CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALECORSO DI LAUREA IN SCIENZE DI INTERNET – LEZIONI DI FINANZA COMPUTAZIONALE
Finanza Computazionale
Richiami di Probabilità e Statistica dei Mercati Finanziari
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Introduzione ai Processi Stocastici
Probabilità
Variabili Aleatorie
Momenti
Distribuzioni
Generazione di Numeri Pseudo-Casuali
Dipendenza e Correlazione
Processi Stocastici
Dinamica del Prezzo di un’Azione
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Probabilità
Ogni tentativo di dare una definizione rigorosa dei concetti probabilistici più elementari si trova di fronte ad un problema; infatti, non solo esistono differenti formalizzazioni e assiomatizzazioni della probabilità ma a queste corrispondono, in generale, molteplici nozioni intuitive di probabilità spesso assai diverse fra loro.
Al di la delle differenze di carattere formale un elemento comune posseduto da tutte le forme di probabilità riguarda il suo significato intuitivo di valutazione della possibilità che un dato evento possa accadere o meno.
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Probabilità
Sia nelle scienze naturali sia in quelle economiche si è soliti assumere che un certo evento sia il risultato di un ipotetico esperimento intendendo con questo termine l’insieme di tutte “le azioni e le condizioni ambientali che conducono al determinarsi di un fatto”.
E’ un esperimento la misura di una grandezza fisica, il lancio di un dado o di una moneta, il verificarsi o meno di un particolare stato di natura (es. l’indice MIB30 supera il livello 50.000).
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Probabilità Indicheremo con
un particolare stato di natura esito di un dato esperimento e con
l’insieme di tutti gli stati possibili (spazio campione).
Il concetto di evento é associato al verificarsi di uno o più stati di natura, esso verrà pertanto rappresentato come sottoinsieme di . Lo spazio degli eventi, A, è quindi una famiglia di sottoinsiemi di caratterizzata dalle seguenti proprietà:
1. A;2. se l’evento A allora anche il suo complemento -
A;3. se n A, allora n A
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Probabilità Esempio – consideriamo l’esperimento aleatorio per antonomasia: il lancio di
un dado. In questo caso lo spazio campione è formato dall’insieme dei sei numeri che possono risultare dal lancio stesso
Vediamo il significato di alcuni elementi di A.
Ad esempio l’elemento
corrisponde all’evento “il numero risultante dal lancio è minore o uguale a 2”. Altri elementi sono
vale a dire “il numero risultante è dispari”, e
cioè “il numero uscente è pari”.
6 5, 4, 3, 2, , 1 6 5, 4, 3, 2, , 1
2,11 2,11
5,3,12 5,3,12
6,4,23 6,4,23
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Probabilità
Definiamo funzione di probabilità una funzione P a valori reali che soddisfa le seguenti proprietà:
se gli n sono a due a due disgiunti. Osserviamo che una funzione di probabilità così definita è
anche una misura. La terna (, A , P) viene detta spazio di probabilità.
11
1)(
,0)(
nn
nn PP
P
AP
11
1)(
,0)(
nn
nn PP
P
AP
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Probabilità L’interpretazione geometrica
1)( P 1)( P L’area complessiva è uguale a 1
11 nn
nn PP
11 nn
nn PP
L’area di ogni sottoinsieme è sicuramente positiva
1
2
3
4
L’area di un insieme di superfici che non si sovrappongono è la somma delle aree delle singole superfici
AP ,0)( AP ,0)(
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Introduzione ai Processi Stocastici
Probabilità
Variabili Aleatorie
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Variabili Aleatorie
Dato uno spazio di probabilità, una variabile aleatoria o casuale viene definita come una funzione
Può esservi una certa confusione fra il concetto di variabile stocastica e quello di evento. Se in un determinato “esperimento” si è interessati unicamente al valore che una determinata grandezza può assumere allora effettivamente il valore di questa grandezza descrive compiutamente l’evento.
In questo caso il valore assunto dalla variabile aleatoria, x, si chiama “campione” della variabile aleatoria X e può essere pensato come una sorta di “etichetta” dell’evento e(x) definito dalla relazione
:X :X
xXxe : )( xXxe : )(
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Variabili Aleatorie Potremmo poi pensare di definire la funzione distribuzione di probabilità della
variabile aleatoria X come la probabilità corrispondente all’evento caratterizzato da un ben definito valore di X
Se la funzione X può assumere solo valori discreti, la definizione appena data è legittima, tuttavia se X è una funzione a valori continui, la probabilità di ottenere come risultato un qualunque valore prefissato è nulla.
L’evento a cui, in ogni caso, possiamo assegnare probabilità non nulla è l’evento corrispondente al caso in cui la variabile aleatoria X non supera un livello prefissato
Abbiamo pertanto la seguente definizione di variabile aleatoria …
xXPxXPxFX : xXPxXPxFX :
ArX : ArX :
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Variabili aleatorie Dato uno spazio di probabilità, una variabile aleatoria o
casuale viene definita come una funzione
tale che per ogni numero reale r si abbia
La funzione
definita sull’insieme dei numeri reali, viene detta funzione di distribuzione cumulata o, più semplicemente, funzione di distribuzione.
ArX : ArX :
xX PxXPxFX : xX PxXPxFX :
:X :X
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Variabili Aleatorie Una variabile aleatoria è detta discreta se l’insieme dei valori che può assumere è
numerabile. Sia (, A , P) uno spazio di probabilità e X una variabile aleatoria discreta. Definiamo la funzione di probabilità come
La funzione di probabilità e la funzione di distribuzione sono legate dalla relazione:
Il lancio di un dado rappresenta una
tipica variabile aleatoria discreta
altrimenti:0
,....2,1 qualcheper , se:)()(
ixxxXPxf i
X
xx
iXXi
xfxF )()(
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Variabili Aleatorie Una variabile aleatoria X è detta continua se esiste una funzione
reale fX tale che per ogni x reale sia soddisfatta la relazione
Nei punti in cui la funzione di distribuzione è derivabile vale anche la relazione inversa
La funzione f(x) in questo caso viene detta funzione densità di probabilità (o semplicemente funzione densità).
x
XX dyyfxF )()(
dx
xdFxf X
X)(
)(
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Introduzione ai Processi Stocastici
Probabilità
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Processi Stocastici
Dinamica del Prezzo di un’Azione
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Momenti Il valor medio o valore di aspettazione di X, che indicheremo con , è
definito come
In generale si definisce momento dall’origine (o momento grezzo) di ordine r, e si indica, la media della variabile aleatoria Xr.
La definizione è naturalmente applicabile solo nel caso in cui tale media sia finita.
)( i
iXiX xfxXE )( i
iXiX xfxXE
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Momenti
In pratica vengono comunemente utilizzati i primi quattro momenti:
media varianza skewness (o asimmetria) curtosi
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Momenti La varianza di X, indicata con , è la media degli scarti quadratici
rispetto alla media e rappresenta una misura di dispersione di X.
La sua radice quadrata è detta deviazione standard.
La varianza è definita da
Da cui è immediato ricavare
Uno stimatore della varianza è dato da
i
iXXiX xfx )(22
222 XEXEX
)1(
1
2
1
2
nn
xxn
s
n
i
n
iii
)1(
1
2
1
2
nn
xxn
s
n
i
n
iii
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Il significato della deviazione standard Due serie storiche di cui la seconda ha standard deviation doppia
dell’altra...
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
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Il significato della deviazione standard ... e le rispettive distribuzioni di probabilità!
0
20
40
60
80
100
120
140
160
-2.00 -1.18 -0.37 0.45 1.27
0
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100
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140
160
-2.00 -1.18 -0.37 0.45 1.27
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Momenti Il momento centrale di ordine 3 ci dà informazioni sul grado di asimmetria di
una distribuzione attorno alla sua media ed è comunemente indicato col termine skewness.
L'asimmetria positiva indica una distribuzione con una coda asimmetrica che si estende verso i valori più positivi.
L'asimmetria negativa indica una distribuzione con una coda asimmetrica che si estende verso i valori più negativi.
Uno stimatore di questa grandezza è dato da
in cui s è lo stimatore della standard deviation e è il valor medio.
n
i
i
s
xx
nn
n
1
3
)2)(1(
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Momenti La relazione tra
momento del terzo ordine e coefficiente di asimmetria, solitamente indicato con 1/2, è data da
Valori positivi dell’asimmetria indicano che la distribuzione è asimmetrica per valori crescenti della variabile x (a destra) mentre un’asimmetria negativa sta ad indicare una distribuzione asimmetrica a sinistra.
33
1
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Momenti Vediamo infine la curtosi, indicata con 2, di un insieme di dati. Essa è legata al momento centrale di ordine 4 dalla relazione
ed è caratteristica delle cosiddette “code grasse”.
Gli stimatori comunemente utilizzati riportano in realtà la cosiddetta “curtosi in eccesso” ovvero la differenza fra e 3.
Questo è dovuto al fatto che la distribuzione normale o gaussiana ha curtosi pari a 3 e questo indicatore viene spesso utilizzato come indice per comprendere quando la distribuzione di un insieme di dati si allontani dalla normalità.
44
2
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Momenti La formula utilizzata per lo stimatore è riportata sotto; s è lo stimatore della standard deviation e è il valor medio.
Nell’immagine un esempio di distribuzione empirica dei rendimenti di un titolo in cui si evidenzia il fenomeno della “leptocurtosi” (code grasse)
)3)(2(
13
)3)(2)(1(
)1( 2
1
4
nn
n
s
xx
nnn
nn n
i
i
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Momenti Si possono facilmente generalizzare al caso continuo i risultati
per le distribuzioni discrete.
Il valore di aspettazione sarà pertanto definito come
In cui l’integrazione è estesa al dominio di definizione della variabile che può variare a seconda del tipo di distribuzione.
In maniera analoga si generalizzano le definizioni di varianza e degli altri momenti.
)(
)( ][xD
X dxxfxXE
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Cenni di Statistica dei Mercati Finanziari Come vedremo più avanti la grandezza di cui siamo
interessati a stimare le caratteristiche statistiche non è il prezzo di un titolo ma la sua variazione percentuale (rendimento);
In prima approssimazione possiamo ipotizzare che il rendimento di un titolo azionario sia distribuito in maniera normale;
In realtà quest’assunzione è fortemente criticabile anche se di impiego quasi universale in pratica;
La distribuzione effettiva dei rendimenti tende ad essere leptocurtotica
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Dalla serie storica dei prezzi a quella dei rendimenti
Il primo calcolo che dobbiamo fare è quindi quello di trasformare la serie storica dei prezzi in serie storica dei rendimenti del titolo o della generica attività finanziaria: sia
n il numero di osservazioni; Si il prezzo dell’azione alla fine dell’i-esimo intervallo (i = 0,1,..,n); la lunghezza dell’intervallo in anni
Indichiamo con ui il tasso di rendimento composto continuamente non annualizzato relativo all’intervallo considerato
S
S
S
Su
i
ii
1
lnS
S
S
Su
i
ii
1
ln
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La Stima della Volatilità Una stima della deviazione standard è data da
Questa è una stima della volatilità giornaliera, per ottenere una stima della
volatilità annualizzata occorre moltiplicare per la radice quadrata del numero di
giorni lavorativi in un anno.
Scegliere un valore per n non è facile, in generale più dati si usano e maggiore è
l’accuratezza. Tuttavia cambia nel tempo e i dati troppo vecchi possono non
essere rilevanti per prevedere il futuro.
Un compromesso che sembra funzionare abbastanza bene è quello di utilizzare i
prezzi di chiusura giornalieri degli ultimi 90-180 giorni.
n
1i
2n
1ii
2i
n
1i
2i u
1nn
1u
1n
1uu
1n
1s
)(
n
1i
2n
1ii
2i
n
1i
2i u
1nn
1u
1n
1uu
1n
1s
)(
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Stima della volatilità Si noti che la volatilità così stimata è una volatilità che si
riferisce al periodo della serie storica Es. se abbiamo una serie di rendimenti giornalieri, la volatilità
sarà la volatilità giornaliera del rendimento; Occorre riportare ad un’unità di misura comune;
Es. per ricondurre tutto a volatilità annuali, sotto opportune ipotesi statistiche, occore moltiplicare per la radice del numero di giorni lavorativi
250dy
Volatilità annualeVolatilità giornaliera
Nr. Giorni Lavorativi in un Anno
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Esempio ProgrammazioneVBA
Esempio ProgrammazioneVBA
Distribuzione dei Rendimenti di un Indice AzionarioDistribuzione dei Rendimenti di un Indice Azionario
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Introduzione ai Processi Stocastici
Probabilità
Variabili Aleatorie
Momenti
Distribuzioni
Generazione di Numeri Pseudo-Casuali
Dipendenza e Correlazione
Processi Stocastici
Dinamica del Prezzo di un’Azione
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Distribuzioni Discrete Distribuzione Uniforme
Sia X una variabile aleatoria che assume valori nel dominio dei numeri naturali 1, 2, ... , n. Diremo che tale variabile ha una distribuzione uniforme se risulta
Valor medio e varianza sono dati da:
altrimenti
nxnnxfxf XX :0
,,2,1:1),()(
2
1
2
)1(1][
1
n
n
nni
nXE
n
i
12
1
4
)1(
6
)12)(1(
4
)1(1][][
22
1
22222
nnnnnni
nXEXE
n
iX
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Distribuzioni Discrete Distribuzione Binomiale
Dati n eventi indipendenti, tutti con uguale probabilità p, sia X la variabile casuale che conta il numero totale di eventi che si verificano fra quelli possibili.
X ha una distribuzione binomiale con parametri n e p. La funzione di probabilità è
per i = 0, 1, 2, ..., n
valor medio e varianza sono dati daFunzione di Probabilità e Distribuzione Cumulata Binomiale per il caso n = 6 e p = 0.5
iniX pp
ini
nif
)1(
)!(!
!)(
npXE
)1(2 pnpX
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Distribuzioni Discrete Distribuzione di Poisson
Esistono numerosi eventi che accadono nel tempo con cadenza del tutto irregolare.
Il numero di telefonate in arrivo ad un centralino, il numero di clienti che si presentano allo sportello di un ufficio, il numero di auto che giungono ad un casello autostradale sono tutti chiari esempi di questo tipo di processi.
Indichiamo con il numero medio di occorrenze nell’unità di tempo e supponiamo che siano soddisfatte le seguenti proprietà: La probabilità di avere esattamente un’occorrenza in un intervallo di tempo dt di
ampiezza trascurabile è dt a meno di infinitesimi di ordine superiore mentre la probabilità di avere più di un’occorrenza è trascurabile;
I numeri di occorrenze in intervalli temporali disgiunti sono indipendenti. Consideriamo la variabile aleatoria X che rappresenta il numero di occorrenze in
un dato intervallo . Dividiamo l’intervallo in n sotto-intervalli di ampiezza t / n. La probabilità di avere esattamente una occorrenza all’interno di uno di questi sotto-intervalli è per le ipotesi fatte pari a t / n; per la proprietà dell’indipendenza, e ricordando la definizione della distribuzione binomiale, otteniamo che la probabilità di k occorrenze è data da (a meno di infinitesimi di ordine superiore)
knk
k
knk
n
t
n
tt
nk
knnn
n
t
n
t
k
nkXP
11)(
!
)1()1(1)(
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Distribuzioni Discrete Supponiamo ora che n tenda
all’infinito, per le ipotesi fatte la probabilità di occorrenza all’interno di un intervallo dt tende a zero ma il prodotto n dt è pari ad una costante = t, otteniamo così la cosiddetta distribuzione di Poisson
con x = 0, 1, 2, ...
La media e la varianza di una distribuzione di Poisson coincidono e sono entrambe pari al parametro . Funzione di Probabilità e
Distribuzione Cumulata di Poisson per = 9
!);()(
x
exfxf
xx
XX
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Distribuzioni Continue Distribuzione Uniforme
Diremo che una variabile aleatoria X è uniformemente distribuita nell’intervallo reale [a, b] se la sua funzione di distribuzione cumulata è data da
a cui corrisponde una funzione densità di probabilità data da
La distribuzione uniforme gioca un ruolo particolarmente importante nei metodi di simulazione in quando per generare le diverse distribuzioni si parte usualmente da generatori di variabili casuali uniformi.
bx se
bxa seab
axax se
xFX
1
0
)(
bx se
bxa seab
ax se
xf X
0
10
)(
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Distribuzioni Continue Distribuzione Normale
Una delle funzioni più importanti, sia nella teoria sia nella pratica, è la distribuzione normale o gaussiana la cui funzione densità è data da:
dove i parametri e sono rispettivamente la media e la deviazione standard.
Una variabile aleatoria viene detta distribuita secondo una normale standard se la media è 0 e la standard deviation è 1.
Durante il corso utilizzeremo anche una notazione abbastanza diffusa tramite la quale si indica che una generica variabile aleatoria X è distribuita come una normale con media e varianza 2: X ~N( , ).
2
2
2
2
1),;()(
x
XX exfxf
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Distribuzione Normale Media e Varianza
Distribuzione Normale e Binomiale
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Rapporto fra distribuzioni e istogramma Non dimenticate che la
densità di probabilità rappresenta la frazione di valori che cadono all’interno di un certo intervallo della variabile aleatoria:
0
10
20
30
40
50
60
70
80
-0.031 -0.025 -0.019 -0.014 -0.008 -0.002 0.003 0.009 0.015 0.02
tot
tot
NxxfN
xxfN
N
)(
)(
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Distribuzioni Continue Distribuzione LogNormale
Sia X una variabile aleatoria con distribuzione normale, allora la variabile z = eX definisce una variabile aleatoria con distribuita in maniera log-normale.
Se la variabile X ha media e standard deviation , allora la funzione densità di probabilità di z è data da
con z > 0. La media e la varianza della variabile Z possono essere espresse in funzione dei corrispondenti momenti di X tramite le relazioni
avendo posto .
22
ln2
1
2
1)(
z
Z ez
zf
2
2
1
][
eZE )1(1 222 22
eeeZ
1)exp( 2
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Distribuzioni Continue I fattori di asimmetria e curtosi
sono dati rispettivamente da
Notate che per valori di non nulli, sia l’asimmetria è sempre maggiore di zero e la curtosi è sempre maggiore di 3. Questo vuol dire che la distribuzione log-normale è sempre asimmetrica a destra e leptocurtica.
21 2/11
332 2342
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Introduzione ai Processi Stocastici
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Variabili Aleatorie
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Esistono numeri casuali ? Come può un elaboratore, macchina totalmente
deterministica, generare numeri casuali e quindi per loro natura non deterministici?
La risposta è molto semplice: non può! I numeri sono generati per mezzo di qualche algoritmo per
cui non si può parlare di casualità essendo la sequenza predeterminata;
In compenso con un computer si possono generare sequenze di numeri che sembrino aleatorie
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Generatori di Numeri Pseudocasuali Virtualmente tutti i generatori di numeri pseudo casuali impiegati in
pratica sono basati sul generatore lineare congruente
I parametri a, c ed m determinano la qualità del generatore. a viene
detto moltiplicatore, c incremento ed m è il cosiddetto modulo.
Il generatore appena visto genera numeri interi compresi fra 0 ed m.
Usualmente si utilizzano generatori di numeri casuali
uniformemente distribuiti fra 0 ed 1, per questo è sufficiente
scegliere
mcaJJ ii mod 1 mcaJJ ii mod 1
mJU ii / mJU ii /
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Generatore Lineare Congruente La sequenza di numeri casuali si ripeterà dopo un
ciclo che, al più, potrà essere di lunghezza m. Il massimo intero rappresentabile su un computer la
cui lunghezza di parola è di L bit è 2L . Usualmente si sceglie
12m 1L 12m 1L
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Vantaggi E’ molto veloce richiedendo pochissime operazioni per chiamata,
questo lo rende di uso universale;
Svantaggi Il più grosso svantaggio è rappresentato dalla presenza di
correlazione sequenziale; Può produrre risultati inaspettati quando viene usato per la
generazione di distribuzioni non uniformi.
Generatore Lineare Congruente
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Generatore Lineare Congruente Se si generano n coppie di numeri casuali e si
associano ad esse n punti in un piano, i punti non si distribuiscono uniformemente ma tendono ad allinearsi lungo segmenti di retta.
0
0 .1
0 .2
0 .3
0 .4
0 .5
0 .6
0 .7
0 .8
0 .9
1
0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1
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Generatore Lineare Congruente La correlazione sequenziale può essere
facilmente rimossa con tecniche di mescolamento (“shuffling”);
Il numero prodotto allo step j non costituisce l’output j-esimo ma viene utilizzato per l’output ad uno step successivo scelto in maniera casuale;
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Generazione di distribuzioni Uniformi
Microsoft Excel
La funzione Rnd() restituisce un valore numerico di tipo Single che contiene un numero casuale.
La sintassi è la seguente:
Rnd[(num)] L'argomento facoltativo num può essere un valore Single o una qualsiasi
espressione numerica valida. I valori restituiti dalla funzione dipendono dal valore passato come argomento.
Per ogni base iniziale specificata, viene generata la stessa sequenza di numeri, in quanto ogni successiva chiamata alla funzione Rnd() utilizza il numero casuale precedente come base per il numero successivo nella sequenza. In particolare
se il parametro num è minore di zero Rnd() genera sempre lo stesso numero, utilizzando num come base;
se num è maggiore di zero viene restituito il successivo numero casuale nella sequenza; se num è uguale a zero viene restituito il numero generato per ultimo; infine se il parametro in input viene omesso, Rnd() restituirà il successivo numero casuale nella
sequenza.
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Prima di richiamare Rnd(), è consigliabile utilizzare l'istruzione Randomize senza argomento per inizializzare il generatore di numeri casuali con una base connessa al timer del sistema con la seguente sintassi
Randomize[(numero)]
Randomize utilizza il parametro numero per inizializzare il generatore di numeri casuali della funzione Rnd() assegnandogli un nuovo valore base. Se numero viene omesso, il valore restituito dal timer di sistema verrà utilizzato come nuova base.
Ricordate che la funzione Rnd() restituisce un valore minore di 1 ma maggiore o uguale a
zero. Per generare interi casuali in un dato intervallo, utilizzare la seguente formula:
Int((limitesup - limiteinf + 1) * Rnd + limiteinf)
dove limitesup indica il numero maggiore presente nell'intervallo, mentre limiteinf indica il numero minore.
Generazione di distribuzioni Uniformi Microsoft Excel
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Esempio ProgrammazioneVBA
Esempio ProgrammazioneVBA
Generazione di Numeri CasualiIl Generatore Lineare Congruente Generazione di Numeri CasualiIl Generatore Lineare Congruente
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Metodo della trasformazione inversa Da un generatore di numeri
distribuiti uniformemente si possono ricavare numeri distribuiti secondo una densità di probabilità prefissata.
SCOPO: generare un campione di numeri Z distribuiti in accordo ad una funzione di distribuzione assegnata F(z).
INPUT: deve essere possibile valutare la funzione inversa di F(z).
OUTPUT: Z. METODO: Generare un set di
numeri casuali U uniformemente distribuiti fra 0 ed 1 e per ciascuno di questi calcolare Z = F-1(U)
Z
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Transformation MethodSia x una variabile aleatoria distribuita uniformemente fra 0 e 1, supponiamo di voler generare una variabile aleatoria con densità di probabilità g(y) essendo y=y(x).Dovremo avere
La soluzione di questa equazione differenziale è
)(
)()(
xFy
dzzfyFx
1
y
)(
)()(
xFy
dzzfyFx
1
y
dy
dxygdxdyyg )()(
dy
dxygdxdyyg )()(
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Variabili Normali Univariate
Microsoft Excel
INV.NORM(). Restituisce l'inversa della distribuzione normale cumulativa per la media e la deviazione standard specificate. La sintassi é
INV.NORM(probabilità;media;dev_standard)
dove
probabilità è la probabilità corrispondente alla distribuzione normale, media è la media aritmetica della distribuzione,
dev_standard è la deviazione standard della distribuzione.
INV.NORM utilizza una tecnica iterativa per il calcolo della funzione. Dato un valore di probabilità, INV.NORM applica il metodo delle iterazioni fino a quando la precisione del risultato non rientra in ± 3x10^-7. Se il risultato di INV.NORM non converge dopo 100 iterazioni, la funzione restituirà il valore di errore #N/D.
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Introduzione ai Processi Stocastici
Probabilità
Variabili Aleatorie
Momenti
Distribuzioni
Generazione di Numeri Pseudo-Casuali
Dipendenza e Correlazione
Processi Stocastici
Dinamica del Prezzo di un’Azione
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Misure di co-dipendenza
Distribuzioni Marginali Data la distribuzione congiunta di due variabili x ed y la funzione di densità
marginale di x è definita come
E, analogamente,
)(
),()(yD
x dyyxx )(
),()(yD
x dyyxx
)(
),()(xD
y dxyxy )(
),()(xD
y dxyxy
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Misure di co-dipendenza
Indipendenza Due variabili x ed y si dicono indipendenti se la loro
funzione densità congiunta si fattorizza nel prodotto delle densità marginali
)()(),( , yxyxtiindipendenyx yx )()(),( , yxyxtiindipendenyx yx
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Correlazione Lineare Ricordiamo la definizione di correlazione lineare tra
due variabili x ed y
Misure di co-dipendenza
2222
,
)()()()(
)()(),(
)()(
),cov(
dyyydyyydxxxdxxx
dyyydxxxdxdyyxxy
yx
yx
yyxx
yx
yx
2222
,
)()()()(
)()(),(
)()(
),cov(
dyyydyyydxxxdxxx
dyyydxxxdxdyyxxy
yx
yx
yyxx
yx
yx
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Covarianza Date due variabili aleatorie X ed Y con varianza finita, si definisce
covarianza la quantità definita da
Se la covarianza è nulla le due variabili si dicono non correlate. Solitamente
viene introdotto un coefficiente di correlazione definito come
I cui valori massimi e minimi dipendono dal tipo di distribuzione considerata.
uno stimatore della covarianza è dato da
][][][),( YEXEXYEYXCovXY
YX
XYXY
n
iYiXi yx
n 1
))((1
n
iYiXi yx
n 1
))((1
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Correlazione positiva
-8.00%
-6.00%
-4.00%
-2.00%
0.00%
2.00%
4.00%
6.00%
8.00%
10.00%
-8.00% -6.00% -4.00% -2.00% 0.00% 2.00% 4.00% 6.00% 8.00%
Bancari
Ind
ust
rial
i
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Correlazione negativa
-0.80%
-0.60%
-0.40%
-0.20%
0.00%
0.20%
0.40%
0.60%
0.80%
-10.00% -8.00% -6.00% -4.00% -2.00% 0.00% 2.00% 4.00% 6.00% 8.00% 10.00%
Azioni Italia
Ob
b.
Ital
ia
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Variabili Normali Multivariate Cholescky Decomposition
Indichiamo con X un vettore di variabili aleatorie indipendenti ciascuna delle quali distribuita secondo una normale standard, la matrice di varianza-covarianza di X sarà pertanto data dalla matrice unità di dimensione n n. Supponiamo di voler derivare da questo insieme di variabili un secondo set di variabili, che indicheremo con Y, non più indipendenti bensì dotato di matrice di varianza-covarianza assegnata .
Il nuovo insieme di variabili aleatorie può essere ricercato come combinazione lineare delle variabili indipendenti , cioè si pone
Il problema si riconduce così alla determinazione di una matrice A di dimensione n n tale che
AXY AXY
tAA tAA
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N
j
N
j kjkjikijjij
N
j kjkjikij
N
jjijii
N
jjiji
N
jjiji
ij
jij
ii
axxaaxa
xxaaxa
xayyyy
xayxay
1
2
1
22
1
22
2
1
2222
11
2
2
)(
0
Variabili Normali Multivariate
1)(22 jj xx
AXY AXY
0),cov( kjkj xxxx
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Cholescky Decomposition
La soluzione della precedente equazione non è unica nel senso che esistono più matrici A che, moltiplicate per la loro trasposta, danno come risultato . Se la matrice è definita positiva il metodo più efficiente dal punto di vista computazionale per risolvere il problema consiste nell’applicazione della scomposizione di Cholescky.
Il punto chiave di tale metodologia consiste nel ricercare A nella forma di una matrice triangolare inferiore, ovvero una matrice in cui tutti gli elementi sopra la diagonale sono nulli,
nnnn AAA
AA
A
A
21
2221
11
0
00
nnnn AAA
AA
A
A
21
2221
11
0
00
Variabili Normali Multivariate
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Cholescky Decomposition
Sviluppando il prodotto AAt in componenti è facile verificare che gli elementi di A sono ricavabili dalle seguenti formule iterative
Ad esempio per il caso semplice di due variabili troviamo
1
1
2i
kikiiii aa
1
1
2i
kikiiii aa
1
1
1 i
kjkikij
iiji aa
aa
1
1
1 i
kjkikij
iiji aa
aa
2
22
1
1
0
A
2
22
1
1
0
A
Variabili Normali Multivariate
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Esempio ProgrammazioneVBA
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Generazione di Numeri CasualiDistribuzione Normale BivariataGenerazione di Numeri CasualiDistribuzione Normale Bivariata
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Introduzione ai Processi Stocastici
Probabilità
Variabili Aleatorie
Momenti
Distribuzioni
Generazione di Numeri Pseudo-Casuali
Dipendenza e Correlazione
Processi Stocastici
Dinamica del Prezzo di un’Azione
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Processi stocastici
Consideriamo una successione discreta di istanti di tempo t1, t2, … , tn.
In generale possiamo descrivere il comportamento di un sistema che evolve nel tempo in maniera imprevedibile tramite una corrispondente sequenza di variabili aleatorie
X1, X2, ..., Xn.
Parleremo in questo caso di processo stocastico discreto. Naturalmente possiamo anche definire processi stocastici nel tempo
continuo sia su un dominio finito, come ad esempio [0, 1], sia su un dominio infinito, ad esempio [0, ).
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Processi stocastici Da un punto di vista formale consideriamo uno spazio di probabilità (, A , P) e un
insieme non vuoto, T, i cui elementi sono gli istanti che vengono presi in considerazione. Definiamo processo stocastico una funzione di due variabili
tale che
è una variabile aleatoria per ogni t. La funzione
viene chiamata realizzazione o traiettoria del processo stocastico considerato. Ogni realizzazione in pratica non è altro che un’osservazione dell’evoluzione temporale
della quantità descritta dal processo.
RTX : RTX :
.),()( tXtX .),()( tXtX
RT X :,. RT X :,.
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Processi stocastici
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Processi stocastici Se assumiamo che un processo stocastico soddisfi le tre condizioni
esso è definito diffusivo.
I parametri e , che possono essere costanti o funzioni di Y e t,
sono definiti drift e parametro di diffusione (diffusion) del processo.
La terza condizione esclude la presenza di salti nel processo.
0Prlim
lim
lim
0
2
0
0
tYhtY
h
tYhtYVARh
tYhtYE
h
h
h
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Processi stocastici Un particolare tipo di processo diffusivo che utilizziamo per costruire i
processi stocastici è il processo di Wiener w(t).
Tale processo è definito dalla seguente proprietà:
l’incremento w(t + h) – w(t), condizionale all’informazione disponibile in t (t), ha distribuzione di probabilità normale con media zero e varianza pari ad h.
L’utilità di questo strumento per la costruzione di processi stocastici è immediata. Un processo con drift e diffusione costanti e con Y(0) = 0 può essere rappresentato come...
tt
tdwdttY00
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Processi stocastici ...o, nella notazione equivalente più usuale
nota come equazione differenziale stocastica. Quest’ultima notazione è puramente simbolica e serve ad esprimere la precedente relazione in maniera più compatta.
tdwdttdY
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Processi stocastici
Dalla definizione del processo di Wiener è immediato ottenere che al tempo t + h la posizione di Y sarà descritta da una distribuzione normale con media pari a Y(t) + h e varianza pari a 2h.
Notiamo che questo è dovuto al fatto che il processo di Wiener è moltiplicato per un parametro di diffusione costante.
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Processi di Wiener In particolare i modelli di comportamento dei prezzi azionari sono
espressi spesso ricorrendo ai cosiddetti processi di Wiener; Il comportamento di una variabile z che segue un processo di
Wiener può essere compreso se si esaminano le sue variazioni di valore in un piccolo intervallo di tempo dt. Proprietà 1
dz è legata a dt dalla relazione
dove epsilon è una variabile aleatoria N(0,1); Proprietà 2
I valori di dz in due qualsiasi intervalli di tempo dt diversi fra loro sono indipendenti
dtdz dtdz
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Processi di Wiener Generalizzati Un processo di Wiener generalizzato per una variabile x può
essere così definito in funzione di dz
dove a e b sono costanti
Ricordando la prima proprietà dei processi di Wiener possiamo scrivere
bdzadtdx bdzadtdx
dtbadtdx dtbadtdx
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L’Integrale di Ito Nello studio dei flussi d’informazione nei mercati finanziari, i tradizionali
strumenti forniti dall’analisi matematica risultano insufficienti. In particolare la nozione di integrale di Riemann-Stieltjes risulta inadeguata in
un contesto stocastico. Supponiamo infatti di voler calcolare
Se la variabile S è una variabile deterministica il risultato dell’integrazione com’è noto è
0 , 0
0
SdSST
ttConsideriamo la
somma...
1
1
,
1
iii
N
itt
tt
SSSiii
2
0 2
1t
T
tt SdSS Si noti che questo risultato si ottiene facendo tendere N all’infinito nella somma sopra riportata qualunque sia la scelta di 1, iii tt
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L’Integrale di Ito Se invece S è una variabile aleatoria lo stesso procedimento non può essere
utilizzato! Infatti la quantità
non è conosciuta al tempo ti-1.
Inoltre non è possibile effettuare un passaggio al limite nel senso classico del termine sempre per il fatto che abbiamo a che fare con variabili aleatorie per le quali vanno definiti opportuni criteri di convergenza.
Nella definizione di Integrale di Ito, come vedremo, si usa il criterio della convergenza in media quadratica e il risultato finale è diverso da quello che ci aspetteremmo nel caso classico deterministico;
Anche il concetto di differenziale classico risulta inadeguato in campo stocastico.
1
iii tt SSS
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L’Integrale di Ito Infatti, ad esempio, il moto browniano non è differenziabile in alcun
punto e quindi non è derivabile rispetto al tempo; Il punto cruciale è che nel calcolo differenziale classico gli incrementi
del secondo ordine come (S)2 sono trascurabili rispetto a quelli del primo ordine quando S tende a zero e il differenziale di una funzione composta, al primo ordine risulta semplicemente dato da
Possiamo estendere questo semplice risultato al caso stocastico? NO! Il motivo è il seguente: se S è una variabile casuale, assumere che in
media (S)2 sia trascurabile equivale a supporre che la varianza di S sia nulla, ovvero a ritenere S una variabile deterministica!
dStSFS
dttSFt
df ),(),(
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L’Integrale di Ito Per chiarire meglio questo concetto, supponiamo che St segua un
processo browniano,
Supponiamo poi di voler analizzare l’andamento nel tempo di una generica funzione di S e t, anticipando i concetti di convergenza in media quadratica possiamo dire che simbolicamente
Pertanto i termini del secondo ordine in S non possono essere trascurati in un’approssimazione del primo ordine in quanto risultato essere analoghi a termini al primo ordine nel tempo!
tt dWdS
dtdWtWE tt 22
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Lemma di Ito Per valutare l’incremento di una funzione trascurando i termini di
ordine superiore al primo nel tempo dobbiamo pertanto scrivere
Si noti che c’è un termine aggiuntivo in più rispetto al differenziale del calcolo classico;
Tale termine scompare se = 0 ovvero se la variabile non è aleatoria!
Il calcolo differenziale stocastico nasce con lo scopo di dare significato alle equazioni differenziali contenenti termini differenziali stocastici;
),(2
1),(),( 2
2
2
dttSfS
dttSft
dStSfS
df
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Lemma di Ito...se fosse valido il calcolo differenziale classico
dztSS
fdttS
S
f
t
f
dtt
fdztS
S
fdttS
S
fdf
dztSdttSdS
dtt
fdS
S
fdf
tSff
),(),(
),(),(
),(),(
),(
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Lemma di Ito Se il valore di S segue un processo di
Ito
Allora il valore di una generica funzione di S segue la dinamica descritta da
dztSdttSdS ),(),( dztSdttSdS ),(),(
dzS
ftSdt
S
ftS
2
1
S
ftS
t
fdf
2
22
),(),(),( dzS
ftSdt
S
ftS
2
1
S
ftS
t
fdf
2
22
),(),(),(
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Lemma di Ito Un caso speciale
dztSdttSdS ),(),( dztSdttSdS ),(),(
dzS
ftSdt
S
ftS
2
1
S
ftS
t
fdf
2
22
),(),(),( dzS
ftSdt
S
ftS
2
1
S
ftS
t
fdf
2
22
),(),(),(
Sf ln 22
2
S
1
S
f
S
1
S
f0
t
f
dzdt2
1Sd 2
ln
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Introduzione ai Processi Stocastici
Probabilità
Variabili Aleatorie
Momenti
Distribuzioni
Generazione di Numeri Pseudo-Casuali
Dipendenza e Correlazione
Processi Stocastici
Dinamica del Prezzo di un’Azione
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Un processo per i prezzi azionari Come abbiamo visto i rendimenti di un titolo
possono, in prima approssimazione, essere considerati normalmente distribuiti;
Da un punto di vista formale questo equivale ad ipotizzare la seguente relazione
zsmS
SSR
i
iii
1
1
MEDIA
STANDARD DEVIATION
VARIABILE ALEATORIA N(0,1)
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Vediamo quali sono le proprieta di scalabilità temporale della media e della
varianza;
Se la varianza del prezzo fosse sempre nulla detto il tasso di rendimento
istantaneo atteso, quello che ci si aspetta è
S = S0et
in quanto il possesso del titolo equivale in questo caso ad un deposito
bancario (volatilità nulla = risk free)
Ma questa relazione è soluzione dell’equazione differenziale
dS/S= dt
Quindi possiamo porre
Un processo per i prezzi azionari
tm
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Un processo per i prezzi azionari
Quindi possiamo porre
La volatilità quindi varia come la radice quadrata del tempo, questo è equivalente ad assumere che la componente stocastica sia descritta da un processo di Wiener.
tst
TNRR
Ns
N
ii
,)(1
1
1
2
ts
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Riassumendo
dove S è la variazione di prezzo nell’intervallo t e z è un numero casuale estratto da una distribuzione normale standard.
Un processo descritto da un’equazione del genere è detto MOTO GEOMETRICO BROWNIANO
ztStSS ztStSS
Un processo per i prezzi azionari
zsmS
S
S
SS
i
ii
1
1
tm ts
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SdtSdtdS SdtSdtdS
dzdtSd
2)ln(
2
dzdtSd
2)ln(
2
Lemma di ItoLemma di Ito
tzt2S
SSSS
2
00
ln)ln()ln()ln( tzt
2S
SSSS
2
00
ln)ln()ln()ln(
Un processo per i prezzi azionari
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Assunzione di log-normalità
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00
Densità Dist. Cumulata
Una variabile è distribuita in modo log-normale se il suo logaritmo naturale è distribuito secondo una normale
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tzt2S
S 2
0
ln tzt
2S
S 2
0
ln
tzt
2SS
2
0 exp
tzt
2SS
2
0 exp
Un processo per i prezzi azionari
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Esempio ProgrammazioneVBA
Esempio ProgrammazioneVBA
Generazione di Path StocasticiGenerazione di Path Stocastici