1

§F. 独占的競争モデル

① Beath and Katsoulacos (1991)：独占的競争モデルの成り立ち② 松山 (1994)：Dixit-Stiglitz型独占的競争モデルの応用例③ Matsuyama, K. (1995) “Complementarity and cumulative process in models of monopolistic competition,” JEL XXXIII, 701-729.

代替的な定式化：

基本文献 (Dixit-Stiglizモデル)：

④ Vives (1985) / Ottaviano, Tabuchi and isse (2002)：　　　準線形効用関数を用いた独占的競争の定式化　 　･･･解析の単純化　　 ･･･価格競争効果（所得効果の捨象）⑤ Behrens and Murata (2007)：　　　　　加法的分離可能関数を用いた独占的競争の定式化　 　･･･所得効果＋価格競争効果

2

§F.1. 独占企業の利潤最大化問題

max

p>0

py(p)� C(y(p), w)あるいは

y

p

p(y) ⌘ y�1(p)

max

y�0

p(y)|{z}

y � C(y, w)

(集計)逆需要関数：

p(y)

3

利潤最大化の1階条件： p(y⇤) + p0(y⇤)y⇤ = C0(y⇤)

dy

p(y⇤)dy

p0(y⇤)y⇤dy

p0(y⇤)dy

y⇤p0(y⇤)

供給量の増加 → 収入の増加： 価格の下落 → 収入の減少：

供給量の増加：

y

p

p

dy

p(y)

p0(y⇤)y⇤dy

p(y⇤)dy

限界費用限界収入

4

p(y⇤) + p0(y⇤)y⇤ = C0(y⇤)

p(y⇤)

1 +p0(y⇤)p(y⇤)

y⇤�= MC(y⇤)

p(y⇤)

1 � 1#(y⇤)

�= MC(y⇤)

利潤最大化価格：

) p(y⇤) =1

1 � 1/#(y⇤)| {z }

MC(y⇤)

限界費用に対する割増率

：1階条件

需要の価格弾力性

y

p

p(y)

MC(y)AC(y)

MR(y)

利潤

5

需要関数のε > 1の部分で最適：

需要増加による収入増 価格下落による収入減 (y*が大きいほど大)

} }p(y⇤)dy < �∂p(y⇤)∂y

y⇤dy

R(y) = p(y)y

MR(y) ⌘ R0(y) = p0(y)y + p(y) > 0

, � p0(y)p(y)

y < 1

) #(y) > 1

>

※ この他に生産費用： MC(y*)dyがかかる

MR(y) ⌘ p(y) + p0(y)y < p(y)：逆需要関数の下方

* p0(y) < 0

6

線形需要関数の場合：p(y) = a � by

a2b

ab

a

a2

#(y) = � p(y)p0(y)y

=a � by

b

) #(y) ? 1 , y 7 a2b

p(y)

MR(y)

R(y) = ay � by2

MR(y) = a� 2by

7

2p0(y⇤) + p00(y⇤)y � C00(y⇤) 0利潤最大化の2階条件：

y

p

p(y)

MC(y)AC(y)

MR(y)

MR < MC MR > MC MR < MC

MR(y) ⌘ p(y) + p0(y)y < p(y)

* p0(y) < 0

y⇤

8

※1. ε → ∞：完全競争

p(y) = MC(y)

※2. 独占の場合：価格は与件でない　　　→　　　　　部分でも最適になり得るC00(y) < 0

y

p

MC(y)

MR(y)

y⇤

9

§F.2. 独占的競争モデル：Dixit-Stiglitzモデル

CES効用関数：

U(x) =

n

Âi=1

x(i)r

!1/r

, 0 < r < 1

企業数が有限の場合(寡占市場)：

財バラエティ数

代替の弾力性： s =1

1 � r> 1

s

r10

1

r =s � 1

s

10

45�

s = •

s = 1

s 2 (1, •)x

i

x

j

無差別曲線

11

O

財バラエティij間の無差別曲線

x

i

x

j

① 対称

45�

MRS

ij

= �dx(j)dx(i)

u=const.

=

x(i)x(j)

�1�r

② 各財は必須でない(バラエティ数は内生)③ 軸に接する (正価格なら正需要：生産される全バラエティを消費)

④ 多様性嗜好(強凸選好)

12

各バラエティの生産費用：C(q) = cq + F

産出量 固定費用

可変費用(産出量に比例)限界費用：c

生産技術の例：生産要素が労働のみの場合：

O

q

`：労働投入量

q = `/c � F/c

1/c

F/c

(賃金率 = 1)

13

① 財は対称・種類は無限：固定費用の存在 → 各企業は異なる単一バラエティを生産+独占的価格設定

② 各バラエティは必須でない → バラエティ数は内生(経済規模に依存)

③ 自由参入・退出 → ゼロ利潤（固定費用 → バラエティ数は有限)

④ 多数企業の存在 → 各企業は他企業に対する戦略的影響を無視

完全競争の単純さの下で規模の経済・不完全競争

マクロ経済の諸現象　・成長　・経済発展　・国際・地域特化・経済統合　・都市形成

・消費者の多様性嗜好・生産における規模の経済・輸送費用

生産者の集積

実質所得の上昇

多様性嗜好

財バラエティ増大

消費者の集積

市場規模の増大

生産規模の経済

新バラエティの参入機会

輸送費用

例：空間経済学における集積のメカニズム

14

※ 個々の消費者・生産者：　　バラエティの拡大に至る自身の立地の影響は考慮外（外部効果)

15

一定の名目所得 I・対称価格 p 下で

総消費量：

各バラエティを均等に消費：

効用水準：

CES関数による多様性嗜好の表現

16

効用最大化：

1階条件：

U

x(i)

�1/s

= lp(i) x(i) =U

lsp(i)s

U(x) =

"n

Âi=1

x(i)r

#1/r

l =

"n

Âi=1

p(i)1�s

# �11�s

P ⌘ 1l=

"n

Âi=1

p(i)1�s

# 11�s

所得の限界効用：

差別化財合成財の価格指数：

U = Y/Px(i) =

Y

p(i)sP

1�sバラエティ需要：

ラグランジュ乗数

17

需要の価格弾力性：

ln x(i) = ln Y � s ln p(i)� (1 � s) ln P

∂ ln P∂ ln p(i)

=∂P

∂p(i)p(i)

P=

p(i)

P

�1�s

p(i) = px(i) = x

対称均衡

d ln x

dx

=1x

d ln x =dx

x(σ − 1)

! 0

! 0

! 0

as n ⤴

P =

"n

Âi=1

p(i)1�s

# 11�s

=hnp1�s

i 11�s

= n1

1�s p

x(i) =Y

p(i)sP

1�s=

Y

p

snp

1�s=

Y

np

+

(σ − 1)σ − 1

= � +1� �

n

寡占モデル：数理的に扱えない

19

企業の行動(利潤最大化)：

生産費用：C(q) = cq + F

p = (p � c)q � F

∂p

∂p= q + (p � c)

∂q∂p

= 0

(p � c)q = F

q =s � 1

cn � 1

nF

利潤：

1階条件：

自由参入・退出(ゼロ利潤)：

20

npq = Y

n⇤ = 1 +1s

YF� 1

�

p⇤ =sc

(s � 1)(1 � F/Y)

q⇤ =1c(s � 1)F(1 � F/Y)(s � 1)F/Y + 1

財需給均衡：

21

企業数が無限の場合(独占的競争市場)･･･非常に多数の企業(バラエティ)が存在する場合のための定式化

n 2 R+

個々の企業サイズを調整 ：規模 = 1 →測度ゼロ (数は常に∞)

n0バラエティID

企業密度

1

① 財バラエティ数の連続化：

※ 潜在的バラエティ数 = ∞ & 生産規模の経済： 　 i.e., 財バラエテ・企業：1対1対応

22

n0バラエティID

需要密度x(i)

※ 可積分性：通常は、　　　容易に満たされる設定とできる。

0 n バラエティID

需要密度x(i)

e.g., 2地域モデルにおける需要

自地域財

他地域財

23

② 個々の企業が市場に与える影響微小 ～ 0：∂ ln P

∂ ln p(i)= 0

③ 産業全体の集計効果 ≫ 0

P = n1

1�s p

p(i) = p対称の場合： 2地域モデル

Pr =hnr p1�s

rr + ns p1�ssr

i 11�s

nA nB

PA PB

供給地 消費地

※ 集積の誘因

24

効用最大化問題：

U =

Zn

0x(i)r

di

�1/r

s.t.Z

n

0p(i)x(i)di = Y

(0 < r < 1)

P ⌘Z n

0p(i)1�sdi

� 11�s

! ∂ ln P∂ ln p(i)

= 0

0

※ 代替弾力性 = 価格弾力性

(σ − 1)

25

p =1

1 � 1/hc

=1

1 � 1/sc

=cr

：企業数に独立

：差別化程度⤴

独占力⤴

価格割増率⤴(p � c)| {z }

q = F

利潤マージンゼロ利潤：

x

⇤ =s � 1

c

F ：差別化程度⤴

価格割増率⤴

少量販売で固定費回収可

均衡生産量⤵

需給均衡： npx = Y

n⇤ =YsF均衡バラエティ数：

26

最も単純な設定：生産要素が労働のみの場合

` = cq + F

q =1c

Ln� F

�

bp(n) ⌘ (p � c)q

=1

s � 1

Ln� F

�

総労働投入量：

完全雇用： L = n(cq + F) = Y

営業利潤：

(賃金率 = 1 )

0

bp(n)

n⇤ =L

sFL/F

F

n

差別化度⤴差別化度⤵

p =�c

� � 1

27

バラエティ数 ⤴

市場規模所与下での企業間競争の効果

一般的には…価格 ⤵市場シェア ⤵

利潤 ⤵{{

Dixit-Stiglizモデル…

バラエティ数 ⤴価格一定市場シェア ⤵{{

IRS (固定費)

利潤マージン

利潤 ⤵固定費

cf. Vives (1985)/Ottaviano他 (2002), Behrens-Murata (2007)

28

代替的な解釈：中間財の多様性

・中間財差別化・分業による生産性向上(費用低下)・中間財生産における規模の経済・輸送費用

中間財企業の集積

生産費用の低下

分業の細分化

財バラエティ増大

最終財企業の集積

中間財市場規模の増大

生産規模の経済

新バラエティの参入機会

輸送費用

例：空間経済学における集積のメカニズム<2>

29

代替的な解釈：中間財の多様性

最終財(均質)の生産関数：

X =

Zn

0x(i)r

di

�1/r

中間財投入量

X

⇤ = (n⇤)s

s�1x

⇤

x

⇤ =s � 1

c

F

p⇤ =cs

s � 1

n⇤ =L

sF

P = (n⇤)1

1�s p⇤

均衡値：

　多様性嗜好版と同様：

30

一人当たりの最終財消費量：

人口増加 → 中間財バラエティの拡大

　　　　 → 生産性の上昇

　　　　 → 個人の消費量の増加

X⇤

L=

1L

L

sF

� ss�1 s � 1

cF

=

L

sF

� ss�1

L

sF

��1 s � 1sc| {z }

=s � 1

sc

L

sF

� 1s�1

=r

c

L

sF

� 1s�1

：松山 (1994)では1に正規化= 1/p

L

X/L

31

§F.3. 独占的競争モデルの応用

① レストランの空間集積

地域 (レストラン街)：1, 2

地域 1 地域 2

レストラン立地選択

消費者の消費地選択

・特定の地域にレストランが集中するのは何故か？・どの様な状況で複数のレストラン街が共存可能か？

32

U(X1, X2) =

X

#�1#

1 + X#�1

#2

� ##�1

X

r

=

Zn

r

0x

r

(i)s�1

sdi

� ss�1

, r = 1, 2

代替弾力性：

効用関数：CES関数の入れ子

：差別化の程度：地域間＜レストラン間

#, s > 1

(i) # > s

(ii) # < s

(各レストランは不可欠ではない)

→ レストランの多様性が消費選択・立地の決め手

：差別化の程度：地域間>レストラン間

→ 地域の多様性が消費選択・立地の決め手

33

bp1bp2

=x1x2

* bpr

= (p � c)x

r

=c

s � 1x

r

=X1X2

n1n2

� s1�s

* X

r

= n

ss�1r

x

r

=

P1P2

��# n1n2

� s1�s

* X1X2

=

P1P2

��#

=

n1n2

� #�ss�1

* P

r

= n

11�s

cs

s � 1

(効用最大化1階条件)

：地域内の対称性

(i) # > s )

(ii) # < s )

いずれかの地域に集中　　（同じタイプの地域間では集中）両地域に均等に分散　　(異なるタイプの地域間では分散)

34

② 経済統合

国A 国B

効用関数：

財バラエティ生産費用(総労働投入量)：

バラエティ数

労働賦存量

効用水準

自給自足経済

正定数

35

統合経済

バラエティ数

効用水準

※ 統合から逸脱するインセンティブがない　・価格競争効果なし：p = c/ρ　・立地固定：産業を失わない 　　　　e.g., 労働生産性が同じでも　　　　　　　　地理的条件で生産性が異なる場合

36

③ 経済発展の罠

技術革新／転換における規模の経済性 → 複数均衡の存在

単一消費財

F(X, N) =h

X#�1

# + N#�1

#

i ##�1

生産関数：

X =

Zn

0x(i)

s�1s

di

� ss�1

先進技術(収穫逓増)： 伝統的技術(収穫一定)：

労働投入に対して線形

#, s > 1代替弾力性： (いずれの技術も不可欠でない)

37

先進技術の生産性

：労働投入

伝統的技術の生産性1

X/` =r

c

`

sF

� 1s�1

`

伝統的技術→先進技術への移行：　　　　　　コーディネーション必要

38

費用最小化問題 (労働賃金率 = 1)

F(P) ⌘ NX

= P#

N = P

#n

ss�1

x

n(cx + F) + N = L

x =L � nF

cn + P

#n

ss�1

労働の相対需要：

対称性

min PX + Ns.t.F(X, N) = Z

1 階条件

完全雇用：

各バラエティ投入量(密度)：

39

営業利益：

bp(n) = (p � c)x

=c

s � 1L � nF

cn + F(P)ns

s�1

=c

s � 1L � nF

cn + P

#n

ss�1

* F(P) = P

#

=c

s � 1L � nF

cn +hn

11�s cs

s�1

i#n

ss�1

* P = n

11�s

cs

s � 1| {z }=p

=1

s � 1L � nF

n + kn

s�#s�1

, k ⌘

cs

s � 1

�#

> 0

：2つの代替技術が存在する　場合の一般形

40

# > s

�n<<< <<< <<<

新旧技術の代替性が高い場合：

分業不十分で先進技術が非効率

高度な分業で先進技術が効率的

各企業の市場シェア小さ過ぎで固定費回収不可能

経済発展の罠

“集積”の正フィードバック効果

経済規模制約による“混雑”効果

41

新旧技術の代替性が低い場合： # < s

0

bp(n)

L/F

F

n

n⇤ <L

sF

各企業の市場シェア小さ過ぎで固定費回収不可能

一意(安定)均衡·

※ 新技術・旧技術のトレードオフ無し→ 経済規模制約のみで均衡決定

42

④ 幼稚産業保護

規模の経済 → 自由貿易 ⇏ 自国厚生の改善

効用関数：コブ=ダグラス型 (両財必須)

CaAC1�a

B , 0 < a < 1

X =

Zn

0x(i)

s�1s

di

� ss�1

収穫一定(伝統的)技術：

N収穫逓増(先進)技術：

労働投入：(賃金率 = 1)

i.e., 輸入・自給いずれかで調達する必要有り

43

自給自足経済：両財を生産

自由貿易経済：比較優位を持つ産業に特化

先進技術の生産性

伝統的技術の生産性1

X/L =r

c

L

sF

� 1s�1

L

伝統的技術に比較優位 先進技術に比較優位

44

自給自足経済均衡

効用最大化問題：max Ca

AC1�aB

s.t. PCA + CB = P

a

1 � a

NX

= P

CA = X, CB = N

1階条件：

F(P) ⌘ NX

=

✓1a� 1

◆P

P = n1

1�s p

Y

45

bp(n) =c

s � 1L � nF

cn + F(P)ns

s�1*⇢

X = n

ss�1

x

n(cx + F) + N = L

=c

s � 1L � nF

cn +

✓1a� 1

◆n

11�s

cs

s � 1| {z }=P| {z }

=F(P)

n

ss�1

) bp(n) =a

s � a

✓L

n

� F

◆

0 L/F

F

n

営業利潤：

N = 0

bp(n) =1

s � 1

✓Ln� F

◆(i.e., Aに特化)の場合：

aLsF

LsF

：③と同様

46

小国開放経済均衡

e.g. PW = 1

n =aLsF

賃金率 ＝ 1労働者数 ＝ L財A支出シェア = α

}国際価格：

P < 1 :aLsF

> ps�1 P > 1 :aLsF

< ps�1

財バラエティ大 財バラエティ小

財Aに特化 財Bに特化：n = 0

P = n1

1�s p

47

0 L/F

F

n

bp(n) =1

s � 1

✓Ln� F

◆

XL

=1p

L

sF

� 1s�1

? 1

, LsF

? ps�1

bp(n) =1

s � 1

✓Ln� F

◆

賃金率＞1

経済発展の罠：

労働賃金率 = 1に停滞

財Aに特化 財Bに特化：

LsF

aLsF

貿易 → 市場(需要)拡大 → 特化 → バラエティ拡大 →生産性上昇

↵� < 1

) L

�F> p��1

↵L

�F> p��1

) X

L> 1

48

⑤ 持続的成長

財バラエティ生産における固定費用： F ! Fnl

学習効果・スピルオーバー効果 (λ> 0)（ただし、メカニズムはブラックボックス)

完全雇用： L = n

✓cx +

F

n

l

◆

bp(n) =1

s � 1

Ln� F

nl

�� F

nl

新規参入条件：

営業利潤：

スピルオーバー効果大

49

(経済発展の罠)

限りなく成長IRS産業の消滅

停滞

市場シェアの減少＜固定費の低下

市場シェアの減少>固定費の低下L⤴

規模の経済が有効

大国ほど成長しやすい

⇒

L⤴

50

：市場規模(L)が大 / 固定費(F)が小

：市場規模(L)が小 / 固定費(F)が大

規模の経済が有効

大国ほど成長しやすい

⇒

51

⑥ 持続的成長：試験室装置モデル

差別化財消費財

中間財

労働

労働投入 中間財投入：バラエティ数⤴ ⇒ P ⤵生産費用：

産出・投入関係：消費者＝労働者

52

完全雇用：

新規参入条件：

：σ = 2 を境に振る舞い逆

53

代替弾力性と規模の経済性の関係

X X

54

限りなく成長IRS産業の消滅

停滞

市場シェアの減少＜固定費の低下

市場シェアの減少>固定費の低下L⤴

L⤴

固定費

固定費

規模の経済が有効

大国ほど成長しやすい

⇒

55

：市場規模(L)が小 / 固定費(F)が大

固定費

：市場規模(L)が大 / 固定費(F)が小

固定費

規模の経済が有効

大国ほど成長しやすい

⇒

56

§F.4. その他の独占的競争モデル

① Vives / Ottaviano-Tabuchi-isseモデル

準線形効用関数：

差別化財 合成財

：差別化財に対する消費性向

：多様性嗜好

57

総消費量：

バラエティ数

58

消費者の行動：

予算制約：

賦存財産

効用最大化1階条件：

全バラエティで集計

59

X について解く

(所得効果無し）

60

企業の行動：

各バラエティの生産は固定労働投入のみ：

完全雇用：

利潤：

：価格競争効果（→ 0 ＝限界費用 as n →∞）

総労働者数唯一の生産要素

61

均衡需要量：

※ 所得効果無し

x

⇤ = a� (b+ cn)p⇤ + cP

⇤

= a� (b+ 2cn)p⇤ * P

⇤ = np

⇤

= a

✓1� b+ 2cn

2b+ cn

◆* p

⇤ =a

2b+ cn

= a

b� cn

2b+ cn

) x

⇤ = a

b� cL/�

2bn+ cL/�| {z }* n = L/�

各企業の総セールス

均衡賃金率：

労働投入量

ゼロ利潤

w

⇤ =1

�

Lp

⇤x

⇤| {z } =

L

�

(b� cL/�)

✓a

2b+ cL/�

◆2

= a� bp⇤

= ab+ cn

2b+ cn

) x

⇤ = a

b+ cL/�

2b+ cL/�

* n = L/�

+

62

② Behrens-Murataモデル

多様性嗜好：総消費量固定：

u(x)

x0

個々のバラエティ消費による効用

※ 講義ノート参照

63

Z n

0p(i)x(i)di = Y

効用最大化

←予算制約：

：加法的準分離可能：

g(xy) = g(x) + g(y)cf. 加法的分離可能関数：

g(xy) = g(x) + f(y)

cf. 乗法的準分離可能関数： g(xy) = g(x)f(y)

x(i) = x(j)

p(j)

p(i)

��Dixit-Stiglitz型：

u

0(x(i)) = u

0(x(j))p(i)

p(j)

x(i) = (u0)1

u

0(x(j))p(i)

p(j)

�

= x(j) + f

p(i)

p(j)

�

Behrens-Murata

-

x(i) = x(j)� 1

↵

ln|{z}

f

p(j)

p(i)

�

64

需要関数の導出

x(i) = x(j)� 1

↵

ln

p(i)

p(j)

�

p(j)x(i) = p(j)x(j)� 1

↵

p(j) {ln p(i)� ln p(j)}

x(i)

Z n

0p(j)dj

| {z }⌘P

=

Z n

0p(j)x(j)dj

| {z }⌘Y

� 1

↵

2

664ln p(i)Z n

0p(j)dj

| {z }⌘P

�Z n

0p(j) ln p(j)dj

3

775

x(i) =Y

P

� 1

↵

ln

p(i)

P

+ lnP �Z

p(j)

P

ln p(j)dj

�

=Y

P

� 1

↵

ln

p(i)

P

+lnP

P

Z n

0p(j)dj

| {z }⌘P

�Z n

0

p(j)

P

ln p(j)dj

�

) x(i) =Y

P

� 1

↵

ln

p(i)

P

�Z n

0

p(j)

P

lnp(j)

P

�

65

需要の価格弾力性：

x0

⌘i(x(i)) ⌘ � p(i)

x(i)

@x(i)

@p(i)=

1

↵x(i)

⌘i(x)

x(i) ⤵ ⇒ (所与所得Y下で)各企業の市場シェア ⇒ 需要の価格弾力性 ⤴

66

対称均衡 ( x ≡ x(i) = x(j), p ≡ p(i) = p(j))：

P = np

x =Y

np

� 1

↵

ln

1

n

� n · 1n

ln1

n

�=

Y

np

x(i) = YP � 1

↵

hln p(i)

P �R n0

p(j)P ln p(j)

P

i

企業数 ⤴ ⇒ 市場シェア ⤵

67

利潤最大化

生産費用(労働投入量)： ` = cq + F

⇡(i) = Lx(i)(p(i)� cw)� Fw

p(i) = p(j)

利潤：

総労働者数 (= 消費者数) 賃金

対称性：

対称価格：

完全競争

p = cw + ↵Y

n�! lim

n"1p = cw

⌘ = 1 + cwn

↵Y需要の価格弾力性：

価格競争効果

�! limn"1

⌘ = 1

@x(i)

@p(i)= � 1

↵p

68

均衡

総労働量 ≡ L：

企業数 n ⤴ → 　利潤：1/n2 のオーダーで減少

Dixit-Stigliz型：

：1/n のオーダーで減少

Vives/Ottaviano et al.型：

⇡ = �n(b� cn)

a

2b+ cn

�2� �

：1/n 以下のオーダーで減少

∵価格競争効果の不在

∵所得効果の不在 (市場シェア効果無し)

Y ⌘ w ⌘ 1

p = c+↵

n⇡ =

1

� � 1

L

n� F

�� F

x =L

np

⇡ = Lx(p� c)� F

=↵L

(↵+ cn)n� F

+

69

バラエティ数：

人口 L の増加 のオーダーでバラエティ増加

Dixit-Stiglizモデルの場合：

人口 L の増加 のオーダーでバラエティ増加

※ 経済統合は必ずしも両国に貿易の利益をもたらさない　(e.g., 小国の差別化財産業が消滅する可能性あり）