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Conceitos primitivosOs conceitos primitivos da geometria são os
seguintes:PONTO RETA PLANO
.P
GEOMETRIA ESPACIAL - POSIÇÃO
Postulados ou Axiomas
• Os postulados são propriedades aceitas sem demonstração
• Postulados iniciais• P1 - Postulado de existência• Em uma reta, bem como fora dela, existem
infinitos pontos.
• P2 - Postulado de existência
• Em um plano, bem como fora dele, existem infinitos pontos.
• P3 - Por um ponto passam infinitas retas.
• P4 - Postulado de determinação• Dois pontos distintos determinam uma única
reta (retas coincidentes são uma única reta).
• P5 - Postulado da inclusão• Se dois pontos de uma reta pertencem a um plano, então a
reta está contida no plano.
• 1) se vários pontos pertencem a uma mesma reta, então• eles são ditos colineares.• 2) se vários pontos pertencem a um mesmo plano, então• eles são ditos coplanares.
Posição relativa de duas retas no espaço
• Duas retas são coplanares quando estão no mesmo plano e podem ser:
• CONCORRENTES• r e s têm um só ponto em comum.
PARALELAS DISTINTAS
• r e s não têm ponto em comum.
PARALELAS COINCIDENTES
Reversas
• São reversas quando não existe um plano que as contêm.
Resumo
POSTULADO DAS PARALELAS (EUCLIDES)
• Existe somente uma reta paralela a uma reta dada r, passando por um ponto P que não lhe pertence.
RETAS PERPENDICULARES
• Duas retas são perpendiculares quando são concorrentes e formam um ângulo reto.
RETAS ORTOGONAIS
• Duas retas reversas são ortogonais quando o ângulo formado pelas suas paralelas partindo de um mesmo ponto é reto.
Exemplo
• Para melhor entendimento, observe a situação abaixo:
• 01) as retas r e s são ortogonais.• 02) o segmento AB representa a distância entre as duas• retas reversas.• AB é a única reta perpendicular a r e s ao mesmo tempo.• A medida do segmento AB é, por definição, a distância entre• as retas reversas r e s.
Determinação do plano
Um plano fica determinado de quatro modos diferentes.
01) Três pontos não-colineares.
02) Uma reta e um ponto fora dela.
03) Duas retas concorrentes.
04) Duas retas paralelas.
Posições relativas de dois planosPLANOS
• PLANOS PARALELOS• Dois planos são ditos paralelos quando não têm ponto em
comum ou se coincidem.
• Observações:• Alguns autores não consideram um plano paralelo a si mesmo.
PLANOS SECANTES OU CONCORRENTES
• Dois planos são concorrentes quando possuem em comum uma única reta.
PLANOS PERPENDICULARES
• Dois planos são perpendiculares se um deles contém alguma reta perpendicular ao outro.
Posições relativas de uma reta e umplano no espaço
• RETA CONTIDA NO PLANO• Uma reta está contida em um plano quando
todos os seus pontos pertencem ao plano.
RETA SECANTE
• A reta e o plano possuem apenas um ponto em comum.
P é o traço da reta com o plano.
RETA PARALELA A UM PLANO
• Uma reta é paralela a um plano quando não possuem ponto em comum.
• Uma reta é paralela a um plano quando, não estando contida• nele, ela é paralela a alguma reta desse plano.
RETA PERPENDICULAR AO PLANO• Uma reta é perpendicular a um plano quando ela é
perpendicular a todas as retas do plano que passam pelo ponto comum.
• P é o PE da perpendicular sobre o plano.• Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes,• então ela é perpendicular ao plano determinado por essas• duas retas.
• 01) (FACTUR ) Entre retas e planos no espaço, verifica-se• que:• a) uma reta paralela a um plano é paralela a uma e só• uma reta desse plano.• b) dois pontos distintos determinam infinitas retas.• c) três pontos determinam um plano.• d) uma reta e um ponto fora dela determinam um plano.• e) dois planos paralelos a uma reta são paralelos entre si.
• 02) • (UESC) Sejam uma reta r e um plano α do espaço,• concorrentes.• Com base nessa informação, pode-se afirmar:• 01) Se uma reta r1 está contida em α, então r e r1 são
reversas.• 02) Se uma reta r1 está contida em α, então r e r1 são• concorrentes.• 03) Existe uma reta r1, contida em α, que é paralela a r.• 04) Se uma reta r1 está contida em α e é ortogonal a r,• então r é perpendicular a α.• 05) Se r é perpendicular a α e uma reta r1 está contida• em α, então r é ortogonal a r1.
• 02. (UFBA) Com base nos conhecimentos sobre• geometria espacial, pode-se afirmar:• (01) Se uma reta r e um plano α são paralelos, então• toda reta perpendicular à reta r é também perpendicular• ao plano α.• (02) Se um ponto P não pertence a uma reta s, então existe• um único plano passando por P, paralelo à reta s.• (04) Se uma reta r está contida em um plano α, e a reta s• é reversa a r, então a reta s intercepta o plano α.• (08) Se α e β são dois planos perpendiculares, e r é uma• perpendicular a α, que não está contida em β, então• r é paralela a β. • (16) Se dois planos são perpendiculares, então toda reta• de um deles é perpendicular ao outro.• (32) Três planos distintos interceptam-se segundo uma• reta ou um ponto.
POLIEDROS
• Poliedro é o sólido limitado exclusivamente por polígonos convexos.
SOMA DOS ÂNGULOS DAS FACES
• A soma dos ângulos das faces de um poliedro regular é tantas vezes 360º quantos são os vértices, menos dois.
• EXEMPLO:• Os dois poliedros representados possuem, cada um, 6• vértices. Portanto, a soma dos ângulos das faces é:• Sa = (6 - 2) . 3600 = 14400.
TEOREMA DE EULER
• No poliedro convexo é válida a relação.
• Cada aresta de um poliedro é formada pelo concurso de dois lados de duas faces. Portanto, o número de arestas de um poliedro é igual à metade do número total dos lados apresentados pelas diversas faces.
• No caso de F faces, com n lados cada uma, teremos:
EXERCÍCIOS
• 01) (PUC) Qual o poliedro regular que tem 12 vértices e 30 arestas?
• a) Hexaedro d) Icosaedro• b) Dodecaedro e) Tridecaedro• c) Octaedro
• 02)• (ITA) Considere um prisma regular em que a
soma dos ângulos internos de todas as faces é 7200o. O número de vértices deste prisma é igual a:
• a) 11. d) 20.• b) 32. e) 22.• c) 10.
• 03) Qual a soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo que apresenta 20 arestas e 12 faces?
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