1

Systemy przetwarzania sygnałów

Systemprzetwarzania

sygnałów

Systemprzetwarzania

sygnałów

x(t) y(t)

?

x(t) � y(t)

2003 © P. Strumiłło

2

Systemy przetwarzania sygnałów

T – ci�gła zmienna czasun – dyskretna zmienna czasu n = 0, 1, … N,…

Systemczasu ci�głego

Systemczasu ci�głegox(t) y(t) np. megafon - wzmacniacz

analogowy

Systemczasu dyskretnego

Systemczasu dyskretnegox(n) y(n)

np. proces akumulacji odsetek w banku:

y(n)=0.1*y(n-1) +x(n),

� filtry cyfrowe

sygnał ci�gły

sygnał dyskretny

y(t)=H(x(t))

y(n)=H(x(n))

3

Sygnał dyskretny

Sygnał dyskretny mo�na uzyska� przez próbkowanie amplitudy sygnału ci�głego w dyskretnych chwilach czasu nT.

x(nT)

n0T

1 2 30

4

Wła�ciwo�ci systemówprzetwarzania sygnałów

1. Systemy z pami�ci� i bez pami�ci

2. Systemy przyczynowe i nieprzyczynowe

3. Systemy stabilne i niestabilne

4. Systemy liniowe i nieliniowe

5. Systemy niezmienne wzgl�dem czasu(przesuni�cia) i zmienne wzgl�dem czasu

Przykłady?

5

Systemy z pami�ci� i bez pami�ci

( ) ( ) ( )nxkxnyn

k

+= �−

−∞=

1

( ) ( ) ( )nxnxny 223 +=

Sygnał wyj�ciowy systemu bez pami�ci w chwili n zale�y tylko od sygnału wej�ciowego w tej samej chwili, np.:

Sygnał wyj�ciowy systemu z pami�ci� w chwili n zale�y sygnału wej�ciowego wyst�puj�cego w chwilach czasu k≠n, np.:

( ) ( ) ( )nxnyny +−= 1

6

Systemy przyczynowe

( ) ( ) )10( −+= nxnxny

Systemy jest przyczynowy gdy jego sygnał wyj�ciowy w chwili n jest zale�ny tylko sygnału wej�ciowego w chwili n i/lub sygnału wej�ciowego z chwil przeszłych, np.:

( ) ( ) )1( +−= nxnxny

nieprzyczynowy

7

tj. odpowied� systemu liniowego na sum� sygnałów wej�ciowych jest równa sumie odpowiedzi systemu na poszczególne sygnały składowe.

Przykład systemu liniowego:

Przykład systemu nieliniowego:

Systemy liniowe

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )nbynaynbxbHnxaHnbxnaxH 212121 +=+=+

( ) ( )nxny 2=

Systemy linowe spełniaj� zasad� superpozycji:

( ) ( )nxny 3=

8

Dla systemów liniowych niezmiennych wzgl�dem przesuni�cia, znajomo�� odpowiedzi systemu na pobudzenie impulsowe δ(n) pozwala wyznaczy� odpowied� systemu na dowolny sygnał wej�ciowy.

Systemy liniowe niezmiennewzgl�dem przesuni�cia

System liniowy

δ(n)

0 0

h(n)Odpowied� impulsowa

9

Filtracja sygnału

( ) ( ) ( )knxkhnyk

k

−= �∞=

−∞=

h(k)

k

x(-k)

k

x(k)

kx(1-k)

k

x(n-k)

kh(k)

k

0

10

Filtry cyfrowe

Filtr cyfrowyFiltr cyfrowyx(n) y(n)

h(n)– odpowied� impulsowa

x(n) y(n)

y(n) = x(n) ∗ h(n)

Procesory sygnałowe (DSP), układy programowalne

2003 © P. Strumiłło

11

Filtry cyfrowe

Po co filtrujemy sygnały? Aby uzyska�:

� redukcj� zakłóce� sygnału (np. zakłóce� od sieci energetycznej)

� zmian� charakterystyki widmowej sygnału (preemfaza, deemfaza)

� wyodr�bnienie zadanych składowych sygnału spo�ród jego innych składowych (detekcja)

12

Reprezentacja sygnałów za pomoc� szeregu Fouriera

Joseph Fourier(1768-1830)

Szeroka klasa sygnałów mo�e by� reprezentowana za pomoc� kombinacji liniowej funkcji harmonicznych o ró�nych cz�stotliwo�ciach – tzw. szereg Fouriera

13

Przekształcenie Fouriera

14

Trygonometryczny szereg Fouriera

( ) ( )�+∞

=++=

100

0 sincos2 k

kk tkbtkaa

tx ωω

Tπω 2

0 =gdzie: tzw. okres podstawowy

( )dttxT

aT

t�=

=0

02

( ) �,2,1,cos2

00 == �

=kdttktx

Ta

T

tk ω

( ) �,2,1,sin2

00 == �

=kdttktx

Tb

T

tk ω

oraz:

15

Szereg Fouriera - przykład

( ) ��

���

� +++= �55sin

33sin

1sin4 ttt

txπ

0 1 2 3 4 5 6-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2π

%MATLABclear all;t=linspace(0,2*pi,100);x=ones(size(t)); x(51:end)=-1; plot(t,x,'r'); hold on;

xf=zeros(size(t));for i=1:2:9,

xf=xf+4/pi.*sin(i.*t)/i;plot(t,xf) endgrid;

12

0 ==Tπω

Cz�stotliwo�� podstawowa ωωωω0

16

Szereg Fouriera - przykład

0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 190

0.2

0.4

0.6

0.8

1Widmo Fouriera

4/π

17

0 50 100 150 2000

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

f[Hz]

60 Hz

Widmo Fouriera sygnału EKG

Szereg Fouriera - przykład

0 2 0 0 4 0 0 6 0 0 8 0 0 1 0 0 0-1 0 0

0

1 0 0

2 0 0

3 0 0

4 0 0

5 0 0

6 0 0

18

Charakterystyki cz�stotliwo�ciowe filtrów

Filtr dolno-przepustowy

(np. filtr anty-alisingowy, redukcja zakłóce�)

f

A(f)

f

A(f)Filtr górno-przepustowy

(np. preemfaza, usuwanie składowej stałej)

pasmozaporowe

pasmoprzepustowe

pasmoprzej�ciowe

fp fs

19

Filtr �rodkowo-przepustowy

(np. detekcja cech sygnału)

Filtr �rodkowo-zaporowy

(np. redukcja zakłóce� od sieci energetycznej)

f

A(f)

f

A(f)

50 Hz

Charakterystyki cz�stotliwo�ciowe filtrów

20

Charakterystyki cz�stotliwo�ciowe filtrów - przykłady

f

A(f)

Filtr dolnoprzepustowy(redukcja zakłóce�)

200 400 600 800 10000

500

1000

1500

200 400 600 800 10000

500

1000

1500

0 V 0 V

21

Charakterystyki cz�stotliwo�ciowe filtrów - przykłady

f

A(f)

Filtr górno-przepustowy

(np. usuwanie warto�ci �redniej)

200 400 600 800 10000

500

1000

1500

0 V

0 200 400 600 800 1000-150

-100

-50

0

50

100

0 V

22

Charakterystyki cz�stotliwo�ciowe filtrów - przykłady

200 400 600 800 10000

500

1000

1500

0 V

0 200 400 600 800 1000-2000

0

2000

4000

6000

Filtr �rodkowo-przepustowy

(np. detekcja cech sygnału)

f

A(f)

23

Charakterystyki cz�stotliwo�ciowe filtrów - przykłady

Filtr �rodkowo-zaporowy

(np. redukcja zakłóce� o zadanej cz�stotliwo�ci)

f

A(f)

50 Hz

0 200 400 600 800 1000900

1000

1100

1200

1300

1400

1500

1600

0 200 400 600 800 1000900

1000

1100

1200

1300

1400

24

Zastosowania filtrów cyfrowych w przetwarzaniu elektrokardiogramu

�donoprzepustowe (redukcja zakłóce� o cz�stotliwo�ciach radiowych, aktywno�ci mi��ni szkieletowych)

�górnoprzepustowe (eliminacja pełzania linii izoelektrycznej, fg=0.5 Hz)

�pasmowoprzepustowe (wydzielanie składowych sygnału EKG, np. fali P, T, QRS)

�pasmowozaporowe (redukcja zakłóce� od sieci energetycznej, f=50 Hz)

25

Filtr cyfrowy - zastosowanie

26

Przykład filtru SOI

Filtr o ruchomej �redniej:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )�−=

=+−+−+−+−=k

kn

nxkxkxkxkxkxky45

11234

51

Odpowied� impulsowa filtru:

h=[0.2 0.2 0.2 0.2 0.2];

27

Przykład filtru SOI

0 500 1000 1500 2000 2500 3000-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

500 1000 1500 2000 2500 3000-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

28

Prosty przykład filtru SOI

0 20 40 60 80 100-3

-2

-1

0

1

2

3Charakterystyka fazowa

f [Hz]

radi

any

0 20 40 60 80 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1Charakterystyka amplitudowa

f [Hz]

Am

plitu

da

Odpowied� impulsowa filtru

0 5 10 15 200

0.05

0.1

0.15

0.2

tzw. zero filtru

Charakterystyka fazowa Charakterystyka amplitudowa

29

Filtr dolnoprzepustowy - projekt

30

Adaptacyjna redukcja zakłóce�

s(t) = x(t) + v(t)Σ

Filtradaptacyjny

e(t) = x(t)^

n(t)

�ródłosygnału

�ródłozakłóce�

+

_

v(t)^

(tzw. wej�cieodniesienia) Reguła

adaptacji wag

( ) ( )tetw ∇−=∆ η

31

Adaptacyjne tłumienie hałasu

32

Zastosowania filtracji adaptacyjnej

� w adaptacyjnej redukcji zakłóce� mierzonego sygnału od sieci energetycznej oraz redukcji zakłóce� od elektronarz�dzi chirurgicznych (f~120 Hz)

� do redukcji energii sygnału EKG matki przy pomiarze EKG płodu

� jako model predykcyjny sygnałów biologicznych do wykrywania ich zaburze� (np. detekcji stanu fibrylacji komór serca � implantowane defibrylatory)

Filtry adaptacyjne s� stosowane głównie do filtracji sygnałów niestacjonarnych, np.:

33

U�rednianie synchroniczne sygnału

Idea u�redniania synchronicznego

Sygnały synchronizuj�ce

34

U�rednianie synchroniczne sygnału

x1 x2 x3 xN

……

�=

=N

nnN 1

1ˆ xx

x̂

35

Odchylenie standardowe sygnału: σs

Odchylenie standardowe zakłócenia: σn

Stosunek sygnału do zakłócenia:

Po N u�rednieniach:

U�rednianie synchroniczne sygnału

n

sN NSNR

σσ=

n

sSNRσσ=

NZatem poprawa SNR poN u�rednieniach wynosi:

0 100 200 300 400 50010

0

101

102

36

Zastosowania:

� detekcja podszumowa sygnału tj. dla σs << σn

(zastosowania w telekomunikacji)

� analiza elektrycznych potencjałów wywołanych mózgu, tj. potencjałów generowanych w mózgu o amplitudzie kilku mikrowoltów na skutek okresowego pobudzenia bod�cem: �wietlnym (potencjały wzrokowe), d�wi�kowym (potencjały słuchowe) lub dotykowym (potencjały czuciowe)

U�rednianie synchroniczne sygnału