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Funciones trigonométricas básicas Propiedades básicas de las funciones trigonométricas: Seno, Coseno, Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante. www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel MathCon c 2007-2008

Funciones trigonométricas básicas

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  • 1. Funciones trigonomtricas bsicasPropiedades bsicas de las funciones trigonomtricas:Seno, Coseno, Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante. www.math.com.mx Jos de Jess Angel Angel [email protected] c 2007-2008

2. Contenido1. Introduccin 3 1.1. ngulos en grados y radianes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32. La funcin sen(x)4 2.1. El valor del seno para algunos ngulos comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 2.2. El valor del seno para 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 2.3. El valor del seno para 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 2.4. El valor del seno para 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 2.5. El valor del seno para 120 . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 2.6. El valor del seno para 135 . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.7. El valor del seno para 150 . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.8. El valor del seno para 210 . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.9. El valor del seno para 225 . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.10. El valor del seno para 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.11. El valor del seno para 300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.12. El valor del seno para 315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.13. El valor del seno para 330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.14. Construccin de la grca del seno . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.15. Propiedades bsicas de la funcin sen(x) . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253. La funcin cos(x) 26 3.1. El valor del coseno para valores comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2. Grca de la funcin coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28 3.3. Propiedades bsicas de la funcin cos(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304. La funcin tan(x) 32 4.1. El valor de la Tangente para valores comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.2. Grca de la funcin tan(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 4.3. Propiedades bsicas de la funcin tan(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345. La funcin cot(x) 35 5.1. Grca de la funcin cot(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35 5.2. El valor de la cotangente para valores comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.3. Propiedades bsicas de la funcin cot(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3. 26. La funcin sec(x)37 6.1. Grca de la funcin sec(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 6.2. El valor de la secante para valores comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 6.3. Propiedades bsicas de la funcin sec(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .387. La funcin csc(x)39 7.1. Grca de la funcin csc(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 7.2. Propiedades bsicas de la funcin csc(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .398. Resumen de valores comunes 419. Relaciones trigonomtricas 4210. Funciones trigonomtricas inversas4310.1. La funcin arc sen . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4310.2. Grca de la funcin arc sen . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4310.3. La funcin arc cos . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4410.4. Grca de la funcin arc cos . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4410.5. La funcin arctan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4510.6. Grca de la funcin arctan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4510.7. La funcin arccot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4510.8. Grca de la funcin arccot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4510.9. La funcin arcsec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4610.10.Grca de la funcin arcsec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4610.11.La funcin arccsc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4610.12.Grca de la funcin arccsc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4611. La funcin a sen(bx + c) + d4712. La funcin a cos(bx + c) + d4813. La funcin a tan(bx + c) + d4914. Funciones hiperblicas5015. Identidades trigonomtricas 5116. Aplicaciones52 4. Introduccin 1 Las funciones trigonomtricas tienen una larga historia y lista de aplicaciones, en esta leccin aprender-emos a encontrar los valores ms comunes de la funciones trigonomtricas bsicas, como seno, coseno,tangente, cotangente, secante, cosecante. Tambin aprenderemos a dibujar sus grcas, y listaremosalgunas de sus propiedades ms bsicas.1.1. ngulos en grados y radianes Las dos maneras ms comunes de denotar un ngulo es por grados y por radianes(nmeros reales). Larelacin que tienen los ngulos con los radianes se muestra en la siguiente tabla.Valores entre grados y radianes ms comunes030456090120135180 270360 2 33 0 2 64323 42 5. La funcin sen(x)2 La funcin seno puede ser denida de diferentes maneras, la forma ms comn de hacerlo es a partirde un tringulo rectngulo. La funcin seno de un ngulo se dene, como el cociente del cateto opuesto al ngulo , sobre lahipotenusa del tringulo.aSen() = cca b Figura 2: El valor del seno y coseno en el crculo unitario.2.1. El valor del seno para algunos ngulos comunes Para calcular el valor del seno en algunos ngulos comunes, hay que trasladar al tringulo en consid-eracin al crculo unitario, ya que de esta manera se podrn obtener algunos valores de la funcin senoade forma explcita. Como sen() = donde a es el cateto opuesto y c la hipotenusa, por ser el crculo cunitario c = 1. Por lo tanto sen() es igual a la longitud del segmento rojo de la gura 2. 6. 2.1. El valor del seno para algunos ngulos comunes 5 Crculo Unitario 1.5 1 0.51 Sen 1.5 1 0.50.5 1 1.5Cos 0.5 1 1.5Figura 2: El valor del seno y coseno en el crculo unitario. Los valores de ngulos ms simples a obtener, son los valores siguientes: 0 , 90 , 180 , 270 , 360 .Como se observa en la gura 3, el seno toma los valores de 0, 1, 0, 1, 0 respectivamente para estosprimeros ngulos. 7. 2.1. El valor del seno para algunos ngulos comunes6Sen 90 1 110.5Sen 000.5 90 01 0.5 0.51 1 0.50.5 10.50.5 111Sen 180 0 0.5 180 1 0.5 0.5 1 0.51 110.50.51 0.5 0.51 1 0.50.5 1 270 3600.50.5Sen 360 0 11 Sen 270 1 Figura 3: El valor del seno para 0 , 90 , 180 , 270 , 360 . En las siguientes subsecciones calcularemos el valor explcito del seno para otros ngulos comunes.Se trabajaran esencialmente dos tringulos, el tringulo rectngulo de 30 y 60 como ngulos internos,y el tringulo rectngulo isosceles de 45 . 8. 2.2. El valor del seno para 30 72.2. El valor del seno para 30 El valor del seno en = 30 se calcula considerando los tringulosACB, ABD en crculounitario como se muestra en la gura 4: 1. El ngulo BAC es el ngulo de 30 . 2. El ngulo ACB, es de 90 , porque el tringulo ACB es rectngulo. 3. Por lo tanto el ngulo B, es de 60 . 4. Tambin el ngulo D, es de 60 , derivado del reejo del tringuloACB. 5. As el tringulo ABD es equiangular, por lo tanto equiltero. 6. Entonces el lado DB tiene como longitud 1. 7. Como el ngulo es de 30 , entonces el segmento AC biseca al lado BD, entonces la longitud de1BC es .2 1 8. Lo anterior muestra que el seno de 30 es . 2 Sen 30 B 1 2 A30C D1Figura 4: Sen(/6) = sen(30 ) =.22.3. El valor del seno para 45 El valor del seno en = 45 , se calcula al considerar el tringulo ACB, en el crculo unitario comose muestra en la gura 5: 1. El ngulo A es el ngulo de 45 . 2. El ngulo C, es de 90 , porque el tringulo ACB es rectngulo. 9. 2.4. El valor del seno para 60 8 3. Por lo tanto el ngulo B, es de 45 . 4. Por lo tanto el tringulo ABC es isosceles. 5. Entonces el lado AC tiene la misma longitud del lado BC. 6. Por el teorema de pitgoras, |AC|2 + |BC|2 = 1, pero |AC| = |BC|, es decir 2|BC|2 = 1,1entonces |BC| es . 2 2 21 7. Lo anterior quiere decir que el seno de 45 es , multiplicando por a .22 2 Sen 45B 22 A45 C2Figura 5: sen(/4) = sen(45 ) =.22.4. El valor del seno para 60 El valor del seno en = 60 , se calcula al considerar el tringuloACB en el crculo unitario comose muestra en la gura 6: 1. El ngulo A es el ngulo de 60 . 2. El ngulo C, es de 90 , porque el tringulo ACB es rectngulo. 3. Por lo tanto el ngulo B, es de 30 .1 4. Entonces, del tringulo de la gura 4, del seno de 30 , tenemos que el lado |AC| = .2 10. 2.5. El valor del seno para 120 9 11 5. Por el teorema de pitgoras, |AC|2 + |CB|2 = 1, pero |AC| = , entonces |CB|2 = 1 , lo24 3 3que implica que |CB|2 = , o sea |CB| = . 4 2 3 6. Lo anterior quiere decir que el seno de 60 es . 2 Sen 60 B3 2A60 C 3 Figura 6: sen(/3) = sen(60 ) = .22.5. El valor del seno para 120El valor del seno en = 120 , se calcula considerando el tringulo ACB en el crculo unitariocomo se muestra en la gura 7: 1. En seno del ngulo 120 , es la longitud del segmento |BC|. 2. El ngulo A es de 60 . 3. Por lo tanto el ngulo B, es de 30 . 4. El tringulo ACB es congruente al ACB del caso 60 .3 5. Por lo tanto |BC| = 2 3 6. Lo anterior quiere decir que el seno de 120 es. 2 11. 2.6. El valor del seno para 135 10 Sen 120 B 32 CA120 3 Figura 7: sen(2/3) = sen(120 ) =.22.6. El valor del seno para 135El valor del seno en = 135 , se calcula considerando el tringuloBCA en el crculo unitariocomo se muestra en la gura 8: 1. En seno del ngulo 135 , es la longitud del segmento |BC|. 2. El ngulo A es de 45 . 3. Por lo tanto el ngulo B, es de 45 . 4. El tringulo BCA es congruente al BCA del caso 45 .2 5. Por lo tanto |BC| = 2 2 6. Lo anterior quiere decir que el seno de 120 es.2 12. 2.7. El valor del seno para 15011Sen 135B2 1352CA2 Figura 8: sen(3/4) = sen(135 ) = . 22.7. El valor del seno para 150El valor del seno en = 150 , se calcula considerando el tringulo BCA en el crculo unitariocomo se muestra en la gura 9: 1. En seno del ngulo 135 , es la longitud del segmento |BC|. 2. El ngulo A es de 45 . 3. Por lo tanto el ngulo B, es de 45 . 4. El tringulo BCA es congruente alBCA del caso 45 .2 5. Por lo tanto |BC| = 2 2 6. Lo anterior quiere decir que el seno de 120 es.2 13. 2.7. El valor del seno para 15012 Sen 150B12C A1501 Figura 9: Sen(5/6) = Sen(150 ) = .2 14. 2.8. El valor del seno para 210132.8. El valor del seno para 210El valor del seno en = 210 , se calcula considerando el tringulo en el crculo unitario como semuestra en la gura 10: 1. En seno del ngulo 210 , es la longitud del segmento |BC|. En este caso la longitud es negativa. 2. El tringulo a considerar es congruente al caso de 30 1 3. Lo anterior quiere decir que el seno de 210 es . 2 Sen 210C A210 1 2B 1Figura 10: Sen(7/6) = Sen(210 ) = . 2 15. 2.9. El valor del seno para 225142.9. El valor del seno para 225El valor del seno en = 225 , se calcula considerando el tringulo en el crculo unitario como semuestra en la gura 11: 1. En seno del ngulo 210 , es la longitud del segmento |BC|. En este caso la longitud es negativa. 2. El tringulo a considerar es congruente al caso de 30 1 3. Lo anterior quiere decir que el seno de 210 es . 2 Sen 225225C A2 2B 2 Figura 11: Sen(5/4) = Sen(210 ) = .2 16. 2.10. El valor del seno para 240152.10. El valor del seno para 240 El valor del seno en = 240 , se puede calcular considerando el tringulo en el crculo unitario comose muestra en la gura 12: 1. En seno del ngulo 240 , es la longitud del segmento |BC|. En este caso la longitud es negativa. 2. El tringulo a considerar es congruente al caso de 30 3 3. Lo anterior quiere decir que el seno de 240 es .2 Sen 240 CA2403 2 B 3 Figura 12: Sen(4/3) = Sen(240 ) = .2 17. 2.11. El valor del seno para 300162.11. El valor del seno para 300 El valor del seno en = 300 , se puede calcular considerando el tringulo en el crculo unitario comose muestra en la gura 13: 1. En seno del ngulo 300 , es la longitud del segmento |BC|. En este caso la longitud es negativa. 2. El tringulo a considerar es congruente al caso de 30 3 3. Lo anterior quiere decir que el seno de 300 es .2 Sen 300A300C3 2 B 3 Figura 13: Sen(4/3) = Sen(240 ) = .2 18. 2.12. El valor del seno para 315172.12. El valor del seno para 315 El valor del seno en = 315 , se puede calcular considerando el tringulo en el crculo unitario comose muestra en la gura 14: 1. En seno del ngulo 315 , es la longitud del segmento |BC|. En este caso la longitud es negativa. 2. El tringulo a considerar es congruente al caso de 45 2 3. Lo anterior quiere decir que el seno de 300 es .2 Sen 315 315 A C2 2 B 2 Figura 14: Sen(7/4) = Sen(315 ) = .2 19. 2.13. El valor del seno para 330182.13. El valor del seno para 330 El valor del seno en = 330 , se puede calcular considerando el tringulo en el crculo unitario comose muestra en la gura 15: 1. En seno del ngulo 330 , es la longitud del segmento |BC|. En este caso la longitud es negativa. 2. El tringulo a considerar es congruente al caso de 30 1 3. Lo anterior quiere decir que el seno de 315 es . 2 Sen 330 330 A C 1 2 B 2 Figura 15: Sen(7/4) = Sen(315 ) = .2 20. 2.14. Construccin de la grca del seno192.14. Construccin de la grca del seno La construccin de la grca del seno se puede realizar de la manera como se muestra paso a pasoen las siguientes guras. Se considera que la funcin es continua y derivable, es decir que no hay saltosen la grca y la lnea de la funcin es una curva. En esta construccin debe observarse que la lneaazul en el crculo se mueve girando varios ngulos que al trasladarlos a la lnea del eje x estos ngulosse convierten nmeros reales. La grca que se forma (la lnea roja) se dibuja de manera continua, cosaque podemos suponer libremente aqu. Finalmente debemos observar que de esta manera dibujamos lagrca del seno en el intervalo de ngulos [0, 360 ] o equivalentemente [0, 2], sin embargo esto mismolo podemos extender a todos los ngulos. El periodo de 2 del seno se sigue por la periodicidad delcrculo. Sen 30 112 300 3 2 6 2211Figura 16: sen(30 ) = sen(/6) = .2 Sen 45 122 450 3 2 4 2212Figura 17: sen(45 ) = sen(/4) = .2 21. 2.14. Construccin de la grca del seno 20Sen 60 132 600 32 3 2 21 3 Figura 18: sen(60 ) = sen(/3) =.2Sen 90 11 900 32 2 21Figura 19: sen(90 ) = sen(/2) = 1. Sen 120 132 12002 32 2 3 21 3Figura 20: sen(120 ) = sen(2/3) =. 2 22. 2.14. Construccin de la grca del seno21 Sen 135 122 1350 3322421 2Figura 21: sen(135 ) = sen(3/4) = .2 Sen 150 112 1500 5 322 6 211 Figura 22: sen(150 ) = sen(5/6) =.2 Sen 180 10 1800 322 21Figura 23: sen(180 ) = sen() = 0. 23. 2.14. Construccin de la grca del seno22 Sen 210 1 7 210 60 3212 2 21 1Figura 24: sen(210 ) = sen(7/6) = . 2 Sen 225 15 22540 32 22 221 2 Figura 25: sen(225 ) = sen(5/4) = . 2 Sen 240 14 24030 32 32 221 3 Figura 26: sen(240 ) = sen(4/3) = . 2 24. 2.14. Construccin de la grca del seno 23 Sen 270 1 3 270 20 2211Figura 27: sen(270 ) = sen(3/2) = 1. Sen 300 110 30060 3 2 32 2213 Figura 28: sen(300 ) = sen(5/3) = .2 Sen 315 17 31540 3 2 22 2212 Figura 29: sen(315 ) = sen(7/4) = .2 25. 2.14. Construccin de la grca del seno 24 Sen 330 111 3306 0 3212 221 1 Figura 30: sen(330 ) = sen(11/6) = . 2 Sen 360 12 36000 3221Figura 31: sen(360 ) = sen(2) = 0. Finalmente la grca del seno queda de la siguiente manera:1 Amplitud 32532 2 2 21 Perodo Figura 32: sen(x). 26. 2.15. Propiedades bsicas de la funcin sen(x)252.15. Propiedades bsicas de la funcin sen(x) De la grca de la funcin seno podemos inferir algunas de sus propiedades bsicas, como las sigu-ientes: 1. La funcin seno tiene dominio R y rango (imagen del dominio) al intervalo [1, 1] sen(x) : R [1, 1]. 2. La funcin seno es impar, es decir sen(x) = sen(x). 3. La funcin seno tiene un periodo 2, es decir sen(x) = sen(x + k2). 4. La funcin seno esta acotada por 1, es decir |sen(x)| 1. 5. La funcin seno tiene mximos (el 1) en x = + 2k, k Z.2 3 6. La funcin seno tiene mnimos (el 1) en x =+ 2k, k Z.2 27. La funcin cos(x)3En esta seccin haremos lo que corresponde para la funcin coseno. Observacin 1 Es muy importante observar que con el trabajo hecho para la funcin seno, es posible calcular una gran cantidad de valores similares para otras funciones trigonomtricas como cos, tan, cot, sec, csc. Lo que hay que hacer es simplemente usar las relaciones de tringulos rectngulos.De la denicin del coseno y siguiendo la misma gura de como se calcul el seno para valorescomunes, obtenemos los siguientes valores. 1 Sen Cos Cos Sen Figura 33: El valor del seno y coseno en el crculo unitario. 28. 3.1. El valor del coseno para valores comunes 27Observacin 2 De la gura 33 observamos lo siguiente: el seno"de un ngulo es igual al coseno"delngulo complementario (su suma es 90 ). Es decir sen() = cos(90 ) cos() = sen(90 )ya que sen() = cos() y cos() = sen() con + = 90 . De hecho podemos usar esta relacin y los valores obtenidos del seno para obtener los valores delcoseno, como se hace en la siguiente subseccin.3.1. El valor del coseno para valores comunes Aunque de manera didctica podemos deducir los valores del coseno de la misma manera que seobtuvieron los del seno, a partir de las guras. Aqu lo haremos usando las frmulas de la observacin 2,por dos razones, la primera: evitar aumentar el nmero de guras y la segunda: para mostrar una maneradiferente en la obtencin de los valores del coseno. Adems podemos considerar ngulos negativos, por denicin los ngulos negativos giran en sentidocontrario (en sentido a las manecillas de un reloj) a los ngulos positivos (en sentido contrario a lasmanecillas de un reloj). Crculo Unitario1Sen Sen Figura 34: El valor del seno y seno. 29. 3.2. Grca de la funcin coseno28 cos() =sen(90 ) cos(0 ) =sen(90 0 )=sen(90 )= 1 cos(90 )=sen(90 90 ) =sen(0 ) = 0 cos(180 ) =sen(90 180 )=sen(90 ) =1 cos(270 ) =sen(90 270 )=sen(180 )= 0 cos(360 ) =sen(90 360 )=sen(270 )= 13 cos(30 )=sen(90 30 ) =sen(60 )=22 cos(45 )=sen(90 45 ) =sen(45 )= 21 cos(60 )=sen(90 60 ) =sen(30 )=21 cos(120 ) =sen(90 120 )=sen(30 ) =22 cos(135 ) =sen(90 135 )=sen(45 ) =23 cos(150 ) =sen(90 150 )=sen(60 ) =23 cos(210 ) =sen(90 210 )=sen(120 )=22 cos(225 ) =sen(90 225 )=sen(135 )= 21 cos(240 ) =sen(90 225 )=sen(150 )=21 cos(300 ) =sen(90 300 )=sen(210 )=22 cos(315 ) =sen(90 315 )=sen(225 )=23 cos(330 ) =sen(90 330 )=sen(240 )= 23.2. Grca de la funcin coseno De la teora general de grcas y con la frmula cos() = sen(90 ) podemos obtener la grcade la funcin coseno. Es la misma grca que el seno pero recorrida sobre el eje x, 90 , es decir /2 (vertutorial sobre grcas). Hay varias formas de constatar que la grca de la funcin coseno es la misma grca que la funcinseno recorrida /2. Lo que hay que mostrar es que cos(x) = sen(x 90 ). 1. Sabemos que cos(x) = sen(90 x), pero la funcin seno es impar, es decir sen(90 x) = sen(x 90 ). Por tanto para obtener la grca del coseno hay que tomar la grca del senorecorrerla 90 y hacer una reexin respecto del eje x. 30. 3.2. Grca de la funcin coseno 29 1 3253 222 2 1 sen(x) 1 3253 222 2 1sen(x 90 ) 1 3253 222 2 1 sen(x 90 ) 2. Otra forma de ver la relacin del seno y el coseno se deriva del tringulo unitario donde se puedeobservar la relacin de tringulos semejantes que hay entre el que se forma con un ngulo y conel ngulo + 90 . De hecho la grca la podemos tambin obtener recorriendo la grca del seno90 a la izquierda. 31. 3.3. Propiedades bsicas de la funcin cos(x) 30 Sen 90 90 Sen Cos Figura 32: Cos(x).Por todo lo anterior, la grca del coseno queda de la siguiente forma: 1Amplitud 3 2532 2 22 1 PerodoFigura 32: Cos(x).3.3. Propiedades bsicas de la funcin cos(x) De la grca de la funcin coseno podemos inferir algunas de las propiedades bsicas, como lassiguientes: 1. La funcin coseno tiene dominio R y rango (imagen del dominio) al intervalo [1, 1]cos(x) : R [1, 1]. 2. La funcin coseno es par, es decir cos(x) = cos(x). 32. 3.3. Propiedades bsicas de la funcin cos(x)31 3. La funcin coseno tiene un periodo 2, es decir cos(x) = cos(x + k2). 4. La funcin coseno esta acotada por 1, es decir |cos(x)| 1. 5. La funcin coseno tiene mximos (el 1) en x = 2k, k Z. 6. La funcin coseno tiene mnimos (el 1) en x = k, k Z. 33. La funcin tan(x)4las propiedades bsicas de la funcin tangente se pueden derivar de su denicin. sen(x)tan(x) = cos(x) De la siguiente gura se tiene que los tringulos OAB y OCD son semejantes, por lo tanto seAB CDcumple la relacin= . Por otra parte la denicin de la funcin tangente dice que tan() =OA OCsen()ABCD =, por la anterior igualdad tan() = , pero OC = 1, entonces tan() = CD. De lacos()OAOCmisma manera, si consideramos el tringulo OBE es semejante, de hecho igual al tringulo OCD,esto quiere decir que la tangente es tambin la longitud del segmento BE. D BTan Sen OA C E Cos El valor del seno y coseno del crculo unitario. 34. 4.1. El valor de la Tangente para valores comunes 334.1. El valor de la Tangente para valores comunes Los valores comunes de la funcin tangente pueden ser derivados inmediatamente de la deniciny de los valores correspondientes del seno y coseno. Con objeto de no repetir los valores, estos puedenverse en la tabla del resumen de valores.4.2. Grca de la funcin tan(x) 022Obtencin de la grca de la tangente. 35. 4.3. Propiedades bsicas de la funcin tan(x)34 3 2 1 3222 2 1Perodo 2 3Grca de la funcin tangente.4.3. Propiedades bsicas de la funcin tan(x) A partir de la grca de la funcin tangente podemos inferir algunas de las propiedades bsicas, comolas siguientes: 1. La funcin tangente no esta denida en los puntos x =+ k con k Z. 2 2. La funcin tangente tiene dominio R{x|x = +k} y rango (imagen del dominio) a los reales 2R tan(x) : R {x|x = + k} R. 2 3. La funcin tangente es impar, es decir tan(x) = tan(x). 4. La funcin tangente tiene un periodo , es decir tan(x) = tan(x + k). 5. La funcin tangente no esta acotada. 6. La funcin tangente no tiene mximos. 7. La funcin tangente no tiene mnimos. 36. La funcin cot(x)5Las propiedades bsicas de la funcin tangente se pueden derivar de su denicin. 1cos(x)cot(x) == tan(x) sen(x)5.1. Grca de la funcin cot(x)321 322 2 21Perodo23 Grca de la funcin cotangente.5.2. El valor de la cotangente para valores comunes Los valores comunes de la funcin cotangente pueden ser derivados inmediatamente de la deniciny de los valores correspondientes del seno y coseno. Con objeto de no repetir los valores, estos puedenverse en la tabla del resumen de valores. 37. 5.3. Propiedades bsicas de la funcin cot(x)365.3. Propiedades bsicas de la funcin cot(x)A partir de la grca de la funcin cotangente podemos inferir algunas de las propiedades bsicas,como las siguientes: 1. La funcin cotangente no esta denida en los puntos x = k con k Z. 2. La funcin cotangente tiene dominio R {x|x = k} y rango (imagen del dominio) a los realesRtan(x) : R {x|x = k} R. 3. La funcin cotangente es impar, es decir cot(x) = cot(x). 4. La funcin cotangente tiene un periodo , es decir tan(x) = tan(x + k). 5. La funcin cotangente no esta acotada. 6. La funcin cotangente no tiene mximos. 7. La funcin cotangente no tiene mnimos. 38. La funcin sec(x)6 las propiedades bsicas de la funcin secante se pueden derivar de su denicin.1 sec(x) =cos(x)6.1. Grca de la funcin sec(x)321 3 2 2221Perodo23 Grca de la funcin secante.6.2. El valor de la secante para valores comunes Los valores comunes de la funcin secante pueden ser derivados inmediatamente de la denicin yde los valores correspondientes del coseno. Con objeto de no repetir los valores, estos pueden verse en latabla del resumen de valores. 39. 6.3. Propiedades bsicas de la funcin sec(x)386.3. Propiedades bsicas de la funcin sec(x) A partir de la grca de la funcin secante podemos inferir algunas de las propiedades bsicas, comolas siguientes: 1. La funcin secante no esta denida en los puntos x =+ k con k Z.2 2. La funcin secante tiene dominio R {x|x =+ k} y rango (imagen del dominio) a los reales 2R (1, 1) tan(x) : R {x|x = + k} R (1, 1). 2 3. La funcin secante es par, es decir sec(x) = sec(x). 4. La funcin secante tiene un periodo 2, es decir tan(x) = tan(x + 2k). 5. La funcin secante no esta acotada. 6. La funcin secante no tiene mximos globales, pero en los intervalos ((2k + 1) , (2k + 1) + ) 22se alcanza el mximo local 1 en (2k + 1). 7. La funcin secante no tiene mnimos globales, pero en los intervalos ((2k) , (2k) + ) 22se alcanza el mnimo local 1 en (2k). 40. La funcin csc(x)7las propiedades bsicas de la funcin cosecante se pueden derivar de su denicin.1sec(x) = sen(x)7.1. Grca de la funcin csc(x) 3 2 1 32 2 22 1 Perodo 2 3 Grca de la funcin cosecante.7.2. Propiedades bsicas de la funcin csc(x)A partir de la grca de la funcin cosecante podemos inferir algunas de las propiedades bsicas,como las siguientes:1. La funcin cosecante no esta denida en los puntos x = k con k Z. 41. 7.2. Propiedades bsicas de la funcin csc(x) 40 2. La funcin cosecante tiene dominio R {x|x = k} y rango (imagen del dominio) a los realesR (1, 1)csc(x) : R {x|x = k} R (1, 1). 3. La funcin cosecante es impar, es decir csc(x) = csc(x). 4. La funcin cosecante tiene un periodo 2, es decir csc(x) = csc(x + 2k). 5. La funcin cosecante no esta acotada.(3 + 4k) 6. La funcin cosecante no tiene mximo global, pero tiene mximos locales 1, en.2(1 + 4k) 7. La funcin cosecante no tiene mnimo global, pero tiene mnimos locales 1, en .2 42. Resumen de valores comunes8grados radianessen costan cot sec csc 00 0 10no existe1no existe 13 12 30326 2 2 3 3 2 2 2 2 45 1 1 4 2 2 2 2 31 1 2 603 23 2 2 3 3 901 0 no existe0no existe12 2 3 11 2120 3 2 3223 3 3 222 2135 1 1 4222 2 51 312150 32 6223 3180 01 0 no existe 1no existe 7 1312210 3 2 6 2 23 3 52 22 2225 1 1 4 2 22 2 4311 2240 3 2 3 2 23 3 2270 1 0 no existe0no existe 1 3 10 3 1 1 2300 3 2 6 22 3 3 722 2 2315 11 4 22 2 2 111 3 12330 3 2 6 22 3 3360 2 0 1 0 no existe1no existe 43. Relaciones trigonomtricas 9 sen cos tan cot sec csc tan 1sec211sen 1 cos2 1 + tan2 1 + cot2 sec csc 1cot 1 csc2 1cos 1 sen2 1 + tan2 1 + cot2 sec csc sen 1 cos2 11tan sec2 1 1 sen2 cos cot csc2 1 1 sen2 cos 11 cot csc2 1 sen 1 cos2 tan sec2 1 1 1 1 + cot2 csc sec 1 + tan2 1 sen2 cos cot csc2 1 1 1 1 + tan2 sec csc 1 + cot2 sen 1 cos2 tan sec2 1 44. Funciones trigonomtricas inversas 10Todas las funciones trigonomtricas antes mencionadas tienen inversa en un intervalo donde la funcin sea biyec-tiva.10.1. La funcin arc sen La funcin arc sen esta denida en el intervalo [1, 1]. arc sen : [1, 1] [ , ].2 210.2. Grca de la funcin arc sen2 112 Grca de la funcin arcoseno. 45. 10.3. La funcin arc cos4410.3. La funcin arc cosLa funcin arc cos esta denida en el intervalo [1, 1]. arc cos : [1, 1] [0, ].10.4. Grca de la funcin arc cos2 11 Grca de la funcin arcoseno. 46. 10.5. La funcin arctan 4510.5. La funcin arctanLa funcin arctan esta denida en R. arctan : R [, ].2 210.6. Grca de la funcin arctan 2 1 1 2 Grca de la funcin arcotangente.10.7. La funcin arccotLa funcin arccot esta denida en R. arccot : R (, 0) (0, ).2 210.8. Grca de la funcin arccot 21 1 2 Grca de la funcin arcocotangente. 47. 10.9. La funcin arcsec4610.9. La funcin arcsecLa funcin arcsec esta denida en R. arcsec : R [0,) ( , ]. 2210.10. Grca de la funcin arcsec211 Grca de la funcin arcosecante.10.11. La funcin arccscLa funcin arccsc esta denida en R. arccsc : R [, 0) (0, ]. 2 210.12. Grca de la funcin arccsc2 1 12Grca de la funcin arcoseno. 48. 11La funcin a sen(bx + c) + d 49. 12La funcin a cos(bx + c) + d 50. 13La funcin a tan(bx + c) + d 51. 14Funciones hiperblicas 52. 15Identidades trigonomtricas 53. 16AplicacionesSolicite informacin acerca de la versin comple-ta de este documento de 100 hojas.