Sveuilite u Rijeci

Odjel za matematiku

Akademska 2013/2014. godina

Seminar iz Dodatne nastave matematike

Prirodni i cijeli brojevi

Osnovna kola, 5. 8. razred

Danijela Jakovac

Rijeka, 22.11.2013.

2

1. Uvod

Povijesna je ljudska potreba za prebrojavanjem. Razliiti narodi imali su razliite oznake i

razliite rijei koje prate te oznake. Razvojem raunanja dolo se do spoznaje da se brojevi

mogu prikazivati pomou ogranienog broja oznaka. Babilonci su se koristili klinastim

pismom. Stari Rimljani upotrebljavali su slova kao brojeve (I, V, X, L, C, D i M). Danas su ti

brojevi u upotrebi u izuzetnim situacijama. Indijci su upotrebljavali oznake sline dananjima,

a te su oznake Arapi u 10. stoljeu prenijeli u Europu. Danas se sluimo arapskim brojevima i

dekadskim brojevnim sustavom, tj. pomou deset znamenaka zapisujemo sve brojeve.

Uenici se ve u 1. razredu osnovne kole susreu s prirodnim brojevima. Do kraja 4.

razreda uenici su sposobni itati, pisati i brojati do milijun. U 5. razredu usvajaju svojstva

prirodnih brojeva. S cijelim brojevima upoznaju se u 6. razredu.

Tema ovog seminarskog rada su prirodni i cijeli brojevi, ili tonije zadaci s tim

brojevima koji se pojavljuju na natjecanjima u osnovnoj koli.Takvih zadataka ima mnogo, a

u ovom seminaru izdvojiti u neke od tih zadataka.

1.1. Prirodni brojevi

prvi su brojevi do kojih je ovjeanstvo dolo tijekom svog razvoja. Oni su osnova

matematike. Ti brojevi ine skup prirodnih brojeva koji se oznaava slovom 1. Skup prirodnih brojeva moemo zapisati na ovaj nain: .

Najmanji prirodni broj je 1.

Ne postoji najvei prirodan broj. Prirodnih brojeva ima beskonano mnogo. Broj 0 nije prirodni broj.

Skup prirodnih brojeva i nule oznaavamo 0 .

Primjer 1. Koliko je osoba u prostoriji u kojoj boravite?

Brojevi su parni prirodni brojevi. Brojevi su neparni

prirodni brojevi ( .

Prirodne brojeve moemo zbrajati, oduzimati, mnoiti i dijeliti.

1 Oznaka dolazi od poetnog slova latinske rijei naturalis to u prijevodu znai prirodan.

3

Svaki prirodan broj moe se zapisati pomou deset brojki: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,92.

Razlikujemo jednoznamenkaste, dvoznamenkaste, troznamenkaste, etveroznamenkaste,...

prirodne brojeve.

Za svaka dva prirodna broja i ili je , ili , ili .

Neka je prirodni broj. Prirodni broj zove se neposredni sljedbenik broja .

Ako je , onda je prirodni broj koji se zove neposredni prethodnik broja .

Za svaki prirodni broj , vrijedi: .

1.2. Cijeli brojevi

Brojevi -1, -2, -3, ... zovu se negativni cijeli brojevi.

Skup nazivamo skup negativnih cijelih brojeva.

Skup nazivamo skup pozitivnih cijelih brojeva.

Vrijedi .

Skup sastavljen od prirodnih brojeva: 1, 2, 3, 4, ..., nule i negativnih cijelih brojeva: -1, -2, -3, -4,...

oznaava se sa tj . Skup zove se skup cijelih brojeva.

Primjer 2. Kako u Lici u zimskim mjesecima najee izraavamo temperaturu zraka?

2 Ove su brojke nastale u Indiji prije 5. stoljea. Arapi su ih u srednjem vijeku prenijeli u Europu zbog ega se

nazivaju arapskima.

4

2. Zadaci s natjecanja

1. Izraunaj ( ( . (5. razred, kolsko

natjecanje 2013.)

Rjeenje:

( (

( (

2. Odredi sve prirodne brojeve za koje je razlomak

prirodni broj. (6. razred,

kolsko natjecanje, 2013.)

Rjeenje:

Vrijedi

. Da bi zadani razlomak bio prirodni broj, mora i

razlomak

biti prirodni broj. Razlomak

e biti prirodni broj ako se u nazivniku

nalaze djelitelji broja 8. Znai moe imati vrijednosti i .

nema rjeenje u skupu .

nema rjeenje u skupu .

daje .

daje .

Dakle, .

3. Bogati voar, vlasnik 441 stabla maslina u masliniku, eli ta stabla podijeliti svojoj

djeci i unucima, tako da svako njegovo dijete dobije 5 stabala maslina vie nego svako

unue. Koliko djece, a koliko unuadi, ima bogati voar, ako je ukupan broj djece i

5

unuadi 18? Koliko je stabala maslina dobilo svako njegovo dijete, a koliko svako

unue? (7. razred, 1994.)

Rjeenje:

Neka je broj djece. Tada je ( broj unuadi.

Neka je broj maslina koje je dobilo svako dijete. Tada je svako unue dobilo (

maslina.

Prema uvjetu zadatka, vrijedi ( ( , to povlai da je

. Budui da i , imamo da je neparan i djeljiv s 9.

No, tada je i x neparan i djeljiv s 9, a znamo i da je . Stoga je , pa iz

dobivamo .

Dakle, voar ima 9 djece i 9 unuadi. Svako dijete je dobilo po stabala maslina, a

svako unue po 22 stabala.

4. Najvei zajedniki djelitelj dva prirodna broja je 24, a najmanji zajedniki viekretnik

istih brojeva je 504. Nijedan od tih brojeva nije djeljiv s onim drugim brojem. Koji su

to brojevi? (6. razred, 1982.)

Rjeenje:

Neka su traeni brojevi i . Imamo: ( .

Iz formule ( ( slijedi , to povlai da

je . Dakle, . Za dobivamo da , a za dobivamo

. Prema tome, jedine mogunosti su ( ( i ( ( .

Traeni brojevi su i .

5. Odredi zbroj i umnoak 20 uzastopnih cijelih brojeva meu kojima je 8 pozitivnih. (7.

razred, kolsko natjecanje, 2013.)

Rjeenje:

S obzirom da se radi o uzastopnim brojevima i da ih je 8 pozitivnih, onda je meu

preostalim broj 0 i 11 negativnih. Dakle, to su brojevi

.

Kako je meu njima broj 0, onda je njihov umnoak 0.

6

Za zbroj vrijedi:

( (

( ( ( ( (

( (

6. Odredi prirodni broj koji je djeljiv sa 17, a pri dijeljenju s 5, 6, 8 i 9 daje ostatak 1 te je

vei od 3000 i manji od 4000. (5. razred, upanijsko natjecanje, 2013.)

Rjeenje:

Vrijedi ( .

Kako je i , onda su brojevi

i viekratnici broja vei od 3000 i manji od 4000.

Nadalje, brojevi i

pri dijeljenju s i daju ostatak 1 te su vei od i manji od .

No, i pa je traeni

broj .

7. Dokai da jednadba ( nema rjeenje u skupu cijelih

brojeva. (7. razred, upanijsko natjecanje, 2013.)

Rjeenje:

Znamenka jedinica umnoka dva cijela broja jednaka je znamenci jedinica umnoka

znamenaka jedinica tih brojeva.

Vrijedi

Znamenka jedinica broja 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Znamenka jedinica broja 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 Znamenka jedinica umnoka ( 0 6 4 4 6 0 6 4 4 6

Kako znamenka jedinica umnoka ( ne moe biti 8, onda zadana jednadba

nema rjeenje u skupu cijelih brojeva.

7

8. Postoje li cijeli brojevi i za koje vrijedi da je ? Obrazloi svoju

tvrdnju. Ako postoje takvi brojevi, odredi ih sve. (8. razred, upanijsko natjecanje,

2013.)

Rjeenje:

Jednadbu moemo zapisati ili ( (

.

Dalje je ( ( .

a)

Daje rjeenje ( ,

Daje rjeenje ( ,

Daje rjeenje ( ,

Daje rjeenje ( .

b)

(i sline kombinacije) nema rjeenja u skupu cijelih brojeva.

c)

(i sline kombinacije) nema rjeenja u skupu cijelih brojeva.

8

9. Umnoak tri uzastopna prirodna broja je . Odredi nepoznatu znamenku . (5.

razred, dravno natjecanje, 2013.)

Rjeenje:

Kako je od tri uzastopna broja jedan djeljiv s 3, onda je i umnoak djeljiv s 3 te

znamenka moe biti ili .

Vrijedi i .

Samo se broj moe prikazati kao umnoak tri uzastopna broja i to

.

Dakle, .

10. Rijei sustav jednadbi

.

(8. razred, opinsko gradsko natjecanje, 2006.)

Rjeenje:

Kvadriramo li jednakost , dobivamo .

Kako je , slijedi da je . Nadalje, imamo da

je( , pa je ili .

Rjeenje sustava je .

Rjeenje sustava je .

11. Odredi sve cijele brojeve za koje je razlomak

pozitivan cijeli broj. (6. razred,

regionalno natjecanje, 1999.)

Rjeenje:

Sreivanjem zadanog izraza dobivamo:

. Razlomak

je cijeli

broj ako je jedan od sljedeih brojeva: ili . Izraz

bit e

pozitivan cijeli broj za sve navedene vrijednosti osim za 1.

Dakle, moe biti bilo koji od ovih brojeva: ili .

9

12. Koliko ima ureenih parova cijelih brojeva ( takvih da je . (7.

razred, dravno natjecanje, 2005.)

Rjeenje:

Pogledajmo ponajprije koliko ima ureenih parova ( gdje su i prirodni

brojevi koji zadovoljavaju uvjete zadatka.

Ako je , onda moe poprimiti vrijednosti ;

ako je , onda moe poprimiti vrijednosti ; ... ,

ako je , onda moe poprimiti samo vrijednost 1.

Dakle, ureenih parova ( , gdje su i prirodni brojevi ima

.

Pogledajmo sada koliko ukupno ima ureenih parova ( koji zadovoljavaju uvjet

zadatka, gdje su i cijeli brojevi razliiti od nule. Iz uvjeta

slijedi da svakom ureenom paru ( prirodnih brojeva koji zadovoljavaju zadani

uvjet moemo pridruiti ureene parove ( ( i ( cijelih brojeva

koji zadovoljavaju uvjete zadatka. Prema tome, broj ureenih parova cijelih brojeva

( koji su razliiti od nule ima ukupno .

Konano, preostaje prebrojati ureene parova kojima je barem jedna koordinata

jednaka nuli. Ako je , onda uvjet prelazi u , a

cijelih brojeva koji zadovoljavaju taj uvjet ima . Analogno,

ureenih parova kojima je druga koordinata jednaka nuli, a zadovoljavaju uvjet

zadatka ima takoer . Ukupno, ureenih parova cijelih brojeva kojima je barem

jedna koordinata jednaka nuli ima

jer smo ureeni par ( raunali dva puta.

Konano, traeni broj je jednak .

10

3. Zakljuak

U svakoj dravi nalaze se potencijalni ampioni u raznim sportovima, vrhunski

muziari, znanstvenici itd. Kad je u pitanju matematika, posebno je vana rana

identifikacija uenika, poticaj i ohrabrenje u radu, suoavanje s kreativnim izazovima te

kontakti s uenicima sa slinim sklonostima.

Svaka zemlja nastoji kroz organizaciju svojeg obrazovanja osigurati uvjete da takve

potencijalne mogunosti postanu i stvarne. Jedan od naina da se to ostvari je kroz razna

natjecanja u matematici. Time se razvija zdrav natjecateljski duh. Cilj matematikih

natjecanja nije samo da dobivamo dobre matematiare. Radne navike steene kroz

natjecanja, sistematinost u radu, upornost i kritinost bit e mladom ovjeku od koristi u

buduem zanimanju, svejedno kojem.

Osim kolskih, opinskih, upanijskih i dravnih natjecanja, vrijedno je spomenuti i

natjecanje Klokan bez granica. To je udruga meunarodnog karaktera i okuplja

predstavnike velikog broja Europskih zemalja. Njezin cilj je popularizacija matematike i

irenje osnovne matematike kulture. Namjera je motivirati uenike da se bave

matematikom izvan redovitih kolskih programa. I upravo zato je to jedno vrlo popularno

natjecanje na koje se prijavljuju razliita djeca, i ona vie darovita, ali i oni kojima je

matematika zanimljiva, a nisu moda toliko dobri u matematici.

11

4. Literatura

Knjige:

1. Vlado Stoi: Natjecanja uenika Osnovnih kola, HMD, Zagreb 2000. 2. B. Jagodi, N. Sarapa, R. Svedrec: Matematika 6, udbenik za 6. razred osnovne

kole, kolska knjiga, Zagreb, 2000.

Web stranice:

1. http://www.matematika.hr/domaca (11.11.2013.)

2. http://public.carnet.hr/mat-natj/zadaci-OS.htm (10.11.2013.)

3. http://www.croatianhistory.net/mat/natj.html (12.11.2013.)