ระบบจ ำนวนจริง - theorendatutor.com · 1 @orendatutor ระบบจ ำนวนจริง เซตของจ ำน

www.facebook.com/orendatutor 1

@orendatutor

www.youtube.com/orendatutor

www.theorendatutor .com

ระบบจ ำนวนจรง เซตของจ ำนวนจรง

1. เซตของจ ำนวนนบ (Counting Number) หรอ จ ำนวนธรรมชำต (Natural Number) หรอเซตของจ ำวนเตมบวก (Positive Integers) เขยนแทนดวย N หรอ I+ คอ

2. เซตของจ ำนวนเตม เขยนแทนดวย I โดยท เซตของจ ำนวนเตมประกอบดวย 2.1 เซตของจ ำนวนเตมบวก (Positive Integers) หรอ จ ำนวนนบ 2.2 เซตของจ ำนวนเตมลบ (Negative Integers) เขยนแทนดวย I- คอ I-= [-

1,-2,-3, 2.3 เซตของจ ำนวนเตมศนย (Non-negative Integer) เปนจ ำนวนทไมเปนจ ำนวน

เตมลบหรอไมเปนจ ำนวนเตมบวก เขยนแทนดวย {0}

3. เซตของจ ำนวนตรรกยะ (Rational Number) หมำยถง จ ำนวนทเขยนใหอยในรปเศษสวนได โดยทงทเศษและสวนเปนจ ำนวนเตม และสวนไมเปนศนย เขยนแทนดวย

และ เปนจ ำนวนเตม และ

โดยทเซตของจ ำนวนตรรกยะประกอบดวย

3.1 จ ำนวนเตม เนองจำกจ ำนวนเตมใดๆ สำมำรถเขยนในรปเศษสวนของจ ำนวนเตมได

เสมอ เชน

- -

ฯลฯ

3.2 จ ำนวนทเปนเศษสวนของจ ำนวนเตม โดยทสวนไมเทำกบ 0 เชน -

ฯลฯ


@orendatutor



3.3 จ ำนวนทเปนทศนยมจบ หรอ ทศนยมไมรจบแบบซ ำ

4. เซตของจ ำนวนอตรรกยะ (Irrational Number) หมำยถง จ ำนวนทไมสำมำรถเขยนเปนเศษสวนของจ ำนวนเตมโดยทตวสวนไมเทำกบศนย แตสำมำรถเขยนเปนทศนยมไมรจบแบบไมซ ำได กำรค ำนวณทเกยวของกบจ ำนวนอตรรกยะ จะใชคำประมำณเทำนน

Ex. √ √

5. เซตของจ ำนวนจรง (Real Numbers) คอเซตของจ ำนวนตรรกยะ ยเนยนกบเซตของจ ำนวนตรรกยะ เขยนดวย R นนคอ

{ | เปนจ ำนวนตรรยะ หรอ เปนจ ำนวนอตรรยะ

ดงนน สำมำรถสรปเซตของจ ำนวนจรงโดยใชแผนภมน เซตของจ ำนวนจรง

เซตของจ ำนวนอตรรกยะ เซตของจ ำนวนตรรกยะ

เซตของจ ำนวนเตม เซตของจ ำนวนเศษสวนทไมเปนจ ำนวนเตม

เซตของจ ำนวนเตมบวก เซตของจ ำนวนเตมศนย เซตของจ ำนวนเตมลบ


@orendatutor



คณสมบตกำรเทำกนของจ ำนวนจรง 1. สมบตกำรสะทอน ถำ a ∊ R แลว a=a

2. สมบตกำรสมมำตร ถำ a=b แลว b=a

3. สมบตกำรถำยทอด ถำ a=b และ b=c แลว a=c

4. สมบตกำรบวกดวยจ ำนวนทเทำกน ถำ a=b แลว a+c=b+c

5. สมบตกำรคณดวยจ ำนวนทเทำกน ถำ a=b แลว ac=bc สมบตของระบบจ ำนวนจรง เมอก ำหนดให a,b,c เปนจ ำนวนจรงใดๆ กำรบวก กำรคณ

สมบตปด ถำ a,b∊R แลว a+b∊R ถำ a,b∊R แลว ab∊R

สมบตกำรสลบท a+b = b+a ab = ba

สมบตกำรเปลยนกลม (a+b)+c = a+(b+c) (ab)c = a(bc)

สมบตกำรมเอกลกษณ 0 เปนเอกลกษณกำรบวก

0+a = a = a+0

1 เปนเอกลกษณกำรคณ

1 a = a = a 1

สมบตกำรมอนเวอรส -a เปนอนเวอรสกำรบวกของ

(-a) + a = 0 = a + (-a)

เปนเอกลกษณกำรคณ

เมอ

สมบตกำรแจกแจง a(b+c) = ab+ac


@orendatutor



สมบตกำรไมเทำกนของจ ำนวนจรง 1. สมบตกำรถำยทอด ถำ a>b และ b>c แลว a>c 2. สมบตบวกดวยจ ำนวนทเทำกน ถำ a>b และ a+c > b+c 3. สมบตกำรคณดวยจ ำนวนทเทำกน ถำ a>b และ c>0 แลว ac > bc

ถำ a>b และ c<0 แลว ac < bc 4. สมบตกำรตดออกส ำหรบกำรบวก ถำ a+c > b+c แลว a>b 5. สมบตกำรตดออกส ำหรบกำรคณ ถำ ac > bc และ c>0 แลว a>b ถำ ac > bc และ c < 0 แลว a<b สมบตไตรวภำค ก ำหนด a,b ∊ R ควำมสมพนธระหวำง a กบ b จะเกดขนเพยงกรณเดยวเทำนนใน 3 กรณตอไปน

1. a>b 2. a<b 3. a=b


@orendatutor



ชวง

นยำม ก ำหนด a,b ∊ R และ a < b

ชวงจ ำกด

( ) { | a b

[ ] { | a b

( ] a b

[ ) a b

ชวงอนนต

(- ) a

(- ) a

( ) a

[ ) { | } a

(- ) { | ∊ } a


@orendatutor



แบบฝกหด 1 1. จงเขยนเซตตอไปนในรปชวง และรปของเสนจ ำนวน

1) { ∊ - }

2) { ∊

}

3) { ∊ - และ } 4) { ∊ หรอ }

2. ก ำหนดให A=[-7,4] , B=[-3,8) , C=(-8,0] , D=(1,3) จงหำเซตในขอตอไปนในรปชวง 1) A∩B 2) A∪B 3) B∩D 4) C-D 5) A-C 6) B-A


@orendatutor



สมกำร

สมกำรเชงเสนตวแปรเดยวทมก ำลงสอง 1. รปมำตรฐำน คอ ax2 + bx + c = 0

1.1 วธกำรแยกตวประกอบ

Ex. x2 – 3x -40 = 0

(x-8)(x+5) = 0

x=8, -5

Ex. จงหำคำ x จำกสมกำร

-

-


@orendatutor



2. วธกำรท ำเปนก ำลงสองสมบรณ จำกสมกำร

(น ำส.ป.ส.หนำ x2 หำรตลอด);

(ยำยขำง

ไปทำงขวำ);

-

น ำ ส.ป.ส.ของ x มำหำรดวย 2 แลวยกก ำลงสองบวกทงสองขำง ;

[

]

[

]

[ ]

[ ] √

√

√


@orendatutor



Ex. จงหำค ำตอบของสมกำร (3x-8)(x+5)=(5x-2)(x-2)


@orendatutor



3. วธกำรใชสตร จำกสมกำร

- √ -

Ex. จงแกสมกำร 9x2 -12x -1 = 0


@orendatutor



สมกำรเชงเสนตวแปรเดยวทมก ำลงมำกกวำสอง หำรสงเครำะห

Ex. x3 + x2 -10x + 8 = 0


@orendatutor



แบบฝกหด 2 จงหำค ำตอบของสมกำร

1) ( ) -

2) -


@orendatutor



สมกำร 2 ตวแปร ทมก ำลงเปนหนง 1. วธพชคณต : กำรก ำจดตวแปรตวใดตวหนงไปกอน โดยท ำ ส.ป.ส. หนำตวแปรให

เทำกน หรอใชวธแทนคำ โดยเลอกมำสมกำรหนง หำคำควแปรหนงไดแลวน ำไปแทนอกสมกำรหนง

Ex. จงแกสมกำร 5x-3y = 31

x+6y = 4


@orendatutor



2. กฎกำรคณไขว : ท ำโดยยำยพจนทงหมดมำไวซำยมอ ใหขวำมอเปน 0 แลวล ำดบใหพจนทม x เปนพจนท 1 พจนทม y เปนพจนท 2 ตำมพจนอสระ

Ex.

ยกเอำ ส.ป.ส. ของ x,y และพจนอสระ พรอมเครองหมำยมำเขยนเรยงล ำดบ ดงน

ส.ป.ส. ของ y พจนอสระ ส.ป.ส.ของ x ส.ป.ส. y

b1 c1 a1 b1

b2 c2 a2 b2

จะไดสดสวน

-

-

-

Ex. จงแกสมกำร 3y – x = 6

3x + 5y – 38 = 0


@orendatutor



3. วธ r m r’s rul จำกสมกำร

ให |

| -

ให |

| -

ให |

| -

จะได

Ex. จงแกสมกำร 2x + y = 1

3x - 2y = 4


@orendatutor



สมกำร 2 ตวแปร และมก ำลงมำกกวำ 1 1. แทนคำ

Ex. จงแกสมกำร 2x-3y = 4

2x2 -3xy -2y2 = 12


@orendatutor



2. ใชวธก ำลงสองสมบรณ หรอ ก ำลงสำมสมบรณ สตรกำรแยกตวประกอบ

ก ำลงสองสมบรณ

(น+ล)2 = น2+2นล+ล2

(น-ล)2 = น2-2นล+ล2

ผลตำงก ำลงสอง

น2+ล2 = (น+ล)(น-ล)

ก ำลงสำมสมบรณ

(น+ล)3 = น3+3น2ล+3นล2+ล3

(น-ล)3 = น3-3น2ล+3นล2-ล3

ผลตำงก ำลงสำม

น3+ล3 = (น+ล)(น2-นล+ล2)

น3-ล3 = (น-ล)(น2+นล+ล2)


@orendatutor



Ex. จงแกสมกำร x2 + y2 = 73

xy = 24


@orendatutor



3. ถำสมกำร 2 สมกำรทก ำหนดมำใหมตวประกอบรวมกนอยใหใชวธหำร

Ex. จงแกสมกำร - -


@orendatutor



สมกำร 3 ตวแปรทมก ำลงเปนหนง 1. ใชวธพชคณต

Ex. จงแกสมกำร 7x + 5y -7z = -8 4x+ 2y - 3z = 0 5x -4y + 4z = 35


@orendatutor



2. กฎกำรคณไขว สมกำรตองอยในรป (1)

(2)

(3)

เรยง ส ป ส ของ ดงน ส.ป.ส. ของ y ส.ป.ส.ของ z ส.ป.ส.ของ x ส.ป.ส. y

b1 c1 a1 b1

b2 c2 a2 b2

จะไดสดสวน

-

-

- คำคงท

แลวน ำรำกของสมกำรทไดแทนใน (3) เพอตรวจค ำตอบ

Ex. จงแกสมกำร 4x – 7y – 5z = 0

2x + y – z = 0

x – y – z = 0


@orendatutor



3. วธ Cr m r’s rul จำกสมกำร

ให |

|

ให |

|

ให |

|

ให |

|

จะได


@orendatutor



Ex. จงแกสมกำร 7x + 5y -7z = -8 4x + 2y – 3z = 0 5x – 4y + 4z = 35


@orendatutor



อสมกำรอยำงงำย 1. จงแกอสมกำร

1)

2) ( )( - )( )

( - )( - )


@orendatutor



3)

-

4) ( ) ( ) ( )


@orendatutor



อสมกำรอยำงยำก

คำสมบรณ

นยำม ถำ x เปนจ ำนวนจรงใดๆ คำสมบรณ x เขยนแทนดวยสญลกษณ |x| โดยมควำมหมำย

ดงน | | { - }

สมบตของคำสมบรณ เมอ x, y เปนจ ำนวนจรง

1. | | |- | 2. | | | || |

3. |

| | |

| | เมอ

4. | - | | - | 5. | | 6. | | | | | | 7. | - | | |-| |

8. √ | | 9. เมอ a เปนจ ำนวนจรงบวกใดๆ

| | หมำยถง

| | หมำยถง 10. เมอ a เปนจ ำนวนจรงบวกใดๆ

| | หมำยถง หรอ

| | หมำยถง หรอ


@orendatutor



11. ถำ แลว | | | | 12. ถำ แลว | | | | 13. ถำ | | | | แลว

14. เมอ a เปนจ ำนวนจรงแลว -| | | |


@orendatutor



แบบฝกหด 3

1. จงหำเซตค ำตอบของอสมกำร

1) |

|

2) | - | | |


@orendatutor



2. จงหำเซตค ำตอบของอสมกำร

1) | - |

- -

2) | |

| |

Documents

ระบบจ ำนวนจริง - theorendatutor.com · 1 @orendatutor ระบบจ ำนวนจริง เซตของจ ำน