Apakah Logika Anda Bersifat Samar?: Matematika Baru

Paradoks Russel (Meta Bahasa)

Seseorang datang mendekati anda di jalanan dan mengatakan,

“Apapun yang aku jelaskan kepada anda adalah kebohongan. Apakah

dia sedang menjelaskan kebenaran? Ini adalah sebuah versi dari

“paradoks pembohong dari Kreta,” disebut demikian karena ia

mengikuti jejak kecerdasan Epimenides, dari Kreta, yang mengatakan

bahwa “semua warga Crete adalah pembohong.”

Tak seorangpun yang tahu apa yang mesti dilakukan dengan

teka-teki yang memusingkan ini hingga filosuf Inggris, Bertrand Russel

(1872-1970) menghadapi paradoks serupa dalam ilmu logika. Paradoks

versi Russel ini muncul dalam upayanya tentang penemuan bahwwa

“kebenaran” matematis itu bukanlah apa yang pernah kita pikirkan

sebelumnya.

Beberapa abad sebelumnya, Euclid telah mengajukan lima

aksioma geometri, dan setiap orang menerima semua aksioma itu

karena mereka tampaknya dapat diterapkan dalam realitas. Tapi, di

abad sembilan belas, telah ditunjukkan bahwa geometri-geometri

sama valid dan konsistennya, bisa dibangun dari apa yang tampaknya

sebagai asumsi-asumsi “palsu”. Misalnya, Euclid meyakini pendapat

bahwa sebuah garis lurus dan sebuah titik yang bukan pada garis itu,

hanya satu garis lain yang dapat ditarik melalui titik itu sehingga

akanmenjadi paralel dengan garis pertama. Asumsi seperti ini, secara

intuitif, tampaknya benar. Tapi, jika kita mengajukan postulat yang

bertentangan bahwa ada lebih dari satu garis paralel, yang dapat

ditarik dari titik itu, atau, pada sisi lain, bahwa tidak ada garis paralel

yang dapat ditarik, kita masih dapat memperoleh geometri dengan

logika yang tepat. (Geometri-geometri semacam ini disebut “non-

Euclidean”). Premis-premis ini tidak lagi bersifat “benar” atau “salah”

daripada premis Euclid, setidaknya dengan standar pembuktian yang

ketat; sungguh, teori relativitas Einstein membutuhkan geometri non-

Euclidean.

Sebagaimana dengan geometri, demikian pula dengan ilmu

matematika dan semua cabang matematika. Jika validitas matematika

dapat dipastikan, maka, kita harus melihat hal lain selain intuisi,

pemahaman awam (common sense), atau pengalaman praktis. Untuk

menempatkan konsep-konsep matematika yang meragukan di atas

dasar pijakan yang lebih pasti, pikir Russel, yang dibutuhkan oleh

seseorang hanyalah menemukan komponen-komponen sederhana

darimana mereka dikonstruksikan. Komponen-komponen ini bersandar

pada logika, yang prinsip-prinsipnya adalah tentang semua hal yang

bersifat pasti. Oleh karena itu, yang ingin dilakukan Russel adalah

menganalisa aritmatika, secara menyeluruh, menjadi gagasan-

gagasan yang dapat diterima secara logis. (Kebanyakan matematika

dapat disumberkan dari aritmatika murni). Bersama dengan seorang

pakar matematika Alfred North Whitehead, dia mempersembahkan

tiga volume Principia Mathematica (1910-1913) atas upayanya yang

sistematis ini.

Yang menjadi batu sandungan pertama adalah tiga istilah

aritmatika yang tak dapat didefinisikan: “Nol [zero]”, “angka

[number]”, dan “suksesor [yang mengikuti setelahnya]” (sebagaimana

dalam pernyataan, “angka 1 adalah kelanjutan dari nol). Setiap

proposisi aritmatika lain begitu mengikuti tiga istilah ini menjadi

terdefinisikan. Terhadap tujuan ini, Russel berpaling pada logika

tentang “kelas-kelas” atau set-set1, yang merupakan mata pisau yang

mengemuka dari matematika teoritis. Russel berpikir bahwa dia dapat

mendefinisikan baik “nol” dan “angka” dengan konsep logis dari

sebuah set dari set-set , atau sebuah “kelas dari kelas-kelas”. Tapi,

sebagaimana telah diketahui, konsep ini sama sekali tidak berjalan; ia

mengarah pada kontradiksi-kontradiksi dan paradoks-paradoks,

bahkan mengarah pada logika semacam paradoks pembohong dari

Kreta.

Masalah-masalah dimulai ketika kita mencoba untuk

memperlakukan kelas-kelas dengan cara yang sama dengan obyek-

obyek yang mereka cakup. Dalam banyak kasus, perbedaan ini jelas

dan mudah dipahami. Pikirkan tentang enam pack bir sebagai sebuah 1 Set = Sekelompok orang atau benda dari jenis yang sama dan menjadi milik bersama.

set atau “kelas” dari botol-botol bir; mudah dipahami enam pack bir ini

bukanlah satu botol bir, dan enam pack bir tidaklah dapat

mengandung enam pack bir lainnya. Namun, sebuah kasus tentang bir

ini mungkin saja mengandung empat per enam packs, yang

membuatnya sebuah “kelas dari kelas-kelas: (suatu set dari empat per

enam packs, yang diri mereka sendiri adalah set-set). Pertanyaannya

adalah apakah terdapat kurang dari sebuah perbedaan antara suatu

misal dan suatu enam-pack daripada terdapat antara suatu enam-pack

dan satu botol bir. Pada akhirnya, satu misal dan suatu enam-pack ini

adalah kelas-kelas, sehingga mereka mungkin mempunyai sifat-sifat

yang serupa.

Disinilah dimana paradoks itu muncul. Sebuah set dari benda-

benda fisik tidak dapat mengandung dirinya sendiri, ketika suatu set

itu bukanlah sebuah benda fisik. Misalnya, sebuah kotak dari botol-

botol, tidak mengandung dirinya sendiri, ketika sebuah kotak bukanlah

sebuah botol. Hal yang sama bahkan dapat dikatakan tentang set-set

tertentu tentang set-set. Ambil contoh kelas dari kelompok-kelompok

etnik di California. Masing-masing kelompok, dalam dirinya sendiri

adalah sebuah set---set orang-orang Latin, set orang-orang China, set

orang-orang Afro-Amerika, set orang-orang Eropa-Amerika, dan lain-

lain. Tapi, set dari kelompok-kelompok etnik ini dalam dirinya sendiri

bukanlah sebuah kelompok etnik, jadi, ia tidak mengandung dirinya

sendiri.

Demikian pula, set dari semua kucing, tidak mengandung dirinya

sendiri, ketika ia bukanlah seekor kucing. Tapi, bagaimana dengan set

dari semua yang bukan kucing? Apakah sesuatu itu adalah seekor

kucing atau bukan, dan suatu set ini bukanlah sebuah kucing: oleh

karena itu, set dari semua non (yang bukan)-kucing ini harus

mengandung dirinya sendiri. disinilah suatu contoh yang bahkan lebih

sederhana: set dari semua set-set. Ketika set dari semua set-set ini

adalah sebuah set, demikian pula, ia juga harus mengandung dirinya

sendiri. disinilah dimana sesuatu yang menghibur bermula.

Ketika suatu set, baik yang mengandugn dirinya sendiri atau

bukan, kita mungkin membagi semua set-set yang mungkin ini ke

dalam dua kelompok atau kelas-kelas: kelas dari set-set yang tidak

mengandung diri mereka (sebutlah ini N, untuk “tidak”) dan kelas dari

set-set yang mengandung diri mereka sendiri (sebutlah ini Y untuk

“Ya”). Set dari botol-botol bir termasuk dalam N, sebagaimana juga

set-set dari kucing-kucing dan set-set tentang kelompok-kelompok

etnik di California. Set-set seperti set dari semua set-set dan set dari

non (yang bukan)-kucing, termasuk dalam Y.

Seseorang mendekati anda di jalanan dan mengatakan: “Set N

mengandung dirinya sendiri.” Apakah anda percaya kepadanya?

Ini adalah paradoks Russel, yang menyalahkan upaya apapun

untuk mendasarkan aritmatika pada logika tentang set-set.

Jawabannya adalah, jika anda berpikir tentangnya, bahwa tidak ada

jawaban: kita telah sampai pada suatu kegagalan logika. Karena jika N

mengandung dirinya sendiri, maka N adalah berdasarkan definisi

sebuah set yang tidak mengandung dirinya sendiri. tapi, jika kita

berasumsi bahwa N tidak mengandung dirinya sendiri, maka ini adalah

sebuah set yang tidak mengandung dirinya sendiri, jadi, ia harus

dimasukkan ke N apapun yang terjadi.

Russel menyadari bahwa masalahnya disini adalah

memperlakukan semua set-set yang sangat mirip, karena ini adalah

tentang bagaimana kita mendapati diri kita dibuat ruwet oleh dalam

isu tentang set-set yang dapat mengandung diri mereka sendiri. untuk

menghindari malu semacam ini, dia mengajukan pendapat bahwa set-

set seharusnya dipertimbangkan menurut apa yang dia sebut sebagai

“tipe” mereka. Suatu set tentang obyek-obyek yang jelas adalah

tentang tipe paling rendah (paling mendasar)-----sebutlah ia suatu set

“tipe I”. Set-set semacam ini mungkin mengandung hanya obyek-

obyek, bukan set-set yang lain. Di urutan selanjutnya adalah set-set

“tipe 2”, yang mungkin mengandung obyek-obyek tapi juga set-set

tipe I. Set dasar dari set-set anda (seperti kotak botol-botol kita)

adalah suatu set tipe 2; ia tidak pernah dapat mengandung dirinya

sendiri, ketika ia hanya mengandung set-set dari tipe yang lebih

rendah. Lebih tinggi lagi adalah set-set tipe 3, yang mungkin

mengandung obyek-obyek, set-set tipe I, dan juga set-set tipe 2.

Demikian pula, set-set ini tidak pernah dapat mengandung diri mereka

sendiri. Dan seterusnya. Begitu perbedaan-perbedaan semacam ini

telah diberikan, pertanyaan tentang apakah sebuah set mengandung

dirinya sendiri menjati tidak bermakna.

Russel memikirkan bahwa suatu logika yang serupa, dapat

memperjelas paradoks-paradoks tentang bahasa seperti paradoks

pembohong dari warga Creta. Meskipun, dia tidak menggunakan istilah

ini, apa yang pada dasarnya dia ajukan adalah konsep tentang “meta-

bahasa”, bahasa yang membuat suatu pernyataan tentang dirinya

sendiri. kita mungkin menyebut set tipe dasar I hanya suatu “set” yang

sederhana dan jelas, dan menyebut set tipe 2 yang mencakupnya

sebagai “meta-set”. Demikian pula, kita dapat menyebut pernyataan-

pernyataan tentang obyek-obyek atau hubungan-hubungan yang

sederhana, seperti “kucing ada di atas karpet”, hanya sekadar “bahasa

yang jelas dan sederhana” (atau “bahasa obyek”). Pernyataan-

pernyataan yang mengacu pada bahasa yang sederhana, maknanya,

atau kebenarannya, namun, bukanlah bahasa yang sedrhana tetapi

“meta-bahasa”. (Dan bahasa tentang me-bahasa adalah meta-meta-

bahasa”). Untuk menghindari paradoks pembohong dari Creta, yang

harus anda kerjakan adalah memisahkan meta-bahasa dari bahasa

dan berhati-hati untuk tidak memperlakukan kebenaran-kebenaran

tentang seseorang sebagai kebenaran-kebenaran tentang orang lain.

Paradoks-paradoks seperti “Apa saja yang aku katakan adalah suatu

kebohongan” harus disingkirkan ke wilayan tentang hal-hal yang tidak

masuk akal, ketika mereka mencoba untuk menyetarakan bahasa

dengan meta-bahasa, dengan mendobrak hirarki dan melilitkan bahasa

kembali pada dirinya sendiri.

Namun, dengan menggenggam bahasa dan meta-bahasa secara

terpisah adalah jauh lebih sulit daripada tampaknya. “Kalimat

sebelumnya mempunyai 13 kata” adalah contoh sederhana dan jelas

dari meta-bahasa, yang juga terjadi sebagai benar adanya. Tapi,

cobalah pernyataan yang lain. “Paragraf ini mempunyai delapan

kalimat”. Yang membuat sulit dengan pernyataan meta-bahasa ini

adalah bahwa ia memperhitungkan dirinya sendiri sebagai satu dari

kalimat-kalimat itu---yaitu, ia mengacu bukan hanya pada bahasa

sehari-hari yang biasa, tapi juga mengacu pada meta-bahasa. Apakah

ia, dengan demikian adalah sebuah pernyataan meta-meta-bahasa?

Dan kemudian apakah pertanyaan terakhir itu sebagai meta-meta-

meta-bahasa? Jadi, akankah fakta bahwa paragrap ini mempunyai

delapan kalimat menjadi suatu pernyataan meta-meta-meta-meta-

bahasa?

Tidak menjadi masalah. Russel hanya concern dengan

matematika dan tidak concern pada bahasa sehari-hari. Tapi, bahkan

pendekatannya yang telah ditingkatkan kualitasnya terhadap logika

matematika tidak cukup dikembangkan dengan lebih baik, bahkan

setelah dia mengakhiri teori set dan menggabungkan gagasan-

gagasan yang tampaknya lebih dapat diandalkan dari logika

proposisional. Ketika ia telah berakhir, anda tidak dapat memperoleh

upaya pengacuan-diri atau menyebarkan yang berdasarkan pada

sistem ini: selalu ada sebuah paradoks pembohong dari Creta yang

bersembunyi dalam aksioma-aksioma. Paradoks yang tersembunyi

dalam Principia Whitehead dan Russel telah menjadi jelas delapan

belas tahun kemudian ketika seorang pakar matematika Austria

mengembalikan paradoks Russel untuk menentang Russel.

Teorema Tidak Lengkap Godel

Bagi setiap ש-konsisten kelas rekursif (yang berulang) K dari formula yang ada, sesuai dengan tanda-tanda-kelas r (class-signs r) yang rekursif, yang semacam ini bukanlah v Gen r tidak juga Neg (v Gen r) menjadi milik Flg (k) (di mana v adalah variabel bebas dari r). Kurt Godel, “On Formally Undecidable Propositions in Principia Mathematica and Related Systems I” (1931)

Jika anda jadi bingung setelah membaca kutipan di atas,

bergabunglah dengan klub. Bahkan banyak dari pakar matematika

yang tidak dapat memahami respons dan jawaban Kurt Godel, yang

dipublikasikan tahun 1931, atas karya hebat Whitehead dan Russel

tentang logika simbolik, Principia Mathematica.

Sebuah kesimpulan cepat tentang respons Godel adalah sebagai

berikut: sistem pemikiran formal apa saja yang kompleks, seperti

logika standar atau aritmatika, adalah pasti tidak lengkap. Dalam

istilah yang sedikit lebih pasti: diberikan sebuah angka yang terbatas

tentang asumsi-asumsi elementer (“aksioma-aksioma”) dan aturan-

aturan untuk mendeduksi proposisi-proposisi dari mereka, anda akan

selalu, jika aksioma-aksioma itu konsisten, dapat menghasilkan

setidaknya satu pernyataan yang benar yang tidak dapat dibuktikan

oleh sistem itu.

Intisari yang lebih luas dari Godel adalah bahwa sistem-sistem

tanda yang formal semacam aritmatika murni tidak pernah dapat

digunakan untuk membuktikan kelengkapan atau konsistensi mereka

sendiri. (Sebuah sistem yang “lengkap” akan menghasilkan semua

pernyataan-pernyataan yang benar; sebuah sistem yang “konsisten”

tidak akan menghasilkan kontradiksi-kontradiksi). Menambahkan

(melengkapi) atau memperluas sistem tidak pernah dapat

memperbaiki dan menolong situasi ini; kita harus melihat di luarnya

untuk meyakinkan kembali. Tapi, kemudian, kita harus menunjukkan

bahwa metode-metode luar itu, dalam dirinya sendiri adalah dapat

diandalkan, yang tampaknya bahkan menjadi lebih sulit.

“Teorema Tidak Lengkap” dari Godel dan pembuktiannya

bersifat sangat abstrak dan sangat rumit, tapi dengan banyak

terobosan-terobosan, saya dapat membahas hal-hal yang esensial. Jika

anda pernah mempelajari geometri, anda setidaknya akan menjadi

akrab dengan aksioma-aksioma---yaitu, asumsi-asumsi dasar yang

digunakan untuk menghasilkan pernyataan-pernyataan yang benar.

Euclid telah membangun geometrinya di atas landasan lima aksioma,

meskipun di abad terakhir atau dekat dengan itu, pembuktian diri

mereka dipertanyakan. Contoh-contoh tentang aksioma-aksioma

dalam aritmatika mencakup “nol [zero] adalah sebuah angka” dan

“sebuah angka adalah setara dengan dirinya sendiri.” sementara kita

menganggapnya benar tanpa sikap kritis, sebagai sesuatu yang tidak

bisa dibuktikan.

Hingga tingkat tertentu, para ilmuwan dan para filosuf

Aristotelian telah berupaya untuk memperluas keberhasilan Euclid ke

bidang-bidang pengetahuan lain. Dengan seperangkat aksioma-

aksioma dan sebuah logika deduktif, mereka berharap, seseorang

dapat menerima atau menolak hipotesa-hipotesa dengan kepastian

yang absolut dan pada akhirnya menghasilkan semua kebenaran-

kebenaran yang mungkin. Tapi, dengan kemunculan metode

eksperimental, ilmu pengetahuan alam menghentikan mimpi ini,

dengan meninggalkannya menjadi matematika murni. Dan terdapat

beberapa keberhasilan yang layak dicatat: di akhir abad sembilan

belas, Gottlob Frege dan Giuseppe Peano, telah mengembangkan

sistem-sistem notasi yang mempersatukan matematika dan logika,

dan pada tahun 1910-an, Whitehead dan Russel, akhirnya, tampaknya,

merancang aritmatika pada basis aksiomatika baku yang sama

sebagaimana geometri Euclidian.

Namun, keberhasilan mereka hanya berumur pendek. Apa yang

diharapkan oleh Whitehead dan Russel untuk mengukuhkan sebuah

sistem, dengan melibatkan sebuah angka kecil dari aksioma-aksioma

dan aturan-aturan tentang deduksi, keduanya adalah bersifat

konsisten dan lengkap. Sebuah sistem bersifat konsisten. Jika

pernyataan-pernyataan yang saling bertentangan tidak dapat

diasalkan (diderivasikan) di dalamnya. Yaitu, jika anda dapat

“membuktikan” (mendeduksikan) “teorema” (formula) “2 + 2 = 4”,

maka anda tidak pernah dapat membuktikan teorema yang

bertentangan, “2 + 2 ≠ 4”.

Aksioma-aksioma awal Whitehead dan Russel, tampaknya

bersifat konsisten, dengan memberikan aturan-aturan tentang

deduksi, dan untuk sekarang ini, kita menerima sifat konsisten ini

begitu saja tanpa ada sikap kritis. Namun, kita dihadapkan dengan

pertanyaan tentang apakah sistem mereka itu lengkap---yaitu, apakah

ia dapat menghasilkan semua formula aritmatika yang benar, dan

apakah semua formula-formula aritmatika yang benar dapat

dibuktikan dalam sistem ini. Pertanyaan yang sangat sulit inilah yang

menyibukkan Godel, dan yang coba dijawabnya dalam paper-nya “On

Formally Undecidable Propositions.” (Tentang Proposisi-proposisi yang

Tidak Dapat Diputuskan Secara Formal).

Sekali lagi, apa yang telah dibuktikan oleh Godel adalah bahwa

tidak ada seperangkat aksioma terbatas dan konsisten yang pernah

dapat menjadi lengkap, dan bahwa tidak peduli seberapa banyak

aksioma lagi yang anda tambahkan pada sebuah sistem logika formal

untuk menyusun (make up) beberapa defisiensi, ini akan selalu

menjadi mungkin untuk menemukan sebuah teorema yang benar yang

tidak dapat dibuktikan.

Pembuktian Godel ini adalah sebuah upaya yang sangat brilian.

Dengan menggunakan logika simbolik dari Principia, dia menemukan

sebuah cara menyusun secara berpasangan dari masing-masing

simbol, aksioma, proposisi, atau bukti dengan sebuah angka yang unik,

yang disebut dengan “angka Godel”. Demi pembahasan argumen ini,

marilah kita katakan bahwa angka Godel tentang aksioma “x = x”

(“sebuah angka adalah setara dengan dirinya sendiri”) adalah 156.

(Sebenarnya, bahkan ekuasi-ekuasi yang sederhana itu mempunyai

angka-angka Godel yang sangat banyak). Dengan sebuah aturan

deduksi yang sederhana, kita dapat menderivasikan dari “x = x”

teorema “0 = 0”. Marilah kita katakan bahwa angka Godel dari “0 = 0”

adalah 72. Godel menunjukkan bahwa sebuah pernyataan seperti “ ‘0

= 0’ adalah sebuah teorema yang benar” dirinya sendiri dapat

direduksikan menjadi sebuah formula yang berkaitan dengan angka-

angka Godel---dalam hal ini angka-angka 156 dan 72.

Lalu, sebuah pernyataan semacam ini bukan dengan sendirinya

sebuah formula dalam sistem ---ia adalah sebuah pernyataan tentang

sistem. Pernyataan-pernyataan semacam “meta-aritmatika” akan

mencakup: “ ‘2 + 2 = 5’ adalah salah”, “Jika teorema T adalah benar,

maka sistem ini adalah tidak konsisten”, dan “Teorema S tidak dapat

dibuktikan”. Cara Godel membuat angka-angkanya, setiap pernyataan

meta-aritmatikal semacam ini dicerminkan oleh suatu relasi

matematikal diantara angka-angka Godel---dengan perkataan lain,

pernyataan-pernyataan meta-aritmatikal dapat dimodel atau

“diterjemahkan”dalam aritmatika.

Godel kemudian menarik seekor kelinci keluar dari topinya.

Dengan menggunakan angka-angka Godel, dia mengkonstruksikan

sebuah teorema aritmatika---kita akan menyebutnya G---yang

terjemahan meta-aritmetikalnya adalah “formula G tidak dapat

dibuktikan”. Jika G adalah sebuah teorema yang benar, maka “G tidak

dapat dibuktikan” adalah juga benar, dan oleh karena itu sistem ini

adalah tidak lengkap---kita telah menemukan sebuah teorema yang

benar yang tidak dapat dibuktikan dalam sistem. Tapi, diketahui

kemudian bahwa jika G adalah salah, ini artinya adalah bahwa G tidak

dapat dibuktikan (jika sistem ini konsisten), dan oleh karena itu

pernyataan “G tidak dapat dibuktikan” adalah benar. Ini bertentangan

dengan premis bahwa G adalah salah, dan dengan demikian sistem ini

adalah tidak konsisten.

Untuk menyusun dan melengkapi pembuktian ini, Godel

merangkai sebuah formula yang sesuai dengan pernyataan, “Jika

aritmatika bersifat konsisten, maka G dapat dibuktikan.” Formula ini

ternyata menjadi sebuah teorema yang benar dalam sistem. Tapi,

yang ingin ditunjukkan oleh Godel adalah bahwa G dapat dibuktikan

hanya jika yang berlawanan dengannya juga dapat dibuktikan; namun,

jika aritmatika bersifat konsisten, maka kontradiksi-kontradiksi

semacam ini tidak pernah muncul. Oleh karena itu, kita tidak pernah

dapat membuktikan bahwa aritmatika itu bersifat konsisten,

setidaknya jika kita mengandalkan pada asumsi-asumsi yang

terkandung dalam aritmatika.

Poin intinya adalah bahwa Godel menggunakan aritmatika untuk

membuktikan bahwa kelengkapan dan konsistensi aritmatika tidak

dapat dibuktikan. Tidak ada angka terbatas dari aksioma-aksioma

tambahan yang akan “membakukan” (fix) situasi. Jika terdapat bukti-

bukti, mereka ini bersifat melampaui logika, metode aksiomatik, dan

akhirnya matematika. Dan metode ektra-matematikal, pada gilirannya,

akan harus mendemonstrasikan sifat konsistensinya, dan sekarang kita

sedang menempuh perjalanan secara melingkar, sangat diragukan

bahwa kita dapat meloloskan diri.

Teorema Tidak Lengkap dari Godel tampaknya akan menjadi

pertanda buruk bagi kecerdasan artifisial, setidaknya sebagaimana

yang kita ketahui sekarang ini. Komputer masih, dan mungkin untuk

selamanya, menjadi mesin-mesin logika yang beroperasi pada data-

data terbatas dan dengan sebuah angka terbatas tentang instruksi-

instruksi. Program-program dalam suatu jutaan perintah (“aksioma-

aksioma” dan “aturan-aturan tentang deduksi”), dan komputer tetap

saja tidak akan pernah bisa sampai pada, atau bahkan membuktikan,

semua kebenaran-kebenran yang pikiran-pikiran manusia dapat

menemukan dengan caranya sendiri yang khas.

Dilema Sang Tahanan—Prisoner’s

Dilemma (Teori Game)

Anda dan seorang kaki tangan penjahat ditangkap dan dibawa ke

kantor polisi dan anda berdua dipenjarakan di ruang terpisah. Jaksa

penuntut umum menjelaskan kepada anda bahwa pihak kepolisian

mempunyai bukti yang cukup untuk menjebloskan anda berdua ke

dalam penjara selama satu tahun, tapi belum cukup untuk

dipersalahkan atas tuduhan-tuduhan yang lebih serius. Tapi, jika anda

mengakui dan setuju untuk bersaksi atas kejahatan partner anda, anda

akan terbebas dari tuduhan bekerja sama (untuk melakukan tindak

kriminal), sementara partner anda akan dijebloskan ke dalam penjara

untuk selama tiga tahun. Namun, jika anda berdua mengakui tindak

kriminal yang lebih besar lagi, pihak kepolisian tidak akan

membutuhkan kerja sama anda lagi dan anda berdua, masing-masing

akan mengalami masa dua tahun di balik terali besi. Anda digiring

untuk meyakini bahwa partner anda juga diberi tawaran yang serupa

dengan anda. Apa yang akan anda lakukan?

Ini adalah sebuah versi umum dari “dilema sang tawanan”,

sebuah problem yang sangat terkenal dalam teori game, matematika

pengambilan keputusan. (Ada dilema-dilema lain dalam teori game,

seperti “dilema ayam”, yang akan kita bahas selanjutnya). Barangkali,

anda tidak ditahan dan bertanya-tanya mengapa anda harus peduli.

Sebenarnya, seseorang tidak harus melihat di kejauhan untuk

menemukan dilema sang tawanan yang lain dalam kehidupan sehari-

hari. Seandainya, anda mengalami hal seperti ini, apakah anda akan

menyerobot ke baris paling depan dari sebuah antrian yang panjang?

Apa respons anda atas seruan lewat pengeras suara yang bernada

sangat keberatan atas perilaku anda? Apakah anda menangani konflik-

konflik yang terjadi di kantor dengan cara menolak kerjasama atau

dengan sikap kompromi? Pada masing-masing kasus, anda sedang

dihadapkan pada sebuah problem yang serupa dengan dilema sang

tawanan di atas: apakah anda benar-benar menampilkan yang terbaik

dengan berperilaku yang mementingkan diri sendiri?

Letak dilemanya adalah bahwa sebuah pilihan itu tidak dapat

dibuat di atas ranah-ranah yang murni rasional. Untuk mengetahui

sebabnya, marilah kita kembali ke skenario awal kita. Dilihat dari satu

cara, anda lebih baik memberikan pengakuan, tapi dilihat dari sudut

lain, yang terbaik bagi anda adalah sikap berdiam diri. inilah dia

akibat-akibat (hasil-hasil) yang mungkin yang disusun dalam sebuah

matriks:

Partner berdiam diri Partner

mengaku

Anda berdiam diri 1 tahun bagi anda 3 tahun

untuk anda

1 tahun bagi partner 0 tahun bagi partner

Anda mengaku 0 tahun bagi anda 2 tahun untuk

anda

3 tahun untuk partner 2 tahun untuk partner

Jelas sekali, sejauh yang anda cermati, hasil-hasil terbaik yang

mungkin adalah bahwa anda memberi pengakuan dan partner anda

tidak memberi pengakuan. (dalam bahasa teori game, untuk bersikap

hati-hati, tidak menjadi masalah bagi anda apa itu yang disebut

dengan “menyeberang ke pihak lain” [defect]). Dan bahkan jika

partner anda memberi pengakuan, anda masih memperoleh

keuntungan dengan menyeberang ke pihak lain, karena, jika anda

tetap bersikap diam, anda sedang menatap masa tiga tahun di dalam

penjara, sementara dengan memberi pengakuan, anda hanya akan

mendekam selama dua tahun di dalam penjara. Dengan kata lain,

tidak masalah dengan apa yang dilakukan oleh partner anda (dan anda

tidak punya cara untuk mengetahui keputusannya) anda lebih baik

menyeberang ke pihak lain.

Tapi, jika partner anda secerdas anda, dia akan mengupayakan

kesimpulan yang sama: langkah yang paling rasional adalah memberi

pengakuan. Logika ini, dengan demikian, akan membuat anda berdua

sama-sama mendekam di penjara selama dua tahun. Apakah ini benar-

benar “rasional” bahwa dengan sama-sama bersikap bungkam

(“bekerja sama”), anda berdua hanya akan ditahan selama satu

tahun? Secara keseluruhan, sikap saling bekerja sama dalah yang

terbaik, ketika perhitungan waktu yang dikombinasikan, anda akan

dipenjarakan selama dua tahun ketimbang tiga atau empat tahun

hukuman penjara.

Jadi, anda harus bekerja sama, bukankah demikian? Baiklah,

anggaplah partner anda tidak sampai pada kesimpulan ini, atau bahwa

dia sampai pada kesimpulan ini tapi memutuskan untuk

mengeksploitasi sikap setia kawan anda dengan berkhianat

menyeberang ke pihak lain. Dalam kasus ini, anda sedang menatap

akibat terburuk yang mungkin: tiga tahun membuat piringan-piringan

berlisensi (licence plates). Apa yang akan terjadi: apakah anda

mempercayai dia atau tidak? Apakah sikap bekerja sama atau

berkhianat menyeberang ke pihak lain adalah lebih rasional?

Ini dan problem-problem serupa adalah asal mula dari teori

game, kurang lebih, demikianlah penemuan dari pakar matematika

John von Neumann (1903-1957). Seorang jenius dari Hungaria yang

tinggal di Amerika, von Neumann telah membantu mengembangkan

bom atom dan menemukan komputer digital, untuk menyebut

prestasi-prestasinya yang lain. Dia juga sangat menyukai permainan-

permainan strategi, terutama poker dan catur, dan pada tahun 1920-

an dan 1930-an, dia telahmengembangkan sebuah matematika untuk

menggambarkan struktur mereka. Von Neumann melakukan ini secara

terpisah untuk memahami permainan-permainan secara lebih baik,

tapi, terutama sekali, karena dia meyakini teori game ini dapat

menyediakan suatu basis ilmiah untuk studi tentang situasi-situasi

yang mirip game dalam dunia yang lebih luas. Dia telah menemukan

istilah “teori game” dalam bukunya The Theory of Games and

Economic Behavior (1944, bersama Oskar Morgenstern). Perilaku

ekonomi adalah sebuah “game” dalam pemahaman Neumann yang

lebih luas: sebuah situasi yang didefinisikan oleh kepentingan-

kepentingan yang saling bersaing dan dimana setiap orang berupaya

untuk memaksimalkan keuntungan-keuntungannya sendiri.

Sebagaimana diketahui, teori game ini tidak mengandung

manfaat bagi dunia ekonomi tapi bermanfaat di tempat lain. Setelah

Perang Dunia II, von Neumann telah direkrut untuk bekerja di RAND

Corporation, dimana dia menerapkan teori game ini secara lebih

menghasilkan pada strategi Perang Dingin. Pikirkan kembali pada

tahun 1950-an dan bayangkan harus membuat keputusan apakah

Amerika Serikat harus membangun sebuah gudang senjata dari bom-

bom Hidrogen. Marilah kita berasumsi bahwa Uni Soviet, sang

“musuh”, sangat mampu untuk melakukan hal yang sama. Pilihan-

pilihan anda yang mungkin ada dua: membangun gudang senjata atau

tidak membangunnya. Terdapat empat hasil yang mungkin:

1. Bukan AS, bukan juga Soviet yang membangun gudang

senjata---terjadi situasi status quo.

2. AS membangun gudang senjata, tapi Soviet tidak---AS

berada dalam posisi yang potensial untuk

menghancurkan Soviet dan mendominasi dunia.

3. Soviet membangun gudang senjata tapi AS tidak---Soviet

berada dalam posisi yang potensial untuk

menghancurkan AS dan mendominasi dunia.

4. Baik AS dan Soviet, sama-sama membangun gudang

senjata---perlombaan senjata meningkat, masing-masing

pihak tidak ada yang mendominasi, banyak dana yang

dihamburkan, dan seluruh dunia sekarang menghadapi

ancaman perang nuklir yang sangat menghancurkan.

Jika anda mempelajari “game” ini, anda akan memperhatikan bahwa

ini adalah sejenis dilema sang tawanan. Tidak peduli dengan apa yang

dilakukan oleh Soviet, kepentingan anda yang terbaik adalah

membangun gudang-gudang bom. (Jika mereka tidak membangun

gudang persenjataan, anda menjadi penguasa dunia ; jika mereka juga

membangun gudang persenjataan, anda setidaknya terjaga dari

serangan mereka). Tapi, jika Soviet mencapai kesimpulan yang sama

dengan anda, maka anda berdua akan menghamburkan berton-ton

uang hanya untuk untuk menjaga keseimbangan kekuatan dan pada

saat yang bersamaan menghasilkan persediaan (dalam jumlah besar)

bom-bom nuklir yang siap untuk diledakkan. Hasil yang ideal adalah

“kerja sama”: masing-masing pihak saling menahan diri (hasil I). Tapi,

apakah anda mempercayai pihak lain? Pada proses akhir, tidak ada

satu pihak pun yang melakukan.

Meskipun von Neumann mendapati bahwa teori game ini sedang

berlangsung di RAND, sebenarnya bukan dia yang telah menemukan

dilema sang tawanan ini, tidak juga dia yang mempelajari implikasi-

implikasinya. Von Neumann berkonsentrasi hampir eksklusif pada apa

yang dia sebut sebagai “zero-sum games”. Dalam game-game yang

sedemikian ini, keuntungan total yang diperoleh telah menjadi bakuy,

dan kemenangan lawan pastinya adalah kekalahan anda. Kebanyakan

dari game-game yang menggunakan papan (board games), misalnya,

adalah bersifat zero-sum: jika lawan anda menang, anda kalah.

Permainan Poker, juga, berisfat zero-sum: sang pemenang akan

mengambil semua hadiah.

Salah seorang kolega von Neumann di RAND, John Nash, telah

memperluas dan mengembangkan teori game ini untuk meng-cover

game-game antara dua orang yang bukan bersifat zero-sum. Teorinya

adalah bahwa dalam game-game semacam ini, selalu ada sebuah

“poin keseimbangan” (equilibrium point): berhadapan dengan fakta

bahwa lawan anda tidak akan mengubah strateginya, demikian pula

dengan anda. Ambil game ini sebagai sebuah contoh:

K memilih kepala K memilih ekor

Anda memilih kepala Anda menang $1 Anda kalah $1

K menang $3 K menang $4

Anda memilih ekor Anda menang $2 Anda menang $1

K tidak memenangkan Apapun K menang $2

Dalam permainan iini, “poin keseimbangan” adalah ekor-ekor/ekor-

ekor (menurun sebelah kanan kotak tangan). Ini karena, tidak menjadi

masalah tentang apa yang dilakukan oleh K, ini selalu merupakan

keuntungan anda untuk memilih ekor, dan hal yang sama terjadi pada

K. Dan bahkan jika K diberi peluang untuk mengubah strateginya, anda

masih akan memilih ekor, dan secara timbal balik.

Apa yang tidak disadari oleh Nash pertama kali, atau menerima

di saat kemudian, adalah bahwa hanya karena sebuah poin

keseimbangan eksis, ini tidak berarti bahwa dalam game-game

kehidupan-nyata, orang-orang akan memilihnya. Ini terutama sekali

berlangsung demikian dalam hal game-games “yang ditampilkan

kembali”---game-game antara dua pemain atau lebih yang terus-

menerus diulang-ulang, dengan strategi-strategi sama yang telah baku

dan keuntungan-keuntungan. Marilah kita lihat kembali pada dilema

sang tawanan, yang secara esensi telah ditemukan oleh dua pakar

sains RAND yang lain, Merrill Flood dan Melvin Dresher, di tahun 1950.

(Mereka telah menemukan bentuk [form] game ini; para tawanan yang

sebenarnya saling diperkenalkan, dan dilema sang tawanan ini diberi

nama, di masa kemudian di tahun itu oleh Albert Tucker). Poin

keseimbangan ini adalah bersifat saling melemahkan: berhadapan

dengan situasi dimana partner/lawan anda telah memilih sebuah

strategi dan bahwa strategi ini tidak bisa diubah, anda akan selalu

dalam keadaan lebih baik untuk menyeberang ke pihak lain.

Tapi, anggaplah bahwa anda dan dan seorang lawan anda,

memainkan sebuah game sejenis dilema sang tawanan ini sebanyak

ratusan kali secara berturut-turut. Marilah kita katakan inilah

keuntungan-keuntungannya (payoffs):

K bekerja sama K lemah (defect)

Anda bekerja sama $2 bagi anda $0 bagi anda

$3 bagi K $4 bagi K

Anda lemah $3 bagi anda $1 bagi anda$1 bagi K $2 bagi K

Tak peduli apa yang dilakukan oleh K, anda akan selalu dalam keadaan

lebih baik jika menyeberang ke pihak lain---anda selalu memenangkan

satu dolar lebih banyak. Hal yang sama juga terjadi pada K: Tak perduli

dengan apa yang anda lakukan, dia memenangkan lebih banyak dolar

dengan menyeberang ke pihak lain. Tapi, sikap saling bekerja sama

adalah lebih baik bagi anda berdua daripada sikap saling mengkhianati

dengan bekerja sama dengan pihak lain; skenario terburuk bagi anda

adalah untuk bekerja sama sementara K menyeberang ke pihak lain.

Jika game ini adalah sebuah penawaran yang bersifat one-shot

(hanya terjadi sekali saja dan tidak akan pernah diulang kembali),

anda dan K tidak dapat mengupayakan strategi secara lebih awal,

maka, hal paling logis untuk dilakukan adalah menyeberang ke pihak

lain, ketika anda tidak mengetahui strategi K dan tidak dapat

mengubahnya. Tapi, beberapa hal adalah sangat berbeda dalam

sebuah game yang diulang-ulang. Marilah kita katakan bahwa K

memutuskan untuk bekerja sama, berharap anda melakukan hal yang

sama, dengan memastikan hasil saling menguntungkan. Anda, pada

sisi lain, mengikuti logika satu-game dan mengambil sikap

menyeberang ke pihak lain. Anda akan menang besar ($3) sementara

K memenangkan jumlah total yang paling kecil ($1), dan begitu pula di

waktu selanjutnya, K memutuskan untuk “menghukum” anda dengan

menyeberangi dirinya sendiri. pada esensinya, dengan sikap

menyeberang, K sedang menjauhkan anda dari dua dolar---dua kali

keuntungan ekstra yang anda peroleh dengan upaya menyeberang

pertama kali.

Jadi, sementara sikap menyeberang ini bersifat aman, anda

potensial dapat memenangkan lebih banyak uang jika anda berdua

dan K saling bekerja sama. Tentu saja, jika K bekerja sama sementara

anda bersikap menyeberang pada setiap putaran, anda mengakhiri

dengan perolehan maksimum sebesar $300. tapi, jika K bersikap

rasional, dia akan menyesuaikan diri dengan mengambil sikap

menyeberang setiap kalinya, dengan dirinya memperoleh $100 lebih

banyak daripada yang akan dia peroleh dengan cara bekerja sama

setiap kali. Lalu, apa kemudian strategi terbaiknya?

Teori game, dengan bantuan penggambaran skematik oleh

komputer, telah mempunyai jawabannya: Ini disebut “tit for tat”

(pukulan dibalas dengan pukulan). Anda mulai dengan sikap bekerja

sama. Jika K juga bekerja sama, anda bekerja sama kembali di putaran

dua. Anda melanjutkan seperti ini hingga K menyeberang ke pihak lain

(defect), dimana pada poin ini anda “menghukum”nya dengan

melakukan penyeberangan ke pihak lain di putaran berikutnya. Alasan

dari strategi ini dapat berfungsi adalah bahwa anda sedang

menggunakan game ini untuk mengirim sebuah pesan kepada K:

“Saya akan selalu melakukan apapun yang telah kamu lakukan di

putaran terakhir; dan ketika anda tidak pernah memperoleh

keuntungan dari sikap penyeberanganku, maka anda harus selalu

bekerja sama denganku, dengan memastikan saling memperoleh yang

terbaik.” Dengan kata lain, anda sedang mengundang dia untuk

bergabung dengan anda dalam bermain melawan game itu sendiri

daripada melawan satu sama lain.

Dalam kehidupan nyata, tit-for-tat (pukulan dibalas dengan

pukulan) berarti memperlakukan orang lain dengan cara mereka

memperlakukan anda, tapi berperilaku-lah selalu dengan baik pada

permulaan. Dengan menyerobot antrian ke baris paling depan

mungkin ini adalah langkah terbaik untuk anda, tapi ini sangat buruk

bagi setiap orang lain, dan jika mereka merespon dengan cara

menciptakan situasi chaos dan adu jotos. Tentu saja, adalah bodoh

bagi anda untuk bekerja sama jika tak ada seorang pun yang

melakukan ini; tapi ketika setiap orang menyadari ini, dan tak

seorangpun yang menyukai situasi chaos, kebanyakan orang akan

melakukan kerja sama ini.

Dilema lain dari teori-game yang kita temui dalam kehidupan

nyata disebut dengan “chicken” (sebuah nama yang ditemukan oleh

Bertrand Russel, percaya atau tidak). Anda dan seorang teman

melompat ke atas pedal sepeda dan bergerak laju menuju tepi sebuah

tebing yang curam. Yang pertama kali menghentikan atau mengubah

arah adalah sang “ayam”. Jika anda berdua berhenti (“bekerja sama”)

secara bersamaan, maka tak seorang pun yang menjadi sang ayam,

tapi tak satupun dari anda berdua yang memenangkan game ini. Hasil

terbaik bagi anda adalah jika teman anda berhenti pertama kali:

dengan cara ini anda menang, dan dia menjadi ayam. Hasil terburuk

bagi anda berdua adalah jika tak satupun dari anda berdua yang

berhenti sama sekali---yaitu, jika anda berdua sama-sama

“menyeberang”: anda berdua akan melaju menuju tebing curam itu.

Apa yang akan anda lakukan? (Game ini berbeda dari game dilema

sang tawanan dalam hal bahwa sikap saling menyeberang adalah yang

terburuk bagi kedua belah pihak).

Sebagaimana yang telah anda perhatikan, teori game---yang

secara matematika mempunyai ketepatan logika yang tinggi---masih

belum dapat memecahkan semua konflik manusia. Di tempat pertama,

bagi teori ini untuk dapat berfungsi, harus jelas siapa saja para

pemain, dan keuntungan-keuntungan harus diekspresikan dalam

angka-angka (atau setidaknya kemungkinan-kemungkinan). Ini tidak

selalu menjadi kasus dalam game-game rumit tentang masyarakat

atau politik. Yang kedua, unsur-unsur yang menyusun sikap “kerja

sama” atau sikap “menyeberang” mungkin agak samar---terdapat

banyak ranah pertengahan dalam kehidupan nyata, dan pihak lawan

cenderung untuk tidak setuju dengan ungkapan-ungkapan (terms) ini

(apa yang tampaknya mencukupi bagi satu pihak, mungkin tidak

memuaskan pihak lain). Namun, adalah lebih baik untuk memiliki alat-

alat daripada tidak mempunyai alat-alat, dan teori game adalah alat

yang sangat menarik dengan aplikasi-apkikasi nyata dalam fisika,

etika, engineering (Aplikasi prinsip-prinsip sains pada tujuan-tujuan

praktis, seperti desain, mesin, manufaktur), dan bahkan biologi.

Evolusi dari suatu spesies, misalnya, dapat dimengerti dalam

ungkapan-ungkapan teori game, tapi itu adalah kisah panjang yang

lain.

Logika yang Samar(Fuzzy Logic)

Aksioma-aksioma dan hukum-hukum matematika adalah sangat bagus

dalam melakukan pekerjaan-pekerjaan tertentu. Kita mengetahui

dengan kepastian yang absolut, misalnya, bahwa 2 + 2 = 4, dan

bahwa sudut-sudut dari sebuah segitiga dapat mencapai hingga

180°---ini pastinya mengikuti aksioma-aksioma. Matematika juga

bermanfaat bila diaplikasikan pada kuantitas-kuantitas fisika yang

telah baku. Einstein telah menggunakan matematika untuk

menunjukkan bahwa tak ada satupun yang dapat menempuh

perjalanan yang lebih cepat daripada kecepatan cahaya, yang adalah

sebuah kuantitas yang telah baku. Para penjudi seperti Blaise Pascal

telah menemukan statistika untuk mengkalkulasi probabilitas dari

hasil-hasil yang sangat jelas ---katakanlah, bahwa buah dadu akan

berupaya menunjuk angka empat. Seorang peramal cuaca di TV

menggunakan angka-angka untuk memprediksi peluang akan hujan

atau tidak, esok hari.

Anda boleh menyebut semua kalkulasi ini sebagai produk dari

“logika keras” (“hard logic”), yang faktor fundamentalnya dari

metodologinya berhutang pada Aristoteles. Namun, akhir-akhir ini,

suatu tim peneliti yang terdiri dari para insinyur dan pakar fisika telah

mengenyampingkan logika keras ini demi untuk menunjukkan apa

yang mereka sebut sebagai “logika yang samar”, yaitu sains tentang

kuantitas-kuantitas yang tidak dapat dipastikan. Ini baik, menurut para

pakar logika samar, untuk mengatakan bahwa terdapat peluang enam

puluh persen hujan, sepanjang anda dapat mendefinisikan apa yang

dianggap sebagai “hujan”. Peramal cuaca di TV itu berasumsi bahwa

terdapat dua opsi disini: akan turun hujan atau tidak.

Tapi, dalam kenyataan, konsep tentang “hujan” itu bersifat

samar. Jika dua tetes air jatuh dari langit, apakah itu “hujan”?

Bagaimana dengan lima puluh tetes? Seribu? Anggaplah kabut itu

pekat dan rendah, dan anda merasakan tetes-tetes air pada wajah

anda. Apakah itu hujan? Darimana, tanya para pakar logika samar,

anda menarik garis pemisah? Kapan tidak hujan menjadi hujan?

Jika ini terdengar seperti [koan] Zen yang membuat anda

bingung, anda tidaklah sendirian. Bahkan, para pendukung proses

berpikir samar seperti USC Profesor Bart Kosko mempublikasikan

secara berlebihan tentang sains baru mereka sebagai suatu sintesa

Timur-bertemu-Barat. Dan sementara logika samar lebih banyak diejek

daripada dipuji di berbagai negara, ini semua adalah kegilaan dari

industri Jepang. Anda mungkin telah mendengar tentang “mesin

pintar” (smart machines) yang baru yang berasal dari jepang: mesin

cuci pintar, mesin penjual-soda pintar, micro waves pintar, kamera

video genggam yang pintar. Mesin-mesin semacam ini telah diprogram

untuk berurusan dengan keadaan-keadaan antara “on” dan “off”,

kuantitas-kuantitas yang lebih halus tingkatannya daripada “tinggi”,

“medium”, atau “rendah”, daripada jawaban-jawaban “ya” dan

“tidak”.

Jika “logika samar” mempunyai sebuah asal-usul, ia bersandar

pada upaya logis untuk mengadaptasi paradoks Russel dan

ketidakpastian Heisenberg. Pakar logika yang cemerlang, Jan

Lukasiewicz, telah mengembangkan suatu logika yang “bervalensi tiga

atau lebih” (multivalent) di tahun 1920-an yang memperhalus dua

bagian yang berbeda, yaitu logika ya-tidak dari fisika Newtonian untuk

mengizinkan keadaan-keadaan yang tak dapat dipastikan. Pada tahun

1965, pakar matematika Berkeley, Lotfi Zadeh telah mengaplikasikan

logika baru ini pada teori tentang perangkat-perangkat (sets) dalam

paper-nya “Fuzzy Sets”, dimana kemudian nama ini dipinjamkan pada

logika.

Perangkat-perangkat (sets) yang telah anda pelajari di sekolah

dasar, semuanya telah didefinisikan dengan jelas. Baik itu sesuatu

yang termasuk dalam suatu set atau bukan. Angka 2 ada di dalam set

dari bilangan genap dan tidak termasuk dalam set dari bilangan ganjil,

dan kedua set ini mempunyai suatu “persimpangan yang kosong”---

untuk mengatakan, tidak ada angka yang termasuk dalam bilangan

genap maupun ganjil. (Berdasarkan konvensi, angka 0 juga tidak

termasuk dalam keduanya). Namun, perangkat-perangkat samar

(fuzzy sets) dari Zadeh adalah, benar-benar samar. Beberapa hal

mungkin termasuk dan yang lain tidak termasuk dalam perangkat-

perangkat yang demikian ini, tapi, ada terdapat kelas ketiga dari

berbagai hal yang termasuk dalam suatu tingkat tertentu.

Perangkat dari bilangan genap dan perangkat dari bilangan

ganjil adalah perangkat-perangkat keras (hard sets). Perangkat dari

laki-laki dan perangkat dari perempuan adalah keras---terdapat sedikit

kesamaran tentang orang banci dan manusia yang berorientasi trans-

seksual. Tapi, bagaimana dengan perangkat dari orang-orang yang

berukuran tinggi? Tak seorang pun yang akan menyebut manusia yang

tingginya 4’ 2”, tapi, setiap orang akan menyebut 7’ 6”, demikian pula

dengan perempuan. Tapi, darimana anda menarik garis pemisah ini?

Apakah manusia dengan tinggi 5’ 10” termasuk dalam perangkat dari

orang yang tinggi, atau tidak? Apakah seorang Asia bersetuju dengan

orang Eropa, atau orang Italia dengan orang Swedia? Soal tentang

tinggi ini bersifat subyektif dan berlangsung secara terus-menerus,

sehingga tidak mungkin untuk men-set suatu ketinggian yang baku,

yang akan dianggap tinggi dan secara otomatis menolak seseorang

yang berukuran dibawah itu. jika 6’ itu tinggi, bagaimana dengan 5’

11.99”? Begitu anda mulai berpikir tentang pertanyaan-pertanyaan

semacam ini, tentang soal-soal tingkat (degree), proses berpikir anda

akan mulai bersifat samar.

Mengambil contoh lain, set dari orang-orang yang bahagia

adalah samar, karena kebanyakan dari kita merasa bahagia

berdasarkan kadar dan tingkatan tertentu---mungkin dengan kadar

yang lebih besar, mungkin juga dengan kadar yang lebih kecil, tapi,

hampir tidak pernah merasa bahagia mutlak atau menderita mutlak.

Suatu jajak pendapat mengajukan pertanyaan-pertanyaan sedemikian

ini seperti “apakah anda bahagia dengan sepak terjang Presiden?”

adalah cacat, ketika kebanyakan orang merasa bahagia atau tidak

bahagia hanya sampai pada kadar tertentu saja. Menambah skala dari

1 sampai 10 hanya membantu separuhnya, ketika kita masih

mempunyai rentang (range) angka-angka keras (hard numbers) yang

diterapkan pada suatu pendapat yang berlangsung secara terus-

menerus. Tidak semua “5s” akan menjadi setara.

Set-set (Perangkat-perangkat) yang samar adalah kunci bagi

mesin-mesin yang samar. Kebanyakan dari alat-alat itu yang telah

menjadi akrab dengan kita, adalah “bisu”---yaitu, telah diprogram

secara kaku. Televisi anda selalu tersedia tombol “On” atau “Off”;

tingkat kecemerlangan gambar (brightness) di-set hingga 6 dan

kontras gambar di –set hingga 3. Sistem pemanas termostat yang

terkontrol (yang akan kita bahas kembali dalam SIBERNETIKA, hal. ...)

adalah mesin bisu yang klasik. Ketika temperatur pemanas ini jatuh di

bawah temperatur yang telah di-set, maka mesin pemanas ini akan

hidup dengan sendirinya secara otomatis (switches on); ketika

temperatur naik melebihi temperatur yang telah di-set itu, maka mesin

pemanas akan mati dengan sendirinya. Mekanisme dari mesin

pemanas ini bersifat binary (kembar, pasangan): pengaturan panas

hanya ada dua opsi, “on” atau “off”, dan ketika ia sedang “on”, ia

selalu berada dalam temperatur panas yang sama.

Mesin-mesin fuzzy (yang samar) ini, pada sisi lain, menggunakan

set-set yang fuzzy juga untuk menghasilkan respons-respons yang

lebih fleksibel. Termostat ini “berpikir” apakah suhunya panas atau

dingin, dan ia akan memberi instruksi untuk mematikan atau

menyalakan sebagai responsnya; instruksi-instruksi yang fuzzy

mengizinkannya untuk menjadi panas atau dingin hingga tingkat

tertentu. Jika kita memutuskan bahwa 65° adalah temperatur yang

sempurna (yang kita inginkan), maka, kita dapat memberitahukan

kepada pemanas/pendingin udara untuk memodulasi (mengatur)

perilakunya yang bergantung pada seberapa banyak temperatur

aktual yang berbeda dari 65°. Mesin ini tidak akan pernah hanya

berada pada “ON” atau “OFF”---ia akan selalu berada pada “ON”

hingga tingkat variatif yang diinginkan, dengan mengkombinasikan

dan mencocokkan (matching) instruksi-instruksi.

Mesin cuci fuzzy yang terkenal, bekerja berdasarkan prinsip-

prinsip yang sama, dengan menjaga daya penglihatan elektronik pada

suatu rentang yang variatif, dengan mengkalkulasi berat rata-rata, dan

menyesuaikan instruksi-instruksinya sebagai respons. Jenis pakaian

apa yang kita punya disini? Seberapa kotor pakaian ini? Apakah kita

berurusan dengan lemak, kecap, kopi, kotoran, keringat? Seberapa

banyak baju yang dapat dimuat? Semua kuantitas ini berlangsung

dalam tingkatan-tingkatan (degrees), dan mesin cuci pintar ini

memeriksa respons-nya secara interaktif. Dengan cara yang serupa,

kamera video genggam pintar secara akurat menyesuaikan fokus dan

aperture (lubang celah lensa kamera); TV pintar memonitor dan

menyesuaikan kecemerlangan gambar dan kontras gambar yang

dapat diatur.

Menurut para pakar logika fuzzy, keseluruhan dunia fakta---

seperti tinggi (tall) atau gambar-gambar TV---adalah fuzzy. David

hume membagi pernyataan-pernyataan (statements) ke dalam “relasi-

relasi dari ide-ide” (relations of ideas) dan “materi-materi tentang

fakta” (matters of fact) [lihat, GARPU HUME, hal. ....]; yang disebut

awal pasti benar, sementara yang disebut terakhir boleh jadi benar

atau salah. Berdasarkan cara berpikir yang fuzzy, tak ada satupun

yang empiris itu bersifat benar mutlak atau salah mutlak, tapi, benar

dalam kadar tertentu atau salah dalam kadar tertentu. Para pakar

sains modern mengakui bahwa teori-teori dan deduksi-deduksi mereka

tidak pernah mutlak pasti, hanya sangat dimungkinkan demikian

(highly probable). Respon yang fuzzy atas ini adalah probabilitas masih

bersandar pada asumsi-asumsi yang tidak valid, seperti bahwa sebuah

partikel adalah atau bukan sesuatu dimana probabilitas

memprediksinya akan menjadi demikian. Para pakar sains tidak

mengatakan bahwa sebuah partikel adalah 70 persen ada dan 30

persen tidak ada, hanya karena ada peluang 70 persen dari total 100

persen. Ini bukan fuzzy.

Yang fuzzy itu adalah: dunia ini berwarna abu-abu. Tak ada

satupun yang murni hitam dan tak ada satupun yang murni putih.

Ketika kita menerapkan alasan hitam-dan-putih pada dunia yang

berwarna abu-abu, kita harus memperlakukan sesuatu sebagai benar

hingga kadar tertentu (katakanlah, bahwa sebuah gelas itu penuh

hingga kadar tertentu) sebagai seluruhnya benar (gelas terisi penuh)

atau seluruhnya salah (gelas itu kosong). Masing-masing langkah

dalam proses berpikir ini membutuhkan semacam penyederhanaan

dan oleh karena itu menambah lapis lain dari kenetralan dan

kesalahan. Semakin beralasan anda terhadap sesuatu, semakin jauh

anda akan memperoleh dari kasus yang aktual ini, bukannya semakin

dekat.

Apa saja nilai tambah dari semua ini bergantung pada siapa

yang anda tanya. Paling tidak, logika fuzzy menciptakan mesin-mesin

yang lebih baik; pertanyaannya adalah apakah ia benar-benar setara

dengan suatu revolusi matematika. Para pendukung logika fuzzy ini

secara enerjik membunyikan terompet-terompet mereka sendiri, yang

dapat menimbulkan suara gaduh, terutama ketika logika fuzzy masih

sangat menarik bagi geometri dan aljabar standar, dan ketika mesin-

mesin fuzzy masih menggunakan chip-chip komputer yang memproses

data digital sepasang (binary). Atas dasar ini dan alasan-alasan lain,

banyak dari pakar matematika dan insinyur Barat mempertimbangkan

fuzzy sekadar kata-kata gaduh untuk memberi kesan baik kepada

orang-orang awam, hanyalah anggur lama dalam botol baru. Tapi

kemudian, “nyanyian” mereka berubah begitu Jepang, pada akhirnya,

mengubur ekonomi Amerika.