(zeros) de funções reais

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  • II Encontrando Razes de funes Clculo Numrico Prof. Dr. Sergio Pilling 1

    Clculo Numrico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU Prof. Dr. Sergio Pilling (IPD/ Fsica e Astronomia) Objetivos: Veremos nessa aula vrios mtodos numricos para a resoluo de funes reais. Em outras palavras, veremos mtodos para encontrar solues de equaes no lineares do tipo f(x)=0. 1. Introduo Nas mais diversas reas das cincias exatas ocorrem, frequentemente, situaes que envolvem a resoluo de uma equao do tipo f(x)=0. Consideremos, por exemplo, o seguinte circuito:

    II Mtodos numricos para encontrar razes (zeros) de funes reais.

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    Como obter razes reais de uma equao qualquer? Sabemos que, para algumas equaes, como por exemplo s equaes polinomiais do segundo grau, existem frmulas explicitas que do as razes em funo dos coeficientes (ex. regra de Bskara). No entanto, no caso de polinmios de grau mais elevado e no caso de funes mais complicadas, praticamente impossvel se achar zeros exatamente. Por isso, temos que dos contentar em encontrar apenas aproximaes para esses zeros (solues numricas); mas isto no uma limitao muito sria, pois, com os mtodos que apresentaremos , conseguimos, a menos de limitaes de maquinas, encontrar os zeros de uma funo com qualquer preciso prefixada.

    A idia central destes mtodos numricos partir de uma aproximao inicial para a raiz (um intervalo onde imaginamos a raiz estar contida) e em seguida refinar essa aproximao atravs de um processo iterativo.

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    2. FASE I Isolamento das razes

    Nesta fase feita uma anlise terica e grfica da funo f(x). importante ressaltar que o sucesso da fase II depende fortemente da preciso desta anlise. Na analise terica usamos freqentemente o teorema:

    Pois ++ +, -- +; +- ou -+ - Graficamente temos:

    Obs. Sob as hipteses do teorema anterior, se f(x) existir e se f(x) preservar sinal dentro de (a, b), ento este intervalo contm um nico zero de f(x). Graficamente:

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    Uma forma de se isolar as razes de f(x) usando resultados anteriores tabelar f(x) para vrios valores de x e analisar as mudanas de sinal de f(x) e o sinal da derivada nos intervalos em que f(x) mudou de sinal. Exemplo 1 a) f(x) = x3 -9x +3 Construindo uma tabela de valores para f(x) e considerando apenas os sinais, temos:

    !

    !

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    obter boas

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    equivalente

    g(x) = h(x)

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    3. FASE II Refinamento da raiz Veremos agora vrios mtodos numricos de refinamento de raiz. i) Mtodo da Bisseco ii) Mtodo da Posio Falsa iii) Mtodo do Ponto Fixo iv) Mtodo de Newton-Rapson v) Mtodo da Secante A forma como se efetua o refinamento que diferencia os mtodos. Todos eles pertencem classe dos mtodos iterativos.

    A execuo de um ciclo recebe o nome de iterao. Cada iterao utiliza resultados das iteraes anteriores e efetua determinados testes que permitem verificar se foi atingido um resultado prximo o suficiente do resultado esperado. Observamos que os mtodos iterativos para obter zeros de funes fornecem apenas uma aproximao para a soluo exata.

    Um mtodo interativo consiste em uma seqncia de instrues que so executadas passo a passo, algumas das quais so repetidas em ciclos.

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    Os mtodos iterativos para refinamento da aproximao inicial para a raiz exata podem ser colocados num diagrama de fluxo:

    3.1. Critrios de parada dos mtodos

    de

    da

    mesmo

    Em geral a preciso um nmero muito pequeno, como por exemplo ~ 0,000001 = 10-6

    Iterao

    F(x); Chute inicial (ex. intervalo); Preciso do clculo

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    Veremos a seguir as caractersticas dos diferentes mtodos iterativos para se obter zeros reais de funes.

    guir um

    grficos

    |bk ak |< (preciso)

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    I) Mtodo da Bisseo Seja a funo f(x) contnua no intervalo [a,b] e tal que f(a)f(b)

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    ALGORITMO 1

    I.1. Estimativa do nmero de iteraes do mtodo da bisseco

    Seja

    (b a)

    = (preciso)

    , funo

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    I.2. Observaes finais sobre o mtodo da bisseco

    Exerccio 1 Encontre a raiz da equao f(x)=x3 9x +3 utilizando o mtodo da bisseco e as condies: Chute inicial, I=[0,1], e preciso =2x10-3.

    Soluo:

    |bk ak | < (preciso)

    0.336914063

    1

    | f(x10) | < No!

    Sim! |b10 a10 |<

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    II) Mtodo da Posio Falsa Seja f(x) contnua no intervalo [a,b] e tal que f(a)f(b) < 0.

    No exerccio 1, temos f(x)= x3-9x+3, intervalo inicial [a,b]=[0,1] e vimos que f(1)= -5 < 0 < 3=f(0).

    valores

    mais

    Chute inicial

    !

    !2 iterao

    1 iterao 3 iterao

    Critrio de parada: |bk ak |< ou f(a ou b ou x)< Aps isso acontecer tomemos o valor de x como a raiz aproximada, ou seja: x = x

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    Exemplo 4 Como seria as primeiras 2 iteraes do Mtodo da Posio Falsa aplicado funo f(x)= xlog(x) -1 sabendo que esta tem pelo menos uma raiz no intervalo [a0, b0]=[2,3].

    Analogamente, temos e o processo continua at se atingir um dos critrios de parada.

    Ok! Existe pelo menos 1 raiz dentro desse intervalo!

    Ok!

    , funo Podemos ter ainda: 1= 2=

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    Exerccio 2 Encontre a raiz da equao f(x)= x3 9x +3 utilizando o mtodo da posio falsa usando como condies iniciais o intervalo I=[0,1] e = 2 x 10-3

    Soluo:

    Comparando esse mtodo com o anterior para a funo f(x)= x3 9x +3 utilizando com condies iniciais o intervalo I=[0,1] e = 2 x 10-3 observamos que o mtodo da bisseco necessitou de 10 iteraes para obter a resposta e o mtodo da posio falsa necessitou de apenas 3. Obs. Se f(x) contnua no intervalo [a,b] com f(a)f(b) < 0 ento o mtodo da posio falsa gera uma seqncia convergente assim como no mtodo que vimos anteriormente.

    Iterao

    |b3-a3 |< No! Sim! f(x3) <

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    III) Mtodo do Ponto Fixo (MPF) A importncia deste mtodo est mais nos conceitos que so introduzidos em seu estudo que em sua eficcia computacional. Seja f(x) uma funo contnua em [a,b], intervalo que contm uma raiz da equao f(x)=0.

    Uma funo (x) que satisfaz a condio acima chamada de funo de iterao para a equao f(x)=0.

    Exemplo 5 Para a equao f(x) = x2 + x - 6 = 0 temos vrias funes de iterao, entre as quais:

    O MPF consiste em transformar esta equao em uma equao equivalente x = (x) e a partir de uma aproximao inicial x0 (chute inicial) gerar a seqncia {xk} de aproximaes para (raiz) pela relao xk+1 = (xk), pois a funo (x) tal que f()=0 se e somente se ()=. Dessa forma transformamos o problema de encontrar um zero de f(x) no problema de encontrar um ponto fixo de (x).

    que em

    de

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    Contudo, para certas escolhas de (x), o processo pode gerar uma seqncia que diverge de .

    III.1 Condies para convergncia:

    Graficamente, uma raiz da equao x=(x) a abscissa do ponto de interseco da reta y=x e da curva y=(x).

    Raiz

    !

    Diverge! Diverge!

    ento a

    Chute inicial

    Baixa inclinao!

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    Exemplo 6

    Chute inicial

    (x) =

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    Exemplo 7 Verificando a convergncia antes de fazer as contas.

    Analisaremos

    usando

    Chute inicial

    Podemos ter ainda: 1= 2=

    funo e (x)

    -3

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    Exemplo 8

    xk+1 = (xk)

    x1 = (xo) =6/xo -1 x2 = (x1) =6/x1 -1

    Frmula recursiva

    |f(xk)| < Perguntamos se:

    = 0.0005

    x1=

    x2=

    x3=

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    IV) Mtodo de Newton-Raphson

    O Mtodo de Newton obtido geometricamente da seguinte forma:

    Exemplo 9

    Baixa inclinao!

    !

    Graficamente, temos:

    (chute inicial)

    (chute inicial)

    Frmula recursiva

    k k

    k k

    Nessa tcnica devemos calcular a derivada da funo f (x)

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    Exemplo 10

    Chute inicial

    Diverge um pouco!

    raizes divergncia