View
138
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
5/14/2018 Aljabar Linear - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linear-55ab4d8d018db 1/31
Aljabar linear
Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas
Belum Diperiksa
Aljabar linear adalah bidang studi matematika yang mempelajari sistem persamaan linear dan
solusinya, vektor, serta transformasi linear. Matriks dan operasinya juga merupakan hal yang
berkaitan erat dengan bidang aljabar linear.
Daftar isi
[sembunyikan]
1 Persamaan Linear & Matriks
o 1.1 Penyelesaian Persamaan Linear dengan Matriks
1.1.1 Bentuk Eselon-baris
1.1.2 Operasi Eliminasi Gauss
1.1.3 Operasi Eliminasi Gauss-Jordan
o 1.2 Operasi Dalam Matriks
o 1.3 Matriks Balikan (Invers)
o 1.4 Transpose Matriks
o 1.5 Matriks Diagonal, Segitiga, dan Matriks Simetris
1.5.1 Matriks Diagonal
1.5.2 Matriks Segitiga
1.5.3 Matriks Simetris
2 Determinan
o 2.1 Determinan dengan Ekspansi Kofaktor
2.1.1 Determinan dengan Minor dan kofaktor
2.1.2 Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama
2.1.3 Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama
2.1.4 Adjoin Matriks 3 x 3
2.1.5 Determinan Matriks Segitiga Atas
2.1.6 Metode Cramer
2.1.7 Tes Determinan untuk Invertibilitas
o 2.2 Mencari determinan dengan cara Sarrus
o 2.3 Metode Sarrus hanya untuk matrix berdimensi 3x3
o 2.4 Menghitung Inverse dari Matrix 3 x 3
o 2.5 Sistem Linear Dalam Bentuk Ax = λx
3 Vektor dalam Ruang Euklide
o 3.1 Euklidian dalam n-Ruang
o 3.2 Contoh Penggunaan Vektor dalam Ruang Dimensi Tinggi
o 3.3 Menemukan norm dan jarak
o 3.4 Bentuk Newton
o 3.5 Operator Refleksi
o 3.6 Operator Proyeksi
5/14/2018 Aljabar Linear - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linear-55ab4d8d018db 2/31
o 3.7 Operator Rotasi
o 3.8 Interpolasi Polinomial
[sunting] Persamaan Linear & MatriksPersamaan linear dapat dinyatakan sebagai matriks. Misalnya persamaan:
3 x1 + 4 x2 − 2 x3 = 5
x1 − 5 x2 + 2 x3 = 7
2 x1 + x2 − 3 x3 = 9
dapat dinyatakan dalam matriks teraugmentasi sebagai berikut
Penyelesaian persamaan linier dalam bentuk matriks dapat dilakukan melalui beberapa cara,
yaitu dengan eliminasi Gauss atau dapat juga dengan cara eliminasi Gauss-Jordan. Namun,
suatu sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan eliminasi Gauss untuk mengubahbentuk matriks teraugmentasi ke dalam bentuk eselon-baris tanpa menyederhanakannya. Cara
ini disebut dengan substitusi balik.
Sebuah sisitem persamaan linier dapat dikatakan homogen apabila mempunyai bentuk :
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = 0
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = 0
Setiap sistem persamaan linier yang homogen bersifat adalah tetap apabila semua sistem
mepunyai x1 = 0 , x2 = 0 , ... , xn = 0 sebagai penyelesaian. Penyelesaian ini disebut solusi trivial.
Apabila mempunyai penyelesaian yang lain maka disebut solusi nontrivial.
[sunting] Penyelesaian Persamaan Linear dengan Matriks
[sunting] Bentuk Eselon-baris
Matriks dapat dikatakan Eselon-baris apabila memenuhi persyaratan berikut :
1.) Di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (leading 1).
5/14/2018 Aljabar Linear - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linear-55ab4d8d018db 3/31
2.) Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir
dari matriks.3.) Jika ada baris yang leading 1 maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nya harus berada
lebih kanan dari leading 1 di atasnya.
4.) Jika kolom yang memiliki leading 1 angka selain 1 adalah nol maka matriks tersebut
disebut Eselon-baris tereduksi
Contoh: syarat 1: baris pertama disebut dengan leading 1
syarat 2: baris ke-3 dan ke-4 memenuhi syarat 2
syarat 3: baris pertama dan ke-2 memenuhi syarat 3
syarat 4: matriks dibawah ini memenuhi syarat ke 4 dan disebut Eselon-baris tereduksi
[sunting] Operasi Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi
matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss). Caranya adalah dengan
melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapatdigunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan
5/14/2018 Aljabar Linear - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linear-55ab4d8d018db 4/31
matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi
dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.
Contoh: Diketahui persamaan linear
x + 2 y + z = 6
x + 3 y + 2 z = 9
2 x + y + 2 z = 12
Tentukan Nilai x, y dan z
Jawab:
Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:
Operasikan Matriks tersebut
Baris ke 2 dikurangi baris ke 1
Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1
Baris ke 3 ditambah 3 kali baris ke 2
Baris ke 3 dibagi dengan 3 (Matriks menjadi Eselon-baris)
Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu
5/14/2018 Aljabar Linear - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linear-55ab4d8d018db 5/31
x + 2 y + z = 6
y + z = 3
z = 3
Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:
y + z = 3
y + 3 = 3
y = 0
x + 2 y + z = 6
x + 0 + 3 = 6 x = 3
Jadi nilai dari x = 3 , y = 0 ,dan z = 3
[sunting] Operasi Eliminasi Gauss-Jordan
Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih
sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehinggamenghasilkan matriks yang Eselon-baris tereduksi. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu
metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan
mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya.
Setelah menjadi matriks Eselon-baris tereduksi, maka langsung dapat ditentukan nilai darivariabel-variabelnya tanpa substitusi balik .
Contoh: Diketahui persamaan linear
x + 2 y + 3 z = 32 x + 3 y + 2 z = 32 x + y + 2 z = 5
Tentukan Nilai x, y dan z
Jawab:
Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:
Operasikan Matriks tersebut
5/14/2018 Aljabar Linear - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linear-55ab4d8d018db 6/31
Baris ke 2 dikurangi 2 kali baris ke 1
Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1
Baris ke 3 dikurangi 3 kali baris ke 2
Baris ke 3 dibagi 8 dan baris ke 2 dibagi -1
Baris ke 2 dikurangi 4 kali baris ke 3
Baris ke 1 dikurangi 3 kali baris ke 3
Baris ke 1 dikurangi 2 kali baris ke 2 (Matriks menjadi Eselon-baris
tereduksi)
Maka didapatkan nilai dari x = 2 , y = − 1 ,dan z = 1
[sunting] Operasi Dalam Matriks
Dua buah matriks dikatakan sama apabila matriks-matriks tersebut mempunyai ordo yang samadan setiap elemen yang seletak sama.
5/14/2018 Aljabar Linear - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linear-55ab4d8d018db 7/31
Jika A dan B adalah matriks yang mempunyai ordo sama, maka penjumlahan dari A + B adalah
matriks hasil dari penjumlahan elemen A dan B yang seletak. Begitu pula dengan hasilselisihnya. Matriks yang mempunyai ordo berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
Jumlah dari k buah matriks A adalah suatu matriks yang berordo sama dengan A dan besar tiap
elemennya adalah k kali elemen A yang seletak. Didefinisikan: Jika k sebarang skalar maka k A =A k adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan setiap elemennya dengan k .
Negatif dari A atau -A adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan semuaelemennya dengan -1. Untuk setiap A berlaku A + (-A) = 0. Hukum yang berlaku dalam
penjumlahan dan pengurangan matriks :
a.) A + B = B + A
b.) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
c.) k ( A + B ) = kA + kB = ( A + B ) k , k = skalar
Hasil kali matriks A yang ber-ordo m x p dengan matriks B yang berordo p x n dapat dituliskan
sebagi matriks C = [ cij ] berordo m x n dimana cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ... + aip bpj
[sunting] Matriks Balikan ( Invers)
JIka A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A = I , maka B disebutbalikan atau invers dari A dan dapat dituliskan B = A − 1 ( B sama dengan invers A ). Matriks B
juga mempunyai invers yaitu A maka dapat dituliskan A = B − 1. Jika tidak ditemukan matriks B,
maka A dikatakan matriks tunggal (singular). Jika matriks B dan C adalah invers dari A maka
B = C.
Matriks A = dapat di-invers apabila ad - bc ≠ 0
Dengan Rumus =
Apabila A dan B adalah matriks seordo dan memiliki balikan maka AB dapat di- invers dan ( AB)− 1 = B − 1 A − 1
Contoh 1:
Matriks
5/14/2018 Aljabar Linear - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linear-55ab4d8d018db 8/31
A = dan B =
AB = = = I (matriks identitas)
BA = = = I (matriks identitas)
Maka dapat dituliskan bahwa B = A − 1 (B Merupakan invers dari A)
Contoh 2:
Matriks
A = dan B =
AB = =
BA = =
Karena AB ≠ BA ≠ I maka matriks A dan matriks B disebut matriks tunggal.
Contoh 3:
Matriks
A =
Tentukan Nilai dari A
-1
Jawab:
5/14/2018 Aljabar Linear - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linear-55ab4d8d018db 9/31
Contoh 4:
Matriks
A = , B = , AB =
Dengan menggunakan rumus, maka didapatkan
, ,
Maka
=
Ini membuktikan bahwa ( AB)− 1
= B − 1 A
− 1
[sunting] Transpose Matriks
Yang dimaksud dengan Transpose dari suatu matriks adalah mengubah komponen-komponendalam matriks, dari yang baris menjadi kolom, dan yang kolom di ubah menjadi baris.
Contoh:
Matriks
A = ditranspose menjadi AT
=
Matriks
5/14/2018 Aljabar Linear - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linear-55ab4d8d018db 10/31
B = ditranspose menjadi BT
=
Rumus-rumus operasi Transpose sebagai berikut:
1. (( A)T )T = A
2. ( A + B)T
= AT
+ BT
dan ( A − B)T
= AT − B
T
3. (kA)T = kAT dimana k adalah skalar
4. ( AB)T = BT A
T
[sunting] Matriks Diagonal, Segitiga, dan Matriks Simetris
[sunting] Matriks Diagonal
Sebuah matriks bujursangkar yang unsur-unsurnya berada di garis diagonal utama dari matriks
bukan nol dan unsur lainnya adalah nol disebut dengan matriks diagonal. Contoh :
secara umum matriks n x n bisa ditulis sebagai
5/14/2018 Aljabar Linear - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linear-55ab4d8d018db 11/31
Matriks diagonal dapat dibalik dengan menggunakan rumus berikut :
D − 1=
DD − 1 = D − 1 D = I
jika D adalah matriks diagonal dan k adalah angka yang positif maka
Dk =
Contoh :
A=
maka
A5=
[sunting] Matriks Segitiga
Matriks segitiga adalah matriks persegi yang di bawah atau di atas garis diagonal utama nol.Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang di bawah garis diagonal utama nol. Matriks
segitiga atas adalah matriks persegi yang di atas garis diagonal utama nol.
Matriks segitiga
5/14/2018 Aljabar Linear - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linear-55ab4d8d018db 12/31
Matriks segitiga bawah
Teorema
Transpos pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga atas, dan transpose pada
matriks segitiga atas adalah segitiga bawah.
Produk pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan produk pada
matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.
Matriks segitiga bisa di-inverse jika hanya jika diagonalnya tidak ada yang nol.
Inverse pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan inverse padamatriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.
Contoh :
Matriks segitiga yang bisa di invers
A =
Inversnya adalah
A − 1=
Matriks yang tidak bisa di invers
5/14/2018 Aljabar Linear - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linear-55ab4d8d018db 13/31
B =
[sunting] Matriks Simetris
Matriks kotak A disebut simetris jika A = AT
Contoh matriks simetris
Teorema
Jika A dan B adalah matriks simetris dengan ukuran yang sama, dan jika k adalah skalar
maka
A
T
adalah simetris A + B dan A - B adalah simetris k A adalah simetris ( AB)
T
= B
T
A
T
= BA
Jika A adalah matriks simetris yang bisa di inverse, maka A − 1 adalah matriks simetris.
Asumsikan bahwa A adalah matriks simetris dan bisa di inverse, bahwa A = AT maka :
( A − 1)T = ( AT ) − 1 = A − 1
Yang mana membuktikan bahwa A − 1 adalah simetris.
Produk AAT dan A
T A
( AAT )T
= ( AT )T A
T = AA
T dan ( A
T A)
T = A
T ( A
T )T
= AT A
Contoh
A adalah matriks 2 X 3
5/14/2018 Aljabar Linear - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linear-55ab4d8d018db 14/31
A =
lalu
AT A = =
AAT = =
Jika A adalah Matriks yang bisa di inverse, maka AAT
dan AT A juga bisa di inverse
[sunting] Determinan
Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu
matriks bujursangkar.
Sebagai contoh, kita ambil matriks A2x2
A = tentukan determinan A
untuk mencari determinan matrik A maka,
detA = ad - bc
[sunting] Determinan dengan Ekspansi Kofaktor
[sunting] Determinan dengan Minor dan kofaktor
A = tentukan determinan A
5/14/2018 Aljabar Linear - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linear-55ab4d8d018db 15/31
Pertama buat minor dari a11
M11 = = detM = a22a33 x a23a32
Kemudian kofaktor dari a11 adalah
c11 = (-1)1+1
M11 = (-1)1+1
a22a33 x a23a32
kofaktor dan minor hanya berbeda tanda Cij=±Mij untuk membedakan apakah kofaktor pada ij adalah + atau - maka kita bisa melihat matrik dibawah ini
Begitu juga dengan minor dari a32
M32 = = detM = a11a23 x a13a21
Maka kofaktor dari a32 adalah
c32 = (-1)3+2M32 = (-1)3+2 x a11a23 x a13a21
Secara keseluruhan, definisi determinan ordo 3x3 adalah
det(A) = a11C 11+a12C 12+a13C 13
[sunting] Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama
Misalkan ada sebuah matriks A3x3
A =
maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,
5/14/2018 Aljabar Linear - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linear-55ab4d8d018db 16/31
det(A) = a11 - a12 + a13
= a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32
Contoh Soal:
A = tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor barispertama
Jawab:
det(A) = = 1 - 2 + 3 = 1(-3) - 2(-8) + 3(-7) = -8
[sunting] Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama
Pada dasarnya ekspansi kolom hampir sama dengan ekspansi baris seperti di atas. Tetapi ada satu
hal yang membedakan keduanya yaitu faktor pengali. Pada ekspansi baris, kita mengalikan
minor dengan komponen baris pertama. Sedangkan dengan ekspansi pada kolom pertama, kita
mengalikan minor dengan kompone kolom pertama.
Misalkan ada sebuah matriks A3x3
A =
maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,
det(A) = a11 - a21 + a31 = a11(a22a33 - a23a32) - a21(a21a33 - a23a31) + a31(a21a32 - a22a31)= a11a22a33 + a21a23a31 + a31a21a32 - a22(a31)
2 - (a21)2a33 - a11a23a32
Contoh Soal:
5/14/2018 Aljabar Linear - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linear-55ab4d8d018db 17/31
A = tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor kolompertama
Jawab:
det(A) = = 1 - 4 + 3 = 1(-3) - 4(-8) + 3(-7) =
8
[sunting] Adjoin Matriks 3 x 3
Bila ada sebuah matriks A3x3
A =
Kofaktor dari matriks A adalah
C11 = -12 C12 = 6 C13 = -16C21 = 4 C22 = 2 C23 = 16
C31 = 12 C32 = -10 C33 = 16
maka matriks yang terbentuk dari kofaktor tersebut adalah
untuk mencari adjoint sebuah matriks, kita cukup mengganti kolom menjadi baris dan baris
menjadi kolom
adj(A) =
[sunting] Determinan Matriks Segitiga Atas
5/14/2018 Aljabar Linear - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linear-55ab4d8d018db 18/31
Jika A adalah matriks segitiga nxn (segitiga atas, segitiga bawah atau segitiga diagonal) maka
det ( A) adalah hasil kali diagonal matriks tersebut
Contoh
= (2)(-3)(6)(9)(4) = -1296
[sunting] Metode Cramer
jika Ax = b adalah sebuah sistem linear n yang tidak di ketahui dan det(A)≠ 0 maka persamaantersebut mempunyai penyelesaian yang unik
dimana A j adalah matrik yang didapat dengan mengganti kolom j dengan matrik b
Contoh soal:
Gunakan metode cramer untuk menyelesaikan persoalan di bawah ini
x1 + 2x3 = 6
-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30
-x1 - 2x2 + 3x3 = 8
Jawab:
bentuk matrik A dan b
A = b =
kemudian ganti kolom j dengan matrik b
5/14/2018 Aljabar Linear - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linear-55ab4d8d018db 19/31
A1 = A2 = A3 =
dengan metode sarrus kita dapat dengan mudah mencari determinan dari matrik-matrikdi atas
maka,
[sunting] Tes Determinan untuk Invertibilitas
Pembuktian: Jika R di reduksi secara baris dari Ä. Sebagai langkah awal, kita akan
menunjukkan bahwa det( A) dan det( R) keduanya adalah nol atau tidak nol: E1, E2,..., E r menjadi matrix element yang berhubungan dengan operasi baris yang menghasilkan Rdari A.
Maka,
R= E r... E2 E1 A
dan,
det( R)=det( E r)...det( E2)det( E1)det( EA)
Jika A dapat di-invers, maka sesuai dengan teorema equivalent statements , maka R = I , jadidet( R) = 1 ≠ 0 dan det( A) ≠ 0. Sebaliknya, jika det( A) ≠ 0, maka det( R) ≠ 0, jadi R tidak memiliki
baris yang nol. Sesuai dengan teorema R = I , maka A adalah dapat di-invers. Tapi jika matrix
bujur sangkar dengan 2 baris/kolom yang proposional adalah tidak dapat diinvers.
Contoh Soal :
A=
karena det( A) = 0. Maka A adalah dapat diinvers.
5/14/2018 Aljabar Linear - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linear-55ab4d8d018db 20/31
[sunting] Mencari determinan dengan cara Sarrus
A = tentukan determinan A
untuk mencari determinan matrik A maka,
detA = (aei + bfg + cdh) - (bdi + afh + ceg)
[sunting] Metode Sarrus hanya untuk matrix berdimensi 3x3
[sunting] Menghitung Inverse dari Matrix 3 x 3
A =
kemudian hitung kofaktor dari matrix AC11 = 12 C12 = 6 C13 = -16
C21 = 4 C22 = 2 C23 = 16
C31 = 12 C32 = -10 C33 = 16
menjadi matrix kofaktor
cari adjoint dari matrix kofaktor tadi dengan mentranspose matrix kofaktor diatas, sehinggamenjadi
adj(A) =
5/14/2018 Aljabar Linear - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linear-55ab4d8d018db 21/31
dengan metode Sarrus, kita dapat menghitung determinan dari matrix A
det ( A) = 64
[sunting] Sistem Linear Dalam Bentuk Ax = λx
dalam sistem aljabar linear sering ditemukan
A x = λx ; dimana λ adalah skalar
sistem linear tersebut dapat juga ditulis dengan λx-Ax=0, atau dengan memasukkan matrix
identitas menjadi
(λI - A) x = 0
contoh:
diketahui persamaan linear
x1 + 3x2 = λx1
4x1 + 2x2 = λx2
dapat ditulis dalam bentuk
= λ
yang kemudian dapat diubah
A = dan x =
yang kemudian dapat ditulis ulang menjadi
λ
5/14/2018 Aljabar Linear - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linear-55ab4d8d018db 22/31
λ
sehingga didapat bentuk
λ I - A =
namun untuk menemukan besar dari λ perlu dilakukan operasi
det (λ I - A) = 0 ;λ adalah eigenvalue dari A
dan dari contoh diperoleh
det (λ I - A) = = 0
atau λ^2 - 3λ - 10 = 0
dan dari hasil faktorisasi di dapat λ1 = -2 dan λ2 = 5
dengan memasukkan nilai λ pada persamaan (λ I - A) x = 0, maka eigenvector bisa didapat bila λ
= -2 maka diperoleh
dengan mengasumsikan x2 = t maka didapat x1 = t
x =
[sunting] Vektor dalam Ruang Euklide
[sunting] Euklidian dalam n-Ruang
5/14/2018 Aljabar Linear - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linear-55ab4d8d018db 23/31
Vektor di dalam n-Ruang Definisi : Jika n adalah sebuah integer positif, sebuah n- grup topel
adalah sekuens dari n bilangan real (a1.a2.....an). Set dari semua grup yang terdiri dari n- gruptopel dinamakan n-ruangdan dituliskan sebagai Rn.
Jika n = 2 atau 3, sudah menjadi kebiasaan untuk menggunakan istilah grup pasangan dan grup
dari tiga secara respektif, daripada 2-grup topel atau 3- grup topel. Keitka n = 1, setiap n – gruptopel terdiri dari satu bilangan real, sehingga R1 bisa dilihat sebagai set dari bilangan real. Kita
akan menuliskan R daripada R1 pada set ini.
Mungkin kita telah mmepelajari dalam bahan 3-ruang symbol dari (a1, a2, a3) mempunyai dua
interpretasi geometris yang berbeda : ini bisa diinterpretasikan sebagai titik, yang dalam kasus inia2, a2, a3 merupakan koordinat, atau ini bisa diinterpretasikan sebagai vector, dimana a1, a2, a3
merupakan komponen vector. Selanjutnya kita bisa melihat bahwa n – grup topel (a1, a2, ...., an)
bisa dilihat sebagai antara sebuah “poin umum” atau “vector umum”- perbedaan antara keduanya
tidak penting secara matematis. Dan juga kita bisa menjelaskan 5- topel (-2, 4, 0 ,1 ,6) antarapoin dalam R5 atau vector pada R5.
u1 = v1 u2 = v2 un = vn
Penjumlahan u + v didefinisikan oleh
u + v = (u1 + v2, u2 + v2, ...., un + vn)
Dan jika k adalah konstanta scalar, maka perkalian scalar ku didefinisikan oleh
ku = (k u1, k u2,...,k un)
Operasi dari pertambahan dan perkalian scalar dalam definisi ini disebut operasi standar untuk
Rn Vektor nol dalam Rn didenotasikan oleh 0 dan difenisikan ke vektor
0 = (0, 0,...., 0)
Jika u = (u1, u2, ...., un) dalam setiap vector dalam Rn, maka negative (atau invers aditif) dari udituliskan oleh – u dan dijelaskan oleh
-u = (-u1, -u2, ...., -un)
5/14/2018 Aljabar Linear - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linear-55ab4d8d018db 24/31
Perbedaan dari vector dalam Rn dijelaskan oleh
v – u = v + (-u)
atau, dalam istilah komponen,
v – u = (v1-u1, v2-u2, ...., vn-un)
Sifat-sifat dari vektor dalam R n
jika , , dan adalah dalam R
n sedangkan k dan m adalah skalar, maka :
(a) u + v = v + u
(b) u + 0 = 0 + u = u
(c) u + (v + w) = (u + v) + w
(d) u + (-u) = 0 ; berarti, u - u = 0
(e) k (m u) = (k m) u
(f) k (u + v) = k u + k v
(g) (k + m) u = k u + m u
(h) 1u = u
Perkalian dot product didefinisikan sebagai
[sunting] Contoh Penggunaan Vektor dalam Ruang Dimensi Tinggi
Data Eksperimen – Ilmuwan melakukan experimen dan membuat n pengukuran numerissetiap eksperimen dilakukan. Hasil dari setiap experiment bisa disebut sebagai vector y =
( y1, y2,..., yn) dalam Rn
dalam setiap y1, y2,...., yn adalah nilai yang terukur.
5/14/2018 Aljabar Linear - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linear-55ab4d8d018db 25/31
Penyimpanan dan Gudang – Sebuah perusahaan transportasi mempunyai 15 depot
untuk menyimpan dan mereparasi truknya. Pada setiap poin dalam waktu distribusi daritruk dalam depot bisa disebut sebagai 15-topel x = ( x1, x2,..., x15) dalam setiap x1 adalah
jumlah truk dalam depot pertama dan x2 adalah jumlah pada depot kedua., dan
seterusnya.
Rangkaian listrik – Chip prosesor didesain untuk menerima 4 tegangan input danmengeluarkan 3 tegangan output. Tegangan input bisa ditulis sebagai vector dalam R
4
dan tegangan output bisa ditulis sebagai R3. Lalu, chip bisa dilihat sebgai alat yang
mengubah setiap vektor input v = (v1,v2,v3,v4) dalam R4
ke vector keluaran w = (w1,w2,w3)dalam R
3.
Analisis citra – Satu hal dalam gambaran warna dibuat oleh layar komputer dibuat oleh
layar komputer dengan menyiapkan setiap [pixel] (sebuah titik yang mempunyai alamatdalam layar) 3 angka yang menjelaskan hue, saturasi, dan kecerahan dari pixel. Lalu
sebuah gambaran warna yang komplit bisa diliahat sebgai 5-topel dari bentuk v =
( x, y,h,s,b) dalam x dan y adalah kordinat layar dari pixel dan h,s,b adalah hue, saturation,
dan brightness.
Ekonomi – Pendekatan kita dalam analisa ekonomi adalah untuk membagiekonomidalam sector (manufaktur, pelayanan, utilitas, dan seterusnya ) dan untuk
mengukur output dari setiap sector dengan nilai mata uang. Dalam ekonomi dengan 10sektor output ekonomi dari semua ekonomi bisa direpresentasikan dngan 10-topel s =
(s1,s2,s3,...,s10) dalam setiap angka s1,s2,...,s10 adalah output dari sektor individual.
Sistem Mekanis – Anggaplah ada 6 partikel yang bergerak dalam garis kordinat yangsama sehingga pada waktu t koordinat mereka adalah x1, x2,..., x6 dan kecepatan mereka
adalah v1,v2,...,v6. Informasi ini bisa direpresentasikan sebagai vector
V = ( x1, x2, x3, x4, x5, x6,v1,v2,v3,v4,v5,v6,t ) Dalam R13. Vektor ini disebut kondisi dari sistem partikel
pada waktu t.
Fisika - Pada teori benang komponen paling kecil dan tidak bisa dipecah dari Jagat raya
bukanlah partikel tetapi loop yang berlaku seperti benang yang bergetar. Dimana jagat
waktu Einstein adalah 4 dimensi, sedangkan benang ada dalam dunia 11-dimensi
[sunting] Menemukan norm dan jarak
Menghitung Panjang vektor u dalam ruang Rn
jika u = (u1,u2,u3,...,un)
Maka Panjang vektor u
5/14/2018 Aljabar Linear - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linear-55ab4d8d018db 26/31
dan Menghitung jarak antara vektor u dengan vektor v
[sunting] Bentuk Newton
interpolasi polinominal p(x)=anxn+an-1x
n-1+...+a1x+a0 adalah bentuk standar. Tetapi ada juga
yang menggunakan bentuk lain . Contohnya , kita mencari interpolasi titik dari data
(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3).
Jika kita tuliskan P(x)=a3x3+a2x
2+a1x+a0
bentuk equivalentnya : p(x)=a3(x-x0)3+p(x)=a2(x-x0)
2+p(x)=a1(x-x0)+a0
dari kondisi interpolasi p(x0)=yo maka didapatkan a0=yo , sehingga dapat kita tuliskan menjadi
p(x)=b3(x-x0)(x-x1)(x-x2)+b2(x-x0)(x-x1)+b1(x-x0)+b0 inilah yang disebut newton form dari
interpolasi , sehingga kita dapatkan :
p(x0)=b0
p(x1)=b1h1+b0
p(x2)=b2(h1+h2)h2+b1(h1+h2)+b0
p(x3)=b3(h1+h2+h3)(h2+h3)h3+b2(h1+h2+h3)(h2+h3)+b1(h1+h2+h3)+b0
sehingga jika kita tuliskan dalam bentuk matrix:
[sunting] Operator Refleksi
Berdasarkan operator T:R
2
-> R
2
yang memetakan tiap vektor dalam gambaran simetris terhadapsumbu y, dimisalkan w=T (x), maka persamaan yang berhubungan dengan x dan w adalah:
x1 = -x = -x + 0y
x2 = y = 0x + y
5/14/2018 Aljabar Linear - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linear-55ab4d8d018db 27/31
atau dalam bentuk matrik :
Secara umum, operator pada R2
dan R3
yang memetakan tiap vektor pada gambaran simetrinya
terhadap beberapa garis atau bidang datar dinamakan operator refleksi. Operator ini bersifatlinier.
[sunting] Operator Proyeksi
Berdasarkan operator T:R2
-> R2
yang memetakan tiap vektor dalam proyeksi tegak lurus
terhadap sumbu x, dimisalkan w=T (x), maka persamaan yang berhubungan dengan x dan w adalah:
x1 = x = x + 0y
x2 = 0 = 0x + y
atau dalam bentuk matrik :
Persamaan tersebut bersifat linier, maka T merupakan operator linier dan matrikx T adalah:
Secara umum, sebuah operator proyeksi pada R2
dan R3
merupakan operator yang memetakan
tiap vektor dalam proyeksi ortogonal pada sebuah garis atau bidang melalui asalnya.
[sunting] Operator Rotasi
Sebuah operator yang merotasi tiap vektor dalam R2 melalui sudut ɵ disebut operator rotasi padaR2. Untuk melihat bagaimana asalnya adalah dengan melihat operator rotasi yang memutar tiap
vektor searah jarum jam melalui sudut ɵ positif yang tetap. Unutk menemukan persamaanhubungan x dan w=T (x), dimisalkan ɵ adalah sudut dari sumbu x positif ke x dan r adalah jarak x dan w. Lalu, dari rumus trigonometri dasar x = r cos Θ ; y = r cos Θ dan w1 = r cos (ɵ + ɸ) ; w2=
r sin (ɵ + ɸ)
Menggunakan identitas trigonometri didapat:
w1 = r cos ɵ cos ɸ - r sin ɵ sin ɸ
5/14/2018 Aljabar Linear - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linear-55ab4d8d018db 28/31
w2 = r sin ɵ cos ɸ + r cos ɵ sin ɸ
kemudian disubtitusi sehingga:
w1 = x cos Θ - y sin Θ
w2 = x sin Θ + y cos Θ
Persamaan diatas merupakan persamaan linier, maka T merupakan operator linier sehingga
bentuk matrik dari persamaan diatas adalah:
[sunting] Interpolasi Polinomial
Dengan menganggap masalah pada interpolasi polinomial untuk deret n + 1 di titik (x0,y0)....,
(xn,yn). Maka, kita diminta untuk menemukan kurva p(x) = am xm
+ am-1 xm − 1
+ ... + a1 x + a0 darisudut minimum yang melewati setiap dari titik data. Kurva ini harus memenuhi
karena xi diketahui, ini akan menuju pada sistem matrik di bawah ini
=
Ingat bahwa ini merupakan sistem persegi dimana n = m. Dengan menganggap n = m
memberikan sistem di bawah ini untuk koefisien interpolasi polinomial p(x):
5/14/2018 Aljabar Linear - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linear-55ab4d8d018db 29/31
= (1)
Matrix di atas diketahui sebagai Matrix Vandermonde; kolom j merupakan elemen pangkat j-1.
Sistem linier pada (1) disebut menjadi Sistem Vandermonde.
Contoh soal:
Cari interpolasi polinomial pada data (-1,0),(0,0),(1,0),(2,6) menggunakan Sistem Vandermonde.
Jawab:
Bentuk Sistem Vandermonde(1):
=
Untuk data di atas, kita mempunyai
=
5/14/2018 Aljabar Linear - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linear-55ab4d8d018db 30/31
Untuk mendapatkan solusinya, digunakan Gaussian Elimination
Baris ke-2, ke-3, dan ke-4 dikurangi baris pertama
Baris ke-3 dibagi dengan 2, sedangkan baris ke-4 dibagi dengan 3
Baris ke-3 dikurangi baris ke-2
Baris ke-4 dikurangi baris ke-2
Baris ke-4 dibagi dengan 2
Baris ke-4 dikurangi baris ke-3
Recommended