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4º de E.S.O. I.E.S. Teobaldo Power

4º de E.S.O. Aplicadas

1 Departamento de Matemáticas

I.E.S. Teobaldo Power

REPASO DE OPERACIONES CON FRACCIONES 1.- Simplificar las siguientes fracciones:

400

120)

320

64)

180

80) cba

2.- Pasar los siguientes números fraccionarios a su forma decimal:

7

15)

9

7)

1000

120)

10

27) dcba

3.- En una clase de 30 alumnos, 16 estudian alemán como segundo idioma y 14 francés. ¿Qué fracción del grupo representan los estudiantes de alemán? ¿Y los estudiantes de francés? 4.- Realizar las operaciones indicadas:

6

2·

2

3

2

1)

27

17

9

5

3

1)

36

7

12

9

4

3)

2

11

5

45

6

7)

7

53

2

1)

edcba

5.- Para hacer una mezcla de pintura se echan 3

2 de litro de color amarillo,

5

3 de litro de rojo,

6

2 de litro

de azul y 10

4 de blanco. ¿Cuántos litros de pintura tiene la mezcla?

6.- Realizar las siguientes operaciones:

3

2·

4

1·3:

5

1)4:

9

7)

3

10:

9

4)

14

3·

2

9·

5

1)4·

7

6·

3

2)

edcba

7.- Una lata de refresco tiene una capacidad de un tercio de litro. En una fiesta se han consumido 60 latas. ¿Cuántos litros de refresco se han consumido? 8.- Realizar las siguientes operaciones con potencias:

3232532

3

1)

5

2)

5

3:

5

3)

5

2)

3

1)

edcba

9.- Efectuar las siguientes operaciones:

22

2

2

2

3

2:

2

1·

3

2

5

1)

3

1

2

1

4

1·

3

72)

5

2

2

3

5

1

3

2

)

4

3

2

1:

10

3

5

6·

6

7

9

8)

8

7·

2

1

3

1:

5

2)

5

2

3

7

2

3

6

1)

fed

cba

10.- Traducir a operaciones con fracciones las expresiones siguientes, y luego calcular el resultado lo más simplificado posible:

a) A un tercio se le resta el producto de tres quintos por un noveno. b) Sumarle al producto de dos tercios por menos un quinto el producto de tres por un cuarto. c) Elevar al cuadrado la suma de dos más menos un medio y dividir el resultado por la suma de dos

más tres medios. 11.- Ordenar las siguientes fracciones de menor a mayor y situarlas en la recta numérica:

4

7,

3

7,

2

7)

3

4,

2

5,

3

2)

6

3,

4

5,

6

4)

10

4,

15

4,

5

4)

15

11,

5

3,

9

1)

10

7,

5

4,

4

3) fedcba

12.- Ordenar de menor a mayor los siguientes números decimales: 631'2,36'2,6'2,63'2,63'2




REPASANDO DECIMALES Un número decimal puede tener un número limitado o ilimitado de cifras decimales, recordemos que:

Si el número de cifras decimales es limitado o periódico, el número es racional. Ejemplo: 3’4, 3’444444..........

Si el número de cifras decimales es ilimitado y no periódico, el número es irracional. Ejemplo: 3’456791478543122....

NÚMEROS PERIÓDICOS:

Periódico puro: Si comienza el período inmediatamente después de la “coma”. Ejemplo: 3’21212121...

Periódico mixto: Si existe alguna cifra antes del período. Ejemplo: 3’2144444..., 4’2345454545...

Todo número decimal, limitado o periódico, se puede convertir en una fracción, que

se llama fracción generatriz de dicho decimal. APROXIMACIONES: Si al trabajar con un número decimal B de infinitas cifras decimales, lo tomamos como

un número , finito, se dice que es una aproximación de B.

Si < B es una aproximación por defecto. Ejemplo: B=2’343434..., =

2’34

Si > B es una aproximación por exceso. Ejemplo: B=2’343434..., =

2`35

Al tomar como valor de B cometemos un error.

Se llama error absoluto (E) a la diferencia entre el valor aproximado

( ) y el valor real (B):

BE

Se llama error relativo (er) al cociente entre el error absoluto (E) y el valor real (B):

B

Eer




APROXIMACIÓN Y ERRORES

1.- Aproximar por redondeo los números siguientes al orden que se indica: a) 2’356 a las milésimas b) 434 a las centenas c) –0’1253 a las centésimas

d) 2/3 a las unidades e) 434 a las decenas f) 1’235467 a las milésimas

2.- Aproximar por truncamiento los siguientes números: a) 4/5 a las unidades b) 16/3 a las centésimas

c) 1’234234234 a las diez milésimas d) 0’3489 a las centésimas

3.- Escribir cada conjunto como intervalo:

30)41)03)76)

5'44)12)1412)43)

xhxgxfxe

xdxcxbxa

4.- Expresar los siguientes intervalos usando los signos de desigualdad apropiados:

a) [-2, 1] b) [0, 4] c) (3, 3’5) d) (2, 5] 5.- Dibujar en la recta real el intervalo [0, 1] y situar un número racional entre 0 y 1. 6.- La milla inglesa mide exactamente 1609’34 Km. Redondear a Km exactos las siguientes distancias expresadas en millas inglesas:

a) 15 b) 24 c) 82 d) 12’4

7.- Calcular dos aproximaciones hasta las centésimas de la fracción 500

1753, ¿cuál es la mejor

aproximación?

8.- Calcular la cota de error al aproximar 11 hasta las centésimas. 9.- Al indicar el número de alumnos de un instituto se comete un error de 115 alumnos. Si realmente hay 650 alumnos, ¿qué número se dio? ¿Cuál es el error relativo cometido? 10.- En la fórmula de un medicamento se lee:

Compuesto A: 2’8 g ± 1’8% Compuesto B: 2’0 g ± 2’5% Compuesto C: 2’0 g ± 2’5%

¿Entre qué valores puede oscilar el peso del compuesto A? ¿Y el del B? ¿Y el del C? 11.- Un pintor da un presupuesto inicial de 720 euros por pintar una casa, pero advierte que ese presupuesto puede tener un error absoluto de 180 euros. ¿Qué posibles valores tendrá el precio de pintar la casa?

12.- Calcular el perímetro de un cuadrado de lado 2 = 1’414 tomando como valor aproximado del mismo, primero 1’41 y después 1’42. ¿En qué caso se comete un error menor? 13.- Como resultado de una operación se ha obtenido un número con tres cifras decimales, pero al dar el resultado se ha dado aproximado por defecto y es 5’77. ¿Qué valores puede tener la solución correcta? ¿Y si la aproximación hubiera sido por exceso?

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14.- En cada uno de los siguientes números ¿qué cifra decimal ocupa el lugar número 13 de las cifras decimales? ¿Y el lugar 100?

a) 4523'4 b) 653'3 c) 5’25 d) 4562'93 15.- Si nos equivocamos en 1 cm al medir la longitud del cuaderno de Matemáticas y 1 Km al medir la distancia de Madrid a Córdoba (unos 400 Km), ¿en cuál de los dos casos cometemos un mayor error absoluto? ¿Y un mayor error relativo? 16.- los decimales finitos y los periódicos se pueden escribir en forma de fracción. Hallar la fracción generatriz de los números:

a) 41'0;14'0;41'0 b) 376'0;637'0;637'0

17.- En los siguientes apartados realizar las operaciones que se indican, primero expresando los números en forma decimal, luego pasándolos primero a forma fraccionaria antes de resolver la operación indicada. Expresar en cada caso el error que se comete:

20'0

3'0·2

15'0

3

2

));2'02'0(:)3'12'3();2'3·6'0);9'0

25'33'4)

dcba

18.- Expresar en minutos: horashorashorashoras 38'1;3'1;641'0;6'0

19.- Escribe, utilizando la notación científica (que es una forma de aproximar cantidades muy grandes o muy pequeñas), los siguientes números:

a) Diámetro del sol: 1.400.000 Km. b) Distancia de la Tierra a Neptuno: 4.308.000.000 Km. c) Velocidad de la luz: 300.000 Km./seg. d) Radio del protón: 0’000 000 000 05 m. e) Tamaño del virus del resfriado común: 0’000 000 0022 m. f) Peso de un estafilococo: 0’000 000 0001 g.

20.- Hallar la fracción irreducible de los siguientes números decimales periódicos:

305'4;600'1;3500'0;345'2;71'0

;0'3;9'0;153'1;6'2;71'0;3'0

21.- Hallar un número x que verifique la siguiente desigualdad: 0’783 < x < 0’784, 22.- De los números 0’6 y 0’7, ¿cuál es mejor aproximación de 2/3? ¿Por qué? 23.- En un problema 38/13 se puede sustituir por 2’92 o por 2’93. ¿Por qué motivo es preferible el primer valor al segundo? ¿Puedes encontrar una aproximación aún mejor?

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POTENCIAS DE 10 Y NOTACIÓN CIENTÍFICA Recordamos las potencias de 10: 10 100 = 10 · 10 = 102 1000 = 102 · 10 = 103 10 000 = 103 · 10 = 104 100 000 = 104 · 10 = 105

Completa en tu cuaderno 1000 000 = 10 000 000 = 100 000 000 = 1000 000 000 =

También los números muy pequeños se escriben como potencias de 10:

4

4

3

3

2

2

1

1010

1

00010

10001'0

1010

1

1000

1001'0

1010

1

100

101'0

1010

11'0

1.- Escribir como producto por potencias de diez los números siguientes:

a) 3.000.000 b) 25.000.000 c) 7.000.000.000.000 d) 400.000.000 e) 0’0005

f) 0’000 000 004 g) 0’000 000 000 0008 h) 1.320.000.000 i) 0’000 037 j) 0’000 000 000 28

2.- Utilizando las propiedades de las potencias, escribir como una única potencia de diez o de algún número primo:

352766

6321212

4

32

)3(·)3())1(·)1()3·2

30))7())5(·)2()

10

10·10)

fedcba

3.- Simplificar, utilizando las propiedades de las potencias y potencias de diez cuando convenga, y dar el resultado como producto de potencias:

000039'0

00000026'0),

0039'0·1100

99·6000),

66'0·20'0

330),

6000

04'0·250),

000025'0

00015'0),

6000·3000

2000) fedcba

4.- Simplificar, utilizando las propiedades de las potencias y potencias de diez cuando convenga, y dar el resultado como producto de potencias:

000039'0·1100

99·6000·00000026'0)

20'0·66'0·210000

490·0024'0·12000·330)

000025'0·6000·300000

04'0·250·00015'0·2000) cba

Una potencia de exponente negativo es una potencia que está dividiendo

nn

aa

1

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6 Departamento de Matemáticas I.E.S. Teobaldo Power

La notación científica es una forma de aproximar un número muy grande o

muy pequeño por potencias de diez. Se escribe como producto de un número

decimal por una potencia conveniente de diez (el número decimal tiene una cifra

entera y una o dos cifras decimales).

5.- Escribir en notación científica los siguientes números:

510·374)200

000.000.000.120)

000.500

1)0629000000'0)000.000.400.123) edcba

6.- Simplificar utilizando potencias y expresar el resultado en notación científica:

2

332

0032'0

00016·0027000000'0)

0000004

00000090·008'0) ba

7.- Escribe en notación ordinaria los números que están en notación científica y viceversa:

64

7

10·4'5)10·6'3)041000000'0)

00000000052000)10·02'1)023000000000'0) fed

cba

8.- La velocidad de la luz es 300.000 Km./s. Expresar esta cantidad en m/s en notación científica. 9.- La estrella más cercana a la Tierra es Alfa Centauri, que está a una distancia de 4’3 años luz. Expresar esta distancia en Km. en notación científica. 10.- Efectuar las siguientes operaciones, expresando el resultado final en notación científica:

14

2124

8671415

10·2

10·26'1)10·7·10·3)

10·25'010·2010·23'3)10·510·12)

dc

ba

11.- Calcular y expresar el resultado final en notación científica:

9

276

181617109

10·3

10·21)10·6·10·2)

10·25101·210·23)10·310·4)

dc

ba

12.- Expresar en notación científica:

a) El número aproximado de habitantes de la Tierra, 4.000.000.000 b) La longitud del ecuador terrestre, 40.000.000 m. c) El número aproximado de células en el organismo humano, 70 billones.

13.- Expresar sin utilizar potencias de 10:

a) La velocidad de la luz en el vacío, 3 · 105 Km./s. b) La masa de un electrón, 9 · 10-28 g. c) La carga de un electrón, 1’6 · 10-19 c.

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TANTOS POR CIENTO Fracciones con denominador 100. Ejemplos:

El 20% es la fracción 100

20 y equivale a la fracción

5

1.



4

1.



2

1.



5

3.

1.- Completar calculando el dato que falta:

a) 20% de 16 = X b) 35% de 120 = X c) 120% de 6 = X

d) 35% de X = 29’4 e) 60% de X = 75 f) 140% de X = 294

g) X % de 60 = 27 h) X % de 125 = 93’75 i) X % de 60 = 114

2.- En los problemas sobre tantos por ciento siempre hay tres números:

Una cantidad a la que se aplica el tanto por ciento, cantidad inicial. Un tanto por ciento. La cantidad resultante al aplicar el tanto por ciento. a) Si se conoce la cantidad inicial y el %, ¿cómo se calcula la cantidad final? b) Si se conoce la cantidad final y el %, ¿cómo se calcula la cantidad inicial? c) Si se conoce la cantidad inicial y la final, ¿cómo se calcula el %?

3.- Inés ha hecho el 30% de su compra en la frutería. Si se lleva un peso total de 15kg, ¿cuántos kilogramos pesa la fruta? 4.- La construcción de un puente se presupuestó en 42’5 millones de euros. Finalmente costó 50’15 millones de euros. ¿En qué tanto por ciento aumentó el presupuesto? 5.- Cuando el agua se congela aumenta su volumen un 10%.

a) ¿Cuál será el volumen de 24 litros de agua después de congelarse? b) ¿Cuál será el volumen en estado líquido de 245’7 litros de agua helada?

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PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD 1.- Los ¾ de metro de una tela valen 4’50 €. ¿Cuánto valdrán 7’5 metros? 2.- La energía de 496 bombillas de una villa cuestan 1.050 € al año, ¿cuánto costarán si se aumentan en 66 bombillas? 3.- Un grifo vierte 42 litros cada 5 minutos. ¿Cuántos litros verterá en ¾ de hora? 4.- El agua de un pozo se extrae de 200 veces utilizando un cubo de 15 litros de capacidad. Calcular cuántas veces serían necesarias si utilizásemos un cubo de 25 litros. 5.- Seis obreros tardaron 20 horas en pintar la fachada de un edificio. ¿En cuánto tiempo lo hubieran pintado 8 obreros? 6.- Una estufa eléctrica consume 500 vatios por hora. ¿Cuánto consumirá en 100 horas? 7.- Una mecanógrafa que escribe 150 palabras por minuto tarda 16 horas en completar un trabajo. ¿A qué velocidad deberá escribir para tardar sólo 12 horas?

8.- ¿Cuánto tarda la Tierra en girar un grado? 9.- Un peatón recorre una cierta distancia en 12 horas. Calcular cuánto tardará si aumenta su velocidad en un tercio.

10.- Un automóvil lleva una velocidad de 70 Km./h. Calcular su velocidad en cm./s. 11.- Si con 200 Kg. de harina se elaboran 250 Kg de pan, calcular:

a) La harina necesaria para elaborar un pan de 80 g. b) Los panecillos de 150 g que se elaboran con 500 Kg de harina. c) Los panes de 500 g que se podrán hacer con 1.500 Kg de harina.

12.- Para construir un edificio en 480 días hacen falta 24 obreros trabajando 8 horas diarias, ¿en cuántos días construirán el edificio 32 obreros trabajando 7 horas diarias? 13.- Si 36 obreros asfaltan 80 Km de carretera en 30 días trabajando 8 horas diarias, ¿cuántos obreros harían falta para asfaltar 180 Km en 40 días trabajando 6 horas diarias?

14.- Un obrero, trabajando 8 horas diarias, ha realizado las dos terceras partes de una obra en 6 días. Si hubiera trabajado 9 horas diarias, ¿en cuántos días la hubiera terminado? 15.- Ocho bombillas iguales, encendidas durante 4 horas diarias, han consumido en 30

días 48 kilovatios. ¿Cuánto consumirán 6 bombillas iguales a las anteriores, encendidas 3 horas diarias durante 20 días?

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POTENCIAS

1.- Escribir los siguientes números como potencias:

243)243)32)49)121)

64)64)27)4)27)

fihgf

edcba

2.- Calcular el resultado en forma de una única potencia:

74 2·2 52 3·3 7·73 35 ·aa 432

325

312 ·mm 23 3·9 24 25·5 10000

10000000

10000000

100000

25

2

1:

2

1

2

5

7

7 69 5:5 85 3:3

12

7

3

3

18

23

a

a

53b

3.- Simplificar todo lo posible y dar el resultado en forma de potencia:

23

42

13

439

25

2

5

2

3

25

9·7

3·21·49)

8·5

2·5·5)

3·2

4·12·36)

25·2

16·100)

5·27

15·3·25) edcba

4.- Calcular el resultado en forma de potencias:

2365346232

2

5·

5

2:

5

4)

3

1:

3

2·

3

1)

3

2:

3

2·

3

2)

cba

5.- Escribir al lado de cada potencia el signo del resultado:

43587542 3·3)3)3)3)3)3)3) gfedcba

6.- Una potencia de exponente negativo significa que la potencia está dividiendo. Escribir las siguientes potencias con exponente positivo, como se hace en los ejemplos:

5

5

53

3 2·3

2

13

2

3:2,

5

15:1

EjemploEjemplo

47

3

2

36

34

2

3

1)

7

7)

5

2·2)7)

3

5)

2

1)3)

gfedcba

7.- Simplificar todo lo posible y dar el resultado en forma de potencias:

753253362632163

3

2:

3

2)

2

1·

2

1

2

1:

2

1)33·3)2·2·22·2·2)

dcba

8.- Cualquier número, distinto de cero, elevado a cero vale 1. Calcular el resultado de:

2

532350224

23

6

24

2

2·2)6·6·2·3)7·7·7)

5

5·5)

4·3

6·3)

edcba

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OPERACIONES CON POTENCIAS

1.- Efectuar las operaciones siguientes:

2324362626232 )2):):)6:6)3·3) yxfexxdxxcba

2.- Indicar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

0)7()07)07)0)7()07)0)7()

7)7())4(4))6(6)5)5()1132522

22223322

jihgfe

dcba

3.- Dar el resultado en forma de potencia lo más simplificado posible:

213242323

5232365

2222)2

1:

2

1·

2

1)

3

2:

3

2)

2

1)1'0)

2

1·

2

1)

fed

cba

4.- Calcular la fracción irreducible de:

2

22

22

3

1

2

1

3

2

3

1

2

3

3

2

6

1

)5

21

5

1

3

2

5

1·

5

12)

ba

5.- Efectuar las siguientes operaciones simplificando el resultado:

47

4

5

17

19

5

36

3

2

5

4

3

5

3

222

1

21

72

32

51

4

3

2

3

2

1

4

3

2·3·3·2)2)3)

3·2

2·3·2·3)

2

2)

5

5)3·3)2·2)

hgfe

dcba

6.- Simplificar todo lo posible:

)2(:)4())3(:)6())(:)() 113322241625 yxyxcyxyxbyxyxa

7.- Utilizando las propiedades de las potencias, simplificar las expresiones:

23742333

053

132

23

32

230

425

433

4

3:

4

3

2

1·

3

4)23)

2·24·25

3·45·18)

9

)3(·)2()

)7(·)5(·35·7

25·5·7·7·49)

2·10·15

12·8·25)

fed

cba

9.- Simplificar las expresiones literales siguientes:

2

1305

3235

447

22356

):(

:)·()

··

)·(····)

ba

abab

cba

cbacbaa

4º de E.S.O. A


RAÍCES: UN NUEVO TIPO DE NÚMEROS

1.- a) Calcular la diagonal de un cuadrado de lado 1m. (Recordar el teorema de Pitágoras) b) Calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 1m y 2m, respectivamente. ¿Qué valor decimal tienen los números anteriores? 2.- Calcular el resultado de las siguientes raíces:

4,4,25,25,3600,64,64,64,16,100,27 3343

Cuando el valor de una raíz no es entero, entonces tiene infinitas cifras decimales no periódicas y sólo podemos calcularlo de manera aproximada. Para operar con su valor exacto se tiene que utilizar su forma radical. 3.- Averiguar si son ciertas o falsas las igualdades siguientes (se puede usar calculadora):

369·4 1394 63·2 532 27999

93·3 69299 23222 412516 92516

555·5 2 723773 146436 baba ·· aaa 2

4.- Una raíz es una potencia de exponente fraccionario: )77(, 4

1

4 ejemploaa m

nm n . Escribir como

potencias las raíces siguientes:

8))81)1600)5·7)7)3)5) 4 333 3235 23 hagfedcba

5.- Escribir como radicales las siguientes potencias:

2

1

2

1

3

1

2

1

3

2

3

1

3

2

4

13

1

3

2

4

3

4

1

3

1

84)35)2·3)2·3)5

2)7)2)3)2)

ihgfedcba

6.- Simplificar los radicales siguientes extrayendo todos los factores que se pueda:

98)72)))32)625)81)8)27) 4 214 733 ihagafedcba

Aquí se ve un ejemplo: 242·2·22222·2·2232 22225

5.- Realizar las siguientes operaciones con radicales:

757737)53

15

3

2)12·3)123)

3432

13)53252)3435323)

gfed

cba

6.- Realizar las siguientes operaciones con radicales:

757737)53

25

3

15)25·4)254)

3·3·2

1·3·4)5·2·5·2)223253)

gfed

cba

4º de E.S.O. A


OPERACIONES CON RAÍCES 1.- Efectuar las siguientes operaciones con raíces simplificando todo lo posible:

2

8)

6

96)5·2·5·3)12·5·3·2)

3

24)

5

125)200·8·5)7·5·2)

43

3

3333

hgfe

dcba

2.- a) Extraer factores fuera del signo radical: 81·10),3·25),72),8) dcba

b) Introducir los factores dentro del signo radical: 27),53·2),7·3),52) 32 dcba

3.- Efectuar las siguientes sumas:

a) 222327

b) 24372332

c) 1505496

d) 73513

e) 804520

f) 2782122183

4.- Racionalizar el denominador y simplifica el resultado:

a) 6

3 , b)

2

5, c)

3·2

7, d)

5·3

2, e)

2

6

5.- Efectuar y simplificar las operaciones con raíces que se indican:

a) 753

212

3

1272 d) 6

3

76

3

5

b) 838

1324

2

13 e) 33232

c) 333 2435812 f) 27

12

3

16

6.- Un cateto de un triángulo rectángulo mide 3 cm y la hipotenusa 72 cm. Calcular el valor del otro

cateto y la superficie del triángulo.

7.- Averiguar cuánto mide la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 5 m. ¿Cuánto mide su

superficie? 8.- Realizar las siguientes operaciones con raíces pasándolas previamente a potencias de exponente

fraccionario (Ejemplos de raíz en forma de potencia: 3

1

3 55 , 2

33 44 )

3

34 33 24

49

7)3·9)5·5·5)

10

10) dcba

9.- Racionalizar las siguientes fracciones:

a) 25

3

, b)

123

1

, c)

32

3

, d)

2223

5

4º de E.S.O. A


EJERCICIOS DE POTENCIAS Y RAÍCES

1.- Completar el cuadro siguiente:

a b c d a2 + b3 – c – d 1 – a – b2 + c3

3 4 0 3

2 0 2 -1

-5 -2 3 -5

4

1

3

1

2

1

6

1

2.- Resolver las siguientes operaciones:

2·2·22

22

2

2·2·2)

6·6·66

366

6

6·6)

27

3

9

4

3

1)

2

1

8

2

4

1)

2

5

62

6

432

4322

3

5

42

224

433

d

c

b

a

3.- ¿Cuántos metros de valla serán necesarios para cercar un terreno cuadrado de 150,0625 m2 de superficie? 4.- Un terreno rectangular de 500 m de largo y 45 m de ancho se quiere cambiar por otro que sea cuadrado y cuya superficie sea la cuarta parte del primero. ¿Cuánto medirá el lado del cuadrado? 5.- Calcular, dando los resultados simplificados al máximo:

2

13

3

12

2

1

3

1

9

3

6

4

35

1

4

2

2

1·

2

1·

2

1·

2

1)

2

3:

6

4)

5

2:

5

2)3·3·3)

dcba

6.- Resolver:

20018582)45205)2·2·2·2·2·2)12·6·6·4·3·2) dcba

Una bobería:

¿Cuál es el número cuyo cubo multiplicado por 4 da como resultado 5324?

4º de E.S.O. A


1. No saltarse la prioridad de las operaciones respetando los paréntesis.

2. No cambiar suma o diferencia por producto. Ej.: 434·3,323·2

3. No multiplicar la base por el exponente de una potencia. Ej.: 623

4. Cuando hay una potencia con exponente negativo, este signo no debe cambiar el signo de la

base. Ej.: 22 1

5. Hay que prestar especial atención a los cocientes de potencias con exponentes negativos, no se

puede eliminar el signo de la resta de exponentes. Ej.: 35

3

5

33

3

6. No se puede aplicar las propiedades de las potencias cuando hay una suma o una diferencia de

potencias de la misma base. Ej.: 2424 222 . Tampoco se puede cambiar la base.

Ej.: 2424 422 . Tampoco se puede cambiar la base en el producto. Ej.: 2424 42·2 7. No se debe aplicar las propiedades de las raíces que hay para el producto y la división a las

sumas y restas porque no funcionan. Ej.: 25·425·4 , sin embargo 254254

8. Cuando en una potencia el paréntesis no abarca al signo negativo, este signo no se verá

afectado por la potencia. Ej.: 932

9. No se debe calcular la raíz cuadrada de un número hallando su mitad. Ej.: 48

4º de E.S.O. A


CONVIVIR CON NÚMEROS

Cálculo de intereses y capital acumulado

1.- Si se ingresa dinero, al comenzar el año, en un banco al 6% anual, a) Calcular el interés que producen 120 euros. b) Indicar cuál es el capital acumulado.

2.- Para hacer un curso de especialista en electrónica, Miguel pidió un préstamo al banco de 380 euros que devolverá al año siguiente, aunque deberá pagar un 4’5% de interés por el préstamo. ¿Cuánto dinero tendrá que pagar al banco cuando cancele el préstamo?

Tanto por ciento 3.- Un producto está marcado en el escaparate a 21,64 euros y sabemos que el beneficio del comerciante es del 35%. ¿Cuánto le costó el producto al comerciante? 4.- Los padres de un amigo de Fernando compraron un juego de comedor. La mesa costó 270 euros y cada una de las seis sillas 36 euros. Si, además, pagaron el 8% de IGIC, ¿Cuál fue el total de la factura? 5.- Una persona gasta un cuarto de su sueldo en vivienda, la mitad de su sueldo en comida y la quinta parte en otras necesidades. ¿Qué porcentaje de su sueldo ahorra al mes?

Múltiplos y divisores 6.- Para liberar espacio en la biblioteca del instituto, se piensa donar a la Biblioteca municipal unos libros que ya no se utilizan y que son 48 de geología, 24 de historia y 36 de botánica. Para que cueste lo menos posible el envío por correo se quiere hacer el menor número de paquetes posible, todos con el mismo número de libros y que sean todos del mismo tema en cada paquete.

a) ¿Cuántos libros se debe poner en cada paquete? b) ¿Cuántos paquetes se tendrán que hacer?

7.- Un coche, una moto y una bicicleta dan vueltas a un circuito automovilístico, saliendo de la meta todos al mismo tiempo. El coche tarda en recorrer el circuito 5 min., la moto 6 min., y la bici 20 min.

a) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que pasen juntos por la meta el coche y la bici? b) ¿Cuántas vueltas deben dar el coche, la moto y la bici para que coincidan por primera vez en la

meta?

Repartos proporcionales 8.- Una organización de voluntarios que se dedica a luchar contra el hambre, tiene 5215 miembros, de

los cuales 11

6 son jóvenes de menos de 25 años,

11

4 son de mediana edad y el resto mayores de 65

años. ¿Cuántos voluntarios hay, aproximadamente, en cada uno de estos tres sectores? 9.- Se divide un terreno heredado de 720.000 m2 entre tres personas, de modo que a la primera le

corresponden las 5

3 partes,

3

1 a la segunda y a la tercera persona el resto.

a) ¿Cuánto terreno obtiene cada una? b) ¿Qué fracción del total le correspondió a la última?

4º de E.S.O. A


10.- En una comunidad de vecinos hay 6 pisos y 3 viviendas (A, B y C) por piso. Los gastos de comunidad ascienden a 1430 euros al año, y son proporcionales a las dimensiones de las viviendas (A, 85 m2; B, 94 m2; C, 100 m2).

a) Calcular el coeficiente que debe pagar cada vecino en tanto por uno. b) Calcular cuánto deberá pagar el vecino del 4º C y el del 2º A.

Ejercicios con números para practicar Dar el resultado lo más simplificado posible:

5

41

5

33·

2

7

4

3:

6

1·

5

23)

200·07'0·210

0012'0·20·36'0·24)

3

2:

2

3:

2

3·

2

3)

2·2

2·2)

5

34

73

2

2

15)

5

12·

4

3

6

21

2

23

1

2

11

)

15

831

3

24

5

2

3

1)

8

3·2

6

11

4

36

20

4:

5

3·

2

3

)7

13

2

14:

2

5

7

4·

2

3

2

1)

5234

3026

3035

ihg

fed

cba

Concurso numérico: gana la mejor aproximación Se trata de operar con un máximo de seis números obtenidos al azar, usando las operaciones elementales (+, –, x, :), para obtener otro número también obtenido al azar, o el más aproximado posible.

Por ejemplo:

Caso 1: Salen los números 3, 6, 10, 100, 4 y 1. Hay que obtener el número 760. 100(4 + 3) + 6 · 10 = 760

Caso 2: Salen los números 10, 7, 4, 1, 75 y 7. Hay que obtener el número679. [(10 + 4) 7 – 1] 7 = 679 Intentar alcanzar el resultado en los casos siguientes:

a) Salen los números 2, 5, 4, 100, 10 y 4. Obtener 344. b) Salen los números 3, 50, 4, 9, 10 y 6. Obtener 268. c) Salen los números 9, 10, 7, 10, 9 y 5. Obtener 422. d) Salen los números 4, 3, 100, 25, 4 y 7. Obtener 376. e) Salen los números 75, 3, 6, 1, 100 y 2. Obtener 650.

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MÁS PROBLEMAS CON NÚMEROS 1.- El hermano de María empezó a trabajar el mes pasado y ha abierto una cuenta en el banco para invertir una parte de su sueldo. Ha ingresado 230 euros, al 4’5% anual. ¿Cuánto dinero tendrá dentro de un año?

2.- Para comprarse un coche, Alejandra pidió prestado al banco el dinero que le faltaba, unos 3.250 euros. El banco le ha concedido el préstamo, pero tendrá que devolverlo dentro de un año, y, además, un 7% de interés. ¿Cuánto dinero tendrá que devolver?

3.- Una persona gasta un tercio de su sueldo en vivienda, la mitad en comida y un octavo en vestido y ocio. ¿Qué fracción del sueldo ahorra? ¿Qué porcentaje del sueldo ahorra? 4.- Los alumnos de un instituto no pasan de 600 y se pueden formar grupos de 12, de 20 y de 36 alumnos y alumnas sin que sobre ni falte ninguno. ¿Cuál es el mínimo de alumnos y alumnas que puede tener el centro? ¿Y el máximo? 5.- Un depósito se puede llenar un número exacto de veces con recipientes de 20 litros, 45 litros y 66 litros. ¿Cuál es la capacidad mínima del depósito? 6.- Un albañil tiene que embaldosar un pasillo de 10’5 m de largo por 1’8 m de ancho. Las baldosas han de ser cuadradas y con la mayor longitud posible de lado. Hallar cuánto debe medir el lado de las baldosas y cuántas necesita para realizar este trabajo.

7.- Con 60 bocadillos de jamón, 48 de queso, 24 de salami y 36 de ensaladilla, ¿cuántos lotes iguales puede hacerse sin que sobre ningún bocadillo? ¿Cuántos bocadillos de cada clase forman un lote?

8.- Una persona compró un juego de dormitorio, el armario marcaba 430 euros, las dos camas salían 117’5 euros cada una y las dos mesas de noche 90 euros cada una. Además tuvo que pagar un 5’5% de IGIC. ¿Cuál fue el total de la factura? 9.- Ayer pagué por un monopatín 179’20 euros, aprovechando que la tienda estaba anunciando una rebaja del 20% en todos los artículos. ¿Cuál era el precio original del monopatín? ¿Cuánto me ahorré al comprarlo en rebajas? 10.- Si en unos almacenes comerciales el beneficio que obtienen por cada artículo que venden es del 10%, ¿cuál habrá sido el precio de coste de un artículo que marca en el escaparate 80 euros?

11.- Por una multa de tráfico, Emilio pagó 120 euros, porque le cobraron un recargo del 20% al haberse pasado el plazo legal de pronto pago. ¿Cuál era el importe de la sanción? ¿Cuánto pagó de más por el retraso?

4º de E.S.O. A


REPASO DE LA 1ª EVALUACIÓN 1.- Calcular el resultado de las siguientes operaciones:

a) 2

14

2

14:

2

3

5

4·

2

3

5

1 b)

27

235

2·2

2·2

2.- Se divide un terreno heredado de 120.000 m2 entre tres personas, de modo que a la primera le

corresponden las 5

2 partes,

3

1 a la segunda y a la tercera persona el resto.

a) ¿Qué fracción del total le correspondió a la última? b) ¿Cuánto terreno obtiene cada una?

3.- Simplificar la expresión de los siguientes números utilizando potencias de diez y luego expresarlo en notación científica:

a) 300.000.000.000 b) 0’000 000 000 236 c) 0’000 000 015 d) 1.325.000.000.000

4.- Calcular el resultado en forma de potencias lo más simplificado posible:

a) 245 6·3·3 b) 3

28

5

5·5

5.- Simplificar utilizando las propiedades de las potencias y dar el resultado en notación científica:

a) 000.4·000.3

000.000.000.000.000.24 b)

0000000039'0

1600·0000000026'0

6.- Aproximar al orden que se indica los siguientes números, por truncamiento y por redondeo:

a) 1’2372 a las centésimas b) 273’921 a las unidades

7.- Escribir cada conjunto como intervalo:

a) 6 < x < 11 b) 4 x < 7 c) –5 x –1’5

8.- Expresar sin utilizar potencias de 10:

d) La velocidad de la luz en el vacío, 3 · 105 Km/s. e) La carga de un electrón, 1’6 · 10-19 c.

9.- a) ¿Cuántos tipos de decimales hay? Poner un ejemplo de cada uno.

c) Obtener la fracción generatriz de 34’8 y de 25’44444..... 10.- Al indicar el número de alumnos de un instituto se comete un error de 100 alumnos. Si realmente hay 1250 alumnos ¿qué número se dio? ¿Cuál es el error relativo cometido?

4º de E.S.O. A


11.- Calcular el resultado lo más simplificado posible:

a)

3

2·

2

5

4

3·

2

1

3

1 b)

7

2·

5

3

2

1

5

3:

6

12

12.- Simplificar utilizando las propiedades de las potencias:

a) 04

523

2·32·2

8·2·4·16

b) 3·2·12

9·3·27·2452

452


a) 632873

b) 2323535

14.- Calcular y expresar el resultado simplificado:

a) 258

463

10·5·2

20·5·10

b) 632873

c) 2323535

d) Racionalizar el denominador de las fracciones 10

20 y

32

3

e) 24648232

15.- a) Efectuar y simplificar

6

1

3

22

14

3

1

3

22

b) Efectuar y simplificar 33

13:

4

3

2

1

16.- a) Gracias a un sorteo, seis amigos tendrán que repartirse como premio las tres quintas partes de 18.000 euros. ¿Cuánto corresponderá a cada uno? b) ¿De qué número es 1700 el 52%? 17.- Simplificar las operaciones siguientes:

a) 32

835

)12(·18

)3(·6·2

b)

2

1

5

6:

2

1

3

2

2

12

3

11

2

3

2

12

18.- Tres empresas invierten 1, 4 y 5 millones de euros, respectivamente, en un negocio que produce, al cabo de un año, 1.800.000 euros de beneficio. ¿Cómo se repartirán estos beneficios?

4º de E.S.O. A


AUTOEVALUACIÓN 1ª PARTE DEL CURSO

1.- Resolver las operaciones:

4

5

2

37

21

4

12

)

2

34

3

3

1

2

1

2)

ba

2.- Al indicar el número de alumnos de un instituto se comete un error de 115 alumnos. Si realmente hay 650 alumnos, ¿qué número se dio? ¿Cuál es el error relativo cometido? 3.-a) Escribe, utilizando la notación científica los siguientes números:

a1) Distancia de la Tierra a Neptuno: 4.308.000.000 Km. a2) Radio del protón: 0’000 000 000 05 m.

b) simplificar usando potencias: 0039'0·1100

99·6000

4.- El beneficio producido por un negocio se repartió entre sus tres socios. El primero se llevó el 25%, el

segundo las 5

3 partes y el tercero el resto, que ascendió a 7290 €. Calcular el beneficio total y las

cantidades que percibieron los dos primeros socios.

5.- a) Resolver: 2782122183

b) Realizar las siguientes operaciones con raíces, pasando previamente a potencias de exponente

fraccionario: 3·9,5·5·5,10

10 34 33 24

6.-Una tienda tiene un descuento sobre el precio de venta del 15%. a) Si un artículo marca 150 €, ¿cuánto se pagará por el? b) Si por un artículo, ya hecho el descuento, se pagaron 120 €, ¿cuál era su precio?

7.- a) Ordena de menor a mayor: 6/8, 23/34, -1/3, 0, -4/5, 3

b) Utilizando las propiedades de las potencias, simplificar la expresión: 425

433

2·10·15

12·8·25

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ESTADÍSTICA La Estadística es la ciencia que se encarga de recopilar y ordenar datos referidos a diversos fenómenos para su posterior análisis e interpretación.

POBLACIÓN Y MUESTRA Población es el conjunto de elementos sobre el que se realiza un estudio estadístico. Muestra es la parte de la población que se estudia. Su tamaño es el número de elementos que la forman. Individuo es cada uno de los elementos de la población o la muestra. Una muestra es representativa cuando las conclusiones de su estudio son aplicables a toda la población.

VARIABLE ESTADÍSTICA Variable estadística (xi) es cada una de las propiedades o características que podemos estudiar en una población o muestra. Las variables se pueden clasificar en: Cualitativas. Los valores que toman son cualidades; por ejemplo, sexo o color del pelo. Cuantitativas. Sus valores son números. A su vez pueden ser:

- Discretas. Cuando toman un número finito de valores; por ejemplo, número de hermanos (puedo tener 1, 2, 3 o ninguno, pero no puedo tener 1,3 hermanos ni 2,5).

- Continuas. La variable puede tomar infinitos valores entre dos dados y en este caso se agrupan por intervalos. Por ejemplo, la altura de las personas puede ser 1,70m y 1,80m, pero también puede ser 1,71m, 1,715m, 1,767m…

FRECUENCIAS - Frecuencia absoluta (fi) de un dato es el número de veces que aparece en la muestra. - Frecuencia relativa (hi) de un dato es el cociente de la frecuencia absoluta y el número

total de datos. - Frecuencia absoluta acumulada (Fi) de un dato es la suma de todas las frecuencias

absolutas de los valores menores o iguales que él.

PARÁMETROS ESTADÍSTICOS La media aritmética, x , es el cociente de la suma de todos los datos dividida entre el número

total de datos (N). Si la variable es continua, xi es la marca de clase. N

xfx ii

·

La moda, Mo, es el dato que tiene mayor frecuencia absoluta. Si la variable es continua, hablamos de intervalo modal. La mediana, Me, es el valor que ocupa la posición central de los datos, después de ordenarlos, o la media de los datos centrales si el número de datos es par.

GRÁFICOS ESTADÍSTICOS Diagrama de barras. Histograma. Diagrama de sectores. Pictogramas. Diagrama de barras adosadas. Polígono de frecuencias. Histograma de frecuencias acumuladas.

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DISTRIBUCIONES ESTADÍSTICAS Y GRÁFICOS ESTADÍSTICOS Tabla de frecuencias. Parámetros centrales: media, moda y mediana. Desviación media. Diagrama de barras. Histograma. Diagrama de sectores. 1.- Organizar en una tabla, de forma ordenada, los datos siguientes referidos a las notas de Matemáticas de trece alumnos:

3, 6, 5, 7, 6, 4, 5, 7, 5, 4, 6, 2, 8 a) Representar los datos mediante un diagrama de barras (ya que son datos aislados). b) Calcular la nota media del grupo de alumnos, la moda y la mediana. c) Calcular el porcentaje que corresponde a cada nota.

2.- Entre los estudiantes de un colegio se ha realizado la siguiente encuesta para conocer el número de horas semanales que ven la televisión. Los datos se recogieron en la tabla adjunta:

a) ¿Cuántos estudiantes han sido entrevistados? b) ¿Cuántos estudiantes ven la TV menos de 9 horas semanales? c) ¿Qué porcentaje de ellos ven la TV menos de 12 horas semanales? d) ¿Cuántas horas de TV ven los estudiantes del mayor de los grupos? e) Representar estos datos mediante un histograma (ya que son

datos agrupados por intervalos). f) Calcular la marca de clase de cada intervalo y calcular la media de

horas que ven la TV los estudiantes de este colegio. 3.- De entre los alumnos de un colegio se ha seleccionado una muestra para observar el color de su pelo. Los datos se han distribuido según la tabla siguiente:

a) ¿Cuál es el tamaño de la muestra? b) ¿Cuál es la moda? c) Incluir una columna en la que se vean los porcentajes de cada

color en relación a la muestra. d) Representar esta tabla mediante un gráfico de sectores (se trata

de datos no numéricos). e) ¿Se puede calcular la media?

4.- Los sueldos mensuales de los trabajadores de una empresa son los siguientes:

480, 480, 480, 480, 480, 600, 600, 1200, 2040, 2700, 3000 a) Calcular la media (M) y la mediana (Me) de los sueldos en esta empresa. b) Explicar cuál de los dos valores es más representativo de los sueldos. c) Indicar el valor de la moda (Mo).

5.- Un profesor ha puesto las notas a dos grupos, A y B, de 10 alumnos cada uno. Los resultados son los siguientes:

Grupo A: 2, 2, 3, 3, 3, 7, 7, 7, 8, 8 Grupo B: 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6

a) Calcular la nota media de cada grupo de alumnos. b) Explicar en qué grupo la media es más representativa. c) Representar las dos distribuciones estadísticas mediante diagramas de barras. d) Calcular la desviación media de cada una de las distribuciones. ¿Cuál es mayor?

Número de horas

Frecuencia

0 – 3 4

3 – 6 8

6 – 9 22

9 – 12 32

12 – 15 30

15 – 18 4

Color Frecuencia

Negro 12

Castaño 18

Rubio 7

Pelirrojo 2

Albino 1

4º de E.S.O. A


6.- En los datos siguientes: 3, 5, 7, 8, 8, 9, 40 ¿Qué parámetros (media, moda, mediana y desviación media) se ven afectados al cambiar el último dato (40) por 12? 7.- Un delantero de un equipo de fútbol ha jugado durante las once últimas temporadas, marcando por temporada los goles que se recogen en la lista siguiente:

12, 15, 13, 12, 8, 20, 15, 17, 19, 12, 16 Calcular la media, la moda y la mediana de los datos. Representar los datos en un diagrama de barras. 8.- Las alturas de 30 arbustos del jardín del instituto son las siguientes:

Alturas (cm) 5 – 15 15 – 25 25 – 35 35 – 45 45 – 55

Nº de arbustos 6 4 15 3 2

a) Indicar cuál es la clase modal (o intervalo modal) y la clase mediana (o intervalo mediano). b) Determinar las marcas de clase y hallar la altura media de los arbustos de la tabla. c) Representar los datos en un histograma. d) Calcular el porcentaje de arbustos de más de 35 cm de altura.

9.- Se ha hecho una encuesta en el instituto sobre el número de hermanos y hermanas que tienen un grupo de estudiantes. Los datos son los siguientes:

1, 3, 1, 1, 0, 0, 4, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 1, 1, 2, 0, 0, 2, 3, 3, 5, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 0, 0, 4, 1, 2, 1, 1 a) Realizar el recuento y presentar los datos ordenados en una tabla de frecuencias. b) Representar mediante un gráfico adecuado esta distribución. c) ¿Qué porcentaje representan los estudiantes que tienen 2 hermanos o hermanas? ¿Cuál es el

porcentaje de estudiantes con menos de 2 hermanos o hermanas? d) Calcular la media, la moda y la mediana de la distribución. e) Calcular el rango (o recorrido) y la desviación media.

10.- Los jugadores de un determinado equipo de baloncesto se clasifican, por alturas, según la tabla siguiente:

Alturas (m) 1,70 –1,75 1,75 –1,80 1,80 –1,85 1,85 – 1,90 1,90 – 1,95 1,95 – 2,00

Nº de jugadores 1 3 4 8 5 2

a) Calcular la media y la desviación media de la distribución. b) Hallar el intervalo mediano. c) ¿Cuántos jugadores miden menos de 1,90? d) ¿Qué porcentaje de jugadores son más altos que 1,90?

11.- La siguiente tabla muestra la superficie de los océanos en millones de km2.

Océanos Superficie

Pacífico Atlántico Índico Antártico Ártico

180 106 75 20 13

Calcular qué tanto por ciento de la superficie total representa cada océano. Representar los datos en un diagrama de sectores.

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AZAR Y PROBABILIDAD La palabra azar se refiere a un fenómeno o experimento cuyo resultado no puede conocerse antes de que ocurra, por ejemplo al lanzar una moneda no sabemos si saldrá cara o cruz.

¿De cuáles de los siguientes experimentos se conoce el resultado antes de realizarlos?

a) Extraer una carta de una baraja española. b) Lanzar una moneda al aire. c) Medir la longitud de una circunferencia de radio 5 m. d) Soltar una pelota desde lo alto de una rampa muy inclinada. e) Lanzar un dado.

Experimentos deterministas son los que tienen el mismo resultado siempre que se repitan en análogas condiciones. Experimentos aleatorios son aquellos de los que no se puede asegurar el resultado, aunque se realicen en análogas condiciones. Cada uno de los resultados posibles de un experimento se denomina suceso elemental. Por ejemplo sacar cara al lanzar una moneda, o sacar un dos al lanzar un dado. Suceso seguro es el que ocurre siempre y suceso imposible es el que nunca puede ocurrir. Un suceso compuesto está formado por varios sucesos elementales. Por ejemplo sacar un número par al lanzar un dado está formado por tres sucesos elementales: sacar 2, 4, 6. 1.- Se lanza una moneda dos veces seguidas y se anota una C si sale cara y una X si sale cruz. Escribir todos los resultados posibles de este experimento. 2.- En una urna hay una bola negra y dos bolas rojas. Se extraen dos bolas al azar y se anota N si sale negra y R si sale roja. Escribir todos los resultados posibles de este experimento. 3.- Indicar el grado de seguridad de cada uno de los sucesos siguientes asignando a cada uno alguno de estos términos: seguro (s), muy probable (mp), probable (p), poco probable (pp), imposible (i).

a) Al extraer una carta de una baraja ésta será un as

b) Al lanzar un dado saldrá un número menor que siete

c) El próximo domingo será laborable

d) Si se deja caer un objeto, se dirigirá al suelo

e) A un amigo tuyo le tocará la lotería

f) Si se lanza una moneda saldrá cruz

g) Si se lanza una moneda saldrá un cinco

4.- En una clase hay 15 chicos y 9 chicas. Cada uno escribe su nombre en un papel. Se meten todos los papeles en una bolsa y se coge uno sin mirar. ¿Con cuál de las siguientes frases estás de acuerdo?

a) Es más probable que salga el nombre de un chico. b) Es más probable que salga el nombre de una chica. c) Es igualmente probable que salga el nombre de un chico o de una chica.

5.- En una urna A hay dos bolas blancas y dos bolas negras. En otra urna B hay tres bolas blancas y tres bolas negras. ¿De cuál de las urnas te parece más fácil sacar bola blanca?

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6.- Escribe tres ejemplos de fenómenos aleatorios y tres de fenómenos deterministas que tengan que ver con la meteorología, el tráfico, la medicina, la televisión, etc.

Frecuencia absoluta es el número de veces que ocurre un suceso.

Frecuencia relativa es el número que resulta de dividir la frecuencia absoluta de un suceso entre el número total de pruebas realizadas. 7.- Realizar la siguiente experiencia en clase: lanzar una moneda cincuenta veces y anotar el resultado obtenido en cada lanzamiento. Luego poner los resultados de toda la clase en común completando una tabla como la siguiente:

Nº de tiradas Nº de cruces F. relativa Porcentaje

100

200

300

400

450

Total

a) ¿Cuántas tiradas se hicieron en total? b) ¿Qué porcentaje de veces ha salido cruz? ¿Se aproxima al 50%?

Los fenómenos o experimentos imprevisibles se vuelven regulares cuando se repiten muchas veces y, entonces, se puede establecer cierto grado de seguridad de que ocurra, es lo que se denomina probabilidad de un suceso.

Probabilidad: Si en un experimento aleatorio conocemos todos los resultados posibles y cada uno tiene las mismas posibilidades de ocurrir, es previsible que al aumentar el número de experiencias, las frecuencias relativas de todos ellos lleguen a tener el mismo valor, este valor se denomina probabilidad.

Regla de Laplace Si conocemos todos los resultados posibles de un experimento y es razonable suponer que todos ellos tienen las mismas posibilidades de producirse, el matemático Laplace definió la probabilidad con la siguiente fórmula:

posiblescasosdeN

SsucesoalfavorablescasosdeNSP

º

º)(

8.- En una bolsa hay dos bolas amarillas y siete verdes, que no se distinguen al tacto. Al extraer sin mirar una de las bolas, ¿cuál es la probabilidad de sacar bola amarilla? ¿Y Y la de sacar bola verde? 9.- En otra bolsa hay cinco bolas rojas, dos verdes y cuatro azules. Si se extrae una bola al azar,

a) ¿Cuál es la probabilidad de sacar bola azul? b) ¿Y la de sacar roja o azul? c) ¿Y la de sacar verde o roja? d) ¿Qué probabilidad hay de que la bola sea verde, roja o azul? e) ¿Cuál es la probabilidad de sacar bola negra?

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PROPIEDADES DE LAS PROBABILIDADES

1.- Al extraer una carta de una baraja española se dan las probabilidades siguientes:

10

1)(,

10

1)(,

10

1)(Re SotapCaballopyp

¿Cuál es la probabilidad de que no salga una figura?

2.- El espacio muestral de un experimento aleatorio es cbaE ,, y las probabilidades de los resultados

a y b son 3

1)(,

2

1)( bpap . Hallar la probabilidad del resultado c y las probabilidades de los sucesos

siguientes: a) A = {a,b}, b) B = {a,c}, c) C = {b,c}.

3.- Si A y B son dos sucesos incompatibles de un experimento aleatorio y sus probabilidades son

2

1)(,

3

1)( BpAp , respectivamente, hallar la probabilidad de:

a) Suceso A o B.

b) Suceso contrario de A (_

A ).

c) Suceso contrario de B (_

B ). 4.- En la lotería primitiva se extraen bolas numeradas del 1 al 49. Se pide calcular:

a) Probabilidad de que en la primera extracción salga un número múltiplo de 7. b) Probabilidad de que en la primera extracción salga un número que no sea múltiplo de 7. c) Probabilidad de que en la primera extracción salga un número que empiece por 2. d) Probabilidad de que en la primera extracción salga un número que no empiece por 2.

5.- Se gira la aguja de una ruleta de números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y nos fijamos en el número en el que se detiene. Calcular:

a) Probabilidad de que se obtenga número primo. b) Probabilidad de obtener número compuesto. c) Probabilidad de número primo o número múltiplo de 4. d) Probabilidad de no obtener 5. e) Probabilidad de número par o primo.

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REGLA DE LAPLACE

Si conocemos todos los resultados posibles de un experimento y es razonable suponer que todos ellos tienen las mismas posibilidades de producirse (son equiprobables), el matemático Laplace definió la probabilidad de un suceso con la siguiente fórmula:

posiblescasosdeN

SsucesoalfavorablescasosdeNSP

º

º)(

Completar la siguiente tabla relativa al lanzamiento de un dado cúbico; los dos primeros casos se dan como ejemplo.

Suceso A Sacar un número:

Elementos que lo componen

Números de casos favorables

Número de casos posibles

P(A)

Múltiplo de 2 2, 4, 6 3 6 6

3

Menor que 5 1, 2, 3, 4 4 6 6

4

Impar

Menor que 8

Primo

Compuesto

Múltiplo de 5

Mayor que 9

Divisor de 6

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POLINOMIOS: Un polinomio es una expresión algebraica donde números y letras están unidos por productos y sumas y las letras (llamadas indeterminadas) están afectadas de

exponentes naturales. Ejemplo: 34)( 23 xxxxf

Se llama grado del polinomio al mayor exponente de la indeterminada. Ejemplo: grado de f(x)=3.

Cada uno de los sumandos del polinomio se denomina término. El sumando que no tiene indeterminada se denomina término independiente.

Los números que multiplican a la indeterminada se denominan coeficientes.

OPERACIONES CON POLINOMIOS: Las operaciones que se pueden realizar con polinomios son:

Suma: Para sumar polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo

grado. Ejemplo: 224)()(;243)(;23)( 232323 xxxxgxfxxxgxxxxf

Diferencia: Para restar polinomios se suma al minuendo el opuesto del sustraendo.

Ejemplo: 2272)()(;243)(;23)( 232323 xxxxgxfxxxgxxxxf

Producto: Para multiplicar polinomios se multiplica cada término del primero por cada uno del segundo y se reducen términos semejantes.

Cociente: Para dividir polinomios se ordena ambos polinomios según potencias decrecientes y se va dividiendo cada término del dividendo por el divisor (teniendo en cuenta el cociente de números y el de potencias de la misma base) hasta que el grado del resto sea estrictamente menor que el del divisor.

VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO: Es el valor que toma el polinomio al sustituir la

indeterminada por un número. Ejemplo:

112·322)2(

21311)1(13)(

23

23

f

fxxxxf

EJEMPLOS DE IGUALDADES ALGEBRAICAS:

5)174)2302243))25(25) 2 yxdxcxyxbxxxxa

IDENTIDAD: Es una igualdad algebraica que se verifica para todos los valores de las letras (o

variables) que intervienen. Por ejemplo 121 22 xxx .

ECUACIÓN: Es una igualdad algebraica que solo se verifica para algunos valores de las letras (o variables) que intervienen, que en este caso se denominan incógnitas. Por ejemplo

12532 xx (solo se cumple para x=5).

Solución de una ecuación es el valor (o valores) de la incógnita (o incógnitas) que hacen que

la igualdad sea cierta.

Grado de una ecuación es el mayor grado de sus términos (que coincide con la mayor

potencia de las incógnitas).

Resolver una ecuación es hallar su solución o soluciones, o bien, concluir que no existe

solución. Para resolver una ecuación se deben seguir los pasos siguientes:

Se suprimen paréntesis adecuadamente.

Se halla el mínimo común múltiplo de todos los denominadores de la ecuación y se multiplican por él todos los términos, simplificando los resultados.

Se trasponen términos. Los términos con incógnita se colocan en un miembro de la ecuación y los demás términos en el otro miembro.

Se reducen los términos semejantes y se calcula el valor de la incógnita que es solución de la ecuación.

Para resolver ecuaciones de grado mayor que uno existen diferentes métodos, según el tipo de ecuación.

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IDENTIDADES NOTABLES

Cuadrado de una suma: 22222 2)()()( babababababababa

Cuadrado de una diferencia: 22222 2)()( bababbaababababa

Suma por diferencia: 2222· babbaabababa

1.- Indicar de qué tipo de identidad notable se trata y desarrollarla paso a paso: a) (a + 1)2 b) (3x –y)2 c) (a – 5b) (a + 5b) d) (–3x + 3y)2 e) (–3x – 2y)2 f) (p2 – 4q)2 g) (–2x + 5) (–2x – 5) h) (m + 2n) (– m + 2n)

Ejemplos de aplicación directa de los resultados anteriores:

9

4

3

2

3

2·

3

2

549554455·2·2252

1624944·3·2343

22

2

222

24222222

aaaa

xxxxx

2.- Calcular directamente el resultado de los siguientes productos notables:

3·

3)15·15)2)

2

1)2)1)

232

22 ba

bafxxendacxbaa

3.- Escribe las siguientes expresiones, cuando sea posible, como cuadrado de una suma, de una diferencia o como producto de suma por diferencia:

a) x2 + 4x + 4 b) 9x2 – 6x + 1 c) 25x2 + 30x + 9 d) 2x2 + 11x – 6 e) 4x2 – 81 f) x2 – 9

4.- Desarrollar:

a) 232 , b) 2532 , c) 73·73 , d) 231·231

5.- Completar las tablas siguientes:

a b a + b a2 b2 a2 + b2 (a + b)2

–2 3

4

3

4

1

–5 -2

a b a - b a2 b2 a2 - b2 (a - b)2

–2 3

4

3

4

1

–5 –2

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Sistemas de ecuaciones: Se llama sistema de ecuaciones a dos o más

ecuaciones de las que nos interesa hallar sus soluciones comunes. Para indicar un sistema se escriben las ecuaciones una debajo de otra y se añade una llave.

Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar las soluciones que

satisfagan todas las ecuaciones que lo forman. Comprobar una solución de un sistema se reduce a comprobar que dicha solución verifica cada una de las ecuaciones que forman el sistema.

Métodos de resolución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

Para resolver de forma analítica un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas hay tres métodos fundamentales:

Sustitución. Este método consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituirla en la otra. De esta manera se obtiene una ecuación con una incógnita cuyo valor se calcula. Luego se calculará el valor de la incógnita que falta.

Ejemplo: 5393812

12

8

12

yxxxx

xy

yx

yx

Reducción. Se trata de reducir las dos ecuaciones con dos incógnitas a una sola ecuación con una incógnita, para lo cual se suman ambas ecuaciones miembro a miembro procurando que incógnitas iguales tengan coeficientes iguales con distinto signo.

Ejemplo:

583393

8

12

8

12

yyxx

yx

yx

sumamosyx

yx

Igualación. Consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar las expresiones obtenidas, con lo que se obtiene una ecuación con una incógnita, que se resuelve. Luego se calcula el valor de la incógnita que falta.

Ejemplo:

5383938128

12

8

12

yxxxx

xy

xy

yx

yx

Número de soluciones de un sistema de ecuaciones: Un sistema puede

tener solución (una sola o infinitas) o puede no tener ninguna solución.

4º de E.S.O. A


EJERCICIOS DE ECUACIONES Y SISTEMAS LINEALES 1.- Traducir a lenguaje algebraico:

a) A un número se le suma el triple del mismo número. b) El cuadrado del doble de un número. c) El doble del cuadrado de un número. d) La suma de los cuadrados de dos números. e) El cuadrado de la suma de dos números. f) La tercera parte de la suma de dos números consecutivos. g) La mitad del producto de dos números.

2.- Calcular mentalmente el resultado:

1213)2445)

318)732)

207)58)

tfxe

ydtc

zbxa

3.- Traducir a lenguaje algebraico primero y resolver después:

a) Si a la edad de Pedro le sumamos 10, se obtiene el doble de sus años menos 6.

b) Si le restamos 3 años a la edad de Luisa, se obtiene la mitad de su edad más 5 años.

c) Si a la mitad de la edad de Nuria le sumamos 8, obtenemos los años que tiene.

4.- Resolver las siguientes ecuaciones con una incógnita:

12312

1)35

2)36

2)6

3)6

3

2)

xzez

zdx

xc

xxb

xa

5.- Resolver las ecuaciones:

2

)1(310

3

2)1

4

3

6

1)3

9

3

4

2

3)0

6

3

5

1)

xxd

xxc

xxxb

xxa

6- Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas indicando el método utilizado:

1123

1

12)

43

2

5

3

43

12

2

1

)4)1(32

2)(3)

12

32)

12

648)

32

12)

112

13)

32

510)

023

8)

xx

yx

iy

x

yx

hyx

yyxg

xy

yxf

yx

yxe

xy

yxd

yx

yxc

xy

xyb

yx

yxa

7- Resolver analítica y gráficamente los sistemas de ecuaciones:

32

3)

0

2)

12

10)

1132

10)

214

10)

yx

yxe

yx

yxd

yx

yxc

yx

yxb

xy

xya

4º de E.S.O. A


PROBLEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS 1.- Un hotel tiene habitaciones dobles y sencillas. Tiene un total de 50 habitaciones y 87 camas. ¿Cuántas habitaciones tiene de cada tipo? 2.- En un corral hay gallinas y cabras, en total 80 animales. Sabiendo que el número de patas es 260, ¿cuántos animales de cada tipo hay en el corral? 3.- Un granjero dice que en su granja hay conejos y gallinas, que hacen un total de 61 cabezas y 196 patas. Sin resolver el problema, ¿puede afirmarse que no todos los animales son conejos y que no todos los animales son gallinas? ¿Por qué? En el caso de que en la granja haya conejos y gallinas, ¿cuántos animales hay de cada clase? 4.- Un chico dice que tiene guardados 10’20 €, en monedas de 0’20 € y de 2 €, y que en total tiene 15 monedas. ¿Es verdad lo que dice el chico? 5.- La semana pasada diez botellas de leche y ocho jugos, me costaron 10’98 €. Esta semana, doce botellas de leche y diez jugos me costaron 13’68 €; pero la leche estaba de oferta y cada botella costaba 0’03 € menos, mientras que cada jugo había subido 0’06 €. Calcular el precio de cada producto, cada semana. 6.- Deseo comprar seis lámparas iguales y cinco cuadros del mismo precio, que se exponen en una tienda. Según los precios marcados, todo costaría 50 €; sin embargo, el dueño de la tienda me informa de que las lámparas tienen un 10% de descuento y los cuadros un 20%, por lo que ahora, el importe total de la compra es de 43 €. ¿Qué precios tienen las lámparas y los cuadros? 7.- Un comerciante liquida sus existencias de lápices y gomas. Pretende obtener de la venta 50 € y para ello vende a 0’50 € ada tres lápices y las gomas a 0’10 € cada una. Sabiendo que vendió solamente la mitad de los lápices y las dos terceras partes de las gomas, recaudando 30 €, calcular el número de unidades que vendió de cada artículo. 8.- Los lados de un triángulo son 17, 16 y 9 cm., respectivamente. Si a cada lado le restamos el mismo número resultan las medidas de un triángulo rectángulo. ¿Cuál es ese número? 9.- La suma de los lados de dos cuadrados es 5 cm. Sus áreas se diferencian en 5 cm2. Hallar los lados de dichos cuadrados. 10.- En un triángulo rectángulo la suma de los catetos es 6 m y el área es 4 m2. Hallar la longitud de la hipotenusa. 11.- El perímetro de un rectángulo mide 38 cm. Si la base disminuye en 2 cm y la altura aumenta en 3 cm, el rectángulo se convierte en un cuadrado. ¿Cuánto miden los lados del rectángulo?

12.- Hallar dos números tales que su suma sea 10

7 y su diferencia

20

6.

13.- Decía una campesina: “He vendido los 7

3 de los huevos que llevaba. Si añado 52 a los que me

quedan, tengo los que tenía al principio más la mitad de ellos”. ¿Cuántos huevos llevó al mercado?

4º de E.S.O. A


14.- Don Gaspar, al morir, deja su dinero a tres sobrinos para que se lo repartan de la siguiente manera:

el mayor 3

1 menos 5,00 €; el mediano,

2

1 de lo que queda y 2.000 €, y el menor 20.000 €. ¿Cuánto

recibieron los dos sobrinos mayores?

Un entretenimiento numérico Resolver el crucigrama siguiente (en cada casilla una cifra):

Horizontales 1. Valor de x en el sistema

522

7623

yx

yx

2. Potencia de 2. 3. Valor de y para x=–3 en y–3x =14. Solución de la ecuación 2y + y = 5y.

Verticales 1. Número impar. El doble de la mitad de 5.

2. Valor de y en el sistema

303

152

xy

yx

3. Múltiplo de 4.

15.- Un número capicúa de tres cifras es 28 veces la suma de sus cifras, y la cifra de las decenas es 3 unidades mayor que la de las unidades. ¿Cuál es el número? 16.- Volaba el señor Gavilán cuando se encontró con una bandada de palomas y las saludó de esta manera: “Hola las cien palomas”. Ante esta frase, una de ellas contestó: “No somos cien”. El señor Gavilán, entonces, preguntó de forma autoritaria: “¿Cuántas son?”. Y la más lista de las palomas contestó: “Las que somos, otras tantas como somos, la mitad de las que somos, más la mitad de la mitad de las que somos y usted, señor Gavilán, hacemos un ciento”. El señor Gavilán se quedó pensando y calculando, mientras tanto las palomas se escaparon volando. ¿Puede usted ayudar al señor Gavilán y decirle cuántas palomas había en la bandada?

1 2 3

1

2

3

4º de E.S.O. A


ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 1.- Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado:

1025

2)

3

14

6

5)3243)

492)44)0)2

222222

222222

xxxfxxexxd

xxcxxbxxa

2.- Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado observando el ejemplo:

035

)3

)923)

09)085)0)

101

00)1(0

222

222

2

xxfx

xexxxd

xxcxxbxxa

xx

xxxcomúnfactorsacarpodemosxx

3.- Resolver las ecuaciones siguientes: a) (x – 5)·(x + 5) = 0 b) (3x + 2)2 = 0 c) (x + 3)·(x – 2) = 0 d) (2x + 1)·(x + 2) = 0 e) (x – 5)2 = 0 f) (1 – 2x)·(x + 7) = 0

4.- En la ecuación x2 + bx + 15 = 0, una solución es 5. ¿Cuánto vale b?¿Cuál es la otra solución? 5.- En la ecuación x2 – 5x + c = 0, una solución es 3. ¿Cuánto vale c? ¿Cuál es la otra solución?

6.- Hallar dos números consecutivos cuyo producto es 380. 7.- Hallar dos números cuya suma es –1 y cuyo producto es 2/9. 8.- La suma de un número y su cuadrado es 42. Hallar el número.

9.- Una habitación rectangular tiene una superficie de 120 m2 y su zócalo tiene una longitud de 46 m. Hallar las dimensiones de la habitación. 10.- Para vallar una finca rectangular de 750 m2 se han utilizado 110 m de cerca. Calcular las dimensiones de la finca. 11.- Un depósito de agua tiene forma de prisma recto de base cuadrada, cuya altura es 10 m y su capacidad 4000 m3. Hallar el lado de la base. 12.- La edad de un niño será dentro de tres años un cuadrado perfecto, y hace tres años su edad era precisamente la raíz cuadrada de este cuadrado. Hallar los años que tiene. 13.- Un cuadrado tiene 44 m2 más que otro y éste 2 m menos de lado que el primero. Hallar los lados de los cuadrados.

14.- ¿Qué condición ha de cumplir una ecuación de segundo grado para que una de sus raíces sea 0? Poner un ejemplo que aclare la respuesta. 15.- La ecuación 5x2 – 3x + 1 = 0 no tiene raíces reales. ¿Sabrías explicar por qué sin resolverla?

4º de E.S.O. A


PARA REPASAR ECUACIONES

1.- Descomponer el número 42 en dos sumandos cuya razón sea 4

3.

2.- Unos pantalones y una chaqueta cuestan 112,20 €. ¿Cuánto vale cada pieza si el precio de los

pantalones es 12

5 del precio de la chaqueta?

3.- Para cerrar una finca rectangular se han utilizado 1300 m de valla. Calcular las dimensiones del terreno sabiendo que si tuviese 100 m menos de longitud y 100 más de anchura, sería cuadrado. 4.- Resolver los sistemas de ecuaciones por el método que se considere más adecuado y explicar el resultado:

642

32)

329

43)

yx

yxb

yx

yxa

5.- Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 6 (x – 1) = x + 3 (x – 2) b) 7 + 3 (2 + x) – 3x = 9 + 2x

c) 15

1

3

)13(2

xx d)

5

1)3(26

xx

e) 2x2 – 5x – 3 = 0 f) 5

42

3

1

xx

g) 09

4 2 x h) 4x2 + 12x = 0

6.- Calcular el valor numérico de los polinomios para los valores que se indican:

2

1,273)(

2,1,0522

1)(

2

23

xxparaxxxq

xxxparaxxxxp

7.- Calcular el resultado de las operaciones siguientes y simplificar la expresión final:

222 12)2)

2

1

2

1))3()

xdxcxxbxa

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ÁREAS Y VOLÚMENES APLICANDO RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

1.- El perímetro de un triángulo isósceles es de 25 cm, el lado desigual mide la mitad que cualquiera de los otros dos. Calcular los lados y el área del triángulo. 2.- Calcular el área de un rectángulo cuya base mide 10 cm más que su altura y cuyo perímetro es 40 cm. 3.- El perímetro de un cuadrado y la longitud de una circunferencia es 20 cm. ¿Qué tendrá mayor superficie el cuadrado o el círculo? 4.- Si en un triángulo rectángulo los catetos son a y b y la hipotenusa es c, calcular el valor de x en cada uno de los casos siguientes: a) a = 8, b = 6, c = x; b) a = 8, b = x, c = 9; c) a = b = x, c = 6; d) a = b = 7, c = x 5.- Construimos un triángulo rectángulo de catetos a = b = 1. Calcular la hipotenusa. Con esta hipotenusa de cateto, construimos otro triángulo isósceles. ¿Cuánto mide la nueva hipotenusa? ¿Y si repetimos el proceso 5 veces? 6.- Calcular las diagonales de un prisma recto de base rectangular y dimensiones 5 x 4 x 12 cm.

7.- En el centro de un cuadrado de lado 10 cm se dibuja otro cuadrado de forma que las esquinas del menor están a 2 cm de las esquinas del mayor y sobre sus diagonales. Hallar el lado del cuadrado pequeño y su área.

8.- Calcular el área lateral y el volumen de un prisma recto de altura 5 cm y cuya base tiene 3 x 4 cm. Dibujarlo. 9.- Calcular el área total y el volumen de una pirámide triangular recta con aristas laterales de 6 cm y con base un triángulo equilátero de 4 cm de lado. Dibujarla. 10.- Calcular las áreas y el volumen de un cilindro de 3 cm de radio de la base y 5 cm de altura. 11.- Calcular el área lateral y el volumen de un cono de 4 cm de radio y 6 cm de generatriz. 12.- Un depósito cilíndrico de 2 m de radio y 5 m de altura está lleno de agua. Echamos dentro una bola de piedra de 3 m de diámetro. ¿Qué cantidad de agua se desbordará y cuánta quedará en el depósito? 13.- En un depósito cúbico de arista 3 m lleno de agua, introducimos una esfera de 1’5 m de radio. ¿Qué cantidad de agua hay en el cubo antes y después de introducir la esfera? 14.- ¿Qué cantidad de cartulina hace falta para construir un cilindro de 12 cm de altura y 4 cm de radio? 15.- ¿Qué cantidad de agua cabe en una jarra cilíndrica de 5 cm de radio y 15 cm de alto? Recordar la equivalencia entre volumen y capacidad: 1000 cm3 = 1 litro.

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REPASO DE LA 2ª EVALUACIÓN 1.- Calcular el resultado lo más simplificado posible:

a)

3

2·

2

5

4

3·

2

1

3

1 b)

22

5

3

2

1

3

5:

6

1

2

1

5

3

2.- Simplificar utilizando las propiedades de las potencias:

a) 34

0523

4·32·2

2·2·16·8

b) 16·5·5

8·2·50·4052

521


a) 54724625

b) 2535252

4.- Organizar en una tabla, de forma ordenada, los datos siguientes referidos a las notas de Matemáticas de 17 alumnos:

2, 5, 4, 3, 5, 5, 7, 6, 6, 8, 5, 3, 2, 7, 3, 5, 2 a) Representar los datos mediante un diagrama de barras. b) Calcular la nota media del grupo, la moda y la mediana. c) Calcular el porcentaje correspondiente a cada nota. ¿Cuál es el porcentaje de aprobados?

5.- Resolver la ecuación siguiente: )23()3(2)2(5)2(3 xxxxxx

6.- Si al triple de un número le restamos su quinta parte, se obtiene el mismo número aumentado en 9 unidades. ¿De qué número se trata? 7.- Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones, indicando el método utilizado, y explicar la solución:

a)

324

12

yx

yx b)

02

423yx

yx

8.- Resolver las ecuaciones siguientes:

a) 3

5

3

1

2 x

x b)

28

2

37

xx

9.- El resultado de restar al doble de un número la tercera parte de dicho número es 20. ¿De qué número se trata? 10.- Estudiar el número de soluciones de las siguientes ecuaciones, y, en las que sea posible, escribir cuatro soluciones: 77)08)86)2023) xxdyxcxxbyxa

11.- Desarrollar las identidades notables siguientes, indicando el tipo de identidad de que se trata:

a) (x + 5)2 , b) (3 – x) (3 + x), c) (2p – 3)2 12.- Desarrollar y expresar el resultado simplificado:

a) 225 , b) 2374 , c) 2626 , d) 2

3

2

a

13.- Resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado completas e incompletas:

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0)2()035)032)0273) 222 xxdxxcxxbxa

14.- Hallar todos los casos en los que el producto de dos números enteros consecutivos sea 420. 15.- El precio de la bajada de bandera de un taxi es 2’20 € y cada km. recorrido cuesta 1’30 €. Encontrar una fórmula que ayude a calcular el importe de un viaje en función de los kilómetros recorridos. Representar gráficamente la función que relaciona el importe y el recorrido.

16.- a) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 52 cm. y uno de sus catetos 6cm. ¿Cuánto

miden el otro cateto y el área del triángulo? 17.- Calcular el área total y el volumen de un cilindro de altura 20cm. y radio de la base 4cm. 18.- Para una merienda se han comprado bocadillos de jamón a 2,80 € la unidad y de queso a 2,50 €. En total se pagan 48 € por 18 bocadillos. ¿Cuántos bocadillos de jamón se compran? 19.- José le dice a Inés: “Si te doy 10 discos tendrías la misma cantidad que yo”. Inés le responde: “Tienes razón. Solo te faltan 10 discos para doblarme en número”. ¿Cuántos discos tienen cada uno? 20.- Hallar las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide 60cm y que la base es el doble de la altura. 21.- Dos kilos de albaricoques y tres kilos de brevas cuestan 13 €. Tres kilos de albaricoques y dos kilos de brevas cuestan 12 €. ¿Cuál es el precio del kilo de albaricoques?

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AUTOEVALUACIÓN 2ª PARTE DEL CURSO 1.- Resolver las operaciones:

2:

3

24

3

24

1)12

1

5

1:4

4

112

2

1)

2

ba

2.- a) Utilizando las propiedades de las potencias, simplificar la expresión: 425

433

2·10·15

12·8·25

b) desarrollar las siguientes identidades notables:

yxyxcyxbxa 22)3)32)2322

3.- Resolver las siguientes ecuaciones:

110)

0402)8

)1(34

4

2

2

)1(5)

2

2

xc

xxb

xx

xxa

4.- Buscar dos números tales que si se suma 7 al primero se obtiene el segundo y si se añade 3 al segundo se obtiene el doble del primero.

5.- Resolver por los 4 métodos el sistema:

2

4

yx

yx

6.- Un delantero de un equipo de fútbol ha jugado las 11 últimas temporadas marcando, por temporada, los goles que se recogen en la siguiente lista: 12, 15, 13, 12, 8, 20, 15, 17, 19, 12 y 16.

a) Ordenar los datos en una tabla de frecuencias y representarlos mediante un diagrama. b) Calcular la media, moda y mediana de los datos.

7.-Sabiendo que las notas de un grupo de 20 alumnos son:

2, 3, 5, 6, 8, 2, 1, 2, 8, 9, 2, 3, 4, 5, 2, 1, 1, 3, 2, 6. a) Dibuja los diagramas de frecuencias. b) Calcula la media aritmética y la desviación típica.

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LOS DATOS QUE NOS RODEAN Para estudiar la realidad se observan los fenómenos y se toman datos. Muchos de estos datos son numéricos y con ellos se elaboran tablas y representaciones gráficas de las que se puede extraer una gran cantidad de información. Los fenómenos que se estudian pueden ser deterministas (que se rigen por una regla determinada) o aleatorios (que no se comportan de forma determinada, sino que se rigen por el azar). Ejemplos de fenómenos deterministas:

- La presión atmosférica depende de la altura. - El espacio recorrido en cierto tiempo depende de la velocidad. - El precio del transporte depende del precio del petróleo. - El espacio recorrido depende del tiempo que dure el movimiento. - El peso de un bebé depende de los meses de vida que tenga.

En todos estos casos, las magnitudes que se observan están relacionadas, presión – altura, espacio – velocidad, peso – edad. Y esta relación se denomina función. Ejemplos de fenómenos aleatorios:

- Sacar un cinco al tirar un dado. - El número de coches que pasa por una calle. - El número de chicas que practican baloncesto en el instituto. - El número de personas rubias que entran en un cine. - Sacar un rey al elegir una carta de una baraja. - Sacar una bola blanca de una urna que contiene bolas blancas, verdes y rojas.

En todos estos casos no hay una regla fija para conocer el resultado, sino que dependen del azar.

Actividad 1: Tablas de datos Completar las tablas siguientes, donde la magnitud Y depende de la magnitud X mediante la relación que se indica en cada caso:

X –2 –1 0 7 12

Y = 3X 45

X –3 –2 0 4

Y = 2X+1 7 15

X –4 –1 0 3

Y = X3 8 125

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LAS GRÁFICAS

Actividad 2: Analizar una gráfica para extraer información de ella Un grupo de amigos hace una excursión en bicicleta a un bosque que está a 44 km de su pueblo. Para llegar hay que seguir un itinerario con subidas y bajadas. Están allí un rato y se vuelven. Observar la gráfica y contestar las siguientes preguntas:

1. ¿Qué significan los números del eje horizontal de la gráfica espacio – tiempo? ¿Y los del eje vertical?

2. ¿A qué hora salieron? 3. ¿Cuántos km hay, aproximadamente, desde el comienzo de la primera cuesta hasta la cima?

¿Cuánto tiempo tardaron en subirla? 4. ¿Cuántos km hay de bajada? ¿Qué tiempo se tarda? 5. ¿Qué distancia hay desde la hondonada hasta el bosque? ¿Cuánto tardaron en recorrerla? 6. ¿Cuánto tiempo estuvieron descansando en el bosque? 7. ¿Cuánto tardaron en ir del pueblo al bosque? ¿Y del bosque al pueblo?¿A qué puede deberse la

diferencia?

50

40

30

20

10

0 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Actividad 3: Gráficas a partir de datos Representar gráficamente en un sistema de dos ejes (uno horizontal y otro vertical) la relación entre el tiempo transcurrido y el coste de las llamadas telefónicas, teniendo en cuenta los siguientes datos

a) Primer minuto 0’40 euros b) Cada minuto o fracción siguiente 0’20 euros c) Encontrar una fórmula que relacione el coste, C, de una llamada con su

duración, t.

Actividad 4: Gráficas a partir de fórmulas Expresar y representar las siguientes relaciones:

a) El perímetro de un cuadrado en función de su lado. b) El perímetro de un triángulo equilátero en función del lado. c) La longitud de una circunferencia en función del radio.

Actividad 5: Otras gráficas La relación entre el área de un cuadrado y su lado viene dada por la fórmula A = l2 (Área = lado al cuadrado). Representar la gráfica del área de un cuadrado al variar la longitud del lado desde 5cm hasta 12cm, en dos ejes (la medida del lado en horizontal y el área en vertical).

cuesta

hondonada

bosque

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Si se estudia la temperatura de una ciudad a lo largo de un día habrá una temperatura para cada hora; si se elabora una tabla con los países de la Unión Europea y su superficie en km2, habrá una cantidad para cada país.

Funciones: Se dice que se tiene una función cuando a cada elemento de un conjunto se le asocia un único elemento de otro conjunto.

Variable independiente: Se llama variable independiente, y se representa por la letra x, a cualquier elemento del primer conjunto.

Variable dependiente: Se llama variable dependiente, y se representa por la letra y, a cualquier elemento del segundo conjunto.

Expresión algebraica o ecuación: En algunas funciones, realizando ciertas

operaciones con cada valor de la variable independiente se obtiene el correspondiente valor de la variable dependiente. En estos casos se dice que la función tiene una expresión algebraica o ecuación.

Gráfica de la función: Las funciones se suelen representar gráficamente en un

sistema de ejes cartesianos. En el eje horizontal se representan los valores de la variable independiente y en el eje vertical los de la variable dependiente. Los pares de valores (x, y) se denominan puntos y el conjunto de puntos recibe el nombre de gráfica de la función. Analizando la gráfica de una función podemos estudiar su continuidad, su crecimiento y decrecimiento, los valores máximos o mínimos que alcanza, si es o no periódica, o simétrica, y muchas otras características.

Algunas funciones sencillas son: Función de proporcionalidad directa. Es de la forma axy . Se llama

también función lineal. En estas funciones las variables x e y son directamente proporcionales y a es la constante de proporcionalidad. Su gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas.

Función afín. Es de la forma baxy . En este caso a representa la pendiente

de la recta y b es la ordenada en el origen )0( b . Su gráfica es una recta que no

pasa por el origen de coordenadas.

Función de proporcionalidad inversa. Es de la forma x

ay . Si la variable

independiente aumenta de valor, la variable dependiente disminuye. Su gráfica es una curva de dos ramas que se llama hipérbola.

Función cuadrática. Es de la forma cbxaxy 2 . Su gráfica es una curva

que se llama parábola, simétrica respecto de un eje central. Tiene un punto máximo o mínimo, según que a sea negativo o positivo.

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FUNCIONES LINEALES 1.- El precio de la bajada de bandera en un taxi es de 1€ y cada Km recorrido cuesta 1’50 €. Llamamos N al número de Km recorridos e I al importe en euros del viaje.

a) ¿Cuánto cuesta un viaje de 3 Km? ¿Y uno de 3’5 Km? b) Encontrar una expresión matemática o fórmula para el importe del viaje. c) Contestar las mismas preguntas si el recorrido costara 2’50 € por cada 3 Km.

2.- En un restaurante, el coste de un menú es de 12 €. Cuando el camarero trae la cuenta descubrimos que, además del coste por cada menú, pagamos una cantidad fija de 3 € por el servicio de cada mesa.

a. ¿Cuál será la expresión algebraica de la función que nos da el coste de la comida de una familia

dependiendo del número de sus miembros?

b. ¿Cuál es la variable independiente? ¿Cuál es la variable dependiente?

c. Construye una tabla de valores que relacione el número de miembros con el coste de su comida

d. Representa la función gráficamente

3.- Un compañía telefónica cobra 15 céntimos por el establecimiento de llamada, más 2 céntimos por cada minuto que dure la comunicación.

a) Construye una tabla de valores que relacione los minutos de la llamada con lo que costará. b) Indica cuál es la variable dependiente y cuál la independiente c) Represéntalo gráficamente. d) Obtén la expresión algebraica de la función.

4.- Dados los siguientes sistemas de ecuaciones (cada ecuación representa una recta):

3

22

3

1

3

12

y

xy

xy

xy

xy

xy

a) Dibujar las rectas de cada sistema, ¿son paralelas o se cortan? b) Si tienen algún punto en común, encontrar sus coordenadas.

5.- El bidón de aceite. Teniendo en cuenta que un litro de aceite pesa 0’92 kg y que un bidón vacío pesa 5 kg:

a) ¿Cuántos litros de aceite contendrá el bidón cuando pese 30 kg? ¿Cuánto pesa con 10 litros de aceite?

b) Encontrar una fórmula para calcular el peso del bidón según la cantidad de aceite. c) Representar gráficamente la relación peso del bidón (eje Y) – cantidad de aceite (eje X). d) Con otro tipo de aceite que pesa 0’80 kg el litro, ¿cuál será la fórmula para calcular el peso del

bidón? Representar esta nueva relación en el mismo sistema de ejes anterior. e) ¿Qué significado tiene la pendiente de las rectas que se obtienen? Indicar cuál es la ordenada

en el origen de las rectas (intersección de las rectas con el eje de ordenadas).

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6.- Comparando gráficas: Considerar la relación que a cada número le hace corresponder su doble y completar la tabla:

x –3 –1 0 1/2 3/2

y –6

a) Representar gráficamente la relación anterior e indicar la pendiente y la ordenada en el origen. b) Considerar las relaciones que:

- A cada número le hace corresponder su doble más tres. - A cada número le hace corresponder el doble de la suma del número más tres.

Para cada una de estas relaciones hacer una tabla y una gráfica. ¿En qué se parecen y en qué se diferencian las tres gráficas?

7.- Representar las siguientes rectas en un mismo sistema de ejes coordenados y observarlas ¿a qué se deben sus diferencias?:

a) y = x b) y = – x c) y = 3x d) y = – 3x e) y = x + 2 f) y = x – 2 g) y = – x + 1 h) x = 2

8.- Resolver analítica y gráficamente los siguientes sistemas lineales:

yx

yx

yx

yx

yx

yx

yx

yx

393

3

53

654

336

02

245

42

Indicar cómo son las rectas de cada sistema y comprobar cuántos puntos en común tienen en cada caso. 9.- Escribe la ecuación de la recta r en cada caso:

10.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (–3, 1) y (1, –3). Representarla gráficamente. 11.- Asocia cada recta con su ecuación: a) y – 2 = 0 b) 4x –5y = 0 c) 4x + 3y = 12

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FUNCIÓN CUADRÁTICA: LA PARÁBOLA 1.- Se considera la relación siguiente: a cada número se le asocia su cuadrado (y = x2). a) Completar la tabla de valores:

x –4 –3’25 –2 –1’75 –0’8 –0’3 0 0’3 0’8 1’75 2 3’25 4

x2

b) Representar los datos de la tabla en un sistema de ejes coordenados XY con origen en O. c) Trazar la línea que une los puntos obtenidos en el apartado anterior. d) Analizar las características de la gráfica obtenida (siempre está por encima del eje OX, excepto en x=0, que vale 0; es simétrica respecto del eje OY; tiene un punto mínimo, que se llama vértice). 2.- Considerar la relación y = – x2. Hacer una tabla de valores y representarlos gráficamente. Dibujar la línea que pasa por lo puntos obtenidos. ¿Qué características se pueden observar?

3.- Representar las graficas correspondientes a las relaciones siguientes: y = 2x2; y = 2

1x2.

Comparar ambas gráficas con la del ejercicio 1 y explicar qué diferencias se observan. La gráfica de la función cuadrática y=x2, y de todas las que tienen sus mismas características, se denomina parábola. Si a una parábola se la hace girar alrededor de su eje, se obtiene un paraboloide, que es la forma que tienen muchas antenas de comunicación. Esta figura tiene una particularidad y es que todas las ondas que llegan a través del espacio, paralelas a su eje, al chocar con las paredes van a parar a un punto fijo que se llama foco. Esto hace que el foco sea un buen receptor del sonido.

4.- Representar las gráficas de las funciones cuadráticas siguientes: a) y = x2 + 1 b) y = x2 – 1 c) y = x2 + 3 d) y = x2 – 3

¿Cuál es el eje y el vértice de cada una de las parábolas anteriores? 5.- Representar las gráficas de las funciones cuadráticas:

a) y = (x + 1)2 b) y = (x – 1)2 c) y = (x + 3)2 d) y = (x – 3)2 ¿Cuál es el eje y el vértice de cada una de las parábolas anteriores? 6.- Representar las siguientes funciones cuadráticas:

a) y = –(x + 1)2 b) y = –x2 + 1 c) y = –(x + 3)2 d) y = – x2 – 3 ¿Cuál es el eje y el vértice de cada una de las parábolas anteriores? 7.- Representar las parábolas: a) y = x2 +3x +2; b) y = –x2 + x + 2; c) y = 2x2 –5x +1. Para ello, ten en cuenta que el eje de una parábola de ecuación y = ax2 + bx + c, pasa por el vértice, y

que la x del vértice es a

bxV

2

.

8.-Asociar a cada una de las gráficas una de las expresiones siguientes:

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REPASO DE LA 3ª EVALUACIÓN 1.- El precio de la bajada de bandera de un taxi es 1’30 € y cada km recorrido cuesta 1’50 €.

a) Encontrar una fórmula que relacione el importe de un viaje (y) con los km recorridos (x). b) ¿Cuánto costará un viaje de 6 km? c) Si he pagado 16’30 € ¿Cuántos km he recorrido en taxi? d) Representar gráficamente la relación coste del viaje – kilómetros recorridos.

2.- Resolver analítica y gráficamente el sistema de ecuaciones lineales siguiente:

52

1145

yx

yx

3.- Representar en un mismo sistema de ejes coordenados XY las gráficas de las siguientes funciones cuadráticas y comentar sus características más importantes:

3))4() 22 xybxya

4.- Resolver analítica y gráficamente el sistema de ecuaciones:

245

42

yx

yx

5.- Representar en un mismo sistema de ejes XY, las funciones cuadráticas siguientes, indicando cuáles son sus características más importantes y cómo se llaman las gráficas:

22

21 )3()2) xybxyb

6.- Calcular el área lateral y el volumen de un prisma recto de altura 7 cm y cuya base es un rectángulo de 4 y 5 cm, respectivamente. 7.- Calcular el área de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 25 cm y uno de sus catetos 20 cm. 8.- Hallar todos los casos en que el producto de dos números consecutivos sea 156.

9.- Resolver analítica y gráficamente el sistema de ecuaciones lineales:

72

1843

yx

yx

10.- El precio de la bajada de bandera de un taxi es 1’25 € y cada km. recorrido cuesta 1’30 €. Encontrar una fórmula que ayude a calcular el importe de un viaje en función de los kilómetros recorridos. Representar gráficamente la función que relaciona el importe y el recorrido. 11.- Representar en un mismo sistema de ejes coordenados XY las gráficas de las siguientes funciones cuadráticas y comenta sus características más importantes:

3))4() 22 xybxya

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AUTOEVALUACIÓN FINAL 1.- Resolver las operaciones siguientes:

a) 6

21:

3

7

2

9·

3

4

3

1 ; b)

185

2035

2·2

2·2

; c)

6

5:

2

3

2

1

13

2·

2

11

2.- Se vende un terreno de 540.000 m2 a tres socios, de modo que el primero paga 3000 €, el segundo la tercera parte que el primero y el tercero el doble que el primero.

a) ¿Cuánto terreno corresponde a cada socio? b) ¿Qué fracción del total le correspondió a cada uno?

3.- La sombra que proyecta una torre mide 10m. A la misma hora del día la sombra de un señor de 1.80m de altura mide 0.5 m. a) ¿Cuánto mide la torre? b) ¿Cuál es el ángulo bajo el que se observa la torre desde el suelo?

4.- a) Resolver la ecuación: 2

11

3

2

xx

b) Resolver las ecuaciones de segundo grado: 0324)0253) 22 xxbxxa

5.- a) Resolver analítica y gráficamente el sistema:

34

52

yx

yx

b) En un corral hay gallinas y cabras, en total 70 animales. Sabiendo que el número de patas es 190, ¿cuántos animales de cada tipo hay? 6.- a) Calcula el área de un hexágono de 10 m de longitud del lado. b) Para vallar una finca rectangular de 750 m2 se han utilizado 110 m de cerca. Calcular las dimensiones de la finca.

7.- a) Representar gráficamente la función 42 xy

b) Indica el dominio, recorrido y crecimiento y decrecimiento de las funciones:

86),42),1

1) 2

xxycxyb

xya

8- Un delantero de un equipo de fútbol ha jugado las 11 últimas temporadas marcando, por temporada, los goles que se recogen en la siguiente lista: 12, 15, 13, 12, 8, 20, 15, 17, 19, 12 y 16.

c) Ordenar los datos en una tabla y representarlos mediante un diagrama de barras. d) Calcular la media, moda y mediana de los datos.

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4º de E.S.O. I.E.S. Teobaldo Powermatematicas.teobaldopower.org/cuadernillos/Cuadernillo e4 aplicadas... · En los siguientes apartados realizar las operaciones que se indican, primero