2. parcijalni koji se polaže u junu na kraju II semestra) · PDF file1 MATEMATIKE I-ANALIZA- - OSNOVNA PITANJA I ZADACI ZA ISPIT - 2. parcijalni koji se polaže u junu na kraju II

1MATEMATIKE I -ANALIZA- - OSNOVNA PITANJA I ZADACI ZA ISPIT -

2 parcijalni koji se polaže u junu na kraju II semestra) 7 REALNA FUNKCIJA REALNE PROMJENLJIVE

1) Pojam realne funkcije f jedne realne promjenljive f A B Oslash A B sub R tj rarr ne (f Ararr B) ( hArr forall x isin A ) ( exist yisinB ) f (x) = y

Definicije pojmova oblast definisanosti D(f ) i rang R(f) funkcije f sirjekcija injekcija i bijekcija (tj sirjektivno injektivno i bijektivno preslikavanje f )

2) Parna neparna periodična (period i osnovni period) monotona ograničena složena i inverzna funkcija (osobine grafika)

3) Implicitno tj eksplicitno zadana funkcija 4) Klasifikacija funkcija prema njihovom analitičkom izrazu (prema formuli f (x) ) algebarske (racionalne

cijele i razlomljene te iracionalne ) i transcedentne funkcije 5) Osnovne elementarne i elementarne funkcije 6) Jednačina

f (x) = 0 xisinS = hArr 0)( =isin xfRx nejednačina

f (x) gt 0 xisinA R A = hArr sub 0)( gtisin xfRx 7) Kvadratna funkcija (trinom) kvadratna jednačina i nejednačina tj

(abc Є R a ne 0 ) ax2 + bx + c = 0 gt 0 lt 0 Vietova pravila x1 + x2 = - ba x1 x2 = ca faktorizacija ax2 + bx + c = a (x ndash x1) (x ndash x2)

8) Definicije i grafici trigonometrijskih funkcija trigonometrijske jednačine nejednačine Npr

sinx = m (misin ) tgx lt1 [ 11minus ]23cos

ltle x

9) Polinom Rastavljanje polinoma na faktore Faktorizacija realnog polinoma Princip identiteta polinoma Vietova pravila

10) Racionalne nule polinoma 11) Razlomljena racionalna funkcija (polinom kao cijela racionalna funkcija prava i neprava racionalna

funkcija) i rastavljene na parcijalne razlomke (prve i druge vrste) 8 NIZ REALNIH BROJEVA

12) Smisao definicije niz a je preslikavanje a N R rarr

13) Pojam okoline tj sistema okolina ( 0gtforallε ) εltminusisin=isin AxRxAO )(

gdje je x A A x Aε εminus lt hArr minus lt lt + ε

14) Tačka nagomilavanja niza (limsup i liminf niza) Granična vrijednost niza a tj (za AisinR)

liman = A ( (hArr 0gtforallε ) ( Nno isinexist )(ε ) Aan minus lt ε lArr n gt n0 ) Veza izmedu granične vrijednosti i tačaka nagomilavanja niza

15) Definisati beskonačnu graničnu vrijednost niza tj liman= + hArr ( ( ) (ninfin 0gtforallM 0(ε)isinN) angtM lArr ngt n0 ) = ( ( ) (ninfinminus hArr 0gtforallM 0(ε)isinN) anlt-M lArr ngt n0 )

216) Računanje (operacije) sa graničnim vrijednostima tj

ako je lim = A lim = B (A B na nb isin R oisin+ - middot ) tada je lim ( o ) = (lim )o(lim ) = A o B an nb an nb

gdje u slučaju kad je o operator dijeljenja treba pretpostaviti ( n isin N ) 0 tj lim = B forall nb ne nb ne 0

17) Ograničeni i monotoni nizovi Stav o konvergenciji monotonih (i ograničenih) nizova 18) Niz kojim je definisan broj e tj dokaz da je

n rarr⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += ( n ) rarr infin

19) Bolcano-Vajerštrasov i opći Košijev kriterijum konvergencije niza (bez dokaza)

20) Pojam (beskonačnog) reda 211

++=suminfin

niz parcijalnih suma Sn suma konvergencija i divergencija reda

Geometrijski red a + aq + a q2 + tj = = n-1n 1

qinfin

=sum nSlim

qaminus1

gdje je parcijalnih suma geometrijskog reda Sn=a+aq++aqn-1=aq

minusminus

9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE

21) Granična vrijednost funkcije i beskonačna granična vrijednost funkcije (+infin ili - ) u (konačnoj) tački aisinR i u beskonačnosti (+

infininfin ili -infin )

Definicije granične vrijednosti iskazati pomoću ekvivalencija Npr f (x) = A ( ( ) ( δ(

axrarrlim hArr 0isingtforall exist isin)gt0) Axf minus)( lt isin lArr 0 lt ax minus lt δ )

ili f (x) = infin ( ( ) ( x

minusinfinrarrxlim hArr 0gtforallM exist 0 (M)lt0) f (x) gt M lArr x lt x0 )

22) Pojmovi okolina AAOAOtjAOAO )()()()( εεε ε ==

)0()()( gtgtisin=infin=infin MxRxOMO M itd 23) Računanje (operacije) sa graničnim vrijednostima funkcije (viditi 16) 24) Elementarni limesi napr

ln1lim)1(lim)11(lim1sin

00itda

minus+==+=

rarrrarrplusmninfinrarrrarr

25) Neprekidnost funkcije (definicija i njene varijante) Osobine neprekidnih funkcija (bez dokaza) 26) Asomptote vertikalna i kosa (tj horizontalna) Stav o kosoj asimptoti 27) Algebarske krive linije drugog reda i njihovi grafici (prava) kružnica elipsa hiperbola parabola

(kanonske jednacine) 28) Ciklometriske funkcije (inverzne trigonometrijske arcsin arccos arctg arcctg) 29) Eksponencijalne i logaritamske (kao uzajamno inverzne ax i loga x ) opadajuće za 0ltalt1 rastuće za

agt1 30) Hiperbalne i njihove inverzne (area) funkcije Osnovni identeti ch(x+y)=chxchy+shxshy tj ch2x-

sh2y=1 itd

310 DIFERENCIJALNI RAČUN

31) Definicija izvoda i njegovo geometrijsko ( i kinematičko) značenje tj problem tangente (i brzine) Lijevi i desni izvod i diferencijabilnost funkcije

32) Diferencijabilnost i neprekidnost funkcije 33) Pravila za izvod (u v) gdje su u i v diferencijabilne funcije i isin+ - middot 34) Formula o prirastu funkcije f f(x) = fΔ (x) Δx+ω(Δx ) Δx ω(Δx ) 0 ( Δx 0 ) rarr rarr35) Stavovi (pravila) za izvod složene i inverzne funkcije 36) Određivanje izvoda elementarnih funkcija prema definiciji izvoda Tablica izvoda 37) Tangenta i normala grafika G(f) funkcije f 38) Definicija diferencijala funkcije geometrijsko značenje diferencijala Osobine diferencijala i

aproksimacija prirasta funkcije diferencijalom (viditi 35)) 39) Izvodi i diferencijali višeg reda Veza između n-tog izvoda i n-tog diferencijala dny=y(n)dxn (Objašnjenje i značenje formula d (xn) ne dxn dxn= (dx)n ) 40) Stavovi o srednjoj vrijednosti (i njihova geometrijska interpretacija) Fermaov Rolov Lagranžov i

Košijev 41) Neodređeni izrazi 00 infininfin infin - infin 0 infin 1infin 0deg infinordm (Lopitalova pravila) 42) Višestruke nule funkcijeDodir višeg reda 43) Tajlorova i Maklorenova formula (bez dokaza) 44) Stacionarna tačka i tačka ekstremuma funkcije (lokalni i globalni ekstremum) 45) Monotonost funkcije i znak prvog izvoda 46) Konveksnost (konkavnost) funkcije objašnjenje pomoću tetive ili tangente te definiciona nejednakost za konveksne (konkavne) funkcije 47) Prevojna tačka (i položaj tangente u prevojnoj tački) 48) Primjena izvoda na ispitivanje funkcija

(i) kriterijum za tačku ekstrema preko prvog izvoda (i preko drugog i viših izvoda) (ii) kriterijum za konveksnost i prevojnu tačku pomoću drugog izvoda (ili pomoću viših izvoda)

49) Parametarsko predstavljanje krivih linija (i izvodi tako zadanih funkcija) 50) Krive zadane u polarnim koordinatama

11 INTEGRALNI RAČUN

51) Definicija i osobine određenog integrala (određeni integral kao površina) Stav o srednjoj vrijednosti integrala

52) Primitivna funkcija i neodređeni integral Osobine i tablica neodređenih integrala 53) Lajbnic- Njutnova formula 54) Parcijalna integracija (u neodređenom i određenom integralu) PRIMJERI A= int eax sinbxdx B= int eax cosbxdx 55) Integracija ( neodređenog i određenog integrala) metodom smjene promjenljive PRIMJERI

(i) int (x2 +a2)-2dx intminus

22 xa minus dx (agt0 geometrijsko značenje)

(ii) int (ax2 +bx+c)-1dx gdje je D=b2-4acgt0 (ili D lt 0 )

(iii) int (ax2 +bx+c)-12dx agt0 ili alt0

56) Integracija ( razlomljene) racionalne funkcije tj integracija elementarnih razlomaka Integracija nekih iracionalnih funkcija (Ojlerove smjene) Stav Čebiševa tj integracija binomnog diferencijala

57) Svođenje integrala int R(sinxcosx)dx na integral int R1(t)dt pogodnom smjenom

t=ϕ (x)(slučajevi 1o-4 o u zavisnosti od osobina podintegralne funkcije R(sinxcosx))

458) Integrali int sinnxdx int cosnxdx (nisinZ rekurentne formule)

59) Integrali sinusa i kosinusa napr int sin(ax+b) cos(cx+d)dx

60) Pojam nesvojstvenog (nepravog) integrala (i) granice integracije a ili b є +infin -infin (ii) podintegralna funkcija f je neograničena

61) Primjene određenog integrala (i) izračunavanje površine ravnih figura (komplanacija)

(ii) rektifikacija (dužina luka krive) (diferencijal luka ds tj Lajbnicov trougao) (iii) kubatura tj zapremina tijela zapremina obrtnih tijela (iv) površina obrtnih tijela (bez dokaza odgovarajuće formule već samo ldquoobjašnjenje formulerdquo dP=2πyds (gdje je P površina omotača obrtnog tijela a s dužina luka krive date formulom y=y(x) čijom rotacijom oko x-ose nastaje obrtno tijelo) PRIMJERI obim i površina kruga površina i zapremina (dijela) lopte

100) Pojmovi krivina i poluprečnik krivine krug krivine eveluta i evolventa

12) IZ ZBIRKE ZADATAKA (BA MesihovićŠZArslanagić Svjetlost Sarajevo1987 god) ZADACI (PO POGLAVLJIMA)

ANALIZA 1 REALNE FUNKCIJE 1-41 2 GRANICNI PROCESI

61Nizovi 1-22 62Granicna vrijednost funkcije1-39 63Neprekidnost funkcije 1-32

3 DIFERENCIJALNI RACUN 31 1-26 32 27-81 33 82-117 34 118-147 35 148-171 36 172-200 37 201-217 38 218-223

4 POLINOMI 1-41 41

5 INTEGRALNI RACUN 51 1-23 52 24-147 53 148-173 54 174-226 55 227-317 56 318-353 57 354-392 58

581 393-416 582 417-427

5583 428-437 584 438-442

6 KRIVINA 61 1-13

7 ZADACI SA PISMENIH ISPITA

6Zadaci sa vježbi (II SEMESTAR) 1 Neka je funkcija f zadana y=f(x) Odrediti oblast definisanosti D(f )

a) 112

xy b) c) y l xy lnln= n ln ln x=

2 Odrediti oblast definisanosti i skup vrijednosti R( funkcije f D(f ) f )

a) 22 xxy minus+= b) 212arccos

+= c) ( )xy 1minus= d)

xy 10logarcsin=

3 Funkcija definisana je na sljedeći način sgn rarr1 x 0

sgn x 0 x 01 x 0

minus lt⎧⎪= =⎨⎪ gt⎩

Nacrtati grafik te funkcije i dokazati da vrijedi x xsgn x= 4 Funkcija (cijeli dio od x) definisana je kao [ ]xy =

( ) [ ]x R x nforall isin = za n x n 1le lt + )( Znisin Nacrtati grafik te funkcije 5 Da li su jednake funkcije

a) 2)( xxf = and xxh =)( b) xxxf =)( and h(x)=1 c) 2ln)( xxf = and h(x)=2lnx

d) h(x)=1 e) xxxf 22 cossin)( += and 2)( xxf = and xxh =)( 6Ako je funkcija definisana na [01] odrediti oblast definisanosti funkcija )(xfx rarra) b) )( 2xfx rarr )(sin xfx rarr7 Pokazati da je funkcija monotona na 0)( 2 ge= xxxf [ )0+infin 8 Odrediti intervale monotonosti funkcije baxxf +=)( 9 Odrediti ))(())(())(())(( xxxx φϕϕφϕϕφφ ako je xxxx 2)()( 2 == ϕφ10 Ispitati koja je od datih funkcija parna odnosno neparna

)(xx aaxf

minus+= b)

minus+

=11ln)( c) 235 72)( xxxxf ++=

11 Ispitati periodičnost i odrediti osnovni period sljedećih funkcija (ako postoji)

a) xxxxf 3sin312sin

21sin)( ++= b)

22)( xtgxtgxf minus= c) xxf 2sin)( =

d) Dirichlet-ova funkcije 1 x Q

(x) 0 x R Q

isin⎧χ = ⎨ isin⎩

12 Pokazati da je 132

minusminus

rarrxxxf injektivna u svom domenu Odrediti te njen domen 1minusf 1( minus )D f i rang

1( )minusR f 13 Funkcija nema inverznu funkciju Zašto Odrediti (maksimalne) podskupove realne ose na kojima f ima inverznu funkciju

Rxxxf isin+= 1)( 2

14 Zadata je funkcija u parametarskom obliku x=3sint y=1-cos2t Rtisin a) izraziti y- kao funkciju od x b) odrediti oblast definisanosti funkcije c) ispitati parnost funkcije y=y(x) d) odrediti y=y(x=-3) e) odrediti inverznu funkciju funkcije y=y(x) 15 Nacrtati grafik funkcije y=f(x) zadane parametarski

7]a) cos sin= =x a t y a t [ π20isint b) cos sin= =x a t y b t [ ]π20isint

c) x=a(t-sint) y=a(1-cost) (cikloida) d) (astroida) tax 2cos= tay 3sin=e) x=a cht y=b sht

16 Nacrtati grafike funkcija a) xxxxy 2121 minus+minus++= b) xy sinarcsin=

17Nacrtati grafik funkcije zadane formulom 2

arctgy =

18 Odrediti sup f inf f max f min f (ako postoje) funkcije 5sin12sin4 2 +minus= xxy

19 Ispitati monotonost funkcije [ ]2

1 πππ neminusisin= xxx

20 a)Dokazati da niz konvergira ka c b) can = )21( =foralln infin=1)1( nn

konvergira ka 0

c) konvergira za n 1(n )α infin= 0leα divergira za 0gtα d) niz divergira nn )1(minusrarr

21 Primjenjujući definiciju granične vrijednosti dokazati

a) 1lim =infinrarr

na (agt0) b) 1

1212lim =

+minus

infinrarr n

22 Pokazati da niz nn n

na )1(1minus+

+= ima dvije tačke nagomilavanja

23 Odrediti nalim i nalim ako je a) 3

2cos12

+= b) n

21 minus

24 Dokazati 0lim =nq 1ltq =1 q=1 q= - 1 (dvije tačke nagomilavanja) 1plusmn= qgt1 plusmninfin= qlt - 1 (dvije beskonačne tačke nagomilavanja) plusmninfin=25 Odrediti granične vrijednosti nizova

nbn nnnn

26 Izračunati A= 372123lim 2

minus++minus

infinrarr nnnn

1110lim 2

infinrarr nn

27 Izračunati granične vrijednosti nizova a) nxnn

minus+=infinrarr

lim b) nnnnn

minusminus+infinrarr

28 Provjeriti rezultat )1sgn(11lim 2

minus=+minus

infinrarrx

29 Izračunati a) n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+infinrarr 1lim b)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+infinrarr c)

infinrarr⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

1011lim

30 Koristeći kriterijum Košija dokazati da niz

a) Nnn

an isin+++= 1211 22 konvergira b) Nn

nxn isin+++= 1

211 divergira

31 Provjeriti rezultate a) 111(lim 22 plusmn=+minusminus++plusmninfinrarr

b) 2 2

3 x x 9 2x x 1limx 3x 2 3rarr

+ + minus minus +=

minus +

c) Ako je A0 a0 ne 0 tada je

( )n m 0

0n n 1

0 1 n 0m m 1x

00 1 m

A1 sgn n m

aA x A x A A

lim n maa x a x a0n m

minusrarrplusmninfin

⎧infin minus gt⎪⎪⎪+ + + ⎪= =⎨

+ + + ⎪⎪ lt⎪⎪⎩

32 Dokazati da

a) funkcije 1x sinx

rarr 1x cosx

rarr 0Rxisin nemaju limes kad b) 0rarrx 01sinlim0

=rarr x

01coslim0

=rarr x

33 Dokazati da

a) x 0

ln(1 x)lim 1 ln(1 x) x o(x)xrarr

+= hArr + = + b) )0( rarrx

e 1lim 1 e 1 x o(x)xrarr

minus= hArr = + + )0( rarrx

a 1lim lna a 1 x lna o(x)xrarr

34 Izračunati a) 3x 1

3 1lim1 x x 1rarr

⎛ ⎞+⎜ ⎟minus minus⎝ ⎠ b)

1 minusminus

rarr xx

x c) 2

212limx

minusminus++rarr

529lim38 minus

minus+rarr x

e) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus++

infinrarrxxxx

35 Odrediti (koristeći 1sinlim0

=rarr x

) a) bxax

x sinsinlim

0rarr )0( neb b)

x sinsinlim

πrarr (kr Z r 0)isin ne

3coscoslimx

minusrarr

d) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

rarr xxxx 20 sin21

sin2sin1lim e) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

plusmninfinrarr xx

πsinlim

36 Izračunati A= xx

x cos1cos1lim

0 minusminus

rarr B=

x cos1cos1lim

0 minusminus

37 Odrediti a)x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+infinrarr 12lim b) c) ( )ctgx

rarr1lim

0( ) 2

0coslim x

rarr d) ( )xx

0lim +rarr

e) ( ) xtg

xtgx 2

38 Izračunati )1ln(sin11lim

x +minusminus+

39 Izračunati x

shaxx 0limrarr

40 Odrediti lijevi f ( i desni limes 0 )minus f (0 )+ za funkciju xxx

)(minus

41 Odrediti i a) f (a 0)minus f (a 0)+2

cossgn)( π== axxf b)

1f (x) a 1x x

= = minusminus ⎢ ⎥⎣ ⎦

42 Koja je od sljedećih funkcija beskonačno mala

xxxfminus+minus

2 12)( b)1rarrx xxxf minus+= 1)( 2 za 1ordm +infinrarrx 2 ordm minusinfinrarrx

43 Koja od sljedećih funkcija je beskonačno velika

a) ( )xxxxf minus+= 1)( 2 za 1ordm +infinrarrx 2 ordm minusinfinrarrx b) shxchxxf minus=)( za 1ordm +infinrarrx 2 ordm minusinfinrarrx

44 Dokazati asimptotsku relaciju 11 minus+ x sim x21

)0( rarrx

945 Pokazati da je

xxf sin)( = prekidna u tački x=0 b) ⎪⎩

⎪⎨⎧

0sin)(

xxg prekidna u tački x=0

c) Kako treba definisati funkciju u tački x=0 da bi bila neprekidna ⎩⎨⎧ ne

46 Odrediti tačke prekida funkcije i vrste tačaka prekida

⎪⎪⎪

leminus

)( b) 1)( ++= xxx

47 Odrediti postoje li ili ne postoje konstante a i b pri kojima je funkcija neprekidna na ako je D(f )

( )3x 1 x 0f (x) ax b0 x 1

⎧ minus le⎪⎪= + lt lt⎨⎪ ge⎪⎩

48 Ispitati neprekidnost složenih funkcija i u tačkama gdje je definisana ta složena funkcija ))(( xgf ))(( xfgxxf sgn)( = 21)( xxg +=

49 Ispitati neprekidnost odrediti vrstu tačaka prekida i nacrtati grafik funkcije 11lim)( 2

+minus

=infinrarr n

n xxxf

50 Pokazati da jednačina ima jedinstven korijen i da on leži u intervalu 0163 23 =minus+minus xxx ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

51 Funkcija x

xxf 1sinsin)( = nema smisla za 0=x Definisati tako da funkcija f bude neprekidnai u

tački

0=x52 Koristeći definiciju izvoda naći izvod funkcije za )2sin()( 2 minus= xxxf 2=x

53 Ispitati diferencijabilnost funkcije u tački ⎩⎨⎧

xf 0=x

54 Izračunati ugao koji tangenta funkcije x

xf 1)( = u tački zaklapa sa pozitivnim dijelom x-ose )11(M

55 Primjenjujući pravila za nalaženje izvoda odrediti izvode funkcija

a)33 2 xxb

xay minus= b) 21arcsin xy minus= c)

+minus

d) 3 sin xey =

56 Data je funkcija

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

gtminus

leleminusltltle+

2 xxxxx

1ordm Nacrtati njen grafik 2ordm za koji x je a)funkcija f neprekidna b) postoji izvod b) neprekidna )( xf )( xf

56Pod kojim uglom kriva ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

xarctgy 11 siječe x-osu

57 Odrediti pod kojim se uglom sijeku krive 2 3y 2x 2 y x 2= + = + 58 Odrediti ako je yx xey x +=

59 Odrediti ako je xy x a cos t y bsin t= =

60 Odrediti ako je funkcija f zadana implicitno xy 12

61 Naći jednačinu tangente i normale krive u tački (12) 0733 =minusminus+ xyyx62 Naći prvi izvod funkcije xxy =

63 Primjenom diferencijala odrediti dxdy

ako je )sin( yxxy minus=

64 Ako je funkcija definisana jednačinom naći )(xy exye y =+ )0(y65 Naći treći izvod funkcije definisane parametarski )( xy )(xy tbytax 33 sincos ==66 Naći dvadesetpeti diferencijal d25y funkcije xxy sin2=67 Naći n-ti izvod funkcije axexy 2=68Dokazati nejednakost i identitet

0(coscos 22

πltltle

minusltminuslt

minus bab

abtgatgba

ab b) )1(

1arcsin

minus= x

xxarctgx

69 Odrediti x

sinln1lim 20rarr

70 Odrediti xtg

xtgx 2

)(limπ

71 Neka je x sin xe ef (x) (x 0)

x sin xminus

=minus

ne Da li se može definisati f(0) tako da je funkcija f neprekidna u tački 0

72 Aproksimirati funkciju u okolini tačke xxxf 22 ln)( = 1=x Tejlorovim polinomom četvrtog stepena i

procjeniti grešku aproksimacije za ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡isin

73 Dokazati da su funkcije 3 7f (x) 1 x x= minus minussin xg(x) (0 x )

x= lt lt π monotono opadajuće

74 Dokazati nejednakost 3

61sin xxx minusgt za 0gtx

75 Odrediti lokalne ekstreme funkcija a) xchxxf cos)( += b) xxxxf 221

31)( 23 minusminus=

76 Naći najveću i najmanju vrijednost funkcije 2425)( xxf minus= za 22 leleminus x 77 U loptu poluprečnika r upisati uspravan kružni cilindar tako da površina njegovog omotača bude najveća

78 Ispitati konveksnost konkavnost i prevojne tačke krive 35

xy = 79 Ispitati konveksnost konkavnost i prevojne tačke krive )1ln()( 3xxf +=

80 Naći asimptote funkcija a) 2

)1(3)(

minus+

xxxf b) 21)(

minusminus

=xxxxf c)

81 Ispitati tok funkcija i nacrtati njihove grafike a) 2

3 xxyminus

= b) xexy1

)2( += c) 1ln

82Riješiti integrale a) int xxdx

b) c)int xdxtg 2 int minusdx

sincos2cos

d) int + dxx 3)12( e) int +dx

Integracija metodom zamjene

83a) b)9(5 2x) dxminusint intminus 23 xdx

c) d) int minus dxxx 232 )13( int ++ dx

sin1cos

e) intminus xx

dxarcsin1 2

f) int +minus dx

g) int +dx

84 Dovođenjem kvadratnog trinoma na kanonski oblik izračunati

a) int ++ 12 xxdx

b) int minus+ 32 2 xxdx

c) int+ xx

dx32 2

d) intminus+ 224 xx

85 Primjenom metode parcijalne inegracije izračunati

a) int dxx

b) c) d)dxxxint sin2 ( )int dxx 2ln dxbxeaxint cos

Integarcija racionalnih funkcija

86 a) int +minusminus dx

23 b) int ++dx

c) int minus+ dxxx

3 1 d) int +

+ dxxxx

22 )1(13

Integracija iracionalnih funkcija

87 a) int +minus+

b) ( )int+

231 xx

Integral diferencijalnog binoma

88 a) int+4 31 xx

dx b) int

+4 41 xdx

Ojlerove smjene

89 a) int++ 322 xxx

dx b) int

minus++ 21)1( xxxdx

Integracija trigonometrijskih i drugih transcedentnih funkcija

90a) int +minus xxdx

cos7sin48 b) int +minus xxxx

dx22 cos5cossin4sin

c) int dxxx 3cossin 22

d) int +dx

cos1sin

e) int dxxx4

91 Ne riješavajući integrale dokazati da je 0arcsin1

=intminus

1 cos2xdx2

π +int

93 Izračunati 2 2

x 0 x 1I f (x)dx

3 x 1 x 2⎧ le le⎪= = ⎨

minus le le⎪⎩int

94 Izračunati a) int +minus

02sinsin56

x b) dx

xxarctg

0 1 c)

d 1 t dtdx

+int d)

cos t dtlim

95 Odrediti lokalne ekstreme funkcije x

f (x) (t 1)e dt= minusint

96 Iako je funkcija 1F(x)x 2

= minusminus

primitivna funkcija funkcije 2

1f (x)(x 2)

=minus

zašto je 3

f (x)dx F(3) F(0)ne minusint

97 Izračunati a) int1

b) int+infin

dx c) int

+infin

infinminus ++ 542 xxdx

d) intminus minusminus

121)2( xx

98 U presječnim tačkama prave 01 =+minus yx i parabole povučene su tangente na parabolu Izračunaj površinu ograničenu parabolom i tangentama

542 +minus= xxy

99 Naći površinu ograničenu lukom krive i y-osom 26 yyx minusminus=100 Izračunati površinu figure omeđene lukom cikloide )cos1()sin( tayttax minus=minus= od tačke do tačke

)00(O)02( πaA i odsječkom OA

101 Izračunati površinu figure čiji je rub lemniskata ϕ2cos22 ar =102 Naći zapreminu tijela koje nastaje rotacijom dijela površine ograničene krivom i njenom asimptotom oko asimptote

xexey 22 minus=

103 Izračunati zapreminu torusa tj tijela nastalog obrtanjem oko x-ose figure omeđene sa 2 2 2x (y b) r (b r)+ minus = ge

104 Izračunati dužinu luka parabole 21y (x 12

= minus ) od tačke A( 10)minus do tačke B(10)

105 Izračunati dužinu luka astroide 3 3x a cos t y a sin t= =

106 Nacrtati krivu i naći površinu koja nastaje obrtanjem petlje oko x-ose 22 )3(9 xxy minus=107 Izračunati krivinu i poluprečnik krivine krive 1=xy u tački )11(M108 Na krivoj odrediti tačku u kojoj krivina dostiže maksimalnu vrijednost te sastaviti jednačinu kruga krivine u toj tački

xy ln=

109 Odrediti parabolu čija je osa simetrije paralelna y osi i koja ima isti krug krivine sa krivom xy sin= u

tački 2π

SLIJEDE PRIMJERI ZA II PARCIJALNI I INTEGRALNI ISPIT

Integralni ISPIT ndash MATEMATIKA I 09092004 OBAVEZNO NA PRVOJ STRANICI NAPIŠITE SAMO

(i) lične podatke (prezime i ime i godinu upisa ) (ii) MATEMATIKA I integralno ndash A (iii) popunite tabelu (svaki zadatak a) ili b) 17 bodova)

zadatak 1 2 3 Σ a b Σ Na osnovu popunjene tabele izlazi ocjena ldquo6rdquo= 51-60 ldquo7rdquo= 61-70 ldquo8rdquo= 71-80 ldquo9rdquo= 81- 90 ldquo10rdquo= 91-102 Kao što vidite ne morate sve uraditi Pažljivo pročitajte zadatke i ne žurite Sretno

1Zadatak a) Definisati desni (tj lijevi) trijedar te vektorski i skalarni proizvod vektora Zapisati sistem n linearnih algebarskih jednačina sa n nepoznatih determinantu D tog sistema (zapisujući prvu drugu i zadnju jednačinu i nepoznatu) i objasniti kako se iz determinant D dobije determinanta Dk nepoznate xk ( nk 1= ) te samo iskazati Kramerovo pravilo b) Date su tacke A(123-2) B(90-1) C(1342) D(11-13) (nacrtati sliku)Odrediti zapreminu V i visinu H (iz vrha A) tetraedra ABCD orjentaciju trijedra vektora ( AB AC AD) podnožje normale povučene iz B na raven ACD Koristeci Kramerovo pravilo prvo diskutovati za koje a iz R je (ne-)saglasan sistem 5x (a 3)y z 7 (a 3)x 5y 2z 11 x y z 6+ minus minus = minus + minus = + minus =te odrediti rješenja sistema za ono a (i) kad sistem ima beskonačno mnogo rješenja (ii) kad ima jedinstveno rješenja 2 Zadatak a) Definisati(i) izvod funkcije (ii) diferencijal funkcije te nacrtati odgovarajuću sliku tj objasniti geometrijsko značenje istih Koristeći pravila diferenciranja odrediti izvode slijedećih funkcija

23 3x 2x 3 25

2lnx 1 2 1x e arcctg(e 11x) x x 2xx 3

minus minusminus minus minus2

Navesti slijedeća pravila (stavove) (i) maksimum (i minimum) u vezi sa prvim izvodom (ii) konveksnost (i konkavnost) u vezi sa drugim izvodom

b) Za funkciju ( )x2y e e x 1 e

minus= +

odrediti nule asimptote intervale monotonosti i konveksnosti te nacrtati njen grafik Izračunati veličinu površine koju grafik funkcije (i) zatvara sa kordinatnim osama (ii) zatvara sa asimptotom (pazite radi se o nesvojstvenom integralu) 3)Zadatak a) Definisati primitivnu funkciju neodređeni i određeni integral te samo navesti (bez dokaza) i objasniti kad vrijedi Leibnitz-Newton-ova formula Zapisati i objasniti kako se koriste (te nacrtati odgovarajuću sliku) formule za primjenu određenog integrala kod izračunavanja (i) dužina luka krive (ii) površina obrtnog tijela te primjeniti te formule da sračunate obim kružnice i površina lopte (svi istog poluprecnika r)

b) Izračunati ( )112

5 17 1 2 cos4 3

x xA dx B xx x

πminus += = ++ +int int 11 xdx

površinu P ograničenu krivom 2 2 4+ =x y x te zapreminu V1 koja nastaje rotacijom povrsine P oko ose x te V2 oko y ose

MATEMATIKA 2 parcijalni ili VI1 PISMENI ISPIT 09092004 OBAVEZNO NA PRVOJ STRANICI NAPIŠITE SAMO

(i) lične podatke (prezime i ime i godinu upisa ) (ii) matematika 2 parcijalni ili VI1 (iii) popunite tabelu (svaki zadatak a) ili b) 17 bodova)

1Zadatak a) Definisati(i) izvod funkcije (ii) diferencijal funkcije te nacrtati odgovarajuću sliku tj objasniti geometrijsko značenje istih Koristeći pravila diferenciranja odrediti izvode slijedećih funkcija

23x 2x 3 211

ln x 1 2 1xe arcctg(e lnx) x x x 3

minus minus + minus2

b) Za funkciju ( ) xy 1 2x e= minus e odrediti nule asimptote intervale monotonosti i konveksnosti prevojnu tačku te nacrtati njen grafik Izračunati veličinu površine koju grafik funkcije (i) zatvara sa kordinatnim osama (ii) zatvara sa asimptotom (pazite radi se o nesvojstvenom integralu) 2 Zadatak a) Definisati pojmove granična vrijednost niza granična vrijednost funkcijete neprekidnost funkcije Zatim samo zapisati broj e (prirodna osnova logaritma) kao graničnu vrijednost niza Navesti slijedeća pravila (stavove) (i) maksimum (i minimum) u vezi sa prvim izvodom (ii) konveksnost (i konkavnost) u vezi sa drugim izvodom

b) Za funkciju 2 2 2

x+ minus=+

odrediti oblast definisanosti nule asimptote intervale monotonosti i

konveksnosti tačke ekstremuma i ispitati njihovu prirodu pomoću znaka drugog izvoda te nacrtati njen grafikIzračunati veličinu površine što grafik funkcije zatvara sa x osom 3)Zadatak a) Definisati primitivnu funkciju neodređeni i određeni integral te samo navesti (bez dokaza) i objasniti kad vrijedi Leibnitz-Newton-ova formula Zapisati i objasniti kako se koriste (te nacrtati odgovarajuću sliku) formule za primjenu određenog integrala kod izračunavanja (i) dužina luka krive (ii) površina obrtnog tijela Primjeniti te formule da sračunate obim kružnice i površina lopte (svi istog poluprecnika r)

7 14 1 co5 6

x xA dx B xx x

πminus += = ++ +int int s6 xdx

površinu P ograničenu krivom te zapreminu V2 2 6x y x+ + = 1 koja nastaje rotacijom povrsine P oko ose x i V2 oko y ose Nacrtati odgovarajuću sliku

15MATEMATIKA I 23 septembar 2004 Na prvoj strain obavezno upisati licne podatke kad ste otslusali matematiku (ocjenu i datum kad ste eventualno položili pismeni) i koji put polazete Zatim kako odgovorite na neko od pitanja popunjavajte odmah odgovarajuce polje slijedece tabele vrijednoscu od 0 do 1 (1 za potpun odgovor a 0 ako uopste niste odgovarali na pitanje) Za pozitivnu ocijenu treba uraditi više od pola zahtijeva tj za pozitivnu ocjenu treba bar Σ= 55 Trajanje ispita 2 sata

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) Σ

1) Neka su aAisinR definisati slijedeća tri limesa ispunivši odgovarajuče ekvivalencije (i ništa više) (i) (ii) li (iii) hArr=

rarrAxf

ax)(lim m ( )

x ah x

rarr= minusinfin hArr hArr= Aanlim (iv) Definisati neprekidnost funkcije f

u tački a 2) Definisati izvod (dati i sliku) Odrediti izvod jedne od funkcija po definiciji a na osnovu tablice izvoda zapisati izvode y i y funkcija Zatim zapisati formulu za prvi (dati i sliku) i drugi diferencijal te odrediti

3sin3 (2 1)x x minus 5

2 2(1) (0) ( ) 0001xdf d f za f x x e xminus= Δ =3) Za funkciju ( ) 3 2f x x= minus minus odrediti inverznu funkciju f ndash1 te u istom koordinatnom sistemu (bez primjene izvoda)

skicirati grafike G(f) i G(f ndash1) Zapisati D(f) R(f) D(f ndash1) R(f ndash1) Odrediti po definiciji te odrediti izvod inverzne funkcije koristeći stav o izvodu inverzne funkcije

4) Samo navesti Lagranžov stav o srednjoj vrijednosti i dati geometrijsko tumačenje (slika) Za funkciju 2 xy x eminus= odrediti tačke ekstremuma i ispitati njihovu prirodu 5) Definisati primitivnu funkciju neodređeni integral i određeni integral Zatim samo zapisati Lajbnic-Njutnovu formulu navodeći uslove kad ta formula vrijedi Navesti stav o srednjoj vrijednosti integrala te navesti geometrijsku interpretaciju tj nacrtati odgovarajuću sliku

6) Navesti (bez dokaza)stav o smjeni promjenljive u određenom integralu Izračunati 2 2r

A r xminus

= minusint dx gdje je r gt 0

Zatim objasniti geometrijsko značenje tj nacrtati odgovarajuću sliku za A

Zapisati formulu parcijalne integracije za određeni integral Zatim izračunati određeni integral B =0

sin 3 x xdxπ

7) Neka je A(010) B(3-12) C(41-1) D(3-25)Izračunati površinu ABCΔ i u tom trouglu te zapreminu V tetraedra ABCD Koje je orjentacije trijedar ( )

A DA DB DC

Za koje xisinR su ortogonalni vektori ( ) ( )(ln 1 2 1) 1 2 3 a x b= minus minus = minus minus

8) Zapisati binomni koeficijent Paskalov trougao do 6-tog reda binomnu formulu za razliku ( ) nt sminus =

Izračunati ( )432u vminus =

9) Za kompleksni broj z = x + iy definisati tj samo popuniti jednakosti Re z = Im z = ϕ = arg z = Arg z = == zr te zapisati z u trigonometrijskom obliku z = dovršiti formule za potenciranje z n = te formulu za

korjenovanje nk z kω = = = Koliko vrijednosti ima za kω

Zatim sve te vrijednosti zapisati za z = 12 2 iminus te izračunati z4 i z 10) Definisati adjungovanu i inverznu matricu Zatim izračunati

adjA A-1 A-1A AA- 1 ako je 1 2 1 0

3 1 0 1A E

minus⎛ ⎞ ⎛= =⎜ ⎟ ⎜minus minus⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

Precizno zapisati sistem od k linearnih algebarskih jednačina sa k nepoznatih BX = H matricu sistema B (pazi ne vrijedi ako upotrebite matricu A umjesto B) i kolonu slobodnih članova H determinantu D sistema i objasniti kako se iz determinante D dobije determinanta D

kxxx 21 hellip

i nepoznate xi ( i = 1 k ) Zatim samo navesti (bez dokaza) Kramerov stav

Građevinski fakultet 01 oktobar 2004

MATEMATIKA I (sva pitanja) i MATEMATIKA (pitanja 1-7) Na prvoj strani obavezno upisati lične podatke kad ste otslušali matematiku (ocjenu i datum kad ste eventualno položili pismeni) i koji put polazete Zatim kako odgovorite na neko od pitanja popunjavajte odmah odgovarajuce polje slijedece tabele vrijednosću od 0 do 1 (1 za potpun odgovor a 0 ako uopšte niste odgovarali na pitanje) Potrebno je odgovoriti na više od pola pitanja tj sum gt 5 5 za MATEMATIKU I (ili sum gt 40 za MATEMATIKU)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 sum

1) Definisati funkciju thx (= ) i odrediti inverznu funkciju th ndash1 Zapisati skupove D(f) R(f) D(f ndash1) R(f ndash1) za tu funkciju Skicirati u istom koordinatnom sistemu (bez primjene izvoda) grafike G(th) i G(th ndash1) 2) Neka su aAisinR definisati slijedeća dva limesa ispunivši odgovarajuće ekvivalencije (i ništa više) (i) (ii) li (iii) hArr=

rarrAxf

ax)(lim m ( )

x ah x

rarr= infin hArr lim na = minusinfin hArr Zatim definisati neprekidnost funkcije f

u tački c i na [ ] a b Rsub

3) Definisati izvod (dati i sliku) Odrediti izvode y i y funkcija 1

2 2 2 221( sin cos ) 2

xx x x eminusminus

Samo navesti Lagranžov stav o srednjoj vrijednosti i dati geometrijsko tumačenje (slika) 4) Zapisati formulu za n-ti diferincijal te izračunati diferencijale 2(0) (0)df d f 2 2 3( ) 10 xza f x x e xminus minus= Δ = Odrediti tačke ekstremuma funkcije 2 2xy x eminus= i ispitati prirodu tih tačaka pomoću drugog izvoda

5) Kad vrijedi formulu parcijalne integracije za određeni integral Izračunati određeni integral

x xdxπ

minusint

6) Nacrtati figuru ( ) ( ) 2 0S x y R a x b y f x= isin le le le le i izračunati njenu površina

Zatim navesti stav o smjeni u određenom integralu i izračunati 2 2

A a x d= minusint x te bjasniti geometrijsko značenje za

A tj nacrtati odgovarajuću sliku 7) Definisati primitivnu funkciju neodređeni integralodređeni integral i nesvojstveni integral samo navesti uslove kad vrijedi

i zapisati Lajbnic-Njutnovu formulu Izračunati 22

minus+int

8) Dovršiti jednakost a btimes = te objasniti šta predstavlja aab pr b= = a btimes Zatim za vektore

izračunati te tri vrijednosti i za 2a i j k b i k= + minus = minus 4 3c j k= minus + odredi orjentaciju trijedra ( ) b a c

9) Zapisati binomni koeficijent Paskalov trougao do 6-tog reda 4

bz x⎛ ⎞minus =⎜ ⎟⎝ ⎠

( )2 mb uminus =

10) Samo navesti (bez dokaza) Kramerov stav Ali prethodno zapisati sistem CX=H od (pazite) m linearnih algebarskih jednačina sa m nepoznatih 1 2 my y yhellip matricu C (pazite ne matricu A) sistema i kolonu slobodnih članova H determinantu D sistema i objasniti kako se iz determinante D dobije determinanta Di

nepoznate xi ( i =1 m ) Izračunati A- 1 i AA- 1 ako je 10 2 1 0

5 2 0 1

A Eminus minus⎛ ⎞ ⎛

= =⎜ ⎟ ⎜minus minus⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

17GF MATEMATIKA I 1606 2005

Na prvoj strani obavezno upisati

bull lične podatke te škgodinu kad ste otslušali predmetgrupa A bull koji put polažete bull Zatim ćim odgovorite na neko pitanja popunjavajte odmah odgovarajuće polje

slijedeće tabele vrijednošću od 0 do 13 (tj 17) ( 13 (tj 17 za 2 parc) za potpun odgovor a 0 ako uopšte niste odgovarali na pitanje)

Na osnovu sume poena (sum)izlazi OCJENA 51-60 = 6- tica 61-70 = 7-ica itd

1a 1b 2a 2b 3a 3b 4a 4b sum

Jasno treba uraditi i zadatke (pod b)) i teoriju (pod a)) za najmanje 25 (od 56 mogućih) poena (AKO TAČNO POPUNITE SVE TRAŽENE PODATKE DOBIČETE 5 POENA) 1ZADATAK a) (i) Nacrtati odgovarajuće slike te definisati i dati geometrijsko tumačenje izvoda i diferencijala (ii) definisati limes i beskonačan ( )plusmninfin limes niza u terminologiji bdquo ε-N(ε)ldquo zapisati ( ) a x

x 0lim 1 x minus

rarr+ =

b) Nacrtati grafike krivih 2 21 1y x y x 2x4 8

= = minus

Izračunati površinu omeđenu tim krivim i zapreminu nastalu rotacijom te površine oko x-ose 2ZADATAK a) Navesti i dokazati formulu za dušinu luka krive te na taj način izračunati obim kruga

b) Izračunati integrale ( )4

x dxA e 5x 2 dxx x 6

infinminus= + α =

+ minusint int

3ZADATAK a) Zapisati sistem linalg jednačina CZ = B gdje su ( )ij rr

C c= ( )i r1B b= i ( )j k1Z z=

zapisujući prvu drugu i zadnju jednačinu i nepoznatu zatim za taj isti sistem CZ=B navesti Kramerov stav pritom opisati kako se iz determinante D = det C dobije determinanta Di nepoznate zi ( i = 1 r ) Za determinante D = det C r-tog reda definisati subdeterminantu i kofaktor te zapisati razvoj determinante D po kofaktorima zadnje r-te kolone Nedopustivo je promjeniti ime bilo koje varijable u pitnjimaSVAKA PROMJENA IMENA VARIJABLE TRETIRAĆE SE KAO POGREŠAN ODGOVOR b) Za razne aisin R diskutovati i riješiti sistem jednačina ( )x y 2z 6 a 2 x 4y 2z 5 6x ay 4z 13+ + = minus + + = + + = 4ZADATAK

a) Definisati rotacionu površinu koja nastaje rotacijom krive koja leži u ravni xoz oko x-ose i odrediti njenu jednačinu

Zatim krivu 2

minus = 1 z = 0 rotirati oko x-ose te napisati jednačinu rotacione površine i skicirati njenu sliku

b) Naći Re z Im z arg z ako je ( ) ( )2010

z 2 i 2 3 i= minus minus + Zatim izraćunati i grafički predstaviti sve vrijednosti 3 8minus te izračunati površinu i obim dobijenog mnogougla PRIMJEDBA pored Zadataka 1 i 2 studenti koji rade samo analizu rade još 3Zadatak a) Definisati

1 primitivnu funkciju i neodređeni integral 2 određeni integral (dati i definiciju integralne sume ograničene funkcije f na [ab] ) 3 napisati jednačinu tangente funkcije y = f(x) u tački x = a

b) Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije y = xlnx Zapisati Tajlorov polinom T2(x) i ostatak R2(x) i krug krivine u tački x0 = 1 ISPIT TRAJE za analizu tj II parcijalni 2 sata za Matematika I- integralno 2sata i 30 min

18GF MATEMATIKA I 1606 2005 Na prvoj strani obavezno upisati

bull lične podatke te škgodinu kad ste otslušali predmet grupa B bull koji put polažete bull Zatim ćim odgovorite na neko pitanja popunjavajte odmah odgovarajuće polje slijedeće tabele

vrijednošću od 0 do 13 (tj 17) (13 (tj 17 za 2parcijalni) za potpun odgovor a 0 ako uopšte niste odgovarali na pitanje)

Jasno treba uraditi i zadatke (pod b)) i teoriju (pod a)) za najmanje 25 (od 54 mogućih) poena (AKO TAČNO POPUNITE SVE TRAŽENE PODATKE DOBIČETE 5 POENA) 1ZADATAK

a) (i) definisati limes funkcije i neprekidnost funkcije u terminologiji bdquo ε-δ( ε)ldquo zapisati n

alim 1n

rarrminusinfin

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠=

(ii) Definisati i dati geometrijsko tumačenje izvoda i diferencijala i nacrtati odgovarajuće slike

= = minus

Izračunati površinu omeđenu tim krivim i zapreminu nastalu rotacijom te površine oko x-ose 2ZADATAK a) Navesti i dokazati formulu za površinu obrtnog tijela te na taj način izračunati površinu sfere

x dxb e 3x 2 dxx x 6

infinminus= minus β =

minus minusint int

3ZADATAK a) Zapisati sistem linalg jednačina B Y = A gdje su ( )ij kk

B b= ( )i k 1A a= i ( )j k1Y y=

zapisujući prvu drugu i zadnju jednačinu i nepoznatu zatim za taj isti sistem BX = A navesti Kramerov stav pritom opisati kako se iz determinante D = det B dobije determinanta Di nepoznate y i ( i = 1 k ) Za determinante D = det B k-tog reda definisati subdeterminantu i kofaktor te zapisati razvoj determinante D po kofaktorima zadnje k-te vrste Nedopustivo je promjeniti ime bilo koje varijable u pitnjimaSVAKA PROMJENA IMENA VARIJABLE TRETIRAĆE SE KAO POGREŠAN ODGOVOR b) Za razne bisin R diskutovati i riješiti sistem jednačina ( )x y 3z 3 4x by 3z 2 b 2 x 6y 6z 7+ + = + + = + + + = 4ZADATAK

a) Definisati rotacionu površinu koja nastaje rotacijom krive koja leži u ravni yoz oko z-ose i odrediti njenu jednačinu

Zatim krivu 2 2y x 1

9 16minus = z = 0 rotirati oko x-ose te napisati jednačinu rotacione površine i skicirati njenu sliku

b) Naći Re z Im z arg z ako je ( ) ( )20 10z 3 i 2 i 2= minus minus + Zatim izraćunati i grafički predstaviti sve vrijednosti

3 27 te izračunati površinu i obim dobijenog mnogougla

PRIMJEDBA pored Zadataka 1 i 2 studenti koji rade samo analizu tj 2 parc rade još 3Zadatak a) Definisati

b) Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije y = xlnx Zapisati Tajlorov polinom T2(x) i ostatak R2(x) i krug krivine u tački x0 = 1 ISPIT TRAJEza analizu tj II parcijalni 2 sata za Matematika I- integralno 2sata i 30 min

19GF MATEMATIKA I 07072005 A Na prvoj strani obavezno upisati

1 lične podatke te škgodinu kad ste otslušali predmetgrupa A 2 koji put polažete 3 Zatim ćim odgovorite na neko pitanja popunjavajte odmah odgovarajuće polje slijedeće tabele

vrijednošću od 0 do 13 za integralni (tj 17 za parcijalni ) ( 13 (tj 17 za 2 parc) za potpun odgovor a 0 ako uopšte niste odgovarali na pitanje)

Jasno treba uraditi i zadatke (pod b)) i teoriju (pod a)) za najmanje 25 (od 56 mogućih) poena (AKO TAČNO POPUNITE SVE TRAŽENE PODATKE DOBIČETE 5 POENA) 1ZADATAK a) Nacrtati grafike G(f) funkcije f ( te u istom koordinatnom sistemu skiciratix) cos 2x= grafik G(f ndash1) Zatim odrediti

inverznu funkciju f ndash1 Zapisati D(f) R(f) D(f ndash1) R(f ndash1) Odrediti izvode f ( po definiciji te odrediti izvod inverzne funkcije koristeći stav o izvodu inverzne funkcije

b) Nacrtati grafike krivih 2 23y x x y3

= + 4 = Izračunati veličinu manje površine omeđene tim krivim te

zapreminu i površinu tijela nastalu rotacijom te površine oko x-ose (obavezno nacrtati sliku rotacionog tijela) 2ZADATAK a) Navesti stav o smjeni u određenom integralu Nacrtati ravnu figuru ( ) 2A x 2 2y R 0 a x a 3 0 y 4a x= isin lt le le le le minus i izračunati njenu površina

b) Izračunati integrale ( ) ( )12

1A dx A 2x 1 cos3xdxcosx 3 sinx

= = minus+int int

3ZADATAK a) Neka su date matrice ( ) ( )ij ijpq rs

A a i X x= = Ako postoji matrica ( )ij uvB b= tako da je B=AX odrediti

(i) koji uslov ispunjavaju formati (pq) i (rs) matrica A i X te kakav je format (uv) matrice B (ii) kako se računaju elementi matrice B tj dovršite formulu

ij( i 1 u j 1 v) bforall = = = Σ

(iii) Definisati Kronekerov simbol δij i jediničnu matricu Er zapisati koristeći taj simbol te sračunati AEq= Nedopustivo je promjeniti ime bilo koje varijable u pitnjimaSVAKA PROMJENA IMENA VARIJABLE TRETIRAĆE SE KAO POGREŠAN ODGOVOR b) Za razne aisin R diskutovati i riješiti sistem jednačina ( )x y 2z 6 a 2 x 4y 2z 5 6x ay 4z 13+ + = minus + + = + + = 4ZADATAK a) Definisati konusnu površinu

Zatim odrediti jednačinu konusne površine sa vrhom u A(005) i direktrisom 2

minus = 1 z = 0

z 2 i 2 3 i= + minus minus

Zatim izraćunati i grafički predstaviti sve vrijednosti 3 8iminus te izračunati površinu i obim dobijenog mnogougla 5Zadatak a) Definisati integralne sume i određeni integral ograničene funkcije f[ab] rarrR te izračunati

1 2 32 23 1 2 3

dx dxI I lnxdx Ix 4 4 xminus

= = =minus +

int int int

b) Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije 2

2xy xx 1

= +minus

odrediti

1 jednačinu tangente u tački x = 0 (koristiti ovaj rezultat kod crtanja grafika funkcije) 2 diferencijal i drugi diferencijal te funkcije u tački x = 1 za Δx = 001

Matematika I- integralno ZADACI 1234 radi se 2sata i 30 min ISPITza analizu tj II parcijalni ZADACI 12 i 5 radi se 2 sata

GF MATEMATIKA I 07072005 B Na prvoj strani obavezno upisati bull lične podatke te škgodinu kad ste otslušali predmet grupa B bull koji put polažete bull Zatim ćim odgovorite na neko pitanja popunjavajte odmah odgovarajuće polje slijedeće tabele

Na osnovu sume poena (sum)izlazi OCJENA 1a 1b 2a 2b 3a 3b 4a 4b sum 51-60 = 6- tica 61-70 = 7-ica itd

Jasno treba uraditi i zadatke (pod b)) i teoriju (pod a)) za najmanje 25 (od 54 mogućih) poena

(AKO TAČNO POPUNITE SVE TRAŽENE PODATKE DOBIČETE 5 POENA) 1ZADATAK a) Nacrtati grafike G(f) funkcije xf(x) cos

2= te u istom koordinatnom sistemu skicirati grafik G(f ndash1) Zatim odrediti

inverznu funkciju f ndash1 Zapisati D(f) R(f) D(f ndash1) R(f ndash1) Odrediti izvode po definiciji te odrediti izvod inverzne funkcije koristeći stav o izvodu inverzne funkcije

b) Nacrtati grafike krivih 2 2x y 4 y x 3+ = = Izračunati veličinu manje površine omeđene tim krivim te zapreminu i površinu tijela nastalog rotacijom te površine oko x-ose (obavezno nacrtati sliku rotacionog tijela) 2ZADATAK a) Nacrtati ravnu figuru ( ) 2B xy R 0 b 2 x b 3 0 y 4b x= isin lt le le le le minus2 2 Navesti stav o smjeni u određenom

integralu te koristeći taj stav izračunati površina ravnu figure B

1b dx b 3x 1 sin3xdx2 cos x sinx

= = minus+int int

3ZADATAK a) Neka su date matrice ( ) ( )ij ijmn pq

Y y i B b = = Ako postoji matrica ( )ij uvC c= tako da je C=YB odrediti

(i) koji uslov ispunjavaju formati (mn) i (pq) matrica Y i B te kakav je format (uv) matrice C (ii) kako se računaju elementi matrice C tj dovršite formulu ij( i 1 u j 1 v) cforall = = = Σ

(iii) Definisati Kronekerov simbol δij i jediničnu matricu Em zapisati koristeći taj simbol te izračunati Ep B=

Nedopustivo je promjeniti ime bilo koje varijable u pitnjimaSVAKA PROMJENA IMENA VARIJABLE TRETIRAĆE SE KAO POGREŠAN ODGOVOR b) Za razne bisin R diskutovati i riješiti sistem jednačina ( )x y 3z 3 4x by 3z 2 b 2 x 6y 6z 7+ + = + + = + + + = 4ZADATAK a) Definisati cilindričnu površinu

Zatim odrediti jednačinu cilindrične površine sa generatrisom ( )p 111= i direktrisom2 2y x 1

9 16minus = z = 0

b) Naći Re z Im z arg z ako je ( ) ( )13 5z 3 i 2 i 2= + minus minus

Zatim izračunati i grafički predstaviti sve vrijednosti 3 27i te izračunati površinu i obim dobijenog mnogougla 5Zadatak a) Definisati integralne sume i određeni integral ograničene funkcije f[ab] rarrR te izračunati

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

odrediti

GF MATEMATIKA VI1 0707 2005 Na prvoj strani obavezno upisati bull lične podatke te škgodinu kad ste otslušali predmet bull koji put polažete bull Zatim ćim odgovorite na neko pitanja popunjavajte odmah odgovarajuće polje

slijedeće tabele vrijednošću od 0 do 17 ( ( 17 za potpun odgovor a 0 ako uopšte niste odgovarali na pitanje)

Na osnovu sume poena (sum)izlazi OCJENA

1a 1b 2a 2b 3a 3b sum

51-60 = 6- tica 61-70 = 7-ica itd

Jasno treba uraditi i zadatke (pod b)) i teoriju (pod a)) za najmanje 25 (od 54 mogućih) poena (AKO TAČNO POPUNITE SVE TRAŽENE PODATKE DOBIČETE 5 POENA) 1ZADATAK a) Nacrtati grafike G(f) funkcije te u istom koordinatnom sistemu skiciratixf (x) 2= grafik G(f ndash1) Zatim odrediti

2 2y 3 x x y 4 = + = b) Nacrtati grafike krivih Izračunati veličinu manje površine omeđene tim krivim te zapreminu i površinu tijela nastalog rotacijom te površine oko x-ose (obavezno nacrtati sliku rotacionog tijela) 2ZADATAK a) Navesti stav o smjeni u određenom integralu

( ) 2A xNacrtati ravnu figuru 2 2y R 0 a x a 3 0 y 4a x= isin lt le le le le minus i izračunati njenu površina

( ) ( )12

1A dx B 2x 3sinx 3 cos x

= = minus+int int cos3xdxb) Izračunati integrale

3ZADATAK a) Definisati integralne sume i određeni integral ograničene funkcije f[ab] rarrR te izračunati

1 2 32 23 1 2 3

dx dxI I ln xdx Ix 4 4 xminus

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

b) Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije odrediti

ISPIT TRAJE Matematika (VI- stepen) 2sata

2 parcijalni koji se polaže u junu na kraju II semestra)

Integralni ISPIT ndash MATEMATIKA I 09092004

MATEMATIKA 2 parcijalni ili VI1 PISMENI ISPIT 09092004

MATEMATIKA I 23 septembar 2004

MATEMATIKA I (sva pitanja) i MATEMATIKA (pitanja 1-7)

GF MATEMATIKA I 1606 2005

GF MATEMATIKA I 07072005 A

GF MATEMATIKA I 07072005 B

GF MATEMATIKA VI1 0707 2005

216) Računanje (operacije) sa graničnim vrijednostima tj

ako je lim = A lim = B (A B na nb isin R oisin+ - middot ) tada je lim ( o ) = (lim )o(lim ) = A o B an nb an nb

gdje u slučaju kad je o operator dijeljenja treba pretpostaviti ( n isin N ) 0 tj lim = B forall nb ne nb ne 0

17) Ograničeni i monotoni nizovi Stav o konvergenciji monotonih (i ograničenih) nizova 18) Niz kojim je definisan broj e tj dokaz da je

n rarr⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += ( n ) rarr infin

19) Bolcano-Vajerštrasov i opći Košijev kriterijum konvergencije niza (bez dokaza)

20) Pojam (beskonačnog) reda 211

++=suminfin

niz parcijalnih suma Sn suma konvergencija i divergencija reda

Geometrijski red a + aq + a q2 + tj = = n-1n 1

qinfin

=sum nSlim

qaminus1

gdje je parcijalnih suma geometrijskog reda Sn=a+aq++aqn-1=aq

minusminus

9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE

21) Granična vrijednost funkcije i beskonačna granična vrijednost funkcije (+infin ili - ) u (konačnoj) tački aisinR i u beskonačnosti (+

infininfin ili -infin )

Definicije granične vrijednosti iskazati pomoću ekvivalencija Npr f (x) = A ( ( ) ( δ(

axrarrlim hArr 0isingtforall exist isin)gt0) Axf minus)( lt isin lArr 0 lt ax minus lt δ )

ili f (x) = infin ( ( ) ( x

minusinfinrarrxlim hArr 0gtforallM exist 0 (M)lt0) f (x) gt M lArr x lt x0 )

22) Pojmovi okolina AAOAOtjAOAO )()()()( εεε ε ==

)0()()( gtgtisin=infin=infin MxRxOMO M itd 23) Računanje (operacije) sa graničnim vrijednostima funkcije (viditi 16) 24) Elementarni limesi napr

ln1lim)1(lim)11(lim1sin

00itda

minus+==+=

rarrrarrplusmninfinrarrrarr

25) Neprekidnost funkcije (definicija i njene varijante) Osobine neprekidnih funkcija (bez dokaza) 26) Asomptote vertikalna i kosa (tj horizontalna) Stav o kosoj asimptoti 27) Algebarske krive linije drugog reda i njihovi grafici (prava) kružnica elipsa hiperbola parabola

(kanonske jednacine) 28) Ciklometriske funkcije (inverzne trigonometrijske arcsin arccos arctg arcctg) 29) Eksponencijalne i logaritamske (kao uzajamno inverzne ax i loga x ) opadajuće za 0ltalt1 rastuće za

agt1 30) Hiperbalne i njihove inverzne (area) funkcije Osnovni identeti ch(x+y)=chxchy+shxshy tj ch2x-

sh2y=1 itd

4 POLINOMI 1-41 41

581 393-416 582 417-427

5583 428-437 584 438-442

6 KRIVINA 61 1-13

a) 112

xy 10logarcsin=

sgn x 0 x 01 x 0

)(xx aaxf

minus+= b)

minus+

=11ln)( c) 235 72)( xxxxf ++=

a) xxxxf 3sin312sin

21sin)( ++= b)

(x) 0 x R Q

minusminus

Rxxxf isin+= 1)( 2

arctgy =

konvergira ka 0

a) 1lim =infinrarr

na (agt0) b) 1

1212lim =

+minus

infinrarr n

na )1(1minus+

2cos12

+= b) n

21 minus

nbn nnnn

minus++minus

infinrarr nnnn

1110lim 2

infinrarr nn

minus+=infinrarr

lim b) nnnnn

minus=+minus

infinrarrx

29 Izračunati a) n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+infinrarr 1lim b)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+infinrarr c)

infinrarr⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

1011lim

a) Nnn

nxn isin+++= 1

211 divergira

b) 2 2

+ + minus minus +=

minus +

( )n m 0

0n n 1

0 1 n 0m m 1x

00 1 m

A1 sgn n m

aA x A x A A

+ + + ⎪⎪ lt⎪⎪⎩

32 Dokazati da

a) funkcije 1x sinx

rarr 1x cosx

=rarr x

01coslim0

=rarr x

33 Dokazati da

a) x 0

+= hArr + = + b) )0( rarrx

3 1lim1 x x 1rarr

1 minusminus

rarr xx

x c) 2

212limx

minusminus++rarr

529lim38 minus

minus+rarr x

e) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus++

infinrarrxxxx

=rarr x

) a) bxax

x sinsinlim

0rarr )0( neb b)

x sinsinlim

3coscoslimx

minusrarr

d) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

rarr xxxx 20 sin21

sin2sin1lim e) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

plusmninfinrarr xx

πsinlim

x cos1cos1lim

0 minusminus

rarr B=

x cos1cos1lim

0 minusminus

37 Odrediti a)x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

rarr1lim

0( ) 2

0coslim x

rarr d) ( )xx

0lim +rarr

e) ( ) xtg

xtgx 2

x +minusminus+

39 Izračunati x

shaxx 0limrarr

)(minus

1f (x) a 1x x

xxxfminus+minus

)0( rarrx

945 Pokazati da je

⎪⎨⎧

0sin)(

⎪⎪⎪

leminus

)( b) 1)( ++= xxx

( )3x 1 x 0f (x) ax b0 x 1

+minus

=infinrarr n

n xxxf

⎜⎝⎛

51 Funkcija x

tački

xf 0=x

a)33 2 xxb

+minus

d) 3 sin xey =

56 Data je funkcija

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

gtminus

leleminusltltle+

2 xxxxx

⎜⎝⎛ +=

0(coscos 22

πltltle

minusltminuslt

minus bab

abtgatgba

ab b) )1(

1arcsin

minus= x

xxarctgx

69 Odrediti x

sinln1lim 20rarr

70 Odrediti xtg

xtgx 2

)(limπ

x sin xminus

=minus

⎢⎣⎡isin

31)( 23 minusminus=

)1(3)(

minus+

xxxf b) 21)(

minusminus

=xxxxf c)

3 xxyminus

= b) xexy1

)2( += c) 1ln

sincos2cos

sin1cos

e) intminus xx

dxarcsin1 2

f) int +minus dx

g) int +dx

a) int ++ 12 xxdx

c) int+ xx

dx32 2

d) intminus+ 224 xx

a) int dxx

23 b) int ++dx

c) int minus+ dxxx

3 1 d) int +

+ dxxxx

22 )1(13

87 a) int +minus+

b) ( )int+

231 xx

88 a) int+4 31 xx

dx b) int

+4 41 xdx

Ojlerove smjene

89 a) int++ 322 xxx

dx b) int

minus++ 21)1( xxxdx

dx22 cos5cossin4sin

d) int +dx

cos1sin

e) int dxxx4

=intminus

1 cos2xdx2

π +int

93 Izračunati 2 2

x 0 x 1I f (x)dx

3 x 1 x 2⎧ le le⎪= = ⎨

02sinsin56

x b) dx

xxarctg

0 1 c)

d 1 t dtdx

+int d)

cos t dtlim

= minusminus

1f (x)(x 2)

=minus

zašto je 3

b) int+infin

dx c) int

+infin

121)2( xx

542 +minus= xxy

xexey 22 minus=

xy ln=

tački 2π

23 3x 2x 3 25

minus= +

5 17 1 2 cos4 3

x xA dx B xx x

23x 2x 3 211

x+ minus=+

7 14 1 co5 6

x xA dx B xx x

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) Σ

rarrAxf

ax)(lim m ( )

x ah x

A r xminus

sin 3 x xdxπ

A DA DB DC

3 1 0 1A E

⎞⎟⎠

kxxx 21 hellip

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 sum

rarrAxf

ax)(lim m ( )

x ah x

2 2 2 221( sin cos ) 2

xx x x eminusminus

x xdxπ

minusint

minus+int

( )2 mb uminus =

5 2 0 1

⎞⎟⎠

x 0lim 1 x minus

rarr+ =

= = minus

infinminus= + α =

+ minusint int

C c= ( )i r1B b= i ( )j k1Z z=

Zatim krivu 2

alim 1n

rarrminusinfin

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠=

= = minus

minus minusint int

B b= ( )i k 1A a= i ( )j k1Y y=

= = minus+int int

minus = 1 z = 0

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

odrediti

= = minus+int int

9 16minus = z = 0

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

odrediti

51-60 = 6- tica 61-70 = 7-ica itd

( ) ( )12

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

4 POLINOMI 1-41 41

581 393-416 582 417-427

5583 428-437 584 438-442

6 KRIVINA 61 1-13

a) 112

xy 10logarcsin=

sgn x 0 x 01 x 0

)(xx aaxf

minus+= b)

minus+

=11ln)( c) 235 72)( xxxxf ++=

a) xxxxf 3sin312sin

21sin)( ++= b)

(x) 0 x R Q

minusminus

Rxxxf isin+= 1)( 2

arctgy =

konvergira ka 0

a) 1lim =infinrarr

na (agt0) b) 1

1212lim =

+minus

infinrarr n

na )1(1minus+

2cos12

+= b) n

21 minus

nbn nnnn

minus++minus

infinrarr nnnn

1110lim 2

infinrarr nn

minus+=infinrarr

lim b) nnnnn

minus=+minus

infinrarrx

29 Izračunati a) n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+infinrarr 1lim b)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+infinrarr c)

infinrarr⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

1011lim

a) Nnn

nxn isin+++= 1

211 divergira

b) 2 2

+ + minus minus +=

minus +

( )n m 0

0n n 1

0 1 n 0m m 1x

00 1 m

A1 sgn n m

aA x A x A A

+ + + ⎪⎪ lt⎪⎪⎩

32 Dokazati da

a) funkcije 1x sinx

rarr 1x cosx

=rarr x

01coslim0

=rarr x

33 Dokazati da

a) x 0

+= hArr + = + b) )0( rarrx

3 1lim1 x x 1rarr

1 minusminus

rarr xx

x c) 2

212limx

minusminus++rarr

529lim38 minus

minus+rarr x

e) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus++

infinrarrxxxx

=rarr x

) a) bxax

x sinsinlim

0rarr )0( neb b)

x sinsinlim

3coscoslimx

minusrarr

d) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

rarr xxxx 20 sin21

sin2sin1lim e) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

plusmninfinrarr xx

πsinlim

x cos1cos1lim

0 minusminus

rarr B=

x cos1cos1lim

0 minusminus

37 Odrediti a)x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

rarr1lim

0( ) 2

0coslim x

rarr d) ( )xx

0lim +rarr

e) ( ) xtg

xtgx 2

x +minusminus+

39 Izračunati x

shaxx 0limrarr

)(minus

1f (x) a 1x x

xxxfminus+minus

)0( rarrx

945 Pokazati da je

⎪⎨⎧

0sin)(

⎪⎪⎪

leminus

)( b) 1)( ++= xxx

( )3x 1 x 0f (x) ax b0 x 1

+minus

=infinrarr n

n xxxf

⎜⎝⎛

51 Funkcija x

tački

xf 0=x

a)33 2 xxb

+minus

d) 3 sin xey =

56 Data je funkcija

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

gtminus

leleminusltltle+

2 xxxxx

⎜⎝⎛ +=

0(coscos 22

πltltle

minusltminuslt

minus bab

abtgatgba

ab b) )1(

1arcsin

minus= x

xxarctgx

69 Odrediti x

sinln1lim 20rarr

70 Odrediti xtg

xtgx 2

)(limπ

x sin xminus

=minus

⎢⎣⎡isin

31)( 23 minusminus=

)1(3)(

minus+

xxxf b) 21)(

minusminus

=xxxxf c)

3 xxyminus

= b) xexy1

)2( += c) 1ln

sincos2cos

sin1cos

e) intminus xx

dxarcsin1 2

f) int +minus dx

g) int +dx

a) int ++ 12 xxdx

c) int+ xx

dx32 2

d) intminus+ 224 xx

a) int dxx

23 b) int ++dx

c) int minus+ dxxx

3 1 d) int +

+ dxxxx

22 )1(13

87 a) int +minus+

b) ( )int+

231 xx

88 a) int+4 31 xx

dx b) int

+4 41 xdx

Ojlerove smjene

89 a) int++ 322 xxx

dx b) int

minus++ 21)1( xxxdx

dx22 cos5cossin4sin

d) int +dx

cos1sin

e) int dxxx4

=intminus

1 cos2xdx2

π +int

93 Izračunati 2 2

x 0 x 1I f (x)dx

3 x 1 x 2⎧ le le⎪= = ⎨

02sinsin56

x b) dx

xxarctg

0 1 c)

d 1 t dtdx

+int d)

cos t dtlim

= minusminus

1f (x)(x 2)

=minus

zašto je 3

b) int+infin

dx c) int

+infin

121)2( xx

542 +minus= xxy

xexey 22 minus=

xy ln=

tački 2π

23 3x 2x 3 25

minus= +

5 17 1 2 cos4 3

x xA dx B xx x

23x 2x 3 211

x+ minus=+

7 14 1 co5 6

x xA dx B xx x

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) Σ

rarrAxf

ax)(lim m ( )

x ah x

A r xminus

sin 3 x xdxπ

A DA DB DC

3 1 0 1A E

⎞⎟⎠

kxxx 21 hellip

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 sum

rarrAxf

ax)(lim m ( )

x ah x

2 2 2 221( sin cos ) 2

xx x x eminusminus

x xdxπ

minusint

minus+int

( )2 mb uminus =

5 2 0 1

⎞⎟⎠

x 0lim 1 x minus

rarr+ =

= = minus

infinminus= + α =

+ minusint int

C c= ( )i r1B b= i ( )j k1Z z=

Zatim krivu 2

alim 1n

rarrminusinfin

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠=

= = minus

minus minusint int

B b= ( )i k 1A a= i ( )j k1Y y=

= = minus+int int

minus = 1 z = 0

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

odrediti

= = minus+int int

9 16minus = z = 0

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

odrediti

51-60 = 6- tica 61-70 = 7-ica itd

( ) ( )12

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

4 POLINOMI 1-41 41

581 393-416 582 417-427

5583 428-437 584 438-442

6 KRIVINA 61 1-13

a) 112

xy 10logarcsin=

sgn x 0 x 01 x 0

)(xx aaxf

minus+= b)

minus+

=11ln)( c) 235 72)( xxxxf ++=

a) xxxxf 3sin312sin

21sin)( ++= b)

(x) 0 x R Q

minusminus

Rxxxf isin+= 1)( 2

arctgy =

konvergira ka 0

a) 1lim =infinrarr

na (agt0) b) 1

1212lim =

+minus

infinrarr n

na )1(1minus+

2cos12

+= b) n

21 minus

nbn nnnn

minus++minus

infinrarr nnnn

1110lim 2

infinrarr nn

minus+=infinrarr

lim b) nnnnn

minus=+minus

infinrarrx

29 Izračunati a) n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+infinrarr 1lim b)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+infinrarr c)

infinrarr⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

1011lim

a) Nnn

nxn isin+++= 1

211 divergira

b) 2 2

+ + minus minus +=

minus +

( )n m 0

0n n 1

0 1 n 0m m 1x

00 1 m

A1 sgn n m

aA x A x A A

+ + + ⎪⎪ lt⎪⎪⎩

32 Dokazati da

a) funkcije 1x sinx

rarr 1x cosx

=rarr x

01coslim0

=rarr x

33 Dokazati da

a) x 0

+= hArr + = + b) )0( rarrx

3 1lim1 x x 1rarr

1 minusminus

rarr xx

x c) 2

212limx

minusminus++rarr

529lim38 minus

minus+rarr x

e) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus++

infinrarrxxxx

=rarr x

) a) bxax

x sinsinlim

0rarr )0( neb b)

x sinsinlim

3coscoslimx

minusrarr

d) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

rarr xxxx 20 sin21

sin2sin1lim e) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

plusmninfinrarr xx

πsinlim

x cos1cos1lim

0 minusminus

rarr B=

x cos1cos1lim

0 minusminus

37 Odrediti a)x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

rarr1lim

0( ) 2

0coslim x

rarr d) ( )xx

0lim +rarr

e) ( ) xtg

xtgx 2

x +minusminus+

39 Izračunati x

shaxx 0limrarr

)(minus

1f (x) a 1x x

xxxfminus+minus

)0( rarrx

945 Pokazati da je

⎪⎨⎧

0sin)(

⎪⎪⎪

leminus

)( b) 1)( ++= xxx

( )3x 1 x 0f (x) ax b0 x 1

+minus

=infinrarr n

n xxxf

⎜⎝⎛

51 Funkcija x

tački

xf 0=x

a)33 2 xxb

+minus

d) 3 sin xey =

56 Data je funkcija

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

gtminus

leleminusltltle+

2 xxxxx

⎜⎝⎛ +=

0(coscos 22

πltltle

minusltminuslt

minus bab

abtgatgba

ab b) )1(

1arcsin

minus= x

xxarctgx

69 Odrediti x

sinln1lim 20rarr

70 Odrediti xtg

xtgx 2

)(limπ

x sin xminus

=minus

⎢⎣⎡isin

31)( 23 minusminus=

)1(3)(

minus+

xxxf b) 21)(

minusminus

=xxxxf c)

3 xxyminus

= b) xexy1

)2( += c) 1ln

sincos2cos

sin1cos

e) intminus xx

dxarcsin1 2

f) int +minus dx

g) int +dx

a) int ++ 12 xxdx

c) int+ xx

dx32 2

d) intminus+ 224 xx

a) int dxx

23 b) int ++dx

c) int minus+ dxxx

3 1 d) int +

+ dxxxx

22 )1(13

87 a) int +minus+

b) ( )int+

231 xx

88 a) int+4 31 xx

dx b) int

+4 41 xdx

Ojlerove smjene

89 a) int++ 322 xxx

dx b) int

minus++ 21)1( xxxdx

dx22 cos5cossin4sin

d) int +dx

cos1sin

e) int dxxx4

=intminus

1 cos2xdx2

π +int

93 Izračunati 2 2

x 0 x 1I f (x)dx

3 x 1 x 2⎧ le le⎪= = ⎨

02sinsin56

x b) dx

xxarctg

0 1 c)

d 1 t dtdx

+int d)

cos t dtlim

= minusminus

1f (x)(x 2)

=minus

zašto je 3

b) int+infin

dx c) int

+infin

121)2( xx

542 +minus= xxy

xexey 22 minus=

xy ln=

tački 2π

23 3x 2x 3 25

minus= +

5 17 1 2 cos4 3

x xA dx B xx x

23x 2x 3 211

x+ minus=+

7 14 1 co5 6

x xA dx B xx x

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) Σ

rarrAxf

ax)(lim m ( )

x ah x

A r xminus

sin 3 x xdxπ

A DA DB DC

3 1 0 1A E

⎞⎟⎠

kxxx 21 hellip

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 sum

rarrAxf

ax)(lim m ( )

x ah x

2 2 2 221( sin cos ) 2

xx x x eminusminus

x xdxπ

minusint

minus+int

( )2 mb uminus =

5 2 0 1

⎞⎟⎠

x 0lim 1 x minus

rarr+ =

= = minus

infinminus= + α =

+ minusint int

C c= ( )i r1B b= i ( )j k1Z z=

Zatim krivu 2

alim 1n

rarrminusinfin

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠=

= = minus

minus minusint int

B b= ( )i k 1A a= i ( )j k1Y y=

= = minus+int int

minus = 1 z = 0

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

odrediti

= = minus+int int

9 16minus = z = 0

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

odrediti

51-60 = 6- tica 61-70 = 7-ica itd

( ) ( )12

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

5583 428-437 584 438-442

6 KRIVINA 61 1-13

a) 112

xy 10logarcsin=

sgn x 0 x 01 x 0

)(xx aaxf

minus+= b)

minus+

=11ln)( c) 235 72)( xxxxf ++=

a) xxxxf 3sin312sin

21sin)( ++= b)

(x) 0 x R Q

minusminus

Rxxxf isin+= 1)( 2

arctgy =

konvergira ka 0

a) 1lim =infinrarr

na (agt0) b) 1

1212lim =

+minus

infinrarr n

na )1(1minus+

2cos12

+= b) n

21 minus

nbn nnnn

minus++minus

infinrarr nnnn

1110lim 2

infinrarr nn

minus+=infinrarr

lim b) nnnnn

minus=+minus

infinrarrx

29 Izračunati a) n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+infinrarr 1lim b)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+infinrarr c)

infinrarr⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

1011lim

a) Nnn

nxn isin+++= 1

211 divergira

b) 2 2

+ + minus minus +=

minus +

( )n m 0

0n n 1

0 1 n 0m m 1x

00 1 m

A1 sgn n m

aA x A x A A

+ + + ⎪⎪ lt⎪⎪⎩

32 Dokazati da

a) funkcije 1x sinx

rarr 1x cosx

=rarr x

01coslim0

=rarr x

33 Dokazati da

a) x 0

+= hArr + = + b) )0( rarrx

3 1lim1 x x 1rarr

1 minusminus

rarr xx

x c) 2

212limx

minusminus++rarr

529lim38 minus

minus+rarr x

e) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus++

infinrarrxxxx

=rarr x

) a) bxax

x sinsinlim

0rarr )0( neb b)

x sinsinlim

3coscoslimx

minusrarr

d) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

rarr xxxx 20 sin21

sin2sin1lim e) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

plusmninfinrarr xx

πsinlim

x cos1cos1lim

0 minusminus

rarr B=

x cos1cos1lim

0 minusminus

37 Odrediti a)x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

rarr1lim

0( ) 2

0coslim x

rarr d) ( )xx

0lim +rarr

e) ( ) xtg

xtgx 2

x +minusminus+

39 Izračunati x

shaxx 0limrarr

)(minus

1f (x) a 1x x

xxxfminus+minus

)0( rarrx

945 Pokazati da je

⎪⎨⎧

0sin)(

⎪⎪⎪

leminus

)( b) 1)( ++= xxx

( )3x 1 x 0f (x) ax b0 x 1

+minus

=infinrarr n

n xxxf

⎜⎝⎛

51 Funkcija x

tački

xf 0=x

a)33 2 xxb

+minus

d) 3 sin xey =

56 Data je funkcija

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

gtminus

leleminusltltle+

2 xxxxx

⎜⎝⎛ +=

0(coscos 22

πltltle

minusltminuslt

minus bab

abtgatgba

ab b) )1(

1arcsin

minus= x

xxarctgx

69 Odrediti x

sinln1lim 20rarr

70 Odrediti xtg

xtgx 2

)(limπ

x sin xminus

=minus

⎢⎣⎡isin

31)( 23 minusminus=

)1(3)(

minus+

xxxf b) 21)(

minusminus

=xxxxf c)

3 xxyminus

= b) xexy1

)2( += c) 1ln

sincos2cos

sin1cos

e) intminus xx

dxarcsin1 2

f) int +minus dx

g) int +dx

a) int ++ 12 xxdx

c) int+ xx

dx32 2

d) intminus+ 224 xx

a) int dxx

23 b) int ++dx

c) int minus+ dxxx

3 1 d) int +

+ dxxxx

22 )1(13

87 a) int +minus+

b) ( )int+

231 xx

88 a) int+4 31 xx

dx b) int

+4 41 xdx

Ojlerove smjene

89 a) int++ 322 xxx

dx b) int

minus++ 21)1( xxxdx

dx22 cos5cossin4sin

d) int +dx

cos1sin

e) int dxxx4

=intminus

1 cos2xdx2

π +int

93 Izračunati 2 2

x 0 x 1I f (x)dx

3 x 1 x 2⎧ le le⎪= = ⎨

02sinsin56

x b) dx

xxarctg

0 1 c)

d 1 t dtdx

+int d)

cos t dtlim

= minusminus

1f (x)(x 2)

=minus

zašto je 3

b) int+infin

dx c) int

+infin

121)2( xx

542 +minus= xxy

xexey 22 minus=

xy ln=

tački 2π

23 3x 2x 3 25

minus= +

5 17 1 2 cos4 3

x xA dx B xx x

23x 2x 3 211

x+ minus=+

7 14 1 co5 6

x xA dx B xx x

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) Σ

rarrAxf

ax)(lim m ( )

x ah x

A r xminus

sin 3 x xdxπ

A DA DB DC

3 1 0 1A E

⎞⎟⎠

kxxx 21 hellip

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 sum

rarrAxf

ax)(lim m ( )

x ah x

2 2 2 221( sin cos ) 2

xx x x eminusminus

x xdxπ

minusint

minus+int

( )2 mb uminus =

5 2 0 1

⎞⎟⎠

x 0lim 1 x minus

rarr+ =

= = minus

infinminus= + α =

+ minusint int

C c= ( )i r1B b= i ( )j k1Z z=

Zatim krivu 2

alim 1n

rarrminusinfin

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠=

= = minus

minus minusint int

B b= ( )i k 1A a= i ( )j k1Y y=

= = minus+int int

minus = 1 z = 0

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

odrediti

= = minus+int int

9 16minus = z = 0

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

odrediti

51-60 = 6- tica 61-70 = 7-ica itd

( ) ( )12

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

a) 112

xy 10logarcsin=

sgn x 0 x 01 x 0

)(xx aaxf

minus+= b)

minus+

=11ln)( c) 235 72)( xxxxf ++=

a) xxxxf 3sin312sin

21sin)( ++= b)

(x) 0 x R Q

minusminus

Rxxxf isin+= 1)( 2

arctgy =

konvergira ka 0

a) 1lim =infinrarr

na (agt0) b) 1

1212lim =

+minus

infinrarr n

na )1(1minus+

2cos12

+= b) n

21 minus

nbn nnnn

minus++minus

infinrarr nnnn

1110lim 2

infinrarr nn

minus+=infinrarr

lim b) nnnnn

minus=+minus

infinrarrx

29 Izračunati a) n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+infinrarr 1lim b)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+infinrarr c)

infinrarr⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

1011lim

a) Nnn

nxn isin+++= 1

211 divergira

b) 2 2

+ + minus minus +=

minus +

( )n m 0

0n n 1

0 1 n 0m m 1x

00 1 m

A1 sgn n m

aA x A x A A

+ + + ⎪⎪ lt⎪⎪⎩

32 Dokazati da

a) funkcije 1x sinx

rarr 1x cosx

=rarr x

01coslim0

=rarr x

33 Dokazati da

a) x 0

+= hArr + = + b) )0( rarrx

3 1lim1 x x 1rarr

1 minusminus

rarr xx

x c) 2

212limx

minusminus++rarr

529lim38 minus

minus+rarr x

e) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus++

infinrarrxxxx

=rarr x

) a) bxax

x sinsinlim

0rarr )0( neb b)

x sinsinlim

3coscoslimx

minusrarr

d) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

rarr xxxx 20 sin21

sin2sin1lim e) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

plusmninfinrarr xx

πsinlim

x cos1cos1lim

0 minusminus

rarr B=

x cos1cos1lim

0 minusminus

37 Odrediti a)x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

rarr1lim

0( ) 2

0coslim x

rarr d) ( )xx

0lim +rarr

e) ( ) xtg

xtgx 2

x +minusminus+

39 Izračunati x

shaxx 0limrarr

)(minus

1f (x) a 1x x

xxxfminus+minus

)0( rarrx

945 Pokazati da je

⎪⎨⎧

0sin)(

⎪⎪⎪

leminus

)( b) 1)( ++= xxx

( )3x 1 x 0f (x) ax b0 x 1

+minus

=infinrarr n

n xxxf

⎜⎝⎛

51 Funkcija x

tački

xf 0=x

a)33 2 xxb

+minus

d) 3 sin xey =

56 Data je funkcija

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

gtminus

leleminusltltle+

2 xxxxx

⎜⎝⎛ +=

0(coscos 22

πltltle

minusltminuslt

minus bab

abtgatgba

ab b) )1(

1arcsin

minus= x

xxarctgx

69 Odrediti x

sinln1lim 20rarr

70 Odrediti xtg

xtgx 2

)(limπ

x sin xminus

=minus

⎢⎣⎡isin

31)( 23 minusminus=

)1(3)(

minus+

xxxf b) 21)(

minusminus

=xxxxf c)

3 xxyminus

= b) xexy1

)2( += c) 1ln

sincos2cos

sin1cos

e) intminus xx

dxarcsin1 2

f) int +minus dx

g) int +dx

a) int ++ 12 xxdx

c) int+ xx

dx32 2

d) intminus+ 224 xx

a) int dxx

23 b) int ++dx

c) int minus+ dxxx

3 1 d) int +

+ dxxxx

22 )1(13

87 a) int +minus+

b) ( )int+

231 xx

88 a) int+4 31 xx

dx b) int

+4 41 xdx

Ojlerove smjene

89 a) int++ 322 xxx

dx b) int

minus++ 21)1( xxxdx

dx22 cos5cossin4sin

d) int +dx

cos1sin

e) int dxxx4

=intminus

1 cos2xdx2

π +int

93 Izračunati 2 2

x 0 x 1I f (x)dx

3 x 1 x 2⎧ le le⎪= = ⎨

02sinsin56

x b) dx

xxarctg

0 1 c)

d 1 t dtdx

+int d)

cos t dtlim

= minusminus

1f (x)(x 2)

=minus

zašto je 3

b) int+infin

dx c) int

+infin

121)2( xx

542 +minus= xxy

xexey 22 minus=

xy ln=

tački 2π

23 3x 2x 3 25

minus= +

5 17 1 2 cos4 3

x xA dx B xx x

23x 2x 3 211

x+ minus=+

7 14 1 co5 6

x xA dx B xx x

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) Σ

rarrAxf

ax)(lim m ( )

x ah x

A r xminus

sin 3 x xdxπ

A DA DB DC

3 1 0 1A E

⎞⎟⎠

kxxx 21 hellip

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 sum

rarrAxf

ax)(lim m ( )

x ah x

2 2 2 221( sin cos ) 2

xx x x eminusminus

x xdxπ

minusint

minus+int

( )2 mb uminus =

5 2 0 1

⎞⎟⎠

x 0lim 1 x minus

rarr+ =

= = minus

infinminus= + α =

+ minusint int

C c= ( )i r1B b= i ( )j k1Z z=

Zatim krivu 2

alim 1n

rarrminusinfin

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠=

= = minus

minus minusint int

B b= ( )i k 1A a= i ( )j k1Y y=

= = minus+int int

minus = 1 z = 0

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

odrediti

= = minus+int int

9 16minus = z = 0

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

odrediti

51-60 = 6- tica 61-70 = 7-ica itd

( ) ( )12

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

arctgy =

konvergira ka 0

a) 1lim =infinrarr

na (agt0) b) 1

1212lim =

+minus

infinrarr n

na )1(1minus+

2cos12

+= b) n

21 minus

nbn nnnn

minus++minus

infinrarr nnnn

1110lim 2

infinrarr nn

minus+=infinrarr

lim b) nnnnn

minus=+minus

infinrarrx

29 Izračunati a) n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+infinrarr 1lim b)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+infinrarr c)

infinrarr⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

1011lim

a) Nnn

nxn isin+++= 1

211 divergira

b) 2 2

+ + minus minus +=

minus +

( )n m 0

0n n 1

0 1 n 0m m 1x

00 1 m

A1 sgn n m

aA x A x A A

+ + + ⎪⎪ lt⎪⎪⎩

32 Dokazati da

a) funkcije 1x sinx

rarr 1x cosx

=rarr x

01coslim0

=rarr x

33 Dokazati da

a) x 0

+= hArr + = + b) )0( rarrx

3 1lim1 x x 1rarr

1 minusminus

rarr xx

x c) 2

212limx

minusminus++rarr

529lim38 minus

minus+rarr x

e) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus++

infinrarrxxxx

=rarr x

) a) bxax

x sinsinlim

0rarr )0( neb b)

x sinsinlim

3coscoslimx

minusrarr

d) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

rarr xxxx 20 sin21

sin2sin1lim e) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

plusmninfinrarr xx

πsinlim

x cos1cos1lim

0 minusminus

rarr B=

x cos1cos1lim

0 minusminus

37 Odrediti a)x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

rarr1lim

0( ) 2

0coslim x

rarr d) ( )xx

0lim +rarr

e) ( ) xtg

xtgx 2

x +minusminus+

39 Izračunati x

shaxx 0limrarr

)(minus

1f (x) a 1x x

xxxfminus+minus

)0( rarrx

945 Pokazati da je

⎪⎨⎧

0sin)(

⎪⎪⎪

leminus

)( b) 1)( ++= xxx

( )3x 1 x 0f (x) ax b0 x 1

+minus

=infinrarr n

n xxxf

⎜⎝⎛

51 Funkcija x

tački

xf 0=x

a)33 2 xxb

+minus

d) 3 sin xey =

56 Data je funkcija

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

gtminus

leleminusltltle+

2 xxxxx

⎜⎝⎛ +=

0(coscos 22

πltltle

minusltminuslt

minus bab

abtgatgba

ab b) )1(

1arcsin

minus= x

xxarctgx

69 Odrediti x

sinln1lim 20rarr

70 Odrediti xtg

xtgx 2

)(limπ

x sin xminus

=minus

⎢⎣⎡isin

31)( 23 minusminus=

)1(3)(

minus+

xxxf b) 21)(

minusminus

=xxxxf c)

3 xxyminus

= b) xexy1

)2( += c) 1ln

sincos2cos

sin1cos

e) intminus xx

dxarcsin1 2

f) int +minus dx

g) int +dx

a) int ++ 12 xxdx

c) int+ xx

dx32 2

d) intminus+ 224 xx

a) int dxx

23 b) int ++dx

c) int minus+ dxxx

3 1 d) int +

+ dxxxx

22 )1(13

87 a) int +minus+

b) ( )int+

231 xx

88 a) int+4 31 xx

dx b) int

+4 41 xdx

Ojlerove smjene

89 a) int++ 322 xxx

dx b) int

minus++ 21)1( xxxdx

dx22 cos5cossin4sin

d) int +dx

cos1sin

e) int dxxx4

=intminus

1 cos2xdx2

π +int

93 Izračunati 2 2

x 0 x 1I f (x)dx

3 x 1 x 2⎧ le le⎪= = ⎨

02sinsin56

x b) dx

xxarctg

0 1 c)

d 1 t dtdx

+int d)

cos t dtlim

= minusminus

1f (x)(x 2)

=minus

zašto je 3

b) int+infin

dx c) int

+infin

121)2( xx

542 +minus= xxy

xexey 22 minus=

xy ln=

tački 2π

23 3x 2x 3 25

minus= +

5 17 1 2 cos4 3

x xA dx B xx x

23x 2x 3 211

x+ minus=+

7 14 1 co5 6

x xA dx B xx x

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) Σ

rarrAxf

ax)(lim m ( )

x ah x

A r xminus

sin 3 x xdxπ

A DA DB DC

3 1 0 1A E

⎞⎟⎠

kxxx 21 hellip

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 sum

rarrAxf

ax)(lim m ( )

x ah x

2 2 2 221( sin cos ) 2

xx x x eminusminus

x xdxπ

minusint

minus+int

( )2 mb uminus =

5 2 0 1

⎞⎟⎠

x 0lim 1 x minus

rarr+ =

= = minus

infinminus= + α =

+ minusint int

C c= ( )i r1B b= i ( )j k1Z z=

Zatim krivu 2

alim 1n

rarrminusinfin

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠=

= = minus

minus minusint int

B b= ( )i k 1A a= i ( )j k1Y y=

= = minus+int int

minus = 1 z = 0

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

odrediti

= = minus+int int

9 16minus = z = 0

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

odrediti

51-60 = 6- tica 61-70 = 7-ica itd

( ) ( )12

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

( )n m 0

0n n 1

0 1 n 0m m 1x

00 1 m

A1 sgn n m

aA x A x A A

+ + + ⎪⎪ lt⎪⎪⎩

32 Dokazati da

a) funkcije 1x sinx

rarr 1x cosx

=rarr x

01coslim0

=rarr x

33 Dokazati da

a) x 0

+= hArr + = + b) )0( rarrx

3 1lim1 x x 1rarr

1 minusminus

rarr xx

x c) 2

212limx

minusminus++rarr

529lim38 minus

minus+rarr x

e) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus++

infinrarrxxxx

=rarr x

) a) bxax

x sinsinlim

0rarr )0( neb b)

x sinsinlim

3coscoslimx

minusrarr

d) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ minus

rarr xxxx 20 sin21

sin2sin1lim e) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

plusmninfinrarr xx

πsinlim

x cos1cos1lim

0 minusminus

rarr B=

x cos1cos1lim

0 minusminus

37 Odrediti a)x

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

rarr1lim

0( ) 2

0coslim x

rarr d) ( )xx

0lim +rarr

e) ( ) xtg

xtgx 2

x +minusminus+

39 Izračunati x

shaxx 0limrarr

)(minus

1f (x) a 1x x

xxxfminus+minus

)0( rarrx

945 Pokazati da je

⎪⎨⎧

0sin)(

⎪⎪⎪

leminus

)( b) 1)( ++= xxx

( )3x 1 x 0f (x) ax b0 x 1

+minus

=infinrarr n

n xxxf

⎜⎝⎛

51 Funkcija x

tački

xf 0=x

a)33 2 xxb

+minus

d) 3 sin xey =

56 Data je funkcija

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

gtminus

leleminusltltle+

2 xxxxx

⎜⎝⎛ +=

0(coscos 22

πltltle

minusltminuslt

minus bab

abtgatgba

ab b) )1(

1arcsin

minus= x

xxarctgx

69 Odrediti x

sinln1lim 20rarr

70 Odrediti xtg

xtgx 2

)(limπ

x sin xminus

=minus

⎢⎣⎡isin

31)( 23 minusminus=

)1(3)(

minus+

xxxf b) 21)(

minusminus

=xxxxf c)

3 xxyminus

= b) xexy1

)2( += c) 1ln

sincos2cos

sin1cos

e) intminus xx

dxarcsin1 2

f) int +minus dx

g) int +dx

a) int ++ 12 xxdx

c) int+ xx

dx32 2

d) intminus+ 224 xx

a) int dxx

23 b) int ++dx

c) int minus+ dxxx

3 1 d) int +

+ dxxxx

22 )1(13

87 a) int +minus+

b) ( )int+

231 xx

88 a) int+4 31 xx

dx b) int

+4 41 xdx

Ojlerove smjene

89 a) int++ 322 xxx

dx b) int

minus++ 21)1( xxxdx

dx22 cos5cossin4sin

d) int +dx

cos1sin

e) int dxxx4

=intminus

1 cos2xdx2

π +int

93 Izračunati 2 2

x 0 x 1I f (x)dx

3 x 1 x 2⎧ le le⎪= = ⎨

02sinsin56

x b) dx

xxarctg

0 1 c)

d 1 t dtdx

+int d)

cos t dtlim

= minusminus

1f (x)(x 2)

=minus

zašto je 3

b) int+infin

dx c) int

+infin

121)2( xx

542 +minus= xxy

xexey 22 minus=

xy ln=

tački 2π

23 3x 2x 3 25

minus= +

5 17 1 2 cos4 3

x xA dx B xx x

23x 2x 3 211

x+ minus=+

7 14 1 co5 6

x xA dx B xx x

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) Σ

rarrAxf

ax)(lim m ( )

x ah x

A r xminus

sin 3 x xdxπ

A DA DB DC

3 1 0 1A E

⎞⎟⎠

kxxx 21 hellip

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 sum

rarrAxf

ax)(lim m ( )

x ah x

2 2 2 221( sin cos ) 2

xx x x eminusminus

x xdxπ

minusint

minus+int

( )2 mb uminus =

5 2 0 1

⎞⎟⎠

x 0lim 1 x minus

rarr+ =

= = minus

infinminus= + α =

+ minusint int

C c= ( )i r1B b= i ( )j k1Z z=

Zatim krivu 2

alim 1n

rarrminusinfin

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠=

= = minus

minus minusint int

B b= ( )i k 1A a= i ( )j k1Y y=

= = minus+int int

minus = 1 z = 0

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

odrediti

= = minus+int int

9 16minus = z = 0

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

odrediti

51-60 = 6- tica 61-70 = 7-ica itd

( ) ( )12

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

945 Pokazati da je

⎪⎨⎧

0sin)(

⎪⎪⎪

leminus

)( b) 1)( ++= xxx

( )3x 1 x 0f (x) ax b0 x 1

+minus

=infinrarr n

n xxxf

⎜⎝⎛

51 Funkcija x

tački

xf 0=x

a)33 2 xxb

+minus

d) 3 sin xey =

56 Data je funkcija

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

gtminus

leleminusltltle+

2 xxxxx

⎜⎝⎛ +=

0(coscos 22

πltltle

minusltminuslt

minus bab

abtgatgba

ab b) )1(

1arcsin

minus= x

xxarctgx

69 Odrediti x

sinln1lim 20rarr

70 Odrediti xtg

xtgx 2

)(limπ

x sin xminus

=minus

⎢⎣⎡isin

31)( 23 minusminus=

)1(3)(

minus+

xxxf b) 21)(

minusminus

=xxxxf c)

3 xxyminus

= b) xexy1

)2( += c) 1ln

sincos2cos

sin1cos

e) intminus xx

dxarcsin1 2

f) int +minus dx

g) int +dx

a) int ++ 12 xxdx

c) int+ xx

dx32 2

d) intminus+ 224 xx

a) int dxx

23 b) int ++dx

c) int minus+ dxxx

3 1 d) int +

+ dxxxx

22 )1(13

87 a) int +minus+

b) ( )int+

231 xx

88 a) int+4 31 xx

dx b) int

+4 41 xdx

Ojlerove smjene

89 a) int++ 322 xxx

dx b) int

minus++ 21)1( xxxdx

dx22 cos5cossin4sin

d) int +dx

cos1sin

e) int dxxx4

=intminus

1 cos2xdx2

π +int

93 Izračunati 2 2

x 0 x 1I f (x)dx

3 x 1 x 2⎧ le le⎪= = ⎨

02sinsin56

x b) dx

xxarctg

0 1 c)

d 1 t dtdx

+int d)

cos t dtlim

= minusminus

1f (x)(x 2)

=minus

zašto je 3

b) int+infin

dx c) int

+infin

121)2( xx

542 +minus= xxy

xexey 22 minus=

xy ln=

tački 2π

23 3x 2x 3 25

minus= +

5 17 1 2 cos4 3

x xA dx B xx x

23x 2x 3 211

x+ minus=+

7 14 1 co5 6

x xA dx B xx x

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) Σ

rarrAxf

ax)(lim m ( )

x ah x

A r xminus

sin 3 x xdxπ

A DA DB DC

3 1 0 1A E

⎞⎟⎠

kxxx 21 hellip

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 sum

rarrAxf

ax)(lim m ( )

x ah x

2 2 2 221( sin cos ) 2

xx x x eminusminus

x xdxπ

minusint

minus+int

( )2 mb uminus =

5 2 0 1

⎞⎟⎠

x 0lim 1 x minus

rarr+ =

= = minus

infinminus= + α =

+ minusint int

C c= ( )i r1B b= i ( )j k1Z z=

Zatim krivu 2

alim 1n

rarrminusinfin

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠=

= = minus

minus minusint int

B b= ( )i k 1A a= i ( )j k1Y y=

= = minus+int int

minus = 1 z = 0

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

odrediti

= = minus+int int

9 16minus = z = 0

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

odrediti

51-60 = 6- tica 61-70 = 7-ica itd

( ) ( )12

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

⎜⎝⎛ +=

0(coscos 22

πltltle

minusltminuslt

minus bab

abtgatgba

ab b) )1(

1arcsin

minus= x

xxarctgx

69 Odrediti x

sinln1lim 20rarr

70 Odrediti xtg

xtgx 2

)(limπ

x sin xminus

=minus

⎢⎣⎡isin

31)( 23 minusminus=

)1(3)(

minus+

xxxf b) 21)(

minusminus

=xxxxf c)

3 xxyminus

= b) xexy1

)2( += c) 1ln

sincos2cos

sin1cos

e) intminus xx

dxarcsin1 2

f) int +minus dx

g) int +dx

a) int ++ 12 xxdx

c) int+ xx

dx32 2

d) intminus+ 224 xx

a) int dxx

23 b) int ++dx

c) int minus+ dxxx

3 1 d) int +

+ dxxxx

22 )1(13

87 a) int +minus+

b) ( )int+

231 xx

88 a) int+4 31 xx

dx b) int

+4 41 xdx

Ojlerove smjene

89 a) int++ 322 xxx

dx b) int

minus++ 21)1( xxxdx

dx22 cos5cossin4sin

d) int +dx

cos1sin

e) int dxxx4

=intminus

1 cos2xdx2

π +int

93 Izračunati 2 2

x 0 x 1I f (x)dx

3 x 1 x 2⎧ le le⎪= = ⎨

02sinsin56

x b) dx

xxarctg

0 1 c)

d 1 t dtdx

+int d)

cos t dtlim

= minusminus

1f (x)(x 2)

=minus

zašto je 3

b) int+infin

dx c) int

+infin

121)2( xx

542 +minus= xxy

xexey 22 minus=

xy ln=

tački 2π

23 3x 2x 3 25

minus= +

5 17 1 2 cos4 3

x xA dx B xx x

23x 2x 3 211

x+ minus=+

7 14 1 co5 6

x xA dx B xx x

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) Σ

rarrAxf

ax)(lim m ( )

x ah x

A r xminus

sin 3 x xdxπ

A DA DB DC

3 1 0 1A E

⎞⎟⎠

kxxx 21 hellip

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 sum

rarrAxf

ax)(lim m ( )

x ah x

2 2 2 221( sin cos ) 2

xx x x eminusminus

x xdxπ

minusint

minus+int

( )2 mb uminus =

5 2 0 1

⎞⎟⎠

x 0lim 1 x minus

rarr+ =

= = minus

infinminus= + α =

+ minusint int

C c= ( )i r1B b= i ( )j k1Z z=

Zatim krivu 2

alim 1n

rarrminusinfin

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠=

= = minus

minus minusint int

B b= ( )i k 1A a= i ( )j k1Y y=

= = minus+int int

minus = 1 z = 0

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

odrediti

= = minus+int int

9 16minus = z = 0

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

odrediti

51-60 = 6- tica 61-70 = 7-ica itd

( ) ( )12

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

3 xxyminus

= b) xexy1

)2( += c) 1ln

sincos2cos

sin1cos

e) intminus xx

dxarcsin1 2

f) int +minus dx

g) int +dx

a) int ++ 12 xxdx

c) int+ xx

dx32 2

d) intminus+ 224 xx

a) int dxx

23 b) int ++dx

c) int minus+ dxxx

3 1 d) int +

+ dxxxx

22 )1(13

87 a) int +minus+

b) ( )int+

231 xx

88 a) int+4 31 xx

dx b) int

+4 41 xdx

Ojlerove smjene

89 a) int++ 322 xxx

dx b) int

minus++ 21)1( xxxdx

dx22 cos5cossin4sin

d) int +dx

cos1sin

e) int dxxx4

=intminus

1 cos2xdx2

π +int

93 Izračunati 2 2

x 0 x 1I f (x)dx

3 x 1 x 2⎧ le le⎪= = ⎨

02sinsin56

x b) dx

xxarctg

0 1 c)

d 1 t dtdx

+int d)

cos t dtlim

= minusminus

1f (x)(x 2)

=minus

zašto je 3

b) int+infin

dx c) int

+infin

121)2( xx

542 +minus= xxy

xexey 22 minus=

xy ln=

tački 2π

23 3x 2x 3 25

minus= +

5 17 1 2 cos4 3

x xA dx B xx x

23x 2x 3 211

x+ minus=+

7 14 1 co5 6

x xA dx B xx x

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) Σ

rarrAxf

ax)(lim m ( )

x ah x

A r xminus

sin 3 x xdxπ

A DA DB DC

3 1 0 1A E

⎞⎟⎠

kxxx 21 hellip

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 sum

rarrAxf

ax)(lim m ( )

x ah x

2 2 2 221( sin cos ) 2

xx x x eminusminus

x xdxπ

minusint

minus+int

( )2 mb uminus =

5 2 0 1

⎞⎟⎠

x 0lim 1 x minus

rarr+ =

= = minus

infinminus= + α =

+ minusint int

C c= ( )i r1B b= i ( )j k1Z z=

Zatim krivu 2

alim 1n

rarrminusinfin

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠=

= = minus

minus minusint int

B b= ( )i k 1A a= i ( )j k1Y y=

= = minus+int int

minus = 1 z = 0

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

odrediti

= = minus+int int

9 16minus = z = 0

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

odrediti

51-60 = 6- tica 61-70 = 7-ica itd

( ) ( )12

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

= minusminus

1f (x)(x 2)

=minus

zašto je 3

b) int+infin

dx c) int

+infin

121)2( xx

542 +minus= xxy

xexey 22 minus=

xy ln=

tački 2π

23 3x 2x 3 25

minus= +

5 17 1 2 cos4 3

x xA dx B xx x

23x 2x 3 211

x+ minus=+

7 14 1 co5 6

x xA dx B xx x

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) Σ

rarrAxf

ax)(lim m ( )

x ah x

A r xminus

sin 3 x xdxπ

A DA DB DC

3 1 0 1A E

⎞⎟⎠

kxxx 21 hellip

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 sum

rarrAxf

ax)(lim m ( )

x ah x

2 2 2 221( sin cos ) 2

xx x x eminusminus

x xdxπ

minusint

minus+int

( )2 mb uminus =

5 2 0 1

⎞⎟⎠

x 0lim 1 x minus

rarr+ =

= = minus

infinminus= + α =

+ minusint int

C c= ( )i r1B b= i ( )j k1Z z=

Zatim krivu 2

alim 1n

rarrminusinfin

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠=

= = minus

minus minusint int

B b= ( )i k 1A a= i ( )j k1Y y=

= = minus+int int

minus = 1 z = 0

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

odrediti

= = minus+int int

9 16minus = z = 0

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

odrediti

51-60 = 6- tica 61-70 = 7-ica itd

( ) ( )12

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

23 3x 2x 3 25

minus= +

5 17 1 2 cos4 3

x xA dx B xx x

23x 2x 3 211

x+ minus=+

7 14 1 co5 6

x xA dx B xx x

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) Σ

rarrAxf

ax)(lim m ( )

x ah x

A r xminus

sin 3 x xdxπ

A DA DB DC

3 1 0 1A E

⎞⎟⎠

kxxx 21 hellip

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 sum

rarrAxf

ax)(lim m ( )

x ah x

2 2 2 221( sin cos ) 2

xx x x eminusminus

x xdxπ

minusint

minus+int

( )2 mb uminus =

5 2 0 1

⎞⎟⎠

x 0lim 1 x minus

rarr+ =

= = minus

infinminus= + α =

+ minusint int

C c= ( )i r1B b= i ( )j k1Z z=

Zatim krivu 2

alim 1n

rarrminusinfin

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠=

= = minus

minus minusint int

B b= ( )i k 1A a= i ( )j k1Y y=

= = minus+int int

minus = 1 z = 0

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

odrediti

= = minus+int int

9 16minus = z = 0

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

odrediti

51-60 = 6- tica 61-70 = 7-ica itd

( ) ( )12

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

23x 2x 3 211

x+ minus=+

7 14 1 co5 6

x xA dx B xx x

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) Σ

rarrAxf

ax)(lim m ( )

x ah x

A r xminus

sin 3 x xdxπ

A DA DB DC

3 1 0 1A E

⎞⎟⎠

kxxx 21 hellip

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 sum

rarrAxf

ax)(lim m ( )

x ah x

2 2 2 221( sin cos ) 2

xx x x eminusminus

x xdxπ

minusint

minus+int

( )2 mb uminus =

5 2 0 1

⎞⎟⎠

x 0lim 1 x minus

rarr+ =

= = minus

infinminus= + α =

+ minusint int

C c= ( )i r1B b= i ( )j k1Z z=

Zatim krivu 2

alim 1n

rarrminusinfin

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠=

= = minus

minus minusint int

B b= ( )i k 1A a= i ( )j k1Y y=

= = minus+int int

minus = 1 z = 0

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

odrediti

= = minus+int int

9 16minus = z = 0

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

odrediti

51-60 = 6- tica 61-70 = 7-ica itd

( ) ( )12

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) Σ

rarrAxf

ax)(lim m ( )

x ah x

A r xminus

sin 3 x xdxπ

A DA DB DC

3 1 0 1A E

⎞⎟⎠

kxxx 21 hellip

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 sum

rarrAxf

ax)(lim m ( )

x ah x

2 2 2 221( sin cos ) 2

xx x x eminusminus

x xdxπ

minusint

minus+int

( )2 mb uminus =

5 2 0 1

⎞⎟⎠

x 0lim 1 x minus

rarr+ =

= = minus

infinminus= + α =

+ minusint int

C c= ( )i r1B b= i ( )j k1Z z=

Zatim krivu 2

alim 1n

rarrminusinfin

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠=

= = minus

minus minusint int

B b= ( )i k 1A a= i ( )j k1Y y=

= = minus+int int

minus = 1 z = 0

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

odrediti

= = minus+int int

9 16minus = z = 0

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

odrediti

51-60 = 6- tica 61-70 = 7-ica itd

( ) ( )12

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 sum

rarrAxf

ax)(lim m ( )

x ah x

2 2 2 221( sin cos ) 2

xx x x eminusminus

x xdxπ

minusint

minus+int

( )2 mb uminus =

5 2 0 1

⎞⎟⎠

x 0lim 1 x minus

rarr+ =

= = minus

infinminus= + α =

+ minusint int

C c= ( )i r1B b= i ( )j k1Z z=

Zatim krivu 2

alim 1n

rarrminusinfin

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠=

= = minus

minus minusint int

B b= ( )i k 1A a= i ( )j k1Y y=

= = minus+int int

minus = 1 z = 0

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

odrediti

= = minus+int int

9 16minus = z = 0

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

odrediti

51-60 = 6- tica 61-70 = 7-ica itd

( ) ( )12

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

x 0lim 1 x minus

rarr+ =

= = minus

infinminus= + α =

+ minusint int

C c= ( )i r1B b= i ( )j k1Z z=

Zatim krivu 2

alim 1n

rarrminusinfin

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠=

= = minus

minus minusint int

B b= ( )i k 1A a= i ( )j k1Y y=

= = minus+int int

minus = 1 z = 0

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

odrediti

= = minus+int int

9 16minus = z = 0

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

odrediti

51-60 = 6- tica 61-70 = 7-ica itd

( ) ( )12

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

alim 1n

rarrminusinfin

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠=

= = minus

minus minusint int

B b= ( )i k 1A a= i ( )j k1Y y=

= = minus+int int

minus = 1 z = 0

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

odrediti

= = minus+int int

9 16minus = z = 0

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

odrediti

51-60 = 6- tica 61-70 = 7-ica itd

( ) ( )12

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

= = minus+int int

minus = 1 z = 0

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

odrediti

= = minus+int int

9 16minus = z = 0

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

odrediti

51-60 = 6- tica 61-70 = 7-ica itd

( ) ( )12

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

= = minus+int int

9 16minus = z = 0

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

odrediti

51-60 = 6- tica 61-70 = 7-ica itd

( ) ( )12

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

51-60 = 6- tica 61-70 = 7-ica itd

( ) ( )12

1 2 32 23 1 2 3

= = =minus +

int int int

2xy xx 1

= +minus

Documents

2. parcijalni koji se polaže u junu na kraju II semestra) · PDF file1 MATEMATIKE I-ANALIZA- - OSNOVNA PITANJA I ZADACI ZA ISPIT - 2. parcijalni koji se polaže u junu na kraju II