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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN
FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA
FÍSICA MECÁNICA
MÓDULO #1: MAGNITUDES, UNIDADES Y MEDICIÓN
Diego L. Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H.
Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín
Última revisión en junio 01 de 2013
Temas
Introducción
¿Qué estudia la Física?
El ISQ y el SI
Sobre el ángulo plano
Análisis dimensional
Cifras significativas
Reporte de datos experimentales
Taller
Introducción
La física es esencialmente una teoría de la medida. En éste módulo
el objetivo central es todo lo relacionado con el proceso de
medición, desde la definición de los sistemas de magnitudes y
unidades, hasta el reporte correcto de los resultados
experimentales.
Se comenzará el módulo describiendo un poco de lo que se ocupa la
física muy desde la perspectiva de la mecánica.
¿Qué estudia la Física?
La Física estudia las interacciones entre sistemas de partículas, Figura 1, a través del:
Concepto de fuerza (fuerza F y aceleración a -leyes de Newton-):
F=ma
Concepto de energía (trabajo W y energía cinética K -principio del trabajo y la energía-):
totalW = ΔK
Concepto de cantidad de movimiento (impulso J y cantidad de movimiento P -principio del impulso y el
momentum-):
2
totalJ = ΔP
Figura 1
Estos sistemas de partículas pueden estar en cualquier estado de agregación de la materia: sólido, líquido,
gas u otro.
El modelo de sistema a utilizar puede ser: partícula (punto material sin dimensiones geométricas), cuerpo
rígido (las partículas mantienen las distancias de separación entre ellas constantes), cuerpo deformable.
Adicionalmente pueden ser considerados como medios continuos (no hay vacíos al interior) o discretos. El
modelo dependerá de la situación física que se analiza.
La física se divide en ramas: Mecánica, electromagnetismo, óptica, termodinámica, mecánica cuántica entre
otras.
En este curso corresponde estudiar los fundamentos de la Mecánica: ésta estudia el movimiento.
El ISQ y el SI
La teoría de la medida se fundamenta en la física. Lo que se puede medir se denomina magnitud.
Según el VIM (Vocabulario Internacional de Metrología) en su definición 1.1, “Magnitud es una propiedad de
un fenómeno, de un cuerpo o de una sustancia a la cual se puede asignar un número con relación a una
referencia”.
Resumiendo: Magnitud es todo lo que se puede medir. El amor no es una magnitud.
Aunque el VIM no diferencia expresamente entre magnitud y cantidad, es necesario decir que la primera
se refiere a la abstracción del concepto y la segunda a una medida concreto. Ejemplo:
Longitud, es una magnitud,
el largo de la mesa es 4 m, es una cantidad.
EL ISQ (Sistema Internacional de Cantidades -VIM 1.6-), por convención considera 7 las magnitudes
fundamentales o magnitudes base (-V.I.M. 1.4-, magnitudes con las cuales se pueden construir todas las
otras magnitudes, y entre ellas ninguna se puede expresar en función de las otras) y que son: Longitud (L),
Masa (M), Tiempo (T), Corriente Eléctrica (I), Temperatura Termodinámica (), Cantidad de Sustancia (N)
e Intensidad Luminosa (J). Cualquier magnitud Q se puede expresar como un producto de potencias de
éstas 7 magnitudes,
3
α β γ δ ρ ξdim Q = L M T I θ N J [1]
Estas son denominadas magnitudes derivadas. A la expresión anterior se le denomina ecuación dimensional
de la magnitud Q o dimensión de la magnitud Q (VIM 1.7).
El ISQ considera que la Mecánica solo necesita tres magnitudes fundamentales: Longitud (L), Masa (M) y
Tiempo (T). Hay otros sistemas de magnitudes (V.I.M 1.3), que utilizan otras magnitudes como
fundamentales; un ejemplo es el sistema técnico (ST), muy empleado en ingeniería en el que las magnitudes
fundamentales son: la fuerza (F), la longitud (L) y el tiempo (T). En este caso, cualquier magnitud Q de la
mecánica se puede expresar como un producto de potencias de estas 3 magnitudes,
α β γdim Q = F L T [2]
Hay magnitudes “sin dimensión” (VIM 1.8), las cuales se denominan adimensionales o de dimensión 1, en las
que todos los exponentes de la ecuación dimensional son ceros. Ejemplos: ángulo plano, ángulo sólido, índice
de refracción, número de entidades (número de vueltas, número de oscilaciones, número de moléculas,
número de espiras de una bobina,…), argumentos de funciones trascendentales (funciones trigonométricas,
exponenciales, logaritmos,…)
Las unidades de medida de las magnitudes fundamentales se denominan unidades fundamentales o unidades
base (VIM 1.10). En la Tabla 1 siguiente se ilustran las unidades definidas por el SI (Sistema Internacional
de Unidades, VIM 1.16), como fundamentales.
Tabla 1
Magnitud base Dimensión Unidad básica Símbolo unidad
Longitud L metro m
Masa M kilogramo kg
Tiempo T segundo s
Corriente eléctrica I ampere A
Temperatura termodinámica kelvin K
Cantidad de sustancia N mol mol
Intensidad luminosa J candela cd
Unidades derivadas son las unidades de medida correspondientes a las magnitudes derivadas. A
continuación se dan algunos ejemplos correspondientes a SI:
Área: m2 Volumen: m3 Velocidad: m/s=m.s-1
Fuerza: N = kg.m.s-2 Energía: J=N.m= kg.m2.s-2 Potencia: W=J.s-1=kg.m2.s-3
Ejemplo de unidades de magnitudes adimensionales:
El radián: es la unidad de ángulo plano.
rad x m=m
rad/s=s-1
4
En la Tabla 2 se presentan información sobre las unidades en el SI y las ecuaciones dimensionales en el
ISQ de algunas magnitudes físicas.
Tabla 2
MAGNITUD NOMBRE DE
LA UNIDAD UNIDAD EN EL SI
ECUACIÓN DIMESNIONAL EN
EL ISQ
Área (A) m2 dim A = L2
Volumen (V) m3 dim V = L3
Densidad () Kg.m-3 dim = ML-3
Velocidad (V) m.s-1 dim V = LT-1
Aceleración (a) m.s-2 dim a = LT-2
Fuerza (F) Newton (N) N=kg.m.s-2 dim F = MLT-2
Peso específico () dim = ML-2T-2
Trabajo (W), Calor (Q), Energía (E) Joule (J) J=N.m=kg.m2.s-2 dim W = dim Q = dim E = ML2T-2
Torque () N.m dim = ML2T-2
Potencia (P) Watt (W) W=J.s-1=kg.m2.s-3 dim P = ML2T-3
Tensión superficial () N.m-1=kg.s-2 dim = MT-2
Presión (P) Pascal (Pa) Pa=N.m-2=kg.m-1.s-2 dim P = ML-1T-2
Viscosidad () dim = L-1MT-1
Cantidad de movimiento lineal (P) Kg.m.s-1 dim P = MLT-1
Cantidad de movimiento angular (L) Kg.m2.s-1 dim L = ML2T-1
Periodo (P) s dim P = T
Frecuencia (f) Hertz (Hz) Hz=s-1 dim f = T-1
Posición angular () Rad dim = 1
Velocidad angular () Rad.s-1=s-1 dim = T-1
Aceleración angular () Rad.s-2=s-2 dim = T-2
Carga eléctrica (q) Coulomb (C) C=A.s dim q = IT
Resistencia eléctrica (R) Ohmio (Ω) Ω=kg.m2.s-3.A-2 dim R = ML2T-3I-2
Potencial eléctrico, Voltaje (V) Voltio (V) V=kg.m2.s-3.A-1 dim V = ML2T-3I-1
Inducción Magnética (B) Tesla (T)) T=kg.s-2.A-1 dim B = M.T-2.I-1
Flujo magnético (B) Weber (Wb) Kg.m2.s-2.A-1 dim B = ML2T-2I-1
Flujo luminoso (L) Lumen (lm) lm=cd.sr-1=cd dim L = J
Iluminancia (i) Lux (lx) lx=lm.m-2 dim i=JL-2
Sobre el ángulo plano
¿Qués es 1 radián?
Es un ángulo central cuyo arco correspondiente equivale a 1 radio de la circunferencia. En una
circunferencia caben 6,28… radios es decir el ángulo central correspondiente a una circunferencia equivale
a 6,28… radianes (2) y la longitud cl de la misma es igual a,
c = 2πR [3]l
5
Figura 2
Longitud de arco
La longitud de un arco de circunferencia se calcula así,
= θ R [4]l
En donde el ángulo es el ángulo central correspondiente al arco y debe medirse en radianes.
Ejemplo 1:
Una rueda se traslada rodando sin deslizar y sin salirse de un plano. Si su radio es igual a 50 cm y da 10
vueltas calcular la distancia recorrida por ésta.
Solución:
En una vuelta recorre la longitud de su circunferencia que se calcula con la ecuación [3],
c = 6,28 radianes × 0,50 m = 3,14 ml
En 10 vueltas recorre una distancia Δs ,
Δs = 10×3,14 m = 31,4 m
Además habrá “recorrido” angularmente,
Δθ = 10×6,28 radianes = 62,8 radianes
Ejemplo 2:
La pista de un CD es una espiral que comienza con un radio interior igual a 25 mm y termina con un radio
exterior igual a 58 mm, Figura 3. El espaciamiento entre vueltas sucesivas de la pista es una constante,
a = 1,6 μm . Estimar la longitud total de la pista.
6
Figura 3
Solución:
Cada a = 1,6 μmhay una espira cuya longitud es 2r. La longitud de la espiral contenida en dr es igual a,
ds = 2πr n
en donde n es el número de espiras contenida en dr, Figura 3,
drn =
a
Por lo tanto,
dr
ds = 2πr a
2
1
rs
0 r
1ds = 2πrdr
a
2 2
2 1
πs = r - r
a
Reemplazando, a=1,6x10-6 m, r1= 25x10-3 m y r2=58x10-3 m se obtiene,
s = 5,4 km
El cálculo para un DVD da del orden de 12 km.
7
Análisis dimensional
Ejemplo 3:
Expresar la ecuaciones dimensionales en el ISQ de las siguientes magnitudes: área A, volumen V, rapidez v,
aceleración a, fuerza F, energía E, potencia P.
Solución:
En el ISQ las magnitudes se deben poder expresar en potencias de las 7 magnitudes base: Longitud (L),
Masa (M), Tiempo (T), Corriente Eléctrica (I), Temperatura Termodinámica (), Cantidad de Sustancia (N)
e Intensidad Luminosa (J),
α β γ δ ρ ξdim Q = L M T I θ N J [1]
En este caso se tiene,
El área se mide en unidades de longitud al cuadrado, por ejemplo, m2, entonces,
2dim A =L
El volumen se mide en unidades de longitud al cubo, por ejemplo, m3, entonces,
3dim V =L
En su forma más simple la rapidez se calcula como distancia sobre tiempo, entonces,
-1Ldim v = = LT
T
La aceleración es el cambio de velocidad sobre el intervalo de tiempo que gastó en hacerlo,Δv
a= t
-2
2
Ldim Δv LTdim a = = = = LTdim t T T
En su forma más simple F = ma , en donde F es la fuerza, m es masa y a aceleración, entonces,
-2
2
Ldim F = dim m dim a = M. = MLT
T
La dimensión de energía es la misma dimensión de trabajo W . En su forma más simple el trabajo se calcula
como W = Fd , en donde F es fuerza y d distancia, entonces,
-2 2 -2dim E = dim W = dim F dim d = MLT L = ML T
8
En su forma más simple la potencia se calcula como W
P = t
, en done W es el trabajo y t el intervalo de
tiempo que se empleó para realzarlo, entonces,
2 -22 -3
dim W ML Tdim P = = = ML T
dim t T
Ejemplo 4:
Expresar la ecuación dimensional de la masa en el ST
Solución:
En el ST las magnitudes se deben poder expresar en potencias de las 3 magnitudes base: fuerza (F),
longitud (L) y tiempo (T). En este caso, cualquier magnitud Q de la mecánica se puede expresar como un
producto de potencias de estas 3 magnitudes,
α β γdim Q = F L T [2]
por lo tanto en el caso de la masa m,
α β γdim m = F L T 1
en el ISQ las ecuaciones dimensionales de las magnitudes involucradas en la ecuación (1) son,
dim m = M
2dim F = MLT
dim L = L
dim T = T
Reemplazando en la ecuación (1) se obtiene,
α
-2 β γM = MLT L T
α α + β -2α + γM = M L T
Por lo tanto,
α = 1
α + β = 0
-2α + γ = 0
α = 1 ; β = -1; γ = 2
9
1 2dim m = F L T
Ejemplo 5:
Expresar la ecuación dimensional de la energía en el ST
Solución:
En el ST las magnitudes se deben poder expresar en potencias de las 3 magnitudes base: fuerza (F),
longitud (L) y tiempo (T). En este caso, cualquier magnitud Q de la mecánica se puede expresar como un
producto de potencias de estas 3 magnitudes,
α β γdim Q = F L T [2]
por lo tanto en el caso de la energía E,
α β γdim E = F L T 1
en el ISQ las ecuaciones dimensionales de las magnitudes involucradas en la ecuación (1) son,
2 2dim E = ML T
2dim F = MLT
dim L = L
dim T = T
Reemplazando en la ecuación (1) se obtiene,
α
2 2 -2 β γML T = MLT L T
2 2 α α + β -2α + γML T = M L T
Por lo tanto,
α = 1
α + β = 2
-2α + γ = -2
α = 1 ; β = 1; γ = 0
dim E= F L
10
Ejemplo 6:
Suponer que las magnitudes fundamentales de la mecánica son Fuerza (F), masa (M) y longitud (L). Con base
en esto, expresar la ecuación dimensional de la potencia P.
Solución:
En este caso, cualquier magnitud Q de la mecánica se puede expresar como un producto de potencias de
estas 3 magnitudes,
α β γdim Q = F L M
por lo tanto en el caso de la potencia P,
α β γdim P = F L M 1
en el ISQ las ecuaciones dimensionales de las magnitudes involucradas en la ecuación (1) son,
2 3dim P = ML T
2dim F = MLT
dim L = L
dim M = M
Reemplazando en la ecuación (1) se obtiene,
α
2 3 -2 β γML T = MLT L M
2 3 α + γ α + β -2α ML T = M L T
Por lo tanto,
α + γ = 1
α + β = 2
-2α = -3
3α =
2;
1β =
2;
1γ = -
2
3 1 1
2 2 2dim P= F L M
Homogeneidad dimensional
Los términos de una ecuación deben cumplir la homogeneidad dimensional. Es decir, dada la ecuación,
11
A + B =C + D + EF
se debe cumplir,
dim(A)=dim(B)=dim(C)=dim(D)=dim(EF)
Ejemplo 7:
Determinar las dimensiones en el ISQ para I y para k en la siguiente ecuación,
2x
2
0
1 dθ 1Fdx = I + kV
2 dt 2
en donde F (Fuerza), velocidad (V) , (ángulo plano), x (posición).
Solución:
Como,
-2dim F = MLT
dim dx = L
Entonces,
x
-2 2 -2
0
dim Fdx = dim F dim dx = MLT .L = ML T
Por lo tanto, con base en el teorema de homogeneidad dimensional se concluye que,
2
2 -21 dθdim I = ML T (1)
2 dt
Y
2 2 -21dim kV = ML T (2)
2
De (1),
2
2 -2dθdim I = ML T
dt
12
2
2 -2dθdim I dim = ML T
dt
2 -2
2
1dim I = ML T
T
2dim I = ML
De (2),
2 2 -2dim kV = ML T
2 2 -2dim k dim V = ML T
2
2 -2
2
Ldim k = ML T
T
dim k = M
Ejemplo 8:
Determinar las dimensiones en el ISQ de w y para que la siguiente ecuación sea dimensionalmente
homogénea.
x = Asen wt+δ
en donde A (amplitud, su dimensión es longitud) y t (tiempo).
Solución:
Como,
dim x = L
Se concluye del teorema de homogeneidad dimensional que,
dim Asen wt+δ = L
dim A = L
Y como wt + δ es el argumento de una función trigonométrica es adimensional,
dim wt+δ = 1
13
por lo tanto,
dim wt = 1 (1)
Y
dim δ = 1 (2)
De (1),
dim w dim t = 1
dim w T = 1
1dim w = T
Como se deducirá con los dos ejemplos siguientes, el principio de homogeneidad dimensional se puede
emplear para “predecir” fórmulas.
Ejemplo 9:
Un experimentador está seguro que el periodo (P) de oscilación de un péndulo simple depende sólo de la
longitud ( l ) y de la aceleración de la gravedad ( g ). Mediante un análisis dimensional mostrar que P cumple,
P = Cg
l
Solución:
Como el periodo depende sólo depende de la longitud l y de la aceleración de la gravedad g se concluye de
la homogeneidad dimensional que éste es proporcional a αl y βg , es decir:
α βP = C gl
en donde C es una constante de proporcionalidad adimensional. Como,
dim P = T
dim = Ll
entonces,
2dim g = L T
por lo tanto,
14
α βdim P = dim dim gl
β
α -2T = L . LT
α+β -2βT = L .T
Concluyéndose,
α + β = 0
-2β = 1
1α =
2,
1β = -
2
obteniéndose,
1 1
2 2P = C gl
P = Cg
l
Ejemplo 10:
Un sólido moviéndose en el seno de un líquido experimenta una fuerza de resistencia F como consecuencia
del rozamiento, que es proporcional a su rapidez V , siempre que ésta sea pequeña. Esa fuerza podrá
depender además de los parámetros que caracterizan el sistema, que son: la densidad ρ , su viscosidad η y
el radio r del sólido supuesto esférico. Todo lo anterior se expresa diciendo que la fuerza de resistencia
deberá ser de la forma:
α β γF = Cρ η r V
siendo C una constante numérica adimensional. Mostrar mediante análisis dimensional que la “fuerza
viscosa F ” no depende de la densidad y que tiene la forma:
F = C η r V
Solución:
Debido a la homogeneidad dimensional,
α β γdim F = dim ρ η r V
15
Ahora,
2dim F = MLT
-3dim ρ = ML
dim r = L
1dim V = LT
Para deducir la dimensión de viscosidad, se puede consultar sus unidades (en un texto de física o en la
Internet): Pa.s=N.s.m-2. Con base en esta información se deduce que,
-2 -2 1 -1dim η = MLT T L = ML T
Por lo tanto,
α β γdim F = dim ρ η r V
α β γ-2 -3 1 -1 -1MLT = ML ML T L LT
-2 α+β -3α - β + γ + 1 - β - 1MLT = M L T
α + β = 1
-3α - β + γ + 1 = 1
-β -1 = -2
α = 0 , β = 1, γ = 1
F = C η r V
Cifras significativas
Cuando se resuelven ejercicios en ciencias naturales frecuentemente se encuentra con que el resultado de
los cálculos tiene demasiados dígitos. Se tiende a pensar que mientras más dígitos posea la respuesta más
exacto es su resultado. Nada más lejos de la realidad. La exactitud de un resultado tiene que ver
principalmente con los instrumentos que se usan para realizar las mediciones. La razón es sencilla, hay
instrumentos que tienen mayor apreciación que otros. Hay balanzas que pueden medir la masa con un
margen de incertidumbre de ± 0,01 g mientras que otras pueden hacerlo con un margen de ± 0,0001 g. Así
que, el número de dígitos en el resultado no debe indicar más apreciación (es decir, menos incertidumbre)
que lo que realmente permitieron las mediciones que se realizaron.
16
Figura 4
¿Qué son cifras significativas?
Se les llama cifras significativas (también dígitos significativos) al número de todos los dígitos conocidos
reportados en una medida, más el último dígito que es incierto (estimado). Es decir, el número de cifras
significativas se debe interpretar como la seguridad en todas las cifras excepto en la última que se
considera dudosa.
Por ejemplo en la Figura 4 se puede afirmar que el volumen de líquido está entre 41 cm3 y 42 cm3. Se puede
estimar que es 41,3 cm3 o 41,4 cm3. Como se concluye, en una medida el último dígito es estimado y por lo
tanto incierto. La medida de este volumen tiene 3 cifras significativas.
Reglas para determinar el número de cifras significativas
Regla 1
Todos los dígitos distintos de cero son cifras significativas.
Ejemplo 11:
28 235,6 g tiene seis cifras significativas
Regla 2
Los ceros que están entre dos dígitos distintos de cero son cifras significativas.
17
Ejemplo 12:
2 078,300 6 s tiene ocho cifras significativas.
Regla 3
Los ceros situados a la derecha de la coma y después de un dígito distinto de cero son cifras significativas.
Ejemplo 13:
7,30 g tiene 3 cifras significativas.
Regla 4
Los ceros situados a la izquierda de la primera cifra distinta de cero, no son cifras significativas, solo
indican la posición del punto decimal.
Ejemplo 14:
0,034 5 g tiene tres cifras significativas
Regla 5
Para números enteros, sin decimales, los ceros situados a la derecha del último dígito distinto de cero
pueden o no ser cifras significativas. Si se utiliza las potencias de 10 (notación exponencial) se evita esta
ambigüedad.
Ejemplo 15:
2 300 tiene cuatro cifras significativas. Si por alguna razón se considera que sólo tiene dos cifras
significativas se deberá escribir 2,3x103.
Regla 6
Las potencias de 10 se usan para marcar las cifras significativas.
Ejemplo 16:
2,35x102 tiene tres cifras significativas; 2,4x102 tiene dos cifras significativas.
Regla 7
Números que resultan de contar o constantes definidas, tienen infinitas cifras significativas.
Ejemplo 17:
Se contaron carros. Esa medida tiene infinitas cifras porque es un número exacto
18
Reglas para aplicar en las operaciones
Regla 1
La cantidad de cifras significativas con que debe escribirse el resultado de un producto o un cociente es
igual a la cantidad más pequeña de cifras significativas que tenga cualquiera de los números que se
multiplican o dividen.
Regla 2
Para reportar con el número correcto de cifras significativas el resultado de una SUMA (o una RESTA),
donde los sumandos son resultados de mediciones previas, se redondea el resultado teniendo en cuenta el sumando que posee la menor cantidad de cifras decimales. Es decir, el resultado debe tener el mismo número de posiciones decimales que el sumando que tiene menos decimales.
Regla 3
El resultado de operar con las funciones trascendentes, como el seno, la arcotangente, la función
logarítmica, la función exponencial, etc., se escribe con el mismo número de cifras significativas que tenga
el argumento.
Regla 4
Al convertir unidades se debe mantener el número de cifras significativas.
¿Y para qué sirven todas estas reglas?
Ejemplo 18:
Suponer que se tiene que medir la densidad del líquido de la figura 1. Ya se midió el volumen que es 41,3
cm³ (tiene tres cifras significativas). Si al medir la masa del líquido se obtiene de 38,79 g (medida con 4
cifras significativas) la densidad se calcula así:
3 3
m 38,79 g gρ = = = 0,939 225 181
V 41,3 cm cm
Se redondea al número menor de cifras significativas que es tres y por lo tanto la densidad es,
3
gρ = 0,939
cm
Ejemplo 19:
La ley de Snell expresa que si un rayo de luz incide formando un ángulo φ desde un medio de índice de
refracción n hacia un medio de índice de refracción n , el ángulo φ con el cual se refracta cumple,
19
n senφsenφ =
n
Sí n=1,33, n’= 1,54, oφ = 30,5 calcular φ .
Solución:
1,33 sen 30,5senφ =
1,54
o
senφ = 0,438 329
oφ = 25,997
Con tres cifras significativas,
oφ = 26,0
Lectura de instrumentos digitales
En la Figura 4 se ilustró la lectura de un instrumento análogo. En el caso de instrumentos digitales la
lectura de la medición se reportará con tantas cifras significativas como las que despliega la pantalla del
instrumento. Por ejemplo en la Figura 5 la lectura de voltaje en este multímetro digital es 189,6 V.
Figura 5
20
Reporte de datos experimentales
Medidas directas
Regla 1
Si se realiza una sola medida, se reportará la lectura obtenida acompañada de la incertidumbre en la
lectura del instrumento ( lecturau ) separadas con ±:
lecturax ± u
La incertidumbre en la lectura del instrumento generalmente corresponde a la apreciación del
instrumento (valor de la mínima división del instrumento si este es análogo o la última cifra signicativa
reportada en la pantalla -display- si este es digital). En el caso de instrumentos análogos podría suceder
que el observador logre estimar un poco más que la mínima división, en cuyo caso puede reportar ésta como
la incertidumbre en la medida en lugar de la apreciación del instrumento.
Regla 2
Sí una cantidad se mide N veces con el mismo instrumento y procedimientos, y las medidas x1, x2, x3, ..., xN
se distribuyen alrededor de su valor medio, ecuación [4] de acuerdo a la denominada distribución normal o
gaussiana, la desviación estándar x, ecuación [5] caracterizará la incertidumbre estadística de la medida y
se garantizará que el 68% de las medidas de x estarán dentro del rango xx ± σ . En otras palabras, si se
hace cualquier otra medida usando los mismos métodos, la probabilidad es del 68% de que su resultado
tenga una incertidumbre menor x; o sea, de cada 100 medidas, alrededor de 68 deberán tener una
incertidumbre menor que x. Por lo tanto, es sensato adoptar a x como la incertidumbre estadística de la
medida de una cantidad x , siempre y cuando N medidas de estas se distribuyan normalmente.
N
i
i=1
1x= x [4]
N
N
2
x i
i=1
1σ = x - x [5]
N - 1
Nota 1
Es posible demostrar (esto corresponderá a un curso de estadística) que si todas las fuentes de
incertidumbre son aleatorias (es decir, se han eliminado los errores sistemáticos, o al menos reducido a su
mínima expresión) y los errores son pequeños, la distribución de las medidas obedecerá la distribución
normal.
Nota 2:
Hay razones para concluir que la mejor medida de la incertidumbre de la medición de una cantidad x de la
21
que se obtuvieron N medidas es la desviación estándar dividida por el factor N 1/2. A esta cantidad se le
denomina desviación estándar de la media (SDOM: Standard Deviation Of the Mean), ecuación [6],
N2
x i
i=1
1σ = x - x [6]
N N - 1
y es mejor medida de la incertidumbre estadística.
Nota 3:
La incertidumbre que acompaña a la media (a la media aritmética) es la mayor de las dos cantidades
siguientes: la incertidumbre estadística o la incertidumbre en la lectura del instrumento (la cual se obtiene
tal como se describió en la regla 1). También se podrían combinar las dos incertidumbres en forma
geométrica, ecuación 7,
2 2
x lecturau = σ + u [7]
Medidas indirectas
Una vez obtenida la incertidumbre de las medidas directas, se calculan las de las medidas indirectas.
Regla
Propagación de incertidumbre: Supóngase una medida indirecta que se obtiene a partir de medidas directas
mediante la expresión matemática,
1 2 Ny = f x ,x ,...,x
en donde f es una función de N variables independientes. La incertidumbre de y, uy viene dada por la
ecuación 8,
i
2N
y x
i=1 i
fu = u [8]
x
en donde los uxi son las incertidumbres de las medidas directas. Es necesario decir que esta expresión se
puede aplicar sólo si las medidas directas de las cantidades x1, x2, …, xN son realmente independientes (no
están correlacionadas entre sí) y están libres de errores sistemáticos (es decir, si todos son errores
22
aleatorios y bajo distribución normal).
Reporte de las medidas
El resultado se reporta así,
yy ± u
Se debe tener presente que calcular la incertidumbre uy y reportarla junto al resultado, es una técnica
diferente al simple uso de cifras significativas. Debido a esto, las reglas estipuladas en la técnica de cifras
significativas no tienen que seguirse al realizar estos cálculos. Se recomienda que, mientras se realizan los
cálculos intermedios, tanto con el resultado como con la incertidumbre, se mantengan todas las cifras de
que disponga la calculadora o el computador (o al menos 2 dígitos "extras" más allá del número de cifras
significativas esperadas en el resultado). De esta manera no se perderá información. Sólo al final de
reportar el resultado, se aplicarán las siguientes normas para el redondeo.
Regla 1
Una convención de uso frecuente recomienda que la incertidumbre se exprese con una cifra significativa.
Regla 2
Una vez redondeada la incertidumbre, el resultado de la medición debe tener las mismas posiciones
decimales que su incertidumbre. No tiene sentido dar cifras que se encuentren a la derecha de aquella que
ya está afectada por la incertidumbre. Por ejemplo, si la medida de un intervalo de tiempo después de
calculada se obtuvo 8,358 9 s y su incertidumbre calculada fue igual a 0,03 s se deberá escribir el
resultado así:
8,36 s ± 0,03 s
ya que la incertidumbre nos afirma que se empieza a dudar desde las centésimas (posición del 3 en la
incertidumbre) de los segundos, por lo que sería contradictorio reportar las milésimas (y de ahí en
adelante).
Ejemplo 20:
Para medir la aceleración de la gravedad se hizo oscilar un péndulo simple con pequeñas oscilaciones. Para
obtener su período se midió con un cronómetro digital que marca hasta centésimas de segundo 10 veces el
tiempo que invirtió en hacer 10 oscilaciones siendo los resultados en s: 22,15; 21,83; 21,92; 22,24; 22,09;
21,40; 21,79; 22,38; 22,21; 21,67. Para medir su longitud se realizaron 10 mediciones bajo condiciones de
repetibilidad con una cinta métrica cuya mínima división está en mm y se obtuvieron como resultados, en
cm: 120,2; 119,2; 118,3; 120,1; 120,3; 118,7; 120,4; 119,7; 118,7; 120,2. Reportar la medida de la gravedad,
sabiendo que el modelo físico empleado cumple la siguiente expresión,
P=2πg
l
23
en donde l l la longitud del péndulo y g la aceleración de la gravedad.
Solución:
Del modelo físico se obtiene,
2
2
4πg= (1)
P
l
Aplicando la regla de propagación de incertidumbres, ecuación [8],
2 2
P
g gg = u + u
Pl
l
2
2
g 4π
Pl
2
3
g 8π-
P P
l
2 22 2
g P2 3
4 8πu = u + - u (2)
P Pl
l
La medida de la longitud es directa y se reportar el promedio,
1,195 8 ml
La incertidumbre en la medida de la longitud tiene dos componentes: la debida a la lectura de la cinta
métrica, que se considerará igual a su apreciación, 1u 0,001 ml , y la incertidumbre asociada con la
repetibilidad de las medidas que corresponde a la desviación estándar de la media, 2u 0,002 ml . La
combinación de estas es:
2 2
1 2u = u + u 0,002 682 5 ml l l
La medida del tiempo para 10 oscilaciones es directa, y se reporta su promedio,
t 21,968 s
La incertidumbre en la medida del tiempo tiene dos componentes: la debida a la lectura del cronómetro, que
se considerará igual a su apreciación, 1tu 0,01 s y la incertidumbre asociada con la repetibilidad de las
medidas que corresponde a la desviación estándar de la media, 2tu 0,095 s . La combinación de estas es:
2 2
t 1t 2tu = u + u 0,095 5 s
24
La medida del periodo es indirecta,
tP =
10
su valor es,
21,698 sP 2,169 8 s
10
Y su incertidumbre empleando la regla de propagación de la incertidumbres, ecuación [8],
2
tP t P
uP Pu u u
t t 10
P
0,095 5 su = 0,009 55 s
10
Reemplazando los valores de l , P , u l y Pu en las ecuaciones (1) y (2) se obtiene,
2g = 9,755 456 m.s
2
gu = 0,09 m.s
y por lo tanto el resultado se reporta así,
2 2g = 9,76 m.s 0,09 m.s
Ejemplo 21:
Para medir el índice de refracción n del vidrio, se mide el ángulo crítico de incidencia cφ para una pieza de
vidrio sumergida en aire, y se obtiene o o
cφ 41 ± 1 . Reportar la medida del índice de refracción, sabiendo
que el modelo físico empleado cumple la siguiente expresión,
c
1n =
senφ
Solución:
Del modelo físico empleado se sabe,
c
1n = (1)
senφ
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Aplicando la regla de propagación de las incertidumbres, ecuación [8] se obtiene,
c c
2
n φ φ
c c
n nu u u
φ φ
c
cn φ2
c
cosφu = u (2)
sen φ
Aquí se debe estar muy atento ya que la incertidumbre está dada en grados, c
o
φu 1 , y la forma como
quedó operando en la ecuación (2) exige que se realice la conversión a radianes,
cφu 0,017 444 rad
Reemplazando o
cφ = 41 y cφu 0,017 444 rad en las ecuaciones (1) y (2) se obtiene,
n = 1,524
nu =0,0266 0,03
y por lo tanto el resultado se reporta así,
n = 1,52 0,03
Taller
1. Un péndulo simple tiene una longitud de 1,50 m. Si la amplitud de oscilación es de 15 .0o
calcular la longitud recorrida cuando ha realizado 20 oscilaciones completas.
2. La rueda de un camión tiene 90,0 cm de radio. ¿Cuánto ha recorrido el camión cuando la
rueda ha dado 100 vueltas?
3. Suponer que las magnitudes fundamentales de la mecánica son Fuerza (F), masa (M) y longitud (L). Con
base en esto, decir las dimensiones de: tiempo t , aceleración a , energía E , y presión p .
Rp: 2
1
2
1
2
1
LMF tdim
; 1FMdim a ; FLdim E ; -2FLdim p
4. Debido a los efectos de rozamiento, la amplitud A de un oscilador decrece exponencialmente con el
tiempo. Es decir,
tkeAA
0
siendo 0A la amplitud inicial y t el tiempo. Determinar las dimensiones de 0A y de
k .
26
5. El ascenso h del agua a través de un tubo capilar es proporcional a la tensión superficial del líquido y
depende del radio r del tubo, de la densidad del líquido y de la aceleración de la gravedad g . Si se
supone que el ascenso capilar se puede expresar como un producto de potencias de esas magnitudes
características, mostrar mediante análisis dimensional que:
grkh
6. Decir cuántas cifras significativas tienen los siguientes datos:
(a) 0,001 0 m (b) 21x104 cm (c) 4,00 A (d) 200 000 N
7. Se reporta una medida como 30,4 cm, ¿cuántas cifras significativas tiene? Reportar esta medida en
mm, en m y en km ¿Aumentan o disminuyen las cifras significativas al hacer las conversiones?
8. Efectuar las siguientes operaciones y reportar cada resultado con el número correcto de cifras signifi-
cativas o decimales, según el caso:
(a) 2,5x3,2 (b) (2,34)2 (c) 3,2xπ (d) 2,38+3,284 (e) 20,3/2,3 (f) ln 4,389
9. Se hacen seis mediciones del diámetro de una varilla delgada y se obtienen los siguientes resultados:
0,251 cm; 0,248 cm; 0,250 cm; 0,249 cm; 0,250 cm; 0,252 cm ¿Cuál será el mejor valor y cómo
estimaría la incertidumbre en esta medición?
10. Para medir el espesor de una moneda se siguen los siguientes dos procedimientos. Diga cuál permite
obtener una mejor medida:
a) Se mide el espesor de la moneda utilizando un vernier cuya apreciación es de 0,1 mm y se obtiene 1,3
mm, apreciación es de 1 mm y se obtiene 26 mm.
b) se mide la altura de una pila de 20 monedas iguales utilizando una regla cuya apreciación es de 1 mm y
se obtiene 26 mm. Luego se calcula el espesor de una moneda.
11. La velocidad de la luz es c = 299 797 km∙s–1 ±1 km∙ s–1. El tiempo de un destello de laser en ir desde la
tierra a un reflector dejado en la Luna por los astronautas y regresar al laboratorio ha sido medido
como t = 1, 935 472 s ± 1x10–6 s. ¿Qué distancia ha recorrido el destello de laser?
12. Una rendija de difracción se usa para medir la longitud de onda de la luz usando la ecuación d senφ = λ
, siendo φ la posición angular del primer mínimo de difracción, d el ancho de la rendija y λ la longitud
de onda de la luz. El valor medido de φ es de 130 34’± 2’. Suponiendo que el valor de d es 1 420 x 10—9
m y que se puede ignorar su incertidumbre, ¿cuál es la incertidumbre absoluta y la relativa en el valor
de λ ? Rp: 0; 8 nm, 0,24%
FIN
27
REFERENCIAS
Cena L.A., Unidades de las Magnitudes Físicas y sus Dimensiones, Editorial MIR, Moscú, 1979.
Díaz J, Jiménez J., López L., La Física en Problemas: Las Magnitudes Físicas, Ed Alhambra, Madrid,
1982.
Taylor J., An Introduction to Error Analysis: The study of uncertainties in physical measurements,
University Science Books, Sausalito, California, 1982.
Aristizábal D., Restrepo R., Ramírez C., Taller Experimental: Términos Fundamentales usados en
Metrología, Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales, Universidad Nacional de
Colombia, Medellín, 2010.
