Upload
others
View
2
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
bei Prof. Dr. Klopsch
Thema: Encoding and decoding with a linear code (Chapter 6) Dea Dubovci, 17.05.21
Proseminar Kodierungstheorie 2021
http://www.goodreads.com/book/show/746828.A_First_Course_in_Coding_Theory
1 verschlüsseln eines linearen Codes
Managerin
Maaßen
verschlüsselt Dabei sind
die Nachrichtenzittern und
sind Korrektur ziffern Letztereinduzieren Redundanz dieder Nachricht angefangen werdenum Störungen auszugleichen
Bsp 1.4 Sei der binäre mitGenerator matrix in Standardform
Ein Nachrichten vektor wirdkodiert dutch
Beispielsweise gilt
Bem 1.5 Allg gilt für einen linearen Code
für den verschküsselungsprozessfolgendes Kommunikationsschoema
2 Entschlüssen eines linearen Codes
Def 2.1 Sei ein Codewort das
durch den Kanal gesendet wirdund als ankommt
Wir definieren den Fettervektorals
Bem 2 2 Der Entschluss her hat nun zwei
äquivalente Möglichkeiteni Anhand von erkennen weichesCodewort übermittelt wurde
ii Erkennen welcher Fehler vektorentstanden ist
Def 2.3 Sei ein überund Dann heißt
Nebenklasse von
Lemma 2 4 Sei eine Nebenklasseronund Dann
Beni Da giltfür gewisses _Sei nun
Dann
2190
Sei nun Dann
also
Insg folgtTheorem 2.5 Sei ein Über
Danni Jeder Vektor aus ist ineiner Nebenklasse von enthalten
ii Jede Nebenklasse enthält
genau Vektoreniii Zwei Nebenklassen sind entweder
disjunkt oder identisch
Ben i Falls dann
ii Die Zuordnung von
nach def durchist
offensichtlichinjektiv daher
iii Angenommen die NebenKlassenund
überschneidensich Dann ex ein
Vektor mit
Daher gilt für gewisse
Dannund nach Lemma 2.4
Bsp 2.6 Sei der binäremit Generator matrix
Z.BDann sind die Neben Klassen von
AchtungFür
gilt Das hätteman auch hervorsagen können denn
Def 2.7 Der Vektor mit minimalem GewichtWah Gewicht Anzahl der
Einträge in einer Neben klasse
heißt NebenklassenanführerBem 2.8 Falls mehrere rektoren minimales
Gewicht haben so suchen wir uns
einen bel aus und bezeichnenihn als Nebenklassenanführer
Bem 2.9 Wegen theorem 2.5 gilt dass
in disjunkte Neben Klassenvon zerlegt werden kann
mit Nacho Lemma 2.4
können wir als
Nebenklassenanführer setzen
Def 2.10 Ein Standard array für einen
ist ein
array mit allen Vektoren inin denen die erste Reihe aus
dem Code mit ganz außenlinks besteht und dierestlichenReihen sind die Neben Klassenwobei diese alle in
korrespondierenderReihenfolge mit
dem Nebenklassen anführer linksangeordnet sind
Algo 2.11 Schritt 1 Erstelle eine Liste aus
den Code Wörtern von
beginnend mit als
erste ReiheSchritt 2 wähle bel Vektor
mit minimalem GewichtSetze die Neben klasse
als zweite Reiheindem man unter und
unter setztSchritt 3 Aus den Vektoren die nicht
in den vorherigen Reihenenthalten sind wählt man
ein bel mit minimalemGewicht und ordnet die
Neben klasse wie in
Schritt 2 beschrieben an
Schritt 4 Wiederhole dieses Vorgehenbis alle Neben Klassensortiertsind und jeder Vektor
aus genau einmal
auftauchtBsp 2.12 Ein Standard array für den Code
aus Bsp 2 6 ist
CodeWörter
Neben Klassen anführerBem 2.13 In einem Standard array ist jeder
Eintrag die Summe aus demCodewortder Zeile darunter und dem
Neben Klassen anführer dieser
Bem 2.14 Der Entschliesst er nutzt den
Standard array wie folgtWenn z.B ankommtwird dessen Position im arraybestimmt Dann entscheidet der
Entschluss her dass der Felderrektor der Nebenklassen anführer
ist den man ganz links Von
findet Nun ist entschlüsseltals das CodewortKurzgesagt Man entschlüsselteinen Vektor als das Codewortüber der Spalte die y enthält
Bem 2.15 Die Fehler vektoren die korrigiertwerden sind gerade die NebenKlassen anführer unabhängig davonwelches Codewort übermittelt wird
Indem man einen Vektor von
minimalem Gewicht in jeder NebenKlasse als Neben Klassen anführerwählt stellen wir sicher dassder Standard array den wir zum
entschlüsseln nutzen ein Nächster
Nachbar Schema ist
Bsp 2.16 In Bsp 2.12 wird ein einfacherFetter nur korrigiert wenn er in
den ersten drei Stellen auftauchtnicht aber in der vierten Stelle
Kanal tNachricht Codewort Störung
veekfür TIFF Fähnrich
Bem 2.17 Im zweiten Fall selten wir dass
Kanal und Störung das Codewortnicht beeinflusst haben wir aber
trotzdem die falsche Nachrichterhalten Raben In diesem Fall hatdas Anhängen der Redundanzmehr Schaden angerichtet als
nützlich zu seinUm aber eine sinnvolle Bewertungfür einen guten Code zu bekommenmüssen wir die Wahrscheinlichkeitkennen mit der ein erhaltenerVektor mittels dem StandararrayKorrekt entschlüsselt wird
3 Die Wahrscheinlichkeit einer Fetter KorrekturBem 3.1 Der Einfachheit shalber begrenzen
wir uns in diesem Kapitel aufbinäre lineare Codes Wir nehmenan dass der Kanal binärsymmetrischmit Zeichen fetterWahrscheinlichkeitverteilt ist In einer
vorherigen Sitzung haben wir
festgehaltendass die
Wahrscheinlichkeitdass der Fetter vektor
ein gegebener Vektor mit Gewichtist beträgtBinomial verteilung
theorem 3.2 Sei ein binärerFür sei die
Anzahl der Nebenklassenanfüherermit Gewicht Dann beträgtdie Wahrscheinlichkeit dassein erhaltener Vektor der miteinem Standard array entschlüsseltwurde korrekt ist
Bsp 3.6 Für den aus Bsp 2.16sind die Neben
klasse.tnJafJeIregTet
und
für
Bem 3.7 Die Wahrscheinlichkeit dassein entschlüsseltes Wort nichtdem gesendeten Wort entsprichtheißt Wort Fehler Rate undes gilt
Bem 3 8 Ein linearer nutzt
Zeichen um Nachrichten zu
senden Man sagt dieser Codehat eine Rate von
Ein guter Code wird eine hoheRate Raben
Def 3.9 Die Kapazität eines binären
symmetrischen Kanals mit Zeichenfetterwarischeinkichkeit p ist
11
10 112 1
theorem3.10 Gegeben sei ein binärersymmetrischerKanal mit Zeichenfetter
Wahrscheinlichkeit Sei
Dannmit
hinreichend groß und
Bsp 3.11 Es gilt D h fürkönnen wir selbst wenn
wir auf eine Rate von bestehenwürden theoretisch so klein
bekommen wie wir möchten indem
wir und hinreichend großwählen