บทที่ 7 การประมาณค า · บทที่ 7 การประมาณค า ในบทที่ 6 ได กล าวถึง “ตัวอย

316 204 สถิติเบื้องตน หนา 1 จาก 30

บทที่ 7 การประมาณคา

ประกอบดวย การประมาณคาแบบเดี่ยว และการประมาณคาแบบชวงความเชื่อมั่นของคาพารามิเตอรหรือคาประชากร ที่นาสนใจและนาศึกษา ซ่ึงอยูในสวนของ “สถิติอนุมาน” ดังตอไปนี้ 7.1 การประมาณคาแบบเดี่ยว หรือแบบจุด (Point estimation)

7.2 การประมาณคาแบบชวง (Interval estimation) 7.3 การประมาณคาเฉลี่ยของประชากร )(µ 7.3.1 การประมาณคาแบบเดี่ยว 7.3.2 ชวงความเชื่อมั่นของคาเฉลี่ยของประชากร

7.4 การประมาณคาผลตางของคาเฉลี่ยของสองประชากร กรณีตัวอยางเปนอิสระกัน )( 21 µµ −

7.4.1 การประมาณคาแบบเดี่ยว 7.4.2 ชวงความเชื่อมั่นของผลตางของคาเฉลี่ยของสองประชากร

7.5 ชวงความเชื่อมั่นของผลตางของคาเฉลี่ยของสองประชากร กรณีตัวอยางมีความสัมพันธกัน )( Dµ

7.6 การประมาณคาสัดสวนของประชากร )(p 7.6.1 การประมาณคาแบบเดี่ยว 7.6.2 ชวงความเชื่อมั่นของคาสัดสวนของประชากร 7.7 การประมาณคาผลตางของสัดสวนของสองประชากร )( 21 pp − 7.7.1 การประมาณคาแบบเดี่ยว 7.7.2 ชวงความเชื่อมั่นของผลตางของคาสัดสวนของสองประชากร 7.8 การประมาณคาความแปรปรวนของประชากร )( 2σ 7.8.1 การประมาณคาแบบเดี่ยว 7.8.2 ชวงความเชื่อมั่นของคาความแปรปรวนของประชากร

7.9 การประมาณคาอัตราสวนความแปรปรวนของสองประชากร )( 22

21

σσ

7.9.1 การประมาณคาแบบเดี่ยว 7.9.2 ชวงความเชื่อมั่นของคาอัตราสวนความแปรปรวนของสอง ประชากร

29.1285.110.0 ≅=z 65.1645.105.0 ≅=z 33.2325.201.0 ≅=z 96.1025.0 =z 58.2575.2005.0 ≅=z


บทท่ี 7 การประมาณคา

ในบทที่ 6 ไดกลาวถึง “ตัวอยางสุม ฟงกชนัของตัวอยางสุมหรือตัวสถิติ และการแจกแจงของตัวสถิติ” เพื่อตองการนําไปสรุปผลและอธิบายพารามิเตอรหรือคาประชากร

แผนภาพแสดงแนวความคิดเบื้องตน

เลือกตัวอยาง กําหนด โดยวิธีการสุม ฟงกชัน 1) เพื่อประมาณคาพารามิเตอร 2) เพื่อทดสอบสมมติฐาน

จากแผนภาพ เมื่อเราตองการศึกษาลักษณะบางอยางของประชากร จะตองเก็บรวบรวมขอมูลโดยการสุมตัวอยางจากประชากร แลวใชขอมูลจากตัวอยางสุมคํานวณหาคาสถิติที่เหมาะสม เพื่อนําไปสรุปผลอางอิงถึงประชากร ซ่ึงจะขึ้นอยูกับวัตถุประสงคของการศึกษาวา 1) เพื่อตองการประมาณคาที่แทจริงของคาพารามิเตอร )(θ ซ่ึงสามารถวัดความถูกตองของการประมาณคาได จากการพิจารณาความคลาดเคลื่อนของตัวประมาณ ซ่ึงจะไดเรียนในบทที่ 7 นี้ 2) เพื่อตองการศึกษาวา พารามิเตอร )(θ ที่เราสนใจ จะตกอยูในชวงของคาที่ควรจะเปนหรือไม โดยการทดสอบสมมติฐาน ซ่ึงจะไดเรียนในบทที่ 8

พารามิเตอร (Parameter) คือ คาที่บอกถึงลักษณะของประชากรที่เราสนใจศึกษา เปนคาคงที่ที่ไมทราบคาที่แทจริง ไดแก คาเฉลี่ยประชากร )(µ , ผลตางของคาเฉลี่ยประชากร )( 21 µµ − , คาสัดสวนประชากร )( p , ผลตางของคาสัดสวนประชากร )( 21 pp − , ความแปรปรวนประชากร )( 2σ และอัตราสวนของความ

แปรปรวนประชากร )( 22

21

σσ

ตัวสถิติ (Statistic) คือ คาที่คํานวณไดจากตัวอยางสุม หรือฟงกชันของตัวอยางสุม เปนคาไมคงที่ที่ทราบคา จึงถือวาตัวสถิติเปนตัวแปรสุมเชนเดียวกัน ไดแก คาเฉลี่ยตัวอยาง )(X , ผลตางของคาเฉลี่ยตัวอยาง )( 21 XX − , คาสัดสวนของตัวอยาง )ˆ( p , ผลตางของคาสัดสวนของตัวอยาง )ˆˆ( 21 pp − , ความแปรปรวนของ

ตัวอยาง )( 2S และอัตราสวนของความแปรปรวนของตัวอยาง )( 22

21

SS

ตัวประมาณ (Estimator) คือ ตัวสถิติที่นําไปประมาณคาพารามิเตอร หรือคาประชากร

คาประมาณ (Estimate) คือ คาของตัวสถิติที่คํานวณไดจากตัวอยางสุม

ประชากร X ∼ );( θxf ตัวสถิติ (θ̂ )

ตัวอยางสุม ขนาด n


ตัวอยาง วัตถุประสงคของการศึกษา หา “รายไดเฉลี่ยของประชาชนไทยตอป” µ คือ รายไดเฉลี่ยตอปของประชาชนไทย เปน พารามิเตอร (Parameter)

X คือ รายไดเฉลี่ยของตัวอยางสุม เปน ตัวสถิติ (Statistic) X คือ ตัวประมาณ (Estimator) ของพารามิเตอร µ

18.230,35=X คือ คาประมาณ (Estimate) ของพารามิเตอร µ การประมาณคาพารามิเตอรหรือคาประชากร (Estimation of parameter) เพื่อตองการประมาณคาที่แทจริงของพารามิเตอรหรือคาประชากรจากตัวอยางสุม การประมาณคาแบงออกเปน 2 วิธี คือ การประมาณคาแบบเดี่ยว และการประมาณคาแบบชวง 7.1 การประมาณคาแบบเดี่ยว หรือแบบจุด (Point estimation) คือ การหาคาคาหนึ่งจากตัวอยางสุม เพื่อนําไปประมาณคาพารามิเตอร หรือคาประชากร ซ่ึงไมทราบคาที่แทจริง

สุมตัวอยางขนาด n ไดคา ),...,,( 21 nXXX จากประชากร X ~ );( θxf นําคา nXXX ,...,, 21 มาคํานวณหาตัวสถิติ θ̂ เพื่อประมาณคาพารามิเตอร θ เราเรียก “θ̂ ” วา “ตัวประมาณของθ ” และเรียก “คา θ̂ ” วา “คาประมาณแบบเดี่ยวของθ ” เชน สุมตัวอยางมาขนาด n ไดคาเปน ),...,,( 21 nXXX

- คาเฉลี่ยของตัวอยาง ∑=

=n

iiX

nX

1

1 เปนตัวประมาณแบบเดี่ยวของ µ

(เชน เวลาเฉลี่ยที่นักศึกษาใชอินเตอรเน็ต 26.3=X ช.ม./วัน เปนตัวประมาณแบบเดี่ยวของ µ )

- สัดสวนของตัวอยาง nXp =ˆ เปนตัวประมาณแบบเดี่ยวของ p

(เชน สัดสวนของนกัศึกษามหาวิทยาลัยขอนแกนทีส่ําเร็จการศึกษา 88.0ˆ =p เปนตัวประมาณแบบเดี่ยวของ p )

- ความแปรปรวนตัวอยาง ∑=

−−

=n

ii XX

nS

1

22 )(1

1 เปนตัวประมาณแบบเดี่ยวของ 2σ

(เชน ความแปรปรวนของคะแนนสอบวิชาสถิติพื้นฐาน 4.102 =S (คะแนน)2 เปนตัวประมาณแบบเดี่ยวของ 2σ ) คุณสมบัติของตัวประมาณที่ดี เนื่องจาก คาประมาณแบบเดี่ยวคํานวณมาจากขอมูลในตัวอยางสุม ซ่ึงอาจจะมีคาใกลเคียงกับคาพารามิเตอรหรือไมก็ได ดังนั้น เพื่อใหผูที่จะนําไปใชงานมีความมั่นใจในคุณภาพของตัวประมาณแบบเดี่ยว จึงตองมีการกําหนดคุณสมบัติของตัวประมาณที่ดี ซ่ึงมี 3 ประการ คือ


1) ตัวประมาณที่ไมเอนเอียง (Unbiased estimator)

ตัวสถิติ θ̂ เปน ตัวประมาณที่ไมเอนเอียงของพารามิเตอร θ ถา )ˆ(θE θ=

)ˆ(θE θ= หมายถึง จากตัวอยางสุมขนาด n ที่สุมจากประชากรที่มีพารามิเตอร θ มาหลาย ๆ ชุด จะมีบางชุดใหคาตัวประมาณ θ̂ มีคามากกวา θ และมีบางชุดใหคาตัวประมาณ θ̂ มีคานอยกวา θ แตโดยเฉลี่ยแลว θ̂ จะมีคาเทากับ θ จึงกลาววา “θ̂ เปนตัวประมาณที่ไมเอนเอียงของพารามิเตอร θ ”

ความไมเอนเอียง แสดงเพียงวา คาโดยเฉลี่ยของ θ̂ จะเทากับ θ เทานั้น แตไมไดแสดงวา คาของ θ̂ ใกลเคียงกับ θ มากนอยเพียงใด

เชน ถา X เปนตัวประมาณแบบเดี่ยวของพารามิเตอร µ แลว X จะเปนตัวประมาณที่ไมเอนเอียงของ µ ถาพิสูจนไดวา µ=)(XE 2) ตัวประมาณที่มีความแปรปรวนต่ําสุด (Minimum variance) ตัวสถิติ θ̂ เปนตัวประมาณที่ไมเอนเอียง และมีความแปรปรวนต่ําสุดของพารามิเตอร θ (Minimum variance unbiased estimator of θ ) ถา 1. θ̂ เปนตัวประมาณที่ไมเอนเอียงของ θ 2. θ̂ มีความแปรปรวนต่ําสุดในบรรดาตัวประมาณที่ไมเอนเอียงของ θ เราเรียกตัวประมาณนั้นวา “ตัวประมาณที่มีประสิทธิภาพมากที่สุด” นั่นคือ เราตองการใหการกระจายของตัวประมาณ จากคาพารามิเตอรมีคานอยที่สุด

จากตัวอยางสุม n มขีนาดเทากัน ตัวประมาณ 1̂θ จะมีประสิทธิภาพมากกวา 2̂θ

ถาความแปรปรวนหรือความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของ 1̂θ ตํ่ากวา 2̂θ

เชน - ให X และ Me เปนตัวประมาณคาของพารามิเตอร µ

ถาทราบวา )()( MeVXV < แสดงวา X มีประสิทธิภาพมากกวา Me 3) ความแนบนัยหรือความคงเสนคงวา (Consistency) ตัวสถิติ θ̂ จะเปนตัวประมาณที่แนบนัยหรือคงเสนคงวา ของพารามิเตอร θ ถาตัวประมาณนี้มีคาเขาใกลคาพารามิเตอร θ เมื่อตัวอยางสุมมีขนาดใหญขึ้น มาก ๆ อยางเกือบแนนอน เชน µ→X เมื่อ Nn → 7.2 การประมาณคาแบบชวง (Interval estimation) การประมาณคาแบบเดี่ยวใหมีคาประมาณ เทากับ คาประชากรที่แทจริงนั้นแทบเปนไปไมไดเลย เนื่องจากจะเกิดความคลาดเคลื่อนไมมากก็นอยจากสาเหตุ 3 อยาง คือ 1. วิธีการสุมตัวอยาง 2. ขนาดตัวอยางสุม และ 3. การกระจายของขอมูลในประชากร ดังนั้น จึงมกีารขยายแนวความคิดไปเปน “ชวงของคาที่คาดวาจะคลุมคาพารามิเตอร” ซ่ึงวิธีการนี้เราเรียกวา “การประมาณคาแบบชวง” สุมตัวอยางมาขนาด n จากประชากร X ~ );( θxf ไดคาเปน ),...,,( 21 nXXX โดยที่ θ เปนพารามิเตอรที่มีคาคงที่และไมทราบคา


ชวงความเชื่อมั่นของ θ สามารถคํานวณไดจาก ชวงสุม ),( UL ซ่ึงจะคลุมคาที่แทจริงของ θ ดวยความนาจะเปนที่กําหนดใหเปน α−1 ; เมื่อ L และ U เปนฟงกชันของตัวอยางสุม ),...,,( 21 nXXX หรือเขียนไดดังนี้

)( ULP << θ = α−1

คาของชวงสุม ),( UL หรือ UL <<θ เราเรียกวา “ชวงความเชื่อมั่น %100)1( α− ของ θ ” และคา α−1 เรียกวา “ระดับของความเชื่อมั่นหรือ

สัมประสิทธิ์ความเชื่อมั่น (Level of confidence or Confidence coefficient)”

“ชวงความเชื่อมั่น %100)1( α− ของ θ ” มีหมายความวา “นําตัวอยางสุมขนาด n มาจํานวน 100 ชุด แลวคํานวณหาชวง UL << θ ของตัวอยางสุมทั้ง 100 ชุด เราจะไดชวง UL << θ จํานวน 100 ชวง เชนเดียวกัน ซ่ึงแตละชวงอาจจะมีคาเทากันหรือแตกตางกันก็ได แตคาดวาจะมีจํานวน 100)1( α− ชวง ที่คลุมคาพารามิเตอร θ ” 7.3 การประมาณคาเฉลี่ยของประชากร (µ )

7.3.1 การประมาณคาแบบเดี่ยวของคาเฉลี่ยของประชากร

ตัวประมาณแบบเดี่ยวของคาเฉลี่ยประชากร µ คือ

คาเฉลี่ยของตัวอยางสุม ∑=

=n

iiX

nX

1

1

“ตัวสถิติ X เปนตัวประมาณที่ไมเอนเอียง และมีความแปรปรวนต่ําสุดของ µ ”

เพราะไดพิสูจนแลววา µ=)(XE และความแปรปรวนของ X คือ n

XV X

22)(

σσ ==

มีคาตํ่าสุด และความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของ X คือ nX

σσ =

แตถาไมทราบคาความแปรปรวน 2σ ของประชากร จะประมาณ 2Xσ ดวย

nSS X

22 = และ Xσ ดวย

nSS X =

ตัวอยาง บริษัทขาวสวย ตองการประมาณราคาขาวหอมมะลิเฉลี่ยตอกิโลกรัมที่รานคาในจังหวัดขอนแกนรับไปจําหนาย จึงสุมตัวอยางรานคามา 12 ราน มีราคาตอกิโลกรัม ดังนี้ 33, 35, 32, 36, 34, 34, 34, 35, 36, 32, 34, 32 วิธีทํา ให X เปน คาประมาณแบบเดี่ยวของราคาขาวเฉลี่ยของประชากร µ

จะได n

XX

n

ii∑

== 1 92.3312407

1232...3533

12

12

1 ==+++

==∑=i

iX บาทตอกิโลกรัม #

ตัวอยาง สุมตัวอยางระยะทางที่ใชรถยนตของครอบครัวหนึ่งมา 50 วัน พบวา ระยะทางรวมทั้งหมดที่ใชรถยนต 3,237 ก.ม. จงประมาณระยะทางเฉลี่ยตอวัน ที่ครอบครัวนี้ใชรถยนต


วิธีทํา ให X เปนคาประมาณแบบเดี่ยวของระยะทางที่ใชรถยนตเฉลี่ยประชากร µ

จะได n

XX

n

ii∑

== 1 74.6450237,3

50

50

1 ===∑=i

iX ก.ม.ตอวัน #

ตัวอยาง ตองการประมาณอายุเฉลี่ยของพนักงานในโรงงานแหงหนึ่ง จึงสุมตัวอยางพนักงานมา 250 คน พบวา พนักงานมีอายุรวมกันทั้งสิ้น 6,714 ป วิธีทํา ให X เปนคาประมาณแบบเดี่ยวของอายุคนงานเฉลี่ยประชากร µ

จะได n

XX

n

ii∑

== 1 86.26250714,6

250

250

1 ===∑=i

iX ปตอคน #

7.3.2 การประมาณคาแบบชวงความเชื่อมั่นของคาเฉลี่ยของประชากร สุมตัวอยางขนาด n จากประชากรที่มีการแจกแจงแบบปกต ิ มีคาเฉลี่ย µ และความแปรปรวน 2σ หรือ สุมตัวอยางขนาดใหญ )30( ≥n อยางใดอยางหนึ่ง แลวหาคาเฉลี่ยตัวอยาง X และความแปรปรวนตัวอยาง 2S นํามาสรางชวงความเชื่อมั่นของคาเฉลี่ยประชากร µ ซ่ึงจะขึ้นอยูกับวา ทราบคาความแปรปรวนของประชากร 2σ หรือไม แบงออกเปน 3 กรณี ดังนี้ กรณีที่ 1 ทราบคา 2σ และ n มีขนาดเทาไรก็ได

เนื่องจาก X เปนตัวประมาณแบบเดี่ยวของ µ และทราบวา X ∼ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛n

N2

,σµ ดังนี้

n/2σ 2/α α−1 2/α x− µ x X

สามารถแปลง X ∼ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛n

N2

,σµ ใหเปน Z ∼ )1,0(N จากสูตร n

XZ/σ

µ−=

12 =σ 2/α α−1 2/α

2αz− 0

2αz Z


พิสูจน จาก ( )ULP << µ = α−1

จากรูป =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<<−

22αα zZzP α−1

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<

−<−

22 / αα σµ zn

XzP α−1

พิจารณา 22 /αα

σµ zn

Xz <−

<−

คูณดวย n/σ ; n

zXn

z σµσαα22

<−<−

บวกดวย X− ; n

zXn

zX σµσαα22

+−<−<−−

คูณดวย 1− ; n

zXn

zX σµσαα22

−>>+

กลับดาน; n

zXn

zX σµσαα22

+<<−

จะได =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+<<−

nzX

nzXP σµσ

αα22

α−1

หรือ ( )ULP << µ = α−1

ชวงความเชื่อมั่น %100)1( α− ของ µ

n

zXn

zX σµσαα22

+<<−

เชน “ชวงความเชื่อมั่น %95%100)05.01( =− ของ µ ” มีความหมายวา หากสุมตัวอยางขนาด n มาจํานวน 100 ชุด จะสามารถสรางชวงความเชื่อมั่นของ µ ไดจํานวน 100 ชวง และคาดวาจะมีประมาณ 95 ชวง ที่คลุมคา µ สวนที่เหลือ 5 ชวง จะไมคลุมคา µ

แตในทางปฏิบัติจริง เราจะสุมตัวอยางมาเพียง 1 ชุด แลวนํามาสรางชวงความเชื่อมั่น %100)1( α− ของพารามิเตอร ดังนั้นชวงความเชื่อมั่นที่ไดจึงถือวาเปน 1 ใน 100 ของชวงทั้งหมด ดังนั้น ถากําหนดความนาจะเปนที่ชวงสุมจะคลุมพารามิเตอรที่แทจริงใหมีคาสูง ๆ เชน ,95.0,90.0 99.0 แลว จะทําใหเรามีความเชื่อมั่นสูงดวย

จาก ชวงความเชื่อมั่น %100)1( α− ของ µ

n

zXn

zX σµσαα22

+<<−

สามารถหาความกวางของชวง ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+=

nzX

nzX σσ

αα22

n

z σα2

2=


ความกวางของชวง n

z σα2

2 จะมีคามากหรือนอย ขึ้นอยูกับขนาดตัวอยางสุม n

ดังนั้นถาตองการความกวางของชวงนอย ๆ หรือมีความแมนยําสูง ขนาดตัวอยาง n จะตองมีขนาดใหญ ซ่ึงจะทําใหผูวิจัยเสียคาใชจาย และเสียเวลาเพิ่มมากขึ้นในการเก็บรวบรวมขอมูล เชน - อายุเฉลี่ยของพนักงานโรงงานแหงหนึ่งอยูระหวาง 2520 − ป - อายุเฉลี่ยของพนักงานโรงงานแหงหนึ่งอยูระหวาง 3020− ป ตัวอยาง บริษัทกอสรางแหงหนึ่ง ทราบวาคาแรงงานของคนงานไรฝมือในจังหวัดขอนแกน มีการแจกแจงแบบปกติ ที่ไมทราบคาเฉลี่ย แตทราบสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเปน 20 บาท สุมตัวอยางคนงานมา 20 คน แลวสอบถามคาแรงงานตอวัน พบวามีคาเฉลี่ย 140 บาทตอวัน จงหาชวงความเชื่อมั่น 95% ของคาแรงงานเฉลี่ยตอวันของคนงาน วิธีทํา ให X เปน คาแรงงานตอวันของคนงานไรฝมือ; X ∼ ),( 2σµN ; 22 20?, == σµ µ เปน คาแรงงานเฉลี่ยตอวันของคนงานไรฝมือในจังหวัดขอนแกน X เปน คาแรงงานเฉลี่ยตอวันของของตัวอยางคนงานไรฝมือ ที่สุมมาขนาด 20=n ไดคา 140=X ซ่ึงเปนคาประมาณแบบเดี่ยวของ µ

ทราบวา X ∼ ),(2

nN σµ ;

2020?,

22

==nσµ

0.5 – 0.025 = 0.475 025.0 025.0 025.0z− 0 025.0z Z -1.96 1.96

ชวงความเชื่อมั่น %95 ของ µ

n

zXn

zX σµσαα22

+<<−

20

2014020

20140205.0

205.0 zz +<<− µ

20

2014020

20140 025.0025.0 zz +<<− µ

20

2096.114020

2096.1140 +<<− µ

76.14824.131 << µ หรือ )76.148,24.131( ดวยความเชื่อมั่น %95 วาคาแรงงานเฉลี่ยตอวันของคนงานไรฝมือในจังหวัดขอนแกน มีคาอยูระหวาง 24.131 ถึง 76.148 บาท #


ตัวอยาง น้ําหนักของอาหารเสริมบรรจุกลองที่ผลิตจากเครื่องจักรหนึ่ง มกีารแจกแจงแบบปกติ ที่ไมทราบคาเฉลี่ย แตทราบสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเปน 2.51 ml. ฝายควบคุมคุณภาพสินคาสุมตัวอยางอาหารเสริมมา 10 กลอง มีน้ําหนักดังนี้ 10.2, 9.7, 10.1, 10.3, 10.1, 9.8, 9.9, 10.4, 10.3 และ 9.8 ml. ตามลําดับ จงหาชวงความเชื่อมั่น 95% ของน้ําหนักเฉลี่ยของอาหารเสริมบรรจุกลอง วิธีทํา ให X เปน น.น.ของอาหารเสริมที่บรรจุกลอง X ∼ ),( 2σµN ; 22 )51.2(?, == σµ µ เปน น.น.เฉลี่ยของอาหารเสริมที่บรรจุกลอง

สุมตัวอยาง 10=n ; หาคา 06.1010

8.9...7.92.1010

10

1 =+++

==∑=i

iXX

ดังนั้น 06.10=X เปนคาประมาณแบบเดี่ยวของ µ

และ X ∼ ),(2

nN σµ ; ?,=µ

10)51.2( 22

=nσ

ชวงความเชื่อมั่น %95 ของน้ําหนักเฉลี่ยของอาหารเสริมบรรจุกลอง )(µ

n

zXn

zX σµσαα22

+<<−

1051.206.10

1051.206.10

205.0

205.0 zz +<<− µ

1051.296.106.10

1051.296.106.10 +<<− µ

62.1150.8 << µ หรือ )62.11,50.8( ดวยความเชื่อมั่น %95 วาน้ําหนักเฉลี่ยของอาหารเสริมที่บรรจุกลองที่ ผลิตจากเครื่องจักรนี้ มีคาอยูระหวาง 50.8 ถึง 62.11 ml. # กรณีที่ 2 ไมทราบคา 2σ และ 30<n เนื่องจากไมทราบคา 2σ จึงประมาณดวย 2S และตัวอยางสุม 30<n จึงตองใช

ตัวสถิติ nS

XT/

µ−= ∼ )(νT ; เมื่อ 1−= nν

2/α α−1 2/α

2αt− 0

2αt )(νT

พิสูจน จาก ( )ULP << µ = α−1


จากรูป αανα −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<<− 1

2)(

2

tTtP

αµαα −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<

−<− 1

/ 22

tnS

XtP

ดําเนินการตามขั้นตอนเดียวกันกับกรณีที่ 1

จะได αµ αα −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+<<− 1

22 nStX

nStXP


n

StXn

StXnn )1(,

2)1(,

2−−

+<<− αα µ

ตัวอยาง น้ําหนักของอาหารเสริมบรรจุกลองที่ผลิตจากเครื่องจักรหนึ่ง มกีารแจกแจงแบบปกติ ที่ไมทราบคาเฉลี่ย และไมทราบความแปรปรวน ฝายควบคุมคุณภาพสินคาสุมอาหารเสริมจํานวน 10 กลอง มนี้ําหนักดังนี้ 10.2, 9.7, 10.1, 10.3, 10.1, 9.8, 9.9, 10.4, 10.3 และ 9.8 มล. ตามลําดับ จงคํานวณหาชวงความเชื่อมั่น 95% ของน้ําหนักเฉลี่ยของอาหารเสริมบรรจุกลอง วิธีทํา ให X เปน น้ําหนักของอาหารเสริมที่บรรจุกลอง; X ∼ ?)?,( 2 == σµN µ เปน น้ําหนักเฉลี่ยของอาหารเสริมที่บรรจุกลอง X เปน คาประมาณแบบเดี่ยวของ µ ; สุมตัวอยางขนาด 10=n

คาเฉลี่ย 06.1010

8.9...7.92.1010

10

1 =+++

==∑=i

iXX

ความแปรปรวน 06.0110

)06.10(10

1

2

2 =−

−=∑=i

iXS เปนคาประมาณแบบเดี่ยวของ 2σ

ชวงความเชื่อมั่น %95 ของ µ

n

StXn

StXnn )1(,

2)1(,

2−−

+<<− αα µ

10245.006.10

10245.006.10 )9(,025.0)9(,025.0 tt +<<− µ

10245.0)262.2(06.10

10245.0)262.2(06.10 +<<− µ

23.1089.9 << µ หรือ )23.10,89.9( ดวยความเชื่อมั่น %95 วาน้ําหนักเฉลี่ยของอาหารเสริมที่บรรจุกลองที่ผลิตจากเครื่องจักรนี้ มีคาอยูระหวาง 89.9 ถึง 23.10 มล. #


025.0 α−1 025.0 025.0t− 0 025.0t )9(T -2.262 2.262 กรณีที่ 3 ไมทราบคา 2σ และ 30≥n เนื่องจากไมทราบคา 2σ จึงประมาณดวย 2S และตัวอยางสุม 30≥n จึงไมจําเปนตองทราบรูปแบบการแจกแจงของประชากร โดยอาศัยทฤษฎีลิมิตสูสวนกลาง (CLT) จะได


n

SzXn

SzX22αα µ +<<−

ตัวอยาง ตองการประมาณรายไดเฉลี่ยตอเดือนของครัวเรือนในจังหวัดขอนแกน จึงสุมตัวอยางมา 75 ครัวเรือน พบวามีรายไดเฉลี่ยตอเดือน 10,160 บาท และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1,200 บาท จงสรางชวงความเชื่อมั่น 99% ของรายไดเฉลี่ยตอเดือนของครัวเรือน วิธีทํา ให X เปนรายไดตอเดือนของครัวเรือน; X ∼ ?)?,?( 2 == σµ µ เปนรายไดเฉลี่ยตอเดือนของครัวเรือนประชากร X เปนรายไดเฉลี่ยตอเดือนของครัวเรือนตัวอยาง ที่สุมมาขนาด 75=n ไดคา 160,10=X ซ่ึงเปนคาประมาณแบบเดี่ยวของ µ

เนื่องจาก n มีขนาดใหญ โดยอาศัย CLT จะได X ∼ ),(2

nN σµ

และจะประมาณ 2σ ดวย 22 )1200(=S ชวงความเชื่อมั่น %99 ของ µ

n

SzXn

SzX22αα µ +<<−

75

12001016075

120010160 005.0005.0 zz +<<− µ

751200)575.2(10160

751200)575.2(10160 +<<− µ

8.105162.9803 << µ หรือ ,2.9803( )8.10516 ดวยความเชื่อมั่น %99 วารายไดเฉลี่ยตอเดือนของครัวเรือนในจังหวัดขอนแกน มีคาอยูระหวาง 2.803,9 ถึง 8.516,10 บาท #


7.4 การประมาณคาผลตางของคาเฉลี่ยของสองประชากร )( 21 µµ − 7.4.1 คาประมาณแบบเดี่ยวของผลตางของคาเฉลี่ยของประชากร )( 21 µµ − สนใจประมาณคาเฉลี่ยของประชากร 2 ประชากรวา มีความแตกตางกันเพียงใด นั่นคือ ตองการประมาณคาของ 21 µµ − จึงเลือกตัวอยางสุมขนาด 1n จากประชากรที่ 1 และขนาด 2n จากประชากรที่ 2 ที่เปนอิสระกัน แลวนําขอมลูมาประมาณคาความแตกตางระหวางคาเฉลี่ย จะได

2

1

1

121

21

n

X

n

XXX

n

ii

n

ii ∑∑

== −=− เปนคาประมาณแบบเดี่ยวของ 21 µµ −

ตัวอยาง จากตัวอยางแรกสุด บริษัทขาวสวย ตองการประมาณผลตางของราคาขาวเฉลี่ยระหวางรานคาในกรุงเทพฯ กับขอนแกน จึงสุมตัวอยางรานคาในกรุงเทพฯ มา 20 ราน ไดขอมูลดังนี้ 37, 35, 32, 34, 36, 38, 35, 34, 40, 38, 35, 34, 38, 35, 36, 34, 37 และ 35 บาทตอก.ก. ตามลําดับ ใหประมาณผลตางของราคาขาวเฉลี่ยระหวางขอนแกน กับ กรุงเทพฯ วิธีทํา ให 1X และ 2X เปนคาประมาณแบบเดี่ยวของ 1µ และ 2µ คือ ราคาขายเฉลี่ย ตอก.ก. ในขอนแกน และกรุงเทพฯ ตามลําดับ 21 XX − เปนคาประมาณแบบเดี่ยวของ 21 µµ −

92.3312407

1232...3533

1

11

1

==+++

==∑=

n

XX

n

ii

บาท

45.3520709

2035...3537

2

12

2

==+++

==∑=

n

XX

n

ii

บาท

ผลตางของคาเฉลี่ย 53.192.3345.3521 =−=− XX บาท ดังนั้น คาประมาณแบบเดี่ยวของผลตางของราคาขาวเฉลี่ยตอก.ก. ในขอนแกน และกรุงเทพฯ เทากับ 53.1 บาท # ตัวอยาง สุมคนงานโรงงานตัดเย็บเสื้อผา และโรงงานอิเล็กทรอนิกสมา 250 และ 300 คน ตามลําดับ พบวา อายุของคนงานแตละโรงงานรวมกันทั้งสิ้น 7,125 ป และ 6,420 ป ตามลําดับ ใหประมาณผลตางอายุเฉลี่ยของคนงานทั้ง 2 โรงงาน วิธีทํา ให 1X และ 2X เปนคาประมาณแบบเดี่ยวของ 1µ และ 2µ คือ อายุเฉลี่ยของ คนงานในโรงงานตัดเย็บเสื้อผาและโรงงานอิเล็กทรอนิกส ตามลําดับ

5.282507125

1

11

1

===∑=

n

XX

n

ii

ป

4.213006420

2

12

2

===∑=

n

XX

n

ii

ป


ผลตางของคาเฉลี่ย 1.74.215.2821 =−=− XX ป ดังนั้น คาประมาณแบบเดี่ยวของผลตางของอายุเฉลี่ยของคนงานทั้ง 2 โรงงาน 1.7= ป # 7.4.2 ชวงความเชื่อมั่นของผลตางของคาเฉลี่ยของสองประชากร )( 21 µµ − การสรางชวงความเชื่อมั่นของผลตางของคาเฉลี่ยของสองประชากร ขึ้นอยูกับวาทราบคาความแปรปรวนของสองประชากรหรือไม แบงเปน 3 กรณี ดังนี้ กรณีที่ 1 ทราบคา 2

221 ,σσ

ถาประชากร 2 ประชากร มีการแจกแจงแบบปกติ และ 21 ,nn เปนตัวอยางสุมที่มีขนาดเทาใดก็ได หรือถาประชากรไมไดมีการแจกแจงแบบปกติ แตตัวอยางสุม ขนาดใหญ 30, 21 ≥nn

จากบทที่ 6 จะได 21 XX − ∼ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

2

22

1

21

21 ,nn

Nσσ

µµ

และใชตัวสถิติ Z

2

22

1

21

2121 )()(

nn

XXσσ

µµ

+

−−−= ∼ )1,0(N ในการสรางชวงความเชื่อมั่น

12 =σ 2/α α−1 2/α

2αz− 0

2αz Z

พิสูจน จาก ( )ULP <−< 21 µµ = α−1 จากรูป ( )2/2/ αα zZzP <<− = α−1

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

<

+

−−−<− 2/

2

22

1

21

21212/

)()(αα

σσ

µµ z

nn

XXzP = α−1

จะได ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++−<−<+−−

2

22

1

21

2/21212

22

1

21

2/21 )()()(nn

zXXnn

zXXP σσµµ

σσαα = α−1

ดังนั้น ชวงความเชื่อมั่น %100)1( α− ของ 21 µµ −

2

22

1

21

22121

2

22

1

21

221 )()()(

nnzXX

nnzXX σσ

µµσσ

αα ++−<−<+−−


กรณีที่ 2 ไมทราบคา 22

21 ,σσ และมีคาไมเทากัน )( 2

221 σσ ≠

เมื่อไมทราบคา 22

21 ,σσ ของประชากรทั้ง 2 กลุม จึงประมาณดวย 2

22

1 , SS ที่คํานวณไดจากตัวอยางสุม (ในทางปฏิบัติเมื่อไมทราบคา 2

221 ,σσ จะทําการทดสอบ

สมมติฐานความแปรปรวนของ 2 ประชากรวามีคาเทากันหรือไมกอน โดยใชการทดสอบ F หรือการทดสอบ Levene ซ่ึงจะไดศึกษาในบทที่ 8) ถา 30, 21 <nn

ใชตัวสถิติ

2

22

1

21

2121 )()(

nS

nS

XXT

+

−−−=

µµ ∼ )(νT

โดยที่

1)/(

1)/(

2

22

22

1

21

21

2

2

22

1

21

−+

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

nnS

nnS

nS

nS

ν

2/α α−1 2/α

2αt− 0

2αt )(νT

พิสูจน จาก ( )ULP <−< 21 µµ = α−1 จากรูป ( )2/)(2/ ανα tTtP <<− = α−1

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

<

+

−−−<− 2/

2

22

1

21

21212/

)()(αα

µµ t

nS

nS

XXtP = α−1

จะได ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++−<−<+−−

2

22

1

21

)(,2/21212

22

1

21

)(,2/21 )()()(nS

nS

tXXnS

nS

tXXP νανα µµ = α−1

ดังนั้น ชวงความเชื่อมั่น %100)1( α− ของ 21 µµ −

2

22

1

21

)(,2

21212

22

1

21

)(,2

21 )()()(nS

nStXX

nS

nStXX ++−<−<+−−

νανα µµ

ถา 30, 21 ≥nn

จะไดวา 21 XX − ∼ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

2

22

1

21

21 ,nn

Nσσ

µµ ; โดยอาศัย CLT


ใชตัวสถิติ Z

2

22

1

21

2121 )()(

nS

nS

XX

+

−−−=

µµ ∼ )1,0(N

ชวงความเชื่อมั่น %100)1( α− ของ 21 µµ −

2

22

1

21

22121

2

22

1

21

221 )()()(

nS

nSzXX

nS

nSzXX ++−<−<+−− αα µµ

กรณีที่ 3 ไมทราบคา 2

221 ,σσ แตทราบวา 22

221 σσσ ==

เมื่อไมทราบคา 22

21 ,σσ ของประชากรทั้ง 2 กลุม จงึประมาณดวย 2

221 , SS

ที่คํานวณไดจากตัวอยางสุม แยกเปน ถา 30, 21 <nn จะประมาณคา 22

221 σσσ == ดวยคาความแปรปรวนตัวอยางรวม (Pooled

sample variance) 2PS

โดยที่ 2

)1()1(

21

222

2112

−+−+−

=nn

SnSnS p

ใชตัวสถิติ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−−=

21

2

2121

11

)()(

nnS

XXT

p

µµ ∼ )(νT ; เมื่อ 221 −+= nnν


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−<−<⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−

21

2

)(,2

212121

2

)(,2

2111)()(11)(nn

StXXnn

StXX PP νανα µµ

ถา 30, 21 ≥nn เมื่อไมทราบ 2

221 ,σσ จึงประมาณดวย 2

22

1 , SS และประมาณคา 22

221 σσσ == ดวยคาความแปรปรวนตัวอยางรวม (Pooled sample variance) 2

PS

โดยที่ 2

)1()1(

21

222

2112

−+−+−

=nn

SnSnS p

ใชตัวสถิติ Z

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−−=

21

2

2121

11

)()(

nnS

XX

P

µµ ∼ )1,0(N


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−<−<⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−

21

2

22121

21

2

221

11)()(11)(nn

SzXXnn

SzXX PP αα µµ


ตัวอยาง สุมตัวอยางชาวขอนแกนที่อาศัยในเขตนอกเมือง 200 คน และเขตในเมือง 100 คน เพื่อสอบถามคาใชจายเฉลี่ยในการเดินทางตอสัปดาห พบวา ประชาชนในเขตนอกเมือง เสียคาใชจายในการเดินทางเฉลี่ยสัปดาหละ 100 บาท คาเบี่ยงเบนมาตรฐาน 25 บาท และเขตในเมือง เสียคาใชจายในการเดินทางเฉลี่ยสัปดาหละ 25 บาท คาเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 บาท จงหาชวงความเชื่อมั่น 95% ของผลตางของคาใชจายเฉลี่ยในการเดินทางตอสัปดาหระหวางในและนอกเขตอําเภอเมือง วิธีทํา ให 1X และ 2X เปนคาใชจายในการเดินทางนอกเขต และในเขต ตามลําดับ 1X และ 2X เปนคาประมาณแบบเดี่ยวของ 1µ และ 2µ คือ คาใชจายใน การเดินทางเฉลี่ยของตัวอยางคนนอกเขตและในเขต ตามลําดับ สุมตัวอยาง 2001 =n , 1002 =n ซ่ึงมีขนาดใหญ โดยอาศัย CLT จะได

1X ∼ ),(1

21

1 nN

σµ และ 2X ∼ ),(

2

22

2 nN

σµ

21 XX − ∼ ),(2

22

1

21

21 nnN σσ

µµ +−

เมื่อ 1001 =X , 252 =X , 221 25=S , 22

2 5=S , 96.1025.0 =Z

ชวงความเชื่อมั่น %95 ของ 21 µµ −

2

22

1

21

22121

2

22

1

21

221 )()()(

nS

nS

zXXnS

nS

zXX ++−<−<+−− αα µµ

1005

2002596.1)25100()(

1005

2002596.1)25100(

22

21

22

++−<−<+−− µµ

)837.1)(96.1(75)()837.1)(96.1(75 21 +<−<− µµ 601.78)(399.71 21 <−< µµ

ผลตางของคาใชจายในการเดินทางเฉลี่ยตอสัปดาห ระหวางนอกเขตและในเขตอําเภอเมือง มีคาอยูระหวาง 399.71 ถึง 601.78 บาท ที่ระดับความเชื่อมั่น 95.0 # ตัวอยาง สุมคนงานชายและคนงานหญิงของโรงงานแหงหนึ่งมา 20 และ 25 คน ตามลําดับ เพื่อสอบถามคาลวงเวลาในสัปดาหที่ผานมา พบวาคาลวงเวลาเฉลี่ยตอวันของคนงานชายและหญิง 500 และ 400 บาท ตามลําดับ และมีคาเบี่ยงเบนมาตรฐานของคาลวงเวลา 150 และ 50 บาท ตามลําดับ ถาคาลวงเวลาของคนงานชาย และคนงานหญิง มีการแจกแจงแบบปกติ ที่ไมทราบคาความแปรปรวน แตทราบวามีคาเทากัน จงหาชวงความเชื่อมั่น 95% ของผลตางคาลวงเวลาเฉลี่ยระหวางคนงานชายและหญิง วิธีทํา ให 1X และ 2X เปนคาประมาณแบบเดี่ยวของ 1µ และ 2µ คือ คาลวงเวลาเฉลี่ย ระหวางคนงานชาย และหญิง ตามลําดับ ทราบวา =2

1σ =22σ 2σ จึงประมาณ 2σ ดวย 2

PS จะได


เมื่อ 201 =n , 252 =n , 5001 =X , 4002 =X , 221 150=S , 22

2 50=S

2

)1()1(

21

222

2112

−+−+−

=nn

SnSnS p

21.1133722520

50)125(150)120( 22

=−+

−+−=

48.10621.11337 ==pS ; 4322520 =−+=ν ; 021.2)43(,025.0 ≅t ชวงความเชื่อมั่น %95 ของ 21 µµ −

21

)(,2

212121

)(,2

2111)()(11)(nn

StXXnn

StXX PP ++−<−<+−−νανα µµ

251

201)48.106)(021.2()400500( +±−

37.119)(63.80 21 <−< µµ

ดวยความเชื่อมั่น %95 วาผลตางของคาลวงเวลาเฉลี่ยตอคน ระหวางคนงานชาย และคนงานหญิง มีคาอยูระหวาง 63.80 ถึง 37.119 บาท # ตัวอยาง ใชขอมูลจากตัวอยางขางตน ถาคาลวงเวลาของคนงานชายและคนงานหญิง ไมมีการแจกแจงแบบปกติ ไมทราบความแปรปรวนและมีคาไมเทากัน จงหาชวงความเชื่อมั่น 95% ของผลตางคาลวงเวลาเฉลี่ยระหวางคนงานชายและหญิง วิธีทํา ให 1X และ 2X เปนคาประมาณแบบเดี่ยวของ 1µ และ 2µ คือ คาลวงเวลาเฉลี่ย ของคนงานชายและหญิง ตามลําดับ เนื่องจากไมทราบคา ,2

1σ22σ จึงประมาณดวย ,2

1S 22S

สุมตัวอยาง 201 =n , 252 =n ; ได 5001 =X , 4002 =X , 221 150=S , 22

2 50=S

จาก

1)/(

1)/(

)(

2

22

22

1

21

21

2

2

22

1

21

−+

−

+=

nnS

nnS

nS

nS

ν

224.22

125)25/50(

120)20/150(

)25

5020

150(2222

222

≅=

−+

−

+=

คาจากตารางสถิติ คือ 074.2)22(,025.0)(,

2

== ttνα

ชวงความเชื่อมั่น %95 ของ 21 µµ −

2

22

1

21

)(,2

21212

22

1

21

)(,2

21 )()(nS

nS

tXXnS

nS

tXX ++−<−<+−−ν

αν

α µµ

2550

20150)400500(

2550

20150)400500(

22

)22(,025.021

22

)22(,025.0 ++−<−<+−− tt µµ

)35)(074.2(100)35)(074.2(100 21 +<−<− µµ 59.17271.29 21 <−< µµ


ดวยความเชื่อมั่น %95 วาผลตางของคาลวงเวลาเฉลี่ยตอคนระหวางคนงานชายและคนงานหญิง มีคาอยูระหวาง 71.29 ถึง 59.172 บาท # 7.5 ชวงความเชื่อมั่นของผลตางของคาเฉลี่ยของสองประชากร กรณีตัวอยางมีความสัมพันธกัน )( Dµ เปนตัวอยางสุมที่เก็บรวบรวมมาในลักษณะเปนคู ๆ และมีความสัมพันธกนั เชน ตองการทดสอบยาชนิดหนึ่งวามีผลกระทบตอความดันโลหิตหรือไม วิธีการเก็บขอมูล คือ ทดลองยาชนิดนี้กับคนไขที่ปวยเปนโรคเดียวกัน โดยวัดความดันโลหิตคนไขคนเดียวกันกอนและหลังใหยา ดังนั้นขอมูลทัง้สองชุดที่เก็บมาไดจะมีความสัมพันธกนั ดังนี้

คนไข ความดันโลหิตของคนไข ผลตาง )( iD กอนใหยา )( 1iX หลังใหยา )( 2iX 1 11X 12X 12111 XXD −= 2 21X 22X 22212 XXD −= 3 31X 32X 32313 XXD −= … … … … n 1nX 2nX 21 nnn XXD −=

โดยที่ ),( 1211 XX − )( 2221 XX − ,..., )( 21 nn XX − เปนอิสระกัน แตคา 1nX และ

2nX ภายในคูเดียวกัน จะมีความสัมพันธกัน ให 21 iii XXD −= ni ,...,2,1; = เปนผลตางของตัวอยางสุมจากประชากรที่มีการแจกแจงแบบปกติ มีคาเฉลี่ย Dµ และความแปรปรวน 2

Dσ ; เมื่อ Dµ เปนผลตางเฉลี่ยของผลที่วัดไดจากกรรมวิธี

ใชตัวสถิติ nS

DT

D

D

/µ−

= ∼ )(νT ; เมื่อ 1−= nν

โดยที่ n

DD

n

ii∑

== 1

1

)(

1

)(1

2

12

1

2

2

−

−=

−

−=

∑∑

∑=

=

=

nn

DD

n

DDS

n

i

n

ii

i

n

ii

D

ชวงความเชื่อมั่น %100)1( α− ของ Dµ

n

StDn

StD DnD

Dn )1(,2/)1(,2/ −− +<<− αα µ ; ถา 30<n

n

SzD

nS

zD DD

D2/2/ αα µ +<<− ; ถา 30≥n


ตัวอยาง สุมตัวอยางทหารเกณฑ 10 คน เขารับการฝกอบรมในปาแหงหนึ่ง เพื่อประมาณวา การฝกอบรมในปามีผลตอน้ําหนักเฉลี่ย (ก.ก.) ของทหารเกณฑหรือไม ใหสรางชวงความเชื่อมั่น 95% ของผลตางระหวางน้ําหนักเฉลี่ยกอนกับหลังฝกอบรม

ทหารคนที่ i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 น.น.กอนฝก ( 1X ) 127 195 162 170 143 205 168 175 197 136 น.น.หลังฝก ( 2X ) 135 200 160 182 147 200 172 186 194 141 ผลตางของ ( iD ) -8 -5 2 -12 -4 5 -4 -1 3 -5

วิธีทํา

หาคา 9.31039

10)5(...)5()8(

10

1 −=−

=−++−+−

==∑=

n

DD i

i

99.32110

]10/)39[(4491

]/)[( 21

2

1

2

2 =−

−−=

−

−=∑ ∑= =

n

nDDS

n

i

n

iii

D

74.5=DS ชวงความเชื่อมั่น %95 ของ Dµ

n

StDn

StD DnD

Dn )1(,2/)1(,2/ −− +<<− αα µ

1074.59.3

1074.59.3 )110(,025.0)110(,025.0 −− +−<<−− tt Dµ

1074.5)262.2(9.3

1074.5)262.2(9.3 +−<<−− Dµ

206.0006.8 <<− Dµ ดวยความเชื่อมั่น %95 วาผลตางน้ําหนักเฉลี่ยของทหารกอนและหลังฝกอบรม มีคาอยูระหวาง 006.8− ถึง 206.0 ก.ก.ตอคน # 7.6 การประมาณคาสัดสวนของประชากร ประชากรที่สนใจมี N หนวย แบงเปน 2 ลักษณะ คือ ลักษณะจํานวนหนวยตัวอยางที่สนใจ และลักษณะจํานวนหนวยตัวอยางที่ไมสนใจ

สัดสวนประชากร คือ NXp = ; X คือ จํานวนหนวยตัวอยางที่สนใจ

7.6.1 การประมาณคาแบบเดี่ยวของสัดสวนประชากร สุมตัวอยาง n ขนาดใหญ

สัดสวนตัวอยาง คือ nxp =ˆ ; เมื่อ x คือ จํานวนหนวยตัวอยางที่สนใจ

ดังนั้น nxp =ˆ เปนตัวประมาณคาแบบเดี่ยวของสัดสวนประชากร p

และ p̂ เปนตัวประมาณที่ไมเอนเอียง (Unbiased estimator) ของ p เพราะวา ppE =)ˆ(


ตัวอยาง สุมตัวอยางตูโทรศัพทสาธารณะในอําเภอเมืองมา 200 ตู พบวามีจํานวนตูโทรศัพทที่ใชงานไมได 20 ตู ใหประมาณคาสัดสวนตูโทรศัพทสาธารณะที่ใชงานไมไดในอําเภอเมือง วิธีทํา ให p̂ เปนคาประมาณแบบเดี่ยวของ p คือ สัดสวนตูโทรศัพทสาธารณะ ที่ใชงานไมได = จํานวนตูโทรศัพทสาธารณะที่ใชงานไมได จํานวนตูโทรศัพทสาธารณะที่สุมมาเปนตัวอยาง

10.020020

===nx

คาประมาณสัดสวนตูโทรศัพทสาธารณะที่ใชงานไมไดในเขตอําเภอเมือง 10.0= #

ตัวอยาง สุมตัวอยางบัณฑิตสาขาสถิติในปการศึกษาที่ผานมา 150 คน พบวามีจํานวนผูไดงานทําภายใน 3 เดือน หลังสําเร็จการศึกษา 30 คน ใหประมาณคาสัดสวนบัณฑิตสาขาสถิติที่ไดงานทําภายใน 3 เดือน หลังสําเร็จการศึกษา วิธีทํา ให p̂ เปนคาประมาณแบบจุดของ p : สัดสวนตัวอยางบัณฑิตสาขาสถิติที่ ไดงานทําภายใน 3 เดือน หลังจากสําเร็จการศึกษา p̂ = จํานวนบัณฑิตสาขาสถิติที่ไดงานทําภายใน 30 วัน หลังสําเร็จการศึกษา จํานวนบัณฑิตสาขาสถิติที่สุมมาเปนตัวอยาง

20.015030

===nx

คาประมาณสัดสวนบัณฑิตสาขาสถิติที่ไดงานหลังสําเร็จการศึกษา 20.0 # 7.6.2 ชวงความเชื่อมั่นของสัดสวนประชากร

คาสัดสวนของตัวอยาง nXp =ˆ ; เมื่อ n มีขนาดใหญ และอาศัย CLT

จะได p̂ ∼ ),(npqpN และมีคาคลาดเคลื่อนมาตรฐาน

npqES =..

สามารถแปลง p̂ ใหเปน Z ไดดวยสูตร npq

ppZ/

ˆ −= ∼ )1,0(N

12 =σ 2/α α−1 2/α

2αz− 0

2αz Z

พิสูจน จาก ( )UpLP << = α−1 จากรูป ( )2/2/ αα zZzP <<− = α−1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<

−<− 2/2/ /

ˆαα z

npqppzP = α−1


จะได ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+<<−

npqzpp

npqzpP 2/2/ ˆˆ αα = α−1

เนื่องจาก npqES =. ; ไมทราบคา p และ q จึงตองประมาณดวย p̂ และ q̂

ดังนั้น ชวงความเชื่อมั่น %100)1( α− ของ p

nqpzpp

nqpzp

ˆˆˆˆˆˆ 2/2/ αα +<<−

ตัวอยาง สุมตัวอยางตูโทรศัพทสาธารณะในอําเภอเมือง 200 ตู พบวา มีจํานวนตูโทรศัพทที่ใชงานไมได 20 ตู ใหหาชวงความเชื่อมั่น 95% ของสัดสวนตูโทรศัพทที่ใชงานไมได วิธีทํา ให p เปนสัดสวนของประชากรตูโทรศัพทสาธารณะที่ใชงานไมได p̂ เปนสัดสวนของตัวอยางตูโทรศัพทสาธารณะที่ใชงานไมได

จะได p̂ 10.020020

===nx เปนตัวประมาณคาแบบเดี่ยวของ p

ชวงความเชื่อมั่น %95 ของ p

nqpzpp

nqpzp

ˆˆˆˆˆˆ 2/2/ αα +<<−

200/)9.0)(1.0(10.0200/)9.0)(1.0(10.0 025.0025.0 zpz +<<− 200/)9.0)(1.0(96.110.0200/)9.0)(1.0(96.110.0 +<<− p 142.0058.0 << p

ดวยความเชื่อมั่น %95 วา สัดสวนตูโทรศัพทสาธารณะที่ใชงานไมได มีคาอยูระหวาง 058.0 ถึง 142.0 # 7.7 การประมาณคาผลตางของสัดสวนของสองประชากร 7.7.1 คาประมาณแบบเดี่ยวของผลตางสัดสวนของประชากร สุมตัวอยางที่เปนอิสระกันขนาด 1n และ 2n จากประชากรที่มีการแจกแจงแบบทวินามที่มีสัดสวนของการเกิดความสําเร็จเปน 1p และ 2p มีคาเฉลี่ย 11pn และ 22 pn และมีความแปรปรวน 111 qpn และ 222 qpn ตามลําดับ ใหสัดสวนของการเกิดความสําเร็จของตัวอยาง คือ 1p̂ และ 2p̂

ผลตางของสัดสวนตัวอยาง 2

2

1

121 ˆˆ

nx

nx

pp −=−

เปนคาประมาณแบบเดี่ยวของ 21 pp − เมื่อ 1x และ 2x คือ จํานวนหนวยที่สนใจในตัวอยางสุมจากประชากรที่ 1 และประชากรที่ 2 ตามลําดับ ตัวอยาง สุมตัวอยางตูโทรศัพทสาธารณะในภาคกลาง และภาคตะวันออกเฉียง


เหนือ มา 250 และ 300 ตู ตามลําดับ พบวา มีจํานวนตูโทรศัพทที่ใชงานไมได 25 และ 45 ตู ตามลําดับ ใหประมาณผลตางสัดสวนตูโทรศัพทสาธารณะที่ใชงานไมไดระหวางภาคกลางและภาคตะวันออกเฉียงเหนือ วิธีทํา ให 1p̂ และ 2p̂ เปนคาประมาณแบบเดี่ยวของ 1p และ 2p เปนสัดสวนของ ตูโทรศัพทสาธารณะที่ใชงานไมไดในภาคกลางและภาคตะวัน ออกเฉียงเหนือ ตามลําดับ

จะได 1.025025ˆ

1

11 ===

nx

p และ 15.030045ˆ

2

22 ===

nx

p

05.015.01.0ˆˆ 21 −=−=− pp เปนคาประมาณผลตางแบบเดี่ยวของ 21 pp − คาประมาณผลตางระหวางสัดสวนตูโทรศัพทสาธารณะที่ใชงานไมไดในภาคกลาง กับภาคตะวันออกเฉียงเหนือเปน 05.0 # ตัวอยาง สุมตัวอยางบัณฑิตสาขาสถิติ และสาขาคอมพิวเตอร เมื่อปการศึกษาที่ผานมาจํานวน 150 และ 250 คน ตามลําดับ พบวามีบัณฑิตไดงานทําภายใน 3 เดือน หลังจากสําเร็จการศึกษา 30 และ 20 คน ตามลําดับ ใหประมาณผลตางสัดสวนระหวางบัณฑิตสาขาสถิติ และสาขาคอมพิวเตอร ที่ไดงานทําภายใน 3 เดือน หลังจากสําเร็จการศึกษา วิธีทํา ให 1p̂ และ 2p̂ เปนคาประมาณแบบจุดของ 1p และ 2p ซ่ึงเปนสัดสวนของ บัณฑิตสาขาสถิติ และสาขาคอมฯ ที่ไดงานทําภายใน 3 เดือน หลังสําเร็จการศึกษา ตามลําดับ

จะได 20.015030ˆ

1

11 ===

nx

p และ 08.025020ˆ

2

22 ===

nx

p

12.008.020.0ˆˆ 21 =−=− pp เปนคาประมาณผลตางแบบเดี่ยวของ 21 pp − คาประมาณของผลตางระหวางสัดสวนบัณฑิตสาขาสถิติ และสาขาคอมพิวเตอร ที่ไดงานทําภายใน 3 เดือน หลังสําเร็จการศึกษาเปน 12.0 # 7.7.2 ชวงความเชื่อมั่นของผลตางสัดสวนของประชากร สุมตัวอยางที่เปนอิสระกัน ขนาด 1n และ 302 ≥n จากประชากร ซ่ึงมีสัดสวนของการเกิดความสําเร็จ 1p และ 2p มีคาเฉลี่ย 11pn และ 22 pn และความแปรปรวน 111 qpn และ 222 qpn ตามลําดับ เมื่อ 11 1 pq −= และ 22 1 pq −=

ผลตางสัดสวนตัวอยาง คือ 21 ˆˆ pp − ∼ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

2

22

1

1121 ,

nqp

nqp

ppN

สามารถแปลง 21 ˆˆ pp − ใหเปน Z ดวยสูตร

2

22

1

11

2121 )()ˆˆ(

nqp

nqp

ppppZ+

−−−= ∼ )1,0(N

เนื่องจาก 2

22

1

11.nqp

nqpES += ไมทราบคา ,1p 2p จึงตองประมาณดวย ,ˆ1p 2p̂

และ ,1q 2q ประมาณดวย ,ˆ1q 2q̂ ดังนั้น


ชวงความเชื่อมั่น %100)1( α− ของ 21 pp −

2

22

1

11

22121

2

22

1

11

221

ˆˆˆˆ)ˆˆ()(

ˆˆˆˆ)ˆˆ(

nqp

nqp

zppppnqp

nqp

zpp ++−<−<+−− αα

ตัวอยาง สุมตัวอยางประชาชนที่อาศัยอยูในภาคใตและภาคตะวันออกเฉียงเหนือภาคละ 500 คน พบวา มีประชาชนที่นิยมนั่งรถไฟ 380 และ 263 คน ตามลําดับ จงหาชวงความเชื่อมั่น 95% ของผลตางของสัดสวนของประชาชนที่นิยมนั่งรถไฟระหวางภาคใตและภาคตะวันออกเฉียงเหนือ วิธีทํา ให 1p และ 2p เปนสัดสวนของประชาชนที่นั่งรถไฟระหวางภาคใต และ ภาคตะวันออกเฉียงเหนือ ตามลําดับ สุมตัวอยางมา 1n 5002 == n

76.0500380ˆ

1

11 ===

nxp และ 53.0

500265ˆ

2

22 ===

nxp

23.053.076.0ˆˆ 21 =−=− pp เปนคาประมาณแบบเดี่ยวของ 21 pp −

และ 21 ˆˆ pp − ∼ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

2

22

1

1121 ,

nqp

nqpppN

สามารถแปลง 21 ˆˆ pp − ใหเปน Z ดวยสูตร

2

22

1

21

2121 )()ˆˆ(

nqp

nqp

ppppZ+

−−−= ∼ )1,0(N

ชวงความเชื่อมั่น %95 ของ 21 pp −

2

22

1

11

22121

2

22

1

11

221

ˆˆˆˆ)ˆˆ(

ˆˆˆˆ)ˆˆ(

nqp

nqpzpppp

nqp

nqpzpp ++−<−<+−− αα

500)47.0)(53.0(

500)24.0)(76.0()53.076.0( 025.0 +±− z

500)47.0)(53.0(

500)24.0)(76.0(96.1)53.076.0( +±−

)29.0,17.0(06.023.0 =± ดวยความเชื่อมั่น %95 วาผลตางของสัดสวนของประชาชนที่นิยมนั่งรถไฟระหวางภาคใต และภาคตะวันออกเฉียงเหนือ มีคาอยูระหวาง 17.0 ถึง 29.0 #

ถาใหหา ชวงความเชื่อมั่น %90 ของ 21 pp − 12 =σ = 0.5 - 0.005 = 0.495 2/α 005.02/ =α Z 575.2005.0 −=− z 0 575.2005.0 =z


ตัวอยาง สุมตัวอยางผลิตภัณฑที่ผลิตจากเครื่องจักร A และ B มาอยางละ 400 ชิ้น พบวามีผลิตภัณฑที่ไมไดมาตรฐานรอยละ 10 และ 5 ตามลําดับ จงหาชวงความเชื่อมั่น 95% ของผลตางสัดสวนตัวอยางของผลิตภัณฑที่ไมไดมาตรฐานจากทั้ง 2 เครื่องจักร วิธีทํา ให 1p̂ , 1p̂ เปนสัดสวนตัวอยางผลิตภัณฑไมไดมาตรฐานจากเครื่องจักร A, B จะได 1.0ˆ 1 =p , 9.0ˆ 1 =q , 05.0ˆ 2 =p , 95.0ˆ 2 =q ; 1n 4002 == n ; 96.1025.0 =Z 05.005.01.0ˆˆ 21 =−=− pp เปนคาประมาณแบบเดี่ยวของ 21 pp − ชวงความเชื่อมั่น %95 ของ 21 pp −

2

22

1

11

22121

2

22

1

11

221

ˆˆˆˆ)ˆˆ(

ˆˆˆˆ)ˆˆ(

nqp

nqpzpppp

nqp

nqpzpp ++−<−<+−− αα

400

)95.0)(05.0(400

)90.0)(10.0()05.010.0( 025.0 +±− z

400

)95.0)(05.0(400

)90.0)(10.0(96.1)05.010.0( +±−

036.005.0 ± หรือ )086.0,014.0( ผลตางของสัดสวนของผลิตภัณฑที่ไมไดมาตรฐานจากเครื่องจักร A และ B มีคาอยูระหวาง 014.0 ถึง 086.0 ที่ระดับความเชื่อมั่น 95.0 # 7.8 การประมาณคาความแปรปรวนของประชากร 2σ ให ),...,,( 21 nXXX เปนตัวอยางสุมขนาด n จากประชากรที่มีการแจกแจงแบบปกติ มีคาเฉลี่ย µ และความแปรปรวน 2σ

7.8.1 การประมาณคาแบบเดี่ยวของความแปรปรวนของประชากร

ให 2S เปนคาประมาณแบบเดี่ยวของ 2σ ; เมื่อ 1

)(1

2

2

−

−=∑=

n

XXS

n

ii

และ 2S เปนตัวประมาณที่ไมเอนเอียงของ 2σ เพราะวา 22 )( σ=SE แต S เปนตัวประมาณที่เอนเอียงของ σ เพราะวา σ≠)(SE 7.8.2 ชวงความเชื่อมั่นของความแปรปรวนของประชากร เนื่องจาก 2S เปนตัวประมาณของ 2σ ดังนั้นการประมาณคา 2σ ดวยชวงความเชื่อมั่น จึงตองพิจารณาการแจกแจงของ 2S โดยแปลงเปน

2

22 )1(

σχ Sn −

= จะมีการแจกแจงแบบ 2)(νχ ; เมื่อ 1−= nν

2/α α−1 2/α 0 2

21 αχ−

2

2αχ 2

)(νχ


จากรูป αχχχ ανα −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<<

−12

2

2)(

2

21

P

แทนคา 2

22 )1(

σχ Sn −

= ; αχσ

χ αα −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<

−<

−1)1( 2

22

22

21

SnP

αχ

σχ αα

−=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

<<−

−

1)1()1(2

21

22

2

2

2 SnSnP

ชวงความเชื่อมั่น %100)1( α− ของ 2σ

2

21

22

2

2

2 )1()1(

αα χσ

χ−

−<<

− SnSn

ตัวอยาง สุมตัวอยางบุหรี่ยี่หอหนึ่งมา 8 มวน พบวา มีปริมาณนิโคตินเฉลี่ย 18.6 มก. และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 2.4 มก. และใหปริมาณนิโคตินในบุหรี่มีการแจกแจงแบบปกติ หรือ X ∼ ),( 2σµN จงหา ก. คาประมาณแบบเดี่ยวของความแปรปรวนปริมาณนิโคตินในบุหรี่ ข. ชวงความเชื่อมั่น 95% ของความแปรปรวนของปริมาณนิโคตินในบุหรี่ ค. ชวงความเชื่อมั่น 95% ของสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของปริมาณนิโคตินในบุหรี่ วิธีทํา ให X เปนปริมาณนิโคตินในบุหรี่ สุมตัวอยางขนาด 8=n ไดคา 6.18=X และ 4.2=S ที่ 7181 =−=−= nν จากตารางสถิติจะได 69.12

025.0 =χ และ 0.162975.0 =χ

ก. คาประมาณแบบเดี่ยวของความแปรปรวนปริมาณนิโคตินในบุหรี่ ( 2σ ) คือ 76.5)4.2( 22 ==S (มก.)2 #

ข. ชวงความเชื่อมั่น %95 ของ 2σ

2

21

22

2

2

2 )1()1(

αα χσ

χ−

−<<

− SnSn

2975.0

22

2025.0

2 )4.2)(18()4.2)(18(χ

σχ

−<<

−

69.1

)4.2(70.16)4.2(7 2

22

<< σ

86.2352.2 2 << σ ความแปรปรวนของปริมาณนิโคตินในบุหรี่ มีคาอยูระหวาง 52.2 ถึง 86.23 (มก.)2 ที่ระดับความเชื่อมั่น 95.0 # ค. จากขอ ก โดยการถอดรากที่สอง จะได ชวงความเชื่อมั่น %95 ของ σ 86.2352.2 2 << σ


88.459.1 << σ สวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของปริมาณนิโคตินในบุหรี่ มีคาอยูระหวาง 59.1 ถึง 88.4 มิลลิกรัม ที่ระดับความเชื่อมั่น 0.95 # 7.9 การประมาณคาอัตราสวนความแปรปรวนของประชากร

ประชากร 2 กลุม ทีม่ีการแจกแจงแบบปกติ มีคาเฉลี่ย 1µ และ 2µ และความแปรปรวน 2

1σ และ 22σ ตามลําดับ

สนใจอัตราสวนความแปรปรวนของประชากร 22

21

σσ

7.9.1 การประมาณคาแบบเดี่ยวของอัตราสวนความแปรปรวนของ ประชากร

คาประมาณแบบเดี่ยวของ 22

21

σσ คือ 2

2

21

SS

7.9.2 ชวงความเชื่อมั่นของอัตราสวนความแปรปรวนของประชากร สุมตัวอยางขนาด 1n และ 2n จากแตละประชากรที่ 1 และ 2 ที่มกีารแจกแจงแบบปกติ ตามลําดับ ให 2

1S และ 22S เปนความแปรปรวนของตัวอยางสุมจากประชากรที่ 1 และ 2

ตัวสถิติ 21

2112

1)1(

σχ

Sn −= ∼ 2

)( 1νχ ; 111 −= nν

และ 22

2222

2)1(

σχ

Sn −= ∼ 2

)( 2νχ ; 122 −= nν

อัตราสวน 22

22

21

21

222

222

211

211

2

22

1

21

)1()1()1()1(

1

1

σ

σ

σ

σχ

χ

S

S

nSn

nSn

n

n=

−−−−

=

−

− F=

ตัวสถิติ 22

21

22

22

21

21

//

SS

SSF ==

σσ ; ถา 2

221 σσ =

จะมีการแจกแจงแบบ ),( 21 ννF ; เมื่อ 1,1 2211 −=−= nn νν 2/α α−1 2/α 0

21 α−

f 2αf ),( 21 ννF

จากรูป ααννα −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<<

−1

2),(

21 21

fFfP

ασσ

αα −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<<

−1

//

222

22

21

21

21

fSS

fP


ασσ

αα −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<<

−1

22

1

22

21

22

212

1

22 f

SS

fSS

P

ασσ

νναννα

−=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

>>−

1),(,

2

22

21

22

21

),(,2

1

22

21

2121

fSS

fSSP

หรือ ασσ

νναννα

−=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

<<−

1),(,

21

22

21

22

21

),(,2

22

21

2121

fSS

fSSP

ชวงความเชื่อมั่น %100)1( α− ของ 22

21

σσ

)1()1(),(,

21

22

21

22

21

),(,2

22

21

2121 νναννα σσ

−

<<fS

SfS

S

หรือ )()1(),(,

222

21

22

21

),(,2

22

21

12

21

ννα

ννα σσ f

SS

fSS

<< ***

ตัวอยาง ทราบวาผลผลิตของขาวขาวพันธุ ก และ ข มีการแจกแจงแบบปกติ ทดลองปลูกขาวพันธุ ก และ ข จํานวน 6 และ 12 แปลง ตามลําดับ ไดคา

2721 =S และ 152

2 =S (ก.ก.)2 สําหรับขาวพันธุ ก และ ข ตามลําดับ ใหหาคาประมาณแบบเดี่ยว และชวงความเชื่อมั่น %95 ของอัตราสวนความแปรปรวนของผลผลิตของขาวทั้ง 2 พันธุ วิธีทํา ให 2

1S , 22S เปนความแปรปรวนของตัวอยางสุมของผลผลิตของขาวพันธุ ก, ข

ที่ทดลองปลูกขาวจํานวน 61 =n , 122 =n ; ไดคา 2721 =S , 152

2 =S

คาประมาณแบบเดี่ยวของอัตราสวนความแปรปรวนของผลผลิตของขาว 2

พันธุ 22

21

σσ คือ 8.1

1527

22

21 ==

SS #

หาคา 04.4)11,5,(025.0)112,16,(205.0),,(

2 21

===−−

fffνν

α

0.975 0.025 0 04.4025.0 =f )11,5(F สวนคา

)16,112,(205.0),,(

2 12 −−= ff

ννα )5,11(,025.0f= ไมมีในตาราง


แตมีคาใกลเคียง คือ 62.6)5,10(,025.0 =f และ 52.6)5,12(,025.0 =f

ดังนั้น จะได )5,11(,025.0f 57.62

52.662.6=

+=

ชวงความเชื่อมั่น %95 ของ 22

21

σσ

),,(

222

21

22

21

),,(2

22

21

12

21

1νν

α

ννα σ

σf

SS

fSS

<<

)5,11,(025.022

21

)11,5,(025.0 15271

1527 f

f<<

σσ

)57.6)(80.1(04.41)80.1( 2

2

21 <<

σσ

826.11446.0 22

21 <<

σσ

ดวยความเชื่อมั่น %95 วาอัตราสวนความแปรปรวนของผลผลิตของขาวพันธุ ก และ ข มีคาอยูระหวาง 446.0 ถึง 826.11 #

************ *************


แบบฝกหัดบทที่ 7 การประมาณคา

1. โรงงานอุตสาหกรรมแหงหนึ่ง ตองการประมาณคาสัดสวนแบบเดี่ยวของอายุการใชงานของเครื่องจักรชนิดหนึ่ง จึงไดสุมตัวอยางเครื่องจักรชนิดนั้นที่หมดอายุการใชงานแลวมาจํานวน 10 เครื่อง (หนวย : ป) ดังขอมูลขางลางนี้ 6 7 8 9 7 8 10 11 8 12 จงหาคาประมาณสัดสวนแบบเดี่ยวของเครื่องจักรที่มีอายุการใชงานไดต้ังแต 10 ป ขึ้นไป 2. นายแพทยผูหนึ่ง ตองการทราบความแตกตางระหวางอายุเฉลี่ยของคนไขหญิงและคนไขชายที่เปนโรคหัวใจ ที่เขามารักษาพยาบาลในโรงพยาบาลของรัฐ จึงเลือกคนไขหญิงและชายที่เปนโรคหัวใจและเขารับการรักษาพยาบาลในโรงพยาบาลของรัฐมาเปนตัวอยาง 12 และ 15 ราย ตามลําดับ และสอบถามอายุ (ป) ไดขอมูลดังนี้ หญิง 55 52 58 45 70 41 61 60 48 54 65 51 ชาย 60 62 56 48 65 62 70 65 48 46 62 56 58 72 60 คาประมาณแบบเดี่ยวของผลตางระหวางอายุเฉลี่ยของคนไขหญิงและชายเทากับเทาใด 3. จากการสํารวจความชอบของพอบานและแมบาน ที่มีตอการโฆษณาสินคาของบริษัทแหงหนึ่งในหมูบานจัดสรร ที่มีครอบครัวอาศัยอยู 500 ครอบครัว โดยสุมตัวอยางครอบครัวมาจํานวน 60 ครอบครัว ปรากฏวา มีพอบานและแมบานที่ชอบโฆษณาสินคาดังกลาวจํานวน 15 และ 20 คน ตามลําดับ จงหาคาประมาณแบบเดี่ยวของผลตางระหวางสัดสวนของความชอบในการโฆษณาสินคาของพอบานและแมบานมีคาเทาใด 4. ก. การศึกษาระดับโคเลสเตอรอลของผูปวยที่เขารับการรักษาในโรงพยาบาลของรัฐแหงหนึ่ง ไดสุมคนผูปวยมา 50 ราย มีผลการวัดระดับโคเลสเตอรอลของคนไขเฉลี่ย 248 และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 6.90 จงประมาณคาระดับโคเลสเตอรอลเฉลี่ยของผูปวยแบบชวงดวยความเชื่อมั่น 95% ข. จากการศึกษาระดับโคเลสเตอรอลของผูปวยที่เขารับการรักษาในโรงพยาบาลของรัฐแหงหนึ่ง พบวา ระดับโคเลสเตอรอลของผูปวย มีการแจกแจงแบบปกติ ไมทราบคาเฉลี่ย แตทราบสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเปน 6.50 จึงสุมผูปวยมา 25 ราย วัดระดับโคเลสเตอรอลของคนไขเฉลี่ย 248 จงประมาณคาระดับโคเลสเตอรอลเฉลี่ยของผูปวยแบบชวงดวยความเช่ือมั่น 95% ค. การศึกษาระดับโคเลสเตอรอลของผูปวยที่เขารับการรักษาในโรงพยาบาลของรัฐแหงหนึ่ง พบวา ระดับโคเลสเตอรอลของคนไขมีการแจกแจงแบบปกติ ไมทราบคาเฉลี่ยและไมทราบสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน สุมคนไขมา 25 ราย มีผลการวัดระดับโคเลสเตอรอลของคนไขเฉลี่ย 248 และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 6.95 จงประมาณคาระดับโคเลสเตอรอลเฉลี่ยของผูปวยแบบชวงดวยความเชื่อมั่น 95% 5. นักวิจัยกําลังศึกษาความเปนไปไดของการสกัดโปรตีนจากพืชชนิดหนึ่ง เพื่อใชเปนอาหารสัตวเลี้ยง เขาทําการสกัดโปรตีน 18 ครั้ง แตละครั้งใชพืชหนัก 50 กิโลกรัม ปรากฏวาไดโปรตีนเฉลี่ย 3.6 กรัม และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.8 กรัม จงหาชวงความเชื่อมั่น 95% ของโปรตีนที่สกัดไดโดยเฉล่ียตอน้ําหนักพืช 50 กิโลกรัม พรอมทั้งบอกขอสมมติเกี่ยวกับการแจกแจงของประชากรดวย


6. จากการศึกษาโดยการเลือกตัวอยางพนักงานขับรถโดยสารประจําทางจํานวน 100 คน มาสอบถามเกี่ยวกับเครื่องดื่มที่ดื่มเปนประจํา พบวา มี 30 คนที่ดื่มกาแฟ คาสัดสวนของพนักงานขับรถโดยสารประจําทางที่ดื่มกาแฟเปนประจําแบบชวง ที่ระดับความเชื่อมั่น 90% เทากับเทาใด 7. จากผลการสํารวจตัวอยางของขาราชการในมหาวิทยาลัยแหงหนึ่ง เกี่ยวกับการเขารับการตรวจสุขภาพประจําปของขาราชการที่มีอายุต้ังแต 50 ปขึ้นไป โดยสุมตัวอยางขาราชการหญิงและชายจํานวน 50 และ 40 คน ตามลําดับ พบวา มีขาราชการเขารับการตรวจสุขภาพประจําปจํานวน 18 และ 10 คน ตามลําดับ จงประมาณคาแบบชวงของความแตกตางระหวางสัดสวนของขาราชการมหาวิทยาลัยแหงนี้ที่มีอายุต้ังแต 50 ปขึ้นไป ที่ระดับความเชื่อมั่น 0.90 8. มีผูกลาววา แผนควบคุมอาหารแบบใหม สามารถลดน้ําหนักไดโดยเฉลี่ย 10 ปอนด ใน 2 สัปดาห น้ําหนักของผูหญิง 7 คน ซึ่งปฏิบัติตามแผนควบคุมอาหารชั่งไดดังดานลางนี้ จงพิสูจนคําโฆษณานี้โดยหาชวงความเชื่อมั่น 94% ของคาเฉลี่ยของผลตางระหวางน้ําหนักกอนและหลังการควบคุมอาหาร สมมติวาน้ําหนักของผูหญิงมีการแจกแจงแบบปกติ คนที่ 1 2 3 4 5 6 7 กอนควบคุมอาหาร 129 133 136 152 141 138 125 หลังควบคุมอาหาร 130 121 128 137 129 132 120 iD -1 12 8 15 12 6 5 9. วัดความหนาแนนของแผนพลาสติก 10 แผน (หนวย : มิลลิเมตร) ที่ผลิตจากเครื่องจักรเครื่องหนึ่ง ไดผลดังนี้ 226 228 226 225 232 228 227 229 225 230 จงสรางชวงความเชื่อมั่น 95% ของความแปรปรวนที่แทจริงของความหนาของแผนพลาสติกที่ผลิตจากเครื่องจักรนี้ พรอมทั้งบอกขอสมมติเกี่ยวกับการแจกแจงของประชากรดวย 10. เพื่อศึกษาปริมาณไขมันในนมสดตราวัวอวนและตราวัวยิ้ม โดยทั้ง 2 ตรา ตางระบุวา ปริมาณนมสดบรรจุในแตละขวดเทากัน จากการสุมนมสดตราวัวอวนมา 31 ขวด พบวา ปริมาณไขมันมีความแปรปรวน 7 หนวย2 และจากการสุมนมสดตราวัวยิ้มมา 25 ขวด พบวาปริมาณไขมันมีความแปรปรวน 5 หนวย2 ก. ชวงความเชื่อมั่น 95% ของอัตราสวนความแปรปรวนของปริมาณไขมันในนมสดตราวัวอวน และตราวัวยิ้ม ข. ชวงความเชื่อมั่น 95% ของอัตราสวนคาเบี่ยงเบนมาตรฐานของปริมาณไขมันในนมสดตราวัวอวน และตราวัวยิ้ม 11. ให X เปนอายุการใชงานของยางรถยนตยี่หอหนึ่ง โดยที่ X มีการแจกแจงแบบปกติ ที่ไมทราบคาเฉลี่ย แตทราบสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ 4,000 ไมล สุมตัวอยางยางมา 100 เสน พบวา มีอายุการใชงานเฉลี่ย 30,000 ไมล จงสรางชวงความเช่ือมั่น 95% ของ µ และเราพอจะแนะนําโรงงานใหรับประกันคุณภาพยางที่ระยะทาง 25,000 ไมล ไดหรือไม จงอธิบาย 12. สุมตัวอยางผูอยูในวัยแรงงานในเมืองใหญแหงหนึ่งมา 2,000 คน พบวา มี 165 คน ยังไมมีงานทํา ก. จงประมาณสัดสวนของผูไมมีงานทํา โดยใชขอมูลขางตน พรอมทั้งสรางชวงความเชื่อมั่น 95% ข. ขอบเขตความคลาดเคลื่อน 95% ของคาประมาณ

**********************************

Documents

บทที่ 7 การประมาณค า · บทที่ 7 การประมาณค า ในบทที่ 6 ได กล าวถึง “ตัวอย