Embed Size (px)
Citation preview
T’atreveixesamb les mates?
Solucionari
3Quadern d’Activitats
Primer Cicle • ESO
José Luis Uriondo GonzálezSilvia Pérez Mateo
Ángela Vallejo Martín-Albo
BARCELONA • MADRID • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • LISBOA • MÈXICNOVA YORK • PANAMÀ • SAN JUAN • SANTA FE DE BOGOTÀ • SANTIAGO • SAO PAULO
AUCKLAND • HAMBURG • LONDRES • MILÀ • MONT-REAL • NOVA DELHI • PARÍSSAN FRANCISCO • SYDNEY • SINGAPUR • SAINT LOUIS • TÒQUIO • TORONTO
Editora: Mònica Garcia Suñé • Traducció: Elisabet Collellmir CardenalRealització del solucionari: Jaume Ribalta • Maquetació: Francesca Aguilar, Marcos Puig i Meritxell Carceller Barral
Disseny de l’interior: Graviola Design • Disseny de la coberta: Uriol MiróIl·lustracions de la coberta: Toni Benages Gallard • I·lustracions: Daniel Garbade i Pablo Blasberg
atreveixes amb les mates? Estem segurs que sí. Aprendre matemàtiques pot ser una aventura interes-sant i amena. Per això t'oferim aquest quadern d'activitats amb exercicis i problemes complementa-
ris als que realitzes a classe. Així podràs consolidar la comprensió dels continguts que has estudiat i resoldre elsdubtes que se’ns plantegen a tots al llarg del curs.
T’atreveixes amb les mates? 3 és un quadern dividit en quatre unitats temàtiques: «Figures planes», «Àrees»,«Circumferència i cercle» i «Gràfiques». Cada unitat comença amb un apartat anomenat Fes un repàs, en el qualt'oferim una síntesi dels continguts teòrics que necessites entendre per fer els exercicis.
La resta és cosa teva. No oblidis llegir detingudament els enunciats dels exercicis per estar ben segur del que espregunta abans de posar-te mans a l'obra. Sigues ordenat i net; confia en tu mateix i... l'èxit està garantit!
T’
ndex1. Figures planes
• Polígons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8• Triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12• Quadrilàters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15• Més de polígons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2. Àrees
• Superfície i àrea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21• Àrea de quadrilàters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24• Àrea de triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28• Àrea de polígons regulars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31• Descomposició de polígons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3. Circumferència i cercle
• Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38• Posicions relatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40• Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43• Longituds i àrees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4. Gràfiques
• Sistemes de referència . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51• Interpretació de punts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53• Representació gràfica de punts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55• Construcció de gràfiques a partir de taules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57• Construcció de taules a partir de gràfiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59• Característiques d’una gràfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Í
Fes un repàs5
Figures planes1➔ Polígons
� Un polígon és una figura plana limitada per una línia poligonaltancada.
� Elements d’un polígon: costats, vèrtexs, angles interiors i diago-nals.
• Classificació dels polígons:
• En un polígon de n costats:
Segons el nombre de costats Segons els angles interiors Segons la forma dels elements
• Triangle (3 costats)• Quadrilàter (4 costats)• Pentàgon (5 costats)• Hexàgon (6 costats)• etc.
• Còncau:– Algun dels angles interiors és
major de 180º.– Alguna diagonal no és interior.
• Convex:– Tots els angles interiors són
menors de 180º.– Totes les diagonals són inte-
riors.
• Equilàter (costats iguals)• Equiangle (angles iguals)• Regular (costats i angles iguals)
– Els angles interiors sumen: 180º · (n – 2)
82º + 130º + 61º + 87º = 360º
4 costats:180º · (4–2) = 180º · 2 = 360º
5 costats:
= 5 diagonals5 · (5 – 3)
2
Triangle
Quadrilàter
Pentàgon
Hexàgon
Còncau
Convex
Equilàter
Equiangle
Regular
– El nombre de diagonals és:
n · (n – 3)2
(vértex A)
angleinterior
A
B
C
D
E
F
costat AB
diagonal FC
6
• En un polígon regular de n costats:
� L’angle central mesura .
� La circumferència que passa pels vèrtexs d’un polígon regular s’anomena circumferència circumscrita i la que és tangent als costats del polígon s’anomena circumferència inscrita.
� El segment que uneix el centre del polígon amb el punt mig d’uncostat s’anomena apotema (mesura el mateix que el radi de la cir-cumferència inscrita).
➔ Triangles� Un triangle és un polígon de tres costats.
� La mesura d’un dels costats d’un triangle sempre és menor que lasuma dels altres dos costats. Si no fos així, el triangle no es podriaconstruir.
� La suma dels angles d’un triangle és 180º.
• Classificació dels triangles:
360°n
Angle central 360º : 5 = 72º
(2,3 + 2,6) < 5,7
No es pot formar un triangle ambaquests tres segments.
5,7 cm
2,6 cm2,3 cm
• EquilàterTres costats iguals
• IsòscelesDos costats igualsi un de desigual
• EscalèTres costats desiguals
• AcutangleTres angles aguts
• RectangleUn angle recte
• ObtusangleUn angle obtús
Segons els costats Segons els angles
Circumferènciacircumscrita
Circumferènciainscrita
Apotema
Catet
HipotenusaCat
et
� Un triangle equilàter té els tres angles iguals.
� Un triangle isòsceles té dos angles iguals i un de desigual.
Fes un repàs7
• Rectes i punts notables del triangle:
➔ Quadrilàters
� Un quadrilàter és un polígon de quatre costats.
� La suma dels angles d’un quadrilàter és 360º.
• Classificació dels quadrilàters convexos:
Mediatriu: perpendi-cular que passa pelpunt mig del costat.
Circumcentre: centrede la circumferènciacircumscrita.
Mitjana: va des d’unvèrtex al punt mig delcostat oposat.
Baricentre: punt d’in-tersecció de les mit-janes.
• QuadratQuatre costats igualsQuatre angles rectes
• RectangleCostats iguals dos a dosQuatre angles rectes
• RombeQuatre costats igualsAngles iguals dos a dos
• RomboideCostats iguals dos a dosAngles iguals dos a dos
• Trapezis: dos costats paral·lels i els altres dos no.
– Trapezi rectangleDos angles rectes
– Trapezi isòscelesEls costats no paral·lelssón iguals.
– Trapezi escalèTots els costats i els angles desiguals
• Trapezoide: cap parell de costats paral·lels.
Paral·lelograms: costats paral·lels dos a dos No paral·lelograms
Altura: perpendiculardes d’un vèrtex al cos-tat oposat.
Ortocentre: punt d’in-tersecció de les tresaltures.
Angle quadrilàter = angle T1 + angle T2 =180º + 180º = 360º
• Mediatrius i circumcentre• Altures i ortocentre
• Bisectrius i incentre • Mitjanes i baricentre
Bisectriu: divideix l’an-gle en dues parts iguals.
Incentre: centre de lacircumferència inscrita.
T1
T2
8
1. Fixa’t en el polígon de la figura i completa la taula:
2. Observa els polígons i completa les taules.
3. Quantes diagonals tenen els polígons següents? Dibuixa-les.
a) b)
Nombre de diagonals: _______ Nombre de diagonals: _______
4. Aquests segments són les diagonals d’un polígon. Dedueix el nombre de costats que té cada polígon i dibuixa’l.
a) Nombre de costats: _______ b) Nombre de costats: _______
a) b) c) d)
e) f) g) h)
Segons el angles interiors
Còncau
Convex
Segons la forma dels elements
Equilàter
Equiangle
• Algun dels polígons és regular?
A
B
C
D
E
F
G
Nombre Nom
Vèrtexs A
Diagonals—–AC
Costats—–AB
Còncau o convex?
Equilàter, equiangle o regular?
Perímetre: Suma dels angles interiors:
7 , B, C, D, E, F, G14 , AD, AF, AE, FB, FD, FC, BG, BE, BD, CE, CG, DG, EG
7 , BC, CD, DE, EF, FG, GA
Còncau.Equilàter.
ABCDEFGA 900º
c, h a, b, c, f, g, h
a, b, d, e, f, g a, b, e, f
a, b, f
9 5
6 6
Figures planes • Polígons9
5. Completa la taula següent. En algunes caselles hauràs de dibuixar un polígon que tingui les característiquesdescrites i en altres, hauràs de completar el nombre de costats i diagonals que té el polígon dibuixat. Compte!Hi ha una casella que ha de quedar en blanc.
6. Dibuixa en la trama els polí-gons següents, prenent com aunitat la distància entre dospunts consecutius de latrama:
a) Un octàgon còncau de10 unitats de perímetre.
b) Un heptàgon equilàter icòncau de 14 unitats deperímetre.
c) Un triangle regular de 6unitats de perímetre.
d) Un pentàgon convex de12 unitats de perímetre.
Polígon còncau Polígon convex
Nombre de costats: 4
Nombre de diagonals: _______
Els angles sumen: _______
Nombre de costats: _______
Nombre de diagonals: 0
Els angles sumen: _______
Nombre de costats: _______
Nombre de diagonals: _______
Els angles sumen: _______
Nombre de costats: _______
Nombre de diagonals: _______
Els angles sumen: _______
2
360º
3
No n’hi ha.180º
5
5
540º
6
9
720º
a)
b)
c)
d)
10
7. Quant sumen els angles interiors dels polígons següents?
8. El perímetre d’un octàgon regular fa 9,6 cm. Quant mesuren els costats?
9. Un decàgon té tots els costats iguals excepte un. El costat desigual mesura 1,8 cm i el perímetre del decàgonfa 22,5 cm. Quant mesuren els costats iguals?
10. Dibuixa la circumferència inscrita, la circumferència circumscrita i una apotema de cada un dels polígonsregulars següents. Pots trobar el centre de les circumferències si saps que coincideix amb el punt on es tallenles mediatrius de dos dels costats del polígon. Després completa la taula.
a) b) c) d)
a) b)
Costat Perímetre Angle central
Polígon a)
Polígon b)
720º 180º 1 080º 1 440º
9,6 : 8 = 1,25 cm
22,5 – 1,8 = 20,7 cm 20,7 : 9 = 2,3 cm
2 cm 8 cm 90º
1,6 cm 6,4 cm 72º
Figures planes • Polígons11
11. Dibuixa un quadrat de 4 cm de costat. Segueix els passos següents:
1r Dibuixa un segment de 4 cm. Anomena’l —–AB.
2n Traça, en cada un dels punts A i B, una recta per-pendicular.
3r Agafa el compàs i, prenent com a centre el punt A icom a radi
—–AB, traça un arc que talli la perpendicu-
lar traçada per A. El punt de tall serà un altre vèrtexdel quadrat. Digues-li D.
4t Repeteix el tercer pas, però pren com a centre elpunt B. Obtindràs un altre vèrtex. Digues-li C. Uneixels quatre vèrtexs.
12. Dibuixa un hexàgon regular. El costat ha de mesurar el mateix que el segment —–AB.
Comença dibuixant una circumferència de radi —–AB, que serà la cir-
cumferència circumscrita en l’hexàgon que vols dibuixar. La pistat’ajudarà per poder seguir.
13. Dibuixa el polígon que es demana en cada apartat:
A
A
B
B
Pista: en l’hexàgon regular,la mesura del costat és iguala la mesura del radi de lacircumferència circumscrita.
a) Un quadrat amb la diagonal igual al segment —–AB. b) Un hexàgon, el radi de la circumferència cir-
cumscrita del qual mesuri 2 cm.
D C
A B
2 cm
12
14. Classifica els triangles següents segons els dos criteris que s’indiquen:
16. Troba l’ortocentre del triangle següent dibui-xant-hi les alçades:
17. Troba el circumcentre del triangle. Compro-va que el circumcentre és el centre de la cir-cumferència circumscrita.
Segonsels costats
Segonsels angles
A
B
C
x
x
y y xy
z15 cm
8 cm
3 cm
A
B
C
A
B
C
Isòsceles Escalè Equilàter Escalè Isòsceles
Obtusangle Obtusangle Acutangle Rectangle Rectangle
15. Calcula la mesura dels elements que falten de cada triangle. Tingues en compte la informació que es dóna pera cada un.
– Rectangle isòsceles – Equilàter – Isòsceles acutangle
– Perímetre: 36,2 cm – Perímetre: 13,8 cm
Angle �x : Angle �x : Angle �x :
Angle �y : Angle �y : Angle �y :
Costat—–AB : Angle �z : Costat
—–AB :
Costat—–AC : Costat
—–AB : Costat
—–AB :
45º 60º 75º45º 60º 75º
10,6 cm 60º 5,4 cm10,6 cm 8 cm 5,4 cm
A
B
C
15 cm
90º
x
y
Figures planes • Triangles13
18. Construeix un triangle de manera que els costats siguin els segments —–AB,
—–CD i
—–DE. Per fer-ho, segueix els pas-
sos següents:
1r Dibuixa una línia recta. Tingues en compte que persobre de la línia has de deixar un espai suficient perpoder dibuixar el triangle.
2n Pren la mesura del segment —–AB, amb l’ajut del compàs,
i trasllada-la a la recta. Escriu A i B en els punts corres-ponents. Seran dos dels vèrtexs del triangle.
3r Amb el compàs, pren la mesura del segment —–CD i, pun-
xant en el punt A de la recta, traça un arc amb aquestradi.
4t Amb el compàs, pren la mesura del segment —–E F i, pun-
xant en el punt B de la recta, traça un arc amb aquestradi.
5è El punt on es tallen els dos arcs serà el tercer vèrtex deltriangle. Uneix els tres vèrtexs.
19. El perímetre d’un triangle isòsceles fa 10 cm. Elcostat desigual mesura 2 cm. Quant mesurenels altres dos costats? Construeix el triangle.
20. Construeix un triangle que tingui un costatde 3 cm i un altre de 4 cm i que l’angle com-près entre aquests costats mesuri 60°.
A
C
E F
D
B
BA
2 cm
4 cm
10 – 2 = 8 8 : 2 = 4 cm
4 cm
3 cm
4 cm
60º
14
21. Mesura els segments de cada apartat i anota’n el resultat a sobre. Després construeix un triangle i, si no és pos-sible, explica’n la causa.
22. Es vol posar una font en un parc demanera que estigui a la mateixadistància de tres testos amb flors,situats en els tres vèrtexs del trian-gle del dibuix. On s’ha decol·locar la font? Troba gràfica-ment el lloc on cal posar-la.
23. El triangle de l’esquerra és isòsceles. Traça’n les altures, les mediatrius, les bisectrius i les mitjanes utilitzantcolors diferents. Observa l’ortocentre, el circumcentre, l’incentre i el baricentre. Què succeeix? Passarà elmateix en el triangle escalè de la dreta? Comprova-ho.
a)
b)
4 cm
4 cm
4,5 cm
2,5 cm
1,3 cm
6 cm
6 cm
3,4 cm3,4 cm
No interseccionen en un punt
No es pot fer perquè:(2,5 + 1,3) < 4,5
A la intersecció de les mediatrius.
Circumcentre
Baricentre
Incentre
Ortocentre
Tots es troben sobrel’altura
Figures planes • Quadrilàters15
24. Classifica els quadrilàters següents:
25. Dibuixa dos punts C i D a partir del segment—AB, de manera que es compleixi la condició que es descriu en
cadascun dels apartats següents:
a) Que el polígon ABCD sigui un romboide. b) Que el polígon ABCD sigui un rectangle.
c) Que el polígon ABCD sigui un trapezi rectangle. d) Que el polígon ABCD sigui un trapezi isòsceles.
e) Que el polígon ABCD sigui un rombe. f ) Que el segment—–AB sigui una de les diagonals
d’un quadrat.
A B A B
A B
A
B
A
B
A
B
A B C D
H
GFE
Paral·lelogram No paral·lelogram
Quadrat Trapezi rectangle
Rectangle Trapezi isòsceles
Rombe Trapezi escalè
Romboide Trapezoide
B C
G F
H D
A E
C
C
C
C
C
C
DD
D
D
D
D
16
26. Dibuixa les diagonals dels paral·lelograms següents:
27. Un trapezi isòsceles es pot descompondre en un quadrat i dos triangles rectangles. Els dos costats desigualsmesuren 3,8 cm i 6,2 cm, respectivament.
a) Dibuixa el trapezi.
b) Quant sumen els angles interiors del quadrat?
c) Quant sumen els angles interiors de cada trianglerectangle?
d) Quant sumen els angles interiors del trapezi? Per quèla resposta no és la suma de les respostes dels apar-tats b) i c)?
28. Dos costats d’un romboide mesuren 3 cm i 4 cm, respectivament. Quant en mesura elperímetre?
29. El perímetre d’un rombe fa 18,4 cm. Quanten mesuren els costats?
A continuació, completa l’esquema següent amb els quatre tipus de paral·lelograms que hi ha:
Perpendiculars: ____________________________Mateixa mida
No perpendiculars: ____________________________Diagonals
Perpendiculars: ____________________________Diferent mida
No perpendiculars: ____________________________
En quin punt es tallen les diagonals de tots els paral·lelograms? ____________________________
Quadrat
Rectangle
Rombe
Romboide
En el centre
360º
180º
360º. Perquè els angles rectes dels triangles rectangles i dos dels angles interiors del quadrat no formen part dels angles interiors del quadrilàter.
3,8 cm
6,2 cm
3 • 2 + 4 • 2 = 14 cm 18,4 : 4 = 4,6 cm
Figures planes • Més de polígons17
30. Busca en la figura següent els polígons que es demanen i anomena’ls pels vèrtexs que els formin. Tingues encompte que els vèrtexs han de coincidir amb els punts assenyalats.
31. Completa la taula següent:
32. Fixa’t en el pentàgon regular següent. Si saps que el perímetre mesura 17 cm i que el perímetre del triangleABD fa 14,4 cm, contesta les preguntes següents:
a) Quant mesura l’angle �x ?
b) Quant mesuren els angles �z i �y ?
c) Creus que el triangle ABD és isòsceles? Per què?
d ) Quant mesura el costat del pentàgon?
e) Quant mesura una diagonal qualsevol del pentàgon?
• Quadrat: • Triangle equilàter:
• Rectangle: • Triangle isòsceles:
• Rombe: • Triangle escalè:
• Romboide: • Triangle acutangle i isòsceles:
• Trapezi isòsceles: • Triangle rectangle i isòsceles:
• Trapezi rectangle: • Triangle obtusangle i isòsceles:
• Pentàgon còncau:
• Trapezoide:
9 costats
11 costats
Polígon regular NomNombre Suma dels Mesura de de diagonals angles interiors de l’angle central
A B C D
E F
P
GH O
I J K L M N
D
E C
A B
z
x
y
BCKJ DNL; OMLCDMK; BDMJ ECK; CHK; ODM; ECF; EFP; BCJ; CKJ
ECHK CGF; JPK; FCG; EPJADLI CHK; ECK
ADNI BCJ; CKJABJI; ADMI; ACKI; CDMJ; ODM; ECF; EFP
CDNK; BDLJ; CDLK; BDNJ CDLKH; CDMKH; CDNKH;CHKJ; EFGK; PFGK; ODNM; ADOMI; ACEKI; BDOMJ; ACPKI; BCPKJ;
BCFE; BCPE; FGKJ EFPKJ; ECPKJ; CDOMK; CDOMJ
Enneàgon o nonàgon 27 1260º 40º
Undecàgon o hendecàgon 44 1620º 32,72º
180 • (5 – 2) = 540º540º : 5 = 108º
180 – 108 = 72º 72 : 2 = 36º
Sí, ja que tédos costats iguals.
17 : 5 = 3,4 cm
14,4 – 3,4 = 11 cm 11 : 2 = 5,5 cm3,4 cm
5,5 cm
36º
108º
36º
18
33. Dibuixa un octògon regular. Per fer-ho, segueix acuradament les instruccions següents:
1r Dibuixa una circumferència.
2n Traça’n el diàmetre. Anomena A i B els extremsd’aquest segment.
3r Traça el diàmetre perpendicular a —–AB. Anome-
na’n C i D els extrems.
4t Traça les perpendiculars als segments —–AC i
—–AD
que passen pel centre de la circumferència; pro-longa-les fins que cada recta talli la circumfe-rència en dos punts. Obtindràs quatre punts.Anomena’ls E, F, G i H.
5è Els punts A, B, C, D, E, F, G i H són els vèrtexsde l’octàgon.
34. Dibuixa un pentàgon regular de 3 cm de costat. Per fer-ho, segueix les instruccions següents:
1r Calcula l’angle interior del polígon.
2n Dibuixa el segment —–AB que mesuri el mateix que
el costat del polígon.
3r Dibuixa, amb el transportador d’angles, unangle que mesuri el mateix que l’angle interiordel primer pas. Fes-ho de manera que un delscostats coincideixi amb el segment
—–AB i el vèrtex
estigui en el punt B.
4t Amb l’ajut del compàs, trasllada la mida del cos-tat del polígon al costat de l’angle que no estàsobre
—–AB. Obtindràs un punt que serà un nou
vèrtex del polígon. Anomena’l C.
5è Repeteix el tercer i el quart pas fins que obtin-guis tots els vèrtexs del polígon.
• Recorda que amb aquest procediment es pot dibuixar qualsevol polígon regular si es coneix la mida d’undels costats.
C
F
B
H
E
D
G
A
A B
C
180 • (5 – 2) = 540º 540º : 5 = 108º
108º
Fes un repàs19
Àrees2➔ Superfície i àrea d’una figura
• La superfície és la part del pla delimitada per una línia tancada.
• L’àrea d’una figura és la mesura de la seva superfície.
➔ Figures equivalentsDues figures són equivalents si tenen la mateixa àrea.
➔ Càlcul d’àrees
• Recorda que l’altura d’una figura plana és el segment perpendicular ala base traçada des del vèrtex oposat. L’altura, per tant, depèn del cos-tat que es consideri com a base.
• Per traçar l’altura, a vegades s’ha de prolongar el costat que es prencom a base.
Aquesta figura té una àrea de 6 cm2 iun perímetre de 12 cm.
Aquestes dues figures són equivalentsperquè tenen la mateixa àrea.
altu
ra
altu
ra
base base
Àrea = c2
Quadrat
Àrea = (B + b) · h
2Àrea = (b · h)
2Àrea = Perímetre · apotema = n · c · a
2 2
Àrea = a · b
Rectangle
Àrea = b · h
RomboideRombe
Trapezi Triangle Polígon regular
c = costat
a = apotema
n = nombre de costats
Perímetre = n · c
Àrea = D · d
2
c
c
b
b
bB
ad
D
b
h
h h
a
20
➔ Càlcul d’àrees de polígons no regulars
• Triangulació de polígons
� Mètode que consisteix a descompondre el polígon en triangles.Només cal traçar totes les diagonals des d’un vèrtex. Observa unaforma de triangular el polígon A.
� Quan ja s’ha descompost en triangles, s’escull una base per a cadatriangle i es traça l’altura corresponent. Després se’n prenen lesmesures i se’n calculen totes les àrees.
Triangle 1: b1 = 2 cm h1 = 3 cm
Triangle 2: b2 = 3 cm h2 = 3 cm
Triangle 3: b3 = 4 cm h3 = 2 cm
� L’àrea del polígon inicial és la suma de les àrees dels triangles enquè l’hem dividit.
Àrea polígon = T1 + T2 + T3 = 3 + 4,5 + 4 = 11,5 cm2
• Descomposició de polígons
Mètode que consisteix a descompondre el polígon inicial en altrespolígons que tenen àrees fàcils de calcular mitjançant fórmules cone-gudes. Observa els dos exemples següents:
T1 = 3 · 2 = 3 cm2
2T2 = 3 · 3 = 4,5 cm2
2T3 = 4 · 2 = 4 cm2
2
En aquest cas, el polígon A es pot descompon-dre en un trapezi (B) i en un rectangle (C).L’àrea del polígon A és la suma de les duesàrees.
Àrea de A = Àrea de B + Àrea de C
Àrea de B =
Àrea de C = 2 · 1 = 2 cm2
Àrea de A = 1,5 + 2 = 3,5 cm2
En aquest cas, l’àrea del polígon A (marc ombrejat) és la dife-rència entre l’àrea del quadrat B i l’àrea del quadrat C.
Àrea de A = Àrea de B – Àrea de C
Àrea de B = 3 · 3 = 9 cm2
Àrea de C = 1 · 1 = 1 cm2
Àrea de A = 9 – 1 = 8 cm2
(2 + 1) · 12
= 1,5 cm2
T1
b1
b2
A B
CA
B
C
b3
T3
T2
h1
h2
h3
Àrea = ____________ Àrea = ____________
Àrees • Superfície i àrea21
1. Pinta les figures equivalents del mateix color.
2. Aquest exercici és una mica més difícil. Pinta les figures equivalents del mateix color sense calcular-ne capàrea. Pots fer les mesures que creguis que són necessàries.
3. Dibuixa, al costat de cada figura, una altra que sigui equivalent.
4. S’ha dibuixat la mateixa figura sobre dues quadrícules diferents. Indica quant mesura la superfície de la figu-ra si prens com a unitat el quadrat de cada una de les quadrícules. Per què una mesura és quatre vegades mésgran que l’altra?
Perquè el quadrat d’una quadrícula és 4 vegades més gran queel de l’altra.
4 16
22
5. En Joan té una corda que fa 16 cm i pensa que tots el rectangles que pugui formar amb la corda tindran lamateixa àrea. Demostra-li que està equivocat. Per fer-ho, dibuixa rectangles de 16 cm de perímetre a partirdels costats que ja estan dibuixats en la quadrícula. Després, completa la taula.
6. Dibuixa en cada quadrícula la figura indicada.
Mateix perímetre i àreadiferent que la figura dibuixada.
Perímetre diferent i mateixa àreaque la figura dibuixada.
Base (cm) Altura (cm) Perímetre (cm) Àrea (cm2)
6,5 cm
1,5 cm
4,7 cm
3,3 cm
3,7 cm
4,3 cm
2,4 cm
5,6 cm
6,5 1,5 16 9,75
3,3 4,7 16 15,51
3,7 4,3 16 15,91
2,4 5,6 16 13,44
0,7 cm
0,5 cm
3 cm
Perímetre = 7 cm
Àrea = 1,96 cm2
Àrea = 1,5 cm2
Perímetre = 8,4 cm Perímetre = 6,9 cm
Àrea = 2,45 cm2
1 cm
2,45 cm
Àrees • Superfície i àrea23
7. Ordena les àrees de les figures següents de menor a major i obtindràs el nom d’un objecte que està molt rela-cionat amb les superfícies.
8. En Miquel vol saber l’àrea de la fulla. Si segueixes el passos que s’indiquen a continuació, l’ajudaràs a obte-nir una mesura aproximada.
a) Àrea per excés: compta els quadrats que contenen alguntros de la fulla.
Àrea per excés: _________________ cm2
b) Àrea per defecte: compta els quadrats que estan comple-tament coberts per la fulla.
Àrea per defecte: _________________ cm2
c) Per aconseguir una millor aproximació de la superfície dela fulla, cerca la mitjana dels valors anteriors.
Àrea aproximada de la fulla: _________________ cm2
A J
R
O
LA
_____ cm2 < _____ cm2 < _____ cm2 < _____ cm2 < _____ cm2 < _____ cm2
_____ _____ _____ _____ _____ _____
➔ ➔ ➔ ➔ ➔ ➔
5 7 8 9 12 13
R A J O L A
31
9
20
24
9. Calcula l’àrea i el perímetre dels paral·lelograms següents:
10. Fes les mesures necessàries per calcular l’àrea de les figures següents:
Perímetre A = Perímetre C = Perímetre E =
Àrea A = Àrea C = Àrea E =
Perímetre B = Perímetre D = Perímetre F =
Àrea B = Àrea D = Àrea F =
Quadrat: __________ cm2 Rectangle: __________ cm2 Rombe: __________ cm2 Romboide: __________ cm2
A C E
BD
F
12 cm 9,8 cm 8 cm
8 cm2 4,5 cm2 4 cm2
30 cm 40 cm 20 cm
56,25 cm2 96 cm2 24 cm2
14,44 12,76 8,36 6,38
3,8 cm
4,4 cm
2,9 cm 2,9 cm2,2 cm
d = 2,2 cmD = 7,6 cm
a) b) c)
Àrees • Àrea de quadrilàters25
12. En cada apartat es descriu una figura, però hi falta una dada. Esbrina quina. Compte amb les unitats!
a) Un quadrat mesura 3,5 cm de costat. Quant enmesura l’àrea?
b) L’àrea d’un quadrat fa 16 cm2. Quant en mesu-ra el perímetre?
c) La base d’un rectangle mesura 12 cm i l’altura,50 mm. Calcula’n l’àrea.
d) L’àrea d’un rectangle mesura 12 cm2 i un delscostats fa 0,3 dm. Quant en mesura el períme-tre?
e) L’àrea d’un rombe fa 9 m2 i una de les diagonalsmesura 3 m. Quant mesura l’altra diagonal?
f ) La base d’un paral·lelogram mesura 0,4 m i l’à-rea, 120 cm2. Quina és la longitud de l’alturacorresponent a aquesta base?
11. Calcula l’àrea de les figures següents. Dibuixa les descomposicions que en facis.
A = 12 • 9 – 3 • 3 = 99 m2 A = 10,5 • 13,5 – (4,5 • 3) • 4 = A = 12,5 • 7,5 + + 10 • 12,5 +
= 141,75 – 54 = 87,75 cm2 + =
= 93,75 + 27,5 + 125 + 25 = 271,25 m2
Àrea = 3,52 = 12,25 cm2 Àrea = C2 C2 = 16 C = 16 = 4 cmPerímetrere = 4 • 4 = 16 cm
Àrea = 12 • 5 = 60 cm2 Àrea = a • b = 12 cm2 3 • b = 12b = 4Perímetre = 4 • 2 + 3 • 2 = 14 cm
Àrea = 9 =
3D = 18 D = = 6 m A = b • h
h = h = = 30 cm12040
Ab
183
D • 32
D • d2
10 • 52
10 • 5,52
26
13. El dibuix següent representa una finestra. Calcula:
a) L’àrea de la finestra en metres quadrats i el perímetre en metres.
b) L’àrea que ocupa el marc en metres quadrats.
c) L’àrea que ocupa el vidre en metres quadrats i el perímetre, en metres.
14. El dibuix següent representa un terreny on hi ha construïda una casa i diversos camins de 2 m d’amplada. Laresta de la parcel·la està ocupada per gespa. Calcula:
a) Els metres de tanca que es necessiten per envoltar tot el terreny.
b) Els metres quadrats que hi ha de gespa.
15. Fes un dibuix i explica els passos que segueixes per resoldre l’exercici.
a) Volem pintar una paret d’una habitació que té2,6 m d’altura i 4,5 m de llarg. En aquesta parethi ha una porta de 2 m d’altura i 90 cm d’am-plada. Quants metres quadrats de paret hem depintar?
b) Volem posar una moqueta en el centre d’unahabitació quadrada de 4 m de costat, de mane-ra que quedin 40 cm al voltant de tota l’habita-ció sense cobrir. El preu de la moqueta és de21,54 €/m2. Quant ens costarà la moqueta?
a) Af = 1 • 0,73 = 0,73 m2 Pf = 3,46 m
c) Av = 0,84 • 0,57 = 0,4788 m2 Pv = 2,82 m
b) Am = 0,73 – 0,4788 = 0,2512 m2
a) 50 + 40 + 35 + 10 + 15 + 30 = 180 m
b) 20 • 18 + 30 • 5 + 15 • 10 + 20 • 15 + 18 • 10 + 10 • 15 +
+ 8 • 16 = 360 + 150 + 150 + 300 + 180 + 150 + 128 = 1418 m2
A = 2,6 • 4,5 – 2 • 0,9 = 9,9 m2
4 – 0,8 = 3,2 m de costat
A = 3,22 = 10,24 m2
10,24 m2 • 21,54 €/m2 = 220,57 €
4,5 m
2,6 m0,9 m
2 m4 m
0,4 m
Àrees • Àrea de quadrilàters27
16. Calcula l’àrea i el perímetre dels trapezis següents:
17. Pren les mesures del trapezi i dibuixa un rectangle i un romboide que en siguin equivalents. Indica en elsdibuixos les mesures de cada figura.
18. Calcula l’àrea de cada figura. Dibuixa les descomposicions que en facis.
• Perímetre =
• Àrea =
• Perímetre =
• Àrea =
• Perímetre =
• Àrea =
• Àrea =
38,1 cm 20,32 m 103,8 cm
No és un trapezi, és • 6 = 24 m2 • 25 = 205 cm2
un trapezoide.
= 7,9 cm2 Àrea = 2 • 3,95 = 7,9 cm2
Àrea = 30 • 20 – = 600 – 62,5 = Àrea = 5 • 1 + + = 15,5 cm2
= 537,5 cm2
(4 + 3) • 12
(4 + 3) • 22
10 • 12,52
(5 + 2,9) • 22
35 + 152
3 + 52
2,9 cm
5 cm
2,1 cm
2,5 cm
2 cm
2 cm 2 cm2 cm
3,95 cm
3,95 cm
0,7 cm
12,5 cm
1,4 cm
28
19. Posa una mica d’ordre en aquest embolic de triangles i atreveix-te, sense fer cap càlcul, a pintar del mateixcolor els triangles que tinguin la mateixa àrea. Després calcula i completa la taula:
20. Fes les mesures necessàries per calcular l’àrea dels triangles següents. Marca en color vermell l’altura i la baseque prens de referència i anomena-les.
Perímetre A = Perímetre B = Perímetre C =
Àrea A = Àrea B = Àrea C =
Perímetre D = Perímetre E = Perímetre F =
Àrea D = Àrea E = Àrea F =
• Base =
• Altura =
• Àrea =
• Base =
• Altura =
• Àrea =
• Base =
• Altura =
• Àrea =
12,5 cm 12 cm 11,1 cm
5,25 cm2 6 cm2 5,25 cm2
11,6 cm 8,4 cm 8,7 cm
6 cm2 2 cm2 2 cm2
6,3 cm
3 cm
9,45 cm2
4,2 cm 3 cm
4,1 cm 5,1 cm
8,61 cm2 7,65 cm2
altura
altura altura
base
base
base
Àrees • Àrea de triangles29
21. Aquí tens dibuixat el mateix triangle dues vegades. Escull un costat diferent com a base en cada dibuix, traçal’altura corresponent i calcula’n l’àrea. Abans de realitzar l’exercici, pensa si obtindràs la mateixa àrea.
• Si no has obtingut la mateixa àrea, a què creus que és deguda la diferència?
22. Observa el dibuix següent. Què en pots comentar sobre l’àrea dels tres triangles? Explica amb detall la res-posta.
23. Calcula l’àrea de la superfície grisa i de la superfície blanca de cada rajola.
Rajola 1 Rajola 2 Rajola 3
Àrea blanca = Àrea blanca = Àrea blanca =
Àrea grisa = Àrea grisa = Àrea grisa =
Àrea = 4,1 cm2 Àrea = 4,2 cm2
A que les medicions que fem no són exactes.
Que tenen la mateixa àrea, ja que tenen la mateixa base i la mateixa altura.
600 cm2 600 cm2 600 cm2
1 000 cm2 1 000 cm2 1 000 cm2
2 cm
4,1 cm
2,1 cm
4 cm
30
24. Resol amb l’ajuda d’un dibuix. Compte amb les unitats!
25. Calcula l’àrea de la superfície grisa de les figures de dues maneres diferents. Explica pas a pas com ho fas.
a) El costat desigual d’un triangle isòsceles mesu-ra 35 mm i l’altura corresponent fa 4 cm.Calcula’n l’àrea.
b) L’àrea d’un triangle mesura 96 cm2 i un delscostats fa 0,12 m. Calcula quant mesura l’altu-ra corresponent a aquest costat.
c) En un triangle rectangle els angles que formenl’angle recte mesuren 4 cm i 30 mm, respecti-vament. L’altre costat mesura 0,05 m. Calcu-la’n l’àrea i el perímetre.
d) El costat d’un triangle equilàter és igual al d’unquadrat que té un perímetre de 12 cm. L’alturadel triangle fa 0,026 m. Calcula’n el perímetrei l’àrea.
Àrea = = 7 cm2 h = = 16 cm
Àrea = 6 cm2 12 : 4 = 3 cm de costat
Perímetre = 4 + 3 + 5 = 12 cm Àrea = 3,9 cm2
Perímetre = 3 + 3 + 3 = 9 cm
a) Àrea = ( ) • 2 = 14 cm2 a) Àrea = ( ) • 2 = 14 cm2
b) Àrea = 4 • 7 – = 14 cm2 b) Àrea = 4 • 7 – ( ) • 2 – ( ) • 2 = 14 cm23 • 3,52
3,5 • 12
7 • 42
3,5 • 42
7 • 22
2 • 9612
3,5 • 42
Àrees • Àrea de polígons regulars31
26. Calcula l’àrea dels polígons regulars següents:
27. Dibuixa un hexàgon regular de 4 cm de costat. Després, mesura’n l’apotema i calcula’n l’àrea.
28. En Jordi vol enrajolar una habitació rectangular de 4 m de llarg i 3 md’ample. Farà servir rajoles en forma d’hexàgon regular de 16 cm de cos-tat i 13,9 cm d’apotema. Quantes rajoles necessitarà, com a mínim, percobrir tot el terra de l’habitació? Abans que comencis a fer càlculs, com-prova com es pot recobrir una superfície amb hexàgons.
196 cm2 = 2340 cm2 990 cm2 9,52 cm2
apotema = 3,4 cm
Àrea = = 40,8 cm2
Ahabitació = 12 m2
Ahexàgon = 667,2 cm2 = 0,06672 m2
nº rajoles = = 179,8 = 180120,06672
3,4 • 242
180 • 262
• Àrea = • Àrea = • Àrea = • Àrea =
32
29. La Lluïsa i en Mateu han serrat dues peces de fusta per fer la maqueta d’un avió. Ajuda’ls a calcular l’àrea decada peça.
30. Calcula l’àrea de cada figura triangulant-la. Dibuixa la triangulació que fas a cada figura i indica sobre eldibuix les mesures que en fas.
A = ( ) + ( ) + ( ) = A = ( ) + ( ) + ( ) =
=750 + 412,5 + 675 = 1 837,5 mm2 = 12 + 4,125 + 4,25 = 20,375 cm2
A = ( ) + ( ) = 17,94 cm2
A = ( ) + ( ) + ( ) = 27,33 cm25,8 • 2,42
5,4 • 2,32
5,9 • 4,82
6,9 • 2,82
6,9 • 2,42
1,7 • 52
5,5 • 1,52
6 • 42
45 • 302
55 • 152
50 • 302
2,8 cm
2,4 cm
6,9 cm
5,9 cm
4,8 cm2,4 cm
5,8 cm
5,4 cm
2,3 cm
Àrees • Descomposició de polígons33
31. Calcula l’àrea dels polígons següents descomposant-los. Dibuixa la descomposició que fas de cada polígon.Les mesures estan indicades en centímetres.
32. Calcula l’àrea de la zona ombrejada en cada figura. Explica pas a pas com ho fas.
A = + 30 • 20 = 800 cm2 A = ( ) • 2 = A = 3,5 • 1,5 + = 6 cm2
= 28,125 cm2
A = 4 • 2 + = 14 cm2 A = 6 • 4 + = A = 3,52 + +
= 34,38 cm2 + 72 = 79,625 cm2
A = 42 – = 5,8 cm2 A = 3 • 2 – = 4,5 cm2
A = 42 – π • 22 = 3,4336 cm2
A = 3 • 4 – • 2 – = 3,75 cm23 • 1,52
4 • 1,52
3 • 12
(2 • 6) • 1,72
(7 + 3,5) • 3,52
(2 • 6) • (7,46 – 4) : 22
3 • 42
1,5 • 12
(5 + 2,5) • 3,752
40 • 102
34
33. S’ha comès un robatori de joies en una gran mansió. El majordom haxerrat a l’inspector Canals que a l’habitació més gran de la casa trobaràla prova definitiva per detenir el lladre. A quina estança de la casa had’anar l’inspector?
Àrees
Dormitori principal Dormitori de convidats Cuina Biblioteca Menjador
DORMITORIDE CONVIDATS
DORMITORIPRINCIPAL
BIBLIOTECA
MENJADOR
CUINA
Al menjador
A = 5 • 2 + =
= 17,5 m2
A = 6,9 • 4,2 – – – =
= 22,99 m2
A = 4 • 2,5 + + = 13,5 m2
A = 3 • 5 + + =
= 25 m2
A = 5,4 • 5 – 1,6 • 2 – – =
= 18,88 m2
22,99 m2 17,5 m2 18,88 m2 13,5 m2 25 m2
3,4 • 22
1,9 • 1,62
(5 + 2,5) • 22
5 • 12
2 • 22
1,5 • 22
3,2 • 1,92
4 • 12
1,9 • 12
2(4,5 + 3)2
Fes un repàs35
Circumferència i cercle3➔ La circumferència
• Circumferència: és una línia corba tancada i plana, els punts de laqual equidisten d’un punt interior anomenat centre.
• Radi: segment que uneix el centre amb un punt qualsevol de la cir-cumferència.
• Corda: segment que uneix dos punts de la circumferència.• Diàmetre: corda que passa pel centre de la circumferència.• Arc: porció de la circumferència limitada per una corda.• Semicircumferència: porció de la circumferència limitada per un diàmetre.
➔ El cercle• Cercle: figura plana limitada per una circumferència.• Sector circular: porció del cercle limitada per dos radis i l’arc corres-
ponent.• Zona circular: porció del cercle limitada per dues cordes paral·leles.• Segment circular: porció del cercle limitada per una corda i l’arc
corresponent.• Semicercle: segment circular limitat per una semicircumferència i un dià-
metre.• Corona circular: porció del pla limitada per dues circumferències con-
cèntriques de radi diferent.• Trapezi circular: part d’una corona circular limitada per dos radis.
Punt interior
d (P, O) < r
Punt de la circumferència
d (P, O) = r
Punt exterior
d (P, O) > r
cercle sector circular
zonacircular
segmentcircular
semicercle corona circular
trapezi circular
➔ Posicions relatives• Posicions relatives d’un punt P i una circumferència C de centre O i
de radi r
CD
B
P
A
rradi
Ocentre
corda—CD
diàmetre—AB
arc BP
semicircumferència AB
r
Pd
O
r
P
dO
r
P
dO
36
• Posicions relatives d’una recta i una circumferència
➔ Angles en la circumferència
• Angle central: té el vèrtex en el centre de la circumferència.
� Als angles centrals iguals els corresponen arcs iguals. S’estableixuna relació, doncs, entre la mesura (angular) de l’arc i la de l’anglecentral corresponent.
� Si un angle central és de 90º, l’arc corresponent s’anomena qua-drant, i si és de 180º, semicircumferència.
• Posicions relatives de dues circumferències de radis R i r
(d = distància entre els centres)
�a = �a; AB = CD
Recta secant
– La recta talla la circumferènciaen dos punts.
– En la recta hi ha punts que es tro-ben a una distància del centremenor que el radi.
Recta tangent
– La recta talla la circumferènciaen un punt i és perpendicular alradi en aquest punt.
– La distància del punt de tangèn-cia al centre de la circumferèn-cia és igual al radi.
Recta exterior
– La recta no talla la circumferèn-cia.
– La distància de tots els punts dela recta al centre de la circumfe-rència és major que el radi.
Exteriors
d > R + r
Tangents exteriors
d = R + r
– Tenen un punt en comú.
Interiors
d < R – r
Tangents interiors
d = R – r
– Tenen un punt en comú.
Concèntriques
d = 0
Secants
R – r < d < R + r
– Tenen dos punts en comú.
rd d r
d d rd
d
r R
d
r
R
d
r R
d
r
R
d
r R
d
aa
C
CB
A
Fes un repàs37
➔ Longituds
• La longitud d’una circumferència de radi r és: L = 2 · π · r
• La longitud d’un arc d’un angle de α graus traçat en una circumferèn-cia de radi r es calcula: Lα = (2 · π · r · α) : 360.
➔ Àrees
Àrea d’un cercle
Àrea de la corona circular
Àrea del sector circular
Àrea del trapezi circular
• Angle inscrit: té el vèrtex en unpunt de la circumferència. Lamesura d’un angle inscrit en unacircumferència és la meitat del’amplitud de l’arc corresponent.
• Angle interior: té el vèrtex en unpunt interior de la circumferèn-cia. L’angle interior mesura lameitat de la suma de l’amplitudde l’arc que li correspon i la del’oposat.
• Angle exterior: té el vèrtex a l’ex-terior de la circumferència.Mesura la meitat de la diferènciade les amplituds dels arcs queabraça.
α = β : 2 α = AB + CD2
α = AB – CD2
Àrea = π · r 2 π · r2 · α360Àrea =
π · R2 · α360
π · r2 · α360Àrea = –Àrea = π · R2 – π · r2
αα
α
β A
B
CD
A B
DC
rr
rR R
r
α
α
38
1. Observa les figures i completa les taules següents:
2. Dibuixa una circumferència de 2,5 cm de radi ambl’ajut d’un compàs.
1r Senyala el centre. Anomena’l O.
2n Dibuixa una corda—–AB i acoloreix el segment
circular que queda limitat per la corda.
3r Dibuixa un diàmetre perpendicular a la corda—–AB.
4t Pinta un sector circular els radis del qual deter-minin una corda
—–CD d’igual longitud que la
corda—–AB.
3. Dibuixa una corona circular limitada per dues cir-cumferències de diàmetres 4 cm i 3 cm, amb l’ajutd’un compàs. Després, pinta-hi un trapezi circularels radis del qual formin un angle de 60°.
NomCoronacircular
Arc Circumferència Diàmetre Cercle Zona circular
Figura
NomSector
circularRadi Semicercle
Segmentcircular
CordaTrapezicircular
Figura
A G H I C L
F B K E D J
A C
B
O
D
Circumferència i cercle • Elements39
4. Localitza el centre de la circumferència. Per fer-ho, segueix les instruccions següents:
1r Dibuixa dues cordes no paral·leles en la circumferència.Anomena-les
—–AB i
—–CD.
2n Troba les mediatrius de les dues cordes.
3r El centre de la circumferència és el punt d’intersecció de lesdues mediatrius. Comprova-ho amb un compàs.
5. Traça la circumferència que passa pels punts A, B i C.
6. El tortell és un pastís típic de la nit de Reis i té forma de corona circular. A la família Castells, que són 4, elsagraden les matemàtiques i el tortell. El dia de Reis, el Sr. Castells apareix amb una caixa quadrada i els diu:
«He comprat un tortell. El radi de la circumferència major és el doble que el de la circumferència menor. Eltallaré de manera que cada persona mengi dos trossos en forma de trapezi circular.»
El quadrat següent representa la caixa. Dibuixa-hi el tortell (cen-trat i ajustat a la caixa) i els trossos que el Sr. Castells tallarà.
Pista: els segments —–AB i
—–BC
han de ser dues cordes de lacircumferència. Recorda elque has fet en l’exercicianterior.
A
B
C
A B
D
C
O
40
7. Fixa’t bé en la figura i completa la taula següent:
8. Completa el dibuix amb figures simètriques.
C1 i C2
C1 i r
C1 i C4
P i C3
C1 i C3
r i C6
C4 i C5
r i C5
P i C1
O i C4
C1 i C5
Són
r és
Figures Posicions relatives
r
P
Q
O
C1
C2
C3
C4
C5
C6
circumferències tangents interiors.
una recta secant a C1.
Són circumferències concèntriques.
P és un punt exterior a C3.
Són circumferències interiors.
r és una recta tangent a C6.
Són circumferències tangents exteriors.
r és una recta exterior a C5.
P és un punt de la circumferència C1.
O és el centre de C4.
Són circumferències secants.
Circumferència i cercle • Posicions relatives41
9. Dibuixa dues circumferències tangents a la recta s i amb centres en O1 i O2. Per fer-ho, has de tenir en comp-te que un dels radis de cada una de les circumferències ha de ser perpendicular a la recta tangent.
a) Quina és la posició de les dues circumferències? Mesura i pren nota de:
• La distància entre els centres ➔ d =
• El radi de la circumferència major ➔ R =
• El radi de la circumferència menor ➔ r =
b) Quina relació hi ha entre d i R + r?
10. La distància entre un punt i una recta és la longitud del segment perpendicular a la recta des d’aquest punt.Completa la taula següent:
11. Digues si les afirmacions següents són vertaderes (V) o falses (F):
Una recta secant a una circumferència sempre conté un diàmetre de la circumferència.
Una recta secant a una circumferència conté dos punts de la circumferència.
Dues circumferències tangents interiors tenen un punt en comú.
Dues circumferències tangents exteriors tenen un punt en comú.
Els punts d’un cercle poden ser exteriors a la circumferència que limita el cercle.
La distància entre els centres de dues circumferències secants és igual a la suma dels radis.
O1
O2
s
La recta és exterior ala circumferència.
d (O, r ) > radi d (O, r ) = radi
La recta és interior ala circumferència.
r
P
rO
Són circumferències secants.2,5 cm
1,5 cm
1 cm
d = R + r
La recta és secanta la circumferència.
d(O,r) < radi
F
V
V
V
F
F
O rr
O
42
12. Dibuixa les circumferències que es descriuen en cada apartat. En un dels casos no serà possible. Indica quincas és i explica’n la causa.
a) • Són tangents interiors.
• La distància entre els centres és d’1,2 cm.
• El radi de la més petita mesura 1,8 cm.
b) • Són secants.
• La distància entre els centres és de 2 cm.
• El radi de la més petita mesura 1 cm i el de la més gran fa 3,2 cm.
c) • Són interiors.
• La més gran té un diàmetre de 3,6 cm i la més petita, de 2 cm.
• La distància entre els centres és de 0,5 cm.
13. Dibuixa una circumferència i fes els dibuixos que es descriuen a continuació:
a) Dibuixa un punt exterior a la circumferència. Traça una recta tangent a la circumferència que passi pelpunt. Quantes en pots dibuixar?
b) Dibuixa un altre punt exterior a la circumferència i traça una circumferència que sigui tangent exterior ala primera i que tingui el centre en el punt. Quantes en pots dibuixar?
b) No es pot fer, ja que per ser secants
R – r < d < R + r i aquí R – r > d
2
1
O O’r1,2
R
O O’
P
O
Q
r
c)
a)
0,5R
Circumferència i cercle • Angles43
14. Dibuixa els angles següents:
15. Les agulles d’un rellotge marquen les quatre en punt.
a) Quant mesura l’angle que formen?
b) En relació amb la circumferència del rellotge, dequin tipus d’angle es tracta?
c) Dibuixa el rellotge, les agulles i un angle inscrit quedescrigui la mateixa amplitud d’arc que les agulles.Quant mesura aquest angle?
16. Quant mesura l’angle α de la cucurulla? 17. Quant mesuren els angles formats per lesdues aigües de les teulades en les cases demuntanya?
• Muntanya mitjana:
• Alta muntanya:
a) Un angle inscrit α i un angle central β, de mane-ra que tos dos descriguin el mateix arc.
b) Un angle interior α i un angle exterior β, demanera que els costats siguin paral·lels.
Vall
Altamuntanya
Muntanya mitjana
O
O
α
βα
β
P
QP
α
β
120º
120º
Un angle central.
α = β : 2 = 60º
Entre dos punts = 15º
= 44º α = = 90º
β = = 45º120 – 302
120 + 602
224º - 136º2
α =
x =
r =
α =
α =
x =
r =α =
α =x =y =
r =α =β =
d) e) f)
44
18. Sense regle ni transportador d’angles, esbrina les mesures dels arcs, dels radis i dels angles següents:
19. Observa el dibuix i respon les preguntes següents:
a) Quin angle central descriu el mateix arc que els angles inscrits �a,�b,
�c i�d ?
b) Quant mesura l’angle α?
c) Quant mesuraran aleshores els angles �a,�b, �c i
�d ?
d ) Completa: els angles inscrits que descriuen una semicircumferènciamesuren _____________________________________
20. En Pere vol dibuixar una circumferència. Agafa un compàs i l’obre finsque les cames formen un angle de 37°. El compàs de l’Alícia té lescames el doble de llargues que el d’en Pere i ha de dibuixar la mateixacircumferència. Quin angle han de formar les cames del compàs del’Alícia? Raona la resposta.
a) b) c)
A
A B
y
x
B CB = 3,2 cm
AB = 3,7 cm
AB = 3,8 cm
x
r
A
A
A
B
B
B
C r x
r
ab c
d
106 : 2 = 53º = 2,037 cm 30 : 2 = 15º
3,7 cm 90º = 1,309 cm
1,514 cm 45º 3,8 • 5 = 2 • 3,1416 • r = 3,02 cm70 • 2 = 140º 4,537 m 108º
1,396 m 72 : 2 = 36º
L’angle en que l’arc sigui una semicircumferència.
180º90º
90º
La meitat (18,5º)
2 • 3,23,14
5ª part 72º de 360º
2 • π • 2,5 • 30360
Circumferència i cercle • Longituds i àrees45
21. Mesura el radi de la circumferència i calcula les longituds dels arcs AB, BC, CD i DA. Quant mesura la longi-tud de la circumferència?
22. Calcula les longituds dels radis de la circumferència circumscrita a cada polígon.
23. Un pagès vol mesurar la longitud del seu terreny. Per fer-ho, utilitza la roda d’un carro que té un diàmetre de90 cm. Primer, situa el carro al començament del terreny i fa un senyal a la roda en la part que toca el terra.Després, mentre el carro avança, compta les vegades que la marca de la roda toca el sòl.
a) Si la roda ha donat 9 voltes més un quart de volta, quina és la longitud del terreny?
b) Quantes voltes donarà la roda si es mesura una distància de 706,5 m?
a) b) c)
Arc AB = 3,5 m Arc AB = 2 cm Arc AB = 80 mm
A
B
C
D
AA
A
B
B
B
C C
C
D D D
EE
E
F
F
G
H
r = 2,4 cm AB = CD AB = 3,1416 cm
BC = DA BC = 4,3982 cm
L75º = = 3,1416 cm
L105º = = 4,3982 cm
L = 2 • 3,1416 • 2,4 = 15,079 cm
L = 3,5 • 5 = 17,5 m L = 2 • 6 = 12 cm L = 80 • 8 = 640 mm
r = = 2,785 m r = = 1,9 cm r = = 101,85 mm
D = 90 cm r = 45 cm
L = 2 • 3,14 • 45 = 282,6 cm = 2,826 m
2,826 • 9,25 = 26,4 m
706,5 : 2,826 = 250 voltes
6402π
122π
17,52π
2 • 3,1416 • 2,4 • 105360
2 • 3,1416 • 2,4 • 75360
105º
46
24. En la figura, tens les mesures del perímetre exterior de la pista d’atletismes d’un institut. Els carrers mesuren 1 m d’amplada.
25. A partir de la primera figura, calcula l’àrea de la zona ombrejada de cada una de les altres figures.
• Està a punt de començar una cursa de 4 voltes. Si suposem que tots els corredors surten des de la meta i queno poden canviar de carrer, quants metres recorrerà cada un?
• El professor d’educació física decideix que els corredors surtin des de posicions distintes per compensar lesdiferències. El corredor del carrer interior surt des de la línia de meta. A quina distància d’aquesta línia hade col·locar els altres corredors per tal que la carrera sigui justa?
• Quina relació s’estableix entre l’àrea de la primera figura i les altres àrees?
rcircumferència interior = 3 m L1 = 2π • 3 = 18,85 m
L2 = 2π • 4 = 25,13 m
L3 = 2π • 5 = 31,41 m
L4 = 2π • 6 = 37,7 m
Carrer 1 = 50 + 18,85 = 68,85 m
Carrer 2 = 50 + 25,13 = 75,13 m
Carrer 3 = 50 + 31,41 = 81,41 m
Carrer 4 = 50 + 37,7 = 87,7 m
A1 = 3,1416 • 32 = 28,2744 m2 A3 = = 7,0686 m2
A2 = = 14,1372 m2 A4 = = 3,5343 m2A18
A12
A14
Circumferència i cercle • Longituds i àrees47
26. Torna a calcular l’àrea de les figures de l’exercici anterior, però aquesta vegada calcula abans l’angle central iutilitza la fórmula de l’àrea d’un sector circular. El resultat ha de ser el mateix.
27. Continua la sèrie amb una altra figura. Després, calcula l’àrea pintada de cada figura.
28. En Pere i en Francesc han de pintar el rètol del zoo on hi posa ós. Fa molt fred i volen fer-ho ràpid. Decideixenrepartir-se la feina, de manera que en Pere pintarà la o i en Francesc, la s. Qui en sortirà guanyant?
A1 = π • 32 = 28,2744 m2 A3 = = 7,0686 m2
A2 = = 14,1372 m2 A4 = = 3,5343 m2
A1 = π • 1,72 – π12 = 5,9376 cm2 A3 = 1,4844 cm2
A2 = 2,9688 cm2 A4 = – = 0,7422 cm2
Surt guanyant en Pere.
A0 = π • 1,32 – π • 1,12 = 1,508 cm2
As = π • 12 – π • 0,72 = 1,6022 cm2
1,6022 • = 1,2016 cm2 1,2016 • 2 = 2,4033 cm234
π • 12 • 45360
π • 1,72 • 45360
π • 32 • 45360
π • 32 • 180360
π • 32 • 90360
Radi Diàmetre Longitudde l’Ecuador
Lluna
Terra
Mart
48
29. Esbrina com s’han dibuixat les figures acolorides i després calcula’n l’àrea i el perímetre.
30. Completa la taula següent: 31. Calcula el perímetre i l’àrea de la figu-ra ombrejada:
6 738 km
3 476 km
21 333,16 km
A
DE F
B
C
A = 32 – = 1,9314 cm2 A = – = 3,496 cm2 A = + – =
P = 3 + 3 + = 10,7124 cm P = 4,9 + = 10,3978 cm = 6,2832 cm2
P = π • 2 + 2 • π • 1 = 12,5664 cm
A = + a • b – = A = – = 5,236 cm2
= + 1,7 • 3,4 – = P = + + 2 = 12,472 cm
= 5,78 cm2 A = – = 2,5686 cm2
P = 2πr = 10,6814 cm P = 4,2 + 4,7124 = 8,9124 cm
1 738 km 10 920,20 km
13 476 km 42 336,20 km
3 395,27 km 6 790,53 km
32
2π • 32
4
2π • 23
2π • 33
3,14 • 1,72
23,14 • 1,72
2
π22
3π32
3π • r2
2π • r2
2
2π • 3,54
2π • 34
π • 12
2π • 22
2π • 12
23,52
2π • 3,52
4π • 32
4
r = 2,2 + (2,2 – 1,5) = 2,9 cm
P = 2π • 2,9 + 4(2π • 0,7) +
+ 2π • 1,5 = 45,24 cm
A = π• 2,92 – π • 1,52 –
– 4(π • 0,72) = 13,19 cm2
Fes un repàs49
Gràfiques4➔ Parells ordenats
Un parell ordenat de nombres són dos nombres que s’escriuen entre parèn-tesi, separats per una coma i en un ordre determinat. Per exemple, el parell(3, 2) és diferent del parell (2, 3).
➔ Representació dels punts en el pla
• Per representar punts en el pla es tracen dos eixos perpendiculars queconstitueixen un sistema de coordenades cartesianes.
• Cada punt del pla té dues coordenades, que s’escriuen en forma deparell ordenat de nombres.
� La primera coordenada (abscissa) indica la posició del punt en rela-ció amb l’eix horitzontal (eix de les abscisses).
� La segona coordenada (ordenada) indica la posició en relació ambl’eix vertical (eix de les ordenades).
➔ Eix de coordenades
• L’eix d’abscisses és l’eix horitzontal. A la dreta del punt O, es repre-senten els nombres positius i a l’esquerra, els nombres negatius.
• L’eix d’ordenades és l’eix vertical. Per damunt del punt O, se situen elsnombres positius i per sota, els nombres negatius.
➔ Origen de coordenadesÉs el punt on es tallen els dos eixos. Les coordenades d’aquest punt són(0, 0).
➔ Quadrants. El signe de les coordenadesEls eixos de coordenades, com es tallen, divideixen el pla en quatreregions que s’anomenen quadrants. En la gràfica de l’esquerra, observacom s’anomenen els quadrants i quins signes tenen les coordenades delspunts que estan en cada quadrant.
➔ Punts situats als eixos de coordenades
• L’ordenada de qualsevol punt situat a l’eix d’abscisses és 0. Les coor-denades dels punts de l’eix d’abscisses són (a, 0).
• L’abscissa de qualsevol punt situat a l’eix d’ordenades és 0. Les coor-denades dels punts de l’eix d’ordenades són (0, b).
orde
nade
s
abscisses
Segon quadrant Primer quadrant
Tercer quadrant Quart quadrant
abscissa
B (–4, 2)
A (3, 4)
D (4, –2)
C (–3, –5)
ordenada
(+, +)(–, +)
(–, –) (+, –)
50
➔ Taula de valorsUna taula de valors és una forma de presentar parells de dades de duesvariables. L’estudi d’una taula ens pot donar informació sobre quina és larelació que hi ha entre les dues variables, és a dir, com varia una en funcióde l’altra.
Per exemple, la taula de l’esquerra mostra la distància en què es trobaun ciclista de casa seva. Cada hora correspon a una distància determi-nada.
➔ Gràfica
• Una taula de valors es pot representar en uns eixos de coordenadescartesianes si es dibuixa un punt per cada parell de valors de la taula.
• La gràfica de la dreta és una representació de la taula anterior. En l’eixd’abscisses s’ha representat el temps transcorregut i en l’eix d’ordena-des, les distàncies.
• Recorda que cada eix pot estar dividit en unitats de diferent mida, enfunció del valor de les dades que s’hi representen.
➔ Continuïtat d’una gràfica
➔ Creixement d’una gràfica
• Creixent. Si augmenten els valors d’una variable, els de l’altra variabletambé augmenten.
• Decreixent. Si augmenten els valors d’una variable, els de l’altra dis-minueixen.
• Constant. Si varien els valors d’una variable, els de l’altra no canvien.
Gràfiques contínues
Tots els punts es poden unir amb una solalínia. Es pot dibuixar la gràfica sense aixecar elllapis del paper.
Gràfiques discontínues
No es poden unir tots els punts amb una solalínia. No es pot dibuixar la gràfica sense aixe-car el llapis del paper.
123456
20505040400
Tempstranscorregut
(h)
Distànciaa casa (km)
0 1 2 3
20
40
60
80
4 5 6Temps transcorregut (h)
Dis
tànc
ia a
cas
a (k
m)
crei
xent decreixent
constantcre
ixen
t
Gràfiques • Sistemes de referència51
1. El professor d’una classe de 1r d’ESO ha anotat la posicióque ocupen els alumnes a la classe. Esbrina a quina taulas’asseu cada alumne i escriu-ne el nom damunt la taula.
2. A partir de l’exercici anterior, contesta les preguntes següents:
a) Quina posició ocuparà l’alumne que seu darrere d’en Marc?
b) Quina posició tindrà l’alumne que té a la Laia a l’esquerra?
c) Quina posició ocuparà l’alumne que té dues taules cap a la dreta a en Mateu?
3. Escriu cada lletra a la casella corresponent i completa la frase si vols obtenir-ne un refrany català.
Lletra O: (2, 5)
Lletra E: (1, 4), (5, 4), (2, 3), (1, 2), (3, 1)
Lletra I: (5, 2)
Lletra U: (1, 1)
Lletra M: (3, 5), (5, 5), (3, 3), (5, 3), (4, 1)
Lletra R: (1, 3), (2, 1), (4, 2)
Lletra C: (1, 5)
• Com indicaries les caselles de la lletra S?
_____________________________________
5
4 S S
3
2 S
1
1 2 3 4 5
– Marc (A 3) – Lluïsa (B 4)
– Laia (B1) – Mateu (C 2)
– Jacint (C 3) – Rosa (A 7)
A B C
Laia
Mateu
Marc Jacint
Lluïsa
Rosa
A4
C1A2
C O M M
E E
R E M M
E R I
U R E M(2,4), (2,2), (4,4)
52
4. Relaciona cada personatge amb l’objecte de la casella a la qual arriba, si surt de la casella (0, 0). El movimentque fa cada un està indicat amb un parell ordenat. Esbrina què significa cada nombre, a partir dels exemplessegüents:
(+3, –2) ➔ «3 a la dreta, 2 cap a baix»
(–3, +2) ➔ «3 a l’esquerra, 2 cap a dalt»
5. Observa el tros del plànol de la ciutat de Barcelona.
a) Localitza i pinta els trams dels carrers següents:
C10: Av. de la Catedral
C3: Fontanella
H6: Sant Pere Més Alt
E2: Plaça Urquinaona
b) Indica a quina casella es troben els llocs següents:
Conservatori Superior de música del Liceu:
Estació de RENFE (Catalunya):
Biblioteca Pompeu Fabra:
Servei d’Atenció a la Dona:
(0, 0)
(–2, +2)
(–2, –2)
(–3, 0)
(0, –3)
(+2, –1)
(+2, +3)
A B C D E F G H I J
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
D3
A1
D8
C5
Gràfiques • Interpretació de punts53
6. Senyala en la gràfica quin punt correspon aun globus inflat, a un totxo, a un got i a unasíndria.
7. Senyala en la gràfica quin punt correspon aun dia de gener, a un dia de març, a un diade juliol i a un dia de setembre.
8. La gràfica següent relaciona el preu i la superfície de sis cases d’una mateixa urbanització. Contesta les pre-guntes següents:
a) Quina casa és la més cara? I la més barata?
b) Quina casa és la més gran? I la més petita?
c) Quines cases tenen el mateix preu?
d ) Quines tenen la mateixa mida?
e) Quina compraries, la casa A o la C ?
f ) I si poguessis escollir entre la casa E i la F,quina et quedaries?
9. Dibuixa en la gràfica tres punts que representin els equips de futbol: Mataró, Sabadell i Figueres. Tingues encompte que:
– El Sabadell ha marcat més gols que elMataró i el Mataró, més que el Figue-res.
– El Mataró ha rebut menys gols que elFigueres, i el Figueres n’ha rebutmenys que el Sabadell.
A representa: __________________________
B representa: __________________________
C representa: __________________________
D representa: __________________________
A representa un dia de: __________________
B representa un dia de: __________________
C representa un dia de: __________________
D representa un dia de: __________________
Pes Temperatura màxima
Hor
es d
e so
l
Superfície (m2)
Preu
(€)
Gols marcats
Gol
s re
buts
Vol
um
A
B
C
D
A
A
B
C
E
DF
B C
D
Globus inflat generGot març
Totxo setembreSíndria juliol
E, B
F, A
A i C
D i E
C
F
Figueres
Mataró
Sabadell
54
10. Indica quines són les coordenades dels punts de la gràfica i contesta les preguntes següents:
11. Resol mentalment. Contesta si és vertader (V) o fals (F).
El punt (3, –2) es troba en el primer quadrant.
Un punt que es troba a l’eix d’abscisses és deltipus (0, b).
Un punt que té les dues coordenades negati-ves es troba en el quart quadrant.
Un punt que té l’abscissa negativa pot estaren el segon quadrant o bé en el tercer.
Un punt que té l’ordenada igual a 0 es trobaa l’eix d’ordenades.
Un punt que té l’ordenada negativa noméspot estar en el tercer quadrant.
A ( , )D ( , )
B ( , )E ( , )
C ( , )F ( , )
A ( , )D ( , )
B ( , )E ( , )
C ( , )F ( , )
A ( , )D ( , )
B ( , )E ( , )
C ( , )F ( , )
A ( , )D ( , )
B ( , )E ( , )
C ( , )F ( , )
-4 -3 -2 -1 1
1
-2
-1
-3
-4
2
3
4
2 3 4
A
B
C
DF
E
10
10 20 30
A
B
C
D
F
E
5
5
A
B
C
D
FE
-1
-1
1
1
A
B
C
D
F
E
• Quins punts tenen la mateixa abscissa? • Quins punts hi ha en cada quadrant?
• Quins punts tenen l’abscissa negativa? • Quins punts estan situats a l’eix d’orde-nades?
3 3 –3 5 –5 3 2 3 –1 2 –2 –1–3 –3 3 –4 2 –2 –1 –2 2 –2 1 1
A i E, B i D 1r) A i F; 2n) B; 3r) C i D; 4t) E
20 0 10 20 -15 10 10 10 -5 20 -15 5
-30 20 -20-10 15 -20 -10-20 0 -10 20 -10
C, D i E E
F V
F F
F F
Gràfiques • Representació gràfica de punts55
12. Prova de dibuixar la figura sense aixecar el llapis del paper i sense passar dues vegades per la mateixa línia.Si ho aconsegueixes, indica l’ordre dels vèrtexs pels quals has passat. Pots començar pel vèrtex que vulguis,però vés en compte que no tots serveixen.
13. Representa els punts següents en cada eix de coordenades:
14. Representa els punts següents. Has de tenir en compte el valor de les coordenades per fer una divisió apro-piada de cada eix.
A (3, –4) B (0, –4) C (–3, –3) D (4, 5) A (–1, 3) B (2, 1) C (0, –2) D (–2, –1)
A (100, 25) B (200, 150)C (250, 50) D (150, 50)
A (1 500, 250) B (2 000, 150)C (500, 50) D (3 000, 200)
11
1 11
1
12
3
4
5
6
7
8
9
1011
12
13
14
B
A
D
C
B
A
DC
CC
A
B
D
A
B
200
100
25
25 100 200 300
D
40035030025020015010050
1 000 2 000 3 000 4 000
56
15. Representa en la quadrícula els punts A (4, 0), B (2, 2) i C (0, –2).Uneix-los seguint aquest ordre i n’obtindràs un triangle. Després,representa els punts A’, B’ i C’. Han de tenir les mateixes coorde-nades que A, B i C, respectivament, però canviades d’ordre (can-via l’abscissa per l’ordenada i a l’inrevés).
a) S’obté el mateix triangle?
b) Quin punt no ha canviat? Per què?
16. Els dos pirates més temuts dels set mars busquen el mateix tresor, que es troba a les coordenades (5, 2). Cadapirata segueix un camí diferent per cercar-lo. No saben, però, que es trobaran abans d’arribar al tresor. Marcaels punts per on passarà cada pirata i uneix-los en l’ordre que s’indica. Utilitza un color diferent per a cadarecorregut i esbrina en quin punt els dos pirates es trobaran.
17. Dibuixa en el segon quadrant un dibuix simètric de la figurarepresentada en el primer quadrant, prenent com a eix de sime-tria l’eix d’ordenades. Després, fes el mateix en el quart qua-drant, prenent com a eix de simetria l’eix d’abscisses. Escriu alcostat de cada punt les coordenades corresponents.
1
1
Punt d’encontre: ___________________
(–7, 5); (–3, 5); (1, 1)(–1, –2); (4, –2); (5, 2)
(–6, –5); (–4, –2); (–4, 2)(0, 4); (2, 4); (5, 2)
A’
B i B’
A
C
C’Sí.
El B, perquè l’abscissa i l’ordenada són iguals.
(–1,2, 3,2)
(1,2)(4,3)
(5,1)
(5,–1)(1,–2)
(4,–3)
(–5,1)
(–4,3)
(–1,2)
Gràfiques • Construcció de gràfiques a partir de taules57
18. La taula mostra el nombre de persones que van visitar una exposició de pintura durant els dies que va estaroberta al públic. Fes la gràfica i contesta les preguntes següents:
19. La taula següent mostra la caminada que van fer uns excursionistes. Van sortir al matí d’un alberg de munta-nya i van tornar a la tarda. Fes la gràfica i contesta les preguntes següents:
a) Té sentit unir els punts? Justifica la resposta.
b) Quants dies va estar oberta l’exposició?
c) Quin dia van anar-hi més visitants?
d) Quantes persones en total van visitar l’exposició?
a) Té sentit unir els punts? Justifica la resposta.
b) Esbrina:
• L’hora de sortida i la d’arribada:
• La durada total de la caminada:
• El total de quilòmetres que van realitzar:
• La distància entre l’alberg i el punt més allunyat:
1234567
150100150200150350400
Dies Visitants
8101214161820
010152020100
Temps(h)
Distància(km)
Dies d’exposició
Nom
bre
de v
isita
nts
Hores del dia (h)
Dis
tànc
ia a
l’al
berg
(km
)
10
8
Sí, perquè ens permetrà comparar l’afluència de gent en relació als dies precedentsi saber si globalment la tendència ha estat de pujada o de baixada.
7
El 7è
1 500 persones
Sí, així sabrem quan redueixen el ritme de la caminada.
8:00 i 20:00 h
12 hores
75 km
20 km
450
400
350
300
250
200
150
100
1 2 3 4 5 6 7 8 9
20
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
58
20. L’encarregat d’una obra ha calculat el temps que es tarda afer una tanca segons el nombre d’obrers que hi treballen.Observa la taula, dibuixa la gràfica i contesta les preguntessegüents:
21. Una empresa que repara electrodomèstics cobra 30 € per desplaçament i 20 € més per cada hora de treball.Construeix una taula amb les tarifes corresponents a 0, 1, 2, 3, i 4 hores de treball i fes la gràfica. Després,contesta les preguntes.
a) Té sentit unir els punts de la gràfica? Raona la resposta.
b) Encara que l’encarregat no ho hagi calculat, dedueix dela gràfica quant temps tardaran quatre obrers.
12369
189632
Nombre d’obrers
Temps(dies)
01234
30507090110
Temps(h)
Tarifa(€)
Nombre d’obrersTe
mps
(die
s)
Temps de treball (h)
Tari
fa (€
)
1
1
1
30
50
a) Té sentit unir els punts de la gràfica? Raona la resposta.
b) Observa la gràfica i digues quin serà el preu d’una reparació de 3 horesi mitja.
Sí, perquè així veurem com és una gràfica quedecreix a mesura que afegim obrers.
4,5 dies aproximadament.
Sí, ja que així podrem tenir un valor aproximat del preude qualsevol segons el temps emprat.
100 €
110
90
70
2 3 3,5 4
Gràfiques • Construcció de taules a partir de gràfiques59
22. Observa les barres de pa venudes en una fleca en una setmana. Completa la taula i contesta les preguntes.
23. La gràfica representa l’evolució de la temperatura d’un dia d’hivern en dues ciutats europees. Completa la taulai contesta les preguntes. Posa-hi una G si consultes la gràfica, o una T si consultes la taula.
Quina diferència de temperatura hi ha entre les dues ciutats a les12 h del matí?
A quina hora del dia les dues ciutats tenen la mateixa temperatura?
Quina diferència hi ha entre la temperatura màxima i la mínimade cada ciutat?
• París: _______________ • Lleida: _______________
Hora París Lleida
Dies de la setmana
Tem
pera
tura
(°C
)
Bar
res
de p
a
100
-4
8 12 16 20 24
-3-2-1012345678
150
200
250
300
Dll Dm Dc Dj Dv Ds Dg
Hores del dia
— Lleida— París
a) Què representa una divisió en l’eix d’abscisses?
b) Què representa una divisió en l’eix d’ordenades?
c) Quantes barres de pa es van vendre en tota la setmana?
d) Quantes barres de pa es van vendre el cap de setmana?
e) Quantes barres més es van vendre dissabte que diumenge?
Dies setm. Barres pa
Dilluns 150Dimarts 125Dimecres 200Dijous 150Divendres 150Dissabte 275Diumenge 200
8 4 –2
12 7 4
16 6 3
20 2 3
24 –2 0
Mig dia
25 barres de pa
1 250
475
75
T
3º
G19 h
G
9º C 6º C
60
24. Identifica, a primer cop d’ull, quina gràfica representa la situació que es descriu en cada apartat. Justifica laresposta i explica per què no són vàlides les altres gràfiques.
a) Un home surt de casa, va al parc i s’asseu a llegir el diari; després, torna a casa més ràpid que a l’anada.
Gràfica A: ________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
Gràfica B: ________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
Gràfica C: ________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
Gràfica A: ________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
Gràfica B: ________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
Gràfica C: ________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
b) El preu del pollastre va pujar durant el primer trimestre de l’any, després es va estabilitzar, va baixar fins asituar-se per sota del preu d’inici d’any i va acabar assolint el preu màxim anual.
Gràfica A Gràfica B Gràfica C
Gràfica A Gràfica B Gràfica C
Dis
tànc
ia
Temps
Dis
tànc
ia
Temps
Dis
tànc
ia
Temps
Preu
Mesos
Preu
Mesos
Preu
Mesos
Impossible, segons aquesta gràfica des de que ha acabat de llegir fins que ha arribat a
classe, el temps ha retrocedit.
Aquesta és la gràfica que representa la situació.
En aquesta ha trigat menys en arribar al parc que en tornar a casa.
Aquí el 1r trimestre el preu cau fins a estabilitzar-se per tornar a pujar i tornar a caure
en acabar l’any.
Impossible, a partir del 2n trimestre ens paguen per endur-nos el pollastre!
Aquesta és la gràfica que representa la situació.
Gràfiques • Característiques d’una gràfica61
25. Dibuixa una gràfica amb les característiques que s’especifiquen en cada cas.
26. Indica entre quins valors de l’abscissa les gràfiques següents són creixents, decreixents i constants.
27. La gràfica mostra la variació de la temperatura d’un malalt. Observa la gràfica i contestales preguntes següents.
Una gràfica contínua quecomenci creixent, després siguiconstant i acabi decreixent.
Una gràfica contínua quecomenci constant, desprésdecreixi i acabi creixent.
1 2 3 4 5 6 70 1 2 3 4 5 6 70
Hores del dia
Tem
pera
tura
(ºC
)
35
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
3637383940
Creix entre ___________ i ___________ Creix entre ___________ i ___________
Decreix entre ___________ i ___________ Decreix entre ___________ i ___________
És constant entre ___________ i ___________ És constant entre ___________ i ___________
a) A quines hores del dia li van donar unmedicament perquè li baixés ràpida-ment la febre?
b) En quins períodes del dia li va pujar lafebre?
c) En quins períodes del dia li va baixarla febre?
2 4 0 3
0 2 4,5 7
4 6,5 3 4,5
A les 6 i a les 20.
De 2 a 6 h; de 10 a 14 h; de 15:30 a 20 h i de 22:30 a 24 h.
De 6 a 10 h; de 14 a 15:30 h;de 20 a 22:30 h.
62
28. La gràfica mostra les tarifes d’una empresa que es dedica a transportar paquets d’una ciutat a una altra. Lestarifes depenen del pes del paquet. Contesta les preguntes següents:
29. La Maria surt de casa i va cap a l’escola. La gràfica representa el recorregut que fa. Contesta les preguntessegüents:
30. L’Alícia viu a la mateixa porteria que la Maria. Surt de casa a les 9 h 21 min. A les 9 h 23 min, ha recorregut200 m i s’atura 2 minuts al forn de pa. Després continua caminant sense canviar de ritme i arriba a l’escola ales 9 h 29 min. Dibuixa la gràfica corresponent sobre la quadrícula de l’exercici anterior.
• A quina hora i a quina distància de l’escola, l’Alícia avança la Maria?
a) A quina hora surt de casa?
b) A quina distància de casa s’adona que s’ha oblidat la flauta i torna per agafar-la?
c) En quin moment s’adona que arribarà tard a l’escola i comença a córrer?
d) A quina hora arriba a l’escola?
a) Què representa l’eix d’abscisses? Quant val una divisió enaquest eix?
b ) Què representa l’eix d’ordenades?
c) Què costa més, enviar un paquet de 2 000 g o un de 3 000 g?
d ) Quin és el preu mínim que s’ha de pagar per enviar un paquet?
Pes del paquet (g)
Tari
fes
(€)
20000
30
40
50
60
70
4000 6000 8000
Hores del dia
Escola
Dis
tànc
ia (m
)
9:15 9:20 9:25 9:30
50
0
El pes del paquet; 1 000 g.
El preu que costa l’enviament.
Costa el mateix.
35 €.
9:15 h.
A 100 m.
A les 9:30, quan ha recorregut 300 m.
Passades les 9:31 h.
A les 9:22 h i a 400 m de l’escola.
MariaAlícia
Gràfiques • Característiques d’una gràfica63
31. La gràfica mostra la producció de dos models de cotxe, A i B. L’any 2000 es van fabricar més cotxes del modelA que del B. Observa la gràfica, esbrina quina línia correspon a cada model i contesta les preguntes.
32. Dibuixa una gràfica que representi les vendes de diaris en el quiosc d’en Jaume.
– En Jaume obre el quiosc a les 7 h del matí.
– Entre les 7 h i les 9 h del matí, ven 125 diaris.
– Després de 5 hores, ha venut 50 diaris més.
– Al migdia tanca el quiosc durant 2 hores per dinar.
– En tota la tarda ven 25 diaris més.
– Tanca a les 8 h del vespre.
a) Què representa una divisió en cada eix?
b) L’any 2000, quants cotxes menys es van fabricardel model B que del model A?
c) En quin any es va fabricar la mateixa quantitat decotxes dels dos models?
d) Entre quins anys va disminuir la fabricació de cot-xes del model A? Entre quins anys va augmentar?
e) A partir de quin any s’ha mantingut constat lafabricació de cotxes del model B?
Anys
Nom
bre
de c
otxe
s fa
bric
ats
1985
10 000
15 000
1990 1995 2000
20 000
Abscisses = 1 anyOrdenades = 1 000 cotxes fabricats.
9 000 cotxes menys.
1995.
1990-1993 i mitjan 1998-2000abans 1958-1990 i 1993- mitjan 1998
1997
300
275
250
225
200
175
150
125
100
75
50
5
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A
B
64
33. La gràfica representa el moviment d’un cotxe entre dos semàfors.
34. Inventa una història que expliqui què ha passat en el dipòsit d’aigua durant tot el dia.
35. La Marta ha sortit a passejar en bicicleta. Descriu el recorregut que ha fet. Has de tenir en compte les possi-bles pujades i baixades. A més, ha tingut mala sort i ha punxat una roda.
b) Explica a quina velocitat circula el cotxe entre els dos semàfors.
a) Descriu la gràfica.
Vel
ocita
t (km
/h)
15 30
20
40
60
80
45 60 75 90 105 120 135 Temps (s)
Hores del dia
Qua
ntita
t d’a
igua
(L)
100
200
300
400
500
8 10 12 14 16 18 20 22
Hores del dia
Dis
tànc
ia d
el p
unt d
e so
rtid
a (k
m)
10
20
30
40
9.00 10 10.30 11 11.30 12 12.30
Els primers 15’ agafa els 40 km/h, d’aquí als 45’ accelera fins els 60 km/h, es manté a aquesta veloci-tat fins els 90’ i d’aquí als 120’ desaccelera fins a parar.
Tenim un dipòsit de 350 L que a partir de les 8:00 h, quanja tothom ha sortit de casa, comencen a omplir. A les12:00 h ja és ple. A les 16:00 h arriba el Joan a casa, posauna rentadora i es dutxa a les 18:30, s’asseu al sofà i esposa a llegir un llibre. A les 20:00 arriben la Lluïsa,l’Albert i l’Anna i també prenen una dutxa, la tanda dedutxes acaba a les 22:00 h.
A les 9:00 h surt per un camí que fapujada, durant 1 hora recorre 10 km;a partir d’aquí fa baixada, i en 30’recorre 20 km. Llavors comença latornada per un camí planer i fa 10 kmmés. A les 11 decideix parar 30’ peresmorzar un entrepà. Segueix pelmateix camí 30’ més mantenint elritme; però punxa i ha de parar 15’ iapretar fort per acabar els últims 10km en 15’.
