ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL FACULTAD DE ......das, director y menta il zador de esta te_ sis, por s constantu disposicióe yn a_ yuda en l tae rtn i nación de est trabajoe , al

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

"CALCULO DIGITAL DE LOS VOLTAJES TRANSITORIOS AL ENERGIZAR

LINEAS DE TRANSMISIÓN TRIFÁSICAS SIN CARGA"

Por

MAURICIO DAGOBERTO LESER DAVILA

TESIS PREVIA A LA OBTENCIÓN DEL TITULO DE INGENIERO ELECTR^

CO EN LA ESPECIALIZACION DE POTENCIA

^ - Quito, Abril 1982V

áS

Certifico que el presente traba_

jo fue realizado por el Sr. Ma_u_

ricio D. Leser D. bajo mi dire£

ci ón .

Dr . Ramiro R o d a s

DIRECTOR DE TESIS

A G R A D E C I M I E N T O

Mi mayor gratitud al Sr. Dr. Ramiro Ro_das, director y mental i zador de esta te_

sis, por su constante disposición y a_

yuda en la te rtn i nación de este trabajo,al Ing. Patricio Orbe G. , por su i n v a -

l o r a b l e colaboración y concejos, y a to_das a q u e l l a s personas que siempre e s t u_

vieron prestas a dar su aporte.

A mi tío José, que sin su ayu_

da, hubiera sido I m p o s i b l e 1 1 e_

var a feliz término la carrera

Í N D I C E

S U M A R I O

_ Pag

CAPITULO I

INTRODUCCIÓN

1.1 Estudios realizados sobre el tema l

1.2 Objetivo y alcance de la Tesis 3

1.3 "Justificación del programa d i g i t a l 3

CAPITULO II

MODELO MATEMÁTICO GENERAL DE UNA LINEA DE TRANSMISIÓN

TRIFÁSICA, LARGA ELÉCTRICAMENTE.'

2.1 Circuito equivalente y modelo matemático 5

2.2 A p l i c a c i ó n , de las condiciones de borde para la

determinación de las constantes ;... 23

2.3 Método desarrollado en la Escuela Politécnica

Nacional para el cálculo de los voltajes transi^

torios 30

2.3.1 U t i l i z a c i ó n del teorema del residuo para la de-

terminación de la transformada inversa de Laplace 32

2.3.2 Determinación de los polos "34

2.3.3 Ecuaciones para el c á l c u l o de los voltajes tran_

si torios 36

2.4 Influencia del cierre no simultáneo del disyun-

tor 40

Pag

2.4.1' Cierre simultáneo 41

2.4.2 C 1erre no simultáneo 43

2.5 Método desarrollado por Uram y MI ller 44

2.6 Introducción a la variación de los parámetros

con la frecuencia 50

2.6.1 . Efecto Piel 50

2.7 Espectros de frecuencia 55

CAPITULO III

DESARROLLO DEL PROGRAMA DIGITAL

3.1 Algoritmo de cálculo 59

3.2 Descripción de las subrutlnas..... 60

3.3 Ejemplos comparativos y análisis de resultados 62

CAPITULO IV

APLICACIONES '

4.1 Efecto del cierre no simultáneo 65

4.2 Efecto del ángulo de cierre 66

4.3 Efecto del acoplamiento mutuo entre fases .- 66

4.4 Cierre sincrónico de las fases 66

CAPITULO V

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 68

Pag

APÉNDICE A

DESCRIPCIÓN DEL TEOREMA DEL RESIDUO ,. • 70

A.l Teoría de la variable compleja 70

A.1.1 Puntos singulares. (Polos) 70

A,1.2 Residuos 71

A.1.3 Teorema del residuo 72

A.2 Fórmula de inversión compleja 73

A.2.1 Utilización del teorema del residuo para la

.détermi nación de la transformada de Laplace in_

• versa..... 74

A.3 Respuesta debida a las rafees complejas conju-

g a d a s - .77

APÉNDICE B

TEORÍA DE DIAGONALIZACION .DE MATRICES 81

B'. 1 Ecuación característica de una matriz 81

B.2 Matrices semejantes a .una matriz diagonal .... 82

APÉNDICE C

MANUAL DE USO DEL PROGRAMA 88

C.l Generalidades QQ

C.l.l Efecto del cierre no simultáneo .del disyuntor 88

'C.l.2 Efecto del á n g u l o del cierre 89

C.l.3 Efecto del acoplamiento mutuo entre fases .... 89

C.l.4 Cierre sincrónico de las fases. 89

C.l.5 F a l l a del disyuntor 90

Pag

C.1.6 Variables de entrada 91

Alcance y restrl ge iones , 93

APÉNDICE D

D .1 Diagramas de Flujo 94

REFERENCIAS .

S U M A R I O

El o b j e t i v o del p resente t r aba jo , es el de de te rm inar los

v o l t a j - e s t rans i to r ios al energ iza r l i neas de t ransmi s i ón tri_

f á s i c a s en v a c i o , con pa rámet ros d i s t r i b u i d o s ; para e l l o se

ut i l iza un p r o g r a m a digital con el c u a l , . m e d i a n t e el teo re -

ma del res iduo en la v a r i a b l e c o m p l e j a , se de te rm ine la trans_

formada de L a p l a c e i n v e r s a . .

En esta tesis se desarro l la un método di ferente, en el cual

se en t rega una mayor i n f o r m a c i ó n s o b r e la n a t u r a l e z a "misma

del fenómeno y. además permitirá v is lumbrar, qu izás, difere_n_

tes s o l u c i o n e s que con los mé todos que e s t á n ac tua lmen te en

uso .

En- r esumen , es ta tes is i nc luye e l m o d e l o ma temá t i co gene ra l

de una Hnea de t ransmis ión t r i f ás ica con sus e c u a c i o n e s que

la de f inen , el d e s a r r o l l o del p rograma d ig i ta l y su forma de

u t i l i zac ión , dando r e s u l t a d o s y e j e m p l o s de a p l i c a c i ó n .

C A P I T U L O . I

I N T R O D U C C I Ó N .

1.1 ESTUDIOS REALIZADOS SOBRE EL TEMA

El cálculo de los voltajes transitorios por energización,en

los últirnos años, ha ido en constante incremento en su im-

portancia con el advenimiento de lineas de extra y ultra a]_

to voltaje; debido a la importancia que adquieren éstas en

la determianción del nivel de ai si amiento .

Se han desarrollado muchas técnicas de cálculo de los tran-

sitorios, desde la simulación en modélos analógicos de 1 abo_

ratorio, hasta modelos matemáticos cada vez más sofistica-

dos.

5-6

Uram y M i l l e r plantean un modelo matemático de u n a ' l í n e a de

transmisión trifásica equilibrada, con ecuaciones diferenci_a_

les parciales en función de tiempo, A estas ecuaciones las

conviertén .en diferenciales totales con el uso de la trans-

formada de Laplace, quedando asi ecuaciones en función de

frecuencia. Para resol ver dichas ecuaciones, que son subo_r

di nadas entre si, hacen un transformación mod a l , obteni e-ndo

ecuaciones dependientes de una sola v a r i a b l e . De estas e -

cuaciones, aprovechando que dejan entrever una función de La_

place de retardo de tiempo, que es justamente la base de su

método "Los retrasos de tiempo", c a l c u l a n los sobrevoltajes

por maniobra de energización en vacío.

Uram y M 1 1 1 e r s no Incluyen como es por ejemplo, el cierre

sincrónico de las fases, el cierre no uniforme del disyun-

tor, etc. Pero sin embargo, servirá como base de compara-

ción de resultados y como modelo matemático de esta tesis.

García F.,11 aplica la teoría de las ondas viajeras en lí-

neas de transmisión, utilizando el diagrama de Lattice ex-

tendido a sistemas multi conducto res; calcula los transí to-

rios de energizacion a distintas condiciones (con carga, r_e_

sistencias de amortiguamiento, etc.). Hace un estudio de l_í_

neas en vacío, obteniendo resultados similares a los de U -

ram y Miller. Pero, no hace un análisis referente a los cie-^

rres sincrónicos del disyuntor, por ejemplo.

Battisson,7 utiliza la transformada inversa de Fourier modj_

fi cada, que consiste en i n c l u i r en la frecuencia un parám_e_

tro de amortiguamiento. La solución se da con.la integra-

ción de ecuaciones matri cíales en función de frecuencia, pa_

ra luego dar una respuesta en tiempo. El p r i n c i p a l proble-

ma estriba en el tiempo de ejecución del programa d i g i t a l .

(Ref. "16, 17, y experiencia personal)

Otros autores han desarrollado distintos métodos, como es la

a p l i c a c i ó n de la teoría de la c o n v o l u c i ó n para encontrar la

transformada Inversa de Fourier, como en el caso de A. Sen]_

yen;^~2 3 el cual, introduce ya el el erre sincrónico d é l a s

fases y la variación de.los parámetros con.la frecuencia, pe_

ro no hace ningún estudio referente al cierre no uniforme

de las fases del disyuntor.

1.2. OBJETIVO Y ALCANCE DE LA TESIS -

Lo's criterios de solución son diferentes a los utilizados

•actualmente y su principal objetivo es permitir fácilmente,

hacer un estudio del fenómeno de energi zación de lineas de

transmisión en vacio, los efectos que se producen en el cie_

rre sincrónico de las fases, el cierre no simultáneo del d i s_

yuntor, efecto en el ángulo de energización y el acoplamieri_

to mutuo entre fases. El hacer una introduce ion de la va-

riación de los parámetros con la frecuencia es también uno

de los objetivos de esta te si s.

1.3. JUSTIFICACIÓN DEL PROGRAMA DIGITAL

D e b i d o a . q u e la e v a l u a c i o n . d e la t ransformada i nve rsa de La-

p l a c e de e c u a c i o n e s c o m p l e j a s , como son de una 1ínea de t rans_

m i s i ó n , es p rác t i camente impos ib l e con m é t o d o s a n a l í t i c o s ; e l

uso de un compu tador digital para r eso l ve r d i chas e c u a c i o n e s

por m é t o d o s materna t i e o s , es a b s o l u t a m e n t e necesa r i o , ya que

e l a n á l i s i s i n v o l u c r a c á l c u l o s i t e ra t i vos .

' 4

Entonces desde este punto de vista, la solución de estos "tj_

pos de problemas requiere'de cierto tiempo y por lo tanto,

un programa digital se justifica y si el tiempo en resolver

es razonable, se justifica aún más.

C A P I T U L O . I I

MODELO MATEMÁTICO GENERAL D1E UNA LINEA DE TRANSMISIÓN

TRIFÁSICA, LARGA. ELÉCTRICAMENTE'

2.1 CIRCUITO EQUIVALENTE Y MODELO MATEMÁTICO

Considerando que una línea de transmisión trifásica, está

compuesta por tres conductores paralelos a la superficie de

•la tierra, como se muestra en la fig. 2.1, y para los propó-

sitos de este trabajo, se tomará en cuenta que el lado iz-

quierdo, es el lado de generación, y el derecho, es el lado

de la carga. Además, el crecimiento de la l o n g i t u d será de

izquierda a derecha.

La línea de transporte se asume perfectamente transpuesta y

e q u i l i b r a d a , por lo que sus parámetros serán i g u a l e s para -

las tres fases. A l ' h a b l a r de 'lineas largas eléctricamente,

con n i v e l e s de voltajes al tos, es por la razón de que, debi__

do a las altas frecuencias que en e l l a aparecerán al e n e r -

g i zar,'los valores de los parámetros variarán y consecuent_e

mente, las líneas de transmisión tendrán las característi-

cas de líneas largas, sean o no físicamente .

Entonces, por ser líneas largas y para que la solución de las

ecuaciones diferenciales sea más o menos apegada a la r e a 1 j_

dad y que proporcione a l g u n a precisión en el c a l c u l o , es el

considerar que los parámetros no están concentrados, sino

3distribuidos uniformemente a todo lo largo de e l l a .

Al considerar que los parámetros son distribuidos, entonces

se puede tomar una diferencial de longitud, tradicional men-

te una sección "PT'.o "L" que comprenda los parámetros por

unidad de l o n g i t u d de inductancia, capacitancia, resistencia

y conductancia; pero si se supone que la distancia entre con_

ductores es considerablemente grande, la conductancia por u

ni dad de l o n g i t u d se desprecia, por ser un valor muy peque-

Para este caso, se torna una sección "L", y esta sección to

mada, se representa en el circuito de la figura 2.2.

E:(0,t) MXo.t)

Ii(0,t)+ Ii(X0,t)

E2(0,t) E2(X0,t)

I2(09t)+ I2(X0,t)

E3(0,t) E3(X0,t}

I3(0,t)-*- I 3(X 0 9t)

X = O X = X0

Tierra

Fig. 2.1 Representación de una l i n e a de transmisión trifásj^fásica, con los conductores paralelos a la superfj_c i e d e l a t i e r r a .

=UcLA:

Tierra

Flg. 2.2 Representación de una sección "L" de una l i n e a detransmisión trifásica.

En- el circuito de la f i gura 2 . -2 , uní f i cando las capacitan-

cias entre líneas, con las capacitancias a .t..i erra, y de i -

gual manera para inductancias y resistencias, entonces, se

transforma dicho circuito al de la fi gura 2.3, del cual se

puede denominar las siguientes igualdades:

(2.1)

LT - (2.2)

JL

CTJLCo CT 3 c

j_Ci

1 / d-C? r , r „O U 1 \j O

(2.3)

Siguiendo la solución de las ecuaciones diferenciales hechas5-6

por Uram y M i l l e r , se tiene consiguientemente' que si, en

el circuito de la figura 2.3, se a p l i c a las leyes de Kircho_

ff para voltajes, al lazo formado por cada conductor y ti e-

rra, se obtiene las siguientes ecuaciones diferenciales par.

c i a 1 e s :

I2(X,t}+

Ii(X,t)+i

3t

(R

I 3(X 9t)

(2.4)

Ia(X,t) (2.5)

13 ( X , t) ) - ( R! + L ! - ) (I i ( X , t) -M 2 ( X s t) + 13 ( X , t

(RO+L 8t'

(2.6)

Tierra

'-m—3--)Ax

I3(x,t)

Fig. 2.3. CirciMto transformado de la flg. 2.2

Tomando la transformada de Laplace con respecto al tiempo,

las ecuaciones diferenciales parciales, se convierten en e -

cuaciones diferenciales ordinarias. Asumiendo que las con-

diciones in i c i a l e s en la línea son cero; por que se supone,

la l í n e a ha estado por largo tiempo desenergizada, por lo

que no se tendrá voltajes remanentes, entonces:

10

t (Ro+Lo-~I(X,t))

por tanto, escribiendo las ecuaciones (2.4), (2.5) y (2.6)

en forma matrie i al, éstas se reducen a:

d E i ( X , s )dX

d E 2 ( X , s )dX

d E 3 ( X , s )dX

13

(Zo-Zi) (Zo-Zi) ! (X,s)

-4 (Zo-Zi). (Zo+2Zi) (Zo-Zi) I2(X,s)

o-Zi) (Zo-Zi) (Z0+2Zi> I3(X,s)

(2.7)

De igual manera» en.el mismo circuito, aplicando las leyes

de Kirchoff para corrientes, formado por la unión de cada

conductor con la rama capacitiva a tierra; y si se conside-

ra que existe u n - v o l t a j e en el conductor de tierra E 0 ( x , t),

el cual, 'se usa para escribir las ecuaciones y que será cero;

entonces, se tendrá las siguientes ecuaciones diferenciales

parci al es:

_r lililí!! = _LT (y i-} + 3E, (X,t)_ 1 J_T / Y , x^ 1 n+ r\v *• I \ •> ^ f ~*~ ^4- r - N V J - 1 \ ' ^ / (a)

C -cE o ( X ,

sumando estas dos ecuaciones; se tendrá

-Îi(X,t)+l ¿

reordenando,

De igual manera para las otra's fases:

(X,t)+¿ C C

+I3(X,t))s

11

at (b)

-E i ( X , t) —=- 2 1 ] 1C i C o

9S X

T (y t W—J - i V A j L y ^ Q 1L C O

]C i

99X

3X•I3(X,t) (2.8)

1 1C C

2 _,_ 1C i C 0

99 X l2(X,t)+

4r 1 lr rU o ^ 1

39 X

I3(X,t) (2.9)

1C 0

1C i

83 X

j LC0 Ci 9X I2(X,t)+

12

, 1' 3

\ + 1 "GI C o

93X

I 3 ( X , t ) ( 2 . 1 0 )

T o m a n d o l a t r a n s f o r m a d a d e L a p l a c e , c o n l a s m i s m a s c o n d i c i o _

n e s i rri c í a l e s q u e p a r a v o l t a j e s ; l a s e c u a c i o n e s , i g u a l m e n t e ,

s e c o n v e r t i r á n e n e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s o r d i n a r i a s , a s i ;

y

de esta manera, se tendrá que:

2 1r rU 1 U Q

dMXdX

,s V3

1

C o

1G! u

d I ? ( X , s )dX

l 1dX

y despejando E j(X , s ) , se obtendrá;

13

2 , 1 ^[sC i s C 0

dli ( X , s )dX

" 1 1 ""s C 0 s C i

d I 2 ( X 3 s ) , ldX 3

1 1sC

d!3(X,s)dX

de igual manera para las otras ecuaciones de las otras fa

ses y l l a m a n d o a:

sC0 - Y o

sd - Y i

13

entonces "las ecuaciones (2.8), (2.9) _y (2.10) en forma matrj_

ci al se reducen a :

F ( Y e }1 1 ( A 3 s ;

F ( Y e }1 2 ( A , s ;

F f X <; 1c 3 ^ A , b }

1

3

r ( 1 -i-2 1 r ] ] i f ] - ] ) iV V ' V ^ *> V \F 1 V V V /'0 U I - O l l 1 0 1 1

f ] - ] 1 f ] + 2 } ( ] - ] )V Yo Yi ; UY0 Y i ; . Yo Y /

f ] ] ) f } ] ) ( ] + 2 )1 Y 0 Y ! J 1 Y 0 Y i J 1 Y 0 Y /

H T f Y c â -1 1 1 A , S J

dX

d l 2 ( X 5 s )dX

d I 3 { X , s )dX

(2.11)

Escribiendo las ecuaciones (2.7) y (2.11) en forma compacta

se encuentra que son:

dXT lIJ

(2.12)

= T [Y] A [I]

Derivando la primera ecuación de la (2.12) con respecto a

X, se obtiene que:

dX (2.13)

Despejando la segunda ecuación de la (2.12), se consigue:

(2.14)

14

Reemplazando la (2.14) en la ecuación (2.13), queda una e -

cuación diferencial ordinaria de segundo orden dependiente

de una vari a b l e , as í:

"dx" [E] - [ Z ] [ Y ] - ' [ E ] = [0] ( 2 . 1 5 )

si se 11 ama a:

- 1

d o n d e :( Y . O + 2 Y J

( Y o - Y i ) ( Y o + 2 Y i ) ( Y o - Y i )

( Y O - Y I ) ( Y O - Y I ) ( y 0 + 2 Y i )

En tonces [a "] se rá :

(2.16)

(2.17)

y la ecuación (2.15) quedaría de la s i g u i e n t e forma:

- e x] [E] = [0] (2.18)

15

La solución de la ecuación (2.18) es muy complicada, ya que

cada fase depende de las otras, como se i n d i c a en la s i g u i e n _

te ecuación más claramente.

3v2 -aiiE1(x,s)-a}2E2(XJs)-ai3E3(X,s) = O .

.-aziEi(X,s)-aa2E2(X,s)-aa3E3(X,s) = O (2.19)

-ot3iEi(X,s)-a32E2(X >s)-a 3 3E 3(X as) = O

Esto se debe a que [a] no es di a g o n a l ; pero si se hace una

transformación de variables, entonces E se puede relacionar

l i n e a l m e n t e c o n , un nuevo juego de vari a b l e s F, por lo tanto,

la ecuación (2.18) se puede escribir de la siguiente mane-

ra :

[F]-M[F] = [0] (2.20)

por lo que [y] debe ser diagonal y asT la ecuación (2.20) ex

tendí da sería:

c^FjX.s) _ i F i í X . s ) = O

d'F^*)S) - Y22F2(X,s) = O (2.21

d 2 F 3 ( X , s ) v- F ( X O - nJVÍ - Y 3 3 r 3 t X , S J - U

16

L a s e c u a c i o n e s ( 2 . 2 1 ) p u e d e n r e s o l v e r s e c o m o e c u a c i o n e s d i -

f e r e n c i a l e s o r d i n a r i a s de s e g u n d o o r d e n . El p r o b l e m a es a -

h o r a , e l d e d e t e r m i n a r e l . v a l o r q u e t i e n e n l o s c o e f i c i e n t e s

de l a m a t r i z [ y ] . S i s e a s u m e l a s s i g u i e n t e s r e l a c i o n e s 1 j_

n e a l e s e n t r e e l n u e v o v o l t a j e F y e l a n t i g u o E , con l a a y u -

d a d e l a t e o r í a d e m a t r i c e s , s e e n c o n t r a r á q u e :

[E] = [T] [F]( 2 . 2 2 )

[FJ = [T]"1 [E]

En la que [T] debe ser una matriz 3x3 de constantes numérj_

cas. Si se sustituye la primera ecuación de la (2.22) den-

tro de la ecuación (2.18), entonces se tiene:

= [0],.

(2.23)

= [o]

C o n e s t a e c u a c i ó n . s e ' p u e d e d e d u c i r , c o m p a r a n d o c o n l a e c u a -

c i ó n ( 2 . 2 0 ) , q u e l a m a t r i z [ y ] e s :

[Y] = [ T j - ' W m ( 2 . 2 4 )

B u s c a n d o l o s v a l o r e s y v e c t o r e s c a r a c t e r í s t i c o s de [a] , s e

t i e n e q u e l a s m a t r i c e s [ T ] y [ T ] ~ 1 s o n :

1

1

r

i0

-i

0

i

-i

- io

1

2

- 1

1

-1

2

l"

-1

-1

17

(2.25)

(Ver apéndice B)

Por lo que se encuentra que, haciendo las sustituciones re_s_

pectivas en la ecuación (2.24), se tendrá que:

[Y]

Z o Y 0

o :

0

0

0

0

0 (2.26)

que es lo que se quería obtener, osea, los coeficientes de

[y] y consiguientemente, los valores propios de [a].

Escribiendo el nuevo juego de ecuaciones, con la sustitución

de [y] en la ecuación (2.21), se tiene:

n ( X , s- - - - n~ U

d2F,.(X,s)dX2

d2Fq(X,s)

- O

- 21Y1F3(X,s) - O

(2.27)

Re s o l v i e n d o las ecuaciones (2.27) como ecuaciones homogéneas

de segundo orden, cuya solución es clásica, entonces:

i + K 2 2 e / Z l Y l X ( 2 . 2 8 )

P C Yr 3 I A , 3 1v1 I Y

1 '

Escribiendo la ecuación (2.28) en forma compacta; queda que:

[F] = [Kiex (2.29)

donde,

y QNI i e

- / Z i Y i X

(2.30)

Final mente la solución se puede expresar, tomando la i g u a l -

dad de la primera ecuación de. la (2.22), como sigue:

E] = [T] [F] = (2-31)

Escribiendo la ecuación (2.31) en su forma extensa; da que

EÍS t a s s o n :

19

Y l X K? 9e

E 3 ( X , s ) = K11e-'''Z^^K21 + K31)e-1/Z^X + Klze^^

( 2 . 3 2 )

De es tas e c u a c i o n e s , se puede notar c l a r a m e n t e que las c o n _ s _

- - / Z Y ~ ^ X /2 Y 'Xtantes- de e ° . ° y e ° ° son I g u a l e s para las t res f a-

- v/Z Y^X /"Z Y 'Xses; mientras que para e : : y e1 : : 'son sus constan-

tes distintas entre sí; asi se puede escribir las sig.uien-

tes realci ones :

[v]-vector unitario ~ ( 3 2/

(2.33)

Por lo que las ecuaciones (2.32) se pueden compactar y es-

cribir de la siguiente manera:

(2.34

Si para escribir la ecuación (2.34) en forma h i p e r b ó l i c a , s e

11 ama a :

20

S =

R =

A + B

B-A

A ' + B

B ' - A

( 2 . 3 5 )

ya que son c o n s t a n t e s y se puede l l amar como qu ie ra ; e n t o n -

ces se tendrá por lo tan to :

[E] =

-h O ' O ( 2 . 3 6 )

" +

( 2 . 3 7 )

Si X i = Z i Y i y A o = Z Q Y Q y además Senhx = -—Z

Cosx =ex+e-x

[E] - [ A ] S e n h X i X + [ B ] C o s h X i X + [ o ] ( A 1 S e n h X 0 x + B ' C o s h X 0 x )

( 2 . 3 8 )

que es lo que se esperaba,tal como las ecuaciones desarro-

l l a d a s por Calabrecce 4.

21

Ahora, muy bien se puede relacionar \ y X0 con los paráme-

tros de secuencia pos i ti va, negativa o cero. Como los par|_

metros de secuencia positiva y negativa son i g u a l e s en lí-

neas de transporte, entonces se escoge a \ como parámetro de

secuencia positiva y a XD como parámetro de secuencia cero.

Además, como el concepto de impedancia de secuencia cero,

es la suma de la' i mpedancia.de l a l T ñ e a c o n l a impedancia de

tierra, se confirman más estas relaciones.

'La solución de la ecuación de corriente es más s e n c i l l a ; p^

ra esto se parte de la primera ecuaci-ón de la (2,12); en la

cual, despejando se tendrá:

[I (2.39)

Derivando la ecuación (2.31) con respecto a x, se obtiene:

Tdx -m- T K21e-/Z7Y7X

K1 2e

y' l y /Z ! Y :' Xi ' 3 2 e

(2.40)

De la ecuación (2.7), se sabe que la matriz de impedancias

es [Z], por lo tanto; su inversa será:

( 2 . 4 1 )

p o r l o q u e , l a e c u a c i ó n ( 2 . 3 9 ) c o n l a s r e s p e c t i v a s s u s t i t u -

c i o n e s , s e r á :

[I] = -

>/Z o Y o K i l e- /7 v~~*yy i. i A

""V"1 v Q~VL 1 ' 11 i 1 K - 2 le

K 1 2 e

7T7 K 2 2 e /Z ! Y ! X

1 ' 1

y e n t o n c e s :

I 2 ( X , s ) =

I 9 ( X , s ) -

I r t - /Z i Y i X ,/ / V o ^ v Z 0 Y 0 X

Z i

K 3 l

? e-/2TYT

( 2 . 4 2 )

23

Siguiendo el mismo razonamiento, en el procedimiento hecho '

para encontrar, el voltaje en- las ecuaciones (2.33), (2.34),

(2.35), (2,36) y (2.37), entonces, se tendrá por c o n s i g u i e-n_

te q u e ' l a ecuación de corriente, como la ecuación (2.38), es:

[I] =- /p-( [A]CoshXiX- + [B]SenhXix)- /ÍHv] (A'CoshX0x +

+ B ' S e n h X o x ) - (2.43)

2.2 APLICACIÓN DE LAS CONDICIONES DE BORDE PARA LA DETERMI-

NACIÓN DE LAS CONSTANTES.

Para dar una solución a la ecuación (2.38), se a p l i c a las

condiciones de borde para una línea sin carga y conectada

directamente a una barra infinita. Como ya se dijo antes;

se supone que en la l i n e a , las condiciones i ni ci al es son ce_

ro .

Antes de aplicar las condiciones de borde, se debe hacer

las s i g u i e n t e s consideraciones:

De las ecuaciones de la (2.35), esto es de:

S - 1(A+B) ; R =

24

despejando A de ambas ecuaciones,

A - 25 - B ; A = B - 2R (2.44)

igualando las dos ecuaciones de la (2.44), se tendrá:

25 - B - B - 2R,' por lo que, B - S'+ R (2.45)

reemplazando en c u a l q u i e r ecuación de la (2.44), queda que:

A = S-R ' (2.46)

SI se suma los valores de los vectores en las ecuaciones de

la (2.33), osea de [R] y [S] , entonces:

(2.47)

por lo que; relacionando los coeficientes K de las ecuac1p_

nes (2.47) con los coeficientes de [R] y [S] , da que:

Ri+R2+R3 = O y Si+ S2+ S3 - O (2.48)

Como se tiene que las ecuaciones (2.45) y (2.46) son: .

A = S -R y B - S+R

25

y como la suma de los coeficientes de las ecuaciones (2.48)

son cero, entonces por linealidad, reemplazando estos valo-

res, queda que la suma de los valores de los coeficientes de

A y B son :

Ai+A 2+A 3 - S! + $;, + S3-(Ri-!-R2+R3) = O

(2.49)

lo cual se puede demostrar simplementereemplazando cual-

quier valor a las ecuaciones (2.48), siempre y cuando se cum_

pía que sean cero las i g u a l d a d e s ; y luego dar esos valores

a las ecuaciones (2.45) y (2.46)

Pero como se verá, - n o s i g n i f i c a que cada uno de los elemen-

tos de A y B sean cero o iguales entre sí, así:

AÂÂsÔ y Bl 7íB2 3íB3 ?íO (2:50)

2.2.2. Api 1 caci ón de 1 as condiciones de borde . r

Para este caso, las condiciones determinan que:

para x = O, tÔ E(0,s)=V(s)-'• n p -j QOQ

para x = x 0 > t > O I (x , s } = O . .•'••- ~ *"

Entonces de las ecuaciones (2.38) y (2.43), esto es de":"

26

E( X , s ) = A S e n h X l X + B C o s h X i X + v ( A l S e n h X 0 X + B l C o s h X 0 X ) '

I (X 9 s )=-Yc 1 ( ACoshXiX+BSenhXi-X)-Yc 0 v (A l C oshX 0 X +B 1 S enhX 0 X )

aplica-ndo una c o n d i c i ó n de borde para X = 0, t>0, que corres-

ponde a:

E(0,s) = V(s) ' (2.51)

se tiene que la ecuación (2.38) será:

E(0,s) = B+vB'

o lo que es lo mi smo;

Ei(0,s) = B^B1

E2(0ss) = B2+B' (2.52)

E3{0,s) = B3 + B'

Si se suma los vol tajes de las ecuaciones (2.52), y si se

reemplaza E(O a s } con V ( s ) , se obtiene:

Vi(s)+V2(s)+V3(s) - V(s) - B i + B^Ba + SB 1

pero como Bi+Ba+Ba ~ O, entonces:

V('S ) . f 9 ro \ ^ ¿- • O O J

27

A p l i c a n d o l a o t ra c o n d i c i ó n de b o r d e , - p a r a l í nea s i n ca rga

y para x = x o , t>0; e n t o n c e s por ser c i rcu i to a b i e r t o se ti e-

n e q u e , l a e c u a c i ó n ( 2 . 4 3 ) s e r á :

I ( X , s ) = O, y d e s a r r o l l a n d o : ( 2 . 5 4 )

I 1 ( X í s ) - 0 - - Y c i ( A 1 C o s h X i X + B 1 S e n h X i X ) - Y c 0 ( A l C o s h X 0 X + B 1 S e n h X o X )

I 3 ( X s s ) - 0 = - Y c 1 ( A 3 C o s h X 1 X + B 3 S e n h X 1 X ) - Y c 0 ( A 1 C o s h X 0 X + B l S e n h X o X )

y por lo tanto :

- Y c 1 ( A 1 C o s h X i X + B 1 S e n h X i X ) = Y c 0 ( A 1 C o s h X 0 X + B l S e n h X 0 X )

- Yc 1(A2CoshX 1X+R 2SenhXiX)-Yc 0(A rCoshX 0X+B l.SenhX 0X) (2.55)

S e n h X i X M c o U ' C o s h X o X + B 1 S e n h X 0 X )

Si se suman los términos de las ecuaciones (2.55), de ambos

lados de la i g u a l d a d , se tiene:

-(Yc 1CoshX 1X(A 1+A 2+A 3)+Yc 1SenhXiX(B 1 + B2-i-B:) ) -3 Ye „ ( A ' Cos hX 0X +

B'S e n h X o X )

Como por la e c u a c i ó n ( 2 . 4 9 ) , se t iene que las s u m a s de A y

B s o n i g u a l a c e r o , p o r l o t a n t o :

28

, _ D , SenhX 0 XA 1 = -B CoshX0X (2.56)

Reemplazando la ecuación (2.53) en la ecuación (2.56), se

tendrá:

tghX0X (2.57)

De la ecuación (2.52), despejando B i , B 2 , B 3 ; se obtiene

que :

, V l ( s ) . l

_ 2V1(s)-V2(s)-V3(s)-

de igual manera para B2 y B 3,

- 2V2(s)-V1(s)-.V3(s)2 3

_ 2V3(s)-V1(s)-V2(s)3 " 3

(2.58)

De las ecuaciones (2.55) se despeja AI, A2, A3; por lo que

se tendrá:

A - Yc° (A'CostUoX+B'SenhXoX)Al ~ T T CoshXiX

reemplazando' la ecuación (2,56), se tiene:

-.0

A - Y c ° - B ' S e n h X j ^ < B J S e n . h X o X R . . . v1 ~ YcTT p^'r-hi . v - D i t g n A i A

de igual manera para las otras constantes, por lo que se

tendrá resumíendo:

A! - - B i t g h X i X

A2 = -B 2tghXiX (2.59)

A = -B

E s c r i b i e n d o l a s o l u c i ó n d e l a e c u a c i ó n ( 2 . 3 8 ) c o n el r e em

p l a z o d e l o s v a l o r e s d e l a s c o n s t a n t e s » d a :

E 1 ( X > s ) - - B 1 t g h X i X S e n h X i X + B 1 C o s h X i X - B I t g h X 0 X S e n h X 0 X +

B ' C o s t U n X

E i ( X , s ) = B i ( Cos hX i X—/r--

F ( y s] - ' B / c ° s ^ 2 ^ i ^ - S e n h 2 X i X x + B , / C o s h 2 X o X - S e n h 2 X 0 X ^^ ' ' • l C o s h X i X ^ - C o s h X o X

( 2 . 6 0 )

como , C o s h 2 A - S e n h 2 A = 1, e n t o n c e s :

CoshXiX CoshXoX

30

2V1(s)-V2(s}-V3(s) +.VI(s)+V?(s)+V3(s)3CoshXiX 3CoshX0X

Finalmente, de la misma manera, las otras fases serán:

F fy - 2V2(s)-V1(s)-V3(s) , Vi(s)+V2(s)+V3(s)t - * - - i 0X0X

- 2V3(s)-V1(s)-V2(s) Vi(s)+V2(s)+V3(s

(2.61)

2.3. MÉTODO DESARROLLADO DE LA ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

PARA EL CALCULO DE LOS VOLTAJES TRANSITORIOS.

El desarrollo del teorema del residuo en la v a r i a b l e compl£

ja se lo hace en el apéndice A, en el cual se da una e x p l i -

cación breve del mismo y su uso; en este capítulo se irá di_

rectamente a su útil ización.

Este método se basa justamente en encontrar las frecuencias

en las qué el circuito oscilará, las cuales, serán i n f i n i -

tas en su número; por ser el circuito que se trata, de pará_

metros distribuidos.

Toda ecuación, de c u a l q u i e r circuito, se l l a m a función de

red y tiene la forma de:

T(s) = £í|4- . (2.62)

31

donde Q(s) y P(s) tienen n y m raí ees- denomi nadas p o l o s y c _ e _

ros de la función respectivamente, ya que estos valores ha-

ce a la función de red I n f i n i t a y n u l a en su orden, y estos

valores son frecuencias complejas. Por esto, una fuñe Ion de

red viene totalmente determinada en función de sus polos y

ceros l °.

Normalmente en un circuito eléctrico, las ecuaciones que d_e_

terminan los voltajes son:

Vs(s) = G(s).Ve(s) '

Vs = Voltaje de s a l i d a .

Ve = Voltaje de entrada

G = Ecuación de la red

SI a - l a ecuación anterior se expande en fracciones parcia-

les, el denominador de cada fracción está da.do por los po-

los de G(s) y de Ve(s ) , así:

n' G(s).Ve(s) = z

donde n es el número de polos de G(s) y m el de Ve(s)

Tomando la Inversa, se tiene:

m" c í + "' c t +Vs(t)= E KjeSJi: + z Kkeskt (2.65

j=l k=l

32

De aquí se tendrá una respuesta l i b r e y o-tra forzada corres_

pendientes en su orden a Kje51-1 y ' K¡<e .

De modo, que, los polos determinan la forma de onda y los ce-

ros de magnitud de cada parte de la respuesta

Para facilitar y s i m p l i f i c a r lo que -se verá mas adelante, se

dirá que si se apl.-ica el teorema del residuo, la respuesta

a l v o ! -taje será:

n tE ( x , t ) = S r e s i d u o s de e E ( x , s ) en los p o l o s de la f u n c i ó n

1

( 2 . 6 6 )

lo cual es idéntico a la teoría de los polos y ceros en cir.

cui tos .

2.3.1 . 'Ut'i'l'f za'c'i'orí 'del te o' rema 'del' residuo para 1 a determina

'c'i'óri- 'de 1 a' transf o'r'mada i" n versa de Lapl ace .

En la sección 2.1.2 se toma la mitad de la primera ecuación

de la (2.61), para facilitar la s o l u c i ó n de lo que se propo-

ne ; así ,

, , .„ •2V1-(s)-V2(s)-V3(s) ,--

Teniendo en cuenta que las s i g u i e n t e s i g u a l d a d e s para gene-

ración senoidal son:

33

= V

s Sen (0-2^/3)^005(0-217/3)

Sustituyendo las ecuaciones (2.68) en la ecuación (2.67), y

para facilitar, se l l a m a a X i X = X i ; entonces; la ecuación

'(2.67) será:

E ! ( X , S ) = (2^

l l a m a n d o a l o s t é r m i n o s s e n o i d a l e s y c o s e n o ' i d a l e s c o m o V A L Í

y V A L 2 r e s p e c t i v a m e n t e , se t e n d r á ; incl uyendo el 1/3:

r I Y c "1 = S V A M 4- ., ,_ .- ,-^ V A l ? ( 9 fi Q ")C.i \ y j I T Z~T Z ^7- ÜTi V rv L I * T ¿~, ^\ _ _ ÍT~I • M i - ' - ^ £. « u ;? y

De igual 'forma, las otras fases serán:

(2.70)

d o n d e V A L 3 a V A L 6 s o n :

V A L 3 - ( 2 V 2 S e n ( f i + 27r/3) - V ênt f -V 3 S e n (</> -2ir/3 ) )~

VAL4 - (2V2Cos(0 + 2iT/3) - V o sgi-V 3Sen (0-2^/3 ) )

VAL5 = ~~2V 3Sen(íi-2TT/3) - V 1Sen0-V2Sen

VAL6 = (2V3Cos(0-27r/3) - . V i'Cosgí- V2Cos

De esta manera, sólo queda la determinación de los polos

(frecuencias en la que el circuito oscilará) para calcular

los residuos y por lo tanto, consecuentemente, los volta-

jestransitorios.

2.3.2 Determlnación de 1 os Polos. -

Se.ve que, de las ecuaciones (2.69), (2.70) y (2.71), sus

denominadores son iguales, y para determinar los polos, se

hace:

(s2+w2) - O y CoshX! = O (2.72)

según el teorema del residuo.

Ahora, tomando la primera ecuación de la (2.72), se tiene

que; el primer par de polos o frecuencias en que el circuí

to osci1 ara son:

s = + j(ü ( 2 . 7 3 )

35

y de la segunda ecuación de la (2.72), se obtiene:

CoshXi- O =

- In

X: = /szCiL1+sR1CÍX

despejando s, y llamando a s^sn> se tendrá finalmente que;

los otros polos o frecuencias son:

Ri (2.74)

n = 1 , 2, 3,

._ Risiendo a= ~— constante de amortiguamiento del circuito

Estas frecuencias tienen la forma de:

sn = a+jbn (2.75)

la cual se usará posteriormente con propósitos de s i m p l i f i

c a c i ó n .

36

2.3.3 Calculo de 1 os voltajes transí torios .

Para el c á l c u l o de los voltajes trnsi torios, se u t i l i z a el

teorema del residuo (Apéndice A sección A.3); con el cual,

se hace necesario c a l c u l a r primeramente los residuos para

los diferentes polos. Asi, el sumatorio de los residuos se_

rán los voltajes que se buscan. Entonces, el primer resi-

duo será el de los dos primeros polos (s =+jw) ; por lo tanto,

a p l i c a n d o a la ecuación (2.69), este residuo será:

RE1-VAL1CoshXi

)+VAL2 -ü)

1C oshXi Sen(wt+a)

(2.76)

Se puede notar que los dos módulos de la ecuación (2.76) son

i g u a l e s , di.feriendo solamente en s. La teoría de la trans-

formada de Laplace dice que si:

Z(f(s))=F(t), entonces,

por lo tanto, en la ecuación (2.76) al primer término se lo

deriva con respecto a t, quedando:

REÍ-

A 1 "1M L i —. 0)

1

C o s h X i

1C o s h X i

ddt

( V A L l C o s (

)+VAL2 CoshA i Sen (cot+a)

(2.77)

37

de igual manera para las otras (ios fases, los residuos se-

rán :

RE2 = 1CoshXi

(VAL3Cos(wt+a)+VAL4Sen(tüt+cc) (2.78)

1CoshXi (VAL5Cos(ü)t+a) + VAL6Sen(wt+a)) (2.79)

Para los otros polos se tiene que; los residuos serán:

RRE1 - VALÍ

VAL2

eatSen(bnt+a[)+

eatSen(bnt+ax)

1 imbn sn-3-a+jbn

— ^ "i™ Nbn sn->a+jbn ~(sn+wz) CoshX~i

N =

donde N es la'exprés ion que hace cero a coshXi, por lo que

se d i v i d e para sacarla de coshAi; como se i n d i c a en el teo-

rema del residuo (ver apéndice A sección A.3).'

Apl i c a n d o igualmente, como se hizo en la ecuación (2.76);se

tendrá:

RRE1 - VALÍ 1bn

limCoshXi

-pp( e Sen(bnt-¡-a

38

VAL2ü)bn

l i m Nsnâ+jbn ( Sn + to*) CoshXi e Sen(bnt+a

Dentro del módulo se aplica la regla de L'Hospítal para le-

ventar la indeterminación, entonces; d e r i v a n d o arriba y aba_

jo queda:

ds •N - 2 ( s n - a ) ; C o s h X i = S e n h X i-r ds

ds2snL

y por lo tanto RRE1 será: "

RRE1 - bnKsn-a) [VAL>bn-Cas(bnt+ai)

+ (VALÍ . (2.80)

De i g u a l manera para las otras fases, se tendrá que los re-

si dúos son:

RRE2 -at

ebn

2 ( s n - a )

ds

[VAL3.bn-Cos(bnt+ai

( 2 - 8 1 )

atRRE3 = / 2 ( s n - a

ds

[ V A L 5 - b n - C o s ( b n t H - c ¿ i

39

a + V A L 6 . o j ) S e n ( b n t + á i ) ] (2.82)

La segunda parte de la ecuación (2.61) se resuelve de la

misma manera que las ecuaciones (2.80), (2.81) y (2.82), a -

sí; se hace X 0 x = X 0 por f a c i l i d a d ;

Eio(X,s)'=

(2.83)

Llamando a los términos senoidales y cosenoidales como VAL7

y VALS respect i vamente, entonces, la ecuación (2.83) se ob-

tendrá de la s i g u i e n t e forma; incluyendo 1/3

VAL7 * VALS (2.84)

Pai"a los dos primeros polos, se tendrá, de la misma manera

que lo que se hizo, con la (2.69), que el residuo es:

RE10 - 1CoshX VAL7Cos(wt+a.0)+VAL8Sen(wt+a0)) (2.85)

Finalmente, para los otros polos:

RRE10 =a ot

bn n2 ( s n o - a o )

ds

VAL7b n 0Cos

40

+ V A L 8 - ü i ) S e n ( b n o t + a 1 D ) ] ( 2 . 8 6 )

N o t a : P a r a l o s r e s i d u o s R E 1 0 y R R E 1 0 , s e debe c a l c u l a r l o s

po lo s con los parámetros de s e c u e n c i a cero.

Como R E 1 0 y R R E 1 0 s o n i g u a l e s pa ra l a s tres f a e s ; e n t o n c e s

la r e s p u e s t a total en v o l t a j e será :

nE l T ( X , t ) - R E 1 + R E 1 0 + S ( R R E 1 + R R E 1 0 )

1n

E 2 j ( X , t ) = R E 2 + R E 1 0 + Z ( R R E 2 + R R E 1 0 ) ( 2 . 8 7 ). 1

nE 3 j ( X , t ) =• R E 3 + R E 1 0 + £ ( R R E 3 + R R E 1 0 )

1

Nota: a, ai, aioson los ángulos formados en sus respectivos

módulos y se designa como:

a - tg~ (Imaginaria f(s)/Real f (s) ) en el módulo del re_s i d u o .

(ver apéndice A sección A.3)

2.4 INFLUENCIA DEL CIERRE NO SIMULTANEO DEL DISYUNTOR

En esta parte se hará un estudio matemático del efecto de

cerrarse simultáneamente y no simultáneamente los polos del

41

disyuntor, y la aplicación de la función de retardo de tiem_

po en 'los voltajes de las fases.

En la teoría de la transformada de Laplace, la función de

retardo de tiempo es:

"T°s f(s) (2.88)

cuya" transformada en tiempo corresponde a:

F(t-To) (2.89)

donde F(t) = O cuando t<0.

Esto quiere decir, aplicando a este caso} que si una fase

no ha cerrado a un tiempo T0, el valor de voltaje y corrí en_

te será n u l o en ese Intervalo, después del cual, aparecerá

el valor de las ondas de voltaje y corriente.

2.4.1 Cierre Simultáneo.-

El tener un cierre simultáneo, quiere decir que n i n g u n a fa-

se tendrá un retraso de tiempo; asT entonces de las e c u a c i o_

nes (2.85) y (2.86), los valores VAL7 y VALS son n u l o s , ya

que:

42.

O y

(2.90)

O

siempre y cuando que V i , V2) V 3 sean iguales, que para este

caso, los voltajes de fuente serán en su magnitud uno por u_

n i d a d .

Al ser VAL7 y VALS cero, R E T O y RRE10 serán cero también;

entonces las ecuaciones de la .(2.87) quedaran simplemente:

n(X,t) = 'REÍ + S RRE1

nE2j (X,t) = RE2 + Z RRE2 (2191 )

1

nE3j (X4t) - RE3 + L RRE3"

1

En este punto, se puede notar que los valores de secuencia

cero, parámetros y corrientes, no intervienen en el transi-

torio, y desde el punto de vista físico, el cierre es equi-

librado, "por lo que no existen corrientes que retornen por

ti erra. Esto se ve claramente en las ecuac iones (2.61), don_

de:

Vi(s)+V2(s)+V3(s) - O (2.92)

ya que se nota que la ecuación (2.92) es semejante a la

(2.90). Si se hace las sustituciones respectivas, como se

43

hiso con la (2.67) con la sustitución-de las ( 2 . 68 ) 5 se ve-

r á q u e s e c u m p l e l a s e m e j a n z a .

2.4.2 Ci erre no simul táneo . - .

Si a las ecuaciones de voltajes, desde los valores VALÍ a

VALS, se. le introduce la función de retardo de tiempo en

cualquier fase, una por una o en pares de fases, se tendrá

que las corrientes de secuencia cero sí i nteresan , y 1 os va_

lores de VALÍ a VALS cambiarán; así por ejemplo, si se di-

ce que la fase A no cierra al mismo tiempo que las otras

dos, se tendrá entonces:

V A L 7 - V i S e n 0 U ( t - T 0 ) + V 2 S e n ( 2 Í + 2 7 r / 3 ) + V 3 S e n C ^ ~ 2 T T / 3 ) ? O '

V A L S - V i C o s ¿ U ( t - T o ) + V 2 C o s { t f + 2 T r / 3 ) + V 3 C o s ( j z S - 2 T r / 3 ) j O

( 2 . 9 3 )

d o n d e ,

U(t -T0) = función paso de retardo

para todos los tiempos menores a T 0 -

Por lo que RE10 y RRE10 son distinto de cero, y la respues-

ta al voltaje será los de la ecuación (2.87); obviamente, -

REÍ, RE2S RES, RRE1 , RRE2 3 y RRE3 también cambiarán.

44

Para tiempos t>T0, nuevamente los valores VAL7 y VALS serán .

nulos, ya que la o las fases que no cerraron, lo han hecho;

entonces se regresa a las ecuaciones (2.91).

Físicamente al no haber un cierre simultáneo, se tendrá vol_

tajes desequilibrados que inducirán corrientes que circulen

por el. neutro y que aparezcan voltajes inducidos en las fa-

ses que estén abiertas; obv i amenté por esto se toman en cuen_

ta los parámetros de secuencia cero.

2.5 MÉTODO DESARROLLADO POR URAM Y MILLER.

Hasta la ecuación (2,31) se ha seguido el 'modelo matemático

desarrollado por Uram y Miller,5"6 de ahí en adelante, se o_p_

ta por tener las ecuaciones (2.38) y (2.43) como lo hace Ca._

1 ábrese.^ Pero, en todo casa, bien vale la pena dar una bre_

ve descripción del método seguido por dichos autores.

De las ecuaciones (2.30), se tiene que al desarrollar los

e x p o n e n c i a l e s , é s t o s s o n :

p /r"1_J' p_m / V o v _ /p j—i y

e -/Z X =: e 2 Lo e(2.94)

Ri /Cl- X

-/Z7T7X Lle 1 í = e e

45

en el cual e l - desarrollo de los exponentes se obtiene de:

G = conductancia

Para líneas con conductancia d e s p r e c i a b l e , se tendrá

(2.95)

s i se r e e m p l a z a los p a r á m e t r o s de la l ínea en la ecuación ( 2 . 9 5 )

y t o m a n d o l o s d o s p r i m e r o s t é r m i . n o s , s e d e m u e s t r a q u e ; aproxj_

m a d a m e n t e , 6 e l e x p o n e n c i a l d e l a s e c u a c i o n e s ( 2 . 9 4 ) e s :

' *- 1 r\T^1 . n / / o r» \ = s/LC + ñ" R /r-j (2,96)

, .5-6 //con lo q u e - s e justifica las ecuaciones (2.94J

Los exponenciales de la ecuación (2.94) tienen dos partes:

una e n v u e l v e constantes y l o n g i t u d de la l i n e a ; mientras la

otra e n v u e l v e la variable s de Laplace. El primero de los

términos'decrese con la l o n g i t u d , representando así la amor,

t i g u a c i ó n . El segundo representa un factor de retardo, pue_s_

to que es un término de la forma.

sX

46

cuya transformada es:

- / LC sX ,, / , -r \ = U(t-T0)

que es en la teoría de la transformada de Laplace, un reta_r_

do de tiempo de i/OT X segundos, como se explicó ya de esto

en la secció.n 2.4. En form'a mas general, una función envol_

viendo un retardo de tiempo corresponde a:

¿ l e / \ / L C X sf (s J e = F(t-T0)U(t-T0) (2.97)

Apl i c a n d o las ecuaciones (2.94) en las ecuaciones (2.30),se

tendrá, (tomando dos ejemplos que servirá para todos los ca-

sos) que, las constantes son:

Kn(s) - Kn

K21(s) = K21(s)e

•X - /C 0 L o s Xe

(2.98)

efectuando la transformada' inversa como se hace en la ecua-

ción (2.97), entonces; las constantes en función de tiempo

serán:

(2.99)o /J±_o_v" L°

47

^ i

K21(t) = e 2

(2.99)

Esto quiere decir que, las constantes se deben calcular con

/ÓT x segundos de retraso. Ahora bien, U(t-yOT X) es cero

para tiempos menores a /LÜ1 x seg. y uno para tiempos mayores

o iguales.' Más claramente; si se desea c a l c u l a r el voltaje

al extremo receptor, entonces se calculan primeramente las

constantes de las ecuaciones cuando recién se energiza, por

lo que las condiciones de borde al extremo receptor son ce-

ro (E(X 51)=0 y I(X,t)=0), ya que la onda se demora en l l e -

gar a ese extremo- /TC1 x segundos. . Así, el voltaje al extre_

mo receptor es cero para el primer paso de. tiempo. Cuando

el incremento de tiempo sea /TU x seg., la condición de bor.

de en ese instante será E(X,t)=V y I(X,t)=0 (por ser línea

sin carga) y - l a s constantes _de las ecuaciones se c a l c u l a r á n

para esas condiciones de borde, las cuales se usarán para de_

terminar el voltaje /LÜ1 x seg. más tarde.

Escribiendo las ecuaciones de la (2.42) de la misma forma

que la (2.31); se tendrá por lo tanto que las ecuaciones

(2.31) y (2.42) reunidas son:

[E] = [T][Kie-] +[T][K2e+],

r T "i r^nr^t— J. i- ., — i r~ i r - i — ~ r ., ~r

48

11 amando a:

[Aj = [kiex"o]

(donde X Indica que es en el extremo r e c e p t o r . )

[B2] - [k2ex +o]

[XJ = [B2ex-o]

entonces; para el extremo generador e0 y eo son uno. ya queo

e o = 1

[Eo] =

[ lo ] =

[ E x o ] = [T] [A2 ] + [T] [B2]

[ Ixo] = [T] M" 1 [A 2 ] - [T ] [ f i ] " 1 [B 2 ]

(el sub índ i ce o ind ica el ex t remo g e n e r a d o r )

. s e ti ene además :

[ki] =

49

[B 2 ]= [ A 2 ] - [n] [T] [ !Xo] ; como I x o = 0 , e n t o n c e s

[62]= [A 2] y

[E] = 2[T][A2] (2.101)

Haciendo un pequeño desarrollo, con.fines ilustrativos, del

método hecho por U.ram y M i l l e r ; se tendrá por lo tanto:

A 2 ( t ) p a r a t = O es:

1 1[A2] i = 2"[T]~ [ E X o ] , c o m o p a r a t = 0 es E x o = 0 -+•

[ A 2 ] i = O y [ E x o ] i = O

A 2 n ( t ) p a r a t = / L C 1 x es;

[ A 2 ] n - = y[T]~ [ E x o ] > c o m o p a r a t = /LCT x es E X O = V!

{A2 ] n = f ( V i ) y E X 0 2 - f { A 2 ) n

A 2 ( t ) p a r a t>/LTT x es :

[A] .n + 1 = ^[Tl" [ E x o ] , como E X o = f ( E X o 2 )

= f ( E X 0 2 ) y E X 0 3 = f ( A 2 ) n + l '

50

A ¿ ( t ) p a r a t>/TT x + At esn-i-2

[Exo], como Ex0 = f(Exo a)

[Az]n+2 = f(EX03) y E X O i f = f(A2)n+2

y así sucesivamente.

2.6 INTRODUCCIÓN DE LA V A R I A C I Ó N DE LOS PARÁMETROS CON LA-

FRECUENCIA

2.6.1 Efecto Piel

"La d i s t r i b u c i ó n uniforme de la corriente en la sección del

conductor solamente se presenta en la corriente continua. A

med i d a que aumenta la frecuencia de la corriente alterna, se

hace más pronunciada la diferencia entre las densidades de

corriente.de las distintas zonas de una sección transversal.

Este fenómeno se l l a m a "Efecto P i e l . " En un conductor de

sección circular, generalmente, aumenta la . densidad de co-

rriente del interior al exterior. Sin embargo, en los con-

ductores de.radio suficientemente grande, se puede presentar u_

na densidad de corriente oscilante a lo largo del radio.

Considerando diferentes filamentos l o n g i t u d i n a l e s normales

a la sección del conductor, los filamentos situados en la su

51

perficie no son alcanzados por el flujo interno'y el numero

de los enlaces de flujo de los filamentos cercanos a la su-

perficie es menor que los del interior. Esta -falta de uni-

formidad de los enlaces de flujo es la causa del Efecto Piel.

A altas frecuencias y en conductores de gran radio, el Ef e£

to Piel altera completamente los valores de resistencia y

reactancia. Inc l u s o a las frecuencias normales de di stri bu_

ción el Efecto Piel es importante en los grandes conducto-

res. "9

Con este razonamiento y a p l i c a n d o lo 'que se dijo anteríormen_

te en este capítulo (ecuaciones 2.1, 2.2, 2.3 ), la resis_

tencia de secuencia p o s i t i v a (la de la 1 í nea ). y la resister^

cia de secuencia cero (la de la linea y.tierra) varia pro-

porcionalmente con la frecuencia. Asi, la variación de las

dos, positiva y cero, será diferente ta.l como se indica en

la fig. 2.4.

En la in.ductancia de la l í n e a , siendo el conductor de área

constante, la densidad.de corriente no puede salir de esos

l í m i t e s de área; por lo tanto se puede considerar que la va_

r i a c i ó n del valor de la inductancia es casi n u l a , como se

puede ver en el gráfico de la fig. 2.4. Consecuentemente,

la i n d u c t a n c i a de secuencia positiva es prácticamente cons-

tante. No así con la in d u c t a n c i a de secuencia cero; ya que

en e l l a interviene la i n d u c t a n c i a de tierra y como el área

de tierra es i n d e f i n i d a , la v a r i a c i ó n de la i n d u c t a n c i a de

52

tierra se puede considerar I n d e f i n i d a ; pero por c á l c u l o s

experimentales hechos por Carroll 8, se ha l l e g a d o a dar va-

lor a esta v a r i a c i ó n , la cual se representa en la figura -

2.4, y que se puede considerar como modelo.

La capacitancia se define como:

re F/m (2.102)

que es la capacitancia entre- líneas, siendo:

h - distancia m e d i a ' d e centro a centro de los conductores

r = radio del conductor

e = permi ti vi dad

y la capacitancia entre.un conductor y tierra es:

F/m (2.103)

h = distancia media del centro del conductor al centro de

la imagen del conductor.

N i n g u n o de estos valores depende de la frecuencia; así, ni

la capacitancia de secuencia p o s i t i v a , ni la cero varía con

1 a frecuenci a. •

53

10

Fi g . 2.4 Variación de los parámetros con la frecuencia

Así en este punto, se hará una Introducción de los efectos

que se p r o d u c e n - e n las ecuaciones al variar los parámetros

con la frecuencia, dejando para estudios posteriores la a-

p l i c a c i ó n de dicho, efecto; que naturalmente demandará "un estudio

tan extenso-como el que se ha hecho hasta el momento en las sec-

ciones anteriores de este trabajo; por cuanto se necesitará

hacer otro tipo de consideraciones en la a p l i c a c i ó n del tep^

rema del residuo. Indudablemente, lo que se haga después se

debe partir de las ecuaciones planteadas.

Al aplicar la v a r i a c i ó n - de los parámetros con la frecuencia,

se tiene que de la ecuación (2.74), que es:

+ -;2L-

n = 1, 2, 3,

Se deduce que en esta ecuación, el valor de la raíz debe ser

mayor que ceros ya que de lo contrario, sn sería solamente

amorti guarniente; asi, la expresión que hace cero a la raíz

es :

X C

por lo que, esta expresión debe ser mayor que cero y por lo

tanto:

__. > __ ( ¿ . I U bj

Pero resulta que R aumenta y L disminuye conforme aumenta

la frecuencia (fig. 2,4), entonces, llegará un momento en

que la ecuación (2.105) cambiará de sentido,

2 / 9 ~] \ D2 .7 T l í i n ~ I J , f \ o T r\ \r < -r- ( 2 . 1 0 6 )

de esta manera, no se podrá a p l i c a r el teorema del residuo

para raíces complejas conjugadas, sino para raíces dobles.

Los resultados serán funciones exponenciales en el tiempo;

lo que i n d i c a la presencia de componentes de corriente con_

55

tínua, que sumadas a las componentes de corriente alterna,

dará una respuesta muy aproximada a la real i dad.

2.7 ESPECTROS DE FRECUENCIA

La respuesta transitoria de un circuito eléctrico es una on_

da deformada co.n respecto, a la respuesta forzada, que tiene

componentes de frecuencia de distintas características y que

dependen de los parámetros y. 1 a configuración del circuito.

Estas componentes spe pueden representar en un di agrama, al

cual se lo denomina.espectro de frecuencia.

Las respuestas forzada y transitoria, tienen un amortigua-

miento que es función de los panametros del circuito. N a t u_

raímente, la respuesta forzada tiene un amortiguamiento -ce-

ro debido a que la frecuencia de ésta tiene solo parte ima-

ginaria (s=H\jti)} .

Si se hace un gráfico t r i d i m e n c i o n a l de .la onda en función

de a m p l i t u d , tiempo y f r e c u e n c i a , - s e tendrá el gráfico de la

fi gura 2.5.

56

Fig. 2.5 Gráfico tridimensional de una onda en función de

ampli t u d , - tiempo y frecuencia.

SI se mira eí cuadrante de a m p l i t u d - t l e m p o , se tendrá el grá

fleo de la figura 2.6

Fig. 2.6 Gráfico I n d i v i d u a l de cada onda

57

en que la suma de esas ondas será la respuesta total del

transí torio.

Mirando el cuadrante amplitud-frecuencia, se obtendrá el grá_

fico de la fig. 2,7 a t = 0; del cual se verá solamente 1 ineas

pa r a l e l a s , que es justamente el espectro de frecuencia.

Fig. 2.7 Espectro de frecuencia generalizado

Este gráfico se puede realizar para cualquier tiempo t. Sus

amplitudes son múltiplos del amortiguamiento, de una función

senoidal y.del tiempo; así, de las ecuaciones (2.77), (2.78)

y (2.79) se obtiene las .amplitudes para las tres fases de la

respuesta forzada y de las ecuaciones (2.80), (2.81) y (2.82)

se encuentran 'las a m p l i t u d e s de la respuesta transitoria p^

ra c u a l q u i e r tiempo t.

Cuando exista frecuencias de secuencia cero, se debe incluir

las ecuaciones. (2.85) y (2,86).

Más el aráñente, las contri buci ones que hace cada componente

de frecuencia en la respuesta total a un tiempo t determ1na_

do, es el espectro de frecuencia para ese tiempo y se lo o b_

tiene de las ecuaciones antes dichas.

59

• C A P I T U L -O I I I

DESARROLLO DEL PROGRAMA DIGITAL

3.1 ALOGARITMO DE CALCULO

El cálculo de los voltajes-transitorios por energización de

una línea en vacio, requiere encontrar los valores de las

frecuencias en la que el circuito oscilará. Para esto se

hace necesario saber, si el cierre del disyuntor es o no u ~

ni forme; con lo cual se determinará las componentes de fre-

cuencia para secuencia positiva y cero. Para cierre s i m u 1_

taneo., sólo se calculará..las componentes de frecuencia para

secuencia positiva; en cambio, si el cierre no es si multáneo

se cal cu]ara ambas.

Cada frecuencia calculada le corresponderá una a m p l i t u d y fa_

se; la amplitud y fase debida al modulo del residuo cal cul a_

do para cada frecuencia. (Ver apéndice A)

El alogaritmo seguido en el programa d i g i t a l será entonces:

a) C á l c u l o de las "componentes de frecuencia para secuencia

p o s i t i v a con sus cor respondí'entes valores de a m p l i t u d y

fase; el cálculo i n c l u y e la parte estacionaria y la tra_n_

sitoria, (ecuaciones 2.73 y 2.74)

60

SI c u a l q u i e r valor de los tiempos de retardo, para cada

una de las fases, es distinto de cero; se c a l c u l a enton-

ces las componentes de frecuencia para secuencia cero,

coñ'sus correspondientes v a l o r e s . d e a m p l i t u d y fase.

b) C á l c u l o de los valores desde VALÍ a VALS (capítulo II

sección 2.21)

c) C á l c u l o de la suma de los voltajes en estado estable y

transitorio.(ecuación 2.87)

d) Impresión de los -resultados.

3.2 DESCRIPCIÓN DE LAS SUBRUTINAS .

Subr.utina C O M P F . - Dado, los valores de los parámetros y la

l o n g i t u d de la línea, se c a l c u l a n las com_

ponentes de frecuencia para secuencia p o s i t i v a y cero.

sn = - i-i_ i / i _ i ^ t _ / \_

(3.1)

n - 1 , 2, 3,

Solamente se calcula una raíz, ya que la otra es la c o n j u g <i_

da (ver a p é n d i c e A). Normalmente n varía de 1 a 40

61

Subrutina VEST.- Con los valores de los parámetros y la lon_

g i t u d de la- l i n e a , se calcula la' a m p l i t u d

y fase de la componente de frecuencia a 60 Hz.

De la ecuación (2.77), se tiene que el módulo es:

VABS2 = 1coshA i

(3.2)

Subrutina VIRAN.- De los valores de las componentes de fre-

cuencia (positiva y o cero), los parámetros

y la l o n g i t u d de la 11 n e a ,. s e c a l c u l a n las a m p l i t u d e s y fa_

ses correspondientes a cada componente de frecuencia.

De la ecuación (2.80), se tiene que el m ó d u l o es:

VABS2R n= 2(sn-a) (3.3)

an = tg (Img(H(s))/Real (3.4)

H(s) = La función que está dentro del m ó d u l o de VABS2R

Subrutina VALOR.- Dado los valores de los voltajes en la ge-

neración y el á n g u l o de energización,. . se

61

calculan los valores de VALÍ a VALS, que son simplemente la

suma de los voltajes con sus respectivas funciones senoida-

les y coseno i dales; como se indican en las ecuaciones (2.69)

(2.70), (2.71) y (2.85) en el capítulo II.

Subrutina PLOT.- Con esta subrutina, se grafican los resul^

. tados obteni dos.

El programa d i g i t a l está desarrollado en s i m p l e precisión y

el valor de n recomendado es 20; • los diagramas de flujo e_s^

tan en el apéndi ce D.

3.3 EJEMPLOS COMPARATIVOS Y ANÁLISIS DE RESULTADOS

En esta sección se dan dos ejemplos, los cuales, indican que

el procedimiento matemático'es val i do y correcto con el mé-

todo desarrollado en el programa digital.

l . - L o s resultados obtenidos por Uram y Miller, sirven co-

mo un ejemplo para comprobar que los valores encontra-

dos son los mismos que los h a l l a d o s en el programa digi_

tal, con los mismos parámetros de la línea, como se ve

en la tabl a 3.1.

63

TABLA 3.1

Resistencia

Inductancia

Capacitancia

Longitud dela línea.

Ángulo de e-nergización

Velocidad depropagación.

Uram y Mi ller

Secuenciacero

0,2Wkm

3,24.10~3h/Km

5,4.10~9F/Km

Secuenciapositiva

0,043íVKm

1.2.10"3h/Km

9,23.10~9F/Km

251,37 Km

0°

• 294447 Km/seg .

Programa

Secuenciacero

0,24a/ Km

3,24.10" 3h/Km

5.4.10"9F/Km

Secuenciapositiva

0,043íVKm

l,2.10"3h/km

9,23.10"9F/Km

251,37 Km

0°

294447 Km/seg

Nota: Valores de los parámetros a 60 Hz .

Datos del sistema base: 345 Kv, 100MVA, 1190S2

Las respuestas a los vol.tajes se ve en el gráfico de la fig.

3.1 .

2.- El programa desarrollado por Francisco García,11 se to-

ma también como ejemplo comparativo, los parámetros de

la línea son los dados en la Tabla .3.1. Como se puede

ver, los resultados son s i m i l a r e s a los del programa

( v e r f i g . 3.1)

64

Debe tomarse en cuenta que; los tiempos que se demoran las

ondas en l l e g a r desde el extremo generador al extremo recej^

tor, no aparecen en los resultados, por considerarse que pa_

ra el efecto de vi sualización del transitorio, n.o. tiene im-

portancia. . '

Estos tiempos se c a l c u l a n con los parámetros de la l i n e a , a_

sí :

T - /LC1 X [mseg]

Res

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• .. ' . •' . Ll= 0 . 12*tí2E— O2 HENR lOS/K^ LOz o . 3 239 8E— O 2 H6NRI GS/KM- - Rl= 0 .4340.3E-0 1 OHMS/K^ '" P0=- O .24096E OO Or-HS/KM

• '. / . .- .-.'.. • • Cl= 0 ,y23íj-Jl£-ÜB FARADIOS/KM C0= 0 . 54070E-08 F«RAD IDSxKM ' - • .

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\ I ÍS^X L *c \.~ ~ .*' i" ~ ' I jJ /*r****^ J . 1 / •V i /*v \^^*~^ "5L \^T- - — '^^ír'.z' ~t " ~^ * •* CS^^v/ i** J •/

\O DE OBSERVACIÓN DEL TRANSITORIO = IOO'"'*SEG

\ U ^-*:.^~ "" • ->'• /"_./*• /

NUMERO" DE COMPONENTES "oer- FRECUENC i A TOMADAS = , 20\H t^V s~™~~~ t

~\. vi tN-^ (a) í í / r? f» !•! . f*f~~~~> /VALÓRESEOS. SECUÉNCr A'. 'PÓSITI V* " — '•?** ,•' • - .

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. - ATENUACIÓN FRECUENCIA . . AMPLITUD F*SE • * '

1 -17. 4 O 1 fla-0 .28 ' 1 329 -1 .590542 -17.40 5S21.O7 * O a 2 6 -1. 57 713

• . 3 -17. iü . SZO l -H l ' 0 255 -1 .S745B

5 -17.40 If j5ó3,27 . 0 1 4 2 -1. 572906 -T7.40 . 2C244.00 0 1 1 6 ~ 1 .57251

- ' 7 ' - -17.40 . 2302^-73 0 09B -1.57225

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E l p rog rama d ig i ta l puede u t i l i za r se pa ra c a l c u l a r l os v o l -

t a j es t r a n s i t o r i o s por man iob ra al e n e r g i z a r l í n e a s de tran_s_

m is ión en v a c i o . •

El e fec to que se p roducen en los r e s u l t a d o s al inc lu i r el

c ie r re no s i m u l t á n e o del d i syun to r , el c ie r re s i nc rón i - co de

las f a s e s , á n g u l o de c ie r re y a c o p l a m i e n t o mutuo en t re fa-

s e s ; se c o n s i d e r a n como a p l i c a c i o n e s de es te p r o g r a m a .

4 . 1 E F E C T O D E L C I E R R E N O S I M U L T A N E O D E L D I S Y U N T O R

Un d isyuntor nunca es pe r fec to por lo que sus p o l o s no s'e" ce_

rrarán s imul táneamente, entonces, los vo l ta jes t ransi tor ios

su f r i rán d i s t u r b i o s , los c u a l e s en r ea l i dad , no son muy im-

po r tan tes ; pero b ien v a l e l a pena c o n s i d e r a r l o s .

Si se s u p o n e que c u a l q u i e r a de las f a s e s (una o d o s ) se de-

mora en cerrarse alrededor de unos 4mseg, en tonces , d ichos

e f e c t o s se pueden ver en e l g rá f i co de la f i g . 4 . 1 , los que

se c o m p a r a n con l os v o l t a j e s de c ie r re s i m u l t á n e o .

66

4.2 EFECTO DEL ÁNGULO DE CIERRE

Dependiendo del á n g u l o de cierre (con referencia a la fase

A), los sobrevoltajes serán mayores o menores en cada una

de' las fases. Considerando un cierre simultáneo, los angu_

los más críticos son 30° y 90°; mientras tanto que para 0°

y 60°, existe una fase, en la cual el sobrevoltaje e s m á s 1 e_

ve, así en la fig. 4.2, se puede apreciar dicho efecto y su

respectiva comparación con el cierre a 0°., que está- en la

Fig. 4.1

4.3 EFECTO DEL ACOPLAMIENTO MUTUO ENTRE FASES

Si a las fases C y B no se las hace cerrarse, y sólo la fa-

se A a 0°, se notará que efectivamente, el acoplamiento mu-

tuo hace aparecer voltajes pequeños reíativamente e iguales

en fase en las fases B y C, como se i n d i c a en el gráfico de

la fig. 4.3.

4.4 CIERRE SINCRÓNICO DE LAS FASES

Un método para d i s m i n u i r los sobrevoltajes, consiste en ce-

rrar las fases cuando la onda de tensión pasa por cero. Es-

to se consigue cerrando sincrónicamente las fases; es decir,

haciendo que la fase A se .cierre a 0°, la fase B en 150° y

la fase C en 240? Esto quiere decir que la fase B y C se de_

67

m o r a r á n en c e r r a r s e n.o mseg y 5.5 m-seg res pect i v a m e n t e con

r e s p e c t o a la F a s e A. Es to se ve c l a r a m e n t e en e l g r á f i c o -

de la f ig . 4 . 4 , e l cua l se c o m p a r a con el c ie r re s imul táneo. ,

en 1 a fi g . 4 . 1

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68

C A P I T U L O V

CONCLUSIONES Y. RECOMENDACIONES

Con el programa di g i tal i mpl ementado en este trabajo, se pue_

den desarrollar aplicaciones en el estudio del fenómeno de

energización de líneas de transmisión en vacio; los cuales

pueden servir y aprovecharse para el diseño de las mismas,

en los campos de selección del aislamiento más' económico y

la cordinacion de las protecciones entre otras cosas.••

Como ya se dijo, los resultados están garantizados con la, 5-6

comprobación hecha con otros., resultados, (Urarn y M i l l e r , F.

García"), lo que dice del método aquí desarrollado, 'sea

v á l i d o .

Las a p l i c a c i o n e s hechas son 'casos ilustrativos, pero, ".sir-

ven de base para futuros estudios en modelos más complejos,

como son la i n c l u s i ó n de la resistencia del disyuntor, re-

sistencia de amortiguamiento, carga, etc.

El tiempo de ejecución del programa, está dentro de los lí-

mites razonables, alrededor de los 8 5 m s e g , p a r a. 2 O mseg de

observación, considerando los casos.más complicados.

El trabajo re al izado en realidad, es una base para la i m p l e__

m e n t a c i ó n , c o m o ya se dijo antes, de la i n c l u s i ó n de la car

69

ga, etc. y especialmente, la variación de los parámetros con

frecuencia. La variación de los parámetros con la frecuen-

cia es muy importante, puesto que los resultados serían más

apegados a la realidad; el amortiguamiento de la onda será

más enérgica y llegará al estado estable más rápidamente.

El programa ha sido desarrollado en un computador IBM•370/125,

por lo que el tiempo de ejecución es bueno para este tipo de

máquina, pudiéndose mejorar en otro más rápido.

70

APÉNDICE A

DESCRIPCIÓN DEL TEOREMA DEL RESIDUO

A.1 TEORÍA DE LA VARIABLE COMPLEJA

A. 1 .1 Puntos Singulares

Punto s i n g u l a r de una función f_(s) es un valor de s en el

cual f(s) deja de ser analítica,, osea, deja de ser continua

y d e r l y a b l e en todos sus. puntos. Si f(s) es analítica en 'to_

das las p a r t e s - d e alguna región R, excepto' en un punto i nte_

rior sâ, entonces a es una singularidad aislada de f(s).14

Pol os.

si

f(s) * (A.l

siendo (¡(aÔ» dúnde i(s) es analítica en una región que -con

tiene a sâ y si n es un entero positivo, entonces f(s) tie

ne una s i n g u l a r i d a d a i s l a d a en s=a, el cual se l l a m a polo de

orden n. - S i n = l , el polo se llama polo s i m p l e ; si n = 2 ' se

71

l l a m a polo d o b l e , etc.

Si f(s) tiene un polo de orden n en s-a y es a n a l í t i c a en

cualqü'ier otro punto de a l g ú n círculo C de centro en a, en

tonces (s~a)n f(s) es analítica en todos puntos de C y tie

ne serie de Taylor alrededor de s = a de manera que:

f(s.) = + an + 1- 1

-13 " Is-a-

(A.2

Lo que se l l a m a serie de Laurent para f(s)

A.l.2 Residuos

Los coeficientes de la ecuación (A.2) se pueden obtener de

la manera acostumbrada escribiendo los coeficientes para la

serie de Taylor correspondí en tes a (s-a)nf(s ) . En este de-

sarrollo el coeficiente a-l, l l a m a d o residuo de f(s) en el

polo s=a, es de considerable importancia.

72

Puede h a l l a r s e con la fórmula:

1 ims->a

a - l i m I . Q" f /<. a n ff.1 f A a-i ~ câ /• r,_n U ^ c - n - f l \ ~ a ^ ~(s/] \n-J)

donde n es el orden del p o l o . Para polos s i m p l e s , el cal cu_

lo del residuo es particularmente simple, puesto que se re-

duce a :

(A.4)

1 ' 3 Teorema 'del' 'residuo

Si f(s) es analítica en una. región 'R excepto en un polo de

orden n en s=a y C es c u a l q u i e r curva cerrada simple en 'R y

contiene a. s = a, entonces f(s) tiene la forma de la ecuación

(A. 2). Integrando (A. 2), y usando el hecho de que:

o si n

ds

(s~a 2irj- si n-1 (A.5)

(ver demostración en la Ref. 14 pp. 153)

Se deduce que:

' f(s)ds -c

73

es decir, la integral de f(s) alrededor de un camino cerra-

do que encierra un solo polo de f(s) es 2 ir j por el residuo

del polo. Más generalmente:

Teorema.- Si f(s) es analítica dentro y en la frontera C

de una región Tí, excepto en un numero finito de

polos a, b, c,....' dentro de TC cuyos residuos son respecti-

vamente a -i, b - i , c-i, , entonces:

f(s)ds = 27TJ(a-1 + b-1 + c _ 1 + ) (A.6)c

es decir, la integral de f(s) es 2irj por la suma de los re-

siduos de f(s) en los polos encerrados por C.

A. 2 FORMULA DE I N V E R S I Ó N COMPLEJA

Si f(s) - í[F(t)] , entonces ^":[f(s}] está dada por:

F(t) = ¿y estf(s)ds, t>0

y-joo

Este resultado ofrece un método directo para obtener la trans_

formada inversa de Laplace de una función dada f(s).

74

Con to rno de B r o m w i c h . - En la p rác t i ca , la in tegra l ( A . 7 )

se c a l c u l a m e d i a n t e la in tegra l cur

v i H n e a :

27TJ y es t f ( s ) d s ( A . 8

Donde C es el contorno de la fig. (A.l). Este contorno, se

compone del segmento AB y el arco BJKLA de una circunferen-

_cia de radio R con centro en el origen 0.

Si se representa el arco BJKLA por T, puesto que T=/R- 2y ,'

por la ecuación (A. 7) se deduce que:

F(t) -l i m ' 1

2-ITJ

Y+JI

Y-JT

st

1 i mst estf(s)ds]

r(A.9)

A. 2 .1 U ti 1 i zación del teorema del, residuo para h a l l a r 1 a

transformada de Laplace inversa.

Si se supone que las únicas s i n g u l a r i d a d e s de f(s) son po

los, todos ellos a la izquierda de la recta s = y > para algu

na constante real y. Si se supone además que la integral

75

(A.9) a lo largo de 1 tiende a cero cuando R—. Entonces,

por el' teorema del residudo, la ecuación (A.9) toma la for-

ma :

F(t) = res i dúos de est~f (s) en los polos de f(s )

(A.10)

V-JT

Condi ción suficiente para que ti enda a_ cero 1 a i ntegral al -

rededor d_e_ _[__

Si es p o s i b l e h a l l a r constantes M>0 y K >0 tales que:

(A.11)

en todo conjunto (donde s = ReJ"), entonces la integral alr_e_

dedor de f de estf(s) tiende a cero cuando R-»•«>. La cond_i_

ción (A.11) se satisface siempre si f (s ) = D-TTT donde A (s) y

B (s) son p o l i n o m i o s en los cuales el grado de A(s) es menor

76

al de B(s).

Así por ejemplo, para demostrar lo que se ha dicho hasta a

hora, se hace un ejemplo:

f(s) = Ar

hallar'la transformada inversa de Laplace.

par S = RQ^ Q, se tiene que:

R eJb = R C o s G + j S e n © = R /Cos2e- i-Sen20' Ly C o s o - R

P a r a R s u f i c i e n t e m e n t e g r a n d e ( p o r e j e m p l o R > 4 ) . A S T , l a

c o n d i c i ó n se s a t i s f a c e a ( A . 1 1 ) c u a n d o k = 1 , M ^ 2 .

El r e s i d u o en el p o l o ' s i m p l e s = 2 es:

(s.2) = e 2t

por lo que,

77

-i~es"iduos de

Ver referencia 14

De este ejemplo se puede deducir claramente que el res i dúo'

para raíces o polos distintos de f(s) es:

R = (s-a) f(s)est (A.12)

donde:

K = (s-a)f(s) - (s-a) A(s)

s-a

A.3 RESPUESTA DEBIDA A RAICES COMPLEJAS CONJUGADAS

Si una función f(s) está definida por

7

y cuando B ( s ) contiene un par de raíces complejas conjuga-

das (a+jb) y (a-jb), la respuesta debida a cada una de es-

tas raíces combinadas tiene la forma de un término senoi-

dal.

Así, el residuo en el polo a+jb es:

pero; B(s) contiene un1 factor cuadrático que es

(s-a-jb)(s~a+jb)=s2-2as+a2+b2

ya que los dos polos conjugados son:

entonces, el residuo â + jb se puede expresar en la forma de:

st

en la que se ha m u l t i p l i c a d o y d i v i d i d o en el denominador el

término (s -2as+a +b ); la evaluación de la expresión ante_

rior en s-a+.jb da como resultado que la ecuación (A.13) que_

da de la forma de:

79

( A . 1 4 )

L a n o t a c i ó n A ( a + j b ) / B ( a + j b ) , s i g n i f i c a q u e e l t é r m i n o c u a -

d r á t i c o s 2 - 2 a s + a 2 + b 2 , ha s i d o r e t i r a d o de B ( s ) a n t e s de e -

v a l u a r A ( s ) / B ( s ) a l p o l o s = a + j b ; esto e s :

A ( s )A C a - H J b ) ,BU + j b f

E l r e s i d u o a l p o l o s = a - j b en l a e c u a c i ó n ( A . 1 3 ) e s

R ."

y l a e v a l u a c i ó n en s ^ a - j b da :

A ( s ) e s t

s = a - j b

Ra-jb =-^4A ( . a - j b ) f a - j b ) t

2 j b B ( a - j b ' ( A . 1 5 )

Debido a que A(a-jb)/B{a-jb) es la conjugada de A(á+jb)/B(a+jb)

entonces» cada una tiene la misma magnitud, pero sus ángulos

son opuestos. Si se l l a m a a a al ángulo formado por

A(a+jb )/B(a+jb), entonces:

A ( a + j b ) = A ( a + j bB ( a + j b y

80

A(a-jb)B(a-jb)

A(a+jb) -ja

Así, el residuo debido a cada raíz compleja conjugada puede

expresarse de la siguiente manera:

Ra+jb" -:at A(a+jb)~

2j

eat A(a+jb) e-jbte-Ja2j

Sumando estas dos ecuaciones, se da que la respuesta total

es :

R = A ( a + j bB ( a + j b

e j { b t + a ) _ e - j ( b t + a )2j

Tñ — 1 O

corno e -e = s ene , e n t o n c e s ; el r e s i d u o d e b i d o a r a í c e s com¿3 • ~

j u g a d a s e s :

R =:at A ( a + j b ) S e n ( b t + a ) ( A . 1 6 )

(ver referencia 18)

A P É N D I C E B

TEORÍA DE DIAGONALIZACION DE MATRICES

B,l ECUACIÓN CARACTERÍSTICA DE UNA MATRIZ}1*

Sea Y = AX, siendo A= [ai j] , una transormación l i n e a l d e f i n i d a

sobre un cuerp.o en la que el vector X.~ [Xi » X2,.... Xn ]' se

convierta en otro Y- [Y l s Y 2 í ....,Ynl relacionando con el

primero por dicha transformación.

Todo vector X se convierte medí ante d i c h a transformación en

el vector XX, es decir, todo vector tal que:

AX -XX (B.l)

X se l l a m a vector propio.

De la ecuación (B.l) se obtiene que:

1 2 ' Xi'

- o

~an i ~an X-a nn

(B.2)

82

La condición suficiente y necesaria para que este sistema de

ecuaciones (B.2) tenga solución, d i s t i n t a a la t r i v i a l , es

que :

AI-A

-a 1 1 -a i 2 • •-a i

-azi A-a 2 2 • • • -a

-a n i

= O (B.3)

El desarrollo del determinante de la matriz (B.3), da como

resultado una ecuación característica de la matriz A. Si

X = A i es una raíz característica, entonces la matriz (B.2)

admite soluciones distinta a la t r i v i a l , que son las compo-

nentes de los vectores característicos asociados a dicha raíz

Las raíces características se l l a m a n valores propios; los vecto_

res característicos cor respondí'entes son los vectores pro-

pios .

B.2 MATRICES SEMEJANTES A UNA MATRIZ D I A G O N A L 1 4

Teorema_s_. - Si A es una matriz cuadrada simétrica y real de

orden n cuyos valores propios son A i , A2 >A - - An .

existe una matriz ortogonal. T tal que T"1 AT^diagonal (Ai A2,

A 3 > A i» j ^ n' •

83

Toda matriz simétrica real A es semejante ortogonal mente a

una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal principal

son los valores propios de A.

Para el caso que se ocupa, se tiene que -di ago nal i zar la ma-

triz [a] dada en el capítulo II sección 2.1, ecuación (2.17)

Si se l l a m a a :

y

a p l i c a n d o las condiciones hechas con la ecuación ( B . 3 ) , se

encuentra la ecuación característica de a

A-A -B -B

-B A-A -B

-B -B A-A

3: - O

(B.4)

Para encontrar las raíces, se hace el siguiente reemplazo:

A = X+A

lo que da la ecuación:

- O

84

que es más s e n c i l l a de resolver.

SI se l l a m a a;

X = Y + Z

Se t endrá por lo. t an to :

Y 3 + Z 3 + 3 X ( Y Z - B 2 ) + 2 B 3 = O

13Según la referencia (Hall y Kn1ght)s se tiene que usando el

método de Cardano:

- 2B

YZ = B2 ; Y3Z

3 3Y Z son las raTces.de la ecuación cuadrática

ir = -2Bt2+rt - ÍL. = o

¿! • [q = -3B

reemplazando:

t2-2B2t+B6 = O

p o r lo que:

Y3 - B3 +/"

- /B 6 - B B" = B 3

Y - B

2 - B

Y + 2 - 2B

85

Si oí = 2 '_

LO =

entonces :

= -B

La s o l u c i ó n será entonces:

j = Y + 2 ; X2 = ü)Y+üJ2Z

asi ,

i = 2B . ; X

s A S

X, = -B

pero como: X = X+A

AI

reemplazando A i en la matriz de la ecuación (B.4) y hacien-

do como se i n d i c a en la ecuación (B.2), entonces quedaría:

86

2( Z o Y o - Z i Y i ) (ZiYi-ZoYo) ( Z iY i-Z0 Y „)

(Z lY i-Z oY o) 2(Z0Yo-Z iY i) (ZiY i-Z 0Y 0 X = 0

.(ZiYi-ZoYo (ZiYi-ZoYo) 2 ( Z 0Y 0-Z iY l _

(B.5)

de estas ecuaciones se podrían decir que una solución se-

ría : ' •

lo que corresponde a u n - vector pro pió [1,1,1]

Reemplazando X2, de la misma manera:

(B.6)

ZiYi-Z 0Y

ZiYi-Z 0 Y

= O (B.7)

Xi+X2+X3 = O

las s o l u c i o n e s p o s i b l e s podrían ser los vectores propios:

[1, O, -1] y [0,1, -1

Con estos vectores se puede formar la matriz [T] ortogonal

[T] =

1 1 O

1 O 1

1 -1 -1

(B.9)

que es lo que se buscaba; osea, "la matriz ortogonal [T] tal

que [T]'1 [A] [T] - diagonal (Xi, X2 ____ Xn)

Como se notará, la matriz diagonal es la formada por las

ees características o valores propios de [a], así:

= 3Z 0 Y o O O

O - Z i Y i O

O O' - Z i

(B .10 )

p e r o c o m o [ex] e s t a b a m u l t i p l i c a d a p o r - ; e n t o n c e s ,

[y] -

" ZiYi

0

0

0

. z l Y l

0

0

0

Z i Y i

(B . l l )

APÉNDICE C

'MANUAL DE USO DEL PROGRAMA

TITULO.- CALCULO DE LOS VOLTAJES TRANSITORIOS POR ENERGIZA-

CION DE UNA LINEA DE TRANSMISIÓN EN VACIO.

C . 1 General Ida'des . -

En este punto, se darán la manera de usar el programa pa

ra las aplicaciones del capítulo 4; el significado de ca_

da variable de entrada y la forma con la que se debe in_

troduclr los datos para cada una de dichas aplicaciones

Todas las variables se dan más adelante, con sus f orm_a_

tos de entrada y descripciones correspondí entes.

C.l.l Efecto del cierre no simultáneo del disyuntor:

Si cualquiera d é l a s fases del disyuntor se demora en

cerrarse x seg, los valores de T0, TL y'T2 serán di f e_

rentes de cero (cualquiera de ellos). Asi por ejem-

plo, si la fase A no cierra por 4 mseg, entonces el va_

lor de T0 = 4 mseg y Ti y T2 serán cero (correspondiera

tes a las fases B y C respectivamente). Si el cierre

es simultáneo, T0) TI y Ta serán cero.

89

C.1.2 Efecto del á n g u l o de cierre:

.El v a l o r de PHI deberá., ser en radlañes, el cual co-

rresponderá al á n g u l o de la fase A como referencia.

Por ejemplo PHIÔ.Orad • .• .

C.1.3 Efecto del acoplamiento mutuo entre fases:

• Para este caso, se debe s i m u l a r que una o dos fases no

se cierran, para poder apreciar dicho fenómeno. Asi"

por ejemplo, los valores de Ti y T2 correspondientes

a las fases B y C, d e p e n d i e n d o del tiempo de observa-

ción" del transitorio, valdrán Ti=T2=tiempo de obser-

vacion del transí" torio; el valor, de T0 será cero.

C.1.4 Cierre sincrónico de l.as fases:

Si se desea cerrar el disyuntor sincrónicamente, con

el objeto de d i s m i n u i r los sobre voltajes, se deberás^

mular que los tiempos T0, Ti y T2 (dependiendo del án_

tulo de energizaci'on) valgan x mseg para cuando las

ondas de las tres fases pasen por cero. Asi por ejern_

p í o , cuando se tiene un á n g u l o de energización de ce_

ro rad., T0=0.0, Ti=11.0 y T2-5.5

90

C.1.5 Fal1 a • d e l disyuntor:

•SI al dar la orden de ci erre del disyuntor, un polo o

dos polos no se cierran, aparecerán voltajes que po-

dr í a n ocasionar daños en los equipos. Así por ejem-

plo, si la fase A del disyuntor f a l l a , se debe simu-

.lar dando el valor a T0 = tiempo de observación del tra_n_

si torio, y las fases B y C, corresponderán a

' Ti=0.0 y taÔ.O inseg.

91

NOMENCLATURA

C.l.6 V a r i a b l e s de Entrada

SÍMBOLO FORMATO •DESCRIPCIÓN

RR F5.2 Valor de At del Incremento de tiempo

(recomendado 0,5)

14 Valor del tiempo de observación del

transitorio en mseg.

13 Valor del número de frecuencias a

.cularse (recomendado 20)

PHI F14 .8 Á n g u l o de e n e r g i z a c i ó n

F14.8 Longi tud de la l ínea .

Ll E 1 4 . 5 Induc tanc ia de s e c u e n c i a p o s i t i v a en

-H/km

Cl E14 .5 C a p a c i t a n c i a de s e c u e n c i a p o s i t i v a en

F/km

Rl E14 .5 R e s i s t e n c i a de s e c u e n c i a p o s i t i v a en

íí/km.

LO E14.5 Inductancia de secuencia cero en F/km

92

SÍMBOLO FORMATO DESCRIPCIO

CO E14.5 Capacitancia de secuencia cero en

• F/km.

RO E14.5 Resistencia de secuencia cero en

VIV2V.3

F4.2 Voltajes de generación en p.u.

TOTIT2

F5.2Tiempos de retardo en los polos a laenergización de las fases A » B , C r e _ s _pectivamente, en mseg.

VARIABLES DE SALIDA

VALORES DE SECUENCIA POSI

TIVA Y CERO.

Son los valores de las com-

ponentes de frecuencia con

sus a m p l i t u d e s y fases.

VOLTAJES EN LAS FASES

A, B, C

Los valores de las sobre-

tensiones en cada fase en

p.u.

93

FORMA DE P R O P O R C I O N A R LOS DATOS AL PROGRAMA

Para todos los casos que se quieran someter a es tudi o , se de_

be siempre ut i l i z a r todas las v a r i a b l e s descritas en C.1.6

con sus respectivos formatos. Asi, la forma de introducir

el programa dichos datos, se describirán más adelante en ho_

jas codificadas.

ALCANCE Y RESTRICCIONES

El programa ha sido desarro l i a d o para el computador IBM

370/125 de la Escuela Politécnica Nacional en s i m p l e precj_

sión y tiene los siguientes alcances y restricciones:

El programa opera para c u a l q u i e r c i rcuito trifásico con

c u a l q u i e r d i sposición geométrica de las líneas.

El programa no opera para circuitos trifásicos no trans-

puestos .

El programa no opera para circuitos monofásicos.

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APÉNDICE D94

D.l DIAGRAMAS DE FLUJO

P R O G R A M A P R I N C I P A L . -

í I N I C I O J

/RR, MM,N. 0 . X .

L1,C1,R1, LO.CO.RO,

V1 .V2,V3,TO.Tl ,T2

RR, MM, N . 0", X,

L1. C1, R1, LO CO,

RO,TO,T1,Tg-

C A LL

C OM P F

.(R1.C1.L1.S,

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C A LL AV EST \ C1, L1 .VABS2, /

ALFA2) /

C A L L

V I R A N

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C A. L L \E ST \, /

VABS1.ALFA1) /

C A LL

V T R A N(s,RO,CO,LO.VABS!R.

ALFAR1.VAO.VBO,

N)

H a g a los vo l t a —; e s de secuen —c ! a • c e ro igual ac e r o

E01- O• E l R O - 0

I n I el a l ice* el t iemPo

96

C a l c u l e la sc o nst a n t e s de

s e c u e n c i a pos i t i vaCONST1,COMST2

C a l c u l e las cons_( a n t e s y v o l t a j epara secuenc i acero en e s t a d oest ab l e - CONO).

CON02.E01

Ca lcu le el vo l la jeen es tado estable ,de secuencia posi-t i v a

E1.E2. E3

Calcule las constan-tes de secuencia po-s i t i v a para estadotransi tor io

EXPO.MULT1.MULT2

Calcule las constan-tes y vo l ta je de se-cuencia cero en esta_do 1 ransitorioi EXPQ.E1RO.MULT01.MULT02

97

Calcule los voltajestransitorios y sumelos de estado estable

ElTE2TE3T

I n c r e m e n t e e l

t i e m p o y r e p i t a

T= T + R R

Impr tm a y graf i -que r e s u l t a d o s

E1T, E2T , E3T

P A R E

S U B R U T I N A V A L O R

98

( I N I C I O )

-¿*

C a l c u l e l o s

v a l o r e s de s -

d e VAL1 a VALS

R E T O R N E

S U B R U T I N A C O M P F - —

99

N I C I O

R . C , L-, N , X

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R E T O R N E

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S U B R U T I N A VE S T .-

100

N I C I O

R , C , L . X

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V AB S 2

A L F A 2

R E T O R N E

S U B R U T 1 N A V I R A N . -

í I N I C I O J

101

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VA- Rea 1 (s.

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VABS2R¡n2 (s . _ VA

;s¡¿+ w¿) s e n h £*1 d s

ALFAR2^: f{s.) / R e a l f(s.)

V A B S2 R.

A L F A R 2 :

R E T O R N E

102

S U B R U T I N A P L O T

I N I C I O

A , B , C , D , E ,

+ , - ,$,* , 1

¡ - 1 , 1 0 1

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N - O

L, -10-i - 110-i-NS

10

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103

ND- O

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ND - ND+1

L!NEND - JP

1 2 0 1 - 1 . 9

-ND - ND+1

LINEHD- JN

LIME101 - J P

104

160

X N S - N S

\

JA • V (Í , N.) -I- 101.49999 — X N S

105

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Documents

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL FACULTAD DE ......das, director y menta il zador de esta te_ sis, por s constantu disposicióe yn a_ yuda en l tae rtn i nación de est trabajoe , al