Unitatea de Invatare 16

  • View
    223

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Unitatea de Invatare 16

  • 8/15/2019 Unitatea de Invatare 16

    1/21

  • 8/15/2019 Unitatea de Invatare 16

    2/21

    Formule de speţa a II-a 

    156 Algebrã liniar ă, geometrie analitică şi diferenţială – Curs şi aplicaţii

    OBIECTIVELE unităţii de învăţare nr. 16

    Principalele obiective ale Unităţii de învăţare nr. 16 sunt:  Cunoaşterea şi aplicarea formulelor care leagă funcţiile

    trigonometrice (sin, cos, tg, ctg) de semiunghiurile sisemilaturile unui triunghi sferic în rezolvareaproblemelor

      Cunoaşterea şi aplicarea formulelor lui Delambre şianalogiilor lui Neper în rezolvarea exerciţiilor

    16.1 Formula sinusului semiunghiului.

    Formula cosinusului semiunghiului.

    Formula tangentelor semiunghiurilor.

    Formulele sinusului, cosinusului şi tangentei semilaturilor.

    1.1. Formula sinusului semiunghiului

     În formula fundamentală a cosinusului unghiului:

     înlocuim şi obţinem:

    de unde

    Deoarece

    rezultă 

    Deoarece diferenţa cosinusurilor este egală  cu produsul dublu al sinusului semisumei cusinusul semidiferentei luată în ordine inversă,

    Notăm . Prin urmare , .Făcând subtituţia, obţinem:

  • 8/15/2019 Unitatea de Invatare 16

    3/21

    Formule de speţa a II-a 

    157 Algebrã liniar ă, geometrie analitică şi diferenţială – Curs şi aplicaţii

     Analog, obținem grupul de formule:(IX)

    Observaţie. În faţa radicalului avem numai semnul plus, deoarece se consider ă triunghiurisferice ale căror unghiuri şi laturi sunt mai mici de .

    1.2. Formula cosinusului semiunghiului

     În acelaşi mod, din formula cosinusului laturii:

    deoarece

    obţinem:

    Dar. 

    Rezultă 

    sau

    Deoarece diferenţa cosinusurilor este egală cu dublul produs al sinusului semisumei cusinusul semidiferenței luate în ordine inversă,

    Cum , se obţine:

     Analog, obţinem grupul de formule:

    (X)

  • 8/15/2019 Unitatea de Invatare 16

    4/21

    Formule de speţa a II-a 

    158 Algebrã liniar ă, geometrie analitică şi diferenţială – Curs şi aplicaţii

    1.3. Formula tangentelor semiunghiurilor

    Raportul dintre formulele (IX) şi (X) ne dă un alt grup de formule:

    (XI)

    După  cum am ar ătat, în faţa radicalului se ia întotdeauna semnul deoarece jumătateaunghiului trigonometric sferic este întotdeauna . 

    1.4. Formulele sinusului, cosinusului şi tangentei semilaturilor

    Consider ăm triunghiul polar corespunzător triunghiului sferic . Formulele (IX),(X) şi(XI) aplicate triunghiului polar ne dau:

    (8)

    Ştim că  , , , , ,.

    Notăm , şi avem şi:

  • 8/15/2019 Unitatea de Invatare 16

    5/21

    Formule de speţa a II-a 

    159 Algebrã liniar ă, geometrie analitică şi diferenţială – Curs şi aplicaţii

     Înlocuind aceste relaţii în (8), obţinem, prin analogie, următoarele grupuri de formule:

    (9) 

    sau

    (9’) 

     Analog avem formulele şi pentru celelalte două laturi:(10)

    (11)

  • 8/15/2019 Unitatea de Invatare 16

    6/21

    Formule de speţa a II-a 

    160 Algebrã liniar ă, geometrie analitică şi diferenţială – Curs şi aplicaţii

    Suma unghiurilor sferice este întotdeauna mai mare de , deci P  este întotdeauna maimare de şi expresia de sub radical este totdeauna pozitivă.

    Ştim că  sau , sau .Deci

    Substituind valorile aflate în formulele sinusurilor, cosinusurilor şi tangentelor jumătăţilor deunghi, obţinem formulele:(XII)

    (XIII)

    (XIV)

  • 8/15/2019 Unitatea de Invatare 16

    7/21

    Formule de speţa a II-a 

    161 Algebrã liniar ă, geometrie analitică şi diferenţială – Curs şi aplicaţii

    De reţinut!

      Formula sinusului semiunghiului.

      Formula cosinusului semiunghiului.

      Formula tangentelor semiunghiurilor.

      Formulele sinusului, cosinusului şi tangentei

    semilaturilor

    Test de autoevaluare 16.1

    Să se arate că dacă  , atunci:

  • 8/15/2019 Unitatea de Invatare 16

    8/21

    Formule de speţa a II-a 

    162 Algebrã liniar ă, geometrie analitică şi diferenţială – Curs şi aplicaţii

    16.2 Formulele lui Delambre

    Consider ăm identităţile:

     Înlocuind în aceste relaţii pe cu expresiile lor obţinute în (IX) şi

    (X):

    Obţinem formulele lui Delambre:(XV)

    sau

  • 8/15/2019 Unitatea de Invatare 16

    9/21

    Formule de speţa a II-a 

    163 Algebrã liniar ă, geometrie analitică şi diferenţială – Curs şi aplicaţii

    Prin permutări circulare se obţin şi celelalte formule. 

    De reţinut!

      Formulele lui Delambre pentru un triunghi sfericoarecare

    Test de autoevaluare 16.2

    Stabiliţi formula:

  • 8/15/2019 Unitatea de Invatare 16

    10/21

    Formule de speţa a II-a 

    164 Algebrã liniar ă, geometrie analitică şi diferenţială – Curs şi aplicaţii

    16.3 Analogiile lui Neper

     Împăr ţim formulele lui Delambre (XV) şi obţinem:

     Analog avem:

    (XVI)

     În mod asemănător se demonstrează:

    (XVII)

  • 8/15/2019 Unitatea de Invatare 16

    11/21

    Formule de speţa a II-a 

    165 Algebrã liniar ă, geometrie analitică şi diferenţială – Curs şi aplicaţii

    Formulele excesului sferic a. Din formulele lui Delambrie:

     înlocuind şi rezultă:

     Aplicăm proprietăţi ale propor ţiilor, formulele se rescriu:

    Transformăm sumele şi diferenţele de sinusuri şi cosinusuri şi, după reducerea termenilorasemenea şi simplificare, obţinem:

  • 8/15/2019 Unitatea de Invatare 16

    12/21

    Formule de speţa a II-a 

    166 Algebrã liniar ă, geometrie analitică şi diferenţială – Curs şi aplicaţii

     Înmulţim relaţiile, membru cu membru:

     Astfel, avem formula lui Simon L’Huilier :(10)

    b. Din formulele (XII) şi (XIII), facem produsul sinusurilor a două semilaturi şi îl impăr ţimla cosinusul semilaturii a treia:

    deci

    de unde(11) 

    De reţinut!

      Analogiile lui Neper

      Formulele excesului sferic pentru un triunghioarecare

  • 8/15/2019 Unitatea de Invatare 16

    13/21

    Formule de speţa a II-a 

    167 Algebrã liniar ă, geometrie analitică şi diferenţială – Curs şi aplicaţii

    Test de autoevaluare 16.3

    Fiind dat un triunghi sferic în care se cunosc:

    Să se determine .

    Lucrare de verificare la Unitatea de învăţare nr. 16

    1. Să se arate că în orice triunghi sferic avem relaţia:

    .

    2. Să se arate că într-un triunghi sferic dreptunghic avem relaţiile:

    a. . 

    b. . 

    Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare

    Test de autoevaluare 16.1

    Cum vom avea:sau sau

    de unde

    Folosind formulele care exprimă laturile în funcţie de unghiuri:

  • 8/15/2019 Unitatea de Invatare 16

    14/21

    Formule de speţa a II-a 

    168 Algebrã liniar ă, geometrie analitică şi diferenţială – Curs şi aplicaţii

    relaţia din enunţ se rescrie:

     Împăr ţind la , eliminăm numitorii şi luăm în considerare faptulcă  şi obţinem:

    .  Înmulţim relatia cu 2 şi folosim formula:

    şi ajungem la:

    deoarece .

    Cum obţinem egalitatea dorită.

    Test de autoevaluare 16.2Cu formulele lui Delambrie scrise sub forma:

     înmulțim prima relaţie cu şi pe a doua cu şi le adunăm:

     În primul membru avem

     În membrul doi înlocuim:

    și obținem

    Transformând suma şi diferenţa de cosinusuri în produse:

  • 8/15/2019 Unitatea de Invatare 16

    15/21

    Formule de speţa a II-a 

    169 Algebrã liniar ă, geometrie analitică şi diferenţială – Curs şi aplicaţii

     Înmulțim cu :

    de unde

    sau

    Cum Avem

    Test de autoevaluare 16.3Cum

    Din formulele lui Neper:

    de unde

    Rezultă 

     Analog

    de unde

  • 8/15/2019 Unitatea de Invatare 16

    16/21

    Formule de speţa a II-a 

    170 Algebrã liniar ă, geometrie analitică şi diferenţială – Curs şi aplicaţii

    Prin adunare şi scădere avem:

    Pentru calcului lui avem relaţia:

    Prin logaritmare,

    de unde

    Recapitulare

    Formula sinusului semiunghiului (IX)

    Formula cosinusului semiunghiului

    (X)

  • 8/15/2019 Unitatea de Invatare 16

    17/21

    Formule de speţa a II-a 

    171 Algebrã liniar ă, geometrie analitică şi diferenţială – Curs şi aplicaţii

    Formula tangentelor semiunghiurilor

    (XI)

    Formulele sinusului, cosinusului şi tangentei semilaturilor

  • 8/15/2019 Unitatea de Invatare 16

    18/21

    Formule de speţa a II-a 

    172 Algebrã liniar ă, geometrie analitică şi diferenţială – Curs şi aplicaţii

    (XII)

    (XIII)

    (XIV)

  • 8/15/2019 Unitatea de Invatare 16

    19/21

    Formule de speţa a II-a 

    173 Algebrã liniar ă, geometrie analitică şi diferenţială – Curs şi aplicaţii

    Formulele lui Delambre:(XV)

    sau

    Prin permutări circulare se obţin şi celelalte formule. Analogiile lui Neper: 

     Analog

    (XVI)

  • 8/15/2019 Unitatea de Invatare 16

    20/21

    Formule de speţa a II-a 

    174 Algebrã liniar ă, geometrie analitică şi diferenţială – Curs şi aplicaţii

     În mod asemănător ,

    (XVII)

    Formulele excesului sferic Formula lui Simon L’Huilier :

  • 8/15/2019 Unitatea de Invatare 16

    21/21

    Formule de speţa a II-a 

    175 Algebrã liniar ă, geometrie analitică şi diferenţială – Curs şi aplicaţii

    Bibliografie1. F.F. Pavlov, V.P. Maşkevici, Trigonometrie

    sferic ă, Editura Tehnică, Bucureşti, 19542. E. Bălăbănescu, C. Chiriac, Trigonometrie

    sferic ă  şi aplicaţ iile ei în astronomia nautic ă,Editura Militar ă a Ministerului For ţelor Armate aleR.P.R., Bucureşti, 1964

    3. Gh.D. Simionescu, Trigonometrie sferic ă, EdituraTehnică, Bucureşti, 1965