Tipos de funciones y gráficas

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ROSARIO GARNICA OLIVERA.

LICENCIATURA EN TECNOLOGIA EDUCATIVA.

1° CUATRIMESTRE.

PROFESOR: JOSE ANTONIO FERRA CUEVAS.

TRABAJO DE MATEMATICAS: TIPOS DE FUNCIONES Y

SUS GRAFICAS.

FECHA DE ENTREGA: 10/DICIEMBRE/2014

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INTRODUCCION.

A continuación veremos las funciones y sus gráficas. Los tipos de funciones

contienen diferentes tipos de gráficas. En los tipos de funciones veremos

función lineal y su respectiva gráfica, función cuadrática, funciones

polinomiales de grado superior, las funciones exponenciales y las funciones

logarítmicas. Se explicara paso a paso en consiste cada una de las

funciones, al igual que cada una tendrá su respectiva gráfica, con

imágenes para así identificarlas más fácilmente.

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INDICE

FUNCIONES Y SUS GRAFICAS

CONCEPTO DE FUNCION Pág………4

TIPOS DE FUNCIONES:

a) Funciones lineales y su gráfica.

b) Función cuadrática y su gráfica.

c) Funciones polinomiales de grado

superior y su gráfica.

d) Funciones exponenciales y su

gráfica.

e) Funciones logarítmicas y su

gráfica.

f) Representación grafica de las

diferentes funciones

CONCLUSION.

BIBLIOGRAFIA. Pág………31

Pág…….5-6

Pág……7-8

Pág…….9

Pág……10-12

Pág…..13-14

Pág……….15-29

Pág……….30

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Concepto de función:

Una función es una relación o correspondencia entre dos magnitudes de

manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la

segunda que llamamos imagen o transformado.

A la función se le suele designar por f y a la imagen por f(x)

siendo x la variable independiente.

VARIABLE INDEPENDIENTE: La que se fija previamente.

VARIABLE DEPENDIENTE: La que se deduce de la variable

independiente.

Las funciones son como maquinas a las que se les introduce un

elemento x y devuelven otro valor y, que también se designa

por f(x).

Por ejemplo, la función f(x) = 3x2 + 1 es la que a cada número le asigna el

cuadrado del número multiplicado por 3 y luego sumado 1.

Así f(2) = 3*22 + 1= 3*4 + 1 = 12 + 1 = 13

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TIPOS DE FUNCIONES. Función lineal.

En geometría y el álgebra elemental una función lineal es una función

polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en

el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:

𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏

Donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La

constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta

con el eje y. Si se modifica m entonces se modifica la inclinación de la recta,

y si se modifica b, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia

abajo.

Algunos autores llaman función lineal a aquella con b= 0 de la forma:

𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥

Mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:

𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏

Cuando b es distinto de cero, dado que la primera (b=0) es un ejemplo

también de transformación lineal, en el contexto de algebra lineal.

Una función lineal de una única variable dependiente x es de la forma:

𝑦 = 𝑚 𝑥 + 𝑏

Que se conoce como ecuación de la recta en el plano x,y.

En la figura se ven dos rectas, que corresponden a las ecuaciones lineales

siguientes:

𝑦 = 0, 5 + 2

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En esta recta el parámetro m es igual a 1/2 (correspondiente al valor de

la pendiente de la recta), es decir, cuando aumentamos x en una unidad

entonces y aumenta en 1/2 unidad, el valor de b es 2, luego la recta corta

el eje y en el punto y= 2.

En la ecuación:

𝑦 = −𝑥 + 5

La pendiente de la recta es el parámetro m= -1, es decir, cuando el valor

de x aumenta en una unidad, el valor de y disminuye en una unidad; el

corte con el eje y es en y= 5, dado que el valor de b= 5.

En una recta el valor de m se corresponde al ángulo θ de inclinación de la

recta con el eje de las x a través de la expresión:

𝑚 = 𝑡𝑎𝑛 θ

La función lineal es del tipo:

𝑦 = 𝑚𝑥

Su grafica es una línea recta que pasa por el origen de

coordenadas.

X = 0 1 2 3 4 Y = 2 x 0 2 4 6 8

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Función cuadrática.

En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es

una función polinómica definida por:

𝑦 = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐

Con 𝑎 ≠ 0.

Las gráficas de estas funciones corresponden a parábolas verticales (eje de

simetría paralelo al eje de las ordenadas), con la particularidad de que

cuando a>0, el vértice de la parábola se encuentra en la parte inferior de

la misma, siendo un mínimo (es decir, la parábola se abre "hacia arriba"), y

cuando a<0 el vértice se encuentra en la parte superior, siendo un máximo

(es decir, la parábola se abre "hacia abajo").

El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en

campos muy diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico.

La función derivada de una función cuadrática es una función lineal y su

integral indefinida es una familia de funciones cubicas.

Hay tres formas de escribir una función cuadrática, aplicables

según el uso que se le quiera dar a la función, un estudio

analítico de la función o de la ecuación cuadrática, una

interpretación o construcción geométrica de la parábola, etc.

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Forma desarrollada

La forma desarrollada de una función cuadrática (o forma

estándar) corresponde a la del polinomio de segundo grado,

escrito convencionalmente como:

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐

Con: 𝑎 ≠ 0.

Forma factorizada: Toda función cuadrática se puede escribir

en forma factorizada en función de sus raíces como:

𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥1) (𝑥 − 𝑥2)

Siendo a el coeficiente principal de la función, y 𝑥1 𝑦 𝑥2 y las

raíces de 𝑓 (𝑥) . En el caso de que el discriminante Δ sea igual a

0 entonces 𝑥1 = 𝑥2 por lo que la factorización adquiere la

forma:

𝑓 (𝑥) = 𝑎 (𝑥 − 𝑥1)²

En este caso a 𝑎 𝑥1 se la denomina raíz doble, ya que su orden

de multiplicidad es 2. Si el discriminante es negativo, las

soluciones son complejas, no cabe la factorización.

Forma canónica

Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el

cuadrado de un binomio de la siguiente manera:

𝑓 (𝑥) = 𝑎 (𝑥 − ℎ)² + 𝑘.

Siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k) las

coordenadas del vértice de la parábola.

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Funciones polinomiales de grado superior.

Funciones polinomiales de grado superior

Un polinomio es una suma de números finitos, la expresión de

una función polinomial es: f(x)= an xn +an-1 xn-1+… +a2 x2 + a1

x+a0 donde n es un número real entero no negativo al igual que

cada una de las constantes an ,an – 1, …, a2 ay a0.

El grado del polinomio es n y su coeficiente de mayor grado, o

sea, an, es su coeficiente principal.

Si a0 es diferente de 0 y n=0, entonces f(x)=a0 es una función de

grado 0 y se llama función constante.

Si n=1 la función polinomial es de primer grado y se llama función

lineal. La expresión de esta función es de la forma: f(x)= a1x+a0;

donde a1 es diferente de cero.

Los ceros de una función polinomial

Definidos por la ecuación y=f(x) son aquellos valores de x que

son la solución de la ecuación f(x)=0.Teorema del residuo

Si un polinomio P(x) se divide entre x-a hasta obtener un residuo

en el que no aparece la variable x, el residuo resultante es igual

P(a). Si dividimos P(x) entre x-a y designamos por Q(x) el

coeficiente y por r el residuo, entonces P(x)= Q(x)(x-a)+r.

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Función exponencial.

La función exponencial es del tipo:

𝑓 (×) = 𝑎ˣ

Sea a un número real positivo. La función que a cada

número real x le hace corresponder la potencia a x se

l lama función exponencial de base a y exponente x .

Ejemplos 𝑓 (×) = 2ˣ

X y= 2ˣ

-3 1/8

-2 1/4

-1 1/2

0 1

1 2

2 4

3 8

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La función exponencial es conocida formalmente como

la función real ex, donde e es el número de Euler,

aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de

definición el conjunto de los números reales, y tiene la

particularidad de que su derivada es la misma función. Se

denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la

base de los logaritmos naturales y corresponde a la función

inversa del logaritmo natural.

En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es

del tipo exponencial en base a si tiene la forma

𝐸 (×) = 𝑘 ∙ 𝑎ˣ

Siendo a, K ∈ R números reales, con a > 0. Así pues, se obtiene un abanico

de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que

utilicen.

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La función exponencial (y exponencial en base distinta a e) satisfacen las

siguientes propiedades generales.

Son las únicas funciones que son igual a su derivada (multiplicada por una

constante, en el caso de que tengan una base distinta a e)

exp(𝑥 + 𝑦) = exp (𝑥) ∙ exp (𝑦)

exp(𝑥 − 𝑦) = exp(𝑥) /exp (𝑦)

exp(0) = 1

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Funciones logarítmicas.

La función logarítmica en base a es la función inversa de la

exponencial en base a.

𝑓(𝑥) = log 𝑥

𝑎 > 0 , 𝑎 ≠ 1

Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f

(x) == logax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta

de 1.

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial dado que:

loga x = b Û ab = x.

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Propiedades de la función logarítmica

Las propiedades generales de la función logarítmica se deducen a partir de

las de su inversa, la función exponencial. Así, se tiene que:

La función logarítmica sólo existe para valores de x positivos, sin incluir el

cero. Por tanto, su dominio es el intervalo (0,+¥).

Las imágenes obtenidas de la aplicación de una función logarítmica

corresponden a cualquier elemento del conjunto de los números reales,

luego el recorrido de esta función es R.

En el punto x = 1, la función logarítmica se anula, ya que loga 1 = 0, en

cualquier base.

La función logarítmica de la base es siempre igual a 1.

Finalmente, la función logarítmica es continua, y es creciente para a > 1

y decreciente para a < 1

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Gráficas.

Representa gráficamente las siguientes funciones

1. Lineales

a) Gráfica 1

b) Gráfica 2

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c) Gráfica 3

d) Gráfica 4

e) Gráfica 5 a)

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e) Gráfica 5 b)

f) Gráfica 6

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2. Función cuadrática

a) Gráfica 7

b) Gráfica 8

19 | P á g i n a

c) Gráfica 9

d) Gráfica 10

20 | P á g i n a

e) Gráfica 11

f) Gráfica 12

21 | P á g i n a

3. Polinomiales de grado superior

1. Gráfica 13

2. Gráfica 14

22 | P á g i n a

3. Gráfica 15

4. Gráfica 16

5. Gráfica 17

23 | P á g i n a

6. Gráfica 18

7. Gráfica 19

8. Gráfica 20

24 | P á g i n a

4. Racionales

a) Gráfica 21

b) Gráfica 22

25 | P á g i n a

c) Gráfica 23

d) Gráfica 24

26 | P á g i n a

5. Funciones exponenciales

7. Gráfica 25

8. Gráfica 26

27 | P á g i n a

9. Gráfica 27

10. Gráfica 28

28 | P á g i n a

6. Funciones logarítmicas

7. Gráfica 29

8. Gráfica 30

29 | P á g i n a

9. Gráfica 31

10. Gráfica 32

30 | P á g i n a

Conclusión.

En este pequeño trabajo conocimos varias de las funciones y sus

diferentes tipos de gráficas, cada función contiene su propia

gráfica, hablamos de la función cuadrática, logarítmica,

exponencial esas son las que más recuerdo.

Con esto estamos aprendiendo un poco más sobre las gráficas

de las diferentes funciones y así mismo aprender a graficarlas

porque en este trabajo leímos y graficamos todos estos tipos de

gráficas, además de saber cuál es la definición de cada

gráfica, aprendimos a graficarlas cada una diferente a la otra.

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BIBLIOGRAFIA.

http://www.vitutor.com/fun/2/c_1.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica

http://www.vitutor.com/fun/2/c_3.html

http://www.x.edu.uy/lineal.htm

http://www.vitutor.com/fun/2/c_1.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_exponencial

http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/expow.htm

http://www.vitutor.com/fun/2/c_13.html

http://www.vitutor.com/fun/2/c_14.html

https://prezi.com/qkzhcxdmk2hx/funciones-polinomiales-de-

grado-superior/

http://www.hiru.com/matematicas/funcion-logaritmica

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