Kepler-törvények, az égitestek mozgása
Készítette: Szalai Tamás (csillagász, PhD-hallgató, SZTE)
Lektorálta: Dr. Szatmáry Károly (egy. docens, SZTE Kísérleti Fizikai Tsz.)
2011. március
• A XVII. század elejéig teljesen rossz elképzelések éltek az emberekben az égitestek mozgását illetően (Föld-középpontú világkép, körpályák, bonyolult mozgástörvények).
• Kopernikusz ugyan rávilágított, hogy a bolygók a Nap körül keringenek, de mozgásukat ő sem tudta helyesen leírni (körpályákat használt).
• Johannes Kepler (1571-1630) német matematikus, csillagász írta le elsőként azégitestek helyes mozgástörvényeit (egykori mentora, Tycho Brahe észlelésiadatait felhasználva).
• Az ő munkájából nőtt ki később az égi mechanika tudománya, ami segített nagyon pontosan meghatározni az égitestek mozgását, és eszközöket juttatni a világűrbe.
Kepler I. törvénye:
A bolygók olyan ellipszispályákon keringenek, amelyek egyik gyújtópontja (fókuszpontja) a Nap középpontjában van.
Kepler II. törvénye:
A bolygók vezérsugara (a bolygó és a Nap közötti szakasz) egyenlő idők alatt egyenlő területeket „súrol”. (A bolygók napközelben gyorsabban mozognak, mint naptávolban.)
Kepler III. törvénye:
A bolygók keringési időinek négyzetei úgy aránylanak egymáshoz, mint az ellipszispályák nagytengelyeinek köbei:
Kicsit részletesebben a III. törvényről
• Vegyük egy m2 test körül keringő, előbbihez képest
elhanyagolható tömegű m1 test körpályán történő
mozgását:
• A törvény általános formulája
(ellipszis alakú pálya, nem
elhanyagolható tömegek):
Azaz ha pl. a Nap körül keringő égitesteket nézzük, akkor r3/T2 egy konstans érték → vagyis a keringési idő ismeretében kiszámítható az átlagos Nap-bolygó távolság.
Az égitestek mozgása
Az égi mechanika törvényeiből levezethető, hogy az égitestek mozgása kúpszelet alakú pályán történik. Ez lehet:
• ellipszis (e < 1) – az összenergia negatív
(speciális eset: kör, e=0)
• parabola (e =1) – az összenergia nulla
• hiperbola (e > 1) – az összenergia pozitív
(ahol e a pálya lapultsága)
Műholdak és űrszondák pályái
• A műholdak és űrszondák sokféle pályán helyezkednek el, és rendkívül sokrétű feladatot láthatnak el. Ahhoz, hogy egy testet Föld körüli pályára állítsunk, vagy a bolygóközi térbe küldjünk, a különböző, ún. kozmikus sebességeknél nagyobb értékre kell felgyorsítanunk azt.
• I. kozmikus sebesség (körsebesség): Az a sebesség, mellyel indítva egy test (pl. műhold) az adott égitest (pl. a Föld) körüli pályára képes állni. Körpálya esetén a testet pályán tartó centripetális erő egyszerűen felírható:
• II. kozmikus sebesség (szökési sebesség): Az a minimális sebesség , mellyel egy test eltávolodhat az adott égitesttől. Ehhez a test mozgási energiájának legalább akkorának kell lennie, mint a lokális gravitációs potenciális energia:
• Szokás még definiálni ún. III. és IV. kozmikus sebességet is, melyek a Naprendszer, illetve a Tejútrendszer elhagyásához szükséges minimális sebességeket jelentik (Földről indított űrszonda esetében ezek értéke 16,6 km/s, ill. ~ 500 km/s).
Föld körül keringő műholdak pályáiA Föld körül keringő műholdak és egyéb égitestek különböző
pályákon mozoghatnak. A pályák csoportosítása elsősorban az egyes pályaelemek alapján történik:
• excentricitás (e) alapján: körpálya (e=0), elliptikus pálya
• inklináció (i, pályahajlás) alapján: egyenlítői pálya (i=0 fok), közepes inklinációjú pálya, poláris pálya (i=90 fok)
• félnagytengely (h, magasság) alapján: LEO (Low Earth Orbit, 0 < h < 2000 km), MEO (Medium Earth Orbit, 2000 km < h < 35 768 km), GEO (Geosynchronous Earth Orbit, h = 35 768 km), HEO (High Earth Orbit, h > 35768 km)
Speciális pályák:
• Geoszinkron pálya: ennek jellegzetessége, hogy a rajta mozgó műhold keringési ideje megegyezik a Föld tengelyforgási idejével (T = 24 óra = 86400 s).
Körpályán, az Egyenlítő síkjában keringő műhold geostacionárius pályán mozog (így mindig a Föld egy adott pontja fölött tartózkodik, sok távközlési műhold ilyen).
Kepler III. törvénye alapján a félnagytengely: a = 42 164 km, a földfelszín feletti magasság pedig:
h = a – RFöld
= 42 164 km – 6376 km = 35 768 km.
• További speciális pályák: napszinkron pálya (az adott terület a műhold fölött mindig ugyanabban a napszakban repül el), különböző távközlési és navigációs műholdcsaládok pályái (GPS, Molnyija stb.)
Űrszondák pályái• A bolygóközi térben mozgó űrszondák számára két fontos
tényező alakítja ki a pályák alakját: vagy a legrövidebb idő alatt, vagy a legkisebb energiafogyasztással kell eljutniuk céljukhoz.
Utóbbi eset hátránya, hogy egyrészt nem a leggyorsabb úton juttatja a szondát a célbolygóhoz, másrészt az indítás általában nem történhet tetszőleges időpontban, csak az ún. indítási ablakokban.
Egy speciális, energiaminimumospálya, az ún. Hohmann-ellipszisa Föld és a Mars között
A bolygóközi repülések során az ún. gravitációs hintamanőverek révén lehetőség van a szondák sebességének ill. a mozgás irányának megváltozta-tására. Ekkor a szondának szorosan meg kell közelítenie egy bolygót, de úgy, hogy sebessége még meghaladja az ottani szökési sebességet.
Így a szonda sebessége – a bolygó gravitációs teréből nyert impulzus-momentum révén – nagyobb lesz, mint eredetileg volt.
Ha az a cél, hogy a szonda pályára álljon a bolygó körül, akkor a relatív sebességet fékezéssel csökkenteni kell.
Gyorsítás (fent) ill. lassítás (lent) a gravitációs hinta-
manőver segítségével
Hasznos információforrások:Könyvek:
• Univerzum (2006, IKAR, szerk.: M. Rees)
• SH Atlasz – Csillagászat (2002, Athenaeum 2000, szerk.: J. Herrmann)
• Amatőrcsillagászok kézikönyve (2009, MCSE, szerk.: Mizser A.)
MCSE Meteor havi folyóirat + Csillagászati évkönyvek
Feltárul a Világegyetem – Természet Világa különszám (2009)
Internet:• tudasbazis.csillagaszat.hu
• hirek.csillagaszat.hu
• www.urvilag.hu
• www.mcse.hu (Magyar Csillagászati Egyesület oldala)
• astro.u-szeged.hu (Szegedi Csillagvizsgáló oldala)
http://astro.u-szeged.hu/oktatas/csillagaszat.html Letölthető segédanyag!
• icsip.elte.hu (ELTE interaktív csillagászati portál)