Znanstvene metode ............................................................................................... 2
1.4. Struktura rada ........................................................................................................ 2
2. OSNOVE TEORIJE GRAFOVA ......................................................................................... 4
2.1. Povijest teorije grafova .......................................................................................... 4
2.1.1. Problem Königsberških mostova ..................................................................... 5
2.1.2. Problem osam dama ....................................................................................... 6
2.2. Mogućnosti primjene teorije grafova .................................................................... 6
2.3. Graf i podgraf ......................................................................................................... 7
2.4. Šetnje, putevi i povezanost grafa ........................................................................... 9
2.5. Tablica incidencije .................................................................................................. 9
3. ALGORITMI ................................................................................................................. 12
3.1. Minimalno razapinjuće stablo ............................................................................. 13
3.1.1. Primov algoritam ........................................................................................... 14
3.1.2. Kruskalov algoritam ....................................................................................... 14
3.2. Najkraći put u grafu ............................................................................................. 15
3.2.1. Dijkstrinov algoritam ..................................................................................... 16
3.2.2. Floydov algoritam .......................................................................................... 17
4. PROBLEM TRANSPORTNE OPSKRBE BANKOMATA PRIVREDNE BANKE ZAGREB U
GRADU RIJECI .................................................................................................................. 18
4.1. Poslovanje PBZ banke .......................................................................................... 18
4.1.1. Tržište novca .................................................................................................. 19
4.1.2. Tržište kapitala .............................................................................................. 20
4.1.3. Devizno tržište ............................................................................................... 21
4.1.4. Kartično poslovanje ....................................................................................... 23
4.2. Bankomati kao elementi povezivanja .................................................................. 25
4.3. Problem i analiza transportne opskrbe bankomata Privredne banke Zagreb ..... 28
4.4. Minimizacija troškova transportne opskrbe bankomata Privredne banke Zagreb
.................................................................................................................................... 33
5. ZAKLJUČAK .................................................................................................................. 42
LITERATURA .................................................................................................................... 43
POPIS TABLICA ................................................................................................................ 44
POPIS GRAFIKONA .......................................................................................................... 44
POPIS SLIKA ..................................................................................................................... 44
1
1. UVOD
U uvodnom dijelu rada definiran je 1) problem i predmet istraživanja, 2) svrha i ciljevi
istraživanja, 3) znanstvene metode te 4) struktura rada.
1.1. Problem i predmet istraživanja
Problem istraživanja u diplomskom radu je ispitati i analizirati primjenu teorije grafova
na problem transportne opskrbe bankomata Privredne banke Zagreb u gradu Rijeci.
Za navedeni problem istraživanja moguće je definirati predmet istraživanja: istražiti i
utvrditi koje su osnove teorije grafova, algoritama i primjena određenog algoritma na
problem transportne opskrbe bankomata Privredne banke Zagreb.
1.2. Svrha i cilj istraživanja
Svrha i cilj istraživanja ovog diplomskog rada proizlazi iz navedenog problema
istraživanja.
Svrha istraživanja je znanstvenim metodama istražiti primjenjivost teorije grafova na
primjeru transportne opskrbe bankomata Privredne banke Zagreb u gradu Rijeci.
Cilj je istražiti kako se teorijom grafova mogu minimizirati troškovi transportne opskrbe
bankomata Privredne banke Zagreb.
Da bi se ostvarili svrha i cilj istraživanja u diplomskom radu, potrebno je odgovoriti na
slijedeća pitanja:
1) Što je teorija grafova?
2) Koji se algoritmi primjenjuju u teoriji grafova?
3) Kako Privredna banka Zagreb djeluje, kao posrednik, na nacionalnom tržištu?
2
4) Gdje su smješteni bankomati Privrene banke Zagreb u Rijeci?
5) Kako pronaći optimalni put između bankomata Privredne banke Zagreb u
Rijeci?
1.3. Znanstvene metode
Pri istraživanju i formuliranju rezultata istraživanja u odgovarajućoj kombinaciji
korištene su slijedeće znanstvene metode:
o metoda analize,
o metoda sinteze,
o metoda indukcije i dedukcije,
o metoda komparacije,
o metoda kompilacije,
o metoda dokazivanja,
o metoda klasifikacije,
o metoda deskripcije,
o povijesna metoda.
1.4. Struktura rada
Rezultati istaživanja predočeni su u pet međusobno povezanih dijelova.
U uvodu su navedeni problem i predmet istaživanja, svrha i ciljevi istraživanja,
znanstvene metode i struktura rada.
Naslov drugog dijela rada je osnove teorije grafova u kojem se obrađuje povijest teorije
grafova (problem Königsberških mostova I problem osam dama), mogućnosti primjene
teorije grafova, pojam grafa i podgrafa, šetnje, putevi i povezanost grafa i tablica
incidencije.
3
Naslov trećeg dijela rada je algoritmi. Za pronalaženje minimalnog razapinjućeg stabla
teorijski se obrađuju Primov i Kruskalov algoritam, dok se za pronalaženje najkraćeg
puta teorijski obrađuju Dijkstrinov i Floydov algoritam.
Problem transportne opskrbe bankomata Privredne banke Zagreb u Rijeci je naslov
četvrtog dijela rada u kojem se obrađuje poslovanje Privredne banke Zagreb (tržište
novca, tržište kapitala, devizno tržište i kartično poslovanje), bankomati kao elementi
povezivanja, problem i analiza transportne opskrbe bankomata Privredne banke Zagreb i
minimizacija troškova transportne opskrbe bankomata Privredne banke Zagreb.
U poslijednjem dijelu, zaključku, obavljena je sistematizacija cjelokupnog diplomskog
rada, te su navedene spoznaje do kojih se došlo.
4
2. OSNOVE TEORIJE GRAFOVA
Teorija grafova je jedna od najvažnijih matematičkih disciplina, koja proučava
zakonitosti na grafovima (Divjak i Lovrenčić, 2005). Kao posebna matematička
disciplina, stara je tak oko pet desetljeća. U posljednjih dvadeset godina teorija grafova
doživljava neobično intenzivan razvoj zahvaljujući sve većoj proizvodnji i primjeni
elektroničkih računala (Pašagić, 1998).
Teorija grafova omogućuje da se matematički problemi formuliraju i rješavaju na
jedinstven način.
2.1. Povijest teorije grafova
Temelje teorije grafova postavio je švicarski matematičar Leonhard Euler (1707.-
1783.), koji je 1736. godine riješio jedan od najstarijih problema, problem
Königsbergških mostova.
D. Koenig je napisao prvu knjigu iz torije grafova, čime se razvila teorija grafova kao
posebna matematička disciplina, koja je stara tek oko šest desetljeća. Grupirao je
rezultate iz svih objavljenih radova u kojima se objašnjava pojam grafa. Od tada graf je
opće prihvaćen pojam. Jak razvoj istraživanja u teoriji grafova započinje 60-ih godina i
traje sve do danas. Samo u desetak godina, točnije od 1960. do 1970. broj objavljenih
radova se udeseterostručio. Danas postoji mnogo časopisa, prvenstveno američkih i
mađarskih, koji objavljuju samo znanstvene članke vezane za teoriju grafova i njenu
primjenu. Teorija grafova posebno se potiče u Mađarskoj, SAD-u, Kanadi, Rusiji,
Češkoj i Slovačkoj. Intenzivan razvoj i veliku popularnost je doživjela zahvaljujući
naglom razvoju modernih informacijskih tehnologija. Također, grafovi postaju
univerzalni matematički jezik kojim je moguće opisati najrazličitije i sasvim apstraktne
matematičke strukture (Golemac i suradnici, 2012). Stoga su glavne domene teorije
grafova informatika i primjenjena matematika, posebno kombinatorna optimizacija.
5
2.1.1. Problem Königsberških mostova
U 18. stoljeću Königsberg je bio grad u istočnoj Pruskoj (danas je to grad Kalingrad u
Rusiji) kroz koji su prolazila dva rukavca rijeke Pregel, koja su okruživala otočić
Kneiphof (Divjak i Lovrenčić, 2005). Na rijeci je bilo sedam mostova koji su povezivali
četiri dijela grada odvojena rijekom kao što je prikazano na slici 1.
Slika 1: Königsberški mostovi
Izvor: Fošner, M. i Kramberger, T. "Teorija grafova i logistika", Fakultet logistike,
Maribor, 2009.
Problem je glasio: da li je moguće da stanovnici Königsberga prošetaju svojim gradom
tako da šetnja započne na jednom dijelu grada, obuhvati svih sedam mostova točno
jedanput, te završi u početnoj točki? Euler je taj problem riješio tako da je napravio
model, kojeg danas nazivamo grafom. Vrhove su predstavljali dijelovi grada odvojeni
vodom, dok su bridove predstavljali mostovi.
Problem je tada glasio: da li je moguće proći kroz sve bridove točno jeanput i vratit se
na početak.
Euler je riješio postavljeni problem te dao odgovor, da šetnja gradom nije moguća,
ukoliko dijelove grada ne povezuje paran broj mostova. Danas se takvo obilaženje
naziva Eulerova staza.
6
2.1.2. Problem osam dama
U časopisu "Berliner Schachzeitung" 1848. godine prvi put je objavljen tzv. problem
osam dama, koji glasi: na koliko se načina mogu postavit na šahovsku ploču osam
dama, tako da se međusobno ne napadaju? Svakoj šahovskoj figuri se može pridružiti
jedan graf. Problem osam dama prvi je riješio slijepac dr. Nauck, i to na 92 načina,
odnosno pronašao je 92-ije kombinacije kako se dame mogu posložiti na šahovsku
ploču, a da jedna drugu ne napadaju. Zanimljivo je da je poznati matematičar i fizičar
rješavajući isti problem, pronašao tek 72-ije kombinacije riješenja. Jedini način na koji
se to može objasniti je da tada još uvijek nisu postojale metode za rješavanje ovakvih
problema.
2.2. Mogućnosti primjene teorije grafova
Teorija grafova ne prestavlja osnovnu matematičku teoriju nijedne prijmjenjene
discipline, no u nizu znanstvenih grana postoje problemi koji se rješavaju ili im se
rješenja bitno olakšavaju primjenom teorije grafova. Tako se primjenjuje, na primjer, u
kemiji, teoriji električnih automobila, biologiji, ekonomskim istraživanjima, sociologiji,
organizaciji rada, lingvistici, logistici, te informatici. Također se prijemnjuje i u
određenim matematičkim disciplinama kao što su teorija skupova, teorija igara i
linearno programiranje.
Teorijom grafova se mogu rješavati i problemi iz svakidašnjeg života. Na primjer,
putevi ralica za čišćenje snijega, skupljanje smeća, čišćenje ulica, ispitivanje
dalekovoda, određivanje ruta školskih autobusa mogu se modelirati uz pomoć teorije
grafova. Za riješavanje tog problema koristi se varijacija problema kineskog poštara.
Zatim, konstrukcija električnih mreža, cjevovoda, plinovoda, cesta i sl. riješava se
pronalaženjem minimalnog razapinjućeg stabla, dok se problemom trgovačkog putnika
pronalaze najisplatljivije rute i redoslijed transporta robe. Potraga za najkraćim putem
vrlo je raširena u svakodnevnom životu. Popularna GPS tehnologija može se vidjeti u
mnogim motornim vozilima kao metoda za pronalaženje pravog puta od jedne do druge
7
točke na zemljopisnoj karti. Također, rezultati teorije grafova su veoma važni i korisni
ljudima koji rješavaju logističke probleme (Fošner i Kramberger, 2009).
2.3. Graf i podgraf
Grafovi su jedna od osnovnih matematičkih struktura, te se pojavljuju u raznim
oblicima i raznim situacijama. U matematici, posebno u teoriji grafova, graf je uređen
par G=(V,E), gdje Ø≠V=V(G) predstavlja skup vrhova, a E=E(G) skup bridova
disjunktni s V, a svaki brid e E spaja dva vrha u,v V koji se zovu krajevi od e (Veljan,
2001).
Za krajeve u i v brida e se može reći da su incidentni sa bridom e. Odnosno, v i e su
incidentni, ako je v jedan kraj brida e. Za dva vrha povezana s nekim bridom, te za dva
brida s zajedničkim vrhom kaže se da su susjedni (Veljan, 1989). Ukoliko brid spaja
neki vrh sam sa sobom tada se to naziva petlja.
Grafovi se prikazuju na način da se vrhovi nacrtaju kao točke u ravnini, a bridovi kao
crte koje spajaju vrhove grafa. Graf mora sadržavati najmanje jedan vrh, ali je moguće
da ne sadrži bridove. Ne postoji određen način crtanja grafa.
Graf sa samo jednim vrhom naziva se trivijalan, dok se sa više vrhova naziva
netrivijalan. Graf je jednostavan ili prost ako nema petlje i dva brida ne spajaju isti par
vrhova (Veljan, 1989).
Postoje razne vrste grafova, a neke od njih su:
1. konačni i beskonačni grafovi,
2. usjmereni, neusmjereni i mješoviti grafovi,
3. multigrafovi.
Skupovi vrhova i skupovi bridova ne moraju biti konačni, te se tada radi o
beskonačanom grafu, no ako su oba skupa konačna, tada se kaže da je graf konačan.
8
Graf kod kojeg su sve grane jednostrano orijentirane naziva se usmjereni graf. Kod
tekvih se grafova bridovi crtaju kao linije sa strelicom koja je usmjerena u smjeru u
kojem je uspostavljena veza između dva vrha.
Kod neusmjerenog grafa sve grane su orijentirane dvostrano, što znači da se kod
takvih grafova bridovi crtaju kao linije bez strelica koje spajaju dva vrha, te se
podrazujmeva da postoji veza u oba smijera.
Mješoviti grafovi su grafovi koji nisu ni usmjereni ni neusmjereni, te između dva vrha
postoje i jednosmjerne i dvosmjerne veze. U ovim grafovima jednosmjerne veze se
uvijek crtaju strelicom, dok se crtanje dvosjmernih veza postiže na razne načine, kao na
primjer: samo linijom bez strelica, linijom sa strelicama s obje strane ili dvjema linijama
sa suprotno orjentiranim strelicama.
Graf koji "dopušta" višestruke bridove, ali ne "dopušta" višestruke petlje se naziva
multigraf.
Pomoću prethodno navedenih grafova mogu se prikazati složeni problemi, kao
primjerice:
o Kretanje automobila kroz grad Rijeku može se predstavit grafom. Vrhove grafa
predstavljaju raskrižja, dok bridove predtavljaju ceste koje ih spajaju.
Ako se gleda skup svih cesta tada graf nije niti usmjeren, niti
neusmjeren, već je mješovit.
Ukoliko su sve ceste u gradu jednosmjerne tada je graf usmjeren.
Ukoliko su sve ceste u gradu dvosmjerne tada je graf neusmjeren.
o Multigrafom se u kemiji predstavlja struktura međusobnih veza atoma u
molekulu.
Graf oblika H = (Y,T), pri čemu je Y X i T podskup skupa U, koji sadrži sve one
parove iz U, koji se sastoje samo od elemenata skupa Y, naziva se podgraf grafu G =
(X,U). Dakle, podgraf iz danog grafa dobiva se na taj način što se uoči neki neprazan
9
podskup Y skupa vrhova i udalje iz grafa svi ostali vrhovi zajedno sa bridovima koji su
susjedni udaljenim vrhovima. U podgrafu ostaju samo bridovi koji povezuju čvorove iz
Y (Cvetković, 1971).
2.4. Šetnje, putevi i povezanost grafa
Šetnja u grafu G je niz W = v0e1v1e2...ekvk čiji članovi su naizmjence vrhovi vi i bridovi
ei, tako da su krajevi od ei vrhovi vi-1 i vi, 1 ≤ i ≤ k. U jednostavnom grafu šetnja je
potpuno određena samo nizom svojih vrhova v0v1...vk. V0 predstavlja početak šetnje W,
dok vk kraj šetnje, te raspon u kojem traje šetnja predstavljen je od v0 do vk. Vrhovi v1,
v2,..., vk-1 su unutarnji vrhovi šetnje, a broj k se naziva duljina šetnje W (Veljan, 2001).
Inverzna šetnja je šetnja dobivena obrnutim redoslijedom obilaska od W do W,
odnosno od vk do v0. Ukoliko je v0 = vk šetnja je zatvorena.
Ako su svi bridovi međusobno različiti tada se W naziva staza, no ako su svi vrhovi
različiti onda se naziva put. Dakle, put je šetnja u kojoj su svi vrhovi različiti, ako isti
vrhovi predstavljaju početak i kraj, tada se govori o zatvorenoj šetnji.
Ciklus dužine k je lanac v1,..., vk koji završava u istom vrhu u kojem i počinje
(Cvetković, 1971).
Graf je povezan ako postoji put koji povezuje svaka dva vrha, odnosno koji povezuje
sve vrhove u grafu. Ukoliko se ne povezuju svi vrhovi u grafu tada je graf nepovezan.
2.5. Tablica incidencije
Graf se može prikazati na još jednostavniji način, a to je tablicom incidencije. U tablici
incidencije stupci i redovi predstavljaju vrhove grafa, dok polje u tablici na križanju
stupca i retka predstavlja težinu brida koja spaja ta dva vrha. Težina brida se koristi
10
kako bi se na najjednostavniji način iskazala mjera udaljenosti između dva vrha.
Ukoliko dva vrha nisu spojena bridom, tada se podrazumjeva da im je udaljenost
beskonačna (∞), međutim, to se ne unosi u tablicu incidencije već se to polje ostavlja
prazno.
Budući da je tablicu incidencije najlakše shvatiti na primjeru, na slici 2 je prikazan graf
na temelju kojeg će se izraditi tablica. Graf je povezan bridovima, te je naznačena točna
težina bridova koji povezuju pojedine vrhove.
Slika 2: Postavljen zadatak
Izvor: Izrada autora
Za graf s prikazane slike, pripadajuća tablica incidencije glasi:
Tablica 1: Tablica incidencije postavljenog zadatka na slici 2
A B C D E F
A 0 2 3
B 0 3 4 4 5
C 3 0 1
D 4 1 0
E 2 4 0
F 3 5 0
Izvor: Izrada autora
11
Kao što se može vidjeti, tablica incidencije je simetrična s obzirom na glavnu
dijagonalu te se na glavnoj dijagonali pojavljuju samo nule, jer je udaljenost od vrha do
samog sebe jednaka nuli.
12
3. ALGORITMI
Algoritam je točno definiran postupak pri računanju, koji rješava neki određeni
problem. Riječ "algoritam" vuče svoje korijene još iz 9. stoljeća, od perzijskog
matematičara Muhammada ibn Musa al-Khwarizmija. U svojoj knjizi je opisao
postupke za računanje u indijskom brojevnom sustavu. Izvorna knjiga na arapskom nije
sačuvana, a latinski prijevod se proširio europom pod nazivom "Algoritmi de numero
Indurum" ("Al-Khwarizmi o indijskim brojevima") (Divjak i Lovrenčić, 2005). Po tom
naslovu, danas algoritmima nazivamo postupke pri rješavanju problema.
Pojam algoritma se koristi sve intenzivnije, prvenstveno od pojave računala, iako je
nastao u matematici puno ranije. Prvi algoritam, koji se i danas koristi, nastao je u 3.
stoljeću prije naše ere. Poznat je pod nazivom Euklidov algoritam, jer ga je prvi opisao
grčki matematičar Euklid u svojoj knjizi "Elementi".
Svojstva koja algoritam mora zadovoljavati dao je D.E. Knuth, a to su:
o konačnost – algoritam mora završiti nakon izvršenih konačno mnogo koraka:
također, mora biti opisan pomoću konačnog broja operacija, a i svaka operacija
mora biti konačne duljine.
o definitnost – svaki korak algoritma mora sadržavati nedvosmislene, rigorozno
definirane operacije.
o ulaz – svaki algoritam mora imati 0 ili više ulaza.
o izlaz – svaki algoritam mora imati 1 ili više izlaza.
o efektivnost – algoritam mora biti efektivan, tj. mora biti takav da se može
izvesti samo uz pomoć olovke i papira u konačno vrijeme (Divjak i Lovrenčić,
2005).
13
3.1. Minimalno razapinjuće stablo
Pojam stabla u 19. stoljeću uveo je Arthur Cayley proučavajući posebne klase grafova,
koji prikazuju određene kemijske spojeve. Ti su grafovi imali jedno važno svojstvo, a to
je da nisu sadržavali cikluse (Divjak i Lovrenčić, 2005).
Stabla se primjenjuju za rješavanje problema povezivanja udaljenih lokacija mrežom.
Na primjer, kad se trebaju povezati lokacije u raznim gradovima, a koncesionar mreže
različito naplaćuje veze između pojedinih gradova. Dakle, stabla se najviše primjenjuju
za probleme kod kojih je potrebno područja povezat telefonskom, električnom,
plinskom ili cjevovodnom mrežom.
Dakle, graf koji ne sadži niti jedan ciklus, a povezan je, naziva se stablo. Vrh stabla se
naziva listom, dok se šumom naziva graf koji ne mora izričito bit povezan , ali ne smije
sadržavat ciklus. Udaljavanjem bilo koje grane iz stabla dobiva se graf koji nije povezan
(Cvetković, 1971).
Konstruiranje razapinjućeg stabla nije složen posttupak, ali je poželjno da razapinjuće
stablo ima i neka dodatna svojstva, kao sto je minimalna/maksimalna suma težina
bridova. Shodno tome, minimalno razapinjuće stablo je stablo čija je duljina svih
bridova najmanja.
Minimalno razapinjuće stablo se primjenjuje kada se, na primjer, želi izgraditi
željeznička pruga između više gradova uz namanji trošak.
Problem pronalaska minimalnog razapinjućeg stabla se još naziva i engl. minimum
spanning trees ili MTS problem.
Najpoznatiji algoritmi za rješavanje problema minimalnog razapinjućeg stabla su:
o Primov algoritam,
o Kruskalov algoritam.
14
3.1.1. Primov algoritam
U teoriji grafova se Primovim algoritnom pronalazi minimalno razapinjajuće stablo za
povezani težinski graf, odnosno pronalazi se podskup onih grana u grafu koje formiraju
stablo tako da uključuje sve vrhove. Ukupna težina stabla treba biti minimalna.
Utemeljitelj Primovog algoritama je Vojteh Jarnik, ali se nije samo on istaknuo kao
glavni već i informatičar Robert Prim i Dijkstra. Zbog te činjenice Primov se algoritam
naziva i DJP algoritam, te Jarnikov algoritam. Temeljna ideja algoritma je postepeno
povećavati veličinu stabla, tako da se počne od jednog čvora, pa sve dok se ne povežu
svi čvorovi.
Algoritam se sastoji u tome da se proizvoljno odabere jedna točka koja odmah postaje
dio grafa, a svaka sljedeća točka dodaje se ukoliko se ustanovi da je udaljenost između
bilo koje točke iz grafa i bilo koje slobodne točke najmanja upravo za tu točku i neku
točku koja je već u grafu. Postupak se uzastopno nastavlja, dok se ne povežu sve
slobodne točke, tj. dok sve točke ne budu uključene u graf. Naravno, pri tome treba
paziti da tržina brida bude minimalna. Na kraju graf predstavlja traženo minimalno
razapinjajuće stablo.
Primovim algoritmom se, dakle, dobiva minimalno razapinjuće stablo, koje se može
prikazati primjerom cestovnih čvorišta (raskrižja) i potencijalne veze između njih.
Izlazne vrijednosti te veze bila bi najekonomičnija izgradnja, te bi povezivale sva
čvorišta. Ovaj problem se može prikazali tako da cestovna čvorišta predstavljaju vrhove
grafa, a potencijalne veze bridove, čije su težine cijene izgradnje cesta između čvorišta
koja spajaju.
3.1.2. Kruskalov algoritam
Kruskalov algoritam se koristi za pronalaženje minimalnog razapinjućeg stabla u
proizvoljnom težinskom povezanom grafu. Objavio ga je Joseph Bernarda Kruskala
15
1956. godine u radu "On the shortest spanning subtree of a graph and the traveling
salesman problem", te je po njemu i nazvan Kruskalov algoritam.
Kruskalov algoritam je najjednostavniji za razumijevanje te, također, za primjenu.
Izvođenje Kruskalovog algoritma se provodi u nekoliko koraka. U prvom koraku se
napravi šuma stabala, u kojoj svaki vrh predstavlja jedno stablo. Dakle, šuma
predstavlja skup stabala, a stablo predstavlja graf koji ne smije sadržavati ciklus, no svi
vrhovi moraju biti međusobno povezani. Na početku izvođenja Kruskalovog algoritma
svako se stablo sastoji samo od jednog vrha i bez ijednog brida koji mu pripada. Zatim
se bridovi razvrstavaju prema težini, a najčešći izbor za strukturu podataka koja se
koristi za razvrstavanje je prioritetni red. U slijedećim koracima algoritma uzima se
najmanji brid iz prioritetnog reda i dodaje se u šumu. Ukoliko brid koji je slijedeći na
redu za dodavanje tvori ciklus, tada se taj brid ne dodaje.
Kod Kruskalovog algoritma, za razliku od Primovog, šuma stabala ne mora biti
povezana za vrijeme izvođenja.
3.2. Najkraći put u grafu
Problem koji se uz traženje minimalnog razapinjućeg stabla najčešće pojavljuje u teoriji
grafova je problem traženja najkraćeg puta u grafu. Pronaći najkraći put između dva
vrha znači naći put s najmanjom težinom, odnosno naći put u težinskom grafu koji
povezuje dva vrha tako da zbroj težina bridova na tom putu bude najmanji mogući.
Problem trgovačkog putnika i problem kineskog poštara spadaju u probleme kod kojih
se traži najkraći put u grafu.
Problem trgovačkog putnika (TSP) je problem čije podrijetlo seže daleko u povijest.
Prvi put se pojavljuje 1832. godine u knjizi njemačkog trgovačkog putnika B.F.
Voighta, no on nije problem trgovačkog putnika tako imenovao (Vištica, 2012). Termin
16
"trgovački putnik" prvi je upotrijebio Karl Menger. Problem je veoma jednostavan i
glasi: kojim redoslijedom trgovački putnik treba obilaziti gradove, s tim da ukupna
duljina puta bude minimalna, ako se zna da trgovački putnik ima unaprijed definirane
gradove i sve međusobne udaljenosti gradova. Svaki grad mora obići samo jednom i
vratiti se u početni grad.
Kineski matematičar Melgu Guan je postavio i riješio pitanje optimizacije poštareva
puta kod dostavi pošiljki. Problem kineskog poštara se ogleda u tome da se pronađe
što kraći put s tim da bi poštar trebao proći svakom ulicom barem jedanput. Naime,
poštar kreće iz poštanskog ureda, dijelu poštu i vraća se nazad u ured. Ovaj problem je
doživio razne modifikacije i nerijetko se primjenjuje, te je jedan od najpopularnijih
problema kombinatorne optimizacije.
Sa zadatkom za određivanje najkraćeg puta se susreće kada se stvarno treba odrediti
nakraći put, na primjer, između dva grada po mreži puteva ili između dva punkta u
velikom gradu. Također, se može tražiti put kojim se najbrže može doći ili najjeftiniji
put ili put čije prelaženje zahtjeva najmanji utrošak goriva itd. (Cvetković, 1971).
Najpoznatiji algoritmi za pronalaženje najkraćeg puta u grafu su:
o Dijkstrin algoritam,
o Floydov algoritam.
3.2.1. Dijkstrinov algoritam
Najpoznatiji među algoritmima koji služe za pronalazak najkraćeg puta u težinskom
grafu je Dijkstrinov algoritam. Otkrio ga je nizozemac Edsger Dijkstra 1959. godine,
vodeći informatičar današnjice, koji je izmislio veliki broj algoritama na grafovima.
Dijkstrin algoritam pronalazi najkraći put ili signalizira da on ne postoji (Divjak i
Lovrenčić, 2005).
17
Dijkstrinim algoritmom se stvara stablo koje se sastoji od bridova koji čine minimalne
puteve od početnog vrha pa do svih ostalih vrhova u grafu. Kao i u Primovom algoritmu
u jednom koraku se odabire brid koji spaja vrh sa stablom, ali uz uvjet da taj brid već
nije u stablu. Pri tome se za svaki vrh računa udaljenost od prvog, odnosno početnog
vrha. Od svih bridova, odabire se te uzima onaj za koji je pripadni vrh, koji nije u
stablu, najmanje udaljen od početnog vrha.
3.2.2. Floydov algoritam
Floydovim algoritmom se pronalaze najmanje udaljenosti između svih parova vrhova u
grafu. Algoritmom se ispituju svi mogući putevi u grafu. Pri takvom ispitivanju se
koristi činjenica da takav problem ima optimalnu substrukturu, te da se do ukupnog
minimuma dolazi spajanjem minimuma problema manjeg reda. Floydov algoritam je
tipičan primjer dinamičkog programiranja (Marinović, 2013).
18
4. PROBLEM TRANSPORTNE OPSKRBE BANKOMATA PRIVREDNE
BANKE ZAGREB U GRADU RIJECI
Problem transporta je jedan od največih problema kod opskrbe bankomata. U daljnjem
tekstu će se taj problem obraditi na primjeru transportne opskrbe bankomata Privredne
banke Zagreb u gradu Rijeci.
4.1. Poslovanje PBZ banke
Privredna banka Zagreb d. d. jedna je od vodećih banaka u Hrvatskoj s neprekidnim
bankarskim poslovanjem. Osnovana je 1966. godine kao pravna slijednica Banke NRH
osnovane 1962. godine. Privredna banka Zagreb bila je nositelj raznih investicijskih
programa u razvoju turizma, poljoprivrede, industrijalizacije, brodogradnje i
cestogradnje, te je postala sinonimom za gospodarsku vitalnost, kontinuitet, pa čak i za
identitet Hrvatske. Godine 1999. uspješno je završena privatizacija Privredne banke
Zagreb. Novi većinski dioničar je postala bivša Banca Commercale Italiana (BCI), i to
kupnjom 66,3% dionica, dok je Državna agencija za osiguranje štednih uloga i sanaciju
banaka sačuvala udjel od 25% uz dvije dionice. Zatim je BCI postala dijelom grupacije
Gruppo Intesa, vodeće talijanske financijske grupacije, koja spada među deset najvećih
europskih bankarskih grupa. Tako je Privredna banka Zagreb postala sastavnicom
grupacije Gruppo Intesa. Tijekom 2002. godine manjinski udio u vlasništvu Privredne
banek Zagreb stekla je i Europska banka za obnovu i razvoj. Godine 2007. spajanjem
Bance Intesa i Sanpaolo IMI, PBZ banka postaje članica grupe Intesa Sanpaolo, te je i
dalje svojom poslovnom strategijom usmjerena na suvremene oblike bankarskog
poslovanja i nove proizvode, potvrđujući time imidž dinamične i moderne europske
banke koja slijedi zahtjeve tržišta i svojih klijenata. Temeljni kapital Privredne banke
Zagreb d.d. iznosi 1.907.476.900,00 kuna, koji je uplaćen u cijelosti i podijeljen na
19.074.769 dionica, od kojih je svaka nominalne vrijednosti od 100,00 kuna po dionici
(PBZ banka, 2014).
19
Danas u modernom društvu, uspjeh u poslovanju se ne mjeri samo ostvarenim
financijskim rezultatom već on podrazumijeva i aktivnosti u segmentu društvene
odgovornosti i doprinosu održivom razvoju. PBZ banka je usmjerena na aktivnu ulogu u
društvu te pokušava biti inicijator i zagovornik ideja kojima je glavni cilj napredak i
unapređenje kvalitete života u Hrvatskoj. Promiče razne korporativne vrijednosti među
kojima se posebno ističu predanost klijentima, timski rad, pouzdanost i odgovornost
(PBZ banka, 2014). Također, usmjeravaju svoj rad na stvaranje društva koje vodi brigu
o potrebama i mogućnostima svih njegovih članova, te su radi toga pokrenuli i program
društvene odgovornosti pod nazivom PBZ Prijatelj.
4.1.1. Tržište novca
Uprava za likvidnosti, odnosno Money Market Desk sudjeluje na domaćem i stranom
novčanom tržištu. Također, upravlja likvidnošću banke, prikuplja i plasira kunska i
devizna sredstva na međubankarskom tržištu, te odrađuje poslove s institucionalnim
investitorima na rokove do godinu dana (PBZ banka, 2014). Uprava sustavno i
organizirano prati trendove kretanja kamatnih stopa kako na domaćem tako i na stranom
tržištu. Uprava likvidnosti, također, prati i planira cash flow osiguravajući likvidnost
banke u skladu s regulatornim zahtjevima s ciljem nesmetanog i pravovremenog tijeka
novca pridonoseći stabilnosti sustava.
Vrste poslova koji se obavljaju na novčanom tržištu su:
o Depo/Loan,
o repo poslovi,
o FX Swap,
o upravljanje portfeljom kratkoročnih vrijednosnih papira,
o trgovanje trezorskim zapisima Ministarstva financija na primarnom i
sekundarnom tržištu,
o trgovanje stranim, kratkoročnim vrijednosnim papirima (PBZ banka, 2014).
20
4.1.2. Tržište kapitala
Privredna banka Zagreb d.d. trguje na domaćim i svjetskim tržištima kapitala, te se pri
tome koristi suvremenom infrastrukturom. Na domaćem tržištu je pozicionirana kao
market maker na sva domaća državna izdanja vrijednosnih papira. Vodi trgovački
portfolio banke, te trguje vrijednosnim papirima u ime i za račun banke (PBZ banka,
2014). Također, sudjeluje na primarnom i sekundarnim tržištima domaćih državnih i
korporativnih izdanja, radi repo poslove s dugoročnim vrijednosnim papirima, te ostale
transakcije sa vrijednosnim papirima.
Vrijednosni papiri kojima trguje Privredna banka Zagreb su:
o domaće i strane državne obveznice,
o komercijalni zapisi,
o korporativna izdanja,
o municipalne obveznice,
o dionice (PBZ banka, 2014).
Uprava za trgovanje vrijednosnim papirima trguje dionicama na Zagrebačkoj burzi, te
vodi portfelj za račun banke. Repo ugovor je kupnja/prodaja vrijednosnih papira uz
unaprijed dogovorenu obvezu povratne prodaje/kupnje na unaprijed dogovoreni dan, pri
čemu se određuje kamatna stopa za pozajmljivanje novca. Repo poslovi se ugovaraju na
rokove do godine dana, a vrijednosnice služe kao osiguranje plasmana. Vrijednost
papira koji se koristi kao zalog obično je veća za nekoliko postotaka od iznosa novca
koji se posuđuje. Kod repo transakcija nije potrebno likvidiranje vlasničke pozicije u
vrijednosnom papiru da bi se došlo do likvidnosti. Futures ugovori predstavljaju
standardizirane terminske ugovore s definiranim svim osnovnim značajkama osim
cijene. U pravilu se trguju na terminskim burzama bez kreditnog rizika za kupca i
prodavatelja. Sudionici tržišta su nerijetko špekulanti, arbitražeri premda se uvelike
koristi kao sredstvo hedginga (komercijalni hedgeri). Većina ugovora ne dočeka
dospijeće/isporuku. Pozicija se zatvara ulaskom u suprotnu poziciju (PBZ banka, 2014).
Osnovni instrumenti futures ugovora jesu: burzovne robe, valute, kamatne stope, tržišni
indeksi, pojedine dionice, swapovi itd. Osnovna razlika futures i forward ugovora je ta
21
da je forward bilateralan ugovor sklopljen točno prema potrebama dviju strana dok je
futures standardizirani vrijednosni papir kojim se slobodno i organizirano trguje.
4.1.3. Devizno tržište
Odjel za trgovanje devizama sudjeluje na domaćem i stranom valutnom tržištu i pri
tome koristi najsuvremeniju infrastrukturu. Na domaćem tržištu, pozicionira se kao
apsolutni market maker. Također, upravlja deviznom pozicijom banke, te vodi brigu o
izloženosti valutnom riziku. S obzirom na tržišna kretanja zauzima dugu/long ili
kratku/short poziciju. Zauzima špekulativne pozicije u svrhu boljeg upravljanja
viškovima likvidnosti. Trgovanje efektivnim novcem podrazumijeva dogovaranje
kupnje i prodaje strane i domaće gotovine za potrebe banke u svrhu održavanja
optimalne količine gotovine u trezorima banke na području cijele Hrvatske (PBZ banka,
2014). Također, u svojoj ponudi imaju usluge dostave ili preuzimanja efektivnog
stranog i domaćeg novca drugim domaćim i inozemnim bankama.
Vrste transakcija koje obavlja uprava za trgovanje devizama su:
o raznovrsna paleta jednostavnih proizvoda (terminskih i promptnih) kojima se
može poboljšati upravljanje deviznim rizikom. Prednosti ovih proizvoda su
brzina i jednostavnost ugovaranja, te činjenica da se ne naplaćuju nikakve
naknade.
o FX Spot (povlašteni tečaj) – predstavlja klasičnu kupoprodaju deviza po
povlaštenom tečaju s valutom podmire unutar dva radna dana od datuma
ugovaranja transakcije.
o FX Forward (terminska kupoprodaja deviza) – FX FWD spada u skupinu
terminskih transakcija jer podrazumijeva datum izvršenja transakcije duže od
dva radna dana. FX FWD je ugovaranje kupoprodaje deviza na neki datum u
budućnosti po unaprijed dogovorenom i fiksiranom tečaju. Uvelike se koristi
kao instrument zaštite od tečajnog rizika (hedging), odnosno budućih novčanih
22
tokova. Tečaj u budućnosti je produkt trenutnog tržišnog tečaja te razlike u
visini tržišnih kamatnih stopa na dvije valute, te ne predstavlja špekulaciju ili
predviđanje. Ugovaranje FWD transakcija vrlo je jednostavno i odvija se putem
telefona te se ne naplaćuju nikakve naknade kao ni za jedan proizvod riznice.
o FX Swap (proizvod za prevladavanje "kratkotrajne nelikvidnosti" u nekoj valuti)
– FX Swap je proizvod koji predstavlja kombinaciju jedne spot i fwd
transakcije. U stvarnosti predstavlja dvije međusobno povezane transakcije,
promptnu (spot) kupnju/prodaju valute te terminsku (forward) prodaju/kupnju
iste valute. U principu, predstavlja kratkoročnu pozajmicu jedne valute uz zalog
druge (PBZ banka, 2014).
Tim PBZ-a obavlja poslove financijskog savjetovanja, odnosno bavi se savjetovanjem o
strukturi kapitala, poslovnim strategijama i srodnim pitanjima, kao i savjetovanjem i
uslugama vezanima uz spajanja i stjecanja udjela u društvima. Glavni cilj im je pomoći
klijentima prilikom različitih korporativnih aktivnosti koje za cilj imaju kreiranje
dodane vrijednosti, a s time i bolje pozicioniranje klijenata u odnosu na konkurenciju.
Glavna područja poslovanja PBZ banke obuhvaćaju savjetovanje u stvaranju i provedbi
korporativnih aktivnosti, kao što su:
o preuzimanja i spajanja poduzeća,
o prodaja poduzeća ili imovine,
o privatizacije,
o programi organiziranog radničkog dioničarstva (ORD),
o transakcije koje uključuju otkup poduzeća uz visoko zaduživanje (tzv.
MBO/LBO transakcije),
o obrane od preuzimanja,
o procjene vrijednosti poduzeća,
o poslovne strategije,
o financijska restrukturiranja (PBZ banka, 2014).
23
PBZ banka ima bogat asortiman raznovrsnih kreditnih programa, kao što su:
o kratkoročni krediti (dopušteno prekoračenje po kunskom poslovnom računu),
o okvirni revolving krediti,
o dugoročni krediti,
o dugoročni krediti i ostali aranžmani po posebnim programima,
o devizne kreditne linije,
o krediti kupcu - Buyer's Credit,
o lombardni krediti,
o potrošački krediti,
o turistički krediti,
o posebni kreditni programi za male i srednje poduzetnike i obrtnike,
o EU Sinergo krediti,
o EU programi financiranja (PBZ banka, 2014).
Privredna banka Zagreb ima, također, raznovrsnu i atraktivnu ponudu kunske, devizne i
stambene štednje, te nudi mogućnost ulaganja u investicijske fondove.
4.1.4. Kartično poslovanje
U današnje vrijeme se sve više razvila suvremena tehnologija, a zajedno sa time i
kartično poslovanje. Kreditne kartice su danas zamijenile gotovinu zbog lakšeg načina
uporabe i korištenja.
U kreditne kartice s odgodom plaćanja spadaju:
o MasterCard – je kartica s beskamatnom odgodom plaćanja u kunama, po kojoj
svi troškovi po kartici, knjiženi tijekom tekućeg obračunskog razdoblja,
dospijevaju na naplatu u cijelom iznosu na dan dospijeća plaćanja u sljedećem
obračunskom razdoblju. Obračunsko razdoblje je jedan mjesec. Kartica je
međunarodno valjana i može se koristiti na svim prodajnim i isplatnim
mjestima, te bankomatima.
24
o MasterCard Affinity – je međunarodno valjana kartica s beskamatnom odgodom
plaćanja u kunama. Može se koristiti na svim prodajnim i isplatnim mjestima, te
bankomatima. Svi troškovi dospijevaju na naplatu u cijelom iznosu na dan
dospijeća plaćanja u sljedećem obračunskom razdoblju (mjesec dana).
o Visa Classic – je kreditna kartica i bezgotovinsko je sredstvo plaćanja roba i
usluga na svim prodajnim mjestima označenim za njen prihvat, kao i za
podizanje gotovine na bankomatima u zemlji i inozemstvu (PBZ banka, 2014).
U debitne kartice spadaju:
o Inspire – omogućuje jednostavno podizanje gotovine bez naknade na
bankomatima Privredne banke Zagreb, kao i na bankomatima banaka Intesa
Sanpaolo grupe.
o Maestro – omogućuje plaćanja na svim prodajnim mjestima i podizanja gotovine
na bankomatima u Hrvatskoj i inozemstvu.
o Visa Electron – omogućuje raspolaganje sredstvima na tekućem računu u stranoj
valuti, odnosno u jednoj od valuta po izboru klijenta (eura, američkih dolara ili
švicarskih franaka), u svakom trenutku, neovisno o tome da li se nalazi u
Hrvatskoj ili u inozemstvu.
o Visa Business Electron - je međunarodna kartica žiro računa u kunama za
građane (PBZ banka, 2014).
Dnevni limiti za podizanje gotovine i plaćanje na prodajnim mjestima iznose:
o MasterCard i Visa Classic kartice:
Za isplatu gotovine 5.000 kuna,
Za plaćanje na prodajnim mjestima 6.000 kuna.
o Inspire i Maestro kartice:
Za isplatu gotovine 5.000 kuna,
Ukupan dnevni limit za isplatu gotovine i plaćanja na prodajnim
mjestima je 15.000 kuna.
25
o Visa Electron kartica
Za isplatu gotovine 5.000,00 kuna,
Ukupan dnevni limit za isplatu gotovine i plaćanja na prodajnim
mjestima je 15.000,00 kuna.
o Visa Business Electron kartica uz žiro račun u kunama:
Za isplatu gotovine 5.000 kuna,
Za plaćanje na prodajnim mjestima 15.000 kuna.
o Visa Business Electron kartica uz kunski poslovni račun:
Za isplatu gotovine do 5.000 kuna,
Za plaćanje na prodajnim mjestima do 20.000 kuna (PBZ banka, 2014).
4.2. Bankomati kao elementi povezivanja
Bankomat je uređaj za izdavanje gotovine s otvorenih računa u banci, i to elektroničkim
putem. Mnoge su prednosti bankomata u odnosu na klasično podizanje novca u
bankama, a neke od njih su ušteda vremena, smanjenje gužve, a s time i smanjenje
troškova na bankovnim šalterima.
Najčešće su postavljeni u prostorijama banke, ali to nemora biti uvjet, već ih ima i na
drugim otvorenim lokacijama.
Korištenje bankomata je vrlo jednostavno. Koristi se ubacivanjem debitne ili kreditne
kartice s osobnim identifikacijskim kodom, a zatim unošenjem tajnog koda (PIN-a).
Upute za korištenje bankomata, koje korisniku olakšavaju obavljanje transakcije, su
dostupne na domaćem, odnosno hrvatskom ili na engleskom jeziku.
26
Funkcionalnosti bankomata koje omogućuje Privredna banka Zagreb d.d. su:
o isplata gotovine,
o uplata gotovine (takva transakcija je dostupna samo na uplatno - isplatnim
bankomatima),
o korištenje dnevno - noćnih trezora (dostupna je klijentima koji imaju sklopljen
ugovor o korištenju dnevno - noćnih trezora banke, samo na određenom uređaju
i na određenoj lokaciji),
o upit u stanje po otvorenim računima u Privrednoj banci Zagreb
o upit u stanje po Visa računima za korisnike koji nisu klijenti Privredne banke
Zagreb,
o upit u stanje PBZ investicijskih fondova,
o promjena PIN-a,
o kupovina GSM bonova (PBZ banka, 2014).
Privredna banka Zagreb ima veoma dobro razgranatu mrežu svojih bankomata preko
kojih omogućuje svojim korisnicima brz i jednostavan pristup novcu 24 sata dnevno
tokom cijele godine.
U Rijeci se nalazi 17 bankomata PBZ banke, a njihove adrese i lokacije su prikazane u
tablici 2.
Tablica 2: Lokacije bankomata Privredne banke Zagreb u gradu Rijeci
MJESTO
ADRESA
BANKOMATA LOKACIJA OZNAKA
Rijeka Đure Šporera 3
PBZ poslovnica
195/1
Stari grad
A
Rijeka Pul Vele Crikve 1 "Rijekatekstil" B
Rijeka Slavka Krautzeka b.b. Sveučilišni kampus C
Rijeka Janka Polić Kamova
81/A
PBZ ispostava 249
Tower Rijeka D
Rijeka Franje Čandeka 44 "Honda – Ruting" E
27
Rijeka Baštijanova B.B. "Kozala" market F
Rijeka Franje Belulovića B.B. "Vežica" Robna kuća G
Rijeka Fiorella la Guardija 4 PBZ poslovnica 251
"Brajda" H
Rijeka Osječka 71 "Mercator" I
Rijeka Kvaternikova 62 b PBZ poslovnica 252
"Vežica" J
Rijeka Mate Lovraka B.B. "Plodine" K
Rijeka Zametska 90 Poslovni prostor gDa
Gigante L
Rijeka Korzo 39 "Croatia osiguranje" M
Rijeka Ivana Zajca 6 PBZ poslovnica 186
kod kazališta N
Rijeka M. Krleže bb PBZ poslovnica
Srdoči O
Rijeka Slavka Krautzeka 15 Poslovni prostor
Čabrijan P
Rijeka Riva 6 Prodavaonica "Sport
Way" R
Izvor: Izrada autora
Na slici 3 se mogu vidjeti točne lokacije gdje su smješteni bankomati Privredne banke
Zagreb u gradu Rijeci.
28
Slika 3: Satelitska snimka lokacija bankomata Privredne banke Zagreb u gradu Rijeci
Izvor: "Bankomati Privredne banke Zagreb d.d.", PBZ banka, 2014.
4.3. Problem i analiza transportne opskrbe bankomata Privredne banke Zagreb
Transport podrazumijeva kretanje ljudi, životinja, tereta i roba s jednog mjesta na drugo.
Najčešće se odvija putem zračnog, pomorskog, željezničkog i cestovnog prometa.
Transport je veoma važan jer omogućuje trgovinu među ljudima, što je od izuzetne
važnosti za cijelu civilizaciju.
Ceste, željezničke pruge, aerodromi, morske luke su samo dio transportne
infrastrukture. Vozila koja se koriste na ovim transportnim mrežama su raznovrsna. Ona
uključuju automobile, bicikle, autobuse, vlakove, kamione, helikoptere, plovila, i
avione. Primarna funkcija transporta je funkcija otpremanja i funkcija pretovara.
Dakle, svaki transportni sustav se sastoji od:
o transportnog sredstva,
o transportnog proizvoda,
o transportnog procesa.
29
Transport određenog poduzeća se dijeli na:
o unutarnji,
o vanjski.
Kod opskrbe bankomata Privredne banke Zagreb, susreće se s vanjskim transportom,
koji se vrši pomoću transportnog sredstva u svrhu otpremanja proizvoda do bankomata.
Transportno sredstvo je vozilo (kombi), kojim se po potrebi obilaze bankomati kako bi
se napunili proizvodima, odnosno novcem, kako bi korisnici nesmetano mogli nastaviti
obavljati transakcije.
Problem transportne opskrbe bankomata PBZ banke u gradu Rijeci podrazumijeva da
treba pronaći minimalni put koji povezuje sve bankomate u gradu kako bi se ostvarili
minimalni troškovi opskrbe.
U tablici 2 su prikazane točne lokacije bankomata PBZ banke, te su na temelju njih,
pomoću internetske stranice Google Maps, određene udaljenosti između pojedinih
bankomata, koje su prikazane u tablici 3.
Tablica 3: Udaljenosti između pojedinih bankomata u kilometrima
A B C D E F G H I
A 0 1,6 3,9 3,3 5,1 1,8 3,3 1,6 5,0
B 1,6 0 5,2 4,3 4,5 1,4 4,3 1,3 4,1
C 3,9 5,2 0 2,8 7,4 3,9 1,7 3,7 6,5
D 3,3 4,3 2,8 0 7,0 3,4 5,2 3,3 6,1
E 5,1 4,5 7,4 7,0 0 6,3 7,9 3,3 4,4
F 1,8 1,4 3,9 3,4 6,3 0 6,0 2,9 4,2
G 3,3 4,3 1,7 5,2 7,9 6,0 0 4,3 7,1
H 1,6 1,3 3,7 3,3 3,3 2,9 4,3 0 2,8
I 5,0 4,1 6,5 6,1 4,4 4,2 7,1 2,8 0
J 2,7 3,7 1,2 4,3 6,9 5,3 1,7 3,6 6,5
K 8,5 7,9 10,8 10,3 3,8 8,6 11,4 6,3 6,9
30
L 5,4 4,7 7,7 7,2 1,5 6,3 8,2 4,0 4,8
M 0,95 1,2 3,2 2,8 4,8 3,6 3,8 1,8 4,8
N 0,6 1,1 2,9 2,5 4,5 3,8 3,5 1,1 4,0
O 1,6 3,9 3,4 4,2 2,9 4,4 0,95 3,8
P 3,4 4,7 1,9 4,6 7,6 6,0 2,9 4,3 7,2
R 1,4 0,8 3,7 3,3 4,2 3,5 4,3 0,85 3,7
J K L M N O P R
A 2,7 8,5 5,4 0,95 0,6 1,6 3,4 1,4
B 3,7 7,9 4,7 1,2 1,1 4,7 0,8
C 1,2 10,8 7,7 3,2 2,9 3,9 1,9 3,7
D 4,3 10,3 7,2 2,8 2,5 3,4 4,6 3,3
E 6,9 3,8 1,5 4,8 4,5 4,2 7,6 4,2
F 5,3 8,6 6,3 3,6 3,8 2,9 6,0 3,5
G 1,7 11,4 8,2 3,8 3,5 4,4 2,9 4,3
H 3,6 6,3 4,0 1,8 1,1 0,95 4,3 0,85
I 6,5 6,9 4,8 4,8 4,0 3,8 7,2 3,7
J 0 10,3 7,6 3,2 2,8 3,8 2,4 3,6
K 10,3 0 3,1 8,0 7,7 7,4 11,5 7,6
L 7,6 3,1 0 5,1 5,0 5,0 8,3 4,7
M 3,2 8,0 5,1 0 0,75 0,65 4,4 0,5
N 2,8 7,7 5,0 0,75 0 1,1 4,3 0,8
O 3,8 7,4 5,0 0,65 1,1 0 4,7 0,8
P 2,4 11,5 8,3 4,4 4,3 4,7 0 4,3
R 3,6 7,6 4,7 0,5 0,8 0,8 4,3 0
Izvor: Izrada autora
Pretpostavlja se da vozilo kojim se opskrbljuju bankomati ima trošak od 12 litara na 100
kilometara u prosječnoj gradskoj vožnji koja iznosi od 30 do 50 km/h. Trenutna cijena
31
benzina iznosi 9,82 kuna, što znači da vozilo troši 117,84 kuna na 100 kilometara,
odnosno 1,18 kuna po jednom kilometru.
Na temelju predhodnog izračuna izrađena je tablica 4 u kojoj je prikazan trošak
transportne opskrbe između svakog bankomata, koji će se koristiti kao težina bridova
grafa. Prikazana tablica 4 ujedno je i tablica incidencije.
Tablica 4: Trošak transportne opskrbe između svakog bankomata u kunama
A B C A E F G H I
A 0 1,89 4,60 3,89 6,01 2,12 3,89 1,89 5,89
B 1,89 0 6,13 5,07 5,30 1,65 5,07 1,53 4,83
C 4,60 6,13 0 3,30 8,72 4,60 2,00 4,36 7,65
D 3,89 5,07 3,30 0 8,25 4,00 6,13 3,89 7,19
E 6,01 5,30 8,72 8,25 0 7,42 9,31 3,89 5,18
F 2,12 1,65 4,60 4,00 7,42 0 7,07 3,42 4,95
G 3,89 5,07 2,00 6,13 9,31 7,07 0 5,07 8,37
H 1,89 1,53 4,36 3,89 3,89 3,42 5,07 0 3,30
I 5,89 4,83 7,65 7,19 5,18 4,95 8,37 3,30 0
J 3,18 4,36 1,41 5,07 8,13 6,25 2,00 4,24 7,66
K 10,02 9,31 12,73 12,14 4,48 10,13 13,43 7,42 8,13
L 6,36 5,54 9,07 8,48 1,77 7,42 9,66 4,71 5,66
M 1,12 1,41 3,77 3,30 5,66 4,24 4,48 2,12 5,66
N 0,71 1,30 3,42 2,95 5,30 4,48 4,12 1,30 4,71
O 1,89 4,60 4,01 4,95 3,42 5,18 1,12 4,48
P 4,01 5,54 2,24 5,42 8,96 7,07 3,42 5,07 8,48
R 1,65 0,94 4,36 3,89 4,95 4,12 5,07 1,00 4,36
J K L M N O P R
A 3,18 10,02 6,36 1,12 0,71 1,89 4,01 1,65
B 4,36 9,31 5,54 1,41 1,30 5,54 0,94
C 1,14 12,73 9,07 3,77 3,42 4,60 2,24 4,36
D 5,07 12,14 8,48 3,30 2,95 4,01 5,42 3,89
E 8,13 4,48 1,77 5,66 5,30 4,95 8,94 4,95
32
F 6,25 10,13 7,42 4,24 4,48 3,42 7,07 4,12
G 2,00 12,42 9,66 4,48 4,12 5,18 3,42 5,07
H 4,24 7,42 4,71 2,12 1,30 1,12 5,07 1,00
I 7,66 8,13 5,66 5,66 4,71 4,48 8,48 4,36
J 0 12,14 8,95 3,77 3,30 4,48 2,83 4,24
K 12,14 0 3,65 9,43 9,07 8,72 13,55 8,96
L 8,95 3,65 0 6,01 5,89 5,89 9,78 5,54
M 3,77 9,43 6,01 0 0,88 0,77 5,18 0,59
N 3,30 9,07 5,89 0,88 0 1,30 5,07 0,94
O 4,48 8,72 5,89 0,77 1,30 0 5,54 0,94
P 2,83 13,55 9,78 5,18 5,07 5,54 0 5,07
R 4,24 8,96 5,54 0,59 0,94 0,94 5,07 0
Izvor: Izrada autora
Problem transportne opskrbe bankomata Privredne banke Zagreb prikazan je i na
grafikonu 1.
Grafikon 1: Povezanost bankomata Privredne banke Zagreb u Rijeci
Izvor: Izrada autora
Vrhove grafa predstavljaju bankomati, dok bridove predstavljaju ceste. Dakle,
bankomati su međusobno povezani najkraćim putevima.
33
4.4. Minimizacija troškova transportne opskrbe bankomata Privredne banke
Zagreb
Problem transportne opskrbe bankomata PBZ banke je riješen traženjem minimalnog
razapinjućeg stabla, primjenom Primovog algoritma koji je objašnjen u prethodnom
poglavlju.
Početni vrh se označio sa nulom ili ništa, jer predstavlja korijen stabla. U ovom slučaju
to je vrh A koji odmah postaje dio traženog grafa.
Riješenje problema se sastoji od šesnaest koraka, a to su:
1. A – N
Vrh koji se dodaje u graf je vrh N, jer je udaljenost između njega i početnog vrha A
najmanja te težina brida koji spaja vrhove A i N iznosi 0,71. Prvi korak izvođenja
Primovog algoritma prikazan je na grafikonu 2.
Grafikon 2: Prvi korak izvođenja Primovog algoritma
Izvor: Izrada autora
34
2. N – M
Slijedeći vrh koji se dodaje u graf je vrh M, jer je udaljenost između njega i vrha N
najmanja (od svih mogućih slobodnih vrhova), a težina brida koji spaja vrhove N i M
iznosi 0,88. Drugi korak izvođenja Primovog algoritma prikazan je na grafikonu 3.
Grafikon 3: Drugi korak izvođenja Primovog algoritma
Izvor: Izrada autora
3. M – R
Slijedeći vrh koji se dodaje u graf je vrh R, jer je udaljenost između njega i vrha M
najmanja (od svih mogućih slobodnih vrhova), a težina brida koji spaja vrhove M i R
iznosi 0,59. Treći korak izvođenja Primovog algoritma prikazan je na grafikonu 4.
Grafikon 4: Treći korak izvođenja Primovog algoritma
Izvor: Izrada studenta
35
4. M – O
Slijedeći vrh koji se dodaje u graf je vrh O, jer je udaljenost između njega i vrha M
najmanja (od svih mogućih slobodnih vrhova), a težina brida koji spaja vrhove M i O
iznosi 0,77. Četvrti korak izvođenja Primovog algoritma prikazan je na grafikonu 5.
Grafikon 5: Četvrti korak izvođenja Primovog algoritma
Izvor: Izrada autora
5. R – B
Slijedeći vrh koji se dodaje u graf je vrh B, jer je udaljenost između njega i vrha R
najmanja (od svih mogućih slobodnih vrhova), a težina brida koji spaja vrhove R i B
iznosi 0,94. Peti korak izvođenja Primovog algoritma prikazan je na grafikonu 6.
Grafikon 6: Peti korak izvođenja Primovog algoritma
Izvor: Izrada autora
36
6. R – H
Slijedeći vrh koji se dodaje u graf je vrh H, jer je udaljenost između njega i vrha R
najmanja (od svih mogućih slobodnih vrhova), a težina brida koji spaja vrhove R i H
iznosi 1,00. Šesti korak izvođenja Primovog algoritma prikazan je na grafikonu 7.
Grafikon 7: Šesti korak izvođenja Primovog algoritma
Izvor: Izrada autora
7. B – F
Slijedeći vrh koji se dodaje u graf je vrh F, jer je udaljenost između njega i vrha B
najmanja (od svih mogućih slobodnih vrhova), a težina brida koji spaja vrhove B i F
iznosi 1,65. Sedmi korak izvođenja Primovog algoritma prikazan je na grafikonu 8.
Grafikon 8: Sedmi korak izvođenja Primovog algoritma
Izvor: Izrada autora
37
8. N – D
Slijedeći vrh koji se dodaje u graf je vrh D, jer je udaljenost između njega i vrha N
najmanja (od svih mogućih slobodnih vrhova), a težina brida koji spaja vrhove N i D
iznosi 2,95. Osmi korak izvođenja Primovog algoritma prikazan je na grafikonu 9.
Grafikon 9: Osmi korak izvođenja Primovog algoritma
Izvor: Izrada autora
9. A – J
Slijedeći vrh koji se dodaje u graf je vrh J, jer je udaljenost između njega i vrha A
najmanja (od svih mogućih slobodnih vrhova), a težina brida koji spaja vrhove A i J
iznosi 3,18. Deveti korak izvođenja Primovog algoritma prikazan je na grafikonu 10.
Grafikon 10: Deveti korak izvođenja Primovog algoritma
Izvor: Izrada autora
38
10. J – C
Slijedeći vrh koji se dodaje u graf je vrh C, jer je udaljenost između njega i vrha J
najmanja (od svih mogućih slobodnih vrhova), a težina brida koji spaja vrhove J i C
iznosi 1,41. Deseti korak izvođenja Primovog algoritma prikazan je na grafikonu 11.
Grafikon 11: Deseti korak izvođenja Primovog algoritma
Izvor: Izrada autora
11. C – G
Slijedeći vrh koji se dodaje u graf je vrh G, jer je udaljenost između njega i vrha C
najmanja (od svih mogućih slobodnih vrhova), a težina brida koji spaja vrhove C i G
iznosi 2,00. Jedanaesti korak izvođenja Primovog algoritma prikazan je na grafikonu
12.
Grafikon 12: Jedanaesti korak izvođenja Primovog algoritma
Izvor: Izrada autora
39
12. C – P
Slijedeći vrh koji se dodaje u graf je vrh P, jer je udaljenost između njega i vrha C
najmanja (od svih mogućih slobodnih vrhova), a težina brida koji spaja vrhove C i P
iznosi 2,24. Dvanaesti korak izvođenja Primovog algoritma prikazan je na grafikonu 13.
Grafikon 13: Dvanaesti korak izvođenja Primovog algoritma
Izvor: Izrada autora
13. H – I
Slijedeći vrh koji se dodaje u graf je vrh I, jer je udaljenost između njega i vrha H
najmanja (od svih mogućih slobodnih vrhova), a težina brida koji spaja vrhove H i I
iznosi 3,30. Trinaesti korak izvođenja Primovog algoritma prikazan je na grafikonu 14.
Grafikon 14: Trinaesti korak izvođenja Primovog algoritma
Izvor: Izrada autora
40
14. H – E
Slijedeći vrh koji se dodaje u graf je vrh E, jer je udaljenost između njega i vrha H
najmanja (od svih mogućih slobodnih vrhova), a težina brida koji spaja vrhove H i E
iznosi 3,89. Četrnaesti korak izvođenja Primovog algoritma prikazan je na grafikonu 15.
Grafikon 15: Četrnaesti korak izvođenja Primovog algoritma
Izvor: Izrada autora
15. E – L
Slijedeći vrh koji se dodaje u graf je vrh L, jer je udaljenost između njega i vrha E
najmanja (od svih mogućih slobodnih vrhova), a težina brida koja spaja vrhove E i L
iznosi 1,77. Petnaesti korak izvođenja Primovog algoritma prikazan je na grafikonu 16.
Grafikon 16: Petnaesti korak izvođenja Primovog algoritma
Izvor: Izrada autora
41
16. L – K
Slijedeći vrh koji se dodaje u graf je vrh K, jer je udaljenost između njega i vrha L
najmanja, a težina brida koji spaja vrhove L i K iznosi 3,65. Šesnaesti korak izvođenja
Primovog algoritma prikazan je na grafikonu 17.
Grafikon 17: Šesnaesti korak izvođenja Primovog algoritma
Izvor: Izrada autora
Dobiveni graf predstavlja traženo minimalno razapinjuće stablo. Na grafikonu 17
prikazan je optimalni put opskrbe bankomata, što podrazumjeva minimalni put od 26,25
kilometara uz minimalni trošak od 30,93 kuna.
42
5. ZAKLJUČAK
Ostvareni su svi postavljeni ciljevi istraživanja tijekom obrade teme diplomskog rada i
dani su odgovori na njih.
Teorija grafova, kao zasebna matematička disciplina, dobila je na značaju u zadnjih
šezdeset godina te se koristi i razvija u svakodnevnom poslovanju poslovnih subjekata.
U suvremenom svijetu se sve više primjenjuje te je postala alternativna metoda za
moderne programe pronalaženja optimalnih puteva.
Algoritmi koji se koriste za pronalaženje optimalnih puteva su jednostavni za primjenu i
koriste se ne samo u poslovnom svijetu već i u uobičajenim životnim situacijama
pojedinaca, koji, na primjer, žele posjetiti sve znamenitosti određenog grada.
Teorija grafova i algoritmi se također mogu primjeniti na problem transportne opskrbe
bankomata Privredne banke Zagreb, kao što je obrađeno u prethodnom poglavlju.
Bankomati su inovativni uređaji koji imaju sve veću ulogu u današnjem ubrzanom
načinu života. Privredna banka Zagreb je uložila velike napore u stvarnju mreže svojih
bankomata, na području grada Rijeke. To potvrđuje i činjenica da u Rijeci postoji 17
bankomata PBZ banke.
Transport je vrlo važan čimbenik za opskrbu postavljenih bankomata, iz čega proizlazi i
problem transportne opskrbe. Problem transporta prikazan je na primjeru povezivanja
17 bankomata. Da bi se postavljeni problem rješio minimizirali su se troškovi
transporta, što podrazumjeva pronalazak minimalnog razapinjućeg stabla primjenom
Primovog algoritma. Izračunat je minimalni put u kilometrima i minimalni trošak u
kunama.
Izračunom se došlo do spoznaje da je potrebno prijeći 26,25 kilometara kako bi se
opskrbili svi bankomati PBZ banke u gradu Rijeci što uzrokuje najmanji mogući trošak
u iznosu od 30,93 kuna.
43
LITERATURA
o Cvetković, D. 1971, "Teorija grafova i njene primjene", Beogradski izdavačko –
grafički zavod, Beograd.
o Divjak, B. i Lovrenčić, A. 2005, "Diskretna matematika s teorijom grafova",
TIVA tiskara, Varaždin.
o Fošner, M. i Kramberger, T. 2009, "Teorija grafova i logistika", Fakultet
logistike, Maribor.
o Golemac, A. i suradnici 2012, "Od koenigsberških mostova do kineskog
poštara", Prirodoslovno-matematički fakultet, Split.
o Marinović, M. 2013, "Teorija grafova", Fakultet elektrotehnike i računarstva,
Zagreb.
o Pašagić, H. 1998, "Matematičko modeliranje i teorija grafova", Zagreb, Zagreb
o PBZ banka, 2014, pogledano 20. svibnja 2014.
http://www.pbz.hr/Default.aspx .
o Veljan, D. 1989, "Kombinatorika s teorijom grafova", Školska knjiga, Zagreb.
o Veljan, D. 2001, "Kombinatorna i diskretna matematika", Algoritam, Zagreb.
o Vištica, M. 2012, "Problem trgovačkog putnika", Prirodoslovno - matematički
fakultet, Split.
44
POPIS TABLICA
Tablica 1: Tablica incidencije postavljenog zadatka na slici 2 .............................................. 10
Tablica 2: Lokacije bankomata Privredne banke Zagreb u gradu Rijeci ................... 26
Tablica 3: Udaljenosti između pojedinih bankomata u kilometrima ......................... 29
Tablica 4: Trošak transportne opskrbe između svakog bankomata ........................... 31
POPIS GRAFIKONA
Grafikon 1: Povezanost bankomata Privredne banke Zagreb u Rijeci ...................... 32
Grafikon 2: Prvi korak izvođenja Primovog algoritma ............................................. 33
Grafikon 3: Drugi korak izvođenja Primovog algoritma .......................................... 34
Grafikon 4: Treći korak izvođenja Primovog algoritma ........................................... 34
Grafikon 5: Četvrti korak izvođenja Primovog algoritma ........................................ 35
Grafikon 6: Peti korak izvođenja Primovog algoritma ............................................. 35
Grafikon 7: Šesti korak izvođenja Primovog algoritma ........................................... 36
Grafikon 8: Sedmi korak izvođenja Primovog algoritma ......................................... 36
Grafikon 9: Osmi korak izvođenja Primovog algoritma ........................................... 37
Grafikon 10: Deveti korak izvođenja Primovog algoritma ....................................... 37
Grafikon 11: Deseti korak izvođenja Primovog algoritma ....................................... 38
Grafikon 12: Jedanaesti korak izvođenja Primovog algoritma ................................. 38
Grafikon 13: Dvanaesti korak izvođenja Primovog algoritma .................................. 39
Grafikon 14: Trinaesti korak izvođenja Primovog algoritma ................................... 39
Grafikon 15: Četrnaesti korak izvođenja Primovog algoritma ................................. 40
Grafikon 16: Petnaesti korak izvođenja Primovog algoritma ................................... 40
Grafikon 17: Šesnaesti korak izvođenja Primovog algoritma .................................. 41
POPIS SLIKA
Slika 1: Königsberški mostovi .................................................................................... 5
45
Slika 2: Postavljen zadatak ....................................................................................... 10
Slika 3: Satelitska snimka lokacija bankomata Privredne banke Zagreb u gradu
Rijeci ......................................................................................................................... 28
IZJAVA
kojom izjavljujem da sam diplomski rad s naslovom PRIMJENA TEORIJE GRAFOVA
KOD PROBLEMA TRANSPORTNE OPSKRBE BANKOMATA PRIVREDNE
BANKE ZAGREB izradila samostalno pod voditeljstvom prof. dr. sc. Alemke Šegote, a
pri izradi diplomskog rada pomagla mi je i asistentica dr.sc. Jelena Jardas Antonić. U
radu sam primijenila metodologiju znanstveno-istraživačkog rada i koristila literaturu
koja je navedena na kraju diplomskog rada. Tuđe spoznaje, stavove, zaključke, teorije i
zakonitosti koje sam izravno ili parafrazirajući navela u diplomskom radu na uobičajen,
standardan način citirala sam i povezala s korištenim bibliografskim jedinicama. Rad je
pisan u duhu hrvatskog jezika.
Također, izjavljujem da sam suglasna s objavom diplomskog rada na službenim
stranicama Fakulteta.
Studentica
