REPASO: 4.0.1 MOMENTOS DE INERCIA DE REASy y dx x

Los momentos rectangulares de inercia Ix e Iy de un rea se definen como

x

Ix = y 2dA

Iy = x 2dA

Estos clculos se reducen a integraciones sencillas al elegir dA de modo que sea una franja delgada paralela a uno de los ejes de coordenadas. El resultado es

dIx =

1 3

y 3dx

dIy = x 2ydx

y dA r O A x y x El momento polar de inercia de un rea A con respecto al polo O se define como

JO = r 2dA

La distancia de O al elemento de rea dA es r. Observando que r 2 =x 2 + y 2, se establece la relacin

JO = Ix + Iy

y A kx El radio de giro de un rea A con respecto al eje x se define como la distancia kx, en dondeIx = 2 kx A. Con definiciones semejantes para los radios de giro de A con respecto al eje y y con respecto a O, se tiene

O

x

kx =

Ix A

ky =

Iy A

kO =

JO A

El teorema del eje paralelo afirma que el momento de inercia I de c B un rea con respecto a B cualquier eje dado AA es d igual al momento de A A inercia I del rea con respecto al eje centroidal BB que es paralelo a AA ms el producto del rea A y el cuadrado de la distancia d entre los dos ejes:

I = I + Ad 2Tambin se puede usar esta expresin para determinar I cuando se conoce el momento de inercia con respecto a AA:

I = I - Ad 2

Se puede usar un teorema semejante con el momento polar de inercia. El c momento polar de inercia JO de un rea alrededor de d O y el momento polar de inercia JC del rea o alrededor de su centroide estn relacionados con la distancia d entre los puntos C y O por la relacin

JO = JC + Ad 2El teorema del eje paralelo se usa de manera muy efectiva para calcular el momento de inercia de un rea compuesta con respecto a un eje dado.

y y x U O x

El producto de inercia de un rea A se define como

Ixy = xy dAIxy = 0 si el rea A es simtrica con respecto a cualquiera de los ejes de coordenadas o a ambos.

El teorema del eje paralelo para los productos de inercia es

Ixy = Ixy + xyAen donde Ixy es el producto de inercia del rea con respecto a los ejes centroidales x y y, los cuales son paralelos a los ejes x y y, y x y y son las coordenadas del centroide del rea.

y y x U O x

Las relaciones entre los momentos y los productos de inercia en los sistemas de coordenadas con apstrofo y sin apstrofo (suponiendo que esos ejes se hacen girar un ngulo U en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj) son:

Ix + Iy Ix - Iy cos 2U - Ixy sen 2U Ix = + 2 2 Ix + Iy Ix - Iy cos 2U + Ixy sen 2U Iy = 2 2 Ix - Iy Ixy = 2 sen 2U + Ixy cos 2U

y y x U O x

Los ejes principales del rea respecto de O son aquellos perpendiculares entre s, con respecto a los cuales los momentos de inercia son mximo y mnimo. Los ngulos U a los cuales estos ocurren se denotan como Um , obtenidos de

2 Ixy tan 2Um ! Ix - IyLos valores mximo y mnimo correspondientes de I se llaman momentos principales de inercia del rea alrededor de O. Estn dados por

Ix + Iy I mx, mn = 2

+ _

Ix - Iy 2

2 2

+ Ixy

y y

b

Ixy Imnx U

Ix IxX

2Ux a

X

O

Ixy 2Um Ixy

Um

O

B

C

A Ix ,Iy -Ixy Se puede representar grficamen- -Ixy Y te la transformacin de los momentos y Y Iy productos de inercia Iy de un rea bajo una Imx rotacin de los ejes, al dibujar el crculo de Mohr. Una importante propiedad del crculo de Mohr es que un ngulo U en la seccin transversal que se est considerando se convierte en 2U en el crculo de Mohr.

REPASO: 4.0.2 MOMENTOS DE INERCIA DE MASAS

r1 (m1 (m3 r 3 r2 (m2

En la dinmica, se encuentran los A momentos de inercia de masa. Estos comprenden la rotacin de un cuerpo rgido alrededor de un eje. El momento de inercia de masa de un cuerpo con respecto a un eje AA se define como

I = r 2dmen donde r es la distancia de AA al elemento de masa.

A

El radio de giro del cuerpo se define como

k=

I m

Los momentos of inercia de masa con respecto a los ejes de coordenadas son

Ix = (y 2 + z 2 ) dm Iy = (z 2 + x 2 ) dmA d B

Iz = (x 2 + y 2 ) dmTambin se aplica el teorema del eje paralelo a los momentos de inercia de masa.

I = I + d 2mA G I es el momento de inercia de masa con respecto al eje centroidal BB, el cual es paralelo al eje AA. La masa del cuerpo es m.

B

A B t C C B b a A

Se pueden obtener con facilidad los momentos de inercia de placas delgadas a partir de los momentos de inercia de sus reas. Para una placa rectangular, los momentos de inercia son: 1 1 IAA = 12 ma 2 IBB = 12 mb 2 ICC = IAA + IBB = 1 m (a 2 + b 2)12

A B r t B A C C

Para una placa circular son IAA = IBB = 4 mr 2 1 ICC = IAA + IBB = 2 mr 21

L y p dm

PU O

rx

Se puede determinar el momento de inercia de un cuerpo con respecto a un eje arbitrario OL. Las componentes del vector unitario P a lo largo de la recta OL son Px , Py y Pz . Los productos de inercia son

z

Ixy = xy dm

Iyz = yz dm

Izx = zx dmEl momento de inercia del cuerpo con respecto a OL es

IOL =

2 Ix P x +

Iy P + - 2 Ixy P x P y - 2 Iyz P y P z - 2 Izx P z P x

2 y

2 Iz P z

y x y

O

x

z

z

Al situar un punto Q a lo largo de cada eje OL a una distancia OQ = 1/IOL de O, se obtiene el elipsoide de inercia de un cuerpo. Los ejes principales x, yy z de este elipsoide son los ejes principales de inercia del cuerpo, es decir, cada producto de inercia es cero y se expresa IOL como:2 x +

IOL = Ix P

Iy P

2 y

+ Iz P

2 z

en donde Ix , Iy , Iz son los momentos principales de inercia del cuerpo, en O.

Los ejes principales de inercia se determinan al resolver la ecuacin cbica

K - (Ix + Iy + Iz)K + (Ix Iy + Iy Iz + Iz Ix - Ixy - Iyz - Ixz )K 2 2 2 - (Ix Iy Iz - Ix Iyz - Iy Izx - Iz Ixy - 2 Ixy Iyz Izx ) = 0Las races K1, K2 y K3 de esta ecuacin son los momentos principales de inercia. Los cosenos directores de los ejes principales, correspondientes a cada raz, se determinan usando la ecuacin (9.54) y la identidad:2 P x+ 2 Pyy y x

3

2

2

2

2

O

x z

+

2 Pz

=1

z

4.1 CINTICA DE LOS CUERPOS RGIDOS: SEGUNDA LEY DE NEWTON

.HG F1 F4 ma F3

G

G

F2

Las relaciones existentes entre las fuerzas que actan sobre un cuerpo rgido, la forma y la masa del cuerpo y el movimiento producido se estudian como cintica de los cuerpos rgidos. En general, el anlisis que se da a continuacin

se restringe al movimiento plano de losas rgidas y cuerpos rgidos simtricos con respecto al plano de referencia.

.F1 F4 HG ma F3

G

G

F2

Las dos ecuaciones para el movimiento de un sistema de partculas se aplican al caso ms general del movimiento de un cuerpo rgido. La primera ecuacin define el movimiento del centro de masa, G, del cuerpo.

7F = maen donde m es la masa del cuerpo y a la aceleracin de G. La segunda se relaciona con el movimiento del cuerpo relativo a un marco centroidal de referencia.

. 7MG = HG

.F1 F4 HG ma F3

7F = ma .. 7MG = HG.en donde HG es la razn de cambio del momento angular HG del cuerpo alrededor de su centro de masa G.

G

G

F2

Estas ecuaciones expresan que el sistema de las fuerzas externas es equipolente al sistema que consta del vector ma . adscrito a G y el par del momento HG.

.F1 F4 HG ma F3 G

G

Para el movimiento plano de losas rgidas y cuerpos rgidos simtricos con respecto al plano de referencia, el momento angular del cuerpo se expresa como

F2

HG = I[

en donde I es el momento de inercia del cuerpo alrededor de un eje centroidal perpendicular al plano de referencia y [ es la velocidad angular del propio cuerpo. Si se derivan los dos miembros de esta ecuacin

.

HG = I[= IE

.

Para el caso restringido F4 que aqu se considera, la F1 razn de cambio del ma momento angular del G cuerpo rgido se puede F3 G representar por un vector IE con la misma direccin que la de E (es decir, F2 perpendicular al plano de referencia) y de magnitud IE. El movimiento plano de un cuerpo rgido simtrico respecto al plano de referencia se define por las tres ecuaciones escalares

7Fx = max

7Fy = may

7MG = IE

Las fuerzas externas que actan sobre un cuerpo rgido en realidad son equivalentes a las fuerzas eficaces de las diversas partculas que forman el cuerpo. Esta proposicin se conoce como principio de dAlembert.

F1

F4 ma

G F2(a)

F3

G IE(b)

El principio de dAlembert se puede expresar en la forma de un diagrama vectorial, en donde las fuerzas eficaces se representan por un vector ma adscrito a G y un par IE. En el caso de una placa en translacin, las fuerzas eficaces (parte b de la figura) se reducen

a un solo vector ma ; en tanto que en el caso particular de una losa en rotacin centroidal, se reducen slo al par IE; en cualquier otro caso del movimiento plano, deben de incluirse tanto el vector ma como el IE.

Cualquier problema F4 F1 relacionado con el movimiento plano de una ma losa rgida se puede resolver G F3 al trazar un diagrama de G cuerpo libre semejante a la IE que se muestra. Entonces F2 se pueden obtener tres ecuaciones del movimiento al igualar las componentes x, las componentes y y los momentos alrededor de un punto arbitrario A, de las fuerzas y vectores que intervienen. Se puede aplicar este mtodo para resolver problemas que comprenden el movimiento plano de varios cuerpos rgidos conectados. Algunos problemas, como la rotacin no centroidal de barras y placas, el movimiento de rodadura de esferas y ruedas y el movimiento plano de diversos tipos de eslabonamientos, que se mueven bajo restricciones, deben complementarse con anlisis cinemtico.

4.2 CINTICA DE LOS CUERPOS RGIDOS: PRINCIPIO DEL TRABAJO Y ENERGA

El principio del trabajo y la energa para un cuerpo rgido se expresa en la forma

T1 + U1

2=

T2

en donde T1 y T2 representan los valores inicial y final de la energa cintica del cuerpo rgido y U1 2 el trabajo de las fuerzas externas que actan sobre ese cuerpo. El trabajo de una fuerza F aplicada en un punto A es s2

U1

2

=

s1 en donde F es la magnitud de la fuerza, E el ngulo que forma con la direccin del movimiento de A y s la variable de integracin que mide la distancia recorrida por A a lo largo de su trayectoria.

(F cos E) ds

El trabajo de un par de momento M aplicado a un cuerpo rgido, durante una rotacin en U de ste, es

U1

2

=

U2

M ds

U1 1 2

La energa cintica de un cuerpo rgido en movimiento plano es

T=G [ v

1 2

mv +

2

I[2

en donde v es la velocidad del centro de masa, G, del cuerpo, [ la velocidad angular de ste e I su momento de inercia alrededor de un eje que pasa por G perpendicular al plano de referencia.

T=G

1 2

mv +

2

1 2

I[2

La energa cintica de un cuerpo rgido en movimiento plano se puede separar en dos [ v 1 partes: 1) la energa cintica 2 mv 2 asociada con el movimiento del centro de masa, G, del 1 cuerpo y 2) la energa cintica 2 I[2 asociada con la rotacin del cuerpo alrededor de G. Para un cuerpo rgido que gira con una velocidad angular [, alrededor de un eje fijo que pasa por O, O 1 T = 2 IO[2 [ en donde IO es el momento de inercia del cuerpo alrededor del eje fijo.

4.3 CINTICA DE LOS CUERPOS RGIDOS: CONSERVACIN DE LA ENERGA

Cuando un cuerpo rgido, o un sistema de cuerpos rgidos, se mueve bajo la accin de fuerzas conservativas, el principio del trabajo y la energa se puede expresar en la forma

T1 + V 1 = T2 + V 2

el cual se conoce como el principio de conservacin de la energa. Se puede aplicar este principio para resolver problemas que comprendan fuerzas conservativas como la fuerza de gravedad o la fuerza ejercida por un resorte. El concepto de la potencia se extiende hacia un cuerpo en rotacin sujeto a un par

dU M dU Potencia = = = M[ dt dten donde M es la magnitud del par y [ es la velocidad angular del cuerpo.

4.4 CINTICA DE LOS CUERPOS RGIDOS: PRINCIPIO DEL IMPULSO Y DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Se puede aplicar el principio del impulso y la cantidad de movimiento obtenido para un sistema de partculas, al movimiento de un cuerpo rgido.

(Cant mov)1 sist + Imp1

2 ext sist =

(Cant mov)2 sist

Para una losa rgida o un cuerpo rgido simtrico con respecto al plano de referencia, el sistema de las cantidades de movimiento de las partculas que forman el cuerpo es equivalente a un vector mv adscrito al centro de masa, G, del cuerpo y un par I[. El vector mv est asociado con la translacin del cuerpo con G y representa la cantidad de movimiento del cuerpo, en tanto que el par I[ corresponde a la rotacin del cuerpo alrededor de G y representa el ((m)v momento angular mv del cuerpo P alrededor de un eje I[ que pasa por G.

El principio del impulso y la cantidad de movimiento se puede expresar grficamente al dibujar tres diagramas que representen, respectivamente, el sistema de cantidades iniciales de movimiento del cuerpo, los impulsos de las fuerzas externas que actan sobre l y el sistema de las cantidades finales de movimiento del cuerpo. Si se suma y se igualan respectivamente las componentes x, las componentes y y los momentos alrededor de cualquier punto dado de los vectores mostrados en la figura, se obtienen tres ecuaciones del movimiento que se pueden resolver para las incgnitas deseadas. Fdt mv2 y y y mv1 G I[1 O x O x O G I[2 x

Fdt y G I[1 O x O x O mv1 y y G

mv2

I[2 x

En los problemas que tratan de varios cuerpos rgidos conectados, cada cuerpo se puede considerar por separado o, si no se tienen ms de tres incgnitas, se pueden aplicar los principios del impulso y la cantidad de movimiento al sistema completo, slo considerando los impulsos de las fuerzas externas. Cuando las lneas de accin de todas las fuerzas externas que actan sobre un sistema de cuerpos rgidos pasan por un punto dado O, se conserva el momento angular del sistema alrededor de O.

4.4.1 IMPACTOS

El impacto excntrico de dos cuerpos rgidos se define como uno en el que los centros de masa de los cuerpos que chocan no estn ubicados sobre la lnea de impacto. En esa situacin se cumple una relacin para el impacto que comprende el coeficiente de restitucin e y deben de usarse las velocidades de los puntos A y B en donde ocurre el contacto durante el impacto.

n B A n vA a) Antes del impacto n B A n vA b) Despus del impacto vB vB

(vB)n - (vA)n = e[(vA)n - (vB)n]

n n B A n vA a) Antes del impacto vB n B A vA b) Despus del impacto vB

(vB)n - (vA)n = e[(vA)n - (vB)n]en donde (vA)n y (vB)n son las componentes a lo largo de la lnea de impacto de las velocidades de A y B, antes del impacto, y (vA)n y (vB)n sus componentes despus del impacto. Esta ecuacin es aplicable no slo cuando los cuerpos que chocan se mueven con libertad despus del impacto sino tambin cuando los cuerpos estn parcialmente restringidos en su movimiento.