1. AS˜KÜL...deneme sınavına cevap anahtarı yazıla-caktır. Ard arda gelen her 3 sorunun ceva-bı birbirinden farklı olmak üzere, kaç farklı cevap anahtarı yazılabilir?

1. FASİKÜL

-1-

VERİ, SAYMA VE OLASILIKSaymanın Kuralları

Toplama Yoluyla Sayma

Sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun. s(A,B) = s(A) + s(B)’dir.

Sonlu ve ayrık iki kümenin bir-leşiminin eleman sayısını bu şe-kilde bulmaya toplama yoluyla sayma denir.

ÖRNEK

Bir vazoda bulunan 7 gül ve 4 karanfil çiçeği arasından, 1 gül veya 1 karanfil kaç farklı biçimde seçilir?

A) 10 B) 11 C) 12

D) 13 E) 14

ÇÖZÜM

Gül çiçeklerinin kümesi G ol-sun.

s(G) = 7

Karanfil çiçeklerinin kümesi K olsun.

s(K) = 4

s(G,K) = s(G) + s(K)

= 7 + 4 = 11 olur.CEVAP (B)

Çarpma Yoluyla Sayma

Her birinin eleman sayısı n olan m tane ayrık kümenin birleşi-minin eleman sayısı n·m’dir. Bu prensibe çarpma yoluyla say-ma denir.

1. 6 farklı gömleği ve 7 farklı pantolonu olan Hasan, giyeceği 1 gömlek ve 1 pantolonu kaç farklı şekilde seçebilir?

A) 36 B) 38 C) 40D) 42 E) 44

2. 7 farklı eteği ve 5 farklı pantolonu olan Afet, giyeceği 1 eteği veya 1 pantolo-nu kaç farklı şekilde seçebilir?

A) 12 B) 11 C) 10D) 9 E) 8

3. Bir madeni para ard arda 6 kez atıldı-ğında kaç farklı durum oluşur?

A) 60 B) 62 C) 64D) 66 E) 68

4. 4 farklı mektup 5 farklı posta kutusuna kaç farklı şekilde atılabilir?

A) 64 B) 125 C) 256D) 625 E) 1024

5. A şehri ile B şehri arasında 3 farklı, B şehri ile C şehri arasında 5 farklı yol var-dır.Buna göre, A şehrinden C şehrine B şehrine uğramak şartı ile kaç farklı yoldan gidebilir?

A) 11 B) 12 C) 13D) 14 E) 15

6. Şekilde A noktasından B noktasına 4 farklı yol ve B noktasından C noktasına 5 farklı yol vardır.

Buna göre, A noktasından C noktası-na giderken kullanılan yollar dönüşte kullanılmamak koşulu ile kaç farklı şe-kilde gidilir ve dönülür?

A) 180 B) 240 C) 360D) 420 E) 576

A B C

>>

>>

>

>

>>

>

Cevaplar123456DACDEB

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

MA

TEM

AT

İK

-2-

VERİ, SAYMA VE OLASILIK 10. Sınıf

ÖRNEK

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

kümesinin elemanları ile 3 ba-samaklı,

a) Kaç farklı doğal sayı yazıla-bilir?

b) Rakamları farklı kaç farklı doğal sayı yazılabilir?

c) Kaç farklı çift doğal sayı yazılabilir?

d) Rakamları farklı kaç farklı çift doğal sayı yazılabilir?

ÇÖZÜM

a) Yüzler basamağına “0” (sıfır)’ın gelmeyeceğine dikkat edilmelidir.

· ·

.olur

5 6 6 5 6 6

180

=

=b) Yüzler basamağına “0”

(sıfır)’ın gelmemesine ve rakamlarının farklı olması-na dikkat edilir.

· ·

.olur

5 5 4 5 5 4

100

=

=

c) Yüzler basamağına “0” (sıfır)’ın gelmemesine ve birler basamağına {0, 2, 4} sayılarının geleceğine dik-kat edilir.

.olur

5 5

0

6 3 6 3

9

· ·=

=

d) Birler basamağında “0” (sıfır)’ın olma durumu, {2, 4}’ün olma durumu ve “0”ın yüzler basamağında olmama durumuna dikkat edilmelidir.

“0” (sıfır)’ın birler basama-ğında olma durumu

.olur

5 5

0

4 1 4 1

2

· ·=

=

{2, 4}’ün birler basamağın-da olma durumu

.

.

olur

olur

4 4 2 4 4 2 32

20 32 52

· ·= =

+ =

1. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}kümesinin elemanları ile rakamları farklı, üç basamaklı 5 ile tam bölüne-bilen kaç farklı doğal sayı yazılabilir?

A) 75 B) 76 C) 77D) 78 E) 79

2. A, R, B, T, Eharfleri birer kez kullanılarak yazılan an-lamlı ya da anlamsız 5 harfli bütün keli-meler alfabetik sıraya göre diziliyor.Buna göre, BERAT kelimesi baştan kaçıncı sıradadır?

A) 37 B) 38 C) 33D) 40 E) 41

3. Aşağıda A ve B kümelerinin Venn Şema-sı verilmiştir.

Buna göre, A’dan B’ye kaç farklı bire bir fonksiyon yazılabilir?

A) 60 B) 80 C) 100D) 120 E) 140

A B

f

1

2

3

4

a

b

c

d

e

4. A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {a, b, c, d}kümelerindeki elemanlar kullanılarak ilk 3 tanesi A kümesinden, son 2 tanesi B kümesinden ve her biri birbirinden farklı 5 haneli şifre yazılmak isteniyor.Buna göre, kaç farklı şifre yazılır?

A) 72 B) 180 C) 420D) 620 E) 720

5. 5 cevap seçenekli 25 sorudan oluşan bir deneme sınavına cevap anahtarı yazıla-caktır.Ard arda gelen her 3 sorunun ceva-bı birbirinden farklı olmak üzere, kaç farklı cevap anahtarı yazılabilir?

A) 324 B) 20·323 C) 5·324

D) 325 E) 20321

6. Özdeş 4 kırmızı ve 6 beyaz bilye ara-sından en az bir bilye kaç farklı şekil-de seçilebilir?

A) 10 B) 24 C) 30D) 34 E) 40

Cevaplar123456DCDEBD

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

MA

TEM

AT

İK

-3-

VERİ, SAYMA VE OLASILIK Fasikül 1Faktöriyel

n pozitif doğal sayı olmak üze-re, 1’den n’ye kadar olan doğal sayıların çarpımına n faktöriyel denir ve n! şeklinde gösterilir.

n! = n·(n – 1)·(n – 2)…3·2·1

0! = 1, 1! = 1

2! = 2 · 1 = 2

3! = 3 · 2 · 1 = 6

4! = 4 · 3 · 2 · 1 =24

5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

NOT

5! ve sonraki bütün faktöriyel-lerin birler basamağı sıfırdır.

ÇIKMIŞ SORU (2016 -YGS)

!! ! !

88 7 6- -

işleminin sonucu kaçtır?

A) 54 B) 6

5 C) 76

D) 87 E) 9

8

ÇÖZÜM

· · !· · ! · ! ! !

· · !

.olur

8 7 68 7 6 7 6 6 6 56 7 1

8 7 6

5648

76

- - =- -

= =

^ h

CEVAP (C)

1. !!n

n31

72++

=^^

hh

olduğuna göre, n kaçtır?

A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 9

2. !!

!!

1012

810-


A) 30 B) 32 C) 36D) 38 E) 42

3. En büyük asal çarpanı 19 olan, x = y!sayısında y en çok kaç olabilir?

A) 19 B) 20 C) 21D) 22 E) 23

4. 9! = a ise 9! + 10!ifadesinin a türünden eşiti kaçtır?

A) 9a B) 10a C) 11aD) 12a E) 13a

5. ! !! !9 88 9-+


A) 45 B)

47 C)

54

D) 74 E)

41

6. !! !

!n nn n

2 31 2

635

- + -- + -

=^^

^^

hh

hh


A) 6 B) 7 C) 8D) 9 E) 10

Cevaplar123456BEDCAB

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

MA

TEM

AT

İK

-4-


Permütasyon

n ve r doğal sayı olmak üzerer ≤ n olsun.

n tane elemanın r’li sıralanışına n’nin r’li permütasyonu denir ve P(n, r) ile gösterilir.

, !!P n r n r

n=-

^^

hh

P(n, r) = n·(n – 1)…(n – r + 1)

ÖRNEK

Aşağıdaki ifadelerin eşitleri ne-dir?

a) P(5, 2) =

b) P(8, 3) =

c) P(5, 5) =

d) P(n + 4, 4) =

ÇÖZÜM

a) P(5, 2) = 5·4 = 20

b) P(8, 3) = 8·7·6 = 336

c) P(5, 5) = 5·4·3·2·1 = 5!

d) P(n + 4, 4) = (n + 4)·

(n + 3)·(n + 2)·(n + 1)

P(n, 0) = 1

P(0, 0) = 1

P(n, 1) = n

P(n, n) = n!

P(n, n – 1) = n!

1. P(n, 1) + 25 = P(n + 1, 2)olduğuna göre, n kaçtır?

A) 4 B) 5 C) 6D) 7 E) 8

2. n!·P(n, n) = P(576, 1)olduğuna göre, n kaçtır?

A) 24 B) 12 C) 8D) 4 E) 2

3. P(n, 4) = 15·P(n, 3)olduğuna göre, n kaçtır?

A) 18 B) 17 C) 16D) 15 E) 14

4. 4·P(n –2, 2) = P(2n, 2) – 84olduğuna göre, n kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 7

5. P(n, 2) = 56olduğuna göre, n kaçtır?

A) 4 B) 5 C) 6D) 7 E) 8

6. P(n, 2) + P(n, 3) = 80olduğuna göre, n kaçtır?

A) 4 B) 5 C) 6D) 7 E) 8

Cevaplar123456BDADEB

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

MA

TEM

AT

İK

-5-

VERİ, SAYMA VE OLASILIK Fasikül 1ÖRNEK

5 kız ve 7 erkek

a) Yanyana kaç farklı şekilde sıralanır?

b) Erkekler birbirinden ayrıl-mamak koşulu ile kaç fark-lı şekilde sıralanır?

c) Erkekler önde, kızlar arka-da olacak şekilde yan yana kaç farklı şekilde sıralanır?

d) Erkeklerden Hasan ile Be-rat yan yana gelmeyecek şekilde yan yana kaç farklı şekilde sıralanır?

ÇÖZÜM

a) Toplam 12 kişi kendi arala-rında yan yana

P(12, 12) = 12!

b) Erkekler birbirinden ayrıl-mayacaksa onları tek bir kişi gibi düşünelim. Top-lamda 6 kişi kendi arasın-da 6! şekilde sıralanır.

Erkekler de kendi arasında 7! şekilde sıralanır. Bu iki durum bir araya geldiğinde

6!·7!

farklı şekilde sıralama ya-pılır.

c) Erkekler önde kendi arala-rında 7! farklı şekilde sıra-lanır. Kızlar arkada kendi aralarında 5! farklı şekilde sıralanır.

7!·5! olur.

d) Tüm yan yana sıralanışlan-dan Hasan ve Berat’ın yan yana sıralanışları çıkarılır-sa istenilen bulunur.

12! – 11!·2! olur.

1. 8 kişi yan yana kaç farklı şekilde sı-ralanır?

A) 6! B) 7! C) 8!D) 8!·2! E) 7!·2!

2. 5 matematik öğretmeni, 7 fizik öğretmeni fotoğraf çektireceklerdir.Matematik öğretmenleri yan yana ol-mak üzere kaç farklı şekilde fotoğraf çektirebilirler?

A) 12! B) 5!·7! C) 4!·8!D) 5!·8! E) 6!·7!

3. 4 farklı roman ve 7 farklı hikâye kita-bı kütüphanenin alt ve üst rafına aynı tür kitaplar yan yana olmak üzere kaç farklı şekilde sıralanabilir?

A) 4!·7!·2! B) 4!·7! C) 11!D) 8!·2! E) 5!·2!

4. 3 farklı mavi, 4 farklı siyah ve 5 farklı beyaz boncuk düz bir tele mavi bon-cuklar sol başta ve aynı renkteki bon-cuklar bir arada olmak koşuluyla kaç değişik biçimde sıralanabilir?

A) 3!·4!·6! B) 2!·4!·5! C) 2!·3!·4!·5! D) 13!

E) 3!·10!

5. 6 erkek ve 6 kız öğrenci aynı cinsiyet-ten 2 öğrenci yan yana gelmemek şar-tıyla düz bir sıraya kaç farklı şekilde sıralanır?

A) 12! B) 7!·2! C) 6!·6!D) 2!·6!·6! E) 6!·12!

6. Anne, baba ve iki çocuktan oluşan 4 ki-şilik bir aile tek tek fotoğraf çektirip çer-çeveletmiştir.Bu ailenin fotoğrafları düz bir duvara uçlarda anne ve baba olmak şartı ile kaç değişik şekilde asılabilir?

A) 4! B) 2!·5! C) 2!·4!D) 3!·2! E) 2!·2!

Cevaplar123456CDACDE

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

MA

TEM

AT

İK

-6-


ÖRNEK

B, E, R, A, T harflerinden oluşan beş harfli anlamlı ya da anlam-sız kelimeler oluşturuluyor.

Bu kelimelerden kaç tanesinde A harfi B harfinin solunda kalır?

ÇÖZÜM

A harfi tüm sıralanışta B harfi-nin ya solunda ya da sağındadır.

Bu durumdan sadece biri yanı; A harfinin B harfinin solunda ol-ması istendiği için

! .olur25

2120 60= =

ÖRNEK

10 kişinin bulunduğu bir öğ-renci grubunda Berkay ve Kaan’ın arasında 3 öğrenci oturmak koşuluyla düz bir sıra-ya bu 10 öğrenci kaç değişik bi-çimde oturabilir?

ÇÖZÜM

Berkay ile Kaan’ın arasındaki 3 kişi P(8, 3) kadar seçilip sı-ralanır. Berkay ve Kaan’ın ken-di aralarında 2! değişik şekilde sıralanır.

Berkay, Kaan ve aralarındaki 3 kişi bir kişi gibi düşünülürse oluşan 6 kişi 6! değişik biçim-de sıralanır.

P(8, 3)·2!·6! olur.

1. Harun ve Erhan’ın da aralarında bulundu-ğu 7 kişi bir bilet kuyruğundadır.Harun’un Erhan’ın önünde olduğu kaç durum olabilir?

A) 1250 B) 1850 C) 2250D) 2520 E) 5040

2. A = {s, e, l, i, m, ö} kümesinin elemanları yan yana sıralanıyor.e ile l’nin arasında iki harfin bulundu-ğu 6 harfli kaç sıralama yapılabilir?

A) 144 B) 156 C) 174D) 186 E) 204

3. Banu, Selim, Uğur’un da bulunduğu 6 kişi yan yana fotoğraf çektirecektir.Banu’nun, hem Selim’in hem de Uğur’un önünde olduğu kaç durum olabilir?

A) 720 B) 360 C) 240D) 120 E) 80

4. 6 kişinin bulunduğu bir toplulukta Gül ve Gülçin’in arasında bir kişinin bu-lunduğu kaç sıralama yapılabilir?

A) 8·4! B) 8·5! C) 6·4!D) 7·4! E) 5·6!

5. Gizem, Şebnem ve İrem’in bulunduğu 5 kişiden oluşan bir sporcu grubu yan yana diziliyor.Uzun atlama yapan Gizem’in gülle atan Şebnem ile sırıkla atlama yapan İrem’in arasında bulunduğu kaç sıra-lama yapılabilir?

A) 25 B) 30 C) 35D) 40 E) 45

6. Mahsun ve Zeki’nin bulunduğu 7 kişi-lik bir sinema kuyruğunda Mahsun ile Zeki’nin arasında 2 kişi olması koşu-luyla kaç sıralama yapılabilir?

A) 560 B) 660 C) 760D) 860 E) 960

Cevaplar123456DACADE

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

MA

TEM

AT

İK

-7-

VERİ, SAYMA VE OLASILIK Fasikül 1Kombinasyon

n ve r birer doğal sayı ve r ≤ n olmak üzere, n elemanlı bir kü-menin r elemanlı alt kümeleri-nin sayısına n’nin r ’li kombinasyonu denir ve C(n, r)

veya n

rd n ile gösterilir.

• !· !!

•

•

n

r n r rn

n

r

n

n r

n

a

n

bise

a b veya a b n

=-

=-

=

= + =

d

d

d

d

d

^n

n

n n

h

n

n n n n

n

n

r

n

r

n

r

0 1 22

1

1

1

• …

•

n+ + + + =

++

=+

+

c

c

c

c

c

d

cm

m

m

m

m

n

m

ÖRNEK

Aşağıdaki kombinasyonların değerlerini bulunuz.

a) 5

2e o b)

18

16e o

c) 9

0e o d)

7

3e o

ÇÖZÜM

a) ··5

2 2 15 4

10

2

= =e o

b) ··18

16

18

2 2 118 17

153

9

= = =e eo o

c) 9

01=e o

d) · ·· ·7

3 3 2 17 6 5

35= =e o

1. C(n, 2) + C(n, 1) = 28olduğuna göre, n kaçtır?

A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 9

2. n n

10

2

10

2 4+=

-e eo o

olduğuna göre, n’nin alabileceği de-ğerler toplamı kaçtır?

A) 4 B) 6 C) 8D) 10 E) 12

3. C(4, 1) + C(5, 2) = 2·C(n, n – 1)olduğua göre, n kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 7

4. 4

2

4

3

5

4+ +e e eo o o

ifadesinin eşiti nedir?

A) 6

3e o B)

64e o C)

6

5e o

D) 7

4e o E)

7

5e o

5. …n n n n

n1 2 363+ + + + =d d d dn n n n


A) 4 B) 5 C) 6D) 7 E) 8

6. 120·C(n, r) = P(n, r)olduğuna göre, r kaçtır?

A) 9 B) 8 C) 7D) 6 E) 5

Cevaplar123456CDEBCE

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

MA

TEM

AT

İK

-8-


ÖRNEK

6 erkek ve 8 kız öğrenci arasın-dan 4 kişilik bir grup seçilecek-tir.

a) Kaç farklı seçim yapılabi-lir?

b) Grupların kaç tanesi 1 er-kek ve 3 kız öğrenciden oluşturulabilir?

c) Oluşturulacak bu grubun içinden de bu gruba bir başkan seçilecektir. Bu grup kaç değişik biçimde kurulur?

ÇÖZÜM

a) Toplam 14 kişi arasından 4 kişi seçilecektir.

· · ·· · ·

.olur

14

4 4 3 2 114 13 12 11

1001

7

=

=

e o

b) 6 erkek öğrenciden 1 erkek öğrenci seçme

6

1e o

8 kız öğrenciden 3 kız öğ-renci seçme

8

3e o

istenilen özelliklere sahip grubu oluşturma

·

·· ·· ·

· ·

.olur

6

1

8

3

63 2 18 7 6

6 8 7

336

=

=

=

e eo o

1. 9 kişilik bir sporcu grubundan 4 kişi-lik bir takım ve bu takım içinden de bir kaptan kaç farklı şekilde seçilebilir?

A) 126 B) 252 C) 504D) 432 E) 500

2. 7 öğrenciden 2’si Kırıkkale’ye, 4’ü Ço-rum’a ve geriye kalan 1’i Erzurum’a git-mek üzere üç grup oluşturulacaktır.Buna göre, bu üç grup kaç farklı şekil-de oluşturulabilir?

A) 105 B) 110 C) 115D) 120 E) 125

3. 7 farklı seçmeli dersten 4’ü aynı saatte verilmektedir.Buna göre, derslere devam etmek zo-runluluğu şartıyla bu 7 dersten üçü kaç farklı şekilde seçilebilir?

A) 10 B) 11 C) 12D) 13 E) 14

4. Aralarında Afet ve Hasan’ın da olduğu 5 kız ve 6 erkekten oluşan bir gruptan 3 ki-şilik bir ekip kurulacaktır.Afet ile Hasan kurulacak ekipte bera-ber bulunmak istemediklerine göre, kaç değişik biçimde ekip kurulabilir?

A) 121 B) 132 C) 143D) 150 E) 156

5. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaçında sadece tek sayılar bulunur?

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6

6. A kümesinin 3 elemanlı alt kümele-rinin sayısı 56 ise A kümesi kaç ele-manlıdır?

A) 9 B) 8 C) 6D) 5 E) 4

Cevaplar123456CADECB

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

MA

TEM

AT

İK

-9-

VERİ, SAYMA VE OLASILIK Fasikül 1c) 14 kişi arasından 4 kişilik

grup

14

4e o seçilir.

Oluşturulan bu gruptan 1 başkan

4

1e o seçilir.

İstenilen özelliklere sahip grup

·14

4

4

1e eo o olur.

ÖRNEK

A = {a, b, c, d, e, f}

kümesinin 3 elemanlı alt küme-lerinin kaç tanesinde “b” bulu-nup, “e” bulunmaz?

ÇÖZÜM

6 elemanlı olan A kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin içinde “b” elemanı kesin olması gerek-tiği için

b

“b” 3 elemanlı alt kümeye yazı-lır. “e” olmayacağı için kümenin elemanlarından çıkartılır.

“b” 3 elemanlı alt kümeye ya-zıldı, “e” kümeden atıldı geri-ye 6 elemanda 4 eleman kaldı ve bu 4 elemandan 2 tane daha seçilmeli ve “b”nin bulunup, “e”nin bulunmadığı 3 elemanlı alt küme sayısı

··4

2 2 14 3 6= =e o olur.

1. İçlerinde Serdar ve Emre’nin de bulun-duğu 10 kişiden 4 kişilik bir ekip kuru-lacaktır. Serdar’ın bulunup Emre’nin bulunma-yacağı kaç farklı ekip kurulabilir?

A) 84 B) 76 C) 65D) 56 E) 42

2. 8 kişilik bir sınıfta bir başkan bir baş-kan yardımcısı kaç şekilde seçilebilir?

A) 48 B) 52 C) 56D) 60 E) 64

3. 7 evli çift arasından birbirinin eşi ol-mayan 1 erkek ve 1 kadın kaç değişik şekilde seçilebilir?

A) 14 B) 17 C) 21D) 30 E) 42

4. 9 kişiden 4 kişilik bir bilgi yarışması takı-mı kurulacaktır. Bu takıma girecek 2 kişi belli olduğu-na göre, kaç farklı bilgi yarışması ta-kımı oluşturulabilir?

A) 21 B) 24 C) 36D) 42 E) 46

5. 5 doktor 7 mühendisin bulunduğu bir topluluktan, 2 doktor, 3 mühendisin bulunduğu 5 kişilik bir grup kaç deği-şik şekilde kurulur?

A) 250 B) 350 C) 450D) 550 E) 650

6. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 2 bulunup, 5 ve 6 bu-lunmaz?

A) 7 B) 6 C) 5D) 4 E) 3

Cevaplar123456DCEABE

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

MA

TEM

AT

İK

-10-


1. A = {a, b, c, d, e, f}kümesinin üçlü permütasyonlarının kaç tanesinde “b” bulunup, “e” bulun-maz?

A) 24 B) 26 C) 34D) 36 E) 44

2. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}kümesinin dörtlü permütasyonlarının kaç tanesinde “6” bulunur?

A) 120 B) 240 C) 360D) 480 E) 600

3. Mehmet ve Asuman’ın da bulunduğu 4 kız, 6 erkek öğrenciden 3 kız, 2 erkek şe-hir dışına gönderilecektir. Mehmet şehir dışına giderse Asuman gitmeyecektir.Bu seçim kaç değişik biçimde yapıla-bilir?

A) 25 B) 30 C) 45D) 55 E) 60

4. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}kümesinin 3’lü permütasyonlarının kaç tanesinde “0” bulunur, “4” bulun-maz?

A) 12 B) 24 C) 36D) 48 E) 60

5. K = {a, b, c, d, e} ve L = {1, 2, 3}kümeleri veriliyor. K’den 3 harf, L’den 2 rakam alınarak 5 haneli şifre oluşturul-mak isteniyor.Buna göre, kaç farklı şifre oluşturu-labilir?

A) 2·6! B) 3·6! C) 4·6!D) 5·6! E) 6·6!

6. 6 kız ve 4 erkekten oluşan bir topluluktan 3 kız ve 3 erkekten oluşan bir grup oluş-turulacaktır.Kızlardan Asuman, erkeklerden Ali beraber olmak istediklerine göre, bu grup kaç değişik şekilde kurulabilir?

A) 32 B) 34 C) 36D) 38 E) 40

ÖRNEK

A = {1, 2, 3, a, b, c, d}

kümesi veriliyor.

A kümesinin,

a) Üçlü permütasyonlarının sayısı kaçtır?

b) Üçlü permütasyonlarının kaç tanesinde “3” bulunur?

c) Üçlü permütasyonlarının kaç tanesinde “1” bulunur, “c” bulunmaz?

ÇÖZÜM

a) 7 elemanlı olan A kümesi-nin 3’lü permütasyon sayı-sı

, · ·

.

P

olur

7 3 7 6 5

210

=

=

^ h

Ya da

7 elemanlı A kümesinin 3 elemanlı alt kümesi bulu-nur ve bu kümenin eleman-larının kendi arasındaki sıralaması ile çarpılır.

· !7

33 210=e o olur.

b) 7 elemanlı A kümesinin 3’lü permütasyonlarının sayı-sından, “3”ün bulunmadı-ğı 3’lü permütasyon sayısı çıkarılarak “3”ün bulundu-ğu 3’lü permütasyon sayısı bulunur.

, ,

.

P P

olur

7 3 6 3

210 120 90

-

= - =

^ ^h h

Ya da

7 elemanlı A kümesinde “3”ün bulunduğu üç ele-manlı alt kümelerin sayı-sı bulunur ve üç elemanın kendi arasındaki sıralaması ile çarpılır.

· !6

23 90=e o

Cevaplar123456DBCCDE

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

-1-

2. FASİKÜL

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VEFONKSİYONLAR

İkinci Dereceden Denklemlerde Kök Bulma

ÖRNEK

Aşağıdaki denklemlerin R deki çözüm kümelerini bulunuz?

a) (x – 3) · (4x + 8) · x = 0

b) (5 – x) · dx – 8d = 0

ÇÖZÜM

a) (x – 3) · (4x + 8) · x = 0

x – 3 = 0 ise x = 3

4x + 8 = 0 ise x = –2

x = 0

Ç = {–2, 0, 3}

b) (5 – x) dx – 8d = 0

5 – x = 0 ise x = 5

dx – 8d = 0 ise x = 8

Ç = {5, 8}

İkinci Dereceden Denklemler

İkinci Dereceden Fonksiyonlar

Polinomlar

Çarpanlara Ayırma

Tanım: a, b, c gerçel sayı a ≠ 0 olmak üzere ax2 + bx + c = 0 biçimindeki denklemlere ikinci dereceden

denklem denir.

Bu denklemi doğrulayan x sayılarına denklemin kökleri, tüm köklerin oluşturduğu kümeye çözüm küme-

si denir.

a, b, c sayılarına denklemin katsayıları denir.

ÖRNEK

4nn – 2 + 3x + 2 = 0ikinci dereceden denklem olduğuna göre, n kaçtır?

ÇÖZÜM

n – 2 = 2, n = 4denklemin katsayıları 4, 3, 2 dir.ÖRNEKTİR

• MUBA YAYIN

LARI

MA

TEM

AT

İK

-2-

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR 10. Sınıf

1. (4 – x2) · (5 – x) = 0denkleminin çözüm kümesi nedir?

A) {4, 5} B) {2, 5}C) {0, 2, 5} D) {– 2, 2, 5}

E) {–2, 2}

2. (x – 2) · (x + 1) · (4 – x) = 0 denkleminin köklerinin çarpımı kaç-tır?

A) –8 B) –6 C) 0D) 6 E) 8

3. (x2 + 4) · (x – 1) = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?

A) {–4} B) {–4, 1}C) Q D) {–2, 1, 2}

E) {1}

4. dx – 3d · (x + 3) = 0denkleminin kökler çarpımı kaçtır?

A) 9 B) 6 C) 0D) –6 E) –9

5. dx2 – 36d · (2x – 4) = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?

A) {–6, 6} B) {2, 6}C) {–6, 2, 6} D) {2}

E) Q

6. (3x – 10) · (1 + 3x) = 0denkleminin köklerinin toplamı kaç-tır?

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

ÖRNEK

Aşağıdaki denklemlerin R deki çözüm kümelerini bulunuz?

a) x2 – 6x = 0

b) 3x2 – 6 = 0

c) x2 + 9 = 0

ÇÖZÜM

a, b, c ! R, a ! 0 ve x bilinmeyen olmak üzere, ax2 + bx + c = 0 denklemine ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

a)

x2 – 6x = 0 ise x · (x – 6) = 0

x = 0 ve x = 6 Ç = {0, 6}

b)

3x2 – 6 = 0 ise 3x2 = 6

x2 = 2 ise x = 2 ve x = 2-

Ç = ,2 2-" ,

c)

x2 + 9 = 0 ise x2 = –9

Karesi –9 olan reel sayı ol-madığından Ç = Q dir.

Cevaplar123456DAEECD

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

MA

TEM

AT

İK

-3-

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR Fasikül 21. x2 – 2x – 15 = 0

denkleminin çözüm kümesi nedir?

A) {–5, 3} B) {–5, –3}C) {–3, 5} D) {3, 5}

E) {–5}

2. 3x2 – 2x – 1 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?

A) ,31 1-& 0 B) ,1

31-& 0

C) ,31 1& 0 D)

31-& 0

E) ,131- -& 0

3. (x2 + x – 6) · (x2 – 25) = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?

A) {–5, –3, 2} B) {–5, 2, 3, 5}C) {–3, 2, 5} D) {–5, –3, 2, 5}

E) {–5, –2, 3, 5}

4. (5x2 – 3x – 2) · (x2 + x – 2) = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?

A) ,52 1-& 0 B) , , ,2

52 1 3- -& 0

C) , ,52 1 3-& 0 D) , ,2

52 1- -& 0

E) , , ,2 152 3-& 0

5. x2 – 6x = 55 denkleminin büyük kökü kaçtır?

A) –11 B) –5 C) 1D) 5 E) 11

6. 2x2 – 3x = 5 denkleminin çözüm kümesi nedir?

A) ,125-& 0 B) ,

25 1-& 0

C) ,125& 0 D) ,

25 1- -& 0

E) Q

ÖRNEK

Aşağıdaki denklemlerin R de çözüm kümelerini bulunuz?

a) x2 – x – 12 = 0

b) 2x2 – x – 3 = 0

ÇÖZÜM

a) x2 – x – 12 = 0

Çarpımları, sabit terim olan –12 yi, toplamları x in katsayısı olan –1 i verecek iki reel sayı şeklin-de çarpanlarına ayrılır.

(x – 4) · (x + 3) = 0

x = 4 x = –3

Ç = {–3, 4}

b) 2x2 – x – 3 = 0

2x –3

x 1

(2x – 3) · (x + 1) = 0

x 23= x = –1

Ç ,1 23= -& 0

Cevaplar123456CADDEA

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

MA

TEM

AT

İK

-4-


4x2 – 12x + 9 = 0 denkleminin çözüm küme-si nedir?

ÇÖZÜM

4x2 – 12x + 9 = 0 denkleminde a = 4, b = –12 ve c = 9 dur.D = b2 – 4ac = (–12)2 – 4 · 4 · 9 D = 0 olduğundan denklemin eşit iki reel kökü vardır.

x1 = x2 = 2ab-

x1 = x2 = 2 412·

--^ h

x1 = x2 = 23 olur.

Ç = 23& 0

ÖRNEK

x2 – 2x + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?

ÇÖZÜM

x2 – 2x + 5 = 0 denkleminde,a = 1, b = –2 ve c = 5 dir.D = b2 – 4ac = (–2)2 – 4 · 1 · 5 = 4 – 20 = –16 < 0D < 0 olduğundan denklemin reel kökü yok-tur.Ç = Q

ÖRNEK

x2 – x – 1 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?

ÇÖZÜM

x2 – x – 1 = 0 denkleminde a = 1, b = –1 ve c = –1 dir.

( )b ac4 1 4 1 1

1 4

5 0

· ·

>

2 2D = - = - - -

= +

=

^ ^h h

olduğundan denklemin iki farklı reel kökü vardır. Bu kökler;

( )

.

.

xa

b

x olur

xa

b

x olur

2 2 11 5

21 5

2 2 11 5

21 5

·

·

1

1

2

2

D

D

= - - =- - -

= -

= - + =- - +

= +

^^hh

Ç = ,2

1 52

1 5- +( 2

ÖRNEKa, b, c ! R, a ! 0 ve x bilinme-yen olmak üzere,

ax2 + bx + c = 0 ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin kök-leri çarpanlara ayırma yöntemi ile bulunamıyor ise denklemin reel köklerinin olup olmadığı ve köklerin sayısı

D = b2 – 4ac ve ifadesi ile bu-lunur.

D = b2 – 4ac ye denklemin diks-riminantı denir.

1) D > 0 ise, denklemin birbi-rinden farklı iki reel kökü vardır ve bu kökler;

x2a

b1,2 =

- " D bağıntısı ile

bulunur.

2) D = 0 ise denklemin eşit iki reel kökü vardır ve bu kök-

ler x x2ab

1 2= = - bağıntısı

bulunur.

3) D < 0 ise denklemin reel kökü yoktur ve denklemin çözüm kümesi boş küme "Q " dir.

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

MA

TEM

AT

İK

-5-

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR Fasikül 21. 9x2 + 3x – 2 = 0


A) ,3231-& 0 B)

32-& 0

C) ,3132-& 0 D) ,

3231-& 0

E) Q

2. x2 + x + 1 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?

A) 2

1 5+( 2 B) 2

1 5-( 2

C) ,2

1 52

1 5- +( 2 D) ,2121-& 0

E) Q

3. x2 – 10x + 25 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?

A) {–5, 5} B) {–5} C) {5}D) {10} E) {–2, 2}

4. 2x2 – 3 5x + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?

A) 5" , B) 25( 2

C) ,5 25-' 1 D) ,

25 5( 2

E) ,25 5-( 2

5. 2x2 – 7x + 10 = 0denkleminin çözüm kümesi nedir?

A) {5, 6} B) {–5, 6}C) {–6, 5} D) {2, 7}

E) Q

6. 4x2 – 4x + 1 = 0denkleminin çözüm kümesi nedir?

A) 21-& 0 B) {–1} C)

21& 0

D) {1} E) ,2121-& 0

ÖRNEK

3x2 – 4 2 x + 2 = 0

denkleminin çözüm kümesi ne-dir?

ÇÖZÜM

3x2 – 4 2 x + 2 = 0

denklemini çarpanlara ayıralım.

3x2 – 4 2 x + 2 = 0

3x 2-

x 2

·x x3 2 2 0- - =^ ^h h

x x23 2= =

Ç ,32 2= ( 2

Cevaplar123456AECDEC

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

MA

TEM

AT

İK

-6-


1. x2 – 10x + n + 13 = 0 denkleminin çakışık iki kökü olduğu-na göre, n kaçtır?

A) 10 B) 11 C) 12D) 13 E) 14

2. x2 – 4x + m – 1 = 0 denkleminin iki gerçel kökü olduğuna göre, m nin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

A) 5 B) 4 C) 3D) 2 E) 1

3. x2 – 2x + n + 3 = 0denkleminin reel kökü olmadığına göre, n nin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

A) –2 B) –1 C) 0D) 1 E) 2

4x2 – x + n – 2 = 0denkleminin eşit iki kökü varsa, n kaçtır?

ÇÖZÜM

a ! 0, ax2 + bx + c = 0 denkleminin sorula-rında,

– Eşit iki kökü varsa

– Çakışık iki kökü varsa

– Kökler farkı sıfır ise

– Çözüm kümesi bir elemanlı ise

– Denklem tam kare ise

ifadeler yer alıyorsa

D = 0 ve x1 = x2 = ab

2- olmalıdır.

4x2 – x + n – 2 = 0 denkleminde

a = 4, b = –1 ve c = n – 2 dir.

D = 0 olacağından,

( )

( )

.

n

n

n

n

n

n d r

1 4 4 2 0

1 16 2 0

1 16 32 0

33 16 0

33 16

1633

· ·

·

›

2D = - - - =

- - =

- + =

- =

=

=

^ h

ÖRNEKÖRNEK

nx2 – 2x + 1 = 0

denkleminin farklı iki gerçek iki kökünün olması için n nin ala-cağı değerler kümesi nedir?

ÇÖZÜM

İkinci dereceden bir bilinme-yenli denklemin reel iki farklı kökünün olması için D > 0 ol-malıdır.

nx2 – 2x + 1 = 0 denkleminde,

a = n, b = –2 ve c = 1 dir.

D > 0 olacağından

D = (–2)2 – 4 · n · 1 > 0

4 – 4n > 0

–4n > –4

n < 1

n ! ( 3- , 1)

ÖRNEK

nx2 – x + 3 = 0

denkleminin reel kökü olmadı-ğına göre, n nin alabileceği de-ğerler kümesi nedir?

ÇÖZÜM

İkinci dereceden bir bilinme-yenli denklemin reel kökünün olmaması için D < 0 olmalıdır.

nx2 – x + 3 = 0 denkleminde,

a = n, b = –1 ve c = 3 dür.

D = 12 – 4 · n · 3 < 0

1 – 12n < 0

–12n < –1

n > 121

n ! ,1213b l

Cevaplar123CBB

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

MA

TEM

AT

İK

-7-

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR Fasikül 21. 2x2 – (n + 2)x – 6 = 0

denkleminin köklerinden biri –1 oldu-ğuna göre, diğer kök kaçtır?

A) 1 B) 23 C) 2

D) 25 E) 3

2. x2 + nx + 6 = 0 x2 + 6x + n = 0 denklemlerinin birer kökleri eşit oldu-ğuna göre, n kaçtır?

A) –3 B) –5 C) –7D) –9 E) –11

3. x2 – ax + b = 0 denkleminin kökleri –2 ve 3 olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?

A) –6 B) –5 C) –4D) –3 E) –2

x2 – 5x + n – 4 = 0 x2 + (n + 3) x – 12 = 0denklemlerinin birer kökleri eşit olduğuna göre, n kaçtır?

ÇÖZÜM

Ortak olan kök x1 olsun,

( )

x x n

x n x

5 4 0

3 12 0

12

1

12

1

- + - =

+ + - =

denklemlerini taraf tarafa yok etme yöntemi ile x1

2 li terimi yok edelim.

/ ( )

( )

.

x n x

x n x n

x nx x n

x nx n

x n n

x bulunur

3 12 0

5 3 4 12 0

5 3 8 0

8 8

8 8

1

12

1

12

1

1 1

1 1 1

1 1

1

1

- + + - =

- - + + - + =

- - - + + =

- - =- -

- - =- -

=

x x n5 4 0- + - =

^ h

Verilen denklemlerden herhangi birinde x yene 1 yazarak n bulunur.x2 – 5x + n – 4 = 0 denkleminde x yerine 1 yazalım.

.

n

n

n olur

1 5 4 0

8 0

8

- + - =

- + =

=

ÖRNEK ÖRNEK

x2 – (m + 4) x – 6 = 0

denkleminin köklerinden biri –2 olduğuna göre, diğer kökü kaçtır?

ÇÖZÜM

Denklemin köklerinden biri olan –2 denklemi sağlamak zorunda-dır.

Denklemde x yerine –2 yazılır.

x2 – (m + 4) x – 6 = 0

x = –2 için

m

m

m

m

m

2 4 2 6 0

4 2 8 6 0

2 6 0

2 6

3

2- - + - - =

+ + - =

+ =

=-

=-

^ ^ ^h h h

Denklemde m yerine –3 yazıl-dığında

x2 – x – 6 = 0

(x – 3) · (x + 2) = 0

x = 3 veya x = –2 dir.

Diğer kök 3 tür.

Cevaplar123ECB

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

MA

TEM

AT

İK

-8-


1. 2x– x 52 + = 1 denkleminin çözüm kümesi nedir?

A) 32-& 0 B) {2}

C) ,32 2-& 0 D) {–2}

E) Q

2. 4x – 10 · 2x + 16 = 0denkleminin çözüm kümesi nedir?

A) {1} B) {3} C) {1, 3}D) {–1, 3} E) {–3, 1}

3. ·xx

xx

21 5

21 4 0

2

+- -

+- + =b bl l


A) {1, 4} B) {1} C) {4}D) {–3} E) {–3, 1}

(x2 – 2x)2 – 4 (x2 – 2x) – 32 = 0denkleminin reel sayılardaki çözüm kümesi nedir?

ÇÖZÜM

(x2 – 2x)2 – 4 · (x2 – 2x) – 32 = 0 denkleminde,x2 – 2x = u dönüşümü yapalım.

u2 – 4u – 32 = 0(u – 8) · (u + 4) = 0

u – 8 = 0 ise x2 – 2x – 8 = 0(x – 4) · (x + 2) = 0x = 4 ve x = –2u + 4 = 0 ise x2 – 2x + 4 = 0D < 0 olduğundan bu denklemden kök gel-miyor.Ç = {–2, 4}

ÖRNEK

25x – 6 · 5x + 5 = 0denkleminin çözüm kümesi nedir?

ÇÖZÜM

25x – 6 · 5x + 5 = 0 denkleminde 5x = u dö-nüşümü yapalım.

( )·( )

u u

u u

u ise u

x

6 5 0

5 1 0

5 0 5

5 5

1

x

2- + =

- - =

- = =

=

=

u ise u

x

1 0 1

5 1

0

x

- = =

=

=

Ç = {0, 1}

ÖRNEK

ÖRNEK

x = 1 + x 5+


ÇÖZÜM

x = 1 + x 5+

Bu tür denklemlerde köklü ifa-de tek başına bırakılarak çözüm yapılır.

x – 1 = x 5+

(x – 1)2 = x 5 2+^ h

x2 – 2x + 1 = x + 5

x2 – 3x – 4 = 0

(x – 4) · (x + 1) = 0

x = 4 x = –1

Bulunan değerler soruda veri-len ilk denklem de yerine yazı-lır ve sağlayan değer kök kabul edilir.

Ç = {4}

Cevaplar123BCD

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

MA

TEM

AT

İK

-9-

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR Fasikül 2

1. x2 – dxd – 12 = 0denkleminin çözüm kümesi nedir?

A) {–4, –3, 3, 4 } B) {–3, 3}C) {–4, 4} D) {–4, –3}

E) {3, 4}

2. x

x x25

6 5 02

2

-- + =


A) {1, 5} B) {–5, 1, 5} C) {1}D) {–5, 5} E) {5}

3. dx2 – 3xd = d2x – 6d


A) {–2, 2, 3} B) {–2, 2}C) {–2, 3} D) {–3, 3}

E) {–3, –2, 2, 3}

Aşağıdaki denklemlerin reel sayılardaki çö-züm kümeleri nedir?

a) x xx x

5 63 10 0

2

2

- ++ - =

b) xx2 3+ =

ÇÖZÜM

a) Rasyonel denklemlerde paydayı sıfır yapan değerler çözüm kümesine alınmaz.

x xx x

5 63 10 0

2

2

- ++ - =

x2 + 3x – 10 = 0

(x + 5) · (x – 2)

x = –5 ve x = 2

x = 2 değeri paydayı sıfır yaptığından kök

kabul edilmez.

Ç = {–5}

b) x + x2 3=

xx

xx x

xx x

2 3 0

2 3 0

2 10

·

2

+ - =

+ - =

- -=

^ ^h h

(x – 2) · (x – 1) = 0

x = 2 ve x = 1

Ç = {1, 2}

ÖRNEKÖRNEK

x x2 6 2 5 02- - - + =


ÇÖZÜM

x x2 6 2 5 02- - - + =

denkleminde

x u2- = dönüşümü yapalım.

u2 – 6u + 5 = 0

(u – 5) · (u – 1) = 0

u – 5 = 0 ise u = 5

dx–2d = 5

x – 2 = 5 veya x – 2 = –5

x = 7 x = –3

u – 1 = 0 ise u = 1

dx – 2d = 1

x – 2 = 1 veya x – 2 = –1

x = 3 x = 1

Ç = {–3, 1, 3, 7}

Cevaplar123CCA

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

MA

TEM

AT

İK

-10-


1. x

x x36

4 12 02

2

-- - =

eşitliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisi-

dir?

A) {–2, 6} B) {–6, –2, 6}C) {–6, 6} D) {–2}

E) {–6}

2. x2 – (2n + 1)x + 5n – 12 = 0 denkleminin köklerinden biri 1 ise n kaçtır?

A) –4 B) –2 C) 1D) 2 E) 4

3. x x x x3 2 3 8 02 2 2- - - - =^ ^h hdenkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangi-sidir?

A) {1, 2} B) {–1, 4}C) {–1, 1, 2} D) {–1, 1, 2, 4}

E) {1, 2, 4}

4. x2 – 3x – 1 = 0denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.Buna göre, x1

3 + 3x12x2 + 3x1 x2

2 + x23 ifadesinin de-

ğeri kaçtır?

A) –27 B) –9 C) 1D) 9 E) 27

5. (4a – 7)x2 – (a + 2)x – 8 = 0denkleminin simetrik iki kökü varsa a kaçtır?

A) –3 B) –2 C) 0D) 2 E) 3

6. Köklerinden biri 4 + 7 olan rasyonel katsayılı ikinci dereceden denklem nedir?

A) x2 – 8x + 9 = 0 B) x2 + 8x + 9 =0C) x2 – 8x – 9 = 0 D) x2 – 9x + 8 = 0

E) x2 – 9x – 8 = 0

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

-1-

DÖRTGENLER

3. FASİKÜL

DörtgenDört kenarı ve dört iç açısı olan kapalı şekle dört-gen denir.Bir dörtgende ardışık olmayan köşeleri birleştiren doğru parçasına köşegen denir.

Dışbükey Dörtgen

A

D

C

B

ABCD dörtgen [AC] ve [BD] doğru parçalarına köşegen denir.Eğer bir dörtgende köşegenlerin tamamı dörtge-nin iç kısmında kalıyor ise bu dörtgene dış bü-key dörtgen denir.

İçbükey Dörtgen

A

D

C

B

Bir dörtgenin herhangi bir köşegeni dörtgenin dışında oluyarsa bu dörtgene iç bükey dörtgen denir. ABCD dörtgeninde [BC] köşegeni dörtgenin dışında kaldığından iç bükey dörtgendir.

Dörtgende Açılar

dc

b

a

a

b

c

ABCD dörtgenindea, b, i, c açıları iç açılar, a, b, c, d açıları dış açı-lar olmak üzere a + b + i + c = 360° a + b + c = d = 360°Buradan, c + b = b + d a + i = c + aeşitlikleri sağlanır.

Özellik

E

AD

B C

yz

x

[BE] ve [CE] açıortay olmak üzere

m BEC x m A m D

xy z

2

2

= = +

=+

_ ^ ^i h hW X%

Özellik

DC

A B

x

x

y

z

EF

[AF] ve [CE] açıortay olmak üzere

m CEF x2

m D m B

x2

y z

= =-

=-

_ ^ _i h iW V%

Özellik

A

D

CB

xy

z

2x = y + z – 180

HATIRLATMA

2x x

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

MA

TEM

AT

İK

-2-

DÖRTGENLER 10. Sınıf

ÖRNEK

D

A B

x

C

132°

100°

E

ABCD dörtgeninde [AE] ve [BE] açıortay

°

°

m

m

ADC

DCB

132

100

=

=

_

_

i

i

%

%

olduğuna göre, x açısının kaç derece olduğunu bulalım.

ÇÖZÜM

A B

E

C

D

F

52°

80°48°

132°

100°

DFC üçgeni oluşturduğumuzda F açısı 52° olur.

·m F m E2=^ ^h hW W olduğundan

° x252 ·=

x = 26° dir.

1.

Şekilde verilenlere göre, x açısı kaç derecedir?

A) 84 B) 90 C) 98D) 106 E) 108

DC

A B

112°

x

60° 82°

2.

Şekilde verilenlere göre, x kaç dere-cedir?A) 40 B) 36 C) 32

D) 28 E) 24

A

80° 3x

2x

100°

D

CB

3.

Şekilde verilenlere göre, x açısı kaç derecedir?

A) 94 B) 96 C) 100D) 108 E) 112

D

124°

82°

58°

x

C

B

A

4.

ABCD dörtgeninde [DE] ve [CE] açıortay

°, °m mDAB CBA84 72= =_ _i i% %

olduğuna göre, x kaç derecedir?A) 78 B) 80 C) 82

D) 84 E) 86

D

x

72˚84˚

C

A B

E

5.

ABCD dörtgeninde [DF] ve [BE] açıortay

°, °m mDAB DCB68 132= =_ _i i% % olduğu-na göre, m DKE x=_ i% açısı kaç derece-dir?

A) 32 B) 36 C) 40D) 48 E) 52

D

C

A BF

E

Kx

132°

68˚

Cevaplar12345DBCAA

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

MA

TEM

AT

İK

-3-

DÖRTGENLER Fasikül 3HATIRLATMA

•

4545C

A

B

kk

k√2

•

6030

2k

kk√3

•

30

120

30

aa

a√3

• Eşkenar Üçgen

60º

60º

60º

A B

=

==

C

( ) ( ) ( )

AB BC

m A m m

CA

B C 60c= = =

= =

V V V

• İkizkenar Üçgen

B C

==

A

( ) ( )

AB

m m

AC

B C

=

=V V

1.

ABCD dörtgeninde [DE], [EC], [AF] ve [FB] açıortaylar, °m DEC 64=_ i% olduğuna

göre, m AFB x=_ i% açısı kaç derecedir?

A) 102 B) 108 C) 112D) 116 E) 120

x

64°

••

D

FC

BEA

2.

ABCD dörtgeninde [DE], [CE],[BK], [AK] açıortay olduğuna göre,

( )m TKB x=W kaçtır?

A) 21 B) 23 C) 24D) 26 E) 28

C

x

D

KT

A

E

B24°

3.

ABCD dörtgen, [DE] ve [BE] açıortay °m DAB 80=_ i% ve °m DCB 130=_ i% oldu-

ğuna göre, x kaç derecedir?A) 60 B) 65 C) 70

D) 75 E) 80

x

D

A B

C

E

130°

80°

4.

ABCD dörtgen [DA]9[AB],|AD| = |AB| = |BC|, °m ABC 60=_ i% oldu-ğuna göre, m DCB a=_ i% kaç derecedir?

A) 110 B) 120 C) 135D) 140 E) 150

D

A B

C

a

60°

5.

ABCD dör tgeninde [AB]9 [BC], DC 4 3= br, BC 6 3= br, |AB|=8 br

olduğuna göre, dADd = x kaç birimdir?

A) 13 B) 14 C) 15D) 16 E) 17

B

A

D

C

8

x

4√3

120°

6√3

6.

ABCD dörtgen, dABd = dBCd = 6 brdDCd = 3 br olduğuna göre, x kaç br’dir?

A) 8 B) 9 C) 10D) 11 E) 12

B

A

D

C

x

135°

3

6

6

Cevaplar123456DCBCBB

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

MA

TEM

AT

İK

-4-


ÖzellikA

B D

C

da

b c

ABCD dörtgeninde

AC BD=6 6@ @ ve

|AB| = a br,

|BC| = b br

|CD| = c br

|AD| = d br ise;

a c b d2 2 2 2+ = +

ÖzellikA

B C

D

E

d

b

a

c

AE BC=6 6@ @ ve

|AB| = a br,

|BD| = b br

|DC| = c br

|AC| = d br ise;

a c b d2 2 2 2+ = +

1.

ABCD dörtgeninde [AC]9[BD],dADd = 5 br, dABd = 3 br, BC br65= olduğuna göre, dDCd = x kaç birimdir?

A) 56 B) 8 C) 6 2

D) 9 E) 10

A

D

B

C

√65

x5

3

2.

ABCD dör tgeninde [BD]9 [AC], 2dBCd=dDCd, AD br5 2= olduğuna göre, dBCd = x kaç br’dir?

A) 4 B) 2 3 C) 3

D) 2 2 E) 6

A

B D

C

E

5√2

4

3.

,AC EB ED DC= =6 6 6 6@ @ @ @

dEDd = 8 br, dDCd = 4 br, AB br2 5= , dBCd = 8 br olduğuna göre, x br'dir?

A) 5 B) 6 C) 6 2

D) 9 E) 10

A

E

2√5

B

C

D

x

8

4

8

4.

ABC üçgeninde [AE] ⊥ [BC]

[AB] = 6 br, dBDd = 4 br, dDCd = 6 br, ol-duğuna göre, |AC| = x kaç birimdir?

A) 6 B) 4 3 C) 7

D) 5 2 E) 2 14

A

B C

D

E

6

6

4

x

5.

ABC üçgeninde [AE] ⊥ [BC]

dABd = dDCd, dBDd = 6 br, dACd = 8 br ol-duğuna göre, dDCd = x kaç br’dir?

A) 6 B) 7 C) 5 2

D) 6 2 E) 8

A

B C

D

E

8

6

6.

[AB]9[BC], [BE]9[AC], [AB] = 4 br, dBCd = 6 br, dFDd = 2 br olduğuna göre, x kaç br’dir?

A) 6 B) 4 2 C) 30

D) 29 E) 2 7

B

F

E

D C

A

4

2

x

3 3

Cevaplar123456DEBECD

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

MA

TEM

AT

İK

-5-

DÖRTGENLER Fasikül 3Özellik

D

N

C

K

A L B

M

Bir ABCD dörtgeninde kenar-ların orta noktası birleştirilen dörtgen paralelkenardır.

KN LMAC

NM KLDB

2

2

= =

= =

Buradan,

Ç KLMN AC BD= +^ h dir.

NOT

D

N

C

K

A L B

M

1) ABCD'de orta noktalar dörtgeni her zaman pa-ralelkenardır.

2) |AC|=|BD|iseKLMNeş-kanardörtgen.

3) [AC] ⊥ [BD] ise KLMN dikdörtgen

4) [AC] ⊥ [BD] |AC| = |BD| ise KLMNkaredir.

1.

K, L, M, N bulundukları kenarların orta noktaları.ABCD dörtgeninin köşegenlerinin uzun-lukları toplamı 32 br olduğuna göre, KLMN dörtgeninin çevresi kaç br’dir?A) 14 B) 16 C) 18

D) 20 E) 32

D

KC

L

A M B

N

2.

ABCD dörtgen, |DG|= |GC|, |CF| = |FB|, |AE| = |EB|, |AC| ⊥ |BD| olduğuna göre, ( )m GFE x=W kaç derecedir?

A) 60 B) 90 C) 20D) 135 E) 150

D

G

C

F

BEA

x

~

~

3.

ABCD dörtgen, dAKd = dKDd,dBLd = dLDd, dMAd = dMCd,dBNd = dNCd, dABd = 6 cm, dDCd = 12 cm olduğuna göre, Ç(KLMN) kaç cm’dir?

A) 16 B) 18 C) 20D) 24 E) 28

6

AD

B C

12

K

L

M

N

4.

E, F ve G köşegeni uzunlukları eşit olan ABCD dörtgeninin kenarlarının orta nok-taları,( ) ,m EGF GF cm60 10c= =X olduğu-

na göre, ABCD dörtgeninin köşegen uzunlukları toplamı kaç cm'dir?A) 20 B) 25 C) 30

D) 35 E) 40

D

G

C

BFA

E

60°

5.

ABCD dörtgen dACd9dBDd,dAKd = dBKd, dCLd = dLDd, dACd = 10 br, dBDd = 24 br olduğuna göre, dKLd kaç br’dir?

A) 10 B) 12 C) 13D) 14 E) 15

A

B

C

D

K

L

6.

ABCD dörtgeninde dBEd = dEDd, dAFd = dFCd, dABd = 4 br, dDCd = 12 br olduğuna göre, x’in ala-bileceği kaç farklı doğal sayı değeri vardır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

AD

B C

E Fx

4 12

Cevaplar123456EBBECC

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

MA

TEM

AT

İK

-6-


Dörtgenlerin Alanı

A

B

C

D

a

· · ·sinA ABCD AC BD21

a=^ h

A

B

C

DE

a

· · ·sinA ABCD AC BD21

a=^ h

NOT

° °

°

° °

°

sin sin

sin sin

sin sin

sin

30 150 21

45 135 22

60 120 23

90 1

= =

= =

= =

=

1.

ABCD dörtgeninde AC br6 2= , dBDd = 10 br, DECm 45°=_ i% olduğu-na göre, ABCD dörtgeninin alanı kaç br2'dir?

A) 24 B) 30 C) 32D) 36 E) 40

A

B

C

DE

45

2.

AD br2 3= , dBCd = 12 br,

m AEC 120°=_ i% olduğuna göre, taralı

bölgenin alanı kaç br2'dir?

A) 18 B) 20 C) 24D) 30 E) 33

A

B CE

D

120º

3.

ABCD dörtgeninde [BD]9[AC],dBEd = 2, dEDd = 8 ve dECd = 6 br’dir.A(ABCD) = 50 br2 olduğuna göre, dADd = x kaç br’dir?

A) 5 5 B) 6 2 C) 8

D) 4 5 E) 9

A

DB

C

E 8

6

2

x

4.

ABCD dörtgen dAKd = dKBd, dBLd = dLCd

Şekilde verilenlere göre taralı bölge-nin alanı 14 br2 olduğuna göre, ABCD dörtgeninin alanı kaç br2'dir?

A) 17 B) 18 C) 20D) 21 E) 28

D

A B

C

K

L

5.

ABCD dörtgeninde 3dAEd = 2dECd A(ABD) = 12 br2 olduğuna göre, A(ABCD) kaç br2'dir?

A) 24 B) 28 C) 30D) 32 E) 36

B

C

A

D

E

6.

Şekilde verilenlere göre ABCD dört-geninin alanı kaç br2'dir?

A) 42 B) 48 C) 50D) 56 E) 60

A

B

C

D120°

4

10

6√3

8

Cevaplar123456BADECD

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

MA

TEM

AT

İK

-7-

DÖRTGENLER Fasikül 3

1. xº = ?

D

A C85°

100°

B

x°

110°

2. ABCD dörtgen Ç(ABCD) = ?

D

10

8

12

4

A

C

B

3. ABCD dörtgen Ç(ABCD) = 36 cmx = ?

D

A

4

B

C

16

3x + 2

2x – 1

4. ABCD dörtgen |AD| = x = ?

D

C

1216

x

A

B

10√3

5. ABCD dörtgen

|AE| = |EC|

|AB| = x = ?

C

D

A

E

4x

4

10

B

8√2

6. ABCD dörtgen |DC| = |BC| = x = ?

D

x

x

C

B

6

A

36

7. ABCD dörtgen [AC] ⊥ [BD]|AD| = x = ?

A

DB

C

5 4

6 x

8. ABCD dörtgen [AC] ⊥ [BD]x = ?

D

x5

B

A C

8√3

30°

Cevaplar12345678

65°34310241123313

ÇEREZLİK SORULAR • 1 (DÖRTGENLER)

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

MA

TEM

AT

İK

-8-

1. ABCD dörtgen

x = ?

D

C

A

B

x°

100°20°30°

2. ABCD dörtgen [AE] ve [BE]açıortayx = ?

D

A

C

B

x

E

130°

110°

3. ABDC dörtgen[AE] ve [CE]açıortayx = ?

D

A

C

B

112°

x°

52°

E

4. ABCD dörtgen

( ) . (

?

( ) . ( )

)

D C

m ECB m EDC

x

m A E m D E

2

2

=

=

=X XX X

Cx

EA

D

B

100°

80°

5. ABCD dörtgen E, F, G, K bulundukları ke-narlar orta noktaları

|AC| = 10 cm

|BD| = 16 cm

Ç(EFGK) = ?

C

D

E

F

K

BGA

6. ABCD dörtgeninin kö-şegen uzunlukları top-lamı kaçtır?

8 – x

4 + x

D

E

F

A C

B

K

7. ABCD dörtgen E, F, G, K orta nok-talar| |

| |

EK cm

FG cm

6

213

=

=

olduğuna göreÇ(EFGK) = ?

D

E

F G

K

A C

B

8. ABCD dörtgen[AC] ⊥ [BD]|AC| = 16 cm|BD| = 8 cm|EF| = ?

A

C

E G

F

DB

Cevaplar12345678

130°120°30°120°26242545

DÖRTGENLER 10. SınıfÇEREZLİK SORULAR • 2 (DÖRTGENLER)

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

MA

TEM

AT

İK

-9-

YAMUK Fasikül 3YAMUK

ÖRNEK

D

x 6

C

A B

√2

150˚ 135˚

ABCD yamuk

[DC]//[AB]

CB 6 2= br olduğuna göre,

x kaç br'dir?

ÇÖZÜM

D C

A K H B

150˚ 135˚

45˚30˚

6√2

[DC]//[AB]olduğundan

°

°

°

°

m m

m

m m

m

C B

B

D A

A

180

45

180

30

+ =

=

+ =

=

^

_ ^

^

^

^

i

i

i

i

i

i

W

V VVVV

ve dDKd = dCHd’dir.

dCHd = dHBd = 6 (45°-45°-90°)

dCHd = dDKd = 6 br

dADd = 12 br (30°-60°-90°)

YamukKarşılıklı iki kenarı paralel olan dörtgene yamuk, paralel olan kenarlara yamuğun tabanları, pa-ralel olmayan kenarlara yan kenarlar, tabanlar arasındaki uzaklığa yamuğun yüksekliği denir.

ABCD yamuk QDCU // QABU, QDC] ve [AB] yamuğun tabanları,[AD] ve [BC] yamuğun yan kenarları,[CH] ise yamuğun yüksekliğidir.

Özellik

ABCD yamuk QDCU // QABU // QEFU

DE EA

CF FBorta tabanEF

=

=6 @4

olmak üzere,

EF a c2

= +

Özellik

[DC]//[AB], ABCD yamuk, a + d = 180° b + c = 180°

Özellik

ABCD yamuk, QABU // QDCU // QKLU·KM ML

aa

cc= =

+

· ·KLa ca c2=+

dACd = e, dBDd = f olsune2 + f2 = b2 + d2 + 2ac

Özellik

ABCD yamuk [KL] orta taban olmak üzerec aMN2

= -

dir.

A

D C

BH

D C

A B

E F

a

c

D C

A B

a

>>

>>

d

b

c

D C

A B

K LM

a

c

d b

A D

B C

K L

M Nx

a

c

10. Sınıf

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

MA

TEM

AT

İK

-10-

YAMUK 10. Sınıf

ÖRNEK

D

A B

C4

16

x E

ABCD yamuk[DC] // [AB]

m(CDE) m(EDA)

m(EAD) m(EAB)

|DC | 4 br, | AB | 16 br

=

=

= =

W WV V

olduğuna göre,

|DA| = x kaç br'dir?

ÇÖZÜM

D

F

C

E

4

a

ab

bb

a

A B

x2

x2

x2

( ) ( )m CDA A

a b

a b

m D B

2 2 180

90

180

c

c

c

+ =

+ =

+ =W V

olduğundan DEA üçgeninde

( ) .m DEA dir90c=V[EF] // [DC] // [AB] olacak şekil-de [EF] doğrusunu çizersek

( ) ( )

( ) ( )

m BAE m FEA b

m E m ECD D F a

c

c

= =

= =

V VW V

olduğundan

.

.

DF FA EF x br dir

EFDC AB

x

x br olarak bulunur

2

2

2 24 16

20

= = =

=+

= +

=

1.

ABCD yamuk, [DC] // [AB], °,m ADC 130=_ i%

AC BC=6 6@ @ olduğuna göre m CBA x=_ i%

kaç derecedir?A) 60 B) 64 C) 70

D) 72 E) 80

130º

30º

D C

BA

x

2.

ABCD yamuk, [EF] orta taban, [AB]//[EF]//[DC], dDCd = 6 cm, dEFd = 9 cm olduğuna göre, dABd kaç cm’dir?

A) 12 B) 11 C) 10D) 9 E) 8

D C

E

6

9F

A B

3.

ABCD yamuk, [EF] orta taban, [DC] // [EF] // [AB], dDCd = 4 cm, dKLd = 3 cm olduğuna göre, dABd = x kaç cm’dir?A) 10 B) 12 C) 13

D) 14 E) 16

D C

A B

E F

x

K L

4

3

4.

ABCD yamuk, [AD]//[BC]//[KL], E köşe-lerin kesim noktası E ! [KL], dDAd = 4 cm, dBCd = 12 cm olduğuna göre, dKLd kaç cm’dir?

A) 5 B) 6 C) 7D) 8 E) 12

A D

B C

EK L

5.

ABCD yamuk, [DC]//[AB], °m DAC 20=_ i% |AC| = |AB| olduğuna göre, x kaç derecedir?

A) 88 B) 85 C) 80D) 75 E) 70

D

130°

20°

x

C

BA

6.

ABCD yamuk, [CE] ve [BE] açıortay,|BC| = 30 br, |DC| = 6 brolduğuna göre, |AB| = x kaç birimdir?A) 16 B) 18 C) 20

D) 22 E) 24

C6D

E30

A Bx

Cevaplar123456CAABDE

ÖRNEKTİR • M

UBA YAYINLARI

Documents

1. AS˜KÜL...deneme sınavına cevap anahtarı yazıla-caktır. Ard arda gelen her 3 sorunun ceva-bı birbirinden farklı olmak üzere, kaç farklı cevap anahtarı yazılabilir?