Aljabar Linear

5/16/2018 Aljabar Linear - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-linear-55ab5107b8e3a 1/7

ALJABAR LINEAR | Ekspansi Kofaktor

1

C. MENCARI DETERMINAT DENGAN MENGGUNAKAN EKSPANSI KOFAKTOR

Pada bagian ini kita meninjau sebuah metode untuk menghitung determinan yang

berguna untuk perhitungan yang menggunakan tangan dan secara teoretis penting

penerapanya. Sebagai konsekuensi dari kerja kita disisni, kita akan mendapatkan rumus

untuk pemecahan sistem-sistem persamaanlinear tertentu yang dinyatakan dalam

determinat.

Definisi :

Jika Aadalah matriks kuadrat, maka minor entri aij dinyatakan oleh Mij dan didefinisikan

menjadi determinan submatriks yang tetapsetelah baris ke i dan kolom ke j di coret dari A.

Bilangan (-1)i+j

Mij dinyatakan oleh Cij dan dinamakan kofaktor entri aij.

Maksud dari definisi diatas adalah Kalau dari matrix kuadrat A dengan n baris ke-i dan n

kolom ke-j, maka determinant dari matrix kuadrat (n-1)baris dan (n-1) kolom , yaitu sisa

matrix yang tinggal disebut Minor Matrix dari elemen aij ) diberi simbol ij A . Apabila pada

setiap minor kita tambahakan tanda + (plus) atau –(minus) sebgai tanda pada determinant

dan kemudian kita beri simbol : (-1)i+j

ij

A,

ini berarti bahawa setiap elemen mempunyai

kofaktornya sendiri-sendiri.

DALIL :

Nilai determinan matrix A sama dengan penjumlahan hasil kali semua elemen darisesuatu

baris (kolom) matrix A dengan kofaktor msing-msing , yaitu :

Dengan menngunakan elemen-elemen baris ke-i

det(A) = A = ai1 Ki1 + ai2Ki2 +.... ainK

Dengan menggunakan elemen-elemen kolom ke-j

det(A) =A = a1jK1j + a2jK2j +...anjKnj




2

CONTOH :

Misal:

A =

841

652

413

Minor entri a11 adalah

M11 =

841

652

413

=84

65= 16

Kofaktor a11 adalah

C11 = (-1)1+1

M11 = M11 =16

Demikian juga, minor entri a32 adalah

M 32 =

841

652

413

=62

43 = 26

Kofaktor dari a32 adalah

C11 = (-1)3+2 M32 = - M32 = -26

Perhatikan bahwa kofaktor dan minor lemen aij hanya berbeda dalam tandanya,

yakni , Cij = Mij . cara cepat untuk menentukan apakah penggunaan tanda atau tanda –

merupakan kenyataan bahwa penggunaan tanda yang menghubungkan Cij dan M ij berada

dalam baris ke i dan kolom ke j dari susunan

_




3

Misalnya C11 = M11 , C21 = - M21, C 12 = - M21, C22 = M22 dan seterusnya

Tinjaulah matriks 3 x 3 umum

A

3231

2221

1211

333231

232221

131211

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

Sehingga :

det (A) = a 11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32

- a13 a22 a31 –

a12 a21 a33 –

a11 a23 a32

yang dapat dituliskan , ambil contoh untuk kolom 1

det (A) = a11 ( a22 a33 – a23 a32 ) + a21( a13 a32 – a12 a33)+ a31 (a12 a23 - a13 a22 )

kofaktor dari baris 3 kolom1

elemen baris 3 kolom 1

kofaktor dari baris 2 kolom1


kofaktor dari baris 1 kolom 1


karena pernyataan – pernyataan dalam kurung tak lain adalah kofaktor – kofaktor C11 , C21

, dan C 31 maka diperoleh :

det ( A) = a11 C11 + a21 C21 + a31 C31

UNTUK KOLOM 1

Determinan A diatas memperlihatkan bahwa determinan dapat dihitung denganmengalikan entri – entri dalam kolom pertama A dengan kofaktor – kofaktornya dan




4

menambahan hasil kalinya. Metode menghitung (A) ini dinamakan ekspansi kofaktor

sepanjng kolom pertama A.

Ini tidak menutup kemungkinan untuk baris dan kolom lainnya. Dengan menyusun

kembali suku –

suku dalam (2.2) dengan berbagai cara , akan mungin bag kita mendapatkan

rumus-rumus lain seperti (2.3). seharusnya tidak ada kesukaran untuk meeriksa bahwa

semua determinan berikut ini adalah benar.

det (A) = a11 C11 + a12 C12 + a13 C13

= a11 C11 + a21 C21 + a31 C31

= a21 C21 + a22 C22 + a23 C23

= a12 C12 + a22 C22 + a32 C32

= a31 C31 + a32 C32 + a33 C33

= a13 C13 + a23 C23 + a33 C33

Perhatikan bahwa dalam setiappersamaan semua entri – entri dan kofaktor berasal

dari baris atau dari kolom yang sama. Persamaan ini dinamakan ekspansi – ekspansi

kofaktor det (A).

Hasil –

hasil yang baru saja penulis berikan untuk matriks 3 x3membentuk kasus

khusus dari teorema umum berikut, yang penulis nyatakan tanpa memberikan buktinya.

CONTOH :

1. Dengan mempergunakan rumus determinant, cari detminant matrix A berikut :

A =

123

215

421

a) Dengan mempergunakan baris ke-1 ( i=1 )

det(A) = A = a11C11 + a12C12 + a13C13

C11 = (-1)1+1

12

21 = 1 – 4 = -3

C12 = (-1)1+2

13

25

= - (5-6) = 1




5

C13 = (-1)1+3

23

15 = 10 - 3 = 7

det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13

= 1(-3) +2 + 28

= 27

b) Dengan mempergunakan baris ke-1 ( i=1 )

det(A) = A = a11C11 + a21C21 + a31C31

= 1 . (-1)1+1

12

21 + 5. (-1)

2+1

12

42+

3. (-1)3+1

21

42

= 1( 1-4) + 5 (-1)(2-8)+ 3(4-4)

= -3 +30 +0

= 27

c) Dengan mempergunakan baris ke-1 ( i=1 )

det(A) = A = a21C21 + a22C22 + a23C23

= -5 . (-1)2+1

12

42 + 1. (-1)

2+2

13

41 - 2. (-1)

2+3

23

21

= -5( 2-8) + 1 (1-12)- 2(2-6)

= 30 – 11 + 8

= 27

d) Dengan mempergunakan baris ke-1 ( i=1 )

det(A) = A = a12C12 + a22C22 + a32C32

= -2. (-1)1+2

13

25 + 1. (-1)

2+2

13

41 - 2. (-1)

3+2

25

41

= -2( 5-6) + 1 (1-12)- 2(2-20)

= 2 - 1 + 35

= 27

Dari contoh diatas kita bisa mngambil kesimpulan untuk mencari determinant

dengan menggunakan kofaktor bisa menggunakn baris dan kolom yang mana aja. rumus

apapun dari baris an kolom yang berbeda yang kita ambil, hasil yang kita dapat sama.




6

Kofaktor adalah cara lain mencari determinant, penulis ingin memperlihatkan hasil

perbandingan dari cara mencari determinan biasa dengan cara mencari determinant dengan

menggukan cara ekspansi kofaktor. Cara biasa dengan cara ekspansi kofaktor akan

menghasilkan nilai yang sama. Lebih mudah mencari determinan dengan cara ekspansi

kofaktor dari pada menggunakan cara biasa.

CONTOH :

Misalkan

A =

125

242

413

Hitunglah det(A) dengan metode ekspansi kofaktor sepanjang kolom pertama A

det(A)

penyelasaian :

1. Cara Biasa

25

42

13

125

242

413

det(A) = (3.-4.1) + (1.2.5) + (4.2-.2) – (4.-4.5) - (3.2.2) – (1.-2.1)

= -12 + 10 + (-16) – (-80) – 12 – (- 2)

= 52

2. Cara ekspansi kofaktor

Dengan mempergunakan baris ke-1 ( i=1 )

det(A) = A = a11C11 + a12C12 + a13C13

C11 = (-1)1+1

12

24 = – 4 - 4 = -8

C12 = (-1)1+2

15

22

= - (-2 -10) = 12




7

C13 = (-1)1+3

25

42 = -4 – (-20) = 16

det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13

= 3(-8) +1(12) + 4(16)

= 52

CONTOH:

Carilah determinantdari matrix A berikut :

A =

3232

9375

2332

7243

Documents

Aljabar Linear