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Segundo Ao BsicoSEGUNDA UNIDAD DIDCTICA
Autores
Problemas aditivos y estudio de tcnicas para
restar
Matemtica
Joaquim Barb F. Lorena Espinoza S.
Enrique Gonzlez L. Dinko Mitrovich G.
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I Presentacin 6
II Esquema 12
III Orientaciones para el docente: estrategia didctica 14
IV Planes de clases 32
V Prueba y Pauta 38
VI Espacio para la refl exin personal 41
VII Glosario 42
VIII Fichas y materiales para los alumnos 45
NDICE
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5
-
5Aprendizajes previos
Componen y descomponen cannicamente nmeros de dos cifras. Dicen
la secuencia numrica tanto en forma ascendente, como descendente
de
1 en 1, de 5 en 5 y de 10 en 10. Calculan sumas de dos nmeros de
dos cifras en que la suma no exceda de
100. Calculan restas en que el minuendo tiene dos cifras y el
sustraendo es un mlti-
plo de 10. Por ejemplo 46 30. Manejan las combinaciones aditivas
bsicas que suman 10; dgito ms 1; dgito
par ms 2; dgito impar ms 2; los dobles de los nmeros del 1 al
10. Suman y restan a cualquier nmero de dos cifras, un nmero menor
que 4.
Aprendizajes esperados para la Unidad
Plantean una adicin o una sustraccin, para encontrar informacin
no conocida a partir de informacin disponible y resuelven problemas
aditivos simples, directos, inversos, de composicin y de cambio, en
que intervienen nmeros de hasta dos cifras, empleando
procedimientos de clculo basados en la descomposicin y composicin
cannica de los nmeros y evocando combinaciones aditivas bsicas.
Amplan el dominio de procedimientos de clculo mental,
apropindose de nuevas com-binaciones aditivas bsicas que suman ms
de 10 y realizan clculos escritos utilizando descomposiciones
aditivas.
En la resolucin de problemas profundizan aspectos relacionados
con la bsqueda y apli-cacin de procedimientos personales y efi
caces para resolver problemas.
Aprendizajes esperados del Programa
Plantean una adicin o una sustraccin para encontrar informacin
no conocida a partir de informacin disponible y resuelven problemas
de tipo aditivo, empleando diferentes procedimientos de clculo.
(Aprendizaje Esperado 5, Primer Semestre)
Amplan el dominio de procedimientos de clculo mental,
apropindose de nuevas combinaciones aditivas y realizan clculos
escritos utilizando descomposiciones aditi-vas. (Aprendizaje
Esperado 6, Primer Semestre)
En la resolucin de problemas que ponen en juego los contenidos
del semestre, profun-dizan aspectos relacionados con la bsqueda y
aplicacin de procedimientos personales para resolver problemas.
(Aprendizaje Esperado 8, Primer Semestre)
SEGUNDA UNIDAD DIDCTICAProblemas aditivos y estudio de tcnicas
para restar
SEGUNDO BSICO MATEMTICA
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6 7
1.
PRESENTACINI
E l problema matemtico fundamental de esta Unidad gira en torno
al estudio de problemas aditivos, esto es, problemas que se
resuelven con una adicin o con una sustraccin. Interesa que los
nios reconozcan la operacin que resuelve elproblema y que, adems,
escojan procedimientos efi caces de acuerdo a las relaciones entre
los nmeros para realizar los clculos. En esta unidad se enfatizan
las tcnicas de clculo de sustracciones basadas en el conteo hacia
atrs, en la descomposicin aditiva, incluyendo la cannica, del
sustraendo y en la relacin inversa entre la adicin y sustrac-cin.
El mbito numrico en que se desarrollan estos problemas es hasta
100.
Tareas matemticas
Las tareas matemticas que nias y nios realizan para lograr los
aprendizajes esperados de esta unidad son:
Resuelven problemas aditivos simples directos e inversos, de
composicin y de cambio.
Calculan sustracciones del tipo 80-10, 70-20, 50-5, 70-3, 23-7,
80-7, 46-12, 80-17, 46-18.
Calculan adiciones de dos nmeros de hasta dos cifras.
Dada una suma o una resta, plantean las sumas y restas asociadas
en las que intervienen los mismos nmeros.
Variables didcticas
Las variables didcticas que se consideran para graduar la
complejidad de las tareas matemticas que nias y nios realizan
son:
mbito numrico: hasta 100.
Tipo de accin involucrada en el enunciado del problema: del tipo
agregar-quitar y del tipo avanzar-retroceder (problemas de cambio),
del tipo juntar- separar (problemas de composicin).
Relaciones entre los nmeros:
En las adiciones: nmeros en que la suma de sus unidades es menor
que 10, igual a 10, o mayor que 10.
2.
-
6 7
En las sustracciones: un nmero de dos cifras y un nmero de una
cifra en que las unidades del minuendo son mayores o iguales que
las del sustraen-do (sin reserva); y un nmero de dos cifras con un
mltiplo de 10.
Presentacin del problema: enunciado verbal (oral o escrito),
dibujo, esquema, juego.
Tipo de enunciado verbal: redaccin sintetizada que favorece la
lectura y com-prensin por parte de los nios; redaccin ms
compleja.
Procedimientos
Los procedimientos que los nios y nias construyen y se apropian
para realizar las tareas matemticas son:
En la resolucin de los problemas: Se apropian gradualmente de
una estrate-gia de resolucin de problemas que incluye las
siguientes fases:
Reconocer el contexto en que se presenta el problema.
De qu se trata el problema? Lo expresan con sus propias
palabras.
Identifi car los datos y la incgnita.
Qu nos dice el problema? Qu nos pide averiguar?
Reconocer la relacin aritmtica entre datos e incgnita para
decidir qu operacin hay que hacer para resolver el problema.
Qu relacin hay entre los datos y la incgnita? Cmo podemos
representarla?
Qu operacin hay que hacer para averiguar lo que nos piden?
Realizar la operacin.
Cmo podemos efectuar los clculos?
Interpretar el resultado obtenido en el contexto del
problema.
Cul es la respuesta a la pregunta del problema?
En los clculos:
Para sumar, se espera que nios y nias utilicen procedimientos
basados en la descomposicin y composicin cannica de nmeros de dos
cifras. Para restar, se espera que nios y nias utilicen tcnicas de
clculo basadas en el conteo hacia atrs, en la descomposicin aditiva
del sustraendo y en la relacin inversa entre la adicin y
sustraccin.
Utilizan escritura de rbol para facilitar las descomposiciones y
los clculos.
3.
Presentacin
-
8 9
Fundamentos centrales
Para resolver un problema es necesario, a partir de la
comprensin de la situa-cin planteada en l y de la identifi cacin de
datos e incgnita, reconocer la relacin aritmtica entre ellos,
decidir la operacin que debe realizarse para responder al problema
e interpretar el resultado obtenido en el contexto del
problema.
Para sumar dos nmeros, se descompone cada uno de ellos en forma
cannica y se suman los mltiplos de 10; luego, los nmeros de una
cifra. Esto se justifi ca por la propiedad asociativa y conmutativa
de la adicin. La asociatividad per-mite agrupar los sumandos de
diferentes maneras, sin que el resultado cambie. La conmutatividad
de la adicin permite cambiar el orden de los sumandos, sin alterar
el resultado.
Es posible calcular en forma efi caz tipos de sumas contando
hacia adelante de 1 en 1, de 5 en 5 o de 10 en 10 a partir de un
sumando. Es posible calcular en forma efi caz tipos de restas
contando hacia atrs de 1 en 1, de 5 en 5 o de 10 en 10 a partir del
minuendo.
La reversibilidad de la adicin y sustraccin permite encontrar el
resultado de una resta a partir del sustraendo contando hasta
llegar al minuendo. Se propo-ne utilizar esta tcnica cuando la
diferencia entre los nmeros es menor que 5.
Dados tres nmeros donde uno de ellos es la suma de los otros
dos, pueden establecerse tres relaciones de tipo aditivo entre
ellos. Por ejemplo, 5, 6 y 11. Las relaciones son: 5 + 6 = 11, 6 +
5 = 11, 11 - 5 = 6 y 11 - 6 = 5.
Descripcin global del proceso
El proceso parte en la primera clase proponiendo a nias y nios
problemas aditi-vos de cambio en que se estudian tcnicas de clculo
basadas en el conteo hacia atrs y hacia adelante de 1 en 1, de 5 en
5 o de 10 en 10.
En la segunda clase el proceso avanza estudiando problemas
aditivos de compo-sicin y de cambio. A partir de esta clase en
adelante, se profundiza en el estudio del clculo de restas. Para
realizar los clculos, descomponen en forma aditiva el sustraendo y
luego se realizan restas parciales. Los tipos de restas y sumas que
se estudian son: 23 - 7,
4.
5.
Presentacin
-
8 9
80 - 7, 46 - 12 y 46 + 32. Se utiliza la escritura de rbol para
facilitar la escritura de las descomposiciones de los nmeros y los
clculos.
En la tercera clase los nios profundizan su conocimiento sobre
la estrategia de resolucin de problemas, resolviendo problemas
aditivos de composicin y de cambio, en que hay que calcular restas
con reserva de dos nmeros de dos cifras. Los tipos de restas y
sumas que se estudian son: 80 - 17, 46 - 18 y 46 + 38. Para
realizar los clculos, descomponen en forma aditiva el sustraendo y
luego se realizan restas parciales. Se utiliza y se profundiza en
la escritura de rbol para facilitar la escritura de las
descom-posiciones de los nmeros y los clculos. Los enunciados de
los problemas tienen un grado de difi cultad levemente mayor que en
las clases anteriores. Los nios generan problemas a partir de
contextos dados y formulan preguntas frente a cierta informacin
dada. Dado un determinado contexto y, frente a un problema dado,
identifi can la ope-racin que permite resolverlo entre un conjunto
de operaciones.
En la cuarta clase nios y nias resuelven problemas aditivos de
composicin y de cambio, en los que se estudia la reversibilidad de
la adicin y la sustraccin. Esta relacin estar al servicio del
clculo de algunos tipos de sumas y de restas. Se espera que los
ni-os reconozcan que para calcular, por ejemplo, restas del tipo
46-3 es conveniente recu-rrir al conteo hacia atrs a partir de 46.
En cambio, para calcular restas del tipo 46-43 es conveniente
contar hacia adelante a partir de 43. Tambin se estudian tros de
nmeros que se relacionan aditivamente. Por ejemplo, 4, 5 y 9. En
esta clase, a diferencia de las anteriores, en que solo se estudian
problemas directos, se agregan al estudio algunos problemas
inversos.
El proceso se completa en la quinta clase trabajando y
profundizando el dominio de los aspectos de la estrategia de
resolucin de problemas estudiada en las clases ante-riores, y de la
tcnica de clculo de adiciones y sustracciones basada en la
descomposi-cin aditiva de los nmeros; se profundiza en la escritura
de rbol y se realiza un trabajo de sistematizacin y articulacin de
los conocimientos adquiridos.
En la sexta clase se aplica una prueba de la unidad que permite
verifi car los aprendizajes matemticos logrados por cada nio y nia,
y los que habr que retomar.
Sugerencias para trabajar los aprendizajes previos
Antes de dar inicio al estudio de la Unidad, es necesario
realizar un trabajo sobre los aprendizajes previos. Interesa que
nios y nias activen los conocimientos necesarios para que puedan
enfrentar adecuadamente la Unidad y lograr los aprendizajes
espera-dos en ella. El profesor debe asegurarse de que todos los
nios:
6.
Presentacin
-
10 11
Componen y descomponen cannicamente nmeros de dos cifras.
La profesora presenta una actividad que pone en juego la
descomposicin can-nica de los nmeros. Por ejemplo, dice un nmero y
pide que los nios escriban una suma que da ese nmero. Dice treinta
y seis, se espera que los nios escriban 30 + 6. La actividad puede
variar si ahora dice una suma de un mltiplo de 10 con un nmero de
una cifra y los nios escriben el resultado de esa suma. Por
ejemplo, al decir sesenta ms tres, se espera que los nios escriban
63.
Dicen la secuencia numrica tanto en forma ascendente como
descendente de 1 en 1, de 5 en 5 y de 10 en 10.
Para verificar si los nios dicen estas secuencias, el profesor
puede pedirles que todo el curso las diga en voz alta a partir de
1, de 5 o de 10. Luego, puede pedir que continen la secuencia
ascendente o descendente a partir de un nmero cualquiera en el caso
de la secuencia de 1 en 1 o a partir de un mltiplo de 5 o de 10 en
el caso de las secuencias de 5 en 5 y de 10 en 10. Por ejemplo,
decir la secuencia ascendente de 5 en 5 a partir de 30, o la
secuencia descendente de 10 en 10 a partir de 70, etc.
Calculan sumas de dos nmeros de dos cifras en que la suma no
exceda de 100.
El profesor plantea sumas de este tipo y pide a los nios que
justifiquen los proce-dimientos utilizados. Por ejemplo, 34+23, se
espera que los nios puedan utilizar el pro-cedimiento basado en la
descomposicin cannica de uno o de los dos sumandos. Se espera que
los nios puedan usar la escritura de rbol utilizada en la unidad
anterior.
Calculan restas en que el minuendo tiene dos cifras y el
sustraendo es un mltiplo de 10.
El profesor plantea restas de este tipo y pide a los nios que
justifiquen los proce-dimientos utilizados. Por ejemplo, para
calcular 4630, se espera que los nios puedan utilizar el
procedimiento basado en la descomposicin cannica del minuendo. Se
res-tan los mltiplos de 10 y a este resultado se suma la cifra de
las unidades del minuendo. Se espera que los nios puedan usar la
escritura de rbol utilizada en la unidad anterior. Tambin pueden
contar hacia atrs de 10 en 10 a partir de 46. 46, 36, 26, 16.
Manejan las combinaciones aditivas bsicas que suman 10; dgito ms
1; dgito par ms 2; dgito impar ms 2; los dobles de los nmeros del 1
al 10.
El profesor plantea en forma oral sumas de estos tipos. Se
espera que los nios no usen papel y lpiz y puedan decir el
resultado en forma inmediata. Por ejemplo, 4 + 6 , 7 + 1, 1 + 9, 4
+ 2, 6 + 2, 5 + 5, 8 + 8, 6 + 6, etc. Si hubiera alguna suma que no
fuera contestada inmediatamente, el profesor pide a los nios que
hagan los clculos usando lpiz y papel.
Presentacin
-
10 11
Sumar y restar a cualquier nmero de dos cifras un nmero menor
que 5.
Se sugiere que el profesor plantee sumas y restas de este tipo y
pida a los nios que justifiquen los procedimientos utilizados. Por
ejemplo, que calculen 34 + 3, 68 + 3, 58 + 4, 34 - 3, 76 - 4, etc.
Se espera que los nios utilicen el sobreconteo en el caso de las
sumas, y el conteo hacia atrs en el caso de las restas.
Presentacin
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12 13
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-
14 15
ORIENTACIONES PARA EL DOCENTE:ESTRATEGIA DIDCTICA
III
En esta Unidad nios y nias continan progresando en su apropiacin
de una es-trategia de resolucin de problemas aditivos, en la
profundizacin de procedimientos para sumar y en la adquisicin de
procedimientos para restar. De esta forma progresan en la
conceptualizacin de la adicin y de la sustraccin, considerndolas
como opera-ciones inversas entre s. Para ello resuelven problemas
aditivos, directos, simples, inversos, de composicin y de cambio,
con nmeros de hasta dos cifras.
Recordemos que un problema es aditivo si para resolverlo hay que
realizar una suma o bien una resta. Estos problemas constituyen una
valiosa oportunidad de aprendizaje para los nios, ya que al no ser
evidente la operacin que resuelve el problema, de-ben analizar las
relaciones que hay entre datos e incgnitas para poder reconocer qu
operacin realizar para resolverlos. De este modo, construyen un
signifi cado amplio y profundo de ambas operaciones, comprendiendo
la relacin inversa que hay entre ellas. En esta unidad se comienza
estudiando en las primeras tres clases problemas directos cuyos
enunciados permiten deducir fcilmente la operacin que los resuelve
y, en las clases siguientes, se incorporan algunos problemas
inversos.
En esta Unidad, los nios continan apropindose de una estrategia
de resolucin de problemas. Una estrategia de resolucin de problemas
incluye las siguientes fases:
Comprender el problema. Los nios leen por s mismos o escuchan la
lectura he-cha por un compaero o por el profesor. Lo reformulan con
sus palabras para mostrar que lo han comprendido.
Identifi car datos e incgnita. Responden a preguntas, al
principio planteadas por el profesor, del tipo: Qu nos dice el
problema? Qu tenemos que averiguar?
Decidir qu operacin utilizar para resolver el problema. Es
fundamental que sean los nios quienes decidan si suman o restan,
aunque se equivoquen. En mu-chos casos, esta decisin requiere que
los nios se apoyen en un bosquejo o diagrama para representarse la
situacin y as reconocer la relacin aritmtica que existe entre los
datos y la incgnita. Es importante, adems, que puedan fundamentar
su decisin.
Realizar la operacin. Los nios y nias disponen de diversas
tcnicas. Se espera que expliquen las tcnicas que utilizan.
-
14 15
Interpretar el resultado de la operacin en el contexto del
problema. Nias y nios identifi can la respuesta a la pregunta que
fue formulada en el enunciado del problema.
Del mismo modo, la experiencia de generar problemas bajo
condiciones dadas, contribuye a la comprensin ms profunda de los
conocimientos matemticos involu-crados. En este sentido, la unidad
propone que los nios formulen problemas a partir de un contexto y
una operacin dados. Asimismo, que frente a cierta informacin dada,
formulen una pregunta que transforme la situacin en un
problema.
Paralelamente, se van apropiando de procedimientos ms efi caces
para sumar y restar. Se espera que utilicen procedimientos basados
en la descomposicin, compo-sicin aditiva y cannica de nmeros de dos
cifras. La secuencia de casos propuestos, genera la necesidad de ir
adaptando estos procedimientos a los diversos tipos de rela-ciones
entre los nmeros con los que se opera en las adiciones.
A continuacin aparecen descritas cada una de las clases de la
unidad, detallando las tareas matemticas que se realizan en cada
clase y las actividades que se efectan para ello; los conocimientos
matemticos que se ponen en juego al realizarlas; la inten-cin
didctica que se persigue en cada caso; y algunas orientaciones para
la gestin del docente.
Iniciar cada clase poniendo en juego los conocimientos de la(s)
clase(s) anterior(es).
Dejar espacio para que nias y nios propongan y experimenten sus
propios procedimientos.
Mantener un dilogo permanente con los alumnos, y propiciarlo
entre ellos, sobre el trabajo que se est realizando, sin imponer
formas de resolucin.
Permitir que se apropien ntegramente de los procedimientos
estudiados.
Promover una permanente evaluacin del trabajo que se
realiza.
Finalizar cada clase con una sistematizacin y justifi cacin de
lo trabajado.
En esta clase nios y nias resuelven problemas aditivos de
cambio, en que hay que calcular sumas y restas del tipo: 50+20,
45+5, 60+3 y 80-10, 70-20, 505, 70-3. Los nios utilizan el conteo
hacia atrs de 1 en 1, de 5 en 5 y de 10 en 10 en el clculo de
restas y el sobreconteo de 10 en 10 y de 5 en 5 en el clculo de
adiciones.
PRIMERA CLASE
Orientaciones
-
16 17
Momento de inicio
El profesor(a) plantea una actividad que permite a los nios usar
el conteo hacia atrs de 10 en 10 para el clculo de restas entre
mltiplos de 10. Para ello, coloca en una caja 70 fi chas agrupadas
de a 10. Saca 20 fi chas y pide a los nios que determinen la
cantidad de fi chas que quedan en la caja. Tcnica 1: Los nios
pueden usar la rever-sibilidad de la adicin y la sustraccin y la
extensin de combinacin aditiva 5 + 2 = 7 a mltiplos de 10.
70 - 20 = 50, ya que 50 + 20 = 70. Tcnica 2: Tambin los nios
pueden recurrir al conteo hacia atrs de 10 en 10 a partir de 70. 70
- 10 - 10 = 60 - 10 = 50. Esta tcnica se puede representar mediante
el siguiente esquema:
Tcnica 3: Es posible, pero menos esperado, que los nios usen la
suma para obtener la resta. El resultado de 70 - 20, se puede
calcular a partir de preguntarse 20 ms qu nmero se obtiene 70? Se
escribe: 20 + = 70. Se avanza de 10 en 10 hasta llegar a 70 y luego
se cuantifi ca la cantidad de saltos de a 10 que se dan. En este
caso, 50. Por lo tanto, 70 - 20 = 50.
De las tres tcnicas expuestas, es necesario que el profesor
destaque el conteo hacia atrs de 10 en 10, ya que esta tcnica ser
la que se enfatizar y se estudiar en profundidad en esta unidad.
Con la fi nalidad de que esta tcnica pueda desarrollarse, se
sugiere que el profesor proponga otras restas de mltiplos de 10 en
que la diferencia sea apreciable. Por ejemplo, 80 - 20, 70 - 10, 90
- 30.
Momento de desarrollo
En la primera actividad de este momento se estudia el conteo
hacia atrs de 5 en 5 para el clculo de restas de un mltiplo de 10
menos 5. La actividad es parecida a la del momento de inicio, pero
ahora hay 50 fi chas en la caja y se pide sacar sucesivamente de a
5 fi chas. Es posible que los nios cuenten hacia atrs de 1 en 1,
pero este procedimien-to se hace ms lento y difcil, ya que se debe
conocer la secuencia de 1 en 1 hacia atrs a partir de un mltiplo de
10. En cambio, al contar hacia atrs 5 se obtiene inmediatamen-te el
resultado de la resta.
50
10 10
60 70
Orientaciones
-
16 17
Para calcular 50 - 5 recuerdan que, si la secuencia es de 5 en
5, el nmero que est antes de 50 es 45. Luego, para calcular 45 - 5
recuerdan que el nmero que est antes de 45 en la secuencia de 5 en
5 es 40, o que 45 - 5 es igual a 40 + 5 - 5 = 40. Contina la
actividad y los nios usan la secuencia en forma descendente de 5 en
5 para calcular las restas.
Para ayudar a que los nios usen la secuencia de 5 en 5, se
sugiere que se realicen tambin sumas reiteradas a partir de un
mltiplo de 5. Si es necesario, se sugiere que se disponga de una
cinta numerada de 5 en 5 para los nios que an no conozcan
fluida-mente la secuencia.
En la segunda actividad de este momento, se estudian las restas
de un mltiplo de 10 menos un nmero de una cifra menor que 5. El
profesor pone en la caja 60 fichas y saca 3 fichas. En este caso,
no se puede contar hacia atrs de 10 en 10 ni de 5 en 5. Por tanto,
obligadamente hay que contar hacia atrs de 1 en 1. 59, 58, 57; por
lo tanto, 60-3=57.
Para propiciar el estudio de este tipo de restas, los nios
continan sacando 7 fichas. Se pide determinar la cantidad de fichas
que hay en la caja. Para ello, a 57 se resta 7 obtenindose 50.
Luego a 50 se puede restar 2 y se obtendra 48. Luego, a 48 se resta
8 obtenindose 40, y as sucesivamente.
Es posible, aunque raro, que algn nio pueda igualmente contar
hacia atrs 5, pero luego contar hacia adelante para compensar. Por
ejemplo, para calcular 70-2 se resta 70-5, resultando 65 y luego se
cuenta 3 hacia adelante, a partir de 65, obtenindose 68.
Termina el trabajo de la clase con la aplicacin de la Ficha 1,
en las que hay que re-solver problemas aditivos, y ejercicios para
el clculo de sumas y, especialmente, restas del tipo estudiadas en
esta clase. En los problemas y ejercicios propuestos en la ficha,
aparecen sumas que se pueden reestudiar usando la tcnica estudiada
en esta clase para la resta. Por ejemplo, para calcular 70 + 20,
tambin los nios pueden recurrir al sobreconteo de 10 en 10 a partir
de 70. 70 + 20 = 70 + 10 + 10 = 80 + 10 = 90. Esta tcnica se puede
representar mediante el siguiente esquema:
En los problemas de las fichas igualmente hay que decidir la
operacin que resuelve el problema; para ello, los nios deben
aplicar la estrategia de resolucin de problemas aditivos estudiada
en la unidad anterior.
70
10 10
80 90
Orientaciones
-
18 19
Momento de cierre
El profesor(a) formula preguntas que permitan reconocer los
fundamentos centra-les de esta clase. Estos son:
Para resolver problemas necesitamos una estrategia que nos
permita organizar la informacin de tal forma que podamos discernir
la operacin que debemos realizar, hacer los clculos y responder a
la pregunta del problema.
Las tcnicas basadas en el conteo hacia atrs son tcnicas que
ayudan a restar cuando las relaciones entre los nmeros lo permiten,
como en los casos estu-diados en esta clase.
Por ejemplo, para calcular 80 - 20, contar hacia atrs 20 de 1 en
1 a partir de 80 es una tcnica lenta y poco precisa. Contar hacia
atrs 20 de 5 en 5 a partir de 80 es una tcnica ms efi caz en
relacin a la anterior, ya que se retrocede en forma ms rpida que de
1 en 1; sin embargo, contar hacia atrs de 10 en 10 es la tcnica ms
efi caz, ya que en solo 2 pasos se llega al resultado correcto.
Adems, el recorrido hacia atrs en la secuencia de 10 en 10 es ms
fcil que la secuencia de 1 en 1 y de 5 en 5. Esta conclusin es
anloga para el caso de la adicin.
Para resolver un problema es necesario,a partir de la comprensin
de la situacin planteada
en l y de la identifi cacin de datos e incgnita, reconocer la
relacin aritmtica entre ellos, decidir la operacin que debe
realizarse para responder al problema e interpretar el resultado
obtenido en el
contexto del problema.
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
80
Conteo hacia atrs de 1 en 1.
Conteo hacia atrs de 10 en 10. Conteo hacia atrs de 5 en 5.
Orientaciones
-
18 19
En esta clase nios y nias resuelven problemas aditivos de
composicin y de cambio, en que hay que calcular restas de un
mltiplo de 10 y un nmero de una cifra mayor que 5, restas de un
nmero de dos cifras y un nmero de una cifra mayor que 5, mayor que
las unidades del minuendo y restas de dos nmeros de dos cifras en
que las unidades del minuendo son mayores que las del sustraendo.
En ambos casos, la tcnica que se estudia est basada en la
descomposicin cannica del sustraendo. Tambin se estu-dian sumas de
dos nmeros de dos cifras en que la suma de las unidades de ambos es
menor que 10. La tcnica que se estudia en este caso, corresponde a
la descomposicin cannica del sumando mayor.
Momento de inicio
Se repite la actividad de la clase anterior, pero ahora el
profesor pone 46 fi chas en la caja en 4 grupos de 10 y 6 fi chas
no agrupadas. Luego, saca 12 fi chas. Para determinar la cantidad
de fi chas que quedan en la caja, se espera que los nios
descompongan cannicamente 12 como 10 + 2. A 46 se resta 10 (1),
quedando 36 y luego a 36 se resta 2, quedando 34.
Antes de que esta tcnica pueda surgir de los nios, el profesor
realiza una conver-sacin para que los nios reconozcan que otra
tcnica basada en el conteo hacia atrs sera menos efi caz. Por
ejemplo, si se cuenta hacia atrs de 1 en 1 a partir de 46, y se
usan los dedos, faltaran dedos para retroceder en la secuencia. Si
se cuenta hacia atrs de 5 en 5, habra difi cultades en recorrer la
secuencia a partir de 46. 46, 41, 36.
El profesor vara la actividad de tal forma que las restas sean
del tipo ya sealado. Por ejemplo, a 74 fi chas se quitan 23. En
este momento se espera que el profesor pro-ponga un tipo de
escritura que se complementa con la tcnica que permitir a los nios
escribir sin confundirse con el signo ms de las descomposiciones y
el signo resta. Una vez hechas las descomposiciones, se procede a
realizar las restas. A 74 se resta 20 obte-niendo 54 y luego a 54
se resta 3 obteniendo 51. Es posible tambin que a 74 se reste 3
obteniendo 71 y luego a 71 se resta 20 obteniendo 51.
74 - 23
20 3
23
SEGUNDA CLASE
(1) La resta 46 - 10 es un tipo de resta estudiada en
profundidad en la Primera Unidad de Segundo Ao.
Orientaciones
-
20 21
Los conocimientos matemticos que se requieren para usar
correctamente esta tcnica son:
Descomponer cannicamente un nmero de dos cifras.
A un nmero de dos cifras restar un mltiplo de 10.
A un nmero de dos cifras restar un nmero de una cifra menor que
5.
Momento de desarrollo
Se estudian ahora restas de un mltiplo de 10 menos un nmero de
una cifra mayor que 5. Para ello, el profesor propone un problema
aditivo que involucra la resta 30 - 8. Es posible que los nios
cuenten hacia atrs de 1 en 1, pero se espera que reconozcan que es
ms efi caz contar hacia atrs 5 y luego 3. Para esto, es necesario
que los nios reconozcan la combinacin aditiva 5 + 3 = 8. Utilizando
la escritura del momento de inicio, se tiene:
30 - 8
5 3
8
Una vez realizada la descomposicin aditiva, a 30 se resta 5
obteniendo 25. Luego a 25 se resta 3 obteniendo 22.
Para restar dos nmeros de dos cifras en que las unidades del
minuendo son mayores que las
del sustraendo, se descompone en forma cannica el sustraendo.
Luego al nmero de dos cifras se resta
el mltiplo de 10 y, fi nalmente, a este resultado se resta el
nmero de una cifra.
Para restar a un mltiplo de 10 un nmero de una cifra mayor que
5, se descompone
aditivamente el nmero de una cifra de tal forma, que uno de los
sumandos sea 5. Luego, al mltiplo
de 10 se resta 5 y al resultado obtenido se resta el otro
sumando de la descomposicin.
Orientaciones
-
20 21
Los conocimientos matemticos que se requieren para usar
correctamente esta tcnica son:
Descomponer un nmero de una cifra mayor que 5, como 5 ms otro
nme-ro. Por tanto, las combinaciones aditivas que hay que conocer
son: 9 = 5 + 4,
8 = 5 + 3, 7 = 5 + 2, 6 = 5 + 1.
A un mltiplo de 10 se resta 5.
A un nmero de dos cifras restar un nmero de una cifra menor que
5.
Luego, se estudian restas de un nmero de dos cifras y un nmero
de una cifra ma-yor que 5, mayor que las unidades del minuendo.
Para ello, la profesora pone 36 fi chas en la caja y pide
determinar la cantidad de fi chas que quedaran en la caja si se
sacan 8 fi chas. Para determinar la cantidad de fi chas que quedan
en la caja, se espera que los nios saquen 6 fi chas inicialmente y,
posteriormente, las 2 restantes. Los clculos invo-lucrados son 36 -
6 - 2 = 30 - 2 = 28. Usando la escritura de rbol se tiene:
36 - 8
6 2
8
En este tipo de restas, se puede encontrar el tipo de restas
estudiado en el caso an-terior. Por ejemplo, al calcular 21 - 9, la
escritura de rbol es:
21 - 9
1 8
5 3
9
8
Para restar a un nmero de dos cifras un nmero de una cifra menor
que las unidades del minuendo,
se descompone aditivamente el nmero de una cifra de tal forma
que uno de los sumandos sea el mismo que las unidades del minuendo.
Luego, al nmero
de dos cifras se resta el nmero que tiene las mismas unidades, y
luego a este resultado se resta
el otro nmero.
Orientaciones
-
22 23
Se descompone en forma aditiva el 9 como 1 + 8. Luego, se debe
realizar la resta 20-8. Por tanto, se debe descomponer el 8 como
5+3. Los clculos son:
21 - 1 - 5 - 3 = 20 - 5 - 3 = 15 - 3 = 12.
Termina el trabajo de la clase, con la aplicacin de las Fichas 2
y 3, en las cuales hay que resolver problemas aditivos, ejercicios
para el clculo de sumas y, especialmente, restas del tipo
estudiadas en esta clase. En los problemas y ejercicios propuestos
en la fi cha, aparecen sumas del tipo 46 + 32 que se pueden retomar
usando la escritura de rbol propuesta para las restas en esta
clase.
46 + 32
30 2
32
Momento de cierre
El profesor o profesora formula preguntas que permitan a nias y
nios reconocer los fundamentos centrales de esta clase:
Para restar un mltiplo de 10 y un nmero de una cifra mayor que
5, la tcnica basada en la descomposicin aditiva del sustraendo
resulta efi ciente. Se des-compone aditivamente el nmero de una
cifra de tal forma que uno de los sumandos sea 5. Luego, al mltiplo
de 10 se resta 5 y al resultado obtenido se resta el otro sumando
de la descomposicin.
Como se observa en este ejemplo, para sumar dos nmeros de dos
cifras en que la suma de las
unidades de ambos es menor que 10, se descompone en forma
cannica uno de los sumandos y luego se suma el nmero de dos cifras
al mltiplo de 10
y luego el nmero de una cifra.
Orientaciones
-
22 23
Para restar dos nmeros de dos cifras en que las unidades del
minuendo son ma-yores que las del sustraendo, la tcnica basada en
la descomposicin aditiva del sustraendo resulta efi ciente. Se
descompone en forma cannica el sustraendo. Luego, al nmero de dos
cifras se resta el mltiplo de 10 y, fi nalmente, a este resultado
se resta el nmero de una cifra.
Para sumar dos nmeros de dos cifras en que la suma de las
unidades de ambos es menor que 10, la descomposicin cannica del
sumando menor es una tc-nica que resulta efi ciente. Se descompone
en forma cannica el sumando me-nor y luego se suma el nmero de dos
cifras al mltiplo de 10 y luego el nmero de una cifra.
En esta clase los nios resuelven problemas aditivos de
composicin y de cambio, en que hay que calcular restas de un
mltiplo de 10 menos un nmero de dos cifras, y res-tas en que ambos
nmeros son de dos cifras y las unidades del sustraendo son mayores
que las del minuendo. Paralelamente, se retoman sumas del tipo 46 +
37 y la escritura de rbol estudiada en la unidad anterior.
Momento de inicio
En la misma situacin de la caja, el profesor ha puesto 46 fi
chas en ella. Luego, saca 18. Entre los procedimientos que puedan
surgir, el profesor destaca aquel basado en la descomposicin
cannica y aditiva del sustraendo. Apoyndose en la escritura de rbol
propuesta en la clase anterior, las descomposiciones seran:
46 - 18
10 8
6 2
18
8
La serie de clculos que se deben realizar son:
46 - 10 - 6 - 2
36 - 6 - 2
30 - 2
28
TERCERA CLASE
Orientaciones
-
24 25
Los conocimientos matemticos que se requieren para usar
correctamente esta tcnica son:
Descomponer cannicamente un nmero de dos cifras.
Descomponer en forma aditiva un nmero de una cifra, de tal forma
que uno de los sumandos sea la cifra de las unidades del
minuendo.
A un nmero de dos cifras restar un mltiplo de 10.
A un nmero de dos cifras restar un nmero de una cifra que tiene
las mismas unidades que el minuendo.
A un mltiplo de 10 restar un nmero de una cifra (menor que 5).
Si, eventualmente, los nios descompusieran en forma cannica ambos
nmeros,
habra la difi cultad de no poder restar los nmeros de una cifra,
ya que se trata de una resta con reserva:
46 18 = 40 + 6 - (10 + 8) = 40 -10 + 6 - 8
Momento de desarrollo
Se estudia ahora restas de un mltiplo de 10 menos un nmero de
dos cifras. Para ello, el profesor propone la misma actividad de la
caja. Pone 80 fi chas en 8 grupos de 10 y luego saca 28 fi chas.
Para realizar la resta 80-28, se procede de la misma forma que los
casos del momento de inicio, pero con una variacin:
80 - 28
20 8
5 3
28
8
Si a una cantidad de objetos se quita una cantidad Ade objetos y
luego otra cantidad B
de objetos, se obtiene la misma cantidad si se quita primero la
cantidad B y luego la cantidad A.
En smbolos matemticos, se tiene:a - b - c = a - c - b
Orientaciones
-
24 25
El nmero de una cifra que resulta de la descomposicin cannica
(8) se descom-pone en forma aditiva, de tal forma que uno de los
sumandos sea 5. Se sugiere esta des-composicin, ya que en clases
anteriores se ha estudiado el caso en que a un mltiplo de 10 se
quita 5 realizando un conteo hacia atrs de 5. Luego, se procede a
realizar las restas: 80-20 obteniendo 60. Luego, a 60 se resta 5
obteniendo 55 y por ltimo a 55 se resta 3 obteniendo 52.
Para realizar los clculos apropiadamente se espera que los nios
reconozcan la siguiente secuencia de restas: 80 - 20 - 5 - 3.
Cualquier otra combinacin de restas difi -cultara los clculos.
La tcnica se puede resumir de la siguiente forma:
Los conocimientos matemticos que se requieren para usar
correctamente esta tcnica son:
Descomponer cannicamente un nmero de dos cifras.
Descomponer en forma aditiva un nmero de una cifra, de tal forma
que uno de los sumandos sea 5.
Restar mltiplos de 10.
A un mltiplo de 10 restar 5.
A un nmero de dos cifras restar un nmero de una cifra menor que
5.
Posteriormente, se trabaja en las fi chas 4 y 5 donde hay
problemas en los cuales se puede ejercitar esta tcnica.
El sustraendo se debe descomponer en forma cannica. El nmero de
una cifra de esta
descomposicin se debe descomponer en forma aditiva de tal forma
que uno de los sumandos sea
5. Luego, se resta los mltiplos de 10 y luego al resultado se
resta 5 y luego se resta el otro sumando
de la descomposicin aditiva.
Orientaciones
-
26 27
Momento de cierre
El profesor(a) formula preguntas que permitan reconocer los
fundamentos centra-les de esta clase. Estos son:
Para restar dos nmeros en que ambos son de dos cifras y las
unidades del sus-traendo son mayores que las del minuendo, el
sustraendo se debe descompo-ner en forma cannica. Luego, el nmero
de una cifra se descompone en forma aditiva, de tal forma que uno
de los sumandos sea la cifra de las unidades del minuendo. Al nmero
de dos cifras se resta el mltiplo de 10. Al nmero que re-sulta se
resta el de una cifra, que tiene las mismas unidades que el
minuendo y, fi nalmente, al resultado que queda se resta el nmero
de una cifra que queda.
Para restar a un mltiplo de 10 un nmero de dos cifras, el
sustraendo se debe descomponer en forma cannica. El nmero de una
cifra de esta descomposi-cin se debe descomponer en forma aditiva
de tal forma que uno de los suman-dos sea 5. Luego, se resta los
mltiplos de 10 y luego al resultado se resta 5 y luego se resta el
otro sumando de la descomposicin aditiva.
Para sumar dos nmeros de dos cifras en que la suma de las
unidades de ambos es mayor que 10, se descompone en forma cannica
el sumando menor. Luego, el nmero de una cifra se descompone de tal
forma que uno de los sumandos sume 10 con las unidades del sumando
mayor. Se procede a realizar los siguien-tes clculos:
Se suma el sumando mayor con el mltiplo de 10.
A este resultado se suma el nmero de una cifra que suma 10 con
las unida-des del sumando mayor.
A este resultado se suma el otro nmero de una cifra que
queda.
Para resolver problemas aditivos, una de las etapas ms
importantes y a veces ms difcil de la estrategia, es discernir la
operacin que se debe realizar para encontrar su respuesta. Para
ello es conveniente apoyarse en un dibujo o esque-ma que traduzca
las relaciones entre datos e incgnitas, y permita determinar la
operacin que resuelve el problema.
En esta clase nios y nias resuelven problemas aditivos de
composicin y de cambio, en los que los nios reconocern que pueden
recurrir a una adicin para encontrar el re-sultado de una
sustraccin y viceversa. Para efectuar los clculos, se usa la
reversibilidad
CUARTA CLASE
Orientaciones
-
26 27
de la adicin y la sustraccin. Tambin identifi carn tros de
nmeros que se relacionan aditivamente. Por ejemplo, 4, 5 y 9. Se
incorporan algunos problemas aditivos inversos.
Momento de inicio
El profesor echa en la caja 40 fi chas. Luego saca 37 fi chas.
Los nios determinan la cantidad de fi chas que quedan en la caja.
Dado el trabajo que se ha realizado en esta unidad, es posible que
los nios usen la tcnica de descomponer el sustraendo.
40 - 37
30 7
37
Los clculos que se haran son: 40 - 30 - 7. 40 - 30 = 10. 10 - 7
= 3. Por tanto, quedaran 3 fi chas en la caja.
Es posible tambin que algunos nios utilicen la tcnica de
preguntarse: cuntas fi chas faltan para sacarlas todas? As, habra
que contar hacia adelante a partir de 37 hasta llegar a 40,
obteniendo 3. Esta tcnica es ms rpida y econmica que la anterior y
es posible realizarla cuando la diferencia entre los nmeros que se
restan es pequea.
Est tcnica se sustenta en el principio de reversibilidad que hay
entre las operacio-nes de adicin y sustraccin:
40 37 = 37 + = 40
grfi camente:
La actividad contina con otros nmeros cuya diferencia es pequea
y el profesor propicia que reconozcan la utilidad de esta tcnica
para estos casos, en relacin a las otras anteriormente
estudiadas.
1
37 38 39 40
1 1
Orientaciones
-
28 29
Momento de desarrollo
En este momento de la clase, el profesor propone una actividad
que permitir a los nios reconocer la relacin aditiva que se puede
dar entre 3 nmeros. Para ello, pone 15 fi chas en la caja, y luego
saca 7 fi chas. Una vez que los nios indican que quedan 8 fi chas
en la caja, el profesor vuelve a echar las 7 fi chas y pide a los
nios que determinen las que hay en la caja. Se espera que los nios
reconozcan que no es necesario realizar la suma, sino que pueden
apoyarse en la relacin anterior 15 - 7 = 8, para deducir que hay 15
fi chas en la caja. Posteriormente, el profesor saca 8 fi chas de
la caja. Se espera que los nios respondan que quedan 7 fi chas. A
continuacin, el profesor echa 8 fi chas en la caja y los nios
concluyen que ahora hay 15 fi chas en la caja. Es importante que
cada vez que se d una respuesta a la cantidad de fi chas que hay en
la caja, se escriban las operaciones involucradas, para as poder
reconocer que en ellas intervienen los mismos nmeros.
La siguiente tabla refl eja la secuencia de acciones y las
operaciones asociadas:
Contina la actividad con otros tros de nmeros. Se espera que los
nios escriban las 4 relaciones aditivas que se dan con estos. Si el
profesor lo estima conveniente, pue-de proponer tros en que el
mbito numrico sea mayor y las relaciones entre estos sea ms
complejas. Por ejemplo, 63, 29 y 92. Tambin puede pedir a los nios
que busquen tros de nmeros y escriban las cuatro operaciones
posibles entre ellos.
Las relaciones aditivas entre los nmeros 7, 8 y 15 son:
8 + 7 = 15 7 + 8 = 15 15 - 8 = 7 15 - 7 = 8
Hay Se sacan Se agregan Operacin Quedan
15 fi chas 7 fi chas 15 - 7 8 fi chas
8 fi chas 7 fi chas 8 + 7 15 fi chas
15 fi chas 8 fi chas 15 - 8 7 fi chas
7 fi chas 8 fi chas 7 + 8 15 fi chas
Orientaciones
-
28 29
Posteriormente se trabaja en las fi chas 6 y 7. Se incorporan
problemas inversos. Como por ejemplo:
Carla ha ledo 38 paginas de un libro que tenia 85. Cuantas
pginas le quedan por leer?
Tal como se plantea el problema, el enunciado sugiere la adicin
38 + = 85, sin embargo la operacin que resuelve este problema es la
sustraccin 85 - 38. Todos los problemas inversos que se estudian en
esta unidad son como del ejemplo anterior. En la cuarta unidad de
segundo ao bsico se estudiarn otros tipos de problemas
in-versos.
Momento de cierre
El profesor(a) formula preguntas que permitan reconocer los
fundamentos centra-les de esta clase. Estos son:
En los problemas que hemos estudiado, siempre la operacin que
relaciona los datos con la incgnita es la que hay que realizar para
responder a la pregunta del problema. Ms adelante estudiaremos
casos en que estas operaciones no necesariamente coinciden.
Si al sumar dos nmeros con la tcnica basada en la descomposicin
y compo-sicin cannica de los nmeros, la suma de las unidades es un
nmero mayor que 10, es necesario volver a descomponer este nmero,
para luego sumar los mltiplos de 10 y las unidades. El resultado se
obtiene componiendo cannica-mente los dos ltimos resultados, es
decir, el mltiplo de 10 con un nmero de una cifra.
Este procedimiento funciona por las propiedades que estudiamos
en la clase anterior: es posible variar el orden en que se realizan
las operaciones y agrupar los nmeros de distinta manera para
realizar los clculos, sin que vare el resul-tado.
Momento de inicio
El profesor plantea problemas aditivos que permiten que los nios
recuerden y pre-cisen las tcnicas que han surgido para efectuar los
clculos de sumas y restas.
El profesor plantea a nios y nias que resuelvan, saliendo a la
pizarra, la suma: 30 + 48, que se plante al inicio de la unidad.
Estimula a que nias y nios comparen los
QUINTA CLASE
Orientaciones
-
30 31
SEXTA CLASE
procedimientos que utilizaron con respecto de los usados en la
primera clase. Deben establecer que la descomposicin cannica es ms
efectiva y rpida que el conteo para obtener el clculo correcto.
El profesor pide ahora que calculen 49 - 7. Se espera establecer
las mismas conclu-siones que en la suma.
Momento de desarrollo
En esta ltima clase nias y nios profundizan el dominio de los
procedimientos aprendidos en las clases anteriores para resolver
las tareas matemticas de la unidad. Realizan las Fichas 8 y 9 en
las que hay actividades que ponen en juego todos los aprendizajes
esperados de esta unidad.
Momento de cierre
El profesor formula preguntas que permitan reconocer los
fundamentos centrales de esta clase. Estos son:
La estrategia de resolucin de problemas;
La ventaja de descomponer cannicamente los nmeros para sumar y
restar en relacin al conteo;
En el caso de la suma, los clculos se pueden realizar siguiendo
cualquier orden: para calcular 30 + 52, se puede calcular 52 +
30;
La importancia de apropiarse progresivamente de las
combinaciones aditivas bsicas.
En la primera parte de la clase se aplica la prueba de la
unidad. En la aplicacin se recomienda a los profesores (as) que
lean la pregunta 1 y se cercioren de que todos comprendan lo que se
les solicita, sin entregar informacin adicional a la planteada en
el problema. Espera que todos los nios y nias respondan. Continuar
con la lectura de la pregunta 2 y proseguir de la misma forma,
hasta llegar a la ltima pregunta. Una vez que los estudiantes
responden esta ltima pregunta, retirar la prueba a todos.
En la segunda parte de la clase, se sugiere que el profesor
realice una correccin de la prueba en la pizarra, preguntando a
nios y nias los procedimientos que utilizaron. Si hubo errores,
averiguar por qu los cometieron.
Orientaciones
-
30 31
Para finalizar, destaque y sistematice nuevamente los
fundamentos centrales de la Unidad y seale que estos se relacionan
con aprendizajes que se trabajarn en unidades posteriores.
Incluimos, adems de la prueba, una pauta de correccin, que
permite organizar el trabajo del profesor en cuanto al logro de los
aprendizajes esperados y se incorpora una tabla para verificar el
dominio del curso de las tareas matemticas estudiadas en esta
unidad. Estos materiales se encuentran disponibles despus del plan
de la sexta clase.
Orientaciones
-
32 33
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Resuelven problemas aditivos directos de composicin y de
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Calculan adiciones y sustracciones.
Planes de clases
-
34 35
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Resuelven problemas aditivos directos de composicin y de
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34 35
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