1

1

Centralna tendencija i mjerenje varijabiliteta

Prof. dr. Mudim Pašić

2

Tipovi varijabli

Varijable

Numeričke

Kategorijalne

Diskretne

Kontinuirane

Ordinalne

Nominalne

3

Tipovi varijabli •  Razlika između numeričkih i kategorijalnih

varijabli je u mogućnosti izvođenja aritmetičkih operacija (koje imaju smisla). –  Telefonski brojevi –  Poštanski broj grada –  JMB

•  Kategorijalna varijabla je ordinalna ako postoji prirodni redoslijed mogućih vrijednosti varijable.

•  Ako ne postoji prirodni redoslijed mogućih vrijednosti varijable onda je ta kategorijalna varijabla nominalna

Iako su ovo brojevi, to su ipak kategorijalne varijable

4

Tipovi varijabli

•  Odgovori DA i NE – Ovo je nominalna kategorijalna varijabla

•  Dodajmo svakoj različitoj kategoriji broj (kod) – 1 (DA) – 2 (NE)

•  Da li brojeve 1 i 2 tretiramo kao kategorijalne ili numeričke varijable?

5

Tipovi varijabli

•  Kategorijalne varijable mogu biti numerički kodirane ili biti nekodirane.

•  Ali treba shvatiti da kodiranje kategorijalne varijable ne pretvara u numeričke – Žene (1) – Muškarci (2)

6

Tipovi varijabli

•  Nominalne kategorijalne varijable – Da li posjedujete računar DA NE – Da li ste vjenčani DA NE – Vaš spol Muškarac Žena – Boja džempera Bijela, Crvena, Crna

•  Ne postoji prirodni redoslijed mogućih vrijednosti varijable

2

7

Tipovi varijabli •  Ordinalne kategorijalne varijable

–  Zadovoljstvo proizvodom •  Veoma nezadovoljan, •  Nezadovoljan, •  Neutralan, •  Zadovoljan, •  Veoma zadovoljan

•  Postoji pririodni redoslijed od najniže do najviše moguće vrijednosti varijable

•  Ali, razlika između pojedinih kategorija nije dobro specificirana

•  Akcenat je na: koja kategorija je “veća”, “bolja”, itd, a ne koliko

8

Tipovi varijabli •  Numeričke varijable se dijele u

–  diskretne i –  kontinuirane

•  Diskretne su posljedica brojanja (konačan cijeli broj) –  Na koliko si časopisa pretplaćena? –  Koliko puta izlaziš sedmično?

•  Kontinuirane su posljedica mjerenja –  Podaci su mjereni na beskonačnoj skali gdje se može

nešto reći o razlici između brojeva •  Visina •  Težina •  Temperatura

9

Centralna tendencija

•  Centralna tendencija varijable je tendencija podataka da se grupiraju ili centriraju oko neke numeričke vrijednosti

•  Kod centralne tendencije mi ćemo se fokusirati na – Aritmetičku sredinu – Modus – Medijanu

10

Da se podsjetimo

•  Sigma •  Sumiranje •  Σ

∑=

n

iix

1

∑=

++++=n

ini xxxxxxx

154321 ...

11

Sigma

•  Za varijablu = {5, 7, 4, 3, 2, 5} •  n = 6 veličina uzorka ili broj promatranja

varijable •  Izračunati:

265234751

=+++++=∑=

n

iix

x

x∑=

=n

iix

1

12

Pravila

•  Suma konstante

∑=

⋅=n

ii cnc

1

c

3

13

Pravila

•  = konstanta

∑∑==

=⋅n

ii

n

ii xcxc

11

)(

c

14

Pravila

Neka je = 5 i = {2, 4, 5, 2}

∑=

=⋅+⋅+⋅+⋅=⋅n

iix

1

65)25()55()45()25(5

x

∑=

=⋅n

iix

1

5

∑=

=⋅=+++⋅=n

iix

1

65135)2542(55

Izračunati:

c

∑=

=⋅4

1

)(i

ixc

15

Pravila

•  Suma zbira dviju varijabli, i

∑∑∑===

+=+n

ii

n

ii

n

iii yxyx

111

)(

x y

16

Pravila Neka je: = {2, 4, 5, 2} = {5, 3, 2, 1}

∑=

=+++++++=+n

iii yx

1

24)12()25()34()52()(

∑=

++++=n

iix

1

)2542( )1235(1

+++=∑=

n

iiy

13 + 11 = 24

xyIzračunati: ∑

=

=+n

iii yx

1

)(

17

Pravila

•  Neka su i konstante

∑∑==

⋅+=+⋅n

ii

n

ii cnxacxa

11

)(

a c

18

Pravila

•  Suma kvadrata zbira dviju varijabli:

∑=

=+n

iii yx

1

2)( =++∑=

n

iiiii yyxx

1

22 )2(

∑ ∑∑= ==

+⋅+=n

i

n

iiii

n

ii yyxx

1 1

2

1

2 )(2

4

19

Pravila

•  Uočiti

∑∑ ∑== =

+≠+n

ii

n

i

n

iiii yxyx

1

2

1 1

22)(

2

11

2 ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛≠ ∑∑

==

n

ii

n

ii xx

20

Alternativni simboli

•  Množenje * – 5*3 = 15

•  Stepenovanje ^ – 5^3 = 125

•  Kvadratni korijen SQRT or ^0,5 –  SQRT(25) = 5 or (25)^0,5 or (25)0,5

•  Sumiranje Sum ∑ = )( Sum xx

21

Aritmetička sredina

•  Aritmetička sredina je suma vrijednosti promatrane varijable podijeljene sa veličinom uzorka

•  Aritmetička sredina (AS) - za uzorak - za populaciju µx

22

Aritmetička sredina

XiXnX

nXX

n

XX

nXXXX

i

n

i

i

n

ii

n

et varijabl vrijednosta-uzorka velicina

sredina aaritmetick :je gdje

ili

...

1

1

21

=

=

=

==

+++=

∑∑

=

=

Koristi se informacija o svim vrijednostima varijable

23

Aritmetička sredina

•  Aritmetička sredina ima dvije važne matematičke osobine: – Suma devijacija oko aritmetičke sredine

jednaka je nula – Suma kvadrata devijacija oko aritmetičke

sredine je minimalna

24

Aritmetička sredina

•  Suma devijacija oko aritmetičke sredine je jednaka nuli

1. 

2. 

3. 

0)(1

=−∑=

n

ii xx

∑∑==

=−n

i

n

ii xx

110

011

=⋅− ∑∑==

n

ii

n

ii x

n

nx 011

=− ∑∑==

n

ii

n

ii xx

Dokaz

xnxn

i∑=

⋅=1

∑=

⋅=n

icnc

1

5

25

Aritmetička sredina

•  Osobina najmanjih kvadrata: – suma kvadrata devijacija oko aritmetičke

sredine je minimalna

∑=

−n

ii xx

1

2)( Ne postoji druga vrijednost ili konstanta koju možemo staviti u jednačinu za aritmetičku sredinu koja će dati rezultat manji od sume kvadrata.

26

Aritmetička sredina

•  Možemo zaključivati o populaciji na osnovu aritmetičke sredine

•  Ali, aritmetička sredina je osjetljiva na outlier-e (ekstremne vrijednosti) u podacima.

•  Dakle AS nije otporna na outlier-e (ekstremne vrijednosti) kao neke druge mjere centralne tendencije

27

Stopa sklopljenih brakova za 50 država u SAD 1996. godine*

n = 50 država u SAD *broj brakova u godini na 1.000 stanovnika

• 5,8 6,1 6,5 6,6 6,7 6,9 7,0 7,1 7,1 7,1 7,1 7,4 7,6 7,6 7,7 7,8 7,9 7,9 8,0 8,0 8,1 8,2 8,2 8,3 8,4 8,4 8,4 8,4 8,5 8,6 8,8 9,0 9,0 9,0 9,1 9,4 9,4 9,8 10,1 10,2 10,4 10,9 11,0 11,1 11,5 12,6 14,5 15,5 16,4 88,2

Stem and Leaf Plot

•  Uraditi stem and leaf plot – Za stem uzeti cijele brojeve – Za leaf uzeti decimalna mjesta

28

29

Stem and Leaf Plot Stem Leaf

5 | 86 | 1 5 6 7 97 | 0 1 1 1 1 4 6 6 7 8 9 98 | 0 0 1 2 2 3 4 4 4 4 5 6 89 | 0 0 0 1 4 4 8

10 | 1 2 4 9 11 | 0 1 5 12 | 6 13 |14 | 515 | 516 | 4

|88 | 2Note: Stems are whole numbers, leafs are decimal places

30

Aritmetička sredina Stopa sklopljenih brakova u 1996

•  n = 50 (50 država) •  Sum(x) = 523,36 •  Aritmetička sredina = 10,47

6

31

Aritmetička sredina Stopa sklopljenih brakova u 1996

•  Uoči, ako uklonimo Nevadu iz

podataka – n = 49 – Sum(x) = 435,12 – AS = 8,88 – AS=10,47 za svih 50 država

32

Medijana

•  Medijana je srednja vrijednost varijable kada su podaci poredani od najmanje vrijednosti ka najvećoj.

•  Medijana je poziciona mjera centralne tendencije jer je locirana u sredini

•  U cilju pronalaženja medijane prvo moramo sortirati podatke u rastućem (ili opadajućem) trendu

33

Medijana

•  Prvo sortiraj podatke •  Zatim identificiraj poziciju medijane

u podacima – Ako je n neparan broj medijana je (n+1)/

2 – Primjer: Ako je n=99, onda je medijana

vrijednost 50-te varijable u redu: (99+1)/2 = 50

34

Medijana •  Ako je n paran broj, vrijednost medijane

je između n/2 i (n/2)+1 vrijednosti varijable – Primjer: Ako je N = 100 Medijana je između

50 i 51 vrijednosti varijable – U ovom slučaju uzimamo srednju vrijednost ove

dvije vrijednosti kako bismo našli medijanu –  {Vrijednost (n/2) + Vrijednost [(n/2)+1]}/2

35

Osobine medijane

•  Ima limitirane osobine za mogućnost zaključivanja

•  Ali, nije osjetljiva na outlier-e i stoga se koristi u podacima sa ekstremnim vrijednostima

36

Izračunati medijanu n = 50 država u SAD

*broj brakova u godini na 1.000 stanovnika • 5,8 6,1 6,5 6,6 6,7 6,9 7,0 7,1 7,1 7,1 7,1 7,4 7,6 7,6 7,7 7,8 7,9 7,9 8,0 8,0 8,1 8,2 8,2 8,3 8,4 8,4 8,4 8,4 8,5 8,6 8,8 9,0 9,0 9,0 9,1 9,4 9,4 9,8 10,1 10,2 10,4 10,9 11,0 11,1 11,5 12,6 14,5 15,5 16,4 88,2

7

37

Medijana - Primjer

•  Stopa sklopljenih brakova 1996 •  n = 50 •  Medijana je izmedju 25-te vrijednosti i

(51+1)/2 = 26-te vrijednosti u sortiranim podacima

•  To je srednja vrijednost 25te vrijednosti (Iowa) i 26te vrijednosti (New Hampshire)

•  Obje vrijednosti su 8,4, pa je srednja vrijednost 8,4

38

Medijana - Primjer

•  Ako izbacimo Nevadu – n = 49 – Medijana = 25ta vrijednost – Medijana = 8,4

•  Ovo je ista vrijednost kao i za n= 50

39

Medijana

•  Medijana se često naziva i 50-ti percentil. •  Kvartili (Quartiles) - Qi

•  Q1 je 25-ti percentil •  Q2 je 50-ti percentil – Medijana •  Q3 je 75-ti percentil

40

Modus (Mod)

•  Modus je najfrekventnija vrijednost u varijabli •  Može da se desi da u kontinuiranom nivou

podataka ne postoji najfrekventnija varijabla –  Kažemo modus je nedefiran

•  Može da se desi da ima više modusa –  Bi-modalno ili Tri-Modalno grupiranje

41

Sklopljeni brakovi

Aritmetička sredina je10,47

Medijana je 8,4 Modus je nedefiniran

Stem Leaf

5 | 86 | 1 5 6 7 97 | 0 1 1 1 1 4 6 6 7 8 9 98 | 0 0 1 2 2 3 4 4 4 4 5 6 89 | 0 0 0 1 4 4 8

10 | 1 2 4 9 11 | 0 1 5 12 | 6 13 |14 | 515 | 516 | 4

|88 | 2Note: Stems are whole numbers, leafs are decimal places

Primjer – Modus •  Podaci o prodaji džempera. Model je u tri

boje: bijelo (W), crna (B) i crvena (R). •  Evidencije u jednoj sedmici prodaje su:

– W R B W B W R W B B W W R R R B W W R R •  Nominalna kategorijalna varijabla •  Prodano je 20 džempera, 8 bijelih, 7 crnih i 5

crnih. •  Modus = “bijela boja” - najveća frekvencija.

42

8

Uradi sam: Mutual

•  Odrediti (koristeći formule računom, koristeći formule u excelu, koristeći deskriptivnu statistiku u excelu) – Aritmetičku sredinu – Medijanu – Mod

43

Uradi sam: Mutual

•  = 7.246,6/259 = 27,98 •  Mod = 15,7 •  Medijana = 25,00

44

x

45

Nakrivljenost (skew)

•  Kada koristimo termin nakrivljenost (skew), mislimo na rep u distribuciji prema ektremnim vrijednostima

•  Ako je nakrivljenost prema desno, postoje ekstremne vrijednosti udesno i većina ili mnogo vrijednosti je grupirana ulijevo

•  Ako je nakrivljenost ulijevo, postoje ekstremne vrijednosti ulijevo i većina ili mnogo vrijednosti je grupirana udesno.

46

Ako je funkcija nakrivljena udesno, aritmetička sredina je veća od medijane (povučena je ekstremno velikim vrijednostima udesno)

Ako je funkcija nakrivljena ulijevo onda je aritmetička sredina manja manja od medijane (povučena je ulijevo ekstremno malim vrijednostima)

Medijana i Artimetička sredina su iste

47

Centralna tendencija daje samo dio priče

•  Zamisli dva seta podataka – Set podataka 1 ima AS, Medijanu i modus 5 – Set podataka 2 ima AS, Medijanu i modus 5

48

Dva seta podataka

•  Prvi set podataka –  {2, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8} Σx = 40 n=8 AS = 5

•  Drugi set podataka –  {5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5} Σx = 40 n=8 AS = 5

•  Potrebno nam je nešto više da opišemo varijablu - varijabilitet

9

49

Varijabilitet

•  Počnimo sa rasponom (range) •  Razlika između najveće i najmanje

vrijednosti varijable •  Da izračunamo raspon potrebno je

– Minimalna vrijednost varijable – Maksimalna vrijednost varijable

50

Stopa sklopljenih brakova za 50 država u SAD 1996. godine*

N = 50 država u SAD *broj brakova u godini na 1.000 stanovnika

• 5,8 6,1 6,5 6,6 6,7 6,9 7,0 7,1 7,1 7,1 7,1 7,4 7,6 7,6 7,7 7,8 7,9 7,9 8,0 8,0 8,1 8,2 8,2 8,3 8,4 8,4 8,4 8,4 8,5 8,6 8,8 9,0 9,0 9,0 9,1 9,4 9,4 9,8 10,1 10,2 10,4 10,9 11,0 11,1 11,5 2,6 14,5 15,5 16,4 88,2

51

Raspon

•  Minimum je 5,8 •  Maximum je 88,2 •  Raspon je 88,2 – 5,8 = 82,4 •  Bez Nevade u podacima, raspon je

16,4 – 5,8 = 10,6

52

Kako koristimo AS da mjerimo varijabilitet?

•  Koncept devijacije oko aritmetičke sredine •  Ako je aritmetička sredina dobra mjera

centralne tendencije, onda je rezonski da se upitamo kako daleko je vrijednost x od aritmetičke sredine

•  Devijacija oko aritmetičke sredine može biti sumarna mjera

53

Srednja vrijednost devijacije

•  Međutim, devijacija oko aritmetičke sredine ne može funkcionirati jer je brojnik uvijek nula – Zapamti: suma devijacija oko aritmetičke

sredine je uvijek nula

n

xxn

ii∑

=

−1

)(

54

Apsolutna devijacija oko aritmetičke sredine

•  Jedan pristup bi bio da se nađe suma apsolutnih devijacija oko aritmetičke sredine podijeljenih sa n

n

xxn

ii∑

=

−1

10

55

Varijansa

•  Drugi pristup bi bio da kvadriramo razlike od aritmetičke sredine i podijelimo sa n – Kvadrati uvijek daju pozitivnu vrijednost – Ovo se zove varijansa

n

xxn

ii∑

=

−= 1

2

2)(

σ

56

Uoči: Populacija vs Uzorak

•  Populacija: σ2 •  Uzorak: s2

– U nazivniku je n-1 – n-1 je zbog stepeni slobode – n-1 je zbog zaključivanja o populaciji na

osnovu uzorka – Ako bismo koristili n u formuli za s2 tada

bismo podcijenili σ2

57

Varijansa uzorka

)1(

)(1

2

2

−

−=∑=

n

xxs

n

ii

58

Formula za računanje s2

1

2

1

1

2

2

−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

−=

∑∑ =

=

nn

xx

s

n

iin

ii

59

Formula za računanje s2

•  Ako imamo poznato – n – Sum(x) – Sum(x2)

•  Možemo izračunati aritmetičku sredinu i varijansu!!

1

2

1

1

2

2

−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

−=

∑∑ =

=

nn

xx

s

n

iin

ii

Uradi sam: Mutual

•  n = •  Sum(x) = •  Sum(x2) = •  Izračunati varijansu koristeći formulu

60

1

2

1

1

2

2

−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

−=

∑∑ =

=

nn

xx

s

n

iin

ii

11

61

Uradi sam: Mutual

•  n = 259 •  Sum(x) = 7.246,6 •  Sum(x2) = 247.392,40

•  Varijansa= 173,02

1

2

1

1

2

2

−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

−=

∑∑ =

=

nn

xx

s

n

iin

ii

62

Uradi sam: Mutual

•  Izračunati varijansu koristeći – Excel formulu

63

Standardna devijacija

•  Problem sa varijansom je što je ona izražena preko kvadratnih jedinica i teško je interpretirati

•  Ako izračunamo kvadratni korijen varijanse vraćamo tu vrijednost u originane jedinice

•  Ovo se zove standardna devijacija –  s za uzorak –  σ za populaciju

•  Standardna devijacija je (SD ili StDev) je srednja devijacija vrijednosti od aritmetičke sredine.

Uradi sam: Mutual

•  Izračunati standardnu devijaciju – Koristeći već izračunatu varijansu – Koristeći excel formulu

64

65

Izračunati StDev Mutual

•  s2 = [247.392,40 – (7.246,6)2/259]/(259-1) •  s2 = [247.392,40 – 202.753,7126]/258 •  s2 = 44.638,6874/258 •  s2 = 173,018168 ili 173,02 •  s = 13,1536 ili 13,15

Uradi sam: Marriage rate

•  Izračunati koristeći formule računom i koristeći excel formule – Varijansu – Standardnu devijaciju

66

12

67

Uradi sam: Marriage rate

•  n = 50 •  Σx = 523,36 •  Σx2 = 11.892,45

1

2

1

1

2

2

−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

−=

∑∑ =

=

nn

xx

s

n

iin

ii

68

Marriage rate

•  n = 50 •  Σx = 523,36 •  Σx2 = 11.892,45

•  s2 = [11.892,45 – (523,36)2/50]/(50-1)

69

Marriage rate

•  n = 50 •  Σx = 523,36 •  Σx2 = 11.892,45 •  s2 = [11.892,45 – (523,36)2/50]/(50-1) •  = [11.892,45 – 5.478,11]/49 •  = 6.414,34/49 •  = 130,90 •  s = 11,44

70

VAŽNO

•  Varijansa i standardna devijacija su veoma osjetljive na ekstremne vrijednosti

•  Kada kvadriraš velike brojeve dobiješ mnogo veće brojeve

•  Pogledajmo šta će se desiti ako izbacimo Nevadu iz našeg seta podataka –  Izračunati

•  Varijansu •  Standardnu devijaciju

71

Marriage Rate bez Nevade

•  n = 49 •  Σx = 435,12 •  Σx2 = 4.104,66 •  s2 = [4.104,66 – (435,12)2/49]/(49-1) •  = [4.104,66 – 3.863,87]/48 •  = 240,79/48 •  = 5,02 •  s = 2,24

72

Usporedba sa Nevadom i bez Nevade

Statistika Sa Nevadom Bez Nevade Sum x 523,36 435,12 Sum x2 11.892,45 4.104,66 Mean 10,47 8,88 Median 8,4 8,4 Mode NA NA Maximum 88,3 16,4 Minimum 5,8 5,8 Variance 130,90 5,02 Std Dev 11,44 2,24

13

73

Excel

Sum =SUM(B5:B104) 3.699,40Count =COUNT(B5:B104) 100,00Mean =AVERAGE(B5:b104) 36,99Minimum =MIN(B5:B104) 30,00Maximum =MAX(B5:B104) 44,90Median =MEDIAN(B5:B104) 37,00Mode =MODE(B5:B104) 37,00Range oduzeti max - min 14,90First Quartile =QUARTILE(B5:B104,1) 35,68Third Quartile =QUARTILE(B5:B104,3) 38,33Inter-Quartile Range oduzeti Q3 - Q1 2,65Variance =VAR(B5:B104) 5,85Std Deviation =STDEV(B5:B104) 2,42

Deskriptivna statistika Mutual

•  Data, Data Analysis, Descriptive Statistics

74

75

Deskriptivna statistika - Mutual

Data

Data Analysis

Descriptive Statistics

Best Quarter

Mean 27,98Standard Error 0,82Median 25,00Mode 15,70Standard Deviation 13,15Sample Variance 173,02Kurtosis 2,71Skewness 1,54Range 72,10Minimum 10,70Maximum 82,80Sum 7246,60Count 259 76

Standardna devijacija i raspon

•  Brza aproksimacija standardne devijacije je – Raspon/4

•  Best Quarter Primjer –  (82,8 – 10,7)/4 = 18,03 – Dok je s = 13,15

•  Ovo je samo aproksimacija. Što se više udaljavamo od normalne distribucije, lošija aproksimacija

77

Koeficijent varijacije

•  Koeficijent varijacije je odnos standardne devijacije i apsolutne vrijednosti aritmetičke sredine

•  Kada se pomnoži sa 100 dobije se u procentima

•  Ovim izražavamo std dev relativno prema aritmetičkoj sredini

•  Što je veći CV to je veća varijabilnost

100*xsCV =

Koeficijent varijacije

•  Izračunati koeficijent varijacije za – Stopa sklopljenih brakova (Marriage Rate) – Mutual Fund Data Best Quarter Performance

•  Uporediti dobijene koeficijente varijacije i diskutovati

78

14

79

Histogram

•  Data – Data Analysis

•  Histogram

Empirijsko pravilo

•  Normalna distribucija, simetrična kriva u obliku zvona

80

μ

Empirijsko pravilo

μ  - 1 σ μ  + 1 σ μ  + 2 σ μ  -2 σ

81

~68%

~95%

μ

~34% ~34% ~13,5% ~2,5% ~2,5% ~13,5%

82

Empirijsko pravilo

83

Empirijsko pravilo •  Aproksimativno 68% vrijednosti mjerenja će biti

± 1 standardne devijacije od aritmetičke sredine

•  Aproksimativno 95% vrijednosti mjerenja će biti ± 2 standardne devijacije od aritmetičke sredine

84

Primjer - Akumulatori

•  Akumulatori: srednji rok trajanja 60 mjeseci

•  Garancija je 36 mjeseci •  Standardna devijacija s = 10 mjeseci •  Vrijednosti trajanja akumulatora slijede

normalnu distribuciju (simetrična kriva u obliku zvona)

•  Koji procenat akumulatora će trajati više od 50 mjeseci?

15

85

Primjer - Akumulatori

•  Koji procenat akumulatora će trajati više od 50 mjeseci? –  Počni sa traženjem koliko standardnih devijacija je

50 mjeseci od aritmetičke sredine –  Nacrtaj –  Odredi vjerovatnoću na osnovu empirijskog pravila

86

Primjer - Akumulatori

•  50 mjeseci je jednu standardnu devijaciju lijevo od aritmetičke sredine

•  Ovo predstavlja 34% slučajeva •  ± 1 std devijacija = 68%, slijedi da je –1St Dev =

34% •  Desno od aritmetičke sredine (60 mjeseci ili

više) predstavlja 50% slučajeva •  Odgovor: 34 + 50 = 84%

87

Primjer – Akumulatori – više od 50 mjeseci

µ = 60 i s = 10

Ovaj dio je -1 St Dev lijevo od µ 34%

88

Primjer – Akumulatori – više od 50 mjeseci

µ = 60 i s = 10

Ovaj je dio veći od 60 mjeseci

50%

Ovaj dio je -1 St Dev lijevo od µ 34%

89

Primjer – Akumulatori – manje od 40 mjeseci

•  Aproksimativno koji će procenat akumulatora trajati manje od 40 mjeseci? –  Počni tako da utvrdiš koliko standardnih devijacija

je 40 mjeseci od µ –  Nacrtaj –  Odredi vjerovatnoću

90

Primjer – Akumulatori – manje od 40 mjeseci

•  40 je dvije standardne devijacije lijevo od µ

•  ± 2 standardne devijacije = 95% slučajeva •  Dakle, manje od 40 mjeseci je ½ od

preostalih 5% •  2,5% akumulatora će trajati manje od 40

mjeseci

16

91

Primjer – Akumulatori – manje od 40 mjeseci

µ = 60 and s = 10

92

Akumulatori - Primjer

•  Pretpostavimo da je vaš akumulator trajao 37 mjeseci.

•  Šta možete zaključiti o proizvođaču koji je rekao da je garancija 36 mjeseci?

93

Akumulatori – 37 mjeseci

– 37 mjeseci je više od 2σ lijevo od µ – Manje od 2,5% akumulatora će biti u domenu

37 mjeseci

µ = 60 and s = 10

37