맛있는 해석학 3.4판 (2010년1월12일)math.knue.ac.kr/data.brd/_0.393.ba146b/맛있는 해석학 3.4판 (20100112).pdf · 1판 1쇄 발행 2005년 4월 1일 3판 4쇄 발행

맛있는 해석학 | The Art of Analysis

지은이 앨리스 | [email protected]

펴낸곳 디자이너앨리스 | http://www.designeralice.com

1판 1쇄 발행 2005년 4월 1일3판 4쇄 발행 2010년 1월 6일저작권 등록번호 C-2009-009828

이 책의 모든 저작권은 지은이 앨리스에게 있습니다.

허가사항 독자는 이 책의 일부 또는 전체를 비상업적이고 개인적인 용도로 수정하거나 인쇄하여 제본할 수 있습니다. 이

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The Art of AnalysisAn Elementary Course in Mathematical Analysis

Revised Third Edition, January 2010

•

Alice

http://www.designeralice.com

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머리말

PREFACE 머리말

해석학은 엄밀하게 정의된 수 체계를 바탕으로 극한을 정의하고 이를 이용하여 함수의 성질을 밝

히는 학문입니다. 해석학에서 다루는 주제들은 미적분학과 비슷하지만 미적분학에 비해 더욱 논

리적이고 엄밀한 추론을 필요로 합니다.

이 책은 해석학의 기초 내용을 공부하는 사람들을 위한 책으로서, 학부 수준의 집합론과 미적분

학을 각각 한 학기 이상 수강한 사람들이 볼 수 있는 수준으로 구성되어 있습니다. 주로 해석학

을 처음 공부하는 사람들에게 초점을 맞추어 내용을 구성하였고, 해석학을 공부한 경험이 있는

사람들에게도 유용하도록 다양한 예제와 확장된 내용을 실었습니다.

정리를 제시하기 전에 그것이 왜 필요한지 설명하였으며 증명을 위한 발상법을 제시하였습니다.

그리고 각 장의 내용이 서로 어떻게 연결되는지 설명하였으며 읽는 사람으로 하여금 이러한 내용

을 별개의 것으로 느끼지 않고 전체를 유기적이고 종합적으로 이해할 수 있도록 구성하였습니다.

본문에서는 수학의 내용만을 제시하는 것이 아니라 수학사, 수학교육에 관련된 내용을 함께 제시

하여 해석학을 도구 과목이 아닌 진정한 학문으로서 받아들일 수 있도록 하였습니다. 수학사에

관련된 내용은 Carl B. Boyer 교수님의 책을, 수학교육에 관련된 내용은 우정호 교수님의 책을

참고하여 작성하였습니다.

전체 여덟 개의 장으로 구성되어 있으며 변수가 하나인 실수 함수의 해석을 주요 내용으로 하였

습니다. 그러나 개집합과 폐집합의 개념을 도입하고 전체 단원에 위상적 관점을 일관되게 적용함

으로써 독자의 사고가 실수 함수에만 머물지 않고 일반적인 공간과 함수에 대한 것으로 쉽게 확

장될 수 있도록 하였습니다. 위상적 관점을 적용하면 처음에는 어려워 보이지만 일단 이해하고

나면 후속 과목으로 다변수해석학, 복소해석학, 미분기하학, 위상수학, 함수해석학 등을 공부하는

데에 매우 큰 도움이 됩니다.

목차에 별 표시(*)가 되어 있는 절은 뒤 단원에 연결된 내용이 없는 것이므로 해석학을 처음 공

부하는 사람들은 이러한 단원을 뛰어 넘어도 됩니다. 정리의 번호에 별 표시가 되어 있는 것은

해석학을 처음 공부하는 사람들이 보기에는 너무 어려운 것이므로 처음 공부하는 사람들은 이러

한 정리를 뛰어 넘어도 됩니다. 증명에 별 표시가 되어 있는 것은 해석학을 처음 공부하는 사람

들이 보기에는 너무 어려운 것이므로 처음 공부하는 사람들은 정리의 내용만 확인하고 증명은 뛰

어 넘어도 됩니다.

7디자이너앨리스머리말

연습문제는 수준별로 제시되어 있기 때문에 독자는 사람은 자신의 수준에 맞는 문제를 골라서 풀

수 있습니다. 해석학을 처음 공부하는 사람은 본문의 보기와 예제를 꼼꼼히 공부하고 기초 개념

문제를 중심으로 공부하면 좋습니다. 기초 개념 문제를 쉽게 풀 수 있거나 해석학을 두 번째 또

는 그 이상 여러 번 공부하는 사람은 실력 다지기 문제를 중심으로 공부하면 좋습니다. 해석학의

실력 향상을 원하는 사람은 심화 문제를 풀어보기 바랍니다. 탐구 문제는 후속 과목, 수학사, 수

학교육에 관련된 다양한 문제로 구성되어 있으며, 해석학을 진정으로 깊이 있게 이해하고 공부할

수 있도록 방향을 제시해 줍니다. 부록에 연습문제의 힌트와 풀이가 실려 있습니다. 그러나 가능

하면 힌트와 풀이를 보지 말고 연습문제를 풀어보기를 권장합니다.

보통 해석학을 공부하면서 어렵다고 느끼는 이유는 단시간에 많은 것을 학습하려고 하기 때문입

니다. 해석학을 공부할 때에는 시험 준비에만 급급해하지 말고 여유 있는 마음으로 공부하기를

권장합니다. 또한, 선수과목을 제대로 공부하지 않은 경우에도 해석학을 공부하는 데에 어려움을

느낄 수 있으므로, 집합론과 미적분학을 수강하지 않았거나 기초가 부족한 사람들은 이들 과목을

수강하거나 복습한 후 해석학을 공부해야 합니다.

이 책은 2005년 초판이 발행된 후 여러 차례 개정을 거듭한 것입니다. 그 과정에서 많은 사람들

이 의견을 내어 오류를 수정하고 더 나은 책을 만드는 데에 도움을 주었습니다. 정확하고 좋은

내용을 담기 위하여 최선의 노력을 하였으나 여전히 오타나 논리적 오류 등 미흡한 부분이 남아

있으리라 생각됩니다. 고쳐야 할 부분을 발견하거나 더 좋은 내용에 대한 의견이 있으면 앨리스

의 홈페이지에 방문하여 글을 남겨주시기 바랍니다.

앨리스의 홈페이지에 방문하면 이 책의 최신 정보를 얻을 수 있으며 이 책을 파일로 내려 받을

수 있습니다. 홈페이지에 방문하여 다른 방문자들과 정보를 나누고 여러 가지 문제를 함께 고민

하며 풀어 보기 바랍니다. 또 여러분이 지금 보고 있는 이 책처럼 여러분의 개성이 들어간 자료

를 만들어 많은 사람들과 함께 나누어 보기 바랍니다. 열심히 공부하여 다른 사람과 나누면 그것

이 몇 배가 되어 자신에게 돌아옵니다.

저는 수학을 공부하는 사람들이 인터넷을 통해 많은 정보를 얻을 수 있기를 바랍니다. 이 책을

포함하여 제가 홈페이지에 공개한 책들과 자료는 그러한 인터넷 문화를 만들고 싶은 저의 소망이

담긴 것입니다. 이 책이 독자 여러분께 도움이 되기를 바랍니다.

이 책이 나오기까지 관심을 가져준 많은 분들께 감사를 드립니다.

― 2010년을 시작하는 겨울, 앨리스

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차례

CONTENTS 차례

I 실수계의 성질 | The Real Number System

1.1 실수계의 체 공리 | Field Axiom 12

1.2 실수계의 순서 공리 | Order Axiom 15

1.3 자연수, 정수, 유리수 | Other Number Systems 19

1.4 수학적 귀납법 | Mathematical Induction 20

1.5 실수계의 상한 공리 | Completeness 29

1.6 지수의 확장 | Indices 34

1.7 집합의 크기 | Cardinal Numbers 40

1.8 개집합과 폐집합 | Open and Closed Sets 44

1.9 집합을 이용한 실수의 구성* | Set Theoric Construction 50

• 연습문제 | Exercise 57

• 수학역사 | 실수의 정의와 무한 집합론 63

II 실수열의 극한 | Limits of Real Sequences

2.1 극한의 개념 | Definition and Basic Properties 64

2.2 극한의 계산 | Arithmetics of Limits 69

2.3 부분수열 | Subsequences 76

2.4 단조수열 | Monotone Sequences 77

2.5 발산하는 수열 | Divergents 82

2.6 집합과 수열의 집적점 | Cluster Points 85

2.7 코시 수열 | Cauchy Sequences 89

2.8 상극한과 하극한 | Upper and Lower Limits 91

2.9 폐집합에서의 극한 | Limits on Closed Sets 95


• 수학교육 | 수학에서의 은유 104

옆에 별 표시(*)가 있는 단원은 뒤 단원과의 연계성이 없는 단원입니다. 해석학을 처음 공부하는 사

람들은 이 단원을 뛰어 넘어도 됩니다.

9디자이너앨리스차례

III 실함수의 극한 | Limits of Real Functions

3.1 한 점에서의 극한 | Limits at Points 106

3.2 극한의 계산 | Arithmetics of Limits 112

3.3 연속 함수 | Continuity 116

3.4 컴팩트 집합 | Compact Sets 121

3.5 연속 함수의 성질 | Properties of Continuous Functions 124

3.6 무한대 극한 | Infinity Limits and Limits at Infinity 129

3.7 상극한과 하극한* | Upper and Lower Limits 132


IV 실함수의 미분 | Differentiations of Real Functions

4.1 미분의 정의 | Definition and Basic Properties 144

4.2 미분의 계산 | Calculation of Derivatives 147

4.3 평균값 정리와 그래프의 모양 | Mean Value Theorem 151

4.4 로피탈의 법칙 | l'Hôpital's Rule 157

4.5 테일러의 정리 | Taylor's Theorem 160


V 리만 적분 | The Riemann Integral

5.1 리만 적분의 정의 | Definition and Basic Properties 170

5.2 리만 적분의 성질 | Arithmetics of Riemann Integrals 178

5.3 미적분의 기본정리 | Fundamental Theorem 186

5.4 치환 적분과 부분 적분 | Some Integration Techniques 190

5.5 적분의 평균값 정리 | Mean Value Theorems 193

5.6 리만 합* | Riemann Sum 196

5.7 불연속 함수의 리만 적분 | Integrations of Discontinuous Functions 200

5.8 특이적분 | Improper Integrals 204


• 수학역사 | 미적분학과 해석학의 발전 213

10 차례

VI 무한 급수 | Infinite Series

6.1 무한 급수의 수렴과 발산 | Basic Properties 216

6.2 양항 급수의 판정 | Tests for Nonnegative Series 218

6.3 여러 가지 판정법 | Delicate Tests 228

6.4 급수의 합과 곱 | Arithmetics of Series 238

6.5 급수의 재배열 | Rearrangements 242

6.6 이중 급수* | Double Series 245

6.7 무한 곱* | Infinite Products 249

6.8 급수의 계산* | Calculations of Series 251


• 수학역사 | 오일러, 정수론의 해석적 연구 261

VII 함수열의 극한 | Limits of Sequences of Functions

7.1 함수열의 평등수렴 | Uniform Convergence 262

7.2 평등수렴의 성질 | Basic Properties of Uniform Convergence 267

7.3 평등수렴의 판정 | Tests for Uniform Convergence 273

7.4 동정도 연속* | Equicontinuity 276

7.5 다항식 근사* | Approximation by Polynomials 280

7.6 멱급수 | Power Series 282

7.7 멱급수의 성질 | Properties of Power Series 286

7.8 아벨의 정리 | Abel's Theorem 294


• 수학역사 | 바이어슈트라스 301

VIII 실해석적 함수 | Real Analytic Functions

8.1 테일러 급수와 해석적 함수 | Taylor Series and Analytic Functions 302

8.2 지수 함수 | Exponent Functions 307

8.3 로그 함수 | Logarithm Functions 310

8.4 삼각 함수 | Trigonometric Functions 313

8.5 감마 함수* | Gamma Function 317

8.6 라플라스 근사화와 스탈링 공식* | Stirling's Formula 320


11디자이너앨리스차례

A1 연습문제의 힌트와 풀이 | Solutions

1 실수계의 성질 | The Real Number System 332

2 실수열의 극한 | Limits of Real Sequences 339

3 실함수의 극한 | Limits of Real Functions 352

4 실함수의 미분 | Differentiations of Real Functions 372

5 리만 적분 | The Riemann Integral 383

6 무한 급수 | Infinite Series 394

7 함수열의 극한 | Limits of Sequences of Functions 400

8 실해석적 함수 | Real Analytic Functions 411

A2 부록 | Appendix

A2 단원별 참고서적 | References 418

A3 찾아보기 | Index 420

대문자 소문자 이름 대문자 소문자 이름 대문자 소문자 이름

alpha

beta

gamma

delta

epsilon

zeta

eta

theta

iota

kappa

lambda

mu

nu

xi

omicron

pi

rho

sigma

tau

upsilon

phi

chi

psi

omega

그리스 문자표

12

⋯

⋯

⋯

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제 1 장 실수계의 성질

제 1 장

실수계의 성질

실수 집합은 유리수 집합처럼 사칙연산을 자유롭게 할 수 있는 성질을 가지고 있으며, 극한을

자유롭게 다룰 수 있는 완비의 성질도 가지고 있다. 해석학의 주된 내용은 극한을 이용하여 다

양한 함수의 성질을 밝히는 것이므로 실수의 성질은 해석학의 여러 이론을 전개하는 데에 기초

가 된다. 이 장에서는 실수의 정의와 해석학에서 자주 사용되는 실수의 성질을 살펴보자.

1.1 실수계의 체 공리

실수는 덧셈과 곱셈을 자유롭게 할 수 있는 성질을 가지고 있다. 또한 임의의 두 실수의 크기를

비교할 수 있으며 극한도 자유롭게 사용할 수 있다. 적절한 공리를 이용하여 이러한 성질을 갖

는 실수계(real number system)를 정의할 수 있다. 이들 공리는 성질에 따라서 체 공리, 순서 공

리, 완비성 공리로 나눌 수 있다. 먼저 체 공리를 살펴보자.

1.1.1 공리 실수계의 체 공리 (Field Axiom)

실수 집합 ℝ에 덧셈이라고 불리는 이항연산 , 곱셈이라고 불리는 이항연산 ⋅이 주어져

있으며 이들은 다음을 만족시킨다.

(A1) ∀ ∈ℝ (덧셈의 결합 법칙)

(A2) ∀ ∈ℝ (덧셈의 교환 법칙)

(A3) ∃∈ℝ ∀∈ℝ (덧셈에 대한 항등원)

(A4) ∀∈ℝ ∃∈ℝ (덧셈에 대한 역원)

(M1) ∀ ∈ℝ ⋅⋅ ⋅⋅ (곱셈의 결합 법칙)

(M2) ∀ ∈ℝ ⋅ ⋅ (곱셈의 교환 법칙)

(M3) ∃∈ℝ ∀∈ℝ ⋅ (곱셈에 대한 항등원)

(M4) ∀∈ℝ ∃∈ℝ ⋅ (곱셈에 대한 역원)

(D) ∀ ∈ℝ ⋅ ⋅ ⋅ (분배 법칙)

일반적으로 두 실수 와 의 곱 ⋅에서 곱셈 기호를 생략하여 로 표기한다.

위 공리에서 를 덧셈에 대한 항등원이라고 부르며 으로 표기한다. 또한 를 곱셈에 대한 항

등원이라고 부르며 로 표기한다. ℝ는 ℝ∖을 의미한다. 일 때 를 의 덧셈

에 대한 역원이라고 부르며 의 덧셈에 한 역원을 로 표기한다. 일 때 를 의

Ⅰ 실수계의 성질

13디자이너앨리스1.1 실수계의 체 공리

곱셈에 대한 역원이라고 부르며 의 곱셈에 한 역원을

또는 로 표기한다. 그리고

⋅

을

로 표기한다. 곱셈에 한 역원을 간단히 역수라고 부르기도 한다.

등호는 항상 동치관계를 의미하는 것으로 약속한다. 즉 등호는 반사적이고 칭적이며 추이적인

관계이다. 더욱이 는 와 가 수학적 개체로서 완전히 동일함을 의미한다. 즉 이면

가 성립하는 것으로 약속한다.

실수 집합 ℝ는 그 자체로서는 집합(set)이지만 덧셈, 곱셈 연산과 등호라는 동치관계가 주어진

체(field)로서 ⟨ℝ ⋅⟩는 실수계(system)이다.

1.1.2 정리 항등원의 유일성

덧셈에 한 항등원과 곱셈에 한 항등원은 유일하다.

여기서 조건을 만족시키는 원소가 유일하다(unique)는 것은 조건을 만족시키는 원소 와 가 있

다고 가정했을 때 결국 가 된다는 것을 뜻한다.

정리 1.1.2의 증명 과 ′이 덧셈에 한 항등원이라고 하자. 그러면 덧셈의 공리에 의하여

′ ′ ′이 성립한다. 여기서 는 동치관계이므로 추이법칙에 의하여 ′이 성립한다.

다음으로 과 ′이 곱셈에 한 항등원이라고 하자. 그러면 곱셈의 공리에 의하여

⋅′ ′⋅ ′이 성립한다. 따라서 ′이다. □

1.1.3 정리 역원의 유일성

실수의 덧셈에 한 역원은 유일하다. 또한 이 아닌 실수의 곱셈에 한 역원은 유일하다.

증명 실수 가 임의로 주어졌다고 하자. 그리고 와 ′이 의 덧셈에 한 역원이라고 하자.

그러면 이고 ′ 이므로

′ ′ ′ ′이다. 따라서 ′이다. 이제 ≠이고 와 ′이 의 곱셈에 한 역원이라고 하자.

그러면 이고 ′ 이므로

′ ′ ′ ′이다. 따라서 ′이다. □

14 제 1 장 실수계의 성질

체 공리만을 이용하여 우리가 일반적으로 사용하는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈의 여러 가지 성질

을 이끌어낼 수 있다.

1.1.4 정리 곱셈의 성질

임의의 실수 , 에 하여 다음이 성립한다.

(ⅰ) ⋅ (ⅱ)

(ⅲ) (ⅳ)

증명 임의의 실수 에 하여

⋅ ⋅

⋅⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

⋅ ⋅

이므로 ⋅ 이다. 즉 (ⅰ)이 성립한다.

다음으로

이므로 는 의 덧셈에 한 역원이다. 그런데 덧셈에 한 역원은 유일하므로

이다. 즉 (ⅱ)가 성립한다.

이제 (ⅲ)을 증명하기 위하여 다음 등식을 확인하자.

⋅

⋅

여기서 을 얻는다. 따라서

⋅

⋅

⋅

이므로 (ⅲ)이 성립한다.

끝으로 (ⅱ)와 (ⅲ)을 이용하면

이므로 (ⅳ)가 성립한다. □


15디자이너앨리스1.2 실수계의 순서공리

1.2 실수계의 순서 공리

임의의 실수 와 에 하여 , , 셋 중 하나가 반드시 성립한다. 즉 실수 집

합은 선형 순서 집합이다. 또한 부등식의 양변에 같은 수를 더하거나 양변에서 같은 수를 빼어

도 부등호의 방향은 바뀌지 않으며, 부등식의 양변에 같은 양수를 곱하여도 부등호의 방향은 바

뀌지 않는다.

1.2.1 공리 실수의 순서

실수 집합 ℝ에 관계 가 주어져 있으며 다음을 만족시킨다.

(O1) 임의의 실수 , 에 하여 , , 중 하나가 성립하며, 하나만 성립

한다. (삼자 택일 법칙)

(O2) 실수 , , 에 하여 이고 이면 이다. (추이 법칙)

(O3) 실수 , , 에 하여 이면 이다. (평행이동 법칙)

(O4) 실수 , , 에 하여 이고 이면 이다.

실수 와 에 하여

또는 이다

를 간단하게 ≤ 로 나타낸다. 그리고 와 는 같은 의미이며 ≥ 와 ≤ 는 같

은 의미이다.

부등식 가 성립할 때 ‘보다 가 크다’ 또는 ‘가 보다 작다’라고 말한다. 보다 큰 실

수를 양의 실수 또는 양수라고 부르며 보다 작은 실수를 음의 실수 또는 음수라고 부른다. 양

의 실수들의 모임을 ℝ로, 음의 실수들의 모임을 ℝ로 나타낸다. 정수와 유리수에 해서도

같은 방법으로 ℤ , ℤ , ℚ , ℚ를 정의한다.

1.2.2 정리 부등호의 성질

(ⅰ) 가 양수일 필요충분조건은 가 음수인 것이다.

(ⅱ) 은 양수이다.

(ⅲ) ≠ 이면 은 양수이다. 여기서 ⋅이다.

(ⅳ) 일 필요충분조건은 가 양수인 것이다.

(ⅴ) 이고 가 음수이면 이다.

(ⅵ) 가 양수일 필요충분조건은 가 양수인 것이다.

(ⅶ) 양수 , 에 하여 이면 이다.

(ⅷ) 와 가 양수이면 도 양수이다.

(ⅸ) 양수 , 에 하여 일 필요충분조건은 인 것이다.


증명 (ⅰ) 먼저 이라고 가정하자. 양변에 를 더하면 (O3)에 의하여 를 얻는다.

마찬가지로 의 양변에 를 더하면 (O3)에 의하여 를 얻는다.

(ⅱ) ≠ 이므로 삼자 택일 법칙에 의하여 또는 이다. 이라고 가정하

면 이므로 이 되어 모순이다. 따라서 이다.

(ⅲ) 인 경우 양변에 를 곱하면 을 얻는다. 인 경우 이므로

양변에 를 곱하면 을 얻는다.

(ⅳ) 의 양변에 를 더하면 를 얻는다. 또한 의 양변에 를

더하면 를 얻는다.

(ⅴ) 이므로 의 양변에 를 곱하면 가 성립한

다. 따라서 (ⅳ)에 의하여 이다.

(ⅵ) 라고 하자. 그리고 결론에 반하여 이라고 가정하자. 의 양변에

를 곱하면 ⋅ 이 되어 모순이다. 따라서 이다.

이제 이라고 하자. 그리고 결론에 반하여 이라고 가정하자. 의 양

변에 를 곱하면 ⋅ 이 되어 모순이다. 따라서 이다.

(ⅶ) 와 가 양수이므로 는 양수이고 도 양수이다. 이므로 는 양수이

다. 따라서

⋅

이므로 (ⅳ)에 의하여 이다.

(ⅷ) 가 양수이므로 이다. 부등식 의 양변에 를 곱하면 (O4)에 의하여

를 얻는다.

(ⅸ) 라고 하자. 그러면 와 가 양수이고 두 양수의 곱은 양수이므로

이다. 따라서 이다.

이제 이라고 하자. 이 부등식을 변형하면 을 얻는다. 여기서

명백히 는 양수이다. 만약 가 음수라고 가정하면 가 음수가 되

므로 모순이다. 따라서 는 이상이다. 그런데 ≠ 이므로 는 양수이다. 따라

서 이다. □

다음은 부등호의 중요한 성질이다.

1.2.3 정리 실수계는 전순서집합이다

실수 집합 ℝ와 부등호 ≤에 하여 ⟨ℝ ≤⟩는 전순서집합이다.


17디자이너앨리스1.2 실수계의 순서공리

관계 가 반사적이고 추이적이며 반 칭적일 때 를 순서 관계라고 부른다.

즉 ≤가 ℝ에서의 순서관계라 함은 세 조건

(ⅰ) 임의의 실수 에 하여 ≤ 이다,

(ⅱ) 실수 , , 에 하여 ≤ 이고 ≤ 이면 ≤ 이다,

(ⅲ) 실수 , 에 하여 ≤ 이고 ≤ 이면 이다

를 만족시키는 것이다. 특히 순서집합의 임의의 두 원소의 크기를 비교할 수 있을 때 순서집합

을 전순서집합(totally ordered set) 또는 선형순서집합(linear ordered set)이라고 부른다.

정리 1.2.3의 증명 임의의 실수 에 하여 이므로 (ⅰ)이 성립한다.

이제 ≤ 이고 ≤ 라고 가정하자. 그러면 다음과 같은 네 가지 경우가 존재한다.

이고 인 경우 이므로 ≤ 이다.




따라서 (ⅱ)가 성립한다.

이제 ≤ 이고 ≤ 라고 하자. 결론에 반하여 ≠ 라고 가정하자. 그러면 이거

나 이다. 그러나 라고 하면 ≤ 인 것에 모순이고 라고 하면 ≤ 인

것에 모순이다. 따라서 이므로 (ⅲ)이 성립한다.

또한 삼자 택일 법칙에 의하여 임의의 두 실수의 크기를 비교할 수 있으므로 ≤는 ℝ에

서 전순서관계이다. □

실수가 양수일 때 , 음수일 때 , 일 때 의 값을 갖는 함수를 sgn으로 나타낸다. 즉

sgn은 다음과 같이 정의된 함수이다.

sgn

i f i f i f

수직선에서 실수 가 원점으로부터 떨어진 거리를 의 절댓값(absolute value)이라고 부르며

로 표기한다. 절댓값을 함수로서 정의하면 다음과 같다.

sgn i f ≥ i f

책에 따라서는 의 절댓값을 로 표기하거나 abs로 표기하는 경우도 있다.


1.2.4 정리 절댓값의 성질

, , 가 실수이고 ≠ 일 때 다음이 성립한다.

(ⅰ) (ⅱ)

(ⅲ) (ⅳ)

(ⅴ) ≤ ≤

증명 (ⅰ) ≥ 인 경우 이다.

인 경우 이다.

(ⅱ) ≥ 인 경우 이다.

인 경우 이다.

(ⅲ) 인 경우 이다.

인 경우 이다.

(ⅳ) ⋅ .

(ⅴ) ≤ 이고 , 이므로

≤

을 얻는다. 좌변과 우변을 각각 인수분해하면

≤

을 얻는다. 이므로 위 부등식은 ≤ 이 된다. 따

라서 정리 1.2.2의 (ⅸ)에 의하여

≤

를 얻는다. 같은 방법으로

≤

을 이용하면 ≤ 를 얻는다. □

위 정리에서 부등식 ≤ 를 삼각 부등식(triangle inequality)이라고 부른다.

공간에서 두 벡터 , 가 주어졌다고 하자. 이때 세 점 , , 를 꼭짓점으로 하는 삼각

형을 생각할 수 있다. 삼각형의 두 변의 길이의 합은 나머지 한 변의 길이보다 길기 때문에 과

를 잇는 선분의 길이보다 과 를 잇는 선분의 길이와 와 를 잇는 선분의 길이의

합이 더 길다. 이것을 기호로 나타내면 ≤ 가 된다.

삼각 부등식은 다음과 같이 여러 개의 수에 해서도 성립한다.

⋯ ≤ ⋯


19디자이너앨리스1.3 자연수, 정수, 유리수

1.2.5 정의 개구간과 폐구간

실수 와 에 하여 다음과 같이 정의한다.

(ⅰ) ∈ℝ (ⅱ) ∈ℝ ≤ ≤ (ⅲ) ∈ℝ ≤ (ⅳ) ∈ℝ ≤ (ⅴ) ∞ ∈ℝ (ⅵ) ∞ ∈ℝ (ⅶ) ∞ ∈ℝ ≤ (ⅷ) ∞ ∈ℝ ≤ (ⅸ) ∞ ∞ℝ

구간의 양쪽 모두 괄호로 묶인 구간을 폐구간(closed interval), 구간의 양쪽 모두 소괄호로 묶

인 구간을 개구간(open interval)이라고 부르며 그 외의 구간을 반개구간(half-open interval) 또는

반폐구간(half-closed interval)이라고 부른다.

구간의 정의에 의하면 ≥ 일 때 , , 는 공집합이다. 또한, 일 때

는 공집합이다.

한편 ∞ ∞≠ℝ이다. 왜냐하면 ∞와 ∞는 ℝ의 원소가 아니기 때문이다. 참고로 ∞

와 ∞가 포함된 실수계를 확장 실수계(extended real number system)라고 부른다. 확장 실수계

는 측도론(measure theory)에서 다룬다.

1.3 자연수, 정수, 유리수

자연수 집합, 정수 집합, 유리수 집합은 실수 집합의 부분집합이다. 자연수 중에서 가장 작은 수

는 이며 다른 모든 자연수는 에 을 거듭 더하여 얻을 수 있다. 즉

, , , , ⋯

의 방법으로 모든 자연수를 정의할 수 있다. 따라서 자연수 집합 ℕ은 다음과 같은 성질을 만족

시킴을 알 수 있다.

(ⅰ) ∈ℕ (ⅱ) ∈ℕ ⇒ ∈ℕ (1)

하지만 위의 두 조건만으로는 자연수 집합을 정의하기에 충분하지 않다. 예를 들어

⋯ ⋯,

⋯

와 같은 집합들은 분명히 (1)의 두 조건을 모두 만족시키지만 자연수 집합이 아니다. 그러나 (1)

의 조건을 만족시키는 집합은 항상 자연수 집합을 포함하므로, 그러한 집합들을 교집합하여 자

연수 집합을 얻을 수 있다.


1.3.1 정의 자연수

실수 집합의 부분집합 가 두 조건 ∈와 ∈ ⇒ ∈를 만족시킬 때 를

귀납적 집합(inductive set)이라고 부른다. 그리고 모든 귀납적 집합들의 교집합을 자연수 집

합이라고 부르며 ℕ으로 표기한다. ℕ의 원소를 자연수라고 부른다.

일반적으로 실수 와 실수 집합의 부분집합 , 에 하여 다음과 같이 정의한다.

(ⅰ) ∈ ∧ ∈(ⅱ) ∈ ∧ ∈(ⅲ)

(ⅳ)

(ⅴ)

이상을 바탕으로 정수 집합과 유리수 집합을 다음과 같이 정의한다.

1.3.2 정의 정수, 유리수, 무리수

집합 ℤ ℕ ∪∪ℕ을 정수 집합이라고 부르며 ℤ의 원소를 정수라고 부른다.

집합 ℚ ∈ℤ ∧ ∈ℤ∖을 유리수 집합이라고 부르며 ℚ의 원소를 유리

수라고 부른다. 유리수가 아닌 실수를 무리수라고 부른다.

자연수는 영어 Natural의 첫 글자를 딴 것이고 정수는 독일어 Zahlen의 첫 글자를 딴 것이며

유리수는 영어 Quotient의 첫 글자를 딴 것이다.

유리수 집합은 공리 1.1.1의 모든 명제를 만족시킨다. 한편 표수가 인 임의의 무한체는 ℚ를

부분체로서 포함한다. 이러한 성질 때문에 ℚ를 소체(prime field)라고 부르기도 한다.

1.4 수학적 귀납법

명제함수 가 유한집합 의 임의의 원소에 하여 참임을 증명하는 것은 쉽다. 예를 들어 집합

의 임의의 원소가 방정식 의 해가 된다는 것을 증명하기 위해서는 직

접 입해보면 된다. 그러나 명제함수가 정의역에 있는 무한히 많은 원소에 하여 참임을 보이

는 것은 쉽지 않다. 이러한 경우 정의역의 특성과 명제함수의 종류에 따라서 여러 가지 방법으

로 증명을 시도하게 된다.

특히 어떠한 명제가 임의의 자연수에 하여 참임을 보일 때에는 수학적 귀납법이라는 유용한

증명 방법을 사용할 수 있다.


21디자이너앨리스1.4 수학적 귀납법

예를 들어 등식

⋯ (2)

이 임의의 자연수 에 하여 성립함을 증명할 때에 다음과 같은 방법을 사용할 수 있다.

(ⅰ) 일 때 (2)는 참이다.

(ⅱ) 자연수 에 하여 일 때 (2)가 성립한다고 가정하자. 그러면

⋯

이 성립한다. 이 식의 양변에 을 더하면

⋯

이고 우변을 인수분해하면

⋯

이 된다. 이것은 (2)에 을 입한 것과 같다. 즉 일 때 (2)가 성립한다고 가

정하였더니 일 때에도 (2)가 성립하게 되었다.

이제 (ⅰ)에 의하여 일 때 (2)가 성립한다. 그리고 다음을 얻는다.

일 때 (2)가 성립하므로 (ⅱ)에 의하여 일 때에도 (2)가 성립한다,




⋮

따라서 임의의 자연수 에 하여 (2)가 성립할 것이라고 예상할 수 있다. 그러나 이것은 직관

적인 판단일 뿐 실제로 자연수를 끝까지 입해 볼 수는 없으므로 임의의 자연수에 하여 성립

한다고 섣불리 단정 지을 수 없다.

다음 정리는 이러한 추론 규칙이 정당함을 보장한다.

1.4.1 정리 수학적 귀납법(mathematical induction, finite induction)

정의역이 자연수 집합인 명제 가 두 조건

(ⅰ) 은 참이다

(ⅱ) 가 참이라고 가정하면 도 참이다

를 만족시키면 임의의 자연수 에 하여 은 참이다.

위 정리의 (ⅱ)에서 를 귀납적 가정(inductive assumption)이라고 부른다.


정리 1.4.1의 증명 명제함수 의 진리집합을 라고 하자. 즉 ∈ℕ 이라고 하자.

의 정의역이 자연수 집합이므로 ⊆ℕ이다. 이제 ℕ⊆ 임을 보이자. 먼저 (ⅰ)에

의하여 ∈이다. 또한 (ⅱ)에 의하여 ∈일 때 ∈이다. 따라서 는 귀납적

집합이다. 자연수 집합은 귀납적 집합의 교집합이므로 ℕ⊆ 이다.

이로써 ⊆ℕ이고 ℕ⊆ 이므로 ℕ이다. 의 진리집합이 자연수 전체 집합이므

로 임의의 자연수 에 하여 은 참이다. □

수학적 귀납법이라는 이름은 증명의 아이디어가 귀납법과 흡사하기 때문에 붙여진 것일 뿐이며

실제로 수학적 귀납법은 연역적인 방법으로 증명하는 추론 규칙이다.

임의의 자연수 에 하여 이 참이라는 말은 무한인 에 하여 이 참이라는 의미

가 아니다. 예를 들어 명제함수 을 「이 보다 크다」라고 정의했을 때 임의의 자연수

에 하여 은 참이다. 그러나 →∞일 때 은 참이 아니다.

예제 1.4.2 자연수 에 하여 다음 등식이 성립함을 증명하여라.

(ⅰ) ⋯ (3)

(ⅱ) ⋯ (4)

증명 (ⅰ) 일 때 명백히 (3)은 참이다.

이제 자연수 에 하여 일 때 (3)이 참이라고 가정하자. 그러면

⋯

이다. 양변에 을 더하면

⋯

이므로 일 때에도 (3)은 참이다.

따라서 수학적 귀납법에 의하여 임의의 자연수 에 하여 (3)은 참이다.

(ⅱ) 일 때 명백히 (4)는 참이다.

이제 자연수 에 하여 일 때 (4)가 참이라고 가정하자. 그러면

⋯

이다. 양변에 을 더하면

⋯

이고 이것을 변형하면

⋯

이므로 일 때에도 (4)는 참이다. 따라서 수학적 귀납법에 의하여 임의의 자연수

에 하여 (4)는 참이다. □



1.4.3 정리 베르누이(Bernoulli) 부등식

≥ 인 실수 와 자연수 에 하여

≥ (5)

가 성립한다.

증명 먼저 일 때 ≥ 이므로 (5)는 참이다.

이제 자연수 에 하여 일 때 (5)가 참이라고 가정하자. 그러면

≥

이다. 양변에 를 곱하면

≥ (6)

인데

≥ (7)

이므로 (6)과 (7)을 결합하면 ≥ 를 얻는다. 즉 일 때

에도 (5)는 참이다. 따라서 수학적 귀납법에 의하여 임의의 자연수 에 하여 (5)는 참

이다. □

다음은 자연수 집합이 덧셈과 곱셈에 하여 닫혀 있음을 설명하는 정리이다.

1.4.4 정리 자연수 집합의 성질

덧셈과 곱셈은 자연수 집합 위에서의 이항연산이다.

함수 가 집합 위에서의 이항연산(binary operation)이라 함은 가 ×로부터 에로의 함

수임을 의미한다. 예를 들면 두 실수 와 의 덧셈은 를 에 응시키는 함수이다.

따라서 이 정리는, 임의의 두 자연수의 합은 자연수이며 임의의 두 자연수의 곱은 자연수라는

의미이다. 달리 말하면 자연수 집합은 덧셈과 곱셈에 하여 닫혀 있다는 뜻이다.

‘자연수 , 에 하여 이 자연수이다’라는 명제는 변수가 과 으로서 2개이므로 수

학적 귀납법을 두 변수에 동시에 적용할 수가 없다. 이러한 경우 하나의 변수가 임의로 주어져

있다고 가정하고 다른 변수에 하여 수학적 귀납법을 적용하여 증명한다.

정리 1.4.4의 증명 이 임의의 자연수라고 하자. 그리고 명제 을 ∈ℕ으로 정의하

자. 먼저 귀납적 집합의 정의에 의하여 ∈ℕ이므로 은 참이다. 이제 자연수

에 하여 가 참이라고 가정하자. 즉 ∈ℕ이라고 가정하자. 그러면 귀납적 집

합의 정의에 의하여 ∈ℕ이다. 이것은 이 참임을 의미하므로 수학


적 귀납법에 의하여 임의의 자연수 에 하여 은 참이다. 이 임의로 주어진 자

연수이므로 임의의 자연수 , 에 하여 은 참, 즉 ∈ℕ은 참이다. 요컨

두 자연수의 합은 자연수이다.

이제 두 자연수의 곱이 자연수임을 증명하자. 이 임의의 자연수라고 하자. 그리고 명제

을 ∈ℕ으로 정의하자. 먼저 ⋅ ∈ℕ이므로 은 참이다. 이제 자

연수 에 하여 가 참이라고 가정하자. 즉 ∈ℕ이라고 가정하자. 그러면

와 이 자연수이고 두 자연수의 합은 자연수이므로 ∈ℕ이다. 즉

이 참이다. 따라서 수학적 귀납법에 의하여 임의의 자연수 에 하여 은

참이다. 은 임의로 주어진 자연수이므로 임의의 자연수 , 에 하여 은 참, 즉

∈ℕ은 참이다. 요컨 두 자연수의 곱은 자연수이다. □

수학적 귀납법은 임의의 자연수 에 하여 이 참임을 증명할 때에 사용되지만, 정의역이

자연수 집합인 함수를 정의할 때에도 사용된다. 예를 들어 함수 가 두 조건

, (8)

을 만족시킨다고 하자. 이때 다음과 같이 에 부터 자연수를 순차적으로 입함으로써 임의의

자연수 에 하여 의 값을 구할 수 있다.

,

× ,

× ,

× ,

⋮

즉 는 임의의 자연수 에 하여 정의된 함수가 된다. 이때 함수 를

이라고 정의하고 상수 를 라고 하면 (8)은 다음과 같이 쓸 수 있다.

, (9)

1.4.5 정리 귀납 정리(finite recursion theorem)

가 집합이고 가 의 고정된 원소이며 가 에서 로의 함수라고 하자. 그러면 두 조건

(ⅰ)

(ⅱ) ∀∈ℕ 을 만족시키는 함수 ℕ → 가 유일하게 존재한다.

증명 Charles C. Pinter의 Set Theory 6장을 참조하라. □



귀납정리를 이용하여 (5)의 방법으로 함수 를 정의하는 것을 귀납적으로 정의한다고 말한다.

즉 함수 를 귀납적으로 정의한다는 것은 다음과 같은 두 가지 단계를 거치는 것이다.

(ⅰ) 의 값을 정의한다.

(ⅱ) 의 값이 정해졌다고 가정하고 이를 이용하여 의 값을 정의한다.

다음은 함수를 귀납적으로 정의하는 여러 예이다. 평소에 의식 없이 사용하던 기호를 논리적으

로 정의하였을 뿐 중등학교에서 배운 내용과 특별히 다른 점은 없다.

1.4.6 정의 자연수 지수

실수 와 자연수 에 하여 다음과 같이 정의한다.

(ⅰ) (ⅱ) ⋅

1.4.7 정의 계승(factorial)

자연수 에 하여 다음과 같이 정의한다.

(ⅰ) , (ⅱ) ⋅

1.4.8 정의 유한 합

함수 ℕ → ℝ와 자연수 에 하여 다음과 같이 정의한다.

(ⅰ)

(ⅱ)

특히 이 자연수이고 ≤ 일 때 다음과 같이 정의한다.

(ⅲ)

(ⅳ)

1.4.9 정의 유한 곱

함수 ℕ → ℝ와 자연수 에 하여 다음과 같이 정의한다.

(ⅰ)

(ⅱ)

⋅

특히 이 자연수이고 ≤ 일 때 다음과 같이 정의한다.

(ⅲ)

(ⅳ)

⋅

1.4.10 정의 이항계수(binomial coefficient)

임의의 자연수 과 이 아닌 정수 에 하여 다음과 같이 정의한다.

(ⅰ) C , C (ⅱ) C C C


귀납적으로 정의된 함수의 성질을 증명할 때에는 수학적 귀납법을 이용하는 경우가 많다.

1.4.11 정리 자연수 지수법칙

실수 , 와 임의의 자연수 , 에 하여 다음이 성립한다.

(ⅰ) (ⅱ) (ⅲ)

증명 (ⅰ) 자연수 이 임의로 주어졌다고 하자. 먼저 ⋅이므로 일 때

(ⅰ)의 등식이 성립한다. 자연수 에 하여 일 때 등식이 성립한다고 가정하자. 그

러면 이고 양변에 를 곱하면 이 성립한다. 즉

일 때에도 등식이 성립한다. 따라서 임의의 자연수 에 하여 등식이 성립한

다.

(ⅱ) 명백히 이므로 일 때 등식이 성립한다. 이제 자연수 에 하여

일 때 등식이 성립한다고 가정하자. 그러면 이다. 이 등식의 양변에

를 곱하면

⋅ ⋅

이고 곱셈의 교환법칙과 지수법칙 (ⅰ)을 이용하여 양변을 각각 계산하면

이 된다. 즉 일 때에도 등식이 성립한다. 따라서 임의의 자연수 에 하여 등

식이 성립한다.

(ⅲ) 자연수 이 임의로 주어졌다고 하자. 먼저 이므로 일 때 등식이

성립한다. 이제 자연수 에 하여 일 때 등식이 성립한다고 가정하자. 그러면

이다. 양변에 을 곱하면

⋅ ⋅

이고 지수법칙 (ⅰ)을 이용하여 양변을 각각 계산하면

이 된다. 즉 일 때에도 등식이 성립한다. 따라서 임의의 자연수 에 하여 등

식이 성립한다. □

1.4.12 정리 이항계수

≤ ≤ 인 임의의 두 정수 , 에 하여

C

이 성립한다.



정리 1.4.12의 증명 변수 에 수학적 귀납법을 사용하자. 인 경우와 인 경우 정리의

등식은 자명하게 성립한다.

이제 자연수 에 하여 일 때 ≤ ≤ 인 임의의 정수 에 하여

C

이 성립한다고 가정하자. 이항계수의 정의와 귀납적 가정에 의하여

C C C

이므로 정리의 등식은 일 때에도 성립한다. 따라서 수학적 귀납법에 의하여

≤ ≤ 인 정수 , 에 하여 정리의 등식이 성립한다. □

1.4.13 정리 이항 정리

이 아닌 실수 , 와 임의의 자연수 에 하여

C 이 성립한다.

정리 1.4.13의 등식의 우변을 전개하면

C C C ⋯ C 이다. 이것은 이거나 일 때에도 성립한다. 정리의 조건에서 와 가 이 아니라는

조건이 붙은 이유는 일 때 우변에 이 존재하며 일 때 우변에 이 존재하기 때문

이다. 따라서 실제로는 또는 가 일 때에도 이항정리를 이용하여 계산할 수 있다.

이 정리의 이름이 이항 정리인 것은 좌변의 괄호 안에 항이 2개이기 때문이다. 또한 앞서 정의

한 C 을 이항계수라고 부르는 것은 이항 정리의 전개식에서 각 항의 계수가 되기 때문이다.

정리 1.4.13의 증명 우선 인 경우 정리의 등식은 자명하게 성립한다. 이제 자연수 에

하여 일 때 정리의 등식이 성립한다고 가정하자. 즉

C 이 성립한다고 가정하자.


양변에 를 곱하면 좌변은 이 되며 우변은

우변

C

C

C

C

C

C

C

C C

C

C 이 된다. 즉 일 때에도 정리의 등식이 성립한다. 따라서 수학적 귀납법에 의하

여 임의의 자연수 에 하여 정리의 등식이 성립한다. □

1.4.14 정리 자연수 집합의 정렬성(well-orderedness)

자연수 집합 ℕ은 관계 ≤에 하여 정렬집합이다.

순서집합 ⟨ℕ ≤⟩이 정렬집합(well-ordered set)이라 함은 ℕ의 임의의 공집합이 아닌 부분집

합 가 최소원을 가진다는 것을 의미한다. 또한 실수 가 집합 의 최소원이라 함은 ∈이

고, 임의의 ∈에 하여 ≤ 를 만족시키는 것을 의미한다.

이 정리의 증명을 위해서는 다음 보조 정리가 필요하다.

1.4.15 보조정리 자연수 집합의 성질

(ⅰ) 임의의 자연수 에 하여 이거나 ∈ℕ이다.

(ⅱ) 자연수 , 에 하여 이면 은 자연수이다.

(ⅲ) 자연수 에 하여 인 자연수 은 존재하지 않는다.

증명 (ⅰ) 수학적 귀납법으로 증명하자. 일 때에는 이다.

이제 자연수 에 하여 일 때 정리의 명제가 참이라고 가정하자.

만약 이면 이다.

만약 ∈ℕ이면 ∈ℕ이다.

따라서 일 때에도 정리의 명제는 참이다.


29디자이너앨리스1.5 실수계의 상한 공리

(ⅱ) 변수 에 수학적 귀납법을 사용하자. 인 경우 인 자연수 에 하여

은 자연수이다. 이제 가 자연수이고 인 자연수 에 하여

가 자연수라고 하자. 그러면 은 자연수이고, 이 인 자연수일 때

도 자연수이다. 따라서 일 때에도 인 자연수

에 하여 정리의 명제는 참이다.

(ⅲ) 인 자연수 이 존재한다고 가정하자. 그러면 ∈ℕ이다. 또한

이므로 이다. 모든 자연수는 이상이므로 이것은 모순이다. □

정리 1.4.14의 증명 을 「∈이면 는 최소원을 가진다」라고 정의하자. 먼저 ∈이

면 이 의 최소원이므로 은 참이다. 이제 자연수 에 하여 가 참이라고 가

정하자. 그리고 ∈라고 하자. 그러면 ∪는 최소원 를 가진다. 만약 ∈라면 는 의 최소원이 된다. 만약 ∉라면 이므로 이 의 최소원이 된

다. 따라서 수학적 귀납법에 의하여 임의의 자연수 에 하여 은 참이다.

요컨 가 ℕ의 공집합이 아닌 부분집합이라고 하면 적당한 자연수 이 의 원소이며

은 참이므로 는 최소원을 갖게 된다. □

1.5 실수계의 상한 공리

우리는 중등학교에서 의 양의 제곱근 는 유리수가 아님을 배웠다. 사실 실수계에는 유리

수보다 훨씬 더 많은 무리수가 존재한다. 유리수 집합은 가산이지만 실수 집합은 비가산이기 때

문이다. 그러나 지금까지의 공리만으로는 무리수의 존재성을 보장할 수 없다. 따라서 무리수의

존재성을 보장하는 공리가 필요하다.

1.5.1 정의 유계, 상계, 하계, 상한, 하한

실수 집합의 부분집합 가 공집합이 아니라고 하자.

(ⅰ) 실수 가 존재하여 임의의 ∈에 하여 ≤ 를 만족시키면 는 아래로 유계라

고 말하며 를 의 하계(lower bound)라고 부른다.

(ⅱ) 실수 가 존재하여 임의의 ∈에 하여 ≤ 를 만족시키면 는 위로 유계라고

말하며 를 의 상계(upper bound)라고 부른다.

(ⅲ) 가 위로 유계이고 아래로 유계이면 는 유계(bounded)라고 말한다.

(ⅳ) 의 하계 중 가장 큰 것을 의 하한(infimum)이라고 부른다. 즉 가 의 하한이라는

것은 가 의 하계이고, 의 임의의 하계 ′에 하여 ′≤ 가 성립하는 것이다.

(ⅴ) 의 상계 중 가장 작은 것을 의 상한(supremum)이라고 부른다. 즉 가 의 상한이라

는 것은 가 의 상계이고, 의 임의의 상계 ′에 하여 ≤ ′이 성립하는 것이다.


보기 1.5.2 다음은 하계와 상계의 예이다.

(ⅰ) 구간 은 유계이다. 이하의 모든 실수가 하계이며 이상의 모든 실수가 상계이다.

하한은 이며 상한은 이다.

(ⅱ) 구간 ∞ 은 위로 유계이지만 아래로 유계가 아니다. 이상의 모든 실수가 상계이

며 하계는 존재하지 않는다. 상한은 이다.

(ⅲ) 구간 ∞는 아래로 유계이지만 위로 유계가 아니다. 이하의 모든 실수가 하계이며

상계는 존재하지 않는다. 하한은 이다.

(ⅳ) 집합 ∈ℕ은 유계이다. 이하의 모든 실수가 하계이며 이상의 모든 실수가

상계이다. 하한은 이며 상한은 이다.

(ⅴ) ℝ는 위로 유계가 아니며 아래로도 유계가 아니다.

1.5.3 공리 상한 공리 : 실수계의 완비성

실수 집합의 부분집합 가 공집합이 아니고 위로 유계이면 의 상한이 실수로서 존재한다.

상한 공리는 실수를 수직선 위에 점으로 나타냈을 때 빈틈이 없다는 것을 의미한다. 일반적인

거리공간에서 완비성의 정의는 코시 수열이 수렴하는 것이며, 실수계의 상한 공리는 이와 동치

인 명제이다. 이 때문에 상한 공리를 완비성 공리라고 부르기도 한다.

1.5.4 정리 하한의 조건

실수 집합의 부분집합 가 공집합이 아니라고 하자. 가 의 상한일 필요충분조건은

가 의 하한인 것이다.

증명 가 의 상한이라고 하자. 임의의 ∈ 에 하여 ∈이므로 ≤ 이다. 따

라서 ≤ 이므로 는 의 하계이다. 의 하계 가 주어졌다고 하면 는

의 상계가 되어 ≤ 이다. 즉 ≤ 이므로 는 의 하계 중에서 가장 큰

값이다. 따라서 는 의 하한이다.

역으로 가 의 하한이라고 하자. 임의의 ∈에 하여 ∈ 이므로

≤ 이고 ≤ 이다. 즉 는 의 상계이다. 의 상계 가 주어졌다고 하면

는 의 하계가 되어 ≤이다. 즉 ≤ 이므로 는 의 상계 중에서 가

장 작은 값이다. 따라서 는 의 상한이다. □

1.5.5 정리 하한의 존재성

실수 집합의 부분집합 가 공집합이 아니고 아래로 유계이면 의 하한이 존재한다.



정리 1.5.5의 증명 집합 는 공집합이 아니고 위로 유계이므로 의 상한 가 존재한다.

여기서 는 의 하한이 된다. □

1.5.6 정리 상한과 하한의 유일성

실수집합의 부분집합 가 공집합이 아니라고 하자.

(ⅰ) 가 위로 유계이면 의 상한은 유일하다.

(ⅱ) 가 아래로 유계이면 의 하한은 유일하다.

증명 (ⅰ) 와 가 의 상한이라고 하자. 가 상한이고 가 상계이므로 ≤ 이다. 그리고

가 상계이고 가 상한이므로 ≤ 이다. 따라서 이다.

(ⅱ) 와 가 의 하한이라고 하자. 가 하한이고 가 하계이므로 ≤ 이다. 그리고

가 하계이고 가 하한이므로 ≤ 이다. 따라서 이다. □

상한과 하한이 유일하므로 이제 그것을 기호로 나타내자. 가 의 상한이고 가 의 하한인

것을 다음과 같이 표기한다.

sup , in f집합 와 함수 → ℝ에 하여 ∈일 때 의 상한과 하한을 각각 다

음과 같이 나타내기도 한다.

sup sup sup∈

, in f in f in f∈

임의의 실수 에 하여 ∈∅ ⇒ ≤ 는 참인 명제이다. 즉 임의의 실수는 공집합의 상계

이다. 그런데 실수는 얼마든지 작은 것을 택할 수 있으므로 공집합의 상계는 얼마든지 작은 것

을 택할 수 있다. 따라서 공집합의 상한을 ∞로 정의한다. 마찬가지로 공집합의 하한을 ∞

로 정의한다.

1.5.7 정리 상한의 조건

실수 집합의 부분집합 가 공집합이 아니고 가 의 상계라고 하자. 이때 가 의 상한

일 필요충분조건은 임의의 양수 에 하여 ≤ 인 ∈가 존재하는 것이다.

증명 먼저 가 의 상한이라고 하자. 양수 에 하여 ≤ 인 ∈가 존재하지

않는다면 이 의 상계가 되어 모순이다. 따라서 그러한 ∈가 존재한다. 역으로

임의의 양수 에 하여 ≤ 인 ∈가 존재한다고 가정하자. 만약 이

면 ≤ 인 ∈가 존재하므로 는 의 상계가 아니다. 즉 보다 작은 실수는

의 상계가 될 수 없으므로 는 가장 작은 상계이다. □


다음 정리와 같이 상한의 성질은 항상 하한의 성질과 연관된다.

1.5.8 따름정리 하한의 조건

실수 집합의 부분집합 가 공집합이 아니고 가 의 하계라고 하자. 이때 가 의 하한

일 필요충분조건은 임의의 양수 에 하여 ≤ 인 ∈가 존재하는 것이다.

상한 공리를 이용하면 실수의 부분집합에 관한 여러 가지 성질을 증명할 수 있다.

1.5.9 정리 Archimedes

임의의 양수 , 에 하여 인 자연수 이 존재한다.

이 정리는 기하학적인 의미를 갖고 있다. 즉 길이가 인 선분 과 길이가 인 선분 가 있을

때, 가 아무리 길더라도 를 충분히 여러 개 붙여서 보다 길게 만들 수 있다.

다음 보조정리를 이용하여 위 정리를 증명하자.

1.5.10 보조정리 자연수 집합의 비유계성

자연수 집합은 위로 유계가 아니다.

증명 결론에 반하여 자연수 집합이 위로 유계라고 가정하자. 그러면 상한 공리에 의하여 자연

수 집합의 상한 가 존재한다. 이때 ≤ 인 자연수 이 존재한다. 여기서

인데 은 자연수이므로 이것은 가 자연수 집합의 상한이라는 데에 모순

이다. □

정리 1.5.9의 증명 자연수 집합은 위로 유계가 아니므로 인 자연수 이 존재한다. 이

부등식의 양변에 를 곱하면 를 얻는다. □

1.5.11 정리 유리수와 무리수의 조밀성

유리수 집합과 무리수 집합은 실수 집합 위에서 조 하다.

유리수 집합이 조밀하다(dense)는 것은 서로 다른 임의의 두 실수 사이에 반드시 유리수가 존재

한다는 뜻이다. 유리수의 조 성을 수직선에서 생각해보자. 인 두 실수 , 가 주어졌

다고 하자.



이때 원점으로부터 보다 더 좁은 균일한 간격으로 점을 표시해 간다면 그 중 한 점은 반드

시 와 사이에 놓이게 된다. 특히 그러한 점들 중에서 의 바로 왼쪽에 있는 점이 두 점 사

이에 있는 점이 된다.

정리 1.5.11의 증명 두 실수 , 에 하여 라고 하자.

유리수의 조 성을 증명하자. 먼저 인 경우를 증명하자. 가 양수이므로

인 자연수 이 존재한다. 즉

그리고

이다. 또한 ≤

인 자연수 가 존재한다. 자연수 집합은 정렬집합이므로 그러한 자연

수 중에서 가장 작은 값 이 존재한다. 그러면

≤

그리고

이다. 그런데

이므로

이라고 하면 는 를 만족시키는 유리수가 된다.

다음으로 ≤ 인 경우를 증명하자. 인 자연수 를 택하자. 그러면 앞의 논의

에 의하여 인 유리수 가 존재한다. 라고 하면 는

를 만족시키는 유리수가 된다.

끝으로 무리수의 조 성을 증명하자. 유리수의 조 성에 의하여

이고 이 아닌 유리수 가 존재한다. 무리수와 0 아닌 유리수의 곱은 무리수이므로

라고 하면 는 무리수이고 가 성립한다. □

유리수와 무리수의 조 성은 다음과 같이 표현할 수도 있다.

공집합이 아닌 개구간은 항상 유리수와 무리수를 포함한다.


1.6 지수의 확장

앞서 1.4절에서 자연수 지수를 정의하고 지수법칙을 증명하였다. 이제 지수가 정수, 유리수, 실

수인 거듭제곱을 정의하고 그 성질을 살펴보자.

1.6.1 정리 정수 지수

아닌 실수 와 자연수 에 하여 다음과 같이 정의한다.

(ⅰ) (ⅱ)

이로써 에서 이 양의 정수, , 음의 정수인 경우가 정의되었다.

보기 1.6.2 다음은 자연수 지수법칙을 이용하여 정수 지수를 계산하는 예이다.

(ⅰ) ⋅ ⋅

(ⅱ) ⋅ ⋅

⋅

⋅⋅ ⋅

(ⅲ) ⋅ ⋅

(ⅳ) ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

(ⅴ)

⋅ ⋅ ⋅

위의 예에서 보는 것과 같이 정수 지수의 계산 법칙은 자연수 지수의 계산 법칙과 비슷하다.

1.6.3 정리 정수 지수법칙

와 가 이 아닌 실수이고 과 이 정수일 때 다음이 성립한다.

(ⅰ) (ⅱ) (ⅲ)

증명 (ⅰ) 과 이 양의 정수인 경우는 이미 증명하였다. 또한 또는 인 경우는

자명하다. 이제 다음과 같은 경우로 나누어 증명한다.

1. 인 경우

1-1. 만약 이라면 이고 이므로

.


35디자이너앨리스1.6 지수의 확장

1-2. 만약 이라면 은 자연수이므로 1-1에 의하여

.

1-3. 만약 이라면 은 자연수이므로 1-1에 의하여

.

2. 인 경우의 증명은 1의 증명에서 과 을 서로 바꾼 것과 동일하다.

3. 과 이 모두 음의 정수인 경우 과 은 자연수이므로

이다. 따라서 어느 경우에나 이 성립한다.

(ⅱ) 이 양의 정수인 경우는 이미 증명하였으며 인 경우는 자명하다. 이 음의 정

수인 경우 이 자연수이므로

이다. 따라서 어느 경우에나 이 성립한다.

(ⅲ) 과 이 양의 정수인 경우는 이미 증명하였다.

1. 또는 인 경우

2. 이고 인 경우



따라서 어느 경우에나 이 성립한다. □

양수 가 의 제곱근이라 함은 가 성립하는 것을 의미한다. 예를 들면 의 제곱근은

이다. 그러나 아직 의 존재성을 증명하지 않았다. 더욱 일반적으로 임의의 실수 와

자연수 에 하여 를 만족시키는 양수 의 존재성을 증명하지 않았다. 유리수 지수의

정의를 위하여 이것을 증명한다.


1.6.4 정리 제곱근의 존재성

임의의 양수 와 자연수 에 하여 를 만족시키는 양수 가 유일하게 존재한다.

이 정리를 증명하기 위해 다음 보조정리가 필요하다.

1.6.5 보조정리 정리 1.6.4를 증명하기 위한 부등식

이고 ∈ℕ이면 이다.

증명 인수분해공식

⋯

과 부등식

⋯

을 결합하면 얻는다. □

정리 1.6.4의 증명* ∈ℝ 라고 하자.

라고 하면 이므로

이다. 즉 ∈이므로 는 공집합이 아니다. 라고 하면

이므로 이고 ∉이다. 즉 는 의 상계이고 는 위로 유계이다. 따라서

완비성 공리에 의하여 의 상한이 존재한다. sup라고 하자.

이제 임을 증명하자. 결론에 반하여 ≠라고 하자.

(ⅰ) 라고 가정하자. 그러면 실수의 조 성에 의하여 이면서

을 만족시키는 실수 가 존재한다. 보조정리에 , 를 입하면

이므로 이고 ∈이다. 그런데 이므로 이것은 가 의 상

한이라는 데에 모순이다.

(ⅱ) 라고 가정하자.

라고 하면 이다. 라고 하고 보조정리의 부등식에 , 를

입하면



이므로 이고 ∉이다. 이것은 가 의 상계임을 의미하고 가 의 상한

이라는 데에 모순이다.

끝으로 의 유일성을 증명하자. 가 를 만족시키는 양수라고 하자. 그리고 결론에

반하여 ≠ 라고 하자. 인 경우 가 되고 인 경우

가 되므로 라는 데에 모순이다. 따라서 를 만족시키는 양의 실수 는 유일

하다. □

1.6.6 따름정리 음수의 제곱근

음의 실수 와 홀수인 자연수 에 하여 를 만족시키는 실수 가 유일하게 존재

한다.

증명 는 양수이므로 인 양수 가 존재한다. 이때 라고 하면 는 정리의

조건을 만족시키는 실수이다. □

이제 유리수 지수를 순조롭게 정의할 수 있다.

1.6.7 정의 유리수 지수

유리수 지수를 다음과 같이 정의한다.

(ⅰ) 음이 아닌 실수 와 자연수 에 하여 을 만족시키는 음이 아닌 실수 를

의 제곱근이라고 부른다. 의 제곱근을

또는 로 표기한다.

(ⅱ) 음이 아닌 실수 와 자연수 , 에 하여

으로 정의한다.

(ⅲ) 음수 와 홀수 에 하여 을 만족시키는 실수 를 의 제곱근이라고 부른

다. 음수 의 제곱근을

또는 로 표기한다.

(ⅳ) 음수 와 홀수 , 자연수 에 하여


(ⅴ) 실수 와 양의 유리수 에 하여 로 정의한다.

위 정의에서 밑이 음수인 경우의 거듭제곱을 정의했지만 사실 밑이 음수인 경우에는 지수법칙이

성립하지 않을 때가 많으므로 보통은 밑이 양수인 경우만 다룬다.

밑이 양수인 경우 유리수 지수도 정수 지수와 같은 계산 법칙을 가지고 있으며 유리수 지수 법

칙의 증명은 부분 정수 지수 법칙을 이용한다.


1.6.8 정리 유리수 지수 법칙

양수 , 와 유리수 , 에 하여 다음이 성립한다.

(ⅰ) (ⅱ) (ⅲ)

증명 과 가 유리수이므로 정수 , , , 가 존재하여 , 이고

,

를 만족시킨다.

(ⅰ) 정수 지수 법칙에 의하여

이다. 이것은

와

가 모두 의 제곱근이라는 것을 의미한다.

제곱근은 유일하므로

가 성립한다.

(ⅱ) 정수 지수 법칙에 의하여

이다. 이것은

과

이 모두 의 제곱근이라는 것을 의미한다.


가 성립한다.

(ⅲ) 정수 지수 법칙에 의하여

이다. 이것은

와

가 모두 의 제곱근이라는 것을 의미한다.


가 성립한다. □



지금까지 자연수 지수를 확장하여 정수 지수와 유리수 지수를 정의하였다. 실수 지수는 유리수

지수와 집합의 상한을 이용하여 정의한다.

1.6.9 정의 실수 지수

가 양수이고 가 무리수라고 하자.

(ⅰ) ≥ 일 때 sup ≤ ∈ℚ 로 정의한다.

(ⅱ) 일 때 로 정의한다.

≥ 일 때 유리수 , 에 하여 ≤ 이면 ≤ 이므로 가 유리수일 때

sup ≤ ∈ℚ 이다. 즉 정의 1.6.9는 유리수 지수의 정의에 모순되지 않게 실수 지수로 확장한 것이다.

1.6.10 정리 실수 지수 법칙

양수 , 와 실수 , 에 하여 다음이 성립한다.

(ⅰ) (ⅱ) (ⅲ)

이 정리는 멱급수의 성질을 이용하면 간단하게 증명된다. 실수의 성질만을 이용하여 증명하는

것은 다소 복잡하며 여기서는 (ⅰ)의 증명만 살펴보자.

정리 1.6.10-(ⅰ)의 증명* 인 경우는 당연히 성립한다. 인 경우를 증명하자.

실수 에 하여

sup ≤ ∈ℚ 라고 정의하자. ∈ 라고 하면 의 정의에 의하여 ≤ 인 유리수 가

존재하여 이다.

유리수의 조 성에 의하여 유리수 , 가 존재하여 이고 ≤ , ≤ 이다.

여기서

≤

를 얻는다. 즉 는 의 상계이므로

sup ≤ 가 성립한다. 이제 부등호가 반 로 성립함을 증명하자. 양수 이 임의로 주어졌다고 하

자. sup , sup 이므로 양수


에 하여 두 조건

≤ ≤

그리고

≤ ≤

를 만족시키는 유리수 , 가 존재한다. 여기서

≤ ≤

를 얻는다. ≤ 이므로 ≤ 가 성립한다. 즉

≤ ≤

이다. 이 임의의 양수이므로

≤

가 성립한다.

끝으로 인 경우에는 이므로 실수 지수의 정의와 앞의 논의의 결과에

의하여


참고 형식불역의 원리

우리는 지금까지 자연수 지수법칙을 이용하여 지수를 정수로 확장하고, 정수 지수법칙을 이

용하여 지수를 유리수로 확장하였으며, 유리수의 조 성을 이용하여 지수를 실수로 확장하

였다. 이렇게 기존의 체계에서 안정된 성질이 유지되도록 체계를 확장하는 것을 형식 불역

의 원리라고 부른다. 형식 불역의 원리는 주로 수 구조의 확장에서 사용되기 때문에 프로

이덴탈(Freudenthal)은 이를 ‘ 수적 원리’라고도 불렀다.

1.7 집합의 크기

유한 집합의 크기를 비교할 때에는 원소의 개수를 세어서 비교하면 된다. 그러나 무한집합의 경

우에는 원소의 개수를 끝까지 셀 수 없기 때문에 이러한 방법으로 크기를 비교할 수 없다. 이

절에서는 유한집합과 무한집합을 논리적으로 정의하고 여러 가지 무한 집합의 크기를 비교해 보

자.


41디자이너앨리스1.7 집합의 크기

1.7.1 정의 음이 아닌 정수 집합과 그 절편

이 자연수일 때, 집합 와 절편 을

ℕ∪, ∈ 으로 정의한다.

1.7.2 정의 집합의 대등

두 집합 와 에 하여 일 일 응 → 가 존재할 때 와 는 대등하다

(equipotent)고 말하며 ≈ 로 나타낸다. 특히 ∅≈∅으로 정의한다. 가 에서 로

의 일 일 응인 것을 ≈ 로 나타낸다.

집합의 등 관계인 ≈는 임의의 집합족 위에서의 동치관계가 된다.

1.7.3 정의 집합의 크기의 순서 관계

두 집합 와 에 하여 단사 함수 → 가 존재할 때 ≼로 나타낸다. 또한

≼이고 ≉인 것을 ≺ 로 나타낸다.

칸토어-슈뢰더-베른슈타인(Cantor-Schröder-Bernstein) 정리에 의하면 ≼이고 ≼일 때

≈가 성립한다. 임의의 집합 에 하여 ≼이며, ≼ ∧ ≼일 때 ≼가

성립한다. 따라서 관계 ≼는 임의의 집합족 위에서 순서관계가 된다.

1.7.4 정의 유한집합과 무한집합

집합 에 하여 적당한 자연수 이 존재하여 가 과 등하면 를 유한집합이라고

부른다. 그리고 유한집합이 아닌 집합을 무한집합이라고 부른다.

집합 의 원소 중에서 보다 작은 것들만 모은 집합을 의 절편(segment)이라고 부르며

으로 표기한다. 순서집합에 관련된 정리에 의하면 임의의 정렬집합은 그 절편과 순서동형이 아

니다. 임의의 자연수 에 하여 은 의 절편이므로 ≉이다. 따라서 는 무한집합이

다. ≈ℕ이므로 자연수 집합은 무한집합이고 ℕ≼ℤ≼ℚ≼ℝ이므로 정수 집합, 유리수 집

합, 실수 집합은 모두 무한집합이다.

무한집합은 항상 자기 자신과 등한 진부분집합을 가진다. 이러한 성질 때문에 칸토어가 무한

집합론을 처음 소개했을 때 수학자들은 그것을 쉽게 받아들이지 못했다. 그러나 무한 집합의 이

러한 성질은 오늘날 무한을 산술화하는 데에 매우 중요한 역할을 하는 성질이 되었다.


1.7.5 정의 가부번, 가산, 비가산

와 등한 집합을 가부번 집합이라고 부른다. 가부번 집합과 유한 집합을 통틀어 가산 집

합(countable set)이라고 부른다. 가산이 아닌 집합을 비가산 집합이라고 부른다.

1.7.6 정리 Cantor

임의의 집합 와 그 멱집합 ℘ 에 하여 ≺ ℘ 이다.

증명 결론에 반하여 ≈℘ 라고 가정하자. 그러면 일 일 응 → ℘ 가 존재

한다. ∈ ∉ 라고 하면 ⊆ 이다. 따라서 인 ∈가 존

재한다. ∈ 라고 가정하면 ∉이므로 ∉ 가 되어 모순이다. ∉ 이

라고 가정하면 ∈이므로 ∈ 가 되어 모순이다. 어느 경우에나 모순이므로 일

일 응 →℘ 는 존재하지 않는다. 따라서 ≉℘ 이다. □

보기 1.7.7 다음은 일반적으로 사용하는 집합의 크기이다.

(ⅰ) 자연수 집합, 정수 집합, 유리수 집합은 가부번 집합이다.

(ⅱ) 실수 집합은 유리수 집합의 멱집합과 등하다. 따라서 실수 집합은 비가산 집합이다.

(ⅲ) 유한 집합의 멱집합은 유한 집합이며 무한 집합의 멱집합은 무한 집합이다.

참고 ℝ≈℘ℚ의 증명

함수 ℝ → ℘ ℚ 를 ∈ℚ 라고 정의하자. 그러면 는 단사이므로

ℝ≼℘ ℚ 이다. 다음으로 함수 ℕ → ℝ을 임의의 ∈ ℕ에 하여

∞

으로 정의하면 는 단사이므로 ℝ≽℘ ℚ 이다. 따라서 칸토어-

슈뢰더-베른슈타인 정리에 의하여 ℝ≈℘ ℚ 이다.

1.7.8 정리 무한집합의 성질

집합 가 무한집합일 때 다음이 성립한다.

(ⅰ) 단사 함수 ℕ →가 존재한다. 이것은 임의의 무한집합이 가부번인 부분집합을 가

진다는 의미이며, 가부번집합이 가장 작은 무한집합임을 의미하기도 한다.

(ⅱ) 가 의 유한부분집합이면 ≈ ∖이다. 즉 임의의 무한집합은 자기 자신과

등한 진부분집합을 가진다.

(ⅲ) ⊆ 이면 도 무한집합이다. 즉 가부번인 부분집합을 갖는 집합은 무한집합이 되므

로 (ⅰ)의 역이 성립한다.

(ⅳ) 가 가부번이고 ⊆ 이면 는 가부번이거나 유한이다.


43디자이너앨리스1.7 집합의 크기

1.7.9 정리 유한집합과 무한집합의 성질

다음은 유한집합과 무한집합의 연산에 관련된 성질이다.

(ⅰ) 와 가 유한 집합이면 ×도 유한 집합이다.

(ⅱ) 와 가 가산 집합이면 ×도 가산 집합이다.

(ⅲ) ∈ℕ의 모든 원소 가 가산 집합이면 ∈ℕ도 가산 집합이다.

(ⅳ) 가 유한 집합이면 ℘ 도 유한 집합이다.

(ⅴ) 정의역이 이고 공역이 인 모든 함수들의 집합을 로 나타낸다. 이때 집합

와 ℘ 는 등하다.

실수 집합의 멱집합은 실수 집합보다 크다. 즉 ℝ≺℘ ℝ 이다. 이러한 과정을 반복하여 얼

마든지 많은 종류의 무한집합을 얻어낼 수 있다. 즉

℘ ℘ , ℘ ℘ ℘

라고 했을 때

ℕ≺ℝ≺℘ ℝ ≺℘ ℝ ≺℘ ℝ ≺℘ ℝ ≺⋯이 된다.

유한 집합은 원소의 크기를 자연수로 나타낼 수 있다. 반면에 무한 집합은 가산인 경우와 비가

산인 경우로만 분류하고 있다. 무한 집합도 유한 집합과 마찬가지로 크기를 나타내는 방법이 있

으면 편리할 것이다. 집합론의 공리 중에는 무한 집합의 크기를 나타내기 위한 기수 공리가 있

다.

1.7.10 공리 집합의 기수(cardinal number)

다음 두 조건을 모두 만족시키는 기수 클래스 가 존재한다.

(K1) 임의의 집합 에 하여 ≈ 인 ∈가 존재한다.

(K2) 집합 와 ∈에 하여 ≈ 이고 ≈ 이면 이다.

집합 의 기수를 나 또는 card로 나타낸다. 공집합의 기수는 ∅으로 정의하

며 공집합이 아닌 유한집합의 기수는 으로 정의한다. 이로써 모든 유한집합의 기수는

우리가 일반적으로 사용하는 원소의 개수와 동일한 의미를 갖게 되었다.

자주 사용하는 무한집합의 기수는 다음과 같이 나타낸다.

ℵ ℕ , ℝ여기서 ℵ은 ‘알레프 널’ 또는 ‘알레프 제로’라고 읽으며 는 ‘체’라고 읽는다. 또한 ℵ

일 때 ℵ ℘로 정의한다.


이제 다음과 같은 집합들의 크기를 기호로 나타낼 수 있다.

• 유한 집합 : ∅ , ⋯

• 가부번 집합 : ℕ , ℤ , ℚ• 실수 집합 : ℝ• 가부번 집합에 멱집합을 거듭 취하여 얻어진 집합

즉 일반적인 방법으로 만들어지는 부분이 집합의 크기를 기호로 나타낼 수 있다. 여기서 한

가지 의문이 생긴다. 자연수 집합보다 크고 실수 집합보다 작은 집합은 존재하는가? 더욱 일반

적으로

무한집합 에 하여 ≺ ≺ 인 집합 가 존재하는가

라는 의문이 생긴다. 20세기 초 많은 수학자들은 위의 조건을 만족시키는 집합 가 존재하지

않을 것이라고 추측하였는데 이러한 추측을 연속체 가설(Continuum Hypothesis)이라고 부른다.

1938년 쿠르트 괴델(Kurt Gödel)은 연속체 가설이 집합론의 공리에 모순이 되지 않는다는 것을

증명하였으며, 1963년 폴 코헨(Paul Cohen)은 연속체 가설이 집합론의 공리와 독립적임을 증명

하였다. 즉 연속체 가설을 참으로 받아들이거나 또는 그것을 부정하여도 전혀 모순이 발생하지

않는다.

1.8 개집합과 폐집합

다음은 개구간 와 폐구간 를 수직선 위에 나타낸 것이다.

두 점 와 는 집합 의 경계점이며, 점 와 는 집합 의 경계점이다. 개구간은 양 끝점을

포함하지 않으며 폐구간은 양 끝점을 포함한다. 즉 은 경계점을 포함하지 않으며 는 경계점

을 포함한다. 따라서 ∈일 때 는 의 경계점이 아니므로 내부의 점이 된다.

점 가 의 내부에 있다는 것은 의 경계로부터 어느 정도 거리를 두고 있다는 뜻이므로

가 안에서 좌우로 조금은 움직일 수 있는 여유를 가지고 있다는 것을 의미한다.

따라서 ∈일 때 를 포함하면서 에 포함되는 작은 개구간을 생각할 수 있다.


45디자이너앨리스1.8 개집합과 폐집합

1.8.1 정의 내점, 내부(interior), 개집합(open set)

집합 가 실수 집합의 부분집합이고 ∈라고 하자. 만약 개구간 가 존재하여

∈⊆ 를 만족시키면 를 의 내점이라고 부른다. 의 내점들의 모임을 의 내부라

고 부르며 int 또는 ◦로 표기한다. 또한 의 모든 원소가 의 내점이면 를 개집

합 또는 열린 집합이라고 부른다.

하나의 실수는 수직선 위에서 하나의 점으로 표현된다. 따라서 가 실수 집합의 부분집합일 때

가 의 점이라는 것은 가 의 원소임을 의미하는 것으로 약속한다. 그리고 점 라는 표현

은 가 실수임을 의미하는 것으로 약속한다.

1.8.2 정의 개구체(open ball), 폐구체(closed ball)

실수 와 양수 에 하여 다음과 같이 정의한다.

(ⅰ) 중심이 이고 반지름이 인 개구체 : ∈ℝ (ⅱ) 중심이 이고 반지름이 인 폐구체 : ∈ℝ ≤

개구체를 이용하여 정의 1.8.1을 표현하면 다음과 같다.

점 가 집합 의 내점일 필요충분조건은 ⊆ 인 양수 가 존재하는 것이다.

직관적으로 개집합이란 경계에 있는 점을 포함하지 않는 집합을 의미한다. 이제 경계에 있는 점

을 모두 포함하는 집합을 생각해보자.

실수 집합의 부분집합 가 경계점을 모두 포함한다고 생각해보자. 그러면 와 는 모두 동일

한 경계를 가진다. 따라서 는 경계점을 전혀 포함하지 않는 집합이 된다. 그런데 경계점을 포

함하지 않는 집합은 개집합이다. 따라서 는 개집합이 된다. 이제 폐집합을 다음과 같이 자연

스럽게 정의할 수 있다.

1.8.3 정의 폐집합(closed set)

실수 집합의 부분집합 가 폐집합이라 함은 ℝ∖가 개집합인 것을 의미한다. 폐집

합을 닫힌 집합이라고 부르기도 한다.


내점을 정의한 것과 비슷한 방법으로 경계점과 외점을 정의할 수 있다. 구간 는 두 개의 경계

점 와 를 가지고 있다. 이 두 점은 의 경계점이기도 하다. 는 와

의 사이에 있기 때

문에 에서 아주 조금이라도 오른쪽에 있는 점은 에 속하게 되고 에서 아주 조금이라도 왼

쪽에 있는 점은 에 속하게 된다.

이것은 를 중심으로 하는 개구체 의 반지름이 아무리 작아도 는 의 원소를

포함하며 동시에 의 원소도 포함하게 된다는 것을 의미한다.

1.8.4 정의 경계(boundary)

가 실수 집합의 부분집합이고 가 실수라고 하자. 임의의 양수 에 하여

∩≠∅이고 ∩ ≠∅이면 를 의 경계점이라고 부른다. 집합

의 경계점들의 모임을 의 경계라고 부르며 bd 또는 로 표기한다.

실수 가 집합 의 바깥에 있고 의 경계점이 아니라고 하자. 그러면 는 의 내점이 된

다. 따라서 집합의 외점을 다음과 같이 정의한다.

1.8.5 정의 외점, 외부(exterior)

가 실수 집합의 부분집합이고 가 실수라고 하자. 가 의 외점이라 함은 가 의

내점인 것을 의미한다. 집합 의 외점들의 모임을 의 외부라고 부르며 ext로 표기한다.

실수계에서 개집합과 폐집합, 외점, 내점, 경계점과 같이 집합의 기하학적 성질을 논의할 때에는

편의상 전체 공간을 ℝ로 생각하기로 한다. 즉 실수 집합의 부분집합 에 하여 그 여집합은

ℝ∖인 것으로 생각한다. 개집합은 독일어 Gebiet의 첫 글자를 따라서 로 표기하는

경우가 많다. 폐집합은 프랑스어 fermé의 첫 글자를 따라서 로 표기하는 경우가 많다.

보기 1.8.6 다음은 실수계 위에서 개집합과 폐집합에 관련된 여러 가지 예이다.

(ⅰ) 개구간은 개집합이며 폐구간은 폐집합이다.

(ⅱ) 두 개집합의 합집합과 교집합은 개집합이다.

(ⅲ) 두 폐집합의 합집합과 교집합은 폐집합이다.

(ⅳ) 한점 집합 는 폐집합이다. 의 경계는 이며 내부는 공집합이다.

(ⅴ) 공집합 ∅은 개집합인 동시에 폐집합이다. 공집합의 경계는 공집합이다.



(ⅵ) 실수 집합 ℝ는 개집합인 동시에 폐집합이다. ℝ의 경계는 공집합이다.

(ⅶ) 반개구간 은 개집합도 아니고 폐집합도 아니다. 경계는 이다.

(ⅷ) 집합 ∈ℕ은 개집합도 아니고 폐집합도 아니다. 경계는 ∪이다.

(ⅸ) 정수 집합 ℤ는 폐집합이다. ℤ의 경계는 ℤ이다.

(ⅹ) 유리수 집합 ℚ는 개집합도 아니고 폐집합도 아니다. ℚ의 경계는 ℝ이다.

종종 「개집합의 여집합이 폐집합이다」라는 말을 혼동하여 「개집합들의 모임의 여집합은 폐집

합들의 모임이다」고 생각하여 개집합은 폐집합이 될 수 없다고 생각하는 경우가 있다. 그러나

∅이나 ℝ과 같이 개집합인 동시에 폐집합인 집합이 존재하고, 또한 개집합도 아니고 폐집합도

아닌 집합이 존재하므로 그러한 판단은 옳지 않다.

더욱 논리적으로 말하면 실수계에서 개집합들의 모임을 , 폐집합들의 모임을 라고 했을 때

개집합의 정의에 의하여 「∈일 필요충분조건은 ∈」이지만 이것을 인 것으로

혼동하지 말아야 한다는 것이다.

다음은 예제 1.8.6의 (ⅱ)를 일반화한 정리이다.

1.8.7 정리 개집합의 합집합과 교집합

실수계에서 개집합들의 모임을 라고 하자.

(ⅰ) 의 임의의 부분집합 ∈ 에 하여 ∈는 개집합이다.

(ⅱ) 의 유한 부분집합 ∈에 하여 ∈는 개집합이다.

정리를 증명하기 전에 최댓값과 최솟값의 개념을 도입한다.

1.8.8 정의 최댓값과 최솟값

가 실수 집합의 부분집합이고 공집합이 아니라고 하자.

(ⅰ) sup 이고 ∈일 때 를 의 최댓값이라고 부르며 max로 표기한다.

(ⅱ) in f 이고 ∈일 때 를 의 최솟값이라고 부르며 min 로 표기한다.

보기 1.8.9 다음은 최댓값과 최솟값의 예이다.

(ⅰ) 폐구간 의 최댓값은 이고 최솟값은 이다.

(ⅱ) 반개구간 의 최댓값은 이고 최솟값은 존재하지 않는다.

(ⅲ) ℕ의 최댓값은 존재하지 않으며 최솟값은 이다.

(ⅳ) 집합 ∈ℕ의 최댓값은 이며 최솟값은 존재하지 않는다.

(ⅴ) 집합 의 최댓값은 이며 최솟값은 이다.


1.8.10 정리 유한집합의 최댓값과 최솟값

실수 집합의 부분집합 가 공집합이 아니고 유한집합이면 는 최댓값과 최솟값을 가진다.

증명 수학적 귀납법으로 증명하자. 명백히 한 개의 원소만을 갖는 집합 에 하여 는

의 최댓값인 동시에 최솟값이 된다.

자연수 에 하여 개의 원소를 갖는 임의의 집합이 최댓값과 최솟값을 가진다고 가정

하자. 이라고 하자. 는 공집합이 아니므로 의 원소 가 존재한다.

∖ 이므로 ∖는 최댓값 와 최솟값 를 가진다. 만약 ≥ 이면

가 의 최댓값이 되며 이면 가 의 최댓값이 된다. 마찬가지로 만약 ≤ 이

면 가 의 최솟값이 되며 이면 가 의 최솟값이 된다. 즉 개의 원소를

갖는 집합은 최댓값과 최솟값을 가진다. □

정리 1.8.7의 증명 (ⅰ) ∅인 경우 는 개집합이다. 이제 ≠∅이고 ∈라고 하자.

그러면 적당한 ∈가 존재하여 ∈이다. 은 개집합이므로 적당한 양수 가 존

재하여 ⊆ ⊆ 이다. 따라서 는 의 내점이다. 는 에서 임의로 택한

점이므로 의 모든 점은 의 내점이다. 따라서 는 개집합이다.

(ⅱ) ∅인 경우 는 개집합이다. 이제 ≠∅이고 ∈라고 하자. 그러면 임의

의 ∈에 하여 ∈이므로 양수 가 존재하여 ⊆ 이다. 가 유한집

합이므로 최솟값 min ∈가 존재한다. 은 양수이고 임의의 ∈에 하여

⊆ ⊆ 를 만족시키므로 ⊆ ∩ 가 성립한다. 따라서

는 의 내점이다. 는 에서 임의로 택한 점이므로 의 모든 점은 의 내점이다.

따라서 는 개집합이다. □

무한히 많은 개집합의 교집합은 개집합이 아닐 수도 있다. 예를 들면 임의의 자연수 에 하여

개구간 은 개집합이지만

∈ℕ 은 개집합이 아니다.

1.8.11 따름정리 폐집합의 합집합과 교집합

실수계에서 폐집합들의 모임을 라고 하자.

(ⅰ) 의 유한 부분집합 ∈ 에 하여 ∈는 폐집합이다.

(ⅱ) 의 임의의 부분집합 ∈에 하여 ∈는 폐집합이다.



정리 1.8.11의 증명 (ⅰ) 각 ∈에 하여 는 개집합이고 가 유한집합이므로

∈는 개집

합이다. 그리고 드 모르간의 법칙에 의하여

∈

∈

이므로 정리 1.8.7의 (ⅱ)에 의하여 는 개집합이다. 따라서 는 폐집합이다.

(ⅱ) 각 ∈에 하여 는 개집합이므로

∈는 개집합이다. 그리고 드 모르간의 법

칙에 의하여

∈

∈

이므로 정리 1.8.7의 (ⅰ)에 의하여 는 개집합이다. 따라서 는 폐집합이다. □

무한히 많은 폐집합의 합집합은 폐집합이 아닐 수도 있다. 예를 들면 임의의 자연수 에 하여

은 폐집합이지만

∈ℕ 는 폐집합이 아니다.

집합 와 의 멱집합의 부분집합 에 하여 가 위에서의 위상(topology)이라 함은

다음 세 조건을 만족시키는 것이다.

• ∅∈이고 ∈이다.

• 의 임의 개수의 원소를 합집합하면 의 원소가 된다.

• 의 유한 개의 원소를 교집합하면 의 원소가 된다.

놀랍게도 이 세 조건만으로도 수열과 함수의 극한, 연속성 등 여러 가지 개념을 정의하고 그 성

질을 증명할 수 있다.

실수계에서 개집합들의 모임을 라고 하면 는 ℝ 위에서의 위상이 된다. 미적분학에서는

과 의 논법으로 극한의 성질을 증명한다. 현 해석학에서는 그러한 방법뿐만 아니

라 개집합을 이용하여 극한의 성질을 증명한다.

개집합을 이용하여 극한의 성질을 밝히는 방법을 위상적 접근 방법이라고 부른다. 개집합과 위

상은 ℝ에서뿐만 아니라 유클리드 벡터공간이나 복소수 집합, 일반적인 거리 공간에서도 정의

된다. 따라서 위상적 접근 방법으로 밝혀낸 여러 가지 성질은 실수계가 아닌 더욱 복잡한 체계

에도 쉽게 적용할 수 있다.


1.9 집합을 이용한 실수의 구성*

이 절에서는 집합을 이용하여 자연수를 정의하고 이를 확장하여 실수를 구성하는 방법을 소개한

다. 해석학에서 사용하는 수의 성질 중 가장 중요한 것이 완비성이므로 실수를 구성하는 과정에

비중을 두어 설명한다.

1.9.1 자연수의 구성 집합을 이용한 자연수의 구성 과정은 다음과 같다.

(ⅰ) ∅ , ∅으로 정의한다.

(ⅱ) 집합 의 후자를 ∪ 로 정의한다.

(ⅲ) ∅∈와 ∈ ⇒ ∈가 성립할 때 집합 를 귀납적이라고 부른다.

(ⅳ) 모든 귀납적 집합의 교집합을 로 표기한다.

(ⅴ) 자연수 집합을 ℕ ∖으로 정의한다.

(ⅵ) 덧셈을 ∈에 하여 , 로 정의한다.

(ⅶ) 곱셈을 ∈에 하여 , 으로 정의한다.

(ⅷ) 순서를 ∈에 하여 ≤ 을 ∈ ∨ 인 것으로 정의한다.

위 정의에 의해 자연수는 다음과 같은 집합이 된다.

∅,

∅ ∅,

∅ ∅ ∅ ∅,

∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅,

⋮

그리고 덧셈과 곱셈은 에 관하여 귀납적으로 정의되었다.

자연수계에서 등호는 집합의 등호와 동일한 의미이다. 즉 이라는 것은 ⊆ 이고

⊆ 인 것을 의미한다.

이렇게 구성된 자연수계 ⟨ℕ ⋅ ≤⟩는 우리가 원하는 성질을 모두 갖는 집합이 된다. 이

탈리아의 수학자 페아노(Peano)는 다섯 개의 공리를 이용하여 자연수를 정의하였는데, 위와 같은

정의에 의해 구성된 집합 ℕ은 페아노의 공리의 다섯 가지 조건을 모두 만족시킨다.

(ⅰ) ∈ℕ이다.

(ⅱ) 임의의 ∈ℕ에 하여 ∈ℕ이다.

(ⅲ) 임의의 ∈ℕ에 하여 ≠ 이다.

(ⅳ) ℕ의 부분집합 에 하여 ∈이고 ∈ ⇒ ∈이면 ℕ이다.

(ⅴ) ∈ℕ이고 이면 이다.


51디자이너앨리스1.9 집합을 이용한 실수의 구성

다음으로 자연수를 이용하여 정수를 정의한다.

1.9.2 정수의 구성 자연수를 확장하여 다음과 같이 정수를 구성한다.

(ⅰ) ℕ×ℕ으로 정의한다.

(ⅱ) 에서의 관계 를 다음과 같이 정의한다.

′ ′ ⇔ ′ ′이때 는 위에서 동치관계가 된다.

(ⅲ) 정수 집합을 상집합 ℤ 으로 정의한다.

(ⅳ) 덧셈을 ′ ′ ′ ′으로 정의한다.

(ⅴ) 곱셈을 ′ ′ ′′ ′′으로 정의한다.

(ⅵ) 순서를 ≤ ′ ′ ⇔ ′≤′으로 정의한다.

자연수 , 에 하여 정수 는

인 것으로 생각하면 된다. 예를 들어

⋯ ,

⋯ ,

⋯

이다. 이로써 자연수를 이용하여 과 음의 정수까지 모두 정의하였다.

양의 정수 에 하여 이므로 인 자연수 가 유일하게 존재한다. 이

때의 응 ↔ 에 의하여 자연수계는 정수계의 부분이 된다.

다음으로 정수를 이용하여 유리수를 정의한다.

1.9.3 유리수의 구성 정수를 확장하여 다음과 같이 유리수를 구성한다.

(ⅰ) ℤ×ℤ∖으로 정의한다.

(ⅱ) 에서의 관계 를 다음과 같이 정의한다.

′ ′ ⇔ ′ ′ 이때 는 위에서 동치관계가 된다.

(ⅲ) 유리수 집합을 상집합 ℚ 으로 정의한다.

(ⅳ) 덧셈을 ′ ′ ′ ′ ′으로 정의한다.

(ⅴ) 곱셈을 ′ ′ ′ ′으로 정의한다.

(ⅵ) 순서를 ≤ ′ ′ ⇔ ′sgn′≤ ′ sgn로 정의한다.


정수 , 에 하여 유리수 는

인 것으로 생각하면 된다. 예를 들어

⋯ ,

⋯ ,

⋯ ,

⋯

이다. 이로써 두 정수의 비로 표현되는 수를 모두 정의하였다.

이렇게 정의된 유리수계 ⟨ℚ ⋅ ≤⟩는 체 공리 1.1.1과 순서 공리 1.2.1를 만족시키는

체계가 된다.

유리수 에 하여 인 정수 가 존재할 때의 응 ↔ 에 의하여 정수

계는 유리수계의 부분이 된다.

끝으로 유리수를 이용하여 실수를 정의하자. 실수 에 하여

∈ℚ , ∈ℚ ≤ 라고 하자. 그러면 임의의 실수 에 하여 와 는 유일하게 결정된다. 이때 두 집합의 쌍

를 데데킨트의 절단이라고 부른다. ≠ 일 때 ≠ , ≠이므로 실수 에

절단 는 하나씩 응된다. 따라서 절단의 모임에 적절한 방법으로 덧셈, 곱셈, 순서관

계를 정의하여 실수계를 구성할 수 있을 것이다. 그런데 ℚ∖이므로 에 의하여

는 완전히 결정된다. 따라서 쌍 의 집합이 아닌 의 집합을 이용하여 실수계를 구성

할 수 있다.

1.9.4 실수의 구성 유리수를 확장하여 다음과 같이 실수를 구성한다.

단계 1 유리수 집합의 부분집합 가 절단이라 함은 다음 세 조건을 만족시키는 것이다.

(Ⅰ) 는 공집합이 아니고 ≠ℚ이다.

(Ⅱ) ∈ , ∈ℚ이고 이면 ∈이다.

(Ⅲ) ∈이면 ∈가 존재하여 이다.

이제 , , , ⋯는 유리수를 나타내고 , , , ⋯는 절단을 나타내는 것으로 약속하자. 그

리고 모든 절단들의 모임을 ℝ이라고 하자. 조건 (Ⅲ)은 에 최 원소가 존재하지 않는 것을

의미한다. 또한 조건 (Ⅱ)에 의하여 다음이 성립한다.

• ∈이고 ∉이면 이다.

• ∉이고 이면 ∉이다.



단계 2 부등호 를 ⇔ ⊊로 정의한다. 명백히 임의의 , 에 하여

, ,

중 하나가 유일하게 성립한다.

단계 3 집합 ℝ는 상한 공리를 만족시킨다. 가 ℝ의 공집합이 아닌 부분집합이고 위로 유

계이며 가 의 상계라고 하자.

∈

라고 했을 때 가 의 상한이 됨을 증명하자. 가 공집합이 아니므로 ∈가 존재한다.

이 공집합이 아니고 ⊆ 이므로 는 공집합이 아니다. ⊆ 이므로 ≠ℚ이다. 따라서

는 (Ⅰ)을 만족시킨다. ∈라고 하자. 그러면 ∈인 ∈가 존재한다. 만약 이면

∈이므로 ∈이다. 따라서 는 (Ⅱ)를 만족시킨다. 만약 ∈이고 이면 ∈이므로 는 (Ⅲ)을 만족시킨다. 따라서 ∈ℝ이다.

임의의 ∈에 하여 ≤ 임은 자명하다.

라고 가정하자. 그러면 ∈이고 ∉ 인 가 존재한다. ∈이므로 ∈인 적당한

∈가 존재한다. 따라서 이고 는 의 상계가 아니다.

이로써 는 의 최소 상계이므로 sup이다.

단계 4 ∈ ∧ ∈라고 정의하자. 모든 음의 유리수의 집합을 로

표기한다.

가 절단임을 보이자. 명백히 는 공집합이 아니고 ℚ의 부분집합이다. ′∉ ,

′∉라고 하자. 그러면 임의의 ∈와 ∈에 하여 ′ ′ 이다. 따라서

′ ′∉이다. 즉 는 (Ⅰ)을 만족시킨다. ∈ 라고 하면 ∈와 ∈가 존

재하여 이다. 따라서 는 (Ⅱ)를 만족시킨다. 인 ∈를 택하면

이고 ∈ 이다. 따라서 는 (Ⅲ)을 만족시킨다. 이로써 는 잘 정의된 이항연산

이다.

(A1), (A2)가 성립함은 유리수의 성질에 의하여 자명하다.

(A3) 이 덧셈에 한 항등원임을 보이자. ∈이고 ∈이면 이므로 ∈이다. 따라서 ⊆ 이다. 포함관계가 반 로 성립함을 보이기 위하여 ∈를 택하고

인 ∈를 택하자. 그러면 ∈이고 ∈ 이므로 ⊆


(A4) ∈ℝ이라고 하자. 그리고 적당한 에 하여 ∉를 만족시키는 유리수

들의 모임을 라고 하자.

먼저 ∈ℝ임을 보이자. ∉이고 이면 ∉이므로 ∈이다. 따라서


는 공집합이 아니다. ∈이면 ∉이므로 ≠ℚ이다. 따라서 는 (Ⅰ)을 만족시킨다.

∈이고 이며 ∉라고 하자. 만약 이면 이므로

∉이다. 따라서 ∈이고 는 (Ⅱ)를 만족시킨다. 라고 하자. 그러면

이고

∉

이므로 ∈이다. 따라서 는 (Ⅲ)을 만족시킨다.

다음으로 임을 보이자. ∈이고 ∈이면 ∉이므로 이고

이다. 따라서 ⊆ 이다. 포함관계가 반 로 성립함을 보이기 위하여 ∈이고 라고 하자. 그러면 이므로 ∈이고 ∉인 정수 이 존재

한다. 라고 하면 ∈이다. ∉이고

∈이므로 ⊆ 이다. 따라서 이다.

여기서 는 의 덧셈에 한 역원이므로 로 표기하자.

단계 5 덧셈에 관한 성질을 이용하면 부등호의 다른 성질을 증명할 수 있다. 즉 이고

∈ℝ일 때 덧셈의 정의에 의하여 ⊆ 이므로

⇒

가 성립한다. 또한 일 필요충분조건은 가 된다.

단계 6 곱셈은 덧셈에 비해 더 복잡하게 정의된다. 보다 큰 ∈ℝ들의 모임을 ℝ로 표

기하자. ∈ℝ에 하여

∈ℚ ∃∈ ∃∈ ≤ 로 정의한다. 그리고 곱셈에 한 항등원을 ∈ℚ 로 정의한다.

이렇게 정의된 곱셈은 집합 ℝ 위에서 공리 (M1)~(M4)를 만족시킨다. 특히 이고

일 때 가 성립한다. 그 증명은 4단계의 증명과 비슷하며 여기서는 생략한다.

단계 7 이제 음수의 곱셈을 정의한다. 먼저 으로 정의한다. 그리고

i f i f i f

으로 정의한다. 6단계에서 증명한 성질을 이용하면 ℝ에서 곱셈이 (M1)~(M4)를 만족시킴을 알

수 있다.

이로써 실수계의 모든 공리를 만족시키는 체계 ⟨ℝ ⋅ ⟩를 구성하였다. □



유리수 에 하여 ∈ℚ 이라고 하면 ∈ℝ이다. 이때 로 정의된

함수 ℚ → ℝ는 환준동형사상(homomorphism)이면서 순서보존사상이 된다. 이러한 응에

의하여 유리수계는 실수계의 부분(embedding)이 된다.

1.9.6 정리 실수계의 유일성

실수계는 유일하다. 즉 ℝ과 ℝ′이 완비인 순서체이면 ℝ과 ℝ′는 환동형이고 순서동형이

다.

증명의 개요 실수계 ℝ′에서의 덧셈을 ′ , 곱셈을 ⋅′ , 부등호를 ′ , 덧셈에 한 항등원을

′ , 곱셈에 한 항등원을 ′이라고 하자. 함수 ℝ → ℝ′을 다음과 같이 정의하자.

• ′ , ′ • 임의의 정수 에 하여 ′ , ′ • 임의의 자연수 에 하여

• 정수 과 자연수 에 하여

이제 임의의 유리수 에 하여 가 정의되었다. 무리수 에 하여

∈ℚ 라고 하면 sup 이다. 이제 를

sup ∈ 라고 하면 임의의 무리수 에 해서 가 정의되었다.

유리수의 정의에 의하여 임의의 유리수 , 에 하여

′, ,

가 성립한다. 또한 유리수의 조 성을 이용하면 ∈ℝ에 하여

⇔ ′ 임이 증명되며 이것을 이용하면 임의의 ∈ℝ에 하여

,

′ 가 성립함이 증명된다. □

수직선에서 한 점을 중심으로 왼쪽에 있는 점들의 집합과 오른쪽에 있는 점들의 집합으로 나누

면 그 사이에는 정확히 하나의 점만 놓이게 된다. 이것은 수직선에 구멍이 없이 점으로 가득 차

있기 때문이다.


이것은 실수의 완비성에 응된다. 한 실수를 기준으로 그보다 작은 실수들의 집합과 큰 실수들

의 집합으로 나누면 두 집합 사이에는 기준이 된 실수만 놓이게 된다. 이것은 앞에서 실수 의

데데킨트 절단 을 소개할 때 설명한 내용이다.

1.9.7 정리 Dedekind의 절단

실수 집합의 부분집합 , 가 공집합이 아니고 두 조건

(ⅰ) ∪ ℝ (ⅱ) ∀∈ ∀∈ 를 만족시키면 임의의 ∈와 ∈에 하여 ≤ ≤ 를 만족시키는 실수 가 유일

하게 존재한다.

증명 조건 (ⅱ)에 의하여 는 위로 유계이므로 상한 sup가 존재한다. 이제 가 정리

의 조건을 만족시키는 실수임을 보이자. 가 의 상한이므로 임의의 ∈에 하여

≤ 이다. 이제 ∀∈ ≤ 를 증명하기 위하여 이 명제를 부정하자. 즉 적당한

′∈에 하여 ′ 라고 가정하자. ′이라고 하면 은 양수이므로

′≤ 인 ′∈가 존재한다. 그런데 ′ 이므로 ′≤ ′이 되어 (ⅱ)에

모순이다. 따라서 는 정리의 조건을 만족시키는 실수이다.

이제 와 ′이 정리의 조건을 만족시키는 실수라고 하자. 만약 ≠′이면 ′이거

나 ′ 이다. ′인 경우 ′인 실수 가 존재한다. 이때 는 의 원소

도 아니고 의 원소도 아니므로 ∉∪ ℝ이 되어 모순이다. ′ 인 경우에도

모순이다. 즉 ′이므로 정리의 조건을 만족시키는 는 유일하다. □

상한 공리와 데데킨트 정리는 서로 동치인 명제이다. 실제로 데데킨트는 유리수를 이용하여 실

수를 구성할 때 상한 공리 신 데데킨트 정리를 공리로 사용하기도 하였다. 정의 1.9.5에서 실

수를 구성한 방법도 이와 크게 다르지 않다.

1.9.8 정리 Dedekind의 정리

정리 1.9.7과 상한 공리는 동치인 명제이다.

증명 실수계의 공리가 데데킨트 정리를 함의하는 것은 이미 증명하였으므로 그 역을 증명하자.

실수계에서 완비성 공리를 제외한 모든 공리와 데데킨트 정리의 명제가 참이라고 가정하

자. 가 실수 집합의 부분집합이고 공집합이 아니며 위로 유계라고 하자.

∈ℝ ∃∈ , ℝ∩ 라고 정의하면 와 는 공집합이 아니므로 데데킨트의 정리에 의하여

∀∈ ∀∈ ≤ ≤ 를 만족시키는 실수 가 유일하게 존재한다.


57디자이너앨리스연습문제

만약 ∈이면 를 만족시키는 ∈가 존재한다. 라고 하면

가 성립한다. ∈이고 이므로 ∈이다. 그런데 임의의 ∈에 하여 ≤ 가 성립하므로 는 모순이다. 따라서 임의의 ∈와 임의의

∈에 하여 ≤ 가 성립한다.

이제 ∈이라고 하자. 만약 이라고 하면 는 의 원소이고 보다

크기 때문에 모순이다. 그러므로 ≤ 이 성립하고 는 의 상계이다.

실수 를 의 상계라고 하면 를 만족시키는 ∈가 존재하지 않으므로 ∉이

고 ∈이다. 따라서 는 의 모든 상계를 포함한다. 그런데 임의의 ∈에 하여

≤ 이므로 ≤ 이다. 즉 는 의 상계 중에서 가장 작은 것이므로 는 의 상한

이다. □

기초 개념 문제 해답 332쪽확인 학습

1. 다음 진술의 참 ․ 거짓 여부를 판별하여라.

(1) 이항연산은 함수이다.

(2) 나눗셈은 실수 집합 위에서의 이항연산이다.

(3) 전순서집합의 부분집합은 전순서집합이다.

(4) 정수 집합은 정렬집합이다.

(5) 정렬집합의 부분집합은 정렬집합이다.

(6) 수학적 귀납법은 ∞에 하여 이 참임을 보일 때에 사용된다.

(7) 임의의 실수 와 에 하여 은 실수이다.

(8) 가 공집합이 아니면 의 내부도 공집합이 아니다.

(9) 가 공집합이 아니면 의 경계도 공집합이 아니다.

(10) 의 외부가 공집합이면 는 전체집합이다.

(11) 임의의 집합은 개집합이거나 폐집합 둘 중 하나이다.

(12) 개집합은 폐집합이 될 수 없다.

(13) 공리적으로 구성한 실수계와 집합으로 구성한 실수계는 동형이다.

(14) 유한집합은 항상 최댓값과 최솟값을 가진다.

(15) 정수 집합은 ℝ에서 폐집합이다.

(16) 유계이고 공집합이 아닌 집합 의 하한이 이면 의 상한은 이다.

2. 을 이라고 정의하는 이유를 설명하여라.

3. 유리수와 무리수의 합이 무리수임을 증명하여라. 또한 이 아닌 유리수와 무리수의 곱이

무리수임을 증명하여라.


4. 다음 합집합과 교집합을 구하여라.

(1) ∈ℕ (2)

∈ℕ

(3) ∈ℕ

(4) ∈ℕ

(5)

∈ℕ (6)

∈ℕ

5. 다음 집합의 유계 여부를 판별하고 상한, 하한, 최댓값, 최솟값을 구하여라.

(1) 자연수 집합 ℕ (2) 유리수 집합 ℚ(3) 양의 유리수의 집합 ℚ (4) ∈ℝ ≤ (5)

∈ℕ (6) ∈ℝ∖

6. 다음은 모든 사람이 거지임을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다. 오류를 찾아라.

먼저 원이나 원을 가진 사람은 거지임이 명백하다. 이제 원을 가진 사람이 거지라

고 가정하자. 거지에게 원을 주어도 거지임은 변함이 없으므로 원을 가진 사람

도 거지이다. 따라서 모든 사람은 거지이다.

7. 다음은 임의의 두 자연수가 서로 같음을 증명한 것이다. 오류를 찾아라.

자연수 , 에 하여 max 이라고 하자. 만약 이면

이다. 이제 일 때 이 성립한다고 가정하자. 그러면 일 때

max 이므로 max 이다. 그런데 귀납적 가정에

의하여 이므로 이다. 따라서 일 때에도 이다.

이로써 수학적 귀납법에 의하여 임의의 두 자연수 , 은 서로 같다.

8. 임의의 실수 , 에 하여 max

임을 증명하여라.

9. 임의의 양수 에 하여 이면 임을 증명하여라.

10. 두 실수 , 에 하여 다음을 증명하여라.

(1) ≤ 일 필요충분조건은 임의의 양수 에 하여 ≤ 인 것이다.

(2) ≤ 일 필요충분조건은 임의의 양수 에 하여 인 것이다.

위 명제는 부등식을 직접 증명하기 어려운 경우에 약간의 여유를 주어 증명하기 쉽게 변형

할 때에 사용된다.



11. 와 가 실수 집합의 부분집합이고 공집합이 아니며 유계라고 하자. 만약 ⊆ 이면

sup ≤ sup이고 in f ≥ in f임을 증명하여라.

실력 다지기 문제 해답 333쪽확인 학습

12. 임의의 자연수 에 하여 다음이 성립함을 증명하여라. (단, 이외의 다른 문자는 실수

를 나타낸다.)

(1) ⋯

(2) ⋯

(단, ≠ )

(3) ≥

(단, )

(4) ⋯ ≥ ⋯ (단, ≥ )

(5) ⋯ ≤ ⋯

여기서 부등식 (5)를 일반화된 삼각 부등식이라고 부른다.

13. 자연수 에 한 명제함수 이 두 조건

(ⅰ) 이 참이다,

(ⅱ) 인 임의의 자연수 에 하여 가 참이면 도 참이다

를 만족시키면 임의의 자연수 에 하여 이 참임을 증명하여라. 이 정리를 제 2 수

학적 귀납법이라고 부른다.

14. 문제 4에서 구한 합집합과 교집합을 증명하여라.

15. 문제 5에서 구한 상한, 하한, 최댓값, 최솟값을 증명하여라.

16. 와 가 실수 집합의 부분집합이고 공집합이 아니며 위로 유계라고 하자. 다음을 증명하

여라.

(1) sup sup sup이다.

(2) 와 의 원소가 모두 양수일 때 sup sup sup이다.

17. 집합 위에서 정의된 함수 , 가 유계일 때 다음을 증명하여라.

sup ∈ ≤ sup ∈ sup ∈ 또한 위 부등식에서 등호가 성립하지 않는 , , 의 예를 들어라.

18. 임의로 주어진 무한집합 가 가부번인 부분집합을 포함함을 증명하여라.

19. 실수 집합의 부분집합 가 개집합이면 개구간 들이 존재하여 ∪임을 증명하여라.


20. 개구간 이 비가산임을 증명하려고 한다. 는 명백히 유한집합이 아니다. 결론에

반하여 가 가부번이라고 가정하면 일 일 응 ℕ → 가 존재한다.

(1) 임의의 자연수 에 하여 ∉ 이고

을 만족시키는 집합 ∈ℕ과 ∈ℕ이 존재함을 증명하여라.

(2) ∈ℕ의 상한 가 존재함을 증명하여라.

(3) ∈ 임을 증명하여라.

(4) 임의의 에 하여 ≠ 임을 증명하여라.

이것은 모순이므로 는 비가산이다.

21. 한 점 에 하여 가 순증가하는 의 근방이 존재할 때 는 에서 순증가라고 부른다.

구간 에서 정의된 함수 가 각 ∈에서 순증가라고 하자. 가 에서 순증가임

을 보여라.

22. 실수 집합의 부분집합 , 에 하여 다음을 증명하여라.

(1) ⊆ 이면 int⊆ int이다. (2) int⊆ (3) intint int (4) int∩ int∩int

23. 함수 가 임의의 에 하여 를 만족시키면 를 우함수(even function)라

고 부른다. 또한 함수 가 임의의 에 하여 를 만족시키면 를 기함

수(odd function)라고 부른다. 함수 , 가 우함수이고 , 가 기함수일 때 다음과 같이

정의된 함수 가 우함수인지 기함수인지 판별하여라.

(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

(7) (8)

(9)

24. ℝ에서 ℝ로의 임의의 함수는 기함수와 우함수의 합으로 표현됨을 증명하여라.

25. 집합 위에서 정의된 유계인 함수 의 상한노름 를 다음과 같이 정의하자.

sup ∈ 두 함수 , 가 위에서 정의되었고 유계이며 가 실수일 때 다음을 증명하여라.

(1) (2) (3) ≤

이러한 의미에서 집합 위에서 정의된 유계 함수들의 모임은 노름선형공간이 된다.



심화 문제 해답 336쪽확인 학습

26. 실수 , 들에 하여 다음이 성립함을 증명하여라.

(1)

≤

(Cauchy-Schwarz 부등식)

(2)

≤

(벡터의 삼각 부등식)

27. , 인 실수 와 가 주어졌다고 하자. 다음을 증명하여라.

(ⅰ) 임의의 자연수 에 하여 ≥ 이고 ≥ 이다.

(ⅱ) 이고

이면 이다.

(ⅲ) 위 부등식에 를 입하라. 따라서 인 에 하여 충분히 큰 자연수

이 존재하여 가 성립한다.

(ⅳ) 인 에 하여 자연수 이 존재하여 가 성립한다.

(ⅴ) sup 라고 하면 가 성립한다.

(ⅵ) 인 는 유일하다.

여기서 log 로 정의한다. 이때 log를 밑이 인 로그(logarithm)라고 부른다.

28. 실수 가 대수적(algebraic)이라 함은 모두 은 아닌 정수 들이 존재하여

⋯

을 만족시키는 것이다. 수적이지 않은 실수는 초월적(transcendental)이라고 말한다. 수

적인 실수들의 모임이 가부번 집합임을 증명하여라.

탐구 문제발전 학습

29. 서로 다른 개 중 개를 택하는 경우의 수가 C 임을 설명하여라.

30. 집합 ∈ℚ는 ℝ의 부분체임을 증명하여라.

31. 체 가 표수 0인 무한체일 필요충분조건은 ℚ와 동형인 부분체를 가지는 것임을 증명하여라.

32. 임의의 순서체는 무한체임을 증명하여라.

33. 초한 귀납법을 찾아보고 이것을 제 2 수학적 귀납법과 비교해 보자.

34. 거리 함수의 정의를 찾아보고 그것이 정리 1.2.4와 어떠한 관계가 있는지 살펴보자.

35. 위상의 정의를 찾아보고 그것이 정리 1.8.7과 어떠한 관계가 있는지 살펴보자.


36. 실수를 구성하는 다음 방법을 조사해보자.

(1) 코시 수열을 이용하는 방법

(2) 무한소수를 이용하는 방법

(3) 하이퍼 실수(hyperreal number)를 이용하는 방법

(4) 초실수(surreal number)를 이용하는 방법

(5) 정수군(group of integers)을 이용하는 방법

37. 데데킨트의 저서「Was sind und was sollen die Zahlen」에 하여 조사해보자.

38. 복소수계를 정의하는 다음 3가지 방법을 조사해 보자.

(1) 공리를 이용하여 정의하는 방법

(2) 실수의 순서쌍의 집합으로 정의하는 방법

(3) 행렬을 이용하여 정의하는 방법

39. 길이가 인 선분 AB 의 내부에 임의의 한 점 C를 택할 때 AC 의 길이가 유리수일 확률

을 구하여라.

40. 중학교 3학년 학생이 당신에게 ‘무리수가 존재하는 수이기는 하지만 실제 생활에서 무리수

를 계산하는 일은 없기 때문에 무리수는 현실에서 필요 없는 수이다’라고 말한다면 당신은

그 학생에게 무슨 말을 하겠는가?

41. 중학생에게 자연수, 정수, 유리수의 개수가 각각 같다는 것을 직관적으로 이해할 수 있도록

하기 위한 교수 ․ 학습 방법을 고안해 보아라.

42. 고등학교 학생에게 무리수가 유리수보다 많다는 것을 직관적으로 이해할 수 있도록 하기

위한 교수 ․ 학습 방법을 고안해 보아라.

43. 칸토어(Cantor)는 실수 집합이 비가산임을 증명하는 방법을 두 가지 제시하였다. 두 가지 방

법을 찾아보아라.

44. 실수계를 확장한 체계로서 복소수계, 사원수계, 팔원수계가 있다. 이들의 정의를 찾아보아

라.

45. 피타고라스 학파는 다음과 같이 주장하였다.

모든 수는 유리수로 이루어져 있다. 즉 두 정수의 비로 나타낼 수 있다. 설령 직접 두

정수의 비로 나타낼 수 없는 수라 할지라도 그 수에 얼마든지 가까운 유리수를 택하여

근사시킬 수 있으므로 결국 모든 수는 유리수로 이루어졌다고 할 수 있다.

이에 한 자신의 의견을 서술하여라.



실수의 정의와 무한 집합론수학 역사

19세기 말 해석학을 기하학으로부터 탈피시켜 산술적 논리로서 명료하게 하는 과정에서 몇

가지 문제점이 발견되었다. 그것은 실수의 정의였다. 즉 먼저 수열의 극한을 어떤 실수로 정

의하고 나서 실수를 유리수열의 극한으로 정의하는 것은 ‘해결되지 않은 전제에 기초를 두고

논점을 세우는 오류(petitio principii)’였다. 메레이(Méray)는 그의 저작 ‘무한소해석의 새 이론

(Nouveau précis d'analyse infinitésimale)’에서 수렴이나 실수의 외적 조건에 호소하지 않음으

로써 이 문제를 해결하였다.

이 무렵 데데킨트(Dedekind)는 실수가 선분 위의 점과 일 일 응된다는 것에 관심을 가졌

다. 선분은 그 위에 있는 한 점에 의해 두 부분으로 분할되며 역으로 선분이 두 부분으로 분

할되면 그 사이의 점은 반드시 하나만이 존재하게 된다. 유리수 집합을 둘로 나누면 그 사이

에는 반드시 한 점만이 존재하게 되는데 유리수 집합은 조 하기 때문에 그 사이의 점은 유

리수가 될 수도 있고 무리수가 될 수도 있다. 여기에서 유리수의 분할된 한 집합은 다른 한

집합을 유일하게 결정하므로 결국 유리수의 한 부분집합만으로도 유리수와 무리수를 정의할

수 있다. 이것이 오늘날 실수의 완비성 공리이다.

실수의 정의 외에 또 다른 문제점은 무한의 산술화이다. 그때까지 많은 수학자들이 무한을

언급하고 사용하였지만 그것은 단지 양이 매우 커지는 상태, 또는 임의의 수보다 더 큰 수 정

도로 인식되었을 뿐 정확히 정의되지는 않았다. 데데킨트의 친구이자 후배였던 칸토어

(Cantor)는 유한집합에서 사용하던 산술을 무한집합에도 그 로 적용할 수 있는 새로운 집합

론을 창시하였다. 그때까지 무한집합은 자기 자신의 진부분집합과 일 일 응되기 때문에

무한집합의 존재는 모순이라고 여겨졌다. 그러나 칸토어는 이것을 모순이 아닌 무한집합의

한 성질로 보고 그것을 무한집합의 정의로 삼았다. 이러한 이유 때문에 칸토어의 집합론을

무한론이라고 부르기도 한다. 칸토어가 집합론에서 미적분과 무한급수에 하여 직접적으로

언급한 것은 아니지만 무한에 한 그의 접근 방법은 해석학에 큰 영향을 미쳤다. 또한 해석

학에서 다루는 수의 집합이 무한집합이기 때문에 칸토어의 집합론은 해석학의 이론을 다듬는

데에 중요한 이론적 기저가 되었다.

물론 칸토어의 집합론이 수학자들에게 곧바로 받아들여진 것은 아니다. 특히 그 당시 권위

있는 수학자였던 크로네커(Kronecker)는 칸토어를 심하게 비난하였고 실재하지 않는 무한을

다룬 칸토어의 집합론은 아무런 가치가 없다고 하였다. 그러나 데데킨트는 칸토어의 이론을

적극 지지하였으며 뒤늦게 20세기 초에야 칸토어 이론은 수학자들에게 인정받게 되었다. 특

히 힐베르트(Hilbert)는 ‘그 누구도 칸토어가 만든 이 낙원에서 우리를 추방할 수 없다’며 그를

칭찬하였다. 칸토어에 의하여 무한이 산술화되자 수학은 매우 빠르게 발전하기 시작하였다.

이러한 이유로 칸토어가 집합론을 발표한 때를 현 수학의 시점으로 본다.

64

⋯

⋯

⋯

cos sin

′d

제 2 장 실수열의 극한

제 2 장

실수열의 극한

해석학은 극한을 이용하여 함수의 성질을 분석하는 학문이며 수열의 극한은 모든 극한의 기본이

다. 함수의 극한의 정의는 수열의 극한의 정의로부터 유도된 것이며 해석학의 중심 이론인 함수

열의 극한은 수열의 극한을 함수열에 적용한 것이다. 따라서 수열의 극한의 성질은 수많은 극한

이론의 바탕이 된다. 이 장에서는 실수열의 극한의 개념과 다양한 성질을 살펴본다.

2.1 극한의 개념

직관적으로 수열이란 수를 나열한 것을 의미한다. 나열한 각 수를 항이라고 하는데 각 항에는

순서가 있다. 따라서 수열을 나열한 순서 로 자연수에 응시키면 수열의 모든 항은 자연수와

일 일 응된다. 이러한 개념을 바탕으로 수열을 논리적으로 정의하면 다음과 같다.

2.1.1 정의 수열

적당한 정수 에 하여 ∈ℤ ≥ 를 정의역으로 갖는 함수를 수열이라고

부른다. 수열 → ℝ의 함숫값을 으로 표기하는 신 으로 표기한다. 그리고

수열 → ℝ를 ⟨⟩, 또는 ∈로 표기한다. 이때 를 ⟨⟩의

첫째 항 또는 초항(initial term)이라고 부른다.

보통 수열 ⟨⟩의 정의역은 위로 유계가 아닌 것으로 생각한다. 특별한 경우 수열의 정의역이

위로 유계인 경우가 있는데 이러한 수열을 유한 수열이라고 부르며, 이와 구분하기 위하여 정의

역이 위로 유계가 아닌 수열을 무한 수열이라고 부르기도 한다. 정의 2.1.1은 무한 수열의 정의

이며 정의 2.1.1에서 를 ∈ℤ ≤ ≤ 로 바꾸면 유한 수열의 정의가 된다.

수열은 공역에 따라 이름이 달라지는데 공역이 실수 집합인 경우 실수열(real sequence), 공역이

유리수 집합인 경우 유리수열(rational sequence), 공역이 무리수 집합인 경우 무리수열(irrational

sequence) 등으로 불린다.

수열 ⟨⟩의 항 에 하여 를 의 첨수(index)라고 부른다. 정의에 의하면 ⟨⟩의 초항

은 일 수도 있고 일 수도 있으며 일 수도 있다. 그러나 보통 초항은 이거나 이다.

수열의 초항이 언급되어있지 않고 단지 수열의 일반항만 정의되어 있다면 음이 아닌 정수

중에서 그 이상의 모든 자연수 에 하여 이 정의되도록 하는 가장 작은 를 택하여 초항

의 첨수로 정한다.

Ⅱ 실수열의 극한

65디자이너앨리스2.1 극한의 개념

예를 들어 수열 ⟨⟩의 일반항이

로 정의되었다고 하자. 이때 , 또는 인 경우 분수식의 분모가 이 되므로

이 정의되지 않는다. 따라서 ⟨⟩의 초항은 이 된다.

직관적으로 실수열 ⟨⟩의 극한이 점 에 수렴한다는 것은 의 값이 무한히 커짐에 따라

의 값이 에 한없이 가까이 다가간다는 것을 의미한다. 이러한 개념을 논리적으로 이해하기 위

하여 다음과 같은 수열 ⟨⟩을 관찰하자.

,

,

,

, ⋯ ,

, ⋯

첨수 이 커짐에 따라 의 값은 에 가까워진다. 이것은 다음과 같은 상황에 비유할 수 있다.

거북이 2m 떨어져 있는 토끼를 향해 기어간다. 처음 1초 동안 기어간 후 둘의 거리는 1m가 되

었다. 그 다음 1초 동안 기어간 후 둘의 거리는

m가 되었다. 그 다음 1초 동안 기어간 후 둘

의 거리는

m가 되었다. 비록 점점 느려지기는 하지만 거북은 토끼를 향해 계속 기어간다. 만

약 거북이 토끼에게 1cm 이내의 거리만큼 가까이 다가가고 싶다면 100초 이상 기어가면 된다.

토끼가 자신을 중심으로 반지름이 1mm인 원을 그리고 거북을 기다린다. 토끼가 그린 원의 반지

름이 매우 작긴 하지만 거북에게 충분한 시간이 주어지면 거북은 원 안에 들어갈 수 있다. 즉

거북이 1000초 이상 기어간다면 토끼가 그린 작은 원 안에 들어갈 수 있다.

더욱 일반적인 경우를 생각하자. 토끼가 자신을 중심으로 반지름이 양수 인 원을 그리고 거북

을 기다린다. 토끼가 그린 원의 반지름이 아무리 작아도

을 만족시키는 자연수 이 존재하므로 거북은 초 이상 기어가기만 하면 토끼가 그린 원 안

에 들어갈 수 있다. 왜냐하면 거북이 기어가기 시작한 지 초 후 거북과 토끼의 거리는

미만이 되기 때문이다. 지금까지 관찰한 내용을 정리하면 다음과 같다.

아무리 작은 양수 이 주어진다 하더라도 자연수 을 충분히 크게 해주면 일 때마다

이 성립한다. 이것을 한정기호를 사용하여 표현하면

∀ ∃∈ℕ →

이 된다. 여기서 을

으로 수정한 이유는 거북의 위치

이 토끼의 위치

에 가까워진다는 의미를 표현하기 위한 것이다.

이상의 논의를 통해 수렴하는 수열의 극한을 논리적으로 정의할 수 있다.

66 제 2 장 실수열의 극한

2.1.2 정의 수열의 극한

⟨⟩이 실수열이고 이 실수라고 하자. 만약 임의의 양수 에 하여 자연수 이 존재

하여 일 때마다 이 성립하면 ⟨⟩의 극한은 에 수렴한다 또는 간단

히 ⟨⟩이 에 수렴한다고 말하며 → 로 표기한다.

수열 ⟨⟩이 에 수렴한다는 것을 한정기호를 사용하여 나타내면 다음과 같다.

∀ ∃∈ℕ ∀∈ℕ →

수열의 극한을 나타내는 기호인 lim를 도입하기 전에 먼저 수열의 극한이 유일함을 증명해야

한다. 이렇게 어떠한 값을 나타내는 기호를 사용하기 전에 그것의 유일성을 증명하는 이유는 다

음과 같다.

예를 들어, 다항식 에 하여 을 만족시키는 실수 를 sol로 표기한다고 하

자. 그리고 이라고 하자. 그러면 는 을 만족시키므로

sol 라고 쓸 수 있다. 또한 도 을 만족시키므로 sol 이라고 쓸

수 있다. 따라서 sol 이므로 이다. 그러나 이것은 모순이다.

유일성이 증명되지 않은 상태에서 등호를 사용하는 기호를 사용할 경우 이러한 모순이 발생할

수 있다. 따라서 다음과 같이 극한의 유일성을 증명한다.

2.1.3 정리 극한의 유일성

수열 ⟨⟩과 실수 , 에 하여 → 이고 → 이면 이다. 즉 수렴하

는 수열의 극한은 유일하다.

증명 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 그러면

도 양수이다. → 이므로 극한의 정의

에 의하여 자연수 이 존재하여 일 때마다

이 성립한다. 또한 → 이므로 극한의 정의에 의하여 자연수 가 존재하여

일 때마다

이 성립한다. max 라고 하자. 그러면 인 임의의 에 하여

≤

이다. 이 임의의 양수이므로 , 즉 이다. □


67디자이너앨리스2.1 극한의 개념

수렴하는 수열의 극한이 유일하므로 → 인 것을 다음과 같이 표기하자.

lim→∞ 또는 lim

한정기호 ∀와 ∃가 섞여 있는 명제를 증명하는 경우 ∀에 해당하는 변수는 임의로 주어졌다

고 가정하고 ∃에 해당하는 변수의 존재성을 보여야 한다. 극한의 정의를 이용하여 수열이 수

렴함을 증명하는 과정은 다음과 같다.

1. 먼저 양수 이 임의로 주어졌다고 가정한다.

2. 그리고 에 응하는 충분히 큰 자연수 을 설정한다.

3. 다음으로 이라고 가정하고 적당한 논법을 이용하여 임을 보인다.

예제 2.1.4 수열 ⟨⟩이

로 정의되었을 때 lim→∞ 이다.

증명 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 아르키메데스 정리에 의하여 인 자연수 이

존재한다. 부등식의 양변을 으로 나누면 이다. 이제 이라고 하면

≤

이므로 이다. 따라서 ⟨⟩의 극한은 에 수렴한다. □

예제 2.1.5 lim→∞

이다.

증명 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 아르키메데스의 정리에 의하여 인 자연수

이 존재한다. 이제 이라고 하면

이다. □

예제 2.1.6 lim→∞

이다.

증명 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 인 자연수 을 택하고 이라고 하면

이다. □


2.1.7 정의 함수의 유계성

함수 →ℝ와 의 부분집합 에 하여 실수 이 존재하여 임의의 ∈에 하

여 ≤ 이면 는 에서 유계(bounded on )라고 말하며 이것을 ≤ 으로 표기

한다. 가 정의역에서 유계이면 는 유계라고 말한다.

수열도 함수의 일종이므로 수열의 유계는 함수의 유계와 똑같이 정의된다. 실수 이 존재하여

임의의 에 하여 ≤ 을 만족시키면 수열 ⟨⟩은 유계라고 말한다.

2.1.8 정리 수렴열의 유계성

수렴하는 수열은 유계이다.

증명 수열 ⟨⟩의 극한이 에 수렴한다고 가정하자. 에 하여 자연수 이 존재하여

일 때 을 만족시킨다. 이 부등식을 변형하면 일 때

을 얻는다. 집합 ≤ 은 유한집합이므로 최댓값 을 가진다. 여기서

max 이라고 하면 임의의 에 하여 ≤ 이 성립한다. □

직관적으로 수열 ⟨⟩이 에 수렴한다는 것은 적당한 이 존재하여 일 때에 의 값

이 에서 멀리 떨어지지 않는다는 것을 의미한다. 이것을 논리적으로 표현하면 다음과 같다.

2.1.9 정리 수열의 극한의 위상적 정의

수열 ⟨⟩이 에 수렴할 필요충분조건은 임의의 양수 에 하여 ∉ 인

의 개수가 유한인 것이다.

증명 (⇒ ) 수열 ⟨⟩의 극한이 에 수렴한다고 가정하자. 그리고 양수 이 임의로 주어졌다

고 하자. 극한의 정의에 의하여 자연수 이 존재하여 이면

이다. 위 부등식은 ∈ 을 의미한다. 즉 보다 큰 자연수 에 하여는 위 부

등식이 성립하므로 ∉ 인 것은 ≤ 일 때뿐이다. 이하인 의 개수는

유한이므로 ∉ 인 의 개수는 유한이다.


69디자이너앨리스2.2 극한의 계산

(⇐ ) 임의의 양수 에 하여 ∉ 인 의 개수가 유한이라고 가정하자. 그러

면 집합 ∉ 는 유한집합이므로 최댓값 을 가진다. 이제

이라고 하면 ∉이므로 ∈ 이다. 즉 이므로 극한의 정의에

의하여 ⟨⟩의 극한은 에 수렴한다. □

2.2 극한의 계산

극한의 정의는 수열의 극한이 수렴하거나 발산함을 증명하는 데에 사용되지만 수열의 극한을 계

산하는 구체적인 방법을 제공하지는 않는다. 그러나 극한의 정의를 이용하여 일반적인 유리식으

로 정의되는 수열의 극한을 구하는 공식을 유도할 수 있다.

두 수열 ⟨⟩과 ⟨⟩의 각 항을 사칙연산으로 결합하여 새로운 수열을 얻을 수 있다. 이를

테면 수열 ⟨ ⟩은 두 수열의 각 항을 더하여 얻은 수열이며 ⟨ ⟩은 두 수열의 각

항을 곱하여 얻은 수열이다. 이렇게 얻어진 수열의 극한이 본래의 수열의 극한과 어떠한 관계가

있는지 살펴보자.

2.2.1 정리 수열의 합의 극한

두 수열 ⟨⟩과 ⟨⟩이 수렴하면 ⟨ ⟩도 수렴하고

lim→∞ lim

→∞ lim

→∞

이 성립한다.

증명 ⟨⟩이 에 수렴하고 ⟨⟩이 에 수렴한다고 하자. 그리고 양수 이 임의로 주어졌

다고 하자. 그러면 도 양수이므로 극한의 정의에 의하여 자연수 이 존

재하여 인 임의의 자연수 에 하여

이 성립한다. 또한 극한의 정의에 의하여 자연수 가 존재하여 인 임의의

자연수 에 하여

이 성립한다. max 라고 하자. 그러면 인 임의의 자연수 에 하

여 이고 이므로 삼각부등식에 의하여

≤

이 성립한다. 따라서 ⟨ ⟩은 에 수렴한다. □


두 수열을 곱하여 얻은 수열의 극한의 성질도 이와 비슷하다.

2.2.2 정리 수열의 곱의 극한

두 수열 ⟨⟩과 ⟨⟩이 수렴하면 ⟨ ⟩도 수렴하고

lim→∞ lim→∞ lim→∞

이 성립한다.

증명 ⟨⟩이 에 수렴하고 ⟨⟩이 에 수렴한다고 하자. 그리고 양수 이 임의로 주어졌

다고 하자. 수렴하는 수열은 유계이므로 양수 이 존재하여 임의의 에 하여

을 만족시킨다. 또한 ⟨⟩이 에 수렴하므로 극한의 정의에 의하여 자연수 이 존재

하여 인 임의의 자연수 에 하여

을 만족시킨다. 그리고 은 양수이므로 도 양수이고 극한의 정의

에 의하여 자연수 가 존재하여 인 임의의 자연수 에 하여

을 만족시킨다.

이제 max 라고 하자. 그러면 인 임의의 자연수 에 하여

≤

≤

이 성립한다. 따라서 ⟨ ⟩은 에 수렴한다. □

명백히 로 정의된 수열 ⟨⟩의 극한은 에 수렴한다. 따라서 수렴하는 수열

⟨⟩과 ⟨⟩에 하여

lim→∞ lim

→∞

lim→∞ lim

→∞



lim→∞ lim

→∞⋅ lim

→∞

lim→∞ lim

→∞

lim→∞ lim

→∞

이 성립한다. 특히 상수 에 하여

lim→∞ lim

→∞

이 성립한다. 따라서 다음을 얻는다.

2.2.3 따름정리 수열의 차와 상수배의 극한

두 수열 ⟨⟩과 ⟨⟩의 극한이 수렴하고 가 상수일 때 다음이 성립한다.

lim→∞ lim

→∞ lim

→∞ , lim

→∞ lim

→∞

함수 → 가 임의의 ∈와 실수 에 하여

,

를 만족시키면 를 선형 사상(linear function, linear mapping)이라고 부른다. 여기서 와 는

단순히 실수 집합의 부분집합일 수도 있고 벡터공간의 부분집합일 수도 있다. 만약 와 가

함수들의 모임이면 선형사상 → 를 선형 변환(linear transformation)이라고 부른다. 지금

까지 살펴본 정리에 의하면 수렴하는 임의의 수열 ⟨⟩, ⟨⟩과 임의의 실수 에 하여

lim→∞ lim

→∞ lim

→∞ ,

lim→∞ lim

→∞

이 성립한다. 가 수렴하는 수열들의 집합일 때 함수 → ℝ를

⟨⟩ lim→∞

으로 정의하면 는 선형 사상이 된다. 특히 수열은 함수의 일종이므로 수열의 극한은 선형 범함

수(linear functional)이다.

2.2.4 정리 수열의 거듭제곱의 극한

수열 ⟨⟩이 수렴하면 임의의 자연수 에 하여

lim→∞

lim→∞가 성립한다.


증명 수학적 귀납법으로 증명하자. 먼저 일 때에는 자명하다. 이제 자연수 에 하여

일 때에 정리의 등식이 참이라고 가정하자. 그러면 정리 2.2.2에 의하여

lim→∞

lim→∞

lim→∞

lim→∞

lim→∞ lim→∞

lim→∞

이므로 일 때에도 정리의 등식이 성립한다. 따라서 수학적 귀납법에 의하여 임

의의 자연수 에 하여 정리의 등식이 성립한다. □

2.2.5 정리 수열의 몫의 극한

수열 ⟨⟩의 모든 항이 이 아니고 에 수렴하며 ≠이면

lim→∞

이 성립한다.

위 정리에서 수열 ⟨⟩의 각 항은 양수 또는 음수의 값을 가질 수 있다. 그러나 가 양수인

경우 적당한 항 이후로는 은 항상 양수의 값만을 가질 것이며 가 음수인 경우에는 적당한

항 이후로는 은 항상 음수의 값만을 가질 것이다. 따라서 을 충분히 크게 하면 은 에

충분히 가까이 다가가고 ≠이므로, 을 충분히 크게 하면 은 더 이상 에 가까이 다가

가지 않게 된다. 이 에 가까이 다가가지 않아야

의 값을 작아지게 할 수 있다. 따라서 위 정리를 증명하기 위해서는 먼저 을 충분히 크게 하여

이 에 가까이 다가가지 않도록 하고, 극한의 정의를 이용하여 의 값을 충분히 작

게 해야 한다.

정리 2.2.5의 증명 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 먼저 는 양수이므로 극한의 정의에

의하여 자연수 이 존재하여 인 임의의 자연수 에 하여




위 부등식을 변형하면

을 얻는다. 다음으로

은 양수이므로 극한의 정의에 의하여 자연수 가 존재하여

인 임의의 자연수 에 하여


max 라고 하자. 그러면 인 임의의 자연수 에 하여

⋅ ⋅

⋅

이므로 수열 ⟨⟩은 에 수렴한다. □

이상으로 수열의 극한과 사칙연산의 관계를 살펴보았다. 이제 수열의 극한과 부등호의 관계를

살펴보자.

2.2.6 정리 수열의 극한과 부등호의 관계

두 수열 ⟨⟩과 ⟨⟩이 수렴하고 적당한 자연수 가 존재하여 인 임의의 자연

수 에 하여 ≤ 이면 다음이 성립한다.

lim→∞≤ lim

→∞

위 정리에서 「 일 때 ≤ 」이라는 것은 적당한 항 이후의 모든 항에 해서 순서

관계가 성립한다는 것을 의미한다. 또 달리 표현하면 인 항의 개수가 유한이라는 의미이

기도 하다.

정리 2.2.6의 증명 ⟨⟩의 극한을 , ⟨⟩의 극한을 라고 하자. 그리고 결론에 반하여

라고 가정하자. 그러면

는 양수이므로 자연수 이 존재하여

일 때 (1)

이 성립한다. 마찬가지로 자연수 가 존재하여 일 때

(2)

이 성립한다. 이제 max 이고 이라고 하자.


(1)과 (2)를 변형하면

,

을 얻는다. 따라서

이므로 이다. 그런데 이므로 이것은 정리의 조건에 모순이다.

따라서 ≤ 이다. □

2.2.7 따름정리 양항수열의 극한

수열 ⟨⟩이 에 수렴하고 자연수 가 존재하여 인 임의의 에 하여 ≥

이면 lim→∞≥ 이다.

증명 lim→∞ 이므로 lim

→∞ ≥ lim

→∞ 이다. □

수렴하는 수열들의 집합을 라고 하자. 의 두 원소 ⟨⟩, ⟨⟩에 하여

⟨⟩≤⟨⟩ ⇔ ∃ ∀ ≤

으로 정의하고 극한값이 같은 두 수열을 서로 동치인 것으로 간주하면 ⟨ ≤⟩는 전순서집합

이 된다.

함수 → 가 임의의 ∈에 하여

≤ ⇒ ≤

를 만족시키면 를 순서 보존 사상(order-preserving function)이라고 부른다. 여기서 , 는 순

서집합으로서 실수 집합의 부분집합일 수도 있고 벡터공간의 부분집합일 수도 있다.

지금까지 살펴본 정리에 의하면 수렴하는 수열 ⟨⟩, ⟨⟩에 하여 ⟨⟩≤⟨⟩일 때

lim→∞≤ lim

→∞

이 성립한다. 가 수렴하는 수열들의 집합일 때 함수 → ℝ를

⟨⟩ lim→∞

으로 정의하면 는 순서 보존 사상이 된다.

극한은 덧셈, 곱셈, 순서를 보존하는 사상이다.



2.2.8 정리 조임 정리(squeeze theorem, sandwich theorem)

세 수열 ⟨⟩, ⟨⟩, ⟨⟩이 주어졌다고 하자. 자연수 가 존재하여 인 임의

의 자연수 에 하여 ≤ ≤ 이고 ⟨⟩과 ⟨⟩이 모두 에 수렴하면 ⟨⟩은 에 수렴한다.

증명 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 자연수 이 존재하여 일 때

이 성립한다. 마찬가지로 자연수 가 존재하여 일 때

이 성립한다. max 이고 이라고 하자. 그러면

≤ ≤

이므로 이다. 따라서 ⟨⟩의 극한은 에 수렴한다. □

예제 2.2.9 실수 가 보다 작은 양수일 때 lim→∞ 이다.

증명 이라고 하면 이고

이다. 베르누이 부등식에 의하여 임의의 자연수 에 하여

≤

이다. 여기서

lim→∞ , lim

→∞

이므로 조임정리에 의하여 ⟨⟩의 극한은 에 수렴한다. □

보기 2.2.10 다음은 극한 lim→∞ 을 이용하여 수열의 극한을 계산하는 예이다.

lim→∞

lim→∞

lim→∞

lim→∞

lim→∞ lim

→∞

lim→∞ lim

→∞

□


수열 ⟨ ⟩이 수렴하더라도 ⟨⟩이나 ⟨⟩은 수렴하지 않을 수도 있다. 예를 들면

, 일 때

lim→∞ lim

→∞

로서 ⟨ ⟩의 극한은 수렴하지만 ⟨⟩과 ⟨⟩은 수렴하지 않는다. 따라서 정리 2.2.1,

정리 2.2.2 그리고 따름정리 2.2.3을 사용할 때에는 반드시 ⟨⟩과 ⟨⟩이 모두 수렴하는지

먼저 확인해야 한다.

2.3 부분수열

수열의 일부 항만을 모아서 순서 로 나열한 것을 부분수열이라고 부른다. 예를 들어 수열

, , , , , , , , , ⋯ (1)

의 짝수 번째 항을 모아서 나열한

, , , , , , , , , ⋯ (2)

은 부분수열이 된다. (1)과 (2)의 일반항을 각각 구해보면

,

이 된다. 여기서 수열 ⟨⟩를 라고 정의하면 는

라고 나타낼 수 있다. 이처럼 부분수열은 두 수열의 합성임을 알 수 있다.

2.3.1 정의 부분수열

⟨⟩이 정의역 를 갖는 실수열이고 ⟨⟩가 ℕ으로부터 에로의 순증가수열이라고

하자. 이때 두 수열을 합성하여 얻은 수열 ⟨⟩를 ⟨⟩의 부분수열이라고 부른다.

수열 ⟨⟩의 극한이 에 수렴한다고 하자. 그리고 ⟨⟩가 ⟨⟩의 부분수열이라고 하자.

그러면 임의의 양수 에 하여 자연수 이 존재하여 일 때

이 성립한다. ⟨⟩는 ℕ으로부터 에로의 증가 함수이므로 자연수 이 존재하여

이면 이다. 따라서 이라고 함면 일 때

이 성립한다. 이로써 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다.


77디자이너앨리스2.4 단조수열

2.3.2 정리 부분수열의 수렴성

수열 ⟨⟩이 에 수렴하면 부분수열 ⟨⟩도 에 수렴한다.

2.4 단조수열

변수 의 값이 커짐에 따라 함숫값 도 커지면 함수 를 증가 함수라고 부른다. 또한 의

값이 커짐에 따라 의 값이 작아지면 함수 를 감소 함수라고 부른다. 증가 함수와 감소 함

수의 논리적 정의는 다음과 같다.

2.4.1 정의 증가, 감소, 단조

함수 의 정의역과 공역이 실수 집합의 부분집합이라고 하자.

(ⅰ) 정의역의 임의의 두 점 , 에 하여 일 때마다 가 성립하

면 는 증가한다 또는 순증가한다고 말한다.

(ⅱ) 정의역의 임의의 두 점 , 에 하여 일 때마다 ≤ 가 성립하

면 는 단조증가한다고 말한다.

(ⅲ) 정의역의 임의의 두 점 , 에 하여 일 때마다 가 성립하

면 는 감소한다 또는 순감소한다고 말한다.

(ⅳ) 정의역의 임의의 두 점 , 에 하여 일 때마다 ≥ 가 성립하

면 는 단조감소한다고 말한다.

(ⅴ) 단조증가와 단조감소를 통틀어 단조(nonotone)라고 부른다. 즉 가 단조 함수라는 것은

가 단조증가인 함수이거나 또는 가 단조감소인 함수라는 것을 의미한다.

수열도 함수이므로 수열의 단조도 함수의 단조와 동일하게 정의된다. 예를 들어 일 때마다

≤ 이면 수열 ⟨⟩을 단조증가 수열이라고 부른다.

예제 2.4.2 다음과 같이 정의된 수열 ⟨⟩은 유계인 증가수열이다.

,

증명 먼저 ⟨⟩이 에 의하여 위로 유계임을 보이자. 이고 일 때

이므로 수학적 귀납법에 의하여 임의의 자연수 에 하여 이다.

다음으로 ⟨⟩이 증가수열임을 보이자.


임의의 에 하여 이므로

이다. 따라서 ⟨⟩은 증가수열이다. □

위 예제에서 수열 ⟨⟩은 증가한다. 그러나 에 의하여 위로 유계이기 때문에 한없이 증가할

수는 없다. 따라서 직관적으로 ⟨⟩의 극한이 이하인 어떠한 실수에 수렴할 것이라고 추측

할 수 있다.

2.4.3 정리 단조 수렴

단조이고 유계인 수열은 수렴한다.

증명 수열 ⟨⟩이 유계이고 단조증가라고 하자. 그러면 집합 은 공집합이 아니고 유계

이므로 상한 를 가진다. 이제 ⟨⟩의 극한이 에 수렴함을 보이자.

양수 이 주어졌다고 하자. 상한의 성질에 의하여 ≤ 인 자연수 이 존재

한다. ⟨⟩이 단조증가이므로 일 때마다

≤ ≤

이 성립한다. 따라서 이므로 ⟨⟩은 에 수렴한다. 같은 방법으로 수열

⟨⟩이 단조 감소이고 유계이면 lim→∞ in f 임이 증명된다. □

예제 2.4.4 수열 ⟨⟩이 , 으로 정의되었을 때 ⟨⟩의 극한

을 구하여라.

풀이 예제 2.4.2에 따르면 ⟨⟩은 유계이고 단조증가이므로 단조수렴 정리에 의하여 수렴한

다. 그 극한을 이라고 하자. 그러면 부분수열 ⟨ ⟩도 에 수렴하므로

lim→∞ lim

→∞ lim

→∞

이다. 이 방정식을 풀면 를 얻는다. 따라서 ⟨⟩은 에 수렴한다. □

예제 2.4.5 가 보다 작은 양수일 때 lim

→∞ 이다.

증명 수열 ⟨⟩은 감소이고 에 의하여 아래로 유계이므로 단조수렴정리에 의하여 수렴한다.

⟨⟩의 극한을 이라고 하면 ⟨ ⟩도 에 수렴하므로

lim→∞ lim

→∞ lim

→∞ lim

→∞

이다. 이 방정식을 풀면 이므로 ⟨⟩은 에 수렴한다. □



예제 2.4.6 양의 실수 에 하여 lim→∞ 이다.

증명 먼저 ≥ 인 경우를 증명하자. ⟨⟩은 아래로 유계이고 단조감소이므로 수렴한다.

그 극한을 이라고 하면 부분수열 ⟨⟩도 에 수렴하므로

lim→∞ lim

→∞ lim

→∞

lim→∞ 이다. ≥ 이므로 ≥ 이다. 따라서 이 방정식을 풀면 을 얻는다.

즉 ⟨⟩의 극한은 에 수렴한다.

이제 인 경우를 증명하자.

이므로 앞의 경우에 의하여

lim→∞ lim→∞

이다. 따라서

lim→∞ lim

→∞

이다. □

2.4.7 정리 오일러 상수(Euler constance)

수열 ⟨⟩이

으로 정의되었을 때 ⟨⟩은 수렴한다.

이 정리는 다음과 같이 몇 개의 보조정리를 결합하여 증명한다.

2.4.8 보조정리 오일러 상수의 존재성 증명을 위한 보조정리

(ⅰ)

으로 정의된 수열 ⟨⟩은 증가한다.

(ⅱ) 자연수 과 정수 에 하여 ≤ ≤ 일 때 다음이 성립한다.

⋅≤

증명 (ⅰ) 베르누이 부등식에서 , 인 경우 가 성립한다. 여기

에 을 입하면

을 얻는다.


좌변을 인수분해하면

이고 양변을

으로 나누면

을 얻는다. 즉 이므로 ⟨⟩은 증가수열이다.

(ⅱ) 먼저 , 에 하여

≥ ⋯

이므로

≥ ⋯ ⋅

이다. 양변을 로 나누면 정리의 부등식을 얻는다. □

정리 2.4.7의 증명 보조정리 2.4.8과 이항정리 그리고 등비수열의 합 공식에 의하여

C

⋅

≤

⋯

≤ ⋯

≤

이므로 ⟨⟩은 에 의하여 위로 유계이다. 또한 보조정리 2.4.8에 의하여 ⟨⟩은 증

가수열이므로 단조수렴정리에 의하여 ⟨⟩은 수렴한다. □

위 정리에서 수열 ⟨⟩의 극한이 수렴하므로 그것을 다음과 같이 정의한다.

2.4.9 정의 오일러 상수

극한 lim→∞

을 로 표기한다.



2.4.10 정리 오일러 상수의 다른 정의

등식 lim→∞

이 성립한다.

증명* 두 수열 ⟨⟩과 ⟨⟩을 다음과 같이 정의하자.

,

정리 2.4.7의 증명 과정에 의하여

C ≤

이므로 ≤ 이다. 따라서 ≤ lim→∞

이다.

이제 ≥ 이라고 하자. 그러면 이항정리에 의하여

⋯

⋯

≥

⋯

⋯

이므로 양변에 → ∞인 극한을 취하면

≥ ⋯

이다. 다시 양변에 → ∞인 극한을 취하면 ≥ lim→∞

을 얻는다. □

2.4.11 따름정리 오일러 상수의 성질

오일러 상수 는 무리수이다.

증명 결론에 반하여 가 유리수라고 가정하자. 그러면 인 자연수 , 가 존재한다. 정

리 2.4.10의 증명 과정에서 정의한 수열 ⟨⟩에 하여

⋯

⋯

이므로 다음을 얻는다.


여기서 는 자연수이므로

⋯

도 자연수이고 도 자연수이다. 그런데 ≥ 이므로

≤

을 얻는다. 이것은 모순이므로 는 유리수가 아니다. □

실제로 오일러 상수는 ⋯인 초월수이다.

예제 2.4.12 lim→∞ 이다.

증명 정리 2.4.7의 증명 과정에 의하면 ⟨⟩은 에 의하여 위로 유계이므로 ≥ 일 때

≤

이다. 이것을 변형하면

≤ ⇔

≤

⇔ ≤

⇔

≤

이므로 수열 ≥ 일 때 ⟨⟩은 단조감소이다. 또한 ≥ 이므로 ⟨⟩은 아

래로 유계이다. 따라서 ⟨⟩은 수렴한다. 그 극한을 이라고 하면

lim→∞

lim→∞

lim→∞

⋅ lim→∞

⋅

이다. ≥ 이므로 이 방정식을 풀면 을 얻는다. □

2.5 발산하는 수열

수열이 수렴하지 않을 때 발산한다고 말한다. 수열의 수렴을 증명할 때에 극한의 정의를 이용한

것처럼 수열이 발산하는 것을 증명할 때에도 극한의 정의를 이용할 수 있다. 수열 ⟨⟩의 극

한이 에 수렴한다는 것을 한정기호로 나타내면

∀ ∃∈ℕ ∀∈ℕ → 이 된다. 이것은 ‘아무리 작은 양수 이 주어지더라도 그에 응할 만큼 큰 자연수 이 존재하

여 인 임의의 자연수 에 하여 과 의 거리가 보다 작아진다’는 의미이다.


83디자이너앨리스2.5 발산하는 수열

이것의 부정을 구하면

∃ ∀∈ℕ ∃∈ℕ ∧ ≥ 이며 그 뜻은 ‘어떠한 양수 이 존재하여 자연수 이 아무리 커도 인 자연수 이 존재

하여 과 사이의 거리가 보다 작아질 수 없다’가 된다. 즉 수열 ⟨⟩이 에 수렴하지

않음을 증명할 때에는 적당히 작은 양수 을 정해두고 자연수 이 임의로 주어졌을 때 그보다

더 큰 자연수 이 존재하여 ≥ 임을 보여야 한다.

예제 2.5.1 수열 ⟨ ⟩은 수렴하지 않는다.

증명 결론에 반하여 ⟨ ⟩이 에 수렴한다고 가정하자. 그리고

이라고 하

자. 만약 ≥ 이면 자연수 이 존재하여 일 때

이 성립해야 한다. 그러나 ≥

이고, 인 홀수 을 택했을 때

≤

이므로 모순이다. 같은 방법으로 인 경우에도 인 짝수 에 하여

이므로 모순이다. 따라서 ⟨ ⟩은 어떠한 실수 에도 수렴하지 않는다. □

앞서 정리 2.1.8에 의하면 수렴하는 수열은 유계이다. 그러나 위 예제에서 ⟨ ⟩은 유계이

지만 수렴하지 않으므로 정리 2.1.8의 역은 참이 아님을 알 수 있다.

예제 2.5.2 수열 ⟨⟩은 수렴하지 않는다.

증명 결론에 반하여 ⟨⟩이 수렴한다고 가정하자. 수렴하는 수열은 유계이므로 양수 가 존

재하여 임의의 에 하여 ≤ 가 성립한다. ≥ 인 자연수 이 존재하므

로 이것은 모순이다. 즉 ⟨⟩은 유계가 아니므로 수렴하지 않는다. □

수열 ⟨⟩이 수렴하지 않는 경우 ⟨⟩은 유계일 수도 있고 유계가 아닐 수도 있다. 또한

⟨⟩이 유계가 아닌 경우 무한히 커질 수도 있고 무한히 작아질 수도 있다. 이처럼 수렴하지

않는 것을 여러 경우로 나누어 발산을 정의해 보자.

수열 ⟨⟩이 으로 정의되었다고 하자. 예제 2.5.2의 증명에서 살펴본 바와 같이 아무

리 큰 양수 가 주어지더라도 자연수 이 존재하여 일 때 를 만족시킨다. 따라

서 수열 ⟨⟩은 위로 유계가 아니고 한없이 커진다. 더욱이 아무리 큰 실수가 있더라도 특정


한 항 이후로는 그 실수보다 큰 값을 갖게 된다. 이러한 경우를 일반화하여 무한 에 발산을 정

의한다.

2.5.3 정의 수열의 발산

수열 ⟨⟩에 하여 다음과 같이 정의한다.

(ⅰ) 수열 ⟨⟩의 극한이 수렴하지 않으면 ⟨⟩은 발산한다고 말한다.

(ⅱ) 임의의 양수 에 하여 자연수 이 존재하여 일 때마다 가 성립하면

수열 ⟨⟩은 양의 무한대에 발산한다고 말하며 lim→∞ ∞로 표기한다.

(ⅲ) 임의의 음수 에 하여 자연수 이 존재하여 일 때마다 가 성립하면

수열 ⟨⟩은 음의 무한대에 발산한다고 말하며 lim→∞ ∞로 표기한다.

(ⅳ) 양의 무한 에 발산하는 경우와 음의 무한 에 발산하는 경우를 통틀어 무한대에 발산

한다고 말한다.

(ⅴ) 양의 무한 에 발산하지 않고 음의 무한 에도 발산하지 않으나 수렴하지 않는 경우

진동한다(oscillate)고 말한다.

양의 무한 에 발산하는 수열은 위로 유계가 아니며 음의 무한 로 발산하는 수열은 아래로 유

계가 아니다. 즉 무한 에 발산하는 수열은 수렴하지 않는다. 따라서 위 정의에서 ‘발산’이라는

용어는 수렴하지 않는다는 뜻으로 적절히 사용되었다.

보기 2.5.4 다음은 발산하는 수열의 여러 가지 예이다.

(ⅰ) ⟨ ⟩은 유계이지만 발산하므로 진동한다.

(ⅱ) ⟨⟩은 양의 무한 에 발산한다.

(ⅲ) ⟨ ⟩은 음의 무한 에 발산한다.

(ⅳ) ⟨ ⟩은 아래로 유계이지만 위로 유계가 아니므로 발산이다. 그러나 양의 무한

또는 음의 무한 에 발산하지는 않는다.

(ⅴ) ⟨ ⟩은 아래로 유계가 아니고 위로 유계도 아니므로 발산이다. 그러나 양의 무한

또는 음의 무한 에 발산하지는 않는다.

(ⅵ) ⟨sin⟩은 유계이지만 발산하므로 진동한다.

(ⅶ) ⟨ ⟩은 양의 무한 에 발산한다.

수열 ⟨⟩이 양의 무한 에 발산하고 ≤ 이면 ⟨⟩도 양의 무한 에 발산할 것이라고

추측할 수 있다. 즉 발산하는 수열에 해서도 조임 정리를 사용할 수 있다.


85디자이너앨리스2.6 집합과 수열의 집적점

2.5.5 정리 조임 정리

두 수열 ⟨⟩, ⟨⟩에 하여 자연수 이 존재하여 인 임의의 자연수 에

하여 ≤ 이 성립한다고 하자.

(ⅰ) 만약 ⟨⟩이 양의 무한 에 발산하면 ⟨⟩도 양의 무한 에 발산한다.

(ⅱ) 만약 ⟨⟩이 음의 무한 에 발산하면 ⟨⟩도 음의 무한 에 발산한다.

증명 (ⅰ) 양수 가 임의로 주어졌다고 하자. ⟨⟩이 양의 무한 에 발산하므로 자연수

이 존재하여 일 때 이다. max 에 하여 일 때

≥ 이므로 ⟨⟩은 양의 무한 에 발산한다.

(ⅱ) 음수 가 임의로 주어졌다고 하자. ⟨⟩이 음의 무한 에 발산하므로 자연수

이 존재하여 일 때 이다. max 에 하여 일 때

≤ 이므로 ⟨⟩은 음의 무한 에 발산한다. □

2.6 집합과 수열의 집적점

다음과 같이 정의된 집합 를 생각해보자.

∈ℕ

집합 의 원소를 수직선에 나타내보면 점이 원점에 가까이 몰려 있는 것을 볼 수 있다.

이때 양수 에 하여 개구체 은 의 원소를 적어도 하나 포함하게 된다.

양수 을 아무리 작게 해도 그것은 양수이기 때문에 은 의 원소를 포함한다. 즉

∩≠∅이다. 또한 은 의 원소가 아니므로 임의의 양수 에 하여

∖∩≠∅이기도 하다.

2.6.1 정의 삭제된 개구체(deleted open ball), 삭제된 폐구체(deleted closed ball)

실수 와 양수 에 하여 다음과 같이 정의한다.

(ⅰ) 중심이 이고 반지름이 인 삭제된 개구체 : ′ ∖(ⅱ) 중심이 이고 반지름이 인 삭제된 폐구체 : ′ ∖


2.6.2 정의 집적점(cluster point), 도집합(derived set)

가 실수 집합의 부분집합이고 가 실수라고 하자. 만약 임의의 양수 에 하여

′ ∩≠∅이 성립하면 를 의 집적점이라고 부른다. 그리고 의 집적점들의

모임을 의 도집합이라고 부르며 ′으로 표기한다.

직관적으로 가 의 집적점이라는 것은 의 근처에 의 원소가 무수히 많이 몰려 있는 것을

의미한다. 참고로 위 정의에서 조건 ′ ∩≠∅을 ∩가 무한집합이라는 것

으로 바꾸어도 동치인 정의가 된다.

보기 2.6.3 다음은 집적점과 도집합의 예이다.

(ⅰ) 개구간 의 도집합은 이다.

(ⅱ) 유리수의 조 성에 의하여 ℚ의 도집합은 ℝ이다.

(ⅲ) 집합 ∩ℚ의 도집합은 이다.

(ⅳ) 유한집합은 집적점을 갖지 않는다. 즉 유한집합의 도집합은 공집합이다.

(ⅴ) ℤ는 어느 곳에서도 조 하지 않기 때문에 집적점을 갖지 않는다.

위 예를 통해 실수 가 의 집적점인 것과 가 의 원소인 것은 관계가 없음을 알 수 있다.

즉 의 원소가 아닌 점도 의 집적점이 될 수 있으며 의 원소인 점이 의 집적점이 아닌

경우도 있다.

실수 집합의 부분집합 가 무한집합이라고 하자. 만약 가 유계라면 의 원소들이 몰려 있는

곳이 적어도 하나 존재할 것이라고 추측할 수 있다. 즉 원소들이 몰려 있는 점이 없는 유계인

집합은 유한 집합이 될 것이다.

2.6.4 정리 Bolzano-Weierstrass

유계인 무한집합은 집적점을 가진다.

증명 집합 가 유계이고 무한집합이라고 하자. 가 유계이므로 양수 이 존재하여 임의의

∈에 하여 ≤ 이 성립한다. 즉 ⊆ 이다. 여기서 두 집합

과 중 적어도 하나는 의 원소를 무한히 많이 포함한다. 그러한 것을

택하여 이라고 하자.

이제 ⊆ 인 폐구간 이 의 원소를 무한히 많이 포함한다고 하자. 즉

∩가 무한집합이라고 하자. 의 왼쪽 끝 점을 , 오른쪽 끝 점을 이라고 하자.


87디자이너앨리스2.6 집합과 수열의 집적점

그러면 을 둘로 등분한 두 구간

,

중 적어도 하나는 의 원소를 무한히 많이 포함한다. 그러한 것을 택하여 이라고 하

자. 이제 집합 ∈ℕ의 모든 원소가 귀납적으로 정의되었다.

정의에 의하여 ⊆ 이고 in f , sup 이므로 수열 ⟨⟩은 단조증가

이고 ⟨⟩은 단조감소이다. 또한 ≤ 이므로 ⟨⟩과 ⟨⟩은 수렴한다.

lim→∞ , lim

→∞

이라고 하면 ≤ 이다. 정의에 의하여 의 길이는 이므로

lim→∞ lim

→∞

이다. 따라서 이다. 라고 하고 가 의 집적점임을 보이자.

양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 인 자연수 이 존재한다. 이것은

⊆ 인 것을 의미한다. 그런데 이 의 원소를 무한히 많이 포함하므로

도 의 원소를 무한히 많이 포함한다. 에서 한 점을 제외하더라도 의

원소를 무한히 많이 포함하므로 ′ ∩≠∅이 된다. 따라서 는 의 집적점이

다. □

위 정리의 증명에서 집합 ∈ℕ을 축소구간(nested interval)이라고 부른다.

2.6.5 따름정리 축소구간

집합 ∈ℕ의 모든 원소가 폐구간이고 ⊆ 을 만족시키면 교집합 ∈ℕ

은 공집합이 아니다. 더욱이 → ∞일 때 구간 의 길이가 에 수렴하면 는 단 한 개

의 원소를 갖는 집합이 된다.

집합의 집적점을 정의한 것처럼 수열에도 집적점을 정의할 수 있다. 수열 ⟨⟩을

로 정의하자. 이때 ⟨⟩의 치역은 앞서 예를 든 집합 ∈ℕ이므로 ⟨⟩의 항은

의 주변에 몰려 있다.

이번에는 으로 정의된 수열 ⟨⟩을 살펴보자. 이 수열의 치역은 로서

유한집합이지만 무한히 많은 항이 과 에 몰려 있다고 말할 수 있다. 의 근처에 ⟨⟩의


항이 무수히 많이 몰려 있으므로 에 수렴하는 ⟨⟩의 부분수열이 존재한다. 실제로

라고 하면 ⟨⟩는 에 수렴하는 부분수열이다. 요컨 수열의 항이 한 점에 몰려 있다는 것

은 그 점에 수렴하는 부분수열이 존재한다는 것을 의미한다.

2.6.6 정의 수열의 집적점

수열 ⟨⟩과 실수 에 하여 에 수렴하는 ⟨⟩의 부분수열이 존재할 때 를 ⟨⟩의 집적점이라고 부른다.

수열의 집적점과 집합의 집적점은 접한 관련이 있다. 수열 ⟨⟩의 각 항을 원소로 하는 집

합을 이라고 하자. 그리고 이 집적점 를 가진다고 하자. 그러면

∈ 인 자연수 이 존재한다. 가 자연수라고 하자.

은 의 원소를 무수히 많

이 포함하므로 이면서

∈

인 이 존재한다. 여기서 ⟨⟩는 에 수렴하는 부분수열이 된다. 이로써 다음 정리를 증

명하였다.

2.6.7 정리 수열의 집적점과 집합의 집적점의 관계

수열 ⟨⟩의 각 항을 원소로 갖는 집합 이 집적점 를 가지면 는 수열 ⟨⟩의

집적점이다.

한편 수열의 집적점은 다음과 같이 다른 방법으로 정의할 수 있다.

2.6.8 정리 수열의 집적점의 위상적 정의

실수 가 수열 ⟨⟩의 집적점일 필요충분조건은 임의의 양수 에 하여 ∈ 인 의 개수가 무한인 것이다.

증명 가 ⟨⟩의 집적점이라고 하자. 그러면 에 수렴하는 부분수열 ⟨⟩가 존재한다. 양

수 이 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 ∉ 인 의 개수는 유한이므로

∈ 인 의 개수는 무한이다. 는 수열 ⟨⟩의 첨수이므로 ∈ 인 의 개수는 무한이다.


89디자이너앨리스2.7 코시 수열

역으로 임의의 양수 에 하여 ∈ 인 의 개수가 무한이라고 하자.

먼저 ∈ 인 이 존재한다. 또한 자연수 에 하여 이고

∈

인 자연수 이 존재한다. 이렇게 정의된 수열 ⟨⟩은 에 수렴하므로 는 수열

⟨⟩의 집적점이다. □

수열 ⟨⟩이 유계라고 하자. 그리고 ⟨⟩의 항을 원소로 갖는 집합을 이라고 하자. 만

약 이 유한집합이라면 적당한 ∈ 이 존재하여 인 의 개수가 무한이다.

인 항만을 모아 구성한 부분수열 ⟨⟩는 에 수렴한다. 즉 는 ⟨⟩의 집적점이

다. 만약 이 무한집합이라면 볼차노-바이어슈트라스 정리에 의하여 는 집적점을 가

진다. 를 의 집적점이라고 하면 는 ⟨⟩의 집적점이 된다. 따라서 다음 정리를 얻는

다.

2.6.9 정리 Bolzano-Weierstrass

유계인 수열은 집적점을 가진다.

2.7 코시 수열

극한의 정의를 이용하여 수열이 수렴함을 증명하려면 그 극한값을 알아야 한다. 따라서 수열의

극한값을 알지 못한 상태에서 수렴 여부를 증명하는 것은 비교적 어렵다. 특히 수열이 단조가

아닌 경우에는 단조수렴 정리를 사용할 수 없기 때문에 더욱 그러하다. 이 절에서 살펴볼 코시

조건은 극한값을 알지 못하는 수열의 수렴 여부를 밝히는 데에 매우 유용하게 사용된다.

2.7.1 정의 Cauchy 수열

수열 ⟨⟩이 주어졌다고 하자. 임의의 양수 에 하여 자연수 이 존재하여 이

고 일 때마다 이 성립하면 ⟨⟩은 코시 조건을 만족시킨다고 말한

다. 코시 조건을 만족시키는 수열을 코시 수열이라고 부른다.

직관적으로 수열 ⟨⟩이 코시 수열이라는 것은 첨수가 커질수록 ⟨⟩들의 항들이 서로 가

까이 붙어 있는 것을 의미한다. 실수 집합 ℝ에서 수열의 수렴성은 코시 수열인 것과 동치인 조

건이 된다.


2.7.2 정리 코시 수열의 수렴성

실수열 ⟨⟩이 수렴할 필요충분조건은 코시 수열인 것이다.

증명 먼저 ⟨⟩이 에 수렴한다고 가정하자. 그리고 양수 이 임의로 주어졌다고 하자.

극한의 정의에 의하여 자연수 이 존재하여 일 때

이 성립한다. 따라서 동일한 자연수 에 하여 이고 일 때

≤

이므로 ⟨⟩은 코시 조건을 만족시킨다.

역으로 ⟨⟩이 코시 수열이라고 하자. 그러면 자연수 이 존재하여 이고

일 때 이 성립한다. 따라서 일 때 이므로

이 성립한다. max ⋯ 이라고 하면 임의

의 자연수 에 하여 ≤ 이므로 ⟨⟩은 유계이다.

코시 수열 ⟨⟩이 유계이므로 수렴하는 부분수열 ⟨⟩를 가진다. ⟨⟩가 에 수

렴한다고 하자. 그리고 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 자연수 이 존재

하여 일 때

이 성립한다. 또한 코시 조건에 의하여 자연수

가 존재하여 이고 일 때

이 성립한다.

max 라고 하자. 그러면 일 때

≤

이므로 ⟨⟩은 에 수렴한다. □

거리 공간 위에서 정의된 임의의 코시 수열이 수렴할 때 을 완비 공간(complete metric

space)이라고 부른다. 실수 집합 ℝ의 두 점 , 에 하여 는 와 의 거리가 된다. 이

러한 관점에서 실수계 ℝ는 거리 공간이다. 특히 ℝ에서 임의의 코시 수열이 수렴하므로 실수

계는 완비인 거리 공간이다.

코시 조건은 다음과 같이 나타낼 수도 있다.

수열 ⟨⟩이 코시 수열이라 함은 임의의 양수 에 하여 적당한 자연수 이 존재하여

인 자연수 과 임의의 자연수 에 하여 이 성립하는 것이다.


91디자이너앨리스2.8 상극한과 하극한

다음은 코시 조건을 이용하여 수렴을 증명하는 예이다.

예제 2.7.3 (축약 수열) ⟨⟩이 실수열이라고 하자. 만약 인 실수 가 존재하여 임

의의 자연수 에 하여 ≤ 을 만족시키면 ⟨⟩은 수렴한다.

증명 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 먼저 ≤ 이 성립한다. 또한 자연

수 에 하여 ≤ 이 성립한다고 가정하면

≤ ≤

이므로 임의의 자연수 에 하여 ≤ 이 성립한다. 따라서

≤

≤

≤

이다. 여기서 이므로 인 자연수 이 존재한다.

이제 이라고 하면 임의의 자연수 에 하여

≤

이므로 ⟨⟩은 코시 조건을 만족시킨다. 따라서 ⟨⟩은 수렴한다. □

축약 수열의 수렴성은 다음과 같이 비유적으로 표현할 수 있다.

나란히 있는 두 항 사이의 거리가 일정한 비율 이하로 가까워지는 수열은 수렴한다.

2.8 상극한과 하극한

수열 ⟨⟩이 으로 정의되었다고 하자. ⟨⟩의 항을 나열해보면

, , , , , , , , ⋯

로서 과 이 반복되므로 수렴하지 않는다. 그러나 부분수열 ⟨ ⟩은 에 수렴하는

수열이 되며 ⟨⟩은 에 수렴하는 수열이 된다. 또한 ⟨⟩의 어떠한 부분수열도 보다 큰

값에 수렴할 수 없으며 보다 작은 값에 수렴할 수 없다. 즉 은 ⟨⟩의 집적점 중에서 가

장 큰 것이며 은 ⟨⟩의 집적점 중에서 가장 작은 것이다. 이렇게 수열의 집적점 중에서

가장 큰 값을 상극한, 집적점 중에서 가장 작은 값을 하극한이라고 부른다.


2.8.1 정의 수열의 상극한과 하극한

수열 ⟨⟩의 집적점들의 모임을 라고 하자.

(ⅰ) ⟨⟩이 위로 유계이고 가 공집합이 아닐 때 sup를 ⟨⟩의 상극한(upper limit)

이라고 부르며 lim→∞

또는 limsup으로 표기한다.

(ⅱ) ⟨⟩이 아래로 유계이고 가 공집합이 아닐 때 in f를 ⟨⟩의 하극한(lower

limit)이라고 부르며

lim→∞

또는 limin f으로 표기한다.

(ⅲ) ⟨⟩이 위로 유계가 아니면 lim→∞

∞로 정의한다.

(ⅳ) ⟨⟩이 아래로 유계가 아니면

lim→∞


(ⅴ) ⟨⟩이 위로 유계이고 가 공집합이면 lim

→∞ ∞로 정의한다.

(ⅵ) ⟨⟩이 아래로 유계이고 가 공집합이면

lim→∞


위 정의에서 (ⅰ)과 (ⅱ)가 가장 중요한 정의이며, (ⅲ)~(ⅵ)는 수열이 유계가 아닌 경우를 보충

하기 위한 정의이다. 유계인 수열은 적어도 하나의 집적점을 가지므로 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 상극

한과 하극한을 갖게 된다.

보기 2.8.2 다음은 상극한과 하극한의 예이다.

(ⅰ) ⟨ ⟩의 상극한은 , 하극한은 이다.

(ⅱ) ⟨ ⟩의 상극한은 ∞ , 하극한은 이다.

(ⅲ) ⟨⟩의 상극한과 하극한은 모두 ∞이다.

(ⅳ) ⟨ ⟩의 상극한과 하극한은 모두 ∞이다.

(ⅴ) 일 때 ⟨⟩의 상극한과 하극한은 모두 이다.

(ⅵ) ⟨ ⟩의 상극한은 ∞이고 하극한은 ∞이다.

수열의 극한을 을 이용하여 정의한 것처럼 상극한도 을 이용하여 정의할 수 있다.

2.8.3 정리 상극한의 다른 정의

가 유계인 수열 ⟨⟩의 상극한일 필요충분조건은 두 조건

(ⅰ) ∀ ∃∈ℕ ∀∈ℕ → ,(ⅱ) ∀ ∀∈ℕ ∃∈ℕ ∧

을 모두 만족시키는 것이다.



위 정리에서 조건 (ⅰ)은 ⟨⟩의 부분수열이 보다 큰 값에 수렴할 수 없다는 뜻이며 조건

(ⅱ)는 에 수렴하는 부분수열이 존재한다는 뜻이다.

정리 2.8.3의 증명* (⇒ ) lim→∞

이라고 하자.

만약 (ⅰ)을 부정하면 적당한 양수 이 존재하여 아무리 큰 자연수 이 주어지더라도

인 이 존재하여 ≥ 을 만족시키게 된다. 즉 ≥ 인 의 개수가

무한이 되므로 ⟨⟩의 부분수열 중 이상의 값에 수렴하는 것이 존재하게 된다.

이것은 가 ⟨⟩의 상극한이라는 데에 모순이다.

만약 (ⅱ)를 부정하면 적당한 양수 과 자연수 이 존재하여 일 때마다

≤ 을 만족시키게 된다. 유한 개의 을 제외하고는 모두 ≤ 을 만족시

키게 되므로 ⟨⟩의 부분수열은 모두 이하의 값에 수렴하게 된다. 이것은 가

⟨⟩의 상극한이라는 데에 모순이다.

(⇐ ) 수열 ⟨⟩이 (ⅰ)과 (ⅱ)를 만족시킨다고 하자. 그리고 ⟨⟩의 상극한을 라고

하자. 그러면 에 수렴하는 부분수열 ⟨⟩가 존재한다.

만약 라면 는 양수이므로 자연수 이 존재하여 일 때

을 만족시킨다. 즉 유한 개의 항을 제외하면 이므로 수열

⟨⟩는 이하의 값에 수렴하게 된다. 이것은 모순이므로 ≤ 이다.

이제 (ⅰ)과 (ⅱ)에 의하여 인 이 존재한다. 또한 임의의 자연수

에 하여 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 이고

인 자연수 이 존재한다. 조임정리에 의하여 수열 ⟨⟩는 에 수렴한다. 그런데

는 ⟨⟩의 상극한이므로 ≤ 이다.

따라서 이므로 는 ⟨⟩의 상극한이다. □

하극한도 상극한과 마찬가지로 을 이용하여 정의할 수 있다.

2.8.4 정리 하극한의 다른 정의

가 유계인 수열 ⟨⟩의 하극한일 필요충분조건은 두 조건

(ⅰ) ∀ ∃∈ℕ ∀∈ℕ → ,(ⅱ) ∀ ∀∈ℕ ∃∈ℕ ∧

을 모두 만족시키는 것이다.


수열 ⟨⟩이 유계이고 상극한과 하극한이 로서 같다고 하자. 이 양수이면 정리 2.8.3의

(ⅰ)과 정리 2.8.4의 (ⅰ)에 의하여 자연수 이 존재하여 일 때

이 성립한다. 따라서 ⟨⟩은 에 수렴한다. 역으로 ⟨⟩이 에 수렴하면 ⟨⟩의 임의의

부분수열은 에 수렴하므로 ⟨⟩의 상극한과 하극한이 모두 가 된다. 따라서 다음과 같은

결론을 내릴 수 있다.

2.8.5 따름정리 수열의 수렴성과 상․하극한의 관계

유계인 수열 ⟨⟩이 에 수렴할 필요충분조건은 ⟨⟩의 상극한과 하극한이 모두 인

것이다.

수렴하는 수열의 극한에 해서는

lim→∞ lim

→∞ lim

→∞

이 성립한다. 그러나 상극한과 하극한에 해서는 등호가 성립하지 않는 경우도 있다.

예를 들어 이고

일 때

lim→∞

이지만lim→∞

lim→∞

이다. 이것을 일반화하면 다음 정리를 얻는다.

2.8.6 정리 상 ․하극한과 부등호의 관계

유계인 수열 ⟨⟩과 ⟨⟩에 하여 다음이 성립한다.

(ⅰ) lim→∞

≤lim→∞

lim→∞

(ⅱ)

lim→∞

≥

lim→∞

lim→∞

증명 수열 ⟨⟩의 상극한을 , ⟨⟩의 상극한을 라고 하자. 그리고 (ⅰ)의 부등식이 성립

하지 않는다고 가정하자. 그러면 양수 과 부분수열 ⟨ ⟩가 존재하여 임의의

에 하여 이 성립한다. 그러면

또는

을 만족시키는 의 개수가 무한이 된다.


95디자이너앨리스2.9 폐집합과 극한

이것은

lim→∞

≥

또는 lim→∞

≥

을 함의하므로 모순이다. 따라서 (ⅰ)이 성립한다. 비슷한 방법으로 (ⅱ)도 성립함을 증명

할 수 있다. □

2.8.7 정리 상․하극한의 다른 정의

유계인 수열 ⟨⟩에 하여 다음이 성립한다.

(ⅰ) lim→∞

in f sup ≥ lim→∞sup ≥

(ⅱ)

lim→∞

sup in f ≥ lim→∞in f ≥

증명 sup ≥ 이라고 하면 ⟨⟩은 단조 감소이다. 또한 ≥ in f 이므

로 ⟨⟩은 아래로 유계이다. 따라서 ⟨⟩은 수렴한다. 그 극한을 라고 하자. 극한의

정의에 의하여 임의의 양수 에 하여 인 자연수 이 존재한다.

이면 이므로 이다. 즉 정리 2.8.3의 (ⅰ)이 성립한다. 이제 자연수

가 임의로 주어졌다고 하자. max 라고 하면 이므로

인 이 존재한다. 즉 정리 2.8.3의 (ⅱ)가 성립한다. 따라서 는 ⟨⟩의

상극한이다.

또한 ⟨⟩은 단조 감소이므로 lim→∞

in f 이다. 이로써 (ⅰ)이 증명되었다.

비슷한 방법으로 (ⅱ)도 증명된다. □

2.9 폐집합과 극한

폐집합은 경계점을 모두 포함한다는 기하학적 성질뿐만 아니라 극한에 관한 중요한 성질을 가지

고 있다. 이 절에서는 폐집합과 극한의 관계를 살펴보자.

2.9.1 정의 폐포(closure)

실수 집합의 부분집합 에 하여 를 포함하는 모든 폐집합들의 교집합을 의 폐포라고

부르며 로 표기한다. 즉 를 포함하는 폐집합들의 모임을 라고 했을 때 ∈이다.

폐집합들의 교집합은 폐집합이므로 의 폐포 는 폐집합이다.


또한 를 포함하는 임의의 폐집합은 를 포함하므로 는 를 포함하는 폐집합 중에서 가

장 작은 것이다.

다음 정리는 폐포의 정의에 의해 자명하다.

2.9.2 따름정리 폐집합과 폐포의 관계

집합 가 폐집합일 필요충분조건은 인 것이다.

그러나 가 폐집합이 아닌 경우 를 포함하는 모든 폐집합을 생각하는 것은 어려우므로 더욱

쉽게 폐포를 구하는 방법이 있어야 할 것이다.

2.9.3 보조정리 점이 폐포에 속할 조건

실수 집합의 부분집합 에 하여 ∈일 필요충분조건은 임의의 양수 에 하여

∩≠∅인 것이다. 즉 ∈일 필요충분조건은 의 임의의 근방이 와 만나

는 것이다.

증명 이 명제를 직접 증명하지 않고 우를 증명하자. 먼저 ∉라고 하자. 는 폐집합이

므로 는 개집합이다. 따라서 양수 이 존재하여 ⊆

이다. 그런데 ⊆

이므로 동일한 에 하여 ∩ ∅이 된다.

역으로 적당한 양수 에 하여 ∩ ∅이 성립한다고 가정하자. 그러면

⊆ 이다. 그런데 이 폐집합이므로 ⊆ 이다. 즉

∩ ∅이므로 ∉이다. □

2.9.4 정리 폐포의 구성

실수 집합의 부분집합 에 하여 ∪′이다.

증명 먼저 ⊆ ∪′임을 증명하자. 이를 위하여 ∈라고 하자. ∈인 경우는 당연히

∈∪′이다. ∉인 경우 ∈∖이다. 양수 에 하여, 보조정리에 의하여,

∩≠∅이다. 따라서 ∈′이므로 ∈∪′이다.

다음으로 ∪′⊆ 임을 증명하자. 이를 위하여 ∈∪ ′라고 하자. ∈인 경

우는 당연히 ∈이다. ∉인 경우 ∈′∖이다. 그러면 는 의 집적점이므

로 임의의 양수 에 하여 ∩≠∅이다. 따라서 보조정리에 의하여 ∈이다. □


97디자이너앨리스2.9 폐집합과 극한

2.9.5 따름정리 도집합과 폐집합의 관계

집합 가 폐집합일 필요충분조건은 ′⊆ 인 것이다.

실수 가 집합 의 집적점이라는 것은 주변에 의 원소가 무수히 많이 몰려 있음을 의미

한다. 또한 위 정리에 의하여 가 폐집합일 필요충분조건은 ′⊆ 인 것이다. 한편 수열의

집적점은 집합의 집적점과 비슷하게 생각할 수 있다. 즉 가 수열 ⟨⟩의 집적점이라는 것은

주변에 ⟨⟩의 항이 무수히 많이 몰려 있음을 의미한다. 따라서 폐집합 위에서 정의된

수열의 집적점을 라고 했을 때 ∈가 됨을 직관적으로 알 수 있다.

2.9.6 정리 폐집합 위에서 수열의 극한

집합 가 폐집합이고 수열 ⟨⟩의 모든 항이 의 원소이며 가 ⟨⟩의 집적점이면

∈이다.

증명 결론에 반하여 ∉라고 하자. 그러면 ∈ 이고 는 개집합이므로 양수 이 존재

하여 ⊆ 가 된다. 즉 ∩ ∅이다. 그런데 ⟨⟩의 모든 항이

의 원소이므로 임의의 에 하여 ∉ 이다. 즉 에 속하는 ⟨⟩의

항이 존재하지 않으므로 ⟨⟩의 어떠한 부분수열도 에 수렴하지 않는다. 이것은 모순

이므로 ∈이다. □

2.9.7 따름정리 폐집합 위에서 수열의 극한

집합 가 폐집합이고 수열 ⟨⟩의 모든 항이 의 원소이며 ⟨⟩이 수렴하면 ⟨⟩의 극한은 의 원소이다. 즉 가 폐집합이면 에서 정의된 수렴하는 수열의 극한은

의 원소이다.

폐집합은 닫혀 있는 집합이라는 뜻이다. 여기서 닫혀 있다는 것은 기하학적으로는 경계를 모두

포함하여 내부를 닫았다는 뜻으로 생각할 수도 있지만, 해석학에서 폐집합은 극한에 하여 닫

혀 있다는 뜻으로 생각할 수 있다.

보기 2.9.8 다음은 폐집합과 극한의 관계에 관한 예이다.

(ⅰ) 반개구간 은 폐집합이 아니다. 왜냐하면 은 모든 항이 에 속하는 수

열이지만 에 수렴하므로 극한이 의 원소가 아니기 때문이다.

(ⅱ) ℝ는 폐집합이다. 왜냐하면 수렴하는 수열의 극한은 ℝ의 원소이기 때문이다.


한편 실수계에서 수열이 수렴할 필요충분조건은 코시 조건을 만족시키는 것이므로 다음과 같은

정리를 얻는다.

2.9.9 따름정리 폐집합의 완비성

실수 집합의 부분집합 이 공집합이 아니라고 하자. 이때 이 완비일 필요충분조건은 폐

집합인 것이다.

증명 집합 이 폐집합이고 수열 ⟨⟩이 코시 수열이며 ⟨⟩의 모든 항이 의 원소라고

하자. 그러면 ⟨⟩은 실수열이고 코시 수열이므로 적당한 실수 에 수렴한다. 집합

이 폐집합이므로 ∈이다. 따라서 은 완비이다.

역으로 이 완비라고 하자. 그리고 결론에 반하여 이 폐집합이 아니라고 하자. 그러면

∈ ′이지만 ∉인 실수 가 존재한다. 는 의 집적점이므로 임의의 자연수

에 하여 ∩ ≠∅이다. 따라서

∈∩

인 실수 이 존재한다. 이때 ⟨⟩은 에 수렴하므로 ⟨⟩은 코시 수열이고 정의에

의하여 ⟨⟩의 모든 항은 에 속한다. 그리고 이 완비이므로 ∈이다. 이것은

모순이므로 은 폐집합이다. □


1. 일반항이 다음과 같이 정의된 수열 ⟨⟩의 초항을 정해보아라.

(1)

(2) ln(3) ln

(4)

2. 정의를 잘 기억하는 방법 중 하나는 정의를 일상생활에서 사용하는 유의미한 언어로 표현

하는 것이다. 예를 들어 극한 → 의 정의는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

아무리 작은 양수 이 주어지더라도 그에 응할만한 충분히 큰 자연수 이 존재하

여 수열 ⟨⟩의 번째 항 이후로는 과 의 거리가 보다 작아진다.

다음 정의를 유의미한 언어로 표현해보자.

(1) 수열 ⟨⟩이 무한 에 발산한다.

(2) 수열 ⟨⟩이 유계이다.

(3) 수열 ⟨⟩의 상극한이 양의 무한 에 발산한다.



3. 정리의 증명을 잘 이해하고 기억하는 방법 중 하나는 증명을 몇 단계로 나누어 요약하는

것이다. 예를 들어, 코시 수열 ⟨⟩이 수렴함을 증명하는 과정은 다음과 같이 세 단계로

요약할 수 있다.

1단계 : ⟨⟩이 유계이다.

2단계 : ⟨⟩이 수렴하는 부분수열을 가진다. 그 집적점을 라고 하자.

3단계 : ⟨⟩이 에 수렴한다.

다음 물음에 답하여라.

(1) 정리 2.4.3의 증명 과정을 3단계로 나누어 요약하여라.

(2) 정리 2.6.4의 증명 과정을 2~3단계로 나누어 요약하여라.

4. 다음 집합 중에서 완비인 것과 그렇지 않은 것을 구분하여라.

(1) 모든 실수의 집합 (2) 모든 유리수의 집합

(3) 모든 무리수의 집합 (4) 모든 정수의 집합

(5) 모든 자연수의 집합 (6) 공집합이 아닌 유한집합

5. 흔히 완비성을 ‘빈틈없이 빽빽하다’는 것으로 표현한다. 유리수 집합과 정수 집합이 완비인

지 생각해보고 이러한 표현에 한 자신의 의견을 서술하여라.

6. 다음은 극한의 유일성을 다른 방법으로 증명한 것이다. 오류를 찾아라.

수열 ⟨⟩의 극한을 , 이라고 하자. 극한의 성질에 의하여

lim→∞ lim

→∞ lim

→∞ lim

→∞

이므로 즉 이다.

7. 집적점을 갖지 않는 수열의 예를 들어라.

8. 정확히 가부번 개의 집적점을 갖는 수열의 예를 들어라.

9. 수열 ⟨⟩의 부분수열의 부분수열은 ⟨⟩의 부분수열임을 증명하여라.

10. 등식 ∩ ∩가 성립하지 않는 집합 , 의 예를 들어라.

11. 극한 lim→∞ 을 이용하여 다음 극한을 계산하여라.

(1) lim→∞

(2) lim→∞

(3) lim→∞

(4) lim

→∞


12. 다음과 같이 정의된 수열 ⟨⟩이 유계인지 판별하여라.

(1) (2)

(3)

(4) sin (5) (6)


13. 수열 ⟨⟩의 일반항이 다음과 같이 주어졌을 때 lim→∞을 구하여라.

(1)

(2)

(3)

(4)

14. 오일러 상수 의 정의를 이용하여 다음 극한을 계산하여라.

(1) lim→∞

(2) lim→∞

(3) lim→∞

(4) lim→∞

(5) lim→∞

(6) lim→∞

15. 자연수 을 으로 나누었을 때의 나머지를 이라고 하자. 즉 의 일의 자리 숫자를

이라고 하자. 수열 ⟨⟩의 일반항이 다음과 같이 정의되었을 때 이 수열의 집적점을 모두

구하여라.

(1)

(2)

(3) (4)

16. 수열의 극한의 정의와 논법을 이용하여 다음을 증명하여라.

(1) lim→∞ (2) lim

→∞

(3) lim→∞

(4) lim

→∞

(5) lim→∞

(6) lim

→∞sin

17. 수열 ⟨⟩에 하여 lim→∞

이 에 수렴하고 이면 ⟨⟩은 에 수렴함을

증명하여라.



18. 수열 ⟨⟩이 에 수렴하면 lim→∞


19. 수열 ⟨⟩의 일반항이 다음과 같이 주어졌을 때 ⟨⟩이 수렴하는지 판별하여라.

(1) (2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8) cos(9) tan (10)

20. 양수 , , 에 하여 다음 극한을 구하여라.

(1) lim→∞

(2) lim→∞

(3) lim→∞

(4) lim→∞

위의 결과를 의 개수가 개일 때로 일반화하여라.

21. 양수 에 하여 극한 lim→∞

이 수렴함을 증명하고 극한을 구하여라.

22. 극한 lim→∞

이 수렴함을 증명하여라.

23. 수열 ⟨⟩이 ,

을 만족시킬 때 ⟨⟩은 수렴함을 보여라.

24. 두 수열 ⟨⟩과 ⟨⟩에 하여 이고

,

을 만족시킨다고 하자. 이때 ⟨⟩과 ⟨⟩은 동일한 값에 수렴함을 증명하여라.

25. 유계인 수열 ⟨⟩의 집적점들의 모임을 라고 하자. 이때 가 폐집합임을 보여라.

26. 수열 ⟨⟩에 하여 집합 ∈ℕ이 무한집합이라고 하자. 이때 ⟨⟩의 부분수열

들의 모임이 비가산임을 증명하여라.


27. 수열 ⟨⟩이 유계라고 하자. 만약 ⟨⟩의 수렴하는 부분수열이 모두 동일한 값에 수렴

하면 ⟨⟩은 수렴함을 증명하여라.

28. 두 증가 함수의 합성이 증가 함수임을 증명하여라.

29. 수열 ⟨⟩이 수렴하면 lim→∞ lim→∞ 임을 증명하여라.

30. 수열 ⟨⟩에 하여 ⟨⟩과 ⟨ ⟩이 모두 에 수렴하면 ⟨⟩도 에 수렴함을

증명하여라.

31. 수열 ⟨⟩이 ,

을 만족시킨다고 하자.

(1) 를 에 한 식으로 나타내어라. 또한 을 에 한 식으로 나

타내어라.

(2) 임의의 에 하여 ≤

≤ 임을 증명하여라.

(3) ⟨⟩이 단조 증가이고 ⟨ ⟩이 단조 감소임을 증명하여라.

(4) ⟨⟩과 ⟨ ⟩이 동일한 값에 수렴함을 증명하여라.

(5) ⟨⟩이 수렴함을 증명하여라.

32. 실수 집합의 부분집합 가 공집합이고 위로 유계이지만 최댓값을 갖지 않는다고 하자. 이

때 모든 항이 에 속하면서 sup에 수렴하는 순증가 수열이 존재함을 증명하여라.

33. 수열 ⟨⟩이 에 수렴하고 , 이 성립할 때 ⟨⟩의

일반항을 구하여라.

34. 실수 집합의 부분집합 가 개집합이면 끝점이 유리수인 개구간 들이 존재하

여 ∪임을 증명하여라.

35. 임의의 실수 에 하여 에 수렴하고 순증가인 유리수열이 존재함을 증명하여라.

36. 임의의 수열은 단조인 부분수열을 가짐을 증명하여라.

37. 수열 ⟨⟩과 ⟨⟩이 유계이고 임의의 에 하여 ≤ 이 성립한다고 하자. 이때

lim→∞

≤lim→∞

이고

lim→∞

≤

lim→∞


38. 수열 ⟨⟩과 ⟨⟩이 유계이고 모든 항이 양수일 때 lim→∞

≤ lim→∞lim→∞임을 증명하여라.

39. 유계인 수열 ⟨⟩에 하여 lim→∞

lim→∞





40. 수열 ⟨⟩이 에 수렴하면 lim→∞


41. 수열 ⟨⟩의 모든 항이 양수이고 에 수렴하면 lim→∞


42. 구간 의 모든 점을 집적점으로 가지는 수열의 예를 들어라.

43. 수열 ⟨⟩에 하여 , 이고 인 가 존재하여 임의의 에 하

여 을 만족시킨다고 하자. 이때 ⟨⟩이 수렴함을 증명하여라.

44. 수열 ⟨⟩이 수렴하고 ⟨⟩이 유계일 때 다음 등식이 성립함을 증명하여라.

lim→∞

lim→∞ lim→∞

45. 수열 ⟨⟩이 수렴하고 ⟨⟩이 유계이며 두 수열의 모든 항이 양수일 때 다음 등식

이 성립함을 증명하여라.lim→∞

lim→∞lim→∞46. 실수 집합의 부분집합 가 완비일 필요충분조건은 의 부분집합 가 공집합이 아니고

유계일 때마다 의 상한과 하한이 의 원소가 되는 것임을 증명하여라.

47. 실수 집합의 부분집합 가 개집합이면 서로소인 가산 개의 개구간 들이 존재하여

∪임을 증명하여라.


48. 거리 공간에서 수열의 극한을 어떻게 정의하는지 찾아보자.

49. 수열 ⟨⟩을 으로 표기하는 경우가 있다. 그 이유를 조사해 보자.

50. 위상 수학에서 수열의 극한을 어떻게 정의하는지 찾아보고 정리 2.1.9와 비교해 보자.

51. 위상 수학에서 그물(net)의 정의를 살펴보고 수열의 정의와 비교해 보자.

52. 수열을 귀납적으로 정의한다는 것의 의미를 조사해 보자.

53. 패리 수열(Farey sequence)에 하여 조사해 보자.

54. 피보나치 수열(Fibonacci sequence)에 하여 조사해 보자.


55. 컴퓨터 공학에서 자료구조의 단순연결 리스트의 개념을 조사하고 이것이 수열의 귀납적 정

의와 어떠한 관계가 있는지 살펴보자.

56. 다음은 어느 고등학생의 질문이다.

유리수의 개수가 자연수의 개수와 같다는 것을 납득할 수가 없어요. 자연수 집합으로

부터 유리수 집합에로의 일 일 응 ℕ → ℚ가 존재한다고 했는데, 그러면

이라고 하면 ⟨⟩은 수열이잖아요. 그런데 수열은 규칙을 가지고 수를 나

열한 거잖아요. 아무리 봐도 그런 수열은 만들 수 없을 것 같은데요.

당신은 이 학생에게 어떠한 답을 해주겠는가?

57. 고등학교 2학년 학생이 당신에게 다음과 같은 내용의 편지를 보냈다.

수학자들이 연구하는 극한은 허무하고 의미 없는 개념이라 생각합니다. 사람은 실제로

어떠한 행위를 무한 번 할 수 없으며 무한에 다가갈 수 없습니다. 인간은 한정된 능력

으로 다가갈 수 없는 무한에 한 동경심을 가지고 있으며 극한은 인간의 한계를 벗어

나려고 하는 욕심일 뿐입니다. 실제로 임의의 자연수 에 하여 은 양수로서 절

로 과 같아질 수 없지만 ⟨⟩의 극한이 이라는 것과 더욱이 그것에 등호를

사용하여 나타내는 것은 모순입니다. 또한 ⟨⟩의 극한을 무한 라 칭하며 ∞로 나타

내고 마치 그것에 다가간 것처럼 등호를 사용하여 나타내는 것 또한 모순입니다.

당신은 이 학생에게 어떠한 내용으로 답장을 쓰겠는가?

58. 수능시험을 마친 고등학교 3학년 학생 중에서 수학에 관련된 학과에 진학하는 학생들에게

실수의 완비성에 한 수업을 하려고 한다. 2차시(100분)동안 수업할 수 있는 교수 ․ 학습

안을 작성하여 보아라.

수학에서의 은유수학 교육

수학에는 ‘교차한다’, ‘교환한다’, ‘접근한다’, ‘접한다’ 등과 같은 일상적인 언어를 사용한 은유

적 표현으로 충만해 있다. 우리는 새로운 생각을 표현할 언어가 없는 경우 은유를 사용하게

되며, 은유를 사용하여 경험을 새롭게 조직하여 의미를 창조하기도 한다. 은유를 사용한 설명

은 이해에 도움이 되기도 하지만 조절이 불충분할 경우 중요한 점을 놓치기도 한다. 은유는

수학적 사고의 발달에서 ‘인식론적 장애’의 근원이 되기도 한다.

일반적으로 은유는 어떤 이름이나 서술적 용어를 글자 뜻 그 로 적용할 수 없는 상에 적

용하는 것 또는 어떤 경험을 다른 경험과 연결하여 그 관계로부터 의미를 창안하는 것으로,

‘전이’나 ‘이전’을 의미하는 그리스어 metaphora에서 유래된 말이다. 은유는 암묵적인 형태의



유추로 간주될 수 있다. 두 경험을 비교할 때 유추에서는 ‘A는 B와 같다’라고 말하는 데 비

해, 은유에서는 ‘A는 B이다’라고 말한다. 어느 경우이건 두 영역의 몇 가지 요소만을 언급하

며, 유사한 요소는 비교의 근거가 되고 유사하지 않은 요소는 긴장을 초래한다. 근거와 긴장

은 은유의 본질적인 요소이다. 은유에 이전 경험으로 새로운 경험을 구조화하는 특별한 힘이

부여되고 표현의 불가피한 요소인 모호성이 수반되는 것은 이러한 유사성과 비유사성의 동시

적인 인식 때문이다. 은유의 힘은 그것이 이미 존재하는 개념으로 새로운 개념의 의미를 이

해하는 데 사용된다는 데 있다. 이미지 수준에서의 이해는 기본적으로 은유인 것이다.

다음은 역사적으로 발생하였거나 또는 학교 현장에서의 교수의 방법으로 알려진 은유의 몇

가지 보기이다.

• 집합론의 은유 : 집합을 그릇에 비유하는 용기 스키마 은유, 집합을 상으로 보아서 집합

이 다른 집합의 원소가 되는 것이 가능해지는 상 은유, 두 집합에 일 일 응을 이용하

여 기수 개념을 도입한 칸토어의 은유.

• 함수의 은유 : 투입 상으로부터 산출 상을 구성하는 기계 즉 산술 알고리즘으로서의

은유, 집합 사이의 응 은유, 순서쌍 집합으로서의 은유.

• 데카르트의 평면의 은유적 구조 : 좌표평면을 도입함으로써 기화와 수가 개념적으로 혼

합되어 은유적으로 ‘점인 수’들의 모임인 좌표평면으로서의 은유.

• 연속함수의 은유 : ‘손을 자유롭게 움직여 그려지는 하나의 곡선’이라는 오일러의 은유, ‘한

여행자가 한 직선을 따라 무한히 갔을 때 그는 무한 점에 더 가까이 간다’는 은유, ‘가

에 가까이 다가갈 때 가 에 가까이 다가간다’는 직관적 극한으로서의 은유.

이러한 은유는 시간이 흐름에 따라 다른 은유로 체되기도 하고 두 가지 이상의 은유가 상

황에 따라서 병렬적으로 사용되기도 한다. 이를테면 곡선이나 평면을 개념화하는 데는 자연

적 연속체로 보는 방법과 점의 집합으로 보는 두 가지 방법이 있다. 칸토어는 집합론에 수학

의 기초를 세우기 위하여 모든 것을 점의 집합으로 볼 것을 요구하였고 바이어슈트라스는 그

의 극한과 연속성의 개념의 산술화에서 이러한 점의 집합으로서의 곡선, 집합으로서의 수, 점

으로서의 수라는 은유를 결합하여 결국 ‘ ’의 방법으로 극한을 정의하게 되었다. 이것은

연속함수의 근접성 보존 개념을 순수하게 정적이고 이산적인 용어로 재개념화한 것이다.

수학은 궁극적으로 인간의 두뇌와 경험에 바탕을 두고 있고, 형식적인 기법과 형식적인 증명

은 수학적 아이디어를 표현하는 한에서 흥미롭다. 기본적인 수학적 개념은 일상적인 경험에

은유적으로 기초하고 있으며 일상적인 개념체계를 사용한다. 따라서 학생들이 수학을 그 아

이디어로 이해하도록 해야 하며 매우 많은 수학적 아이디어가 은유적인 것이므로 수학교육은

필연적으로 수학의 그러한 은유적인 구조를 가르쳐야 한다.

106

⋯

⋯

⋯

cos sin

′d

제 3 장 실함수의 극한

제 3 장

실함수의 극한

함수의 극한에는 한 점에서의 극한과 무한 에서의 극한이 있다. 한 점에서의 극한은 변수가 어

떠한 점에 한없이 가까이 다가갈 때의 극한이며 무한 에서의 극한은 수열의 극한과 마찬가지로

변수가 한없이 커질 때의 극한이다. 실수열은 정의역이 정수 집합의 부분집합이고 공역이 실수

인 함수이다. 즉 수열은 함수의 특별한 경우이고 역으로 함수는 수열의 일반적인 경우이므로 함

수의 극한은 수열의 극한을 일반화한 것으로 볼 수 있다. 이 장에서는 함수의 극한의 개념을 살

펴보고 이를 이용하여 함수의 다양한 성질을 밝힌다.

3.1 한 점에서의 극한

함수 에 하여 가 에 가까이 다가갈 때 가 에 가까이 다가간다는 개념은 극한의

직관적 정의이다. 다항함수나 지수함수와 같은 단순한 연속함수에 해서는 이러한 개념으로도

극한을 논의할 수 있다. 그러나 극한의 직관적 개념만으로는 더욱 일반적인 함수의 극한을 다룰

수 없게 된다. 예를 들면 함수 → ℝ가 유리수 에 해서는 , 무리수

에 해서는 으로 정의되었을 때 직관적인 극한의 개념으로 이 함수의 극한을 구할

수가 없다. 따라서 일반적인 함수의 극한을 논의하기 위해 극한을 논리적으로 정의해야 한다.

변수 가 한 점 에 다가감에 따라 가 실수 에 다가간다는 말의 뜻을 생각해보자. 만약

근처의 구간을 작게 설정하더라도, 즉 아주 작은 양수 을 생각하여 치역을 개구간

으로 제한하더라도 가 에 충분히 가까이 다가가면 의 값은 구간

에 속하게 된다. 여기서 가 에 충분히 가까이 다가간다는 것은 충분히 작은

양수 에 하여 ∈ 인 것을 의미한다. 그런데 함수의 극한은 함숫값과 무관하

므로 ∈ 를 ∈ ∪ 로 바꿀 수 있다.

이것을 정리하면 다음과 같다. 아무리 작은 양수 이 주어진다 하더라도 충분히 작은 양수 가

존재하여 ∈ ∪ 이면 ∈ 이 된다. 여기서 는 의

정의역의 원소이다. 이로써 다음 정의를 얻는다.

3.1.1 정의 한 점에서 함수의 극한

함수 → ℝ와 의 집적점 , 그리고 실수 이 주어졌다고 하자. 만약 임의의 양수

에 하여 적당한 양수 가 존재하여 인 임의의 ∈에 하여

이 성립하면 는 에서 에 수렴한다 또는 는 에서 극한 을 가진다

고 말한다.

Ⅲ 실함수의 극한

107디자이너앨리스3.1 한 점에서의 극한

참고로 정의 3.1.1에서 는 반드시 의 집적점이어야 한다. 왜냐하면 가 의 집적점이 아닌

경우 의 근방에 의 원소 가 존재하지 않을 수도 있기 때문이다.

예제 3.1.2 함수 가 로 정의되었을 때 는 에서 에 수렴한다.

증명 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 이라고 하면 인 에 하여

이다. 의 정의역은 ≥ 이므로 ≥ 이다. 따라서

≤

이다. 즉 이므로 는 에서 에 수렴한다. □

예제 3.1.3 함수 가 로 정의되었을 때 는 에서 에 수렴한다.

증명 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. min 이라고 하면 인 임

의의 에 하여

이다. 이므로 이다. 따라서 위 부등식으로부터

≤

을 얻는다. 즉 이므로 는 에서 에 수렴한다. □

수열의 극한과 마찬가지로 함수의 극한도 유일하다.

3.1.4 정리 함수의 극한의 유일성

함수 가 에서 수렴하면 그 극한은 유일하다.

증명 함수 가 에서 에 수렴하고 또 가 에서 에 수렴한다고 하자. 극한의 정의

에 의하여 양수 이 존재하여 일 때

이다. 마찬가지로 양수 가 존재하여 일 때

이다. min 라고 하면 는 양수이다. 따라서 일 때

≤

이다. 은 임의의 양수이므로 즉 이다. □

108 제 3 장 실함수의 극한

함수의 극한이 유일하므로 그것을 기호로 나타낼 수 있다. 가 에서 에 수렴할 때 그것을

기호로

lim→ 또는

→

로 나타낸다.

수렴하는 수열이 유계인 것처럼 한 점에서 수렴하는 함수는 그 점의 근방에서 유계이다.

3.1.5 정리 수렴하는 함수의 유계성

함수 가 에서 수렴하면 는 의 근방에서 유계이다.

함수 가 의 근방에서 유계라는 말은 적당한 양수 가 존재하여 에서 가 유계라는

것을 의미한다. 일반적으로 함수 가 의 근방에서 조건 를 만족시킨다는 것은 적당한 양수

가 존재하여 임의의 ∈ 에 하여 가 를 만족시킨다는 것을 의미한다.

정리 3.1.5의 증명 함수 가 에서 에 수렴한다고 하자. 은 양수이므로 극한의 정의에

의하여 양수 가 존재하여 일 때 이다. 이것을 변형하면

을 얻는다. 만약 가 의 정의역의 원소라면 max 라고 하자. 만약 가 의 정의역의 원소가 아니라면 이라고 하자.

그러면 동일한 양수 에 하여 ∈ 일 때 ≤ 이다. 따라서 는 의

근방 에서 유계이다. □

다음은 함수의 극한과 수열의 극한의 관계를 설명하는 정리이다.

3.1.6 정리 수열 판정법(sequential test)

함수 → ℝ와 의 집적점 가 주어졌다고 하자. 가 에서 에 수렴할 필요충분

조건은, 에 수렴하고 ∈∖인 임의의 실수열 ⟨⟩에 하여 수열 ⟨ ⟩이

에 수렴하는 것이다.

증명 (⇒ ) 함수 가 에서 에 수렴한다고 가정하자. 그리고 정리의 조건을 만족시키는 수열

⟨⟩이 임의로 주어졌다고 하자. 양수 에 하여, 극한의 정의에 의하여, 양수 가 존

재하여 일 때 이 성립한다. 는 양수이므로 자연수 이

존재하여 일 때 가 성립한다. 특히 ≠ 이므로 일 때

이고 따라서 이 성립한다. 따라서 수열 ⟨ ⟩은

에 수렴한다.



(⇐ ) 함수 가 에서 수렴하지 않는다고 가정하자. 그리고 이 임의로 주어진 실수라고

하자. 그러면 는 에서 에 수렴하지 않으므로 적당한 양수 이 존재하여 임의의 양수

에 하여 이면서 ≥ 인 가 존재한다. 이것을 변형하면

임의의 자연수 에 하여

이면서 ≥ 인 ∈가 존재한다. 이때 수열 ⟨⟩은 에 수렴하지만

⟨ ⟩은 에 수렴하지 않는다. □

위 정리는 → ℝ가 에서 에 수렴하는 경우, → 이고 ∈∖인 임의의

수열 ⟨⟩에 하여

lim→ lim

→∞

로 계산할 수 있음을 의미한다.

수열 판정법을 이용하면 함수의 극한이 수렴하지 않는 경우를 쉽게 증명할 수 있다. 이러한 이

유 때문에 수열 판정법을 발산 판정법 또는 불연속 판정법이라고 부르기도 한다.

예제 3.1.7 정의역이 구간 인 특성함수 ℚ는 의 어떠한 점에서도 수렴하지 않

는다.

특성함수(characteristic function) 는 다음과 같이 정의된 함수이다.

i f ∈ i f ∈

즉 ∈일 때에만 의 값을 갖고 그 외에는 의 값을 갖는 함수이다. 이 예제에서 주어진 함

수 ℚ는 유리수인 점에서는 의 값을 갖고 무리수인 점에서는 의 값을 갖는 함수이다.

예제 3.1.7의 증명 ∈ 이라고 하자. 그리고 결론에 반하여 가 에서 수렴한다고 가정

하자. 유리수의 조 성에 의하여 에 수렴하고 ∈ ∖인 유리수열 ⟨⟩이

존재한다. 또한 무리수의 조 성에 의하여 에 수렴하고 ∈ ∖인 무리수열

⟨⟩이 존재한다. 수열판정법에 의하여

lim→∞ lim

→∞ lim

→ lim

→∞ lim

→∞

이므로 극한의 유일성에 의하여 이다. 이것은 모순이므로 는 에서 어떠한 값에도

수렴하지 않는다. □


공역이 폐집합 인 수열이 수렴하면 그 극한은 의 원소이다. 이것은 함수의 극한에서도 똑같

이 성립한다.

3.1.8 정리 폐집합 위에서 함수의 극한

함수 → 에 하여 가 의 집적점이라고 하자. 만약 가 폐집합이고 가 에

서 에 수렴하면 ∈이다.

증명 가 의 집적점이므로 에 수렴하고 ∈∖인 수열 ⟨⟩이 존재한다. 이때

수열 ⟨ ⟩의 모든 항은 의 원소이고 에 수렴하므로 수열의 극한의 성질에 의하

여 ∈이다. □

수열 ⟨⟩의 극한은 이 무한히 커질 때에만 생각하였다. 그러나 점 에서 함수 의 극한은

가 에 가까이 다가갈 때 가 다가가는 값을 생각한 것이다. 이때 수직선 위에서 는

의 왼쪽으로 다가갈 수도 있고 의 오른쪽으로 다가갈 수도 있다. 이러한 경우를 구분하여 좌극

한과 우극한을 정의할 수 있다.

3.1.9 정의 좌집적점, 우집적점

실수 가 집합 의 좌집적점이라 함은 가 ∞ ∩의 집적점인 것이다. 즉 임의

의 양수 에 하여 ∩≠∅일 때 를 의 좌집적점이라고 부른다. 실수

가 집합 의 우집적점이라 함은 가 ∞∩의 집적점인 것이다. 즉 임의의 양수

에 하여 ∩≠∅일 때 를 의 우집적점이라고 부른다.

직관적으로 가 의 좌집적점이라는 것은 의 왼쪽에 의 점들이 무수히 많이 몰려있다는

것을 뜻한다. 또한 가 의 우집적점이라는 것은 의 오른쪽에 의 점들이 무수히 많이 몰

려 있다는 것을 뜻한다.

보기 3.1.10 다음은 좌집적점과 우집적점의 예이다.

(ⅰ) 은 의 우집적점이고 은 의 좌집적점이다.

(ⅱ) 은 ℚ의 좌집적점인 동시에 우집적점이다.

(ⅲ) 은 ℤ의 좌집적점도 아니고 우집적점도 아니다.

(ⅳ) 는 ℚ의 좌집적점인 동시에 우집적점이다.

(ⅴ) 는 의 좌집적점도 아니고 우집적점도 아니다.

(ⅵ) 공집합은 좌집적점도 갖지 않고 우집적점도 갖지 않는다.



3.1.11 정의 좌극한, 우극한

함수 → ℝ에 하여 가 의 좌집적점이고 가 의 우집적점이라고 하자. 만약

임의의 양수 에 하여 적당한 양수 가 존재하여 인 임의의 ∈에

하여 이 성립하면 는 에서 좌극한 를 가진다고 말한다. 또한 임의의

양수 에 하여 적당한 양수 가 존재하여 인 임의의 ∈에 하여

이 성립하면 는 에서 우극한 를 가진다고 말한다.

위 정의에서 좌극한과 우극한은 유일하다. 따라서 가 에서 좌극한 를 가질 때 그것을 다음

과 같이 나타낸다.

lim→

또는

마찬가지로 가 에서 우극한 를 가질 때 그것을 다음과 같이 나타낸다.

lim→

또는

함수 → ℝ에 하여 가 의 좌집적점인 동시에 우집적점이라고 하자. 그리고 가

에서 에 수렴한다고 하자. 그러면 임의의 양수 에 하여 적당한 양수 가 존재하여

인 ∈에 하여 이 성립한다. 따라서

⇒ ⇒

이고

⇒ ⇒

이므로 이다.

이번에는 역으로 이라고 가정하자. 좌극한과 우극한의 정의에 의하여 양

수 이 존재하여 일 때

이 성립한다. 마찬가지로 양수 가 존재하여 일 때

이 성립한다. min 이고 라고 하자. 그러면 일 때에

는 이므로 이고 마찬가지로 일 때에는

이므로 이다. 즉 에서 는 에 수렴한다. 따라서 다음과 같은

결론을 얻는다.

3.1.12 정리 함수의 극한과 좌․우극한의 관계

함수 → ℝ에 하여 가 의 좌집적점인 동시에 우집적점이라고 하자. 이때 가

에서 에 수렴할 필요충분조건은 이면서 인 것이다.


3.2 극한의 계산

앞서 2단원에서 수렴하는 두 수열 ⟨⟩, ⟨⟩에 하여

lim→∞ lim

→∞ lim

→∞ , lim

→∞ lim→∞lim→∞

이 성립함을 살펴보았다. 한 점에서 수렴하는 함수의 극한도 비슷한 성질을 가진다.

3.2.1 정리 함수의 연산과 극한

두 함수 → ℝ , → ℝ가 의 집적점 에서 수렴하고

lim→ , lim

→

라고 하자. 이때 다음이 성립한다.

(ⅰ) 는 에서 수렴하고 lim→ 이다.

(ⅱ) 는 에서 수렴하고 lim→ 이다.

(ⅲ) ≠이면 는 에서 수렴하고 lim→ 이다.

(ⅳ) 자연수 에 하여 lim→ 이다.

참고로 이 정리에서 함수 , , 는 다음과 같이 정의된 함수이다.

,

,

.

정리 3.2.1의 증명 수열 ⟨⟩이 에 수렴하고 임의의 에 하여 ∈∖라고 하자.

그러면 수열의 극한의 성질에 의하여 다음을 얻는다.

lim→ lim

→∞

lim→∞ lim

→∞

lim→ lim

→ ,

lim→ lim

→∞

lim→∞ lim→∞ lim→ lim→ .

따라서 수열 판정법에 의하여 (ⅰ)과 (ⅱ)가 성립한다.



이제 ≠이라고 하자. 그러면 lim→∞ ≠ 이므로

lim→ lim

→∞

lim→∞ lim→∞ lim→ lim→

이다. 따라서 수열판정법에 의하여 (ⅲ)이 성립한다. 끝으로 자연수 에 하여

lim→ lim

→∞

lim→∞ lim→

이므로 (ⅳ)가 성립한다. □

정리 3.2.1의 다른 증명 (ⅰ) 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 양수 이 존재하여

인 모든 ∈에 하여

을 만족시킨다. 또한 양수 가 존재하여 인 모든 ∈에 하여

을 만족시킨다. 이제 min 라고 하면 인 모든 ∈에 하여

≤

이 성립하므로 → 일 때 → 이다.

(ⅱ) 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 양수 이 존재하여 인

임의의 ∈에 하여

이 성립한다. 이 부등식을 변형하면

을 얻는다. 또한 양수 가 존재하여 인 임의의 ∈에 하여

이 성립한다.


다시 양수 이 존재하여 인 임의의 ∈에 하여

이 성립한다. 이제 min 이라고 하면 인 임의의 ∈에

하여

≤

이므로 → 이다.

(ⅲ) 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. ≠이므로 양수 이 존재하여

인 임의의 ∈에 하여

가 성립한다. 이 부등식을 변형하면

,

를 얻는다. 또한 양수 가 존재하여 인 임의의 ∈에 하여

이 성립한다. 이제 min 라고 하면 인 임의의 ∈에 하여

이므로 → 이다. 여기에 (ⅱ)의 결과를 이용하면 → 를 얻

는다. □

위 정리의 증명 과정에서와 같이 함수의 극한의 성질은 부분 수열의 극한의 성질로부터 유도

할 수 있다.

3.2.2 정리 함수의 극한과 부등호의 관계

두 함수 → ℝ , → ℝ가 의 집적점 에서 수렴한다고 하자. 만약 양수

가 존재하여 임의의 ∈ ′ 에 하여 ≤ 이면

lim→ ≤ lim

→

이다.



증명 수열 ⟨⟩이 에 수렴하고 임의의 에 하여 ∈∖를 만족시킨다고 하자.

수열의 극한의 정의에 의하여 자연수 가 존재하여 인 임의의 에 하여

∈ ′ 를 만족시킨다. 따라서 일 때 ≤ 이므로 수열의 극한

의 성질과 수열 판정법에 의하여

lim→ lim

→∞ ≤ lim

→∞ lim

→


다른 방법의 증명 에서 의 극한을 , 의 극한을 라고 하자. 결론에 반하여 라고

가정하자. 그러면

는 양수이다. 양수 이 존재하여 인 임의

의 ∈에 하여 이 성립한다. 또한 양수 가 존재하여

인 임의의 ∈에 하여 이 성립한다.

min 라고 하자. 그러면 인 임의의 ∈에 하여

이므로 모순이다. 따라서 ≤ 이다. □

3.2.3 정리 조임 정리

함수 , , 의 정의역이 이고 가 의 집적점이라고 하자. 의 삭제된 근방에서

≤ ≤ 이고 와 가 에서 에 수렴하면 도 에서 에 수렴한다.

의 삭제된 근방에서 ≤ ≤ 라는 것은 양수 가 존재하여 ∈ ′ ∩인 임의의

에 하여 ≤ ≤ 가 성립한다는 것을 의미한다.

참고로 정의역이 인 두 함수 , 가 집합 위에서 ≤ 를 만족시킨다는 것은 임의의

∈∩에 하여 ≤ 가 성립한다는 것을 의미한다.

정리 3.2.3의 증명 수열 ⟨⟩이 에 수렴하고 임의의 에 하여 ∈∖를 만족시킨

다고 하자. 수열의 극한의 정의에 의하여 자연수 가 존재하여 일 때

∈ ′ 를 만족시킨다. 따라서 일 때 ≤ ≤ 이므로 수

열의 극한의 조임 정리와 수열 판정법에 의하여

lim→ lim

→∞ ≤ lim

→∞ ≤ lim

→∞ lim

→

이다. 따라서 다시 수열 판정법에 의하여

lim→ lim

→∞

이므로 는 에서 에 수렴한다. □


3.2.4 정리 단조 수렴

함수 의 정의역이 이고 가 의 좌집적점이며 가 의 우집적점이라고 하자. 만약

가 단조이면 에서 의 좌극한이 수렴하고 에서 의 우극한이 수렴한다.

증명 일반성을 잃지 않고 가 단조증가라고 하고 sup ∈ 라고 하자.

이제 에서 의 좌극한이 에 수렴함을 증명하자. 이 임의로 주어졌다고 하자. 상한의

성질에 의하여 ≤ 이고 인 ∈가 존재한다. 라고 하면

일 때 이므로

≤ ≤

이다. 즉 이므로 에서 의 좌극한은 에 수렴한다.

비슷한 방법으로 in f ∈ 에 하여 임을 증명할

수 있다. □

보기 3.2.5 가우스 함수는 max∈ℤ ≤ 로 정의된 함수이다. 일 때

∈ℤ ≤ ⊆ ∈ℤ ≤ 이므로 ≤ 이다. 따라서 가우스 함수는 단조 증가 함수이므로 모든 점에서 좌극한과 우

극한을 가진다. 임의의 실수 에 하여 이며 정수가 아닌 실수 에 하여

이다. 또한 정수 에 해서는 이다.

3.3 연속 함수

중등학교에서는 함수 가 에서 연속인 것을 에서 의 극한이 에 수렴하는 것으로 정의

한다. 그러나 이러한 정의만으로는 일반적인 함수의 연속성에 하여 논하기가 어렵다. 이 절에

서는 함수의 연속성을 논리적으로 정의하고 연속함수의 간단한 성질을 살펴본다.

3.3.1 정의 함수의 연속성

함수 의 정의역이 이고 ∈라고 하자. 만약 임의의 양수 에 하여 양수 가 존재

하여 인 임의의 ∈에 하여 이 성립하면 는 에서

연속(continuous)이라고 말한다. ⊆ 이고 임의의 ∈에서 가 연속이면 는 에서

연속이라고 말한다. 가 정의역의 모든 점에서 연속이면 는 연속이다고 말하고 정의역의

모든 점에서 연속인 함수를 연속 함수라고 부른다.

점 에서 의 연속성을 극한을 이용하여 정의하면 가 의 정의역의 집적점일 때에만 정의된

다. 그러나 위와 같은 정의는 가 의 집적점이 아닐 때에도 정의된다.


117디자이너앨리스3.3 연속 함수

3.3.2 정리 연속성과 극한의 관계

함수 의 정의역이 이고 ∈라고 하자. 가 에서 연속일 필요충분조건은 가 의

집적점이 아니거나, 가 의 집적점인 경우 에서 의 극한이 에 수렴하는 것이다.

참고로 ∈이지만 ∈′일 때 를 의 고립점(isolated point)이라고 부른다.

정리 3.3.2의 증명 (⇒ ) 명제 → ∨ 이 참임을 증명할 때에는 는 참이지만 는 참이

아니라고 하면 결국 이 참이 됨을 증명하면 된다. 가 에서 연속이고 가 의 고립

점이 아니라고 하자. 그러면 ∈′이다. 이제 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 연속의

정의에 의하여 양수 가 존재하여 일 때 이 성립한다. 이

때 당연히 일 때에도 이 성립한다. 따라서 함수 는

에서 에 수렴한다.

(⇐ ) 먼저 가 의 고립점인 경우를 증명하자. 는 의 집적점이 아니므로 적당한 양

수 가 존재하여 ′ ∩ ∅이다. 즉 ∩ 이다. 따라서 임의의

양수 에 하여 이고 ∈인 것은 일 때뿐이므로 당연히

이다.

이번에는 가 의 집적점이고 에서 함수 가 에 수렴한다고 하자. 그리고 양수

이 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 극한의 정의에 의하여 양수 가 존재하여

일 때 이 성립한다.

여기서 라고 하면 ≠일 때에는 이므로

이고 일 때에는 당연히 이다. 따라서 는 에서

연속이다. □

함수의 연속성은 개집합을 이용하여 정의할 수도 있다. 이를 위하여 먼저 상 적 개집합의 개념

을 살펴보자.

점 가 의 내점이라는 것은 양수 가 존재하여 일 때마다 ∈가 성립하는 것

이다. 여기서 는 전체 공간의 점이다. 전체 공간이 ℝ인 경우 는 실수이다. 그러나 전체 공

간이 와 같은 폐구간인 경우 는 의 원소에 한정된다. 예를 들어 전체 공간이 ℝ인 경우 는 의 내점이 아니다. 그러나 전체 공간이 인 경우 에 하여

인 임의의 ∈ 에 하여 ∈ 가 되므로 는 의 내점이 된다.

개집합에 해서도 마찬가지로 생각할 수 있다. 전체 공간이 ℝ인 경우 는 의 내점이

아니다. 그러나 전체 공간이 인 경우 의 모든 원소는 의 내점이 되므로

는 개집합이다. 이것은 본래 전체 공간 ℝ에서 개집합이었던 가 전체 공간이

로 축소되면서 오른쪽 부분이 잘려나가고 가 된 것으로 생각할 수 있다.


3.3.3 정의 상대적 개집합, 상대적 폐집합

집합 이 ℝ의 부분집합이고 와 가 의 부분집합이라고 하자. 만약 ℝ에서의 개집

합 가 존재하여 ∩를 만족시키면 를 에서의 상대적 개집합 또는 간단히

에서의 개집합이라고 부른다. 만약 ℝ에서의 폐집합 가 존재하여 ∩를 만족

시키면 를 에서의 상대적 폐집합 또는 간단히 에서의 폐집합이라고 부른다.

전체공간이 으로 축소되어도 정리 1.8.7, 정리 1.8.11, 정리 2.9.4, 정리 2.9.5와 같이 개집합

과 폐집합의 성질은 그 로 유지된다.

3.3.4 정리 연속성의 위상적 정의

함수 → 가 에서 연속일 필요충분조건은 에서의 임의의 개집합 에 하여

가 에서의 개집합인 것이다.

증명 (⇒ ) 가 에서 연속이고 가 에서의 개집합이라고 하자. 라고 하자.

∈라고 하면 ∈이다. 가 개집합이므로 양수 이 존재하여

⊆ 이다. 가 연속이므로 양수 가 존재하여 일 때

이 성립한다. 이것은 ⊆ 를 의미하므로 는 개집합이

다.

(⇐ ) 역으로 임의의 개집합의 에 의한 역상이 개집합이라고 하자. 그리고 ∈라고 하

자. 가 의 고립점이라면 는 에서 연속이다.

가 의 고립점이 아니라고 하자. 그리고 양수 이 임의로 주어졌다고 하자.

은 개집합이므로 은 개집합이다. 따라서 ⊆

인 양수 가 존재한다. 즉 일 때마다

이 성립하므로 는 에서 연속이다. □

연속 함수의 다양한 성질이 극한의 성질과 연속의 위상적 정의를 이용하여 증명된다.

3.3.5 정리 합성함수의 연속성

함수 → 와 → 가 연속이면 ∘ → 도 연속이다.

증명 가 에서의 개집합이라고 하자. 가 연속이므로 는 개집합이다. 가 연속이

므로 는 개집합이다. 즉 임의의 개집합 에 하여 ∘

가 개집합이므로 ∘ 는 연속이다. □


119디자이너앨리스3.3 연속 함수

다른 방법의 증명 ∈이고 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 가 연속이므로 양수 이 존

재하여 일 때마다 이 성립한다. 가 연속이므로

양수 가 존재하여 일 때마다 이 성립한다. 따라서

일 때마다 이고 이 성립하므

로 ∘ 는 에서 연속이다. □

3.3.6 정리 함수의 연산과 연속성

두 함수 → ℝ와 → ℝ가 연속이면 와 도 연속이다. 만약 ∈이

고 ≠ 이면 는 에서 연속이다.

증명 만약 가 의 고립점이면 , , 는 에서 연속이다. 이제 가 의 집적점이

라고 하자. 그러면 극한의 성질에 의하여

lim→ lim

→ lim

→ ,

lim→ lim→ lim→

이므로 와 는 에서 연속이다. 또한 ≠ 일 때 lim→ ≠ 이므로

극한의 성질에 의하여

lim→ lim→ lim→

이다. 따라서 는 에서 연속이다. □

극한을 좌극한과 우극한으로 세분화한 것처럼 연속성도 좌연속과 우연속으로 세분화할 수 있다.

3.3.7 정의 좌연속, 우연속

함수 의 정의역이 이고 가 의 원소라고 하자. 만약 가 의 좌집적점이고

가 성립하면 는 에서 좌연속이라고 말한다. 만약 가 의 우집적점이고

가 성립하면 는 에서 우연속이라고 말한다.

보기 3.3.8 개구간 에 하여 특성함수 ℝ →ℝ는

i f ∈ i f ∉

으로 정의된 함수이다. 이때 는 에서 좌연속이지만 우연속이 아니고, 에서 좌연속이 아니

지만 우연속이다.

보기 3.3.9 유리수 집합 ℚ에 하여 ℚ는 어떤 점에서도 연속이 아니다.


보기 3.3.10 실수 에 하여 max∈ℤ ≤ 로 정의된 함수 를 가우스

함수라고 부른다. 가 정수일 때 가우스 함수는 에서 불연속이지만 좌연속이다. 그리고 정수가

아닌 모든 점에서 가우스 함수는 연속이다.

3.3.11 정리 함수의 연속성과 좌․우연속성의 관계

함수 의 정의역이 이고 ∈이며 가 의 좌집적점인 동시에 우집적점이라고 하자.

이때 가 에서 연속일 필요충분조건은 가 에서 좌연속이면서 우연속인 것이다.

증명 가 에서 연속이라고 하자. 그러면 에서 의 극한은 에 수렴한다. 함수의 좌극한

과 우극한의 성질에 의하여 에서 의 좌극한과 우극한은 모두 에 수렴한다. 따라

서 는 에서 좌연속인 동시에 우연속이다.

역으로 가 에서 좌연속인 동시에 우연속이라고 하자. 그러면 에서 의 좌극한과 우

극한은 모두 에 수렴하므로 에서 의 극한은 에 수렴한다. 따라서 는 에

서 연속이다. □

점 에서 함수의 연속성을 에 접근하는 방향에 따라 좌연속과 우연속으로 나누었다. 한편 치

역을 개구간으로 제한하는 방향에 따라 연속성을 상반연속과 하반연속으로 나눌 수 있다.

3.3.12 정의 상반연속, 하반연속

함수 의 정의역이 라고 하자. 만약 임의의 실수 에 하여 ∞ 의 역상

∞ 가 에서 개집합이면 는 에서 하반연속이라고 말한다. 또한 임의의 실

수 에 하여 ∞의 역상 ∞이 에서 개집합이면 는 에서 상반연속

이라고 말한다.

임의의 개구간은 ∞ ∩ ∞의 꼴로 나타낼 수 있다. 그리고 임의의 개집합

은 개구간들의 합집합으로 나타낼 수 있다. 또한 하반연속인 동시에 상반연속인 함수는 개집합

의 역상이 개집합이 되며 그 역도 성립한다. 그런데 함수가 연속일 필요충분조건은 임의의 개집

합의 역상이 개집합이 되는 것이다. 이로부터 다음 정리를 이끌어낼 수 있다.

3.3.13 정리 함수의 연속성과 상반․하반연속

함수 → ℝ가 에서 연속일 필요충분조건은 가 에서 하반연속인 동시에 상반연

속인 것이다.


121디자이너앨리스3.4 컴팩트 집합

3.4 컴팩트 집합

함수 → ℝ가 의 공집합이 아닌 부분집합 에서 어떠한 성질을 가지고 있다고 해서

전체에서 그러한 성질을 가지고 있다고 단정할 수는 없다. 예를 들어 일 때 함수

→ ℝ가

로 정의되었다고 하자. 그러면 임의의 ∈에 하여 가 에서 유계가 되도록 하는

양수 가 존재한다. 즉 임의의 ∈의 근방에서 는 유계이다. 그러나 는 에서 유계가 아

니다. 즉 는 의 각 점에서 국소적으로는 유계이지만 전체에서는 유계가 아니다.

그러나 의 특성에 따라서는 → ℝ의 국소적인 성질을 전역적인 성질로 확장하는 것이

가능한 경우도 있다. 이 절에서 살펴볼 컴팩트는 그러한 표적인 특성이다.

3.4.1 정의 개덮개, 부분덮개

가 실수 집합의 부분집합이고 공집합이 아니며 가 개집합들의 모임이 라고 하자. 만약

⊆ ∈가 성립하면 를 의 개덮개(open covering)라고 부른다. 또한 가 의 부분

집합이고 가 의 개덮개이면 는 를 덮는 의 부분덮개(subcovering)라고 부른다.

보기 3.4.2 다음은 개덮개와 부분덮개의 예이다.

(ⅰ) 집합 ∈ℤ 는 ℝ의 개덮개이다. 임의의 정수는 의 한 개의 원

소에 의해서만 덮이기 때문에 의 원소 중 하나라도 빠지게 되면 덮이지 않는 정수점이

존재하게 된다. 따라서 는 진부분덮개를 갖지 않는다.

(ⅱ) 일 때 집합 ∈ℕ 은 의 개덮개이다. 는 를 덮는

부분덮개 ∈ℕ 을 가진다.

(ⅲ) 집합 ∈ℚ 는 집합 의 개덮개이다. 는 유한인 부분덮

개 를 가진다.

위 보기의 (ⅲ)에서 집합 은 유한집합이므로 를 덮는 임의의 개덮개

는 유한인 부분덮개를 가진다. 반면 (ⅰ)에서 는 ℝ의 개덮개인데 유한인 부분덮개를 갖지 않

는다. 이처럼 집합 의 특성에 따라서 의 개덮개가 항상 유한인 부분덮개를 갖는 경우도 있고

그렇지 않은 경우도 있다.


3.4.3 정의 컴팩트

실수 집합의 부분집합 에 하여, 를 덮는 임의의 개덮개가 를 덮는 유한인 부분덮개

를 가지면 는 컴팩트(compact)라고 말한다.

컴팩트 집합을 다른 말로는 긴 집합 또는 옹골 집합이라고 부르기도 한다.

앞의 보기 3.4.2에서 ℝ은 컴팩트가 아니고 는 컴팩트이다.

어떠한 집합 가 컴팩트가 아님을 보일 때에는 를 덮으면서 유한 부분덮개를 갖지 않는 덮개

가 적어도 하나 이상 존재함을 보이면 된다. 그러나 가 컴팩트임을 보이기 위해서는 를 덮는

임의의 개덮개가 유한인 부분덮개를 가짐을 보여야 한다.

보기 3.4.4 개구간 는 컴팩트가 아니다.

증명 자연수 에 하여

일 때 집합 ∈ℕ 은 의 개덮개이다. 만약 가 컴팩트라면 는 유한인 부분

덮개 ∈를 가진다. 즉 는 ℕ의 유한부분집합이다. 는 공집합이 아니므

로 max가 존재한다. 이때 임의의 ∈에 하여 ≤ 이므로 ⊆ 이다. 그

런데 ∈이지만

∉

이므로

∉ ∈

이다. 즉 는 에 의하여 덮이지 않는다. 따라서 는 컴팩트가 아니다. □

보기 3.4.5 실수 집합의 부분집합 가 유한이면 는 컴팩트이다.

증명 가 공집합인 경우 당연히 를 덮는 임의의 개덮개는 유한인 부분덮개를 가진다. 이제

가 공집합이 아니고 ⋯ 이라고 하자. 그리고 가 를 덮는 임의

의 개덮개라고 하자. 임의의 ∈에 하여 ∈인 ∈가 존재한다. 이때

⋯ 는 의 유한부분덮개이고 를 덮는다. 따라서 는 컴팩트이다. □

그러나 이와 같은 방법으로 집합의 컴팩트성을 증명하는 것은 매우 불편하다. 다음 정리는 실수

집합의 부분집합이 컴팩트인지 여부를 쉽게 판단하는 방법을 제공한다.


123디자이너앨리스3.4 컴팩트 집합

3.4.6 정리 Heine-Borel

실수 집합의 부분집합 가 컴팩트일 필요충분조건은 유계이고 폐집합인 것이다.

증명* (⇒ ) 가 컴팩트라고 하자. 이라고 하면 ∈ℤ는 ℝ의 개덮개이고 ⊆ℝ이므로 는 의 개덮개이다. 는 컴팩트이므로 는

를 덮는 유한부분덮개 ′ ∈를 가진다. 이때 ∈는 유계이므로

도 유계이다.

다음으로 가 폐집합임을 보이자. 결론에 반하여 가 폐집합이 아니라고 가정하자. 그

러면 ∈ ′＼인 실수 가 존재한다. 는 유계이므로 ⊆ 인 양수

가 존재한다. 자연수 에 하여

∖

이라고 하면 ∈ℕ은 의 개덮개가 된다. 그런데 는 컴팩트이므로 는

를 덮는 유한부분덮개 ′ ∈ 를 가진다. max라고 하자.

의 정의에 의하여 ∈ 이다. 그런데 는 의 집적점이므로

∩≠∅

이다. 즉 ∩≠∅이므로 ⊈

∈이다. 이것은 ′이 의 개

덮개라는 데에 모순이다. 따라서 는 폐집합이다.

(⇐ ) 가 유계인 폐집합이라고 하자. 그리고 결론에 반하여 가 컴팩트가 아니라고 하

자. 그러면 유한인 부분덮개를 갖지 않는 의 개덮개 가 존재한다.

는 유계이므로 ⊆ 인 양수 가 존재한다. 를 두 개의 폐구간으로

등분한 것을 과

라고 하자. 이때 ∩와

∩ 중 하나

는 의 유한 부분덮개에 의하여 덮이지 않는다. 만약 ∩가 의 유한부분덮개에 의

하여 덮이지 않으면 라고 하고,

∩가 의 유한부분덮개에 의하여 덮이지

않으면 라고 하자.

일반적으로 ⊆ 이고 공집합이 아닌 폐구간 에 하여 ∩가 의 유한

부분덮개에 의하여 덮이지 않는다고 가정하자. 그리고 을 두 개의 폐구간으로 등분한

것 중 와 교집합했을 때 의 유한부분덮개에 의하여 덮이지 않는 것을 이라고 하

자. 이로써 임의의 자연수 에 하여 폐구간 이 귀납적으로 정의되었다.

이라고 하면 ⟨⟩, ⟨⟩은 각각 단조이고 유계이므로 수렴하는데, 구간

의 길이가 에 수렴하므로 두 수열은 동일한 값에 수렴한다. 그 극한을 라고 하자.


임의의 에 하여 ∈∩인 점 을 택하여 얻은 수열 ⟨⟩은 조임정리에 의하

여 에 수렴한다. 더욱이 폐집합의 성질에 의하여 ∈이다. 는 의 덮개이므로

∈가 존재하여 ∈이다. 는 의 내점이므로 ⊆ 인 양수 가

존재한다. 더욱이 두 수열 ⟨⟩과 ⟨⟩이 에 수렴하므로 자연수 이 존재하여

∈ 이고 ∈ 이다.

이때 ⊆ ⊆ 이므로 ∩⊆ 이다. ∈이므로 이

것은 ∩가 의 유한부분덮개에 의하여 덮이지 않는다는 것에 모순이다. 따라

서 는 컴팩트이다. □

보기 3.4.7 다음은 컴팩트인 집합과 컴팩트가 아닌 집합의 예이다.

(ⅰ) ℚ는 유계가 아니므로 컴팩트가 아니다.

(ⅱ) ℤ는 폐집합이지만 유계가 아니므로 컴팩트가 아니다.

(ⅲ) 반개구간 은 유계이지만 폐집합이 아니므로 컴팩트가 아니다.

(ⅳ) 공집합은 유계이고 폐집합이므로 컴팩트이다.

3.5 연속 함수의 성질

앞서 연속함수를 정의하고 비교적 간단한 성질을 살펴보았다. 이 절에서는 연속함수의 다양한

성질을 살펴본다.

3.5.1 정리 연속함수는 컴팩트성을 보존한다

함수 →ℝ가 연속이고 ⊆ 이며 가 컴팩트이면 도 컴팩트이다.

증명 개집합들의 모임 ∈ 가 의 개덮개라고 하자. 각 에 하여 는 개

집합이므로 는 에서 개집합이다. 따라서 ∩인 개집합 가

존재한다. 이때 ∈ 는 의 개덮개가 된다. 는 컴팩트이므로 는 를

덮는 유한부분덮개 ′ ∈ 를 가진다. 이때 는 유한집합이고 ′ ∈ 는 를 덮으므로 는 컴팩트이다. □

3.5.2 따름정리 연속함수의 최대 최소

함수 →ℝ가 연속이고 ⊆ 이며 가 컴팩트이고 공집합이 아니면 는 에서

유계이다. 더욱이 는 에서 최댓값과 최솟값을 가진다.


125디자이너앨리스3.5 연속 함수의 성질

증명 가 컴팩트이고 가 연속이므로 도 컴팩트이다. 따라서 는 유계인 폐집합이

다. 가 유계이므로 는 에서 유계이다. 이제 sup , in f 라고 하자. 그러면 ∈ 이고 ∈ 이므로 , 인 과

가 에 존재한다. 이때 임의의 ∈에 하여 ≤ ≤ 이므로 는

에서 최댓값을 갖고 에서 최솟값을 가진다. □

보기 3.5.3 두 함수 ∞ → ℝ , ℝ → ℝ를

,

으로 정의했을 때 , 는 모두 연속이다.

(ⅰ) 는 에서 유계가 아니지만 컴팩트 집합 에서는 유계이고 최댓값 , 최솟값

을 가진다. 는 컴팩트가 아니지만 는 에서 유계이다. 그러나 최댓값과 최

솟값은 갖지 않는다.

(ⅱ) 는 ℝ에서 유계가 아니고 최댓값을 갖지 않는다. 그러나 는 ℝ에서 최솟값을 가진다.

는 컴팩트 집합 에서 유계이고 최댓값 , 최솟값 을 가진다.

위 예제에서 보는 바와 같이 일반적으로 정리 3.5.2의 역은 성립하지 않는다. 즉 컴팩트가 아닌

집합 위에서도 연속함수가 최댓값이나 최솟값을 가질 수 있다. 그러나 정리 3.5.2의 조건을 수

정하여 역이 성립하도록 할 수 있다. 이와 관련하여 연습문제 35번을 참고하라.

3.5.4 정리 중간값 성질

함수 → ℝ가 연속이고 ⊆ 이며 가 공집합이 아니라고 하자. 또한

라고 하자. 이때 ≤ ≤ 인 임의의 에 하여 인 가

에 존재한다.

증명 만약 이거나 이면 이거나 로써 증명이 끝난다. 이제

라고 하자. 그리고 ∈ 라고 하자. 먼저 ∈이므

로 ≠∅이고 ⊆ 이므로 는 유계이다. 따라서 sup가 존재한다.

임을 보이자.

는 의 상한이므로 임의의 자연수 에 하여

≤

인 ∈가 존재한다. 이때 이다.


다음으로 는 에서 연속이고 이므로 일 때 인 양수 가

존재한다. 따라서 이다.

이라고 하면 이므로 ∉ 이다. 이때 ≤ 이다.

두 수열 ⟨⟩과 ⟨⟩은 모두 에 수렴하고 는 에서 연속이므로

≤ lim→∞ lim

→∞ ≤

이다. 따라서 이다. □

3.5.5 정리 역함수의 연속성

함수 → 가 일 일 응이고 연속이며 가 컴팩트이면 의 역함수 →

도 연속이다.

증명 가 에서의 개집합이라고 하자. 가 연속임을 보이기 위하여 가 개집합임을

보이면 된다. 는 에서 폐집합이고 는 컴팩트이므로 도 에서 컴팩트이다. 따

라서 도 컴팩트이다. 가 일 일 응이므로 가 성립하고

가 폐집합이므로 는 개집합이다. □

연속함수 의 정의역이 컴팩트가 아닌 경우 가 연속이 아닐 수도 있다. 예를 들어

i f ∈ i f ∈

으로 정의된 함수 는 ∪ 에서 연속이다. 그러나

i f ∈ i f ∈

이므로 는 에서 연속이 아니다.

다음으로 함수의 다른 연속성을 살펴보자.

함수 → ℝ가 에서 연속이라는 정의를 한정기호로 나타내면 다음과 같다.

∀∈ ∀ ∃ ∀∈ → 여기서 는 의 값과 의 값에 영향을 받는다. 예를 들어 함수 ∞ → ℝ가

로 정의되었다고 하자. 이라고 하자. 만약 이라면 에 하여

→

이 성립한다.


127디자이너앨리스3.5 연속 함수의 성질

그러나 만약 이라면 일 때

→

이 성립하지 않는다. 이라면

이 되어야 위 명제가 참이 된다. 즉 의 값에 따라서

의 크기가 변한다.

그러나 함수에 따라서는 주어진 에 하여 의 값에 상관없이 의 값이 정해지는 경우도 있

다.

3.5.6 정의 평등연속

함수 의 정의역이 이고 ⊆ 라고 하자. 만약 임의의 양수 에 하여 적당한 양수

가 존재하여 의 원소 과 가 를 만족시킬 때마다

이 성립하면 는 에서 평등연속(uniform continuous) 또는 균등연속이라고 말한다.

예제 3.5.7 함수 → ℝ가 으로 정의되었을 때 는 에서 평등연

속이다.

증명 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 그리고 이라고 하자. 의 두 원소

, 가 를 만족시킨다고 가정하면

≤

이다. 따라서 는 에서 평등연속이다. □

함수 가 에서 평등연속이 아님을 보일 때에는 평등연속의 부정을 증명한다.

예제 3.5.8 함수 → ℝ가

로 정의되었을 때 는 에서 평등연

속이 아니다.

증명 이라고 하자. 그리고 양수 가 임의로 주어졌다고 하자. 라고 하자. 는

에서 위로 유계가 아니므로 인 ∈ 가 존재한다. 이때

이지만 ≥ 이므로 는 에서 평등연속이 아니다. □

3.5.9 정리 컴팩트 집합 위에서의 평등연속성

함수 → ℝ가 연속이고 ⊆ 이며 가 컴팩트이면 는 에서 평등연속이다. 즉

컴팩트 집합 위에서 연속인 함수는 평등연속이다.


증명 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 가 연속이므로 각 점 ∈에 하여 양수 가 존

재하여

⇒

(1)

을 만족시킨다. 이제 조건 를 만족시키는 ∈들의 집합을 라고 하자.

∈이므로 ∈ 는 의 개덮개가 된다. 가 컴팩트이므로 유한 개의 점

∈들이 존재하여

⊆ ∪∪ ⋯∪ (2)

이 된다. min ⋯ 이고 라고 하자. 그러면 (2)에 의하여

정수 이 존재하여 ∈이므로 가 된다. 또한

≤ ≤

이므로 (1)에 의하여

≤

이 성립한다.

다른 방법의 증명 결론에 반하여 가 에서 평등연속이 아니라고 가정하자. 그러면 적당한 양

수 이 존재하여 임의의 양수 에 하여 ∈가 존재하여 이면서

≥ 을 만족시킨다. 따라서 자연수 에 하여

이면서 ≥

인 과 이 존재한다. 이렇게 정의된 두 수열 ⟨⟩과 ⟨⟩은 유계이므로 수렴하는

부분수열 ⟨⟩와 ⟨⟩를 가진다. 더욱이

이므로 두 부분수열은 동일한 값에 수렴한다. ⟨⟩와 ⟨⟩의 극한을 라고 하자.

는 폐집합이므로 ∈이다. 는 연속이므로

lim→∞ lim

→∞

이다. 그런데 ≥ 이므로 ⟨ ⟩과 ⟨ ⟩는 동일한 값에 수렴

할 수 없다. 이것은 모순이므로 는 에서 평등연속이다. □

컴팩트 집합 위에서 연속함수의 평등연속성은 뒤에서 적분가능성이나 함수열의 평등수렴에 관련

된 정리를 증명할 때에 사용된다.


129디자이너앨리스3.6 무한대 극한

3.6 무한대 극한

수열의 극한과 마찬가지로 함수도 가 무한히 커질 때 가 수렴하는 극한을 정의할 수 있

다. 또한 한 점에서의 극한이나 무한 에서의 극한이 발산하는 경우도 정의할 수 있다. 뿐만 아

니라 좌극한과 우극한이 무한 에 발산하는 경우도 각각 정의할 수 있다.

특히 가 양의 무한 에서 수렴하거나 발산하는 경우는 수열의 극한과 비슷하게 정의된다.

3.6.1 정의 양의 무한대에서의 극한

함수 의 정의역 가 위로 유계가 아닐 때 다음과 같이 정의한다.

(ⅰ) 이 실수이고, 임의의 양수 에 하여 양수 가 존재하여 인 임의의 ∈에 하여 이 성립하면 는 양의 무한대에서 에 수렴한다 또는 는

양의 무한 에서 극한 을 가진다고 말한다.

(ⅱ) 임의의 양수 에 하여 양수 가 존재하여 인 임의의 ∈에 하여

가 성립하면 는 양의 무한대에서 양의 무한대에 발산한다고 말한다.

(ⅲ) 임의의 음수 에 하여 양수 가 존재하여 인 임의의 ∈에 하여

가 성립하면 는 양의 무한대에서 음의 무한대에 발산한다고 말한다.

음의 무한 에서 수렴하거나 발산하는 경우도 비슷하게 정의할 수 있다.

3.6.2 정의 음의 무한대에서의 극한

함수 의 정의역 가 아래로 유계가 아닐 때 다음과 같이 정의한다.

(ⅰ) 이 실수이고, 임의의 양수 에 하여 음수 가 존재하여 인 임의의 ∈에 하여 이 성립하면 는 음의 무한대에서 에 수렴한다 또는 는

음의 무한 에서 극한 을 가진다고 말한다.

(ⅱ) 임의의 양수 에 하여 음수 가 존재하여 인 임의의 ∈에 하여

가 성립하면 는 음의 무한대에서 양의 무한대에 발산한다고 말한다.

(ⅲ) 임의의 음수 에 하여 음수 가 존재하여 인 임의의 ∈에 하여

가 성립하면 는 음의 무한대에서 음의 무한대에 발산한다고 말한다.

위 정의를 기호로 나타내면 다음과 같다.

• lim→ ∞

: 는 양의 무한 에서 에 수렴한다.

• lim→ ∞

∞ : 는 양의 무한 에서 양의 무한 에 발산한다.


• lim→ ∞

∞ : 는 양의 무한 에서 음의 무한 에 발산한다.

• lim→ ∞

: 는 음의 무한 에서 에 수렴한다.

• lim→ ∞

∞ : 는 음의 무한 에서 양의 무한 에 발산한다.

• lim→ ∞

∞ : 는 음의 무한 에서 음의 무한 에 발산한다.

보기 3.6.3 다음은 무한 에서 극한의 예이다.

(ⅰ) lim→ ∞ (ⅱ) lim

→ ∞tan

(ⅲ) lim→ ∞

ln ∞ (ⅳ) lim→ ∞

∞

한 점에서 발산하는 극한도 비슷하게 정의한다.

3.6.4 정의 한 점에서의 발산

함수 의 정의역이 이고 가 의 집적점이라고 하자.

(ⅰ) 임의의 양수 에 하여 양수 가 존재하여 인 임의의 ∈에 하여

가 성립하면 는 에서 양의 무한대에 발산한다고 말한다.

(ⅱ) 임의의 음수 에 하여 양수 가 존재하여 인 임의의 ∈에 하여

가 성립하면 는 에서 음의 무한대에 발산한다고 말한다.

또한 좌극한이나 우극한이 무한 에 발산하는 경우도 비슷하게 정의한다.

3.6.5 정의 좌 ․우극한의 발산

함수 의 정의역이 이고 가 의 좌집적점이며 가 의 우집적점이라고 하자.

(ⅰ) 임의의 양수 에 하여 양수 가 존재하여 인 임의의 ∈에 하

여 가 성립하면 는 의 왼쪽에서 양의 무한 에 발산한다 또는 에서

의 좌극한이 양의 무한대에 발산한다고 말한다.

(ⅱ) 임의의 음수 에 하여 양수 가 존재하여 인 임의의 ∈에 하

여 가 성립하면 는 의 왼쪽에서 음의 무한 에 발산한다 또는 에서

의 좌극한이 음의 무한대에 발산한다고 말한다.

(ⅲ) 임의의 양수 에 하여 양수 가 존재하여 인 임의의 ∈에 하

여 가 성립하면 는 의 오른쪽에서 양의 무한 에 발산한다 또는 에서

의 우극한이 양의 무한대에 발산한다고 말한다.


131디자이너앨리스3.6 무한대 극한

(ⅳ) 임의의 음수 에 하여 양수 가 존재하여 인 임의의 ∈에 하

여 가 성립하면 는 의 오른쪽에서 음의 무한 에 발산한다 또는 에서

의 우극한이 음의 무한대에 발산한다고 말한다.


• lim→ ∞ : 는 에서 양의 무한 에 발산한다.

• lim→ ∞ : 는 에서 음의 무한 에 발산한다.

• lim→

∞ : 에서 의 좌극한이 양의 무한 에 발산한다.

• lim→

∞ : 에서 의 좌극한이 음의 무한 에 발산한다.

• lim→

∞ : 에서 의 우극한이 양의 무한 에 발산한다.

• lim→

∞ : 에서 의 우극한이 음의 무한 에 발산한다.

보기 3.6.6 다음은 한 점에서 발산하는 극한의 예이다.

(ⅰ) lim→∞ (ⅱ) lim

→ln∞

(ⅲ) lim→∞ (ⅳ) lim

→csc ∞

3.6.7 정리 한 점에서 함수의 극한과 좌․우극한의 관계

와 의 정의역이 이고 가 위로 유계가 아니며 → ∞일 때 와 가 수렴한

다고 하자. 이때 다음이 성립한다.

(ⅰ) lim→∞ lim

→∞ lim

→∞

(ⅱ) lim→∞ lim→∞lim→∞

(ⅲ) lim→∞≠ 이면 lim

→∞ lim→∞lim→∞.

→ ∞일 때의 극한에 해서도 마찬가지로 성립한다.

3.6.8 정리 한 점에서 함수의 극한과 좌․우극한의 관계

의 정의역이 이고 가 의 좌집적접이면서 우집적점이라고 하자. 가 에서 양의 무

한 에 발산할 필요충분조건은 에서 의 좌극한과 우극한이 모두 양의 무한 에 발산하는

것이다. 음의 무한 에 발산하는 경우도 동일하게 성립한다.


3.7 상극한과 하극한*

수열의 상극한과 하극한을 정의한 것처럼 함수의 상극한과 하극한을 정의할 수 있다.

3.7.1 정의 함수의 상극한과 하극한

함수 → ℝ가 의 근방에서 유계라고 하자. 수열 ⟨⟩이 존재하여 에 수렴하고

∈∖이며 →일 때 는 에서 집적점 를 가진다고 말한다. 에서 의

집적점 중 가장 큰 것을 에서 의 상극한, 가장 작은 것을 에서 의 하극한이라고 부른다.


• lim→ : 에서 의 상극한이 이다.

•

lim→ : 에서 의 하극한이 이다.

만약 의 임의의 근방에서 가 위로 유계가 아니면 에서 의 상극한을 양의 무한 로 정의하

며 의 임의의 근방에서 가 아래로 유계가 아니면 에서 의 하극한을 음의 무한 로 정의한

다. 이것을 기호로 나타내면 다음과 같다.

• lim→ ∞ : 에서 의 상극한이 양의 무한 에 발산한다.

•

lim→ ∞ : 에서 의 하극한이 음의 무한 에 발산한다.

한편 의 임의의 근방에서 가 아래로 유계이지만 위로 유계가 아니고 에서 가 집적점을 갖

지 않으면 에서 의 하극한을 양의 무한 로 정의하며, 의 임의의 근방에서 가 위로 유계

이지만 아래로 유계가 아니고 에서 가 집적점을 갖지 않으면 에서 의 상극한을 음의 무한

로 정의한다.

3.7.2 정의 좌극한의 상․하극한

함수 → ℝ에 하여 가 의 좌집적점이고 적당한 양수 에 하여 가

에서 유계라고 하자. 수열 ⟨⟩이 존재하여 임의의 에 하여

∈∩∞ 이고 에 수렴하며 →일때 는 의 왼쪽에서 집적점 를

가진다고 말한다. 의 왼쪽에서 의 집적점 중 가장 큰 것을 의 왼쪽에서 의 상극한,

의 왼쪽에서 의 집적점 중 가장 작은 것을 의 왼쪽에서 의 하극한이라고 부른다.



3.7.3 정의 우극한의 상․ 하극한

함수 → ℝ에 하여 가 의 우집적점이고 적당한 양수 에 하여 가

에서 유계라고 하자. 수열 ⟨⟩이 존재하여 임의의 에 하여 ∈∩ ∞이고 에 수렴하며 →일때 는 의 오른쪽에서 집적점 를 가진다

고 말한다. 의 오른쪽에서 의 집적점 중 가장 큰 것을 의 오른쪽에서 의 상극한, 의

오른쪽에서 의 집적점 중 가장 작은 것을 의 오른쪽에서 의 하극한이라고 부른다.


• lim→

: 의 왼쪽에서 의 상극한이 이다.

•

lim→

: 의 왼쪽에서 의 하극한이 이다.

만약 임의의 양수 에 하여 가 에서 위로 유계가 아니면 의 왼쪽에서 의 상극

한을 양의 무한 로 정의하며, 임의의 양수 에 하여 가 에서 아래로 유계가 아

니면 의 왼쪽에서 의 하극한을 음의 무한 로 정의한다. 이것을 기호로 나타내면 다음과 같

다.

• lim→

∞ : 의 왼쪽에서 의 상극한이 양의 무한 이다.

•

lim→

∞ : 의 왼쪽에서 의 하극한이 음의 무한 이다.

한편 임의의 양수 에 하여 가 에서 아래로 유계이지만 위로 유계가 아니고 의

왼쪽에서 가 집적점을 갖지 않으면 의 왼쪽에서 의 하극한을 양의 무한 로 정의하며, 임의

의 양수 에 하여 가 에서 위로 유계이지만 아래로 유계가 아니고 의 왼쪽에서

가 집적점을 갖지 않으면 의 왼쪽에서 의 상극한을 음의 무한 로 정의한다.

같은 방법으로 의 오른쪽에서의 상극한과 하극한도 다음과 같이 기호로 나타낸다.

• lim→

: 의 오른쪽에서 의 상극한이 이다.

•

lim→

: 의 오른쪽에서 의 하극한이 이다.

• lim→

∞ : 의 오른쪽에서 의 상극한이 양의 무한 이다.

•

lim→

∞ : 의 오른쪽에서 의 하극한이 음의 무한 이다.


3.7.4 정의 양의 무한대에서의 상․하극한

함수 의 정의역 가 위로 유계가 아니고 적당한 양수 에 하여 가 ∞에서 유

계라고 하자. 수열 ⟨⟩이 존재하여 ∈이고 양의 무한 에 발산하며 →일

때 는 양의 무한대에서 집적점 를 가진다고 말한다. 양의 무한 에서 의 집적점 중 가

장 큰 것을 양의 무한대에서 의 상극한, 양의 무한 에서 의 집적점 중 가장 작은 것을

양의 무한대에서 의 하극한이라고 부른다.

3.7.5 정의 음의 무한대에서의 상 ․하극한

함수 의 정의역 가 아래로 유계가 아니고 적당한 음수 에 하여 가 ∞ 에

서 유계라고 하자. 수열 ⟨⟩이 존재하여 ∈이고 음의 무한 에 발산하며

→일 때 는 음의 무한대에서 집적점 를 가진다고 말한다. 음의 무한 에서 의

집적점 중 가장 큰 것을 음의 무한대에서 의 상극한, 음의 무한 에서 의 집적점 중 가장

작은 것을 음의 무한대에서 의 하극한이라고 부른다.


• lim→ ∞

: 양의 무한 에서 의 상극한이 이다.

•

lim→ ∞

: 양의 무한 에서 의 하극한이 이다.

만약 임의의 양수 에 하여 가 ∞에서 위로 유계가 아니면 양의 무한 에서 의 상

극한을 양의 무한 로 정의하며, 임의의 양수 에 하여 가 ∞에서 아래로 유계가 아

니면 양의 무한 에서 의 하극한을 음의 무한 로 정의한다. 이것을 기호로 나타내면 다음과

같다.

• lim→ ∞

∞ : 양의 무한 에서 의 상극한이 양의 무한 이다.

•

lim→ ∞

∞ : 양의 무한 에서 의 하극한이 음의 무한 이다.

한편 임의의 양수 에 하여 가 ∞에서 아래로 유계이지만 위로 유계가 아니고 양의

무한 에서 가 집적점을 갖지 않으면 양의 무한 에서 의 하극한을 양의 무한 로 정의하며,

임의의 양수 에 하여 가 ∞에서 위로 유계이지만 아래로 유계가 아니고 양의 무한

에서 가 집적점을 갖지 않으면 양의 무한 에서 의 상극한을 음의 무한 로 정의한다.



같은 방법으로 음의 무한 에서의 상극한과 하극한도 다음과 같이 기호로 나타낸다.

• lim→ ∞

: 음의 무한 에서 의 상극한이 이다.

•

lim→ ∞

: 음의 무한 에서 의 하극한이 이다.

• lim→ ∞

∞ : 음의 무한 에서 의 상극한이 양의 무한 이다.

•

lim→ ∞

∞ : 음의 무한 에서 의 하극한이 음의 무한 이다.

보기 3.7.6 함수 ∞ ∪ ∞ → ℝ가 다음과 같이 정의되었다고 하자.

cos

이때 아닌 임의의 에 하여 ≤ 이다. 또한

,

에 하

여 → , → 이고 ≠ , ≠ 이며 → , → 이므로

lim→ ,

lim→

이다. □

수열과 마찬가지로 함수의 상극한과 하극한에 해서도 다음 정리가 성립한다.

3.7.7 정리 극한과 상․하극한의 관계

함수 → ℝ에 하여 lim→ 일 필요충분조건은

lim→ 그리고

lim→

인 것이다. 여기서 와 은 각각 실수일 수도 있고 ∞ 또는 ∞일 수도 있다.


1. 집적점에 관한 다음 설명의 참 ․ 거짓 여부를 판별하여라.

(1) 집적점이면 좌집적점이면서 우집적점이다.

(2) 가 의 집적점이 아니면 는 의 고립점이다.

(3) 좌연속이지만 우연속이 아니면 연속이 아니다.

(4) 좌집적점은 집적점이다.

2. 한 점에서 함수의 극한값과 함숫값은 어떠한 관계가 있는지 설명하여라.


3. 극한 lim→ 의 정의에서 가 의 정의역의 집적점이라는 조건이 빠지면 어떠한 모

순이 발생하는지 예를 들어 설명하여라.

4. 극한 lim→ ∞

의 정의에서 의 정의역이 위로 유계가 아니라는 조건이 빠지면 어

떠한 모순이 발생하는지 예를 들어 설명하여라.

5. 다음 집합이 컴팩트인지 아닌지 밝혀라.

(1) 컴팩트 집합의 부분집합 (2) 유한 개의 컴팩트 집합의 합집합

(3) 유한 개의 컴팩트 집합의 교집합 (4) 무한 개의 컴팩트 집합의 합집합

(5) 무한 개의 컴팩트 집합의 교집합 (6) ℝ에서 컴팩트 집합의 여집합

6. 평등연속인 두 함수의 합성이 평등연속임을 증명하여라.

7. 함수 가 에서 연속이고 순증가이며 유계라고 하자. 이때 , 에서 의 함숫값을

적절히 정의함으로써 가 에서 연속이 되도록 할 수 있음을 보여라.

8. 함수 →ℝ가 연속이고 임의의 ∈ 에 하여 ∈ℚ이면 는 상수

함수임을 증명하여라.


9. 다음 극한을 구하여라.

(1) lim→ ∞

(2) lim

→ ∞

(3) lim→ ∞

(4) lim→ ∞

(5) lim→ ∞

10. 극한의 정의와 논법을 이용하여 다음을 증명하여라.

(1) lim→ (2) lim

→

(3) lim→

(4) lim→

(5) lim→




(1) lim→∞ (2) lim

→

∞

(3) lim→sin∞ (4) lim

→ cos

∞


(1) lim→ ∞ (2) lim

→ ∞

∞

(3) lim→ ∞

(4) lim

→ ∞

13. 가우스함수 와 양수 , 에 하여 다음을 증명하여라.

(1) lim→

(2) lim→

14. 실수 집합의 부분집합 에 하여 다음 세 명제가 서로 동치임을 증명하여라.

(ⅰ) 는 컴팩트이다.

(ⅱ) 의 무한부분집합은 의 원소인 집적점을 가진다.

(ⅲ) 모든 항이 에 속하는 임의의 수열은 의 한 점에 수렴하는 부분수열을 가진다.

15. 다음 집합이 컴팩트인지의 여부를 밝히고 컴팩트의 정의를 이용하여 이를 증명하여라.

(1) (2)

(3) ∩ℚ (4) ∩ℚ(5) ℕ (6) ∪

16. 다음과 같이 정의된 함수 가 연속인지, 그리고 평등연속인지 밝혀라. 단 는 가우스 함

수를 의미한다.

(1) i f ≤ i f ≤ ≤ (2)

i f i f ≤

(3) (4)

17. 구간 에서 로 정의된 함수 가 연속임을 증명하여라.

18. 함수 가 ℝ에서 연속이고 임의의 유리수 에 하여 를 만족시킨다고 하자. 이

때 임의의 실수 에 하여 임을 증명하여라.

19. 함수 →ℝ가 에서 연속이고 임의의 에 하여 을 만족시

키면 는 상수함수임을 증명하여라.


20. 함수 → 이 연속이면 인 ∈ 이 존재함을 보여라.

21. 함수 가 단조이고 정의역이 자연수 집합을 포함하며 수열 ⟨⟩이 수렴하면 는 양의

무한 에서 수렴함을 증명하여라. 이것을 일반화하여, 함수 가 단조이고 ⟨⟩이 양의 무

한 에 발산하는 수열이며 의 정의역이 을 포함하고 ⟨ ⟩이 수렴하면 는 양

의 무한 에서 수렴함을 증명하여라.

22. 함수 가 다음과 같이 정의되었다고 하자.

i f ∈ℚ i f ∉ℚ

이때 는 오직 한 점에서만 연속임을 증명하여라.

23. 두 함수 , 가 연속일 때 다음과 같이 정의된 함수 가 연속임을 증명하여라.

(1) max (2) min

24. 함수 가 두 구간 과 에서 평등연속이라고 하자.

(1) ∩ ≠∅이면 는 ∪에서 평등연속임을 증명하여라.

(2) 과 가 구간이라는 조건이 빠져도 가 ∪에서 평등연속인지 판별하여라.

25. 함수 가

⋯

으로 정의된 다항함수라고 하자. 만약 이 짝수이고 이면 방정식 은

적어도 서로 다른 두 개의 실근을 가짐을 증명하여라.

26. 모든 항이 양수인 유리수열 ⟨⟩이 양의 무리수 에 수렴한다고 하자. 을 분모와 분자

가 자연수인 기약분수로 나타냈을 때 분모를 이라고 하면 ⟨⟩은 양의 무한 에 발산

함을 증명하여라.

27. 함수 가 에서 연속일 필요충분조건은 모든 항이 에 속하는 임의의 코시수열

⟨⟩에 하여 ⟨ ⟩이 코시 수열이 되는 것임을 증명하여라.

28. 함수 ℝ →ℝ가 연속일 필요충분조건은 임의의 개구간의 역상이 개집합인 것임을 증명

하여라.

29. 함수 의 정의역이 위로 유계가 아니고 가 유계이며 단조이면 는 양의 무한 에서 수렴

함을 증명하여라. 이 명제를 무한 에서의 단조수렴정리라고 부른다.



30. 유리수 집합의 특성함수 ℚ에 하여 lim→ℚ 임을 증명하여라.

31. 함수 가 에서 불연속이지만 에서 의 좌극한과 우극한이 각각 수렴하면 는 에서

단순 불연속이라고 부른다. 또한 단순 불연속이 아닌 경우 제 2 형태의 불연속이라고 부른

다. 다음과 같이 정의된 함수 가 에서 어떠한 형태의 불연속점을 갖는지 판별하여라.

(1) (2) ℚ

(3)

sin i f ≠ i f

(4)

tan i f ≠

i f 32. 단조 함수는 제 2 형태의 불연속점을 갖지 않음을 증명하여라.

33. 함수 의 정의역이 이고 가 ∈에서 불연속이라고 하자. 만약 에서 의 함숫값을

바꾸어 정의함으로써 가 에서 연속이 되도록 할 수 있으면 는 의 제거 가능한 불연속

점이라고 부른다. 의 불연속점 가 제거 가능하면 가 에서 단순 불연속임을 증명하여

라.

34. 집합 가 공집합이 아니고 에서 연속인 임의의 함수가 평등연속이 되면 는 컴팩트임

을 증명하여라. 이 명제는 정리 3.5.9의 역이다.

35. 집합 가 공집합이 아니고 에서 연속인 임의의 함수가 에서 최댓값과 최솟값을 가지

면 는 컴팩트임을 증명하여라. 이 명제는 정리 3.5.2의 역이다.

36. 함수 의 정의역이 이고 가 의 좌집적점인 동시에 우집적점이라고 하자. 이때 가

에서 양의 무한 에 발산할 필요충분조건은 에서 좌극한과 우극한이 모두 양의 무한 에

발산하는 것임을 증명하여라.

37. 점 에서 함수 의 극한이 수렴할 필요충분조건은 에서 의 상극한과 하극한이 동일한

값에 수렴하는 것임을 증명하여라.

38. 함수 ℝ →ℝ가 연속이고 임의의 정수 과 임의의 자연수 에 하여

을 만족시키면 는 상수함수임을 증명하여라.

39. 함수 → ℝ가 연속이라고 하자. 이때 가 단조일 필요충분조건은 임의의 연결

집합 에 하여 가 연결인 것임을 증명하여라.

40. 함수 ℝ →ℝ가 평등연속이고 lim→∞ 이면 lim

→∞ 임

을 증명하여라.


41. 함수 ∞ →ℝ가 연속이고 lim→ ∞

이면 는 ∞에서 평등연속임을

증명하여라.

42. 가 에서 단조이고 중간값 성질을 가지면 는 에서 연속임을 보여라.

43. 함수 가 에서 연속이고 단조이며 에서 의 좌극한이 양의 무한 또는 음의 무한

에 발산하면 는 에서 수직 점근선 를 가진다고 말한다. 우극한에 해서도 같은

방법으로 정의한다. 함수 가 다음과 같이 주어졌을 때 수직 점근선을 모두 구하여라.

(1) tan (2) ln(3)

(4) ln

(5) sin

(6) cos

44. 함수 가 ∞에서 연속이고 양의 무한 에서 가 에 수렴하면 는 수평 점근선

를 가진다고 말한다. 음의 무한 에서 수렴하는 경우도 같은 방법으로 정의한다. 함수

가 다음과 같이 주어졌을 때 수평 점근선을 모두 구하여라.

(1) tan (2) ln(3) (4) sin(5) (6)

45. 함수 가 ∞에서 연속이고 이 아닌 실수 이 존재하여

으로 정의된 함수 가 양의 무한 에서 에 수렴하면 는 사선 점근선 을 가

진다고 말한다. 음의 무한 에서 수렴하는 경우도 같은 방법으로 정의한다. 함수 가 다음

과 같이 주어졌을 때 사선 점근선을 모두 구하여라.

(1) (2)

(3) sin

(4) tan

(5) (6) ℚ

46. 함수 가 ∞에서 연속이면 max ∈ 로 정의된 함수 와

min ∈ 로 정의된 함수 도 ∞에서 연속임을 증명하여라.

47. 함수 ℝ →ℝ가 연속이고 lim→ ∞

lim→ ∞

이라고 하자. 이때 는 ℝ에서 유계임을 증명하여라. 또한 는 ℝ에서 극댓값 또는 극솟값을 가짐을 증명하여라.




48. 함수 가 에서 연속이고 임의의 실수 , 에 하여 가 성립한

다고 하자.

(1) 함수 가 ℝ에서 평등연속임을 증명하여라.

(2) 실수 가 존재하여 임의의 에 하여 임을 증명하여라.

49. 함수 → ℝ에 하여 다음 세 명제가 동치임을 증명하여라.

(ⅰ) 가 에서 연속이다.

(ⅱ) 의 임의의 부분집합 에 하여 ⊆ 이다.

(ⅲ) 에서의 임의의 폐집합 에 하여 가 폐집합이다.

50. 집합 를 다음과 같이 정의하자.

∈ℤ만약 ℝ →ℝ가 연속이고 임의의 ∈에 하여 이면 임의의 실수 에

하여 임을 증명하여라.

51. 함수 ℝ →ℝ가 단조 증가라고 하자.

(1) 에서 가 불연속인 점들의 집합이 가산임을 증명하여라.

(2) ℝ에서 가 불연속인 점들의 집합이 가산임을 증명하여라.

52. 함수 가 에서 다음과 같이 정의되었다.

i f

irreducible ∈ℕ

i f ∉ℚ이때 함수 가 의 유리수인 점에서는 불연속이고 무리수인 점에서는 연속임을 증명

하여라. 이러한 함수를 디리끌레 함수라고 부른다.

53. 함수 가 의 근방에서 정의되었다고 하자. 이때 에서 가 수렴할 필요충분조건은 임의

의 양수 에 하여 양수 가 존재하여

∧ ⇒

이 성립하는 것임을 증명하여라. 이것을 함수 극한의 코시 조건이라고 부른다.

54. 함수 ℝ →ℝ가 연속일 필요충분조건은 상반연속인 동시에 하반연속인 것임을 증명하

여라.


55. 함수 의 정의역이 위로 유계가 아닐 때 다음 세 명제가 서로 동치임을 증명하여라.

(ⅰ) 양의 무한 에서 의 극한이 한 점에 수렴한다.

(ⅱ) [수열 판정법] 양의 무한 에 발산하는 임의의 수열 ⟨⟩에 하여 ⟨ ⟩이

일정한 값에 수렴한다.

(ⅲ) [코시 조건] 임의의 양수 에 하여 양수 가 존재하여 , 일 때마

다 이 성립한다.

56. 함수 ∞ →ℝ가 다음과 같이 정의되었을 때 는 임의의 공집합이 아닌 개구간에

서 유계가 아님을 증명하여라.

i f

irreducible ∈ℕ

i f ∉ℚ

57. 함수 ∞ →ℝ가 연속이고

lim→ ∞

이면 lim→ ∞


58. 함수 가 에서 정의되었고, 양수 가 존재하여 임의의 ∈ 에 하여

≤ 를 만족시킨다고 하자. 이러한 함수를 축약 함수라고 부른다.

(1) 는 평등연속임을 증명하여라.

(2) 이면 를 만족시키는 ∈ 가 존재함을 증명하여라. 이 명제를 바나

흐의 부동점 정리(Banach's fixed point theorem)라고 부른다.

59. 실수 집합의 부분집합 가 구간일 필요충분조건은 ∈이고 인 임의의 실수

, , 에 하여 ∈가 성립하는 것임을 증명하여라.

60. 실수 집합의 부분집합 에 하여 서로소인 두 개집합 , 가 존재하여 ∩와 ∩

가 공집합이 아니고 ⊆ ∪이면 는 분할되었다고 말한다. 또한 분할되지 않은 집합

을 연결 집합이라고 부른다.

(1) 실수 집합의 부분집합이 연결 집합일 필요충분조건은 구간인 것임을 증명하여라.

(2) 가 연결집합이고 →ℝ가 연속이면 도 연결 집합임을 증명하여라.

(3) 이 결과를 이용하여 연속함수의 중간값 정리를 증명하여라.

61. 가부번개의 집적점을 갖는 컴팩트 집합을 구성하여라.

62. 함수 ℝ∖ → ℝ가 일 일 응이면 의 불연속점의 개수가 무한임을 증명하여라.




63. 우리손(Urysohn)의 보조정리와 띠즈(Tietze) 확장 정리를 찾아보자.

64. 위상 수학에서의 연속의 정의를 찾아보고 정리 3.3.4와 비교해보자.

65. 거리 공간에서의 연결 집합의 정의와 중간값 정리를 찾아보자.

66. 거리 공간에서의 함수의 극한과 연속의 정의를 찾아보자.

67. 수학자 디리끌레(Dirichlet)에 하여 조사하고 디리끌레가 유리수인 점에서는 불연속이면서

무리수인 점에서는 연속인 함수를 생각하게 된 계기를 알아보자.

68. 함수의 점 극한의 개념과 수열의 극한의 개념을 비교하고 공통점과 차이점을 서술하여라.

69. 고등학교에서 배우는 연속의 정의와 해석학에서 배우는 연속의 정의를 비교하고 공통점과

차이점을 기술하여라.

70. 평범한 중학생이 당신에게 ‘원은 무한히 작은 선분을 무한히 많이 연결하여 만들 수 있기

때문에 원도 다각형이다’라고 말한다면 당신은 그 학생에게 무엇이라고 답할 것인가?

71. 유리수인 점에서는 , 무리수인 점에서는 의 값을 갖는 함수가 모든 점에서 불연속임을

고등학교 3학년 학생에게 설명하려고 한다. 적절한 교수 ․ 학습 방법을 고안해 보아라.

144

⋯

⋯

⋯

cos sin

′d

제 4 장 실함수의 미분

제 4 장

실함수의 미분

함수 → ℝ의 그래프가 매끄럽다면 그래프 위의 점 에서 접하는 한 직선을 생

각할 수 있다. 평면 위의 직선이 지나는 한 점과 기울기를 알면 직선의 방정식을 구할 수 있으

므로 에서 의 그래프의 기울기를 알아낼 수 있다면 그 점에서의 접선을 구할 수 있다.

이때 에서 의 그래프의 기울기는 평균 변화율에 극한을 취한 순간 변화율의 개념을 도입하여

계산한다. 순간 변화율은 단순히 그래프의 기울기로서의 의미뿐만 아니라 함수의 변화와 관련하

여 함수를 해석하는 데에 많은 역할을 한다. 이 장에서는 실함수의 미분법과 그에 관련된 여러

가지 성질을 살펴본다.

4.1 미분의 정의

함수 → ℝ의 그래프 위의 점 에서 의 그래프에 접하는 직선의 기울기를 구

해보자.

정의역의 원소 에 하여 ≠ 일 때

는 두 점 와 를 지나는 직선의 기울기가 된다. 만약 를 에 가깝게 접근시

킨다면 의 값은 에서 함수의 그래프에 접하는 직선의 기울기에 가까워진다. 라고

하고 극한 개념을 이용하면 접선의 기울기는

lim→

가 된다.

보기 4.1.1 이라고 하면 다음을 얻는다.

lim→

lim→

Ⅳ 실함수의 미분

145디자이너앨리스4.1 미분의 정의

따라서 의 그래프 위의 점 에서 그래프에 접하는 직선의 기울기는 라고 할

수 있다. 실제로 CAS를 이용하여 그래프를 그려보면 아래와 같이 일 때 직선

과 포물선 이 접하는 것을 볼 수 있다.

이러한 개념을 이용하여 미분을 정의한다.

4.1.2 정의 미분, 도함수

함수 → ℝ와 의 원소 에 하여 극한

lim→

가 존재할 때 는 에서 미분 가능(differentiable)하다고 말한다. 이때 위 극한을 에서 의

미분계수(derivative)라고 부르고

′, 또는

로 표기한다. 의 부분집합 의 임의의 점에서 가 미분 가능하면 는 에서 미분 가능

하다고 말한다. 또한 의 미분 가능한 임의의 점 에 하여

↦ lim→

로 정의된 함수를 의 미분 또는 도함수라고 부르며 ′ 또는 로 표기한다.

위 정의에서 가 의 원소인 동시에 집적점일 때에만 에서 의 미분이 정의된다. 특히 의

정의역이 개구간인 경우 의 정의역의 임의의 점에서 미분 가능성을 논할 수 있다.

함수 의 도함수 ′을 미분한 함수 ″을 이계 도함수라고 부른다. 즉 ″은 를 두 번 미분

한 것이다.

146 제 4 장 실함수의 미분

마찬가지로 를 번 미분한 함수를 계 도함수라고 부르며

,

또는

로 표기한다. 특히 에서 번 미분한 계 미분계수는

,

또는

로 표기한다. 사실 계 도함수는 다음과 같이 귀납적으로 정의된다.

′,

극한에서 좌극한과 우극한을 생각한 것처럼 좌도함수와 우도함수를 생각할 수 있다.

4.1.3 정의 좌도함수와 우도함수

함수 → ℝ와 ∈에 하여 좌도함수 ′과 우도함수 ′을′ lim

→

, ′ lim

→

로 정의한다.

극한의 정의에 의하면 함수 → ℝ에 하여 일 때

′ ′, ′ ′ 임을 알 수 있다. 즉 구간의 왼쪽 끝점에서의 미분은 우도함수로 정의되며 구간의 오른쪽 끝점

에서의 미분은 좌도함수로 정의된다.

4.1.4 정리 미분가능성과 연속성의 관계

함수 → ℝ가 ∈에서 미분 가능하면 는 에서 연속이다.

증명 극한의 정의에 의하여 다음을 얻는다.

lim→ lim

→

lim→ lim

→ lim

→ . □

다른 방법의 증명 ′ 라고 하자. 그리고 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 먼저 양수

이 존재하여 인 임의의 ∈에 하여

이성립한다. min

이라고 하자. 그러면 인 임의의 ∈에 하여 ≤ 이므로 는 에서 연속이다. □


147디자이너앨리스4.2 미분의 계산

4.2 미분의 계산

극한의 성질을 이용하면 유용한 미분 공식을 이끌어낼 수 있다.

4.2.1 정리 함수의 연산과 미분

두 함수 , 가 미분 가능하면 와 도 미분 가능하다. 또한 ≠ 인 점에서 도

미분 가능하다. 더욱이 다음이 성립한다.

(ⅰ) ′ ′

(ⅱ) ′ ′

(ⅲ) ≠ 일 때

′ ′

증명 극한의 성질에 의하여 다음을 얻는다.

lim

→

lim→

lim→

′ ′ ,

lim

→

lim→ lim

→

lim→ lim

→

′ ′ .또한 ≠ 일 때 다음을 얻는다.

lim→

lim→

lim→ lim

→

lim→ lim

→

′ ′

. □


함수 의 미분을 ′으로 표기하면 ′이다. 여기서 는 를 ′에 응시키는 변환

으로 생각할 수 있다. 위 정리에 의하면 이고 실수 에 하여

lim

→

lim→

′ 이므로 이다. 따라서 는 미분 가능한 함수들의 집합 위에서 선형 변환이다.

정리 4.2.1의 (ⅱ)를 일반화하면 다음을 얻는다.

4.2.2 정리 Leibniz 법칙

두 함수 , 의 계 도함수가 존재하면

C (1)

가 성립한다. 여기서 , 이다.

증명 수학적 귀납법으로 증명하자. 먼저 인 경우는 정리 4.2.1에서 증명하였다. 이제 자

연수 에 하여 일 때에 (1)이 참이라고 가정하자. 그러면

C

C

C

C

C C

C C

C C

C

이므로 일 때에도 (1)이 성립한다. 따라서 수학적 귀납법에 의하여 임의의 자

연수 에 하여 (1)이 성립한다. □

정리 4.2.2를 정리 1.4.13과 비교하여 살펴보면 곱 함수의 미분에 관한 라이프니츠 법칙은 이항

정리와 비슷하다는 것을 알 수 있다.


149디자이너앨리스4.2 미분의 계산

예제 4.2.3 이 이상인 자연수이고 이면 ′ 이다.

증명 수학적 귀납법으로 증명하자. 일 때 다음을 얻는다.

′ lim→

lim→

lim→ .

이제 일 때 정리의 등식이 성립한다고 가정하고 이라고 하면

′ ⋅′ ′⋅⋅ ′ ⋅ 이므로 일 때에도 정리의 등식이 성립한다. 따라서 이상인 임의의 자연수

에 하여 정리의 등식이 성립한다. □

위 예제에서 ≥ 라고 제한한 이유는 이면 일 때 우변에 이 나타나기 때문이

다. 편의상 이라고 하면 이 자연수이고 가 실수이며 일 때

′ 이라고 할 수 있다.

예제 4.2.4 이 음의 정수이고 이면 ′ 이다.

증명 은 자연수이므로 다음을 얻는다.

′

□

4.2.5 정리 연쇄 법칙(chain rule)

함수 → , → 에 하여 가 에서 미분 가능하고 이며 가

에서 미분 가능하다고 하자. 이때 합성함수 ∘ 는 에서 미분 가능하고 ∘ ′ ′ ′가 성립한다.

증명 함수 가 에서 미분 가능하므로 함수 를 다음과 같이 정의할 수 있다.

′ i f ≠ i f

이때 는 에서 연속이다. 이제 라고 하면

∘ ∘

′ 이다.


가 에서 연속이므로 다음을 얻는다.

∘ ′ lim→

lim→

′

′ lim→

lim→

′ ′. □

라이프니츠의 표기법에 따라 연쇄법칙을 표현하면 , 일 때

이다. 그러나 이와 같은 등식이 연쇄법칙의 직접적인 증명이 되는 것은 아니다. 가 상수함수인

경우 엄 한 의미에서 이 되는데, 분수식의 분모가 이 될 수 없기 때문이다. 따라서 위

와 같은 등식은 단지 표현 형태로서의 의미만을 갖는다.

예제 4.2.6 가 아닌 유리수이고 이면 ′ 이다.

증명 정수 , 에 하여 이라고 하자. 그러면 이다. 이 등식의 양변

을 에 하여 미분하면

′ 이고 이 식을 ′에 하여 풀면

′

을 얻는다. □

예제 4.2.7 의 도함수를 구하여라.

풀이 , 이라고 하면 이다.

그런데 ′ , ′ 이므로

′ ′′ 을 얻는다. □

보기 4.2.8 ℚ는 모든 점에서 불연속이므로 어떤 점에서도 미분 가능하지 않다.

보기 4.2.9 가우스함수 는 정수 점에서는 미분 불가능하며 정수가 아닌 점에서는

′ 이다.


151디자이너앨리스4.3 평균값 정리와 그래프의 모양

4.3 평균값 정리와 그래프의 모양

미분은 기하학적으로 그래프에 접하는 직선의 기울기이다. 따라서 미분을 이용하면 함수의 그래

프에 관련된 여러 가지 정리를 이끌어낼 수 있다.

실수 전체 집합에서 으로 정의된 함수 의 그래프는 다음과 같다.

이때 는 ℝ에서 연속이고 최댓값과 최솟값을 갖지 않는다. 그러나 개구간 에서 함수

는 최댓값 을 가지며 개구간 에서 함수 는 최솟값 을 가진다. 이처럼 제한된 구

간 내에서 최 인 점을 극 , 제한된 구간 내에서 최소인 점을 극소라고 부른다.

4.3.1 정의 함수의 극값

함수 의 정의역이 이고 ∈라고 하자. 적당한 양수 가 존재하여 인 임

의의 ∈에 하여 ≤ 가 성립하면 는 에서 극댓값 를 가진다고 말한

다. 또한 적당한 양수 가 존재하여 인 임의의 ∈에 하여 ≥

가 성립하면 는 에서 극솟값 를 가진다고 말한다. 극댓값과 극솟값을 통틀어 극값이

라고 부른다.

정의에 의하면 최댓값은 극댓값이고 최솟값은 극솟값이다. 또한 최댓값이나 최솟값이 존재하면

그것은 각각 유일하지만 극댓값이나 극솟값은 여러 개가 존재할 수 있다.

4.3.2 정리 극점에서의 미분계수

함수 의 정의역이 를 포함하고 가 ∈ 에서 극값을 가지며 미분 가능하면

′ 이다.

증명 일반성을 잃지 않고 가 에서 극댓값을 가진다고 하자. 그러면 양수 가 존재하여

이고 ∈ 일 때마다 ≤ 을 만족시킨다.


따라서 일 때

≤

이므로

′ lim→

≤

이다. 또한 일 때

≥

이므로

′ lim→

≥

이다. 그런데 ′ ′ ′이므로 ′ 이다. □

위 정리의 역은 성립하지 않는다. 즉 함수 에 하여 ′ 이라고 해서 가 에서 반드

시 극값을 갖는 것은 아니다. 예를 들어 이라고 하면 ′ 이지만 는 에서

극값을 갖지 않는다. 또한 으로 정의된 함수 는 에서 미분 가능하지 않지만 극솟

값을 가진다.

함수 가 에서 미분 가능하고 에서 연속이라고 하자. 두 점 와

를 잇는 선분을 위 아래로 움직이다보면 의 그래프와 접할 때가 생긴다.

그때 접하는 점을 라고 하면

′

가 된다.

이것은 조금 더 단순한 상황으로 바꿀 수 있다. 함수 가 에서 미분 가능하고 에서

연속이며 이라고 하자. 축에 평행한 직선을 위에서부터 서서히 아래로 내리

면 사이에서 함수 의 그래프에 접할 때가 생긴다.



그때 접하는 점을 라고 하면 는 에서 극값을 가지므로 ′ 이 된다.

4.3.3 정리 Rolle

함수 가 에서 미분 가능하고 에서 연속이며 이면 적당한

∈ 가 존재하여 ′ 을 만족시킨다.

증명 가 에서 상수함수인 경우는 자명하다. 이제 가 에서 상수가 아니고

에서 의 최댓값을 , 의 최솟값을 이라고 하자. 그러면 이거나 이다.

인 경우 인 ∈ 가 존재하는데 이때 는 에서 극댓값을 가지므

로 ′ 이다. 인 경우도 마찬가지로 인 ∈ 가 존재하여

′ 이 된다. □

4.3.4 정리 평균값 정리

함수 가 에서 미분 가능하고 에서 연속이면 적당한 ∈ 가 존재하여

′


증명 구간 에서 함수 를

로 정의하자. 그러면 는 에서 미분 가능하고 에서 연속이며

이다. 따라서 롤의 정리에 의하여 ∈ 가 존재하여 ′ 을 만족

시킨다. 이때

′ ′

이므로 이것을 ′에 하여 풀면 정리의 등식을 얻는다. □

미분은 함수의 그래프에 접하는 직선의 기울기이다. 따라서 도함수가 항상 인 함수의 그래프는

기울기가 항상 이 되고 그러한 함수는 상수함수가 될 것이라고 생각할 수 있다.


4.3.5 정리 상수함수의 도함수

함수 가 에서 미분 가능하고 에서 연속이며 모든 ∈ 에 하여

′ 이면 는 에서 상수함수이다.

증명 ∈ 라고 하자. 그러면 평균값 정리에 의하여 ∈ 가 존재하여

′

를 만족시킨다. 위 식의 좌변이 이므로 우변도 이고 따라서 이다. 즉

임의의 ∈ 에 하여 이다. □

또한 두 함수의 도함수가 같으면 각 점에서 두 함수의 기울기가 같고 결국 두 함수의 그래프의

모양은 같아질 것이다. 즉 ′에 의하여 의 그래프의 모양이 완전히 결정된다.

4.3.6 따름정리 도함수가 같은 두 함수의 관계

두 함수 , 가 에서 미분 가능하고 에서 연속이며 임의의 ∈ 에 하

여 ′ ′이면 상수 가 존재하여 임의의 ∈ 에 하여


증명 라고 하면 는 에서 미분 가능하고 에서 연속이며 임

의의 ∈ 에 하여 ′ 이다. 따라서 는 에서 상수함수이다.

라고 하면 임의의 ∈ 에 하여 가 성립한다. □

기울기가 양수인 그래프를 갖는 함수는 증가 함수이고 기울기가 음수인 그래프를 갖는 함수는

감소 함수이다. 미분은 함수의 그래프에 접하는 직선의 기울기를 의미하므로 미분의 부호에 따

라 함수의 증감을 판정할 수 있다.

4.3.7 정리 도함수와 함수의 그래프의 관계

함수 가 에서 미분 가능하다고 하자.

(ⅰ) 임의의 ∈ 에 하여 ′ ≥ 이면 는 에서 단조증가이다.

(ⅱ) 임의의 ∈ 에 하여 ′ ≤ 이면 는 에서 단조감소이다.

(ⅲ) 임의의 ∈ 에 하여 ′ 이면 는 에서 순증가이다.

(ⅳ) 임의의 ∈ 에 하여 ′ 이면 는 에서 순감소이다.



증명 라고 하자. 가 미분 가능하므로

′

인 ∈ 가 존재한다.

(ⅰ) ′≥ 이면 ≥ 이므로 는 단조증가이다.

(ⅱ) ′≤ 이면 ≤ 이므로 는 단조감소이다.

(ⅲ) ′ 이면 이므로 는 순증가이다.

(ⅳ) ′ 이면 이므로 는 순감소이다. □

함수 가 임의의 ∈ 에 하여 ′ 이면 는 에서 순증가한다. 그러나 그

역은 성립하지 않는다. 예를 들어 으로 정의된 함수 는 순증가하지만 ′ 이므로 ′이다.

이제 미분 가능한 함수의 역함수를 미분해보자.

함수 가 의 근방에서 연속이고 미분 가능하다고 하자. 그리고 를 의 역함수라고 하자. 만

약 ′ 이면 P 에서 의 그래프에 접하는 직선 의 기울기는 ′가 된

다.

는 의 역함수이므로 의 그래프는 Q 를 지난다.

이때 점 Q 에서 의 그래프에 접하는 직선 은 직선 과 에 하여 칭이다. 따라서

직선 의 기울기는 의 기울기의 역수가 된다. 그런데 의 기울기는 ′ 이므로 여기서

등식

′ ′

을 얻는다.


4.3.8 정리 역함수의 미분

함수 가 에서 연속이고 미분 가능하며 순증가한다고 하자. 그리고 를 의 역함수

라고 하자. 그러면 의 점 에 하여 가 에서 미분 가능하고

′ ′

이 성립한다. 가 순감소인 경우에도 마찬가지로 성립한다.

증명 수열 ⟨⟩이 에 수렴하고 ≠ 인 임의의 수열이라고 하자. 는 일 일 응

이므로 각 에 하여 인 이 유일하게 존재한다. 가 연속이므로 ⟨⟩은 에 수렴한다. 이때 극한의 수열 판정법에 의하여

′ lim→∞

lim→∞

′

이므로 정리의 등식을 얻는다. □

실제로 역함수를 미분할 때에는 연쇄법칙을 이용하는 경우가 있다.

예제 4.3.9 구간 에서 함수 를 sin로 정의했을 때 의 도함

수를 구하여라.

풀이 는 에서 연속이고 미분 가능하며 증가이다. 따라서 정리 4.3.8에 의하여 은 미분

가능하다. 라고 하면

sin 이다. 양변을 에 하여 미분하면

sin

이므로 연쇄법칙에 의하여 ′ cos 을 얻는다. 즉

′ cos

이다. cos ≥ 이므로

cos sin 를 입하면

′ sin

을 얻는다. □


157디자이너앨리스4.4 로피탈의 법칙

4.4 로피탈의 법칙

두 함수 , 의 극한이 수렴하고 의 극한이 이 아닐 때 공식

lim→

lim→

lim→

를 사용할 수 있다. 그러나 와 의 극한이 이거나 와 의 극한이 모두 무한 에 발산하는

경우 위와 같은 공식을 사용할 수 없다.

분수식으로 정의된 함수의 분모와 분자가 모두 에 수렴하거나 무한 에 발산하는 경우 그러한

함수의 극한을 부정형이라고 부른다. 부정형의 극한은 존재할 수도 있으며 존재하지 않을 수도

있다. 그러나 분모와 분자가 미분 가능하고 특별한 조건이 더해지면 부정형의 극한을 쉽게 계산

할 수 있다.

4.4.1 보조정리 Cauchy 평균값 정리

두 함수 , 가 에서 미분 가능하고 에서 연속이면 ∈ 가 존재하여 다

음을 만족시킨다.

′ ′증명 라고 정의하면 는 에서 미분

가능하고 에서 연속이며 이다.

따라서 평균값 정리에 의하여 ′ 인 ∈ 가 존재한다. □

4.4.2 정리 l'Hôpital의 법칙

두 함수 와 가 에서 미분 가능하고 임의의 ∈ 에 하여 ′ ≠ 이라

고 하자. 만약 와 가 두 조건

(ⅰ) lim→

, lim→

(ⅱ) lim→ ′ ′

을 만족시키면

lim→

(1)

이 성립한다. (ⅰ) 신

(ⅰ)’ lim→

∞ , lim→

∞

를 만족해도 (1)이 성립한다. 여기서 와 은 각각 실수일 수도 있고 무한 일 수도 있다.


증명* 먼저 (ⅰ)을 만족시키는 경우를 증명한다. 일반성을 잃지 않고 이라고 하자.

이므로 으로 정의하면 , 는 에서 연속이

다. 보조정리에 의하여 인 에 하여 인 가 존재하여

′ ′


lim→ ′ ′

이므로 임의의 자연수 에 하여 양수 이 존재하여 인 모든 에

하여

′ ′

이 성립한다. 따라서 (1)이 성립한다.

다음으로 (ⅰ)’을 만족시키는 경우를 증명하자. 이번에도 이라고 하자. 임의의 양수

에 하여 양수 가 존재하여 일 때마다

′ ′

, ≠ 이 성립한다.

라고 하면 일 때 보조정리에 의하여 인 가 존재하여

′ ′

를 만족시킨다. 따라서

이다. 함수 를

로 정의하면 인 임의의 에 하여

⋅ 이다. ∞이므로 이다. 따라서 ∈ 이 존재하여

일 때 이고

이 성립한다.


159디자이너앨리스4.4 로피탈의 법칙

이러한 에 하여

⋅

⋅ ≤

⋅ ⋅

이고

이 성립한다. 따라서 (1)이 성립한다.

두 가지 경우의 증명으로부터 다른 경우의 증명도 바로 나온다. 예를 들어, ∞인 경

우

,

로 정의하자. 와 가 →∞인 극한에 하여 (ⅰ) 또는 (ⅰ)’을 만족시키면 와 는

→인 극한에 하여 (ⅰ) 또는 (ⅰ)’을 만족시킨다. 또한

′ ′

′

′

이므로 앞의 증명 방법을 그 로 적용하여 (1)이 성립함을 보일 수 있다. □

위 정리의 조건을 두 함수 와 가 에서 미분 가능하고 임의의 ∈ 에 하여

′ ≠ 인 것으로 바꾸고 에서의 좌극한을 우극한으로 바꾸어도 같은 결과를 얻는다.

보기 4.4.3 다음은 로피탈의 법칙을 이용하여 부정형의 극한을 계산하는 예이다.

(ⅰ) lim→

～ lim→ ′ ′

lim→

(ⅱ) lim→

sin ～ lim→′ sin′

lim→

cos ～ lim→′ cos′

lim→sin ～ lim

→′sin′

lim→cos

(ⅲ) lim→ ∞ ～ lim

→ ∞ ′ ′

lim→ ∞ ～ lim

→ ∞ ′′

lim→ ∞

(ⅳ) lim→ ∞

ln ～ lim→ ∞ ′ln′

lim→ ∞

lim→ ∞


참고로 복소함수에 해서는 로피탈 법칙이 성립하지 않을 수도 있다.

보기 4.4.4 구간 에서 두 함수 , 를

,

으로 정의하면

lim→

, lim→ ′ ′

이므로 로피탈의 법칙이 성립하지 않는다. 이것은 가 복소함수이기 때문이다.

4.5 테일러의 정리

우리는 중등학교에서 지수함수 를 미분하면 자기 자신이 됨을 공부하였다. 또한 지수법칙에

의하여 임을 알고 있다. 이제 가 에 가까이 있을 때 가 에 얼마나 가까운지 살펴

보자. 평균값 정리를 이용하면

인 실수 가 과 사이에 존재함을 알 수 있다. 가 에 가까워지면 의 값이 에 가까워

지므로 의 값은 에 가까워진다. 따라서 충분히 작은 양수 에 하여 의 값은 의

값에 가깝다고 할 수 있다.

실제로 로피탈의 정리에 의하여 →일 때

～ →

이므로 의 근처에서 ～ 이다. 여기서 기호 ～는 거의 같다 또는 근사하다(approxi-

mated)는 의미로 해석할 수 있다.

다시 작은 양수 에 하여 가 에 얼마나 근사한지 생각해볼 수 있다. 가 충분히 작

은 양수일 때 은 더욱 작은 양수이므로 와 의 차이를 의 크기와 비교해보자. 로피

탈의 법칙에 의하여

～

→

을 얻는다. 따라서 가 충분히 작은 양수일 때

～

임을 알 수 있다.


161디자이너앨리스4.5 테일러의 정리

다시 이 에 얼마나 근사한지 알아보기 위하여 로피탈의 법칙을 이용하여 그 차

를 과 비교해보면

～

→ ⋅

을 얻는다. 따라서 가 충분히 작은 양수일 때

～

임을 알 수 있다. 이러한 과정을 반복하면 할수록 에 더욱 근사한 다항식을 얻게 된다.

함수 가 의 근방에서 미분 가능하면 위와 같은 방법을 이용하여 →일 때

→ ′

를 얻는다.

가 에서 번 이상 미분 가능하다면 위와 같은 방법을 이용하여 →일 때

～ ′ ″ ⋯

을 얻는다. 여기서 와 다항식의 차이를 로 표기하면

가 된다. 우변의 다항식을 나머지를 갖는 차 테일러 전개라고 부르며 을 제외한 다항식

를 차 테일러 전개 다항식이라고 부른다.

나머지항 의 절댓값이 작을수록 테일러 다항식은 본래의 함수에 근사하다고 할 수 있다.

따라서 테일러 전개 다항식을 구하는 것뿐만 아니라 나머지항의 크기를 가늠하는 것도 매우 중

요하다. 다음 정리는 테일러 전개의 나머지 항의 크기를 가늠하는 공식이다.

4.5.1 정리 Taylor

함수 가 에서 정의되었고 이 자연수이며 의 계 도함수 이 에서 연

속이고 임의의 ∈ 에 하여 가 존재한다고 하자. ∈ 이면 와

사이에 가 존재하여 다음을 만족시킨다.

여기서 우변의 두 번째 항을 Lagrange의 나머지 식이라고 부른다.


증명 상수 을

로 정의하면

을 얻는다. ∈ 에 하여

이라고 하자. 이제 와 사이의 적당한 에 하여 임을 보여

야 한다. 의 정의에 의하여, 를 번 미분하면 ∈ 에 하여

을 얻는다. 따라서 와 사이의 적당한 에 하여 임을 보여야 한다.

≤ ≤ 인 정수 에 하여 이므로

′ ⋯ 을 얻는다. 또한 이므로 와 사이에 이 존재하여 ′ 이다. 다시

′ 이므로 와 사이에 가 존재하여 ″ 이다.

이 과정을 번 반복하는 수학적 귀납법을 이용하면 와 사이에 이 존재하

여 을 얻는다. 이때 은 와 사이의 수이므로 이라

고 하면 정리의 등식을 얻는다. □

평균값 정리는 한 번 미분한 함수에 하여 적용되는 반면 테일러 정리는 번 미분한 함수에

하여 적용된다. 따라서 테일러 정리는 평균값 정리를 일반화한 것으로 볼 수 있다.

예제 4.5.2 테일러의 정리를 이용하여 의 범위에서 부등식

을 만족시키는 다항식 를 구하여라.

풀이

, 이라고 하자. 임의의 ∈ 에 하여

이므로

을 얻는다.


163디자이너앨리스4.5 테일러의 정리

그런데 ∈ 일 때 ≤ 이므로 일 때 테일러의 정리에 의

하여 ∈ 가 존재하여

이다. 즉 인 범위에서 과 의 차이는 미만이다. 따라서

구하는 다항식은

′

이다. □

예제 4.5.3 테일러 정리를 이용하여 의 값을 소수점 이하 셋째 자리까지 구하여라.

풀이 , 이라고 하자. ∈ 와 ∈ 에 하여 ≤ 이므로

≤

이다. 따라서 이고 ∈ 이면 ∈ 가 존재하여

≤

이다.

이므로 을 입하면

≒ ⋯ ≒

을 얻는다. □

개구간 에서 함수 의 계 도함수 이 연속이고 ⊆ 라고 하자.

또한 를 ≤ ≤ 인 자연수라고 하자. 그리고

,

라고 하자. 그러면 이므로 롤의 정리에 의하여 ∈ 가 존재하여

′ 이 성립한다. 따라서

′ ′

이므로 이것을 에 하여 풀면


를 얻는다. 이로써 다음 정리를 얻는다.

4.5.4 정리* Sölmilich

를 포함하는 개구간에서 가 정의되었고 이 연속이라고 하자. ∈ 에

하여 와 사이에 가 존재하여 다음을 만족시킨다.

여기서

를 쇨밀리히의 나머지 식이라고 부른다. 인 경우

을 라그랑주의 나머지 식이라고 부르며 인 경우

를 코시의 나머지 식이라고 부른다.

일반적으로 별다른 언급 없이 테일러 다항식의 나머지 식이라고 말할 때에는 라그랑주의 나머지

식을 의미한다.



(1) 연속함수는 미분 가능하다.

(2) 임의의 도함수는 연속이다.

(3) 임의의 도함수는 중간값 성질을 가진다.

(4) 폐구간의 끝점에서도 미분계수가 정의된다.

(5) 와 가 미분 가능하면 는 미분 가능하다.

(6) 임의의 다항함수는 미분 가능하다.

(7) 최댓값은 극댓값이다.

(8) 도함수가 인 함수는 상수함수이다.



2. 함수 의 계 도함수를

라고 쓰지 않고

라고 쓰는 이유가 무엇인지 설명

하여라.

3. 함수의 정의역과 그 도함수의 정의역은 어떠한 관계가 있는지 설명하여라.

4. 가우스함수 는 다른 함수의 도함수가 될 수 있는지 자신의 의견을 말하여라.

5. 두 함수 와 를

,

이라고 정의하면 명백히 ≠ 이지만 ′ ′이다. 이런 일이 발생한 이

유를 설명하여라.

6. 다음과 같이 정의된 함수 의 도함수와 이계 도함수를 구하여라.

(1) (2)

(3)

(4)

7. 함수 의 그래프에서 에서의 접선의 방정식과 법선의 방정식을 구

하여라.

8. 함수 가 에서 미분 가능하고 , 가 이 아닌 실수일 때 다음을 계산하여라.

lim→

9. 함수 가 로 정의되었을 때 의 극값을 모두 구하여라.

10. 다음과 같이 정의된 함수 의 도함수가 연속인지 판별하여라.

i f ≤ i f

11. 다음과 같이 정의된 함수 가 연속인 도함수를 갖도록 , 를 정하여라.

i f ≤ i f

12. 함수 →ℝ가 다음과 같이 정의되었다.

i f i f i f ≤ ≤

구간 에서 에 평균값 정리를 적용할 수 있도록 , , 의 값을 정하여라.



13. 함수 가 에서 연속이고 미분 가능하며 의 도함수가 유계라고 하자. 이때 가

에서 평등연속임을 증명하여라.

14. 평균값 정리를 이용하여 다음 부등식을 증명하여라.

(1) 임의의 실수 , 에 하여 sin sin ≤ 이다.

(2) 임의의 실수 에 하여 ≥ 이다.

(3) , 일 때 ≥ 이다.

15. 다음 극한을 계산하여라.

(1) lim→ ln

(2) lim→∞

ln

, ≠

(3) lim→

ln ln (4) lim

→

16. 등식 lim→ ∞

가 성립하도록 하는 을 구하여라.

17. 실수 의 근방에서 ′이 연속이고 ″가 존재할 때 다음을 구하여라.

lim→

18. 로 정의된 함수 는 에서 연속이지만 미분 불가능임을 증명하여라.

19. 함수 가 다음 등식을 만족시킬 때 ′ 를 구하여라.

(1) (2) sin sin (3) (4) ln cos

20. 타원 위의 점 에서의 접선의 방정식을 구하여라.

21. 함수 가 다음과 같이 정의되었을 때 ′와 ′를 구하여라.

i f ≠ i f

22. 함수 가 다음과 같이 정의되었을 때 ′과 ″을 구하여라.

i f i f ≤



23. 함수 가 다음과 같이 정의되었다.

sin i f ≠

i f (1) ′ 임을 증명하여라.

(2) ′이 에서 연속이 아님을 증명하여라.

24. 함수 가 다음과 같이 정의되었다.

sin i f ≠

i f (1) 가 모든 점에서 미분 가능함을 증명하여라.

(2) 의 임의의 근방에서 ′이 유계가 아님을 증명하여라.

25. 다음과 같이 정의된 함수 ℝ →ℝ가 오직 한 점에서만 미분 가능함을 증명하여라.

i f ∈ℚ i f ∈ℚ

26. 함수 ℝ → ∞가 미분 가능하고 ′ 를 만족시키면 는 ℝ에서 증가 함수이

고 임의의 양수 에 하여


27. 도함수가 반드시 연속이 되는 것은 아니다. 그러나 도함수는 중간값 성질을 가진다. 가

에서 미분 가능하고 ′≠ ′라고 하자. 그러면 ′와 ′ 사이에 있는

임의의 에 하여 ∈ 가 존재하여 ′ 를 만족시킴을 증명하여라.

28. 함수 가 에서 연속이고 에서 미분 가능하며 을 만족시킨다고

하자. 만약 임의의 에 하여 ′ ≠ 이면 방정식 의 해가 에 유일하

게 존재함을 증명하여라.

29. 함수 , 가 임의의 에 하여

′ ′ ≠ 이라고 하자. 그리고 방정식 이 두 근 , 만을 가진다고 하자. 그러면 방정식

의 근은 , 사이에 유일하게 존재함을 증명하여라.

30. 함수 가 에서 음이 아니고 의 삼계 도함수가 존재하며 의 서로 다른 두 점

, 가 존재하여 이라고 하자. 이때 인 ∈ 이 존재

함을 증명하여라.


31. 함수 가 임의의 ∈ 와 ∈ 에 하여

≤

를 만족시키면 는 에서 볼록하다(convex, concave up)고 말한다. 여기서 부등호의

방향을 반 로 바꾼 조건을 만족시키면 는 에서 오목하다(concave down)고 말한다.

가 에서 볼록할 때 다음 물음에 답하여라.

(1) 에서 의 그래프의 모양이 어떻게 되는지 설명하여라.

(2) 일 때 다음이 성립함을 증명하여라.

≤

≤

(3) 는 에서 연속임을 증명하여라.

32. 함수 가 에서 연속이고 임의의 ∈ 에 하여

≤

를 만족시키면 는 에서 볼록임을 증명하여라. 만약 부등호의 방향을 반 로 바꾼

조건을 만족시키면 는 에서 오목임을 증명하여라.

33. 함수 가 에서 두 번 이상 미분 가능하다고 하자. 이때 가 에서 볼록일 필

요충분조건은 임의의 에 하여 ″ ≥ 임을 증명하여라. 가 에서 오목일 필

요충분조건은 임의의 에 하여 ″ ≤ 임을 증명하여라.

34. 함수 가 에서 두 번 이상 미분 가능하고 가 ∈ 에서 극솟값을 가지면

″ ≥ 임을 증명하여라. 또한 가 ∈ 에서 극댓값을 가지면 ″ ≤ 임을

증명하여라.

35. ℝ → ℝ가 우함수이고 미분 가능하면 ′은 기함수임을 증명하여라. 또한

ℝ → ℝ가 기함수이고 미분 가능하면 ′은 우함수임을 증명하여라.

36. 함수 ℝ →ℝ가 에서 미분 가능하고 ′ 이지만 을 포함하는 어떠한 개구간

에서도 증가가 아닌 의 예를 들어라.


37. 함수 가 구간 에서 미분 가능하고 가 의 내점이라고 하자. 모든 항이 에 속하

고 에 수렴하는 단조수열 ⟨⟩이 존재하여 ′ → ′임을 증명하여라.

또한 이때 lim→ ′ 가 존재하면 ′임을 증명하여라.



38. 함수 가 미분 가능하고 lim→ ∞

′ 이면 lim→ ∞

임을 증명하여

라.

39. 함수 → ℝ의 이계도함수가 존재하고 임의의 ∈ 에 하여 ≤

이며 ″ 이라고 하자. 이때 임의의 ∈ 에 하여 ′ ≤ 임을 증명

하여라.

40. 함수 → ℝ가 으로 정의되었을 때, 이하의 임의의 자연수

에 하여 의 계 도함수 가 에서 미분 가능함을 증명하여라. 또한 방정식

은 과 사이에 개의 서로 다른 실근을 가짐을 증명하여라.

41. 함수 가 ∞에서 미분 가능하고 lim→ ∞

′ 이면

lim→ ∞


42. 함수 가 에서 미분 가능하고 ′이 연속이라고 하자. 이때 임의의 양수 에 하여

양수 가 존재하여 , ≤ ≤ , ≤ ≤ 일 때마다

′ 이 성립함을 증명하여라.

43. 함수 가 ∞에서 두 번 미분 가능하고 ″이 유계이며 lim→ ∞

이라고 하자.

이때 lim→ ∞

′ 임을 증명하여라.

44. 함수 ∞ →ℝ가 에서 미분 가능하고 가 임의의 양수 , 에 하여

이며 이면 임의의 양수 에 하여 ′ ′ 임을 증명하여라.

45. 디리끌레 함수 는 에서 다음과 같이 정의된 함수임을 상기하라.

i f

irreducible ∈ℕ

i f ∈ℚ이때 함수 가 의 임의의 점에서 미분 가능하지 않음을 증명하여라.

170

⋯

⋯

⋯

cos sin

′d

제 5 장 리만 적분

제 5 장

리만 적분

적분은 함수의 그래프로 표현되는 도형의 넓이를 구하는 문제를 해결해준다. 우리는 중등학교에

서 구분구적법으로 넓이를 구하는 적분을 공부하였다. 적분 이론에는 구분구적법 외에도 리만,

스틸체스, 르벡, 다니엘의 적분이 있다. 이들은 모두 기존의 적분 개념을 보존하면서 그 단점을

보완하기 위해 고안된 것들이다. 이 장에서는 구분구적법보다 한 단계 일반화된 리만 적분에

하여 살펴본다.

5.1 리만 적분의 정의

직사각형의 넓이는 가로의 길이와 세로의 길이의 곱으로 정의된다. 또한 삼각형의 넓이는 직사

각형의 넓이를 이용하여 정의된다. 이렇게 다각형의 넓이를 정의하는 것은 쉽지만 곡선으로 이

루어진 도형의 넓이를 정의하는 것은 쉽지 않다.

중등학교에서는 함수의 그래프로 정의되는 도형의 넓이를 구하기 위하여 구분구적법을 도입한

다. 즉 적분 구간을 개의 등간격으로 분할하고 각 분할된 구간에서 넓이를 직사각형의 넓이와

같은 것으로 간주한 뒤 극한을 이용하여 직사각형의 넓이를 도형의 넓이에 근사시킨다. 여기서

구간을 등간격으로 분할하지 않고 임의 간격으로 분할하는 것이 더욱 편리할 때가 있다. 예를

들어 불연속 함수의 적분을 논할 때에는 적분 구간을 임의 간격으로 분할하는 것이 훨씬 편리하

다.

구간 에서 점 들을 다음과 같이 택했다고 하자.

⋯

이 점들의 집합을 라고 하자. 의 원소들에 의해 분할된 성분구간 의 길이

는 이다. 이 구간에서의 함숫값 중 가장 큰 값을 라고 하자.

Ⅴ 리만 적분

171디자이너앨리스5.1 리만 적분의 정의

그러면

은 의 그래프의 윗부분에 닿는 사각형들의 넓이의 합이 된다.

또한 에서 함숫값 중 가장 작은 값을 라고 하면

은 의 그래프

의 아랫부분에서 만나는 사각형들의 넓이의 합이 된다.

구간 를 더 조 하게 잘라보자.

그러면 그래프 윗부분에 닿는 사각형들의 높이가 처음보다 낮아진 것들이 생기며, 그래프의 아

랫부분에서 만나는 사각형들의 높이는 처음보다 높아진 것들이 생긴다. 즉 위 사각형들의 넓이

의 합

은 작아지고 아래 사각형들의 넓이의 합

은 커졌다. 따라서 두 넓이의 차

은 더 작아졌다. 구간 를 더 조 하게 자를수록 의 값은 더 작아진

다. 만약 임의로 원하는 만큼 의 값을 충분히 작게 할 수 있다면

in f 의 값과 sup 의 값이 같아질 것이다. 여기서 상한과 하한은 분할 를 변

수로 하여 취한 것이다.

구간 에서 함수의 그래프와 축, 그리고 , 에 의하여 만들어지는 영역의 넓

이 는 보다는 작고 보다는 크다. 그런데 in f 의 값과

sup 의 값이 같다면 그것은 결국 in f sup 가 될 것이다. 이

때 의 값을 구간 에서 의 리만 적분이라고 부른다. 이제 리만 적분을 논리적으로 정의

해보자.

172 제 5 장 리만 적분

5.1.1 정의 분할, 성분구간

가 구간 의 유한부분집합이고 ∈ , ∈이면 를 의 분할(partition)이라

고 부른다. ⋯ 의 꼴로 쓸 때는

⋯

가 성립하는 것으로 약속한다. 이때 를 의 성분 구간이라고 부른다.

함수 → ℝ와 구간 의 분할 ⋯ 에 하여 편의상 다

음과 같이 약속한다.

• 성분구간 의 길이 을 로 표기한다.

• 에서 의 상한을 또는 로 표기한다.

• 에서 의 하한을 또는 로 표기한다.

연속함수 → ℝ의 그래프와 축, 그리고 두 직선 , 로 둘러싸인 부분

의 넓이를 라고 하면

≤ ≤

가 성립함을 알 수 있다. 여기서 들의 합을 상합(upper sum), 들의 합을 하합

(lower sum)이라고 부른다. 분할 에 의한 의 상합과 하합을 각각 다음과 같이 표기한다.

• 상합 :

sup • 하합 :

in f

정의에 의하여 임의의 분할 에 하여 ≤ 가 성립한다.

5.1.2 정의 세련분할(refined partition)

구간 의 분할 , ′에 하여 ⊆ ′이면 ′을 의 세련 분할이라고 부른다.

세련 분할이란 직관적으로 구간을 더 잘게 잘랐다는 의미이다. 임의의 분할은 자기 자신의 세련

분할이 된다. 또한 두 분할 , 에 하여 ∪라고 하면 은 의 세련 분할

인 동시에 의 세련 분할이 된다. 이렇게 ∪⊆ 인 경우 을 과 의 공통 세련

분할이라고 부른다.

Ⅴ 리만 적분


함수 → ℝ와 의 분할 , 그리고 의 세련분할 ′이 있다고 하자.

⋯ , ′ ⋯ 이라고 하면 의 임의의 원소 에 하여 를 만족시키는 가 존재한다.

′ ′∩ 라고 정의하면 ′은 의 분할이 되고

′ ≤ ≤ 이다. 또한 ≤ 인 임의의 자연수 에 하여

sup ≤ sup 가 성립한다. 여기서 , 라고 하면

sup sup

sup

≥

sup 이다. 따라서

sup

≥

sup

sup ′

이므로 ≥ ′이 성립한다. 같은 방법으로 ≤ ′임을 알 수

있다. 즉 분할을 세련할수록 상합은 작아지고 하합은 커진다.

구간 의 두 분할 과 가 있다고 하자. 이 둘의 공통 세련 분할 에 하여

≤ ≤ ≤

가 성립한다. 즉 한 분할에 의한 상합이 아무리 작더라도 그것은 다른 분할에 의한 하합보다 작

아질 수 없다.

함수 가 유계이면 임의의 분할 에 하여 는 아래로 유계이며 는 위로 유

계이다. 따라서 상합들의 집합은 하한을 가지며 하합들의 집합은 상한을 갖게 된다.


5.1.3 정의 상적분(upper integral), 하적분(lower integral)

함수 가 에서 유계일 때 다음과 같이 정의한다.

(ⅰ) 리만 상적분 :

in f is a partition of (ⅱ) 리만 하적분 :

sup is a partition of

임의의 분할 , 에 하여 ≤ 이므로 다음이 성립한다.

≤

또한 sup , in f 에 하여 다음이 성립한다.

≤

≤

≤

구간 에서 의 상합과 하합의 차이를 원하는 로 충분히 작게 만들 수 있다면 상적분과

하적분의 차는 이 된다. 따라서 리만 적분을 다음과 같이 정의한다.

5.1.4 정의 Riemann 적분

함수 가 구간 에서 유계이고 상적분과 하적분이 같으면 는 에서 리만 적분

가능하다고 말한다. 이때 에서 의 리만 적분을

로 정의한다. 구간 에서 리만 적분 가능한 함수들의 모임을 ℜ 또는 간단하게

ℜ로 나타낸다.

이제 두 가지 의문이 발생한다. 하나는 리만 적분 가능성을 판별하는 방법과 다른 하나는 리만

적분을 계산하는 방법이다. 리만 적분을 계산하는 방법은 미적분의 기본정리에서 살펴볼 것이며

여기서는 리만 적분 가능성에 한 논의를 진행하자.

5.1.5 정리 Riemann 판정법

함수 가 에서 리만 적분 가능할 필요충분조건은 임의의 양수 에 하여 의

분할 가 존재하여 을 만족시키는 것이다.

Ⅴ 리만 적분


증명 먼저 가 에서 적분 가능하다고 하자. 그리고 양수 이 임의로 주어졌다고

하자. 상한과 하한의 정의에 의하여 분할 과 가 존재하여

,

을 만족시킨다. 이때 과 의 공통세련분할 에 하여

이 성립한다. 이제 역을 증명하자. 임의의 양수 에 하여 분할 가 존재하여

을 만족시킨다고 하자. 이 부등식으로부터

≤

≤

을 얻는다. 여기서 은 임의의 양수이므로

이 되어 는 에서 적분 가능하다. □

비록 리만 적분이 적분 구간을 등분하지 않고 임의 크기로 분할하긴 하지만 그 안에는 구간을

아주 작은 크기로 자른다는 개념이 포함되어 있다. 따라서 구간을 얼마나 작은 간격으로 분할했

는지에 한 척도가 필요하다. 구분구적법에서는 등간격 분할이기 때문에 분할 간격이 한 값으

로 일정하지만 리만 적분에서는 그렇지 않기 때문에 분할 간격의 척도로서 길이가 가장 큰 성분

구간의 길이를 사용한다.

분할 간격의 척도로서 길이가 가장 큰 성분 구간의 길이를 노름이라고 부른다. 즉 분할

⋯

에 하여 의 노름(norm)을

max ≤ ≤ 으로 정의한다. 구간 에 대하여 노름이 얼마든지 작은 분할을 택할 수 있다. 즉 임의의 양

수 에 하여 인 분할 가 존재한다. 왜냐하면 인 자연수 에 하여

⋯ 라고 하면 의 모든 성분구간의 길이는 보다 작기 때문이다.


예제 5.1.6 함수 가 에서 단조이면 는 에서 리만 적분 가능하다.

증명 일반성을 잃지 않고 가 단조증가라고 하자. 만약 가 상수함수이면 는 당연히 적분 가

능하다. 이제 라고 하자. 그리고 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 그러면

인 분할 ≤ ≤ 이 존재한다. 의 임의의 성분

구간 에서 는 단조증가이므로

sup , in f 이다. 따라서

≤

이므로 리만 판정법에 의하여 는 에서 적분 가능하다. □

예제 5.1.7 함수 가 에서 연속이면 는 에서 리만 적분 가능하다.

증명 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 가 에서 연속이므로 평등연속이다. 따라서 양

수 가 존재하여 일 때


인 분할 ≤ ≤ 을 택하자. 의 성분구간 에

하여 이다. 이때 의 평등연속성에 의하여 의 임의의

두 점 , 에 하여 일 때

이 성립한다. 또한

는 연속이고 는 폐구간이므로 는 에서 최댓값과 최솟값

을 가진다. 따라서 ∈ 와 ∈ 가 존재하여

sup , in f 가 성립한다. 이것으로부터 다음을 얻는다.

sup in f

.

Ⅴ 리만 적분


동일한 분할 에 하여

⋅

이므로 리만 판정법에 의하여 는 에서 적분 가능하다. □

리만 판정법은 리만 적분 불가능함을 증명할 때에도 사용된다. 즉 가 에서 리만 적분 불

가능함을 보일 때에는 다음 명제를 이용한다.

양수 이 존재하여 임의의 분할 에 하여 ≥ 이다.

예제 5.1.8 유리수 집합의 특성함수 ℚ는 에서 리만 적분 불가능하다.

증명 리만 판정법의 우를 이용하자. 이라고 하자. 그리고 ≤ ≤ 이 임

의로 주어진 의 분할이라고 하자. ≤ 인 임의의 자연수 가 주어졌다고 하자.

유리수의 조 성에 의하여 ∈ 인 유리수 가 존재하므로

sup ℚ ≥ ℚ 이다. 또한 무리수의 조 성에 의하여 ∈ 인 무리수 가 존재하므로

in f ℚ ≤ ℚ 이다. 따라서

≥

⋅

을 얻는다. 는 의 임의의 분할이므로, 의 어떠한 분할도 의 상합과 하합

의 차를 미만이 되도록 하지 못한다. 따라서 리만 판정법에 의하여 는 에서 리

만 적분 불가능하다. □


5.2 리만 적분의 성질

이 절에서는 리만 적분의 여러 가지 성질을 살펴보자.

5.2.1 정리 상수 곱과 리만 적분

함수 가 에서 리만 적분 가능하고 가 실수이면 는 에서 리만 적분 가능

하고 다음이 성립한다.

증명 인 경우 는 상수함수가 되어 당연히 적분 가능하다.

이라고 하자. 그리고 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 가 적분 가능하므로

의 분할 ≤ ≤ 이 존재하여

을 만족시킨다. 이때 임의의 에 하여

sup ≤ ≤ sup ≤ ≤ ,in f ≤ ≤ in f ≤ ≤

이므로

⋅

이 되어 는 에서 적분 가능하다. 또한

in f is a partition of in f is a partition of in f is a partition of

가 성립한다.

끝으로 인 경우를 증명하자. 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 가 적분 가능하므

로 의 분할 ≤ ≤ 이 존재하여


Ⅴ 리만 적분

179디자이너앨리스5.2 리만 적분의 성질

이때 가 음수이므로 임의의 에 하여

sup ≤ ≤ in f ≤ ≤ ,in f ≤ ≤ sup ≤ ≤

이다. 따라서

⋅

이 되어 는 에서 적분 가능하다. 또한

in f is a partition of in f is a partition of sup is a partition of


5.2.2 정리 함수의 합과 리만 적분

함수 , 가 에서 리만 적분 가능하면 는 에서 리만 적분 가능하고 다음

이 성립한다.

증명 두 함수 , 가 적분 가능하므로 의 분할 과 가 존재하여

,

을 만족시킨다. 과 의 공통 세련 분할을 ≤ ≤ 이라고 하자. 임의

의 에 하여

sup ≤ ≤ ≤ sup ≤ ≤ sup ≤ ≤ , in f ≤ ≤ ≥ in f ≤ ≤ in f ≤ ≤ 이다.


이것은

≤ ,

≥

를 의미한다. 따라서

≤

≤

이므로 는 에서 적분 가능하다. 한편

≤

≤

≤

이 성립한다. 마찬가지로

≥

≥

≥

이 성립하므로

이다. 여기서 은 임의의 양수이므로

를 얻는다. □

Ⅴ 리만 적분


정의역이 ℜ 인 함수 를

로 정의하면 ℜ 의 두 원소 , 와 실수 에 하여

,

가 성립한다. 따라서 적분은 집합 ℜ 위에서 선형범함수이다.

집합 ℜ 의 두 원소 , 가 주어졌다고 하자. 이때 임의의 ∈ 에 하여

≤ 가 성립하는 것을 ≤ 로 표기하면 ≤는 ℜ 에서의 순서관계가 된다. 다

음 두 정리는 적분이 ℜ 로부터 ℝ로의 순서보존사상임을 설명한다.

5.2.3 보조정리 양함수의 리만 적분

함수 가 에서 리만 적분 가능하고 임의의 ∈ 에 하여 ≥ 이면 다

음이 성립한다.

≥

증명 구간 의 분할 ≤ ≤ 에 하여

in f ≤ ≤ ≥

이다. 따라서

≥ ≥

이 성립한다. □

5.2.4 정리 부등호와 리만 적분의 관계

두 함수 , 가 에서 리만 적분 가능하고 임의의 ∈ 에 하여 ≤

이면 다음이 성립한다.

≤

증명 함수 가 에서 적분 가능하고 임의의 ∈ 에 하여

≥ 이다.


따라서 보조정리에 의하여

≥

이 성립한다. □

5.2.5 정리 적분 구간에 대한 가법성

이고 함수 가 와 에서 리만 적분 가능하면 는 에서 리만 적

분 가능하고 다음이 성립한다.

증명 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 는 에서 적분 가능하므로 의

분할 이 존재하여

을 만족시킨다. 마찬가지로 의 분할 가 존재하여

을 만족시킨다. ∪라고 하면 는 의 분할이 된다. 따라서

이므로 는 에서 적분 가능하다. 또한

≤

≤

이고

≥

≥

이다.

Ⅴ 리만 적분


따라서


를 얻는다. □

5.2.6 정리 부분구간에서의 리만 적분 가능성

함수 가 에서 리만 적분 가능하고 이면 는 에서 리만 적분

가능하다.

증명 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 가 에서 적분 가능하므로 의 분할 이

존재하여 을 만족시킨다. ∪ 라고 하면 는

의 세련 분할이므로 이 성립한다. ≤ ≤ ,

∩ 라고 하자. 그러면 는 의 분할이다. 또한 적당한 , 에 하여

, 이다. 따라서

≤

이므로 는 에서 적분 가능하다. □

적분 구간에 한 가법성에 관한 정리는 더욱 일반화될 수 있다. 먼저 더 일반화된 구간에서의

적분을 정의한다.

5.2.7 정의 뒤집어진 구간에서의 리만 적분

함수 가 에서 리만 적분 가능하고 가 의 정의역의 한 점일 때 다음과 같이 정의

한다.

,


5.2.8 따름정리 부분구간에서의 리만 적분 가능성

함수 가 에서 리만 적분 가능하고 , , 가 의 원소일 때 다음이 성립한다.

증명 인 경우는 이미 증명하였다.

만약 이거나 이거나 인 경우는 당연히 정리의 등식이 성립한다.

인 경우는

이다. 인 경우는

이다. , , 인 경우도 같은 방법으로 정리의 등식이 성립함을

증명할 수 있다. □

적분 가능한 두 함수의 합성이 항상 적분 가능한 것은 아니다. 그러나 적분 가능한 함수와 연속

함수의 합성은 적분 가능하다.

5.2.9 정리 합성함수의 리만 적분 가능성

함수 가 에서 리만 적분 가능하고 가 에서 연속이며 ⊆ 이

면 ∘ 는 에서 리만 적분 가능하다.

증명 ∘ 라고 하자. 그리고 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 는 에서 평등연

속이므로 양수 이 존재하여 일 때 이 성립한다.

min 이라고 하자.

또한 가 적분 가능하므로 의 분할 ≤ ≤ 이 존재하여

(1)


Ⅴ 리만 적분


와 를

sup , in f , sup , in f

라고 정의하자. 그리고

∈ℕ ≤ , ∈ℕ ≤ ≥ 라고 하자. 만약 ∈이면 의 정의에 의하여

≤ 이 성립한다.

sup ≤ ≤ 이라고 하면 ∈일 때

≤ 를 얻는다. 그런데 (1)에 의하여

∈≤

∈ ≤

이므로 ∈ 를 얻는다. 따라서

∈

∈

≤

이다. 여기서 이 임의의 양수이므로 도 임의로 작은 양수가 될 수 있다.

따라서 는 에서 적분 가능하다. □

5.2.10 따름정리 절댓값과 리만 적분의 관계

함수 가 에서 리만 적분 가능하면 도 에서 리만 적분 가능하고 다음이 성

립한다.

≤

증명 함수 가 유계이므로 ⊆ 인 , 가 존재한다. 라고 하면

는 에서 연속이다. 따라서 ∘ 는 에서 적분 가능하다. 또한 임의의

∈ 에 하여 ≤ ≤ 이므로 각 변을 적분하면

≤

≤

를 얻는다. □

5.2.11 따름정리 함수의 거듭제곱의 적분

함수 가 에서 리만 적분 가능하고 이 자연수이면 은 적분 가능하다. 여기서

은 임의의 ∈ 에 하여 으로 정의된 함수이다.


5.3 미적분의 기본 정리

함수 가 에서 적분 가능하고 이라고 하자. 그리고 ∈ 에 하여

라고 하자. 그러면 는 에서 의 그래프와 축 사이의 넓이를 나타내는 함수가 된

다. 이제 충분히 작은 양수 가 주어졌다고 하자.

이때 위 그림에서 보는 바와 같이 밑변의 길이가 이고 높이가 인 직사각형의 넓이는

의 값에 근사하다. 가 충분히 작으면 직사각형의 넓이도 아주 작아지므로

의 값도 매우 작아진다. 따라서 는 에서 연속이 된다는 것을 추론할 수

있다.

특히 그림에서 직사각형의 세로가 길수록 에서 의 변화율은 크고 직사각형의 세로가 짧을수

록 에서 의 변화율은 작아진다. 이때 에서 직사각형의 세로의 길이는 와 같으므로

′ 가 된다는 것도 추론할 수 있다.

5.3.1 정리 적분으로 정의된 함수의 성질

함수 가 에서 리만 적분 가능하다고 하자. 만약

라고 정의하면 는 에서 연속이다. 만약 가 연속이면 는 에서 미분 가능하

고 ′ 이다.

증명 가 에서 유계이므로 양수 이 존재하여 ≤ 이다. 이제 양수 이 임의로

주어졌다고 하자. 인 양수 를 택하자.

Ⅴ 리만 적분

187디자이너앨리스5.3 미적분의 기본 정리

이제 이고 를 만족시키는 임의의 ∈ 에 하여

≤

≤

이므로 는 에서 평등연속이다. 따라서 연속이다.

이제 가 연속이고 ∈ 라고 하자. 그리고 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 그러

면 양수 가 존재하여 인 임의의 ∈ 에 하여 이

성립한다. 따라서 인 임의의 ∈ 에 하여

이므로 ′ 이다. 는 의 임의의 점이므로 는 에서 미분 가능하

고 ′ 이다. □

함수 에 하여 ′ 를 만족시키는 함수 를 의 부정적분(indefinite integral) 또는 역도함

수(antiderivative)라고 부른다.

이제 가 에서 연속이고 ∈ 에 하여

라고 하자. 그리고 가 의 부정적분이라고 하자. 그러면 ′ ′이다. 도함수가 동일한

두 함수는 상수 차이이므로 인 실수 가 존재한다. 그런데

이므로 이다. 즉

이다.


여기서 를 입하면

이다. 더욱이 이다. 따라서 다음을 얻는다.

5.3.2 정리 미적분의 기본 정리

가 에서 연속이고 가 의 부정적분이면 다음이 성립한다.

위 정리에서 를 다음과 같이 쓴다.

이 기호를 사용하여 미적분의 기본정리를 다시 쓰면 다음과 같다.

적분 가능한 함수 의 부정적분을 로 표기하기도 한다. 이때 부정적분과 구분하기

위하여 적분

를 정적분(definite integral)이라고 부른다. 부정적분은 미분의 역연산을

의미하며 정적분은 함수의 그래프로 표현되는 영역의 넓이를 의미하므로 본래 서로 무관한 개념

이다. 이렇게 서로 무관했던 개념이 실제 계산에서 접한 연관을 맺고 있다는 것은 매우 놀라

운 일이다.

예제 5.3.3 구간 에서 으로 정의된 함수 를 적분하여라.

풀이 라고 하면 ′ 이므로 는 의 부정적분이다. 따라서 미적분이

기본정리에 의하여

이다. 한편 로 정의하면 도 의 부정적분이다. 이때

이므로 부정적분 를 사용하여 계산했을 때와 동일한 결과를 얻는다. □

Ⅴ 리만 적분

189디자이너앨리스5.3 미적분의 기본 정리

미적분의 기본정리에 의하여 미분 가능한 함수 에 하여

′ 가 항상 성립할 것처럼 보이지만 그렇지 않다. 예를 들어 함수 ℝ →ℝ가

sin i f ≠

i f 으로 정의되었다고 하자. ≠일 때

′

sin

sin

cos

이고 일 때

′ lim→

sinh lim→ sin

이다. 따라서 는 미분 가능하다. 그러나 수열 ⟨⟩을

로 정의하면 ⟨⟩은 에 수렴하고 ≠ 이지만

lim→∞ ′ lim

→∞

sin

cos

lim→∞

sin cos

lim→∞

∞

이므로

lim→ ′ ∞

이다. 즉 ′은 의 임의의 근방에서 유계가 아니다. 따라서 ′은 을 포함하는 구간에서 리만

적분 가능하지 않다. 그러나 ′이 리만 적분 가능한 경우에는 다음을 얻는다.

5.3.4 정리 도함수의 정적분

가 에서 연속이고 에서 미분 가능하며 ′이 에서 리만 적분 가능하면

다음이 성립한다.

′


증명 구간 의 분할 ≤ ≤ 이 주어졌다고 하자. 각 에 하여 성분구간

의 내부에서 는 미분 가능하므로 평균값 정리에 의하여

′ 을 만족시키는 ∈ 가 존재한다. 따라서

′ 이다. 에서 ′의 상한을 ′ , ′의 하한을 ′라고 하면

′

′≤

′≤

′ ′ 이다. 따라서

′ ≤ ≤ ′ 이고 가 의 임의의 분할이므로

′ ≤ ≤

′ 를 얻는다. 그런데 ′이 에서 적분 가능하므로

′ 를 얻는다. □

5.4 치환 적분과 부분 적분

미적분의 기본정리가 적분을 쉽게 계산하는 방법을 제공하지만 함수에 따라서는 기본정리를 직

접 적용할 수 없는 경우가 있다. 이러한 경우 함수와 적분구간을 변형하거나, 함수를 부분으로

나누어 적분함으로써 미적분의 기본정리를 변형하여 이용하는 방법이 있다.

미분 가능한 두 함수 , 에 하여

′ ′

가 성립한다. 이것은 ′ ′를 적분하는 경우 그 부정적분으로서 를 이용할

수 있음을 의미한다. 따라서 다음을 얻는다.

′ ′ 이것을 정리하면 다음과 같다.

Ⅴ 리만 적분

191디자이너앨리스5.4 치환 적분과 부분 적분

5.4.1 정리 치환 적분

함수 가 에서 연속이고 가 에서 연속인 도함수를 가진다고 하자. 만약

⊆ 이고 , 이면

′ 가 성립한다.

증명 함수 를

로 정의하자. 그러면 는

′ ′ ′의 한 부정적분이 된다. 따라서 미적분의 기본정리에 의하여 다음을 얻는다.

′

. □

예제 5.4.2 적분

를 계산하여라.

풀이 ,

라고 하면 ′ , , 이므로

ln

ln ln ln. □

다른 방법의 풀이 먼저

이다. 그리고 일 때

ln

임을 이용하면

ln

ln⋅

이다. 즉 ln 은

의 부정적분이다. 따라서 다음을 얻는다.

ln

ln ln ln. □


두 함수의 곱의 미분 공식을 이용하여 또 다른 적분 공식을 유도할 수 있다. 등식

의 양변을 에서 적분하면

′

′ 를 얻는다. 이 등식을 변형하면 다음을 얻는다.

5.4.3 정리 부분 적분

함수 , 에 하여 ′과 ′ 가 에서 리만 적분 가능하면 다음이 성립한다.

′

′

예제 5.4.4 구간 에서 sin의 적분을 계산하여라.

풀이 , cos라고 하면 ′ sin이므로

sin cos

sin □

위 예제에서처럼 부분적분을 이용할 때에는 미분하기 쉬운 것을 로 두고 적분하기 쉬운 것을

′으로 두면 편리하다. 때에 따라서는 ′ 로 두어야 할 경우도 있다.

예제 5.4.5 구간 에서 ln의 적분을 계산하여라.

풀이 ln , ′ 이라고 하고 라고 하자. 그러면

ln

⋅ln ln

ln

을 얻는다. □

때에 따라서는 부분적분을 거듭 적용해야 하는 경우도 있다.

예제 5.4.6 구간 에서 sin의 적분을 계산하여라.

풀이 부분적분을 이용하여 계산하면 다음을 얻는다.

sin cos

cos

cos .

Ⅴ 리만 적분

193디자이너앨리스5.5 적분의 평균값 정리

여기서 다시 부분적분을 이용하여 cos의 적분을 계산하면

cos sin

sin 이므로

sin 를 얻는다. □

부분적분을 이용하여 계산했을 때 우변에 다시 원래의 적분이 나타나는 경우도 있다. 이러한 문

제는 의외로 쉽게 해결된다.

예제 5.4.7 구간 에서 sin cos의 적분을 계산하여라.

풀이 부분적분을 이용하여 계산하면

sin cos sin

cos sin

이다. 양변에

cos sin를 더하고 로 나누면

sin cos 을 얻는다. 물론 이 적분은 삼각함수의 변환공식과 치환적분을 이용하여

sin cos

sin cos

으로 계산할 수도 있다. □

5.5 적분의 평균값 정리

미분 가능한 함수에 한 평균값 정리를 이용하여 부정적분에 해서도 비슷한 결과를 얻을 수

있다. 함수 가 에서 적분 가능하다고 하자. 에서 의 상한을 , 하한을 이라

고 하면

≤

≤

이 성립한다. 이때 높이가

(1)

이고 가로의 길이가 인 직사각형의 넓이는 구간 에서 의 그래프와 축 사이의 넓

이와 동일하다. 이러한 의미에서 (1)을 에서 의 평균이라고 부른다.


5.5.1 정리 적분의 제 1 평균값 정리

함수 가 에서 연속이면

를 만족시키는 실수 가 에 존재한다.

증명 함수 를 다음과 같이 정의하자.

여기서 는 에서 미분 가능하고 에서 연속이다. 따라서 평균값 정리에 의하

여

′

를 만족시키는 가 에 존재한다. □

구간 의 임의의 원소 에 하여 ≥ 일 때

를 밀도함수 에 대한 의 가중평균(weighed mean value)이라고 부른다. 축 위에 의 그래프

와 같은 모양의 물체가 놓여 있고 각 위에서 물체의 도가 와 같을 때, 에 한 의

가중평균은 물체의 질량중심(center of mass)이 된다. 물체의 질량중심에 실을 연결하여 매달아

놓으면 물체는 한쪽으로 기울지 않고 균형을 잡게 된다.

만약 물체의 형태와 질량이 연속함수로 표현된다면 그러한 물체의 질량중심은 항상 존재한다.

5.5.2 정리 가중평균값 정리

함수 가 에서 연속이고 가 에서 리만 적분 가능하며 임의의 ∈ 에

하여 ≥ 이고 에서 의 적분이 양수라고 하자. 그러면

≕


Ⅴ 리만 적분

195디자이너앨리스5.5 적분의 평균값 정리

증명 에서 의 최댓값을 , 최솟값을 이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

≤ ≤ .

그런데 가 에서 적분 가능하므로

≤

≤

가 성립한다. 각 변을

로 나누면

≤ ≤

을 얻는다. 따라서 연속함수의 중간값 정리에 의하여

를 만족시키는 실수 가 에 존재한다. □

위 정리의 등식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

, ≤ ≤

이때

의 가정은 필요하지 않다.

참고로 임의의 ∈ 에 하여 ≤ 인 경우에도 위 정리가 성립한다.

5.5.3 정리 적분의 제 2 평균값 정리

함수 가 에서 단조이고 ′이 에서 리만 적분 가능하며 가 에서 연속

이라고 하자. 그러면


증명 구간 에서 함수 를

로 정의하면 부분적분법에 의하여

′

′

′를 얻는다.


여기에 가중 평균값 정리를 적용하면 적당한 ∈ 에 하여

′

를 얻는다. □

5.6 리만 합*

세련분할을 이용하는 것 신 분할의 노름을 이용하여 리만 적분을 정의할 수도 있다. 구간

의 분할 ≤ ≤ 의 성분구간을 라고 하자. 그리고 자연수

에 하여 를 만족시키는 유한 수열을 ⟨⟩라고 하자. 이때

를 와 에 한 의 리만 합(Riemann sum)이라고 부른다.

5.6.1 정의 리만 합의 극한

함수 가 에서 유계라고 하자. 만약 임의의 양수 에 하여 양수 가 존재하여

인 임의의 분할 와 의 각 성분구간에서 한 점씩 택하여 구성한 유한수열

⟨⟩에 하여 을 만족시키는 실수 이 존재하면 에서

의 리만 합이 에 수렴한다고 말하며 이것을

lim →

로 표기한다.

이제 리만 합의 극한이 리만 적분과 일치함을 증명하자. 함수 가 에서 유계라고 하자.

그리고 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 상적분의 정의에 의하여

인 분할 ≤ ≤ 이 존재한다. min ≤ ≤ 이라고 하자.

Ⅴ 리만 적분

197디자이너앨리스5.6 리만 합

그러면 에서 의 상한 에 하여

min

인 양수 가 존재한다. 이제 인 의 분할 를 택하고 ∪라고 하자.

그러면

≤

이 성립한다. 또한 의 정의에 의하여 의 임의의 연속인 두 원소 사이에는 의 원소가 기껏

해야 하나 존재한다. 따라서 의 각 성분구간을 다음과 같이 두 가지로 구분할 수 있다.

[1] 구간의 내점으로서 의 원소를 가지는 경우

[2] 구간의 내점으로서 의 원소를 갖지 않는 경우

마찬가지로 의 각 성분 구간을 다음과 같이 두 가지로 구분할 수 있다.

[1] 구간의 내점으로서 의 원소를 가지는 경우와

[2] 구간의 내점으로서 의 원소를 갖지 않는 경우

여기서 에 따른 성분구간의 분류는 에 따른 성분구간의 분류와 완전히 동일하다.

이제 와 를 비교해보자. 의 값은 에 의한 상

합의 값에서 에 의한 상합의 값을 뺀 것으로서 경우 [2]에 해당하는 구간들의 합은 모두 제

거된 것이다. 의 값의 생성에 도움을 준 구간은 단지 [1]에만 해당하는 구간들이다. [1]에 해

당하는 의 성분구간은 많아야 개이므로 [1]에 해당하는 의 성분구간의 개수는

미만이다. 이러한 각 성분구간에서 ≤ 가 성립한다. 또한 모든 성분구간의 개수가

미만이므로

≤

이다. 그런데 가 의 세련 분할이므로

≤

이 성립한다. 따라서

을 얻는다. 하합과 하적분에 해서도 마찬가지로 일 때

을 얻는다. 이로써 다음을 증명하였다.


5.6.2 보조정리 분할의 노름과 상 ․하적분의 관계

함수 가 에서 유계이면 임의의 양수 에 하여 양수 가 존재하여 인 임

의의 분할 에 하여

그리고

이 성립한다.

리만 합의 극한에 관한 논의를 계속하자. 가 에서 유계이고 리만 적분 가능하며 그 적분

값이 이라고 하자. 그리고 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 보조정리에 의하여 양수 가 존

재하여 일 때마다

이 성립한다. 여기서 의 각 성분구간에서 한 점씩 택하여 구성한 유한수열 에 하여

≤ ≤

이므로 이다. 즉 가 에서 리만 적분 가능할 때

lim →

이 성립한다. 이번엔 역으로 위 극한을 가정하고 가 리만 적분 가능함을 보이자. 리만 합의 극

한의 정의에 의하여 임의의 양수 에 하여 양수 가 존재하여 인 임의의 분할 와

그에 의하여 구성된 유한수열 에 하여

이 성립한다.

자연수 와 sup 에 하여

인 ∈ 를 택하여 구성한 수열을 ⟨⟩라고 하자. 그러면


이 성립한다. 여기서 은 임의의 양수이므로

≥

를 얻는다.

Ⅴ 리만 적분

199디자이너앨리스5.6 리만 합

같은 방법으로

≤

를 얻는다. 이로써

≤

≤

≤

이므로 는 에서 리만 적분 가능하다. 이상을 요약하면 다음과 같다.

5.6.3 정리 리만 합을 이용한 리만 적분의 정의

함수 가 에서 유계라고 하자. 가 에서 리만 적분 가능하고 그 적분값이

일 필요충분조건은

lim →

인 것이다.

위의 정리에서 살펴본 바와 같이 리만 적분은 두 가지, 즉 상적분과 하적분의 값이 같은 경우의

적분값으로 정의할 수도 있으며 리만 합의 극한으로 정의할 수도 있다.

한편 가 에서 리만 적분 가능할 때 고등학교 과정에서 공부한 구분구적법으로 적분을

계산할 수 있다.

5.6.4 정리 구분구적법

가 에서 리만 적분 가능하면 다음이 성립한다.

lim→∞

증명 를 등분한 분할을 이라고 하자. 그러면

⋯ 이다. 그리고 의 각 성분구간

의 오른쪽 끝 점에서 택한 들에 의해 구성된 유한수열을 ⟨⟩라고 하자.

이제 양수 이 임의로 주어졌다고 하자.


리만 합의 성질에 의하여 양수 가 존재하여 일 때

이 성립한다. 인 자연수 을 택하면

이므로

을 얻는다. 이라고 하면 이고

이므로

이다. 따라서

lim→∞


5.7 불연속 함수의 리만 적분

앞서 연속인 함수는 리만 적분 가능함을 살펴보았다. 그러나 수학의 다양한 응용 분야에서 접하

는 함수는 연속인 경우보다 불연속인 경우가 더 많다. 따라서 불연속 함수의 리만 적분 가능성

에 하여 논의하는 것은 의미가 있다.

함수 가 에서 유계이고 ∈ 에서만 불연속이라고 하자. 이제 가 에서 리

만 적분 가능함을 증명할 것이다. 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 에서 의 상한을

, 하한을 이라고 하자. 그러면 충분히 작은 양수 에 하여

이 성립한다. 여기서 는 , 일 정도로 작은 양수이다.

이제 는 에서 연속이므로 의 분할 이 존재하여

을 만족시킨다. 또한 가 에서 연속이므로 의 분할 가 존재하여

을 만족시킨다. ∪라고 하면 ∈ , ∈이므로 는 의 분할이 된다.

Ⅴ 리만 적분

201디자이너앨리스5.7 불연속 함수의 리만 적분

≤ ≤ 이라고 하면 적당한 자연수 가 존재하여

,

가 된다. 따라서 에서 에 의한 상합과 하합의 차를 계산하면

이므로 는 에서 리만 적분 가능하다. 이것을 확장하여 불연속인 점이 유한 개인 경우 리

만 적분 가능함을 증명하자. 수학적 귀납법을 사용하자.

먼저 의 내부에 의 불연속 점이 개 있는 경우 가 리만 적분 가능함을 증명하였다. 다

음으로 의 내부에서 의 불연속 점이 개 있는 경우 가 에서 리만 적분 가능하

다고 가정하자.

함수 가 의 내부에서 개의 불연속 점을 가진다고 하자. 가 불연속인 한 점을 택

하여 라고 하자. 그리고 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 이번에도 에서 의 상한을

, 하한을 이라고 하자. 그러면 충분히 작은 양수 에 하여

이 성립한다. 여기서 는 , 일 정도로 작은 양수이다.

가 와 에서 각각 개 이하의 불연속 점을 가지므로 앞의 논의에 의하여

의 분할 과 의 분할 가 존재하여

,

을 만족시킨다. ∪ ≤ ≤ 이라고 하면 는 의 분할이고 적당한

자연수 가 존재하여 , 가 된다.

따라서 에서 에 의한 상합과 하합의 차를 계산하면

이므로 는 에서 리만 적분 가능하다. 이상을 요약하면 다음과 같다.


5.7.1 정리 불연속점의 개수가 유한인 함수의 리만 적분

함수 가 에서 유계이고 에서 가 불연속인 점의 개수가 유한이라고 하자. 이

때 는 에서 리만 적분 가능하다.

위 정리에 의하면 적분 구간의 유한 개의 점에서 함숫값을 바꾸어도 적분값은 변함이 없다는 것

을 알 수 있다.

이제 리만 적분 가능성과 불연속점의 개수에 관련된 더욱 일반화된 정리를 소개하고자 한다.

5.7.2 정의 컨텐츠 제로

가 실수 집합의 부분집합이라고 하자. 만약 임의의 양수 에 하여 적당한 개구간들의

모임 ≤ ≤ 이 존재하여 가 의 덮개이고 의 원소들의 길이의

합이 보다 작으면, 즉

이면 를 컨텐츠 제로(contents zero)라고 부른다.

보기 5.7.3 다음은 컨텐츠 제로인 집합의 예이다.

(ⅰ) 는 유한집합이므로 컨텐츠 제로이다.

(ⅱ) ∈ℕ 은 유계이고 집적접의 개수가 유한인 가산집합이므로 컨텐츠 제로이다.

(ⅲ) ℕ , ℤ는 유계가 아니므로 컨텐츠 제로가 아니다.

(ⅳ) 구간 을 덮는 구간의 길이의 합은 항상 이상이므로 컨텐츠 제로가 아니다.

(ⅴ) ∈ℕ ∧ ∈ℕ은 컨텐츠 제로이다.

컨텐츠 제로를 확장한 개념으로 측도 제로가 있다.

5.7.4 정의 측도 제로

가 실수 집합의 부분집합이라고 하자. 만약 임의의 양수 에 하여 적당한 개구간들의

가산집합 ∈ 가 존재하여 가 의 덮개이고 의 원소들의 길이의 합

이 보다 작으면, 즉 ∈ 이면 를 측도 제로(measure zero)라고 부른다.

컨텐츠 제로는 를 덮는 구간들의 개수가 유한이고, 측도 제로는 를 덮는 구간들의 개수가 가

산이다. 따라서 컨텐츠 제로인 집합은 모두 측도 제로이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다.

Ⅴ 리만 적분

203디자이너앨리스5.7 불연속 함수의 리만 적분

보기 5.7.5 다음은 측도 제로인 집합의 예이다.

(ⅰ) ∈ℕ 는 컨텐츠 제로이므로 측도 제로이다.

(ⅱ) ℚ는 컨텐츠 제로가 아니지만 가산집합이므로 측도 제로이다.

(ⅲ) 구간 은 측도 제로가 아니다.

다음은 리만 적분 가능성에 관한 매우 유용한 정리이다.

5.7.6 정리 Lebesgue

함수 가 에서 유계라고 하자. 가 에서 리만 적분 가능할 필요충분조건은

가 에서 불연속인 점들의 집합의 측도가 인 것이다.

증명 W. Rudin의 Principles of Mathematical Analysis (3ed) 11장을 보라. □

집합 와 명제함수 에 하여 가 거짓인 ∈들의 집합의 측도가 일 때 는 의 거의

모든 점에서 성립한다고 말한다. 이러한 관점에서 르벡의 정리를 다음과 같이 진술할 수 있다.

함수 가 에서 유계라고 하자. 가 에서 리만 적분 가능할 필요충분조건은

가 의 거의 모든 점에서 연속인 것이다.

컨텐츠 제로인 집합은 측도 제로이므로 다음을 얻는다.

5.7.7 따름정리 불연속점이 컨텐츠 제로인 함수의 리만 적분

함수 가 에서 유계이고 에서 가 불연속인 점들의 집합이 컨텐츠 제로이면

는 에서 리만 적분 가능하다.

보기 5.7.8 ℚ는 에서 리만 적분 불가능하다. 왜냐하면 ℚ는 의 모든 점에서

불연속인데 은 측도 제로가 아니기 때문이다.

보기 5.7.9 ∈ℕ, 라고 하자. 그리고 → ℝ를

i f ∈ i f ∉

로 정의하자. 그러면 는 위에서만 불연속이다. 그런데 는 컨텐츠 제로이므로 는 에서

리만 적분 가능하다.


5.8 특이적분

지금까지 리만 적분은 폐구간에서 유계인 함수에 해서만 정의되었다. 그러나 때에 따라서는

유계가 아닌 구간에서 적분을 하거나 유계가 아닌 함수를 적분해야할 경우도 있다.

함수 를

로 정의하면 는 에서 유계가 아니다. 그러나

lim→

lim→

이므로

으로 정의하는 것이 자연스럽다.

5.8.1 정의 유계가 아닌 함수의 특이적분(improper integral)

구간의 끝점에서의 특이적분을 다음과 같이 정의한다.

(ⅰ) 함수 가 에서 정의되었고 임의의 ∈ 에 하여 가 에서 적분

가능할 때 에서 의 특이적분을

lim→

로 정의한다. 만약 가 의 임의의 근방에서 유계가 아니면 를 특이점이라고 부른다.

(ⅱ) 함수 가 에서 정의되었고 임의의 ∈ 에 하여 가 에 서 적분

가능할 때 에서 의 특이적분을

lim→

로 정의한다. 만약 가 의 임의의 근방에서 유계가 아니면 를 특이점이라고 부른다.

(ⅲ) 함수 가 실수 집합의 부분집합 에서 정의되었다고 하자. 가 쌍마다 서로소인 유한

개의 부분구간 , , , ⋯ , 으로 분할되고 각 의 길이가 이 아니며 가 각

구간 에서 (ⅰ) 또는 (ⅱ)의 방법으로 적분 가능하다고 하자. 이때 각 구간 의 왼쪽

끝점 와 오른쪽 끝점 에 하여

로 정의한다.

책에 따라서는 특이적분을 이상적분이라고 부르기도 한다.

Ⅴ 리만 적분

205디자이너앨리스5.8 특이적분

다음으로 유계가 아닌 구간에서의 적분을 살펴보자. 함수 를

로 정의하면 임의의 양수 에 하여 에서 는 적분 가능하다. 또한

lim→ ∞

lim

→ ∞

이므로

∞

로 정의하는 것이 자연스럽다.

5.8.2 정의 유계가 아닌 구간에서의 특이적분

유계가 아닌 구간에서의 특이적분을 다음과 같이 정의한다.

(ⅰ) 함수 가 ∞에서 정의되었고 임의의 ∈ ∞에 하여 가 에서 적분

가능할 때 ∞에서 의 특이적분을

∞

lim→ ∞

로 정의한다.

(ⅱ) 함수 가 ∞ 에서 정의되었고 임의의 ∈ ∞ 에 하여 가 에서

적분 가능할 때 ∞ 에서 의 특이적분을

∞

lim→ ∞

로 정의한다.

(ⅲ) 함수 가 ∞ ∞에서 정의되었고 가 임의의 유계인 폐구간에서 적분 가능할 때

∞ ∞에서 의 특이적분을

∞

∞

∞

∞

로 정의한다.

특이적분은 적분에 한 극한으로서 정의되기 때문에 수렴할 수도 있고 발산할 수도 있다.

즉 함수 에 하여 특이적분

의 값이 실수로서 존재하면 특이적분이 수렴한다고 말한다.


만약 특이적분이 수렴하지 않으면 특이적분이 발산한다고 말한다. 여기서 와 는 각각 실수일

수도 있고 무한 일 수도 있다.

예제 5.8.3 다음 특이적분의 수렴 여부를 밝혀라.

∞

풀이 피적분 함수가 연속이므로 특이점은 구간의 오른쪽 끝점인 무한 뿐이다.

lim→∞

lim→∞

이므로 주어진 특이적분은 수렴한다. □

특이적분은 극한이므로 함수의 극한에 한 코시 조건을 특이적분에 적용할 수 있다.

5.8.4 정리 Cauchy의 조건

함수 가 에서 정의되었고 임의의 ∈ 에 하여 가 에서 적분 가능하

다고 하자. 이때 에서 의 특이적분이 수렴할 필요충분조건은 임의의 양수 에 하

여 인 적당한 실수 가 존재하여 인 임의의 실수 , 에 하여

을 만족시키는 것이다. 여기서 는 실수일 수도 있고 양의 무한 일 수도 있다.

함수 에 하여 특이적분

가 수렴하면 의 특이적분이 절대수렴한다고 말한다. 그리고 의 특이적분은 수렴하지만 절

수렴하지 않는 경우 특이적분이 조건수렴한다고 말한다.

구간 에서 함수 의 특이적분이 절 수렴하고 가 의 특이점이라고 하자. 그리고 양수

이 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 실수 가 존재하여 일 때

≤

이므로 코시 조건에 의하여 의 특이적분이 수렴한다. 따라서 다음을 얻는다.

5.8.5 정리 절대수렴과 수렴의 관계

특이적분이 절 수렴하면 본래의 특이적분도 수렴한다.

Ⅴ 리만 적분

207디자이너앨리스5.8 특이적분

특이적분이 수렴하는지 여부를 밝히는 공식을 판정법(test)이라고 부른다. 이제 특이적분의 수렴

에 관하여 유용한 몇 가지 판정법을 살펴보자.

5.8.6 정리 유계 판정법

함수 가 에서 음이 아닌 값을 취하고

라고 하자. 이때 의 특이적분

이 수렴할 필요충분조건은 가 에서 유계인 것이다.

증명 가 음이 아닌 값을 취하므로 는 단조증가 함수이다. 따라서 단조수렴정리에 의하여

에서 의 특이적분이 수렴할 필요충분조건은 가 유계인 것이다. □

위 정리에서 조건을 ‘가 에서 양이 아닌 값을 취한다’로 바꾸어도 동일한 결론을 얻는다.

5.8.7 정리 비교 판정법

두 함수 , 가 에서 정의되었고 ≤ ≤ 를 만족시킨다고 하자. 만약 에서

의 특이적분이 수렴하면 의 특이적분도 수렴한다.

증명 임의의 실수 ∈ 에 하여

≤

이다. 의 특이적분이 수렴하므로 부등식의 우변은 유계이다. 따라서 부등식의 좌변도 유

계가 되므로 유계 판정법에 의하여 의 특이적분은 수렴한다. □

위 정리에서 조건을 ≥ ≥ 로 바꾸어도 동일한 결론을 얻는다.

5.8.8 정리 극한 비교 판정법

두 함수 , 가 에서 정의되었고 음이 아닌 값을 취하며 극한

lim→

가 수렴하고 ∞라고 하자. 이때 에서 의 특이적분이 수렴할 필요충분조건

은 의 특이적분이 수렴하는 것이다.


증명 극한의 정의에 의하여 인 실수 가 존재하여 일 때

가 성립한다. 따라서 일 때

≤

≤

이므로 코시 조건에 의하여 에서 의 특이적분이 수렴하면 의 특이적분이 수렴하

며, 역으로 의 특이적분이 수렴하면 의 특이적분이 수렴한다. □

예제 5.8.9 다음 특이적분이 수렴하는지 판정하여라.

(ⅰ)

∞

(ⅱ)

∞

풀이 (ⅰ) ≥ 인 임의의 에 하여

≤≤

이다. 또한

∞

lim

→ ∞

lim

→ ∞

이므로 ∞에서

의 특이적분은 수렴한다. 따라서 비교 판정법에 의하여 문제에서

주어진 특이적분도 수렴한다.

(ⅱ) 먼저

∞

lim→ ∞

lim→ ∞

이므로 ∞에서 의 특이적분은 수렴한다. 또한

lim→ ∞

lim→ ∞

lim→ ∞

이므로 극한 비교 판정법에 의하여 문제에서 주어진 특이적분도 수렴한다. □

함수 가 ∞ ∞에서 정의되었을 때 의 주치(principal value)를

∞

∞

lim→ ∞

로 정의한다. 또한 가 ∪ 에서 정의되었을 때 에서 의 주치를

lim→

로 정의한다. 즉 주치는 특이점의 양쪽에 칭인 적분으로 정의된다.

Ⅴ 리만 적분


따라서 특이적분이 발산하는 경우에도 주치는 수렴할 수 있다. 예를 들어 일 때

lim→ ∞

lim→ ∞

lim→ ∞

∞

이므로 ∞ ∞에서 의 특이적분은 발산한다. 그러나 임의의 양수 에 하여

이므로 ∞ ∞에서 의 주치는 이다.

주치의 정의에 의하여 의 특이적분이 수렴하는 경우 의 주치는 당연히 수렴한다. 뿐만 아니

라 이 경우 의 주치와 의 특이적분의 값은 같다. 따라서 특이적분이 수렴하는 경우 그 값을

계산할 때에 주치를 이용할 수 있다. 주치를 이용하여 특이적분을 계산하는 방법은 복소해석에

서 유수정리의 응용으로서 배운다.



(1) 함수 가 에서 유계이면 의 상적분과 하적분이 존재한다.

(2) 구분구적법으로 적분 가능한 함수는 리만 적분 가능하다.

(3) 리만 적분 가능한 함수는 연속이다.

(4) 에서 가 미분 가능하면 ′은 리만 적분 가능하다.

(5) 상합과 하합이 같아질 수 있다.

(6) 리만 적분 가능한 두 함수의 합성은 리만 적분 가능하다.

(7) 미적분의 기본정리는 폐구간에서 연속인 임의의 함수에 하여 성립한다.

(8) 임의의 다항함수는 유계폐구간에서 리만 적분 가능하다.

(9) 불연속인 점의 개수가 무한인 함수는 리만 적분 불가능하다.

(10) 유계인 함수를 적분할 때에는 특이적분을 할 필요가 없다.

2. 함수 가 에서 유계가 아니고 의 하적분은 존재하지만 상적분은 존재하지 않는 함

수 의 예를 들어라.

3. 리만 적분에서의 구간의 분할과 집합의 분할이 어떠한 차이가 있는지 설명하여라. 또한 리

만 적분의 정의에서 구간의 분할을 분할이라고 부르는 이유는 무엇인지 자신의 의견을 말

하여라.

4. 리만 적분과 리만 합이 어떠한 관계가 있는지 설명하여라.

5. 리만 적분과 구분구적법이 어떠한 관계가 있는지 설명하여라.


6. 정적분과 부정적분이 어떠한 관계가 있는지 설명하여라.

7. 가 우함수이고 가 기함수일 때 다음 등식을 증명하여라.

(1)

(2)

8. 다음 극한을 리만 적분의 형태로 표현하여라.

(1) lim→∞

(2) lim→∞

∞

(3) lim→∞

9. 다음 부정적분을 계산하여라.

(1) (2) (3) cos (4) tan (5)

(6)

10. 극한 lim→

를 계산하여라.

11. 함수 , 가 연속이고 다음을 만족시킨다고 하자.

,

,

이때 다음 정적분을 구하여라.

(1)

(2)

(3)

12. 일 때 다음 정적분의 계산 결과가 최 가 되도록 , 의 값을 정하여라.


13. 다음 부정적분을 계산하여라.

(1) sin (2) ln(3) ln (4)

Ⅴ 리만 적분


14. 다음과 같이 정의된 함수 가 구간 에서 적분 가능한지 판별하여라.

sin i f ≠ i f

15. 함수 가 에서 유계이고 인 임의의 에 하여 에서 가 리만 적분

가능하다고 하자. 이때 에서 가 리만 적분 가능함을 증명하여라.

16. 함수 가 에서 단조이면 다음이 성립함을 증명하여라.

≤

17. 함수 가 에서 연속인 도함수를 가지면 는 단조증가인 두 함수의 차로서 표현될

수 있음을 증명하여라.

18. 함수 가 에서 연속이고 음이 아니며 인 ∈ 가 존재한다고 하자. 이

때


19. 두 함수 , 가 에서 리만 적분 가능하면 다음과 같이 정의된 두 함수 , 도

에서 리만 적분 가능함을 증명하여라.

max , min 20. 함수 가 에서 연속이고, 에서 리만 적분 가능한 임의의 함수 에

하여

을 만족시키면 임의의 ∈ 에 하여 임을

증명하여라.

21. 함수 가 에서 리만 적분 가능하고 양수 가 존재하여 임의의 ∈ 에 하여

≥ 를 만족시키면 는 에서 리만 적분 가능함을 증명하여라.

22. 함수 가 구간 에서 정의되었고 단조 증가이지만 유계가 아니라고 하자. 만약

에서 의 특이적분이 수렴하면 다음 등식이 성립함을 증명하여라.

lim→∞

23. 함수 가 에서 유계이고 에서 가 불연속인 점의 집합이 컨텐츠 제로이면

는 에서 리만 적분 가능함을 증명하여라.

24. 함수 의 특이적분이 ℝ에서 수렴하는 경우 ℝ에서 의 특이적분의 주치도 수렴하고 주

치의 값과 특이적분의 값이 같음을 증명하여라.


25. 함수 가 에서 연속이고 와 가 에서 미분 가능할 때

이 성립함을 증명하여라. 이 명제를 라이프니츠의 적분 공식이라고 부른다.

26. 다음 특이적분이 수렴하는지 판정하여라.

(1)

(2)

∞

sin

(3)

sin

(4)

∞

(5)

∞

(6)

(7)

∞

sin (8)

∞

sin (9)

ln

27. 정리 5.6.4의 역이 성립하지 않음을 증명하여라. 즉 가 에서 유계이고 극한

lim→∞

가 수렴하지만 가 에서 리만 적분 가능하지 않은 예를 들어라.

28. 구간 에서 정의된 함수 , , 가 모두 유계이고, ≤ ≤ 라고 하자. 또한

와 가 에서 리만 적분 가능하고

라고 하자. 이때 는 에서 리만 적분 가능하고 그 적분 값은 의 적분 값과 동일함


29. 다음과 같이 주어진 함수 의 도함수를 구하여라.

30. 함수 →ℝ가 연속이고

이면 을 만족시

키는 ∈ 가 존재함을 증명하여라.


31. 리만 적분의 정의와 로그함수를 이용하여 극한 lim→∞

을 계산하여라.

Ⅴ 리만 적분


32. 함수 가 에서 다음과 같이 정의되었다.

i f

irreducible ∈ℕ

otherwise이때 함수 가 에서 리만 적분 가능함을 증명하여라.

33. 두 함수 와 가 적분 가능하고 ∘ 가 정의되지만 ∘ 는 적분 가능하지 않은 예를

들어라.


34. 리만-스틸체스(Riemann-Stieltjes) 적분, 르벡(Lebesgue) 적분의 개념을 조사하고 리만 적분

과 비교해보자.

35. 라이프니츠(Leibniz)와 뉴턴(Newton)과 관련된 미적분학의 발달 과정을 조사해보자.

36. 고등학교 수학 교과서에 미적분의 기본 정리가 어떻게 증명되어 있는지 찾아보고 해석학의

증명과 비교해보자.

미적분학과 해석학의 발전수학 역사

수학자들과 과학자들은 오래 전부터 도형의 넓이나 선의 길이를 구하는 문제에 관심을 가졌

다. 기원전 4세기 그리스의 에우독소스(Eudoxus)나 히포크라테스(Hippocrates) 등이 오늘날의

구분구적법에 가까운 ‘착출법’을 처음 사용하였다. 착출법이란 다음과 같다.

임의의 어떤 양에서 반 이상을 없애고, 그 나머지에서 그 반 이상을 없애고, 이런 과정

을 계속하면 결국에는 주어진 양에서 어떠한 작은 양보다도 더 작은 어떤 양이 남는다.

이것을 오늘날의 표현으로 바꾸면 어떤 양 이 주어져 있고 또 임의의 양 이 있다면

≤ 인 일 때 적당한 자연수 이 존재하여 그보다 큰 자연수 에 하여

이 된다는 것이다. 곧 착출법은 lim 이라는 극한에 해당한

다. 에우독소스는 이러한 논리를 이용하여 원뿔의 부피가 원기둥 부피의 3분의 1이라는 것을

밝혀냈으며 기원전 3세기에 아르키메데스(Archimedes)는 원주율의 근사값을 소수점 이하 둘

째 자리까지 구해냈다.

오늘날의 구분구적법과 같은 방법을 처음 발전시킨 사람은 16세기 말 독일의 케플러(Kepler)

이다. 비록 그 전의 사람들이 구분구적법을 생각하지 않은 것은 아니지만 케플러는 ‘무한소

해석’의 방법으로 그것을 더욱 정교화하였다. 이전에는 아무리 작은 값이라도 양을 갖는 것은


무시될 수 없다는 것이 주된 생각이었음에 반해 케플러는 무한번의 계산 과정에서 점점 작아

지는 아주 작은 양은 무시될 수 있다고 생각하였다.

얼마 지나지 않아 17세기 초 프랑스의 데카르트(Descartes)에 의하여 수학의 모든 문제를

수적 문제로 환원시키는 생각이 널리 퍼졌다. 이때부터 기하의 문제도 수적인 문제로서 다

루는 ‘해석기하’가 발전하게 되었다. 따라서 적분의 여러 가지 문제도 수적인 문제로 환원

되었다.

17세기 말 영국의 뉴턴(Newton)과 독일의 라이프니츠(Leibniz)는 오늘날의 것에 가까운 미적

분학을 창시하였다. 그들은 이전의 수학자들이 적분을 기하학적 문제로서 다룬 것과는 달리

그것을 산술적으로 다루었다. 이러한 과정에서 미분과 적분의 관계를 밝혀내었고 미분과 적

분의 관계를 밝혀냈다.

뉴턴은 그의 이론을 전개하는 과정에서 무한급수도 유한 다항식과 거의 마찬가지로 다룰 수

있다는 것을 발견하였다. 즉 무한급수에 의한 해석에는 동일한 내적 일관성이 있고 유한량의

수학과 같은 일반법칙을 따른다는 점이다. 따라서 무한급수는 함수의 근사일 뿐만 아니라

함수와 동치라고 간주하게 되었다.

미분법의 역연산으로 적분을 구할 수 있다는 것은 이전에 배로(Barrow)나 그레고리(James

Gregory)도 알고 있었다. 그러나 뉴턴이야말로 본인이 발견한 새로운 무한해석으로 곡선의 기

울기와 넓이 사이의 역관계를 해명할 수 있었기 때문에 미적분법의 실질적인 창시자가 된 것

이다. 뉴턴은 미적분뿐만 아니라 수학의 여러 분야에 업적을 남겼는데, 라이프니츠는 태초부

터 뉴턴 시 까지의 수학시 에서 뉴턴이 이룩한 것은 수학사의 반, 그것도 훨씬 훌륭한 반

쪽에 해당한다고 격찬하였다.

라이프니츠는 뉴턴보다는 약간 늦게, 그러나 개별적으로 미적분을 발명하였다. 라이프니츠는

항상 적절한 기호의 사용은 사고를 돕는다는 것을 통감했고, 미적분 기호의 경우 그가 선택

한 기호는 특히 적절한 것이었다. 몇 번의 시행착오를 거듭한 뒤 비록 처음에는 차의 정도를

낮춘다는 의미로

와

를 사용했지만 와 에 하여 생각할 수 있는 최소의 차(미분)를

있는 최소의 차(미분)를 각각 와 로 나타내기로 하였다. 또 곡선 아래의 모든 세로선의

합에 해서 처음에는 단지 omny (모든 y) 를 섰으나 뒤에 로 바꾸고 나중에는

로 바꿔 썼다. 여기서 적분의 기호로 사용되는 는 sum의 첫 글자를 길게 늘인 것

이다. 그런데 접선을 구하는 데에는 calculus differentials(미소한 차의 계산)가 필요했고 구적

에는 calculus summatorius(합의 계산) 또는 calculus integralis(통합하는 계산)가 필요했다. 그

래서 이 용어로부터 differential calculus(미분법)와 integral calculus(적분법)라는 이름이 생

겼다.

영국의 테일러(Tayler.B)는 18세기 초 미분법을 이용하여 함수를 무한 멱급수로 표현하는 방

법을 소개하였다. 이것이 오늘날의 테일러 급수이다. 그 당시 사람들은 멱급수로 표현된 함수

Ⅴ 리만 적분


의 미적분은 급수를 항별로 미분하거나 적분함으로써 가능하다고 생각하였다. 그러나 항상

그러한 것은 아니며 급수의 항별 미적분을 자유롭게 하기 위해서는 ‘평등수렴’이라는 조건이

필요함이 후에 19세기 초에 프랑스의 코시(Cauchy)에 의하여 밝혀졌다.

코시 이전의 많은 수학자들은 무한소를 아주 작은 고정된 ‘수’로서 생각하였다. 그러나 코시

는 무한소를 ‘변수’로서 명확히 정의하였다. 또한 오늘날의 것과 같은 극한 개념을 생각해냈

으며 이를 이용하여 미적분학의 이론을 논리적으로 다시 세웠다. 또한 급수의 수렴에 해서

도 연구하여 여러 가지 급수 판정법을 발명했다. 코시는 연구 과정에서 발견한 내용을 알리

기를 좋아했다. 오늘날 여러 가지 정리에 그의 이름이 붙는 것은 이 때문이다. 반면에 동시

사람이었던 독일의 가우스(Gauss)는 완벽하게 확신이 서는 것만 발표하였다.

코시보다 조금 앞서 태어난 프랑스의 푸리에(Fourier)는 18세기 말 미분 가능하지 않더라도

급수를 전개할 수 있는 푸리에 급수를 발명하였다. 푸리에는 자신의 이론을 발표한 초기에

다른 수학자들로부터 논리의 빈약성에 한 비판을 받았지만 굴하지 않고 그의 이론을 논리

적으로 명확하게 하여 다시 발표하였다. 또한 19세기 초 같은 나라의 디리끌레(Dirichlet)는 적

절한 조건 아래에서는 푸리에 급수가 테일러 급수보다 훨씬 유용하게 사용될 수 있음을 밝혔

다.

디리끌레는 처음으로 함수를 응으로서 정의하였다. 이러한 관점에서 이전까지 직관적인 관

점에서는 미분이나 적분을 생각할 수 없는 다양한 함수의 예를 들었다. 그의 이름이 새겨진

표적인 함수는 유리수인 점에서 불연속이고 무리수인 점에서 연속인 함수이다. 이는 동시

에 수학자들이 미적분을 더욱 논리적으로 다듬은 일에 의미를 부여하였다. 이때부터 미적

분학은 단순히 도형의 면적을 구하거나 그래프의 접선을 구하는 것이 아닌 함수의 특성을 분

석하는 해석학으로서 발전하기 시작하였다.

디리끌레 이후로 영국의 해 턴(Hamilton)은 벡터해석을 창시하였으며 독일의 바이어슈트라스

(Weierstrass)는 수학의 엄 성을 강조하고 해석함수론의 기초를 확립하였다. 또한 스토크스

(Stokes)와 하이네(Heine)도 해석학의 발전에 기여했다.

한편 19세기 중엽에 독일의 리만(Riemann)은 어떤 구간의 무한히 많은 점에서 불연속이면서

적분이 존재하는 그리고 해당 구간의 무한개의 점에서 도함수를 갖지 않는 연속함수 를 정

의하는 를 제시하였다. 이 함수의 적분에 해서는 곡선의 아래쪽 넓이에 하여 주로 기하

학적 감각에 의해 유도되었던 코시의 정의보다도 더욱 주의 깊은 정의가 필요하다는 것을 분

명히 하였다. 이러한 까닭으로 어떤 구간에서 상합과 하합으로 정의하는 오늘날의 정적분을

유계함수가 적분가능하기 위한 필요충분조건을 제시한 리만을 기리어 리만 적분으로 부른다.

216

⋯

⋯

⋯

cos sin

′d

제 6 장 무한 급수

제 6 장

무한 급수

무한 수열의 모든 항을 더한 것을 무한 급수라고 부른다. 옛날에 무한 급수는 수학자들을 당혹

케 하는 문제 중 하나였다. 예를 들어

⋯

는 모든 항이 양수인 수열의 합이기 때문에 계속 커진다. 그러나 발산하지 않는다. 반면

⋯

과 같은 무한 급수는 양의 무한 에 발산한다. 이 장에서는 무한 급수를 논리적으로 정의하고

다양한 성질을 살펴보자.

6.1 무한 급수의 수렴과 발산

수열 ⟨⟩의 초항부터 까지의 합

⋯

을 으로 표기하자. 이때 수열 ⟨⟩의 극한

∞

lim→∞

⋯

를 무한 급수 또는 간단히 급수라고 부른다. 여기서 을 위 급수의 부분합이라고 부른다.

급수는 보통 수열의 초항부터 더하지만 경우에 따라서는 두 번째 항이나 세 번째 항부터 더

할 때도 있다. 이러한 관점에서 다음은 모두 무한 급수이다.

∞

,

∞

,

∞

혼동할 염려가 없는 경우 합 기호의 아래 첨자와 위 첨자를 생략하여

, , 로 표기하기도 한다. 만약

lim→∞

가 수렴하면 급수가 수렴한다고 말한다.

Ⅵ 무한 급수

217디자이너앨리스6.1 무한 급수의 수렴과 발산

또한

lim→∞

가 수렴하면 급수가 절대수렴(absolute convergence)한다고 말한다. 급수가 수렴하지만 절 수렴

하지 않는 경우에는 급수가 조건수렴(conditional convergence)한다고 말한다.

기호 은 두 가지 의미를 지닌다. 하나는 부분합의 극한으로서의 의미이며 다른 하나는 수

렴하는 값으로서의 의미이다. 급수가 수렴한다거나 발산한다고 말할 때는 을 부분합의 극

한으로 여기는 것이며 의 값이 얼마인지 논의할 때에는 을 그 수렴하는 값으로 여기

는 것이다.

예제 6.1.1 (기하 급수) 일 때

∞

은 수렴한다.

증명 등비수열의 합 공식에 의하여

이다. 여기에 극한을 취하면

lim→∞

lim→∞

이다. 따라서 문제의 급수는 수렴한다. □

무한 급수의 부분합도 수열로 볼 수 있으므로 급수의 수렴 조건으로서 코시 조건을 사용할 수

있다. 즉 급수 이 수렴할 필요충분조건은 임의의 양수 에 하여 자연수 이 존재하여

일 때마다

인 것이다. 여기서 으로 쓰면, 급수 이 수렴할 필요충분조건은 임의의 양수

에 하여 자연수 이 존재하여 인 자연수 과 임의의 자연수 에 하여

인 것이다.

6.1.2 정리 절대수렴과 수렴의 관계

절 수렴하는 급수는 수렴한다.

218 제 6 장 무한 급수

증명 급수

∞

가 절 수렴한다고 하자. 그리고 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 그러면

자연수 이 존재하여 인 자연수 , 에 하여

이 성립한다. 동일한 자연수 에 하여 일 때

≤

이므로

는 코시 조건을 만족시킨다. 따라서

∞

는 수렴한다. □

6.2 양항 급수의 판정법

모든 항이 이상인 실수열을 양항 수열(nonnegative sequence)이라고 부른다. 또한 양항 수열의

급수를 양항 급수(nonnegative series)라고 부른다. 정의에 의하면 임의의 수열 ⟨⟩에 하여

은 양항 급수이다.

급수가 수렴하는지 여부를 밝히는 공식을 판정법이라고 부른다. 이 절에서는 양항급수의 다양한

판정법을 살펴보자.

먼저 양항 급수의 부분합은 단조 증가이므로 다음 정리를 얻는다.

6.2.1 정리 유계 판정법

양항 급수 이 수렴할 필요충분조건은 그 부분합 수열이 유계인 것이다.

증명 수열 ⟨⟩의 모든 항이 음이 아니라고 하자. 여기서

라고 하면 ≥ 이므로 ⟨⟩은 단조 증가인 수열이다. 여기서

∞

lim→∞

이므로 단조수렴정리에 의하여

∞

이 수렴할 필요충분조건은 ⟨⟩이 유계인 것이다. □

Ⅵ 무한 급수

219디자이너앨리스6.2 양항 급수의 판정법

6.2.2 정리 비교 판정법

두 양항수열 ⟨⟩, ⟨⟩이 주어졌다고 하자. 자연수 이 존재하여 인 임의의

에 하여 ≤ 이고 이 수렴하면 도 수렴한다.

증명 인 자연수 에 하여

≤

≤

∞

이다. 부등식의 우변의 급수가 수렴하므로 좌변의 부분합은 유계이다. 따라서 유계 판정법

에 의하여 은 수렴한다. □

예제 6.2.3 급수

∞

은 수렴한다.

증명 임의의 자연수 에 하여 ≤ 이다. 따라서

≤

이다. 이때

∞

은 수렴하므로

∞

도 수렴한다. □

6.2.4 정리 극한 비교 판정법

두 양항수열 ⟨⟩, ⟨⟩이 주어졌다고 하자.

(ⅰ) 만약 lim→∞

∞이 성립하고 이 수렴하면 도 수렴한다.

(ⅱ) 만약

lim→∞

이 성립하고 이 수렴하면 도 수렴한다.

증명 (ⅰ) lim→∞

이라고 하자. ∞이므로 자연수 이 존재하여 일 때

이 성립한다. 즉

이 성립한다. 이 수렴하면 도 수렴하므로 비교 판정법에 의하여 도 수렴한다.

(ⅱ)

lim→∞

이라고 하자. 이므로 자연수 이 존재하여 일 때

이 성립한다.


즉

이 성립한다. 이 수렴하면 도 수렴하므로 비교 판정법에 의하여 도

수렴한다. □

6.2.5 따름정리 단순 극한 비교 판정법

두 양항수열 ⟨⟩, ⟨⟩에 하여

lim→∞

∞

이 성립할 때, 이 수렴할 필요충분조건은 이 수렴하는 것이다.

적분을 이용하여 급수의 수렴을 판정할 수 있다. 함수 가 ∞에서 정의되었고 단조 감소

이며 ≥ 이라고 하자. 그리고 이라고 하자.

그러면 위 그림에서와 같이

≤

가 성립한다.

따라서 무한 급수

∞

가 수렴하면 특이적분

∞

도 수렴한다.

Ⅵ 무한 급수


한편 앞의 그림에서와 같이

≤

가 성립한다. 따라서 무한 급수

∞

가 발

산하면 특이적분

∞

도 발산한다.

6.2.6 정리 적분 판정법

함수 가 ∞에서 정의되었고 단조 감소이며 ≥ 이라고 하자. 또한 자연수 이 존

재하여 ≥ 일 때 이라고 하자. 무한 급수

∞

가 수렴할 필요충분조건은 특이적분

∞

가 수렴하는 것이다.

증명 이상의 자연수 와 ≤ ≤ 인 실수 에 하여

≥ ≥

이다. 따라서

≤

≤

이다. 일 때부터 각 변의 합을 구하면

≤

≤

를 얻는다. 여기에 → ∞인 극한을 취하면

∞

≤

∞

≤

∞

이다. 따라서 특이적분의 유계 판정법에 의하여

∞

가 수렴하면

∞

도 수렴

한다.

또한 급수의 유계 판정법에 의하여

∞

가 수렴하면

∞


위 정리에서 일반적으로

∞

≠

∞

이다. 즉 특이적분의 수렴과 무한 급수의 수렴

은 동치이지만 그 값은 같지 않을 수 있다.


함수 와 수열 ⟨⟩을

,

이라고 정의하면 는 감소 함수이고 ≥ 이며 이다. 그런데

∞

lim

→ ∞

lim

→ ∞ln ∞

이므로 ∞에서 의 특이적분은 발산한다. 따라서 급수 도 발산한다.

이것을 일반화하여 다음 결과를 얻을 수 있다.

예제 6.2.7 (p-급수) 급수

∞

는 일 때 수렴하고 ≤ 일 때 발산한다.

증명 구간 ∞에서 함수 를

이라고 정의하자. 그러면 는 감소 함수이고 ≥ 이다. ≠ 일 때

이므로 → ∞인 극한을 취하면 ∞에서 의 특이적분은 일 때 수렴하고

일 때 발산함을 알 수 있다.

다음으로 일 때에는

ln

이므로 ∞에서 의 특이적분이 발산한다. 따라서 적분판정법에 의하여

∞

는 ≤ 일 때 발산하고 일 때 수렴한다. □

6.2.8 정리 Cauchy 응집 판정법, -판정법

양항수열 ⟨⟩이 감소수열이라고 하자. 이때 이 수렴할 필요충분조건은 이 수렴하는 것이다.

Ⅵ 무한 급수


증명 (⇒ ) 먼저 이 수렴한다고 가정하자. ⟨⟩이 감소수열이므로

≥ ,

≥ ,

≥ ,

≥ ⋯ ,

⋮

이다. 수학적 귀납법을 이용하면 일반적으로 자연수 에 하여

≥ ⋯

이 성립함을 알 수 있다. 이 부등식을 변변 더하면

⋯ ≥ ⋯

이다. 즉

≥

이고 좌변의 급수가 수렴하여 유계이므로 유계 판정법에 의하여 우변의 급수도 수렴한다.

그런데 ⟨⟩이 양항 수열이고

lim→∞

lim→∞

이므로 도 수렴한다.

(⇐ ) 역으로 이 수렴한다고 가정하자. 이때

≤ ,

≤

≤ ⋯ ,

≤ ⋯ ,

⋮

이다. 수학적 귀납법을 이용하면 일반적으로 에 하여

≤ ⋯

이 성립함을 알 수 있다. 이 부등식을 변변 더하면

≤

이다. 그런데 우변의 급수가 수렴하므로 좌변의 급수도 수렴한다. □

응집 판정법은 로그가 포함된 식으로 정의된 수열의 급수를 판정하는 데에 유용하게 사용된다.


예제 6.2.9 급수

∞

ln

은 발산한다.

증명 ln


ln

ln ln

이므로 -급수 판정법에 의하여 다음을 얻는다.

∞

lim→∞ln

∞

따라서 응집판정법에 의하여

∞

ln

도 발산한다. □

모든 항이 양수인 수열 ⟨⟩에 하여

lim→∞

이라고 하자. 그러면 충분히 큰 에 하여 의 값은 의 값과 비슷해진다. 즉

≒

이다. 그런데 이므로 ⟨⟩은 등비수열처럼 일정한 비율로 작아지는 수열이다. 공비가

보다 작은 등비수열의 급수는 수렴하므로 도 수렴할 것이라고 기 할 수 있다.

6.2.10 정리 비 판정법

수열 ⟨⟩에 하여 이라고 하자.

(ⅰ) lim→∞

이면 급수

∞

은 수렴한다.

(ⅱ)

lim→∞

이면 급수

∞

은 발산한다.

이 정리의 증명을 위해서는 다음 보조정리가 필요하다.

6.2.11 보조정리 일반항 판정법

급수 이 수렴하면 수열 ⟨⟩은 에 수렴한다.

Ⅵ 무한 급수


증명 급수

∞

이 에 수렴한다고 하자. 그러면 다음을 얻는다.

lim→∞ lim

→∞

lim

→∞

lim→∞

. □

정리 6.2.10의 증명 (ⅰ) lim→∞

이고 이라고 하자.

는 양수이므로 상극한의 성질에 의하여 자연수 이 존재하여 ≥ 일 때

이 성립한다. 따라서 일 때

⋅

⋅ ⋯⋅

이다. 따라서

∞

∞

≤

∞

인데 이므로 우변의 급수는 수렴한다. 따라서 좌변의 급수도 수렴한다.

(ⅱ)

lim→∞

이고 이라고 하자.

는 양수이므로 하극한의 성질에 의하여 자연수 이 존재하여 ≥ 일 때

이 성립한다. 즉 ≥ 일 때 이다. 그런데 이므로 ⟨⟩은

에 수렴하지 않는다. 따라서 은 발산한다. □

6.2.12 따름정리 단순 비 판정법

수열 ⟨⟩의 모든 항이 양수이고

lim→∞

라고 하자.

(ⅰ) 이면 은 수렴한다.

(ⅱ) 이면 은 발산한다.


예제 6.2.13 다음 급수가 수렴하는지 판정하여라.

(ⅰ)

∞

(ⅱ)

∞

(ⅲ)

∞

풀이 (ⅰ) 이라고 하면

lim→∞

lim→∞

lim→∞⋅

lim→∞⋅ ⋅

⋅

이므로 주어진 급수는 수렴한다.

(ⅱ) 이라고 하면

lim→∞

lim→∞

lim→∞

lim→∞

이므로 주어진 급수는 발산한다.

(ⅲ) 이라고 하면

lim→∞

lim→∞

⋅

lim→∞

lim→∞

이므로 비 판정법으로 직접 판정되지 않는다. 그런데

이고 이므로 ⟨⟩의 모든 항은 보다 크다. 따라서 ⟨⟩은 에 수렴하지 않으

므로 주어진 급수는 발산한다. □

6.2.14 정리 근 판정법

양항수열 ⟨⟩에 하여 lim→∞

이라고 하자.

(ⅰ) 이면 은 수렴한다.

(ⅱ) 이면 은 발산한다.

Ⅵ 무한 급수


증명 먼저 인 경우를 증명하자. 는 양수이므로 상극한의 성질에 의하여 자

연수 이 존재하여 일 때


이다. 그런데 이므로 은 수렴하고 ⟨⟩은 양항수열이므로 비

교 판정법에 의하여 도 수렴한다.

이제 인 경우를 증명하자. 상극한의 성질에 의하여 임의의 자연수 에 하여

인 자연수 이 존재하여

을 만족시킨다. 즉 인 항의 개수가 무한이므로 ⟨⟩은 에 수렴하지 않는다. 따

라서 급수 은 발산한다. □

예제 6.2.15 급수

∞

은 수렴한다.

증명 이라고 하면

lim→∞ lim

→∞

lim→∞ ⋅ lim

→∞ ⋅

이므로 근 판정법에 의하여 주어진 급수는 수렴한다. □

예제 6.2.16 급수

∞

은 발산한다.

증명 이라고 하면

lim→∞ lim

→∞

lim→∞ ⋅ lim

→∞

⋅

이므로 근 판정법에 의하여 주어진 급수는 발산한다. □

양항급수의 판정에서 다음 순서를 기억해두면 편리하다. (단, , )

분자 ← ≪ ≪ ≪ ≪ → 분모

예컨 다음 급수는 모두 수렴하는 급수이다.

∞

,

∞

,

∞

,

∞


6.3 여러 가지 판정법

양수인 항과 음수인 항이 번갈아가면서 교 로 나타나는 수열을 교 수열이라고 부른다. 즉 임

의의 자연수 에 하여 을 만족시키는 수열 ⟨⟩을 교대수열(alternating

sequence)이라고 한다. 또한 교 수열의 급수를 교대급수(alternating series)라고 부른다. ⟨⟩이 인 교 수열이면

으로 나타낼 수 있다. 한편 ⟨⟩이 양항수열이면 각 항이

인 수열은 초항이 양수인 교 급수가 된다.

급수 이 수렴하는 경우 ⟨⟩은 에 수렴하지만 보통 그 역은 성립하지 않는다. 그러나

⟨⟩이 교 수열인 경우 역이 성립한다.

6.3.1 정리 교대급수 판정법

수열 ⟨⟩이 감소하는 양항수열이라고 하자. 이때

∞

이 수렴할 필요충분조건은 ⟨⟩이 에 수렴하는 것이다.

증명 수열 ⟨⟩이 에 수렴한다고 하자. 그리고

라고 하자. 그러면

≤

이므로 ⟨⟩은 증가수열이다. 또한 임의의 에 하여

⋯

⋯

≤

이므로 ⟨⟩은 위로 유계이다. 따라서 ⟨⟩은 수렴한다. 그리고

lim→∞ lim

→∞ lim

→∞

lim→∞ lim

→∞

이므로 ⟨⟩과 ⟨ ⟩은 같은 값에 수렴한다. 홀수 번째 항과 짝수 번째 항이 같은

값에 수렴하면 본 수열도 동일한 값에 수렴하므로 ⟨⟩은 수렴한다. □

Ⅵ 무한 급수

229디자이너앨리스6.3 여러 가지 판정법

앞의 정리의 증명 과정에서 lim→∞이라고 하자. 그러면

⋯

⋯≤

이므로 다음과 같은 부분합의 오차의 한계 공식을 얻는다.

6.3.2 따름정리 교대급수의 부분합의 오차의 한계

수열 ⟨⟩이 감소하는 양항수열이고

라고 하자. 이때 임의의 자연

수 에 하여

∞

≤ 이 성립한다.

일반적으로 두 급수 과 이 수렴한다 하더라도 이 수렴한다는 것을 보장할

수 없다. 그러나 적절한 조건 하에서는 이것이 가능하다.

6.3.3 보조정리 부분합

두 수열 ⟨⟩, ⟨⟩과 부분합

에 하여

이 성립한다.

증명 편의상 이라고 두고 계산하면 다음을 얻는다.

□

위 정리에 의하면 이 수렴할 충분조건은 과 ⟨ ⟩이 모두 수

렴하는 것이 된다.


6.3.4 보조정리 곱 급수의 수렴

두 수열 ⟨⟩, ⟨⟩과 부분합

에 하여 ⟨⟩이 유계이고

∞

이 수렴하며 lim→∞

이면

∞

은 수렴한다.

증명

∞

이 수렴하므로

∞

은 절 수렴한다. 또한 ⟨⟩이 유계

이고 lim→∞

이므로 lim→∞

이다. 따라서 보조정리에 의하여

∞

은

수렴한다. □

이제 앞의 보조정리를 이용하여 두 수열의 곱에 의해 만들어진 수열의 급수가 수렴하는지를 판

정하는 고급 판정법을 증명하자.

6.3.5 정리 Dirichlet 판정법

수열 ⟨⟩의 급수의 부분합

가 유계이고 ⟨⟩이 에 수렴하는 감소수열이

면

∞

은 수렴한다.

증명 ⟨⟩이 감소수열이므로

⋯

⋯

이다. 따라서

∞

이 에 수렴하므로 보조정리에 의하여

∞

도 수렴

한다. □

6.3.6 정리 Abel 판정법

급수

∞

이 수렴하고 ⟨⟩이 단조이고 유계이면 급수

∞

은 수렴한다.

Ⅵ 무한 급수


증명 ⟨⟩이 단조 증가인 경우

⋯

⋯

이고 ⟨⟩이 단조 감소인 경우

⋯

⋯

이므로

∞

은 수렴한다. 또한

라고 하면

∞

이 수렴하므로

⟨⟩이 유계가 되어

∞

은 절 수렴한다. 그리고 단조수렴정리에 의하

여 ⟨⟩이 수렴하므로 ⟨ ⟩은 수렴한다. 따라서 부분합 공식에 의하여

∞


지금부터는 더 많은 급수의 수렴성을 판별할 수 있는 고급 판정법을 살펴보자. 해석학을 처음

공부하는 사람은 이곳부터 이 절의 마지막까지의 내용을 뛰어 넘어도 된다.

6.3.7 정리* Kummer 판정법

두 수열 ⟨⟩, ⟨⟩의 모든 항이 양수이고

이라고 하자.

(ⅰ)

lim→∞

이면 급수 은 수렴한다.

(ⅱ) lim→∞

이고 급수

이 발산하면 급수 은 발산한다.

증명 (ⅰ)

lim→∞

이라고 하자. 이므로 하극한의 성질에 의하여 자연수 이 존재하

여 일 때

≥



인 자연수 에 하여 이므로 다음을 얻는다.

≥ .

수학적 귀납법을 이용하면 자연수 에 하여

≤

≤

≤

⋮

≤

가 성립함을 알 수 있다. 부등식의 각 변을 더하면

⋯ ≤

를 얻는다. 즉 의 부분합 에 하여

≤ ≤

이므로 ⟨⟩은 유계이다. 따라서 은 수렴한다.

(ⅱ) 상극한의 성질에 의하여 자연수 이 존재하여 일 때 이 성립한다. 즉

일 때 이므로 ⟨ ⟩은 증가 수열이다. 따라서

≥

인데

이 발산하므로 도 발산한다. □

6.3.8 따름정리* Raabe 판정법

수열 ⟨⟩의 모든 항이 양수이고

lim→∞

이라고 하자. 만약 이면 은 수렴하고 이면 은 발산한다.

증명 이라고 하고 ⟨⟩과 ⟨⟩에 쿰머 판정법을 적용하면

lim→∞

이다. 따라서 일 때 급수가 수렴하고 일 때 급수가 발산한다. □

Ⅵ 무한 급수


6.3.9 정리* Bertrand 판정법

수열 ⟨⟩의 모든 항이 양수라고 하자.

(ⅰ) 인 실수 와 자연수 이 존재하여 ≥ 일 때마다

≥

ln

가 성립하면

∞

은 수렴한다.

(ⅱ) 자연수 이 존재하여 ≥ 일 때마다

≤

ln

이 성립하면

∞

은 발산한다.

두 경우 모두 우변의 분모에 ln이 있으므로 은 당연히 이상인 자연수이다.

증명 (ⅰ) ≥ 일 때 조건의 부등식을 변형하면

ln≥ ln

이다. 그런데 ln

이므로

ln ln ≥ ln

≥

를 얻는다. 이므로 자연수 이 존재하여 ≥ 일 때

이 성립한다. 따라서 ≥ max 일 때

ln ln

이므로 쿰머 판정법에 의하여

∞

은 수렴한다.

(ⅱ) ≥ 일 때 조건의 부등식을 변형하면

ln≤ ln

이다. 그런데 ln 이므로 다음을 얻는다.

ln ln ≤ ln

≤ ≤

여기서

∞

ln

은 발산하므로 쿰머 판정법에 의하여

∞

은 발산한다. □


6.3.10 정리* Gauss 판정법

수열 ⟨⟩의 모든 항이 양수라고 하자. 그리고 가 양수이고 ⟨⟩의 차수가

이

며 자연수 이 존재하여 ≥ 일 때

을 만족시킨다고 하자. 이때

∞

이 수렴할 필요충분조건은 인 것이다.

여기서 ⟨⟩의 차수가

이라는 것은 자연수 과 양수 가 존재하여 ≥ 일

때마다 ≤

을 만족시키는 것을 의미한다.

증명 가정에 의하여 ≥ 일 때

이다. ≥ 일 때 ≤

이므로 ≤

이다.

일 때 lim→∞ 이므로 lim

→∞ 이다. 따라서

lim→∞ lim

→∞

이므로 라브 판정법에 의하여

∞

는 일 때 수렴하고 일 때 발산한다.

이제 인 경우를 증명하자. max 이라고 하고 정리의 조건의 등식을

변형하면 ≥ 일 때

ln ln

이다. 그리고 ≥ 일 때

ln ≤ ln

이 성립한다. 또한 일 때 lim→∞ln 이므로 lim

→∞ ln 이다. 따라서 자연

수 가 존재하여 ≥ 일 때

ln ≤ 이 성립한다. 따라서 ≥ max 일 때

≤

ln

이므로 베르트랑 판정법에 의하여

∞

은 발산한다. □

Ⅵ 무한 급수


위 정리에서

, 로 두면 다음을 얻는다.

6.3.11 따름정리* 단순 가우스 판정법

수열 ⟨⟩의 모든 항이 양수이고 ⟨⟩이 유계인 수열이라고 하자. 그리고 자연수 이

존재하여 ≥ 일 때마다

이 성립한다고 하자. 이때

∞

이 수렴할 필요충분조건은 인 것이다.

예제 6.3.12 급수

∞

⋅⋅⋅⋯⋅ 은 수렴한다.

증명

⋅⋅⋅⋯⋅ 이라고 하면

이다. 따라서

lim→∞ lim

→∞

이므로 라브 반정법에 의하여 주어진 급수는 수렴한다. □

예제 6.3.13 ⋅⋅⋅⋯⋅⋅⋅⋅⋯⋅

라고 하자. 이때

∞

은 일 때 수

렴하고 ≤ 일 때 발산한다.

증명 ≠ 인 경우 을 변형하면 다음을 얻는다.

여기에 로피탈의 정리를 이용하면

lim→∞ lim

→∞

lim→∞


lim→∞

를 얻는다. 따라서 라브 판정법에 의하여 일 때 급수가 수렴하고

일

때 급수가 발산한다. 이제 인 경우를 살펴보자. 먼저 다음을 얻는다.

.

그런데

≤ 이므로 ⟨⟩은 유계이다. 이때

이므로 가우스 판정법에 의하여 주어진 급수는 발산한다. □

예제 6.3.14 (이항 급수) 실수 와 음이 아닌 정수 에 하여 이항계수를

⋯ i f ≠ i f

으로 정의한다. 라고 하자.

(ⅰ) 일 때 임의의 실수 에 하여

∞

은 수렴한다.

(ⅱ) 이고 ±일 때

∞

은 절 수렴한다.

(ⅲ) 이고 일 때

∞

은 발산한다.

(ⅳ) ≤ 이고 일 때

∞

은 발산한다.

(ⅴ) 이고 일 때

∞

은 조건수렴한다.

증명* (ⅰ) ⟨⟩의 정의에 의하여

⋅ ⋯⋅ ⋅⋯⋅

이므로

Ⅵ 무한 급수


lim→∞

lim→∞

이다. 따라서 비판정법에 의하여 일 때 주어진 급수는 수렴한다.

(ⅱ) 일 때 다음을 얻는다.

.

,

라고 하자. 일 때

≤

i f i f

이므로 ⟨⟩은 유계이다. 따라서 가우스 판정법에 의하여 ±이고

일 때, 즉 일 때 주어진 급수는 절 수렴한다.

(ⅲ) 이고 일 때

이므로

∞

∞

은 발산한다.

(ⅳ) ≤ 이고 일 때

⋅⋅⋯⋅ ⋯ ⋅⋅⋯⋅

⋯ ≥ 이므로 ⟨⟩은 에 수렴하지 않는다. 따라서

∞

은 발산한다.

(ⅴ) 이고 이라고 하자.

그러면 이므로 이다. 따라서

⋅⋅⋯⋅ ⋯

⋅⋅⋯⋅

⋯

을 얻는다.

⋅⋅⋯⋅

⋯

이고 이라고 하면 이므로 을 얻는다.


또한

이므로 ⟨⟩은 순감소하는 양항수열이다.

⋯

의 양변에 로그를 취하면, 일 때 ln 이므로, 다음을 얻는다.

ln

ln ≤

여기서 이고

∞

∞이므로 lim

→∞ln ∞이고 lim

→∞ 이다. 따

라서 교 급수 판정법에 의하여 은 수렴한다. 한편

일 때 은 발산하므로 은 조건수렴한다. □

6.4 급수의 합과 곱

수렴하는 두 수열 ⟨⟩, ⟨⟩에 하여 ⟨ ⟩과 ⟨⟩은 수렴하고

lim→∞ lim

→∞ lim

→∞ , lim

→∞ lim→∞ lim→∞

이 성립한다. 비슷하게 두 급수 과 이 수렴할 때 과 의 수렴성

을 논할 수 있다.

6.3.1 정리 급수의 합

두 급수

∞

과

∞

이 수렴하면

∞

도 수렴하고

∞

∞

∞

이 성립한다.

증명 극한의 성질에 의하여 자명하다. 즉 임의의 자연수 에 하여

이다.

Ⅵ 무한 급수

239디자이너앨리스6.4 급수의 합과 곱

양변에 극한을 취하면

∞

lim→∞

lim→∞

lim→∞

∞

∞

를 얻는다. □

두 급수의 곱의 수렴성과 극한에 한 증명은 합에 관한 내용보다 복잡하다. 예를 들면

,

일 때

∞

∞

,

∞

∞

이지만

∞

∞

이므로

∞

≠

∞

∞

이다. 따라서 두 급수의 곱에 한 논의를 위하여 새로운 정의가 필요하다.

급수의 곱을 정의하기 위하여 먼저 부분합의 곱을 생각해보자. 의 부분합 과 의

부분합 에 하여 을 전개해보면

이다. 여기서 의 값이 일정한 들끼리 묶어보면

이 된다. 이 식에서 우변의 번째 묶음부터는 이 나타나지 않는다. 그러나 만약 이 충분히

크면 을 전개하여 의 값이 일정한 들끼리 묶었을 때 번째 묶

음은 ⋯ 의 모양이 될 것이다.


따라서

lim→∞ lim

→∞

⋯

이 될 것이라고 생각할 수 있다.

6.4.2 정의 Cauchy 곱

두 수열 ⟨⟩과 ⟨⟩에 하여


∞

을

∞

과

∞

의 코시 곱이라고 부른다.

6.4.3 정리 급수의 곱

두 수열 ⟨⟩과 ⟨⟩에 하여

∞

이 절 수렴하고

∞

이 수렴하면 두 급수의

코시 곱은 수렴하고 다음이 성립한다.

∞

∞

∞

증명 먼저 다음과 같이 정의하자.

,

,

∞

,

∞

,

,

, .

그러면 다음을 얻는다.

⋯ ⋯

⋯

⋯

⋯ .

여기서 ⋯이라고 하자. → 이므로 여기서

는 단지 → 임을 보이기만 하면 → 임이 증명된다. 이제

∞

이라고 하자. 그리고 양수 이 임의로 주어졌다고 하자.

Ⅵ 무한 급수

241디자이너앨리스6.4 급수의 합과 곱

먼저 이므로 자연수 이 존재하여 ≥ 일 때

이 성립한

다. 이제 은 고정된 자연수이므로

max ⋯ 이라고 하자. 는 양수이므로 자연수 가 존재하여 ≥ 일 때

이 성립한다. 따라서 ≥ max 일 때

≤ ⋯ ⋯

≤ ⋯ ⋯

≤ ⋯ ⋯

≤

이므로 → 이다. □

위 정리가 실제로 성립하는지 확인해보자.

,

,


이므로

∞

∞

∞

∞

이다. 한편

∞

∞

∞

∞

×

이므로

∞

∞

∞

∞

가 성립한다.


6.5 급수의 재배열

유한 개의 수를 더할 때에는 교환법칙이 성립한다. 예를 들면 , , , 가 실수일 때

⋯

가 성립한다. 또한 수열의 유한 개의 항이 변화해도 극한은 변화가 없으므로 무한 급수에서도

유한 개의 항의 순서를 바꾸는 교환법칙이 성립한다. 예를 들어

⋯

⋯

이다. 그러나 급수의 무한 개의 항의 순서를 바꿀 때에는 본래의 급수와 동일한 값에 수렴하지

않을 수도 있다. 그 예로서 다음과 같은 교대 조화급수를 살펴보자.

⋯

다음은 위 급수를 이루는 수열의 각 항의 순서를 바꾸어 양항 1개와 음항 2개가 번갈아가며 나

타나도록 한 것이다.

⋯

이제 재배열된 급수 는 수렴할 것인가, 그리고 만약 가 수렴한다면 와 동일한 값에 수렴할

것인가라는 의문이 생긴다. 의 부분합을 , 의 부분합을 이라고 하면

이다. 그런데 lim→∞ 이므로 lim

→∞

이다. 또한 비슷한 방법으로 ⟨ ⟩과

⟨ ⟩가 모두 에 수렴함을 보일 수 있다. 따라서

가 된다.

이렇게 재배열된 급수는 본래의 급수와 다른 값에 수렴할 수도 있다.

Ⅵ 무한 급수

243디자이너앨리스6.5 급수의 재배열

이 절에서는 재배열된 급수가 본래의 급수와 동일한 값에 수렴하게 되는 조건은 무엇인지, 그리

고 재배열된 급수가 본래의 급수와 다른 값에 수렴하는 경우 그 극한이 얼마가 되는지에 하여

살펴보자.

6.5.1 정의 급수의 재배열(rearrangement)

함수 가 정의역과 공역이 ℕ인 일 일 응이고 ⟨⟩이 수열이라고 하자. 이때

⟨ ⟩을 ⟨⟩의 재배열된 수열이라고 부르며

∞

을

∞

의 재배열된 급수라

고 부른다.

함수 에 하여 와 를 다음과 같이 정의한다.

i f ≥ i f , i f ≥

i f 수열 ⟨⟩에 해서도 비슷하게 다음과 같이 정의한다.

i f ≥ i f ,

i f ≥ i f

이때 급수

∞

의 부분합 에 하여

가 성립한다. 이를 이용하여 다음 정리를 얻는다.

6.5.2 정리 양항 ․음항 부분수열로 이루어진 급수의 수렴성

급수

∞

에 하여 다음이 성립한다.

(ⅰ)

∞

이 절 수렴하면

∞

와

∞

는 수렴한다.

(ⅱ)

∞

이 조건수렴하면

∞

와

∞

는 모두 양의 무한 로 발산한다.

증명 (ⅰ)

∞

이 절 수렴한다고 하자. ⟨⟩와 ⟨⟩는 양항수열이고 임의의 에 하여

≤

∞

,

≤

∞

이므로 유계판정법에 의하여

∞

와

∞

는 수렴한다.


(ⅱ) 만약

∞

와

∞

가 모두 수렴하면

∞

∞

∞

이므로

∞

도 수렴한다. 이것은

∞

이 조건수렴하는 데에 모순이다.

만약

∞

와

∞

중 하나는 수렴하고 하나는 발산하면

∞

∞

∞

이므로

∞

도 발산한다. 이것은

∞

이 수렴한다는 데에 모순이다.

따라서

∞

와

∞

모두 양의 무한 에 발산한다. □

6.5.3 정리 절대수렴하는 급수의 재배열

∞

이 절 수렴하면

∞

의 재배열된 급수도 동일한 값에 절 수렴한다.

증명 먼저 이 양항급수인 경우를 증명하자. 이 의 재배열된 급수라고 하자.

그리고 의 부분합을 , 의 부분합을 이라고 하자. 그러면 임의

의 에 하여 ≤ 이다. ⟨⟩은 단조증가이므로 은 수렴하고 ≤ 가

성립한다. 마찬가지로 임의의 에 하여 ≤ 이므로 ≤ 이다. 따라서

이므로 과 은 동일한 값에 수렴한다.

이제 이 양항급수가 아니라고 가정하자. 그러면 가 성립한

다. 이 의 재배열된 급수라고 하자. 그러면 는 의 재배열된 급수

이며 는 의 재배열된 급수이다. 이때 , , , 는 모두

양항급수이므로 , 이다. 따라서

이므로 은 과 동일한 값에 수렴한다. 더욱이

이므로 은 절 수렴한다. □

Ⅵ 무한 급수

245디자이너앨리스6.6 이중 급수

이번엔 이 조건수렴하는 경우를 살펴보자. 그리고 가 임의로 주어진 실수라고 하자. 이

제 을 재배열하여 에 수렴하도록 만들 것이다.

→ ∞이므로 ⟨⟩의 항들을 계속 더하다보면 의 값보다 더 커지도록 할 수 있다.

즉 ⋯

이다. 다음으로 → ∞이므로 ⟨⟩의 항들을 계속 빼다 보면

의 값보다 더 작아지도록 할 수 있다. 즉

⋯

⋯

이다. 여기서 ⋯

, ⋯

라고 하자.

이렇게 ⟨⟩의 항들을 더하는 작업과 ⟨⟩의 항들을 빼는 작업을 거듭하면

⋯ ,

⋯

이 되도록 계속 , 을 정의할 수 있다. 여기서 → 이므로

⋯ →

가 성립한다. 따라서 다음을 얻는다.

6.5.4 정리 조건수렴하는 급수의 재배열

급수 이 조건수렴하고 가 실수이면 을 재배열하여 에 수렴하도록 할 수 있

다.

6.6 이중 급수*

지금까지는 첨수가 하나인 수열을 살펴보았다. 그러나 경우에 따라서는 첨수가 여러 개인 수열

을 다룰 때도 있다. 이 절에서는 첨수가 2개인 이중수열과 이중급수를 살펴보자.

6.6.1 정의 이중수열

정의역이 ℕ×ℕ이고 공역이 ℝ인 함수 를 이중 실수열 또는 간단히 이중수열(double

sequence)이라고 부른다. 보통의 수열과 마찬가지로 을 으로 표기한다.

수열 ⟨⟩의 첨자 , 은 각각 부터 시작하는 경우도 있지만 수열의 극한이나 급수의 수

렴성은 유한 개의 항의 변화에는 영향을 받지 않으므로 편의상 , 이 자연수인 것으로 정의

하였다.


참고로 이중수열 ⟨⟩은 무한행렬

⋯

⋯

⋯

⋮ ⋮ ⋮ ⋱

로 표현될 수도 있다.

6.6.2 정의 이중급수의 합

⟨⟩이 이중수열이라고 하자.

(ⅰ) 임의의 에 하여

∞

이 수렴하고

∞

∞

이 수렴할 때

의 행에

의한 합이 존재한다고 하며

∞

∞

을

의 행에 의한 합이라고 부른다.

(ⅱ) 임의의 에 하여

∞

이 수렴하고

∞

∞

이 수렴할 때

의 열에

의한 합이 존재한다고 하며

∞

∞

을

의 열에 의한 합이라고 부른다.

보기 6.6.3 , 이고 이라고 하자. 이때

∞

∞

∞

∞

∞

∞

,

∞

∞

∞

∞

∞

∞

이므로

∞

∞

∞

∞

이다. 즉

의 행에 의한 합과 열에 의한 합이 동일하다. □

앞서 절 수렴하는 급수는 재배열해도 동일한 값에 수렴한다는 것을 살펴보았다. 이중급수의 행

에 의한 합과 열에 의한 합은 급수 재배열의 확장 형태로 생각할 수 있다. 따라서 이중수열이

절 수렴하는 경우 행에 의한 합과 열에 의한 합이 같을 것이라고 예측할 수 있다.

6.6.4 보조정리 행에 의한 합과 열에 의한 합의 관계

이중수열 ⟨⟩의 모든 항이 음이 아니고

의 행에 의한 합이 존재하면

의 열에 의한 합도 존재하고 두 합이 동일하다.

Ⅵ 무한 급수

247디자이너앨리스6.6 이중 급수

증명

의 행에 의한 합이 존재한다고 가정하자. 즉 임의의 에 하여

∞

이 수렴하고

∞

∞

이 수렴한다고 가정하자.

자연수 가 임의로 주어졌다고 하자. 자연수 에 하여

≤

∞

이다. 따라서

≤

∞

≤

∞

∞

이다. 따라서 유계 판정법에 의하여 임의의 에 하여

∞

은 수렴한다. 더욱이 임

의의 자연수 에 하여

∞

∞

≤

∞

∞

이므로 유계 판정법에 의하여

∞

∞

은 수렴한다. 따라서

의 열에 의한

합이 존재하고

∞

∞

≤

∞

∞

이다. 과 을 바꾸어 같은 방법으로

∞

∞

≤

∞

∞

이 증명된다. 따라서

의 행에 의한 합과 열에 의한 합이 동일하다. □

6.6.5 정리 행에 의한 합과 열에 의한 합의 관계

이중수열 ⟨⟩에 하여

의 행에 의한 합이 존재한다고 하자. 이때

의 행에 의한 합과 열에 의한 합이 존재하고 그들은 같다. 또한 두 급수

∞

∞

,

∞

∞

도 수렴한다.

증명 임의의 자연수 에 하여 다음이 성립한다.

≤

≤

∞

≤

∞

∞

.


따라서 유계 판정법에 의하여 임의의 자연수 에 하여

∞

은 수렴한다. 또한

∞

≤

∞

≤

∞

∞

이므로 유계 판정법에 의하여

의 행에 의한 합이 존재한다. 따라서 보조정리에

의하여

의 행에 의한 합과 열에 의한 합이 존재하고 그들은 같다.

같은 방법으로

의 행에 의한 합과 열에 의한 합이 존재하고 그들이 같음을 보일

수 있다. 따라서

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

이다. 한편

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

이고 같은 방법으로

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

이다. 따라서

의 행에 의한 합과 열에 의한 합이 같다.

끝으로 임의의 자연수 에 하여

∞

≤

∞

≤

∞

∞

이므로

∞

∞

은 수렴한다. 또한 보조정리에 의하여

∞

∞

이 수렴하고

∞

≤

∞

≤

∞

∞

이므로

∞

∞


Ⅵ 무한 급수

249디자이너앨리스6.7 무한 곱

6.7 무한 곱*

수열 ⟨⟩의 초항부터 까지 을 더하여 곱한 값

⋯ (1)

을 으로 표기하자. 이때 수열 ⟨⟩의 극한

∞

lim→∞

⋯ (2)

을 무한 적 또는 무한 곱(infinite product)이라고 부른다. (1)을 (2)의 부분 곱이라고 부른다. 만약

lim→∞

가 이 아닌 값에 수렴하면 무한 곱이 수렴한다고 말한다. 또한

lim→∞

가 이 아닌 값에 수렴하면 무한 곱이 절대 수렴한다고 말한다. 무한 곱이 수렴하지만 절 수렴

하지 않는 경우에는 무한 곱이 조건 수렴한다고 말한다.

6.7.1 정리 무한 곱과 무한 급수의 관계

양항수열 ⟨⟩에 하여 무한곱

∞

이 수렴할 필요충분조건은 무한 급수

∞

이 수렴하는 것이다.

증명 무한 급수의 부분합을 , 무한곱의 부분곱을 이라고 하자. ≥ 이므로 ⟨⟩과

⟨⟩은 모두 단조 증가수열이다. 한편 ≥ 일 때 ≤ 이므로

⋯≤ ⋯

≤ ⋯

≤ ⋯

이 성립한다. 즉 ≤ ≤ 이다. 따라서 ⟨⟩이 수렴할 필요충분조건은 ⟨⟩이

수렴하는 것이다. □

6.7.2 정리 무한곱과 무한 급수의 관계

수열 ⟨⟩이 임의의 자연수 에 하여 ≤ 을 만족시킨다고 하자. 이때 무한곱

∞

이 수렴할 필요충분조건은 무한 급수

∞

이 수렴하는 것이다.


증명 먼저 이 수렴한다 하자. 그러면 코시 조건에 의하여 자연수 이 존재하여

을 만족시킨다. 여기에 → ∞인 극한을 취하면

∞

≤

을 얻는다. 따라서 일 때

⋯ ≥ ⋯ ≥

이다. 따라서 ⟨⟩은 아래로 유계이고 단조감소이므로 수렴한다.

다음으로 이 발산한다고 하자. ≤ 일 때 ≤ 이므로

≤ ⋯ ≤ ⋯

을 얻는다. → ∞인 극한을 취하면 위 급수의 우변은 에 수렴하므로 조임정리에 의

하여 ⟨⟩은 에 발산한다. □

6.7.3 정리 무한곱의 절대수렴과 무한 급수의 절대수렴의 관계

무한곱

∞

이 절 수렴할 필요충분조건은 급수

∞

이 절 수렴하는 것이다.

증명 임의의 에 하여 ≥ 이므로 정리 6.7.1에 의하여 이 수렴할 필요충

분조건은 이 수렴하는 것이다. □

6.7.4 정리 수렴과 절대수렴의 관계

무한곱

∞

이 절 수렴하면 수렴한다.

증명 자연수 에 하여

,

라고 하자. 그러면

⋯ ,

⋯

이므로 ≤ 이다. 편의상 이라고 하자. 그러면

,

이다. ⟨⟩이 수렴하므로 비교 판정법에 의하여 ⟨⟩도 수렴한다.

Ⅵ 무한 급수

251디자이너앨리스6.8 급수의 계산

이제 ⟨⟩이 에 수렴하지 않음을 보여야 한다. 이 절 수렴하므로 → 이

다. 따라서 → 이다. 이로써

∞

이 수렴하고

∞

도

수렴한다. 같은 방법으로 → ∞일 때

도 수렴함을 보일 수 있다. 위 곱은 과 동일하므로 ↛ 이다. □

6.8 급수의 계산*

급수 의 값을 계산하기 위해서는 부분합 의 극한을 계산해야 한다. 급수의 값을 소

수점 이하 일정한 자리까지 유효하도록 구하고 싶다면 충분히 큰 에 하여 을 계산하면

된다. 그러나 때에 따라서는 이러한 작업이 매우 힘들고 어려울 수도 있다.

다음과 같은 급수를 생각해 보자.

∞

(1)

다음과 같은 비교 판정을 통하여 위 급수가 수렴함을 쉽게 알 수 있다.

이제 의 값을 소수점 이하 여섯째 자리까지 유효하도록 구하고자 한다. 즉 와 의 오차가

× 이하가 되도록 하는 을 구하고자 한다. 이라고 하자. 그러면 적분 판정

법에 의하여

∞

∞

∞

을 얻는다. 비슷한 방법으로

∞

∞

∞

∞

∞

을 얻는다. 따라서 두 부등식을 통해 다음과 같은 오차의 한계 공식을 얻는다.

(2)

오차의 한계가 이하가 되도록 하고자 하므로 ≥ 이 되도록 해야 한다.


즉 소수점 이하 여섯 자리의 유효숫자를 얻기 위하여 무려 2백만 개의 항을 계산하여 더해야 하

는 것이다.

만약 급수를 적절히 변형하여 더 빠르게 수렴할 수 있도록 한다면 더 적은 계산으로 충분히 근

사한 값을 얻을 수 있을 것이다. 인 상수 에 하여

∞

으로 정의된 함수 를 리만 제타 함수(Riemann zeta function)라고 부른다. 리만 제타 함수는 리

만 가설에서 소수의 분포를 연구하는 데에 사용되지만 한편 느리게 수렴하는 급수를 빠르게 수

렴하는 급수로 변형하는 데에도 유용하게 사용된다. 다음 표는 ≤ ≤ 인 에 하여 리만

제타 함수의 값을 소수점 이하 15자리까지 유효하도록 계산한 결과이다.

수렴값 근삿값

2 1 . 644934066848266

3 (unknown) 1 . 202056903159594

4 1 . 082323233711138

5 (unknown) 1 . 036927755143370

6 1 . 017343061984449

7 (unknown) 1 . 008349277381923

8 1 . 004077356197944

9 (unknown) 1 . 002008392826082

10 1 . 000994575127818

11 (unknown) 1 . 000494188604119

이제 급수 (1)을 변형해보자. 식 을 변형하면

을 얻는다. 여기서 등식

을 이용하면

이 되므로

(3)

을 얻는다. (3)의 양변에 급수를 취하면 다음을 얻는다.

∞

.

Ⅵ 무한 급수


따라서 급수 를 계산하기 위해서는

을 계산하면 된다.

여기서

∞

∞

∞

이므로 소수점 이하 여섯째 자리까지 유효 숫자를 얻으려면

≒

를 만족시키는 자연수 을 택하면 된다. 이고 이므로 일곱 개의 항

을 계산하여 더하는 것만으로도 충분함을 알 수 있다.

급수 에서 가 에 한 유리식으로 표현된다면 이러한 급수는 앞의 방법으로 변형할 수

있다. 물론 의 분모와 분자가 에 한 다항식으로 이루어져 있을 때, 분모의 차수가 분자의

차수보다 이상 커야만 급수가 수렴한다.

급수를 변형하는 다른 예를 살펴보자. 에 하여 함수 가 를 만족시키고 원점

근처에서 미분 가능하다고 하자. 예를 들어 자연수 이 존재하여 의 계 도함수가

에서 연속이라고 하자. 그러면 테일러의 정리에 의하여

′ ″

⋯

을 만족시키는 실수 가 ≤ 의 범위에 존재한다.

이때 , ≥ 에 하여

′ ″

⋯

(5)

를 얻는다. 여기서 는 를 만족시키는 실수이다. 또한 급수 이 수렴하기

위해서는 ′ 이 성립해야 한다. 이제 (5)에 급수를 취하면

∞

″⋯

∞

(6)

을 얻는다. 이로써 을 구하는 문제는 더 빨리 수렴하는 (6)의 우변의 급수를 계산하는 문

제로 환원되었다. 여기서 또 다른 문제가 발생한다. 테일러 정리는 의 값의 존재성만 보장할

뿐 그것을 구하는 방법을 제공하지는 않는다. 이러한 문제를 해결하는 방법을 정리로서 제시할

수 있지만 여기서는 단지 다른 예를 통하여 그 방법을 살펴보기로 한다.


급수

∞

sin

의 값을 소수점 이하 넷째 자리까지 유효하도록 구하고자 한다. sin라고 하면

라고 할 수 있다.

이제 테일러 정리에 의하여

cos

을 얻는다. 여기서 ≤ 이라고 하면

cos

을 얻는다. 이라고 하면

∞

∞

∞

∞

cos

가 성립한다. 우변의 마지막 급수의 값의 범위를 계산해보면

∞

cos ≤ ∞

∞

이 된다. 에 하여 이 성립하므로 급수의 첫 항만 계산하면 소수점

이하 넷째 자리까지 유효한 값을 얻을 수 있다. 따라서 다음을 얻는다.

∞

∞

sin

sin

∞

sin

sin

∞

∞

여기서 × 이다. 그리고

∞

,

∞

이므로 마침내 다음 등식을 얻는다.

∞

sin

sin

.

Ⅵ 무한 급수


지금까지 살펴본 방법은 리만 제타 함수의 값을 알고 있어야만 사용할 수 있었다. 급수의 변형

이 리만 제타 함숫값의 도표에 의존하지 않으려면 리만 제타 함수의 값을 구하는 급수의 변형

방법도 알아야 할 것이다. 이를 위하여 다음 급수를 소개한다.

∞

∞

∞

⋮

∞

⋯

⋮

일반적으로 다음 등식이 성립한다.

위 식의 양변을 ⋯ 로 나눈 뒤에 급수를 취하면

⋯

⋯

⋯

⋯

을 얻는다. 따라서 → ∞인 극한을 취하면

(7)

이 된다. 이제 위와 같은 급수가 의 값을 구하는 데에 어떻게 이용되는지 살펴보자. 표적

으로 의 값을 구해보자. 의 값이 커질수록 과 의 값의 차이

는 다음과 같이 작아진다.

. (8)

양변에 급수를 취하면 다음을 얻는다.

∞

.


여기서 (7)에 의하여 이고 우변의 급수는 과 비슷한 속도로 수렴한다. 따라서 본

래의 급수 를 더 빨리 수렴하는 급수로 변형하였다.

이것은 더욱 빨리 수렴하도록 변형될 수 있다. (8)의 등식을 변형하면 다음을 얻는다.

(9)

이것을 한 번 더 변형하면

(10)

을 얻는다. (10)의 양변에 급수를 취하면

∞

이므로

(11)

가 성립한다. 물론 여기서

∞

(12)

이다. 의 값을 소수점 이하 둘째 자리까지 유효하도록 구해보자. 이 (12)의 급수와 그 부

분합과의 차이라고 하면

∞

∞

∞

이 성립한다. 소수점 이하 둘째 자리까지 유효하도록 하기 위하여 부등식

을 계산하면 ≥ 를 얻는다. 이로써 인 에 하여

를 얻는다.

이상으로 급수를 변형하여 계산하는 두 가지 방법을 살펴보았다. 하나는 미분 가능한 함수 와

식 를 이용하는 방법이었고 다른 하나는 수열 를 이용하는 방법이었다. 물론

를 이용하는 방법은 의 값을 계산하는 것뿐만 아니라 다른 급수의 값을 계산하는 데에

유용하게 응용될 수 있다.

Ⅵ 무한 급수


실제로 급수를 계산하는 과정은 이 절에서 살펴본 것보다 훨씬 복잡할 수도 있다. 예를 들어 급

수 sin 의 근삿값을 계산하기 위해서는 sin , , 의 값을 알아야

한다. 만약 이들의 값을 모른다면 다시 이들의 근삿값을 계산하되, 각각의 허용 오차를 원래 급

수의 허용 오차의 1/4가 되도록 하여 계산해야 한다. 를 이용하는 방법이 이렇게

불편한 점이 있는 반면 를 이용하는 것은 각 의 값이 정확하게 알려져 있기 때문에 비교

적 계산 과정이 간단하다. 그러나 급수를 변형하는 것 자체는 를 이용하는 것이

를 이용하는 것보다 더 어려울 수도 있으므로 상황에 따라서 적절한 방법을 택해야 할

것이다.



(1) 양항급수가 수렴하면 그 값은 항상 양수이다.

(2) 양항수열 ⟨⟩이 유계이면 은 수렴한다.

(3) 급수의 부분합은 수열이다.

(4) 수열 ⟨⟩이 에 수렴하면 은 수렴한다.

(5) 과 이 수렴하면 도 수렴한다.

(6) 절 수렴하는 급수는 재배열해도 동일한 값에 수렴한다.

2. 급수 이 절 수렴하고 수열 ⟨⟩이 유계이면 이 절 수렴함을 증명하여라.

만약 여기서 이 절 수렴한다는 조건을 조건수렴으로 바꾸면 어떻게 되는가?

3. 다음 급수가 수렴하는지 판정하여라.

(1)

∞

(2)

∞

(3)

∞

(4)

∞

(5)

∞

sin

(6)

∞

ln

(7)

∞

cos

(8)

∞

(9)

∞

(10)

∞

ln



4. 다음 급수의 값을 구하여라.

(1)

∞ ln

(2)

∞

(3)

∞

5. 양항급수

∞

이 수렴하면

∞

이 수렴함을 증명하여라. 여기서 양항급수라는 조건이

제거되면

∞

은 수렴하지만

∞

이 수렴하지 않는 예를 들어라.

6. 양항급수

∞

이 수렴하고 이면

∞

가 수렴함을 증명하여라.

7. 급수

∞

이 수렴하고 ≥ 이면 급수

∞

도 수렴함을 증명하여라.

8. 수열 ⟨⟩이 다음과 같이 정의되었다.

i f is a primen i f is not a prime

이때 급수

∞

이 수렴하는지 판정하여라.

9. 다음 급수가 수렴하는지 판정하여라.

⋯

10. 수열 ⟨⟩이 ,

을 만족시키면 ⟨⟩은 수렴함을 증명하여

라.

11. 조화 급수의 각 항의 부호를 바꾼 다음 급수가 수렴하는지 판정하여라.

(1) ⋯

(2) ⋯

12. , , 으로 정의된 수열 ⟨⟩을 피보나치 수열이라고 부

른다. 이라고 할 때

∞

이 수렴함을 증명하여라.

Ⅵ 무한 급수


13. ⟨⟩이 피보나치 수열일 때 이 황금비에 수렴함을 증명하여라. 즉

lim→∞



14. 자연수 에 하여 ⋯ 일 때 lim→∞

의 값을

구하여라.

15. 수열 ⟨⟩이 단조 감소이고

∞

이 수렴하면 lim→∞


16. 조화급수의 부분합

에 하여 다음을 증명하여라.

(1) 임의의 자연수 에 하여 ln≤ 이다.

(2) 수열 ⟨ ln⟩은 단조 감소이다.

실제로 수열 ⟨ ln⟩의 극한은 약 정도 된다. 이 값을 오일러-마스케로니 상수

(Euler-Mascheroni constant)라고 부르며 보통 로 표기한다.

17. 급수

∞

sin

이 수렴하는 의 값의 범위를 구하여라.

18. 수열 ⟨⟩이 유계이고 이며 ⟨⟩이 증가수열이다. 이때

lim→∞


19. 수열 ⟨⟩의 모든 항이 양수일 때 다음을 증명하여라.

lim→∞

≤lim→∞

또한 하극한에 해서는 어떠한 관계가 있는지 밝혀라. 이 부등식은 근 판정법이 비 판

정법보다 더 민감한 판정법임을 의미한다.

20. 수열 ⟨⟩의 모든 항이 양수이고 lim→∞

이라고 하자. 만약

이

면 은 수렴하고

이면 이 발산함을 증명하여라.


21. 함수 가 ∞에서 정의되었고, 이며 양의 무한 에 발산하는 순증가수열

⟨⟩이 존재하여 조건

(ⅰ) 각 구간 에서 의 부호가 일정하다,

(ⅱ) ∈ , ∈ 이면 이다,

(ⅲ) ≥

,

(ⅳ) lim→∞

을 만족시키면 ∞에서 의 특이적분이 수렴함을 증명하여라. 이것을 특이적분의 교대

판정법(alternation test)이라고 부른다.

22. 수열 ⟨⟩이 , sin을 만족시킨다. 이때

∞

의 수렴 여부를 판정하여

라.

23. 실수 집합의 가산 부분 집합은 측도 제로임을 증명하여라.

24. ≥ 일 때

가 자연수가 아님을 증명하여라.


25. 비가산이면서 측도 제로인 집합이 존재하는지 조사해 보아라.

26. 집합 ∈ 가 실수 집합의 부분집합이라고 하자. 그리고 의 유한부분집합 에

하여

∈

로 정의하자. 이때 집합 ⊆ ∧ ℕ이 위로 유계이면 는 합을 구할

수 있다고 말하고, 의 상한을 의 합으로 정의한다. ∈ 의 합을 구할 수 있

으면 의 원소 중에서 이 아닌 것의 개수는 가산임을 증명하여라.

27. 선형노름공간에서 정의된 급수의 수렴을 어떻게 정의하는지 조사해 보자. (Banach

summable family에 대하여 조사해 보아라.)

28. 디리끌레(Dirichlet) 급수와 리만(Riemann)의 제타 함수에 하여 조사해 보자.

29. 조화급수

∞

이 양의 무한 에 발산함을 고등학교 2학년 학생에게 가르치려고 한다. 적

절한 교수 ․ 학습 방법을 고안해 보아라.

Ⅵ 무한 급수


오일러, 정수론의 해석적 연구수학 역사

보통 해석학을 처음 공부하는 경우 해석학과 정수론은 서로 관계가 없다고 생각한다. 그러나

해석학은 정수론의 이론을 뒷받침하는 기초가 된다. 이것은 비단 오늘날만의 이야기가 아니

다.

오일러(Euler, 1707-1783)는 스위스의 가장 뛰어난 수학자이다. 오일러는 독창적으로 급수를

다루면서 해석학과 정수론을 연결하는 몇 개의 훌륭한 관계를 알아냈다. 보기를 들면 비교적

쉬운 증명으로 조화급수의 발산으로 소수는 무한하다는 유클리드의 정리를 증명할 수 있다는

것을 보여줬다.

소수의 개수가 유한이라고 가정하자. 그리고 그들을 작은 것부터 순서 로 , , ⋯ , 라

고 하자. 그러면 임의의 자연수 은

⋯ 의 꼴로 나타낼 수 있다. 자

연수 에 한 지수 들 중에서 가장 큰 것을 라고 하자. 그리고

⋯

⋯

⋯

⋯

라고 하자. 위의 곱에서

,

, ⋯ ,

의 항이 그들 이외의 항과 함께 나타나기 때문에 곱

가 ⋯

보다 작아질 수 없다. 한편 등비수열의 합 공식에서 각 인수는 각각

,

, ⋯ ,

보다 작다는 것을 알 수 있다. 따라서 모든 에 하여

⋯

⋯

가 성립한다. 그런데 소수의 개수가 유한이라고 하였으므로 우변은 상수이고 따라서 좌변은

유계이다. 유계인 양항급수는 수렴하므로 → ∞일 때 좌변은 수렴해야 하는데 이것은 조

화급수가 발산한다는 사실에 모순이다.

오일러는 이 복잡한 해석에 의해 소수의 역수로 된 무한급수는 발산하고 그 부분합 에

하여 → ∞일 때

ln ln→

임을 증명하였다. 이렇게 해석학의 이론을 이용하여 정수론을 연구하는 것을 해석적 방법이

라고 부른다.

262

⋯

⋯

⋯

cos sin

′d

제 7 장 함수열의 극한

제 7 장

함수열의 극한

우리는 2장에서 공역이 실수 집합인 수열을 살펴보았다. 이 장에서는 실수열의 개념을 확장하여

공역이 함수들의 모임인 함수열과 그 극한의 성질을 살펴본다. 함수열의 극한을 이용하면 간단

한 함수의 극한으로서 복잡한 함수를 표현할 수 있기 때문에 더 많은 종류의 함수의 성질을 분

석할 수 있게 된다.

7.1 함수열의 평등수렴

직관적으로 실수열은 실수를 나열하고 순서 로 번호를 부여한 것이다. 같은 방법으로 함수열을

생각할 수 있다. 예를 들어 구간 에서 으로 정의된 함수 은 첨수 이 정

해질 때마다 에 관한 함수가 된다. 이때 , , , ⋯ , , ⋯은 함수열이다.

7.1.1 정의 함수열

가 실수 집합의 부분집합이고 ℝ가 정의역이 이고 공역이 ℝ인 함수들의 모임이라

고 하자. 이때 공역이 ℝ인 수열을 위에서의 실함수열 또는 간단히 함수열이라고 부르

며 실수열과 마찬가지로 ⟨⟩으로 표기한다.

실수열에 하여 이중수열을 생각한 것처럼 함수열도 이중수열을 생각할 수 있다. 예컨

이라고 하면 은 , 의 값에 따라 다른 함수가 되기 때문에 이중함수열이다. 그러나 이중

함수열은 이 책의 범위를 벗어나므로 이 책에서는 첨수가 하나인 함수열만 다룰 것이다.

수열의 극한을 정의한 것처럼 함수열의 극한을 생각할 수 있다. 에서 으로

정의된 함수열 가 주어졌다고 하자. 이때

lim→∞ i f ≤

i f 이므로

i f ≤ i f

에 하여 lim→∞ 라고 하는 것이 자연스럽다.

Ⅶ 함수열의 극한

263디자이너앨리스7.1 함수열의 평등수렴

7.1.2 정의 점별수렴

위에서의 함수열 ⟨⟩과 임의의 ∈에 하여

lim→∞

를 만족시키는 함수 가 존재할 때 ⟨⟩은 에 점별수렴한다 또는 간단하게 수렴한다고

말 한다. 이때 를 ⟨⟩의 점별극한함수 또는 간단하게 극한함수라고 부른다.

함수 급수도 수열의 급수와 마찬가지로 정의한다.

7.1.3 정의 함수 급수의 수렴

위에서의 함수열 ⟨⟩과 임의의 ∈에 하여

lim→∞

를 만족시키는 함수 가 존재할 때 함수 급수 이 에 수렴한다고 말한다.

함수열 ⟨⟩의 각 항 이 어떠한 성질을 가지고 있을지라도 그 극한함수 는 그러한 성질을

가지고 있지 않을 수 있다.

보기 7.1.4 에서 으로 정의된 함수열 ⟨⟩의 모든 항은 연속인 함수이다.

그러나 그 극한함수 는

i f ≤ i f

이므로 에서 연속이 아니다. □

보기 7.1.5 실직선상에서 함수열 ⟨⟩을

으로 정의하자. 이때 임의의 에 하여 은 연속이다. 그러나

∞

∞

i f i f ≠

이므로 은 연속이 아니다. □

264 제 7 장 함수열의 극한

보기 7.1.6 자연수 에 하여

lim→∞

cos 이라고 하자. 그러면 가 정수일 때는 이고 그 외에는 이다. 따라서

은 리만 적분 가능하다.

lim→∞

라고 하자. 그러면 가 유리수일 때에는 충분히 큰 에 하여 가 정수이므로 이

다. 또한 가 무리수일 때에는 임의의 에 하여 가 정수가 아니므로 이다. 따

라서

i f ∈ℚ i f ∉ℚ

이므로 는 리만 적분 불가능하다. □

함수의 연속성이나 미분 가능성 또는 적분 가능성은 정의역의 어떠한 점에서의 함숫값과 그 점

의 근방에서의 함숫값의 관계에 의존한다. 예를 들어 변수가 변함에 따라 함숫값이 서서히 변화

하면 연속이며 함숫값이 급격하게 변화하면 불연속이다.

함수열의 극한함수가 본래 함수열을 이루고 있는 함수의 성질을 보존하지 못하는 이유는 함수의

수렴이 정의역의 각 점에서 개별적으로 정의되기 때문이다. 함수열의 극한의 정의를 살펴보면

∀∈ ∀ ∃∈ℕ ∀∈ℕ → 이다. 즉 정의역의 원소 가 의 영향을 받지 않고 오히려 이 의 영향을 받는다. 여기서

은 함수열 이 ‘몇 걸음’만에 에 만큼 가까이 다가가는가를 정하는 척도가 된다. 그런데

에 따라서 이 변화한다는 것은 어떠한 점에서는 함수열의 값이 극한함수에 빠르게 다가가며

다른 점에서는 함수열의 값이 극한 함수에 천천히 다가간다는 것을 의미한다. 이렇게 각 에

하여 의 값이 의 값에 다가가는 속도가 다르기 때문에 본래 함수열의 성질을 극한

함수가 보존하리라고 기 할 수 없다.

따라서 극한함수가 본래 함수열을 이루고 있는 함수의 여러 가지 성질을 보존하도록 하기 위해

서는 새로운 극한의 정의가 필요하다.

7.1.7 정의 평등수렴(uniform convergence)

함수열 ⟨⟩이 위에서 정의되었다고 하자. 만약 임의의 양수 에 하여 자연수 이

존재하여 인 임의의 과 임의의 ∈에 하여 을 만족시키

는 함수 → ℝ가 존재하면 ⟨⟩은 에 평등수렴한다(converges uniformly) 또는 균

등수렴한다고 말한다. 함수 급수의 평등수렴도 마찬가지로 정의한다.


265디자이너앨리스7.1 함수열의 평등수렴

함수열 ⟨⟩이 에 점별수렴하는 것을 → 로 표기하며 ⟨⟩이 에 평등수렴하는 것

을 ⇉ 로 표기한다. 정의에 의하면 명백히 평등수렴하는 함수열은 점별수렴한다. 또한 평

등수렴하는 경우 그 극한함수는 점별수렴 극한함수와 동일한 함수이다. 즉 ⇉ 이면

→ 이다. 평등수렴의 정의를 보면

임의의 ∈에 하여

이라는 부분이 있다. 이것은 위에서 과 의 값이 아무리 많이 차이가 나더라도 그 차이가

보다 커질 수는 없다는 뜻이다. 만약 에서 의 상한을 이라고 하면 위 명

제는 과 동일한 의미이다. 이러한 관점에서 평등수렴의 정의를 다시 써보면 다음과 같다.

임의의 양수 에 하여 자연수 이 존재하여 인 임의의 자연수 에 하여

sup∈ 이 성립한다.

집합 위에서 정의된 함수 에 하여

sup ∈를 에서 의 상한노름(supremum norm)이라고 부른다. 상한노름을 이용하여 함수열의 평등수

렴의 정의를 쓰면 다음과 같다.

임의의 양수 에 하여 자연수 이 존재하여 인 임의의 자연수 에 하여

이 성립한다.

여기서 은 첨수가 인 실수열이므로 실수열의 극한의 정의에 의하여 다음을 얻는다.

7.1.8 정리 상한노름을 이용한 평등수렴의 정의

위에서 정의된 함수열 ⟨⟩이 에 평등수렴할 필요충분조건은

lim→∞

이 성립하는 것이다. 여기서 상한노름은 위에서 취한 값이다.

정의를 이용하여 함수열 ⟨⟩이 평등수렴하는 것을 증명하는 과정은 보통 다음과 같다.

1. ⟨⟩이 점별수렴하는 경우 극한함수 를 구한다.

2. 만약 ⟨⟩이 점별수렴하지 않는 경우 ⟨⟩은 평등수렴하지 않는다.

3. ⟨⟩이 점별수렴하는 극한함수 를 구한 뒤에는 의 값을 가늠해보고(이때 미분을

이용하여 극값을 구하면 편리하다) 평등수렴의 정의를 이용하여 평등수렴성을 증명한다.


예제 7.1.9 구간 에서

으로 정의된 함수열 ⟨⟩은 평등수렴한다.

증명 먼저 임의의 ∈ 에 하여

lim→∞ lim

→∞

이다. 이제 ⇉ 임을 보이자. 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 그리고 ≤ 인

자연수 을 택하자. 그러면 인 임의의 자연수 에 하여

‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖≤ ≤

이므로 → 이다. 따라서 ⟨⟩은 에 평등수렴한다. □

예제 7.1.10 ℝ에서

sin

으로 정의된 함수열 ⟨⟩은 평등수렴한다.

증명 먼저 임의의 에 하여

lim→∞ lim

→∞sin

이다. 이제 ⇉ 임을 보이자. 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 ≤ 인

자연수 이 존재한다. 일 때

‖sin ‖ 이므로 → 이다. 따라서 ⟨⟩은 에 평등수렴한다. □

예제 7.1.11 에서 으로 정의된 함수열 ⟨⟩은 평등수렴하지 않는다.

증명 먼저 ⟨⟩의 극한함수는 ∈ 일 때 , 일 때 로 정의된

함수 이다.

이라고 하자. 그리고 자연수 이 임의로 주어졌다고 하자.

이라고 하자. 이때 이므로 ∈ 이 존재하여

이다. 따라서 ≥ 이므로 ⟨⟩은 에 평등수렴

하지 않는다. □


267디자이너앨리스7.2 평등수렴의 성질

7.2 평등수렴의 성질

코시 조건을 만족시키는 수열이 수렴하는 것처럼 함수열의 극한에 해서도 코시 조건을 생각할

수 있다.

7.2.1 정리 Cauchy 조건

집합 위에서의 함수열 ⟨⟩이 평등수렴할 필요충분조건은 임의의 양수 에 하여 자

연수 이 존재하여 보다 큰 임의의 자연수 과 에 하여 을 만족시

키는 것이다.

증명 먼저 ⟨⟩이 에 평등수렴한다고 가정하자. 그리고 양수 이 임의로 주어졌다고 하자.

그러면 자연수 이 존재하여 일 때마다

이 성립한다. 이때 , 이라고 하면

≤

이므로 ⟨⟩은 코시 조건을 만족시킨다.

역으로 ⟨⟩이 코시 조건을 만족시킨다고 가정하자. 그러면 각 ∈에 하여

⟨ ⟩은 코시 조건을 만족시키는 실수열이다. 따라서 각 ∈에 하여

lim→∞

를 만족시키는 함수 가 존재한다. 이제 ⇉ 임을 보이자. 양수 이 임의로 주어졌

다고 하자. 그러면 자연수 이 존재하여 보다 더 큰 , 에 하여

이 성립한다. 이제 이라고 하자. 그러면 점별수렴성에 의하여 임의의 ∈에

하여 인 자연수 이 존재하여

을 만족시킨다. 이때

≤

≤

이다. 여기서 는 의 임의의 원소이므로

≤

이다. 따라서 → 이므로 ⟨⟩은 에 평등수렴한다. □


이제 함수열이 평등수렴할 때 그 극한함수가 본래 함수열을 이루고 있는 함수의 어떠한 성질을

보존하는지 알아보자.

7.2.2 정리 평등수렴과 연속성

위에서의 함수열 ⟨⟩의 모든 항이 연속이고 ⇉ 이면 도 연속이다.

증명 임의의 에 하여 이 ∈에서 연속이라고 하자. 그리고 양수 이 임의로 주

어졌다고 하자. ⇉ 이므로 자연수 이 존재하여 임의의 ∈에 하여

을 만족시킨다. 또한 은 에서 연속이므로 양수 가 존재하여 일 때

을 만족시킨다. 따라서 일 때

≤

이므로 는 에서 연속이다. □

7.2.3 정리 평등수렴과 적분가능성

함수열 ⟨⟩이 위에서 정의되었고 ⇉ 이며 임의의 에 하여 이

에서 리만 적분 가능하다고 하자. 이때 는 에서 적분 가능하며

lim→∞

가 성립한다. 즉 적분 가능한 함수열이 평등수렴하면 극한함수도 적분 가능하다.

증명 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. ⇉ 이므로 자연수 이 존재하여 임의의

∈ 에 하여

을 만족시킨다. 또한 은 에서 적분 가능하므로 분할 가 존재하여

을 만족시킨다. ≤ ≤ 라고 하자.



그리고

sup , in f ,

sup , in f 이라고 하자. 이때 각 에 하여 다음을 얻는다.

≤ ≤ ≤

따라서

≤

이므로 는 에서 적분 가능하다.

이제 의 적분과 의 적분의 극한이 동일함을 증명하자. 다시 양수 이 임의로 주어졌

다고 하자. 평등수렴의 정의에 의하여 자연수 이 존재하여 ≥ 일 때 임의의 에

하여

이 성립한다. 이때

≤

≤

이므로 정리의 등식을 얻는다. □

위 정리의 의미는 항별로 적분 가능한 함수열 ⟨⟩이 평등수렴할 때

lim→∞ lim

→∞

와 같이 극한과 적분의 순서를 바꿀 수 있다는 것이다.


7.2.4 따름정리 함수급수의 적분가능성

함수열 ⟨⟩이 위에서 정의되었고 ⇉ 이며 임의의 에 하여 이

에서 리만 적분 가능하다고 하자. 이때 는 에서 적분 가능하며 다음이 성립한다.

∞

증명 임의의 에 하여

가 적분 가능하고 ⇉ 이므로 정리 7.2.3에 의하여

도 적분 가능하고 정리의 등식이 성립한다. □

함수열이 평등수렴하지 않는 경우 함수열의 각 항이 적분 가능하더라도 극한함수는 적분 가능하

지 않을 수도 있다. 또한 극한함수가 적분 가능하더라도 극한 함수의 적분과 함수열의 적분의

극한이 동일하지 않을 수도 있다.

보기 7.2.5 구간 에서 함수열 ⟨⟩을 다음과 같이 정의하자.

i f

otherwise먼저 → 임을 보이자. 만약 이거나 이면 명백히

lim→∞ lim

→∞

이다. 이제 ∈ 이라고 하자. 그러면 인 자연수 이 존재한다. 이면

이므로

lim→∞

이다. 따라서 → 이다. 또한 임의의 에 하여 은 에서 적분 가능하며

이다. 그러나

lim→∞

lim→∞ ≠

lim→∞

이므로 극한 함수의 적분과, 각 항의 적분의 극한이 동일하지 않다. □



함수열 ⟨⟩의 연속성이나 적분 가능성을 보존하기 위해서는 단순히 ⟨⟩이 평등수렴한다

는 조건만 필요하지만 미분 가능성을 보존하기 위해서는 더욱 많은 조건이 필요하다.

7.2.6 정리 평등수렴과 미분가능성

함수열 ⟨⟩이 위에서 정의되었고 임의의 에 하여 이 미분 가능하며 ′이

적분 가능하다고 하자. 또한 적당한 ∈ 가 존재하여 ⟨ ⟩가 수렴하며 ⟨′⟩이

연속인 함수 에 평등수렴한다고 하자. 이때 ⟨⟩은 미분 가능한 함수에 평등수렴하며


증명 먼저 ⟨⟩이 평등수렴함을 보이자. 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. ′이 적분

가능하므로 임의의 ∈ 에 하여

′ (1)

이다. 따라서

′ ′ 이므로

≤

′ ′ (2)

가 성립한다. ⟨′⟩이 평등수렴하므로 자연수 이 존재하여 일 때

′

, ′

이다. 따라서 (2)에 의하여

≤

(3)

이다. 같은 방법으로 임의의 ∈ 에 해서도 (3)이 성립함을 알 수 있다. 따라서

⟨⟩은 평등수렴한다.

이제 ′ 임을 보이자. ⟨⟩의 극한함수를 라고 하자. (1)의 양변에 → ∞

인 극한을 취하면

lim→∞ lim

→∞

′ lim→∞

lim→∞′

이다. 여기서 가 연속이므로 양변을 에 하여 미분하면

′ 를 얻는다. □


앞의 정리의 의미는 ⟨⟩의 도함수가 평등수렴하고 적절한 조건을 만족시킬 때

lim→∞ lim

→∞

와 같이 극한과 미분의 순서를 바꿀 수 있다는 것이다.

7.2.6 따름정리 함수급수의 미분가능성

함수열 ⟨⟩이 위에서 정의되었고 임의의 에 하여 이 미분 가능하며 ′이

적분 가능하다고 하자. 또한 적당한 ∈ 가 존재하여 가 수렴하며 ′이

연속인 함수 에 평등수렴한다고 하자. 이때 은 미분 가능한 함수에 평등수렴하며


증명 임의의 에 하여

라고 하면 ⟨ ⟩는 수렴하고 ′

′은 연속인

함수에 평등수렴한다. 따라서 정리 7.2.5에 의하여 결론을 얻는다. □

보기 7.2.7 함수열 ⟨⟩이 다음과 같이 정의되었다고 하자.

sin

이때 이라고 하면 ⇉ 이고 ′ 이다. 또한

′

cos

이므로 ′ ⇉ ′이다. □

함수열 ⟨⟩의 도함수가 평등수렴하지 않는 경우 ⟨⟩의 극한함수의 미분과 ⟨′⟩의 극한

함수가 동일하지 않을 수도 있다.

보기 7.2.8 구간 위에서 함수열 ⟨⟩을

cos로 정의하자. 임의의 양수 에 하여 ≤ 인 자연수 을 택하면 일 때 임의의

∈ 에 하여

≤ cos ≤

≤

이므로 ⇉ 이다. 따라서 이라고 하면 ⇉ 이고 ′ 이다. 그러나

′ sin이므로 ⟨′⟩은 ′에 수렴하지 않는다. □


273디자이너앨리스7.3 평등수렴의 판정

7.3 평등수렴의 판정

특이적분의 수렴이나 급수의 수렴을 판정하는 공식이 있는 것처럼 함수열의 평등수렴을 판정하

는 공식이 있다. 이 절에서는 정의를 이용하여 평등수렴을 판정하기 어려운 경우 사용할 수 있

는 유용한 판정법을 살펴보자.

7.3.1 정리 Weierstrass M-판정법

위에서 정의된 함수열 ⟨⟩에 하여 양항수열 ⟨⟩이 존재하여 임의의 ∈와

임의의 에 하여 ≤ 을 만족시키고 이 수렴한다고 하자. 그러면

은 에서 평등수렴한다.

증명 임의의 ∈에 하여

로 정의하자. 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 이 수렴하므로 자연수 이 존재

하여 일 때 ⋯ 을 만족시킨다. 이때 임의의

∈에 하여

⋯

≤ ⋯

≤ ⋯

이므로 코시 조건에 의하여 ⟨⟩은 에서 평등수렴한다. □

7.3.2 정리 절대급수 판정법

위에서 정의된 함수열 ⟨⟩에 하여 함수급수 이 평등수렴하면 도 평등

수렴한다.

증명 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 이 평등수렴하므로 자연수 이 존재하여

≥ 일 때 임의의 ∈에 하여

⋯

이 성립한다.


이때

≤

이므로 코시 조건에 의하여 은 평등수렴한다. □

7.3.3 정리 함수급수 평등수렴의 일반항 판정법

함수 급수 이 위에서 평등수렴하면 ⇉ 이다.

증명 결론에 반하여 ⇉ 이라고 하자. 그러면 양수 이 존재하여 임의의 에 하여

인 과 ∈가 존재하여 ≥ 을 만족시킨다. 동일한 양수 과 임의의

자연수 에 하여 인 과 ∈가 존재하여

≥ 을 만족시킨다. 즉 은 코시 조건의 부정을 만족시키므로 발산한다. 이것은 모순이므

로 ⇉ 이다. □

실수열의 급수의 교 급수 판정법이 있는 것처럼 함수 급수의 교 급수 판정법이 존재한다.

7.3.4 정리 교대급수 판정법

위에서의 함수열 ⟨⟩이 에 평등수렴하고 임의의 과 임의의 ∈에 하여

≤ ≤ 를 만족시키면

∞

은 에서 평등수렴한다.

증명 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. ⇉ 이므로 자연수 이 존재하여 일

때 을 만족시킨다. 따라서 일 때 임의의 ∈에 하여

⋯

≤


∞

은 코시 조건을 만족시키므로 평등수렴한다. □


275디자이너앨리스7.3 평등수렴의 판정

함수열 ⟨⟩의 모든 항이 연속이고 극한함수 가 연속이지만 ⟨⟩의 수렴성이 평등수렴이

아닐 수도 있다. 예를 들어 구간 에서 으로 정의된 함수열 ⟨⟩의 모든 항

은 연속이고 인 연속함수 에 수렴하지만 평등수렴하지 않는다. 즉 정리 7.2.2의 역이

성립하지 않는다. 그러나 컴팩트 집합 위에서 연속인 함수열이 연속인 함수에 단조수렴하면 그

수렴은 평등수렴이 된다.

7.3.5 정리 Dini의 조건

컴팩트 집합 위에서 정의된 연속인 함수열 ⟨⟩이 연속인 함수 에 수렴하고 임의의

과 ∈에 하여 ≥ 를 만족시키면 ⟨⟩은 에 평등수렴한다.

증명 라고 하자. 그러면 은 연속이고 → 이며 ≥ 이다.

양수 이 임의로 주어졌다고 하자. ∈ ≥ 이라고 하자. 은 연속

이므로 상반연속이고

∞ ∩

는 에서 개집합이다. 따라서 ∖은 에서 폐집합이고 컴팩트이다.

≥ 이므로 ⊇ 이다.

이제 ∈가 임의로 주어졌다고 하자. → 이므로 충분히 큰 자연수 에 하

여 ∈이다. 즉 ∈∩이다. 여기서 는 임의이므로 ∩이 공집합이다. 그런

데 ⊇ 이므로 만약 임의의 에 하여 이 공집합이 아니라면 축소구간정리

에 의하여 ∩도 공집합이 아니다. 이것은 모순이므로 적당한 자연수 에 하여

은 공집합이다.

따라서 ≥ 일 때 ∅이므로 임의의 ∈에 하여 ≤ 이다. 이

것은 ⇉ 을 의미하므로 ⇉ 를 얻는다. □

7.3.6 따름정리 양항 함수급수의 평등수렴성

컴팩트 집합 위에서 정의된 연속인 함수열 ⟨⟩의 모든 항이 음이 아닌 값을 갖는 함

수이고 이 연속인 함수 에 점별수렴하면 ⇉ 이다.

증명

라고 하면 은 연속이고 ≤ 이며 가 연속이므로 디니의 조건에

의하여 ⇉ 이다. □


7.3.7 따름정리 교대급수의 평등수렴성

컴팩트 집합 위에서 정의된 연속인 함수열 ⟨⟩이, 임의의 ∈와 자연수 에 하

여 ≤ ≤ 를 만족시키며 이 연속인 함수 에 점별수렴한다

고 하자. 그러면 ⇉ 이다.

증명 이 수렴하므로 → 이다. 또한 ≤ ≤ 이므로 디니의 조건에

의하여 ⇉ 이다.

따라서 교 급수 판정법에 의하여 은 에 평등수렴한다. □

7.4 동정도 연속*

볼차노-바이어슈트라스 정리에 의하면 유계인 실수열은 수렴하는 부분수열을 가진다. 함수열의

경우에도 비슷한 정리를 얻을 수 있다.

7.4.1 정의 점별유계, 평등유계

위에서의 함수열 ⟨⟩에 하여 다음과 같이 정의한다.

(ⅰ) 함수 → ℝ가 존재하여 임의의 자연수 과 임의의 ∈에 하여

를 만족시키면 ⟨⟩은 점별유계라고 말한다.

(ⅱ) 양수 이 존재하여 임의의 자연수 과 임의의 ∈에 하여 을 만

족시키면 ⟨⟩은 평등유계라고 말한다.

함수열 ⟨⟩이 점별 유계인 경우 임의의 ∈에 하여 ⟨ ⟩는 수렴하는 부분수열

⟨ ⟩를 가진다. 또한 가 가산인 경우 각법(diagonal method)을 이용하여 의 모든 점

에서 점별수렴하는 부분함수열을 만들어낼 수 있다.

7.4.2 정리 점별수렴에 관한 Bolzano-Weierstrass 정리

가산집합 위에서의 함수열 ⟨⟩이 점별유계이면 ⟨⟩은 에서 점별수렴하는 부분

수열 ⟨⟩를 가진다.

증명 ∈라고 하자. 먼저 ⟨ ⟩은 유계이므로 수렴하는 부분수열

⟨ ⟩을 가진다. 또한 ⟨ ⟩는 유계이므로 수렴하는 부분수열 ⟨ ⟩


277디자이너앨리스7.4 동정도 연속

를 가진다. 여기서 당연히 ⟨ ⟩은 ⟨ ⟩의 부분수열이므로 수렴한다. 이제

자연수 에 하여 ⟨ ⟩이 수렴한다고 가정하자. ⟨ ⟩은 유계이므로

수렴하는 부분수열 ⟨ ⟩을 가진다. 여기서 ⟨ ⟩은

⟨ ⟩의 부분수열이므로 당연히 수렴한다. 이로써 임의의 자연수 에 하여

가 귀납적으로 정의되었다. 이제 라고 하면 임의의 ∈에 하여

⟨⟩는 수렴한다. 따라서 ⟨⟩는 점별수렴하는 부분수열이다. □

평등연속은 하나의 함수에 해서 하나의 가 결정되는 연속성이다. 이 개념을 함수열로 확장하

여 임의의 함수에 해서 하나의 가 결정되는 연속성을 정의한다.

7.4.3 정의 동정도 연속

함수 집합 ∈가 위에서 정의되었다고 하자. 만약 임의의 양수 에 하여 양

수 가 존재하여 임의의 과 인 임의의 ∈ , ∈에 하여

을 만족시키면 ⟨⟩은 동정도 연속(equicontinuous)이라고 말한다.

명백히 ∈ 의 모든 원소가 평등연속이고 가 유한집합이면 평등연속이다. 만약 컴팩트

집합 위에서 정의되었다면 이 무한집합일지라도 평등연속성을 보장할 수 있게 된다.

7.4.4 정리 평등수렴하는 함수열의 동정도 연속성

컴팩트 집합 위에서 정의된 함수열 ⟨⟩의 모든 항이 연속이고 평등수렴하면 ⟨⟩은 위에서 동정도 연속이다.

증명 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. ⟨⟩이 평등수렴하므로 코시 조건에 의하여 자연수

이 존재하여 일 때

이 성립한다. 각 가 위에서 평등연속이므로 양수 가 존재하여 이고

≤ ≤ 일 때

이 성립한다. 또한 이고 ≤ 일 때

≤

이므로 ⟨⟩은 동정도 연속이다. □


이제 실수열의 볼차노-바이어슈트라스 정리를 확장하여 함수열에 적용해 보자.

7.5.5 정리 Ascoli

컴팩트 집합 위에서 정의된 함수열 ⟨⟩의 모든 항이 연속이고 점별유계이며 동정도

연속이라고 하자. 이때 다음이 성립한다.

(ⅰ) ⟨⟩은 에서 평등 유계이다.

(ⅱ) ⟨⟩은 평등수렴하는 부분수열을 가진다.

이 정리의 증명을 위하여 다음 보조정리가 필요하다.

7.5.6 보조정리 컴팩트 집합의 가분성

실수 집합의 부분집합 가 컴팩트이면 ⊆ 인 의 가산부분집합 가 존재한다.

증명 in f 이라고 하자. 임의의 자연수 에 하여 개구간

들의 모임은 의 개덮개가 된다. 이때 임의의 , 에 하여 ∩≠∅인 경우

∈∩인 를 택하고 ∩ ∅인 경우 in f라고 하자. 이제

∈ℕ ∈ℕ이 정리의 조건을 만족시키는 집합임을 보이자.

명백히 는 유한집합의 가산합집합이므로 가산집합이다.

∈라고 하자. 만약 ∈인 경우 ∈이다. 이제 ∈이고 양수 이 임의로 주

어졌다고 하자. 그러면 인 자연수 이 존재한다. 이때 적당한 에 하여

, , , ⋯ , 은 의 개덮개이다. 따라서 ∈인 가 존재한다.

여기서

이므로 ∩≠∅이다. 즉 ∈이다. 따라서 ⊆ 이다. □

참고로 ⊆ 이고 ⊆ 일 때 는 위에서 조밀하다(dense)고 말한다. 또 집합 가 에

서 조 한 부분집합을 가질 때 는 가분(separable)이라고 말한다. 예를 들어 ℚ⊆ℝ이고

ℝ⊆ ℚ 이므로 유리수 집합은 실수 집합 위에서 조 하다. 즉 ℝ는 가분이다. 이러한 관점에서

보조정리 7.5.6은 가 가분이라는 것을 의미한다.


279디자이너앨리스7.4 동정도 연속

정리 7.5.5의 증명 (ⅰ) 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. ⟨⟩이 동정도 연속이므로 양수

가 존재하여 임의의 과 임의의 ∈에 하여

을 만족시킨다. 가 컴팩트이므로 의 유한 개의 점 , , ⋯ , 이 존재하여 임의

의 ∈에 하여 인 가 존재하게 된다. ⟨⟩이 점별 유계이므로 양수

가 존재하여 임의의 에 하여 를 만족시킨다.

max ⋯ 이라고 하면 임의의 과 임의의 에 하여 적당한 가 존재하여

≤

이므로 ⟨⟩은 평등유계이다.

(ⅱ) 가 컴팩트이므로 ⊆ 인 의 가산부분집합 가 존재한다. 정리 7.4.2에 의하

여 ⟨⟩은 에서 점별수렴하는 부분수열 ⟨⟩를 가진다. 편의상 이라고 하

자. 이제 ⟨⟩가 에서 평등수렴함을 보이자.

양수 이 임의로 주어졌다고 하자. ⟨⟩이 동정도 연속이므로 양수 가 존재하여 임의

의 과 임의의 ∈에 하여

을 만족시킨다. ⊆ 이고 가 컴팩트이므로 의 유한 개의 점 , , ⋯ , 을

택하여

⊆ ∪ ∪ ⋯∪ (1)

가 되도록 할 수 있다. 임의의 ∈에 하여 ⟨ ⟩가 수렴하므로 자연수 이 존

재하여 ≥ , ≥ 이고 ≤ ≤ 일 때

을 만족시킨다. ∈라면 (1)에 의하여 적당한 에 하여 ∈ 이므로 임의의

에 하여 이 성립한다. 만약 ≥ , ≥ 이면 (2)에 의하여

≤

이 성립한다. 은 얼마든지 작은 양수가 될 수 있으므로 ⟨⟩은 코시 조건을 만족시킨

다. 따라서 평등수렴한다. □


7.5 다항식 근사*

테일러 정리에 의하면 미분 가능한 함수는 다항식을 이용하여 근사할 수 있다. 이것의 조건을

약화하여 가 단순히 연속이라는 조건만으로 그러한 다항식을 얻을 수 있다.

7.5.1 정리 Weierstrass 근사 정리

구간 에서 정의된 함수 가 연속이면 에서 에 평등수렴하는 다항함수열

⟨⟩이 존재한다.

증명 일반성을 잃지 않고 이라고 하자. 또한 ∈ 일 때에는 으

로 정의하자. 으로 정의하되 상수 은

(1)

을 만족시키도록 정하자. 그러면 베르누이 부등식에 의하여

≥

≥

이므로 (1)에 의하여 을 얻는다.

따라서 임의의 양수 에 하여 ≤ ≤ 일 때

≤ (2)

이므로 에서 ⇉ 이다. 이제 ≤ ≤ 인 에 하여

이므로 은 다항식이다.

이제 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 는 평등연속이므로 양수 가 존재하여

인 임의의 , 에 하여 을 만족시킨다.


281디자이너앨리스7.5 다항식 근사

그러면 ≥ 이라는 사실과 (1), (2)에 의하여 임의의 ∈ 에 하여

≤

≤

≤

이 성립한다. 따라서 lim→∞ ≤

인데 이 임의의 양수이므로

lim→∞

이 성립한다. 즉 ⇉ 이다. □

예제 7.5.2 함수 → ℝ가 정의역에서 연속이고 음이 아닌 임의의 정수 에 하여

을 만족시키면 는 상수함수이다.

증명 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 바이어슈트라스 근사 정리에 의하여 임의의 에 하

여 을 만족시키는 다항식

∞

가 존재한다. 문제의 조건을 이용하면

∞

∞

을 얻는다. 한편 ≥ ≥ 이므로

≥

≥

≥


이다. 그런데 은 연속함수이므로 이고 따라서 이다. □


7.6 멱급수

수열 ⟨⟩과 실수 가 주어졌다고 하자. 그리고

⋯

이라고 하자. 이때 의 극한 lim→∞을 중심이 이고 계수가 ⟨⟩인 멱급수(power series)

또는 거듭제곱급수라고 부르며

∞

(1)

으로 표기한다. 위와 같은 표기법에서 이고 일 때 이 나타난다. 따라서 위와 같

은 멱급수의 표기에서는 편의상 인 것으로 약속한다. 즉

∞

⋯

이다. 만약 라고 하면 (1)은

∞

의 형태로, 즉 중심이 인 멱급수로 표현할 수 있다. 따라서 멱급수의 성질을 살펴볼 때에는 중

심이 인 멱급수만 다루어도 충분하다.

실수열의 급수에서와 마찬가지로 멱급수에서도 과 ∞를 생략하여 으로 표기하는

경우가 많다. 이렇게 표기하는 경우에는 별도의 조건이 없는 한 은 의 차수가 이 되도록

하는 정수부터 시작하는 것으로 약속한다.

멱급수 은 일 때 당연히 수렴한다. 그리고 ⟨⟩의 특성에 따라서 이외

의 다른 점에서도 수렴할 수 있으며 경우에 따라서는 임의의 에 하여 수렴할 수도 있다.

보기 7.6.1 다음 멱급수를 살펴보자.

∞

⋯ (2)

일 때 위 급수는 수렴한다. 만약 ≠이면

→ ∞

이므로 비판정법에 의하여 (2)는 발산한다. □

보기 7.6.2 다음 기하급수는 일 때 수렴하고 ≥ 일 때 발산한다.

∞

⋯ □


283디자이너앨리스7.6 멱급수

보기 7.6.3 다음 멱급수를 살펴보자. 사실 이 멱급수는 지수함수의 정의이다.

∞

⋯ (3)

만약 ≠이면

÷

→

이므로 비판정법에 의하여 (3)은 수렴한다. 즉 (3)은 실수 전체 구간에서 수렴한다. □

앞서 기하급수 은 일 때 수렴하고 ≥ 일 때 발산한다. 따라서 이 급수의 수렴

반경을 이라고 하는 것이 자연스럽다.

7.6.4 정의 수렴 구간, 수렴 반경

멱급수 에 하여 집합

이 수렴한다 를 수렴 구간이라고 부른다. 이때 수렴 구간의 내부를 수렴 영역이라고 부르며

sup ∈ 를 수렴 반경이라고 부른다.

7.6.5 보조정리 수렴반경의 성질

멱급수 이 일 때 수렴하면 인 임의의 에 하여 멱급수가 수렴한

다. 만약 일 때 주어진 멱급수가 발산하면 인 임의의 에 하여 멱급수가

발산한다.

증명 이 수렴하고 라고 하자. → 이므로 양수 이 존재하여 임의의

에 하여 을 만족시킨다. 이때

이다. 여기서 기하 급수의 성질에 의하여

은 수렴하므로 비교판정법에 의하여

은 수렴한다.

이번에는 이라고 하자. 만약 이 수렴한다면 앞의 논의에 의하여

도 수렴해야 하므로 모순이다. 따라서 은 발산한다. □


7.6.6 정리 수렴반경의 성질

멱급수 의 수렴반경이 이면 은 일 때 절 수렴하고 일

때 발산한다.

증명 만약 이면 멱급수의 정의에 의하여 당연하다. 이라고 하자. 라고 하

면 상한의 성질에 의하여 적당한 가 존재하여 이면서 이 수렴한

다. 이때 이므로 은 수렴한다. □

앞의 두 정리에 의하여 수렴반경이 인 멱급수 은 구간 에서 수렴하고

의 외부에서는 발산함을 알 수 있다. 그러나 앞의 정리만으로는 ±일 때

이 수렴하는지 또는 발산하는지 알 수 없으므로, 수렴 영역의 경계점에서 급수가 수렴

하는지 여부는 직접 계산해 보아야 한다.

예제 7.6.7 멱급수

∞

의 수렴구간을 구하여라.

풀이 조화 급수의 성질에 의하여 일 때 은 발산하고 교 급수의 성질에 의하여

일 때 은 수렴한다. 여기서 수렴반경을 이라고 하면

≤ ≤

이므로 이다. 따라서 수렴 구간은 이다. □

실수 급수의 비 판정법을 이용하여 멱급수의 수렴 반경을 쉽게 계산할 수 있다.

7.6.8 정리 비 판정 공식

멱급수 에 하여 극한

lim→∞

이 수렴하고 그 극한이 이면 의 수렴반경은 이다. 만약 위 극한이 양의 무한

에 발산하면 의 수렴반경은 무한 이다.

증명 먼저 ∞라고 하자. 에 비 판정법을 적용하면 다음을 얻는다.

lim→∞

(4)


285디자이너앨리스7.6 멱급수

이때 이면 은 발산하고

이면 은 수렴한다.

따라서 의 수렴 반경은 이다.

다음으로 ∞인 경우 임의의 에 하여 (4)는 에 수렴하므로 은 수렴한

다. □

예제 7.6.9 멱급수

∞


증명 비판정 공식을 이용하면

lim→∞

lim→∞

이므로 수렴 반경은 이다. 또한 ±일 때 -급수 판정법과 교 급수 판정법에 의

하여 문제의 급수가 수렴한다. 따라서 수렴 구간은 이다. □

비슷하게 실수 급수의 근 판정법을 이용하여 멱급수의 수렴 반경을 쉽게 계산할 수 있다.

7.6.10 정리 Cauchy-Hadamard 공식

멱급수 에 하여

lim→∞

라고 하자. 그리고 를

i f ∞ i f ∞∞ i f

라고 하자. 이때 의 수렴반경은 이다.

증명 급수 에 근 판정법을 적용하면

lim→∞

lim

→∞

이다. 따라서 은 일 때 수렴하고 일 때 발산한다.

만약 ∞인 경우 아닌 임의의 에 하여 이므로 급수가 발산한다. 만약

인 경우 임의의 에 하여 이므로 급수가 수렴한다.


가 도 아니고 ∞도 아닌 경우는 일 필요충분조건은

이므로 가 수렴반경이 된다. □

예제 7.6.11 멱급수

∞


풀이 먼저 코시-아다마르 공식을 이용하면

lim→∞

이므로 수렴반경은 이다. ±일 때에는

→ ∞

이므로 주어진 급수는 수렴하지 않는다. 따라서 수렴구간은 이다. □

예제 7.6.12 멱급수

∞


풀이 비판정 공식을 이용하면

lim→∞

∞

이므로 주어지 급수는 실수 전체 구간에서 수렴한다. □

7.7 멱급수의 성질

수학에서 다루는 함수 중에는 멱급수로 나타낼 수 있는 것들이 있다. 예를 들어 sin은

sin

∞

⋯

로 나타낼 수 있다. 만약 멱급수의 미분과 적분을 항별로 할 수 있다면 멱급수로 표현되는 함수

의 미분과 적분을 더욱 쉽게 할 수 있을 것이다.

7.7.1 보조정리 컴팩트 집합 위에서의 평등수렴성

멱급수 의 수렴반경이 이고 이면 멱급수 은 에서 평

등수렴한다.


287디자이너앨리스7.7 멱급수의 성질

증명 조건에 의하여 은 수렴한다. 이라고 하면 ∈ 에 하여

≤

이므로 -판정법에 의하여 은 에서 평등수렴

한다. □

7.7.2 정리 멱급수의 적분

멱급수 의 수렴반경이 이고 이면

∞

∞

가 성립한다. 즉 멱급수의 적분은 항별로 적분한 급수와 같다.

증명 구간 에서 이 평등수렴하고 임의의 에 하여

는 연속이므로

평등수렴의 성질에 의하여

∞

lim→∞

lim→∞

lim→∞

∞

를 얻는다. □

7.7.3 정리 멱급수의 미분

멱급수 의 수렴반경이 이면 에서

∞

∞

가 성립한다. 즉 멱급수의 미분은 항별로 미분한 급수와 같다.

증명 ∈ 이라고 하자. 그러면 양수 가 존재하여 를 만족시킨다.

라고 하면 ≤ 이므로 자연수 이 존재하여 인 임의의 에 하

여 ≤ 이 성립한다. 따라서 일 때

≤

이므로 비교 판정법에 의하여 의 수렴반경은 이상이 된다.


이제 인 에 하여

∞

,

,

∞

이라고 하자. 그리고

∈ ⊂ ⊆ 인 , 를 택하자. 이때 에서 ⇉ , ′ ⇉ 이고 ′은 연속이다. 따라서

′ 가 성립한다. 이것을 기호로 나타내면

∞

′

∞

∞

이 된다. □

우리는 지금까지 일반적인 형태

∞

(1)

신

∞

(2)

의 형태만 살펴보았다. 이것은 함수를 평행이동시켰을 때 (2)와 같은 멱급수를 (1)의 형태로 변

형할 수 있기 때문이다. 그런데 (2)와 같은 멱급수는 함수를 평행이동시키지 않고서도 (1)의 형

태로 변형할 수 있다.

7.7.4 정리 멱급수의 중심의 이동

멱급수

∞

의 수렴반경이 이고 이라고 하자. 그러면 ⟨⟩이 존재하

여 일 때

∞

이 수렴하고 다음을 만족시킨다.

∞

∞

증명* 이라고 하면 ≤ 이므로

∞

은 수렴한

다. 또한 다음이 성립한다.

∞

∞

∞

C .



이때 이 급수는 각 성분이

C i f ≥ i f

인 행렬

⋯

⋯

⋯

⋮ ⋮ ⋮ ⋱

(3)

에 의해 표현되는 이중수열에 의한 합이다. 이므로

∞

은 수렴한다. 그러나 위 급수는 (3)의 각 항에서 신 를 갖는, (3)에서와 같은 행

렬에 의해 표현되는 이중수열의 행에 의한 합이다. 그러므로 (3)의 행에 의한 합과 열에

의한 합은 같다. (3)의 행에 의한 합은

∞

이고 열에 의한 합은

∞

,

∞

C 이다. 따라서 일 때 다음이 성립한다.

∞

∞

□

이제 두 수열 ⟨⟩, ⟨⟩에 하여

∞

,

∞

일 때 , , 가 멱급수로 어떻게 표현되는지 살펴보자.

7.7.5 정리 멱급수의 합

멱급수 의 수렴반경이 이고 의 수렴반경이 라고 하자. 이때

min 이면 은 수렴하고 다음이 성립한다.

∞

∞

∞


증명 min 이면 과 이 모두 수렴하므로 극한의 성질에 의하

여 다음을 얻는다.

∞

lim

→∞

lim→∞

lim

→∞

∞

∞

. □

7.7.6 정리 멱급수의 곱

멱급수 의 수렴반경이 이고 의 수렴반경이 라고 하자. 이때

min 이면 은 수렴하고 다음이 성립한다.

∞

∞

증명 min 이면 과 이 모두 절 수렴하므로 급수의 코시 곱의

성질에 의하여 다음을 얻는다.

∞

∞

∞

∞

. □

보기 7.7.7 ln

를 멱급수로 표현해보자.

∞

이고 ln

∞

임을 이용하면

ln

∞

∞

을 얻는다. □

두 멱급수 과 에 하여 의 멱급수를 구해보자. 이를 위

해서는 먼저

을 구한 뒤 코시 곱을 이용하면 된다.



이제

∞

의 수렴반경이 이라고 하자. 먼저 ≠ 인 경우를 살펴보자. 일

반성을 잃지 않고 이라고 하자. 이렇게 할 수 있는 이유는

∞

∞

이라고 하면 양변의 두 급수는 동일한 수렴반경을 갖고 이 되기 때문이다.

∞

∞

이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

∞

∞

따라서 이 둘의 코시곱은

∞

이므로 이고 ≥ 일 때 을 얻는다. 그런데

이므로

,

,

,

,

⋮

가 된다는 것을 의미한다.

7.7.8 정리 멱급수의 나눗셈

멱급수 의 수렴반경이 이고 이라고 하자. 그리고 수열 ⟨⟩을 귀납

적으로 ,

로 정의하자. 이때 적당한 구간에서

∞

∞

이 성립하고 위 등식의 우변의 멱급수의 수렴 반경은 양수가 된다.


증명* 의 수렴 반경이 양수임을 보이면 충분하다. 이라고 하자.

이므로 의 근방에서 ≠ 이다. 따라서 는 의 근방에서 정의된다.

이제 코시-아다마르 공식을 이용하여 의 수렴반경이 양수임을 보이자.

이라고 하면 은 수렴하므로 → 이다. 따라서 ⟨ ⟩은 유계

이고, 양수 이 존재하여 임의의 에 하여 ≤ 을 만족시킨다. 따라서 임의

의 에 하여

≤

(4)

이 성립한다. 이것을 이용하면 ≤ ,

≤

이고 에 한 수학적 귀납법을 이용하면

≤

임을 알 수 있다. 따라서

≤

이다. 양변에 극한을 취하면

lim→∞

≤

을 얻는다. 따라서 의 수렴 반경은

이상이다. □

만약

∞

이고 인 경우는 위 정리를 이용할 수 있도록 변형할 수 있다.

가 ≠ 인 가장 작은 자연수라고 하자. 그러면 ≠ 일 때

∞

이라고 쓸 수 있다. 이때 적당한 ⟨⟩이 존재하여

∞

이므로

∞

이 된다.



만약 멱급수로 표현되는 적당한 함수 에 하여 를 계산하면 분모의 는 자연스럽게 사

라질 수도 있다. 사실 위와 같이 분모에 가 있는 경우 복소해석에서는 이것을 극(pole)이라고

부른다. 이 내용은 복소해석의 로랑 급수(Laurent series)와 관련하여 공부한다.

한편 의 멱급수를 계산할 때 와 의 멱급수를 다항식으로 생각하여 직접 나누어 계산할

수도 있다.

보기 7.7.9 sin와 cos의 멱급수를 이용하여 tan의 멱급수를 구해보자.

sin ⋯ ,

cos ⋯


⋯

⋯

⋯

⋯

⋯

⋯

⋯

⋯

⋯

⋯

⋯

따라서 tan의 멱급수는 다음과 같다.

tan

⋯ □


7.8 아벨의 정리

멱급수의 수렴 구간의 내부에서는 항별로 미분과 적분을 할 수 있지만, 수렴 구간의 경계점에서

는 이러한 계산을 할 수 있다는 보장이 없다. 그러나 이 절에서 살펴볼 아벨 판정법과 그 따름

정리에 의하면 멱급수가 수렴 구간의 경계점에서 수렴하면 경계점을 포함한 영역에서 평등수렴

하므로 이러한 계산을 할 수 있게 된다.

7.8.1 정리 Abel 판정법

함수열 ⟨⟩과 ⟨⟩이 위에서 정의되었고 이 평등수렴한다고 하자. 그리고

⟨⟩이 평등유계이며 임의의 에 하여 ≤ 이라고 하자. 이때 은 평등

수렴한다.

증명* 정리 6.3.3의 부분합 공식을 변형하면 일 때 다음을 얻는다.

여기서

이라고 하면 위 공식은

(1)

이 된다. 가 평등유계이므로 양수 이 존재하여 임의의 에 하여 이다.

이제 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 그리고 ∈라고 하자. 그러면 자연수 이 존

재하여 ≥ 일 때

을 만족시킨다. 따라서 ≥ 일 때

≤

≤

이므로 코시 판정법에 의하여 은 에서 평등수렴한다. □



7.8.2 따름정리 멱급수의 평등수렴에 관한 Abel의 정리

양수 에 하여 급수

∞

이 수렴하면 멱급수

∞

은 에서 평등수렴한

다.

증명 임의의 ∈ 에 하여

,

이라고 두면 정리 7.8.1에 의하여

∞

∞

은 에서 평등수렴한다. □

7.8.3 따름정리 컴팩트 집합 위에서 멱급수의 연속성

멱급수

∞

의 수렴반경이 이고

∞

이 수렴하면 는 에서 연

속이다.



(1) 점별수렴하는 함수열은 평등수렴한다.

(2) 평등수렴하지만 점별수렴하지 않는 함수열이 존재한다.

(3) 평등수렴하는 함수열의 극한함수는 점별극한함수와 동일하다.

(4) 멱급수의 부분합은 다항함수이다.

(5) 수렴반경은 음수일 수 없다.

(6) 멱급수는 수렴구간의 내부에서 평등수렴한다.

(7) 평등수렴하는 연속함수열의 극한함수는 리만 적분 가능하다.

2. 수열 ⟨⟩의 일반항이 다음과 같이 주어졌을 때

∞


(1)

(2)

(3)

(4) ln (5) ln

(6)


3. 수렴반경이 인 멱급수로 정의된 함수

∞

가 우함수이면 임의의 자연

수 에 하여 임을 증명하여라.

4. 함수열 ⟨⟩이 다음과 같이 주어졌을 때 ′ ′이 성립하는 의 범위를

구하여라.

(1)

cos(2)

(3)

5. 다음 등식이 성립하는 의 범위를 구하여라.

lim→∞

lim→∞

6. 구간 에서 다음과 같이 정의된 함수열 ⟨⟩이 평등수렴하는지 판정하여라.

(1)

(2)

(3) sin

(4)

(5) (6)

7. 다음 멱급수의 수렴구간을 구하여라.

(1)

∞

(2)

∞

sin

(3)

∞

(4)

∞


8. 수열 ⟨⟩의 일반항이 다음과 같이 주어졌을 때

∞


(1) ,

(2) ⋅⋅⋅⋯

⋅⋅⋅⋯

(3)

⋅⋅⋯

(4)



9. 멱급수의 성질을 이용하여 멱급수로 정의된 함수를 멱급수가 아닌 형태로 바꾸는 것을 유

한 형태로 표현한다고 부른다. 예를 들어 함수 가

⋯

로 주어졌다고 하자. 양변을 미분하면

′ ⋯이고 기하급수를 이용하면

′

를 얻는다. 따라서 양변을 다시 적분하여

ln 를 얻는다. 다음 주어진 멱급수를 유한형태로 표현하여라.

(1)

∞

(2)

∞

(3)

∞

(4)

∞

(5)

∞

(6)

∞

10. 다음과 같이 정의된 에 하여 lim→ 를 구하여라.

(1)

∞

(2)

∞

(3)

∞

(4)

∞

11. 함수열 ⟨⟩의 각 항 가 에서 단조 증가이고 ≥ 이라고 하자. 만약

가 수렴하면 다음이 성립함을 증명하여라.

∞

∞

12. 함수열 ⟨⟩의 각 항 가 에서 연속이고 ⟨⟩이 평등수렴하며 임의의

∈ 에 하여 극한함수 가 에서 연속이라고 하자. 만약 와 ⟨⟩이

에서 평등유계이면 다음이 성립함을 증명하여라.

lim→∞


13. 자연수 과 실수 에 하여 다음이 성립함을 보여라.

(1)

sinsin

cos cos

(2)

cossin

sin sin

14. 구간 의 부분구간 에서 다음 급수가 평등수렴함을 증명하여라.

sin sin

sin sin⋯

15. 가 양수일 때 급수

∞

sin는 실수 전체 구간에서 수렴하며 의 폐부분구간

에서 평등수렴함을 증명하여라.

16. 가 양수일 때 급수

∞

cos는 ≠ , ∈ℤ인 에 하여 수렴하며 의

폐부분구간에서 평등수렴함을 증명하여라.

17. 양수 , 에 하여 다음 등식이 성립함을 증명하여라.

∞

18. 수열 ⟨⟩에 하여 양수 , 가 존재하여 임의의 에 하여 가 성립하면

멱급수 의 수렴반경이 임을 증명하여라.

19. 구간 에서 으로 정의된 함수열 ⟨⟩이 평등수렴하지 않음을 증명하

여라. 일 때 폐구간 에 ⟨⟩이 평등수렴함을 증명하여라.

20. 함수열 ⟨⟩,

이 유계인 구간에서는 평등수렴하지만 유계가 아닌 구간

에서는 평등수렴하지 않음을 증명하여라.

21. 급수 이 절 수렴하면 sin와 cos는 평등수렴함을 증명하여라.

22. 함수 집합 ∈ 의 모든 원소가 평등연속이고 가 유한집합이면 ∈ 는 동

정도 연속임을 증명하여라.



23. 급수

∞

이 에서 평등수렴함을 증명하여라.

24. 수열 ⟨⟩이 감소수열이고 양항수열이며

∞

sin 가 ℝ에서 평등수렴한다고 하자.

이때 lim→∞ 임을 증명하여라.

25. sin 일 때 가 sin에 평등수렴함을 증명하여라.

26. lim→∞

sin



27. 수열 ⟨⟩가 ℕ으로부터 ∩ℚ에로의 전단사라고 하자. 그리고 에서 두 함수

열 ⟨⟩과 ⟨⟩을 다음과 같이 정의하자.

,

i f ∈ ∖ℚ i f ∃∈ℕ

(1) 두 함수열 ⟨⟩과 ⟨⟩이 에서 평등수렴함을 증명하여라.

(2) 로 정의하면 ⟨⟩은 에서 평등수렴하지 않음을 증명하

여라.

따라서 평등수렴하는 두 함수열의 곱은 평등수렴하지 않을 수 있다.

(3) 평등수렴하는 두 함수열의 곱이 평등수렴하지 않는 다른 예를 만들어 보아라.

28. 구간 위에서의 함수열 ⟨⟩이 에 평등수렴하고

,

일 때 에서 은 에 평등수렴함을 증명하여라.

29. 양항수열 ⟨⟩에 하여

∞

의 수렴반경이 이고 lim

→ 이면 급

수

∞

은 수렴하고

∞



30. 함수 가 에서 연속일 때 다음을 증명하여라.

(1) lim→∞

(2) lim→∞

31. 다음 등식을 증명하여라.

∞

sin

∞

cos

단, 양변의 식 모두가 양의 무한 에 발산하는 경우 양변이 같은 것으로 생각한다.

32. 구간 에서 함수 를 로 정의한다. 그리고 로 정의

한다. 이로써 는 정의역이 ℝ인 주기함수이다. 이제 임의의 자연수 에 하여

로 정의한다. 이때 함수급수 은 평등수렴하고 은 연속이지만 어느 곳에서

도 미분 가능하지 않음을 증명하여라.


33. 르벡(Lebesgue)의 지배 수렴 정리(Dominated Convergence Theorem)를 찾아보고 다음 명제를

정당화하여라.

평등유계인 함수열 ⟨⟩의 각 항이 에서 리만 적분 가능하고 ⟨⟩의 극한함

수 도 에서 리만 적분 가능하면

lim→∞

lim→∞

이 성립한다.

34. 연속함수공간 의 정의를 조사하고 이 공간이 완비임을 증명하여라.

35. 평등수렴에 관한 코시(Cauchy), 디리끌레(Dirichlet), 푸리에(Fourier)의 연구에 하여 조사해

보자.



바이어슈트라스수학 역사

19세기 후반 베를린의 해석학 선구자는 바이어슈트라스(Weierstrass)였다. 바이어슈트라스는

스물여섯 살에 교사 자격증을 취득한 후 12년 넘게 여러 중학교에서 가르쳤다. 그러다가

1854년 크렐레의 <잡지>에 실린 아벨 함수에 한 논문이 매우 높은 평가를 받아서 곧 베를

린 학의 교수직에 취임하였다. 그때 바이어슈트라스는 막 마흔 살이 되는 해였다. 그리하여

그는 위 한 수학자는 젊었을 때 업적을 쌓아야 한다는 통념에 한 분명한 예외가 되었다.

늦게 출발했지만 바이어슈트라스는 19세기 마지막 30년 동안에 세계의 지도적 해석학자로서

많은 사람들에게 인정받았다.

19세기 중엽 이전 사람들은 무한급수가 어떤 구간에서 연속이며 미분 가능한 함수 에

수렴한다면 원래의 급수를 항별로 미분하여 얻은 급수도 같은 구간에서 당연히 ′에 수

렴한다고 믿었다. 그러나 어떤 수학자들은 이것이 반드시 그런 것이 아니라 평등수렴이라는

조건이 필요하다고 주장했다. 특히 바이어슈트라스는 평등수렴하는 급수에 해서는 항별로

적분하여도 된다는 것을 증명하였다. 바이어슈트라스는 1857년에서 1890년 직무에서 물러나

기까지 거의 한 세 에 걸쳐 학생들에게 무한급수 전개를 주의해서 이용하라고 계속 강조했

다.

바이어슈트라스가 해석학에 이바지한 다른 중요한 것은 해석적 연속(analytic continuation)이

다. 복소평면 위의 점 에 관한 함수 의 무한급수 전개는 중심이 이고 에 가장 가까

운 특이점을 지나는 원 내부의 모든 점에서 수렴한다. 여기서 똑같은 함수를 원 의 바

깥의 점 에 관하여 전개할 때, 이 급수는 를 중심으로 하여 에 가장 가까운 특이점을

지나는 원 의 내부에서 수렴한다. 그때 이 원 는 원 의 외부점도 포함하고, 따라서

함수 가 멱급수에 의하여 해석적으로 정의되는 평면의 영역은 넓어진다. 그리고 그 과정은

다른 원에서도 계속할 수 있다. 이런 점에서 바이어슈트라스는 해석적 함수를 하나의 멱급수

와 이 급수에서 해석적 접속으로 얻을 수 있는 급수 전체로 정의하였다. 바이어슈트라스의

이와 같은 연구가 특히 수리물리학 분야에서 중요하게 생각되는 이유는, 수리물리학에서는

미분방정식의해가 주로 무한급수로 나타나기 때문이다.

바이어슈트라스의 영향력은 강의와 출판물을 통해서 발휘된 것과 마찬가지로 학생들을 통해

서도 나타났다. 미분방정식 분야에서 이 영향력은 푹스(Lazarus Fuchs)에게도 미쳤다. 프랑스

수학자 브리오와 부케의 연구와 초기하 방정식에 한 리만의 논문을 바탕으로 푹스는 복소

수 영역에서 선형 상미분방정식의 확장 특이점들을 체계적으로 연구하기 시작했다. 또다른

제자인 슈바르츠(H. A. Schwarz)는 사상(mapping)에 관한 문제에 관심이 많았으며, 특히 리만

이 디리끌레의 원리를 이용한 것에 해 바이어슈트라스가 비판했던 것에 영향을 받았다. 슈

바르츠는 리만 사상정리를 유효하게 하기 위하여 매우 유용한 도구인 반사 원리(reflection

principle)와 교 과정(alternating process)을 찾았다.

302

⋯

⋯

⋯

cos sin

′d

제 8 장 실해석적 함수

제 8 장

실해석적 함수

멱급수는 다항 함수열의 극한으로 생각할 수 있다. 또한 멱급수는 수렴 구간의 내부에서 연속이

고 항별로 미분하거나 적분할 수 있으므로 마치 거 한 다항식처럼 다룰 수 있다. 따라서 만약

어떠한 함수를 멱급수로 나타낼 수 있다면 그 함수는 다항식과 비슷하게 다룰 수 있게 된다. 이

장에서는 함수를 멱급수로 표현하고 그 성질을 살펴본다.

8.1 테일러 급수와 해석적 함수

멱급수 의 수렴 영역의 점 에 하여

∞

으로 정의하자. 이때 의 도함수를 이용하여 ⟨⟩을 구해보자.

⋯

′ ⋯ ″ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋯

⋮

⋯

이므로

′ ″

⋮

이다. 따라서

이다. 더욱이 만약 수열 ⟨⟩에 하여

∞

이라면

이므로 ⟨⟩과 ⟨⟩은 동일하다. 따라서 어떠한 함수를 멱급수로 표현할 수 있다면 그러한

형태는 유일하다.

Ⅷ 실해석적 함수

303디자이너앨리스8.1 테일러 급수와 해석적 함수

함수 가 에서 임의 횟수로 미분 가능하면 테일러 정리에 의하여

′

⋯

이다. 우변에서 나머지항 을 제외한 테일러 전개 다항식을 라고 하면

가 된다. 따라서 에서 lim→∞ 임을 보이면

∞

이 된다. 특히 위와 같은 멱급수 표현은 유일하므로 어떠한 함수의 멱급수를 구하는 것은 테일

러 전개식을 구하는 것과 동일하다. 이것을 중심이 인 멱급수에 적용하면 다음과 같다.

8.1.1 정리 Taylor 급수

가 실수이고 이 양수이며 함수 가 에서 임의 횟수로 미분 가능하다고

하자. 에서 의 차 테일러 전개의 나머지 항 이 에 수렴하면, 즉

lim→∞ 이면 는 에서

∞

과 같은 멱급수로 표현된다. 이 급수를 중심이 인 테일러 급수라고 부른다. 한편 중심이

인 테일러 급수를 맥클라린 급수(Maclaurin series)라고 부른다.

뉴턴은 미적분학과 관련하여 그의 이론을 전개하는 과정에서 무한 급수도 유한 다항식과 거의

마찬가지로 다룰 수 있다는 것을 발견하였다. 즉 무한 급수에 의한 해석에는 동일한 내적 일관

성이 있고 유한량의 수학과 같은 일반법칙을 따른다는 점이다. 따라서 무한 급수는 함수의 근

사일 뿐만 아니라 함수와 동치라고 간주하게 되었다. 뉴턴은 자신의 논문에서 다음과 같이 말하

고 있다(1711).

항의 개수가 유한인 방정식을 이용하여 일반적인 해석(곧, 수)이 할 수 있는 어떠한 계산

도 이 새로운 방법으로 무한 방정식을 써서 할 수 있다. 따라서 나는 이 방법에 해석

(analysis)이라는 이름을 붙이는 것에 아무런 망설임도 없을 것이다. 왜냐하면 이것에 포함

되어 있는 논리는 다른 어떤 논리에 비해 결코 불확실한 것이 아니고, 무한방정식도 부정확

한 것이 아니기 때문이다. 비록 아주 한정된 논증 능력밖에 없는, 수명이 짧은 우리 인간에

게는 그러한 방정식의 모든 항을 쓰거나 구하는 양을 상상해서 정확하게 알 수 없으나 …

결론을 내리면 이 새로운 방법은 이른바 ‘해석술(analytic art)’에 속한다고 할 수 있다.

304 제 8 장 실해석적 함수

이러한 관점에서 함수의 해석성을 다음과 같이 정의할 수 있다.

8.1.2 정의 해석적 함수

함수 와 의 정의역의 내점 에 하여 양수 와 수열 ⟨⟩이 존재하여 개구간

에서

∞

이면 는 에서 해석적이다(analytic)라고 말한다.

또한 정의역의 모든 점에서 해석적인 함수를 해석적 함수라고 부른다.

함수 가 에서 해석적이면 멱급수의 성질에 의하여 는 에서 임의 횟수로 미분 가능하다.

그러나 미분 가능한 함수가 항상 해석적인 것은 아니다.

보기 8.1.3 함수 ℝ →ℝ를 다음과 같이 정의하자.

i f ≠ i f

임의의 에 하여 임을 보이자. 먼저 ≠일 때에는

′ , ″

이다. 이제 자연수 에 하여 에 한 유리식 가 존재하여 의 분모의 차수가 분자의

차수보다 더 크고

을 만족시킨다고 하자. 그러면

′

′

이다. 여기서

′

라고 하면 은 분모의 차수가 분자의 차수보다 더 큰 유리식이 되고

이 된다. 따라서 수학적 귀납법에 의하여 ≠일 때 임의의 에 하여 분모의 차수가 분모의

차수보다 더 큰 유리식 이 존재하여 이 된다.


305디자이너앨리스8.1 테일러 급수와 해석적 함수

한편

′ lim→

이고 자연수 에 하여 이라고 가정하면

lim→

lim→

이므로 수학적 귀납법에 의하여 임의의 자연수 에 하여 을 얻는다.

이로써 는 ℝ에서 임의 횟수로 미분 가능하다는 것이 증명되었다.

만약 가 에서 해석적이라면

∞

인 수열 ⟨⟩이 존재한다. 이때 테일러 정리

에 의하여

이 되므로 양수 가 존재하여 ∈ 일 때

∞

∞

이다. 이것은 모순이므로 는 에서 해석적이 아니다. □

위 보기에서 함수 가 에서 멱급수로 표현될 수 없는 이유를 직관적으로 설명하면 다음과 같

다. 본래 exp 로 정의된 지수함수 exp는 다음과 같은 멱급수로 표현된다.

exp ⋯

이 급수는 유계인 구간에서는 평등수렴하지만 유계가 아닌 구간에서는 평등수렴하지 않는다. 한

편 의 근방에서

exp

이므로 가 에 가까이 다가가면 exp가 평등수렴하는 범위를 벗어나게 된다. 따라서 멱급수로

표현되지 않는다. □

집합 위에서 번 미분 가능하고 그 계 도함수가 연속인 함수들의 모임을 로 나타낸

다. 또한 위에서 임의 횟수로 미분 가능한 함수들의 모임을 ∞로 나타낸다. 그리고 집합

위에서 해석적인 함수들의 모임을 로 나타낸다.


만약 가 실수 집합의 부분영역이면 의 원소를 실해석적 함수(real analytic function)라고

부르며 가 복소수 집합의 부분영역이면서 실수 집합의 부분이 아니면 의 원소를 복소해

석적 함수(complex analytic function 또는 holomorphic function)라고 부른다.

앞의 보기 8.1.3에 의하면 미분 가능하여도 실해석적이지 않은 함수가 존재한다. 따라서 가 실

수 집합의 부분영역일 때 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

⊋ ⊋ ⊋⋯⊋ ⊋ ⊋⋯⊋∞ ⊋참고로 가 복소수 집합의 부분영역이고 실수 집합의 부분이 아닐 때에는 다음과 같은 포함관

계가 성립한다.

⋯ ⋯ ∞

즉 영역 위에서 미분 가능한 임의의 복소함수는 복소해석적이다. 이것이 실해석성과 복소해석

성의 차이이다. 관련 내용은 복소해석에서 코시 정리와 함께 공부한다.

한편 함수가 해석적일 필요충분조건을 다음과 같이 제시할 수 있다.

8.1.4 정리 해석적 함수의 조건

함수 가 의 근방에서 정의되었다고 하자. 가 에서 해석적일 필요충분조건은 가 의

근방에서 임의 횟수로 미분 가능하고, 양수 와 가 존재하여 임의의 자연수 과

인 임의의 에 하여 다음을 만족시키는 것이다.

≤

(1)

증명 (⇒ ) 먼저 가 에서 해석적이라고 하자. 그러면 는 의 근방에서 멱급수로 표현되므

로 당연히 임의 횟수로 미분 가능하다.

이제 (1)을 만족시키는 양수 과 의 존재성을 증명하자. 가 멱급수

∞

로 표현되고 이 등식이 에서 성립한다고 가정하자. 의 계 도함수를 구하면

∞

이다. 이제 이라고 하자. 가 수렴하므로 양수 가 존재하여 임의의 자

연수 에 하여 를 만족시킨다. 따라서 일 때

≤

∞


307디자이너앨리스8.2 지수함수

≤

이므로 정리의 부등식을 얻는다.

(⇐ ) 함수 가 의 근방에서 임의 횟수로 미분 가능하고 양수 , 가 존재하여 (1)의

부등식을 만족시킨다고 가정하자. 그러면 테일러의 정리에 의하여

를 얻는다. 여기서 은 의 차 테일러 다항식이고 은 과 의 오차이다. 이제

를 만족시키는 실수 에 하여 인 가 존재하여

lim→∞ lim

→∞

≤ lim→∞

lim→∞

이므로 는 에서 해석적이다. □

8.2 지수함수

우리는 1장에서 양수 와 실수 에 하여 를 정의하였다. 이때 로 정의되는 함

수 를 지수함수라고 부른다. 이 절에서는 멱급수를 이용하여 지수함수를 정의하고 그 성질을

살펴본다.

8.2.1 정의 지수함수

지수함수 exp를 임의의 실수 에 하여

exp

∞

⋯


비 판정공식을 이용하면

lim→∞

∞

이므로 지수함수는 모든 실수 에 하여 정의됨을 알 수 있다.


멱급수의 곱을 이용하면 실수 , 에 하여

exp exp

∞

∞

∞

∞

exp

를 얻는다. 정의에 의하여 exp 이므로

exp exp exp exp 이다. 그런데 exp는 연속이므로 임의의 에 하여 exp ≠ 이고

exp exp

이다. 또한 exp를 미분하면

exp′

∞

∞

exp

가 된다. 그런데 exp 이고 exp가 연속이며 exp ≠ 이므로 중간값 정리에 의하여

임의의 에 하여 exp 이다. 이상을 요약하면 다음과 같다.

8.2.2 정리 지수함수의 성질

함수 exp는 다음과 같은 성질을 가진다.

(ⅰ) exp는 ℝ에서 연속인 함수이다.

(ⅱ) 임의의 실수 , 에 하여 exp exp exp 이다.

(ⅲ) 임의의 실수 에 하여 exp exp

이다.

(ⅳ) exp′ exp 이다.

(ⅴ) 임의의 실수 에 하여 exp 이다.

(ⅵ) exp는 증가 함수이다.

지수함수의 정의와 정리 2.4.10에 의하여

exp

∞

이다. 따라서 자연수 에 하여 다음을 얻는다.

exp exp times

⋯

timesexpexpexp⋯ exp

times

⋅⋅⋅⋯

.


309디자이너앨리스8.2 지수함수

또한 음의 정수에 해서는

exp exp

이다. 그리고 정수 과 자연수 에 하여

이라고 했을 때

exp

timesexp exp exp ⋯ exp

exp

이므로 exp 이다. 따라서 임의의 유리수 에 하여

exp 이다. 이를 이용하여 다음을 증명한다.

8.2.3 정리 지수함수와 지수의 관계

임의의 실수 에 하여 exp 이다.

증명 먼저 가 유리수인 경우는 이미 증명하였다. 이제 가 무리수라고 하자.

⟨⟩을 에 수렴하고 증가하는 유리수열이라고 하자. 그리고 양수 이 임의로 주어졌

다고 하자. 실수 지수의 정의와 상한의 성질에 의하여

을 만족시키는 유리수 가 존재한다. 특히 이다.

따라서 인 자연수 이 존재한다. 이때 이면

이므로

lim→∞

이다. 한편 exp는 연속이고 ⟨⟩의 모든 항이 유리수이므로 다음을 얻는다.

exp lim→∞

exp lim→∞ . □

양수 에 하여

exp

∞

이고 lim→ ∞

∞이므로 조임 정리에 의하여 다음을 얻는다.

lim→ ∞

∞ .


이것은 더욱 일반화될 수 있다. 자연수 이 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 양수 에 하여

⋯

⋯

≥

이다. 따라서

≥

이므로 조임 정리에 의하여

lim→ ∞∞

이다. 즉 → ∞일 때 는 어떠한 다항식보다도 빨리 증가한다. 한편

lim→ ∞

lim→ ∞

lim→ ∞

이다. exp는 증가 함수이고 exp 이므로 exp의 치역은 ∞이 된다. 이상을 요약하

면 다음과 같다.

8.2.4 정리 지수함수의 성질

함수 exp는 다음과 같은 성질을 가진다.

(ⅰ) 임의의 자연수 에 하여 lim→ ∞

∞이다.

(ⅱ) lim→ ∞

이다.

(ⅲ) exp의 치역은 ∞이다.

8.3 로그함수

함수 exp는 정의역이 ℝ이고 치역이 ∞인 증가 함수이다. 따라서 일 일 응이고 그 역

함수가 존재한다.

8.3.1 정의 자연로그함수

정의역이 ∞이고 공역이 ℝ인 함수 ln을

ln exp 로 정의한다. 이때 ln을 자연로그함수라고 부른다.


311디자이너앨리스8.3 로그함수

지수함수 exp의 성질에 의하여 다음을 얻는다.

8.3.2 정리 자연로그함수의 성질

자연로그함수는 다음과 같은 성질을 가진다.

(ⅰ) ln은 증가 함수이고 연속이다.

(ⅱ) ln은 미분 가능하고 ln ′

이다.

(ⅲ) ln 이고 ln 이다.

(ⅳ) 임의의 양수 , 에 하여 ln ln ln이다.

(ⅴ) 양수 와 실수 에 하여 ln ln이다.

(ⅵ) lim→

ln ∞이고 lim→ ∞

ln ∞이다.

증명 (ⅰ) exp가 증가 함수이고 연속이므로 그 역함수도 증가 함수이고 연속이다.

(ⅱ) ln라고 하면 역함수의 미분 공식에 의하여 다음을 얻는다.

ln exp′

(ⅲ) exp , exp 이므로 ln , ln 이다.

(ⅳ) 양수 , 에 하여

expln explnexpln expln ln

이고 exp가 일 일 응이므로 다음을 얻는다.

ln ln ln(ⅴ) 양수 와 실수 에 하여

expln expln exp ln 이고 exp가 일 일 응이므로 다음을 얻는다.

ln ln(ⅵ) exp의 치역이 ∞이고 lim

→ ∞exp 이므로

lim→

ln ∞이다. 또한 lim

→ ∞exp ∞이므로 다음을 얻는다.

lim→ ∞

ln ∞ □


로그 함수의 성질에 의하여

ln

이고 ln 이므로

ln

이다. 따라서 ln은 바로 미적분학에서 공부하였던 자연로그 함수이다.

함수 exp는 ln의 역함수이므로 양수 와 실수 에 하여

expln exp ln ln

이다. 따라서 다음을 얻는다.

8.3.3 정리 지수의 확장

양수 와 실수 에 하여 ln이다.

위 정리와 정리 8.3.2를 결합하면 다음과 같은 실수 지수법칙을 얻는다.

8.3.4 정리 실수 지수 법칙

양수 , 와 실수 , 에 하여 다음이 성립한다.

(ⅰ) (ⅱ) (ⅲ)

증명 로그함수의 성질에 의하여

ln ln ln ln ln ln ln ,ln ln ln ln ln ln ln ln ln ,ln ln ln ln

이고 ln이 일 일 응이므로 정리의 등식을 얻는다. □

이제 일반적인 로그 함수를 정의하자.

8.3.5 정의 로그함수

이 아닌 양수 와 양수 에 하여 로그 함수를

log lnln

로 정의한다. 여기서 를 log의 밑이라고 부른다. 밑이 인 로그 함수는 상용 로그라고

부르고 밑을 생략하여 log로 표기한다.


313디자이너앨리스8.4 삼각함수

8.3.6 정리 지수함수와 로그함수의 미분

일 때 지수함수와 로그함수의 미분은 다음과 같다.

(ⅰ) ln (ⅱ)

log ln

증명 (ⅰ) 연쇄법칙에 의하여 다음을 얻는다.

ln ln ln ln.

(ⅱ) log

lnln ln

. □

참고로 자연로그함수는 인 범위에서 다음과 같이 멱급수로 나타낼 수 있다.

ln

∞

그러나 수렴반경이 너무 작기 때문에 이것을 로그함수의 정의로 사용하지는 않는다.

8.4 삼각함수

중등학교에서는 삼각함수를 단위원과 동경의 개념을 이용하여 기하학적으로 정의한다. 그러나

여기서는 멱급수를 이용하여 해석적으로 정의한다.

8.4.1 정의 삼각함수

사인과 코사인을 임의의 실수 에 하여 다음과 같이 정의한다.

sin

∞

⋯ ,

cos

∞

⋯ .

이제 두 함수 sin과 cos이 중등학교에서 공부한 성질을 모두 가지고 있으며, 또한 그러한 성질

을 가지고 있는 함수가 유일함을 보임으로써 이 정의를 정당화할 것이다.

먼저 정의에 의하여 명백히 sin , cos 이다. 그리고 임의의 에 하여

sin sin , cos cos이다.


두 함수를 미분하면

sin

∞

∞

∞

∞

cos ,

cos

∞

∞

∞

∞

∞

sin

이므로 sin′ cos , cos′ sin를 얻는다.

이제 sin cos라고 하자. 여기서 sin sin , cos cos 이다. 그

러면

′ sin cos cos sin 이므로 는 상수함수이다. 그런데 이므로 임의의 에 하여 이다. 따라서

임의의 에 하여

sin cos 을 얻는다. 다음 정리는 사인 함수와 코사인 함수가 우리가 중등학교에서 공부했던 함수와 동일

함을 설명한다.

8.4.2 보조정리 사인 함수와 코사인 함수의 유일성

(ⅰ) 함수 ℝ →ℝ가 ″ , , ′ 를 만족시키면 임의의 에

하여 sin를 만족시킨다.

(ⅱ) 함수 ℝ →ℝ가 ″ , , ′ 를 만족시키면 임의의 에

하여 cos sin를 만족시킨다.

증명 (ⅰ) 함수 와 를

sin ′ cos ,

cos ′ sin라고 정의하면 ′ 이고 ′ 이므로 다음을 얻는다.

sin ′ cos , cos ′ sin .


315디자이너앨리스8.4 삼각함수

따라서 다음이 성립한다.

sin sin sin ′ cos cos ′ sin cos cos cos ′ sin .

(ⅱ) 함수 를

cos로 정의하면 ″ 이고 , ′ 이므로 (ⅰ)에 의하여 sin이

다. 따라서

cos sin를 얻는다. □

이상을 요약하면 다음과 같다.

8.4.3 정리 삼각함수의 성질

사인 함수와 코사인 함수는 다음과 같은 성질을 가진다.

(ⅰ) sin과 cos은 ℝ에서 미분 가능하고 sin′ cos , cos′ sin이다.

(ⅱ) sin cos 이다.

(ⅲ) ″ , , ′ 인 함수 는 sin로서 유일하다.

(ⅳ) ″ , , ′ 인 함수 는 cos로서 유일하다.

다음 정리는 삼각함수의 값을 계산하는 데에 유용하게 사용된다.

8.4.4 정리 삼각함수의 덧셈정리

임의의 실수 , 에 하여 다음이 성립한다.

(ⅰ) sin sin cos sin cos(ⅱ) cos cos cos sin sin

증명 실수 가 임의로 주어졌다고 하자. sin 라고 하면 ″ , sin , ′ cos이므로 정리 8.4.2에 의하여

sin cos sin cos를 얻는다. 여기서 를 에 하여 미분하면

cos ′ cos cos sin sin를 얻는다. □


코사인 함수의 정의에 의하여 다음을 얻는다.

cos ⋯

여기서 교 급수의 오차의 한계 공식에 의하여 다음을 얻는다.

cos ≤

따라서 cos 이다. 또한 cos 이고 코사인 함수는 연속함수이므로 중간값 정리에 의하

여 cos 을 만족시키는 가 에 존재한다.

8.4.5 정의 원주율

원주율을 in f cos 으로 정의한다.

코사인 함수가 연속이므로 cos 는 폐집합이다. 따라서 이다.

정의에 의하여 cos 이고 또한

cos sin

이므로 sin

의 값은 이거나 이 되어야 한다. 그런데 에서 cos 이고 또한

이 구간에서 sin은 증가 함수이므로 sin 이다. 덧셈정리를 이용하면

cos cos sin

sin

이고 같은 방법으로 sin , cos , sin 이다. 다시 덧셈정리를 이용하면

cos cos , sin sin ,

cos sin , sin

cos를 얻는다. 따라서 다음 정리를 얻는다.

8.4.6 정리 삼각함수의 주기성

사인 함수와 코사인 함수는 주기가 인 주기함수이다.


317디자이너앨리스8.5 감마함수

8.5 감마함수*

앞서 1장에서 음이 아닌 정수 의 계승 을 정의하였다. 이 절에서는 이 함수의 정의역을 정

수의 범위에서 양의 실수의 범위로 확장한 함수를 소개하고자 한다.

8.5.1 정의 감마함수

감마함수 를 임의의 양수 에 하여 다음과 같이 정의한다.

∞

감마함수를 정의한 식은 과 양의 무한 에서 특이점을 갖는 특이적분이다. 따라서 특이적분이

수렴하는지 먼저 살펴보자.

두 함수 과 를

,

∞

로 정의하자. 그러면 이다.

이제 가 임의로 주어진 양의 실수라고 하자. 그러면 인 두 실수 , 가 존재

한다. 라고 하자. 만약 ≤ ≤ 이면

≤

이고 ≥ 이면

≤

이다. 그런데 두 적분

,

∞

가 모두 에서 수렴하므로 과 는 에서 수렴한다. 따라서 이들 두 함수는

에서 연속이다. 가 에서 연속이므로 는 당연히 에서 연속이다. 가 임의로

주어진 양수이므로 는 ∞에서 연속이다. 또한 과 가 평등수렴하고 각각의 피적분

함수가 임의 횟수로 미분 가능하므로 함수 도 임의 횟수로 미분 가능하다. 이상을 정리하면

다음과 같다.

8.5.2 정리 감마함수의 성질

감마함수는 ∞에서 정의된 연속함수이며 임의 횟수로 미분 가능하다.


치환적분을 이용하면 다음 등식을 얻는다.

∞

(1)

양수 에 하여 을 계산해보면 다음을 얻는다.

∞

∞

∞

.

여기에 수학적 귀납법을 이용하면 임의의 자연수 에 하여

⋯ (2)

를 얻는다. 그런데

∞

∞

이므로 다음 공식을 얻는다.

8.5.3 정리 감마함수와 계승의 관계

음이 아닌 정수 에 하여 이다.

위와 같은 성질 때문에 을 또는 로 표기하기도 한다. 가 음의 실수인 경우

는 발산하기 때문에 인 경우에만 가 정의된다. 따라서 음의 실수에 해서는

를 각자 마음 로 정의하여 사용할 수 있다. 그러나 앞서 살펴본 감마 함수의 성질이 그

로 유지되도록 정의하는 것이 좋을 것이다. 예를 들어 (2)에 의하여 양수 에 하여

을 얻는다. 여기서 우변은 에서 정의되므로 이 구간에서 를 이와 같이 정의하는

것이 자연스럽다. 또한

이므로 구간 에서는 위와 같이 정의하는 것이 자연스럽다. 이러한 방법으로 음의 정

수가 아니고 도 아닌 모든 점 에 하여 를 정의할 수 있다.

감마 함수와 관련 깊은 함수로서 베타 함수가 있다.

8.5.4 정의 베타함수

베타함수 를 임의의 두 실수 , 에 하여 다음과 같이 정의한다.


319디자이너앨리스8.5 감마함수

베타 함수의 성질을 간단하게 살펴보자. ―판정법을 이용하면 , 일 때 가 연속이

라는 사실을 증명할 수 있다. 한편 의 정의에서

,

라고 하면 두 양수 , 에 하여

∞

(3)

를 얻는다. 이제 이와 같은 사실을 이용하여 감마 함수와 베타 함수의 관계를 밝힌다.

8.5.5 정리 감마함수와 베타함수의 관계

임의의 두 양수 , 에 하여 다음이 성립한다.

증명* 먼저 (1)에 의하여 다음을 얻는다.

∞

∞

위 식의 양변에 의 적분을 곱하면

∞

∞

∞


∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

여기서 ≠ 이므로 양변을 로 나누면 정리의 등식을 얻는다. □


8.6 라플라스 근사화와 스탈링 공식*

이 절에서는 적분으로서 정의된 함수의 변수가 매우 커질 때 함수의 값의 크기를 추정하는 라플

라스의 방법을 살펴본다. 또한 이 방법을 이용하여 이 매우 커질 때 이 얼마나 커지는지 알

아보자.

만약 가 무한히 커짐에 따라 의 값과 의 값의 비가 거의 같아진다면

lim→ ∞

이 성립할 것이다. 이것을 ～ 로 표기하며 는 에 근사하다고 말한다. 이것은 두 식의

근사가 두 극한 lim 와 lim 가 각각 수렴하는지 여부에는 의존하지 않음을 의미한

다. 예를 들어 lim→ ∞

cos ∞ , lim→ ∞

∞이지만

lim→ ∞

cos

lim→ ∞

cos

이므로 → ∞일 때 cos는 에 근사하다고 할 수 있다.

8.6.1 보조정리 적분 함수의 근사

, 가 양수이면 → ∞일 때 다음이 성립한다.

～

증명 라고 하면 의 정의에 의하여

를 얻는다. 따라서 → ∞일 때

→

∞

이므로 양변을 로 나누면 정리의 결론을 얻는다. □

이제 이 절의 주제가 되는 정리를 소개한다.


321디자이너앨리스8.6 라플라스 근사화와 스탈링 공식

8.6.2 정리 Laplace의 근사화

함수 가 다음 네 조건을 만족시킨다고 하자.

(ⅰ) 에서 의 2계 도함수가 연속이다.

(ⅱ) 에서 가 증가한다.

(ⅲ) ′ 이고 ″ 이다.

(ⅳ) 적당한 가 존재하여

가 수렴한다.

그러면 인 임의의 에 하여 가 존재하고 또한 → ∞일 때

～ ″

가 성립한다.

증명 먼저 인 실수 에 하여

≤

가 성립하므로 비교 판정법에 의하여 가 수렴한다.

이제 ″을 만족시키는 실수 이 임의로 주어졌다고 하자. ″이 연속이므로

인 가 존재하여 ≤ ≤ 일 때마다

″ ≤ ″ ≤ ″ (1)

을 만족시킨다. 이제 두 함수 과 를 다음과 같이 정의하자.

,

그러면 가 성립한다. 먼저 가 단조이므로 실수 ∈ 에 하

여 ≥ 가 성립한다. 따라서 ≥ 일 때 다음을 얻는다.

≤ ≤

이로써

≤

≤

가 성립하므로 ≥ 일 때

≤ ≤ (2)

를 얻는다. 이제 ≤ ≤ ≤ 인 실수 와 에 하여

′ ″

을 얻는다.


그런데 ′ 이므로 다음을 얻는다.

″

위 등식과 (1)을 결합하면

″ ≤ ≤

″

이 성립하므로

″ ≤ ≤ ″

이다. 이 부등식의 각 변을 적분하면

″ ≤ ≤

″ (3)

를 얻는다. 이제 (2)와 (3)을 결합하면 ≥ 일 때 다음을 얻는다.

″ ≤ ≤

″ (4)

(4)의 각 변에 를 곱하고 → ∞인 극한을 취하면 보조정리에 의하여

→

임을 알 수 있다. 따라서

″

≤

lim→ ∞

≤lim→ ∞

≤ ″

가 성립한다. 여기서 은 ″을 만족시키는 임의의 양수이므로 결국

lim→ ∞

″

가 성립함을 알 수 있다. □

보기 8.6.3 라플라스 근사 정리를 이용하여 → ∞일 때

cos

로 정의된 함수 의 근사식을 구해보자. 만약 cos라고 하면 ≠ 이므로 라플라

스 근사 정리를 사용할 수 없다. 따라서 cos라고 하자.

cos

cos

라고 하면 라플라스의 근사 정리에 의하여

cos ～

이다.



따라서 결국

～

를 얻는다. □

8.6.4 따름정리 부정적분의 라플라스 근사

함수 가 라플라스 근사 정리의 네 조건을 만족시키고 가 에서 연속이라고 하자.

만약 특이적분

가 일 때 절 수렴하면 일 때 가 수렴하고 다음이 성립한다.

～ ″

증명 먼저 인 실수 에 하여

≤

이므로 비교 판정법에 의하여 는 절 수렴한다. 이제 앞의 정리에서와 같이

,

라고 하면 이다. 임의로 주어진 양수 에 하여 ≥ 라고 하

고

라고 하자. 그러면 다음을 얻는다.

≤

≤

(5)

양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 양수 가 존재하여 ≤ ≤ 일 때

≤ ≤

이 성립한다. 각변에 를 곱한 뒤 에 하여 적분하면

≤ ≤

(6)

이다. 한편

≤ ≤ (7)

가 성립한다.


따라서 (5), (6), (7)로부터

≤

≤

를 얻는다. 각 변에 를 곱하고 라플라스 근사 정리를 적용하면 → ∞일 때

″

≤

lim→ ∞

≤lim→ ∞

≤ ″

를 얻는다. 그런데 이 임의의 양수이므로

lim→ ∞

″

를 얻는다. □

이제 라플라스 근사 정리를 감마함수에 적용해보자.

∞

에서 로 치환하면

∞

∞

이다. 여기서

,

∞

라고 하면

∞

가 된다. 먼저 을 조사해보면

ln

이다. 여기서 ln 라고 하면 ≤ 일 때

′

≥ , ″

이며 특히 ″ 이다. 따라서 라플라스 근사 정리에 의하여

～

이다.



같은 방법으로 를 조사해보면 다음을 얻는다.

～

이로써

～

이므로 다음과 같은 결론을 얻는다.

8.6.5 정리 감마함수의 Stirling 형태

→ ∞일 때 다음이 성립한다.

～

위 근사화에서 으로 쓰면 다음을 얻는다.

8.6.6 따름정리 Stirling 공식

lim→∞

위 정리는 복잡한 분수식에서 , 또는 을 치환하여 식을 간단하게 만드는 데에 사용된다.

보기 8.6.7 다음과 같은 무한 급수가 수렴하는지 알아보자.

∞

스탈링 형태를 변형하면

～


～

～

이므로

∞

～

∞

이고 -급수 판정법에 의하여 주어진 급수는 수렴한다. □



1. 해석적 함수에 관한 다음 진술의 참 ․ 거짓 여부를 판별하여라.

(1) 두 해석적 함수의 합은 해석적 함수이다.

(2) 두 해석적 함수의 곱은 해석적 함수이다.

(3) 해석적 함수의 도함수는 해석적 함수이다.

(4) 해석적 함수의 부정적분은 해석적 함수이다.

(5) 두 해석적 함수의 분수식은 해석적 함수이다.

2. [로그 미분법] 함수가 곱과 분수로 복잡하게 정의되어 있을 때 로그를 이용하여 쉽게 계산

할 수 있다. 함수 가

로 정의되었다고 하자. 다음 순서에 따라서 를 미분하여라.

(1) 양변에 로그를 취한다.

(2) 로그의 성질을 이용하여 우변을 네 개의 로그의 합으로 바꾼다.

(3) 양변을 에 하여 미분한다. 그러면 좌변은 ′ 가 된다.

(4) 양변에 를 곱한다.

3. 다음과 같이 정의된 함수 의 맥클라린 급수를 구하여라.

(1) tan (2)

(3) (4) cosh(5) ln

(6)

(7)

cos (8)

sin


4. lim→∞sin


5. 부정적분 를 구하여라.

6. 함수 가 ∞에서 로 정의되었을 때 ′을 구하여라. 이것을 일반화하여

미분 가능한 두 함수 , 에 하여 로 정의된 함수 의 도함수를 구

하여라.



7. 두 함수 , 가 ∞에서 정의되었고 음이 아닌 실수값을 취하며 →∞일 때

～ 라고 하자. 이때 급수

∞

이 수렴하면 급수

∞

도 수렴함


8. 사인 함수의 역함수 sin 와 코사인 함수의 역함수 cos 의 도함수를 구하여라.

9. 정리 6.4.3에서 이 수렴한다는 조건을 추가하면 이 절 수렴한다는 조건을 수렴

한다는 조건으로 바꾸어도 정리의 결과가 성립함을 증명하려고 한다. ≤ ≤ 의 범위에

서 세 함수 , , 를 다음과 같이 정의하자.

∞

,

∞

,

∞

(1) ≤ 일 때 임을 증명하여라.

(2) 아벨의 정리를 이용하여 임을 증명하여라.

(3)

∞

∞

∞


10. 오일러 상수 에 하여 쌍곡삼각함수를 다음과 같이 정의한다.

sinh

, cosh

즉 지수함수 exp를 기함수와 우함수의 합으로 표현했을 때 기함수 부분을 쌍곡사인함수,

우함수 부분을 쌍곡코사인함수로 정의한 것이다.

(1) sinh sinh cosh , cosh cosh sinh임을 증명하여라.

(2) sinh와 cosh의 역함수를 구하고 그 도함수를 구하여라.

11. 탄젠트 함수는

tan cossin

로 정의된 함수이며 역탄젠트 함수 tan 는 탄젠트 함수의 역함수이이다.

(1) 다음 역탄젠트 함수의 미분 공식을 증명하여라.

tan

(2) 기하급수를 이용하여 위 등식의 우변을 멱급수 전개하여라.

(3) 양변의 부정적분을 구하여 역탄젠트 함수의 멱급수를 구하여라.

(4) 구한 멱급수가 일 때 수렴함을 증명하여라.

(5) 아벨의 정리를 이용하여 다음 라이프니츠 원주율 공식을 증명하여라.

⋯


12. 정의역이 ∞인 함수들의 모임에서 근사 ～가 동치 관계임을 증명하여라.

13. 함수 →ℝ가 연속인 도함수를 가지면

lim→∞

cos 이 성립함을 증명하여라.


14. 실수 와 음이 아닌 정수 에 하여 이항계수를

⋯ i f ≠

i f 으로 정의한다.

∞

, 에 하여 다음 물음에 답하여라.

(1) ′ 임을 보이고 이 미분방정식을 풀어라.

(2) 임을 증명하여라. 이 등식을 뉴턴(Newton)의 이항정리라고 부른다.

15. 두 함수 와 가 에서 리만 적분 가능하다고 하자. 그리고 두 양수 , 가

을 만족시킨다고 하자. 다음 물음에 답하여라.

(1) 로그함수가 오목함수임을 증명하고 이를 이용하여 다음 부등식을 유도하여라.

ln ln

ln ≤ ln

(2) ≥ , ≥ 일 때, 로그 함수가 증가 함수라는 사실과 (1)을 결합하여 다음 부등식

을 유도하여라. 이 부등식을 영(Young)의 부등식이라고 부른다.

≤

(3) 함수 에 하여

라고 정의하자. 이때 (2)를 이용하여 다음을 유도하여라.

≤



(4) 앞의 (3)을 이용하여 다음을 유도하여라.

≤

이 부등식을 횔더(Hölder)의 부등식이라고 부른다.

16. 수열 ⟨⟩을 다음과 같이 정의하자.

sin , ≥

(1) ⟨⟩이 감소수열임을 증명하여라.

(2) 부분적분과 수학적 귀납법을 이용하여 다음 등식이 성립함을 증명하여라.

⋅⋅⋯ ⋅⋅⋯

⋅

, ⋅⋅⋯ ⋅⋅⋯

(3) ⟨⟩이 감소라는 사실을 이용하여 다음 부등식이 성립함을 증명하여라.

⋅⋯ ⋅⋯

⋅⋯ ⋅⋯

⋅⋅⋯ ⋅⋯

(4) 조임 정리를 이용하여 다음 웰리스(Wallis)의 곱을 증명하여라.

lim→∞⋅⋅⋯ ⋅⋅⋯


17. 삼각함수, 지수함수, 로그함수에 하여 중등학교의 정의와 해석학에서의 정의를 비교하고

공통점과 차이점을 서술하여라. 또한 이들 함수를 멱급수로 정의할 때의 이점을 서술하여라.

18. 적분을 이용하여 삼각함수를 정의하는 방법을 조사해보자.

19. 오일러(Euler)가 처음 정의한 감마함수는 어떠한 형태였는지 조사해보자.

20. 정의역이 복소수 집합일 때 삼각함수, 지수함수, 로그함수는 어떻게 정의되는지 조사해보자.

21. 미적분학은 수강하였으나 해석학을 수강하지 않은 후배 학생이 당신에게 ‘2학년 때에는 해

석학을 배운다고 들었습니다, 해석학은 무엇을 연구하는 학문인가요?’라고 묻는다면 당신은

어떻게 답할 것인가?

22. 어떠한 과목을 공부하는 가장 좋은 방법은 직접 그 과목에 관련된 자료를 만들어보는 것이

다. 이 책의 내용을 토 로 20페이지 내외 분량의 요약된 자료를 만들어 보아라.


도전 문제발전 학습

23. 실수 집합의 부분집합 가 유계라고 하자. 이때 함수 → ℝ가 평등연속일 필요충

분조건은 위에서 정의된 임의의 코시 수열 ⟨⟩에 하여 ⟨ ⟩이 코시 수열인

것임을 증명하여라.

24. ⟨⟩이 실수열이고 가 연속인 실함수라고 하자. 그리고 임의의 자연수 에 하여

이며 이라고 하자. 만약 가 개구간 ∞에서 단조증가이

면 ⟨⟩도 단조증가임을 증명하여라.

25. ⟨⟩과 ⟨⟩이 양항수열이고 ⟨⟩이 에 수렴한다고 하자. 또한 함수 ℝ → ℝ가

에서 미분 가능하며 ′≠ , 이라고 하자. 이때

∞

이 수렴할 필요

충분조건은

∞

이 수렴하는 것임을 증명하여라.


(1)

⋅

⋅

⋅⋯

(2) ⋯

(3) sin

sin

sin

sin

⋯

(4) ∞

∞

(5)

∞

sin

27. 원주율 가 무리수임을 증명하려고 한다.

서로소인 자연수 , 에 하여

라고 가정하자. 그리고

,

″ ⋯ 라고 하자.

(1) 가 자연수임을 증명하여라.

(2)

sin 임을 증명하여라.

(3) 의 정의를 이용하여

sin ≤


(4) 가 무리수임을 증명하여라.



28. 다음 조건을 만족시키는 그래프를 갖는 함수를 구하여라.

(1) 기울기가 일정한 곡선

(2) 기울기가 좌표에 비례하는 곡선

(3) 기울기가 좌표에 비례하는 곡선

(4) 기울기가 곡선의 길이에 비례하는 곡선


∞

∞

.

30. 오일러-마스케로니 상수 에 하여 다음 등식을 증명하여라.

(1) ∞

ln

∞

⋅

(2) ′

(3)

∞

ln


∞

∞

cos exp

.

32. 가 양수라고 하자. 수열 ⟨⟩에 하여 이고

이 성립한다고 하자.

(ⅰ) ⟨⟩이 에 수렴함을 증명하여라.

(ⅱ) 오차 수열을 로 정의하자. 에 하여


33. 자연수 중에서 번째 소수를 으로 나타내자. 이때

∞

의 수렴 여부를 판정하여라.

34.

∞

이 무리수임을 증명하여라.

35. 소수 ⋯이 초월수임을 증명하여라.

332

⋯

⋯

⋯

cos sin

′d

부록 | 연습문제의 힌트와 풀이

부록 1

연습문제의 힌트와 풀이

기초 개념 문제, 실력 다지기 문제, 심화 문제의 풀이입니다. 부분 전체 풀이가 있지만 문제의

성격과 난이도에 따라서 힌트만 있는 것도 있습니다. 독자의 개인적인 생각을 묻는 문제의 풀이

는 싣지 않았습니다.

I 실수계의 성질

1. (1) 참

(2) 거짓, 0으로 나누는 연산은 정의되지 않는다.

(3) 참. (참고로 공집합도 전순서집합이다.)

(4) 거짓, ℤ는 최소원을 갖지 않는다.

(5) 참. (참고로 공집합도 정렬집합이다.)

(6) 거짓, 이 자연수일 때에 사용한다.

(7) 거짓, 는 복소수이다.

(8) 거짓, intℚ ∅(9) 거짓, bdℝ ∅(10) 거짓, extℚ ∅(11) 거짓, 은 개집합도 아니고 폐집합도 아니다.

(12) 거짓, ∅과 ℝ은 개집합인 동시에 폐집합이다.

(13) 참

(14) 거짓, 공집합은 최솟값을 갖지 않는다.

3. 가 유리수이고 이 무리수라고 가정하자. 결론에 반하여 이 유리수라고 가정하면

도 유리수가 되므로 모순이다. 따라서 은 무리수이다. 이제 ≠ 이라

고 하자. 결론에 반하여 이 유리수라고 가정하면 은 유리수가 되므로 모순이

다.

4. (1) ℝ(2)

(3) ∅

(4)

(5)

(6) ∞

연습문제 풀이

333디자이너앨리스1. 실수계의 성질

5. (1) 아래로 유계이지만 위로 유계가 아니다. 최솟값은 이다.

(2) 위로 유계가 아니고 아래로 유계가 아니다.

(3) 위로 유계가 아니고 아래로 유계이다. 최솟값은 존재하지 않으며 하한은 이다.

(4) 위로 유계이고 아래로 유계가 아니다. 최댓값은 이다.

(5) 위로 유계이고 아래로 유계이다. 최댓값은 이며 최솟값은 존재하지 않는다. 하한은

이다.

(6) 위로 유계가 아니고 아래로 유계가 아니다.

8. ≥ 인 경우와 인 경우로 나누어 생각한다.

9. 결론에 반하여 ≠이라고 가정하자. 그러면 는 양수이다. 그런데

≥

이므로, 임의의 양수 에 하여 이라는 가정에 모순이다.

10. (1) (⇒ ) ≤ 이면 양수 에 하여 당연히 ≤ 이 성립한다.

(⇐ ) 결론에 반하여 라고 가정하자. 그러면 는 양수이다. 이때

이므로 ≤ 이라는 가정에 모순이다.

(2) 위의 (1)과 같은 방법으로 증명한다.

11. sup라고 하자. 그러면 는 의 상계이다. 가 의 임의의 원소라고 하면 는

의 원소이므로 ≤ 이다. 즉 는 의 상계가 된다. 의 상한은 의 상계 중에서 가장

작은 것이므로 sup ≤ 이다. 하한에 관한 부등식도 같은 방법으로 증명한다.

12. 수학적 귀납법을 이용하여 증명한다.

13. 결론에 반하여 적당한 자연수 이 존재하여 이 거짓이라고 가정하자. 그러면 집합

∈ℕ ～ 은 공집합이 아니다. 는 자연수 집합의 부분이므로 최솟값 을

가진다. 명백히 은 참이므로 ∉이다. 또한 은 의 원소 중 가장 작은 것이므로

인 임의의 자연수 에 하여 는 참이다. 따라서 문제의 조건 (ⅱ)에 의하여

도 참이 된다. 이것은 ∈라는 것에 모순이다.

16. sup , sup라고 하자.

(1) ∈라고 하면 ∈와 ∈가 존재하여 가 된다. 이때 상한의 성질

에 의하여 ≤ , ≤ 이므로 ≤ 이다. 즉 의 임의의 원소는

보다 크지 않으므로 는 의 상계이다. 상계 중에서 가장 작은 것이 상한

이므로

sup ≤ 가 성립한다.

334 부록 | 연습문제의 힌트와 풀이

이제 부등호가 반 로 성립함을 증명하자. 연습문제 1-10의 결과를 이용할 것이다.

양수 이 임의로 주어졌다고 가정하자. 상한의 성질에 의하여 ∈와 ∈가 존재하여

,

을 만족시킨다. 두 부등식을 결합하면 을 얻는다. 이때 상한이 성질에 의

하여 sup ≥ 이므로

sup 이 성립한다. 여기서 은 임의의 양수이므로

sup ≥ 를 얻는다. 요컨 sup 가 성립한다.

(2) ∈라고 하면 ∈와 ∈가 존재하여 가 된다. 이때 상한의 성질에 의

하여 ≤ , ≤ 이므로 ≤ 이다. 즉 의 임의의 원소는 보다 크지 않

으므로 는 의 상계이다. 상계 중에서 가장 작은 것이 상한이므로

sup≤ 가 성립한다.

이제 부등호가 반 로 성립함을 증명하자. 양수 이 임의로 주어졌다고 가정하자. 는

양수이므로 은 보다 작다고 가정하여도 일반성을 잃지 않는다. 상한의 성질에 의하

여 ∈와 ∈가 존재하여

,

을 만족시킨다. 두 부등식을 결합하면

≥

이다. 이때 상한의 성질에 의하여 sup≥ 이므로

sup 가 성립한다. 는 고정된 실수이므로 는 의 값에 따라서 얼마든지 작은 양

수가 될 수 있다. 따라서

sup≥ 를 얻는다. 요컨 sup sup sup가 성립한다.

17. sup ∈ , sup ∈ 라고 하자.

∈ ∈ 라고 하면 인 ∈가 존재한다. 이때 상한

의 성질에 의하여 ≤ 이다. 따라서 ∈ 의 모든 원

소는 보다 크지 않으므로 는 ∈ 의 상계이다. 상한은 상

계 중에서 가장 작은 것이므로 sup ∈ ≤ 를 얻는다.

18. 가 공집합이 아니므로 ∈가 존재한다. 이제 ⋯ 이 의 부분집

합이라고 가정하자. 은 유한집합이므로 ∈∖이 존재한다. 이로서 임의의 자연

수 에 하여 이 정의되었다.

연습문제 풀이


이제 ≠일 때 ≠임을 증명하자. 먼저 명백히 ≠ 이다. 또한 자연수 와

인 임의의 자연수 에 하여 ≠ 라고 가정하자. ∉ 이므로

인 임의의 자연수 에 하여 ≠ 이다. 따라서 수학적 귀납법에 의하여 임의의 자

연수 에 하여 일 때 ≠ 이 성립한다.

함수 ℕ → 를 으로 정의하면 는 단사이므로 는 가부번인 부분집합

ℕ ∈ℕ을 가진다.

19. ∈가 임의로 주어졌다고 하자. 이때 는 의 내점이므로 ∈⊆ 인 개구간 가

존재한다. ∈라고 하면 ∪이 된다.

20. 함수 ℕ → 를

로 정의하면 는 단사이므로 는 가부번인 부분집합을 포함한다. 따라서 는 무한집합이다.

이제 가 비가산임을 증명하자.

결론에 반하여 가 가부번이라고 가정하면 일 일 응 ℕ → 가 존재한다. 실수의 조

성에 의하여 ∉ 이고 인 과 이 에 존재한다. 이제

이라고 가정하자. 그러면 실수의 조 성에 의하여 ∉

이고 인 과 이 에 존재한다.

이로써 임의의 에 하여 과 이 귀납적으로 정의되었다. 또한 임의의 에 하여

∉ 이다.

∈ℕ은 공집합이 아니고 위로 유계이므로 상한 sup ∈ℕ가 존재한

다. 마찬가지로 in f ∈ℕ가 존재한다. 은 ∈ℕ의 상계이므로

≤ ≤ 즉 ∈이다. 마찬가지로 ∈이다. 임의의 에 하여 은

∈ℕ의 상계이므로 임의의 에 하여 ≤ 이다. 따라서 은 ∈ℕ의

하계이므로 ≤ 이다.

적당한 자연수 에 하여 이라고 가정하자. 그러면 ∉ 이다. 그런

데 이므로 이것은 모순이다.

21. 결론에 반하여 이지만 ≥ 인 ∈가 존재한다고 가정하자. 그러면

≥

는 명백히 공집합이 아니고 유계이므로 상한 를 가진다. 또한 ∈이다. 문제의 조건에

의하여 적당한 양수 가 존재하여 에서 가 순증가한다. 상한의 성질에 의

하여 인 ∈가 존재한다. 또한 이므로 실수의 조 성에 의하여

인 ∈가 존재한다. 여기서 ≤ 이지만 ∈이므로 모

순이다. 따라서 는 전체에서 순증가한다.


22. (1) ∈int라고 하자. 그러면 ⊆ 인 양수 가 존재한다. 이때 ⊆ 이므로

⊆ 이다. 따라서 는 의 내점이므로 ∈int이다. 이로써

∈int ⇒ ∈int임을 증명하였으므로 int⊆ int가 성립한다.

(2) ∈int라고 하자. 그러면 ∈ ⊆ 인 양수 가 존재한다. 따라서 ∈이다.

(3) int는 개집합이므로 intint int이다.

(4) ∈int∩라고 하자. 그러면 ⊆ ∩인 양수 가 존재한다. 동일한

에 하여 ⊆ 이고 ⊆ 이므로 ∈int이고 ∈int이다. 따라서

∈int∩int이다. 이로써 int∩⊆ int∩int를 증명하였다. 이제 포함관계

가 반 로 성립함을 증명하자. ∈int∩int라고 하자. 그러면 ∈int이고

∈int이다. 이때 양수 이 존재하여 ⊆ 이고 양수 가 존재하여

⊆ 이다. min 라고 하면 ⊆ 이고 ⊆ 이므

로 ⊆ ∩이다. 따라서 ∈int∩이다. 이로써 int∩⊇int∩int를 증명하였다.

23. (1) 우함수

(2) 기함수

(3) 우함수

(4) 우함수

(5) 우함수도 아니고 기함수도 아니다.

(6) 기함수

(7) 우함수

(8) 우함수

(9) 우함수

24. 함수 ℝ →ℝ가 주어졌다고 하자.

,

라고 하면 는 우함수이고 는 기함수이다. 또한 이다.

25. 가 에서 유계가 아닌 경우에는 (1), (2), (3)이 자명하게 성립한다. 또한 가 에서 유

계가 아닌 경우에는 (3)이 자명하게 성립한다. 따라서 와 가 에서 유계라고 가정하자.

(1) ∈ ∈ 이므로 가 성립한다.

(2) ∈ ∈ ∈ 이므로

가 성립한다.

(3) 연습문제 1-17에 의하여 성립한다.

26. (1) 만약 ⋯ 이거나 ⋯ 인 경우는 부등식이 당연히

연습문제 풀이


성립한다. 따라서 와 들 중에서 이 아닌 것이 각각 적어도 하나 존재한다고 가정하자.

그러면 삼각부등식에 의하여

≤

이 성립한다. 이제

,

라고 하자. ≤ 이므로 임의의 에 하여

≤

이므로

≤

를 얻는다. 양변에 를 곱하고 양변을 로 나누면

≤

를 얻는다. 따라서

≤ 가 성립하므로 양변을 제곱하면 원하는 부등식을 얻는다.

(2) 임의의 에 하여 인 경우는

이므로 부등식이 당연히 성립한다. 이제 적당한 에 하여 ≠ 이라고 가정하자. 그

러면 코시-슈바르츠 부등식에 의하여

≤

≤

≤


이므로 양변을

로 나누면 원하는 부등식을 얻는다.

27. (ⅰ) 베르누이 부등식에 의하여

≥ ≥

이며, 이 식에 신 을 입하면

≥ .

(ⅱ) 을 변형하면

≥ ,

,

.

(ⅲ) 이므로 (ⅱ)에 의하여 일 때

.

(ⅳ) 이므로 일 때

,

.

(ⅴ) , sup라고 하자. 만약 라면 자연수 이 존재하

여 이고 ∈를 만족시킨다. 만약 라면 자연수 이 존재하여

이고 ∈를 만족시킨다. 두 경우 모두 모순이므로 이다.

(ⅵ) 라고 하면 이므로 인 는 유일하다.

28. 정수 계수를 갖는 차 다항방정식

⋯

은 계수에 의해 완전히 결정되므로 ⋯ 로 쓸 수 있다. 이때 이 순서쌍은

ℤ 의 원소이므로 정수 계수를 갖는 차 다항방정식들의 모임은 ℤ 과 일 일 응

된다. ℤ는 가부번이므로 ℤ 도 가부번이다.

이제 정수계수를 갖는 차 다항식들의 집합을 이라고 하자. 그러면 임의의 자연수 에

하여 은 가부번이므로 ∪도 가부번이다. 이로써 는 가부번이고 정수 계수

를 갖는 모든 다항식의 집합이다.

수학의 기본정리에 의하여 의 원소 는 개 이하의 실근을 가진다.

sol ∈ℝ , Sol ∈ℝ ∃∈ , Sol ∈ℝ ∃∈ 이라고 하자. 임의의 ∈에 하여 sol는 유한집합이고 은 가부번이며

연습문제 풀이

339디자이너앨리스2. 실수열의 극한

Sol ∈

sol이므로 Sol 도 가부번이다. 따라서

Sol ∈ℕ

Sol 도 가부번이다. Sol 는 정수 계수를 갖는 모든 다항식의 모든 해의 집합이므로 모든

수적 실수들의 집합이다. 따라서 수적인 실수들의 모임은 가부번 집합이다.

II 실수열의 극한

1. (1)

(2)

(3)

(4)

4. (1) 완비이다.

(2) 완비가 아니다.

(3) 완비가 아니다.

(4) 완비이다.

(5) 완비이다.

(6) 완비이다.

6. 등호를 사용했다는 것 자체가 이미 극한의 유일성을 가정한 것이다.

7.

8. 항이 순서 로 , , , , , , , , , , , , , , , ⋯으로 정의된 수열은 모

든 자연수를 집적점으로 가진다.

10. ℚ , ℝ∖ℚ11. (1)

(2)

(3)

(4)

12. (1) 아래로 유계이지만 위로 유계가 아니다.

(2) 유계이다.

(3) 유계이다.

(4) 유계이다.

(5) 유계이다.


(6) 유계이다.

13. (1)

(2)

(3)

(4)

14. (1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

15. (1) , , , , , , , , ,

(2)

, ,

,

,

(3) , , , , , , , , ,

(4) , ,

16. (1) 양수 에 하여 인 자연수 을 택하면 일 때

.

(2) 양수 에 하여 인 자연수 을 택하면 일 때

.


.


≤

.


.


sin sin

≤ .

연습문제 풀이


17. 이라고 하자. 그러면 은 양수이다. 따라서 극한의 정의에 의하여 자연수

이 존재하여 ≥ 일 때

을 만족시킨다. 이라고 하면 이고 위 식은

이 된다. 먼저 이고, 이라고 가정하면

이므로 수학적 귀납법에 의하여 임의의 자연수 에 하여

이 성립한다. 그런데 이므로 lim→∞ 이다.

따라서 조임정리에 의하여 lim→∞ lim

→∞ 이다.

18. 먼저 인 경우를 증명하자. 양수 에 하여 자연수 이 존재하여 일 때마다

이 성립한다. 동일한 에 하여 이 성립한다.

다음으로 ≠인 경우를 증명하자. 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 자연수 이 존재

하여 일 때마다

이 성립한다. 이 부등식을 변형하면

을 얻는다. 또한 자연수 가 존재하여 일 때마다

이 성립한다. 이제 max 라고 하고 이라고 가정하자.

≤


이므로 lim→∞

이다.

19. (1) 에 수렴

(2) 에 수렴

(3) 에 수렴

(4) 에 수렴

(5) 에 수렴

(6) 에 수렴

(7) 양의 무한 에 발산

(8) 발산, ≤ ≤ 인 모든 를 집적점으로 가진다.

(9) 발산, 모든 실수를 집적점으로 가진다.

(10) 발산, 위로 유계가 아니지만 을 집적점으로 가진다.

20. (1) max (2) max (3) min (4) min 일반적으로 양수 , , , ⋯ , 에 하여

lim→∞

max ⋯ ,

lim→∞

min ⋯ 이 성립한다.

21.


lim→∞

lim→∞

이므로 문제 2-17에 의하여 lim→∞ 이다.

22.


이다. 그런데 ≥ 일 때

은 단조증가하고 에 수렴하므로

연습문제 풀이


≤

이다. 즉 ≤ 이므로 ⟨⟩은 단조감소하는 수열이다. 명백히 ≥ 이므로 단조

수렴정리에 의하여 ⟨⟩은 수렴한다.

23. ⟨⟩의 일반항을 구하자. 먼저 이다.

이라고 가정하면

이다. 따라서 수학적 귀납법에 의하여 임의의 자연수 에 하여

이다. 등비수열의 합 공식에 의하여

lim→∞ lim

→∞

lim→∞

이다.

24. 수학적 귀납법을 이용하면 임의의 자연수 에 하여

≤ ≤ ≤

이 성립함이 증명된다. 따라서 단조수렴정리에 의하여 ⟨⟩과 ⟨⟩은 수렴한다. ⟨⟩의 극한을 , ⟨⟩의 극한을 라고 하면

lim→∞ lim

→∞

이므로 이 방정식을 풀면 를 얻는다.

25. 의 모든 집적점이 의 원소가 됨을 증명하자. 가 의 집적점이라고 하자. 그리고

라고 하자.

먼저 ∈ 인 ∈가 존재한다. 은 ⟨⟩의 집적점이므로 에 수

렴하는 ⟨⟩의 부분수열이 존재한다. 따라서 인 이 존재한다. 이제 자

연수 에 하여 ⟨⟩의 첨수 가 임의로 주어졌다고 하자. 그러면

∈ 인 ∈가 존재한다. 는 ⟨⟩의 집적점이므로 에 수렴하는 ⟨⟩의 부

분수열이 존재한다. 따라서 이고 인 이 존재한다.


이로서 임의의 자연수 에 하여 가 귀납적으로 정의되었다. 즉 부분수열 ⟨⟩가 귀

납적으로 정의되었다.

⟨⟩의 정의에 의하여 임의의 자연수 에 하여

≤

이다. 따라서

lim→∞

이므로 ⟨⟩는 에 수렴한다. 즉 는 ⟨⟩의 집적점이므로 ∈이다.

26. 집합 ∈ 이 무한집합이므로 ⟨⟩의 모든 항이 쌍마다 서로 다르다고 가정해도

일반성을 잃지 않는다. ℕ으로부터 ℕ으로의 순서보존인 단사함수 는 의 치역 ℕ 에 일 일 응된다. 따라서 ℕ의 무한부분집합들의 모임은 ℕ으로부터 ℕ으로의 순서보

존인 단사함수들의 모임과 일 일 응이다. 그런데 ℕ의 유한부분집합들의 모임은 가산이

고 ℘ ℕ 은 비가산이므로 ℕ의 무한부분집합들의 모임은 비가산이다. 따라서 ℕ으로부

터 ℕ으로의 순서보존인 단사함수들의 모임은 비가산이다. 한편 ⟨⟩의 부분수열은 ℕ으로부터 ℕ으로의 순서보존인 단사함수 ⟨⟩에 의하여 결정되므로 ⟨⟩의 부분수열

들의 모임도 비가산이다.

27. 볼차노-바이어슈트라스 정리에 의하여 ⟨⟩은 집적점을 가진다. 문제의 조건에 의하여

⟨⟩은 단 한 개의 집적점만을 가진다. 그것을 라고 하자. 이제 결론에 반하여 ⟨⟩이 수렴하지 않는다고 가정하자. 그러면 는 ⟨⟩의 집적점임에도 불구하고 ⟨⟩은

에 수렴하지 않는다. 따라서 양수 이 존재하여 임의의 자연수 에 하여 인 이

존재하여 ≥ 이다. 즉 ≥ 인 의 개수가 무한이다. 따라서

≥ 인 항들만 모아서 부분수열 ⟨⟩를 구성할 수 있다. ⟨⟩는 유계이므로

집적점 를 가진다. ≥ 이므로 ≠이다. 이것은 집적점이 하나라는 데에 모순

이므로 ⟨⟩은 수렴한다.

※ 주의 : 「⟨⟩은 ⟨⟩의 부분수열이고 임의의 부분수열이 수렴하므로 ⟨⟩도 수렴

한다」라고 증명하면 옳지 않다. 왜냐하면 문제의 조건에서 「⟨⟩의 수렴하는 부분수열

이 동일한 값에 수렴한다」라고 했을 뿐, 임의의 부분수열이 수렴한다고 말하지 않았기 때

문이다.

29. lim→∞이라고 하자. 그리고 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 극한의 정의에 의하여

자연수 이 존재하여 일 때 이 성립한다. 따라서 일 때

이므로 lim→∞

이다.

연습문제 풀이


30. 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. ⟨⟩이 에 수렴하므로 자연수 이 존재하여

일 때마다 이 성립한다. 또한 ⟨ ⟩이 에 수렴하므로 자연수

가 존재하여 일 때마다 이 성립한다.

이제 라고 하자. 그리고 이라고 하자.

만약 이 짝수라면 라고 쓸 수 있다. 그런데 이므로 이다. 따라서

이다. 만약 이 홀수라면 라고 쓸 수 있다. 그런데 이므로

이다. 따라서

이다. 따라서 일 때 이 홀수이든 짝수이든 상관없이 이므로 ⟨⟩은

에 수렴한다.

31. (1) ⟨⟩의 정의에 의하여 다음을 얻는다.

,

.

(2) 명백히 ≤

≤ ≤ 이다. 이제 자연수 에 하여

≤

≤

이 성립한다고 가정하자. 위 부등식으로부터

≤

⇒ ≤

⇒ ≤

⇒

≤

⇒

≤

⇒ ≤

를 얻으며 같은 방법으로


≥

를 얻는다. 따라서 수학적 귀납법에 의하여 임의의 자연수 에 하여

≤

≤

가 성립한다.

(3) ≤

라는 사실과 이차함수의 성질을 이용하면

≤

⇒ ≤

⇒ ≥

⇒ ≥

⇒ ≥

이므로 ⟨⟩은 단조증가이다. 같은 방법으로 ≥

라는 사실과 이차함

수의 성질을 이용하면 ≤ 이므로 ⟨ ⟩은 단조감소이다.

(4) 단조수렴정리에 의하여 ⟨⟩과 ⟨ ⟩은 수렴한다. ⟨⟩의 극한을 ,

⟨ ⟩의 극한을 라고 하면

lim→∞

lim→∞

, lim→∞

lim→∞

이므로

,

이다. 와 는 모두 양수이므로 이 방정식을 풀면

를 얻는다.

(5) ⟨⟩과 ⟨ ⟩이 동일한 값에 수렴하므로

lim→∞

.

연습문제 풀이


32. sup ,

이라고 하자. 먼저 상한의 성질에 의하여

≤

인 ∈가 존재한다. ∉이므로 ≠이다. 따라서 이다.

이제 가 자연수이고, ∈이며

라고 가정하자. 그러면 max 이므로 상한의 성질에 의하여

max 인 ∈가 존재한다. 이로써 임의의 자연수 에 하여 이 귀납적으로 정의되었다.

여기서 이므로 ⟨⟩은 순증가이고 ⊆ 이다.

33. 이므로

,

⋅

이다. → 이므로 ⋅

이고 이므로

이다. 따라서 일

반항은 이다.

34. 가 개집합이라고 하자. 연습문제 1-19에 의하여 개구간 들이 존재하여

∪이다. 여기서 일반성을 잃지 않고 모든 들이 공집합이 아니라고 가정하자. 그

러면 임의의 에 하여 이므로

그리고 → , →

인 유리수열 ⟨⟩과 ⟨⟩가 존재한다. 여기서

∪

가 성립한다. ∈ℕ ∈ℕ라고 하면

∈

∈ℕ ∈ℕ

∈ℕ

이므로 들은 끝점이 유리수이고 ∪을 만족시키는 개구간들이다.

35. 유리수의 조 성에 의하여 임의의 자연수 에 하여

을 만족시키는 유리수 이 존재한다. 이때


이므로 ⟨⟩은 순증가하고 조임정리에 의하여 에 수렴한다.

36. ⟨⟩이 임의로 주어진 수열이라고 하자.

(Ⅰ) 만약 ⟨⟩이 위로 유계가 아니라면 순증가하는 부분수열을 가진다. 만약 ⟨⟩이

아래로 유계가 아니라면 순감소하는 부분수열을 가진다.

(Ⅱ) ⟨⟩이 유계라고 가정하자. 그러면 볼차노-바이어슈트라스 정리에 의하여 집적점

를 가진다.

(Ⅱ)-(ⅰ) 집합 가 무한집합이라면 와 동일한 값을 갖는 항만 모아서 부분

수열을 구성할 수 있다. 그러한 부분수열은 상수열이므로 단조이다.

(Ⅱ)-(ⅱ) 집합 가 유한집합이라면 집합의 집적점과 수열의 집적점의 관계에

의하여 집합 은 집적점 를 가진다. 가 의 좌집적점이라고 하자. 그러면 임의

의 양수 에 하여 인 ∈ 의 개수가 무한이다. 따라서 에 수렴

하고 순증가인 부분수열을 구성할 수 있다. 같은 방법으로 가 의 우집적점인 경우

에 수렴하고 순감소인 부분수열을 구성할 수 있다.

37. 임의의 자연수 에 하여 sup ≥ ≤ sup ≥ 이므로

lim→∞

lim→∞

sup ≥ ≤ lim→∞

sup ≥ lim→∞

이 성립한다.

38. ⟨⟩의 상극한을 , ⟨⟩의 상극한을 라고 하자.

만약 이라면 ⟨⟩은 에 수렴하므로 도 에 수렴하게 되어 부등식이 자명하

게 성립한다. 인 경우도 마찬가지로 부등식이 자명하게 성립한다.

이제 ≠이라고 하자. ⟨⟩과 ⟨⟩의 모든 항이 양수이므로 와 는 양수이다.

결론에 반하여

lim→∞

라고 가정하자. 그러면 양수 이 존재하여

lim→∞

이 성립한다. 이 식을 변형하면

lim→∞

이다. 상극한의 성질에 의하여

인 의 개수가 무한이다. 이것은 인 의 개수가 무한이거나 인 의

개수가 무한임을 의미한다. 이것은

연습문제 풀이


lim→∞

≥ 또는 lim→∞

≥

을 의미한다. 이것은 모순이다.

39.lim→∞

lim→∞

sup ≥ lim

→∞ in f ≥

lim→∞

in f ≥

lim→∞

.

40. 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 먼저 ⟨⟩이 에 수렴하므로 자연수 이 존재하여

일 때

이 성립한다. 이제

은 고정된 수이므로

을 만족시키는 자연수 가 존재한다. max 라고 하자.

임을 가정하면

≤

이 성립한다.

41. 수열 ⟨ln⟩이 ln에 수렴하므로 다음을 얻는다.

lim→∞

lim→∞

expln

explim→∞

ln


explim→∞

ln expln

42. 집합 ℚ∩ 은 가부번이므로 일 일 응 ℕ → ℚ∩ 가 존재한다. 이때

으로 정의된 수열 ⟨⟩은 의 모든 점을 집적점으로 가진다.

실제로 이러한 수열을 다음과 같이 구체적으로 정의할 수도 있다.

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

, ⋯

이 수열은 분모가 작은 것부터 차례 로 나열한 것이다. 에 속하는 모든 유리수를

취하는 수열이 된다.

한편 이 문제는 수열의 집적점의 개수가 비가산이므로 수열의 부분수열들의 모임이 비가산

집합임을 의미하기도 한다.

43. 먼저 ≤ 이다. 이제 이하의 임의의 자연수 에 하여

≤ ⋯

가 성립한다고 가정하면

≤

⋯

이 성립하므로 제 2 수학적 귀납법에 의하여 임의의 자연수 에 하여

≤ ⋯

이 성립한다. 그런데

≤ ⋯ ≤

⋯

≤

이므로 ⟨⟩은 유계이다. 한편 ≥ 이므로 ⟨⟩은 단조증가

하는 수열이다. 따라서 단조수렴정리에 의하여 ⟨⟩은 수렴한다.

44. ⟨⟩이 에 수렴하고 ⟨⟩의 상극한이 라고 하자. 수열의 집적점의 성질에 의하여

부분수열 에 수렴하는 부분수열 ⟨⟩가 존재한다. 이때

lim→∞ lim

→∞ lim

→∞

이다. 즉 는 ⟨ ⟩의 한 집적점이므로

lim→∞

≥ (1)

가 성립한다. 다음으로 부등호가 반 로 성립함을 보이자. 결론에 반하여

lim→∞

가 성립한다고 가정하자. 그러면 양수 이 존재하여

lim→∞

연습문제 풀이


이다. 이때 첨수열 ⟨⟩가 존재하여

lim→∞ lim

→∞ lim

→∞

이 된다. ⟨⟩는 에 수렴하므로

lim→∞

을 얻는다. 이것은 가 ⟨⟩의 상극한이라는 데에 모순이다. 따라서

lim→∞

≤ (2)

이다. 이로써 (1)과 (2)를 결합하면 원하는 등식을 얻는다.

45. ⟨⟩이 에 수렴하고 ⟨⟩의 상극한이 라고 하자. 만약 이라면 ⟨⟩은 에

수렴하므로 정리의 등식이 자명하게 성립한다. 만약 이라면 ⟨ ⟩은 에 수렴하

므로 정리의 등식이 자명하게 성립한다. 따라서 이고 이라고 하자. 수열의 집

적점의 성질에 의하여 부분수열 에 수렴하는 부분수열 ⟨⟩가 존재한다. 이때

lim→∞ lim

→∞⋅ lim

→∞

이다. 즉 는 ⟨ ⟩의 한 집적점이므로

lim→∞

≥ (1)

가 성립한다. 다음으로 부등호가 반 로 성립함을 보이자. 결론에 반하여

lim→∞

가 성립한다고 가정하자. 그러면 양수 이 존재하여

lim→∞

이다. 이때 첨수열 ⟨⟩가 존재하여

lim→∞ lim

→∞⋅ lim

→∞

이 된다. ⟨⟩는 에 수렴하고 ≠ 이므로

lim→∞

을 얻는다. 이것은 가 ⟨⟩의 상극한이라는 데에 모순이다. 따라서

lim→∞

≤ (2)

이다. 이로써 (1)과 (2)를 결합하면 원하는 등식을 얻는다.

46. (⇒ ) 가 완비라고 가정하자. 그리고 가 의 부분집합이고 공집합이 아니며 유계라고

가정하자. sup라고 하자. 만약 ∈이면 당연히 ∈이다. 이제 ∉라고 하


자. 그러면 에 수렴하고 모든 항이 의 원소인 수열 ⟨⟩이 존재한다. 이때 ⟨⟩의

모든 항은 의 원소이고 가 완비이므로 ⟨⟩의 극한 는 의 원소가 된다. 따라서

∈이다. in f ∈라는 사실도 같은 방법으로 증명된다.

(⇐ ) 의 부분집합이 공집합이 아니고 유계일 때마다 그 집합의 상한과 하한이 의 원소

가 된다고 가정하자. 그리고 ⟨⟩이 모든 항이 의 원소인 코시 수열이라고 하자. 그러

면 ⟨⟩은 ℝ에서 극한 를 가진다. 한편 ⟨⟩은 단조인 부분수열 ⟨⟩를 가진다.

⟨⟩은 단조증가이거나 단조감소이다. 일반성을 잃지 않고 ⟨⟩이 단조증가라고 가정

하자. 그러면 ⟨⟩는 에 단조수렴한다. 라고 하면 는 유계이고 상한 를

가진다. 문제의 가정에 의하여 ∈가 된다. 따라서 모든 항이 에 속하는 임의의 코시

수열의 극한은 의 원소가 되므로 는 완비이다.

47. 가 개집합이므로 임의의 ∈에 하여 인 가 존재하여 ⊆ 이다.

sup ⊆ , in f ⊆ 라고 하자. 그러면

이다. 라고 하면 ⊆ 이다. ∈라고 하자. 명백히 의 모든

원소는 쌍마다 서로소이다. 즉 ∩ ≠∅이면 이다. 또한 ∪이다. 이제

가 가산임을 보이자. 임의의 에 하여 ∈인 유리수 를 택하자. 이때 는

가산이다. 또한 ∈가 되므로 는 가산이다.

III 실함수의 극한

1. (1) 거짓. 은 ∈ℕ의 집적점이지만 좌집적점이 아니다.

(2) 거짓. 은 의 집적점도 아니고 고립점도 아니다.

(3) 참. 예를 들어 →ℝ를 이라고 정의하면 는 에서 좌연속이면서

우연속이다. (이 의 우집적점이 아니므로 우연속이다.)

2. 아무런 관계가 없다. (단, 가 에서 연속이면 에서 의 극한값과 함숫값이 같다.)

3. 극한의 유일성에 모순이 발생한다. 예를 들어 함수 ℤ →ℝ를 라고 정의하

자. 먼저 에서 의 극한이 임을 증명할 것이다. 임의로 주어진 양수 에 하여

라고 하자. 그러면 를 만족시키는 는 존재하지 않으므로

→

은 결론에 상관 없이 참이다. 따라서 에서 의 극한은 이다. 마찬가지로 어떠한 실수

이 주어지더라도 에서 의 극한이 임을 증명할 수 있다. 이것은 모순이다.

4. 극한의 유일성에 모순이 발생한다.

5. (1) 컴팩트가 아닐 수 있다. 은 컴팩트이지만 그 부분집합 은 컴팩트가 아니

연습문제 풀이

353디자이너앨리스3. 실함수의 극한

다.

(2) 컴팩트이다.


(4) 컴팩트가 아닐 수 있다. 임의의 자연수 에 하여 은 컴팩트이지만

∪ ℝ은 컴팩트가 아니다.


(6) 컴팩트가 아니다. 컴팩트 집합은 유계이므로 그 여집합은 유계가 아니기 때문이다.

6. 두 함수 → 와 → 가 각각의 정의역에서 평등연속이라고 가정하자. 이제

∘ 가 에서 평등연속임을 보이자. 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 가 평등연속이

므로 양수 이 존재하여 일 때마다 이 성립한다. 또한

가 평등연속이므로 양수 가 존재하여 일 때마다 이

성립한다. 따라서 일 때마다

이 성립하므로 ∘ 는 평등연속이다.

7. 함수 는 에서 단조이고 유계이므로 에서 우극한을 가지며 에서 좌극한을 가진

다. 이때

lim→

, lim→

라고 정의하면 는 에서 연속인 함수가 된다.

8. 가 상수함수가 아니라고 가정하자. 그러면 서로 다른 과 가 에 존재하여

≠ 가 된다. 무리수의 조 성에 의하여 과 사이에 무리수 가

존재한다. 중간값 정리에 의하여 인 가 과 사이에 존재한다. 이것은 모순

이다.

9. (1)

(2)

(3) ∞

(4)

(5)

10. (1) 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 이라고 하면 는 양수이다.

임을 가정하면

이 성립한다.

(2) 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 이라고 하면 는 양수이다.


임을 가정하면

≤

이 성립한다.

(3) 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. min 이라고 하고

임을 가정하면

≤

≤

≤

이 성립한다.


임을 가정하면

≤

≤

이 성립한다.


임을 가정하면

≤

≤

≤

이 성립한다.

11. (1) 양수 가 임의로 주어졌다고 하자.

이라고 하고

임을 가정하면

이 성립한다.

연습문제 풀이


(2) 음수 가 임의로 주어졌다고 하자. 라고 하고

임을 가정하면

≤

가 성립한다.

(3) 양수 가 임의로 주어졌다고 하자.

이라고 하고 임을 가정하면

sin≥

가 성립한다.

(4) 양수 가 임의로 주어졌다고 하자.

라고 하고

임을 가정하면

cos

≥

가 성립한다.

※ 참고로 가 충분히 작은 양수일 때 삼각함수의 테일러 전개에 의하여 다음과 같은 부등

식을 얻는다.

sin ≤ ,

sin ≥

,

sin ≤

,

sin ≥

,

⋮

cos ≤ ,cos ≥

cos ≤

cos ≥

⋮

12. (1) 양수 이 임의로 주어졌다고 하자.

이라고 하고 임을 가정하면

이 성립한다.

(2) 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 이라고 하고 임을 가정하면

≥

이 성립한다.


(3) 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. max 이라고 하고 임을 가정

하면

≤ ≤

이 성립한다.

(4) 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. max 이라고 하고 임을 가정

하면

≤

≤

이 성립한다.

13. (1) 가우스함수의 성질에 의하여

≤

이므로

lim→≤ lim→ ≤ lim

→

이다. 따라서 조임 정리에 의하여 문제의 등식을 얻는다.

(2) 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 그리고 라고 하자. 라고 하면

이므로

을 얻는다.

14. (ⅰ)⇒ (ⅱ) 가 컴팩트라고 가정하자. 그리고 가 의 무한부분집합이라고 하자. 하이네-

보렐 정리에 의하여 는 유계인 폐집합이다. 따라서 볼차노-바이어슈트라스 정리에 의하여

는 집적점 를 가진다. 는 의 집적점이고 는 폐집합이므로 는 의 원소이다.

(ⅱ)⇒ (ⅲ) 수열 ⟨⟩의 모든 항이 에 속한다고 가정하자. 만약 이 유한집합이라

면 적당한 가 존재하여 무한히 많은 에 하여 가 성립한다. 와 같은 값을 갖

는 항만을 모아서 부분수열을 구성할 수 있다. 이제 이 무한집합이라고 가정하자. 그

러면 ⊆ 이므로 은 집적점 ∈를 가진다. 수열의 집적점의 성질에 의하여

는 ⟨⟩의 집적점이므로 에 수렴하는 부분수열 ⟨⟩가 존재한다.

(ⅲ)⇒ (ⅰ) 가 (ⅲ)을 만족시키는 집합이라고 하자. 먼저 가 유계임을 보이자. 만약 가

유계가 아니라면 모든 항이 에 속하고 양의 무한 또는 음의 무한 에 발산하는 수열을

연습문제 풀이


구성할 수 있다. 그러한 수열은 수렴하는 부분수열을 갖지 않으므로 모순이다. 따라서 는

유계이다. 이제 가 폐집합임을 보이자. 만약 가 폐집합이 아니라면 ∈′＼가 존재한

다. 집합의 집적점의 성질에 의하여 에 수렴하고 모든 항이 에 속하는 수열을 구성할 수

있다. 그러한 수열의 임의의 부분수열은 에 수렴하는데 는 의 원소가 아니므로 모순이

다. 따라서 는 폐집합이다. 는 유계인 폐집합이므로 하이네-보렐 정리에 의하여 는 컴

팩트이다.

15. (1) 컴팩트이다.

결론에 반하여 이 컴팩트가 아니라고 가정하자. 그러면 유한부분덮개를 갖지 않는 개

덮개 ∈가 존재한다. 와 중 하나는 의 유한부분덮개에

의하여 덮이지 않는다. 그러한 폐구간을 이라고 하자. 하이네-보렐 정리의 증명과 같은

방법으로 길이가 에 수렴하는 축소폐구간 을 구성할 수 있다. 이때 ∩ 이므로

∈∩이 존재한다. 는 한 점이므로 의 원소 가 존재하여 ∈이다. 는 개집합

이므로 ∈⊆ 인 이 존재한다. 이것은 이 의 유한부분덮개에 의하여 덮이지

않는다는 것에 모순이다.

(2) 컴팩트가 아니다.

이라고 하면 ∈ℕ은 유한부분덮개를 갖지 않는 개덮개가 된다.


,

이라고 하면 ≥ 은 유한부분덮개를 갖지 않는 개덮개가 된다.


이라고 하면 ∈ℕ은 유한부분덮개를 갖지 않는 개덮개가 된다.

(5) 컴팩트가 아니다. 이라고 하면 각 는 딱 하나의 자연수만을 포

함한다. 따라서 ∈ℕ은 진부분덮개를 갖지 않는 개덮개가 된다.

(6) 컴팩트이다. 증명은 (1)과 동일하다.

16. (1) 평등연속이다.

(2) 에서 연속이 아니다.

(3) 정수인 점에서 연속이 아니다.

(4) 정수인 점에서 연속이 아니다.

17. 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 이라고 하고 임을 가정하면


≤

이므로 는 에서 평등연속이다.

18. 가 임의로 주어진 실수라고 하자. 그러면 에 수렴하는 유리수열 ⟨⟩이 존재한다. 이

때 수열판정법에 의하여

lim→∞ lim

→∞

이 성립한다.

19. 의 원소 가 임의로 주어졌다고 하자. 그리고 수열 ⟨⟩을 ,

으로 정의하자. 그러면 임의의 자연수 에 하여 이다.가

에서 연속이므로 수열판정법에 의하여

lim→∞ lim

→∞

이다. 임의의 ∈ 에 하여 이므로 는 상수함수이다.

20. 라고 하자. 그러면 ≥ , ≤ 이므로 중간값 정리에 의하여

∈ 이 존재하여 이다.

21. 일반성을 잃지 않고 가 단조증가인 경우를 증명하자. ⟨ ⟩의 극한을 이라고 하자.

이제 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 자연수 이 존재하여 일 때마다

이 성립한다. 가 단조증가이므로 ≤ 이다.

이제 이라고 하자. 그러면 ≤ ≤ 이므로 는 양

의 무한 에서 에 수렴한다.

22. 가 에서 연속임을 보이자. 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 이라고 하자. 그리고

라고 가정하자. 만약 가 유리수라면

이고 가 무리수라면

이다. 따라서 는 에서 연속이다.

이제 ≠ 이라고 하자. 그러면 에 수렴하는 유리수열 ⟨⟩과 에 수렴하는 무리수열

⟨⟩이 존재한다. 이때

lim→∞ ≠ lim

→∞

이므로 수열 판정법에 의하여 는 에서 연속이 아니다.

23. 연습문제 1-8에 의하여 임의의 에 하여

가 성립한다. 그런데 절댓값 함수는 연속이고 연속함수의 합성은 연속이므로 도 연속이다.

연습문제 풀이


24. (1) 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 가 에서 연속이므로 양수 이 존재하여 임의의

∈에 하여 일 때마다

이 성립한다. 가 에서 연속이므로 양수 가 존재하여 임의의 ∈에 하여

일 때마다

이 성립한다.

이제 min 라고 하자. 그리고 ∈∪에 하여 라고 가정

하자. 만약 와 가 모두 의 원소이거나, 와 가 모두 의 원소이면

이 성립한다. 이제 ∈이고 ∈라고 하자. 과 가 구간이므로 와 사이에

∈∩가 존재한다. 이때 , 가 되므로

≤

이 성립한다. 따라서 는 ∪에서 평등연속이다.

(2) 과 가 구간이라는 조건이 빠지면 는 ∪에서 평등연속이 아닐 수도 있다. 예

를 들어 ∪ , 이라고 하고 ∪ →ℝ를

i f i f ≥

라고 하자. 그러면 는 과 에서 각각 평등연속이지만 ∪에서 연속이 아니다.

25. 일반성을 잃지 않고 이라고 하자. (만약 인 경우는 라고 정

의하고 에 하여 생각하면 된다.) 그러면 이다. 따라서

이다. 한편

lim→ ∞

∞ , lim→ ∞

∞

이므로 적당한 양수 가 존재하여 이며 적당한 음수 가 존재하여 이

다. 따라서 중간값 정리에 의하여 양수 ∈ 과 음수 ∈ 가 존재하여

, 을 만족시킨다.

26. 결론에 반하여 ⟨⟩이 양의 무한 에 발산하지 않는다고 가정하자. 그러면 적당한 양수

가 존재하여 임의의 자연수 에 하여 인 자연수 이 존재하여 ≤ 가 된


다. 즉 ⟨⟩의 유계인 부분수열 ⟨⟩가 존재한다. ⟨⟩은 유계이므로 수렴하는 부분

수열 ⟨⟩를 가진다. 이때 ⟨⟩은 모든 항이 자연수인 수열이므로 자연수에 수렴한

다. ⟨⟩의 극한을 라고 하자. 한편 을 분모와 분자가 자연수인 기약분수로 나타냈

을 때 분자를 이라고 하자. 그러면 ⟨⟩는 ⟨⟩의 부분수열이므로 에 수렴한

다. 여기서

lim→∞ lim

→∞

lim

→∞

이고 는 자연수이므로 는 무리수이다. 즉 ⟨⟩는 무리수에 수렴한다. 그러나

⟨⟩의 모든 항은 자연수이므로 무리수에 수렴할 수 없다. 이것은 모순이다.

27. 실수열이 수렴할 필요충분조건이 코시 수열인 것이므로 당연히 성립한다.

28. (⇒ ) 가 연속이면 정리 3.3.4에 의하여 임의의 개구간 에 하여 는 개집합이

된다.

(⇐ ) 가 개집합이라고 하자. 개집합의 정의에 의하여 개구간 들이 존재하여 는

들의 합집합에 의해 표현된다. 이때 임의의 에 하여 는 개집합이고

∪ 이므로 도 개집합이다. 즉 임의의 개집합의 역상이 개집합

이므로 정리 3.3.4에 의하여 는 연속이다.

29. 의 정의역을 라고 하자. 가 유계이므로 는 유계인 집합이다. 따라서 상한 공리

에 의하여 는 상한 를 가진다. 이제 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 상한의 성질

에 의하여 ∈ 가 존재하여 ≤ 가 성립한다. ∈ 이므로 ∈가

존재하여 이다. 즉 ≤ 이다. 가 위로 유계가 아니므로 양수

∈가 존재하여 이다. 이때 일 때마다

≤ ≤ ≤

이므로 이 성립한다. 따라서 는 양의 무한 에서 에 수렴한다.

30.

이라고 하면

lim→∞ℚ lim

→∞

이므로 은 에서 ℚ의 집적점이다. 한편 임의의 에 하여 ℚ ≤ 이므로 ℚ는

보다 큰 집적점을 가질 수 없다. 따라서 은 에서 ℚ의 상극한이다.

31. (1) 단순불연속

(2) 제 2 형태의 불연속



연습문제 풀이


32. 연습문제 3-51에 의하면 단조인 함수는 임의의 점에서 좌극한과 우극한을 가진다. 따라서

단조인 함수는 단순불연속만 가진다.

33. 에서 의 함숫값을 바꾸어 가 에서 연속이 된다는 것은 에서 의 좌극한과 우극한

이 존재하며 그 값이 일치한다는 것을 의미한다. 따라서 는 에서 단순 불연속이다.

34. 우를 증명하자. 가 컴팩트가 아니라고 가정하자. 그러면 하이네-보렐 정리에 의하여

는 유계가 아니거나 폐집합이 아니다.

먼저 가 유계가 아니라고 가정하자. → ℝ를 으로 정의하면 는 에

서 연속이지만 평등연속이 아니다.

다음으로 가 폐집합이 아니라고 가정하자. 그러면 의 원소가 아니면서 의 집적점인

실수 가 존재한다. 이때 함수 →ℝ를

이라고 정의하면 는 에서 연속이지만 평등연속이 아니다.

35. 앞의 연습문제 3-34의 풀이와 동일하다.

36. 가 에서 양의 무한 에 발산한다고 가정하자. 양수 가 임의로 주어졌다고 하자. 그러

면 양수 가 존재하여 일 때마다 가 성립한다. 따라서

이거나 또는 일 때 모두 가 성립한다.

37. 에서 의 극한이 에 수렴하면 수열 판정법에 의하여 에 수렴하는 임의의 수열 ⟨⟩에 하여 lim 이다. 즉 에서 의 집적점은 밖에 존재하지 않으며 또한 의

근방에서 는 유계이므로 에서 의 상극한과 하극한은 모두 가 된다. 이제 역을 증명하

자. 에서 의 상극한과 하극한이 동일하며 그 값이 모두 라고 하자. 그러면 는 에서

하나의 집적점 만 갖게 되므로 에 수렴하는 임의의 수열 ⟨⟩에 하여

lim 이다. 따라서 수열 판정법에 의하여 에서 는 에 수렴한다.

38. ∈ℤ ∈ℕ이라고 하자. 실수 가 임의로 주어졌다고 하자. 그리고 양

수 이 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 인 자연수 이 존재한다.

≤ 인 가장 작은 정수 을 택하자. 그러면 이 성립한다. 즉 임의

의 실수 에 하여 에 수렴하고 모든 항이 에 속하는 수열 ⟨⟩가 존재한다.

다시 실수 가 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 앞의 논의에 의하여 에 수렴하고 모든 항

이 에 속하는 수열 ⟨⟩가 존재한다. 가 연속이므로 수열 판정법에 의하여

lim→∞ lim

→∞

이므로 이다. 따라서 는 상수함수이다.

39. (⇒ ) 가 단조이고 가 연결 집합이라고 가정하자. 만약 가 단원집합이라면 명백히


는 연결집합이다. 만약 가 단원집합이 아니라면 연습문제 3-60에 의하여 는 구

간이다. 의 왼쪽 끝점을 , 의 오른쪽 끝점을 라고 하자. 는 단원집합이 아니므로

이다. ,

라고 하자. 가 연속이므로 는 왼쪽

끝점이 이고 오른쪽 끝점이 인 구간이 된다.

(⇐ ) 가 단조가 아니라고 가정하자. 그러면 인 세 실수 , , 이 존재

하여 이거나 이 된다. 일반성을 잃지 않

고 이라고 하자. 그러면 ∞ 는 연결집합이다. 여

기서 ∈ , ∉ , ∈이므로

∈ , ∉ , ∈ 가 성립한다. 그런데 이므로, 만약 가 연결집합이라면 연습문제 3-59

에 의하여 ∈ 가 되어야 한다. 그러나 ∉ 이므로 는 연결집합

이 아니다.

40. 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 가 평등연속이므로 양수 가 존재하여 일

때마다 이 성립한다. lim 이므로 자연수 이 존재하여

일 때마다 가 성립한다. 따라서 동일한 자연수 에 하여 일

때마다 이 성립한다.

※ 참고로 가 평등연속이라는 조건을 연속이라는 조건으로 바꾸면 이 명제는 참이 아니

다. 예를 들어

,

,

이라고 하면 는 연속이고 lim 이지만

lim→∞ lim

→∞

이다.

41. 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 먼저 양의 무한 에서 가 에 수렴하므로 양수 가

존재하여 ≥ 일 때마다

이 성립한다. 또한 는 에서 연속이므로

는 에서 평등연속이다. 따라서 양수 가 존재하여 인 임의의

∈ 에 하여

이 성립한다.

이제 ∈ ∞이고 라고 가정하자. 만약 ∈ 이면 당연히

이 성립한다. 만약 ∈ ∞이면

연습문제 풀이


≤

이 성립한다. 만약 ∈ 이고 ∈ ∞이면 이고 이므

로

≤

≤

이 성립한다.

42. 일반성을 잃지 않고 가 단조 증가라고 가정하자. 결론에 반하여 가 에서 연속이

아니라고 가정하자. 그러면 적당한 점 가 존재하여 는 에서 연속이 아니다.

만약 라면 이다. 이때 인 임의의 에 하여

가 되는 는 존재하지 않으므로 는 중간값 성질을 갖지 않는다. 이것은 모순이

다. 인 경우도 마찬가지로 증명된다.

만약 가 의 내부라면 이거나 이다.

인 경우 인 에 하여 가 되는 는 존재

하지 않으므로 는 중간값 성질을 갖지 않는다. 인 경우

인 에 하여 가 되는 는 존재하지 않으므로 는 중간값 성질을 갖

지 않는다. 이것은 모순이다.

43. (1) , ∈ℤ

(2)

(3) ,

(4)

44. (1) ,

(2) 수평 점근선을 갖지 않는다.

(3)

(4) 수평 점근선을 갖지 않는다.

45. (1)

(2)

(3)

(4) 사선점근선을 갖지 않는다.

46. ∈ ∞라고 하자. 그리고 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 함수 가 연속이므로 양

수 가 존재하여 일 때마다 이 성립한다. 동일한 양수 에

하여 라고 하면


≤

이므로 는 에서 연속이다. 는 ∞의 임의의 점이므로 는 ∞에서 연속이다.

47. 양의 무한 와 음의 무한 에서 가 에 수렴하므로, 양수 가 존재하여 일 때마다

이 성립하며, 또한 음수 가 존재하여 일 때마다 이 성립한

다. 는 에서 연속이므로 에서 유계이다. 에서 의 최댓값을 이라

고 하자. 그리고 max 이라고 하자. 그러면 임의의 실수 에 하여

≤ 이므로 는 ℝ에서 유계이다.

이제 가 ℝ에서 극댓값 또는 극솟값을 가짐을 증명하자. 만약 가 ℝ에서 상수함수라면

는 당연히 극댓값과 극솟값을 가진다. 이제 가 상수함수가 아니라고 가정하자. 그러면

sup ℝ 이거나 in f ℝ 이다. sup ℝ 이라고 가정하자. 는 양의 무

한 와 음의 무한 에서 에 수렴하므로 양수 가 존재하여 인 임의의 에 하

여

sup ℝ

이 성립한다. 다시 말하면 폐구간 의 임의의 점 에 하여

≥ sup ℝ

이 성립한다. 는 에서 연속이므로 적당한 점 ∈ 에서 최댓값을 가진

다. 또한

≥ sup ℝ

이다. 그런데 밖의 임의의 점 에 하여

sup ℝ

이므로 는 ℝ에서 의 최댓값이 된다. 최댓값은 극댓값이다.

48. (1) 이므로 이다. 또한

이므로 임의의 에 하여 이다.

이제 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 가 에서 연속이므로 양수 가 존재하여

일 때마다 이 성립한다. 동일한 양수 에 하여 라고 가

정하자. 그러면 이 성립한다. 따라서 는 평등연속이다.

(2) 이라고 하자. 임의의 자연수 에 하여

⋯

⋯

이므로

연습문제 풀이


이다. 임의의 자연수 에 하여

⋯

⋯

이므로

이다. (수학적 귀납법을 이용하면 논리적으로 증명된다.)

즉 임의의 양의 유리수 에 하여 이다. 한편

이므로 임의의 유리수 에 하여 이 성립한다.

이제 무리수 가 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 에 수렴하는 유리수열 ⟨⟩이 존재한

다. 가 연속이므로 수열판정법에 의하여

lim→∞

lim→∞

이 성립한다. 따라서 임의의 실수 에 하여

가 성립한다.

49. [(ⅰ)⇒ (ⅱ)] 가 에서 연속이라고 하자. 그리고 ⊆ 라고 하자. ∈ 라고 하면

인 ∈가 존재한다. 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 는 연속이므

로 은 를 포함하는 개집합이 된다. 따라서 양수 가 존재하여

⊆ 을 만족시킨다. 그런데 ∈이므로 동일한 에 하여

∩≠∅이다. 따라서 ⊆ 이고 ∩ ≠∅

이므로 ∩ ≠∅이다. 여기서 은 임의의 양수이므로 ∈이다. 요컨

∈ 인 임의의 에 하여 ∈이므로 는 의 부분집합이다.

[(ⅱ)⇒ (ⅲ)] 폐집합 가 임의로 주어졌다고 하자. 그리고 라고 하자. 그러면

⊆ 이다. 만약 ∈이면

∈ ⊆⊆ 이므로 ∈ 이다. 요컨 ⊆ 이므로 , 즉 는 폐집합이다.

[(ⅲ)⇒ (ⅰ)] 를 임의로 주어진 개집합이라고 하고 ℝ∖라고 하자. 그러면 는

폐집합이다. 따라서 는 에서의 폐집합이 된다. 그런데

ℝ∖ ℝ ∖ ∖ 이고 ℝ∖ 가 개집합이므로 는 개집합이 된다. 즉 에 의한 개집합의 역

상이 개집합이므로 는 연속이다.


50. 실수 가 임의로 주어졌다고 하자. 그리고 자연수 이 임의로 주어졌다고 하자.

이므로

인 자연수 이 존재한다. 를 만족시키는 가장 작은 정수 를 택하자.

그러면

이다. 여기서 이라고 하면 이항정리에 의하여 적당한 정수 , 가 존재

하여 가 된다. 따라서 ∈이다. 이러한 방법으로 구성된 수열 ⟨⟩은

에 수렴한다. 또한 임의의 에 하여 ∈이다. 따라서 수열판정법에 의하여

lim→∞ lim

→∞

이 성립한다.

51. (1) 명백히 임의의 ∈ 에 하여 ≤ ≤ 이므로 는 에서 유

계이다. 또한 는 단조이므로 의 임의의 점에서 좌극한과 우극한을 가진다. 따라서

가 의 점 에서 불연속이라면 가 성립한다. 이제 자연수 에

하여

∈

이라고 정의하자. 명백히 은 유한집합이다. 왜냐하면, 만약 이 무한집합이라면 는

유계가 아닌 것이 되어버리기 때문이다. 한편

∞

이라고 하면 는 유한집합의 가산합집합이므로 가산집합이다. 또한 는 에서 가

불연속인 모든 점을 포함한다. 만약 가 또는 에서 불연속일지라도 가산집합에 유한

개의 원소를 더한 집합은 가산이므로 가 에서 불연속인 점들의 모임은 가산이다.

(2) 구간 에서 가 불연속인 점들의 모임을 이라고 하자. 그러면 은 가산

이다. 여기서

∞

이라고 하면 는 ℝ에서 가 불연속인 모든 점을 포함하며 가산집합이다.

52. 가 유리수인 점에서 불연속임을 증명하자. ∈ 이 임의로 주어진 유리수라고 하자.

그러면 이다. 이라고 하자. 그리고 양수 가 임의로 주어졌다고 하자. 그

러면 무리수의 조 성에 의하여 인 무리수 ∈ 이 존재한다. 이때

연습문제 풀이


≥ 이므로 는 에서 불연속이다.

다음으로 가 무리수인 점에서 연속임을 증명하자. ∈ 이 임의로 주어진 무리수라

고 하자. 그리고 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. ∈ ≥ 이라고

하자. 그러면 명백히 ∉이다. 또한 는 유한집합이다. 왜냐하면

≥

이고 을 만족시키는 자연수 쌍 , 의 개수가 유한이기 때문이다. 따라서 의 원

소 중에서 에 가장 가까운 것을 택할 수 있다. 즉

in f ∈는 양수이다. 이제 라고 가정하면 ∉이므로 이다. 즉

이다. 따라서 는 에서 연속이다.

(무리수인 점에서 연속이라는 명제의 다른 증명) 가 에서 임의로 주어진 무리수라

고 하자. ⟨⟩이 에 수렴하고 모든 항이 에 속하는 임의의 수열이라고 하자.

⟨⟩의 항 중에서 무리수인 항 에 해서는 이다. ⟨⟩의 항 중에서 유

리수인 것을 분모와 분자가 자연수인 기약분수로 나타냈을 때 분모를 ⟨⟩이라고 하자.

만약 이 무리수라면 이라고 정의한다. 그러면 임의의 에 하여

≤ ≤

이 성립한다. 그런데 ⟨⟩이 무리수에 수렴하므로 ⟨⟩은 양의 무한 에 발산한다. 이

로써 조임정리에 의하여 lim 이다. 따라서 수열판정법에 의하여 는

에서 연속이다.

53. (⇒ ) 먼저 에서 가 수렴한다고 가정하자. 임의의 양수 에 하여 양수 가 존재하여

일 때마다

이 성립한다. 이때 동일한 에 하여 이고 일 때마다

≤

이 성립한다.

(⇐ ) 임의의 양수 에 하여 양수 가 존재하여 이고

일 때마다 이 성립한다고 가정하자. 이제 ⟨⟩이

에 수렴하고 ≠ 이며 모든 항이 의 정의역에 속하는 임의의 수열이라고 하자. 그러

면 자연수 이 존재하여 를 만족시킨다. 동일한 자연수 에 하여

일 때 이고 이므로


이 성립한다. 따라서 ⟨ ⟩은 코시 수열이므로 수렴한다.

다음으로 ⟨ ⟩의 극한이 수열 ⟨⟩의 선택에 관계없이 유일함을 증명하자. ⟨⟩이 에 수렴하고 ≠ 이며 모든 항이 의 정의역에 속하는 임의의 수열이라고 하자. 또

한 양수 이 다시 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 양수 가 존재하여 이

고 일 때마다 이 성립한다. 여기서 적당한 자연수

이 존재하여 일 때마다 가 성립한다. 마찬가지로 적당한 자연수

가 존재하여 일 때마다 가 성립한다. max 라고 하

고 이라고 하면 , 이므로 이 성립한

다. 즉 lim 이므로 ⟨ ⟩과 ⟨ ⟩은 동일한 값에 수렴한다.

54. (⇒ ) 가 연속이라고 가정하자. 임의의 실수 에 하여 ∞와 ∞ 는 개집합

이므로 ∞와 ∞ 는 개집합이다. 따라서 는 상반연속인 동시에

하반연속이다.

(⇐ ) 가 상반연속인 동시에 하반연속이라고 하자. 그리고 가 임의로 주어진 개구간이라

고 하자. 그러면 적당한 실수 , 가 존재하여 ∞∩∞ 이다. 이때

∞ ∪ ∞이므로 는 개집합이다. 따라서 연습문제

3-28에 의하여 는 연속이다.

55. [(ⅰ)⇒ (ⅱ)] 양의 무한 에서 가 에 수렴한다고 하자. 그리고 ⟨⟩의 양의 무한 에

발산하는 수열이라고 하자. 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 양수 가 존재하여

일 때마다 이 성립한다. 인 자연수 을 택하면 일 때마다

이 성립한다. 따라서 ⟨ ⟩은 에 수렴한다.

[(ⅱ)⇒ (ⅰ)] 우를 증명하자. 양의 무한 에서 가 수렴하지 않는다고 가정하자.

만약 양의 무한 에서 의 상극한이 양의 무한 에 발산하거나 의 하극한이 음의 무한

에 발산한다면 당연히 양의 무한 에 발산하는 수열 ⟨⟩이 존재하여 ⟨ ⟩은 수렴

하지 않는다.

이제 양의 무한 에서 의 상극한과 하극한이 유한 값이라고 가정하자. 양의 무한 에서

의 상극한을 , 의 하극한을 라고 하자. 양의 무한 에서 가 수렴하지 않으므로

이다. 따라서 양의 무한 에 발산하는 수열 ⟨⟩과 ⟨⟩이 존재하여

lim , lim 가 성립한다. 수열 ⟨⟩을

i f is odd i f is even

으로 정의하면 lim , lim 이므로 ⟨ ⟩은 수렴하지 않는다.

[(ⅰ)⇒ (ⅲ)] 양의 무한 에서 가 에 수렴한다고 하자. 그리고 양수 이 임의로 주어졌

연습문제 풀이


다고 하자. 양수 가 존재하여 일 때마다

이 성립한다. 따라서 동일한 양수 에 하여 이고 일 때마다

≤

이 성립한다.

[(ⅲ)⇒ (ⅱ)] ⟨⟩이 양의 무한 에 발산하는 수열이라고 하자. 그러면 조건 (ⅲ)에 의하

여 ⟨ ⟩은 코시 수열이 된다. 따라서 ⟨ ⟩은 수렴한다. 이제 수열 ⟨⟩의 선

택에 관계없이 ⟨ ⟩이 일정한 값에 수렴함을 증명하자. ⟨⟩이 양의 무한 에 발산

하는 수열이라고 하자. 그리고 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 조건 (ⅲ)을 만족

시키는 양수 가 존재하여 ⟨⟩과 ⟨⟩이 모두 양의 무한 에 발산하므로 자연수

이 존재하여 일 때마다 , 를 만족시킨다. 따라서 일 때

이 성립한다. 즉

lim→∞

이므로 ⟨ ⟩과 ⟨ ⟩은 동일한 값에 수렴한다.

56. 이고 라고 하자. 무리수의 조 성에 의하여 인 무리수 이

존재한다. ⟨⟩을 에 수렴하고 모든 항이 에 속하는 유리수열이라고 하자. (유리수의

조 성에 의하여 그러한 수열이 존재한다.) 그리고 을 분모와 분자가 자연수인 기약분수

로 나타냈을 때 분모를 으로 표기하자. 그러면 연습문제 3-26에 의하여 ⟨⟩은 양의

무한 에 발산하므로

lim→ ≥ lim

→∞ lim

→∞ ∞

이다. 즉 에서 의 상극한은 양의 무한 에 발산한다. 따라서 는 를 포함하는 개구간

에서 위로 유계가 아니다.

57. 먼저 인 경우를 증명하자. 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 자연수 이

존재하여 ≥ 일 때마다 음이 아닌 임의의 정수 에 하여

≤

이 성립한다. 한편 는 연속이므로 폐구간 에서 최댓값 을 가진다. 따라

서 자연수 가 존재하여 ≥ 일 때마다

이 성립한다. max 라고 하고 이라고 하면


이 성립한다.

다음으로 ≠ 인 경우를 증명하자. 라고 하면 는 연속이고

lim→ ∞

이므로

lim→ ∞

lim→ ∞

이다. 따라서

lim→ ∞

가 성립한다.

58. (1) 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 라고 하자. 임을 가정하면

≤

이므로 는 평등연속이다.

(2) ∈ 인 을 택한다. 그리고 자연수 에 하여 이라고 정의한

다. 명백히 ∈ 이면 ∈ 이다. 이로써 수열 ⟨⟩이 귀납적으로 정의되

었다. 한편 임의의 자연수 에 하여

≤

이 성립한다. 따라서 ⟨⟩은 축약수열이므로 수렴한다. ⟨⟩의 극한을 라고 하자.

양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 자연수 이 존재하여 일 때마다


≤

≤

이므로 이다.

이제 의 유일성을 보이자. ∈ 이고 가 성립한다고 가정하자. 그러면

≤ 인데 이므로 이다. 따라서

인 ∈ 는 유일하다.

59. 가 구간인 경우 명백히 ∈이고 인 임의의 , , 에 하여 ∈가 성

립한다.

이제 역을 증명하자. 즉 ∈이고 인 임의의 , , 에 하여 ∈가 성

연습문제 풀이


립한다고 가정하자.

가 위로 유계가 아니고 아래로 유계가 아닌 경우를 증명하자. 이때 임의의 실수 에 하

여 인 ∈가 존재한다. 따라서 ∈이다. 즉 임의의 실수 에 하여 ∈이므로 ℝ ∞ ∞이다.

가 위로 유계이지만 아래로 유계가 아닌 경우를 증명하자. sup 라고 하자. 인

임의의 실수 에 하여 인 ∈가 존재한다. ∈이다. 이것은

∞ ⊆ 를 의미한다. 한편 보다 큰 모든 실수는 의 원소가 아니다. 따라서 ∈라면 ∞ 가 되고 ∉ 라면 ∞ 가 된다.

가 아래로 유계이지만 위로 유계가 아닌 경우는 위와 비슷한 방법으로 증명된다.

가 유계라고 가정하자. 만약 가 공집합이라면 명백히 는 구간이다. 가 공집합이 아니라

고 하자. 그리고 in f , sup 라고 하자. 그러면 인 임의의 실수 에

하여 인 ∈가 존재한다. 따라서 ∈이다. 이것은 ⊆ 를

의미한다. 한편 보다 작거나 보다 큰 임의의 실수는 의 원소가 아니다. 따라서 , 가

의 원소인지의 여부에 따라 는 왼쪽 끝점이 이고 오른쪽 끝점이 인 개구간, 폐구간 또

는 반개구간이 된다.

60. (1) 가 연결이라고 하자. 이제 ∈이고 이면 ∈임을 보이자. 결론에

반하여 적당한 ∈와 적당한 ∈ 가 존재하여 ∉ 라고 가정하자. 여기서

∩∞ 와 ∩ ∞는 개집합이고 공집합이 아니며 서로소이다. 또

한 ∪이므로 는 분할되었다. 이는 모순이므로 그러한 , , 는 존재하지 않

는다. 즉 는 구간이다.

이제 역을 증명하기 위하여 가 연결이 아니라고 가정하자. 그러면 공집합이 아니고 서로

소인 개집합 , 가 존재하여 ∪이다. 일반성을 잃지 않고 ∈ , ∈ ,

라고 하자. sup∩ 라고 하면 ∈이다. 따라서 ∉이므로

≤ 이다. 만약 ∉이면 이므로 ∉ 이다. 만약 ∈이면 ∉

이므로 이고 ∉인 이 존재한다. 따라서 이고 ∉ 이다.

이것은 가 구간이 아님을 의미한다.

(2) 는 연결이지만 는 연결이 아니라고 가정하자. 그러면 서로소이고 공집합이 아닌

두 개집합 , 가 존재하여 ∪이다. ∩ , ∩

라고 하면 ∪이다. 는 연결이고 , 는 서로 소인 개집합이므로 와 중

하나는 공집합이다. ⊆ 이므로 ⊆ 이다. 그런데 가 연속이므로

는 폐집합이고 ⊆ 이다. 따라서 ⊆ 이다. 이고

∩ ∅이므로 ∩ ∅이다. 마찬가지로 ∩∅이다. 따라서 ∪는

분할되었다. 그러나 ∪는 연결이므로 이는 모순이다.

(3) →ℝ가 연속이고 라고 하자. 그리고 라고 하


자. 는 연결이므로 도 연결이다. 또한 ∈ 이고

∈ 이므로 ∈ 이다. 따라서 인 ∈ 가 존재한다.

61. ∈ℕ ∈ℕ ∪

∈ℕ∪

IV 실함수의 미분

1. (1) 거짓

(2) 거짓

(3) 참

(4) 참

(5) 거짓

(6) 참

(7) 참

(8) 거짓

2. 다음 등식을 보라.

′ ,

″ ′

,

.

따라서 형식적(formally)으로는 수학적 귀납법에 의하여

라고 할 수 있다. 한편

이므로 형식적으로 의미가 없다.

3. 도함수의 정의역은 본래 함수의 정의역의 부분집합이다.

4. 다른 함수의 도함수가 될 수 없다. 연습문제 4-27에 의하면 도함수는 중간값 성질을 가진

다. 그러나 가우스 함수는 중간값 성질을 갖지 않는다.

5. , 즉 와 는 상수 차이이다.

6. (1) ′

연습문제 풀이

373디자이너앨리스4. 실함수의 미분

(2) ′ (3) ′ (4) ′

7. 접선의 방정식 :

법선의 방정식 :

8. ′9. ′ 이므로 방정식 ′ 을 풀면

또는 이다.

는 ℝ에서 미분 가능하므로 가 극점을 갖는 점은 ′ 인 이다. 따라서 는

과 에서 극점을 가지며 극값은 다음과 같다.

,

10. 의 도함수는 다음과 같다.

′ i f ≤ i f

따라서 ′은 연속이다.

11. 의 도함수는 다음과 같다.

′ i f ≤ i f

따라서 일 때 ′은 연속이 된다. 한편 미분 가능한 함수는 연속이므로

lim→


12. 가 미분 가능하려면 는 과 에서 연속이어야 한다. 따라서 , 이다. 한

편 가 에서 미분 가능하려면 이 되어야 한다. 따라서 이다.

13. 양수 가 존재하여 임의의 에 하여 ′ 가 성립한다고 하자. 임의로 주어진

양수 에 하여 라고 하자. ≠ 이고 일 때 평균값 정리에 의하여

와 에 가 존재하여

′

를 만족시킨다. 양변에 를 곱하면

′ 이 성립한다.

14. (1) 인 경우에는 당연히 sin sin ≤ 이다. ≠ 인 경우에는 평


균값 정리에 의하여 와 사이에 가 존재하여

sin sin cos ≤

을 만족시킨다. 양변에 를 곱하면 문제의 부등식을 얻는다.

(2) ≠이면 평균값 정리에 의하여

를 만족시키는 가 과 사이에 존재한다. 따라서 를 얻는다. 또한

일 때에는 당연히 이다.

(3) 라고 하면 ′ 이다. ≠일 때 평균값 정리에

의하여 와 사이에 가 존재하여

을 만족시킨다. 이면 이므로 이다. 따라서

를 얻는다. 이면 이므로 이다. 따라서

가 성립한다.

15. (1) , 로피탈의 정리를 이용한다.

(2) , 로피탈의 정리를 이용한다.

(3) ln , 로피탈의 정리를 이용한다.

(4) , 로그를 취한 뒤 로피탈의 정리를 이용한다.

16. ln

, 로그를 씌운 뒤 로피탈의 정리를 이용한다.

17. ″, 로피탈의 정리를 이용한다.

18. 가 에서 연속임은 이미 3-17에서 증명하였다. 에서 의 좌도함수는 ′ 이고

우도함수는 ′ 이므로 에서 는 미분 불가능하다.

19. (1)

′

(2) ′cos ′cos (3) ′ ′

′

(4) ′ ′ln ′sin

20. ′ 이므로 ′ 이다. 일 때 ′ 이므로 에서 접선의

연습문제 풀이


방정식은 이다.

21. ′ lim→

lim→

′ lim→

22. ′ i f i f ≤ , ″

i f i f

23. (1) ′ lim→sin

lim→ sin

(2) ≠일 때 ′ sin cos

이다.

,

이라고 하면 lim lim 이지만 lim ′ ≠ lim ′ 이므로 ′은

에서 연속이 아니다.

24. 의 도함수를 구하면

′

sin i f ≠

i f 이다.

이라고 하면 lim 이지만 lim ′ ∞이므로 ′은 의 근방에서 유계가 아

니다.

25. 임의의 양수 에 하여 이라고 하면 일 때

≤ 이므로 ′ 이다. 이제 가 이 아닌 다른 점에서 미분 가능하지 않음을 증명하자.

≠ 이라고 하자. 그러면 에 수렴하는 유리수열 ⟨⟩과 무리수열 ⟨⟩이 존재한다.

그런데 lim ≠ lim 이므로 는 에서 연속이 아니다. 따라서 는

에서 미분 가능하지 않다.

26. ′ 이므로 는 증가 함수이다. 라고 하면 역함수의 미분법에 의

하여

′


을 얻는다.

27. 라고 하자. 그러면 ′ 이므로 인 이 에

존재한다. 한편 ″ 이므로 인 가 에 존재한다. 따라서 는

에서 최솟값을 가진다. 여기서 가 ∈ 에서 최솟값을 가진다고 하자. 그러면

′ 이다. 이때 ′ 이 된다.

28. 도함수는 중간값 성질을 가지므로 에서 ′의 부호는 일정하다. 일반성을 잃지 않고

임의의 ∈ 에 하여 ′ 이라고 가정하자. 그러면 는 에서 증가하는

함수이다. 한편 와 의 부호가 다르므로 연속 함수의 중간값 정리에 의하여 와

사이에 인 가 존재한다. 는 증가 함수이므로 그러한 는 유일하다.

29. 일반성을 잃지 않고 라고 하자. 주어진 조건에 의하여 이면 ′ ≠ 이고 ≠ 이다. 그리고 함수 →ℝ를 로 정의하자. 그러면 임의의

∈ 에 하여 ≠ 이므로 는 잘 정의된 함수이다. 여기서

′

′ ′ ≠

이므로 는 증가만 하거나 감소만 한다. 만약 가 단조가 아니라면 도함수의 중간값 성질

에 의하여 ′ 인 ∈ 가 존재해야 하기 때문이다. 이제 일반성을 잃지 않고

가 증가 함수라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

lim→

∞ , lim→

∞

따라서 연속함수의 중간값 정리에 의하여 인 ∈ 가 존재한다. 가 증

가 함수이므로 그러한 은 유일하다. 여기서 의 정의에 의하여 이면

이므로 은 의 유일한 근이다.

30. 일반성을 잃지 않고 라고 하자. 가 에서 상수함수인 경우는 자명하다. 따라서

가 상수함수가 아니라고 가정하자. 그러면 의 한 점 에서 는 극값을 가진다. 따

라서 ′ 이다. ′ , ′ 이므로 롤의 정리에 의하여 ∈ 가 존

재하여 ″ 이다. 마찬가지로 ∈ 가 존재하여 ″ 이다. 끝으로

과 는 서로 다른 점이므로 이 두 점 사이에 가 존재하여 이다.

31. (1) 아래로 볼록한 모양이다. 즉 인 임의의 ∈ 에 하여 위의 그래프 위

의 두 점 , 를 이은 선분이 의 그래프의 위쪽에 놓이게 된다.

(3) 부등식 ≤ 를 변형하면

≤

가 된다. 여기서 , , 라고 하면

≤

연습문제 풀이


를 얻는다. 다른 하나의 부등식도 같은 방법으로 유도할 수 있다.

(3) ⊆ 라고 하자. 그러면 (2)에 의하여 서로 다른 ∈ 에 하여

≤

≤

를 얻는다. 양변에 를 곱하면

≤ ≤

이다. 따라서 적당한 양수 이 존재하여

≤

이 된다. 즉 는 에서 평등연속이다. 는 의 임의의 폐부분구간이므로

는 에서 연속이다.

32. 먼저 수학적 귀납법을 이용하여 임의의 자연수 과 ≤ ≤ 인 정수 에 하여

≤

(1)

이 성립함을 보이자. 인 경우 은 , , 중 하나의 값을 가질 수 있다. 이 세 경

우 모두 자명하게 부등식이 성립한다.

이제 자연수 과 ≤ ′≤ 인 정수 에 하여

′ ′ ≤

′ ′

가 성립한다고 하자. 이 ≤ ≤ 을 만족시키는 정수라고 하자. 그러면 ≤

또는 ≤ 이 성립한다. ≤ 인 경우는

≤

≤

가 성립한다. ≤ 인 경우는 위 부등식의 와 를 바꾸어 쓰면 동일한 부등식

이 증명된다. 이로써 부등식 (1)이 증명되었다.

이제 ≤ ≤ 인 실수 가 임의로 주어졌다고 하자. 분모가 의 자연수 제곱인 분수들의

모임은 ℝ에서 조 하므로, 즉 집합

∈ℤ ∧ ∈ℕ

은 ℝ에서 조 하므로, 정수열 ⟨⟩이 존재하여


lim→∞ , ≤ ≤

을 만족시킨다. 이때 부등식 (1)에 의하여 임의의 에 하여

≤

가 성립한다. 는 연속이므로 양변에 →∞인 극한을 취하면

≤

를 얻는다. 따라서 는 볼록이다.

33. 볼록함수에 한 명제만 증명하자.

(⇒ ) 가 에서 볼록이라고 가정하자. 그리고 라고 하자. ,

일 때

≤

를 얻는다. 우변에 → 인 극한을 취하면

≤ ′

를 얻는다. 좌변에 → 인 극한을 취하면

′ ≤ ′를 얻는다. 따라서 ′이 단조증가이므로 ″은 음이 아닌 값을 가진다.

(⇐ ) ″이 음이 아닌 값을 가지면 ′은 단조 증가하는 함수이다. 이제

라고 하면 이고

′ ′ 이므로 ′ ≥ 이다. 따라서 는 에서 단조증가이므로 임의의 ∈ 에

하여

≤

가 성립한다.

34. 결론에 반하여 ″ 이라고 가정하자. 그러면

″ lim→ ′ ′

이므로 양수 가 존재하여 일 때마다

′ ′

이 성립한다. 라고 하면 인 ∈에 하여 ′ 이고

인 ∈에 하여 ′ 이다. 즉 에서 는 순증가하므로 ∈ 에 하여 이다. 이것은 가 에서 극솟값을 갖는 것에 모순이다.

연습문제 풀이


35. ′ lim→

lim→

′ ,

′ lim→

lim→

′ .

36. i f ∈ℚ i f ∉ℚ

37. 이라고 하자. 그러면 양수 이 존재하여 을 만족시키는 임의의

∈에 하여

′ 이 성립한다. 이때 평균값 정리에 의하여 ∈ 이 존재하여

′

을 만족시킨다. 다시 min 인 양수 가 존재하여 인 임

의의 ∈에 하여

′ 가 성립한다. 이때 평균값 정리에 의하여 ∈ 가 존재하여

′

를 만족시킨다. 이제 양수 와 인 실수 ∈가 주어졌다고 하자. 그러면 양수

이 존재하여 min 를 만족시키면서 인 임

의의 ∈에 하여

′ 이 성립한다. 이때 평균값 정리에 의하여 ∈ 이 존재하여

′

을 만족시킨다. 임의의 에 하여 가 성립하므로 ⟨⟩은 에 수렴한

다. 그리고 ⟨⟩의 정의에 의하여 ⟨⟩은 단조감소한다. 한편 임의의 에 하여

′ ′ 이므로 ⟨ ′ ⟩은 ′에 수렴한다.

이제 양수 이 새롭게 임의로 주어졌다고 하자. 함수의 극한의 코시 조건에 의하여 양수

이 존재하여 이고 일 때마다


′ ′

이 성립한다. 또한 ′ → ′이므로 자연수 이 존재하여 일 때마다

′ ′

,

을 만족시킨다. 따라서 임을 가정하면

′ ′ ≤ ′ ′ ′ ′ 이 성립하므로 lim

→ ′ ′이다.

38. 로피탈의 정리를 이용하면

lim→ ∞

lim→ ∞

lim→ ∞

′

lim→ ∞

′ 를 얻는다.

39. ∈ 가 임의로 주어졌다고 하자. 그리고 ∈ 이며 ≠라고 하자. 그러면 테

일러의 정리에 의하여 와 사이에 가 존재하여

′ ″

이 성립한다. 라고 하면 위 식은

′ ″

가 된다. 따라서

′ ″

이므로 양변을 로 나누어 변형하면

′

″

≤

″ ≤

가 성립한다. 위 부등식은 임의의 ∈ 에 하여 성립하므로

′ ≤ in f

∈ 가 성립한다.

40. 는 다항 함수이므로 명백히 임의 횟수로 미분 가능하다. 더욱이 는 차 다항 함수이므

연습문제 풀이


로 의 차 테일러 전개는 와 일치하게 된다. 따라서

⋯ ,

⋯

이 성립한다. 이므로 롤의 정리에 의하여 ∈ 이 존재하여

′ 을 만족시킨다. 다시 롤의 정리에 의하여 서로 다른 의 두 원소 , 가 존재하

여

을 만족시킨다. 이 과정을 번 반복하는 수학적 귀납법을 이용하면 문제의 결과를 얻는다.

41. 평균값 정리에 의하여 인 가 존재하여

′ ′ 를 만족시킨다. 따라서

lim→ ∞

lim→ ∞

′ lim→ ∞

′ 을 얻는다.

42. 문제의 조건에 의하여 ′은 에서 평등연속이다. 따라서 주어진 양수 에 하여 양

수 가 존재하여 이고 ∈ 일 때마다

′ ′ 이 성립한다. 평균값 정리에 의하여 와 사이에 가 존재하여

′

를 만족시킨다. 이때 이고 ′ ′ 이므로,

이고 ∈ 일 때마다

′ 이 성립한다. (참고로 이러한 부등식 조건을 만족시킬 때 는 에서 평등미분 가능하

다고 말한다.)

43. 가 임의로 주어진 양수라고 하자. 그리고 ∞에서

sup , sup ′ , sup ″ 라고 하자. 이면 테일러의 정리에 의하여 적당한 ∈ 가 존재하여

′ ″

를 만족시킨다. 따라서

′ ≤ ≤


를 얻는다. 양변을 제곱하면

≤

를 얻는다. 이때 는 유계이고 →∞일 때 →이므로 →이다. 따라서

→ ∞일 때 ′ → 을 얻는다.

44. 문제의 조건에 의하여

′ lim→

lim→

⋅lim→

′

을 얻는다.

45. (ⅰ) 가 보다 크고 보다 작은 유리수라고 하자. 그리고

이며 와 가 서로소인

자연수라고 하자. 그러면 에 수렴하고 모든 항이 에 속하는 무리수열 ⟨⟩이 존

재한다. 이때

lim→∞ lim

→∞ ∞

이므로 는 에서 미분 가능하지 않다.

(ⅱ) 가 보다 크고 보다 작은 무리수라고 하자. 그러면 에 수렴하고 모든 항이

에 속하는 무리수열 ⟨⟩이 존재한다. 이때

lim→∞

이 된다. 한편 의 십진법 소수 전개를 ⋯이라고 하자. 그리고 유리수열

⟨⟩을

⋯

로 정의하자. 그러면 ⟨⟩은 에 수렴한다. ≠ 이므로 min ≠ 이 존재

하고, ≥ 인 임의의 자연수 에 하여

times ⋯ ⋯

,

≥

이다. 따라서

연습문제 풀이

383디자이너앨리스5. 리만 적분

≥

이므로

lim→∞

≥

이다. 따라서 극한의 수열 판정법에 의하여 는 에서 미분 불가능하다.

V 리만 적분

1. (1) 참

(2) 거짓, 5-27을 참조하라.

(3) 거짓

(4) 거짓

(5) 참, 상수함수는 상합과 하합이 같다.

(6) 거짓, 5-33을 참조하라.

(7) 참

(8) 참, 다항함수는 연속 함수이다.

(9) 거짓, 불연속인 점의 개수가 무한이더라도 불연속 점들의 집합이 측도 제로이면 리만

적분 가능하다.

(10) 거짓, 유계인 함수일지라도 유계가 아닌 구간에서 적분할 때에는 특이적분을 해야 한

다.

2.

i f ∈ℚ∖ otherwise

3. 집합의 분할은 서로소인 집합들의 모임이지만 리만 적분에서 구간의 분할은 그 원소들이

서로소가 아니다.

적분은 도형의 넓이의 개념을 수학적으로 정의한 것이다. 이때 구간의 분할은 비록 서로소

는 아닐지라도 각 성분구간이 서로 겹치는 부분(교집합)의 체적(길이, 넓이, 부피)이 0이므

로 넓이를 계산하는 관점에서는 서로소와 같다고 볼 수 있다.

4. 리만 적분 가능할 필요충분조건은 리만 합이 수렴하는 것이다.

5. 리만 적분 가능하면 그 적분값을 구분구적법으로 계산할 수 있지만 구분구적법으로 계산하

는 극한이 수렴할지라도 적분 불가능할 수 있다.

6. 부정적분은 본래 도함수의 역연산이지만 정적분을 계산하는 데에 유용하게 사용된다. 특히

적분 구간을 변수로 갖는 함수는 피적분함수의 부정적분이 된다.


7. (1) 치환 적분법에 의하여 다음을 얻는다.

.

(2) 치환 적분법에 의하여 다음을 얻는다.

8. (1) lim→∞

lim→∞

(2) lim→∞

(3) lim→∞

9. 상수는 생략하고 표기하겠다.

(1)

연습문제 풀이


(2)

(3) sin(4) tan(5) tan (6) ln tan

10. 로피탈의 정리에 의하여 다음을 얻는다.

lim→

lim→

lim→

11. (1)

(2)

(3)

12. ,

13. 다음 풀이에서 는 모두 상수이다.

(1) sin sin

cos

sin

cos

cos

이므로

sin

sin

cos

sin

cos .

(2) ln ln

ln

ln

.


(3) ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln

ln

ln ln ln ln

ln ⋮

ln ln ln ln ⋯

P ln .

(4)

.

14. 적분 가능하다. 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 여기서 이라고 해도 일반성을 잃

지 않는다. 이제 이라고 하자. 가 에서 연속이므로 의 분할

이 존재하여

을 만족시킨다. 그리고 가 에서 연속이므로 의 분할 가 존재하여

을 만족시킨다. 을 구간 의 한 분할이라고 하면 ≤ ≤ 이므로

≤ × × ≤

이 성립한다. ∪∪라고 하면 는 의 분할이 된다. 이때

연습문제 풀이


이므로 는 에서 리만 적분 가능하다.

15. 구간 에서 의 상한을 , 의 하한을 이라고 하자. 그리고 양수 이 임의로 주

어졌다고 하자. 그러면

인 양수 가 존재한다. 또한 의 분할 이 존

재하여

을 만족시킨다. ∪라고 하면 는 의 분할이 된다. 여기서

≤

이 성립하므로 는 에서 리만 적분 가능하다.

16. 일반성을 잃지 않고 가 단조 증가라고 하자. 분할 를

∈ℕ ≤ ∪이라고 하면

,

이다. 따라서 다음을 얻는다.

≤

17. ′이 연속이므로 ′와 ′도 연속이다. 두 함수 , 를 각각

′ ,

′ 라고 정의하면 , 는 단조 증가하는 함수이다. 또한 를 만족시킨다.

18. 증명의 편의를 위하여 ≠ , ≠ 라고 하자. ( 이거나 인 경우의 증명도 비슷

하다.) 가 연속이므로 양수 가 존재하여 일 때마다


를 만족시킨다. 여기서 는 , 가 될 정도로 작다고 가정하여도 일반성을

잃지 않는다. 이 부등식을 변형하면

≥

를 얻는다. 이제 의 분할 를 라고 하자. 그러면

in f in f in f ≥ in f ≥ ⋅

이므로

≥

을 얻는다.

19. 절댓값 함수는 연속이며

max

,

min

이므로 와 는 에서 적분 가능하다.

20. 결론에 반하여 적당한 ∈ 에 하여 ≠ 이라고 가정하자. 증명의 편의를 위하

여 ≠ , ≠ 라고 하자. ( 이거나 인 경우의 증명도 비슷하다.) 가 연속이므

로 양수 가 존재하여 일 때마다

를 만족시킨다. 여기서 는 , 가 될 정도로 작다고 가정하여도 일반성을

잃지 않는다. 이 부등식을 변형하면

≥

를 얻는다. 함수 →ℝ을 다음과 같이 정의하자.

i f ≥ i f i f otherwise

연습문제 풀이


그러면

≥

이므로 모순이다.

21. 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 가 양수이고 가 적분 가능하므로 의 분할

≤ ≤ 가 존재하여

을 만족시킨다. 따라서

≤

이 성립한다. 여기서 sup , in f 이다.

22. 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 그러면

lim→

이므로 양수 이 존재하여 다음 부등식을 만족시킨다.

또한 가 에서 적분 가능하므로 양수 가 존재하여 일 때마다

을 만족시킨다. min 이라고 하고 인 자연수 을 택하자. 그러면

인 임의의 자연수 에 하여 ∈ℕ ≤ ≤ 은 폐구간

의 분할이 된다. 이러한 , , 에 하여

≤


≤

이 성립한다.

23. 에서 의 상한을 이라고 하자. 일반성을 잃지 않고 가 와 에서는 연속이라

고 가정하자. 즉 의 내부에서만 불연속점을 가진다고 가정하자. 에서 가 불연

속인 점들의 집합을 라고 하자. 이제 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 유한 개

의 개구간 들이 존재하여 ⊆∪ 이고

을 만족시킨다. 특히 의 모든 점은 의 내점이므로

∩

라고 해도 ⊆∪ 이고

≤

이 된다. 한편 ∖∪ 라고 하면 는 폐구간들의 합집합으로 나타낼 수

있다. 가 개의 서로 소인 폐구간 들의 합집합으로 표현된다고 하자. 에

서 는 연속이므로 리만 적분 가능하다. 따라서 분할 가 존재하여

을 만족시킨다. 이제

∪

라고 하면 는 의 분할이며 에서

⋅ ⋅


24. ℝ에서 의 특이적분이 에 수렴한다고 가정하자. 이제 양수 이 임의로 주어졌다고 하자.

그러면 ∞에서 의 특이적분도 수렴하며 ∞ 에서 의 특이적분도 수렴한다.

∞

, ∞

라고 하면 특이적분의 정의에 의하여 이다. 한편 양수 이 존재하여

일 때마다

연습문제 풀이


이 성립한다. 또한 음수 가 존재하여 일 때마다

이 성립한다. max 라고 하자. 그러면 일 때마다

≤

이므로 ℝ에서 의 특이적분의 주치는 에 수렴한다.

25. 함수 →ℝ를

라고 정의하자. 그러면 는 에서 미분 가능하다. 따라서 다음을 얻는다.

′ ′ ′ ′

.

26. (1) 발산

(2) 수렴

(3) 수렴

(4) 수렴

(5) 수렴

(6) 수렴

(7) 발산

(8) 수렴

(9) 수렴

27. 구간 에서 를 다음과 같이 정의한다.

i f ∈ℚ i f ∈ℚ

이때 는 에서 적분 가능하지 않지만


lim→∞

lim

→∞

lim→∞

이다.

28. 에서 의 적분값을 라고 하자. 이제 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 가

에서 리만 적분 가능하므로 분할 이 존재하여

이 성립한다. 가 에서 리만 적분 가능하므로 분할 가 존재하여

이 성립한다. ∪라고 하면 는 과 의 공통세련분할이 된다. 또한

≤

≤

이므로 는 에서 리만 적분 가능하다. 한편

≤ ≤

이므로

≤

≤

인데 은 임의의 양수이므로

이다.

29. 연습문제 5-25의 라이프니츠 적분 공식에 의하여 다음을 얻는다.

⋅

⋅

.

30. 함수 →ℝ를

라고 정의하면 는 연속이다. 이때 적분의 평균값 정리에 의하여 ∈ 이 존재하여

연습문제 풀이

393디자이너앨리스6. 무한 급수

을 만족시킨다. 이때 ≠ 이므로 이 된다.

31. 이라고 하면 ⟨⟩은 단조 감소하는 수열이고 에 의하여 아래로 유계이

므로 수렴한다. 그 극한을 라고 하면

ln lnlim→∞ lim→∞

ln

lim→∞

ln

ln 이다. 따라서 이다.

32. 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 ≥ 인 자연수 의 개수는 유한이다. 따라서

∈ ≥

은 유한집합이고 ⊆ℚ이다. 이제 D 라고 하자. 여기서 는 의 원소의 개수를

의미한다. 그리고

을 만족시키는 의 분할 ≤ ≤ 를 택하자. 라고 하면

의 원소를 포함하고 있는 는 많아야 개 이하이다. 즉 sup ≥

을 만족시키

는 는 많아야 개 이하이다. 또한 는 에 의하여 위로 유계이다. 따라서

sup

≤

⋅

⋅

이다. 그리고 는 에 의하여 아래로 유계이므로

≥

이다. 여기서


33. 함수 → ℝ를 연습문제 5-32에서 정의한 것이라고 하고 함수 를

i f ≠ i f

라고 하자. 그러면 가 유리수이고 일 때 이고 그 외에는

이므로

∘ i f ∈ ∩ℚ i f otherwise

이다. 따라서 ∘ 는 의 어떠한 부분구간에서도 리만 적분 가능하지 않다.


VI 무한 급수

1. (1) 거짓. 모든 항이 인 급수도 양항급수이지만 그 합은 이다.

(2) 거짓. 이라고 하면 ⟨⟩은 유계이지면 은 발산한다.

(3) 참

(4) 거짓. 이라고 하면 ⟨⟩은 에 수렴하지만 은 발산한다.

(5) 거짓. 이라고 하면 과 은 교 급수 판정법에 의하

여 수렴하지만 은 조화급수로서 발산한다.

(6) 참

2. ⟨⟩이 유계이므로 양수 가 존재하여 임의의 에 하여 를 만족시킨다. 이

때 임의의 에 하여 이고 가 수렴하므로 양항급수의 비교

판정법에 의하여 도 수렴한다.

3. (1) 수렴

(2) 수렴

(3) 수렴

(4) 수렴

(5) 수렴

(6) 이면 수렴, ≤ 이면 발산.

(7) 수렴

(8) 수렴

(9) 발산

(10) 수렴

4. (1) ln(2)

(3)

5. 이 수렴하므로 자연수 이 존재하여 ≥ 일 때마다 이 성립한다. 이때

≤

이므로

∞

∞

≤

연습문제 풀이


이다. 따라서 유계 판정법에 의하여 은 수렴한다.

한편 만약

이라고 하면 은 수렴하지만 은 발산한다. 따라서 문제에서 양항급수라는 조건이

빠지면 결론을 얻을 수 없다.

6. 연습문제 6-5의 풀이와 비슷하다. 즉 이 수렴하므로 자연수 이 존재하여 ≥

일 때마다 이 성립한다. 이때

≤

이므로

∞

∞

≤

이다. 따라서 유계 판정법에 의하여 는 수렴한다.

7. 산술평균과 기하평균의 소 관계에 의하여

≤


∞

≤

∞

∞

이 성립한다.

8. 임의의 자연수 에 하여

≤

≤

∞

이므로 은 수렴한다.

9. 주어진 급수를 이라고 하면

≤

≤

∞


10. ≥ 일 때


이므로 교 급수 판정법에 의하여 ⟨⟩은 수렴한다.

11. (1) 수렴

(2) 발산

12. 임의의 자연수 에 하여 ≥ 이고 ≥

이다. 따라서

⋯≤

⋯

⋯

×


13. 임의의 자연수 에 하여

이 성립한다.


이므로

을 얻는다. 이때 이므로

을 얻는다. 따라서 ⟨⟩은 축약 수열이므로 수렴한다. 그 극한을 이라고 하면

을 얻는다. ≥ 이므로 이 방정식을 풀면

를 얻는다.

14. 연속함수의 성질과 구분구적법에 의하여 다음을 얻는다.

lim→∞

ln

lim→∞

ln

⋯

lim→∞ ln

⋯

연습문제 풀이


lim→∞

ln

ln

ln ln ln

따라서 lim→∞

이다.

15.

, lim→∞ 라고 하자. 그러면 lim

→∞ 이다. 또한

⋯ ≥ ⋯

이므로 ≤ ≤ 이다. 따라서 lim→∞ 이고

lim→∞

이다. 그런데 ≤ 이므로

≤

⋅

이고

lim→∞

이다. 즉 ⟨⟩의 짝수 번째 항과 홀수 번째 항이 모두 에 수렴하므로

lim→∞

이다.

16. 일 때

이므로 에서 각 변을 적분하면

ln ln


ln ln

이므로 이것을 변형하면

ln

을 얻는다. 즉 ⟨ ln⟩은 유계이다. 한편


ln ln

이므로

ln ln 이고 이것을 변형하면

ln ln 이다. 따라서 ⟨ ln⟩은 감소수열이다.

17. 테일러의 정리를 이용하면 가 충분히 작은 양수일 때

sin

가 성립한다. 따라서 충분히 큰 모든 에 하여

sin

이 성립한다. -급수 판정법에 의하여 일 때 수렴하고 ≤ 일 때 발산한다.

18. 수열 ⟨⟩이 유계이므로 양수 이 존재하여 임의의 에 하여 이 성립한다.

이때 이므로 ⟨⟩은 유계이고, 단조수렴정리에 의하여 수렴한

다. ⟨⟩의 극한을 라고 하자.

결론에 반하여 ≠이라고 가정하자. 그러면 이거나 이다.

먼저 인 경우를 살펴보자.

라고 하면 명백히 ⟨⟩은 감소 수열이며 ≤ 이므로 유계이

다. 따라서 ⟨⟩은 수렴한다. 이때 급수

lim→∞

∞

∞

은 수렴하므로 ⟨⟩은 에 수렴한다. 이것은 모순이다.

다음으로 인 경우를 살펴보자. 만약 ≥ 이면 앞의 경우와 마찬가지로 ⟨⟩은

유계이고 증가하는 수열이 되므로 수렴하며 ⟨⟩의 극한이 이 되므로 모순이다. 만약

이면 충분히 큰 자연수 이 존재하여 를 만족시킨다. 이때에도 ⟨⟩은 번째 항 이후로 증가하고 유계인 수열이 되므로 수렴한다. 이것은 ⟨⟩의 극한이

임을 의미하므로 모순이다.

19. lim→∞

이라고 하자. 만약 ∞이면 증명이 끝난다. 따라서 가 유한이라고

가정하자. 그리고 인 실수 가 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 상극한의 성질에 의

연습문제 풀이


하여 자연수 이 존재하여 ≥ 일 때마다

가 성립한다. 수학적 귀납법을 이용하면 자연수 에 하여

≤

을 얻는다. 이것을 변형하면 ≥ 일 때 ≤ ⋅이 된다. 따라서

lim→∞

≤lim→∞

⋅

가 성립한다. 여기서 는 인 임의의 실수이므로

lim→∞

≤

를 얻는다. 한편 비슷한 방법으로 하극한의 경우

lim→∞

≤

lim→∞

이 성립함을 증명할 수 있다.

20. lim 이고 이라고 하자. 인 를 택하고

라고 하면 lim lim 이다. 이므로

충분히 큰 에 하여

이다. 즉 이다. 그

런데 이 수렴하므로 도 수렴한다.

이번에는 lim ≥ 이라고 하자. 그러면 자연수 이 존재하여 ≥ 일

때 ≥ 를 얻는다. 이라고 하자. 그러면 ≥ 일 때

이다. 따라서

이고

이다. 그런데 이 발산하므로 도 발산한다. (Orrin Frink,

1948)

21. 수열 ⟨⟩을

로 정의하면 교 급수 판정법에 의하여 은 수렴한다. 또한 인 임의의 실수 에

하여 ≤ 이고 인 이 존재한다. 여기서

이므로 → ∞인 극한을 취하면


≤ →

을 얻는다. 따라서 ∞에서 의 특이적분은 수렴한다.

22. 연습문제 6-17에 의하여 급수

∞ sin

은 양의 무한 에 발산한다. 한편 테일러의 정리에 의하여

sin

이므로

sin

을 얻는다. 또한 위 부등식과 수학적 귀납법을 이용하면

≥ sin

을 얻는다. 이때

∞ sin

은 발산하므로

∞

도 발산한다.

23. 가 실수 집합의 가산 부분집합이라고 하자. 그러면 ℕ으로부터 에로의 전사함수

ℕ → 가 존재한다. 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 각 자연수 에 하여

이라고 하면 각 구간 의 길이는 이므로 모든 의 길이의 합은 보다 작다.

또한 명백히 ⊆∪이 성립한다. 따라서 는 측도 제로이다.

VII 함수열의 극한

1. (1) 거짓. 은 에서 점별수렴하지만 평등수렴하지 않는다.

(2) 거짓. 평등수렴하면 점별수렴한다.

(3) 참.

(4) 참.

(5) 참.

(6) 거짓. 의 수렴구간은 이지만 이 구간에서 평등수렴하지는 않는다.

연습문제 풀이

401디자이너앨리스7. 함수열의 극한

(7) 참. 더욱 정확히 말하면, 수렴구간에 속하는 폐구간 위에서 리만 적분 가능하다.

2. (1)

(2)

(3) ∞ ∞

(4)

(5)

(6)

3. 우함수의 정의에 의하여

∞

∞

∞

이 성립한다. 그런데 멱급수의 계수는 유일하므로 임의의 에 하여

이다. 따라서 이 홀수일 때에는 이 되어야 한다.

4. (1) 실수 전체 구간

(2) 실수 전체 구간

(3)

5. ≠

6. (1) 평등수렴

(2) 점별수렴

(3) 평등수렴

(4) 점별수렴

(5) 점별수렴

(6) 점별수렴

7. (1)

(2)

(3)

(4)

8. (1)

(2)


(3)

9. (1)

∞

∞

⇒

∞

⇒

⇒

(2)

∞

∞

(3)

∞

⇒

∞

⇒ ″

∞

⇒ ′ ln

⇒ ln ln

⇒

ln i f

i f (4)

∞

⇒

∞

⇒ ′

∞

∞

⇒

′

∞

⇒ ′

∞

⇒ ′

연습문제 풀이


⇒ ln

⇒

ln

i f

i f (5)

∞

⇒

∞

⇒

∞

⇒

∞

∞

⇒

⇒

⇒

ln

⇒ ln

⇒ ′

ln

.

(6)

∞

∞

⇒

∞

∞

∞

⇒

∞

⇒

⇒

⇒


⇒

ln

.

10. (1) 일 때 급수가 수렴하므로 아벨의 정리에 의하여 주어진 급수는 에서

평등수렴한다. 따라서 는 에서 연속이다.

lim→

∞

∞

.

(2)

→∞이므로 는 에서 평등수렴한다. 따라서 연속이

다.

∞

⇒

∞

∞

⇒

⇒

⇒ .

(3) 주어진 급수는 에서 평등수렴한다.

∞

∞

⋯

.

(4) 주어진 급수는 에서 평등수렴한다.

∞

∞

∞

.

11. ≔ 라고 하자. 그러면 ≤ 이고 이 수렴하므로 은 평등수렴

한다. 따라서

∞

∞

가 성립한다.

12. 가 의 내점이라고 하자. 그러면 인 가 존재한다. 그런데 은 구간

연습문제 풀이


에서 에 평등수렴하므로 는 에서 연속이다. 그런데 가 의 임의의 내점

이므로 는 에서 연속이다. 따라서 는 에서 리만 적분 가능하다.

함수열 ⟨⟩과 함수 가 유계이므로 인 양수 이 존재한다. 이제 양

수 이 임의로 주어졌다고 하자.

여기서 ≔ 이라고 하면

lim→∞

≤ lim→∞

lim→∞

lim→∞

lim→∞

이 성립한다. 여기서 이 임의의 양수이므로 문제의 등식이 성립한다.

13. (1) ≔

sin라고 하고 양변에 sin를 곱하면

sin

sin sin

cos

cos

cos cos

.

(2) ≔

cos라고 하고 양변에 sin를 곱하면

sin

sin cos

sin

sin

sin sin

.

14. 먼저 ≔ sin , ≔ 이라고 하자.

(ⅰ) 연습문제 7-13에 의하여

sin

cos cos

이고 ∈ 이므로 는 유계이다.

(ⅱ) 주어진 식을 변형하면


이므로 은 평등수렴한다.

(ⅲ) lim→∞ lim

→∞ 이다.

따라서 아벨 판정법에 의하여 은 평등수렴한다.

15. 가 의 폐부분구간이라고 하자. 그러면 임의의 ∈에 하여

sin sin

cos cos

이므로 sin는 유계이다. 그리고 →이며

도 수렴하므로

아벨 판정법에 의하여

sin는 에서 평등수렴한다.

16. 연습문제 7-15와 같은 방법으로 증명된다. 자세한 풀이는 7-31을 참고하라.

17.

∞

.

18. lim→∞

≤ lim→∞≤ lim→∞

이므로 수렴반경은 이다.

19.

라고 하자. 그리고 자연수 이 임의로 주어졌다고 하자. 이라고 하면

이다. 은 에서 연속이고 이므로 lim→

이다. 따라서

인 가 존재하여 ≥

이다. 즉

≥

이므로 ⟨⟩은 에서 평등수렴하지 않는다.

구간 를 이라고 하면 이다. ≔ max 이라고 하자. 그러

면 이므로 임의의 에 하여 인 자연수 이 존재한다. 따라서

이면 임의의 ∈에 하여

≤

이므로 ⟨⟩은 에서 평등수렴한다.

20. 가 유계인 구간이라고 하자. 그러면 ∈ ⇒ 를 만족시키는 양수 가 존재한다.

이제 ≔ 이라고 하자. 그러면 이 수렴하고

연습문제 풀이


∈ ⇒ ≤

이므로 은 에서 평등수렴한다.

이제 가 유계가 아닌 구간이라고 하자. 일반성을 잃지 않고 가 위로 유계가 아니라고 하

자. ≔ 이라고 하고 임의의 자연수 에 하여 ≔ , ≔ 라고 하자. 그

러면 이다. 여기서 가 유계가 아니므로 인 ∈가 존재한다. 따라서

이므로 은 에서 평등수렴하지 않는다.

21. ≔ 이라고 하면 sin ≤ , cos ≤ 이므로 -판정법에 의하

여 두 급수는 평등수렴한다.

22. 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 각 에 하여 양수 이 존재하여

일 때마다 이 성립한다. min ∈라고 하자.

그러면 일 때마다 임의의 에 하여 이 성립한다.

23.

이라고 하자. 먼저 폐구간 에서

이 성립한다. 또한 에서 의 도함수를 구하면 ′≥ 이므로

이 최댓값이다. 이때

≤

이다. 한편 은 수렴하므로 -판정법에 의하여 주어진 급수도 수렴한다.

24. 임의의 에 하여 sup sin 이므로

∞

도 수렴한다. 이때 연습문제 6-15에 의

하여 lim→∞

이다.

25. 삼각함수의 성질에 의하여 다음을 얻는다.

sin sin sin

cos

≤ sin

≤

.


26. 적분의 성질에 의하여

sin

sin

를 얻는다. 그런데 특이적분

∞

sin

가 수렴하므로 연속함수의 성질에 의하여

sin

으로 정의된 함수 ℕ →ℝ은 ℕ에서 최댓값 를 가진다. 따라서

lim→∞

sin

lim→∞

을 얻는다.

27. (2) ≔ 이라고 하고 자연수 이 임의로 주어졌다고 하자. 라고 하

면 이다. ⟨⟩가 전사이므로 에 포함되는 항의 개수가 무한이다. 따

라서 이고 ∈ 인 가 존재한다. 여기서

⋅

⋅

≥

≥ ⋅

이므로 평등수렴하지 않는다.

28. 양수 이 임의로 주어졌다고 하자. 평등수렴의 정의에 의하여 자연수 이 존재하여

≥ 일 때마다 임의의 ∈ 에 하여

이 성립한다. 이때

≤

연습문제 풀이


≤

을 얻는다.

29. 먼저 이 유계임을 보이자. 만약 이 유계가 아니라면

⇒

인 이 존재한다. 인 , 그리고 임의의 에 하여 을 만

족시키는 ∈ 이 존재한다. 이러한 에 하여

≥

이므로 lim→

≥ 가 되어 모순이다. 따라서 은 유계이므로 수렴한다.

아벨의 정리에 의하여 이 에서 평등수렴하므로 는 에서 연속이다.

따라서 lim→

이다.

30. (1) 에서 의 최댓값을 이라고 하면 다음을 얻는다.

≤

따라서 → ∞인 극한을 취하면 문제의 등식을 얻는다.

(2) 에서 의 최댓값을 이라고 하자. 그리고 양수 이 임의로 주어졌다고 하자.

그러면 보다 작은 양수 가 존재하여 ∈ 일 때마다

을 만족시킨다. 이제 자연수 이 존재하여 일 때마다

을 만족시킨다. 한편

이므로 동일한 에 하여 일 때 다음이 성립한다.

≤

≤


≤

.

31. (ⅰ) ≠ , ∈ℤ인 가 임의로 주어졌다고 하자. 그러면 정수 이 존재하여

∈ 가 성립한다. 이때 양수 가 존재하여

∈ ⊆ 가 성립한다. 한편

cos sin

sin cos ≤sin

이므로

cos는 위에서 평등유계이고 수열 ⟨⟩는

에 단조수렴하는 양항수열이므로 디리끌레 판정법에 의하여 급수

∞

cos

는 위에서 평등수렴한다. 한편 급수

∞

sin

은 위에서 점별수렴하므로

∞

sin

∞

cos

이 성립한다.

(ⅱ) , ∈ℤ일 때 문제에서 주어진 등식은 양변 모두 양의 무한 에 발산한다.

따라서 (ⅰ)과 (ⅱ)에 의하여 임의의 에 하여 등식이 성립한다.

32.

이라고 하면 은 수렴하므로 -판정법에 의하여 주어진 급수는 평등수

렴한다. 따라서 는 연속이다.

이제 실수 와 자연수 이 임의로 주어졌다고 하자. 그리고

±

이라고 하자. 여기서 부호는 이 와 사이에 놓이도록 택한다. 이것은

연습문제 풀이

411디자이너앨리스8. 실해석적 함수

이기 때문에 가능하다. 이제

이라고 하자. 일 때 은 짝수이므로 이다. 한편 임의의 , 에 하여

≤ 이므로 ≤ ≤ 일 때 ≤ 이 성립한다.

이므로 다음 부등식을 얻는다.

≥

여기서 → ∞인 극한을 취하면 → 이므로 는 에서 미분 불가능하다.

VIII 실해석적 함수

1. (1) 참

(2) 참

(3) 참

(4) 참

(5) 거짓, sin와 는 모두 에서 해석적이지만 sin 은 에서 해석적이지 않

다.

2. 로그함수의 성질에 의하여 다음을 얻는다.

ln ln

ln ln ln ln 따라서 양변을 미분하면

′

을 얻는다. 양변에 를 곱하면

′

을 얻는다. 물론 이 식을 정리하면 더 간단한 식으로 변형할 수 있다.


3. (1) 기하급수의 성질에 의하여

⋯

이므로 양변일 적분하면

tan

⋯

을 얻는다.

(2) 지수함수 exp의 정의에 의하여 다음을 얻는다.

ln lnln

ln

ln ⋯

(3) ′ ∞이므로 는 에서 해석적이지 않다.

(4) cosh

⋯

⋯

⋯

(5) ′ ln ln

⋯ ⋯

⋯

이므로 양변의 부정적분을 구하면

⋯

이다.

(6)

⋯

⋯


⋅⋅⋅⋅

⋯

이다.

(7) cos

⋯

연습문제 풀이


⋯


⋅⋅⋅⋯

이다.

(8) sincos sin

⋯


sin

⋯

이다. 따라서

sin

⋯

이다. 다시 양변의 부정적분을 구하면

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋯

을 얻는다.

4. 사인 함수의 멱급수 정의와 교 급수의 성질에 의하여 양수 에 하여

≤ sin≤

이므로 각 변에 을 곱하고

을 입하면

≤ sin

≤

을 얻는다. 따라서 조임정리에 의하여 문제의 등식을 얻는다.

5. 먼저

을 부분분수로 나누면 다음과 같다.

위 식을 에 하여 적분하면 다음을 얻는다.

ln

ln


ln

ln tan

.

6. 등식 의 양변에 로그를 취하면

ln ln 을 얻는다. 양변을 미분하면

′

′ ln ′

이므로

′ ln ′ ln

′

를 얻는다.

7. 정리 6.2.5를 참고하라.

8. sin

, cos

( )

9. , , 이라고 하자. 그리고 ≤ ≤ 인 에 하여

∞

,

∞

,

∞

라고 하자. 그러면 ≤ 일 때 위 급수는 절 수렴하므로

이다. 그런데 →일 때 → , → , →이므로 아벨의 정리에 의

하여

가 성립한다.

10. (1) 단순한 계산으로 증명된다.

(2) sinh ln , cosh ln , sinh

, cosh

.

11. 역탄젠트 함수의 멱급수를 구하면

tan ⋯

이다. 위 급수는 일 때 교 급수 판정법에 의하여 수렴하므로 아벨의 정리에 의하여

위 급수는 에서 연속인 함수에 수렴한다. 따라서 을 입하면

tan

∞

연습문제 풀이


을 얻는다.

12. 반사 : lim→ ∞

이다.

칭 : lim→ ∞

이면 lim→ ∞

이다.

추이 : lim→ ∞

이고 lim→ ∞

이면 lim→ ∞

이다.

13. 부분적분을 이용하면

cos

′ sin sin

를 얻는다. 여기에 →∞인 극한을 취하면 문제의 등식을 얻는다.

14. 주어진 함수 의 도함수를 구하면

′

∞

∞

이므로

′

∞

∞

∞

∞

∞

∞

를 얻는다. 이것을 변형하면

′

이고 양변의 부정적분을 구하면

ln ln 이다. 일 때 이므로 을 얻는다. 따라서

ln ln ln 이다. ln은 일 일 함수이므로 를 얻는다.

15. 로그함수는 오목 함수이므로 다음이 성립한다.

ln ln

ln ≤ ln

로그함수는 증가 함수이므로 (2)의 부등식을 얻는다. 이제


라고 하면 코시-슈바르츠 부등식과 (2)에 의하여

≤

이므로 양변에 를 곱하면

≤

을 얻는다.

16. (1)

일 때 sin 이므로

sin sin 이다. 따라서

sin

sin 이므로 ⟨⟩은 감소수열이다.

(2) 명백히 ,

이다. 한편 등식

sin sin ⋅sin에 부분적분을 이용하면

sin

sin 이므로 수학적 귀납법에 의하여 임의의 자연수 에 하여 문제의 등식을 얻는다.

(3) 이므로 당연히 성립한다.

(4) 부등식 을 변형하면

⋅ ⋅⋯

⋅⋯

를 얻는다. 여기에 →∞인 극한을 취하면 문제의 등식을 얻는다.

연습문제 풀이


Theorem. Let ⊂⊂ℂ be strongly pseudoconvex with boundary. There is a strongly pseudoconvex

domain ⊇ such that if ∈, then there is a sequence of functions holomorphic on such that

→ uniformly on .

Proof. Let . Cover with subdomains that have associated vectors with the

following properties:

(1) ∪(2) For each , then set ∩ is an -dimensional manifold with boundary.

(3) There is an and a vector transversal to ∩ and pointing out of such that ≡

∈⊂⊂, all .

For ≤ , small, we let , ⋯ . We may assume that ∪

⊇ , all ≤ .

Shrinking if necessary, we may find for each ≤ a strongly pseudoconvex with boundary

that

⊆⊆ ⊆⊆

.

Note that each may be chosen so that and is close to . Of course

≤

.

Let

∩ , ⋯ . Define

, ∈ , ⋯ .

Let

, ∈∩ , ⋯ .

Then

1. is a set of holomorphic Cousin I data for the covering

of .

2. Since is uniformly continuous on , it is possible to make ∞

∩, for any prechosen

number, provided that is sufficiently small.

By the first Cousin problem with bounds, there is a solution to the Cousin I problem with

∞

≤

.By the stability of the Henkin estimates, the constant may be taken to be independent of . Define

, ∈ .Then is a well-defined holomorphic function on and

∞ ≤max ≤ ≤ ∞∩ .Again, the uniform continuity of may be invoked to make the last expression less than simply by

making small enough.

We have succeeded in approximating , uniformly on , by a function holomorphic on . However, will

tend to as tends to . For each select a holomorphic on ≡ such that

∞ .

The point here is that each is defined on a fixed ⊇ , is strongly pseudoconvex, and

∞ ≤. □

418

⋯

⋯

⋯

cos sin

′d

부록 | 단원별 참고 서적

부록 2

단원별 참고 서적

1. 실수계의 성질

• Chen, Fundamentals of Analysis. Chap.1 : 순서체의 성질

• Fulks, Advanced Calculus 3ed. p.13, p.17 : 데데킨트 정리

• Fraleigh, Abstract Algebra 7ed. pp.190-196 : 유리수의 구성

• Johnsonbaugh 외 (조열제 역), 해석학 개론. 22-23쪽, 25-28쪽 : 자연수 집합의 정렬성, 정

수와 유리수의 정의

• Pinter, Set Theory. pp.124-131, pp.138-152 : 수학적 귀납법, 자연수의 구성, 무한집합

• Rudin, Principles of Mathematical Analysis 3ed. p.10, pp.17-22 : 제곱근의 존재성,

실수의 구성, 실수 지수법칙

2. 실수열의 극한

• Fulks, Advanced Calculus. pp.55-56, pp.84-88 : 오일러 상수 , 상극한과 하극한

• Rudin, Principles of Mathematical Analysis. pp.63-65 : 오일러 상수

3. 실함수의 극한

• Fulks, Advanced Calculus. pp.84-88 : 상극한과 하극한

• Rudin, Principles of Mathematical Analysis. p.91, p.94 : 컴팩트 집합 위에서의 평등연

속성, 불연속점의 종류

4. 실함수의 미분

• Fulks, Advanced Calculus. pp.120-124 : 테일러의 정리

• Rudin, Principles of Mathematical Analysis. p.101, p.108, p.110 : 함수의 볼록성, 도함

수의 중간값 성질, 테일러의 정리

5. 리만 적분

• 노정학 외, 해석학 입문. 150-155쪽, 159-160쪽 : 리만 적분의 성질, 미적분의 기본정리

• Fulks, Advanced Calculus. pp.144-147, pp.161-163, pp.166-172 : 리만 합, 적분의 평

균값 정리, 불연속 함수의 리만 적분

• Rudin, Principles of Mathematical Analysis. p.127 : 합성함수의 리만 적분

단원별 참고서적

419디자이너앨리스단원별 참고 서적

6. 무한 급수

• Chen, Fundamentals of Analysis. Chap.7 : 무한 곱

• Fulks, Advanced Calculus. pp.483-486, pp.492-501 : 쿰머 판정법, 라브 판정법, 가우

스 판정법, 급수의 계산

• Johnsonbaugh 외 (조열제 역), 해석학 개론. 108-109쪽, 111-114쪽, 219-221쪽 : 디리끌

레 판정법과 아벨 판정법, 이중 급수, 로피탈의 정리

• Ng Tze Beng, Advanced Calculus Lecture Note : 베르트랑 판정법, 가우스 판정법

• Rudin, Principles of Mathematical Analysis. pp.75-78 : 급수의 재배열

7. 함수열의 극한

• Johnsonbaugh 외 (조열제 역), 해석학 개론. 316-318쪽 : 아벨의 정리

• Rudin, Principles of Mathematical Analysis. pp.145-146, pp.154-161 : 평등수렴하지

않는 함수의 예, 바이어슈트라스 근사 정리, 동정도 연속

8. 실해석적 함수

• Fulks, Advanced Calculus. pp.564-566 : 실해석적 함수의 조건

• Johnsonbaugh 외 (조열제 역), 해석학 개론. 323-337쪽 : 지수함수, 로그함수, 삼각함수

&. 그 외의 참고 문헌

• 박달원, 이덕호, 해석학 개론. 영일 출판사, 2009.

• 우정호, 수학 학습-지도 원리와 방법. 서울 학교출판부, 2005.

• Bernard R Gelbaum & John M. H. Plmsted, Counterexamples in Analysis. Holden-

Day Inc, 1964.

• George B. Thomas, Thomas' Calculus 11ed. Addison-Wesley, 2006.

• H. L. Royden, Real Analysis. Prentice-Hall Inc, 1988.

• Carl B. Boyer & Uta C. Merzbach, A HISTORY OF MATHEMATICS, John Wiley &

Sons, Inc., 1991 (양영오, 조윤동 역. 수학의 역사. 경문사, 2004.) : 역사적 소고

• Wikipedia : http://www.wikipedia.org

• Planet Math : http://www.planetmath.org

• Beng 교수 홈페이지 : http://www.math.nus.edu.sg/~matngtb/

• Chen 교수 홈페이지 : http://www.maths.mq.edu.au/~wchen/

420 부록 | 용어 찾아보기

⋯

⋯

⋯

cos sin

′d 부록 3

용어 찾아보기

가부번 집합 42

가분 278

가산 집합 42

가우스(Gauss) 215

가우스 판정법 234

가중평균 194

감마함수 317

감소수열, 감소함수 77

개구간 19

개구체 45

개덮개 121

개집합 45

거듭제곱급수 282

거의 모든 점에서 성립한다 203

경계, 경계점 46

계승 25

고립점 117

공통 세련 분할 172

괴델(Kurt Gödel) 44

교대 조화급수 242

교대 판정법 260

교대급수, 교대수열 228

교대급수 판정법 274

구분구적법 199

귀납 정리 24

귀납적 가정 21

귀납적 집합 20

귀납적 정의 25

그레고리(Gregory) 214

극값, 극대, 극소 151

극한 비교 판정법 207, 219

극한함수 263

근 판정법 226

근방 108

근사하다 ∼ 160, 320

기수 , , card 43

기하급수 282

긴밀 122

내부, 내점 int, ∘ 45

노름 , 60, 175, 265

단순 불연속 139

단조, 단조감소, 단조증가 77

단조 수렴 78

대등 ≈ 41

대수적이다 61

대수적 원리 40

덧셈정리 315

데데킨트(Dedekind) 56, 63

데카르트(Descartes) 214

도집합 ′ 86

도함수 ′, , 145

동정도 연속 277

디니(Dini)의 조건 275

디리끌레(Dirichlet) 215

디리끌레 판정법 230

디리끌레 함수 141

띠즈(Tietze) 143

라그랑주(Lagrange)의 나머지식 161

라브(Raabe) 판정법 232

라이프니츠(Leibniz) 법칙 148

라이프니츠 원주율 공식 327

라이프니츠 적분 공식 212

라플라스(Laplace)의 근사화 321

로그 log, ln 61, 310, 312

로그 미분법 326

로피탈(l'Hôpital)의 법칙 157

롤(Rolle)의 정리 153

르벡(Lebesgue) 203, 213

용어 찾아보기

421디자이너앨리스용어 찾아보기

리만(Riemann) 215

리만 제타 함수 252

리만 판정법 174

리만 합 196

맥클라린(Maclaurin) 급수 303

메레이(Méray) 63

멱급수 282

무리수열 64

무한 곱 249

무한 수열 64

무한 집합 41

바나흐(Banach) 142

바이어슈트라스(Weierstrass) 215, 301

바이어슈트라스 근사 정리 280

반개구간, 반폐구간 , 19

배로(Barrow) 214

베르누이(Bernoulli) 23

베르트랑(Bertrand) 판정법 233

베타함수 318

복소해석적 함수 306

볼록하다 168

볼차노-바이어슈트라스 정리 86, 89(Bolzano-Weierstrass)

부동점 정리 142

부분 곱 249

부분 적분 192

부분 덮개 121

부분 수열 ⟨⟩ 76

부분 합 216, 229

부정적분 187

분할 172

분할 집합 142

비 판정 공식 284

비 판정법 224

비가산 집합 42

비교 판정법 207, 219

사선 점근선 140

사인 sin 313

삭제된 개구체 ′ 85

삭제된 폐구체 ′ 85

삼각 부등식 18, 59

삼자택일법칙 15

상계 29

상극한 lim , limsup 92, 132

상대적 개집합 118

상대적 폐집합 118

상반연속 120

상용로그 log 312

상적분 174

상한 sup, lub 29

상한노름 60, 265

상합 172

선형 변환, 선형 사상 71

선형 순서 17

성분 구간 172

세련 분할 172

수렴 구간, 수렴 반경, 수렴 영역 283

수열 ⟨⟩ 64

수열 판정법 108, 142

점근선 140

순감소 77

순서 관계 ≤ 17

순서 보존 사상 74

순증가 77

슈바르츠(Schwarz) 301

스탈링(Stirling) 형태 325

스토크스(Stokes) 215

실수열 64

실해석적 함수 306

쌍곡삼각함수 sinh, cosh, tanh 327

아르키메데스(Archimedes) 32, 213

아벨(Abel) 판정법 230, 294

아벨의 정리 295

애스콜리(Ascoli)의 정리 278

양수 ℝ15

양항급수, 양항수열 218

에우독소스(Eudoxus) 213

M-판정법 273

422 부록 | 용어 찾아보기

역도함수 187

역수 13

역원 12

역탄젠트 tan 327

연결 집합 142

연속 116

연속체 가설 44

연쇄 법칙 149

열에 의한 합 246

영(Young)의 부등식 328

오목하다 168

오일러(Euler) 261

오일러 상수 79

오일러-마스케로니 상수 259(Euler-Mascheroni)

옹골 집합 122

완비성 공리 30

외부, 외점 ext 46

우극한 , lim→ 111

우도함수 ′ 146

우리손(Urysohn) 143

우연속 119

우집적점 110

원주율 316

웰리스(Wallis)의 곱 329

위상 49

유계 29, 68

유계 판정법 207, 218

유리수열 64

유일하다 13

유한 수열 64

유한 형태로 표현한다 297

유한 집합 41

은유 104

음수 ℝ15

응집 판정법 222

이상적분 204

이중급수 245

이중수열 ⟨⟩ 245

이항 급수 236

이항 정리 27, 328

이항 계수 C , 25, 236

이항 연산 23

인식론적 장애 104

일반항 판정법 224

자연로그 ln 310

재배열 243

적분 판정법 221

전순서 17

절대급수 판정법 273

절대수렴 206, 249, 217

절댓값 17

점별수렴 → 263

점별유계 276

정렬집합 28

정적분 188

제 2 수학적 귀납법 59

제 2 형태의 불연속 139

제거 가능한 불연속점 139

제곱근 37

조건수렴 206, 217, 249

조밀하다 32, 278

조임정리 75, 85

좌극한 , lim→ 111

좌도함수 ′ 146

좌연속 119

좌집적점 110

주치 208

중간값 성질 125, 167

증가수열, 증가함수 77

지배 수렴 정리 300

진동 84

질량중심 194

집적점 ′ 86, 132

첨수 64

초월적이다 61

초항 64

최댓값 47

용어 찾아보기

423디자이너앨리스용어 찾아보기

최솟값 47

축소구간 87

축약 수열 91

축약 함수 142

측도 제로(measure zero) 202

치환 적분 191

칸토어(Cantor) 63

칸토어-슈뢰더-베른슈타인 정리 41(Cantor-Schröder-Bernstein)

컨텐츠 제로(contents zero) 202

컴팩트 122

케플러(Kepler) 213

코사인 cos 313

코시(Cauchy) 215

코시 곱 240

코시 수열 89

코시 조건 141, 142, 267

코시 평균값 정리 157

코시-슈바르츠(Cauchy-Schwarz) 부등식 61

코시-아다마르(Cauchy-Hadamard) 공식 285

코시의 나머지 식 164

코헨(Paul Cohen) 44

쿰머(Kummer) 판정법 231

크로네커(Kronecker) 63

탄젠트 tan 327

테일러 급수 303

테일러 전개 다항식 161

특성함수 109

특이적분 204

특이점 204

판정법 207, 218

페아노(Peano) 50

평균 193

평균값 정리 153

평등수렴 264

평등연속 127

평등유계 276

폐구간 19

폐구체 45

폐집합 45

폐포 95

푸리에(Fourier) 215

푹스(Fuchs) 301

프로이덴탈(Freudenthal) 40

피보나치(Fibonacci) 수열 258

하계 29

하극한 lim , liminf 92, 132

하반연속 120

하이네(Heine) 215

하이네-보렐(Heine-Borel) 정리 123

하적분 174

하한 inf, glb 29

하합 172

함수 급수 263

함수열 ⟨⟩ 262

항등원 , 12

해밀턴(Hamilton) 215

해석술 303

해석적 함수 304

해석적 연속 301

행에 의한 합 246

형식불역의 원리 40

확장 실수계 19

횔더(Hölder)의 부등식 329

히포크라테스(Hippocrates) 213

힐베르트(Hilbert) 63

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맛있는 해석학 3.4판 (2010년1월12일)math.knue.ac.kr/data.brd/_0.393.ba146b/맛있는 해석학 3.4판 (20100112).pdf · 1판 1쇄 발행 2005년 4월 1일 3판 4쇄 발행