TEHNICKA MEHANIKA 2 - grf.bg.ac.rs · PDF fileKoli£ina kretanja i momenat oli£inek kretanja Zakon o romenip oli£inek kretanja i momenta k.k. Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog

Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaZakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.

Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog tela

TEHNI�KA MEHANIKA 2

Osnovne akademske studije, III semestar

Prof. dr Stanko Br£i¢Prof. dr Rastislav Mandi¢Doc. dr Stanko �ori¢

email: [email protected]

Gra�evinski fakultetUniverzitet u Beogradu

�k. god. 2017/18

S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2



Sadrºaj

1 Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanjaMaterijalna ta£ka i sistem mat.ta£akaKruto telo

2 Zakon o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.Zakon o promeni koli£ine kretanjaZakon o promeni momenta koli£ine kretanja

3 Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog telaOp²ta jedna£ina dinamike za kruto teloZakoni o promeni k.k. i momenta k.k.d'Alembert-ov princip za kruto teloOjlerove jedna£ine - sferno kretanje




Materijalna ta£ka i sistem mat.ta£akaKruto telo

Sadrºaj








Koli£ina kretanja i momenat koli£ine kretanja

Materijalna ta£ka

Posmatra se mat. ta£ka mase m koja se kre¢e sa brzinom ~v

Koli£ina kretanja materijalne ta£ke je de�nisana sa

~K = m~v

Momenat koli£ine kretanja mat. ta£ke u odnosu na nepokretnuta£ku O (koordinatni po£etak inercijalnog sistema) je

~D(O) = ~r × ~K = ~r ×m~v






Sistem materijalnih ta£ka

Posmatra se sistem od N materijalnih ta£ka Pk, masa mk,koje se kre¢u sa brzinama ~vkKoli£ina kretanja sistema mat. ta£aka je de�nisana sa

~K =

N∑k=1

mk ~vk

Za sistem sa konstantnom masom mk = const se dobija

~K =d

dt

N∑k=1

mk ~rk (1)







Uvodi se pojami ukupne mase i sredi²ta mase sistemamaterijalnih ta£aka:

m =

N∑k=1

mk ~rS =1

m

N∑k=1

mk ~rk (2)

Iz de�nicije sredi²ta mase sledi

m~rS =

N∑k=1

mk ~rk odn.N∑k=1

mk (~rk − ~rS) = 0 (3)

(momenat mase prvog reda za osu kroz sredi²te je nula)







Imaju¢i u vidu pojam sredi²ta mase, koli£ina kretanja sistemaprikazana sa (1) postaje

~K =d

dt(m~rS) odn. ~K = m~vS (4)

Momenat koli£ine kretanja sistema mat. ta£aka za nepokretnuta£ku O je de�nisan sa

~D(O) =

N∑k=1

~rk × (mk~vk) (5)





Sredi²te sistema mat. ta£aka







Imaju¢i u vidu pojam sredi²ta mase, vektor poloºaja bilo kojeta£ke sistema Pk moºe da se prikaºe kao:

~rk = ~rS + ~ρk

gde je S sredi²te mase sistema, a ~ρk =−→SP k

Tako�e je i, diferenciranjem,

~vk = ~vS + ~̇ρk

Sa ovim, momenat koli£ine kretanja postaje

~D(O) =

N∑k=1

(~rS + ~ρk)×mk(~vS + ~̇ρk) (6)







Razvijanjem binoma dobijaju se 4 zbira

~D(O) =

N∑k=1

~rS ×mk~vS +

N∑k=1

~rS ×mk ~̇ρk

+

N∑k=1

~ρk ×mk~vS +

N∑k=1

~ρk ×mk ~̇ρk

Prvi zbir postaje (~rS i ~vS ne zavise od sabiranja)

N∑k=1

~rS ×mk~vS = ~rS ×

(N∑k=1

mk

)~vS = ~rS ×m~vS = ~rS × ~K







Drugi zbir je nula

N∑k=1

~rS ×mk ~̇ρk = ~rS ×d

dt

(N∑k=1

mk~ρk

)= 0

jer je momenat mase prvog reda za sredi²te mase jednak nuli:

N∑k=1

mk~ρk = 0

(vektor ~ρk se meri iz sredi²ta mase)







Tre¢i zbir je tako�e nula:

N∑k=1

~ρk ×mk~rS =

(N∑k=1

mk~ρk

)× ~rS = 0

jer je momenat mase prvog reda za sredi²te mase jednak nuli

�etvrti zbir je jednak:

N∑k=1

~ρk ×mk ~̇ρk = ~D(S)

i pretstavlja momenat koli£ine kretanja sistema za sredi²temase (po de�niciji): ~̇ρk je brzina Pk u odnosu na S







Prema tome, relacija (6) dobija kona£an izraz:

~D(O) = ~rS × ~K + ~D(S) (7)

gde je ~D(S) momenat koli£ine kretanja za sredi²te sistema

Izraz (7) pretstavlja vezu izme�u momenta koli£ine kretanja zasredi²te mase sistema i momenta koli£ine kretanja zanepokretnu ta£ku u prostoru





Sadrºaj









Kruto telo - koli£ina kretanja

Koli£ina kretanja krutog tela se de�ni²e kao:

~K =

∫m~v dm

Kako je brzina ta£ke tela ~v = ~vA + ~ω × ~ρ, to se dobija

~K = m~vA + ~ω ×∫m~ρ dm

Drugi £lan je nula- za translatorno kretanje: ~ω = 0- za op²te kretanje tela: referentna ta£ka je sredi²te mase

(A ≡ S), pa je∫m~ρdm = 0






Kruto telo - koli£ina kretanja

Prema tome, koli£ina kretanja za kruto telo je data sa

~K = m~vS

Momenat koli£ine kretanja krutog tela u odnosu nakoordinatni po£etak prostornog sistema Oxyz se de�ni²e kao

~D(O) =

∫m~r × ~v dm






Kruto telo - momenat koli£ine kretanja

Kako je, imaju¢i u vidu sredi²te mase kao referentnu ta£ku,

~r = ~rS + ~ρ ~v = ~vS + ~ω × ~ρ

onda je momenat koli£ine kretanja tela jednak

~D(O) =

∫m(~rS + ~ρ)× [~vS + (~ω × ~ρ)]dm







Rastavljanjem na 4 integrala se dobija

~D(O) =

∫m~rS × ~vSdm+

∫m~rS × (~ω × ~ρ)dm

+

∫m~ρ× ~vSdm+

∫m~ρ× (~ω × ~ρ)dm

(8)

Prvi integral je jednak:∫m~rS × ~vSdm = ~rS ×m~vS = ~rS × ~K

(vektori ~rS i ~vS ne zavise od integracije po masi)







Drugi integral je jednak nuli, jer je momenat mase prvog redaza osu kroz srediste mase jednak nuli∫

m~rS × (~ω × ~ρ)dm = ~rS × (~ω ×

∫m~ρdm) = 0

Tako�e je i tre¢i integral jednak nuli iz istog razloga:∫m~ρ× ~vSdm =

(∫m~ρdm

)× ~vS = 0







�etvrti integral je momenat koli£ine kretanja tela za sredi²temase (po de�niciji):∫

m~ρ× (~ω × ~ρ)dm = ~D(S)

Prema tome, momenat koli£ine kretanja (8) se dobija u obliku

~D(O) = ~rS × ~K + ~D(S)

Relacija je veza izme�u momenta koli£ine kretanja za sredi²temase tela i momenta koli£ine kretanja za nepokretnu ta£ku uprostoru (ista relacija kao i za sistem mat. ta£aka)







Ako telo vr²i sferno kretanje, onda je momenat koli£inekretanja za nepokretnu ta£ku A de�nisan kao

~D(A) =

∫m~ρ× (~ω × ~ρ) dm

Kako je ~ρ× (~ω × ~ρ) = (~ρ)2 ~ω − (~ω~ρ) ~ρ, momenat koli£inekretanja je jednak

~D(A) =

∫m[(~ρ)2 ~ω − (~ω~ρ) ~ρ] dm (9)







Vektori ~ρ i ~ω, kao i ~D(A) se izraºavaju u odnosu namaterijalan koordinatni sistem Aξηζ

~ρ = ξ~λ+ η~µ+ ζ~ν ~ω = p~λ+ q~µ+ r~ν

tako da je:

(~ρ)2 = ξ2 + η2 + ζ2 ~ω · ~ρ = pξ + qη + rζ

dok je vektor momenta koli£ine kretanja:

~D(A) = D(A)ξ~λ+D(A)

η ~µ+D(A)ζ ~ν







Unose¢i sve ovo u izraz (9), dobija se

~D(A) = ~λ

∫m

[(ξ2 + η2 + ζ2) p− (pξ + qη + rζ) ξ

]dm

+ ~µ

∫m

[(ξ2 + η2 + ζ2) q − (pξ + qη + rζ) η

]dm

+ ~ν

∫m

[(ξ2 + η2 + ζ2) r − (pξ + qη + rζ) ζ

]dm

(10)







Skra¢ivanjem se dobija

~D(A) = ~λ

[∫m(η2 + ζ2)dmp−

∫mξηdmq −

∫mξζdmr

]+ ~µ

[∫m(ξ2 + ζ2)dmq −

∫mξηdmp−

∫mηζdmr

]+ ~ν

[∫m(ξ2 + η2)dmr −

∫mξζdmp−

∫mηζdmq

]







Imaju¢i u vidu de�nicije momenata inercije mase tela,aksijalnih i centrifugalnih, dobija se izraz za vektor momentakoli£ine kretanja

~D(A) = ~λ(JAξ p+ JAξη q + JAξζ r

)+ ~µ

(JAξη p+ JAη q + JAηζ r

)+ ~ν

(JAξζ p+ JAηζ q + JAζ r

) (11)







Izraz (11) za vektor momenta koli£ine kretanja ~D(A) moºe dase prikaºe u matri£nom obliku:

~D(A) =

Dξ

Dη

Dζ

(A)

=

Jξ Jξη JξζJηξ Jη JηζJζξ Jζη Jζ

(A)pqr

Materijalne koordinate vektora ~D(A) se dobijaju kao proizvodmatrice inercije za ta£ku A i vektora ugaone brzine







Vektor momenta koli£ine kretanja u odnosu na sredi²te mase Sje dat sa:

~D(S) =

∫m~ρ× (~ω × ~ρ) dm

odn. u istom obliku kao i za nepokretnu ta£ku A u slu£ajusfernog kretanja (jedino se vektor ~ρ meri od sredi²ta mase, ane od ta£ke A)

Prema tome, ako je A ≡ S, materijalne koordinate vektoramomenta koli£ine kretanja za sredi²te mase se dobijaju kaoproizvod matrice inercije za ta£ku S i vektora ugaone brzine

{D}(S) = [J ](S){ω}







Ako su u referentnoj ta£ki A, za sferno kretanje, ili ta£ki S, uslu£aju op²teg kretanja, za referentne ose izabrane glavne oseinercije, onda je matrica inercije dijagonalna matrica(centrifugalni momenti su nula)

Vektor momenta koli£ine kretanja u takvom slu£aju (recimo zata£ku S) je dat u obliku

D1

D2

D3

(S)

=

J1J2

J3

(S)ω1

ω2

ω3

=

J1ω1

J2ω2

J3ω3







Posmatra se telo koje vr²i op²te kretanje

Materijalni sistem je Aξηζ (ta£ka A je proizvoljna referentnata£ka)

Poloºaj sredi²ta mase S u odnosu na referentnu ta£ku A je datsa−→AS = ~aS = {a, b, c}

Vektor poloºaja proizvoljne ta£ke P u odnosu na materijalansistem Aξηζ je

−→AP = ~ρ

Vektor poloºaj iste ta£ke P u odnosu na ‖ materijalan sistemsa po£etkom u sredi²tu mase S je

−→SP = ~ρS

Vaºi geometrijska relacija−→AP =

−→AS +

−→SP , odnosno

~ρ = ~aS + ~ρS





Promena koli£ine kretanja sa promenom ta£ke







Vektor momenta koli£ine kretanja u odnosu na referentnuta£ku A je de�nisan sa

~D(A) =

∫m~ρ× (~ω × ~ρ) dm

Moºe da se pokaºe da se posle transformacija i sre�ivanjadobija

{D}(A) = [J ](A){ω}

gde je [J ](A) matrica inercije za ta£ku A, koja se dobija, uskladu sa Hajgens-�tajnerovom teoremom, u obliku

[J ](A) = [J ]sop + [J ]pol




Zakon o promeni koli£ine kretanjaZakon o promeni momenta koli£ine kretanja

Sadrºaj








Zakon o promeni koli£ine kretanja

Materijalna ta£ka

Zakon o promeni koli£ine kretanja za materijalnu ta£ku jeDrugi Njutnov zakon (Drugi aksiom)

Osnovni oblik zakona (za neslobodno kretanje ta£ke) je

d ~K

dt= ~FR gde je ~FR = ~F + ~R

Zakon o promeni koli£ine kretanja u diferencijalnom obliku je

d ~K = d~IR gde je d~IR = ~FR dt

Veli£ina d~IR je elementarni impuls sile ~FR






Materijalna ta£ka

Zakon o promeni koli£ine kretanja u diferencijalnom obliku seintegrali po vremenu u kona£nom intervalu [t1, t2]

d ~K = d~IR /

∫ 2

1

Dobija se Zakon o promeni koli£ine kretanja kona£nom(integralnom) obliku je:

~K2 − ~K1 = ~IR(t1, t2)






Materijalna ta£ka

gde su ~K1 i ~K2 koli£ine kretanja ta£ke u trenucima vremena t1i t2

~K1 = m~v(t1) ~K2 = m~v(t2)

dok je ~IR(t1, t2) kona£an impuls sile ~FR u intervalu vremena[t1, t2]

~IR(t1, t2) =

∫ t2

t1

~FR dt






Sistem materijalnih ta£aka

Uklone se sve veze kod sistema i za svaku materijalnu ta£kuPk se primeni Drugi Njutnov zakon

mk ~ak = ~Fk + ~Rk,sp + ~Rk,un gde je (k = 1, 2, . . . , N)

gde su razdvojene reakcije spolja²nih ~Rk,sp i unutra²njih ~Rk,unveza

Ako se sve jedna£ine saberu, ukupan zbir reakcija unutra²njihveza je jednak nuli, zbog principa akcije i reakcije, tako da sedobija

N∑k=1

mk ~ak =

N∑k=1

~Fk +

N∑k=1

~Rk,sp







Ako se uvede oznaka za ukupnu spolja²nju silu koja deluje nata£ku Pk: ~Fk = ~Fk + ~Rk,sp, onda je glavni vektor spolja²njihsila koje deluju na sistem dat sa:

~FR =

N∑k=1

(~Fk + ~Rk,sp) =

N∑k=1

~Fk

Za sistem sa konstantnom masom je

∑mk~ak =

d

dt

∑mk~vk =

d ~K

dt







Time se dobija Zakon o promeni koli£ine kretanja za sistem uosnovnom obliku:

d ~K

dt= ~FR

Alternativno, kako je za sistem ~K = m~vS , pa je

d ~K

dt=

d

dt(m~vS) = m~aS

to se dobija Zakon o promeni koli£ine kretanja u obliku Zakonao kretanju centra mase:

m~aS = ~FRS.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2






Zakon o kretanju centra mase:Sredi²te sistema materijalnih ta£aka se kre¢e u prostoru kaomaterijalna ta£ka mase m na koju deluje sila koja je jednakaglavnom vektoru svih spolja²njih sila koje deluju na sistem

Zakon o promeni koli£ine kretanja za sistem u diferenijalnomobliku:

d ~K = d~IR = ~FR dt

Zakon o promeni koli£ine kretanja za sistem u integralnomobliku:

~K2 − ~K1 = ~IR(t1, t2)S.Br£i¢, S.�ori¢ Tehni£ka mehanika 2






Izraz ~IR(t1, t2) je rezultuju¢i impus spolja²njih sila u intervaluvremena (t1, t2):

~IR(t1, t2) =∫ t2

t1

~FR dt

Ako je sistem materijalnih ta£aka mehani£ki izolovan, ²to zna£ida ne deluju nikakve spolja²nje sile, niti reakcije spolja²njihveza, onda je ~FR = 0

U tom slu£aju vaºi Zakon o odrºanju koli£ine kretanja:

~FR = 0 ⇒ d ~K = 0 ⇒ ~K = const





Sadrºaj








Zakon o promeni momenta koli£ine kretanja

Materijalna ta£aka

Posmatra se Zakon o promeni koli£ine kretanja za materijalnuta£ku u osnovnom obliku

Relacija se vektorski mnoºi sa leve strane sa vektorompoloºaja ~r

d ~K

dt= ~FR /~r × (12)

Kako je ~K = m~v to je izraz (12) dat sa

~r × d(m~v)

dt= ~r × ~FR






Materijalna ta£aka

Posmatra se diferenciranje po vremenu izraza ~r × (m~v):

d

dt[~r × (m~v)] =

d~r

dt× (m~v) + ~r × d

dt(m~v)

Prvi £lan na desnoj strani je jednak nuli (kolinearnosti vektora):

d~r

dt× (m~v) = ~v × (m~v) = 0

Prema tome, vaºi relacija:

~r × d

dt(m~v) =

d

dt[~r × (m~v)] =

d

dt(~r × ~K)






Materijalna ta£aka

Prema tome, leva strana relacije (12) postaje:

~r × d ~K

dt= ~r × d

dt(m~v) =

d

dt(~r × ~K) =

d ~D(O)

dt

Desna strana relacije (12) je momenat sile ~FR za ta£ku O(iz koje se meri vektor ~r)

Time se dolazi se do Zakona o promeni momenta koli£inekretanja (u osnovnom obliku):

d ~D(O)

dt= ~M

(O)R (13)






Materijalna ta£aka

Iz Osnovnog oblika (mnoºenjem relacije sa dt) se dobija Zakono promeni momenta koli£ine kretanja u diferencijalnom obliku:

d ~D(O) = d ~H(O)R

gde je d ~H(O)R elementarni impulsni momenat sile ~FR za ta£ku

O:d ~H

(O)R = ~M

(O)R dt = ~r × ~F dt = ~r × d~IR






Materijalna ta£aka

Zakon o promeni momenta koli£ine kretanja u integralnomobliku se dobija integracijom zakona u diferencijalnom obliku:

~D(O)2 − ~D

(O)1 = ~H

(O)R (t1, t2)

gde je ~H(O)R (t1, t2) impulsni momenat sile ~F za ta£ku O u

intervalu vremena (t1, t2):

~H(O)R (t1, t2) =

∫ t2

t1

d ~H(O)R =

∫ t2

t1

~M(O)R dt =

∫ t2

t1

~r × ~FR dt






Materijalna ta£aka

U slu£aju mehani£ki izolovane materijalne ta£ke (sila ~F = 0),dobija se Zakon o odrºanju momenta koli£ine kretanja:

~FR = 0 ⇒ d ~D(O) = 0 ⇒ ~D(O) = const

U slu£aju posmatranja kretanja materijalne ta£ke obi£no sekoristi samo Zakon o promeni koli£ine kretanja, odn. uglavnomnema potrebe da se posmatra Zakon o promeni momentakoli£ine kretanja







Polazi se od Drugog Njutnovog zakona napisanog za svakuta£ku sistema oslobo�enog od veza, mnoºenjem sa leve stranesa vektorom poloºaja ~rk posmatrane ta£ke:

mk~ak = ~Fk + ~Rk,sp + ~Rk,un /~rk×

Ako je masa konstantna, mk = const, onda vaºi transformacija

~rk ×mk~ak = ~rk ×d

dt(mk~vk) =

d

dt(~rk ×mk~vk)

(u transformaciji je uzeta u obzir kolinearnost vektora ~vk imk~vk)







Time se dobija

d

dt

N∑k=1

(~rk ×mk~vk) =

N∑k=1

~rk × (~Fk + ~Rk,sp)

jer jeN∑k=1

~rk × ~Rk,un = 0

zbog Aksioma akcije i reakcije (ili teoreme o pomeranju sile)







Dobija se Zakon o promeni momenta koli£ine kretanja zasistem materijalnih ta£aka, za nepokretnu ta£ku O kaoredukcionu ta£ku:

d ~D(O)

dt= ~M(O)

R

Uvedena je oznaka za ukupnu spolja²nju silu koja deluje nata£ku Pk

~Fk = ~Fk + ~Rk,sp







Tako�e je glavni vektor spolja²njih sila dat sa

~FR =

N∑k=1

(~Fk + ~Rk,sp)

dok je glavni vektor momenata spolja²njih sila koje deluju nasistem materijalnih ta£aka, za ta£ku O, dat sa

~M(O)R =

N∑k=1

~rk × ~Fk =N∑k=1

~rk × (~Fk + ~Rk,sp)







Iz Osnovnog oblika se dobija i Zakon o promeni momentakoli£ine kretanja za sistem materijalnih ta£akau diferencijalnom obliku (mnoºenjem sa dt):

d ~D(O) = d ~H(O)R

gde je d ~H(O)R elementarni rezultuju¢i impulsni momenat:

d ~H(O)R = ~M(O)

R dt







Integracijom Zakona o promeni momenta koli£ine kretanja zasistem materijalnih ta£aka u diferencijalnom obliku u nekomkona£nom intervalu vremena [t1, t2], dobija se Zakon opromeni momenta koli£ine kretanja u integralnom obliku:

~D(O)2 − ~D

(O)1 = ~H(O)

R (t1, t2)

Vektori ~D(O)2 i ~D(O)

1 su momenti koli£ine kretanja sistema u

trenucima t2 i t1, dok je ~H(O)R (t1, t2) rezultuju¢i impulsni

momenta sistema u intervalu vremena [t1, t2]:

~H(O)R (t1, t2) =

∫ t2

t1

~M(O)R dt







Kako vaºi relacija (koja vaºi za sistem i za kruto telo)

~D(O) = ~D(S) + ~rS × ~K

diferenciranjem po vremenu se dobija:

d ~D(O)

dt=d ~D(S)

dt+d~rSdt× ~K + ~rS ×

d ~K

dt

Pri tome je srednji £lan na desnoj strani jednak nuli (vektorskiproizvod dva kolinearna vektora: ~vS ×m~vS = 0)







Prema tome, u osnovni oblik Zakona o promeni momentakoli£ine kretanja za sistem materijalnih ta£aka, za ta£ku O kaoredukcionu ta£ku,

d ~D(O)

dt= ~M(O)

R

na levu stranu se unosi relacija

d ~D(O)

dt=d ~D(S)

dt+ ~rS ×

d ~K

dt







Dobija se:

d ~D(S)

dt+ ~rS ×

d ~K

dt=

N∑k=1

(~rS + ~ρk)× ~Fk

gde je uneto da je ~rk = ~rS + ~ρk

Vektor ~rS ne zavisi od sabiranja, tako da je

d ~D(S)

dt+ ~rS ×

d ~K

dt= ~rS × ~FR +

N∑k=1

~ρk × ~Fk (14)







Imaju¢i u vidu Zakon o promeni koli£ine kretanja za sistem

d ~K

dt= ~FR

£lanovi levo i desno od znaka jednakosti u relaciji (14) seme�usobno skrate

Uvodi se oznaka za glavni vektor spolja²njih sila za sredi²te Ssistema mat. ta£aka:

~M(S)R =

N∑k=1

~ρk × ~Fk







Sa ovim relacija (14) postaje

d ~D(S)

dt= ~M(S)

R (15)

Relacija (15) pretstavlja Zakon o promeni momenta koli£inekretanja sistema materijalnih ta£aka za sredi²te mase S kaoredukcionu ta£ku (a ne za nepokretnu ta£ku O)




Op²ta jedna£ina dinamike za kruto teloZakoni o promeni k.k. i momenta k.k.d'Alembert-ov princip za kruto teloOjlerove jedna£ine - sferno kretanje

Sadrºaj









Op²ta jedna£ina dinamike za kruto telo

Imaju¢i u vidu Op²tu jedna£inu dinamike za sistemmaterijalnih ta£aka, napisanu u obliku:

N∑k=1

mk ~ak δ~rk =

N∑k=1

~Fk δ~rk

za kruto telo (kao sistem sa ∞ mat. ta£aka) je, analogno:

∫m~a δ~r dm =

N∑k=1

~Fk δ~rk







Kako je virtuelno pomeranje proizvoljne ta£ke tela dato saδ~r = δ~rA + δ~θ × ~ρ to se dobija:∫

m~a (δ~rA + δ~θ × ~ρ) dm =

N∑k=1

~Fk (δ~rA + δ~θ × ~ρk)

Sre�ivanjem, npr. ~a · (δ~θ × ~ρ) = δ~θ · (~ρ× ~a), se dobija

δ~rA ·∫m~a dm+δ~θ·

∫m(~ρ×~a) dm = δ~rA ·

N∑k=1

~Fk+δ~θ·N∑k=1

~ρk× ~Fk







Kako je

N∑k=1

~Fk = ~FR kao iN∑k=1

~ρk × ~Fk = ~M(A)R

relacija se pi²e u obliku:

δ~rA ·(∫

m~a dm− ~FR

)+ δ~θ ·

(∫m(~ρ× ~a) dm− ~M(A)

R

)= 0

(16)







Integral po masi ∫m~a dm se dobija u obliku (m = const)∫m~a dm =

d

dt

∫m~v dm =

d ~K

dt= m~aS (17)

Imaju¢i u vidu relaciju ~r = ~rA + ~ρ, sledi

~a = ~aA + ~̈ρ

pa se integral ∫m(~ρ× ~a) dm transformi²e na dva integrala∫m(~ρ× ~a) dm =

∫m~ρ× ~aA dm+

∫m~ρ× ~̈ρ dm (18)







U prvom integralu u izrazu (18) ~aA ne zavisi od integracije

U drugi integral izraza (18) se unosi identitet

d

dt(~ρ× ~̇ρ) = ~ρ× ~̈ρ

tako da izraz (18) postaje∫m(~ρ×~a) dm =

(∫m~ρ dm

)×~aA+

d

dt

(∫m~ρ× ~̇ρ dm

)(19)







Kako je, na osnovu de�nicije sredi²ta mase, kao i momentakoli£ine kretanja za ta£ku A,∫

m~ρ dm = m~ρS kao i

∫m~ρ× ~̇ρ dm = ~D(A)

to integral (19) postaje∫m(~ρ× ~a) dm = m~ρS × ~aA +

d ~D(A)

dt

Ako je ta£ka A nepokretna, onda je ~vA = ~aA = 0, a za op²tekretanje za referentnu ta£ku moºe da se usvoji sredi²te mase(A ≡ S), pa je ~ρSm = ∫m ~ρ dm = 0







Integral ∫m(~ρ× ~a) dm se dobija, prema tome, u obliku:∫m(~ρ× ~a) dm =

{za sferno kretanje ⇒ d ~D(A)

dt

za op²te kretanje ⇒ d ~D(S)

dt

Sa ovim se dobija Op²ta jedna£ina dinamike za kruto telo, zaop²te kretanje tela:

δ~rS ·

(d ~K

dt− ~FR

)+ δ~θ ·

(d ~D(S)

dt− ~M(S)

R

)= 0 (20)







Alternativno, Op²ta jedna£ina dinamike za kruto telo, zaproizvoljno kretanje tela, moºe da se pi²e i u obliku:

δ~rS ·(m~aS − ~FR

)+ δ~θ ·

(d ~D(S)

dt− ~M(S)

R

)= 0 (21)







U slu£aju sfernog kretanja, referentna ta£ka je nepokretnata£ka A, pa Op²ta jedna£ina dinamike, za sferno kretanje,moºe da se pi²e kao:

δ~θ ·

(d ~D(A)

dt− ~M(A)

R

)= 0 (22)

jer je za nepokretnu ta£ku A: ~aA = 0, odn. δ~rA = 0

Jedna£ine (20), odn. (21), ili (22), pretstavljaju jednu skalarnujedna£inu





Sadrºaj









Zakoni o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.

U Op²toj jedna£ini dinamike za kruto telo, za proizvoljnokretanje tela, varijacije δ~rS i δ~θ su nezavisne varijacije, odn.proizvoljni ∞ mali i me�usobno nezavisni vektori:

δ~rS ·

(d ~K

dt− ~FR

)+ δ~θ ·

(d ~D(S)

dt− ~M(S)

R

)= 0 (23)

Jedna£ina (23) je zbir dva skalarna proizvoda

U svakom od skalarnih proizvoda �guri²e po jedan proizvoljni∞ mali vektor i kona£an vektor (prikazan u zagradama)

Da bi skalrana jedna£ina (23) bila zadovoljena, moraju vektoriuz δ~rS i δ~θ, svaki za sebe, da budu jednaki nuli






Zakoni o promeni koli£ine kretanja i momenta k.k.

Prema tome, jedna£ina (23) se svodi na dve vektorskejedna£ine:

d ~K

dt− ~FR = 0 kao i

d ~D(S)

dt− ~M(S)

R = 0 (24)

U slu£aju prikaza Op²te jedn. dinamike u obliku (21), dobija se

m~aS − ~FR = 0 kao id ~D(S)

dt− ~M(S)

R = 0 (25)






Zakoni o promeni k.k. i momenta k.k.

Op²ta jedna£ina dinamike za kruto telo je jedna skalarnajedna£ina, ali u njoj �guri²e 6 proizvoljnih ∞ malihparametara:

- Virtuelno pomeranje referentne ta£ke A ili S (recimo S) . . . 3:

δ~rS = {δxS , δyS , δzS}

- Virtuelna rotacija tela . . . 3:

δ~θ = {δθξ, δθη, δθζ}

Kako su δ~rS i δ~θ proizvoljni vektori, u skalarnim proizvodimavektori uz δ~rS i δ~θ moraju da budu jednaki nuli, svaki za sebe







Time se dobija Zakon o promeni koli£ine kretanja

d ~K

dt= ~FR

ili, alternativno, Zakon o kretanju centra mase tela

m~aS = ~FR

kao i Zakon o promeni momenta koli£ine kretanja

d ~D(S)

dt= ~M(S)

R







U slu£aju sfernog kretanja Op²ta jedna£ina dinamike je data sa(22): nepokretna ta£ka A je redukciona ta£ka

Dobija se Zakon o promeni momenta koli£ine kretanja zata£ku A:

d ~D(A)

dt= ~M(A)

R

Kao i za materijalnu ta£ku i sistem materijalnih ta£aka, moguda se, iz osnovnih oblika zakona, izvedu diferencijalni iintegralni oblici







Mnoºenjem zakona u Osnovnom obliku sa dt dobija sediferencijalni oblik

Integracijom zakona u diferencijalnom obliku dobija seintegralni oblikZakon o promeni koli£ine kretanja:

- diferencijalni oblik d ~K = d~IR = ~FR dt- integralni oblik ~K2 − ~K1 = ~IR(t1, t2)

Zakon o promeni momenta koli£ine kretanja:

- diferencijalni oblik d ~D(S) = d ~HR = ~M(S)R dt

- integralni oblik ~D(S)2 − ~D

(S)1 = ~H(S)

R (t1, t2)







Za mehani£ki izolovan sistem je ~FR = 0 i ~M(S)R = 0

Tada vaºe Zakon o odrºanju koli£ine kretanja:

~FR = 0 ⇒ ~K = const

kao i Zakon o odrºanju momenta koli£ine kretanja:

~M(S)R = 0 ⇒ ~D

(S)R = const





Sadrºaj









Dalamberov princip za kruto telo

Dalamberov princip:Tokom kretanja slobodnog krutog tela, aktivne, reaktivne iinercijalne sile su u "ravnoteºi"

De�nisanjem inercijalnih sila problem kretanja se transformi²eu problem ravnoteºe sila

Stati£ka analiza je jednostavnija od dinami£ke

Inercijalne sile su �ktivne sile (nemaju izvor u drugim telima)






Dalamberov princip za kruto telo

Iz Zakona o promeni koli£ine kretanja i momenta koli£inekretanja moºe da se formuli²e Dalamberov princip za kruto telo

m~aS = ~FR ⇒ ~FR + (−m~aS) = 0d ~D(S)

dt = ~M(S)R ⇒ ~M(S)

R + (−d ~D(S)

dt ) = 0

gde su −m~aS i −d~D(S)

dt, redom, glavni vektor inercijalnih

sila i glavni vektor momenata inercijalnih sila, odn. glavnivektor inercijalnih spregova





d'Alembert-ov princip, raspodeljeno inercijalnooptere¢enje

�tap (jednodimenzionalno telo)

Elementarna inercijalna sila:

d~f in = −~adm = −~a(s)µ(s)ds

gde je µ(s) - masa po jedinici duºine.







Raspodeljeno inercijalno optere¢enje po jedinici duºine ²tapa:

~pin(s) =d~f in

ds== −~a(s)µ(s)

~pin(s) = −~a(s)mL

kod homogenih ²tapova.











Sadrºaj









Ojlerove jedna£ine - sferno kretanje

U slu£aju sfernog kretanja Zakon o promeni momenta koli£inekretanja za nepokretnu ta£ku A predstavlja diferencijalnejedna£ine kretanja

Pogodnija (skalarna) forma ovih jedna£ina su Ojlerovejedna£ine

Vektor momenta koli£ine kretanja tela za nepokretnu ta£ku Aje dat (u materijalnim koordinatama) sa

~D(A) = D(A)ξ

~λ+D(A)η ~µ+D

(A)ζ ~ν ili {D}(A) = [J ](A) {ω}







Izvod po vremenu momenta koli£ine kretanja je dat sa(difereciranje u sistemu pokretnih osa)

d ~D(A)

dt=

∗~D + ~ω × ~D(A)

Vektor ugaone brzine je u materijalnim koordinatama dat sa~ω = {p, q, r}Za materijalne ose u nepokretnoj ta£ki A se biraju glavne oseinercije (1), (2) i (3) sa ortovima ~I, ~J, ~K

Matrica inercije za glavne ose je dijagonalna matrica







Vektor ugaone brzine u odnosu na glavne ose je~ω = {ω1, ω2, ω3}Vektor momenta koli£ine kretanja je ~D(A) = {D1, D2, D3} iliu matri£nom obliku {D} = [J ]{ω} (podrazumeva seredukciona ta£ka A):

D1

D2

D3

=

J1J2

J3

ω1

ω2

ω3

=

J1ω1

J2ω2

J3ω3







Izvod po vremenu momenta koli£ine kretanja je dat kao zbirlokalnog izvoda i izvoda usled rotacije materijalnog sistema:

d ~D(A)

dt=

∗~D + ~ω × ~D(A)

pa se izra£unavanjem dobija:

d ~D(A)

dt= J1ω̇1

~I + J2ω̇2~J + J3ω̇3

~K

+ ω2ω3(J3 − J2)~I + ω3ω1(J1 − J3) ~J+ ω1ω2(J2 − J1) ~K








d ~D(A)

dt= ~M(A)

R / ·~I~J~K

se projektuje na glavne ose u ta£ki A, pa se dobijaju Ojlerovediferencijalne jedna£ine za sferno kretanje krutog tela:

J1ω̇1 − ω2ω3(J2 − J3) =M(A)R1

J2ω̇2 − ω3ω1(J3 − J1) =M(A)R2

J3ω̇3 − ω1ω2(J1 − J2) =M(A)R3


Documents

TEHNICKA MEHANIKA 2 - grf.bg.ac.rs · PDF fileKoli£ina kretanja i momenat oli£inek kretanja Zakon o romenip oli£inek kretanja i momenta k.k. Diferencijalne jedna£ine kretanja krutog