Slide Aljabar Abstrak 2edit.pdf

PendahuluanOutline

Materi UTSMateri UAS

Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan

Pertemuan 9Karakteristik Gelanggang

Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)

PendahuluanOutline



Definisi 7.1 (Karakteristik Gelanggang)

Bilangan bulat positif terkecil n disebut karakteristik gelanggang Rjika memenuhi persamaan

n · a = 0R untuk setiap a ∈ R.

Catatan:jika tidak ada bilangan bulat positif n yang memenuhi persamaantersebut di atas, kita katakan bahwa gelanggang R mempunyaikarakteristik 0.


PendahuluanOutline



Definisi 7.1 (Karakteristik Gelanggang)

Bilangan bulat positif terkecil n disebut karakteristik gelanggang Rjika memenuhi persamaan

n · a = 0R untuk setiap a ∈ R.

Catatan:jika tidak ada bilangan bulat positif n yang memenuhi persamaantersebut di atas, kita katakan bahwa gelanggang R mempunyaikarakteristik 0.


PendahuluanOutline



Contoh Karakteristik Gelanggang

� Gelanggang Zn memiliki nilai karakteristik n

� Gelanggang Z,Q,R dan Csemuanya memiliki nilai karakteristik 0

� 4 bukan nilai karakteristik dari Z2.


PendahuluanOutline








PendahuluanOutline








PendahuluanOutline



Teorema 7.1 (Karakteristik Gelanggang)

Bilangan bulat positif terkecil n adalah karakteristik gelanggang Rjika memenuhi n · 1R = 0R untuk suatu n ∈ Z+. Jika tidak ada nyang memenuhi maka karakteristiknya adalah 0.


PendahuluanOutline



Bukti Teorema 7.1

Misalkan n adalah bilangan bulat positif yang memenuhi n · 1R = 0.

Ambil sembarang a ∈ R sehingga diperolehn · a = a + a + · · ·+ a

= a(1R + 1R + · · ·+ 1R)= a(n · 1R)= a · 0R= 0R �


PendahuluanOutline



Bukti Teorema 7.1

Misalkan n adalah bilangan bulat positif yang memenuhi n · 1R = 0.Ambil sembarang a ∈ R sehingga diperoleh

n · a = a + a + · · ·+ a= a(1R + 1R + · · ·+ 1R)= a(n · 1R)= a · 0R= 0R �


PendahuluanOutline



Bukti Teorema 7.1


n · a = a + a + · · ·+ a

= a(1R + 1R + · · ·+ 1R)= a(n · 1R)= a · 0R= 0R �


PendahuluanOutline



Bukti Teorema 7.1


n · a = a + a + · · ·+ a= a(1R + 1R + · · ·+ 1R)

= a(n · 1R)= a · 0R= 0R �


PendahuluanOutline



Bukti Teorema 7.1


n · a = a + a + · · ·+ a= a(1R + 1R + · · ·+ 1R)= a(n · 1R)

= a · 0R= 0R �


PendahuluanOutline



Bukti Teorema 7.1


n · a = a + a + · · ·+ a= a(1R + 1R + · · ·+ 1R)= a(n · 1R)= a · 0R

= 0R �


PendahuluanOutline



Bukti Teorema 7.1


n · a = a + a + · · ·+ a= a(1R + 1R + · · ·+ 1R)= a(n · 1R)= a · 0R= 0R �


PendahuluanOutline



Teorema 7.2 (Karakteristik Daerah Integral)

Karakteristik suatu daerah integral adalah 0 atau prima.


PendahuluanOutline



Bukti Teorema 7.2

Misalkan R daerah integral dan suatu bilangan bulat positif nadalah karakteristik R.

Untuk membuktikan teorema ini cukup kitatunjukan n adalah prima dengan menggunakan kontradiksi.

Andaikan n bukan bilangan prima maka ada 1 < r < n dan1 < s < n sehingga n = rs. Karena n karakteristik dari R makadiperoleh

n · 1R = 0R(r · s) · 1R = 0R

(r · 1R)(s · 1R) = 0R


PendahuluanOutline



Bukti Teorema 7.2

Misalkan R daerah integral dan suatu bilangan bulat positif nadalah karakteristik R. Untuk membuktikan teorema ini cukup kitatunjukan n adalah prima dengan menggunakan kontradiksi.


n · 1R = 0R(r · s) · 1R = 0R

(r · 1R)(s · 1R) = 0R


PendahuluanOutline



Bukti Teorema 7.2



n · 1R = 0R

(r · s) · 1R = 0R(r · 1R)(s · 1R) = 0R


PendahuluanOutline



Bukti Teorema 7.2



n · 1R = 0R(r · s) · 1R = 0R

(r · 1R)(s · 1R) = 0R


PendahuluanOutline



Bukti Teorema 7.2



n · 1R = 0R(r · s) · 1R = 0R

(r · 1R)(s · 1R) = 0R


PendahuluanOutline



Bukti Teorema 7.2

karena R daerah integral maka diperoleh(r · 1R) = 0R atau (s · 1R) = 0R .

Kedua kemungkinan tersebut menimbulkan kontradiksi dengan nkarakteristik dari R(n bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi n · 1R = 0R).

Jadi haruslah n adalah bilangan prima�


PendahuluanOutline



Bukti Teorema 7.2





PendahuluanOutline



Bukti Teorema 7.2





PendahuluanOutline



Latihan 7

1. Misalkan R gelanggang dengan karakteristik n > 0 dan msuatu bilangan bulat positif. Buktikan bahwa m · 1R = 0Rjika dan hanya jika n membagi m.

2. Tentukan karakteristik dari gelanggang-gelanggang berikut.a. Z3 × Z3

b. Z4 × Z6

c. Z4 × R3. Dengan mengamati jawaban anda pada soal no.1 di atas,

tentukan karakteristik dari gelanggang R × S jikakarakteristik gelanggang R dan S adalah masing-masingn dan m (n dan m sembarang bilangan bulat tak negatif).


PendahuluanOutline



Latihan 7



b. Z4 × Z6

c. Z4 × R

3. Dengan mengamati jawaban anda pada soal no.1 di atas,tentukan karakteristik dari gelanggang R × S jikakarakteristik gelanggang R dan S adalah masing-masingn dan m (n dan m sembarang bilangan bulat tak negatif).


PendahuluanOutline



Latihan 7



b. Z4 × Z6

c. Z4 × R3. Dengan mengamati jawaban anda pada soal no.1 di atas,

tentukan karakteristik dari gelanggang R × S jikakarakteristik gelanggang R dan S adalah masing-masingn dan m (n dan m sembarang bilangan bulat tak negatif).


PendahuluanOutline



Latihan 7

4. Buktikan bahwa pernyataan berikut tidak benar. Jika R suatugelanggang dan terdapat 0 6= a ∈ R dan n bilangan bulatpositif terkecil sehingga n · a = 0R maka n merupakankarakteristik dari R.

5. Misalkan R suatu daerah integral dengan karakteristik dari 0.Buktikan bahwa R memiliki subgelanggang yang isomorfikdengan gelanggang bilangan bulat Z

6. Misalkan R dan S dua buah gelanggang yang saling isomorfikTunjukan bahwa karakteristik R dan S adalah sama.


PendahuluanOutline



Latihan 7





PendahuluanOutline



Latihan 7





PendahuluanOutline



Pertemuan 10Ideal


PendahuluanOutline



Definisi 8.1 (Ideal)

Misalkan diberikan suatu gelanggang R. Suatu subhimpunan takkosong I ⊆ R disebut ideal jika memenuhi

i . I adalah subgrup dari (R,+)ii . untuk setiap r ∈ R dan a ∈ I berlaku ra, ar ∈ I


PendahuluanOutline





i . I adalah subgrup dari (R,+)

ii . untuk setiap r ∈ R dan a ∈ I berlaku ra, ar ∈ I


PendahuluanOutline





i . I adalah subgrup dari (R,+)ii . untuk setiap r ∈ R dan a ∈ I berlaku ra, ar ∈ I


PendahuluanOutline



Teorema 8.1 (Ideal)

Suatu subhimpunan I dari suatu gelanggang R membentuk suatuideal jika dan hanya jika memenuhi

i . I 6= ∅ii . jika a, b ∈ I maka a− b ∈ I

iii . jika a ∈ I dan r ∈ R maka ar , ra ∈ I


PendahuluanOutline



Teorema 8.1 (Ideal)


i . I 6= ∅

ii . jika a, b ∈ I maka a− b ∈ Iiii . jika a ∈ I dan r ∈ R maka ar , ra ∈ I


PendahuluanOutline



Teorema 8.1 (Ideal)


i . I 6= ∅ii . jika a, b ∈ I maka a− b ∈ I

iii . jika a ∈ I dan r ∈ R maka ar , ra ∈ I


PendahuluanOutline



Teorema 8.1 (Ideal)


i . I 6= ∅ii . jika a, b ∈ I maka a− b ∈ Iiii . jika a ∈ I dan r ∈ R maka ar , ra ∈ I


PendahuluanOutline



Contoh 8.1

Misal diberikan dua buah gelanggang R1 dan R2. θ : R1 → R2

adalah homomorfisma gelanggang. Maka Inti(θ) merupakan idealdari R1.


PendahuluanOutline



Contoh 8.2

Misal R suatu gelanggang komutatif dan a ∈ R. Tunjukan bahwahimpunan

〈a〉 = {ar | r ∈ R}

merupakan ideal terkecil yang memuat a.

Catatan:Ideal yang berbentuk 〈a〉 disebut ideal utama (suatu ideal yangdibangun oleh satu unsur, yaitu a).


PendahuluanOutline



Contoh 8.2

Misal R suatu gelanggang komutatif dan a ∈ R. Tunjukan bahwahimpunan

〈a〉 = {ar | r ∈ R}

merupakan ideal terkecil yang memuat a.

Catatan:Ideal yang berbentuk 〈a〉 disebut ideal utama (suatu ideal yangdibangun oleh satu unsur, yaitu a).


PendahuluanOutline



Contoh 8.2

Untuk menunjukan 〈a〉 adalah ideal terkecil dari R yangmengandung a cukup dengan menunjukan tiga hal berikut:

i . himpunan 〈a〉 membentuk suatu ideal dari Rii . unsur a ∈ 〈a〉iii . untuk setiap ideal I dari R dengan a ∈ I berlaku 〈a〉 ⊆ I


PendahuluanOutline



Contoh 8.2


i . himpunan 〈a〉 membentuk suatu ideal dari R

ii . unsur a ∈ 〈a〉iii . untuk setiap ideal I dari R dengan a ∈ I berlaku 〈a〉 ⊆ I


PendahuluanOutline



Contoh 8.2


i . himpunan 〈a〉 membentuk suatu ideal dari Rii . unsur a ∈ 〈a〉

iii . untuk setiap ideal I dari R dengan a ∈ I berlaku 〈a〉 ⊆ I


PendahuluanOutline



Contoh 8.2


i . himpunan 〈a〉 membentuk suatu ideal dari Rii . unsur a ∈ 〈a〉iii . untuk setiap ideal I dari R dengan a ∈ I berlaku 〈a〉 ⊆ I


PendahuluanOutline



Contoh 8.2

Bukti (i .): himpunan 〈a〉 membentuk suatu ideal dari R

ia. Jelas bahwa 0R = a · 0R ∈ 〈a〉. Sehingga 〈a〉 6= ∅ib. misalkan x , y ∈ 〈a〉. Maka x dan y dapat ditulis

x = ar1 dan y = ar2 untuk suatu r1, r2 ∈ RSehingga diperolehx − y = (ar1)− (ar2)

= a(r1 − r2) sifat distributif∈ 〈a〉 r1 − r2 ∈ R

jadi untuk setiap x , y ∈ 〈a〉 diperoleh x − y ∈ 〈a〉


PendahuluanOutline



Contoh 8.2


ia. Jelas bahwa 0R = a · 0R ∈ 〈a〉. Sehingga 〈a〉 6= ∅

ib. misalkan x , y ∈ 〈a〉. Maka x dan y dapat ditulisx = ar1 dan y = ar2 untuk suatu r1, r2 ∈ RSehingga diperolehx − y = (ar1)− (ar2)




PendahuluanOutline



Contoh 8.2


ia. Jelas bahwa 0R = a · 0R ∈ 〈a〉. Sehingga 〈a〉 6= ∅ib. misalkan x , y ∈ 〈a〉. Maka x dan y dapat ditulis

x = ar1 dan y = ar2 untuk suatu r1, r2 ∈ RSehingga diperolehx − y = (ar1)− (ar2)




PendahuluanOutline



Contoh 8.2

ic . Misalkan x ∈ 〈a〉 dan r ∈ R. Maka x dapat ditulissebagai x = ar1 untuk suatu r1 ∈ R. Diperolehrx = xr R gelanggang komutatif

= (ar1)r= a(r1r) sifat asosiatif∈ 〈a〉 karena r1r ∈ R

Jadi berdasarkan (ia), (ib) dan (ic) dapat disimpulkan bahwa 〈a〉suatu ideal.


PendahuluanOutline



Contoh 8.2

ic . Misalkan x ∈ 〈a〉 dan r ∈ R. Maka x dapat ditulissebagai x = ar1 untuk suatu r1 ∈ R. Diperolehrx = xr R gelanggang komutatif

= (ar1)r= a(r1r) sifat asosiatif∈ 〈a〉 karena r1r ∈ R

Jadi berdasarkan (ia), (ib) dan (ic) dapat disimpulkan bahwa 〈a〉suatu ideal.


PendahuluanOutline



Contoh 8.2

ii . Jelas bahwa a = a · 1R ∈ 〈a〉

iii . Misal I suatu ideal dengan a ∈ I . Ambil sembarang x ∈ 〈a〉x = ar1 untuk suatu r1 ∈ R. Dengan demikian diperolehx = ar1 ∈ I karena a ∈ I dan I suatu ideal.Jadi untuk setiap ideal I dari R dengan a ∈ I maka 〈a〉 ⊆ I

Berdasarkan (i), (ii) dan (iii) dapat disimpulkan bahwa 〈a〉merupakan ideal terkecil dari R yang memuat a.

�


PendahuluanOutline



Contoh 8.2

ii . Jelas bahwa a = a · 1R ∈ 〈a〉iii . Misal I suatu ideal dengan a ∈ I . Ambil sembarang x ∈ 〈a〉

x = ar1 untuk suatu r1 ∈ R. Dengan demikian diperolehx = ar1 ∈ I karena a ∈ I dan I suatu ideal.Jadi untuk setiap ideal I dari R dengan a ∈ I maka 〈a〉 ⊆ I

Berdasarkan (i), (ii) dan (iii) dapat disimpulkan bahwa 〈a〉merupakan ideal terkecil dari R yang memuat a.

�


PendahuluanOutline



Contoh 8.3

Misalkan Z menyatakan daerah integral bilangan bulat. Tunjukanbahwa setiap ideal I di Z merupakan ideal utama.

Catatan:Suatu daerah integral yang setiap idealnya merupakan ideal utamadisebut Daerah Ideal Utama.


PendahuluanOutline



Contoh 8.3

Ambil I suatu ideal dari Z.

Jika ideal I = {0} jelas bahwa I adalahideal utama karena dibangun satu unsur yaitu oleh unsur 0.

Selanjutnya, untuk I 6= {0} akan ditunjukan bahwa I dibangunoleh satu unsur.

ambil suatu unsur terkecil a di I maka diperoleh a 6= 0 dan−a = a(−1) ∈ I karena I suatu idealberdasarkan Contoh 8.2 diperoleh 〈a〉 ⊆ I · · · · · · (∗)

Ambil x ∈ I . Berdasarkan algoritma pembagian, terdapat r , s ∈ Zsehingga

x = a · r + s dengan 0 ≤ s < a


PendahuluanOutline



Contoh 8.3

Ambil I suatu ideal dari Z. Jika ideal I = {0} jelas bahwa I adalahideal utama karena dibangun satu unsur yaitu oleh unsur 0.






PendahuluanOutline



Contoh 8.3







PendahuluanOutline



Contoh 8.3



ambil suatu unsur terkecil a di I maka diperoleh a 6= 0 dan−a = a(−1) ∈ I karena I suatu ideal

berdasarkan Contoh 8.2 diperoleh 〈a〉 ⊆ I · · · · · · (∗)




PendahuluanOutline



Contoh 8.3







PendahuluanOutline



Contoh 8.3







PendahuluanOutline



Contoh 8.3







PendahuluanOutline



Contoh 8.3

s = x + a · (−r) ∈ I karena I suatu ideal dari Z

s = 0 karena 0 ≤ s < a dan a bilangan bulat positif terkecil di I .Dengan demikian diperoleh x = a · r ∈ 〈a〉.

karena untuk setiap x ∈ I mengakibatkan x ∈ 〈a〉 maka diperolehI ⊆ 〈a〉 · · · · · · (∗∗)

Berdasarkan (∗) dan (∗∗) disimpulkan bahwa I = 〈a〉 untuk suatua bilangan bulat positif terkecil di I . Dengan demikian terbuktibahwa setiap ideal di Z merupakan ideal utama.

�


PendahuluanOutline



Contoh 8.3

s = x + a · (−r) ∈ I karena I suatu ideal dari Zs = 0 karena 0 ≤ s < a dan a bilangan bulat positif terkecil di I .

Dengan demikian diperoleh x = a · r ∈ 〈a〉.



�


PendahuluanOutline



Contoh 8.3

s = x + a · (−r) ∈ I karena I suatu ideal dari Zs = 0 karena 0 ≤ s < a dan a bilangan bulat positif terkecil di I .Dengan demikian diperoleh x = a · r ∈ 〈a〉.



�


PendahuluanOutline



Contoh 8.3


karena untuk setiap x ∈ I mengakibatkan x ∈ 〈a〉 maka diperoleh

I ⊆ 〈a〉 · · · · · · (∗∗)


�


PendahuluanOutline



Contoh 8.3




�


PendahuluanOutline



Contoh 8.3




�


PendahuluanOutline



Contoh 8.4

Misalkan R suatu gelanggang komutatif. Maka R suatu lapanganjika dan hanya jika R tidak memiliki ideal lain selain {0} dan R itusendiri.


PendahuluanOutline



Contoh 8.4

Untuk menunjukan syarat cukup R suatu lapangan, akanditunjukan bahwa setiap ideal I dari R maka I = {0} atau I = R.

Misal R suatu lapangan dan I ideal dari R dengan I 6= {0}. Akanditunjukan bahwa ideal I = R.

Jelas bahwa I ⊆ R karena I suatu ideal dari R. · · · · · · (?)

ambil suatu unsur a ∈ Imaka 0 6= a ∈ R karena {0} 6= I ⊆ R.Karena R lapangan maka ada a−1 ∈ R sehingga a · a−1 = 1Dengan demikian diperoleh bahwa unsur 1 = a · a−1 ∈ I karenaa ∈ I .


PendahuluanOutline



Contoh 8.4






PendahuluanOutline



Contoh 8.4






PendahuluanOutline



Contoh 8.4




ambil suatu unsur a ∈ I

maka 0 6= a ∈ R karena {0} 6= I ⊆ R.Karena R lapangan maka ada a−1 ∈ R sehingga a · a−1 = 1Dengan demikian diperoleh bahwa unsur 1 = a · a−1 ∈ I karenaa ∈ I .


PendahuluanOutline



Contoh 8.4




ambil suatu unsur a ∈ Imaka 0 6= a ∈ R karena {0} 6= I ⊆ R.

Karena R lapangan maka ada a−1 ∈ R sehingga a · a−1 = 1Dengan demikian diperoleh bahwa unsur 1 = a · a−1 ∈ I karenaa ∈ I .


PendahuluanOutline



Contoh 8.4




ambil suatu unsur a ∈ Imaka 0 6= a ∈ R karena {0} 6= I ⊆ R.Karena R lapangan maka ada a−1 ∈ R sehingga a · a−1 = 1

Dengan demikian diperoleh bahwa unsur 1 = a · a−1 ∈ I karenaa ∈ I .


PendahuluanOutline



Contoh 8.4






PendahuluanOutline



Contoh 8.4

Sekarang, ambil sembarang r ∈ R maka diperoleh

r = r .1 ∈ I karena 1 ∈ IJadi karena untuk setiap r ∈ R mengakibatkan r ∈ I maka dapatdisimpulkan bahwa R ⊆ I . · · · · · · (??)

Berdasarkan (?) dan (??) dapat disimpulkan bahwa I = R.

Terbukti bahwa setiap ideal di R adalah {0} atau dirinya sendiri.Atau dengan kata lain, R tidak memiliki ideal selain {0} dan R.Bukti syarat perlu sebagai latihan.

�


PendahuluanOutline



Contoh 8.4

Sekarang, ambil sembarang r ∈ R maka diperolehr = r .1 ∈ I karena 1 ∈ I

Jadi karena untuk setiap r ∈ R mengakibatkan r ∈ I maka dapatdisimpulkan bahwa R ⊆ I . · · · · · · (??)



�


PendahuluanOutline



Contoh 8.4

Sekarang, ambil sembarang r ∈ R maka diperolehr = r .1 ∈ I karena 1 ∈ IJadi karena untuk setiap r ∈ R mengakibatkan r ∈ I maka dapatdisimpulkan bahwa R ⊆ I . · · · · · · (??)



�


PendahuluanOutline



Contoh 8.4




�


PendahuluanOutline



Contoh 8.4



Terbukti bahwa setiap ideal di R adalah {0} atau dirinya sendiri.Atau dengan kata lain, R tidak memiliki ideal selain {0} dan R.

Bukti syarat perlu sebagai latihan.�


PendahuluanOutline



Contoh 8.4




�


PendahuluanOutline



Latihan 8

1. Diketahui himpunan R =

{(a b0 c

)| a, b, c ∈ R

}dengan R menyatakan lapangan bilangan riil. Tunjukan

a. R adalah gelanggang

b. I =

{(0 a0 0

)| a ∈ R

}adalah ideal dari R

2. Misalkan R suatu gelanggang komutatif, I ideal dari R danuntuk suatu a ∈ R, himpunan J yaituJ = I + 〈a〉 = {i + ar | i ∈ I dan r ∈ R}.

a. Buktikan bahwa himpunan J merupakan ideal dari Rb. Buktikan bahwa I ⊆ J


PendahuluanOutline



Latihan 8

1. Diketahui himpunan R =

{(a b0 c

)| a, b, c ∈ R

}dengan R menyatakan lapangan bilangan riil. Tunjukan

a. R adalah gelanggang

b. I =

{(0 a0 0

)| a ∈ R

}adalah ideal dari R

2. Misalkan R suatu gelanggang komutatif, I ideal dari R danuntuk suatu a ∈ R, himpunan J yaituJ = I + 〈a〉 = {i + ar | i ∈ I dan r ∈ R}.

a. Buktikan bahwa himpunan J merupakan ideal dari Rb. Buktikan bahwa I ⊆ J


PendahuluanOutline



Latihan 8

3. Misalkan R suatu gelanggang komutatif yang tidak memilikiideal selain {0} dan R. Tunjukan bahwa R suatu lapangan!

4. Misalkan R2×2 menyatakan gelanggang matriks berukuran2× 2 dengan komponen bilangan riil. Buktikan bahwa R2×2

tidak memiliki ideal lain selain {0} dan R2×2.

5. Misalkan R suatu gelanggang dan U,V dua buah ideal dari Ri . Buktikan bahwa subhimpunan

U + V = {u + v | u ∈ U, v ∈ V }adalah ideal terkecil di R yang memuat U dan V .

ii . Buktikan bahwa subhimpunan U ∩ V adalah ideal ter-besar yang termuat dalam U dan V .


PendahuluanOutline



Latihan 8








PendahuluanOutline



Latihan 8








PendahuluanOutline



Latihan 8

6. Misalkan R suatu gelanggang dan U,V dua buah ideal dari R.Jika UV merupakan himpunan semua unsur di R yang dapatditulis sebagai jumlah hingga perkalian dari unsur-unsur di Udan V , buktikan bahwa UV merupakan ideal dari R denganUV ⊆ U ∩ V !


PendahuluanOutline



Pertemuan 11Gelanggang Kuosien


PendahuluanOutline



Membentuk Gelanggang R/I

� ambil sembarang gelanggang R dan ideal I dari gelanggangtersebut

� bentuk himpunan R/I sebagai himpunan semua koset a + Idengan a ∈ R atau dapat ditulis denganR/I = {a + I | a ∈ R}

� definisikan operasi jumlah dan kali pada R/I secara berurutanyaitu:

(a + I ) + (b + I ) = (a + b) + I , dan(a + I ) · (b + I ) = (a · b) + I

untuk setiap a + I , b + I ∈ R/I


PendahuluanOutline










PendahuluanOutline










PendahuluanOutline










PendahuluanOutline




� tunjukan operasi tersebut terdefinisi dengan baik

⇒ (R/I ,+, ·) membentuk sistem matematika

� tunjukan (R/I ,+, ·) memenuhi definisi 1.2, yaitu:i . (R/I ,+) membentuk grup komutatif

ii . (R/I , ·) memenuhi sifat asosiatif dan mempunyai unsurkesatuan, dan

iii . (R/I ,+, ·) memenuhi hukum distributif.

⇒ R/I membentuk suatu gelanggang yang berbeda dari R.


PendahuluanOutline




� tunjukan operasi tersebut terdefinisi dengan baik⇒ (R/I ,+, ·) membentuk sistem matematika






PendahuluanOutline










PendahuluanOutline










PendahuluanOutline










PendahuluanOutline










PendahuluanOutline



Operasi + terdefinisi dg baik di R/I

Ambil unsur a1 + I , b1 + I , a2 + I , b2 + I ∈ R/I dengan(i) a1 + I = a2 + I dan

(ii) b1 + I = b2 + I .

Untuk menunjukan bahwa operasi + terdefinisi dengan baik cukupdengan menunjukan (a1 + b1) + I = (a2 + b2) + I .

Point (i) dan (ii) secara berurutan artinya adalah(iii) a1 − a2 = i1 ∈ I dan(iv) b1 − b2 = i2 ∈ I .


PendahuluanOutline




Ambil unsur a1 + I , b1 + I , a2 + I , b2 + I ∈ R/I dengan(i) a1 + I = a2 + I dan(ii) b1 + I = b2 + I .




PendahuluanOutline








PendahuluanOutline






Point (i) dan (ii) secara berurutan artinya adalah(iii) a1 − a2 = i1 ∈ I dan

(iv) b1 − b2 = i2 ∈ I .


PendahuluanOutline








PendahuluanOutline




Sehingga berdasarkan (iii) dan (iv) diperoleh

a1 + b1 = (a2 + i1) + (b2 + i2)= (a2 + b2) + (i1 + i2)

(a1 + b1)− (a2 + b2) = (i1 + i2)∈ I karena i1 + i2 ∈ I

Oleh Karena (a1 + b1)− (a2 + b2) ∈ I maka(a1 + b1) + I = (a2 + b2) + I . Jadi terbukti bahwa operasi tambahterdefinisi dengan baik pada R/I .


PendahuluanOutline





a1 + b1 = (a2 + i1) + (b2 + i2)

= (a2 + b2) + (i1 + i2)(a1 + b1)− (a2 + b2) = (i1 + i2)

∈ I karena i1 + i2 ∈ I



PendahuluanOutline





a1 + b1 = (a2 + i1) + (b2 + i2)= (a2 + b2) + (i1 + i2)




PendahuluanOutline





a1 + b1 = (a2 + i1) + (b2 + i2)= (a2 + b2) + (i1 + i2)

(a1 + b1)− (a2 + b2) = (i1 + i2)

∈ I karena i1 + i2 ∈ I



PendahuluanOutline





a1 + b1 = (a2 + i1) + (b2 + i2)= (a2 + b2) + (i1 + i2)




PendahuluanOutline





a1 + b1 = (a2 + i1) + (b2 + i2)= (a2 + b2) + (i1 + i2)




PendahuluanOutline



Operasi · terdefinisi dg baik di R/I

Ambil unsur a1 + I , b1 + I , a2 + I , b2 + I ∈ R/I dengan(i) a1 + I = a2 + I dan

(ii) b1 + I = b2 + I .

Untuk menunjukan bahwa operasi · terdefinisi dengan baik cukupdengan menunjukan (a1 · b1) + I = (a2 · b2) + I .



PendahuluanOutline








PendahuluanOutline








PendahuluanOutline






Point (i) dan (ii) secara berurutan artinya adalah(iii) a1 − a2 = i1 ∈ I dan

(iv) b1 − b2 = i2 ∈ I .


PendahuluanOutline








PendahuluanOutline





a1 · b1 = (a2 + i1) · (b2 + i2)= a2 · b2 + a2 · i2 + i1 · (b2 + i2)

(a1 · b1)− (a2 · b2) = a2 · i2 + i1 · (b2 + i2)∈ I karena a2 · i2 + i1 · (b2 + i2) ∈ I

Oleh Karena (a1 · b1)− (a2 · b2) ∈ I maka(a1 · b1) + I = (a2 · b2) + I . Jadi terbukti bahwa operasi kaliterdefinisi dengan baik pada R/I .


PendahuluanOutline





a1 · b1 = (a2 + i1) · (b2 + i2)

= a2 · b2 + a2 · i2 + i1 · (b2 + i2)(a1 · b1)− (a2 · b2) = a2 · i2 + i1 · (b2 + i2)

∈ I karena a2 · i2 + i1 · (b2 + i2) ∈ I



PendahuluanOutline





a1 · b1 = (a2 + i1) · (b2 + i2)= a2 · b2 + a2 · i2 + i1 · (b2 + i2)




PendahuluanOutline





a1 · b1 = (a2 + i1) · (b2 + i2)= a2 · b2 + a2 · i2 + i1 · (b2 + i2)

(a1 · b1)− (a2 · b2) = a2 · i2 + i1 · (b2 + i2)

∈ I karena a2 · i2 + i1 · (b2 + i2) ∈ I



PendahuluanOutline





a1 · b1 = (a2 + i1) · (b2 + i2)= a2 · b2 + a2 · i2 + i1 · (b2 + i2)




PendahuluanOutline





a1 · b1 = (a2 + i1) · (b2 + i2)= a2 · b2 + a2 · i2 + i1 · (b2 + i2)




PendahuluanOutline



Perhatikan Sistem R/I !

⇒ bersifat asosiatif terhadap terhadap jumlah dan kali(berasal dari gelanggang R)

⇒ unsur nolnya adalah I

⇒ unsur −a + I adalah negatif dari unsur a + I

⇒ bersifat komutatif terhadap jumlah (berasal dari R)

⇒ unsur satuannya adalah 1R + I

⇒ memenuhi hukum distributif (berasal dari R)

Jadi sistem R/I membentuk gelanggang.


PendahuluanOutline












PendahuluanOutline












PendahuluanOutline












PendahuluanOutline












PendahuluanOutline












PendahuluanOutline












PendahuluanOutline












PendahuluanOutline



Definisi 9.1 (Gelanggang Kuosien)

Misal diberikan sembarang gelanggang R dan ideal I darigelanggang tersebut. Gelanggang R/I disebut gelanggangKuosien dari R oleh ideal I .


PendahuluanOutline



Contoh 9.1 (Gelanggang Kuosien)

Misalkan ambil R = Z maka ideal I = 〈n〉 untuk suatu n ∈ Z.R/I = Z/〈n〉

= {k + 〈n〉 | k ∈ Z}= {k | k ∈ Z} dengan k = k + 〈n〉 = {k + nz | z ∈ Z}

adalah kelas ekuivalen yang memuat k= {0, 1, · · · , n − 1}= Zn

Jadi Zn merupakan gelanggang Kuosien dari gelanggang Z olehideal 〈n〉 untuk suatu n ∈ Z


PendahuluanOutline





= {k + 〈n〉 | k ∈ Z}

= {k | k ∈ Z} dengan k = k + 〈n〉 = {k + nz | z ∈ Z}adalah kelas ekuivalen yang memuat k

= {0, 1, · · · , n − 1}= Zn



PendahuluanOutline






adalah kelas ekuivalen yang memuat k

= {0, 1, · · · , n − 1}= Zn



PendahuluanOutline






adalah kelas ekuivalen yang memuat k= {0, 1, · · · , n − 1}

= Zn



PendahuluanOutline









PendahuluanOutline









PendahuluanOutline



Teorema 9.1 (Proyeksi Kanonik)

Misalkan R suatu gelanggang, I ideal dari R dan R/I gelanggangkuosien dari R oleh I . Maka pengaitan

π : R → R/I

a 7→ a + I

merupakan suatu homomorfisma gelanggang yang bersifat padadengan ker(π) = I . Homomorfisma seperti ini disebut proyeksikanonik.


PendahuluanOutline



Teorema 9.1 (Proyeksi Kanonik)

Misalkan R suatu gelanggang, I ideal dari R dan R/I gelanggangkuosien dari R oleh I . Maka pengaitan

π : R → R/Ia 7→ a + I

merupakan suatu homomorfisma gelanggang yang bersifat padadengan ker(π) = I . Homomorfisma seperti ini disebut proyeksikanonik.


PendahuluanOutline



Definisi 9.2 (Ideal Maksimal)

Misalkan R suatu gelanggang dan M ideal dari R. Ideal M 6= Rdisebut ideal maksimal jika untuk setiap ideal I dari R denganM ⊆ I ⊆ R maka I = M atau I = R.


PendahuluanOutline



Teorema 9.2

Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan I 6= R ideal dari R.Maka gelanggang kuosien R/I membentuk suatu lapangan jikadan hanya jika I merupakan ideal maksimal.


PendahuluanOutline



Definisi 9.3

Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan I 6= R ideal dari R.Ideal I disebut ideal prima jika untuk setiap x , y ∈ R denganxy ∈ I maka berlaku x ∈ I atau y ∈ I .


PendahuluanOutline



Teorema 9.3

Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan I 6= R ideal dari R.Maka gelanggang kuosien R/I membentuk suatu daerah integraljika dan hanya jika I merupakan ideal prima.


PendahuluanOutline



Latihan 9

1. Buktikan bahwa operasi · pada gelanggang kuosien bersifatasosiatif dan distributif!

2. Misalkan R suatu gelanggang dan I 6= R suatu ideal.Buktikan bahwa pemetaanπ : R → R/I

a 7→ a + Imerupakan homomorfisma gelanggang yang bersifat padadengan ker(π) = I !


PendahuluanOutline



Latihan 9





PendahuluanOutline



Latihan 9





PendahuluanOutline



Latihan 9

3. Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan I 6= R suatuideal dari R. Buktikan bahwa gelanggang R/I membentuksuatu daerah integral jika dan hanya jika I ideal prima.

4. Misalkan R suatu gelanggang komutatif. Buktikan bahwagelanggang R suatu daerah integral jika dan hanya jika {0}ideal prima.

5. Misalkan R suatu gelanggang komutatif. Tunjukan bahwa {0}adalah ideal maksimal jika dan hanya jika R lapangan.


PendahuluanOutline



Latihan 9





PendahuluanOutline



Latihan 9





PendahuluanOutline



Latihan 9

6. Misalkan R suatu gelanggang dan I 6= R suatu ideal dari R.Buktikan bahwa gelanggang R/I membentuk gelanggangkomutatif jika untuk setiap a, b ∈ R maka ab − ba ∈ I


Documents

Slide Aljabar Abstrak 2edit.pdf