Unitatea de Invatare 14

8/13/2019 Unitatea de Invatare 14

1/16

Triunghiuri sferice

124Algebr liniar, geometrie analitici diferenial Curs i aplicaii

Unitatea de nvare nr. 14

TRIUNGHIURI SFERICE

Cuprins Pagina

Obiectivele unitii de nvare nr. 14 125

14.1 Triunghiuri sferice. Proprieti. Triunghiuri polare. Triunghiuri asemenea 125

14.2 Relaii ntre unghiurile i laturile triunghiurilor sferice. Cerc circumscris i cerc

nscris. Arii. Lungimi.

130

Lucrare de verificare unitatea de nvare nr. 14 134Rspunsuri i comentarii la ntrebrile din testele de autoevaluare 134

Bibliografie unitatea de nvare nr. 14 139


2/16

Triunghiuri sferice


OBIECTIVELEunitii de nvare nr. 14

Principalele obiective ale Unitii de nvare nr. 14 sunt: Definirea i cunoaterea proprietilor triunghiurilor

sferice Cunoaterea i aplicarea relaiilor dintre elementeleunui triunghi sferic n exerciii

14.1 Triunghiuri sferice. Proprieti. Triunghiuri polare. Triunghiuriasemenea

1.1. Triunghiuri sferice. Definiie

Triunghiul sferic este figura geometricde pe suprafaa sferei formatde trei arce decerc mare care se taie doucte dou.

Elementele triunghiului sferic sunt:

trei unchiuri fiecare mai mic de ; trei laturi

Triunghiul sferic care are laturile mai mici de se numete triunghiEuler.Triunghiurile sferice cu laturile mai mari de se numesc triunghiuriMoebius-Study.

Planele cercurilor mari care determin triunghiul sferic, formeaz la interseciile lor ununghi triedru cu vrful n centrul sferei i avnd ca muchii razele sferei care unesc vrfuriletriunghiului sferic cu centrul.

se numete triedrul corespunztor triunghiului sfericdat.

Unghiurile plane , , considerate a fi feele triedruluise msoarprin laturile corespunztoare ale triunghiului sferic.

Diedrele triedrului, formate de doufee consecutive avnd ca muchii muchiile triedrului,se msoarprin unghiurile sferice corespunztoare ale triunghiului.

n orice triedru avem:1. fiecare fa a triedrului este mai mic dect suma i mai mare dect diferena

celorlalte doufee.

Ex:


3/16

Triunghiuri sferice


Sau

2. Suma feelor unui triedru este mai micdecat

Sau, altfel spus, suma laturilor unui triunghi sferic verificcondiia

Triunghiurile sferice pot fi isoscele, echilaterale, dreptunghice sau oarecare. Triunghiurilesferice dreptunghice pot avea unul sau dou sau trei unghiuri drepte, iar triunghiurileoarecare pot avea unul, dousau trei unghiuri optuze. Triunghiul sferic care are cel pu in olaturegalcu un sfert de cerc, se numete cuadrantic.

1.2. Triunghiuri polare

Fie un triunghi sferic i polii cercurilor mari , i (situate n aceeaiemisfer cu ). Triunghiul sferic astfel format se numete triunghi sferic polar altriunghiului sau triunghi sferic suplimentar. (figura 7).

Elementele triunghiului sferic polar sunt: vrfurile triunghiului sferic polar, reprezentnd polii laturilor triunghiului sferic dat; laturile triunghiului sferic polar, reprezentnd polarele vrfurilor triunghiului sferic dat;

Proprietile triunghiului sferic polar n relaie cu triunghiul sferic dat sunt:1. un triunghi sferic dat i triunghiul su polar sunt reciproc polare, adic:

a. vrfurile triunghiului dat sunt polii laturilor triunghiului dat;b. vrfurile triunghiului polar sunt polii laturilor triunghiului dat.

Demonstraia punctului se deduce din modul de construire altriunghiului polar.

Pentru punctul se unete vrful al triunghiului polar cu vrfurile i aletriunghiului dat, prin arcele de cerc mare i (figura 8). Cum este polpentru i pentru , deducem c i se afl ladistana de de punctele i ale arcului .Prin urmare unghiul , unghiul . Cum i

rezult i orice punct de pe arcul se afl la de, ceea ce nseamncvrful al triunghiului polar este pol pentru latura

a triunghiului dat . n acelai fel se procedeazpentru vrfurile i .

2. Suma dintre un unghi al triunghiului sferic dat i latura corespunztoare

lui din triunghiul polar este egalcu , adic:


4/16

Triunghiuri sferice


Pentru a demonstra, de exemplu, prima relaie, prelungim laturile i i notm cu iinterseciile lor cu latura (figura 9). A fiind polul arcului ,

are msura unghiului . Arcul este dat de:

Din i relaia anterioar:

,

fiind polul arcului , n prelungirea cruia se afl . Deci . fiind polul arcului, n prelungirea cruia se afl .

Rezultc .

Analog se demonstreazcelelalte dourelaii.

3. Suma dintre un unghi al triunghiului polar i latura corespunztoare lui din triunghiuldat este egala cu , adic:

Se prelungeste latura a triunghiului dat i notm cu i interseciile ei culaturile i (figura 9). Arcul are msura unghiului , fiind polul arcului .Avem:

Prin urmare, . fiind polul arcului i, fiind polul arcului i .

n concluzie,Analog se demonstreazcelelalte dourelaii.

Observaie. Dacdoulaturi ale triunghiului sferic dat sunt , triunghiul polar seafln exteriorul triunghiului dat; daclaturile sunt , triunghiul polar se afln interiorultriunghiului dat; dac o latur este , iar cealalt , triunghiul polar intersecteaztriunghiul sferic dat.

1.3. Proprietile unghiurilor triunghiurilor sferice

Proprietile triunghiurilor polare mpreun cu relaiile dintre elementele triunghiuluisferic i ale triunghiului polar corespunztor ne permit s demonstrm urmtoareleproprieti:

P1. Suma unghiurilor unui triunghi sferic este mai mare de i mai micde .ntr-adevr, am demonstrat c pentru un triunghi sferic i triunghiul su polaravem relaiile:


5/16

Triunghiuri sferice


Prin adunarea celor trei relaii obinem: .Deoarece , avem:

P2. ntr-un triunghi sferic, suma a dou unghiuri din care se scade al treilea, este. n relaia inem cont de faptul c , ,i obinem . Deci

P3. Unghiul exterior unui triunghi sferic este mai mic dect suma celor douunghiuriinterioare nealturate i mai mare dect diferena lor.n figura 10, unghiul este exterior unghiului . Prin urmare .Cum , avem , de unde .Pentru cea de-a doua parte, folosim P2, sau

de unde i .

1.4. Cazurile de egalitate ale triunghiurilor sferice

Dou triunghiuri sferice, situate pe aceeai sfer sau pe dou sfereegale, sunt egale daca au:

1. o laturegali unghiurile alturate ei respectiv egale;2. un unghi egal cuprins ntre doulaturi respectiv egale;3. toate laturile respectiv egale;4. toate unghiurile respectiv egale.

Observaie. Primele 3 cazuri au coresponden n cazurile de egalitate ale

triunghiurilor plane, n timp ce al patrulea caz nu are coresponden. Demonstrarea cazurilor1-3 se face prin suprapunerea figurilor. Al patrulea caz se demonstreaz cu ajutorultriunghiurilor polare.

Dac i sunt cele doutriunghiuri sferice egale, adic .Dac i sunt triunghiurile polare corespunztoare, avem relaiile:

Din egalitatea unghiurilor rezult , , . Din cazul al treilea de egalitatededucem c triunghiurile polare sunt egale. Obinem astfel , , i caurmare:

i

.


6/16

Triunghiuri sferice


1.5. Triunghiuri sferice asemenea

Triunghiurile sferice ale cror laturi i unghiuri seexprimprin acelai numr de grade, dar se aflpe sfere deraze diferite, se numesc triunghiuri sferice asemenea.

n figura 11, triunghiruile , i suntasemenea.

Observaie. Triunghiurile sferice situate pe aceeai sfersaupe sfere egale, nu pot fi asemenea.

De reinut!

Modul de definire i proprietile triunghiurilorsferice

Cazurile de egalitate i de asemnare atriunghiurilor sferice

Test de autoevaluare 14.1Operaii cu logaritmi

1. ntre unghiurile avem relaia:

Dac i , determinai unghiul .

2. ntre unghiurile avem relaia:

Dac i determinai unghiul c.

3. Dac calculai:

4. Dac calculai:


7/16

Triunghiuri sferice


14.2 Relaii ntre unghiurile i laturile triunghiurilor sferice. Cerccircumscris i cerc nscris. Arii. Lungimi.

1.1. Relaiile ntre laturile i unghiurile triunghiurilor sferice

1. ntr-un triunghi sferic, la laturi egale se opun unghiuri egale i reciproc.a. Fie . Demonstrm (figura 12). Fie mijlocul lui . Unim cu

printr-un arc de cerc mare. Triunghiurile i sunt egale(cazul 3 de egalitate). Deci .

b. Fie . Demonstrm . Dac este triunghiul polar allui , . Deci , adic . Dar . Ca urmare,

.

2. ntr-un triunghi sferic, unghiului mai mare i se opune latura maimare i reciproc.a. Fie . Demonstrm . Alegem pe astfel

nct , deci . n triunghiul avemCum rezult . Deci .

b. Fie . Demonstrm . Dac este triunghiulpolar al lui , implic i . Prin urmare

. Cum i avemadic .

Dm mai departe, frdemonstraie, alte proprieti ale triunghiului sferic:

3. ntr-un triunghi sferic dreptunghic, o latura unghiului drept este ascuit, dreaptsauobtuz, n acelai timp cu unghiul care i se opune.

Exemplu: unghiul este ascuit n acelai timp cu latura opus .

Numim elemente de aceeai speunghiul i latura opuslui aflate n acelai raport fade (mai mari sau mai mici de ) i elemente de specontrar, unghiul i latura opuslui aflate n raport diferit fade .Astfel, proprietatea a treia se poate enuna astfel: ntr-un triunghi sferic dreptunghic, o cateti unghiul opus ei sunt elemente de aceeai spe.

4. ntr-un triunghi sferic dreptunghic, dacfiecare cateteste mai micde , atunci iipotenuza este mai micde .

5. ntr-un triunghi sferic dreptunghic, ipotenuza este mai micsaumai mare de , dup cum unghiurile alturate ei sunt deaceeai spesau de specontrar.

1.2. Cercul nscris i circumscris triunghiului sferic

1. Centrul cercului nscris ntr-un triunghi sferic se aflla interseciabisectoarelor triunghiului.

n figura 14, ducem arcele de cerc mare care mpart unghiurile i n


8/16

Triunghiuri sferice


cte doupri egale i se ntlnesc n punctul . Din ducem arcele de cerc mare ,i , perpendiculare pe laturile triunghiului i printr-un arc de cerc mare. Cum triunghiul

este egal cu i triunghiul este egal cu , avem , decieste centrul cercului nscris n triunghi.

2.

use

Centrul cerc rcum

figura 15, m arcele deului ciduce

scris triunghiului se aflcerc

la intersec ia mediatoarelor triunghiului.n mare care mpart laturile

op n pri egale i sunt perpendiculare pe ele. Triunghiurilesferice obinute sunt egale ntre ele, adictriunghiul este egalcu triunghiul , triunghiul este egal cu triunghiul , etc.Deci , adic este centrul cercului circumscristriung

hiului sferic.

.3.

l sfericdin a ntre dou

1 Arii. Lungimi de arce

supraf

Fusu

acelaPartea a sferei care este cuprins semicercuri mari, avndi diametru, se numete fus sferic. Fusul sferic este, de

asemenea, suprafaa generat de rotaia unui semicerc mare njurul diametrului su cu un unghi oarecare (figura 16).

Cum ecuatorul este polar pentru i ale fusului sferic,ecuatorul mparte laturile fusului sferic n doup ri egale.

Arcul

dintre laturile unui fus sferic dat se numete brutoecua rial al f ului, iar lungimea lui este egalcuus .

Raportul dintre aria fusului sferic i ar sf ia erei este:

fiind aria fusului sferic, de unde rezult

.4. Aria triunghiului sferic

onsiderm triunghiul sferic

1C i construim pentru fiecare unghi al s

corespu fusul sferic

unztor (figura 17):

- pentru unghiul ; - pentru unghiul ; - pentru unghiul .

Notm cu - aria triunghiului , , i ariile fusurilorsferice pentru unghiurile i .Folosind expresia ariei fu ui sf ricsul e :


9/16

Triunghiuri sferice


Adunnd cele trei relaii obinem:

xpresia din a doua parantezeste egalcu aria emisfereiE minus aria triunghiului .Ca urmare,

sau

de unde

Expresia se numete exces sferic al triunghiului sferic i segrade.

unghiului sferic este:

exprimn

Prin urmare, aria tri .

Expresia excesului sferic este:

care n secunde se rescrie:

n cercul de raz1,

Prin urmare,

ntr-o sferde raz1:sau n msura unghiular: .

triunghiu sferic este egal cu excesul sferic.

1.5. Aria unui poligon sferic

Poligonul sferic este figura geometricde pe suprafaa sferei formatprin intersecia amai m

Cu alte cuvinte, pe o sfer de raz 1, aria luiRezultastfel cariile triunghiurilor sferice de pe sfere de aceeai razse gsesc ntre ele nacelai raport cu excesele sferice.

ult de trei cercuri mari. Un poligon sferic regulat are laturile i unghiurile egale. Ariapoligonului sferic poate fi calculatca sumde arii de triunghiuri sferice.Dac , ,..., sunt excesele sferice ale triunghiurilor, atunci ariile lor sunt:


10/16

Triunghiuri sferice


Aria poligonului este:

Pe sfera de raz obinem:

Dacnotm cu excesul sferic al poligonului cu nlaturi,

ndeu este suma unghiurilor sferice ale poligonului.

1.6. Lungimea liniara arcului de cerc mare

ie arcul

F de lungime i de mrime (figura 18).Lungimea liniara arculului de cerc mare este:

umC , expresia lungimii este:

1.7. Lungimea liniara arcului de cerc mic

ieF arcul de cerc mic de lungime i de mrime (figura 18). Deci unde

este raza cercului mic. Din triunghiul dreptunghic avem .Astfel,

aportul lungimilor liniare si este:R

sau .

De reinut!

Relaiile ntre laturile i unghiurile triunghiului

lele de calcul pentru lungimile de arce desferic

Formucerc mare i mic, pentru aria triunghiului sferic,respective aria poligonului sferic.


11/16

Triunghiuri sferice


Test de autoevaluare 14.2

triunghiul sferic dreptunghic avemn ; .Calculai i .

Lucrare de verificare la Unitatea de nvare nr. 14

1. Determinai unghiurile necunoscute din relaiile:a.b.c.d.e.f.

2. n sferic d e

triunghiul r ptunghic avem:

.Calculai i .

Rspunsuri i comentarii la ntrebrile din testele de autoevaluare

est de autoevaluare 14.1

ti obinem:

T

1. Logaritmm relaia da

Calculm logaritmii unghiurilor cunoscute:

Obinem:


12/16

Triunghiuri sferice


Deci .

Obinem:

Deci .

dunarea logaritmilor se face innd seama de semnul caracteristicilorA

i de mantise:

Deci .

2. Prin calcul obinem:

Cum , prin logaritmare:

adic

Rezultatul fiind negativ, facem un artificiu de calcul i obinem:

Deci .

u regula de trei simpldeterminm unghiulC : cutm n tabele valorileapropiate de pe coloana cosinusului i gsim:

Deci, la o modificare de avem o modificare de i depentruObinem:

Avem .

3.


13/16

Triunghiuri sferice


Deci

.4.

Deci .

Test de autoevaluare 14.2

Folosim regula pentagonului care spune:

(fig1)sau

(fig 2)

Construim pentagonul cu datele date:

Se cunosc i .


14/16

Triunghiuri sferice


Putem determina astfel:

sau

.

Cum , toi factorii care intervinsunt pozitivi, deci se lucreazobinuit i se determin .

Pentru determinarea lui avem:

Cum , i , nu putem aplica logaritmulpnnu avem toi factorii pozitivi.

Din regula semnelor obinem c , deci se afli el n cadranulII. Schimbm semnele factorilor negativi, trecnd n cadranul I:

i avem formula:

Obinem:

Toi factorii fiind pozitivi, logaritmm:

.

Mai departe se lucreazanalog problemelor anterioare.


15/16

Triunghiuri sferice


Recapitulare

Triunghiuri sferice. DefiniieTriunghiul sferic este figura geometricde pe suprafaa sferei formatde trei arce de cerc mare care se taie doucte dou.

Elementele triunghiului sferic sunt: trei unchiuri fiecare mai mic de ; trei laturi

Planele cercurilor mari care determin triunghiul sferic, formeaz lainterseciile lor un unghi triedru cu vrful n centrul sferei i avnd camuchii razele sferei care unesc vrfurile triunghiului sferic cu centrul.

se numete triedrul corespunztor triunghiului sfericdat.

Triunghiuri polareFie un triunghi sferic i polii cercurilor mari , i

(situate n aceeai emisfercu ). Triunghiul sferic astfelformat se numete triunghi sferic polar al triunghiului sau triunghisferic suplimentar.

Elementele triunghiului sferic polar sunt: vrfurile triunghiului sferic polar, reprezentnd polii laturilor

triunghiului sferic dat; laturile triunghiului sferic polar, reprezentnd polarele vrfurilor

triunghiului sferic dat;Proprietile triunghiului sferic polar n relaie cu triunghiul sferic dat

sunt:1. un triunghi sferic dat i triunghiul su polar sunt reciproc polare,

adic:a. vrfurile triunghiului dat sunt polii laturilor triunghiului dat;b. vrfurile triunghiului polar sunt polii laturilor triunghiului dat.

2. Suma dintre un unghi al triunghiului sferic dat i laturacorespunztoare lui din triunghiul polar este egalcu

3. Suma dintre un unghi al triunghiului polar i laturacorespunztoare lui din triunghiul dat este egala cu

Proprietile unghiurilor triunghiurilor sfericeP1. Suma unghiurilor unui triunghi sferic este mai mare de i maimicde .P2. ntr-un triunghi sferic, suma a dou unghiuri din care se scade altreilea, este .P3. Unghiul exterior unui triunghi sferic este mai mic dect suma celordouunghiuri interioare nealturate i mai mare dect diferena lor.

Cazurile de egalitate ale triunghiurilor sfericeDou triunghiuri sferice, situate pe aceeai sfer sau pe dou sfereegale, sunt egale daca au:

1. o laturegali unghiurile alturate ei respectiv egale;2. un unghi egal cuprins ntre doulaturi respectiv egale;

3. toate laturile respectiv egale;4. toate unghiurile respectiv egale.


16/16

Triunghiuri sferice


Triunghiuri sferice asemeneaTriunghiurile sferice ale cror laturi i unghiuri se exprimprin acelainumr de grade, dar se afl pe sfere de raze diferite, se numesctriunghiuri sferice asemenea.

Bibliografie1. F.F. Pavlov, V.P. Makevici, Trigonometrie

sferic, Editura Tehnic, Bucureti, 19542. E. Blbnescu, C. Chiriac, Trigonometrie

sferic i aplicaiile ei n astronomia nautic,Editura Militara Ministerului Forelor Armate aleR.P.R., Bucureti, 1964

3. Gh.D. Simionescu, Trigonometrie sferic, EdituraTehnic, Bucureti, 1965

Documents

Unitatea de Invatare 14