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bei Prof. Dr. Klopsch Thema: Encoding and decoding with a linear code (Chapter 6) Dea Dubovci, 17.05.21 Proseminar Kodierungstheorie 2021 http://www.goodreads.com/book/show/ 746828.A_First_Course_in_Coding_Theory

Proseminar Kodierungstheorie 2021 - HHU

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Page 1: Proseminar Kodierungstheorie 2021 - HHU

bei Prof. Dr. Klopsch

Thema: Encoding and decoding with a linear code (Chapter 6) Dea Dubovci, 17.05.21

Proseminar Kodierungstheorie 2021

http://www.goodreads.com/book/show/746828.A_First_Course_in_Coding_Theory

Page 2: Proseminar Kodierungstheorie 2021 - HHU

1 verschlüsseln eines linearen Codes

Managerin

Maaßen

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verschlüsselt Dabei sind

die Nachrichtenzittern und

sind Korrektur ziffern Letztereinduzieren Redundanz dieder Nachricht angefangen werdenum Störungen auszugleichen

Bsp 1.4 Sei der binäre mitGenerator matrix in Standardform

Ein Nachrichten vektor wirdkodiert dutch

Beispielsweise gilt

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Bem 1.5 Allg gilt für einen linearen Code

für den verschküsselungsprozessfolgendes Kommunikationsschoema

2 Entschlüssen eines linearen Codes

Def 2.1 Sei ein Codewort das

durch den Kanal gesendet wirdund als ankommt

Wir definieren den Fettervektorals

Bem 2 2 Der Entschluss her hat nun zwei

äquivalente Möglichkeiteni Anhand von erkennen weichesCodewort übermittelt wurde

ii Erkennen welcher Fehler vektorentstanden ist

Def 2.3 Sei ein überund Dann heißt

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Nebenklasse von

Lemma 2 4 Sei eine Nebenklasseronund Dann

Beni Da giltfür gewisses _Sei nun

Dann

2190

Sei nun Dann

also

Insg folgtTheorem 2.5 Sei ein Über

Danni Jeder Vektor aus ist ineiner Nebenklasse von enthalten

ii Jede Nebenklasse enthält

genau Vektoreniii Zwei Nebenklassen sind entweder

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disjunkt oder identisch

Ben i Falls dann

ii Die Zuordnung von

nach def durchist

offensichtlichinjektiv daher

iii Angenommen die NebenKlassenund

überschneidensich Dann ex ein

Vektor mit

Daher gilt für gewisse

Dannund nach Lemma 2.4

Bsp 2.6 Sei der binäremit Generator matrix

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Z.BDann sind die Neben Klassen von

AchtungFür

gilt Das hätteman auch hervorsagen können denn

Def 2.7 Der Vektor mit minimalem GewichtWah Gewicht Anzahl der

Einträge in einer Neben klasse

heißt NebenklassenanführerBem 2.8 Falls mehrere rektoren minimales

Gewicht haben so suchen wir uns

einen bel aus und bezeichnenihn als Nebenklassenanführer

Bem 2.9 Wegen theorem 2.5 gilt dass

in disjunkte Neben Klassenvon zerlegt werden kann

Page 8: Proseminar Kodierungstheorie 2021 - HHU

mit Nacho Lemma 2.4

können wir als

Nebenklassenanführer setzen

Def 2.10 Ein Standard array für einen

ist ein

array mit allen Vektoren inin denen die erste Reihe aus

dem Code mit ganz außenlinks besteht und dierestlichenReihen sind die Neben Klassenwobei diese alle in

korrespondierenderReihenfolge mit

dem Nebenklassen anführer linksangeordnet sind

Algo 2.11 Schritt 1 Erstelle eine Liste aus

den Code Wörtern von

beginnend mit als

erste ReiheSchritt 2 wähle bel Vektor

mit minimalem GewichtSetze die Neben klasse

als zweite Reiheindem man unter und

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unter setztSchritt 3 Aus den Vektoren die nicht

in den vorherigen Reihenenthalten sind wählt man

ein bel mit minimalemGewicht und ordnet die

Neben klasse wie in

Schritt 2 beschrieben an

Schritt 4 Wiederhole dieses Vorgehenbis alle Neben Klassensortiertsind und jeder Vektor

aus genau einmal

auftauchtBsp 2.12 Ein Standard array für den Code

aus Bsp 2 6 ist

CodeWörter

Neben Klassen anführerBem 2.13 In einem Standard array ist jeder

Eintrag die Summe aus demCodewortder Zeile darunter und dem

Neben Klassen anführer dieser

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Bem 2.14 Der Entschliesst er nutzt den

Standard array wie folgtWenn z.B ankommtwird dessen Position im arraybestimmt Dann entscheidet der

Entschluss her dass der Felderrektor der Nebenklassen anführer

ist den man ganz links Von

findet Nun ist entschlüsseltals das CodewortKurzgesagt Man entschlüsselteinen Vektor als das Codewortüber der Spalte die y enthält

Bem 2.15 Die Fehler vektoren die korrigiertwerden sind gerade die NebenKlassen anführer unabhängig davonwelches Codewort übermittelt wird

Indem man einen Vektor von

minimalem Gewicht in jeder NebenKlasse als Neben Klassen anführerwählt stellen wir sicher dassder Standard array den wir zum

entschlüsseln nutzen ein Nächster

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Nachbar Schema ist

Bsp 2.16 In Bsp 2.12 wird ein einfacherFetter nur korrigiert wenn er in

den ersten drei Stellen auftauchtnicht aber in der vierten Stelle

Kanal tNachricht Codewort Störung

veekfür TIFF Fähnrich

Bem 2.17 Im zweiten Fall selten wir dass

Kanal und Störung das Codewortnicht beeinflusst haben wir aber

trotzdem die falsche Nachrichterhalten Raben In diesem Fall hatdas Anhängen der Redundanzmehr Schaden angerichtet als

nützlich zu seinUm aber eine sinnvolle Bewertungfür einen guten Code zu bekommenmüssen wir die Wahrscheinlichkeitkennen mit der ein erhaltenerVektor mittels dem StandararrayKorrekt entschlüsselt wird

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3 Die Wahrscheinlichkeit einer Fetter KorrekturBem 3.1 Der Einfachheit shalber begrenzen

wir uns in diesem Kapitel aufbinäre lineare Codes Wir nehmenan dass der Kanal binärsymmetrischmit Zeichen fetterWahrscheinlichkeitverteilt ist In einer

vorherigen Sitzung haben wir

festgehaltendass die

Wahrscheinlichkeitdass der Fetter vektor

ein gegebener Vektor mit Gewichtist beträgtBinomial verteilung

theorem 3.2 Sei ein binärerFür sei die

Anzahl der Nebenklassenanfüherermit Gewicht Dann beträgtdie Wahrscheinlichkeit dassein erhaltener Vektor der miteinem Standard array entschlüsseltwurde korrekt ist

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Bsp 3.6 Für den aus Bsp 2.16sind die Neben

klasse.tnJafJeIregTet

und

für

Bem 3.7 Die Wahrscheinlichkeit dassein entschlüsseltes Wort nichtdem gesendeten Wort entsprichtheißt Wort Fehler Rate undes gilt

Bem 3 8 Ein linearer nutzt

Zeichen um Nachrichten zu

senden Man sagt dieser Codehat eine Rate von

Ein guter Code wird eine hoheRate Raben

Def 3.9 Die Kapazität eines binären

symmetrischen Kanals mit Zeichenfetterwarischeinkichkeit p ist

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theorem3.10 Gegeben sei ein binärersymmetrischerKanal mit Zeichenfetter

Wahrscheinlichkeit Sei

Dannmit

hinreichend groß und

Bsp 3.11 Es gilt D h fürkönnen wir selbst wenn

wir auf eine Rate von bestehenwürden theoretisch so klein

bekommen wie wir möchten indem

wir und hinreichend großwählen