ANTISISMICA 5

Ing. Felipe Durand López

MÉTODO DE BOWMANMÉTODO DE BOWMANComo resultado del estudio de un gran número de marcos en los que son despreciables los efectos de deformación axiales, resuelto por método exactos. Bowman, propuso un método aproximado de acuerdo con las siguientes hipótesis: (SUTHERLAND Y BOWMAN – 1958)

FIGURA: Localización de puntos de inflexión según el Método de Bowman

1. Los puntos de inflexión en las vigas exteriores se encuentran a 0.55 de su claro, a partir de su extremo exterior como se ilustra en la figura. En vigas interiores, el punto de inflexión se encuentra en el centro del claro, excepto en la crujía central cuando el número de crujías es impar, o en las dos centrales si es par. En etas crujias la posición de puntos de inflexión en las vigas esta forzada por condiciones de simetría y equilibrio.

2. Los puntos de inflexión en las columnas del primer entre piso se encuentran 0.60 de su altura, a partir de la base.En marcos de dos o más, tres o más, o cuatro o más entre pisos, respectivamente, los puntos de inflexión en las columnas de los entre pisos ultimo, penúltimo y antepenultimo, respectivamente, se encuentran a 0.65, 0.60 y 0.55 de la altura correspondiente, a partir del extremo superior. En edificios de cinco o más entrepisos, los puntos de inflexión en columnas para las cuales no se ha especificado la posición se encuentran en el centro de su altura. Esto se resume en la figura anterior

3. La fuerza cortante total V, de cada entrepiso se distribuye en la forma siguiente:En el primer entrepiso, una fuerza cortante igual a:

Se reparte directamente entre las columnas del entrepiso proporcionalmente a sus rigideces.La fuerza cortante restante:

Se divide entre las crujías proporcionalmente a la Rigidez de la viga que las limita en la parte superior. Luego, la mitad de la cortante de cada crujía se asigna a sus dos columnas colindantes.

1

5.0

N

NVVC

Ct VVV

En pisos superiores, una fuerza cortante:

Se distribuye directamente entre las columnas. La cortante:

Se reparte entre las crujías como se hizo para la planta baja

En los párrafos anteriores N es el número de crujías en el entrepiso considerado. Una variante del método consiste en respetar los puntos 2 y 3, pero determinar los momentos en las vigas equilibrando en cada nulo la suma de momentos en los extremos de las columnas con momentos proporcionales a la rigidez angular natural de cada viga.

1

2

N

NVVC

CT VVV

FIGURA: 2.10.- Marco usado en el ejemplo

Sigue la figura:Fuerzas en toneladas y longitudes en metrosI = 7,500 cm4E = 2’000,000 Kgr/cm2 (acer0)O = Rigidez (inercia/longitud) en términos de I

L

La rigidez de entrepiso es la relación entre la fuerza cortante absorbida por un marco, muro o contraviento en un entrepiso y el desplazamiento horizontal relativo entre los dos niveles que lo limitan. La rigidez así definida no es independiente del sistema de fuerzas laterales y para calcularla con rigor debe conocerse previamente tal sistema. En marcos ordinarios de Edificios, el ejemplo de sistemas de cargas que no son estrictamente proporcionales al definitivo de Análisis, introduce errores de poca importancia y usualmente es aceptable calcular las rigideces a partir de hipótesis simplificadores sobre la forma del sistema de fuerzas laterales. En muros, marcos con contravientos y sistemas similares es indispensable tener en cuenta la variación de la carga lateral

Las fórmulas de WILBUR se aplican a marcos regulares formados por piezas de momento de Inercia constante en los que las deformaciones axiales son despreciables y las columnas tienen puntos de inflexión.

FÓRMULAS DE WILBURFÓRMULAS DE WILBUR

FIGURA: 2.13. Aplicación del método de Bowman al marco de la figura 2.10

La figura 2.13 resume la aplicación del método de Bowman al análisis del marco de la figura 2.10. En la figura 2.14 se muestran algunos pasos intermedios

FIGURA: 2.14. Operaciones para explicar algunos resultados de la figura 2.13

La versión que aquí presentamos se basa en las siguientes hipótesis:1. Los giros en todos los nudos de un nivel y de los dos niveles

adyacentes son iguales, excepto en el nivel de desplante, en donde puede suponerse empotramiento o articulación según el caso

2. Las cortantes en los dos entrepisos adyacentes al de interés son iguales a la de este. De aquí resultan las siguientes expresiones:

Para el primer entre piso, suponiendo columnas empotradas en la cimentación

Y suponiendo columnas articuladas en la cimentación:

Para el segundo entrepiso, columnas empotradas en la cimentación:

12

)(4;)(

48

11

21

1

11

111

Ct

C KK

hh

K

hD

hD

ER

1

21

1

11

111

)2(;)(

24

tC K

hh

K

hD

hD

ER

;)(

48

222 hD

ER

2

32

11

21

2

22

12

)(4

tCt

C K

hh

KK

hh

K

hD

Y para columnas articuladas en la cimentación.

Para entrepisos intermedios

En las formulas anteriores hemos definido:E = Módulo de ElasticidadRn = Rigidez del entrepiso en cuestión

Ktn = Rigidez I de las vigas del nivel sobre el entrepiso n

LKcn = Rigidez I de las columnas del entrepiso n

Lm, n, o = Índices que identifican tres niveles consecutivos de abajo hacia arribahn = Altura del entrepiso n

Para el entrepiso superior, si se acepta que la cortante del penúltimo piso es el doble que la del ultimo, se encuentra que es aplicable la fórmula para entrepisos intermedios, poniendo: 2hm en vez de hm y haciendo: ho = o, LOERA (1964) presenta una deducción de las fórmulas y su ampliación para el caso de vigas de sección variable

2

32

1

22

2

22

222

()2(4;)(

48

ttC K

hh

K

hh

K

hD

hD

ER

tn

On

tm

nm

cn

nn

nnN K

hh

K

hh

K

hD

hD

ER

)()(4;)(

48

Para el marco de la figura: 2.10 tenemos:E = 2’000,00 Kgr/cm2, I = 7,500 cm4

h1 = 600 cm, h2 = 450 cm, h3 = 400 cm, h4 = 400 cm

L = 400 cm, para todas las crujías.

Usando las fórmulas para columnas empotradas en la cimentación, se llega a:

31 50.412

600

7500)50.400.600.950.700.6( cmKC

32 75.318

450

7500)25.2375.3625.55.4375.3( cmKC

33 25.206

400

7500)00.200.400.300.2( cmKC

34 00.75

400

7500)00.100.200.1( cmKC

31 00.375

400

7500)5555( cmK t

32 00.375

400

7500)5555( cmK t

33 25.281

400

7500)555( cmK t

34 50.187

400

7500)55( cmK t

cmKgrDx

xRcmD /19086

600

000,000'248;/3831.8

11

21

cmKgrDx

xRcmD /20359

450

000,000'248;/4780.10

22

22

cmKgrDx

xRcmD /18650

400

000,000'248;/8687.12

33

23

cmKgrDx

xRcmD /8654

400

000,000'248;/7333.27

44

24

Las rigideces de entrepiso calculadas por este método se usan con frecuencia para distribuir las fuerzas cortantes en los entrepisos, donde interesan las rigideces relativas de un marco con respecto a otro. En el capitulo 6 se explicarán los procedimientos de diseño que influyen tales distribuciones de cortantes. Conocida la fuerza cortante V, se pueden emplear los valores de R para calcular desplazamientos de entrepisos, S como cocientes aunque la precisión del método para este fin no ha

sido bien estudiada. No obstante, se puede proceder así para una verificación del orden de magnitud de resultados de métodos más precisos. Para el marco de figura: 2,10, se obtienen los siguientes desplazamientos de entrepiso, S.

Acumulando los desplazamientos relativos obtenemos los siguientes desplazamientos totales (de abajo hacia arriba); 2.925, 2.578, 2.096 y 1.310 cm, los cuales se comparan bastante bien con los resultados del Método de Rigideces mostrado en la Figura 2.11

R

V

cmKgrV 347.08654

3000;/3000 44

cmKgrV 483.018650

9000;/9000 33

cmKgrV 786.020359

16000;/16000 22

cmKgrV 310.119086

25000;/25000 11

FIGURA: 2.11. Momentos flexionantes en el marco de la figura 2.10 según el método de rigideces

1. IRREGULARIDADES ESTRUCTURALES EN ALTURA1.1. Irregularidades de rigidez (piso blando).-

En cada dirección la suma de las áreas de las secciones transversales de los elementos verticales resistentes al corte en un entrepiso, columnas y muros, es menor que 85% de la correspondiente suma para el entrepiso superior, o es menor que 90% del promedio para los 3 pisos superiores. No es aplicable en sótanos. Para pisos de altura diferente multiplicar los valores anteriores por: donde hd es la

altura diferente de piso y hi es la altura típica de piso

IRREGULARIDADESIRREGULARIDADES

D

I

h

h

CONDICION DE IRREGULARIDADCONDICION DE IRREGULARIDAD

1A 2A< 0.85

1A < 0.9

3

432

1A

d

i

h

h 2A< 0.85

1.2. Irregularidad de Masa.- Se considera que existe irregularidad de masa cuando la masa de un piso es mayor que el 150% de la masa de un piso adyacente. No es aplicable en Azoteas

Condición de Irregularidad

Mi > 1.5 Mi + 1

óMi + 1 > 1.5 Mi

1.3. Irregularidad Geométrica Vertical.- La dimensión en planta de la estructura resistente a cargas laterales es mayor que 130% de la correspondiente dimensión en un piso adyacente. No es aplicable en azoteas ni en sótanos.


D3 > 1.3 D2

1.4. Discontinuidad en los sistemas resistentes.- Desalineamiento de elementos verticales, tanto por un cambio de orientación, como por un desplazamiento de magnitud que la dimensión del elemento


1. ∆ > t2. Cambio de

Orientación

2. IRREGULARIDADES ESTRUCTURALES EN PLANTA2.1. Irregularidad Torsional.- Se considerará solo en edificios con diafragmas rígidos

En cualquiera de las direcciones de Análisis, el desplazamiento relativo máximo entre dos pisos consecutivos, en un extremo del Edificio, es mayor que 1.3 veces el promedio de este desplazamiento relativo máximo con el desplazamiento relativo que simultáneamente se obtiene en el extremo opuesto


Δ máx > 1.3 Δ

promedio

2.2.Esquinas entrantes .- La configuración en planta y el sistema resistente de la estructura, tienen esquinas entrantes, cuyas dimensiones en ambas direcciones son mayores que el 20% de la correspondiente dimensión total en planta


D1 > 0.2 DT

2.3. Discontinuidad del Diafragma.- Diafragma con discontinuidad abruptas o variaciones en rigidez, incluyendo áreas abiertas mayores a 50% del Área bruta del diafragma


A abierta > 0.5 A total

DT

D1

A. Abierta

A. Total

2.4.Efectos de Torsión:• La fuerza Fi actúa en el centro de masas

(C.M.)• Debe considerarse una excentricidad accidental igual

a 0.05 el ancho, perpendicular de la planta a la dirección del sismo

CM = Centro de Masas CR = Centro de Rigideces

Coeficiente de Reducción, R para estructuras irregulares.-

R irregular = 3 R regular

4

Ejemplo.- Se tiene el siguiente Edificio en elevación y en planta; suponga que cada metro cuadrado pesa una tonelada (peso propio + peso muerto); S/C piso típico: 200 Kgr/m2, en la Azotea considere: 100 Kgr /m2

Determine las irregularidades de la estructura, si en total se tiene 10 pisos:

A1 = 15.59 x 20 – 5 x 5.59 = 311.8 – 27.95 = 283.85 m2

A2 = 16.08 x 20 – 5 x 6.08 = 321.6 – 30.40 = 291.20 m2

A3 = 16.57 x 20 – 5 x 6.57 = 331.40 – 32.85 = 298.55 m2

A4 = 17.05 x 20 – 5 x 7.05 = 341.00 – 35.25 = 305.75 m2

A5 = 17.55 x 20 – 5 x 7.55 = 351.00 – 37.75 = 313.25 m2

A6 = 18 x 20 – 5 x 8 = 3.60.00 – 40.00 = 320.00 m2

A7 = 18.5 x 20 – 5 x 8.5 = 370.00 – 42.50 = 327.50 m2

A8 = 19 x 20 – 5 x 9 = 380.00 – 45.00 = 335.00 m2

A9 = 19.5 x 20 – 5 x 9.5 = 390.00 – 47.50 = 342.50 m2

A10 = 20 x 20 – 5 x 10 = 400.00 – 50 = 350.00 m2

2.- PESOS

P1 = 283.85 (1 tn/m2 + 0.25 x 0.2 tn/m2) = 298.04 TnP2 = 291.20 (1 tn/m2 + 0.25 x 0.2 tn/m2) = 305.76 TnP3 = 298.55 (1 tn/m2 + 0.25 x 0.2 tn/m2) = 313.48 TnP4 = 305.75 (1 tn/m2 + 0.25 x 0.2 tn/m2) = 321.04 TnP5 = 313.25 (1 + 0.25 x 0.2) = 328.91 TnP6 = 320 (1 + 0.25 x 0.2) = 336 TnP7 = 327.50 (1 + 0.25 x 0.2) = 343.88 TnP8 = 335 (1 + 0.25 x 0.2) = 351.75 TnP9 = 342.50 (1 + 0.25 x 0.2) = 359.63 TnP10 = 350 (1 + 0.25 x 0.1) = 358.75 Tn

3.- IRREGULARIDADES3.1.- Irregularidad de rigidez (piso blando)

a)

0.85 x A2 = 0.85 x 291.20 = 247.52 m2

b)

c)

21 85.283 mA

22432 5.89575.30555.29820.291 mm

21 85.283 mA

265.2683

5.89590.0

3

43290.0 mx

21 85.0 AA

h

h

d

i

20.29185.085.28360.3

00.3xx

)(52.24754.236 22 blandopisorigidezdeirregularEsmm

3.- IRREGULARIDADES3.2.- Irregularidad de masa

a)

b)

1º Piso = 30.41 NO ES IRREGULAR POR MASA2º Piso = 31.20

3.3. Irregularidad Geometría Vertical.-Comprende el 1º y 2º Piso.-

1.08 m D2 = 16.08 m

0.59 m D1 = 15.59 m 16.08 m 1.3 D1 = 20.267 m

NO ES IRREGULAR POR GEOMETRIA VERTICAL

m

SegxTn

gM

m

SegxTn

gM

2

2

2

1 2.3176.305

41.3004.298

ii MM 5.11

m

SegxTnMMM i

2

22 2.318.9

76.305;5.1

m

SegxTnM

2

1 41.308.9

04.298

4.- IRREGULARIDAD EN PLANTA4.1.- Esquina entrante:

D1 = 5mDT= 20 m

D1= 5m > 0.2 x 20 = 4m ES IRREGULAR POR ESQUINA ENTRANTE

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