Prof. Rajane G Weber

C.A. João XXIII - UFJF

Introdução A Geometria espacial (euclidiana) funciona

como uma ampliação da Geometria plana (euclidiana) e trata dos métodos apropriados para o estudo de objetos espaciais assim como a relação entre esses elementos.

Os objetos primitivos do ponto de vista espacial, são: pontos, retas, segmentos de retas, planos, curvas, ângulos e superfícies.

Tomaremos ponto, reta e plano como conceitos primitivos, os quais serão aceitos sem definição.

Um pouco de História

O estudo da geometria espacial pelos povos da mesopotâmia (região situada no Oriente Médio, no vale dos rios Tigre e Eufrates) é datada desde, aproximadamente, dois mil anos antes de Cristo e todo o conhecimento que temos hoje se baseiam em documentos de denominamos papiros.

Dentre os principais podemos citar o “papiro de Rhind” e o “papiro de Moscou”.

“PAPIRO DE MOSCOU”

“PAPIRO DE RHIND

Fundamentos

O espaçoÉ o marco físico que nos rodeia e em que vivemos. Uma casa, uma poltrona e uma maçã, por exemplo, não são corpos geométricos, mas estão no espaço. Os prismas, as pirâmides, o cilindro e a esfera são corpos geométricos  no espaço. 

Em Geometria, o espaço é um conjunto ilimitado de pontos. Nesse espaço consideram-se três dimensões: comprimento, altura e largura.

Entes Primitivos –Aceitos sem definição

•Pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto 

•Retas: letras minúsculas do nosso alfabeto

•Planos: letras minúsculas do alfabeto grego

Plano α (alfa)

•Espaço: é o conjunto de todos os pontosque estão no plano e fora dele.

Por exemplo, da figura a seguir, podemos escrever

•A

•B

Figuras Coplanares e ColinearesPONTOS

COPLANARES

Os pontos A,B,C estão no mesmo plano

PONTOS

COLINEARES

Os pontos P e Q estão sobre a mesma reta

Posições relativas de duas retas

Se as retas são Coplanares:

                                                                                                                                   

Concorrentes Paralelas Distintas

Ou

Perpendiculares

Posições relativas de duas retas

Se as retas não são coplanares

Reversas Ortogonais

Posições relativas de dois planos

Coincidentes Concorrentes

Ou

Verificação 1

A B

CD

E F

GH

I J

1)Observando a figura,identifique que ente geométrico se refere :

a) A,B,C,D,E,...J

b) AB, CD, EF,AI,BJ ...

c) ABCD, ABIJ

2) Verifique se as retas são paralelas,concorrentes ou reversas:

a)EF e CD c) BC e BJ

b)EF e AD d) AB e HG

Pense Bem!!

Verificação 2Considere a figura e responda com V ou F:

A BC

D

E FG

H

a) AB//DC b) DC//HG c) EF//FG d) CB e HE são reversas

e) CF e HE são reversas f) DB e AC são concorrentes

g)AB e EF são coplanares h) DB e HF são coplanares

i) A e C são colineares j) H e G são colineares e coplanares

Sólidos Geométricos

Duas caixas de madeira serão construídas com as formas e medidas indicadas nas figuras.

30cm30cm30cm

50cm40cm

40cm30cm

Em qual delas será usada mais madeira?

Qual delas terá o espaço interno maior?

Problemas como este serão resolvidos com o estudo dos sólidos geométricos

1- POLIEDROS

Para saber mais sobre este tipo de sólido geométrico, clique no sólido ao lado.

PRISMAS Sejam α e β dois planos paralelos distintos, uma reta r secante a esses planos e uma região poligonal convexa A1A2A3...An contida em α. Consideremos todos os segmentos de reta, paralelos a r, de modo que cada um deles tenha um extremo pertencente à região poligonal e o outro extremo pertencente a β:

ELEMENTOS DO PRISMA

bases (polígonos); faces (paralelogramos); arestas das bases (lados das bases); arestas laterais (lados das faces que não pertencem às bases); vértices (pontos de encontro das arestas); altura (distância entre os planos das bases).

TIPOS DE PRISMATIPOS DE PRISMA

.As arestas laterais têm o mesmo comprimento..As arestas laterais são perpendiculares ao plano da base..As faces laterais são retangulares.

Prisma reto

TIPOS DE PRISMATIPOS DE PRISMA

•As arestas laterais têm o mesmo comprimento.

•As arestas laterais são oblíquas ao plano da base.

•As faces laterais não são retangulares.

Prisma oblíquo

NomenclaturaNomenclatura

São nomeados de acordo com o polígono da sua base:

Prisma Base Esboço geométrico

Triangular triângulo

Quadrangular quadrado

ClassificaçãoClassificação

Pentagonal pentágono

Hexagonal hexágono

Prisma RegularPrisma Regular • É um prisma reto cujas bases são regiões poligonais regulares. • Exemplo: • Um prisma triangular regular é um prisma reto cuja base é um triângulo equilátero.

Paralelepípedo Reto-Retângulo

Todo prisma reto cujo polígono das bases são Todo prisma reto cujo polígono das bases são retângulos é chamado de paralelepípedo reto-retângulos é chamado de paralelepípedo reto-retângulo.retângulo.

Medida de uma Medida de uma diagonal de um diagonal de um paralelepípedo reto-paralelepípedo reto-retânguloretângulo

Consideramos um paralelepípedo reto-retângulo, que tem as dimensões, comprimento, largura e altura, sejam as medidas a, b e c. Sejam d e D as medidas de uma diagonal da base e de uma diagonal do

Continuação

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo A1A8A6 , temos:

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo A5A8A6, temos:

Finalizado:Finalizado:

Substituindo (II) em (I), temos: