ministreducationnationaleSecrtariat GnralDirection gnrale desressources humainesSous-direction durecrutementMINISTREDE LENSEIGNEMENT SUPRIEURET DE LA RECHERCHEConcours du second degr Rapport de jurySession 2009CAPES EXTERNE DE MATHMATIQUESRapport de jury prsent par M. Mohamed KRIRPrsident de juryLes rapports des jurys sont tablis sous la responsabilit des prsidents de juryCONSEILS PRATIQUES AUX FUTURS CANDIDATSIl est recommand aux futurs candidats de sinformer lavance sur les modalits desconcoursderecrutementengnral etsurcellesparticuliresauCAPESexterneetauCAFEP-CAPES de mathmatiques.Les renseignements gnraux (les conditions daccs ; la prparation ; le droulement duconcours ; la carrire dans lenseignement secondaire) se trouvent sur le site du Ministrehttp://education.gouv.frrubrique SIAC2.Lesinformationsspciques(programmes ; naturedespreuves)sontpubliesdansle bulletin ociel de lducation nationale, publication qui informe les enseignants : car-rire, programmes, nominations, vacances de postes, concours, etc. Ces renseignements setrouvent galement, pour lessentiel, dans le rapport du concours.Le jury, pour faciliter la recherche dinformation manant des candidats et des forma-teurs, a en outre cr un site ladresse :http://capes-math.orgsur lequel il a runi lessentiel des informations utiles la prparation au concours.ATTENTION: Lesinformationsgurantsurcesitenontpasdecaractreociel ;seules les informations dlivres directement par la DGRH et par le Ministre ont valeurocielle. LES RAPPORTS DES JURYS DES CONCOURSSONT TABLIS SOUS LA RESPONSABILITDES PRSIDENTS DE JURY2Table des matires1 PRSENTATION DU CONCOURS 2009 41.1 Composition du jury. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Programme du concours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.3.1 Evolution et rsultats gnraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.3.2 Rsultats par catgories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.3.3 Rsultats par acadmie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.3.4 Rpartition des notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.4 Les preuves crites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.5 Les preuves orales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.5.1 Organisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.5.2 Conseils pratiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.5.3 Lvaluation des preuves orales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.5.4 Premire preuve : expos sur un thme donn. . . . . . . . . . . . . 361.5.5 Seconde preuve : preuve sur dossier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.5.6 Commentaires sur lutilisation de la calculatrice. . . . . . . . . . . . 382 NONCES ET ANALYSE DES PREUVES CRITES 392.1 nonc de la premire preuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2 Description de lpreuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.3 Analyse des prestations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.4 Enonc de la seconde preuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.5 Contenu du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.6 Analyse des prestations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573 SUJETS ET ANALYSE DES PREUVES ORALES 593.1 Liste des exposs (premire preuve orale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.2 Liste des sujets de lpreuve sur dossier (seconde preuve orale) . . . . . . . 623.3 Analyse des preuves orales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.3.1 Commentaires sur la premire preuve . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.3.2 Commentaires sur la seconde preuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.3.3 Les dossiers de la 2depreuve orale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654 CONCLUSION 845 ANNEXES 855.1 Bibliothque du CAPES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.1.1 Programmes (documents disponibles dans les salles de prparation,utilisables pour les deux preuves orales) . . . . . . . . . . . . . . . . 855.1.2 Ouvrages disponibles seulement pour lpreuve sur dossier . . . . . . 855.2 Calculatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9531 PRSENTATION DU CONCOURS 20091.1 Composition du jury.Par arrt en date du 9 fvrier 2009, la composition du jury est la suivante :M. KRIR Mohamed Matre de Confrences,PrsidentVersaillesM. AGUER Bernard IA-IPR, SecrtairegnralAmiensM. ANDRIEUX Jean-Claude Professeur Agrg,Vice-prsidentDijonMme FLEURY-BARKA Odile Matre de Confrences,Vice-prsidenteReimsM. MORENO-SOCIASGuillaume Matre de Confrences,Vice-prsidentVersaillesM. SORBE Xavier IGEN, Vice-prsident ParisMme ABADIE Marie-Luce Professeur Agrg BordeauxM. AMMARKHODJAFarid Matre de confrences BesanonMme ANDR Stphanie Professeur Agrg Orlans-ToursM. ARTIGUES Christian IA-IPR BordeauxM. ARTIGUES Jean-Paul Professeur de ChaireSuprieureRouenMme AUDOUIN Marie-Claude IA-IPR VersaillesM. BAJI Bruno Professeur Agrg LimogesMme BANTEGNIES Florence Professeur de ChaireSuprieureParisMme BARACHET Franoise IA-IPR Clermont-FerrandM. BARBE Jacques Professeur Agrg NantesM. BARLIER Philippe Professeur Agrg NantesMme BARRI Mireille Professeur Agrg VersaillesM. BELLY Daniel Professeur Agrg NiceM. BERNARD Frdric Professeur Agrg MontpellierM. BILAND Erwan Professeur Agrg ParisM. BILLAULT ric Professeur Agrg RennesMme BLOND lisabeth Professeur Agrg VersaillesMme BOISSONNET milia Professeur Agrg ParisM. BOULMEZAOUD Tahar Zamne Matre de confrences VersaillesM. BOURGES William Professeur Agrg Aix-MarseilleM. BOURHRARA Mostafa Professeur Agrg PoitiersMme BOUTON-DROUHINCatherine Professeur de ChaireSuprieureVersaillesMme BOZON Marie-Pierre Professeur Agrg MontpellierM. BRANDEBOURG Patrick IA-IPR Aix-MarseilleM. BRAUNER Jol Professeur de ChaireSuprieureNancy-MetzM. BRETONNIRE Laurent Professeur Agrg CaenM. CAPY Franois IA-IPR RouenM. COMPOINT lie Matre de confrences Lille4Mme CORTEZ Aurlie Matre de confrences VersaillesM. COUCHOURON Jean-Franois Matre de confrences Nancy-MetzMme COURBON Denise IA-IPR LyonM. COURILLEAU Patrick Matre de confrences VersaillesM. DAMAMME Gilles Matre de confrences CaenMme DARRACQ-CALMETTESMarie-Ccile Professeur Agrg GrenobleM. DE BIVRE Stphan Professeur desUniversitsLilleM. DE SAINTJULIENArnaud Professeur Agrg MontpellierMme DEAT Jolle IA-IPR VersaillesM. DESCHAMPS Bruno Professeur desUniversitsNantesM. DESROUSSEAUX Pierre-Antoine Professeur Agrg MontpellierMme DESSAIGNE Aurlie Professeur Agrg VersaillesM. DIGER Alain IA-IPR Orlans-ToursM. DOMBRY Clment Matre de confrences PoitiersM. DUBOULOZ Georges Professeur Agrg GrenobleMme DUCOURTIOUX Catherine Matre de confrences CorseMme ERNOULT Monique Professeur Agrg CrteilM. ESCOFFIER Jrme Professeur Agrg Aix-MarseilleMme VRARD Sabine Professeur Agrg AmiensM. FAURE Christian IA-IPR MontpellierM. FAURE Ludovic Professeur Agrg BordeauxM. GARCIA Gilles Professeur Agrg ParisM. GEWIRTZ Alexander Professeur Agrg AmiensM. GLIRE Andr-Jean Professeur Agrg NantesM. GOSSE Michel IA-IPR LilleM. GRAS Herv Professeur Agrg CrteilM. HARL Jean Professeur de ChaireSuprieureAmiensM. HASSAN Azzam Professeur Agrg GrenobleM. HONVAULT Pascal Matre de confrences LilleM. HUBERT Nicolas Professeur Agrg VersaillesMme HUG Patricia Professeur Agrg VersaillesMme HUMBERT Martine Professeur Agrg Nancy-MetzM. JAMET Pierre-Yves Professeur de ChaireSuprieureAix-MarseilleMme JAUFFRET Brigitte IA-IPR Aix-MarseilleMme JOINT Marie-Emmanuelle Professeur Agrg RennesMme KHERIEF Khamsa Professeur Agrg ParisMme KOWALSKA-CHASSAINGAnna Professeur Agrg Nancy-MetzM. LAAMRI El-Haj Matre de confrences Nancy-MetzMme LACRESSE Christelle Professeur Agrg Nancy-MetzM. LAGRAIS Alain Professeur Agrg NantesMme LANRY Hlne Professeur Agrg AmiensMme LANGLOIS Catherine Professeur Agrg LyonM. LAOUES Mourad Professeur Agrg Dijon5M. LASSALLE Olivier IA-IPR CrteilMlle LAURENT Cline Professeur Agrg VersaillesM. LAZAR Boris IA-IPR RennesM. LE FLOCH Laurent Matre de confrences PoitiersM. LEBRUN Guillaume Professeur Agrg NantesMme LCUREUX-TTUMarie-Hlne Professeur Agrg ToulouseM. LEFEUVRE Yann Professeur Agrg AmiensM. LEGRY Ludovic IA-IPR AmiensM. LEMPEREURDE GUERNYRobert Professeur Agrg VersaillesM. LETORT Pierre-Yves Professeur Agrg BordeauxMme LOUVRIER Pascale Professeur Agrg CaenM. LUCAS douard Professeur Agrg ParisMme MALLGOL Pascale Professeur Agrg Nancy-MetzMme MALLET Nathalie Professeur Agrg PoitiersM. MARINO Alexandre Professeur Agrg NiceMme MAROTTE Fabienne Matre de confrences PoitiersM. MARTEAU Jean-Luc IA-IPR LyonM. MASSELIN Vincent Professeur Agrg RouenM. MAUGER David Matre de confrences ParisMme MDARD Natacha Professeur Agrg GrenobleM. MERCKHOFFER Ren IA-IPR VersaillesM. MICHALAK Pierre IA-IPR VersaillesMme MICHAU Nadine Professeur Agrg VersaillesMme MUNCK Franoise IA-IPR NantesM. NADIR Hachemi Professeur Agrg NantesM. NEVADO Alain IA-IPR NantesMme NIKOLSKAIA Ludmila Professeur Agrg BordeauxM. NIN Grard Matre de confrences Aix-MarseilleM. PAGOTTO ric IA-IPR CaenM. PAYET Willy Professeur Agrg La RunionM. PETIT Francis IA-IPR GrenobleMme POLLAK Yolaine Professeur Agrg VersaillesM. POMAGEOT Loc Professeur Agrg AmiensM. RENIER Guillaume Professeur Agrg VersaillesM. ROBLET Emmanuel Professeur de ChaireSuprieureParisM. ROLLAND Herv Professeur Agrg RennesM. ROMOLI David Professeur Agrg NantesMme ROUANET Vronique Professeur Agrg CrteilMme ROUDNEFF velyne IA-IPR VersaillesM. ROUX Herv Professeur Agrg Aix-MarseilleMme SABBAN Chlo Professeur Agrg ParisMme SANZ Monique IA-IPR NantesM. SASSI Taouk Professeur desUniversitsCaenM. SCATTON Philippe IA-IPR ReimsM. SERRA ric IA-IPR NiceM. SOUVILLE Jean Matre de confrences Poitiers6M. SUEUR Franck Matre de confrences ParisMme SZWARCBAUM lia Professeur Agrg VersaillesM. TERRACHER Pierre Matre de confrences BordeauxMme TERREAU Corinne Professeur Agrg DijonM. TESTUD Benot Matre de confrences AmiensM. TOUPANCE Pierre-Alain Professeur Agrg LyonMme TRFOND Marie-Christine Professeur Agrg AmiensM. TRUCHAN Alain IA-IPR LyonM. VANROYEN Jean-Philippe Professeur Agrg LilleM. VINAVER Georges Professeur Agrg VersaillesM. ZARRABI Mohamed Matre de confrences Bordeaux71.2 Programme du concoursLe texte en vigueur, paru au B.O. no8 spcial du 24 mai 2001, a t modi par le B.O.no5 spcial du 20 mai 2004. Les modications, mineures, visaient essentiellement mettreencohrenceleprogrammeaveclesvolutionsdesprogrammesdesclassesdelyce. Letexte ci-dessous tient compte de ces modications.PREUVES CRITESLe programme est form des titres A et B de lannexe I.PREUVES ORALES DXPOSLeprogrammeestformdutitreAaugmentdesparagraphessuivantsdutitreBdelannexe I :1.II. Ensembles, relations, applications. 2.I.3. Structures des ensembles de nombres. 2.III.5. Calcul matriciel , alina b).2.IV.2. Gomtrie vectorielle , alina e).2.V.2. Congurations. 2.V.3. Transformations. 2.V.4. Emploi des nombres complexes en gomtrie , alinas a), c) et d).3.I.1. Suites de nombres rels et de nombres complexes , alinas a), b), d), e).3.I.2. Fonctions dune variable relle. 3.II.2. Drivation , dans le cas des fonctions valeurs relles ou complexes.3.II.3. Intgration sur un intervalle compact , dans ce mme cas.3.II.4. tude locale de fonctions. 3.IV.2. quations linaires scalaires , alina b).3.VI.1. Courbes et surfaces , alina a).4.2. Variables alatoires , alinas a) et c).PREUVES ORALES SUR DOSSIERLe programme est form du titre A de lannexe I.UTILISATION DES CALCULATRICESCirculaire du 16 Novembre 1999 no99-186 parue au BON no42 du 25 novembre 1999.ANNEXE IA. Programmes de lenseignement secondaire1. La runion des programmes de mathmatiques des collges et des lyces denseignement gnralettechnologiqueenvigueurau1erjanvierdelanneduconcoursetdeceuxenvigueurau1erjanvier de lanne prcdente.2. Lutilisation des calculatrices lectroniques est dni par les arrts du 15 mai 1997 compltspar la circulaire no99-018 du 01-02-1999 parue au BON no6 du 11-02-1999 ainsi que la circulairedu 16-11-1999.Danscecadre, lescandidatsdoiventsemunirdunecalculatricescientiqueprogrammable, al-phanumrique ou non, et graphique. Ils doivent savoir utiliser leur calculatrice dans les situations8numriques et algorithmiques lies au programme. Cet emploi combine les capacits suivantes, quiconstituent un savoir-faire de base et sont seules exigibles : Savoir programmer une instruction daectation. Savoir eectuer les oprations arithmtiques sur les nombres et savoir comparer des nombres. Savoir utiliser les touches des fonctions qui gurent au programme et savoir programmer le calculdes valeurs dune fonction dune ou plusieurs variables permis par ces touches. Savoir programmer une instruction squentielle, alternative ou itrative. Savoir acher lcran la courbe reprsentative dune fonction.Ils doivent en outre munir leur calculatrice de programmes permettant : la recherche de solutions approches dune quation numrique une variable ; le calcul de valeurs approches dune intgrale.B. Programme complmentaireComme il est indiqu dans les instructions, les problmes et les mthodes numriques et les aspectsalgorithmiques et informatiques (construction et mise en forme dalgorithmes, comparaison de leurperformance, rdactionmthodiquedeprogrammes) sont largement exploits. Dans letexteduprogramme, ils sont reprsents par le signe .1. NOTIONS SUR LA LOGIQUE ET LES ENSEMBLESAucun expos de logique formelle nest envisag.I. Gnralits sur le langage et le raisonnement mathmatiques. lments de logique.Occurrenceslibres(ouparlantes)etoccurrenceslies(oumuettes)dunevariabledansuneex-pressionmathmatique ; signesmuticateursusuels(_d . . ., , , [ ; , ; etc.) ;mutications implicites.Calcul propositionnel : connecteurs logiques ; tables de vrit ; tautologies.Utilisation des connecteurs et des quanticateurs dans le discours mathmatique ; lien entre connec-teurs logiques et oprations ou relations ensemblistes.Pratiqueduraisonnementmathmatique: hypothses, conclusions, quelquesguresusuellesduraisonnement (raisonnement par contraposition, par disjonction de cas, par labsurde, utilisationdexemplesoudecontre-exemples, etc.) ; pourlesnoncssousformedimplication, distinctionentreconditionncessaireetconditionsusante, entrepropositiondirecteetpropositionrci-proque ;casparticuliersdelarecherchedelieuxgomtriques,densemblesdesolutionsdqua-tions.II. Ensembles, relations, applications.Oprationsensemblistesusuelles ; produitcartsiendunnombreni densembles. Relationsetapplications ; lois de composition internes ou externes.Ensemble des parties dun ensemble ; image directe ou image rciproque dune partie par une appli-cation ; comportement des oprations dimage directe et dimage rciproque vis--vis des oprationsensemblistes.Familles densembles ; runions et intersections innies .Relations dordre ; majorants, borne suprieure . . .Ensemble N des nombres entiers naturels. Toute partie non vide de N admet un plus petit lment.Raisonnement par rcurrence.Relations dquivalence ; classes dquivalence, partition associe, ensemble quotient, compatibilitdune loi de composition avec une relation dquivalence (passage au quotient).9Construction de Z, de Q.III. Rudiments de cardinalit.quipotence de deux ensembles ; classe des ensembles quipotents un ensemble donn ; notion decardinal.Thorme de Cantor ( aucun ensemble nest quipotent lensemble de ses parties ).Fonction caractristique dune partie dun ensemble ; quipotence entre lensemble des parties dunensemble E et lensemble des applications de E dans 0, 1.Ensembles nis et innis.Ensembles dnombrables : exemples usuels (N2, Z, Q, lensemble des suites nies dentiers, len-semble des parties nies de N, lensemble Q[X] des polynmes coecients rationnels, lensembledes nombres algbriques, etc.).Puissance du continu (cardinal de T(N) ou de R) ; non dnombrabilit de R.2. ALGBRE ET GOMTRIEI. Nombres et structures1. Groupesa) Groupes, morphismes de groupes. Sous-groupes, sous-groupe engendr par une partie. Groupescycliques. Ordre dun lment ; thorme de Lagrange. Image et noyau dun morphisme de groupes.Sous-groupes distingus, groupequotient. Groupeoprant sur unensemble, orbites. lmentsconjugus. b) Permutations dun ensemble ni, groupe symtrique. Cycles ; transpositions. Dcompositiondunepermutationenproduitdecyclesdisjoints, enproduitdetranspositions. Signaturedunepermutation, groupe altern.2. Anneaux et corpsAnneaux (unitaires), morphismes danneaux. Sous-anneaux.Anneauxcommutatifs, anneauxintgres ; idaux, idauxprincipaux ; anneauxquotients. Corps(commutatifs), sous-corps ; caractristique dun corps.3. Structure des ensembles de nombresa) Anneau Z des nombres entiers relatifs (ou rationnels). Lanneau Z est intgre ; divisibilit dansZ. Division euclidienne ; sous-groupes additifs de ZLes idaux de Z sont principaux ; thorme de Bzout. b) Nombres premiers ; dcomposition en facteurs premiers.PGCD, PPCM; algorithme dEuclide.c) Congruences ; anneaux Z/nZ, caractrisation des lments inversibles.d) Corps des rationnels, corps des rels, corps des complexes.Il. Polynmes et fractions rationnellesDans ce chapitre,Kdsigne un sous-corps de C.101. Polynmes une indtermine a) AlgbreK[X] ; degr dun polynme, terme dominant, polynme unitaire.LanneauK[X] est intgre ; divisibilit dansK[X]. Division euclidienne.Les idaux deK[X] sont principaux ; thorme de Bzout.Polynmes irrductibles ; dcomposition en facteurs irrductibles.PGCD, PPCM; algorithme dEuclide.b) Fonctions polynmesRacines (ou zros) dun polynme, ordre de multiplicit. Polynmes scinds.Correspondance entre polynmes et fonctions polynmes.quations algbriques. Relations entre les coecients et les racines dun polynme scind.c) Drivation des polynmes ; formule de Taylor.d) Thorme de dAlembert ; polynmes irrductibles de C[X] et de R[X]. Factorisation des poly-nmes dans C[X] et dans R[X].2. Fractions rationnelles une indterminea) CorpsK(X) ; forme irrductible dune fraction rationnelle non nulle.b) Fonctions rationnelles : ples, zros ; ordre dun ple ou dun zro.c) Dcomposition en lments simples. Cas du corps C et du corps R.d) Exemples simples de problmes dlimination.III. Algbre linaireDans cette partie, K dsigne un sous-corps de C1. Espaces vectorielsa)Espacesvectoriels. Applicationslinaires, isomorphismes, endomorphismes, automorphismes.Formes linaires. Espace vectoriel L(E, F), algbre L(E), groupe linaireGL(E). Espace vectorielproduit dune famille nie despaces vectoriels.b) Sous-espaces vectoriels ; image et noyau dune application linaire. Sous-espace engendr par unepartie. Somme dun nombre ni de sous-espaces vectoriels, somme directe. Sous-espaces vectorielssupplmentaires, projecteurs.c) Familles libres, familles gnratrices, bases.d) tant donn une application linaireu deEdansFet un supplmentaireE

de ker u dansE,u dnit un isomorphisme deE

sur imu.112. Espaces vectoriels de dimension niea)Espacesadmettantunefamillegnratricenie. Thormedelabaseincomplte, existencedebases ; dimension. Dimensiondunsous-espace, rangdunefamilledevecteurs. Existencedesupplmentaires. Dimension dune somme directe.b) Rang dune application linaire ; formule du rang, caractrisation des isomorphismes.c) Formes linaires et hyperplans, quation dun hyperplan.d) Dualit. Bases associes dun espaceE et de son dualE. Orthogonal dansE dune partie deE, orthogonal dansE dune partie deE : dimension de lorthogonal, double orthogonal.3. Matricesa) Espace vectorielMp,q(K) des matrices p lignes etq colonnes. Isomorphisme entre L(Kq, Kp)et Mp,q(K). Produit matriciel, transposition. Algbre Mn(K) ; matrices inversibles, groupe linaireGLn(K). Matrices symtriques, antisymtriques.b) Matrice dune application linaire dun espace vectoriel dans un autre, ces espaces tant munisde bases ; matrice dun endomorphisme dun espace vectoriel muni dune base, matrice dune famillenie de vecteurs relativement une base. Matrice de passage (la matrice de passage de la baseB la baseCest la matrice dont laj-ime colonne est forme des coordonnes dansBduj-imevecteur deC). Eet dun changement de base(s) sur la matrice dune application linaire.c) Trace dune matrice carre, trace dun endomorphisme.d)Rangdunematrice.Utilisationdematricescarresextraitespourladterminationdurang.Matrices quivalentes. Caractrisation laide du rang. Toute matrice Mde rang r est quivalente la matrice Ir = (aij), dnie par les relations ajj = 1 si 1jr, et aij = 0 dans tous les autrescas. Rang de la transpose dune matrice.e) Systmes dquations linaires, rang. Conditions de compatibilit, systmes de Cramer.4. Applications multilinaires, dterminantsa) Dnition des applications multilinaires, des applications symtriques, antisymtriques, alter-nes.b) Formesn-linaires alternes sur un espace vectoriel de dimensionn. Dterminant den vecteursdans une base dun espace vectoriel de dimensionn, critre dindpendance.c) Dterminant dun endomorphisme, du compos de deux endomorphismes ; caractrisation desautomorphismes.d) Dterminant dune matrice carre. Dterminant du produit de deux matrices, de la transposedune matrice. Mineurs, cofacteurs, dveloppement par rapport une ligne ou une colonne.e) Applications des dterminants, expression de linverse dune matrice carre inversible, formulesde Cramer ; orientation dun espace vectoriel rel de dimension nie.f) En relation avec la gomtrie, application des dterminants ltude des systmes linaires dedeux ou trois quations deux ou trois inconnues.5. Calcul matriciel a) Exemples de calculs par blocs. Exemples demploi de normes matricielles. Conditionnementdune matrice.12 b) Oprations lmentaires sur les lignes (ou les colonnes) dune matrice ; addition dun multipledune ligne une autre, multiplication dune ligne par un scalaire non nul, change de deux lignes.Applicationslarsolutiondessystmeslinaires, aucalcul dedterminants, linversiondesmatrices carres et au calcul du rang.Algorithme du pivot de Gau ; pivot partiel, pivot total.6. Rduction des endomorphismes et des matrices carresDans ce paragraphe, le corps de base est R ou C.a)Sous-espacesstablesparunendomorphisme. Si uetvcommutent, imuetker usontstablesparv. Polynmes dun endomorphisme ; thorme de dcomposition des noyaux : si PetQ sontpremiers entre eux, ker PQ(u) = ker P(u) ker Q(u).b) Valeurs propres dun endomorphisme, sous-espaces propres, vecteurs propres.c) Rduction dun endomorphisme en dimension nie.Polynme annulant un endomorphisme ; lien avec le spectre.Polynme caractristique, ordre de multiplicit dune valeur propre. Thorme de CayleyHamilton.Endomorphismes diagonalisables ; lespace est somme directe des sous-espaces propres. Tout endo-morphisme dont le polynme caractristique est scind et a toutes ses racines simples est diagona-lisable. Pour quun endomorphisme soit diagonalisable, il faut et il sut quil annule un polynmescind dont toutes les racines sont simples.Sous-espaces caractristiques. Tout endomorphismeu dont le polynme caractristique est scindpeut tre trigonalis : lespace est somme directe des sous-espaces caractristiquesFjet il existeune base de chaqueFjtelle que la matrice dans cette base de lendomorphisme induit paru soittriangulaire suprieure ; en outre, la dimension de Fj est gale lordre de multiplicit de la valeurproprej. Un tel endomorphismeu scrit dune manire et dune seule sous la formeu = d + n,od est diagonalisable,n est nilpotent, etnd = dn. d) Valeurs propres dune matrice carre, vecteurs (colonnes) propres. Matrices semblables. Dia-gonalisation, trigonalisationdesmatricescarres. Exemplesdemploi dedcompositionenblocs(produits, matrices diagonales par blocs, triangulaires par blocs).IV. Espaces euclidiens, espaces hermitiens(Cf. analyse 3.I.6 espaces prhilbertiens rels ou complexes.)Les espaces vectoriels considrs dans ce chapitre sont de dimension nie.1. Espaces euclidiensa) Isomorphisme canonique avec le dual.Sommes directes orthogonales. Dimension de lorthogonal dun sous-espace, normale un hyper-plan. Projecteurs et symtries orthogonales.b) Adjoint dun endomorphisme ; matrice associe dans une base orthonormale.Endomorphismes symtriques, antisymtriques.c) Automorphismes orthogonaux. Groupe orthogonal O(E), groupe des rotations (ou spcial or-thogonal) SO(E). Matrices orthogonales. Groupes O(n) et SO(n). Matrice associe un automor-13phisme orthogonal dans une base orthonormale.Changements de base orthonormale.d) Dterminant den vecteurs dun espace vectoriel euclidien orient de dimensionn.2. Gomtrie vectorielle euclidiennea) Les rexions engendrent le groupe orthogonalO(E).b) Dans le plan euclidien orient (n = 2) : matrice dune rotation ; angle dune rotation. Morphismecanonique de R surSO(2).Classication des automorphismes orthogonaux partir du sous-espace des points invariants.c) Dans lespace euclidien orient (n = 3) :Axe et angle dune rotation. Les demi-tours engendrentSO(3).Classication des automorphismes orthogonaux partir du sous-espace des points invariants.d) En dimension2 ou3 : groupe des similitudes ; similitudes directes. Rapport dune similitude,automorphisme orthogonal associ.e) Produit vectoriel en dimension 3 ; expression dans une base orthonormale directe.3. Espaces hermitiensa) Sommes directes orthogonales. Projecteurs orthogonaux.b) Adjoint dun endomorphisme ; matrice associe dans une base orthonormale.Endomorphismes hermitiens, matrices hermitiennes.c) Automorphismes unitaires. Groupe unitaire U(E). Groupe U(n) des matrices unitaires dordre n.4. Calcul matriciel et normes euclidiennes a) Calcul de la projection orthogonale dun vecteur sur un sous-espace et de la distance dun point un sous-espace. Application aux problmes de moindres carrs ; minimisation de |AX B|2, oA Mn,p(R) et rang A = p. b) Dcomposition dun lmentMdeGLn(R) sous la formeM= QR, oQ est orthogonale etR est triangulaire suprieure, par la mthode de Householder.5. Rduction des endomorphismes symtriques et des endomorphismes hermitiensa)Diagonalisationdunendomorphismesymtrique(resp.hermitien)dansunebaseorthonor-male.Diagonalisation dune matrice symtrique (resp. hermitienne) au moyen dune matrice orthogonale(resp. unitaire).La plus grande valeur propre dune matrice symtrique A est gale supX=0tXAXtXX14b) Formes bilinaires symtriques sur un espace euclidien, formes quadratiques, polarisation. En-domorphisme symtrique associ une forme quadratique ; rduction dans une base orthonormale.V. Gomtrie ane et euclidienneDans ce chapitre, ltude est place dans le plan et lespace.1. Calcul barycentrique ; repragea) Sous-espaces anes ; direction dun sous-espace ane.b) Repres anes, coordonnes barycentriques.c) Parties convexes.d) Repres cartsiens, polaires, cylindriques et sphriques. Changement de repre orthonormal.2. Congurationsa) Positionrelativededeuxplans dans lespace. Plans perpendiculaires. Planmdiateur dunsegment.b) Cercles dans le plan. Puissance dun point par rapport un cercle. Ensemble des points Mdontle rapport des distances deux pointsA etBest constant, ou tels que langle de droites (ou dedemi-droites) (MA, MB) soit constant.c) Sphres. Intersection dune sphre et dun plan, de deux sphres.d) Coniques. Dnitions focales, bifocales ; tangente et normale en un point ; ellipse dduite duncercle par anit orthogonale ; hyperbole rapporte ses asymptotes. quation cartsienne duneconique ; rduction en repre orthonormal. Reprsentations paramtriques dune conique. quationpolaireduneconiquedontunfoyerestlorigine, ladirectriceassocieetlexcentricittantdonnes.3. Transformationsa) Applications anes ; eets sur la barycentration et sur la convexit. Application linaire associe.Projections, anits, symtries.b)Groupedestransformationsanes. Morphismecanoniquedugroupeanesurlegroupeli-naire ; groupe des translations, groupe des homothties-translations. Isomorphisme canonique dustabilisateur dun pointO sur le groupe linaire.c) Groupe des isomtries, groupe des dplacements. Les rexions engendrent le groupe des isom-tries ; dans lespace, les demi-tours engendrent le groupe des dplacements.Similitudes planes directes et indirectes.d)Classicationdesdplacementsetdesisomtriesduplanetdesdplacementsdelespacepartir de lensemble des points invariants.e) Exemples de recherche du groupe des isomtries laissant globalement invariante une congura-tionduplanoudelespace.Exemplesderecherchedetransformationsanestransformantuneconguration en une autre.154. Emploi des nombres complexes en gomtriea) Racines de lunit et polygones rguliers.b) Adjonction dun point linni au plan complexe.c) Transformationsz az +b etz az+bcz+d d) Lignes de niveau des fonctionsz z a,z Arg(z a),z zazb etz Argzazb.Exemplesdefamillesdecourbesorthogonalesassociesdestransformationssimplesduplancomplexe.3. ANALYSE ET GOMTRIE DIFFRENTIELLEI. Suites et fonctions1. Suites de nombres rels et de nombres complexesa) Suites convergentes, divergentes ; suites extraites.Oprations algbriques sur les limites. Relations de comparaison : domination (u est domine parv),prpondrance(uestngligeabledevantv)etquivalence(uestquivalentev).Notationsu = O(v), u = o(v) ouu v, etu v.b) Toute partie majore non vide de R admet une borne suprieure.Toute suite croissante majore de nombres rels converge. Suites adjacentes. Dveloppement dci-mal dun nombre rel. Droite numrique acheve R.c) ToutesuitedeCauchydenombres rels oucomplexes converge. Detoutesuitebornedenombres rels ou complexes, on peut extraire une suite convergente. Thorme du point xe pourune application contractante dun intervalle ferm de R dans lui-mme. d) tude du comportement asymptotique de suites. Approximation dun nombre rel ou complexeaumoyendesuites: rapiditdeconvergenceetperformancedunalgorithme. Acclrationdeconvergence : mthode de RichardsonRomberg. e) Exemples dtude de suites de nombres rels dnies par une relation de rcurrenceun+1=f(un) et par une condition initiale.Approximationdunesolutiondunequationnumrique. Mthodededichotomie. Mthodedesapproximations successives ; mthodes de Newton, dinterpolation linaire et dajustement linaire.2. Fonctions dune variable relleLes fonctions tudies dans ce paragraphe sont dnies sur un intervalle de R et valeurs rellesou complexes.a) Limite dune fonction en un point ; continuit en un point. Oprations sur les limites et sur lesfonctions continues. Image dune suite convergente par une fonction continue.Comparaison des fonctions au voisinage dun point domination, prpondrance et quivalence.b) Image dun intervalle par une fonction continue, image dun segment. Continuit de la fonctionrciproque dune fonction continue strictement monotone sur un intervalle.163. Espaces vectoriels norms, rels ou complexesLes applications tudies dans ceparagraphesont dnies surunepartiedunespacevectorielnorm et valeurs dans un espace vectoriel norm.a) Normes sur un espace vectoriel rel ou complexe.Norme, distance associe, boules. Parties bornes, diamtre dune partie.Distance dun point une partie non vide. Applications lipschitziennes. Produit dune famille niedespaces norms.Exemples de normes usuelles sur les espaces de suites et de fonctions.b) Voisinagesdunpoint dunespacevectoriel norm, ouverts, ferms ; adhrence, intrieuretfrontire dune partie, parties denses, points isols, points daccumulation.Distance induite sur une partie ; voisinages dun point, ouverts et ferms dune partie.c) Limite dune application suivant une partie, continuit en un point.Applications continues, caractrisation par image rciproque des ouverts ou des ferms. Continuitdune application compose ; homomorphismes. Applications uniformment continues.d) Suites convergentes, divergentes. Caractrisation des points adhrents et des applications conti-nues laide de suites.e) Caractrisation des applications linaires continues, norme dune application linaire continue.Normes quivalentes.Exemples de normes matricielles.f) Oprations algbriques sur les limites. Algbre des fonctions numriques continues.Algbre des fonctions polynomiales sur Rnou Cn, base canonique de cette algbre.4. Espaces completsa)SuitesdeCauchy, espacescomplets ; RnetCnsontcomplets. Partiescompltes ; lespartiescompltes dun espace complet sont les parties fermes.b) Sries dlments dunespacevectoriel norm. Sries convergentes, divergentes, absolumentconvergentes (cest--dire telles que

|un| < + ). Dans un espace de Banach, critre de Cauchypour la convergence dune srie, convergence des sries absolument convergentes.c) Thorme du point xe pour les contractions dune partie ferme dun espace complet.d) Critre de Cauchy pour les applications (existence dune limite en un point).5. Espaces vectoriels de dimension niea) quivalence des normes. Toute suite de Cauchy est convergente. De toute suite borne on peutextraire une suite convergente. Continuit des applications linaires et multilinaires.b) Dnition (squentielle) des parties compactes. Les parties compactes sont les parties fermesbornes.17Imagecontinueduncompact,applicationauxfonctionsnumriques.Continuituniformeduneapplication continue sur un compact.6. Espaces prhilbertiens rels ou complexesProduit scalaire (dans le cas complexe, linaire droite, semi-linaire gauche), norme associe,ingalit de CauchySchwarz, identit du paralllogramme.Thorme de Pythagore. Famille orthonormale, mthode de Schmidt.Existence dune base orthonormale dans un espace de dimension nie. Projection orthogonale surun sous-espace de dimension nie, distance un tel sous-espace.Exemples de suites de polynmes orthogonaux.7. Suites dapplications valeurs dans un espace de BanachConvergence simple, convergence uniforme. Pour des applications dnies sur Rnou Cn: conver-gence uniforme sur tout compact. Continuit et limite dune application dnie comme limite dunesuite uniformment convergente.Critre de Cauchy de convergence uniforme. lespace des applications bornes dun ensemble dansunespacedeBanach,munidelanormeuniforme,estcomplet.Ilenestdemmepourlespacevectoriel norm des applications linaires continues dun espace norm dans un espace de Banach.8. Notions sur la connexitPartiesconnexes ;lespartiesconnexesde Rsontlesintervalles.Imagedunepartieconnexeparune application continue, thorme des valeurs intermdiaires. Connexit par arcs ; elle impliquela connexit et, dans le cas dun ouvert dun espace vectoriel norm, elle lui quivaut.Il. Fonctions dune variable relle : calcul direntiel et intgralLesfonctionstudiesdanscechapitresontdniessurunintervallenonrduitunpointetvaleurs dans un espace vectoriel de dimension nie sur R ou sur C.1. Approximation des fonctions sur un segmentApproximation uniforme des fonctions continues par morceaux par des fonctions en escalier ; ap-proximation uniforme des fonctions continues par des fonctions continues anes par morceaux etpar des fonctions polynomiales. Interpolation de Lagrange.2. Drivationa)Oprationssurlesdrives: linarit, produit, quotient, fonctionscomposes, fonctionsrci-proques.b) Ingalit des accroissements nis pour une fonction continue sur un intervalle et drivable sur sonintrieur ;caractrisationdesfonctionsconstantesetdesfonctionslipschitziennes.Prolongementdes fonctions de classeC1sur un intervalle priv dun point.c) Extrmums locaux des fonctions drivables valeurs relles. Thorme de Rolle.d)FonctiondeclasseCk(kentiernatureloukinni)SideuxfonctionssontdeclasseCk,leur18compose lest encore. Caractrisation desCk-diomorphismes parmi les fonctions de classeCk.Formule de Leibniz. Dnition des fonctions de classeCkpar morceaux : une fonctionfest ditedeclasseCkparmorceauxsurunsegment[a, b]silexisteunesuiteniestrictementcroissantea0=a, a1, . . . , an=btellequelarestrictiondef chacundes]ai, ai+1[ soitprolongeableenune fonction de classeCksur [ai, ai+1] ; elle est dite de classeCkpar morceaux sur un intervallequelconque si sa restriction tout segment est de classeCkpar morceaux.e) Fonctions valeurs relles : fonctions convexes. Caractrisation des fonctions convexes de classeC1par la croissance de la drive premire et par la position de la courbe par rapport aux tangentes.3. Intgration sur un intervalle compactLes seules connaissances exigibles portent sur lintgration des fonctions continues par morceaux.a) Intgrale dune fonction en escalier sur un segment. Pour les fonctions valeurs relles, croissancede lintgrale.b) Intgrale dune fonction continue par morceaux sur un segment.Notations : _I f(t) dt ; _baf(t) dt.Linarit. Siab,____baf(t) dt___ _ba |f(t)| dt.Pour les fonctions valeurs relles, croissance de lintgrale.Pour les fonctions valeurs relles ou complexes, ingalit de CauchySchwarz.c) Additivit par rapport lintervalle dintgration. Approximation de lintgrale dune fonctioncontinue sur un segment [a, b] par des sommes de Riemann associes des subdivisions de [a, b].d) Primitives dune fonction continue sur un intervalle. Thorme fondamental du calcul direntielet intgral : soit f une fonction continue surI ; pour tout pointa deI, la fonctionx _xaf(t) dtest lunique primitive defsurIsannulant au pointa ; inversement, pour toute primitiveFdefsur I, et pour tout couple (a, b) de points de I,_baf(t) dt = F(b) F(a). En particulier, pour toutefonctiong de classeC1surI, et pour tout couple (a, b) de points deI,g(b) g(a) =_bag

(t) dt.Intgration par parties, changement de variable.Exemples de calculs de primitives.e) Ingalit des accroissements nis relative un couple de fonctions de classe C1, lune vectorielle,lautre relle. Formule de Taylor lordrep avec reste intgral pour une fonction de classeCp+1;ingalit de TaylorLagrange. f) Calcul des valeurs approches dune intgrale. Mthode du milieu (ou des tangentes). Mthodedes trapzes, mthode de Simpson : majoration du reste. Algorithmes dapproximation dune in-tgrale par ces deux mthodes.4. tude locale des fonctionsa) Dveloppements limits, oprations sur les dveloppements limits.b) Exemples simples de dveloppements asymptotiques.Intgrationdesrelationsdecomparaisonauvoisinagedunpointentredesfonctionscontinues ;intgration des dveloppements limits. Thorme de TaylorYoung (existence dun dveloppementlimit dordrep pour une fonction de classeCp).195. Fonctions usuellesa) Fonctions exponentielles et logarithmes, fonctions puissances, fonctions hyperboliques directeset rciproques.b) Fonctions circulaires directes et rciproques. Fonctiont eat, oa est complexe.c) quations fonctionnelles des fonctions linaires, exponentielles ; logarithmes et puissances.6. Intgrales impropresa) Intgrales convergentes, divergentes ; critre de Cauchy. Convergence absolue. Emploi de lint-gration par parties.b) Intgrales de fonctions positives. Emploi des relations de comparaison pour ltude de la conver-gence. Intgration des relations de prpondrance et dquivalence au voisinage de + : cas desintgrales convergentes, cas des intgrales divergentes.7. Intgrales dpendant dun paramtrea) Passage la limite uniforme dans les intgrales de fonctions continues sur un segment : appli-cation la drivation de la limite dune suite de fonctions de classeC1.Exemples de passage la limite dans les intgrales impropres.b) Continuitet intgrationdes fonctions delaforme x _baf(x, t) dt, of est continue ;drivation lorsquen outrefxest continue.Exemples dtude de fonctions dnies par des intgrales.c) Convergence en moyenne, en moyenne quadratique : normes associes.III. Sries1. Sries de nombres rels ou complexesa)Sriestermespositifs.Emploidesrelationsdecomparaisonpourltudedelaconvergence.Sommation des relations de prpondrance et dquivalence ; cas des sries convergentes, cas dessries divergentes.Comparaison une srie gomtrique : rgles de Cauchy et de dAlembert.Comparaisonuneintgraleimpropre,ConvergencedessriesdeRiemann;comparaisonunesrie de Riemann.b) Sries termes rels ou complexes. Convergence dune srie alterne dont la valeur absolue duterme gnral dcrot et tend vers zro ; majoration du reste.Exemples demploi de la transformation dAbel. Exemples demploi dun dveloppement asympto-tique du terme gnral.c) Somme de deux sries, produit dune srie par un scalaire. Srie produit de deux sries absolu-ment convergentes :wn =

p+q=nupvq.d) Exemples dencadrement ou dvaluation asymptotique des restes dune srie convergente, dessommes partielles dune srie divergente.20 e) Recherche de valeurs approches de la somme dune srie convergente.2. Sries de fonctionsLes fonctions considres dans ce paragraphe sont valeurs dans un espace vectoriel de dimensionnie sur R ou sur C.a) Convergence simple, convergence uniforme sur un ensemble dune srie de fonctions ; convergencenormale (pour la norme uniforme).b) Continuit et limite en un point de la somme dune srie uniformment convergente. Intgra-tion terme terme dune srie uniformment convergente de fonctions continues sur un segment ;application la drivation terme terme dune srie de fonctions de classeC1.c) Exemples dtude de fonctions dnies par des sries.3. Sries entiresLes coecients des sries entires considres dans ce paragraphe sont rels ou complexes.a) Sries entires dune variable complexe ; rayon de convergence, disque (ouvert) de convergence,convergence normale sur tout compact du disque de convergence.b)Sriesentiresdunevariablerelle:intgrationetdrivationtermetermedanslintervalle(ouvert) de convergence.Dveloppement en srie entire deex, ln(1 +x) et (1 +x)o est rel.c) Dnition de exp z (ouez), cos z et sin z pourz complexe.Exponentielle dune somme, extension des formules de trigonomtrie.4. Sries de Fouriera)Polynmestrigonomtriques ; orthogonalitdesfonctions x einx. CoecientsetsriedeFourierdunefonctionf 2-priodiquecontinueparmorceauxvaleurscomplexes(expressionsous forme exponentielle, expression en cosinus et sinus). Sommes partiellesSn(x) =n

k=1ck(f)eikxde la srie de Fourier def ; proprit de meilleure approximation en moyenne quadratique.b) Lorsque f est continue par morceaux, convergence de Sn vers f en moyenne quadratique ; formulede Parseval. Thorme de Dirichlet ; convergence de Sn(x) vers la demi-somme des limites droiteet gauche defau pointx lorsquefest de classeC1par morceaux. Convergence normale de lasrie de Fourier dune fonction continue et de classeC1par morceaux.5. Emploi des sries entires et des sries de FourierExemples de recherche de dveloppements en srie entire ou en srie de Fourier de fonctions dunevariable relle. Exemples dutilisation de tels dveloppements pour obtenir des valeurs approches dune fonction.Exemples demploi de sries entires pour la recherche de solutions dquations direntielles.21IV. quations direntielles1. Systmes linaires dordre 1a) criture matricielle X

= A(t)X+B(t) o A (respectivement B) dsigne une application continuedun intervalleIde R dansMn(C) (respectivement Cn). Existence et unicit de la solution surIdu problme de Cauchy (thorme admis). Dimension de lespace vectoriel des solutions surIdelquationX

= A(t)X. Mthode de variation des constantes.b) Systmes coecients constants : exponentielle dun endomorphisme ; application au problmede Cauchy. Rsolution du systmeX

=AXpar rduction deA une forme diagonale ou trian-gulaire.2. quations linaires scalairesa) quation X

+a(t)X

+b(t)X = c(t), o a, b, c sont continues sur I valeurs relles ou complexes.Systmedordre1associ, tudeduproblmedeCauchy ; solutionsdelquationsanssecondmembre, mthode de variation des constantes. Expression des solutions dans le cas o lon connatune solution de lquation sans second membre associe ne sannulant pas surI.b)quationslinairescoecientsconstants. Dimensiondelespacevectoriel dessolutionsdelquation homogne. Cas o le second membre est une exponentielle polynme.3. Notions sur les quations non linairesa) Solutions dune quation direntielleX

= f(t, X) (resp.X

= f(t, X, X

)), ofest de classeC1sur un ouvert de R2(resp. de R3). Existence et unicit dune solution maximale du problmede Cauchy. b) Recherche de solutions approches dune quation direntielle scalaire dordre 1 par la m-thode dEuler.c) Rsolution des quations des types suivants (en liaison avec la gomtrie) : quation associe une forme direntielle exacte, quation variables sparables, quation homogne :dydx= f(yx)d)Exemplesdemploidechangementsdevariableoudefonction(enliaisonavecdespropritsdinvariance), dchange de la variabIe et de la fonction, de paramtrages.e)Exemplesdtudequalitativedescourbesintgralesdunequationdirentielle. Exemplesde recherche des courbes intgrales dun champ dlments de contact ou dun champ de vecteursdans le plan.V. Notions sur les fonctions de plusieurs variables relles1. Calcul direntielLes fonctions considres dans ce paragraphe sont dnies sur un ouvert de Rpet valeurs dans Rn.a) Limite, continuit, drive selon un vecteur, drives partielles. Applications de classeC1(oucontinment direntiables).b) Dveloppement limitlordre1duneapplicationdeclasse C1; direntielle, matriceja-cobienne, jacobien. Si deuxapplications sont declasse C1, leur composelest encore ; dio-morphismes. Matrice jacobienne dune application compose ou dune application rciproque (lesapplications considres tant de classe C1). Caractrisation des diomorphismes parmi les appli-cations injectives de classeC1. Ingalit des accroissements nis pour une fonction de classeC1;caractrisation des fonctions constantes sur un ouvert connexe.c) Drives partielles dordre k ; thorme de Schwarz. Dnition des applications de classe Cksurun ouvert de Rp valeurs dans Rn(k entier naturel ou k inni). Si deux applications sont de classe22Ck, leur compose lest encore ; dnition desCk-diomorphismes.d)GradientdunefonctionnumriquedeclasseC1, pointscritiques. FormuledeTaylorYoungpour une fonction numrique de classeC1. tude de lexistence dun extrmum local (cest--diredun maximum local ou dun minimum local) dune fonction numrique de deux variables de classeC2en un point critique ort s2,= 0.2. Calcul intgralAucune dicult thorique ne peut tre souleve sur les notions de ce paragraphe.a) Champs de vecteurs. Divergence, rotationnel. Intgrales curvilignes. Potentiel scalaire ; conditionncessaire et susante dexistence pour un champ de classeC1sur un ouvert toil.b)Intgralesdoublesetintgralestriples. Linarit, croissance ; additivitparrapportauxen-sembles.Calculparintgrationssuccessives.Changementsdevariables ;passageencoordonnespolaires, cylindriques ou sphriques. Exemples de calculs daires planes et de volumes.VI. Notions de gomtrie direntielle1. Courbes et surfacesltudethoriqueest placedansdeshypothsestrslarges. Touteslesformesduthormedesfonctions implicites utiles pour ce paragraphe sont admises.a)Dnitionsdiversesdunecourbe(planeounon)etdunesurface, parparamtragesouparquations.b) En un point rgulier : tangente une courbe, plan normal ; plan tangent une surface, normale.Tangente lintersection de deux surfaces en un point o les plans tangents sont distincts.c) tude locale dune courbe paramtre plane : position de la courbe par rapport une droite ;concavit en un point birgulier, rebroussements, inexions. tude de branches innies. Construc-tion de courbes paramtres.d) tude locale dune courbe paramtre de lespace : plan osculateur en un point birgulier, tudelocale en un point trirgulier.e) Enveloppe dune famille de droites dans le plan, donne par une quation a(t)x+b(t)y+c(t) = 0,sur un intervalle oab

ba

ne sannule pas.f)tudedescourbesplanesdniespardescoordonnespolaires: tudelocale, comportementasymptotique, construction.2. Proprits mtriques des courbes planesLongueurdunarcparamtrdeclasseC1, abscissecurviligne. Pourunarcbirgulierduplanorient, repre de Frenet, courbure, centre de courbure, dveloppe, dveloppantes.3. Cinmatique du pointa) Vitesse, acclration. Trajectoire, loi horaire. Moment cintique, dynamique. nergie cintique.b) Exemples de mouvements. Mouvements rectilignes, mouvements circulaires. Mouvements ac-clration centrale ; oscillateurs harmoniques, mouvement des plantes.234. Probabilits et statistiques1. Espaces probabiliss Expriences alatoires. vnements. Parallle entre le vocabulaire proba-biliste et le vocabulaire ensembliste propos des oprations sur les vnements.Tribus. Probabilits. Espaceprobabilis(, A, P). Probabilitsconditionnelles. Formuledesprobabilits totales ; formule de Bayes. Indpendance (en probabilit) dvnements ; indpendancemutuelle dun nombre ni dvnements ; indpendance deux deux.Les candidats devront savoir utiliser sur des exemples simples la formule donnant la probabi-lit dune runion nie dvnements (formule de Poincar, ou de crible). La thorie des espacesprobabiliss produits nest pas au programme. Aucune dicult thorique ne doit tre souleve surles espaces probabiliss.2. Variables alatoiresDnitiondunevariablealatoirerelle, ouplusgnralementvaleursdansRn. vnementslis une variable alatoire. On admettra que la somme et le produit de deux variables alatoiressont des variables alatoires. Les proprits gnrales des variables alatoires sont hors programme.Lobjectif est la mise en fonctionnement de ce concept sur les exemples dcrits dans les trois alinasqui suivent. La tribu borlienne de R nest pas au programme.a) Variables alatoires relles discrtes.Loi deprobabilit. FonctionderpartitionF(x) =P[Xx]. Moments : esprance(oumoyenne), moment dordre 2, variance, cart-type. Variables centres, variables rduites. Variablealatoirey=g(X)fonctiondunevariablealatoirediscrteX, ogestdniesurlensembledes valeurs de X. Lois discrtes usuelles : loi uniforme, de Bernoulli, binomiale, hypergomtrique,gomtrique, de Poisson.b) Vecteurs alatoires ( valeurs dans Rn) discrets.Loi de probabilit dun vecteur valeurs dans R2. Lois marginales. Lois conditionnelles. Ind-pendance de deux variables alatoires relles. Loi de probabilit dun vecteur valeurs dans Rn.Indpendance den variables alatoires relles. Linarit de lesprance mathmatique. Esprancemathmatiqueduproduitdedeuxvariablesalatoiresindpendantes.Variancedunesommedevariables alatoires. Covariance. Coecient de corrlation linaire. Stabilit pour la somme des loisbinomiales, des lois de Poisson.Dansdenombreusessituations,onrencontredesexemplessimplesdefonctionsdeplusieursva-riablesalatoires(sommes,produits).Onadmettraquesi X1, . . . , Xnsontindpendantes,toutefonction de(X1, . . . , Xp) est indpendante de toute fonction de(Xp+1, , Xn). Aucune thoriegnrale des fonctions de plusieurs variables alatoires nest au programme.c) Variables alatoires densit.On dit quune variable alatoire X valeurs relles admet une densit f si sa fonction de rpartitionpeut scrire sous la forme F(x) =_xf(t) dt o f est une fonction valeurs relles positives ayantunnombrenidepointsdediscontinuitettelleque _+f(t) dt=1.Moments,esprance(oumoyenne), moment dordre 2, variance, cart-type. Variable centres, variables rduites. Exemplessimples de fonctions dune variable alatoire (tels queaX + b,X2,eX, . . .). Lois dnies par unedensit usuelle : loi uniforme, exponentielle, normale (ou de LaplaceGau). Densit dun vecteuralatoirevaleursdans R2.Indpendancededeuxvariablesalatoiresrellesdensit.Aucunedicult thorique ne doit tre souleve sur ces questions.3. Convergence des suites de variables alatoires. Ingalit de BienaymTchebychev (cas des va-riables discrtes et des variables densit). Convergenceenprobabilit. Loi faibledes grandsnombres. Approximation de la loi hypergomtrique par la loi binomiale. Approximation de la loibinomiale par la loi de Gau, par la loi de Poisson.nonc du thorme limite central.Ltude de la convergence en loi nest pas au programme.244. Notions de statistiques.a)Statistiquedescriptive: paramtresdeposition(moyenne, mdiane, quantiles, modes)etdedispersion (cart-type, variance). Divers modes de reprsentation graphique.b) chantillons. Intervalle de conance dune moyenne ou dune frquence.c) Tests dhypothse ; les deux types de risque derreur.d) Tests de paramtres : estimation du paramtre dune loi binomiale, de la moyennem dune loinormale. Test unilatral, bilatral.Comparaison de deux moyennes.ANNEXE IIInstructions et commentairesIls gurentauBON no33 du26septembre1991 etauBOSpcialno5 du21octobre1993.Pour les preuves crites les candidats doivent se munir de calculatrice an de sen servirlorsque ce sera autoris.Pourlespreuvesoraleslescalculatricespersonnellessontinterdites.Pourlessujetsquien ncessiteraient lusage, les candidats pourront en emprunter une la bibliothque duCAPES.251.3 Statistiques1.3.1 Evolution et rsultats gnrauxAnne Postes InscritsPrsentsaux deuxpreuvescritesAdmissiblesPrsentsaux deuxpreuvesoralesAdmisCAPES 2001 990 6972 5676 2109 1946 990 *CAFEP 2001 215 1095 889 200 194 113CAPES 2002 1125 6166 4948 2213 2065 1125 *CAFEP 2002 230 906 745 192 189 118CAPES 2003 1195 5755 4428 2328 2174 1195CAFEP 2003 230 846 636 214 209 116CAPES 2004 1003 5604 4194 2040 1900 1003CAFEP 2004 177 933 658 205 192 103CAPES 2005 1310 6086 4074 2473 2236 1310CAFEP 2005 177 1051 644 279 265 139CAPES 2006 952 5787 3983 2043 1796 952CAFEP 2006 135 1096 689 283 265 126CAPES 2007 952 5388 3875 2102 1840 952CAFEP 2007 160 1019 693 267 250 123CAPES 2008 806 4711 3453 1802 1564 806CAFEP 2008 155 964 631 200 191 90CAPES 2009 806 4243 3160 1836 1641 806CAFEP 2009 109 901 633 268 236 109* En 2001 et 2002, des listes complmentaires avaient t publies.1.3.2 Rsultats par catgoriesSont considrs comme prsents les candidats qui ont des notes non nulles toutes les preuvescrites.CAPES EXTERNE MATHMATIQUESInscrits Prsents admissibles AdmisEnsemble 4243 3152 1836 806Femmes 1891 1497 814 412Franais et U.E. 4229 3145 1833 806Union Europenne 21 8 3 0trangers hors UE 14 7 3 0Moins de 30 ans 3243 2695 1619 750Moins de 25 ans 2049 1834 1195 604ProfessionsI P a ADIVERS 640 257 139 30ELEV.IUFM.1ANN. 1536 1461 910 523ETUDIANT 935 712 479 176SANS EMPLOI 355 193 98 25VAC.2ND DEGRE 109 75 32 11CONT.2ND DEGRE 339 206 72 11ASSISTANT EDUC. 329 248 106 3026catgoriesI P a ADIVERS 1645 1509 940 527ETUDIANT 935 712 479 176ENS.TIT.MEN 113 40 20 3AG.NON TIT.MEN 902 596 241 60HORS FP SS EMPL 648 295 156 40CAFEP CAPES-PRIV MATHMATIQUESInscrits Prsents admissibles AdmisEnsemble 901 631 268 109Femmes 499 371 158 78Moins de 30 ans 581 477 205 90Moins de 25 ans 280 254 136 74ProfessionsI P a ADIVERS 75 32 14 4ELEV.IUFM.1ANN. 184 169 88 57ETUDIANT 114 90 55 21CADRE CONV.COL 25 5 4 2SECT.TERTIAIRE 14 5 1 1SANS EMPLOI 74 45 19 4ENS.FPE NON.TIT 8 6 3 2MAIT.OU DOC DEL 23 14 2 0VAC.2ND DEGRE 58 38 17 2MA 231 174 49 10CONT.2ND DEGRE 69 39 11 4ASSISTANT EDUC. 26 14 5 2catgoriesI P a ADIVERS 186 171 89 57ETUDIANT 114 90 55 21ENS.TIT.MEN 22 7 2 0AG.NON TIT.MEN 400 273 85 19ENSEIGN PRIVE 32 19 5 1AG.FONC.PUB.ETA 19 11 3 2HORS FP SS EMPL 128 60 29 9271.3.3 Rsultats par acadmieCAPES EXTERNE MATHMATIQUESAcadmiesI P a AAIX MARSEILLE 218 155 82 28BESANCON 77 62 47 15BORDEAUX 172 136 95 48CAEN 105 89 48 19CLERMONTFERRAND 84 73 45 25DIJON 78 65 31 11GRENOBLE 187 139 94 42LILLE 291 242 151 73LYON 216 168 115 54MONTPELLIER 135 99 44 15NANCY METZ 141 121 80 51POITIERS 125 100 68 28RENNES 188 158 88 35STRASBOURG 152 112 80 37TOULOUSE 215 150 91 44NANTES 183 140 79 34ORLEANS TOURS 115 85 44 18REIMS 76 61 48 22AMIENS 96 62 30 9ROUEN 107 86 41 16LIMOGES 49 36 16 5NICE 143 94 45 14CORSE 12 11 3 2REUNION 95 64 32 11MARTINIQUE 57 29 12 8GUADELOUPE 79 55 15 6GUYANNE 20 6 0 0PARIS/CRET/VERS 762 513 299 127NOUVELLE CALEDO 28 15 6 4POLYNESIE 32 22 6 5MAYOTTE 5 4 1 028CAFEP CAPES-PRIV MATHMATIQUESAcadmiesI P a AAIX MARSEILLE 31 21 14 5BESANCON 15 11 6 2BORDEAUX 46 34 20 6CAEN 17 16 3 1CLERMONTFERRAND 12 10 2 2DIJON 13 10 4 1GRENOBLE 39 28 12 6LILLE 81 67 27 10LYON 46 38 13 8MONTPELLIER 40 23 7 1NANCY METZ 23 18 9 4POITIERS 14 10 3 1RENNES 86 66 27 12STRASBOURG 28 15 3 1TOULOUSE 44 25 17 6NANTES 98 76 31 15ORLEANS TOURS 24 15 6 2REIMS 10 6 2 1AMIENS 26 18 7 3ROUEN 17 13 5 3LIMOGES 3 3 2 2NICE 27 14 5 1REUNION 6 2 2 0MARTINIQUE 6 2 2 1GUADELOUPE 2 2 0 0GUYANNE 1 1 0 0PARIS/CRET/VERS 142 86 38 15NOUVELLE CALEDO 1 0 0 0POLYNESIE 3 1 1 0291.3.4 Rpartition des notesCAPES EXTERNE MATHMATIQUEScrit : quartiles sur les notes non nullesPrsents admissibles Admispreuve 1 (sur 20) 10 8 5 11 10 8 12 10 9preuve 2 (sur 20) 10 8 5 11 10 9 12 11 9Total crit (sur 40) 20 16 11 23 19 17 24 21 19crit : histogramme cumul (sur 20)Total crit 1 crit 2P a A P a A P a A20 0 0 0 2 2 1 4 4 219 4 4 2 8 8 3 11 11 318 13 13 3 21 21 5 22 22 417 29 29 6 41 41 13 47 47 1216 55 55 16 76 76 33 70 70 2115 91 91 37 114 114 53 106 106 4914 137 137 66 189 189 102 170 170 8913 215 215 121 278 277 165 283 283 16712 353 353 212 451 450 270 446 446 26911 577 577 363 658 654 383 709 709 43310 901 901 543 1051 1033 588 1044 1036 5789 1288 1288 696 1431 1373 712 1461 1419 7128 1681 1681 789 1842 1667 778 1775 1658 7687 2024 1836 806 2182 1795 802 2020 1776 7906 2307 1836 806 2391 1822 803 2250 1827 8055 2548 1836 806 2648 1836 806 2453 1834 8064 2750 1836 806 2867 1836 806 2673 1835 8063 2925 1836 806 2973 1836 806 2857 1836 8062 3039 1836 806 3097 1836 806 2991 1836 8061 3123 1836 806 3176 1836 806 3109 1836 8060 3152 1836 806 3204 1836 806 3160 1836 806crit 1 crit 230Oral : quartiles sur les notes non nullesadmissibles Admispreuve 1 (sur 20) 14 10 5 16 14 11preuve 2 (sur 20) 14 10 7 16 13 10Total gnral (sur 80) 47 40 32 52 47 43Oral et total gnral (sur 20)Total oral 1 oral 2a A a A a A20 0 0 48 48 21 2119 1 1 81 80 43 4318 1 1 146 140 87 8717 4 4 206 196 147 14416 9 9 279 263 214 20715 40 40 367 341 305 28414 103 103 467 427 400 35613 203 203 556 488 511 43312 354 354 654 560 640 52511 565 565 728 610 755 59010 806 806 833 668 868 6509 1017 806 906 702 973 6938 1228 806 1016 744 1117 7397 1382 806 1090 758 1234 7686 1503 806 1164 780 1314 7835 1570 806 1231 786 1375 7944 1585 806 1296 791 1430 8013 1585 806 1374 799 1478 8022 1585 806 1454 803 1535 8051 1585 806 1537 803 1569 8050 1585 806 1598 806 1587 806Oral 1 Oral 231CAFEP CAPES-PRIV MATHMATIQUEScrit : quartiles sur les notes non nullesPrsents admissibles Admispreuve 1 (sur 20) 9 7 4 11 9 8 12 10 9preuve 2 (sur 20) 9 6 3 10 9 8 12 10 9Total crit (sur 40) 18 13 8 21 18 16 23 20 18crit : histogramme cumul (sur 20)Total crit 1 crit 2P a A P a A P a A20 0 0 0 0 0 0 0 0 019 0 0 0 1 1 1 1 1 118 1 1 1 2 2 1 2 2 217 3 3 2 5 5 3 3 3 316 7 7 5 9 9 7 8 8 615 7 7 5 10 10 8 10 10 814 14 14 12 18 17 15 14 14 1213 22 22 19 26 25 21 22 22 1912 28 28 23 48 47 34 35 35 3011 50 50 40 73 72 51 66 66 4710 90 90 62 123 119 75 117 117 739 158 158 93 194 179 93 190 188 958 238 238 106 281 238 104 253 228 1037 309 268 109 348 261 107 307 247 1046 375 268 109 406 267 109 365 266 1085 440 268 109 468 268 109 410 268 1094 487 268 109 519 268 109 454 268 1093 533 268 109 543 268 109 510 268 1092 581 268 109 594 268 109 568 268 1091 619 268 109 636 268 109 610 268 1090 631 268 109 643 268 109 632 268 109crit 1 crit 232Oral : quartiles sur les notes non nullesadmissibles Admispreuve 1 (sur 20) 15 10 5 17 15 11preuve 2 (sur 20) 14 10 7 16 14 11Total gnral (sur 80) 47 38 30 53 47 43Oral et total gnral (sur 20)Total oral 1 oral 2a A a A a A20 0 0 5 5 5 519 0 0 9 9 8 818 1 1 21 21 17 1717 3 3 29 28 25 2416 3 3 46 44 33 3115 5 5 63 56 46 4114 21 21 74 65 63 5713 34 34 79 68 77 7012 49 49 93 76 89 7611 77 77 101 83 109 8210 109 109 120 95 122 909 140 109 135 100 146 978 170 109 150 103 167 1027 201 109 166 105 185 1066 228 109 176 106 196 1065 234 109 183 106 207 1074 236 109 189 107 215 1073 236 109 204 109 224 1082 236 109 214 109 231 1091 236 109 230 109 234 1090 236 109 237 109 236 109Oral 1 Oral 2Moyennes sur 20 au total des preuves dadmissibiltmoyenne des candidats CAPES CAFEPprsents 7,86 6,50admissibles 10,15 9,55Moyennes sur 20 au total des preuves dadmissionmoyenne des candidats CAPES CAFEPprsents 9,89 9,93admis 13,09 13,57Moyennes sur 20 au total gnral des 4 preuvesmoyenne des candidats CAPES CAFEPprsents 9,91 9,76admis 11,94 12,10331.4 Les preuves critesLes preuves crites avaient lieu le lundi 9 et le mardi 10 mars 2009.Il est rappel que labsence une preuve entrane llimination du candidat. Le retard est aussiune cause dlimination, les candidats arrivant aprs la distribution des sujets ntant pas autoriss composer.Ladnitiondespreuvesproprementdites,lesbutsgnrauxquellespoursuivent,ainsiqueleprogramme auquel elles sont limites, sont dtailles dans les documents ociels (voir la partie quileur est consacre dans le rapport).Les correcteurs laborent leurs grilles de correction lors dune runion plnire, tenue aprs quilsaient eu le temps danalyser les sujets et de lire un chantillon de copies. Chaque copie est ensuitecorrige deux fois, de manire totalement indpendante. Les deux correcteurs jumels se concertent la n de leur travail pour dcider de la note nale.Aucuncommentaire,aucuneannotationparticulireneguresurlescopies.Seulelanotenaleaprs harmonisation y est inscrite. Les candidats qui souhaitent aprs coup revoir leur travail pourmieux comprendre le rsultat obtenu peuvent, conformment aux dispositions de la loi no78.753du 17 juillet 1978, obtenir satisfaction en sadressant la DGRH qui conserve les copies pendantun an cet eet.Demaniregnrale, lessujetsdespreuvescritessontconstruitsdanslebutdediscriminerlensemble des candidats, des meilleurs aux plus faibles ; cest pourquoi de trs bonnes notes ont putre attribues des copies nabordant pas, et mme de loin, lensemble du sujet. Ce fait que lonpeut trouver contestable sexplique aussi par le souci quont les auteurs de sujets de construire desproblmes orant un contenu susamment construit, notamment aboutissant un ou des rsultatssignicatifs, et aussi par la ncessit de ne pas trop centrer le texte sur une partie trop rduite duprogramme. Les questions qui recevront un poids particulirement signicatif dans le classementdes candidats ne sont pas distinguables dans lnonc (dautant quelles ne simposent parfois quaumoment de la correction des copies), ce qui empche destimer raisonnablement la note la lecturedune copie isole.1.5 Les preuves orales1.5.1 OrganisationEllesonteulieudu26juinau19juillet2009lUFRdesSciencesdeVersailles(UniversitdeVersaillesStQuentin). Lesinterrogationsavaientlieutouslesjours, dimancheset14juilletinclus.Le jury tait spar en 24 commissions de trois personnes. La composition de ces commissions estdtermine en tenant compte de lobligation de croiser les comptences, ce qui conduit faire tra-vailler ensemble des personnes intervenant aux divers niveaux possibles, enseignement secondaire,enseignement post-baccalaurat, enseignement suprieur, universit et IUFM, inspection pdago-gique rgionale. La prsence de personnels enseignant en IUFM fait pour chaque cas lobjet dunerexionapproprie,lebutpoursuivitantdarbitreraumieuxentredeuxncessitscontradic-toires:dunct,viterautantquepossibledessituationsoilyauraitconfusiondesrlesdeformateur et dvaluateur, et dun autre ct, viter de trop distendre les liens avec les centres deformation.Les candidats sont convoqus en dbut daprs-midi pour lpreuve dexpos et le lendemain matinpour lpreuve sur dossier. Ils passent devant deux commissions jumeles qui changent leurs candi-dats pour la seconde preuve. Chaque commission fait passer les deux types dpreuves. Un membredelaprsidenceaccueillelescandidatsavantchaquepreuveandenprciserlesmodalitsetrappeler quelques instructions son sujet.Les candidats pouvaient fournir une adresse lectronique lors de leur inscription. Immdiatementaprs signature de la liste des admissibles, les rsultats ont t transmis aux adresses connues (plusde 97 % des candidats admissibles ont t dans ce cas cette anne).341.5.2 Conseils pratiques.Les demandes de dplacements ou reports de la date de la convocation ne sont pas examines parla prsidence du jury, sauf dans les deux cas qui suivent : concidence entre deux convocations des concours de recrutement de lducation Nationaleauxquels le candidat est simultanment admissible (CAPES et agrgation, ou CAPLP, ou CRPEpar exemple) ; cas de force majeure, maladie, ou vnement familial dimportance majeure.Lorsque ces demandes sont prises en considration, il nest pas toujours possible dy rpondre favo-rablement. Raliser les arrangements correspondants nest pas une obligation du jury. La convoca-tion aux preuves orales se fait par courrier lectronique et par courrier postal ladresse indiqueparlecandidat. Uneconrmationparvoielectroniqueestdemandeaucandidat. Cetteexp-riencemiseenuvrelasession2008amontrqueplusde96 %descandidatslutilisent.Lescandidats ngligeant cette procdure compliquent et accroissent la tche de la prsidence. En eet,lorganisation quotidienne des convocations ne permet de tenir compte de demandes lgitimes dereport de convocation que si la prsidence du jury est en mesure de trouver les places vacanteslaisses par les candidats qui, pour diverses raisons, renoncent passer les preuves orales.Il est rappel aux candidats que ladresse quils fournissent lors de leur inscription doit tre uneadressepermanente,valablepourtouteladuredespreuvesetpourlaphasedaectation.Ilsdoivent ventuellement prendre toute disposition pour que le courrier puisse les atteindre pendanttoute la priode concerne (cf. B.O. spcial no13 du 31 aot 1995, p. 13).Une tenue vestimentaire correcte est souhaitable : ce qui est convenable en villgiature ne lest pasncessairement devant le jury dun concours de recrutement. Lutilisation des tlphones portablesest interdite dans les locaux du concours, tant pour viter dventuelles fraudes que pour ne pasdranger les candidats par des sonneries intempestives.Lesorauxsontpublics. Lenombreimportantdesvisiteursconduitlaprsidencedujuryr-glementerleursdplacementsdansleslocauxduconcours. Ilsnepeuventypntrerquepouraccompagnerunevaguedecandidatsdanslessallesdecommissionetnedoiventenaucuncasparler aux candidats ou stationner dans les couloirs. An de ne pas trop perturber ni les candidatsnilebonfonctionnementduconcours,lenombredesvisiteursestlimitauplustroisdanslamme salle de commission.LeCAPESetleCAFEPsontdesconcoursetnondesexamens ;commelcrit,lanotedoralsert classer les candidats les uns par rapport aux autres. Cette note a une valeur relative et nepeut reter ce qui serait la valeur objective dune preuve. Il est dicile voire impossible dans lesfaits pour le candidat de svaluer lui-mme, et donc de prvoir la note quil recevra.Les notes des preuves orales font lobjet de deux saisies informatique indpendantes, suivies duneconfrontationdesdeuxsaisiesetdelditiondelistes, soumisesauxcommissionspourvrica-tion. Ces dispositifs rendent lhypothse dune erreur de transmission improbable autant quil esthumainement possible.1.5.3 Lvaluation des preuves oralesunconcoursderecrutementdelenseignementsecondaire,lonsetrouveaucroisementdexi-gences de nature assez diverses.On pourrait se demander pourquoi lvaluation des comptences purement disciplinaires est pr-sente dans un tel concours, puisque celui-ci sadresse aux titulaires dune licence, et que les candidatsont ainsi dj fait leurs preuves en ce domaine. Cette position mrite dtre discute, et rfute,avec soin.35Les licences dlivres par des systmes de formations assez largement autonomes sont loin dtreuniformes, ce qui justie dj le maintien de la prsence dune valuation disciplinaire au sein duCAPES.Deplus,leslicencesnepeuventpastoujourssureenelles-mmessileurcontenunapas t prvu de manire spcique pour convenir un futur enseignant du secondaire. Enn, ilest prvu que certaines personnes, quoique non titulaires dune licence, ont le droit se prsenter auconcours. Tous ces facteurs plaident pour le maintien dune valuation disciplinaire forte dans lespreuves du CAPES.Par leur position professionnelle, une majorit des interrogateurs aux preuves orales sont naturel-lement attentifs en premier lieu au contenu proprement disciplinaire des prestations. En composantles commissions de manire varier au mieux les points de vue, il est possible de faire en sorte quela capacit proprement professionnelle soit correctement prise en compte. Mme si la vricationnale de laptitude tenir devant les lves repose sur lvaluation du stage, il est demand aucandidat, lors des deux preuves orales, de montrer quil dispose des qualits ncessaires en matirede communication et de prsence devant les auditeurs que sont les membres du jury.Il ny a pas de grille chire dvaluation pour les preuves orales ; lon peut simplement dnir troistypes de comptences pour lesquelles une insusance agrante amne la commission abaisser lanote de manire signicative ou dterminante : Les comptences en communication : locution, clart, attitude envers la commission et capacitdeprendreencomptelesquestions, prsentationdutableau, matrisedutemps, delcrit autableau, de la calculatrice et du rtroprojecteur, etc. Les comptences disciplinaires et techniques : labsence de propositions ou darmations math-matiquement inexactes, la prsence relativement au thme trait de connaissances et de rsultatscohrents, labsencedelacunefondamentalerelativement cethme, lerespect des consignesassocies au thme et notamment celles concernant lusage des calculatrices.Les comptences de nature pr-professionnelle : connaissance des programmes, capacit construiredesexpossetdeschoixdexercicesadaptsetprogressifs, matriseunniveausuf-sant des propositions, dmonstrations, solutions que le candidat propose de lui-mme.1.5.4 Premire preuve : expos sur un thme donn.Le texte qui suit sappuie sur la note parue dans le B.O. spcial no5 du 21 octobre 1993, qui dnitles preuves du CAPES externe de mathmatiques.La premire preuve orale dure 45 minutes rparties en :25minutespour lexpos, lecandidat gresontempset saprsentationcommeil lentend,lejurynintervenantpassurlecontenu, etninterrompantenaucunemanirelecandidat, saufventuellement en cas de problme pratique. 20 minutes dentretien avec la commission.Lescandidatstirentausortdeuxthmesdexposetenchoisissentun. Ilsdisposentdedeuxheures pour prparer lpreuve. Ils ne disposent daucun document autre que les programmes et lesinstructions relatives au concours. Les candidats ne sont pas autoriss utiliser leur calculatricepersonnelle. Ilsutilisentlundesmodlesdisponibles. (voirannexe5.2). Ilspeuventutiliserdestransparents ; le jury ne les fournissant pas, il leur est demand dapporter des transparents vierges,qui seront dment identis comme tels avant emploi ; les transparents utiliss sont retenus par lejury. Leur nombre nest pas limit.Le programme de cette preuve (cf. B.O. spcial no8 du 24 mai 2001 et partie I.2 de ce rapport)est extrait du programme de lcrit du concours. Les candidats peuvent faire appel lintgralitdu programme complmentaire (titre B) au cours de cette preuve, que ce soit pendant leur exposou pendant lentretien avec le jury. Cependant, aucun thme propos ne peut porter sur les para-graphes extraits du programme complmentaire compltant le programme de cette preuve (voir36partie I.2), ni a fortiori sur dautres points du programme complmentaire. Pendant lentretien, lejury a toute latitude pour interroger le candidat sur les programmes de lenseignement secondaire(titre A, partie I.2). Toute notion aborde par le candidat peut aussi faire lobjet de questions :il estattendudunfuturenseignantquil neprsenteseslvesquedesnotionsdontil peutparler de manire un tant soit peu construite ; par consquent, une allusion ou une ouverture surun point hors du programme de cette preuve nest susceptible de valoriser le travail du candidatquesi ellereposesurdesconnaissancessusammentcohrentes, etsi ellesinscritdemanirelogique comme un prolongement acceptable devant une classe du sujet trait. Les thmes dexpospropossformentunensemblecouvrantleprogrammedanssonintgralitetlescouplagessontconusdemanireproposerunvraichoixaucandidat, deuxthmesjugstropprochestantnormalement carts.Lorganisation actuelle du concours ne permet pas lvaluation des comptences des candidats enmatire de TICE au sens ou il ny a pas dpreuve devant ordinateur. Cette dimension de lensei-gnement est aborde travers lusage de calculatrices rtroprojetables, dont la puissance permetdaborder lusage lmentaire de tableurs, ainsi que de logiciels il est vrai rudimentaires degomtrie. Pour une partie, de plus en plus importante, des sujets, lillustration de telle ou telleproprit sur une calculatrice est expressment conseille dans lintitul du sujet. Il est vivementconseill aux candidats de prendre en compte ce conseil.1.5.5 Seconde preuve : preuve sur dossierLpreuve sur dossier dure au maximum 45 minutes. Le temps est rparti de la faon suivante :Pendant 25 minutes au maximum le candidat expose les rponses aux questions contenues dansle dossier, et notamment son choix dexercice (objectifs, illustration du thme...).Pendant 20 minutes au minimum un entretien sinstaure entre la commission et le candidat, aucours duquel le candidat sera amen rsoudre, entirement ou en partie, au moins un exercicechoisi par lacommissionparmi lexercicepropospar lejuryet les exercices proposs par lecandidat.Les remarques concernant les TICE sont identiques celles donnes pour la premire preuve orale(voir partie 5.4 ci-dessus). Les candidats ne sont pas autoriss utiliser leur calculatrice personnelle.Ilsempruntentlundesmodlesdisponibles(voirannexe5.2). Il yacependantunedirenceimportanteentrelesdeuxpreuves.Eneet,lestchesquelecandidatdoitaccomplirpendantsa prparation, ainsi que pendant lpreuve proprement dite, incluent pour une partie apprciabledes dossiers des tches devant explicitement tre ralises sur calculatrice. Il est bien vident quele non-respect de cette consigne se traduit de manire forte dans la notation de lpreuve.Les candidats peuvent utiliser des transparents ; le jury ne les fournissant pas, il leur est demanddapporterdestransparentsvierges, qui serontdmentidentiscommetelsavantemploi ; lestransparents utiliss sont retenus par le jury. Leur nombre nest pas limit.Lpreuve sur dossier se place au niveau de lenseignement secondaire (cf. B.O. no21 du 26 mai1994). Il ny a aucune extension de programme dans ce cas.Chaque dossier fait rfrence un thme, dont lintitul plus ou moins long (le contenu correspon-dant tant plus ou moins large) gure dans len-tte du dossier. Il est essentiel pour le candidatdinterprterdemaniretrsprcisecetintitul ; notamment, leoulesexercicesquil adjointcelui propos par le jury doivent constituer des illustrations de ce thme tel quil est dni, danstoute son ampleur.Les candidats ont deux heures pour prparer lpreuve et peuvent utiliser les ouvrages imprimsdisponiblesdanslecommerce, viergesdetouteannotationmanuscrite. Ilspeuventlesapporterou en emprunter la bibliothque du concours. Le jury peut sopposer lutilisation de certainsouvrages sil juge que cela risque de dnaturer lpreuve (cf. B.O. spcial no5 du 21 octobre 1993).La bibliothque possde un certain nombre de manuels usuels, et pour quelques ditions un assez37grand nombre, mais la fourniture dun ouvrage dtermin ne peut en aucun cas tre garantie. Cestpourquoi nous rappelons ici aux candidats quils ont le droit dutiliser leurs propres manuels. Anque tous les candidats puissent disposer dun rel choix, chacun ne peut emprunter plus de cinqouvrages simultanment.1.5.6 Commentaires sur lutilisation de la calculatriceUn certain nombre de sujets de premire preuve comportent une mention invitant les candidatsillustrerleurexposparunouplusieursexemplesncessitantlusagedunecalculatrice. Lescandidats ont lapossibilitdeprojeter lcrandelacalculatricequils utilisent, commeils leferaientdevantuneclasse. Parailleurs, unepartiesignicativedesdossiersdesecondepreuveinclut de manire explicite et obligatoire lusage de la calculatrice.Lapprciation par le jury de lusage des calculatrices avec ou sans rtroprojection met envidenceque, si souventcetusagenapportepasdevaleurajoutelaprestationducandidat(il sagit par exemple de lusage de la calculatrice de simples ns opratoires), les utilisations but pdagogique pertinent, et les dmonstrations brillantes, deviennent nettement plus nombreusesdanne en anne.Les candidats et futurs candidats au CAPES externe de mathmatiques doivent prendre en comptele fait que, pour le moment, laptitude utiliser les TICE ny est value qu travers lusage descalculatrices scientiques. Les modles admis au concours contiennent tous les fonctions attenduesdans les programmes : tableur et logiciel de gomtrie ; ils contiennent aussi des fonctions de calculformel.Les conditions dertroprojectiondpendent des salles, mais chaquecommissionafait desonmieux pour installer les appareils de manire pouvoir valuer convenablement les prestations descandidats sur ce point, en faisant naturellement abstraction de la qualit technique de la projection.382 NONCES ET ANALYSE DES PREUVES CRITES2.1 nonc de la premire preuveNotations SiK = R ou C, pour un polynmeP(X) K[X], on noteraPla fonction polynme associe P(X). Si deux suites numriques (un)n et (vn)n sont quivalentes, on notera un nvn. De mme, si f etg sont deux applications relles dnies au voisinage dun point x0 et quivalentes en x0, on noteraf(x) x0g(x). Quand le voisinage sera un voisinage droite enx0, on prciseraf(x) x+0g(x).Onrappellequeleproduit ausensdeCauchydedeuxsries(rellesoucomplexes) unet

vn, est la srie wn o le terme gnralwn est dni pourn0 parwn =

nk=0unvnk. Onrappelle aussi que si les sries unet vnsont absolument convergentes, alors la srie produit

wn est aussi absolument convergente et lon a_+

n=0un__+

n=0vn_=+

n=0wnObjectifs du problmeCe sujet aborde une srie de rsultats et de proprits relatifs la formule de Stirling1ainsi quauxpolynmes et nombres dits de Bernoulli2. Il se compose de quatre parties.Dans la partie I, on tablit la formule de Stirling qui donne un quivalent simple de la suite (n!)n.Cetravail utiliselesintgralesdeWallis3, qui sonttudiesaudbutdelapartie. Landelapartie I est une application des intgrales de Wallis et de la formule de Stirling ltude du volumedes boules dans Rn.LapartieIIsintresseauxpolynmesetnombresdeBernoulli. Onytudiecertainesdeleurspropritsetlondonnedeuxapplicationsdecettetude.Lapremire,arithmtique,sintresseau calcul des sommes du typeN

k=0kp. La deuxime est consacre au dveloppement en srie entirede la fonctiontextet1.Dans la partie III, on introduit la fonctionde Riemann4et lon explicite ses valeurs prises surles entiers positifs pairs au moyen des nombres de Bernoulli. Ce calcul permet, avec la formule deStirling, dexpliciter un quivalent simple pour la suite des nombres de Bernoulli.Dans la partie IV, on revient la formule de Stirling et lon dcrit une mthode pour obtenir unranement asymptotique de la formule.Lespartiesdecesujetnesontpasindpendantes,chacunedellespouvantutiliserdesrsultatstablisdanscellesqui laprcdent. Aussi pourra-t-onutiliserpourtraitercertainesquestions,lesrsultatstablisdanslesquestionsprcdentessanslesdmontrer. Il esttoutefoisvivementconseill aux candidats daborder linairement ce sujet.1. James, mathmaticien anglais, Garden 1692 - Edimbourg 1770.2. Jakob (francis en Jacques), mathmaticien suisse, premier dune longue ligne familiale de math-maticiens. Ble 1654 - Ble 1705.3. John, mathmaticien anglais, Ashford 1616 - Oxford 1703.4. Georg Friedrich Bernhard, mathmaticien allemand, Breselenz 1826 - Selasca 186639I. Intgrales de Wallis et formule de Stirling.I.1. Intgrales de Wallis.Pour tout entiern0, on poseWn =_ 20cosn(x)dxI.1.a. Montrer que, pour toutn0, on aWn =_ 20sinn(x)dx.(Indication. On pourra, par exemple, utiliser un changement de variables.)I.1.b. Montrer que la suite (Wn)n est strictement dcroissante.(Indication. Pour la dcroissance, on pourra comparer les fonctions x cosn(x) et x cosn+1(x).Pour la stricte dcroissance, on pourra raisonner par labsurde.)I.1.c. A laide dune intgration par parties montrer que, pourn0, on aWn+2 =_n + 1n + 2_WnI.1.d. En dduire que, pour tout entierp0, on a___W2p=(2p)!22p(p!)22W2p+1=22p(p!)2(2p + 1)!I.1.e. Montrer que, pour toutn0, on aWnWn+1 =2(n + 1)(Indication. On pourra utiliser la question prcdente en distinguant suivant la parit de lentiern.)I.1.f. Prouver que, pour toutn0, on a1 1n + 2 0 tel quen! nK_ne_nn40I.2.c. En utilisant cet quivalent, calculer un quivalent simple de la suite (W2p)p. En dduire queK = 2 et, par suite, quen! n_ne_n 2n(Formule de Stirling)I.3. Une autre application des intgrales de Wallis._ Rappelsurlesintgralesmultiplesetgnralisation. (Ce rappel nest utile que pour lessous-questions I.3.a. et I.3.c. de cette question I.3.)Les notions dintgrales doubles et triples ainsi que la mthode de calcul par intgrations successivesde ces dernires (prsentes au programme), se gnralisent toute dimension nie de la maniresuivante:tantdonnunentiern1,unepartieAn Rnseraditecontinmentparamtrablesi n=1et A1estunsegmentousi n 2etsil existeunepartieAn1 Rn1continmentparamtrable et deux fonctions continuesf, g : An1 R telles queAn = (x1, , xn) Rn/ (x1, , xn1) An1etf(x1, , xn1)xng(x1, , xn1)Avec ces notations, pour une fonction continue :An R, on dnit lintgrale multiple desurAnpar la formule suivante :_

_An(x1, , xn)dxndx1 =_

_An1__g(x1, ,xn1)f(x1, ,xn1)(x1, , xn)dxn_dxn1dx1On admettra, sans dmonstration, qu linstar des intgrales doubles et triples, le rel ainsi obtenunedpendquedelapartie Anet delafonction. Levolumedelapartie Anseraalors, pardnition, le rel_

_Andxndx1.Onseproposedtudierici lecomportementduvolumeduneboulederayonxquandonfaitvarierladimensiondelespace. Plusprcisment, onsexeunrel R>0et pourtout entiern1 on considre dans Rnla boule Bnde centreO et de rayonR :Bn = (x1, , xn) Rn/x21 + +x2nR2On noteVnson volume.I.3.a. Montrer que, pourn2, pour tout (x1, , xn) Rn, on a(x1, , xn) Bn ___(x1, , xn1) Bn1_R2x21 x2n1xn _R2x21 x2n1En dduire par rcurrence surn1, que Bn est continment paramtrable.I.3.b. Soient > 0 un rel et m0 un entier. Montrer, en se servant par exemple dun changementde variable utilisant la fonctiont sin t, que__2x2_m2dx = 2m+1Wm+1I.3.c. En dduire que pour tout entiern2 et toutk = 1, , n 1 on aVn = 2k_k

i=1Wi__

_Bnk_R2x21 x2nk_k2dxnk dx1(Indication. On pourra, pourn x, faire une rcurrence nie surk.)I.3.d. Prouver nalement que, pour tout entiern1, on aVn =_n

i=1Wi_(2R)n41et par suite, que pourk1V2k =kk! R2ket que pourk0V2k+1 = 22k+1k!(2k + 1)!kR2k+1ExpliciterV1, V2, V3 etV4.I.3.e. Enutilisant laformule de Stirling, donner des quivalents simples des suites (V2k)ket(V2k+1)k.I.3.f. En dduire que limnVn = 0.I.3.g.Montrerque,soitlasuite(Vn)nestdcroissante,soitilexisteunrangn0telquelasuite(Vn)n soit croissante jusquau rangn0, puis dcroissante.(Indication. On pourra calculer simplement le rapport Vn+1/Vn grce la question I.3.d. et utiliserles questions I.1.b. et I.1.g.)I.3.h. Donner les valeurs deR pour lesquelles la suite (Vn)n est dcroissante.I.3.i. Que vaut le rangn0 de la question I.3.g. quandR = 1 ?II. Polynmes et nombres de Bernoulli.II.1. Dnitions.II.1.a. SoitP(X) R[X]. Montrer quil existe un unique polynmeQ(X) R[X] tel queQ

= Pet_10Q(x)dx = 0.II.1.b. En dduire quil existe une unique suite de polynmes rels (Bn(X))n vriantB0(X) = 1 n1, B

n = nBn1 n1,_10Bn(x)dx = 0On appelle (Bn(X))nla suite des polynmes de Bernoulli. Pour toutn0, on posebn =Bn(0).La suite de rels (bn)nest appele suite des nombres de Bernoulli.II.1.c. ExpliciterBn(X) etbn pourn = 0, 1, 2, 3, 4.II.2. Premires proprits.II.2.a. Quel est le degr deBn(X) pourn0 ?II.2.b. Montrer que, pour toutn2, on aBn(0) = Bn(1).II.2.c. Prouver par rcurrence que, pour toutn0 et toutx R, on aBn(x) =n

k=0_nk_bnkxko_nk_ dsigne le coecient binmial :_nk_=n!k!(n k)!II.2.d. En dduire, pourn1, une expression debn en fonction deb0, , bn1. Calculerb5 etb6.II.2.e.Montrerquelasuite(bn)nestunesuitederationnelsetque,pourn 0,lespolynmesBn(X) sont coecients rationnels.II.2.f. Pour toutn0, on poseCn(X) = (1)nBn(1 X)42Montrer, en utilisant la dnition des polynmes de Bernoulli, que pour toutn0 on aCn(X) =Bn(X).II.2.g. En dduire que_ n1, b2n+1 = 0 n0, B2n+1(12) = 0II.3. Etude des variations deBnsur[0, 1].II.3.a. SoitP(X) R[X]. Etablir que, si Pest non nul et de signe constant sur [0, 1], alors on a_10P(x)dx ,= 0.II.3.b. Montrer, par rcurrence surn1, queB2n vrie___ (1)nB2n(0) < 0 (1)nB2n(1) < 0 (1)nB2n(12) > 0 la fonction (1)nB2n est strictement croissante sur [0,12] et strictement dcroissantesur [12, 1]et queB2n+1 vrie___ (1)nB2n+1(0) = (1)nB2n+1(1) = (1)nB2n+1(12) = 0 il existe deux rels2n+1 ]0,12[ et2n+1 ]12, 1[ tels que la fonction (1)nB2n+1soit strictement dcroissante sur [0, 2n+1] puis strictement croissante sur [2n+1, 2n+1]puis strictement dcroissante sur [2n+1, 1](Indication. Il pourra tre judicieux daborder en mme temps la rcurrence sur ces six proprits.)II.3.c. En dduire que le signe du relb2p est (1)p+1.II.3.d. Pour toutn0, on poseBn(X) =Bn(X) bn. Pourn1, donner lallure gnrale descourbes reprsentatives des fonctionsB4n2,B4n1,B4n,B4n+1 sur lintervalle [0, 1].II.4. Une application arithmtique.II.4.a. Montrer, par rcurrence surn1, que pour toutx R on aBn(x + 1) Bn(x) = nxn1II.4.b. Soient p1et N0deuxentiers. OnposeSp(N) =N

k=0kp, montrerenutilisantlaquestion II.4.a. queSp(N) =Bp+1(N + 1) bp+1p + 1II.4.c. Calculer explicitement, en fonction de lentier naturel N, les sommes Sp(N) pour p = 1, 2, 3.II.5. Une application analytique.II.5.a. Montrer que le rayon de convergence de la srie entire

bnn!tnest gal 2.(Indication. On pourra, par exemple, dterminer les rels t > 0 pour lesquels la suite (|bn|n!tn)n resteborne. A cet eet, on pourra utiliser la formule de Stirling et admettre pour cette question quelon a lquivalentb2p p(1)p+1_pe_2p16p. Ce dernier rsultat sera tabli dans la questionIII.2.e. venir.)II.5.b. Calculer le produit au sens de Cauchy des sries entires__

n1tnn!__.__

n0bnn!tn__43et en dduire que, pour toutt ] 2, 2[, on atet1=

n0bnn!tnII.5.c. Montrer que, pour toutx R et toutt ] 2, 2[, on atextet1=

n0Bn(x)n!tnII.5.d. Justier que, pour toutx R, le rayon de convergence de la srie entire

Bn(x)n!tnestbien 2.(Indication. On pourra regarder dans C le comportement de la srie entire au voisinage du cercle[z[ = 2.)III. Fonctionde Riemann et nombres de Bernoulli.III.1. Fonction.On appelle fonctionde Riemann (relle) la fonction de la variables R dnie par la formule(s) =

n11nsIII.1.a. Soits > 0. Montrer que, pour tout entierk1, on a1(k + 1)s0,lasrie(s)=

n1(1)n+1nsconverge.Prouverque,pourtouts > 1, on a(s) =_1 12s1_(s)III.2. Calcul de(2p).Pour toute fonction continuef: [0, 1] C et toutk Z, on noteck(f) =_10f(x)e2ikxdx44lek-imecoecientdeFourierdelafonctionf.Onrappellesansdmonstrationque,si fet gsont deux fonctions continues de [0, 1] dans C, alors on a_10f(x)g(x)dx =

kZck(f)ck(g)(oz zdsigne la conjugaison complexe).III.2.a. Calculer, pour toutk Z et toutn N, le coecientck(Bn).(Indication. Pourk ,= 0 etn2, on cherchera une relation entreck(Bn) etck(Bn1).)III.2.b. Soientn, m1 deux entiers. Montrer que_10Bn(x)Bm(x)dx =+

k=1[ck(Bn)ck(Bm) +ck(Bn)ck(Bm)]et en dduire la valeur de cette intgrale au moyen de valeurs de la fonction.(Indication. On distinguera les casn +m pair etn +m impair.)III.2.c. Pourp1, calculer_10B1(x)B2p1(x)dx en intgrant par parties. En dduire que(2p) = (1)p+1b2p2(2)2p(2p)!III.2.d. Donner les valeurs de(2),(4) et(6). En dduire les valeurs des sommes

n1(1)n+1n2,

n1(1)n+1n4,

n1(1)n+1n6et des sommes

n01(2n + 1)2,

n01(2n + 1)4,

n01(2n + 1)6III.2.e. En utilisant les questions III.1.d. et III.2.c. ainsi que la formule de Stirling, montrer queb2p p (1)p+1_pe_2p _16pIII.3. Application numrique.III.3.a. Soients > 1 etN1. Montrer que

nN+11ns N1ss 1III.3.b. Etant donn un rel> 0, expliciter un entierN0tel queN0

n=11nssoit une approximation prs de(s).III.3.c. Dduire de ce qui prcde, une approximation rationnelleA de6 102prs.III.3.d. Majorer lerreur commise en prenant6A comme approximation de . Combien de dcimalesde cette approximation permet-elle de donner ? Les donner.IV. Formule de Stirling gnralise.45On considre la suite (n)n dnie, pourn0, par n =n!_ne_n2n.Onsait,daprslapartieI,quelonan= 1 + o(1).Onseproposeicidedcrireunemthodepour obtenir un dveloppement limit en 1/n un ordre donn de la suite (n)n, autrement dit onveut raner la formule de Stirling.IV.1. On se xe un entierN2.IV.1.a. Montrer que ln N= ln 1 +N1

n=1_1 _n + 12_ln_1 +1n__.IV.1.b. Montrer que la fonction t _1t+12_ln(1+t) est dveloppable en srie entire en 0. Prciserson dveloppement ainsi que le rayon de convergence de ce dveloppement.IV.1.c. En dduire queln N= ln 1 ++

k=2(1)k+1k 12k(k + 1)__(k)

nN1nk__IV.1.d. Montrer que la srie

(1)k+1k 12k(k + 1)(k) est convergente.(Indication. On pourra utiliser le critre des sries alternes.)IV.1.e. En dduire queln N= ln 1 ++

k=2(1)k+1k 12k(k + 1)(k) +

k=2(1)k+1k 12k(k + 1)Rk(N)oRk(N) =

nN1nk.IV.2.IV.2.a. Prouver que, pour toutk2 et toutN2, on a1k 1.1Nk1Rk(N) 1k 1.1Nk1+1NkIV.2.b. En dduire que, pour tout entierp2, on a+

k=p(1)k(k 1)2k(k + 1)Rk(N) = o_1Np2_IV.3.IV.3.a. Montrer que+

k=2(1)k(k 1)2k(k + 1)(k) = 1 12 ln 2et que, pour toutN2, on aln N=+

k=2(1)kk 12k(k + 1)Rk(N)IV.3.b. Dduiredecequi prcdeque, si lessuites(R2(N))N,, (Rp+1(N))Npossdentdesdveloppementslimitsen1/Nlordrep, alorslasuite(ln N)Nenpossdeaussi unetquecelui-ci est gal celui de la suite_p+1

k=2(1)kk 12k(k + 1)Rk(N)_N.46IV.3.c. Montrerquelasuite(ln N)Npossdeundveloppementlimiten1/Nlordre1. Endduire celui de la suite (N)N cet ordre.IV.4.IV.4.a. Montrer que, pourN1, on aR2(N) 1N=

nN1n2(n + 1).IV.4.b. Encomparant cette dernire srie lintgrale gnralise_+Ndxx2(x + 1), donner ledveloppement limitdelasuite(R2(N))Nen1/Nlordre2. Endduireledveloppementlimit de la suite (ln N)Npuis de la suite (N)N, en 1/N lordre de 2.IV.4.c. En gnralisant ce qui vient dtre fait, dcrire brivement les tapes suivre pour trouverun dveloppement limit de la suite (N)N, en 1/N un ordre donn. FIN 472.2 Description de lpreuveLpreuve danalyse de cette anne abordait les polynmes et nombres de Bernoulli et la formulede Stirling gnralise. Il sagissait l dun sujet sur un thme trs classique et trs classiquementrencontr en premier cycle universitaire. Lpreuve comportait quatre parties.La partie I. tait consacre aux intgrales de Wallis. On y donnait deux applications : la formulede Stirling (I.2.) qui fournit un quivalent simple de la suite (n!)n et le calcul et ltude du volumede la boule euclidienne en toute dimension (I.3.).LapartieII. sintressaitauxpolynmesetnombresdeBernoulli. DanslesquestionsII.1,2,3.on tudiait les proprits classiques de ces derniers, en particulier leurs variations sur lintervalle[0, 1]. LespartiesII.4. etII.5. prsentaientchacuneuneapplication. Lapremire, arithmtique,faisaitexprimerlessommesdutypeSp(N)=N