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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN

FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA

FÍSICA DE OSCILACIONES ONDAS Y ÓPTICA

MÓDULO # 4: OSCILACIONES MECÁNICAS –SUPERPOSICIÓN- Diego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H.

Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín

Temas

Introducción

Superposición de dos MAS. en la misma dirección de vibración y con igual frecuencia

Superposición de dos MAS. en la misma dirección de vibración y con diferente frecuencia

Superposición de dos MAS. en direcciones ortogonales y con igual frecuencia

Superposición de dos MAS. en direcciones ortogonales y con diferente frecuencia

Taller

Introducción

En los módulos anteriores se trataron los conceptos generales de las oscilaciones mecánicas. En éste

módulo se estudiará un tema muy básico para el desarrollo de este curso: superposición de MAS

presentándose esencialmente cuatro casos:

Superposición de dos MAS que vibran en la misma dirección:

o Con igual frecuencia: el resultado será la denominada INTERFERENCIA.

o Con diferente frecuencia: el resultado será las denominadas PULSACIONES (AMPLITUD

MUDULADA)

Superposición de dos MAS que vibran en direcciones ortogonales:

o Con igual frecuencia: el resultado será la denominada POLARIZACIÓN.

o Con diferente frecuencia: si la relación entre las frecuencias corresponde a una relación de números

enteros el resultado será las denominadas FIGURAS DE LISSAJOUS

Superposición de dos M.A.S. en la misma dirección de vibración y con igual frecuencia

Sean dos MAS que producen por separado elongaciones 1y y 2y de la partícula en la misma dirección,

1 1 01y = A sen ωt + φ

2 2 02y = A sen ωt + φ

en donde 1A , 2A corresponden a las amplitudes de las oscilaciones y 01φ , 02φ corresponden a sus

respectivas fases iniciales. Al superponer estos dos MAS el movimiento resultante es,

2

1 2 1 01 2 02y = y + y = A sen ωt + φ A sen ωt + φ

1 01 1 01 2 02 2 02y = A senωt cosφ A cosωt senφ A senωt cosφ A cosωt senφ

1 01 2 02 1 01 2 02y = A cosφ + A cosφ senωt A senφ + A senφ cosωt

Si se define,

0 1 01 2 02A senφ A senφ +A senφ (1)

0 1 01 2 02A cosφ A cosφ +A cosφ (2)

Se obtiene,

o oy = A cosφ senωt A senφ cosωt

Y por lo tanto,

oy= A sen ωt + φ [1]

es decir el movimiento resultante de superponer dos MAS que generan en la partícula vibraciones en la

misma dirección y con igual frecuencia es otro MAS que genera en ésta una vibración en la misma

dirección y con la misma frecuencia pero con amplitud y fase inicial que depende de las amplitudes y

fases iniciales de los MAS que se superponen a través de las siguientes ecuaciones,

2 2 2

1 2 1 2A = A + A + 2A A cosΔφ [2]

En donde 02 01Δφ = φ - φ es la diferencia de fase inicial entre las oscilaciones que se superponen.

1 01 2 02o

1 01 2 02

A senφ +A senφtanφ = [3]

A cosφ +A cosφ

Tarea:

Demostrar las ecuaciones [2] y [3].

Análisis de la ecuación [2]:

En la ecuación [2] al término 1 22A A cosΔφ se le denomina término de interferencia. Como puede deducirse

de ese término, la amplitud del MAS resultante varía dependiendo de la diferencia de fase inicial,

3

obteniendo su máximo valor cuando Δφ = 0 (o equivalente), es decir cuando las oscilaciones que se

superponen están en fase, en cuyo caso se denomina a este fenómeno interferencia constructiva y

1 2A= A + A . Cuando la diferencia de fase es Δφ = π (o equivalente), es decir cuando las oscilaciones que

se superponen están en oposición, se obtiene la denominada interferencia destructiva, y 1 2A= A - A . Ver

Figura 1.

Figura 1

o La interferencia es la que logra explicar cómo es que luz más luz pueda dar oscuridad y sonido más

sonido pueda dar silencio.

o El denominado término de interferencia, 1 22A A cosΔφ , es el que en óptica servirá para explicar la

diferencia que hay entre la fotografía y la holografía: en ese término queda registrada la información

correspondiente a la tridimensionalidad de la imagen.

Ejemplo 1:

El movimiento de una partícula corresponde a la superposición de dos MAS dados por las ecuaciones

expresadas en el SI en cada uno de los siguientes literales. En cada una de estas superposiciones decir si

corresponde al fenómeno de interferencia y en éste caso:

decir si la interferencia es constructiva o destructiva,

esbozar la gráfica de cada elongación y de la elongación resultante.

(a) 1y = 0,10 sen πt , 2y = 0,20 sen πt

(b) 1y = 0,10 sen 4πt , 2y = - 0,20 sen 4πt

(c) 1y = 0,10 sen 4πt , 2y = - 0,10 sen 4πt

(d) 1y = 0,10 sen 3πt , 2y = 0,10 cos 3πt

4

(e) 1y = 0,10 cos 4πt ,

2y = 0,20 cos 4πt

(f) 1y = 0,10 sen πt ,

2y = 0,20 sen 3πt

(g) 1y = 0,10 sen πt , 2

πy = 0,20 sen πt +

4

(h) 1

πy = 0,10 sen πt -

2

, 2

πy = 0,20 sen πt +

4

(i) y = 0,10 sen πt , x = 0,20 sen πt

Solución:

(a) 1y = 0,10 sen πt , 2y = 0,20 sen πt

Ambos MAS oscilan en la misma dirección Y; ambos tienen igual frecuencia de vibración: rad

ω = π s

o

f =0,50 Hz . Por lo tanto, la superposición de estos dos MAS es una INTERFERENCIA; adicionalmente

como la diferencia de fase es Δφ = 0 , la interferencia es CONSTRUCTIVA. La elongación del MAS

resultante se expresa en el SI por la siguiente ecuación,

y = 0,30 sen πt

En la Figura 2 se ilustra las gráficas correspondientes a 1y vs t , 2y vs t , y vs t .

Figura 2

(b) 1y = 0,10 sen 4πt , 2y = - 0,20 sen 4πt


ω = 4π s

o

f = 2,0 Hz . Por lo tanto, la superposición de estos dos MAS es una INTERFERENCIA; adicionalmente

5

como la diferencia de fase es Δφ = π , la interferencia es DESTRUCTIVA. La elongación del MAS


y = - 0,10 sen 4πt


Figura 3

(c) 1y = 0,10 sen 4πt , 2y = - 0,10 sen 4πt


ω = 4π s

o


como la diferencia de fase es Δφ = π , la interferencia es DESTRUCTIVA. La elongación del MAS


y = 0

Es decir un partícula bajo la acción simultánea de estos dos MAS no oscila.


Figura 3

6

(d) 1y = 0,10 sen 3πt ,

2y = 0,10 cos 3πt


ω = 3π s

o


como la diferencia de fase es π

Δφ = 2

, la interferencia NO es CONSTRUCTIVA NI DESTRUCTIVA. Para

obtener la ecuación de la elongación del MAS resultante es necesario obtener su amplitud y su fase inicial.

De la ecuaciones [2] y [3] se obtiene,

2 22 π

A = 0,10 m + 0,10 m + 2 0,10 m 0,10 m cos2

A = 0,14 m

o

π0,10 sen 0 + 0,10 sen

2tanφ =

π0,10 cos 0 + 0,10 cos

2

otanφ = 1,0

o

πφ =

4

Por lo tanto la elongación del MAS resultante se expresa en el SI,

πy = 0,14 sen 3πt +

4


Figura 4

7

(e) 1y = 0,10 cos 4πt ,

2y = 0,20 cos 4πt


ω = 4π s

o


como la diferencia de fase es Δφ = 0 , la interferencia es CONSTRUCTIVA. La elongación del MAS


y = 0,30 cos 4πt


Figura 5

(f) 1y = 0,10 sen πt , 2y = 0,20 sen 3πt

Ambos MAS oscilan en la misma dirección Y PERO tienen frecuencias diferentes y por lo tanto su

superposición NO es una INTERFERENCIA.

(g) 1y = 0,10 sen πt , 2

πy = 0,20 sen πt +

4


ω = π s

o


como la diferencia de fase es π

Δφ = 4

, la interferencia NO es CONSTRUCTIVA NI DESTRUCTIVA. Para

obtener la ecuación de la elongación del MAS resultante es necesario obtener su amplitud y su fase inicial.


2 22 π

A = 0,10 m + 0,20 m + 2 0,10 m 0,20 m cos4

8

A = 0,28 m

o

π0,10 sen 0 + 0,20 sen

4tanφ =

π0,10 cos 0 + 0,20 cos

4

otanφ = 0,59

o

πφ

6


πy = 0,28 sen πt +

6


Figura 6

(h) 1

πy = 0,10 sen πt -

2

, 2

πy = 0,20 sen πt +

4


ω = π s

o


como la diferencia de fase es 3π

Δφ = 4

, la interferencia NO es CONSTRUCTIVA NI DESTRUCTIVA.

Para obtener la ecuación de la elongación del MAS resultante es necesario obtener su amplitud y su fase

inicial.


9

2 22 3π

A = 0,10 m + 0,20 m + 2 0,10 m 0,20 m cos4

A = 0,15 m

o

π π0,10 sen - + 0,20 sen

2 4tanφ =

π π0,10 cos - + 0,20 cos

2 4

otanφ = 0,29

o

π 4πφ 16×

180 45


4πy = 0,15 sen πt +

45

Se deja al lector la representación gráfica de 1y vs t , 2y vs t , y vs t .

(i) y = 0,10 sen πt , x = 0,20 sen πt

Los MAS oscilan en direcciones ortogonales y por lo tanto no hay INTERFERENCIA.

Superposición de dos MAS en la misma dirección de vibración y con diferente frecuencia

Sean dos MAS que producen por separado elongaciones 1y y 2y de la partícula en la misma dirección,

1 1 1 01y = A sen ω t + φ

2 2 2 02y = A sen ω t + φ

en donde 1A , 2A corresponden a las amplitudes de las oscilaciones, 1ω , 2ω corresponden a sus

frecuencias angulares y 01φ , 02φ corresponden a sus respectivas fases iniciales. Al superponer estos dos

MAS el movimiento resultante es,

1 2 1 1 01 2 2 02y = y + y = A sen ω t + φ A sen ω t + φ

Por simplicidad de cálculo se supondrá,

1 2A = A = A

01 02φ = φ = 0

10

aunque el resultado de su interpretación física será de carácter general. Por lo tanto,

1 2 1 2y = y + y = A sen ω t A sen ω t

2 1 2 1ω -ω ω +ωy = 2A cos t sen t 4

2 2

Se define la AMPLITUD MODULADA como,

2 1m

ω -ωA = 2A cos t [5]

2

y por lo tanto,

2 1M

ω +ωy = A sen t 6

2

En decir el movimiento resultante es oscilatorio pero NO es MAS ya que su amplitud NO es constante. Se

define también como frecuencia angular de modulación Mω y como frecuencia pω

promedio a,

2 1M

ω - ωω = 7

2

2 1p

ω + ωω = 8

2

Y por lo tanto,

m MA = 2A cos ω t [9]

y por lo tanto,

M py = A sen ω t 10

La energía asociada con esta oscilación, por ser proporcional al cuadrado de la amplitud (la energía de un

oscilador es proporcional al cuadrado de la amplitud), debe variar entre máximos y mínimos con una

frecuencia que es el doble (la función cos2x tiene doble frecuencia que la función cosx): es decir, la energía

fluctúa con una frecuencia en Hz igual al doble de la frecuencia con que fluctúa la amplitud, o sea el doble

de la frecuencia de modulación de la amplitud,

11

pulsacion 2 1f = f - f [11]

En donde fpulsacion se conoce con el nombre de frecuencia de pulsación o de palpitación o de batimiento.

En la Figura 7 se ilustra una gráfica que ilustra este fenómeno de amplitud modulada. En la figura el

periodo de modulación MP , el periodo promedio

pP y el periodo de palpitación palpitacionP son,

M

M

2πP =

ω

p

p

2πP =

ω

palpitacion

2 1

1P =

f - f

Figura 7

12

Ejemplo 2:

Dos diapasones generan oscilaciones de frecuencias iguales a 330 Hz y 325 Hz. Si se golpean

simultáneamente, calcular la frecuencia de modulación y la frecuencia de palpitación del sonido resultante.

Solución:

El sonido resultante No es armónico. La frecuencia de modulación igual a 2,50 Hz (frecuencia con la que

varía la amplitud) y la frecuencia de la intensidad del sonido resultante es 5 pulsaciones/s.

Ejemplo 3:

Si se superponen las siguientes oscilaciones,

1y = 4,0 sen 40 πt

2y = 4,0 sen 30 πt

Calcular: (a) la frecuencia promedio, (b) la frecuencia de modulación, (c) la frecuencia de palpitación.

Solución:

Como,

ω = 2π f

las frecuencias de las oscilaciones son,

1

40πf = = 20 Hz

2π

2

30πf = = 15 Hz

2π

Por lo tanto,

(a) Frecuencia promedio,

1 2p

f + ff = = 17,5Hz

2

(b) Frecuencia de modulación,

1 2M

f - ff = = 2,5 Hz

2

(c) Frecuencia de pulsación,

13

palpitacion 1 2f = f - f = 5,0 Hz

Para hacer las gráficas 1y vs t ,

2y vs t , y vs t , MA vs t ,2

MA vs t se recomienda emplear un software

graficador: por ejemplo GEOGEBRA (http://www.geogebra.org/cms/en/) que es libre distribución. En la

Figura 8 1y vs t está de color rojo,

2y vs t está de color azul, y vs t está de color negro, la amplitud

modulada está de color verde y el cuadrado de la amplitud modulada (en este caso se dibujó en una escala

vertical más pequeña) está de color naranja.

1 2y = y + y

Am = 8,0 cos 5 πt

Figura 8

Superposición de dos MAS en direcciones ortogonales y con igual frecuencia

Sean dos M.A.S que producen por separado elongaciones x y y de la partícula (direcciones de vibración

ortogonales),

x 0xx = A sen ωt + φ

y 0yy = A sen ωt + φ

en donde xA , yA corresponden a las amplitudes de las oscilaciones y 0xφ , 0yφ corresponden a sus

respectivas fases iniciales. Al superponer estos dos MAS el movimiento resultante en general será con

trayectoria elíptica: a esto se le denomina POLARIZACIÓN ELÍPTICA. A continuación se demuestra esto.

0x 0x

x

x = sen ωt cos φ + cos ωt sen φ (1)

A

0y 0y

y

y = sen ωt cos φ + cos ωt sen φ (2)

A

Realizando oy ox1 × sen φ 2 × sen φ se obtiene,

http://www.geogebra.org/cms/en/

14

0y 0x 0y ox

x y

x y sen φ - sen φ = sen ωt sen φ - φ (3)

A A

Realizando oy ox1 × cos φ 2 × cos φ se obtiene,

0y 0x 0y ox

x y

x y cos φ - cos φ = - cos ωt sen φ - φ (4)

A A

Realizando 2 2

3 + 4 se obtiene.

2 2

2

0x oy 0x oy2 2

x y

x y 2 + - cos φ - φ = sen φ - φ

A A x y

xy

A A

2 2

2

2 2

x y x y

x y 2xy + - cos Δφ = sen Δφ [12]

A A A A

en donde corresponde a la diferencia de fase. Observar que esta trayectoria tiene forma elíptica (es la

ecuación de una elipse que en general tiene sus ejes rotados respecto a los ejes XY).

En definitiva la trayectoria seguida por la partícula bajo la acción de dos fuerzas ortogonales, xF = - kx y

yF = - ky, es una elipse o un caso particular de ella como lo es una circunferencia o una recta. Esto

dependerá de la diferencia de fase , Figura 9 (en esta figura se debe tener en cuenta que = ox -oy y

que el eje z sale ortogonalmente de la hoja). La elipse puede ser recorrida por la partícula en el sentido de

las agujas del reloj o en el sentido contrario. Esto se puede probar en la simulación que se presenta más

adelante. Si es recorrida en el sentido en que la velocidad angular señale la parte positiva del eje z, se dirá

que hay polarización elíptica (o circular si es del caso) levógira. En caso contrario será dextrógira.

Como se dijo en el párrafo anterior, a este fenómeno se le conoce con el nombre de polarizacón. Hay

entonces: polarización elíptica dextrógira y levógira, polarización circular dextrógira y levógira. La

trayectoria de la partícula también puede resultar rectilínea (caso particular de la elipse), en cuyo caso se

dice que la polarización es lineal. Para definir completamente el estado de polarización elíptico o circular,

es necesario definir en cuál sentido gira la partícula. Así mismo, para definir completamente el estado de

polarización lineal, es necesario definir el ángulo de inclinación de esta trayectoria. Estos conceptos son

fundamentales para estudiar la polarización de la luz y en general la polarización de las ondas

electromagnéticas, fenómeno que tiene gran aplicación en la tecnología moderna de comunicaciones, entre

muchas otras, como por ejemplo el actual cine 3D.

15

Figura 9: = ox -oy

Ejemplo 3:

Las siguientes son las ecuaciones expresadas en el SI de dos M.A.S que producen por separado

elongaciones x y y de la partícula,

x = 0,1 sen πt

y = 0,2 sen πt

Describir el estado de polarización de la superposición.

Solución:

Se trata de la superposición de dos MAS ortogonales y de frecuencia igual: rad

ω = π s

o f = 0,50 Hz . Por

lo tanto la superposición da como resultado una POLARIZACIÓN.

Para saber cuál es el estado de polarización de la superposición se podría emplear directamente la ecuación

[12] reemplazando las amplitudes xA = 0,1 m , yA = 0,2 m y la diferencia de fase Δφ = 0 ; sin embargo

éste método es recomendable para diferencias de fase diferentes a 0, π

2, π ,

3π

2 o equivalentes a éstas.

Para estas diferencias de fase es mejor proceder a eliminar directamente el tiempo para obtener la

ecuación de la trayectoria. Éstos serán los casos que se analizarán en éste módulo.

Para el caso de Δφ = 0 como lo es en este ejemplo, se procede a dividir las dos ecuaciones,

16

y 0,2 =

x 0,1

y = 2x

que corresponde a la ecuación de una recta, por lo tanto la polarización resultante de la superposición de

estos dos MAS es LINEAL, Figura 10. Para describir completamente el estado de polarización lineal es

necesario decir cuál es el ángulo de inclinación,

-1α=tan 2

oα = 63,4

Figura 10

Ejemplo 4:



x = 0,1 sen πt

y = - 0,2 sen πt


Solución:

17


ω = π s

o f = 0,50 Hz . Por


En este caso Δφ = π y lo mejor es procede a dividir las dos ecuaciones,

y 0,2 = -

x 0,1

y = - 2x

que corresponde a la ecuación de una recta, por lo tanto la polarización resultante de la superposición de

estos dos MAS es LINEAL, Figura 11. Para describir completamente el estado de polarización lineal es

necesario decir cuál es el ángulo de inclinación,

-1α=tan - 2

oα = - 63,4

Figura 11

Ejemplo 5:



x = 0,1 sen πt

y = 0,2 cos πt

18


Solución:


ω = π s

o f = 0,50 Hz . Por


En este caso 0x 0y

π 3πΔφ = φ - φ = -

2 2 ya que

πy = 0,2 sen πt +

2

,

Par eliminar el tiempo se suman los cuadrados de las siguientes ecuaciones,

x

= sen πt0,1

y

= cos πt0,2

2 2x y

+ 10,01 0,04

que corresponde a una trayectoria elíptica, Figura 12, es decir se trata de un POLARIZACIÓN ELÍPTICA.

Figura 12

Para completar la descripción del estado de polarización es necesario decir en cuál sentido gira la

partícula, es decir, si la polarización elíptica es DEXTRÓGIRA o LEVÓGIRA. Para lograr esto se puede

calcular la velocidad inicial de la partícula:

19

x

dxV = = 0,1π cos πt

dt

y

dyV = = - 0,2π sen πt

dt

Por lo tanto en t=0,

ox = 0

oy = 0,2 m

ox

mV = 0,1π

s

oyV = 0

Esto se ilustra en la Figura 13, en donde se observa que la partícula gira de tal forma que su velocidad

angular apunta en el sentido negativo del eje Z y por lo tanto la polarización es ELÍPTICA DEXTRÓGIRA.

Figura 13

Ejemplo 6:



20

x = 0,1 sen πt

y = - 0,1 cos πt


Solución:


ω = π s

o f = 0,50 Hz . Por


En este caso 0x 0y

3π πΔφ = φ - φ = -

2 2 ya que

3πy = 0,1 sen πt +

2

,

Par eliminar el tiempo se suman los cuadrados de las ecuaciones,

2 2x y 0,01

que corresponde a una trayectoria circular, Figura 14, es decir se trata de un POLARIZACIÓN

CIRCULAR.

Figura 14

Para completar la descripción del estado de polarización es necesario decir en cuál sentido gira la

partícula, es decir, si la polarización circular es DEXTRÓGIRA o LEVÓGIRA. Para lograr esto se puede

calcular la velocidad inicial de la partícula:

x

dxV = = 0,1π cos πt

dt

21

y

dyV = = 0,1π sen πt

dt

Por lo tanto en t=0,

ox = 0

oy = - 0,1 m

ox

mV = 0,1π

s

oyV = 0

Esto se ilustra en la Figura 15, en donde se observa que la partícula gira de tal forma que su velocidad

angular apunta en el sentido positivo del eje Z y por lo tanto la polarización es CIRCULAR LEVÓGIRA.

Figura 15

Ejemplo 7:



x = 0,1 sen 2πt

22

3πy = 0,2 sen πt -

2


Solución:

Se observa que las frecuencias son diferentes y por lo tanto esta superposición no corresponde a una

polarización.

Ejemplo 8:

x = 0,1 sen πt

3πx = 0,2 sen πt -

2


Solución:

Se observa que las frecuencias son iguales pero en las oscilaciones son en la misma dirección y por lo tanto

esta superposición no corresponde a una polarización: es una INTERFERENCIA.

Superposición de dos MAS en direcciones ortogonales y con diferente frecuencia

Sean dos M.A.S que producen por separado elongaciones x y y de la partícula (direcciones de vibración

ortogonales),

x x 0xx = A sen ω t + φ

y y 0yy = A sen ω t + φ

en donde xA , yA corresponden a las amplitudes de las oscilaciones, xω , yω corresponden a las

frecuencias angulares y 0xφ , 0yφ corresponden a sus respectivas fases iniciales. Al superponer estos dos

MAS el movimiento resultante serán las denominadas Figuras de Lissajous cuando la relación entre las

frecuencias corresponden a relaciones de números enteros. En la siguiente simulación se ilustra la

formación de estas figuras.

Simulación:

Analizar la simulación de SimulPhysics correspondiente al Superposición de MAS > Polarización y

Lissajous. Para acceder a ella hacer clic con el mouse en el ítem señalado en la Figura 16. Se despliega la

23

simulación de la Figura 17. En ésta hacer las variaciones permitidas y observar detenidamente los

resultados.

Figura 16

Figura 17

24

Taller

Describir la superposición de los siguientes MAS. Las ecuaciones están expresadas en el SI.

(a) 1y = 0,20 sen 3πt ,

2y = 0,10 sen 3πt

(b) x = 0,10 sen 4πt , y = 0,20 sen 4πt

(c) 1y = 0,20 sen 180πt , 2y = - 0,10 sen 200πt

(d) 1y = 0,10 sen 5πt , 2y = 0,10 cos 5πt

(e) x = 0,20 sen 180πt , y = - 0,10 sen 180πt

(f) 1y = 0,10 sen 5πt , 2y = - 0,10 sen 5πt

(g) π

x = 0,10 sen 5πt + 2

, y = - 0,10 sen 5πt

(h) 1y = 0,10 sen 5πt , 2y = - 0,10 cos 5πt

(i) x = - 0,10 sen 4πt , y = 0,20 sen 4πt

(j) 1y = - 0,20 sen 3πt , 2

πy = - 0,10 sen 3πt +

4

FIN.

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