Aljabar LinearAljabar Linear

Pertemuan 3Pertemuan 3

Aljabar Vektor (Perkalian vektor-lanjutan)Aljabar Vektor (Perkalian vektor-lanjutan)

Erna Sri Hartatik

PembahasanPembahasan

Perkalian Cross (Cross Product)Perkalian Cross (Cross Product)- Model Model cross productcross product- Sifat Sifat cross productcross product

PendahuluanPendahuluan

Selain dot product ada fungsi perkalian product lain Selain dot product ada fungsi perkalian product lain dalam vektor yaitu cross product yang menghasilkan dalam vektor yaitu cross product yang menghasilkan suatu vektor , dan scalar triple product untuk suatu vektor , dan scalar triple product untuk perkalian tiga buah vektor yang menghasilkan nilai perkalian tiga buah vektor yang menghasilkan nilai scalarscalar

Tiap model perkalian vektor memiliki tujuan yang Tiap model perkalian vektor memiliki tujuan yang berbeda-beda, tergantung kebutuhanberbeda-beda, tergantung kebutuhan

Dan tiap perkalian vektor dapat digunakan oleh Dan tiap perkalian vektor dapat digunakan oleh vektor 2 dimensi maupun 3 dimensivektor 2 dimensi maupun 3 dimensi

Perkalian CrossPerkalian Cross

((CROSS PRODUCTCROSS PRODUCT))

Pengertian : ……Pengertian : ……

Cross product dari 2 buah vektor adalah suatu vektor Cross product dari 2 buah vektor adalah suatu vektor baru yang besarnya sama dengan luas jajaran genjang baru yang besarnya sama dengan luas jajaran genjang yang diapit oleh kedua vektor tersebut, arahnya tegak yang diapit oleh kedua vektor tersebut, arahnya tegak lurus bidang yang dibentuk oleh kedua vektorlurus bidang yang dibentuk oleh kedua vektor

Hasil kali titik dua buah vektor menghasilkan skalar, sedangkan hasilkali silang atau cross product antara dua buah vektor menghasilkan sebuah vektor yang tegaklurus pada kedua vektor tersebut. Perkalian silang antara dua buah vektor hanya berlaku untuk vektor-vektor di ruang.

KegunaanKegunaan

Secara geometris, hasil perkalian silang antara dua buah vektor merupakan luas dari bangun segiempat yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut. Sifat ini dapat diturunkan dari persamaan lagrange.

Untuk itu, kita dapat menghitung luas bangun segi banyak yang terletak di ruang , dengan menggunakan perkalian silang antara dua vektor.

Visualisasi Cross ProductVisualisasi Cross Productb. Perkalian Silang (Cross Product)

θ

A

B

C = A x B

θB

A

C = B x ACatatan :

Arah vektor C sesuai aturan tangan kanan

Besarnya vektor C = A x B = A B sin θ

Hasilnya vektor

Sifat – sifat Cross ProductSifat – sifat Cross Product

Rumus UmumRumus Umum

v = a x b, dimana |v| = |a| |b| sin α

v = 0, jika α = 0 atau salah satu dari a dan b sama dengan nol

Rumus KomponenRumus KomponenJika diketahui 2 buah vektor :Jika diketahui 2 buah vektor :aa = [a1,a2,a3] dan = [a1,a2,a3] dan b b = [b1,b2,b3], = [b1,b2,b3], maka persilangan antar keduanya maka persilangan antar keduanya v v = = a a x x b, b, menghasilkanmenghasilkanv v = [v1,v2,v3] dimana:= [v1,v2,v3] dimana:

vv x x w w = =

Shg:Shg:v1=a2.b3 - a3.b2v1=a2.b3 - a3.b2v2=a3.b1 – a1.b3v2=a3.b1 – a1.b3 v3 = a1b2 – a2.b1v3 = a1b2 – a2.b1

21

21

31

31

32

32 ,,bb

aa

bb

aa

bb

aa

Vektor i,j,k disebut vektor satuan standarVektor i,j,k disebut vektor satuan standar

Misal v sebarang vektor di RMisal v sebarang vektor di R33 berarti berarti

v=(vv=(v11,v,v22,v,v33))

v=vv=v11(1,0,0)+v(1,0,0)+v22(0,1,0)+v(0,1,0)+v33(0,0,1)(0,0,1)

v=vv=v11i + vi + v22j + vj + v33k k uxv = uxv =

j(0,1,0)

i(1,0,0)

k(0,0,1)

321

321

vvv

uuu

kji

Hubungan Perkalian Titik dengan Hubungan Perkalian Titik dengan Perkalian SilangPerkalian Silang

Jika u,v,w vektor di RJika u,v,w vektor di R33 berlaku berlaku u.(vxw) = 0 jika uu.(vxw) = 0 jika u(uxv)(uxv) v.(uxv) = 0 jika vv.(uxv) = 0 jika v(uxv)(uxv) ||uxv||||uxv||22 = ||u|| = ||u||22||v||||v||22 – (u.v) – (u.v)22

ux(vxw) = (u.w).v – (u.v).wux(vxw) = (u.w).v – (u.v).w (uxv)xw = (u.w).v – (v.w).u(uxv)xw = (u.w).v – (v.w).u

Contoh soalContoh soal

Diketahui Diketahui uu = (1, 2, -2) dan = (1, 2, -2) dan vv=(3, 0, 1) dengan =(3, 0, 1) dengan menggunakan koordinat tangan kanan, menggunakan koordinat tangan kanan,

hitunglah v = u x v !hitunglah v = u x v !

103

221

03

21,

13

21,

10

22

6,7,2 =

Jawab:

u x v =

ParallelogramParallelogram Jika u dan v vektor dengan titik asal sama Jika u dan v vektor dengan titik asal sama

maka ||uxv|| merupakan luas daerah maka ||uxv|| merupakan luas daerah parallelogram yang ditentukan oleh uxv.parallelogram yang ditentukan oleh uxv.

Luas jajaran genjang PQRSLuas jajaran genjang PQRS= alasxtinggi = ||u|| ||v|| sin= alasxtinggi = ||u|| ||v|| sinθθ = ||uxv|| = ||uxv||

Luas segitiga PQS = ½ luas jajaran Luas segitiga PQS = ½ luas jajaran genjang = ½ ||uxv||genjang = ½ ||uxv||

θu ||u||

v ||v|| ||v||sinθ

P Q

RS

parallelogram

Harga mutlak dari determinanHarga mutlak dari determinan adalah adalah

sama dengan luas parallelogram di Rsama dengan luas parallelogram di R22 yang ditentukan oleh vektor u=(u yang ditentukan oleh vektor u=(u11uu22) dan v=(v) dan v=(v11,v,v22) ) Harga mutlak dari determinanHarga mutlak dari determinan

adalah sama dengan volume parallelogram di Radalah sama dengan volume parallelogram di R33 yang ditentukan oleh vektor u=(u yang ditentukan oleh vektor u=(u11,u,u22,u,u33), v=(v), v=(v11,v,v22), dan w=(w), dan w=(w11,w,w22,w,w33))

21

21

vv

uu

321

321

321

www

vvv

uuu

Contoh soal 2:Contoh soal 2:

Diberikan sebuah segitiga ABC dengan titik sudut A ( 2, -3, 1 ), B ( -1,4,-1 ) dan C (2,0,3 ). Hitung luas segitiga tersebut.

Jawab :

Misal u dan v berturut-turut merupakan vektor posisi dari ruas garis AB dan AC.

Vektor OrtogonalVektor Ortogonal

Misal u,v vektor di RMisal u,v vektor di R22/R/R33/R/Rnn, maka u , maka u dikatakan tegak lurus v atau u disebut dikatakan tegak lurus v atau u disebut vektor ortogonal, jika u.v=0vektor ortogonal, jika u.v=0

Proyeksi OrtogonalProyeksi Ortogonal Diberikan vektor aDiberikan vektor a0 dan vektor u0 dan vektor u00

ww11+w+w22 = u = u

ww11 = u-w = u-w22

Vektor wVektor w11 disebut proyeksi ortogonal vektor disebut proyeksi ortogonal vektor u pada vektor a (wu pada vektor a (w11=Proj=Projaau)u)

Vektor wVektor w22 disebut komponen vektor u yang disebut komponen vektor u yang tegak lurus vektor a (wtegak lurus vektor a (w22=u-Proj=u-Projaau)u)

u

w2

w1 a

Jika a vektor di RJika a vektor di R22/R/R33 dan a dan a0 maka0 maka

ww11 = Proj = Projaau = u =

ww22 = u-Proj = u-Projaau =u =

aa

au.

.2

aa

auu .

.2

Ex: Ex:

u=(2,-1,3) dan a=(4,-1,2)u=(2,-1,3) dan a=(4,-1,2)

Tentukan ProjTentukan Projaau dan ||Proju dan ||Projaau|| !u|| !

Penyelesaian:Penyelesaian:

u.a = (2)(4)+(-1)(-1)+(3)(2) = 15u.a = (2)(4)+(-1)(-1)+(3)(2) = 15

||a||||a||22 = 16+1+4 = 21 = 16+1+4 = 21

ww11 = Proj = Projaau = 15/21.(4,-1,2)u = 15/21.(4,-1,2)

= =

||w||w11|| = || =

7

10,

7

5,

7

20

21

30,

21

15,

21

60

2175

7

35775

49525

49100

4925

49400

SCALAR TRIPLESCALAR TRIPLEPRODUCTPRODUCT

Scalar Triple ProductScalar Triple Product

shg pertama, brsmnrt 3 orde determinan ekspansimrpk Ini

,,vac)(b a

] v, v,[v vcbandaikan c)(b a c)b(a

sebagaiandidefinisk)(ditulis

],,[],,,[,],,[

vektor tigadariproduct tripleScalar

21

213

13

132

32

321

332211

321

321321321

cc

bba

cc

bba

cc

bba

vavava

cba

ccccbbbbaaaa

321

321

321

c)(b ac)b(a

ccc

bbb

bbb

Sifat Hasil Kali Triple ScalarSifat Hasil Kali Triple Scalar

Latihan (1)Latihan (1)

1. Diketahui a = (2,1,-3) , b = (3,1,1), c = (0,2,-2) . Tentukan ( bila terdefinisi /mungkin ) :a. a x (b - 2 c) c. a x b x cb. a·b x c

2. Carilah sebuah vektor yang tegak lurus terhadap u dan v bilaa. u = (-1,2,-3) dan v = (0,2,4)b. u = (4,-2,1) dan v = (0,2,-1) .

3. Hitung luas segitiga ABC bila diketahui titik-titik sudutnya.a. A ( 1,2,3 ), B ( -1,2,-3 ) dan C ( 0,3,1 )b. A ( 0,4,-3 ) , B ( -2,3,0 ) dan C ( 4,1,1 )

SummarySummary

Cross Product antara 2 vektor menghasilkan nilai Cross Product antara 2 vektor menghasilkan nilai vektor yang arah hasilnya sesuai dengan kaidah vektor yang arah hasilnya sesuai dengan kaidah tangan kanantangan kanan

TUGASTUGAS

Di kumpulin hari ini juga !!!!Di kumpulin hari ini juga !!!!

11. . Jika Jika A = A = AA11i+i+AA22j+j+AA33k,k, B = B = BB11i+i+BB22j+j+BB33k, k, dan dan C C = = CC11i+i+CC22j+j+CC33k, k, perlihatkan bahwa perlihatkan bahwa

AA..(BxC)=(BxC)=

22. . Besar vektor A dan B berturut-turut adalah 5 Besar vektor A dan B berturut-turut adalah 5 dan 4, sebagaimana tampak pada gambar di dan 4, sebagaimana tampak pada gambar di bawah. Sudut yang terbentuk adalah 90o. bawah. Sudut yang terbentuk adalah 90o. Hitunglah perkalian titik kedua vektor tersebut…Hitunglah perkalian titik kedua vektor tersebut…

321

321

321

CCC

BBB

AAA

3. Carilah x dan y bila diketahui vektor 3. Carilah x dan y bila diketahui vektor [4,y]=x[2,3][4,y]=x[2,3]

4. a. tentukan a.b bila diketahui a=[2, -3,6] 4. a. tentukan a.b bila diketahui a=[2, -3,6] dan b=[8,2,-3]dan b=[8,2,-3]

b. Tentukan jarak AB bila diketahui b. Tentukan jarak AB bila diketahui A=[2,4,0] dan b=[-1,-2,1]A=[2,4,0] dan b=[-1,-2,1]

c. Tentukan K agar a=[1,K,-2,5] mempunyai c. Tentukan K agar a=[1,K,-2,5] mempunyai panjang panjang 3939

5. Carilah u.v dan tentukan sudutnya 5. Carilah u.v dan tentukan sudutnya U=[1,-5,4] v=[3,3,3]U=[1,-5,4] v=[3,3,3] U=[-6,2] v=[4,0]U=[-6,2] v=[4,0]

6. Tentukanlah hasil perkalian titik dan 6. Tentukanlah hasil perkalian titik dan perkalian silang dari dua buah vektor perkalian silang dari dua buah vektor berikut ini :berikut ini :

7. 7. Anggap u=[3,2,-1] dan v=[0,2,-3] dan Anggap u=[3,2,-1] dan v=[0,2,-3] dan w=[2,6,7], hitunglah:w=[2,6,7], hitunglah:

(u x v)x w(u x v)x w U x (v-2w)U x (v-2w)

2i – 2j + 4kA =

i – 3j + 2kB =

Selamat MengerjakanSelamat Mengerjakan