BAB 2 Akar Persamaan Non Linier

PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINIERSyaiful Anam, S.Si, MTKBI Pemodelan & KomputasiMAM 4233 Metode Numerik

PENDAHULUANDalam matematika terapan sering ditemui f(x)=0, cari nilai x yang memenuhi persamaan tersebut. Untuk mencari nilai x yang memenuhi persamaan tersebut bisa diselesaikan dengan beberapa cara tergantung dari bentuk f(x).www.matematika.brawijaya.ac.id

Persamaan f(x) dapat berbentuk :Persamaan Aljabar, misal : persamaan Polinom.Persamaan fungsi Transenden, misal : Trigonometri, Logaritma, Eksponensial.Persamaan Campuran.www.matematika.brawijaya.ac.idAda beberapa persamaan yang bisa diselesaikan secara analitis, tetapi ada juga yang tidak bisa diselesaikan secara analitis, sehingga harus diselesaikan secara numerik.

Contoh 2.1www.matematika.brawijaya.ac.id

Diketahui persamaan kecepatan benda jatuh

. Jika m=68.1 kg agar mempunyai kecepatan 40 m/s setelah jatuh bebas untuk t=10 s (g=9.8 m/s2). Tentukan koefisien hambatan c pada selang berapa?.

_1298121075.unknown

Penyelesaianwww.matematika.brawijaya.ac.idKoefisien hambatan c berada pada selang [14,16].

Penyelesaian ini dilakukan sebagai berikut :Metode grafik :Metode Grafik Tunggal.Metode Grafik GandaTabulasiDengan teorema nilai antara.f(x) kontinu pada [a,b] f(a) < f(b) atau f(a) >f(b) maka ada c elemen [a,b] sehingga f(c)=L dengan L antara f(a) dan f(b).www.matematika.brawijaya.ac.id

Jika diberikan persamaan f(x)=0 pada [a,b] banyak akar :Tidak ada akarAkar TunggalBeberapaTak berhingga.www.matematika.brawijaya.ac.id

Metode Grafik Grafik tunggalAkar= Perpotongan dengan sumbu xGrafik GandaAkar Perpotongan f1(x) dan f2(x) www.matematika.brawijaya.ac.id

Contoh 2.2f(x)=x2-exx2=e2x=0 f1(x)=0f2(x)=1 maka f1

Dengan menggunakan software mathematica berdasarkan metode grafik tunggal bisa dilihat akar berada pada lokasi mana.www.matematika.brawijaya.ac.idBerdasarkan grafik diatas akar persamaan berada pada interval [-1,-0,5] karena titik potong sumbu x pada selang tersebut ada titik potong terhadap sumbu x.

www.matematika.brawijaya.ac.id

Akar suatu persamaanwww.matematika.brawijaya.ac.id

PenyelesaianRumus ABC

Solusi ? Metode Numerikwww.matematika.brawijaya.ac.id??

Metode pencarian akar suatu fungsiPencarian akar suatu fungsi dilakukan dengan cara melakukan iterasi. Secara umum metode pencarian akar dikelompokkan menjadi dua yaitu:Metode tertutup (metode pengurung/bracketing methode)Metode ini pencarian akar dilakukan dalam interval tertutup , yang didalamnya diharapkan terdapat akar, tergantung pada . Pada umumnya iterasi selalu konvergen, karena itu metode tertutup kadang-kadang dinamakan juga metode konvergen. Yang termasuk metode tertutup adalah metode biseksi ( metode bagi dua) dan metode regula falsi ( metode titik palsu).


Metode terbuka. Berbeda dengan metode tertutup, metode terbuka tidak memerlukan interval tertutup , yang diperlukan tebakan awal akar, lalu dengan prosedur iterasi diharapkan dapat kita temukan akar hampiran. Setiap kali iterasi, hampiran akar yang lama dipakai untuk menghitung hampiran akar yang baru. Mungkin saja hampiran akar yang baru mendekati akar sejati (konvergen) atau mungkin juga menjauhinya (divergen). Karena itu, metode terbuka tidak selalu berhasil menemukan akar, kadang-kadang konvergen, kadang-kadang divergen. Yang termasuk metode terbuka adalah metode iterasi titik tetap, metode Newton-Raphson dan metode Sekan.


Metode Tertutupwww.matematika.brawijaya.ac.id

Metode Bagi DuaMisal ditentukan selang [a,b] sehingga f(a) f(b) < 0. Pada setiap kali lelaran, selang[a,b] dibagi dua di x=c, sehingga terdapat dua buah subselang yang berukuran sama, yaitu selang [a,c] dan selang [c,b]. Kemudian ambil selang yang yang memuat akar, bergantung pada apakah f(a) f(c)

Metode Bagi Duawww.matematika.brawijaya.ac.id

Teorema 2.3. (Bisection Theorem) www.matematika.brawijaya.ac.id

Asumsikan fC[a,b] dan ada sebuah bilangan r C[a,b] sedemikian sehingga

. Jika f(a) dan f(b) berbeda tanda, dan

merepresentasikan barisan titik tengah yang digenerat oleh proses bisection (bagi dua) maka

untuk n=0,1,2,

Dan selanjutnya barisan

konvergen ke akar r=r, yaitu,

_1298121081.unknown

_1329633580.unknown

_1329633582.unknown

_1329633583.unknown

_1329633581.unknown

_1298121082.unknown

_1298121079.unknown

_1298121080.unknown

_1298121078.unknown

Langkah-langkah dalam mecari akar dengan menggunakan metode bagi dua:www.matematika.brawijaya.ac.id

1) Pilih a dan b bawah dan puncak taksiran untuk akar, sehingga perubahan fungsi mencakup seluruh interval. Hal ini dapat diperiksa dengan memastikan f(a) f(b) 0, akar berada pada bagian interval atas, maka a=c dan kembali kelangkah 2

c.)Jika f(a) f(c) =0, akar setara p, hentikan komputasi

_1298121083.unknown

_1329633469.unknown

Kreteria penghentian dan taksiran galatwww.matematika.brawijaya.ac.id

Kriteria berhentinya iterasiwww.matematika.brawijaya.ac.id

Algoritma Metode Bagi DuaInput : a,b, epsilonOutput: akarcekf(a)*f(b) IF cek

Contoh www.matematika.brawijaya.ac.id

Hasilwww.matematika.brawijaya.ac.id

Metode Posisi PalsuWalaupun metode bagi dua selalu bagi dua selalu menemukan akar, tetapi kecepatan konvergensinya sangat lambat. Kecepatan konvergensi dapat ditingkatkan bila nilai f(a) dan f(b) juga turut diperhitungkan. Metode yang memanfaatkan f(a) dan f(b) adalah metode posisi palsu (false position methods). Misalnya saja diketahui selang C[xl,xu] dengan f(xl)*f(xu)

Langkah-langkah dalam mecari akar dengan menggunakan metode posisi palsu:www.matematika.brawijaya.ac.id

1) Pilih a dan b bawah dan puncak taksiran untuk akar, sehingga perubahan fungsi mencakup seluruh interval. Hal ini dapat diperiksa dengan memastikan f(a) f(b) 0, akar berada pada bagian interval atas, maka a=c dan kembali kelangkah 2

c.)Jika f(a) f(c) =0, akar setara c, hentikan komputasi

Kreteria penghentian dan taksiran galat

_1329634506.unknown

_1329634518.unknown

_1298121085.unknown

Kreteria penghentian dan taksiran galatwww.matematika.brawijaya.ac.id

Algoritma Metode Posisi PalsuInput : a,b, epsilonOutput : akarcekf(a)*f(b)IF cek

Contohwww.matematika.brawijaya.ac.id

Metode TerbukaPada metode ini tidak diperlukan selang yang mengapit akar yang akan didekati. Yang diperlukan hanya sebuah tebakan atau dua buah tebakan awal, yang tidak harus mengapit akar fungsi tersebutYang termasuk kedalam metode terbuka ini adalah:Metode iterasi titik tetapMetode Newton- RaphsonMetode Sekan


Iterasi Untuk Menyelesaikan x=g(x)Sebuah prinsip dasar dalam ilmu komputer adalah iterasi . Iterasi adalah proses pengulangan sampai suatu jawaban diperoleh. Teknik iterasi digunakan untuk menemukan akar-akar persamaan, solusi sistem persamaan linier dan non linier dan solusi persamaan differensial. www.matematika.brawijaya.ac.id

Misal P0 adalah nilai awal. Maka barisan {Pk} diperoleh dengan menggunnakan aturan iterasi Pk+1=g(Pk). Barisan tersebut mempunyai polaP0 (starting value)P1=g(P0) P2=g(P1) ..... Pk+1=(g(Pk) www.matematika.brawijaya.ac.id

Definisi 2.1.Sebuah fixed point (Titik Tetap) dari fungsi g(x) adalah bilangan real P sedemikian sehingga P=g(P)www.matematika.brawijaya.ac.id

i=1;p(i)=0.5;n=input('n =');for (i=1:n); p(i+1)=exp(-p(i));end;p


Definisi 2.2Iterasi Pn+1=g(Pn) untuk n=0,1,.. disebut iterasi titik tetap.www.matematika.brawijaya.ac.id

Teorema 2.1www.matematika.brawijaya.ac.id

Asumsikan g adalah fungsi kontinyu dan

adalah sebuah barisan yang digenerate oleh iterasi titik tetap. Jika

maka P adalah adalah titik tetap dari g(x).

_1298121076.unknown

_1298121077.unknown

Contoh www.matematika.brawijaya.ac.id

Terdapat beberapa kemungkinan prosedur iterasi yang dapat dibentuk, yaitu:


Kemungkinan ke 2www.matematika.brawijaya.ac.id

Kemungkinan ke 3www.matematika.brawijaya.ac.id

Kreteria Konvergensi: Teorema 2.2 www.matematika.brawijaya.ac.id

Asumsikan g(C[a,b] . Jika range dari pemetaan y=g(x) memenuhi a(y(b untuk semua a

Metode Newton RaphsonDiantara semua metode pencarian akar, metode Newton Raphson yang paling terkenal dan paling banyak digunakan dalam terapan sain dan rekayasa. Metode ini paling disukai karena konvergensinya paling cepat diantara metode-metode yang lain. Ada dua cara pendekatan dalam mencari rumus metode Newton Raphson, yaitu:Secara geometriDengan menggunakan deret Taylor


Secara Geometriwww.matematika.brawijaya.ac.id

Dengan menggunakan deret Taylorwww.matematika.brawijaya.ac.id

Kreteria Berhentiwww.matematika.brawijaya.ac.id

x0=input(' x0:');eps=input('epsilon :');x1=x0-(exp(x0)-5*x0^2)/(exp(x0)-10*x0);galat=abs(x1-x0);i=0;fprintf('i x(i) x(i+1) galat \n');fprintf('%d %4.5f %4.5f %4.5f \n',i,x0,x1,galat);x0=x1;while (galat>eps) i=i+1; x1=x0-(exp(x0)-5*x0^2)/(exp(x0)-10*x0); galat=abs(x1-x0); fprintf('%d %4.5f %4.5f %4.5f \n',i,x0,x1,galat); x0=x1; end;


Metode SecantKekurangan metode Newton-Raphson adalah diperlukannya turunan pertama (diferensial) dari f (x) dalam hitungan, mungkin sulit untuk mencari turunan dari persamaan yang diselesaikan, maka bentuk diferensial didekati dengan nilai perkiraan berdasarkan diferensial beda hingga.



*

Documents

BAB 2 Akar Persamaan Non Linier