Teoría de Contacto Mecanismos de Friccion

ELEMENTOS DE MQUINAS Y VIBRACIONES. Parte 1: ELEMENTOS DE MQUINASELEMENTOS DE MQUINAS Y VIBRACIONES. Parte 1: ELEMENTOS DE MQUINAS

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TEMA 4TEMA 4Teora de Contacto MecanismosTeora de Contacto Mecanismos

de Friccin y Adherenciade Friccin y AdherenciaObjetivos: Introducir los conceptos bsicos que gobiernan el contacto entre dos superficies; describir los

mecanismos que rigen el comportamiento de la friccin seca y la adherencia entre superficies; descripcin deelementos de mquinas que hacen uso de los mecanismos de friccin: frenos de tambor, frenos de disco,

embragues de disco, embragues cnicos, cintas, tornillos de transmisin de potencia, etc.

Problemas: clculo y diseo de elementos de mquinas que hagan uso de mecanismos de friccin: frenos detambor, frenos de disco, embragues de disco, embragues cnicos, cintas, tornillos de transmisin de potencia, etc.

ObjetivosObjetivos: Introducir los conceptos bsicos que gobiernan el contacto entre dos superficies; describir losmecanismos que rigen el comportamiento de la friccin seca y la adherencia entre superficies; descripcin de

elementos de mquinas que hacen uso de los mecanismos de friccin: frenos de tambor, frenos de disco,embragues de disco, embragues cnicos, cintas, tornillos de transmisin de potencia, etc.

ProblemasProblemas: clculo y diseo de elementos de mquinas que hagan uso de mecanismos de friccin: frenos detambor, frenos de disco, embragues de disco, embragues cnicos, cintas, tornillos de transmisin de potencia, etc.

ELEMENTOS DE MQUINAS Y VIBRACIONES. Parte 1: ELEMENTOS DE MQUINASELEMENTOS DE MQUINAS Y VIBRACIONES. Parte 1: ELEMENTOS DE MQUINAS - 4.- 4.22 - -

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Tema 4TEORA DE CONTACTO

Tema 4Tema 4TEORA DE CONTACTOTEORA DE CONTACTO

Departamento de Ingeniera Mecnica, Energtica y de MaterialesIngeniaritza Mekanikoa, Energetikoa eta Materialeen Saila


IndiceIndice

q Teora de contactoContacto normalContacto tangencialRozamiento y desgaste

q Elementos de mquinasTornillos de transmisin de potenciaFrenos de zapataFrenos y embragues cnicosFrenos y embragues de discoFrenos de cinta


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Teora de Contacto (I)Teora de Contacto (I)

q La teora de contacto estudia fenmenos macroscpicosresultantes de la interaccin entre superficies de slidos encontacto:RozamientoDesgasteAdhesin

q Son fenmenos importantes porque producen:Fallos de maquinaraPrdidas energticasCostes de mantenimiento


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Teora de Contacto (II)Teora de Contacto (II)q La teora de contacto trata dos problemas:Estudio geomtrico (cinemtico) del contactoEstudio de las fuerzas presentes en el contacto: Fuerzas normales: problema normal

Las deformaciones en los materiales se deben a las fuerzas normales Estudiado por Hertz

Fuerzas tangenciales: problema tangencial Las deformaciones en el contacto se deben a fuerzas tangenciales Se debe tener en consideracin el rozamiento; se trata de un problema no lineal Teoras para casos particulares desarrolladas por: Carter, Johnson y Haines y

Ollerton Ambos problemas se abordan de forma independiente Teora general del contacto desarrollada por Kalker


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Teora de Contacto (III)Teora de Contacto (III)


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Problema NormalProblema Normalq El problema normal pretende determinar:La superficie de contactoLa distribucin de

presiones en la superficiede contacto

q Se aborda el problema endos etapas:Presin entre dos cuerpos

esfricos en contactoCaso general de presin

entre dos cuerpos en contacto


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Cuerpos Esfricos (I)Cuerpos Esfricos (I)q Sean dos cuerpos esfricos como se indica:Radios: R1 y R2O: Punto de contactoM y N: puntos de

las esferas situados sobrela misma verticalz1 y z2: alturas sobre

el plano tangenter: distancia de M y N

al eje de simetrar


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Cuerpos Esfricos (II)Cuerpos Esfricos (II)

q Las alturas z1 y z2 se calculan como:

luego,

( )2

cos12

111q

q RRz @-=

qq 11 sen RRr @=

2

2

1

2

21 22 Rr

Rr

zz +=+


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Cuerpos Esfricos (III)Cuerpos Esfricos (III)

q Al aplicar una fuerza P normal al plano tangente:Se produce una

deformacin local en OEl contacto se produce en

una superficie de contactoLos centros de las esferas

se aproximan una distancia a


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Cuerpos Esfricos (IV)Cuerpos Esfricos (IV)

q Los puntos M y N se aproximanSi los puntos M y N estn en la superficie de contacto,

sufren deformaciones locales w1 y w2.Se verifica la relacin:

luego, se cumple la relacin2121 )( zz +=+- wwa

22

21

212121 2)( rr

RRRR

zz baaaww -=+

-=+-=+


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Cuerpos Esfricos (V)Cuerpos Esfricos (V)

qClculo de las deformaciones locales w1 y w2Se considera r


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Cuerpos Esfricos (VI)Cuerpos Esfricos (VI)

q En una fuerza distribuida q, la deformacin es:

q Se supone una distribucin simtrica de presiones q0: presin mxima a: radio de la superficie de contacto z: altura de una semi-esfera apoyada

sobre la superficie de contacto

( )

-=

EsqdA

M pn

w21

zaq

q 0=


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Cuerpos Esfricos (VII)Cuerpos Esfricos (VII)

qConsiderando el elemento de rea representado:( )

-

=s

qsdsdEM

yp

nw

21

( )

-= y

pn

w qdsdEM

21

( )

-= y

pn

w zdsdaq

EM0

21


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Cuerpos Esfricos (VIII)Cuerpos Esfricos (VIII)

q Sustituyendo las expresiones, se obtiene:

q Integrando:

( ) ( ) 202

22

1

21

2111

rzdsdaq

EEbay

pn

pn

ww -=

-+

-=+

( )yp 22200 sen2

raaq

zdsaq

-=

( ) ( ) 220

22221

0 sen rdrakkaq

bayyp p

-=-+

( ) ( ) 2222

021 24

rraa

qkk ba

p-=-+

( )1

21

11

Ek

pn-

=

( )2

22

21

Ek

pn-

=


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Cuerpos Esfricos (IX)Cuerpos Esfricos (IX)

q Se han de cumplir lassiguientes relaciones:

q La presin mxima q0viene dada por:

( )2

2

021a

qkkp

a +=

( )b

p4

2

021 qkka +=

== 30 3

2a

aq

qdAP p

mediaqaP

q23

23

20 == p


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Cuerpos Esfricos (X)Cuerpos Esfricos (X)

qConocida la superficie de contacto y la distribucinde presiones, se calculan:Tensiones normales (en la superficie)

Tensiones tangenciales(en la superficie)

0qz -=s ( ) 221 0qyx nss +-==

( ) 2zyyz sst -=( ) 2zxxz sst -=


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Caso General (I)Caso General (I)

q Sean dos cuerpos cualquiera como se indicaO: Punto de contactoM y N: puntos de

las superficies sobrela misma verticalz1 y z2: alturas sobre

el plano tangenter: distancia de M y N

al eje zr


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Caso General (II)Caso General (II)

q Las alturas z1 y z2 se calculan como:

luego,

111211

2111 yxCyBxAz ++=

( ) ( ) 22122121 yBBxAAzz +++=+

222222

2222 yxCyBxAz ++=


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Caso General (III)Caso General (III)

q Los puntos M y N se aproximanSi los puntos M y N estn en la superficie de contacto,

sufren deformaciones locales w1 y w2.Se verifica la relacin:

luego, se cumple la relacin2121 )( zz +=+- wwa

222121 )( ByAxzz --=+-=+ aaww


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Caso General (IV)Caso General (IV)

q Se supone una distribucinsimtrica de presiones q0: presin mxima z: altura de un semi-elipsoide

apoyada sobre la superficie decontacto

a y b: semi-ejes del elipsoide

22

0 1

-

-=

by

axqq


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Caso General (V)Caso General (V)

q La presin mxima q0 viene dada por:

q La deformacin en un punto de la superficie decontacto se calcula como:

=== abqzdAqqdAP p3

200

mediaqabP

q23

23

0 == p

( )

-=

EsqdA

M pn

w21


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Caso General (VI)Caso General (VI)

q Sustituyendo las expresiones anteriores, se obtiene:

q Integrando:

( )( ) ( )

2222

22

021

1

23

ByAxdudvvyux

bv

au

abq

kk --=-+-

-

-

+ ap

( )( )

3/1

21

43

++

=BAkkP

map

( )( )

3/1

21

43

++

=BAkkP

nbp


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Caso General (VII)Caso General (VII)

q Los parmetros de la solucin se obtienen de la tablasiguiente:

( )( )

3/1

21

43

++

=BAkkP

map ( )

( )

3/1

21

43

++

=BAkkP

nbp

q 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90m 2,731 2,397 2,136 1,926 1,754 1,611 1,486 1,378 1,284 1,202 1,128 1,061 1,000n 0,493 0,530 0,567 0,604 0,641 0,678 0,717 0,759 0,802 0,846 0,893 0,944 1,000

BAAB

+-

=qcos


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Caso General (VIII)Caso General (VIII)

q Con la solucin anterior, se puede estudiar el caso de doscilindros de ejes paralelos

siendo P la carga por unidad de longitud

021

bqP p=

bP

qp2

0 =

( ) 2/1

21

21214

+

+=

RRRRkkP

b


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Problema Tangencial (I)Problema Tangencial (I)q El problema tangencial pretende determinar: La relacin entre las velocidades y las fuerzas

tangenciales Calculadas estas relaciones y usando las

ecuaciones de la elasticidad se calculan lastensiones en el material

Se consideran los slidos en contacto por la accinde una fuerza normal y con un movimiento relativo

q Diversas aproximaciones Carter Johnson Haines y Ollerton Solucin general: Kalker


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Problema Tangencial (II)Problema Tangencial (II)q Las velocidades tangenciales

de los slidos no son iguales:no hay contacto de rodadura

q El deslizamiento se cuantificacon un parmetro adimensional:el pseudo-deslizamiento

( ) 2/2121

VVVV

x +-=n


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Aproximacin de Aproximacin de Carter Carter (I)(I)

q Considera el caso de doscilindros de ejes paralelos

q Se produce deslizamiento en ladireccin de rodadura

q Divide la zona de contacto endos partes: Zona de adhesin Zona de deslizamiento

q La distribucin de fuerzas derozamiento se obtiene comodiferencia de dos distribucionescirculares


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Aproximacin de Aproximacin de Carter Carter (II)(II)

qDimensiones de las zonas de deslizamiento yadhesin

siendo

m es el coeficiente de rozamiento y a el semiancho de la zona de contacto

( ) 2/2121

VVVV

x +-=n

12

-=aa

b xm

rn

+=

21

11411

RRr


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( )

2

22

4a

baa

NFx p

pm

--

=

Aproximacin de Aproximacin de Carter Carter (III)(III)

q En el caso de rodadura pura, no hay zona dedeslizamiento (nx=0)

q En el caso de deslizamiento puro, la zona deadhesin desaparece por completo

q La fuerza total de rozamiento vara entre 0 y mN

40


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Aproximacin de Aproximacin de JohnsonJohnson

q Generaliza la teora de Carterpara pseudo-deslizamientoslongitudinal y transversal yspin nulo

q Aproxima la zona deadhesin por un rea elptica

q La distribucin de fuerzas derozamiento es diferencia dedos distribuciones semi-elipsoidales

Experimentalmente, se comprueba quela parte anterior de la zona de contactono responde a esta teora


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Aproximacin deAproximacin deHainesHaines y y Ollerton Ollerton (I)(I)

q Estudian el problema tangencialconsiderando deslizamiento enla direccin de rodadura

q Consideran la teora de Carteraplicable en lminas de la zonade contacto paralelas a ladireccin de rodadura


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Aproximacin deAproximacin deHainesHaines y y Ollerton Ollerton (II)(II)

q De la teora de Carter

suponiendo constantes nx y r, se tiene

q El lmite posterior de la zona de adhesin se mantiene adistancia constante del lmite posterior de la zona decontacto

12

-=aa

b xm

rnab x -=

mrn

2

constanteab x ==+mrn

2


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Teora General de Teora General de KalkerKalker (I) (I)

q La teora general de Kalker pretende relacionar las pseudo-deslizamientos con las fuerzas tangenciales y el momentosegn z.

q La resolucin del problema normal proporciona lasdimensiones de la superficie de contacto y la distribucinnormal de presiones. Los problemas normal y tangencial sesuponen independientes.

q La compresin y la friccin producen deformaciones queafectan a las velocidades de deslizamiento.


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Teora General de Teora General de KalkerKalker (II) (II)

Velocidad de deslizamiento

Deformaciones

Distribucin de fuerzas de rozamiento

Fuerzas tangenciales y

momento normal

Ecuaciones de la elasticidad

Cinemtica

Rozamiento

Ecuaciones deequilibrio


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Teora General de Teora General de KalkerKalker (III) (III)

qCinemtica

( )

( )t

udtdx

xu

xVv

tu

dtdx

xu

yVv

yyyxy

xxxx

+

++=

+

+-=

fn

fn

txV

+

-=uu

svrrrr

ydfysry

xdfxsrx

vvv

vvv

..

..

+=

+=


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Teora General de Teora General de KalkerKalker (IV) (IV)

q Ecuaciones del rozamientoZona de adhesin

Zona de deslizamiento

( )

( )

+

++==

+

+-==

tu

dtdx

xu

xVv

tu

dtdx

xuyVv

yyyxy

xxxx

fn

fn

0

0qmP

r

vvP rrr

qm-=


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Teora General de Teora General de KalkerKalker (V) (V)

q Ecuaciones de equilibrioFuerzas tangenciales

Momento normal

W=

W=

W

W

dpF

dpF

yy

xx

W

W= dM z prrr


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Teora General de Teora General de KalkerKalker (VI) (VI)

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Teoría de Contacto Mecanismos de Friccion