Giup Hs Hoc Tot Ve Phan Ti Le Thuc Toan 7 6212 2

Trường THCS Cát Linh

Người thực hiện : Nguyễn Việt Phương Trang 1

Đề tài sáng kiến kinh nghiệm :

GIÚP HỌC SINH HỌC TỐT PHẦN TỈ LỆ THỨC

MÔN TOÁN LỚP 7

Họ và tên : Nguyễn Việt Phương.

Chức vụ : Giáo viên.

Đơn vị : Trường THCS Cát Linh.

Trình độ chuyên môn :ĐH.

Bộ môn giảng dạy : Toán-Tin



MỤC LỤC

A. ĐẶT VẤN ĐỀ :

I. TÊN ĐỀ TÀI.

II. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI.

III. THỜI GIAN, PHẠM VI, ĐỐI TƯỢNG.

IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO.

B. QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI :

I. KHẢO SÁT THỰC TẾ.

II. CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN.

Dạng 1 : Tìm x,y,z.

Dạng 2 : Chứng minh tỷ lệ thức.

Dạng 3 : Các bài toán về đại lượng tỷ lệ thuận và tỷ lệ nghịch.

Dạng 4 : Chuyển động

Dạng 5 : Hình học.

C. KẾT QUẢ THỰC HIỆN VÀ KẾT LUẬN :

I. KẾT QUẢ.

II. KẾT LUẬN.

D. THAY CHO LỜI KẾT.



A. PHẦN MỞ ĐẦU

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI :

Qua thời gian giảng dạy môn toán lớp 7, và các tiết dự giờ đồng nghiệp ở

trường, bản thân tôi nhận thấy như sau :

Với các dạng toán tỷ lệ thức tôi thấy chưa hệ thống hóa được các dạng bài

tập, chưa đưa ra được nhiều hướng suy luận khác nhau của một bài toán và chưa

đưa ra các phương pháp giải khác nhau của cùng một bài toán để kích thích sáng

tạo của học sinh . Về tiết luyện tập giáo viên thường đưa ra một số bài tập rồi cho

học sinh lên chữa hoặc giáo viên chữa cho học sinh chép . Và đưa ra nhiều bài

tập càng khó thì càng tốt. Trong nhiều trường hợp thì kết quả dẫn đến ngược lại,

học sinh cảm thấy nặng nề, không tin tưởng vào bản thân mình dẫn đến tình trạng

chán học.

Vì vậy giáo viên cần phải có phương pháp giải bài tập theo dạng và có

hướng dẫn giải bài tập theo nhiều cách khác nhau. Nếu bài toán đó cho phép. Mỗi

dạng toán có phương pháp giải riêng để giải bài tập nhằm hình thành tư duy toán

học cho học sinh, cung cấp cho học sinh những kĩ năng thích hợp để giải quyết

bài toán một cách thích hợp.

Học sinh lĩnh hội kiến thức một cách thụ động, chưa tìm ra cách giải cho

từng dạng toán cụ thể, không có tính sáng tạo trong làm bài, không làm được các

bài tập dù bài đó dễ hơn bài giáo viên đã chữa.

Xuất phát từ thực tế trên, tôi đã sắp xếp các dạng bài tập tỷ lệ thức sao cho

các em có thể giải bài tập tỷ lệ thức một cách dễ dàng nhất.

II. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

1. Mục đích nghiên cứu :



Xây dựng được hệ thống bài tập tỉ lệ thức để củng cố, bồi dưỡng học sinh

kiểm tra đánh giá khả năng lĩnh hội tri thức của học sinh.

2. Nhiệm vụ nghiên cứu :

- Khảo sát thực trạng việc học sinh giải toán dạng tỉ lệ thức ở trường THCS

Chu Minh- huyện Ba Vì và trường THCS Cát Linh- quận Đống Đa.

III. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

- Thời gian thực hiện : năm học 2009 – 2010 và năm học 2011 – 2012.

- Trong chương trình toán 7.

- Chọn ngẫu nhiên 40 học sinh lớp 7 trường THCS Chu Minh huyện Ba Vì

và 40 học sinh lớp 7 trường THCS Cát Linh quận Đống Đa.

IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO

- Sách giáo khoa toán 7.

- Một số đề thi học sinh giỏi toán 7.

- Một số tài liệu khác.

B. QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

Qua quá trình giảng dạy thực tế và tham khảo đồng nghiệp, kết quả học tập

của học sinh được phản ánh rõ nét thông qua bài kiểm tra, bài thi của học sinh.

Có bài lời giải độc đáo, sáng tạo , chặt chẽ, trình bày sáng sủa, khoa học, song

cũng có bài giải sơ sài, đơn giản, thiếu chặt chẽ và thiếu sự sáng tạo.



TÓM TẮT KIẾN THỨC PHẦN TỈ LỆ THỨC

1. Định nghĩa :

- Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số a c

b d

2. Tính chất :

- Tính chất 1 (tính chất cơ bản của tỉ lệ thức)

Nếu a c

b d thì a.d = b.c

- Tính chất 2 :

Nếu ad = bc và a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức :

; ; ;a c a b d c d b

b d c d b a c a

- Như vậy, với a, b, c, d ≠ 0 từ một trong năm đẳng thức sau đây ta có thể suy ra

các đẳng thức còn lại:

Trước khi viết đề tài này thì tôi cho học sinh làm bài kiểm tra khảo sát nhằm

phát hiện, đánh giá chất lượng vốn có của học sinh. Mặt khác lưu giữ kết quả để

đánh giá từng bước tiến bộ của học sinh.

Dưới đây là đề kiểm tra khảo sát chất lượng

năm học 2009-2010 và năm học 2011 - 2012

Câu 1 : Tìm x, y, z biết:

532

zyx và x + y + z = 150.

a c

b d

ad = bc

a d

c d

d c

b a

d b

c a



Câu 2 : Tìm x, y biết :

43

yx và x . y = 300.

Câu 3 : Tìm x, y, z biết :

53

;43

zyyx và 2x – 3y + z = 6.

Đáp án :

Câu 1 : Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :

1510

150

532532

zyxzyx

=> 2

x = 15 -> x = 2.15 = 30.

3

y = 15 -> y = 3.15 = 45.

5

z = 15 -> z = 5.15 = 75.

Câu 2 :

Đặt 43

yx = k -> x = 3k ; y = 4k.

-> x.y = 3k . 4k = 12k2 = 300.

-> k2 = 25.

5

5

k

k

* Với k = 5 ->

205.4

155.3

y

x

* Với k = -5 ->

20)5.(4

15)5.(3

y

x

Câu 3 :



20129

201253

12943

zyx

zyzy

yxyx

Theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau ta có :

32

6

202.39.2

32

20129

zyxzyx

9

x = 3 -> x = 9.3 = 27.

12

y= 3 -> y = 12.3 = 36.

20

z = 3 -> z = 20.3 = 60.

Kết quả thu được của năm học 2009 – 2010 như sau :

TỔNG SỐ

Đối tượng 1

0 -> 4 điểm

Đối tượng 2

5 -> 7 điểm

Đối tượng 3

8 -> 10 điểm

Số lượng % Số lượng % Số lượng %

80 40 50 30 37,5 10 12,5

Kết quả thu được của năm học 2011 – 2012 như sau :

TỔNG SỐ

Đối tượng 1

0 -> 4 điểm

Đối tượng 2

5 -> 7 điểm

Đối tượng 3

8 -> 10 điểm


80 36 45 28 35 16 20

Đối tượng 1 : Các em chỉ mới làm được câu 1.

Đối tượng 2 : Các em đã làm được câu 1 và câu 2.

Đối tượng 3 : Các em đã hoàn chỉnh cả ba câu.

II. CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN :



Sau khi học xong tính chất của tỷ lệ thức, tôi đã cho học sinh củng cố để

nắm vững và hiểu thật sâu về các tính chất cơ bản, tính chất mở rộng của tỷ lệ

thức, của dãy tỷ số bằng nhau. Sau đó cho học sinh làm một loạt những bài toán

cùng loại để tìm ra một định hướng, một quy luật nào đó để làm cơ sở cho việc

chọn lời giải, có thể minh họa điều đó bằng các dạng toán, bằng các bài toán từ

đơn giản đến phức tạp sau đây.

DẠNG 1 : Tìm x, y, z.

Bài toán 1 : Tìm x, y biết :

a. 52

yx và x.y = 90.

b. 97

yx và x.y = 252.

c. 35

yx và x2 – y2 = 4.

Giải :

a. Khởi điểm bài toán đi từ đâu, nếu đi từ tính chất cơ bản thì nên theo tính

chất nào? Nếu đi từ định nghĩa thì làm như thế nào? Học sinh thường mắc sai lầm

như sau :

910

90

5.2

.

52

yxyx

-> x = 2.9 = 18.

y = 5.9 = 45.

Tôi đã yêu cầu học sinh nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan và hướng

cho các em hướng giải toán.

Hướng thứ nhất :

Dùng phương pháp tình giá trị của dãy số để tính. Đó là hình thức hệ thống

hóa, khái quát hóa về kiến thức và học sinh đã chọn lời giải thích hợp.

Đặt

ky

kxk

yx

5

2

52



Mà xy = 90 -> 2k.5k = 90.

10k2 = 90

k2 = 9 ->

3

3

k

k

* Với k = 3 -> x = 2.3 = 6.

y = 5.3 = 15.

* Với k = -3 -> x = 2. (-3) = -6.

y = 5.(-3) = -15.

Vậy (x;y) = (6;16); (-6;-15)

Hướng thứ hai :

Khái quát hóa toàn bộ tính chất của tỷ lệ thức, có tính chất nào liên quan

đến tích các tử số với nhau và học sinh đã chọn lời giải theo hướng thứ hai.

Ta có :

5.2

.

5252

22yxyxyx

(tính chất mở rộng của tỷ lệ thức)

.155.3925

63694

910

90

10254

2222

22

22

yyy

xxx

xyyx

Vậy (x;y) = (6;15); (-6;-15)

Qua việc hệ thống hóa, khái quát hóa và lựa chọn hướng đi cho các em để

có lời giải thích hợp. Các em đã vận dụng nó để làm tốt các phần b, c, d.

Bài toán 2 : Tìm x, y, z biết :

a. 45

;32

zyyx và x + y + z = 37.

b. 75

;43

zyyx và 2x + 3y – z = 186.

c. 75

;32

zyyx và x + y + z = 92.

d. 83

;53

zyyx và 2x + 4y – 2z = -4.



Giải :

a. Để tìm được lời giải của bài toán này tôi đưa ra việc nhận xét xem liệu

có tìm được tỷ số trung gian nào để xuất hiện dãy tỷ số bằng nhau hay không?

Yêu cầu đó đã hướng các em hệ thống hóa kiến thức cơ bản, tính chất mở rộng để

chọn lời giải cho phù hợp.

Ta có :

137

37

121510121510

12153

1

43

1

545

15105

1

35

1

232

zyxzyx

zyhay

zyzy

yxhay

yxyx

-> x = 10.1 = 10.

y = 15.1 = 15.

z = 12.1 = 12

Vậy x = 10; y = 15; z = 12.

b. Để giải được phần b của bài toán, ngoài việc tìm được tỷ số trung gian

để xuất hiện dãy tỷ số bằng nhau. Tôi còn hướng cho các em tìm hiểu xem có gì

đặc biệt trong tổng 2x + 3y – z = 186 để giúp các em nhớ lại tính chất của phân

số bằng nhau. Từ đó các em đã chọn được lời giải của bài toán cho thích hợp.

Ta có :

362

186

2820.315.2

32

282015

28204

1

74

1

575

20155

1

45

1

343

zyxzyx

zyhay

zyzy

yxhay

yxyx

-> x = 15.3 = 45.

y = 20.3 = 60.

z = 28.3 = 84.

Vậy x = 45; y = 60; z = 84.

Với cách làm như vậy các em đã biết vận dụng để chọn lời giải phù hợp

cho phần c và d.

Bài toán 3 : Tìm x, y, z biết :



a. 3x = 5y = 8z và x + y + z = 158.

b. 2x = 3y; 5y = 7z và 3x + 5z – 7y = 60

Giải :

Đối với bài toán 3 có vẻ khác lạ hơn so với các bài toán trên. Song tôi đã

nhắc các em lưu ý đến sự thành lập tỷ lệ thức từ đẳng thức giữa hai tích hoặc đến

tính chất đơn điệu của đẳng thức. Từ đó các em có hướng giải và chọn lời giải

cho phù hợp.

Hướng thứ nhất : Dựa vào sự thành lập tỷ lệ thức từ đẳng thức giữa hai

tích ta có lời giải sau :

Ta có :

279

158

152440152440

15243

1

53

1

85885

24408

1

38

1

53553

zyxzyx

zyhay

zyzyzy

yxhay

yxyxyx

-> x = 40.2 = 80.

y = 24.2 = 48.

z = 15.2 = 30.

Vậy x = 80; y = 48; z = 30.

Hướng thứ hai: Dựa vào tính chất đơn điệu của phép nhân của đẳng thức.

Các em đã biết tìm bội số chung nhỏ nhất của 3, 5, 8. Từ đó các em có lời giải

của bài toán như sau :

Ta có BCNN (3, 5, 8) = 120

Từ 3x = 5y = 8z 120

1.8

120

1.5

120

1.3 zyx

Hay 279

158

152440152440

zyxzyx

-> (Tương tự như trên ta có ...)

Vậy x = 80; y = 48; z = 30.



Hướng thứ ba : Tôi đã đặt vấn đề hãy viết tích giữa hai số thành một

thương. Điều đó đã hướng cho các em tìm ra cách giải sau :

Từ 3x + 5y – 8z 240

120

79

158

8

1

5

1

3

1

8

1

5

1

3

1

zyxzyx

-> x = 3

1.240 = 80.

y = 5

1. 240 = 48.

z = 8

1. 240 = 30.

Vậy x = 80; y = 48; z = 30.

Qua ba hướng trên, đã giúp các em có công cụ để giải bài toán và từ đó các

em sẽ lựa chọn lời giải nào phù hợp, dễ hiểu, logic. Cũng từ đó giúp các em phát

huy thêm hướng giải khác và vận dụng để giải phần b.

* Để giải được phần b có điều hơi khác phần a một chút. Yêu cầu các em

phải có tư duy một chút để tạo nên tích trung gian như sau :

+ Từ 2x = 3y - > 2x.5 = 3y.5 hay 10x = 15y.

+ Từ 5y = 7z -> 5y.3 = 7z.3 hay 15y = 21z.

-> 10x = 15y = 21z.

40840.21

1

56840.15

1

.84840.10

1

840

210

15

60

21

1.7

15

1.5

10

1.3

753

21

1

15

1

10

1

z

y

x

zyxzyx

Vậy x = 84; y = 56; z = 40

Các em đã tìm hướng giải cho phần b và tự cho được ví dụ về dạng toán này.

Bài toán 4 : Tìm x,y, z biết rằng :



a. 2

2

3

2

5

1

zyx và x + 2y – z = 12

b. 4

3

3

2

2

1

zyx và 2x + 3y – z = 50

Để tìm được lời giải của bài toán này tôi cho các em nhận xét xem làm thế

nào để xuất hiện được tổng x + 2y – z = 12 hoặc 2x + 3y – z = 50 hoặc 2x + 3y

– 5z = 10.

Với phương pháp phân tích, hệ thống hóa đã giúp cho các em nhìn ra ngay

và có hướng đi cụ thể.

Hướng thứ nhất : Dựa vào tính chất của phân số và tính chất của dãy số bằng

nhau ta có lời giải của bài toán như sau :

Ta có :

19

312

9

32

265

)2(421

6

42

3.2

)2(2

2

2

3

2

5

1

zyx

zyxyyzyx

-> x – 1 = 5 -> x = 6.

y – 2 = 3 -> y = 5.

z – 2 = 2 -> z = 4

Hướng thứ hai : Dùng phương pháp đặt giá trị của tỷ số ta có lời giải sau :

Đặt : 2

2

3

2

5

1

zyx = k

-> x – 1 = 5k -> x = 5k + 1.

y – 2 = 3k -> y = 3k + 2

z – 2 = 2k -> z = 2k + 2.

Ta có : x + 2y – z = 12 <=> 2k + 1 + 2(3k + 2) – (2k + 2) = 12

<=> 9k + 3 = 12

<=> k = 1

Vậy x = 5.1 + 1 = 6.

y = 3.1 + 2 = 5.

z = 2.1 + 2 = 4



Với các phương pháp cụ thể của từng hướng đi các em đã vận dụng để tự

giải phần (b) của bài toán 4.

Bài toán 5 : Tìm x,y,z biết rằng :

)1 1 2

1 2 3 1)

x y za x y z

y z x z x y

y z x z x yb

x y z x y z

Đối với bài toán 5 có vẻ hơi khác lạ. Vậy ta sẽ phải khởi đầu từ đâu, đi từ

kiến thức nào ? Điều đó yêu cầu các em phải tư duy có chọn lọc để xuất hiện x +

y + z . Tôi đã gợi ý cho các em đi từ ba tỷ số đầu để xuất hiện dãy tỷ số bằng

nhau và đã có lời giải của bài tóan phần (b) như sau :

Giải : Điều kiện x, y, z 0.

Ta có :

5,02

12

1

2)(2321331

zyxzyx

zyx

zyx

zyx

yxzxzy

z

yx

y

zx

x

zy

x + y = 0,5 – z

y + z = 0,5 – x.

x + z = 0,5 – y.

Thay các giá trị vừa tìm của x, y, z vào dãy tỷ số trên, ta có :

215,0

21

x

x

x

zy <=> 0,5 – x + 1 = 2x

<=> 1,5 = 3x

<=> x = 0,5.

225,02

y

y

y

zx <=> 2,5 – y = 2y

<=> 2,5 = 3y

<=> y = 6

5

235,03

z

z

z

yx <=> -2,5 – z = 2z

<=> -2,5 = 3z.



<=> z = - 6

5

Vậy (x;y;z) = (0,5 ; 6

5; -

6

5)

Sau khi thực hiện dạng 1 của đề tài tôi cho học sinh làm bài toán thực

nghiệm như sau :

*Đề kiểm tra lần 1:

Tìm x, y, z biết :

a. 32

yx và x . y = 54

b. 2x = 3y = 5z và x + y – z = 95.

c. 2

2

2

4

3

1

zyx và 2x + 3y – 5z = 10

* Kết quả kiểm tra lần 1 năm học 2009 – 2010 :

TỔNG SỐ

Đối tượng 1

0 -> 4 điểm

Đối tượng 2

5 -> 7 điểm

Đối tượng 3

8 -> 10 điểm


80 20 25 44 55 16 20

* Kết quả kiểm tra lần 1 năm học 2011 – 2012 :

TỔNG SỐ

Đối tượng 1

0 -> 4 điểm

Đối tượng 2

5 -> 7 điểm

Đối tượng 3

8 -> 10 điểm


80 22 27,5 43 53,75 15 18,75

Việc hệ thống hóa, khái quát hóa các kiến thức của tỷ lệ thức còn có vai trò

rất quan trọng trong việc chứng minh tỷ lệ thức so với hệ thống các bài tập từ đơn

giản đến phức tạp, từ cụ thể, cơ bản đến kiến thức trừu tượng, mở rộng đã cho

các em rất nhiều hướng đi để đến tới hiệu quả và yêu cầu của bài toán.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 1



Bài 1 : Tìm các số x, y, z biết rằng :

2 3 4

x y z và x + 2y – 3z = - 20

Bài 2 : Tìm các số x, y, z biết rằng :

2 3 4

x y z và x2 – y 2 + 2z2 = 108

Hướng dẫn giải bài tập phần luyện :

Bài 1 : Ta có : 2 3 2 3 20

52 6 12 2 6 12 4

x y z x y z

x= 10 , y= 15 , z = 20

Bài 2 : Ta có : 2 3 4

x y z ->

2 2 2

4 9 16

x y z ->

2 2 2 2 2 22 24

4 9 32 4 9 32

x y z x y z

Từ đó ta tìm được : x1= 4 ,y1=6 , z1= 8

x1= - 4 ,y1= -6 , z1= -8

DẠNG 2 : Chứng minh tỷ lệ thức :

Bài toán 1 : Cho tỷ lệ thức d

c

b

a . Hãy chứng minh :

dc

dc

ba

bab

dc

dc

ba

baa

43

52

43

52.

.

Để giải bài toán này không khó, song yêu cầu học sinh phải hệ thống hóa

kiến thức thật tốt và chọn lọc các kiến thức để vận dụng vào dạng toán để tìm

hướng giải cụ thể.

* Hướng thứ nhất : Sử dụng phương pháp đặt giá trị của dãy tỷ số để chứng

minh phần a.

Đặt d

c

b

a = k -> a = b.k

c = d.k

Ta có :



1

1

)1(

)1(

1

1

)1(

)1(

k

k

kd

kd

ddk

ddk

dc

dc

k

k

kb

kb

bbk

bbk

ba

ba

dc

dc

ba

ba

* Hướng thứ hai: Sử dụng phương pháp hoán vị các số hạng của tỷ lệ thức và

tính chất cơ bản của dãy tỷ số bằng nhau ta có lời giải như sau :

Từ : d

b

c

a

d

c

b

a (Hoán vị trung tỷ)

bc

ba

dc

ba

(Theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau)

dc

dc

ba

ba

(Hoán vị trung tỷ).

Ngoài hai hướng trên, các em cũng đã tìm ra hướng giải khác nhờ vào tính

chất cơ bản của tỷ lệ thức :

Từ bcadd

c

b

a

Xét tích : (a – b)(c + d) = ac + ad – bc – bd

(a + b)(c – d) = ac – ad + bc – bd

-> (a – b)(c + d) = (a + b)(c – d) (cùng bằng ac – bd)

-> dc

dc

ba

ba

(Đpcm)

Với việc hệ thống hóa các kiến thức về tỷ lệ thức đã đưa ra một số hướng

giải. Yêu cầu học sinh chọn lựa hướng giải nào thích hợp, ngắn gọn, dễ hiểu, đề

trình bày lời giải cho mình trong mỗi bài, qua đó để học sinh tự giải các bài tập

phần b của bài 1.

Bài toán 2 : Cho d

c

b

a Hãy chứng minh :

;.

;.;.

2

2

2

2

22

22

cd

ab

dc

bac

cd

ab

dc

bab

cd

ab

dc

baa



Đối với bài toán 2 hướng giải tương tự như bài toán 1, song mức độ tính

toán dễ nhầm lẫn hơn. Tôi phải phân tích, cho học sinh ôn lại về lũy thừa và kiến

thức về tính chất mở rộng của tỷ lệ thức để các em dễ nhận biết, dễ trình bày hơn.

Tôi đã nhấn mạnh lại các công thức :

Nếu : bd

ac

d

c

b

a

d

c

b

a

22

và hướng cho các em trình bày lời giải

của bài toán phần c.

Giải :

Từ : d

b

c

a

d

c

b


cd

ab

dc

baHay

dcdc

baba

cd

ab

d

c

b

a

cd

ab

d

b

c

a

2

2

22

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Tương tự bài toán phần (c) học sinh rất dễ dàng hiểu và trình bày được lời

giải phần a,b và hướng cho các em tự tìm hiểu các phương pháp khác để chứng

minh tỷ lệ thức.

Bài toán 3 : (Dành cho học sinh khá giỏi)

Cho c

b

b

a . Hãy chứng minh

c

a

cb

ba

22

22

Để giải được bài toán này yêu cầu học sinh phải có bước suy luận cao hơn,

không dập khuôn máy móc mà phải chọn lọc tính chất của tỷ lệ thức để có hướng

giải phù hợp.

* Hướng thứ nhất : Sử dụng tính chất cơ bản rồi thay thế vào vế trái, biến đổi vế

phải ta có lời giải sau :

Từ c

b

b

a -> b2 = ac . Thay vào vế trái ta có :

c

a

cac

caa

cac

aca

cb

ba

)(

)(2

2

22

22

(Đpcm)

* Hướng thứ hai : Sử dụng tính chất đơn điệu của phép nhân của đẳng thức ta có

lời giải sau :



Vì cần có a2 ; b2 nên ta nhân từng vế của c

b

b

a với chính bản thân nó ta có :

22

22

2

2

2

2

cb

ba

c

b

b

a

c

b

c

b

b

a

b

a

c

b

b

a

(1)

mà c

a

ac

a

b

aacb

c

b

b

a

2

2

22 (2)

Từ (1) và (2) c

a

cb

ba

22

22

(Đpcm)

* Đề kiểm tra sau khi thực hiện dạng 2 :

Cho tỷ lệ thức : d

c

b

a hãy chứng minh :

2

2

2

2

.32

32

32

32.

dc

ba

dc

bab

dc

dc

ba

baa

* Kết quả kiểm tra dạng 2 Năm học 2009 – 2010 :

TỔNG SỐ

Đối tượng 1

0 -> 4 điểm

Đối tượng 2

5 -> 7 điểm

Đối tượng 3

8 -> 10 điểm


80 28 35 38 47,5 14 17,5

* Kết quả kiểm tra dạng 2 Năm học 2011 – 2012 :

TỔNG SỐ

Đối tượng 1

0 -> 4 điểm

Đối tượng 2

5 -> 7 điểm

Đối tượng 3

8 -> 10 điểm


80 24 30 38 47,5 18 22,5

Với các phương pháp trên trong phương pháp giảng dạy học sinh môn toán

7 đã làm cho các em tư duy rất tốt, rèn luyện được ý thức tự tìm tòi độc lập suy

nghĩ để nhớ kĩ, nhớ lâu và sáng tạo khi giải toán đạt hiệu quả cao. Đó chính là

công cụ giải toán của mỗi học sinh. Ngoài ra phương pháp này còn là công cụ



đặc biệt quan trọng cho các em giải dạng toán có lời văn về phần đại lượng tỷ lệ

thuận, đại lượng tỷ lệ nghịch.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 2:

Chứng minh rằng nếu a2 = b.c ( với a # b và a # c ) thì :

a b c a

a b c a

HƯỚNG DẪN GIẢI :

Ta có a2 = b.c suy ra a c a b a b

b d c a c a

suy ra

a b c a

a b c a

DẠNG 3 : Các bài toán về đại lượng tỷ lệ thuận và đại lượng tỷ lệ nghịch.

Bài toán 1 :

Ba kho A,B,C chứa một số gạo. Người ta nhập vào kho A thêm 1/7 số gạo

đó, xuất ở kho B đi 1/9 số gạo đó, xuất ở kho C đi 2/7 số gạo đó. Khi đó số gạo ở

3 kho bằng nhau. Tính số gạo ở mỗi kho lúc đầu. Biết rằng kho B nhiều hơn kho

A là 20 tạ.

Để giải bài toán này tôi lại cho học sinh đọc kĩ đề bài, tóm tắt, phân tích kĩ

mối tương quan giữa các số liệu để tìm ra hướng giải sau:

Giải :

Gọi số gạo lúc đầu ở mỗi kho A, B, C lần lượt là x, y, z (tạ) gạo (x, y, z > 0)

Số gạo lúc sau ở kho A là : x + 7

1x =

7

8x.

Số gạo lúc sau ở kho B là : y - 9

1y =

9

8y

Số gạo lúc sau ở kho C là : z - 7

2z =

7

5z.

Theo bài ra ta có : 7

8x =

9

8y =

7

5z (1) và y – x = 20



Chia cả ba tỷ số của (1) cho BCNN (8; 5) = 40 ta có :

210

20

3545564535

xyzyx

=> x = 35 . 2 = 70 (tạ).

y = 45 . 2 = 90 (tạ).

z = 56 . 2 = 112 (tạ)

Vậy số gạo lúc đầu ở ba kho A, B, C lần lượt là 70 tạ, 90 tạ, 112 tạ.

Ngoài việc hướng dẫn học sinh tìm tòi những lời giải khác nhau cho bài

toán, tôi còn hướng dẫn học sinh cách khai thác bài toán bằng cách thay đổi số

liệu, dữ kiện để có bài toán mới với phương pháp giải tương tự.

Chẳng hạn :

Thay vì kho B chứa nhiều hơn kho A là 20 tạ gạo, bằng các dữ liệu sau :

1. Tổng số gạo ở ba kho là 272 tạ

2. Số gạo ở kho C hơn kho A là 42 tạ.

3. Số gạo ở kho B ít hơn kho C là 22 tạ.

Thì ta sẽ được các bài toán mới có cùng đáp số .

BÀI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 3:

Có 16 tờ giấy bạc lọai 2000 đồng, 5000 đồng, 10000 đồng. Trị giá mỗi lọai

tiền trên đều bằng nhau. Hỏi mỗi lọai có mấy tờ?

Hướng dẫn giải :

Gọi số tờ giấy bạc lọai 2000 đồng, 5000 đồng, 10000 đồng theo thứ tự là x, y,

z ( x, y, z € N * )

Ta có : x + y + z = 16 và 2000x = 5000y = 10000z

Biến đổi để đưa về áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau suy ra :

x = 10, y = 4, z =2

* DẠNG 4 : chuyển động.



Bài toán 1 :

Một người dự kiến đi ô tô từ A về B trong một thời gian dự định. Thực tế

thời gian đi phải giảm ¼ vận tốc so với dự định nên đến B muộn hơn thời gian dự

định là 30 phút. Tính thời gian dự định lúc đầu.

Trước khi giải bài toán này tôi đã cho học sinh đọc đề để hiểu kĩ đề bài.

Tìm hiểu mối quan hệ giữa vận tốc và thời gian của chuyển động trên một đoạn

đường. Chú ý rằng: Trên cùng một quãng đường vận tốc và thời gian là đại lượng

tỷ lệ nghịch. Từ đó thiết lập được tỷ lệ thức : 1

2

2

1

t

t

v

v và các em đã có hướng đi

tìm t1 ; t2.

Giải :

Gọi v1 là vận tốc dự định, t1 là thời gian dự định; v2 là vận tốc thực đi, t2 là

thời gian thực đi.

v1, v2 cùng đơn vị; t1, t2 cùng đơn vị (v1, v2 , t1, t2 > 0)

Cùng quãng đường đi thì vận tốc và thời gian là hai đại lượng tỷ lệ nghịch.

Do đó :

1

2

2

1

t

t

v

v mà v2 =

4

3v1.

3

34

3

4

4

31

12

1

1

1

2

t

tt

v

v

t

t (theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau)

3

130

1

t

-> t1 = 30 . 3 = 90 phút.

Vậy thời gian dự định đi lúc đầu là 90 phút.

* Đề kiểm tra sau khi thực hiện dạng 4 của đề tài :

Bài toán 1 :



Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định. Sau khi đi được ½

quãng đường thì ô tô tăng vận tốc lên 20%, do đó đến B sớm hơn được 10 phút.

Tính thời gian ô tô đi từ A đến B.

Bài toán 2 :

Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 40 km/h và dự định đến B lúc 11h45’.

Sau khi đi được 4/5 quãng đường thì người đó xe đó đi với vận tốc 30 km/h nên

đến B lúc 12h.

Hỏi xe đó khởi hành lúc mấy giờ và quãng đường AB là bao nhiêu?

* Kết quả kiểm tra dạng 4 Năm học 2009 - 2010:

TỔNG SỐ

Đối tượng 1

0 -> 4 điểm

Đối tượng 2

5 -> 7 điểm

Đối tượng 3

8 -> 10 điểm


80 30 37,5 40 50 10 12,5

* Kết quả kiểm tra dạng 4 Năm học 2011 - 2012 :

TỔNG SỐ

Đối tượng 1

0 -> 4 điểm

Đối tượng 2

5 -> 7 điểm

Đối tượng 3

8 -> 10 điểm


80 28 35 39 48,75 13 16,25

* DẠNG 5 : hình học :

Bài toán :

Tìm tỷ lệ 3 cạnh của một tam giác, biết rằng nếu cộng lần lượt từng hai

đường cao của tam giác đó thì các kết quả tỷ lệ với 5,7,8.

Đối với bài toán này để đi tới vận dụng được kiến thức về tỷ lệ thức. Tôi

đã đưa các em tìm mối quan hệ giữa cạnh và đường cao tương ứng trong tam



giác. Bằng kiến thức của hình học, các em đã có hướng đi và lời giải của bài

toán.

Giải :

Gọi 3 cạnh của tam giác lần lượt là a,b,c (a,b,c > 0) và ba đường cao

tương ứng là ha, hb, hc (ha, hb, hc > 0)

Theo bài ra ta có : (ha + hb) : (hb + hc) : (hc + ha) = 5 : 7 : 8 (do vai trò của

ha, hb, hc như nhau)

Ta có công thức :

222

cbaABC

chbhahS (1)

Ta đặt khhhhhh accbba

875

-> ha + hb = 5k

+ hb + hc = 7k.

hc + ha = 8k

2(ha + hb + hc) = 20k -> ha + hb + hc = 10k

Mà ha + hb = 5k -> hc = 5k.

hb + hc = 7k -> ha = 3k.

hc + ha = 8k -> hb = 2k.

Thay ha , hb , hc vào (1) ta có :

2

5

2

2

2

3 kckbka

-> a.3k = b.2k = c. 5k.

-> 3a = 2b = 5c.

-> 6151030

15

30

12

30

13

cbacba

Vậy a : b : c = 10 : 5 : 6.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi bằng 70m và tỉ số giữa hai cạnh của

nó bằng 3 /4. Tính diện tích miếng đất đó.



Đáp số : 300m2

MỘT SỐ SAI SÓT CỦA HỌC SINH VÀ HƯỚNG KHẮC PHỤC

Qua thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy học sinh tiếp thu được các nội dung

trên nhờ cụ thể hóa phương pháp, phân dạng được bài tập nên học sinh biết cách

vận dụng vào bài tập.

Tuy nhiên cũng còn nhiều sai sót, thiếu chính xác cần tiếp tục uốn nắn, rèn kĩ

năng.

Sau đây là vài ví dụ minh họa :

VD1 : Tìm x, y, z biết :

3x = 5y = 8z và x + y + z = 158.

Lời giải của học sinh :

Ta có : 3x = 5y = 8z 5 8 3

x y z



120 120 120

x y z

158

1,3120 120 120 120 120

156 ; 156 ; 156 ;

x y z x y z

x y z

Những sai sót và cách khắc phục :

Sai sót : Từ 3x = 5y = 8z

Các em 5 8 3

x y z nên việc tìm x, y, z sai.

Cách khắc phục :

Ta có BCNN (3;5;8) = 120.

Từ 3x = 5y = 8z 1 1 1

3 5 8120 120 120

x y z

Lời giải đúng mong đợi :

Dựa vào tính chất đơn điệu của phép nhân của đẳng thức. Các em đã biết

tìm bội số chung nhỏ nhất của 3, 5, 8. Từ đó các em có lời giải của bài toán như

sau :

Ta có BCNN (3, 5, 8) = 120

Từ 3x = 5y = 8z 120

1.8

120

1.5

120

1.3 zyx

Hay 279

158

152440152440

zyxzyx

-> (Tương tự như trên ta có ...)

Vậy x = 80; y = 48; z = 30.

VD2 : Cho tỷ lệ thức a c

b d hãy chứng minh :

a b c d

a b c d

Lời giải của học sinh :

Từ a c a c a c a c

b d b d b d b d

Do đó các em không đi đến được yêu cầu của bài toán.

Những sai sót và cách khắc phục :



Sai sót : Học sinh chưa sử dụng đúng phương pháp hoán vị các số hạng của tỉ lệ

thức, chưa biết sử dụng tính chất cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau.

Cách khắc phục :

Từ a c a b

b d c d (hoán vị trung tỉ).

Aùp dụng các tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để đi đến đpcm.

Lời giải đúng mong đợi :

Sử dụng phương pháp hoán vị các số hạng của tỷ lệ thức và tính chất cơ

bản của dãy tỷ số bằng nhau ta có lời giải như sau :

Từ : d

b

c

a

d

c

b


bc

ba

dc

ba

(Theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau)

dc

dc

ba

ba

(Hoán vị trung tỷ).

Ngoài hướng trên, các em cũng đã tìm ra hướng giải khác nhờ vào tính

chất cơ bản của tỷ lệ thức :

Từ bcadd

c

b

a

Xét tích : (a – b)(c + d) = ac + ad – bc – bd

(a + b)(c – d) = ac – ad + bc – bd

-> (a – b)(c + d) = (a + b)(c – d) (cùng bằng ac – bd)

-> dc

dc

ba

ba

(Đpcm)

Trong quá trình giảng dạy, sẽ xuất hiện những trường hợp học sinh mắc

phải sai lầm, tùy theo đối tượng mà giáo viên chấn chỉnh, uốn nắn hoặc có những

biện pháp phù hợp với mục đích các em học sinh hiểu bài và biết cách vận dụng

giải bài tập.



C. KẾT QUẢ THỰC HIỆN VÀ KẾT LUẬN

I. KẾT QUẢ :

Sau khi thực hiện đề tài tôi thấy các em làm bài tập toán với một phong

cách nghiên cứu, hứng thú học tập và có nhiều sáng tạo trong cách giải. Đặc biệt

là với mỗi bài toán đưa ra các em luôn tìm hiểu các cách giải khác nhau. Từ đó

tìm được phương án tối ưu để giải toán.

Phương pháp phân hóa bài tập theo dạng đã giúp học sinh tìm tòi lời giải

dễ dàng hơn và hệ thống được kiến thức, rèn luyện khả năng tư duy toán học linh

họat hơn góp phần nâng cao hiệu qủa giảng dạy của giáo viên.

Và điều dễ thấy nhất là kết quả thu được qua các bài kiểm tra. Bài kiểm tra

sau bao giờ cũng khả quan hơn bài kiểm tra trước về trình độ nhận thức, về

phương pháp giải, về tính thông minh sáng tạo.

Dưới đây là một ví dụ : Tôi cho một số bài toán để kiểm nghiệm như sau:

Đề Kiểm tra khảo sát chất lượng

(sau khi thực hiện đề tài)

Câu 1 : Tìm x, y, z biết :

3x = 2y ; 7y = 5z và x – y + z = 32.

Câu 2 : Chứng minh rằng nếu a + c = 2b và 2bd = c (b + d) (b,d 0) thì d

c

b

a

Câu 3 : Tổng các lập phương của ba số nguyên là 1009. Biết rằng số thứ nhất và

số thứ hai tỷ lệ với 2 và 3. Tỷ số giữa số thứ nhất và số thứ ba là 4/9. Tìm ba số

đó.

Đáp án :



Câu 1 : Từ 3x = 2y -> 3x.7 = 2y . 7 hay 21x = 14y.

7y = 5z -> 7y . 2 = 5z . 2 hay 14 y = 10z.

-> 21x = 14y = 10z.

-> 216

32

211510211510

zyxzyx

-> x = 2.10 = 20.

y = 2.15 = 30.

z = 2.21 = 42.

Vậy x = 20, y = 30, z = 42.

Câu 2 : Từ 2bd = c(b + d)

-> 2bd = bc + dc

-> (a + c) d = bc + cd.

-> ad + cd = bc + cd

-> ad = bc.

-> d

c

b

a (Vì b,d 0)

Kết quả thu được qua bài kiểm tra (qua bảng dưới đây)

Năm học 2010 - 2011

TỔNG

SỐ

ĐỐI TƯỢNG 1 ĐỐI TƯƠNG 2 ĐỐI TƯỢNG 3


80 20 25 42 47,5 18 22,5

Năm học 2011 - 2012

TỔNG

SỐ

ĐỐI TƯỢNG 1 ĐỐI TƯƠNG 2 ĐỐI TƯỢNG 3


80 21 26,25 39 48,75 20 25

Đối tượng 1 : Các em chỉ mới làm được câu 1.

Đối tượng 2 : Các em đã làm được câu 1 và 2.

Đối tượng 3 : Các em đã hoàn chỉnh cả ba câu.

Qua một số bài tập trên thì tôi thấy như sau :



- Trước khi viết đề tài này thì tôi đã lấy một số bài toán trên để bồi dưỡng

cho một số học sinh khá, giỏi của trường thì kết quả đạt rất tốt.

- Tôi mong rằng đây sẽ là một tài liệu để tôi và đồng nghiệp tham khảo khi

dạy phần tỷ lệ thức sao cho có một kết quả tốt nhất.

II. KẾT LUẬN :

Căn cứ vào bảng đầu tiên, tôi thấy trước khi thực hiện chuyên đề này học

sinh thường lúng túng không biết bắt đầu từ đâu, đường lối làm bài như thế nào

mặc dù rất dễ. Sau khi được học và giới thiệu chuyên đề trên thì số em hiểu được

cách giải bài toán tỷ lệ thức tăng lên rất rõ rệt. Điều đó chứng tỏ việc phân dạng

các bài tập tỷ lệ thức là không thể thiếu được trong môi trường toán THCS .

D. THAY CHO LỜI KẾT

Theo tôi muốn cho học sinh nâng cao vốn kiến thức của mình, phát huy

tính độc lập sáng tạo trong học tập thì chúng ta – những người thầy cần dạy cho

các em cách nghiên cứu, tìm tòi kiến thức. Chúng ta cần sớm hướng dẫn các em

cách nghiên cứu, cách học tập theo phương pháp “chuyên đề”. Có như vậy thì

sau này các em mới hiểu sâu sắc nội dung đã học, lưu giữ kiến thức mãi mãi. Và



quan trọng hơn là giúp các em biết được khi gặp dạng toán này thì phải dùng

phương pháp này đề giải, khi gặp dạng toán kia thì phải dùng phương pháp kia để

giải.

Do bị gián đoạn trong công tác giảng dạy, chuyên đề tôi viết chỉ trong

chương trình đại số 7, nên không mở rộng được nhiều và không sao tránh khỏi

khiếm khuyết. Rất mong sự góp ý của các đồng chí, đồng nghiệp và nhất là ban

duyệt đề tài bổ sung những phần nào còn thiếu sót hoặc chưa hoàn chỉnh của

chuyên đề, để chuyên đề tôi viết được hoàn thiện hơn và việc áp dụng đề tài vào

thực tế giảng dạy có hiệu quả hơn.

Tôi xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, ngày 19 tháng 03 năm 2012

Người thực hiện

Nguyễn Việt Phương

NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………



……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

…………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

…………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

Documents

Giup Hs Hoc Tot Ve Phan Ti Le Thuc Toan 7 6212 2