1
DOĞRUSAL DENKLEMLER
KARTEZYEN KOORDİNAT SİSTEMİ:Birinci elemanı apsis ekseninden, ikinci elemanı ordinat ekseninden
alınarak oluşturulan sayı ikililerinin yer aldığı düzleme Kartezyen koordinat düzlemi, dik koordinat çatısı veya analitik düzlem denir. Dik koordinat çatısının yer aldığı düzleme koordinat düzlemi denir.
Kartezyen koordinat düzlemi (Koordinat düzlemi)
2
KOORDİNAT EKSENLERİ:Koordinat düzleminde dik olarak kesişen iki sayı doğrusuna (xx’
ve yy’ eksenleri) koordinat eksenleri denir.
KOORDİNAT EKSENLERİ
3
APSİS EKSENİ:Orijinde dik olarak kesişen 2 sayı ekseninden (2 sayı doğrusundan) yatay olanına apsisler ekseni, x ekseni, yatay eksen veya xx’ ekseni denir.
Apsis ekseni,yatay eksen,X ekseni,XX’ ekseni
Apsis ekseni üzerindeki bir noktanın ordinat değeri sıfırdır.
A(X,0)
4
ORDİNAT EKSENİ:Orijinde dik olarak kesişen 2 sayı ekseninden (2 sayı doğrusundan) dikey (düşey) olanına ordinat ekseni, y ekseni, dikey veya YY’ ekseni denir.
Ordinat ekseni,dikey (düşey) eksen,Y ekseni,YY’ ekseni
Ordinat ekseni üzerindeki bir noktanın apsis değeri sıfırdır.
A(0,Y)
5
ORJİN (BAŞLANGIÇ veya REFERANS NOKTASI):İki sayı doğrusunun birbiri ile dik olarak kesiştiği noktaya orijin
başlangıç noktası veya referans noktası denir.
Orijin,başlangıç noktası,referans noktası
Orjinin koordinatları O(0,0) dır.
Orjin üzerindeki bir noktanın apsis ve
ordinat değeri sıfırdır.A(0,0)
6
KOORDİNAT: Bir noktanın eksenlere (doğrulara)olan uzaklıklarına bu noktanın koordinatları veya bileşenleri denir. Sayı doğrusu üzerinde bir noktaya karşılık gelen sayıya o noktanın koordinatı denir.
Koordinat düzlemindeki bir noktanın yeri sayı ikilileri ile belirtilebilir. Bu ikililere, o noktanın koordinatları denir.
Koordinat düzleminde her noktaya bir sıralı (X;Y) gerçek sayı ikilisi karşılık gelir.”X” apsisler ekseni üzerinde ,”Y” ordinatlar ekseni üzerinde yer alır. Bir noktanın apsisine ve ordinatına o noktanın koordinatı denir.
Bir A noktasının koordinatları A (X;Y) şeklinde gösterilir. X birinci bileşen yani apsis, Y ikinci bileşen yani ordinattır.
G noktasının koordinatları G(-5,5) dir.
F noktasının koordinatları F(-5,-4) dir.
K noktasının koordinatları K(5,0) dir.
7
APSİS:Koordinat düzleminde bir noktanın ordinatlar eksenine olan uzaklığına bu noktanın apsisi denir. Apsis bu ikilinin 1.terimi,1.bileşenidir.1.terim “X” ile gösterilir. A(X;Y)=A(4,5)
Apsis değerleri X ekseni üzerinde aranır.İkilinin 1.terimidir.1.terim X ile gösterilir.
8
ORDİNAT:Koordinat düzleminde bir noktanın apsisler eksenine olan uzaklığına bu noktanın ordinatı denir.Ordinat bu ikilinin 1.terimi,1.bileşenidir.1.terim “Y” ile gösterilir. A(X;Y)=A(4,5)
Ordinat değerleri Y ekseni üzerinde aranır.İkilinin 2.terimidir.2.terim Y ile gösterilir.
9
KOORDİNAT DÜZLEMİNDE BÖLGELER:Koordinat eksenleri, koordinat düzlemini 4 bölgeye ayırır.Bölgeler saat dönme yönünün tersi yönde 1.bölge,2.bölge,3.bölge,4.bölge diye isimlendirilir.
I.BÖLGE (+X,+Y)II.BÖLGE (-X,+Y)
III.BÖLGE (-X,-Y)IV.BÖLGE (+X,-Y)
10
DÜZLEMDE BİR NOKTANIN KOORDİNATLARI:A noktasından X ve Y eksenlerine paralel dikmeler inilir. Bu dikmelerin
eksenleri kestiği noktalar ile eşleşen sayılar, o noktanın koordinatlarıdır. X ekseni üzerindeki sayı ikilinin 1.terimi, Y ekseni üzerindeki sayı ikilinin ikinci terimidir.
X ve Y eksenlerine paralel doğrular çizildi.
KOORDİNATI BİLİNEN NOKTAYI BULMAK:Apsis ve ordinatların bulunduğu noktalardan eksenlere paralel doğrular çizilir. Bu paralel doğruların kesim noktası koordinatları verilen noktadır. A(- 4,- 3) Noktasını koordinat düzleminde gösteriniz?
11
KOORDİNAT DÜZLEMİNDE BİR NOKTANIN SİMETRİĞİNİ BULMAK:Bir noktanın x eksenine göre simetriğini (yansımasını) bulmak:Bir noktanın X eksenine göre simetriğini bulmak için, sadece Y’nin işaretini değiştirmek yeterlidir. A(+X;+Y) noktasının X eksenine göre simetriği A’(+X;-Y) noktasıdır.
ÖRNEK-1: A(- 5,- 3) noktasının X eksenine göre simetriği olan noktayı koordinat düzleminde gösteriniz?A(- 5,- 3) noktasının X eksenine göre simetriği olan nokta A’(-5,+3) noktasıdır.
X eksenine göre simetrik noktalar
X eksenine göre simetrik noktalar
Sadece X in işareti değişir.
12
Bir noktanın y eksenine göre simetriğini (yansımasını) bulmak:Bir noktanın Y eksenine göre simetriğini bulmak için, sadece X’in işaretini değiştirmek yeterlidir. A(+X;+Y) noktasının Y eksenine göre simetriği A’(-X;+Y) noktasıdır.
ÖRNEK-1:A(- 5,- 3) noktasının Y eksenine göre simetriği olan noktayı koordinat düzleminde gösteriniz?A(- 5,- 3) noktasının Y eksenine göre simetriği olan nokta A’(+5,-3) noktasıdır.
Y eksenine göre simetrik noktalar
Y eksenine göre simetrik noktalar
Sadece Y nin işareti değişir.
13
Bir noktanın orijine göre simetriğini (yansımasını) bulmak:Bir noktanın orijine göre simetriğini bulmak için hem X’in hem de Y’nin işareti değişir. A(+X;+Y) noktasının orijine göre simetriği A’(-X;-Y) noktasıdır.
ÖRNEK-1:A(- 5,- 3) noktasının X eksenine göre simetriği olan noktayı koordinat düzleminde gösteriniz?A(- 5,- 3) noktasının orijine göre simetriği olan nokta A’(+5,+3) noktasıdır.
Orjine göre simetrik noktalar
Orjine göre simetrik noktalar
Hem X in ve hem de Y nin işareti değişir.
14
DOĞRU GRAFİKLERİ
KOORDİNAT EKSENLERİNE PARALEL OLAN DOĞRULARIN GRAFİKLERİNİ ÇİZMEK:A) X EKSENİNE PARALEL OLAN DOĞRULARIN GRAFİKLERİNİ ÇİZMEK:
Y ekseni üzerindeki noktalardan X eksenine çizilen paralel doğrulara X eksenine paralel olan doğrular denir. X eksenine paralel olan doğrularda Y değerleri sabittir.
ÖRNEK-1:Y=0 DOĞRUSU( X EKSENİNİN KENDİSİ) :Y ekseni üzerindeki 0 noktasından x eksenine çizilen paralel doğruya Y=0 doğrusu denir. X değeri değişken Y=0 değeri sabittir.
15
ÖRNEK-2:Y=+2 DOĞRUSU:Y ekseni üzerindeki +2 noktasından x eksenine çizilen paralel doğruya Y=+2 doğrusu denir. X değeri değişken Y=+2 değeri sabittir.
ÖRNEK-3:Y=-3 DOĞRUSU:Y ekseni üzerindeki -3 noktasından x eksenine çizilen paralel doğruya Y=-3 doğrusu denir. X değeri değişken Y=-3 değeri sabittir.
Y=+2 Doğrusu
Y=-3 Doğrusu
16
KOORDİNAT EKSENLERİNE PARALEL OLAN DOĞRULARIN GRAFİKLERİNİ ÇİZMEK:B) Y EKSENİNE PARALEL OLAN DOĞRULARIN GRAFİKLERİNİ ÇİZMEK:
X ekseni üzerindeki noktalardan Y eksenine çizilen paralel doğrulara Y eksenine paralel olan doğrular denir. Y eksenine paralel olan doğrularda X değerleri sabittir.
ÖRNEK-1: X=0 DOĞRUSU ( Y EKSENİNİN KENDİSİ):X ekseni üzerindeki 0 sıfır noktasından Y eksenine çizilen paralel doğruya X=0 doğrusu denir. X değeri 0 sıfır olarak sabit, Y değeri değişkendir.
17
ÖRNEK-2: X=+4 DOĞRUSU:X ekseni üzerindeki +4 noktasından Y eksenine çizilen paralel doğruya X=+4 doğrusu denir. X değeri +4 olarak sabit, Y değeri değişkendir.
ÖRNEK-3: X=-3 DOĞRUSU:X ekseni üzerindeki -3 noktasından Y eksenine çizilen paralel doğruya X=-3 doğrusu denir. X değeri -3 olarak sabit, Y değeri değişkendir.
18
ORİJİNDEN GEÇEN BİR DOĞRUNUN DENKLEMİNİ KURMAK: 1) Orijinden geçen bir doğrunun eğimi verildiğinde denklemini kurmak için y=m.x formülü kullanılır.
19
ORİJİNDEN GEÇEN DOĞRULARIN GRAFİĞİNİ ÇİZMEK: Y=ax şeklindeki denklemlerin doğru grafikleri orijinden geçer. Ancak, Bu denklemlerin doğru grafikleri orijinden geçtiğinden orijinin koordinatları O(0,0) dır.Biz sadece bir noktanın koordinatlarını bulacağız.
ÖRNEK-1: Y=-3x denkleminin doğru grafiğini koordinat düzleminde çiziniz?Orjin noktasının koordinatı O(0,0) dır.Bir noktanın koordinatını daha bulunur.
ÖRNEK-2: Y=2x denkleminin doğru grafiğini koordinat düzleminde çiziniz?Orjin noktasının koordinatı O(0,0) dır.Bir noktanın koordinatını daha bulunur.
20
ÖRNEK-3: 4Y=3x denkleminin doğru grafiğini koordinat düzleminde çiziniz?Orjin noktasının koordinatı O(0,0) dır.Bir noktanın koordinatını daha bulunur.
ORİJİNDEN GEÇMEYEN BİR DOĞRUNUN DENKLEMİNİ KURMAK: 1) Eğimi m ve bir noktası A(X,Y) belli olan doğrunun denklemini kurmak için ; Y-Y1=m.(X-X1) formülünden yararlanılır.
21
22
2) İki noktası belli olan doğru denklemini kurmak: A(X1,Y1) ,B(X2,Y2) noktalarının koordinatları belli iken doğrunun denklemi aşağıdaki formül ile bulunur.
21
1
21
1
XX
XX
YY
YY
23
ORİJİNDEN GEÇMEYEN DOĞRULARIN GRAFİĞİNİ ÇİZMEK: Y=ax+b (b0) şeklindeki denklemlerin doğru grafikleri orijin dışından geçer.
Bu denklemlerin doğru grafiklerini çizmek için değişim tablosu yapılır. Değişim tablosunda X’e 0 sıfır değeri verilerek Y ve Y’e sıfır 0 değeri verilerek X değeri bulunur.
X ve Y eksenlerinin kesim noktalarından çizilen doğru bu denklemin doğru grafiğidir.
Doğru denklemi Y ekseni üzerindeki -2 noktasından ve X ekseni üzerindeki 3 noktasından geçer.
24
Doğru denklemi Y ekseni üzerindeki -8 noktasından ve X ekseni üzerindeki 10 noktasından geçer.
Doğru denklemi Y ekseni üzerindeki 4 noktasından ve X ekseni üzerindeki 12 noktasından geçer.
25
GRAFİĞİ VERİLEN DOĞRUNUN DENKLEMİNİN KURULMASI:
26
27
TEST ÇÖZME
28
29
30
31
32
05
5
46
6
yx
5
5
10
6
yx
33
34
DOĞÜRUSAL İLİŞKİ VE DOĞRUSAL DENKLEMLERTABLODAN DENKLEME
ÖRNEK–1: Arılar 1 kilogram balmumu yapmak için 22 kilogram bal tüketirler. Arıların ürettikleri bal mumu ile tükettikleri bal miktarı arasındaki ilişkiyi tablo ve çizgi grafiği ile gösteriniz?
35
ÖRNEK–2:Ayşe her gün annesinden 3 TL harçlık alıyor. Bu durumu tablo ve çizgi grafiği ile gösteriniz?
36
ÖRNEK–3:1 Kilo gram kuru çay elde etmek için ortalama 6 kilo gram yaş çay kurutmak gerekiyor. Buna göre, verilen değişkenler arasındaki ilişkiyi tablo ve grafik ile gösteriniz?
AÇIKLAMA: Doğrusal ilişki, iki değişkenden oluşan AX+BY+C=0 biçimindeki cebirsel ifade ile gösterilebilir. A ve B katsayı, C sabit sayıdır. A ve B aynı anda sıfır olamazlar.
37
ÖRNEK–4:1 Kilo gram Çiğit (Pamuk çekirdeği) elde etmek için ortalama 5 kilo gram pamuk gerekiyor. Buna göre, verilen değişkenler arasındaki ilişkiyi tablo ve grafik ile gösteriniz?
38
ÖRNEK–5:Ankara’da taksi ile yapılan yolculuklarda taksimetre 120 kuruş ile açılarak her kilometrede 150 kuruş artıyor. Açılış ücretini de göz önüne alarak gidilen yol ile ücret arasındaki ilişkiyi bularak tablo ve grafikle gösterip doğrusal denklemini gösteriniz?