Akar-akar persamaan

Embed Size (px)

Text of Akar-akar persamaan

  • AKAR-AKAR PERSAMAAN

    Metode TertutupMetode Bagi duaMetode Interpolasi LinearMetode Iterasi Titik TetapMetode Newton RaphsonMetode Secant Metode Terbuka
  • Dalam metode numerik, pencarian akar f(x) = 0 dilakukan secara iteratif. Secara umum dikelompokkan menjadi dua golongan besar, yaitu:

    1. Metode Tertutup atau Pengurungan (bracketing method)

    Mencari akar di dalam selang [a,b] yang berisikan minimal satu

    akar, disebut juga metode konvergen.

    2. Metode Terbuka

    Tidak memerlukan selang [a,b] yang mengandung akar. Hanya

    memerlukan tebakan awal akar. Metode ini tidak selalu

    berhasil, kadang-kadand konvergen, kadang kala divergen.

    AKAR-AKAR PERSAMAAN

  • Metode Tertutup

    Metode Bagi Dua

    akar persamaan

    f(x)

    x1

    x3

    x4

    x2

    x

    y

    x5

    x1

    x2

    x3

    x3

    x3

    x4

    x4

    x5

    x2

    *

  • Langkah-langkah yang dilakukan:

    Hitung fungsi pada interval yang sama dari x sampai pada perubahan tanda dari fungsi f(xn) dan f(xn+1), yaitu apabila f(xn) . f(xn+1) < 0

    2. Perkirakan awal dari akar xt dihitung dengan

    Metode Tertutup

    Metode Bagi Dua
  • 3. Buat evaluasi berikut untuk menentukan didalam sub interval dan apakah f(xn) dan f(xn+1) yang berlawanan tanda dengan f(xt).

    Jika f(xn).f(xt)0, akar persamaan berada pada sub interval kedua atau bila f(xn+1) yang berlawanan tanda dengan f(xt), kemudian tetapkan xn=xt maka lanjutkan ke langkah 4 Jika f(xn).f(xt)=0, akar persamaan adalah xt dan hitungan selesai

    4. Hitung perkiraan baru dari akar xt dengan cara seperti langkah 2

    5. Apabila perkiraan baru sudah cukup kecil (sesuai dengan batasan yang ditentukan), maka hitungan selesai, dan xt adalah persamaan yang dicari. Jika belum, maka hitungan kembali ke langkah 3.

  • Metode Tertutup

    Metode Interpolasi Linier (False Position Method)

    f(xn+1)

    xn

    x*

    xn+1

    x

    y

    xn+1-xn

    xn+1-x*

    f(xn+1)-f(xn)

  • 1. Hitung fungsi pada interval yang sama dari x sampai pada perubahan tanda dari fungsi f(xn) dan f(xn+1), f(xn) dan f(xn+1) berlawanan tanda.

    2.Perkiraan dari akar xt dihitung dengan:

    3.Hitung nilai f(xt)

    Metode Tertutup

    Metode Interpolasi Linier (False Position Method)

    Langkah-langkah perhitungan:

  • 4. Buat evaluasi: apakah f(xn) dan f(xn+1) yang berlawanan tanda

    dengan f(xt).

    Bila f(xn) yang berlawanan tanda dengan f(xt), tetapkan xt = xn+1 dan kembali ke langkah 2Bila f(xn+1) yang berlawanan tanda dengan f(xt), tetapkan xt = xn dan kembali ke langkah 2Bila f(xt) = 0, perhitungan selesai, dam xt adalah akar persamaan yang dicari.
  • Metode Terbuka

    Metode Iterasi Titik-Tetap

    Langkah-langkah perhitungan:

    1. Susunlah persamaan f(x) = 0 menjadi x = g(x)

    2. Bentuk menjadi prosedur iterasi xr+1 = g(x)

    3. Perkirakan sebuah nilai awal x0

    4. Kondisi berhenti iterasi dinyatakan bila | xr+1 xr | < E atau bila

    menggunakan galat hampiran | xr+1 xr | < , nilai E dan

    ditetapkan sebelumnya.

    Ada dua pendekatan dalam menurunkan rumus metode Newton-Raphson, yaitu:

    Metode Newton-Raphson Penurunan rumus Newton-Raphson secara geometri Penurunan rumus Newton-Raphson dengan bantuan deret

    Taylor

  • Penurunan rumus Newton-Raphson secara geometri

    Gradien garis singgung di xi adalah

    atau

    Sehingga prosedur iterasi metode Newton-Raphson adalah

    ,

  • 2. Penurunan rumus Newton-Raphson dengan bantuan deret

    Taylor

    Iterasi Newton-Raphson berhenti jika | xr+1 xr | < Ebila menggunakan galat relative hampiran

    <

    Dengan E dan adalah toleransi galat yang diinginkan.

    Ingat ya.............

    1. Jika terjadi f(x) = 0, ulang kembali perhitungan iterasi dengan x0 yang lain.

    2. Jika persamaan f(x) = 0 memiliki lebih dari satu akar, pemilihan x0 yang berbeda-beda dapat menemukan akar yang lain.

  • Langkah-langkah perhitungan:

    1. Pilih nilai awal xr sembarang

    2. Hitung nilai f(xr), kemudian xr+1 dan f(xr+1)

    3. Tetapkan nilai xr = xr+1, kembali ke langkah 2, bila f(xr+1)

    mendekati nol perhitungan selesai.

    Metode Secant

    Merupakan modifikasi dari metode Newton-Raphson

  • Berdasarkan gambar, dapat kita hitung gradientnya

    Sulihkan dengan metode Newton-Raphson

    Dalam hal ini diperlukan dua buah tebakan awal akar, x0 dan x1

    Iterasi dihentikan jika telah berada pada kondisi | xr+1 xr | < E

    Jika menggunakan galat relative hampiran

    <

    Dengan E dan adalah toleransi galat yang diinginkan

  • Langkah-langkah perhitungan

    1. Perkirakan dua buah nilai awal xr-1 dan xr

    2. Hitung nilai f(x) untuk masing-masing nilai

    Perkirakan

    4. Tetapkan kembali xr-1 dan xr

    5. Hitung kembali nilai xr+1 dan f(xr+1), perhitungan dihentikan sampai f(xr+1) mendekati nol.

    2

    )

    (

    1

    +

    +

    =

    n

    n

    t

    x

    x

    x

    )

    (

    )

    (

    )

    )(

    (

    1

    1

    1

    1

    n

    n

    n

    n

    n

    n

    t

    x

    f

    x

    f

    x

    x

    x

    f

    x

    x

    -

    -

    -

    =

    +

    +

    +

    +

    1

    0

    )

    (

    )

    (

    '

    +

    -

    -

    =

    D

    D

    =

    =

    r

    r

    r

    r

    x

    x

    x

    f

    x

    y

    x

    f

    m

    1

    )

    (

    )

    (

    '

    +

    -

    =

    r

    r

    r

    r

    x

    x

    x

    f

    x

    f

    )

    (

    '

    )

    (

    1

    r

    r

    r

    r

    x

    f

    x

    f

    x

    x

    -

    =

    +

    0

    )

    (

    '

    x

    f

    r

    r

    r

    x

    x

    x

    -

    +

    +

    1

    1

    1

    1

    )

    (

    )

    (

    )

    (

    '

    -

    -

    -

    -

    =

    =

    D

    D

    =

    =

    r

    r

    r

    r

    r

    x

    x

    x

    f

    x

    f

    BC

    AC

    x

    y

    x

    f

    m

    )

    (

    '

    )

    (

    1

    r

    r

    r

    r

    x

    f

    x

    f

    x

    x

    -

    =

    +

    )

    (

    )

    (

    )

    )(

    (

    1

    1

    1

    -

    -

    +

    -

    -

    -

    =

    r

    r

    r

    r

    r

    r

    r

    x

    f

    x

    f

    x

    x

    x

    f

    x

    x

    1

    1

    +

    +

    -

    r

    r

    r

    x

    x

    x

    )

    (

    )

    (

    )

    )(

    (

    1

    1

    1

    -

    -

    +

    -

    -

    -

    =

    r

    r

    r

    r

    r

    r

    r

    x

    f

    x

    f

    x

    x

    x

    f

    x

    x