Programa analitico de estadística basica

MODULO:

ESTADÍSTICA I

TOTAL HORAS:

80 HORAS

PROFESOR:

ING. RENE IZQUIERDO VERA

Ing. René Izquierdo V. Estadística I

ESTADÍSTICA BASICA

DEFINICIÓN.

Es la ciencia de la recopilación, clasificación, presentación e interpretación de datos

Se refiere a un ordenamiento sistemático de datos presentados en forma de cuadros y gráficas, que permiten visualizar la información.

ESTADÍSTICA.

“Es una ciencia CUANTITATIVA que describe los fenómenos COLECTIVOS, los analiza científicamente y predice conclusiones o resultados lo mas OBJETIVO POSIBLE”.

1. La estadística es una ciencia cuantitativa, pues pertenece a la rama de las matemáticas y con ello señalamos que los números son su herramienta de trabajo.

2. Su objetivo como ciencia es describir y analizar fenómenos colectivos (comerciales, económicos, sociales, educativos, etc.), es decir, le interesa como objeto de estudio el conjunto, lo grupal o colectivo.

3. La estadística tiene sus técnicas y leyes que le permiten predecir el comportamiento del fenómeno, investigando resultados los más cercanos a la verdad u objetividad.

1. Ciencia cuantitativa2. Describe y analiza los fenómenos colectivos3. Predice resultados lo más objetivos sobre

el comportamiento del fenómeno

Dentro del sector público existen organismos especializados que manejan las estadísticas nacionales, como el INEC que le permiten planificar sus actividades y diseñar políticas en torno a fenómenos como: Inflación, desempleo, insalubridad, sueldos, desnutrición, déficit habitacional, impuesto, etc. En el sector privado tiene gran aplicación en actividades tales como: control de calidad, ventas, personal, mercadotecnia, contabilidad, presupuestos, etc.

CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE LOS ELEMENTOS ESTADÍSTICOS

En la definición de estadísticas se había puntualizado que esta ciencia analiza y describe fenómenos colectivos, los mismos que son susceptibles de análisis e interpretación numérica, así por ejemplo: ventas, productos elaborados, calificaciones, sueldos, minutos de atraso, mercadería deteriorada, etc, toda esta información que tiene expresión numérica se la conoce en Estadística como DATOS u OBSERVACIONES, y el colectivo donde se extrajo la misma se la conoce como POBLACION o MUESTRA.

1


Población: conjunto de todos los individuos (personas, objetos, animales, etc.) que porten información sobre el fenómeno que se estudia. Por ejemplo, si estudiamos la edad de los habitantes en una ciudad, la población será el total de los habitantes de dicha ciudad.

Muestra: Es una parte significativa o subconjunto de los elemento que componen la población.

Subconjunto de la población seleccionado de acuerdo con un criterio, y que sea representativo de la población. Por ejemplo, elegir 30 personas por cada colonia de la ciudad para saber sus edades, y este será representativo para la ciudad.

Individuo: cualquier elemento que porte información sobre el fenómeno que se estudia. Así, si estudiamos la altura de los niños de una clase, cada alumno es un individuo; si estudiamos la edad de cada habitante, cada habitante es un individuo.

Variable: Fenómeno que puede tomar diversos valores. Las variables pueden ser de dos tipos:

Variables cualitativas o atributos: no se pueden medir numéricamente (por ejemplo: nacionalidad, color de la piel, sexo).Variables cuantitativas: tienen valor numérico (edad, precio de un producto, ingresos anuales

Por su parte, las variables cuantitativas se pueden clasificar en discretas y continuas:

Discretas: sólo pueden tomar valores enteros (1, 2, 8, -4, etc.). Por ejemplo: número de hermanos (puede ser 1, 2, 3....,etc, pero, por ejemplo, nunca podrá ser 3,45).Continuas: pueden tomar cualquier valor real dentro de un intervalo. Por ejemplo, la velocidad de un vehículo puede ser 80,3 km/h, 94,57 km/h...etc.

Las variables también se pueden clasificar en:

Variables unidimensionales: sólo recogen información sobre una característica (por ejemplo: edad de los alumnos de una clase).Variables bidimensionales: recogen información sobre dos características de la población (por ejemplo: edad y altura de los alumnos de una clase).Variables pluridimensionales: recogen información sobre tres o más características (por ejemplo: edad, altura y peso de los alumnos de una clase).

2


DATOSCaracterísticas o números que son recolectados por observación. No son otra cosa que el producto de las observaciones efectuadas en las personas y objetos en los cuales se produce el fenómeno que queremos estudiar

Los datos estadísticos pueden ser clasificados en cualitativos, cuantitativos, cronológicos y geográficos

Datos Cualitativos: cuando los datos son cuantitativos, la diferencia entre ellos es de clase y no de cantidad. Ejemplo: Si deseamos clasificar los estudiantes que cursan la materia de estadística I por su estado civil, observamos que pueden existir solteros, casados, divorciados, viudos.Datos cuantitativos: cuando los valores de los datos representan diferentes magnitudes, decimos que son datos cuantitativos. Ejemplo: Se clasifican los estudiantes de acuerdo a sus notas, observamos que los valores (nota) representan diferentes magnitudes.Datos cronológicos: cuando los valores de los datos varían en diferentes instantes o períodos de tiempo, los datos son reconocidos como cronológicos. Ejemplo: Al registrar los promedios de notas de los Alumnos en los diferentes semestres.Datos geográficos: cuando los datos están referidos a una localidad geográfica se dicen que son datos geográficos. Ejemplo: El número de estudiantes de educación superior en las distintas regiones del país

ENTEROS (Variable Discreta)

CUANTITATIVAS Nº de hermanos: 5 VARIABLES FRACCIONADOS(adoptan Valores) (Variable Continua)

FENOMENOS (X - Y –Z) Estatura: 1,65COLECTIVO ELEMENTOS CARACTERISTICASPoblación Personas RasgosMuestra Animales Propiedades CUALITATIVAS ESTADO CIVIL

Cosa, etc. cualidades, etc O ATRIBUTOS CasadosSolterosDivorciadosUnión LibreViudos

3

http://www.monografias.com/trabajos10/ponenc/ponenc.shtml#contexto

http://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtml

http://www.monografias.com/trabajos10/lamateri/lamateri.shtml

http://www.monografias.com/trabajos12/elproduc/elproduc.shtml


CLASIFICACION DE ESTADÍSTICA

mas que una clasificación es la división de la estadística en dos funciones:

1. Estadística Descriptiva2. Estadística Inferencial

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Se denomina estadística descriptiva o función descriptiva a aquella parte de la ciencia estadística que alcanza sus objetivos describiendo las características de todos los elementos que conforman la población. Su tarea es “ANALIZAR EL TODO PARA SACAR CONCLUSIONES PARA EL TODO”Los resultados obtenidos de esta función se denominan PARÁMETROS.

ESQUEMA GRAFICO DE LA FUNCION DESCRIPTIVA

“ANALIZAR ÉL TODO PARA SACAR CONCLUSIONES PARA EL TODO”

X1 = Primer Dato

Xn = Ultimo dato

Resultados: Parámetros

ESTADÍSTICA INFERENCIAL

Se denomina estadística descriptiva o función Inferencial a aquella parte de la ciencia estadística que alcanza su objetivo describiendo las características de una parte significativa de los elementos de una población, es decir de una MUESTRA, para a través de ella poder estimar o inferir el comportamiento de la población. Su tarea es: “ANALIZAR UNA PARTE, SACAR CONCLUSIONES PARA EL TODO”

ESQUEMA GRAFICO DE LA FUNCION INFERENCIAL

“ANALIZAR UNA PARTE PARA SACAR CONCLUSIONES PARA EL TODO”

INFERIR

ESTIMAR

Resultados: Estadígrafos

4

X1, X2, X3

X4, X5, X6

-- -- ---- -- Xn

POBLACION

X1, X2, X3

X4, X5, X6

MUESTRA

X1, X2, X3

X4, X5, X6

-- -- ---- -- Xn

POBLACION


EL PROCESO ESTADISTICO

CARACTERÍSTICAS DE LA INVESTIGACION.

Cuando se realiza una investigación las características básicas que deben tener las mismas son:

VALIDEZ (esto es, que sea demostrable) CONFIABILIDAD (que permita ser aplicable con iguales o parecidos

resultados PRECISION (que su exactitud sea satisfactoria en su concordancia con el

objetivo de la investigación)

Antes de realizar cualquier investigación es imprescindible determinar el FENÓMENO que se va a investigar y las características que nos interesa para el análisis.

FENÓMENO ESTADÍSTICO. Exportaciones, importaciones, ventas, producciòn, accidentes, etc.

PROCESO ESTADÍSTICO.Todo proceso requiere de un PLANEAMIENTO que nos permita señalar con claridad las fases o actividades necesarias para llevar a cabo una investigación.Existen cuatro fases fundamentales que requieren un proceso estadístico.

1. Recopilación de datos2. Organización de datos3. Presentación de datos4. Análisis e Interpretación de datos

1. RECOPILACIÓN DE DATOS.

Fuente Interna

Datos PublicadosRECOPILACIÓNDE DATOS Directa

Fuente Externa EncuestaIndirecta

Observación Directa

2. ORGANIZACIÓN DE DATOS

Corrección de datosCronológica

Clasificación de Datos GeográficaCuantitativaCualitativa

Tabulación

5


3. PRESENTACIÓN DE DATOS

Presentación Textual Presentación Tabular Presentación Grafica

DIAGRAMA DE PUNTOS:

notas frecuencias1 232 73 124 45 76 17 178 89 7

10 12

HISTOGRAMA: limites de clase

Notas frec.Ls Li 0,5 1,5 231,5 2,5 72,5 3,5 123,5 4,5 44,5 5,5 75,5 6,5 16,5 7,5 177,5 8,5 88,5 9,5 79,5 10,5 12

Polígono de frecuencias:

6


Notas frec.1 232 73 124 45 76 17 178 89 7

10 12

Grafica Circular:

Notas frec.1 232 73 124 45 76 17 178 89 7

10 12

4. ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE DATOS.

Tiene que ver con el aspecto analítico descriptivo de los datos, como: Distribuciones de frecuencias, análisis de medidas de tendencia central y de dispersión para realizar comparaciones en cuanto al comportamiento investigado, análisis de elementos de probabilidades, función Inferencial, etc.

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

7


Una distribución de frecuencias es una tabla en el cual se agrupan en clases los valores posibles para una variable y se registra el número de valores observados que representa a cada clase. Los datos organizados en una distribución de frecuencias se denominan DATOS AGRUPADOS.

Distribución de frecuencias: muestra el número de veces que ocurre cada observación. Ejemplo: Se elaboró una encuesta en un jardín de niños y ésta informó que las mascotas más comunes que tiene un niño son perros, gatos, peces, hámsteres y pájaros

A continuación se muestra la distribución de frecuencias absolutas, relativas y porcentuales de las mascotas más comunes de los niños.

Mascota Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa Frecuencia acumulada

Perro 7 .35 35 %Pájaro 4 .20 20 %

Hámster 4 .20 20 %Gato 5 .25 25 %

Estos datos se pueden representar en una gráfica de barras o en una gráfica de pastel:

Gráfica de barras Gráfica de pastel

FRECUENCIAS (fi).

perro gato Perro hamsterpájaro hamster Gato perrohámster gato Pájaro gatoperro perro hámster pájaroperro perro Pájaro gato

8


Se denomina frecuencia de un dato estadístico al número de veces u ocasiones que un valor de la variable o una categoría o modalidad del atributo se repite en la investigación.

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS DE VARIABLE

De las notas de Estadística de 7 estudiantes de licenciatura y Educación básica, se obtuvieron las siguientes calificaciones:

Notas (Xi)X1=8, X2=10, X3=7, X4=8, X5=9, X6=10, X7=8

Entonces los datos originales obtenidos de la investigación sobre las notas (variables) de los estudiantes (frecuencias) se expresaran:

Notas8, 10, 7, 8, 9, 10, 8 n = Total de datos

(n = 7)

Los datos originales presentados así, no nos permiten ninguna interpretación del fenómeno investigado, por lo tanto lo procedente es organizar estos datos en una Serie Estadística Variable.

Notas Estudiantes(Xi) fi 7 1 8 3 9 110 2

n = 7

Una vez organizada la serie estadística en una distribución de frecuencias de variable podemos hacer la respectiva interpretación de los datos. Así por ejemplo la segunda fila (leyendo de derecha a izquierda) indica que existen 3 estudiantes que tienen notas de 8.

Ejemplo:

Salario Diario Nº obreros (f)

140 – 159160 – 179180 – 199200 – 219220 – 239240 - 259

7203325114

Total 100

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS DE ATRIBUTO

9


Se investigo el Estado Civil (Atributo). Las respuestas (modalidades) son:

Estado Civil (Ai)

A1= Soltera, A2= casada, A3= Unión libre, A4= Divorciado, A5= Soltera, A6= soltera, A7= casada, A8= soltera, A9= Unión libre, A10= casada.

Para organizar la Serie Estadística las modalidades que adopta deben ser ordenadas alfabéticamente.

Estado Civil Estudiantes(Ai) fi

Casadas 3Divorciadas 1Solteras 4Unión libre 2

n = 10

Una vez organizada la serie estadística en una distribución de frecuencias de atributos podemos interpretar los datos. Así por ejemplo la tercera fila indica que existen 4 estudiantes de estado civil solteras.

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS DE DATOS NO AGRUPADOSRecopilados los datos (valores) de archivos de Personal tenemos la siguiente información:

CARGAS FAMILIARES

1 3 3 3 5 1 7 3 2 53 7 3 3 3 1 5 3 3 23 5 7 2 3 3 2 2 1 21 3 5 2 3 7 3 3 2 53 5 3 7 3 2 3 5 2 55 5 1 3 1 2 3 3 3 75 5 3 3 1 2 3 5 3 3

(n = 70)

CARGAS FAMILIARES EMPLEADOSRECUENTO

X f1 82 123 305 147 6

n = 70

10


Una vez organizada la tabla estadística y realizado el recuento para determinar las frecuencias respectivas de cada valor de la variable, debemos realizar una tabla de frecuencias de datos no agrupados

CARGAS FAMILIARES DE EMPLEADOS DE UNA EMPRESA

CargasFamiliares (Xi)

F R E C U E N C I A SS I M P L E S

f hi pi

12357

8123014 6

0,110,170,430,200,09

11174320 9

n = 70 1,00 100%

Respuesta: el 11% de las personas encuestadas que son 8 tienen 1 carga familiar

FRECUENCIASFRECUENCIAS SIMPLES.

FRECUENCIA ABSOLUTA SIMPLE (fi).Son valores enteros obtenidos en el recuento de los datos que expresan el número de veces que se repite los distintos valores que adopta la variable. Se simbolizan con letras minúsculas.

FRECUENCIA RELATIVA SIMPLE (hi).Son valores proporcionales mayores que cero menores que uno (0 hi 1). Se los calcula dividiendo cada frecuencia absoluta simple para el total de datos ( fi / n ).

FRECUENCIA PORCENTUAL SIMPLE (pi).Son valores relativos o proporcionales de las frecuencias relativas elevadas a porcentajes al multiplicarse estas por cien (pi = hi x 100%).

Ejercicio: Un camión que transportaba cajas cuyo contenido es de productos frágiles (porcelana) tuvo un accidente. Con el fin de cuantificar el número de productos deteriorados (variable) se revisaron las 50 cajas (frecuencias) transportadas.

PRODUCTOS DETERIORADOS

5 8 6 7 8 8 6 9 7 66 7 9 10 6 9 6 9 6 710 6 7 9 8 7 6 7 5 6 ( n = 50 )6 7 6 9 7 8 10 9 8 67 9 5 7 7 8 10 8 9 6

11


Productos Deteriorados Cajas RevisadasRecuento

Xi fi

5 36 147 128 89 910 4

n = 50

Productos Deteriorados del Embarquede cajas de porcelana

ProductosDeteriorados (Xi)

F R E C U E N C I A SS I M P L E S ACUMULADAS

f hi pi Fi Pi

56789

10

314

12894

0,060,280,240,160,180.08

628241618 8

317293746

50

634587492

100 n = 50 1,00 100%

La frecuencia simple nos indica que el 28% de las cajas revisadas que son 14 de ellas tienen 6 productos deteriorados

La frecuencia acumulada nos indica que el 1005 de las cajas revidas que son todas ellas (50) tienen desde 5 hasta 10 productos deteriorados.

FRECUENCIAS ACUMULADDAS.

FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA (Fi).Sus valores se los obtiene del de las acumulaciones sistemáticas de las frecuencias simples, donde necesariamente la primera frecuencia acumulada es igual a la primera frecuencia simple, y la ultima frecuencia acumulada es igual a total de datos.

FRECUENCIA PORCENTUAL ACUMULADA (Pi). Para obtener sus valores se sigue el mismo procedimiento que la absoluta acumulada. Así mismo necesariamente la primera frecuencia porcentual es igual a la primera porcentual simple, y la ultima porcentual acumulada es igual al 100%

12


NUMERO DE CLASES

El número de clases depende del número de valores a ser agrupados y el tipo de información que el investigador desea tener. El número de clase de una tabla de distribución de frecuencias es usualmente entre 5 y 20.

LIMITES DE CLASES.

Los límites de clase superior o inferior establecidos en una distribución de frecuencia, indican las cotas o fronteras de cada clase en la distribución.En muchos casos, los límites de clases establecidos no son los límites de clase verdaderos. Hay blancos entre clases. En tales casos, el punto medio de cada blanco es considerado como el límite verdadero o real entre las dos clases que forman el blanco.

El punto medio o centro de clase de cada clase es empleado usualmente para representar cada valor original, agrupado en la clase para propósitos de análisis matemáticos. El centro de clase puede calcularse de los límites de clase, ya sea los establecidos o los reales.

Intervalo de claseestablecido

Intervalo de clasereal Punto medio o

Centro de claseLimite LímiteInferior superior

Limite LímiteInferior superior

1 34 67 9

0,5 3,53,5 6,56.5 9,5

258

Limite de clase inferior Limite de clase inferior establecido establecido

2

Limite de clase inferior Límite de clase inferior verdadero verdadero

2

Ejemplo: encontrar los limites de clase y el valor del punto medio para cada clase: 0 y menos 2, 2 y menos 4, 4 y menos 6.

Intervalo de claseestablecido

Intervalo de clasereal Punto medio o

Centro de claseLimite LímiteInferior superior

Limite LímiteInferior superior

1 34 67 9

0,5 3,53,5 6,56.6 9,5

258

13


MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

MEDIA ARITMÉTICA ( ).

Media aritmética o simplemente Media. La forma más común de obtener un promedio, es la Media Aritmética, que es la suma de todos los valores obtenidos, dividida entre el número total de ellos.

LA MEDIA ARITMÉTICA EN UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS DE DATOS NO AGRUPADOS Y AGRUPADOS EN INTERVALOS.

Ejercicio 1:Se realizo una encuesta sobre el número de veces que semanalmente concurren los clientes de un comisariato a hacer compras.

ConcurrenciaSemanal Clientes

Xi fi Xi . fi1 32 322 11 223 15 454 7 286 5 30

n = 70 157

2,24

Respuesta: los clientes del comisariato en promedio concurren hasta dos veces semanales.

14


Ejercicio 2: Encontrar el peso promedio?

En una encuesta sobre el peso de los alumnos de 1er. Año de una escuela de educación física, se obtuvieron los siguientes datos:

54 60 51 57 67 54 60 52 61 6259 65 56 61 58 64 64 56 58 5964 51 61 65 54 59 63 57 52 6669 65 65 52 63 50 59 61 62 6367 55 65 66 58 55 54 61 62 67313 296 298 301 300 282 300 287 295 317 2989

= 59,76 Kg

METODO DIRECTOPeso fi50-54 1055-59 1360-64 1665-69 11

n = 70

El punto medio:

Pm1 = 50 + 54 = 52 2

Pm2 = 55 + 59 = 57 2

Pm1 = 60 + 64 = 62 2

Pm1 = 65 + 64 = 67 2

Entonces:

X = 52(10) + 57(13) + 62(16) + 67(11)50

X = 59,80 kg

Como se ve, la diferencia es poca y el cálculo es más sencillo.

Conclusión: Los estudiantes del 1er año tienen un promedio 59.80kg.

15


EJERCICIO:

DATOS: 26-25-23-20-26-19-25-18-20-23-17-21-15-20-18-23-14-21-23-18-17-19-15-18-26-16-18-17-26-18-25-19-26-20-17-21-25-22-23-24-25-20-26-27-24-17-20-18-19-20-21-23

X fi X.fi X rango Xm fi Xm.fi14 1 14 14 - 16 15 4 6015 2 30 17 - 19 18 16 28816 1 16 20 - 22 21 12 25217 4 68 23 - 25 24 13 31218 8 144 26 - 28 27 7 18919 4 7620 7 14021 4 8422 1 2223 6 13824 2 4825 5 12526 6 15627 1 27

∑ = 287 ∑ = 52 ∑ = 1088 ∑ = 105 ∑ = 52 ∑ = 1101N = 14 N = 5

MEDIA ARITMETICA EN SERIE SIMPLE.-

MEDIA ARITMETICA EN SERIE SIMPLE CON FRECUENCIA DE DATOS AGRUPADOS.-

16


La media de una muestra es igual a la media ponderada de las submuestras, tomándose como ponderación los tamaños de las submuestras.

Ejemplo 1:Si la media de 75 artículos es de 52,6 galones y la de 25 artículos es de 48,4 galones, encuentre la media de los 100 artículos.

Ejemplo 2.De 500 estudiantes de secundaria cuya estatura media es de 1,57 mts., 150 son mujeres. Si la estatura media de las mujeres es de 1,52 mts., cual es loa estatura media de los varones?

17


MEDIANA (Me)

Se llama mediana al valor que ocupa el centro de la distribución de datos, dejando a cada lado el 50% de los mismos. Mediana en Serie Ordenada con Intervalos de Clase.Para determinar la mediana en este tipo de cálculo se utiliza la siguiente formula:

Ejemplo:¿Hasta cuantos minutos de atraso trimestrales se atrasa el 50% de los trabajadores?.

Minutos de atrasos TrabajadoresLi Ls fi Fi30 34 2 235 39 8 1040 44 11 21 Nj -1 Fa(a)

Li 45 49 23 fi 44 Nj Fa50 54 13 57 55 59 8 6560 64 4 6965 69 5 7470 74 0 7475 79 1 75

75

n/2 = 75/2 = 37,50 NjNj = Valor igual o inmediatamente superior a n/2 que vendría a ser 44Nj – 1 = Valor anterior a Nj que vendría ser 21fi = Frecuencia simple que esta en dirección de Nj, que vendría a ser 23Li = Limite inferior real del intervalo que esta en dirección de Nj y en el que

se encuentra la medianac = Anchura del intervalo.

Remplazando la fórmula:

Me = 44,50 + 3,58 = 48,09El 50% de los trabajadores se atrasan hasta 48 minutos trimestrales.EJERCICIO:

CALCULOS DE LA MEDIANA (Me).-

18


X fi fia X rango Xm fi fia14 1 1 14 - 16 15 4 415 2 3 17 - 19 18 16 2016 1 4 20 - 22 21 12 3217 4 8 23 - 25 24 13 4518 8 16 26 - 28 27 7 5219 4 2020 7 2721 4 3122 1 3223 6 3824 2 4025 5 4526 6 5127 1 52

∑ = 52 ∑ = 52

Formula:

Datos:Li = 19.5 (limite inferior real)N = 52 (numero de datos) fia = 20 (frecuencia acumulada inferior) fim = 12 (frecuencia media) i = 3 (intervalo de clase)

M O D A (Mo).

Es el valor que se repite el mayor número de veces, ósea el valor más frecuente que se repite con frecuencia progresivamente, y se lo calcula por medio de:

19


Moda en Serie Simple sin Frecuencia.Moda en Serie Simple Con Frecuencia.Moda en Serie Ordenada en Intervalos de Clase.

Moda en Serie Simple sin Frecuencia.Se determina la moda de una manera sencilla de acuerdo a su concepto, esto es, de acuerdo a cuantas veces se repite un dato.

Moda en Serie Simple Con Frecuencia.Utilizamos el cuadro respectivo y ubicamos la frecuencia de mayor número y trasladamos al rango respectivo.

Moda en Serie Ordenada en Intervalos de Clase.Este valor de la moda es la forma más exacta de encontrarla, su formula es:

Li = Limite real inferior de la moda propuesta. c =Anchura del intervalo

= Incremento superior de la frecuencia de moda. (Posterior)= Incremento inferior de la frecuencia de moda. (Anterior)

EJERCICIO:

¿Cuantos son los minutos que con mayor frecuencia han faltado los trabajadores?

CALCULO DE LA MODA (Mo).-

X rango Xm Fi30 - 34 32 235 - 39 37 840 - 44 42 11 45 - 49 ←47 ←2350 - 54 52 13 55 - 59 57 860 - 64 62 4

65 - 69 67 5

70 - 74 72 0

75 - 79 77 1

Formula:

Datos:Li = 44,5 d1 = 23 - 11 = 12c = 4 d2 = 23 – 13 = 10

= 13

20


= 11

Respuesta: Los minutos que con mayor frecuencia han faltado trimestralmente los trabajadores es de 47 minutos.

MEDIA ARMONICA (A).

Se la define como la reciproca o inversa de la variable de la Media Aritmética que adopten sus datos. Ejemplo: 5 = 1/5

La media Aritmética se la calcula por los tres métodos tradicionales: Media Armónica en Serie de Datos sin Frecuencia. Media Armónica en Serie de datos con Frecuencia. Media Armónica con Intervalos de Clase.

Media Armónica en Serie de Datos sin Frecuencias.- Formula es:

Realizamos el siguiente proceso:Se calcula el Reciproco de la Variable; se realiza la Sumatoria del Producto a dos Decimales; y, aplicamos la Formula. Media Armónica en Serie de datos con Frecuencia.Para determinar el promedio Armónico en este tipo de distribución estadístico utilizamos la siguiente formula:

Con el siguiente proceso de obtención de datos:La frecuencia ingresa a formar parte de el cuadro de calculo; se divide la frecuencia para la inversa de la variable o se multiplica por el conciente reciproco; realizamos la sumatoria del producto; y, aplicamos la formula.

Media Armónica con Intervalos de Clase.Para determinar este tipo de distribución en estadística el reemplaza por la Marca de Clase (Xm) de cada intervalo. Formula:

21


EJERCICIO:

DATOS:20-21-24-20-22-21-25-23-20-21-23-25-26-28-27-27-25-26-22-23-25-28-27-28-26-25

MEDIA ARMÓNICA EN SERIE DE DATOS SIN FRECUENCIAX Reciproco 1/X20 1/20 0.0521 1/21 0.0522 1/22 0.0523 1/23 0.0424 1/24 0.0425 1/25 0.0426 1/26 0.0427 1/27 0.0428 1/28 0.04

∑= 216 ∑= 0.39N = 9

FROMULA:

MEDIA ARMÓNICA EN SERIE DE DATOS CON FRECUENCIA.-X fi Reciproco fi/X20 3 3/20 0.1521 3 3/21 0.1422 2 2/22 0.0923 3 3/23 0.1324 1 1/24 0.0425 5 5/25 0.20

22


26 3 3/26 0.1227 3 3/27 0.1128 3 3/28 0.11

∑= 26 ∑= 1.09

FORMULA:

MEDIA ARMÓNICA CON INTERVALOS DE CLASE.-X Rangos Xm fi Reciproco fi/Xm20 22 21 8 8/21 0.3823 25 24 9 9/24 0.3826 28 27 9 9/27 0.33

N = 26 ∑= 1.09

FORMULA:

La media armónica se usa especialmente, cuando van a promediarse relaciones que son inversamente proporcionales, como el tiempo en relación a la velocidad

S= espacio t= tiempo V= velocidad Vm= velocidad media

23


Ejemplo:

Un auto recorre a 60 km a una velocidad de 100 km por hora y otros 40 km a una velocidad de 80 km por hora. Cuál será la velocidad media?

= 60 = 100 = 40 = 80

= 90,9

MEDIA GEOMETRICA (Mg)

Se define como “la raíz enésima del producto de los valores de la variable”

LA MEDIA GEOMETRICA EN UNA SERIE SIMPLE

1. Cuanto es el promedio geométrico del precio de un determinado producto?

Precio (Xi)20253036

n = 4

LA MEDIA GEOMETRICA EN DATOS NO AGRUPADOS

Cargas familiares Empleados log Xi Log Xi . fi1 8 0 02 12 0,3010 3,61203 30 0,4771 14,3130

24


5 14 0,6990 9,78607 6 0,8451 5,0706

n =70 32,7816

0,4683

LA MEDIA GEOMETRICA EN DATOS AGRUPADOS

Minutos Atrasados trabajadoresLi Ls Xm fi log Xi Log Xi.fi30 34 32 2 1,5051 3,010235 39 37 8 1,5682 12,545640 44 42 11 1,6232 17,855245 49 47 23 1,6721 38,458350 54 52 13 1,7160 22,308055 59 57 8 1,7559 14,047260 64 62 4 1,7924 7,169665 69 67 5 1,8261 9,130570 74 72 0 1,8573 075 79 77 1 1,8865 1,8865

n = 75 126,4111

1,6855

APLICACIONES DE LA MEDIA GEOMETRICA

n = total de periodos de tiempo (años, meses, días)Xn = valor de variable en el último periodoXl = valor de variable en el primer periodo

Calcular el promedio de crecimiento porcentual que han tenido las ventas del comisariato?

25


Ventas en miles de dólares

AÑOS VENTAS2002 1202003 1802004 3102005 2802006 3502007 3502008 400

(n = 7)

Primero: Reemplazo la formula.

Segundo: determinar el grado radical y calcular el cociente del radicando

Tercero: Procedemos a determinar el logaritmo del cociente obtenido

Log. de 3,3333 = 0,522879

Cuarto: procedemos a destruir la raíz dividiendo el valor logarítmico para el valor de la raíz y a este resultado determinar el antilogaritmo

Antilog. de 0,087146 = 1,222210

Quinto: Para resolver totalmente la formula al valor del antilogaritmo (1,222210) le restamos la unidad de la formula, y este resultado lo multiplicamos por 100 y con ello determinamos el PROMEDIO PORCENTUAL con que han crecido las ventas del comisariato.

1,222210 – 1 = 0,2222100,222210 x 100 =22,22%

Cuando la serie es creciente el resultado el positivoRespuesta: el promedio porcentual anual de crecimiento de las ventas del comisariato han sido de 22,22%

COMPROBACION

AÑOS VENTAS COMPROBACION CRECIMIENTO2002 120

26


2003 120 X 22,22 /100 = 26,66 120 + 26,66 = 146,662004 146,66 X 22,22 /100 = 32,59 146,66 + 32,59 = 179,252005 179,25 X 22,22 /100 = 39,83 179,25 + 39,83 = 219,082006 219,08 X 22,22 /100 = 48,68 219,08 + 48,68 = 267,762007 267,76 X 22,22 /100 = 59,50 267,76 + 59,50 = 327,262008 327,26 X 22,22 /100 = 72,72 327,26 + 72,72 = 399,982009 400

PROYECCIONES

2009 400 X 22,22 /100 = 88,88 400 + 88,88 = 488,882010 488,88 X 22,22 /100 = 108,63 488,88 + 108,63 = 597,512011 597,51 X 22,22 /100 = 132,77 597,51 + 132,77 = 730,282012 730,28

CONCLUSION.

AÑOS VENTAS REALES CRECIMIENTO2002 120 1202003 180 1472004 310 1792005 280 2192006 350 2682007 350 3272008 400 400

PROYECCIONES

2009 4892010 5982011 730

MEDIDAS DE DISPERSION.

Este tipo de medidas se las utiliza en el proceso estadístico, para el cual el cálculo de promedios de las medianas totales se las define por Desviaciones, las mismas que son:

Desviaciones Medias Desviaciones Estándar

DESVIACION MEDIA.

Es la suma de los valores absolutos de sus desviaciones con respecto a la media aritmética, dividida por el número de ellas.

27


Es aquella que se define como la Media Aritmética de los valores absolutos de las Desviaciones con respecto a la media normal.

La Desviación media se la calcula por los tres Métodos Conocidos: Desviación media en Serie de Datos sin Frecuencia. Desviación Media en Serie de datos con Frecuencia. Desviación Media con Intervalos de Clase.

Desviación media en Serie de Datos sin Frecuencia

Su fórmula es: DM

Se la calcula de la siguiente forma:Calculamos la Media Aritmética; Determinamos las desviaciones restando la Media de cada valor de la variable (X - X); Calculamos la desviación Media con los Valores Absolutos, es decir todos los valores son positivos; y, aplicamos la formula.

Desviación Media en Serie de datos con Frecuencia.Su fórmula es:

DM

Su proceso de cálculo es el siguiente:Determinamos la media Aritmética en función de la frecuencia; calculamos la desviación restando la Madia Aritmética por la Variable; multiplicamos la frecuencia por la Desviación; Realizamos la sumatoria del producto en valor absoluto; y, Aplicamos La formula.

Desviación Media con Intervalos de Clase. Su formula es:

DM

D: Xm –

Su proceso de cálculo es el siguiente:De los datos obtenidos encontramos los rangos respectivos y encontramos la marca de Clase; Calculamos la Media Aritmética en función de la frecuencia; Restamos la marca de Clase (Xm) menos la Media Aritmética (X); Se encuentra la desviación; Realizamos la sumatoria del producto; y, aplicamos la formula.

CALCULO DE DESVIACIONES MEDIAS.-DATOS:20-21-24-20-22-21-25-23-20-21-23-25-26-28-27-27-25-26-22-23-25-28-27-28-26-25

DESVIACIÓN MEDIA EN SERIE DE DATOS SIN FRECUENCIA.X x X - Desviación20 20-24 -4

28


21 21-24 -322 22-24 -223 23-24 -124 24 24-24 025 25-24 126 26-24 227 27-24 328 28-24 4

∑= 216 ∑= 20N = 9

Media Aritmética:

FORMULA:

DESVIACIÓN MEDIA EN SERIE DE DATOS CON FRECUENCIA.X fi X.fi x X - Desviación D.fi20 3 60 20-24 -4 1221 3 63 21-24 -3 922 2 44 22-24 -2 423 3 69 23-24 -1 324 1 24 24 24-24 0 025 5 125 25-24 1 526 3 78 26-24 2 627 3 81 27-24 3 928 3 84 28-24 4 12

∑= 26 ∑= 628 ∑= 60

Media Aritmética:

29


FORMULA:

DESVIACIÓN MEDIA CON INTERVALOS DE CLASE.-X

RangosXm fi Xm.fi x Xm - Desviación D.fi

20 22

21 8 168 21 – 24 -3 24

23 25

24 9 216 24 24 – 24 0 0

26 28 27 9 243 27 - 24 3 27∑= 26 ∑= 627 ∑= 51

Media Aritmética:

FORMULA:

VARIANZA

La varianza es la media aritmética de las desviaciones de la media elevadas al cuadrado.

DESVIACIÓN ESTÁNDAR

Constituye la medida de dispersión de mayor utilidad, pues a demás de medir la dispersión del evento de todos los valores de una distribución entorno a su

30


promedio aritmético, nos permite un análisis estadístico más avanzado y de gran aplicabilidad en los estudios estadísticos inferenciales.

Es la raíz cuadrada de la variable de las desviaciones de la media elevada al cuadrado y se la calcula por dos métodos: Directo y Abreviado.Los métodos típicos son:

Desviación Estándar en Serie de Datos sin Frecuencia. Desviación Estándar en Serie de datos con Frecuencia. Desviación Estándar con Intervalos de Clase.

Desviación Estándar en Serie de Datos sin FrecuenciasSu formula es:

Método Directo: Método Abreviado:

Se la calcula de la siguiente manera:Se necesita sacar la media aritmética; calculamos las desviaciones; elevamos al cuadrado las desviaciones; realizamos la sumatoria de las desviaciones elevadas al cuadrado; y, Aplicamos La formula.

Desviación Estándar en Serie de datos con Frecuencia. Su formula es:Método Abreviado Método Directo

Se la calcula de la siguiente manera:Se determina la Madia Aritmética en función de la frecuencia; se elabora la columna de datos elevados al cuadrado multiplicado .por la frecuencia (X2 .)1); Realizamos la sumatoria de la columna correspondiente; y, aplicamos la formula.Desviación Estándar con Intervalos de Clase. Su formula es:

X2 . fiDS2 - X2

N

El proceso de cálculo es el siguiente:Se determina la Media Aritmética con Intervalos de Clase; se elabora la columna de Rango de clase elevado a cuadrado multiplicado por la Frecuencia (Xm2. ft ); obtenemos la sumatoria de la columna; y, Aplicamos la Formula.

31


EJERCICIO.

CALCULO DE LA DESVIACION ESTANDAR.-DATOS.-20-21-24-20-22-21-25-23-20-21-23-25-26-28-27-27-25-26-22-23-25-28-27-28-26-25

DESVIACIÓN ESTÁNDAR EN SERIE DE DATOS SIN FRECUENCIA.-METODO DIRECTO.-

X x X - x Desviación D²20 20-24 -4 1621 21-24 -3 922 22-24 -2 423 23-24 -1 124 24 24-24 0 025 25-24 1 126 26-24 2 427 27-24 3 928 28-24 4 16

∑= 216 ∑= 20 ∑= 60N = 9

Media Aritmética:

Desviación Estándar.-

METODO ABREVIADO.-X x X²20 40021 44122 48423 52924 24 57625 62526 67627 72928 784

∑= 216 ∑= 5244N = 9

Media Aritmética:

32



Coeficiente de Variación.-

DESVIACIÓN ESTÁNDAR EN SERIE DE DATOS CON FRECUENCIA.-METODO DIRECTO.-

X fi X.fi x X - x Desv. D² D².fi20 3 60 20-24 -4 16 4821 3 63 21-24 -3 9 2722 2 44 22-24 -2 4 823 3 69 23-24 -1 1 324 1 24 24 24-24 0 0 025 5 125 25-24 1 1 526 3 78 26-24 2 4 1227 3 81 27-24 3 9 2728 3 84 28-24 4 16 48

∑= 26 ∑= 628 ∑= 178

Media Aritmética:


METODO ABREVIADO.-X fi X.fi x X² X².fi20 3 60 400 120021 3 63 441 132322 2 44 484 96823 3 69 529 158724 1 24 24 576 57625 5 125 625 312526 3 78 676 202827 3 81 729 218728 3 84 784 2352

∑= 26 ∑= 628 ∑=15346

Media Aritmética:

33




DESVIACIÓN ESTÁNDAR CON INTERVALOS DE CLASE.-METODO DIRECTO.-Rangos Xm fi Xm.fi x Xm -

xDesv. D² D².fi

20 22 21 8 168 21–24 -3 9 7223 25 24 9 216 24 24–24 0 0 026 28 27 9 243 27-24 3 9 81

∑= 26 ∑= 627

∑= 153

Media Aritmética:


METODO ABREVIADO.-

Rangos Xm fi Xm.fi x Xm² Xm².fi20 22 21 8 168 441 352823 25 24 9 216 24 576 518426 28 27 9 243 729 6561

n=26 627 15273

Media Aritmética:


34



MEDIDA INDIVIDUALES ESTASDISTICAS.

En el plano de investigaciones que abarca la estadística se ha determinado una forma individual de cálculo donde estas medidas son estratégicas en el centro de posición individual, que no se ubican precisamente como en los otros casos que es en el centro de la distribución, si no, de acuerdo a la naturaleza implícita de la misma, la cual divide a la serie en tantas partes iguales según el caso, y, las mismas son: Cuartiles; Deciles; y, Centiles.

MEDIDA INDIVIDUAL CUARTIL

Es la medida que divide a la serie estadística en cuatro partes iguales, que reciben el 1wm"-e de Primer Cuartil, Segundo Cuartil, Tercer Cuartil y Cuarto Cuartil por lo que cada uno abarca el 25% de la unidad.

Primer Cuartil Q1 25%Segundo Cuartil Q2 50%

35


Tercer Cuartil Q3 75%Cuarto Cuartil Q4 100% Este método se lo realiza por medio de Serie de Datos Simple con frecuencia y en Serie Ordenada en Intervalos de Clase.

Cuartil De Serie Simple Con Frecuencia.Para realizar esta operación seguimos el siguiente proceso:Ordenamos la serie de datos (X); Ubicamos la frecuencia (fi); Calculamos la Frecuencia Acumulada (fia); Ubicamos la posición de cada uno de los cuartiles en la columna de la frecuencia acumulada (fia) mediante la siguiente formula:

Cuartiles En Serie Ordenada En Intervalos De Clase.- .Para determinar este segmento de cálculo estadístico lo realizamos por medio de la siguiente formula:

Se procede de acuerdo a los siguientes pasos:Ubicamos los datos; se calcula la marca de clase (Xm); conociendo las frecuencias se calcula las frecuencias acumuladas (fia); se ubica los cuartiles de acuerdo a su posición; empleamos la formula.

EJERCICIO CÁLCULOS DE MEDIDAS INDIVIDUALESMEDIDA INDIVIDUAL CUARTIL.

DATOS.-20-21-24-20-22-21-25-23-20-21-23-25-26-28-27-27-25-26-22-23-25-28-27-28-26-25

CUARTIL DE SERIE SIMPLE CON FRECUENCIA.-X fi fia20 3 321 3 622 2 823 3 1124 1 1225 5 1726 3 2027 3 2328 3 26

∑= 2636


CUARTILES EN SERIE ORDENADA EN INTERVALOS DE CLASE.-

Media Aritmética:

Formula:

Datos:Li = 19.5 Limite real inferior N = 26 Numero de datos investigados o ∑ de fifia = 8 frecuencia acumulada inferiori = 3 anchura del intervalosN/4 = 1er, 2do, 3er, y 4to Cuartil

Rangos Xm fi fia x20 22 21 8 823 25 24 9 17 2426 28 27 9 26

∑= 26 ∑= 627

37


RESUMENMEDIA ARITMETICA

X = Xi X = Xm . fi N n

MEDIANA (Me)Me = Li + n/2 – Nj – 1 ( c )

fi

M O D A (Mo).

MEDIA ARMONICA (A).

38


MEDIA GEOMETRICA

G

MEDIA CUADRATICA

MEDIDAS DE DISPERSION.DESVIACION MEDIA

DESVIACION ESTANDAR

COEFICIENTE DE VARIACIÓN.-

VARIANZAS=

DESVIACION CUARTIL

FORMAS DE DISTRIBUCION

Las curvas de una distribución pueden adoptar formas bien diferenciadas y que se las puede clasificar como: Campaniformes y No Campaniformes

leptocúrticasSimétricas Mesocúrticas

Platicúrticas Campaniformes

PositivasFormas de AsimétricasDistribución Negativas

Forma de L o J invertidaNo Campaniformes Forma de J

39


Forma de U

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Es el modelo de distribución más utilizado en la práctica, ya que multitud de fenómenos se comportan según una distribución normal.

Esta distribución de caracteriza porque los valores se distribuyen formando una campana de Gauss, en torno a un valor central que coincide con el valor medio de la distribución:

Un 50% de los valores están a la derecha de este valor central y otro 50% a la izquierda

La curva normal es la representación gráfica de la ecuación de probabilidad, esta ecuación hipotética no difiere radicalmente de la realidad, por lo tanto, se puede asegurar de que hay muchos fenómenos como la estatura, el coeficiente intelectual, la orientación política, etc. Que mantienen esta distribución.

La curva normal puede utilizarse para describir distribuciones de puntajes, para interpretar la desviación típica y para hacer un informe de probabilidades. Así mismo, la curva normal es importante en la toma de decisiones en estadística. Por ella, el investigador generaliza los resultados de muestras a poblaciones.

Área Bajo la Curva: para poder emplear la curva normal en la resolución de problemas debemos familiarizarnos con el área bajo la curva normal: que contiene el 100% de todos los casos en una distribución normal dada.

Puntuación Z: para utiliza la curva normal es conveniente tipificar las puntuaciones, la más usual de las tipificaciones es la puntuación Z, de gran aplicación en la estimación estadística.

Z= puntuación

40


X= puntuación nominalX=media aritméticaS=desviación típica

El tipificar una puntuación permite:Determinar el puesto relativo de un estudiante frente a dos asignaturasEstablecer su ubicación con respecto a la media aritmética y a la desviación típicaDeterminar la puntuación PROMEDIO FINAL del estudiante.

-3 -2 -1 1 2 3

Ejemplo: Calcular el área en la curva normal:

a la derecha de z= -1.08a la izquierda de z= -1.69entre z= -2.54 y z= 2.28igual a z= 1.95a la izquierda de z = -2.38 y a la derecha de z = 0.79

Z = -1.08 ubico en el anexo 2Obteniendo:A1 = 0.3599 (hasta X)A2 = 0.5000 (desde X a la derecha)AT = A1 + A2 = 0.8599 = 85.99%

Z = -1.69 ubico en el anexo 2Obteniendo:

A1 = 0.4545A2 = 0.5AT = A1 - A2 = 0.0455 = 45.5%

Z = -2.54 ubico en el anexo 2Obteniendo:

A1 = 0.4945Z = 2.28 ubico en el anexo 2Obteniendo:

41


AT = A1 + A2 = 0.9832 = 98.32%

Ejemplo en clase: En el ciclo diversificado de una institución educativa existen 150 estudiantes cuya media de calificaciones es 85/100, en un test de destrezas, con una desviación típica de 3,68. Se desea conocer:Cuántos estudiantes están sobre 90 puntos:

Z = 1.49 ubico en el anexo 2

A1 = 0.4319A2 = 0.5AT = 0.5 – 0.4319 = 0.068 = 68%

#Estudiantes = 150 * 0.068 = 10

Ejercicio: En el ciclo diversificado de una institución educativa existen 150 estudiantes cuya media de calificaciones es 85/100, en un test de destrezas, con una desviación típica de 3,68. Se desea conocer:

Cuántos estudiantes están sobre 88puntos? Sol. = 26 estudiantesCuántos estudiantes están sobre75 y 90puntos Sol =139 estudiantesCuántos estudiantes están sobre 78puntos Sol. = 3 estudiantesCuántos estudiantes están sobre 80puntos Sol. = 6 estudiantes

Ejemplo: en una institución militar educativa existen 175 estudiantes cuya media de altura es 175 cm, con una desviación típica de 2,74. Se desea conocer:Cuántos estudiantes miden entre 168 y 178 cm? Sol = 156Cuántos estudiantes miden mas de 180 cm? Sol = 4Cuántos estudiantes miden bajo 170 cm Sol. = 4Cuántos estudiantes miden entre 182 cm? Sol. = 1

Ejemplo: Si la media de un grupo de 300 docentes en un test de aplicación de pedagógica es de 56,80/65 y tienen una desviación típica de 2,82. Se desea conocer:

Cuántos están entre 52 y 64? Sol = 291Cuántos tienen mas de 60 Sol = 26Cuántos están 50 Sol. = 1Cuántos tienen igual a 65? Sol. = 1

42


NUMEROS INDICES

El número índice es una cifra relativa, expresada en términos porcentuales, que sirve para indicar las variaciones que sufre una variable con respecto a un valor de la misma, la cual es tomadas como punto de referencia, denominada base.

Los índices no miden, tan solo sirven para indicar las variaciones en los precios, cantidades y valores de un período con respecto a otro.

ÍNDICES SIMPLES

Se obtiene dividiendo cada precio cantidad o valor de un periodo (anual, mensual, semanal, etc.), por un precio, cantidad o valor de un periodo fijo, considerado base, multiplicado por cien.

Precio Relativo

43


Cantidad Relativa

Valor Relativo

pn = Precio de un solo artículo en el periodo dado (semana, meses, años, etc)

po = precio de un solo artículo o elemento en el año base

qn = cantidad de un solo articulo (producido, consumido, vendido) en el año dado

qo = cantidad de un solo artículo o elemento en el año base

pn . qn = producto de multiplicar el precio y cantidad en el año dado

po . qo = producto de multiplicar el precio y cantidad en el año base

PRECIO RELATIVO (P). Es el porcentaje resultado de dividir el precio de un artículo en un tiempo dado (pn), (año, meses, día) entre el precio del mismo artículo en otro tiempo considerado como base (po) y este cociente multiplicado por cien

CANTIDAD RELATIVA (Q). permite comparar los cambios de cantidades o volúmenes que un determinado articulo o elemento ha tenido de un periodo a otro.

VALOR RELATIVO. Viene dado por el producto de multiplicar el precio (p) de un determinado artículo, por la cantidad (q) adquirida. Este índice nos permite medir el valor relativo de un periodo determinado (pn . qn) con el valor de un periodo considerado base (po . qo) expresado porcentualmente

44


45

Education

Programa analitico de estadística basica