Sandvold | Øgrim | Bakken | Pettersen | Skrindo | Thorstensen | Thorstensen

Digitalt verktøy for Sigma 1T

Maxima

Maxima Sigma 1T

Innhold

1 OmwxMaxima 51.1 Tilleggspakker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Regning 62.1 Tallregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Regnerekkefølge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Tallet π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4 Minne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.5 Kvadratrot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.6 Parenteser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.7 Brøk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.8 Store og små tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.9 Sinus, cosinus og tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.10 n-terøtter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.11 Potenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.12 Logaritmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Funksjoner 123.1 Tegning av grafer for hånd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 Tegning av grafer på det digitale verktøyet . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3 Utregninger på grafen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3.1 Finne y når du kjenner x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3.2 Nullpunkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3.3 Finne x når du kjenner y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3.4 Topp- og bunnpunkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3.5 Skjæringspunkter mellom grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3.6 Derivert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.4 Tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 Lineær regresjon 21

5 Likninger 225.1 Likninger av andre og tredje grad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.2 Likningssett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

6 Sannsynlighetsregning 246.1 �nr� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2

Maxima Sigma 1T

Innledning

Dette heftet er ment som en beskrivelse av dataprogrammet wxMaxima som di-gitalt verktøy i undervisningen i faget «Matematikk Vg1T», studieforbedredendeutdanningsprogram. Heftet er tilpasset læreverket Sigma matematikk, GyldendalUndervisning, og inneholder referanser til framstillingen der.

Henvisninger fra boka

Følgende er en oversikt over de sidetallene i læreboka som har referanse til digitaleverktøy. Lista gir deg en oversikt over hvilket avsnitt i dette heftet som omhandlerdet aktuelle emnet i læreboka. Henvisningene refererer til sidetall i Sigma matema-tikk 1T, 2. utgave, Gyldendal Undervisning, 2009. I den elektroniske utgaven avheftet er referansene klikkbare.

Sidetall i læreboka Emne Avsnitt i dette heftet10 Tallregning 2.114 Regnerekkefølge 2.266 Likningssett 5.270 Regresjon 486 Potenser 2.1188 Negative potenser 2.1190 Lese standardform 2.891 Taste inn standardform 2.892 N-terot 2.1094 Brøkeksponent 2.1195 Lage verditabell 3.196 Logaritmer 2.12

136 nCr 6.1171 Andregradslikning 5.1202 Sinus, cosinus, tangens 2.9206 Inversfunksjonene 2.9245 Tegne graf 3.2262 Informasjon fra grafer 3.3265 Regne ut funksjonsverdi 3.1266 Regne ut den deriverte 3.3.6271 Finne tangent 3.4

3

Maxima Sigma 1T

1 OmwxMaxima

wxMaxima (http://wxmaxima.sourceforge.net/) er et grafisk brukergrense-snitt til Maxima (http://maxima.sourceforge.net/). Dette heftet tar utgangs-punkt i en binærdistribusjon av wxMaxima med norske menyer publisert for Win-dows på http://www.moglestu.vgs.no/maxima/. Det finnes også distribusjo-ner av wxMaxima for Linux og Mac OS X. Foreløpig må man da bruke engelsk.Brukere på Linux og Mac burde likevel ha nytte av heftet.Maxima er i utgangspunktet basert på tekstkommandoer. wxMaxima gjør det unød-vendig å huske alle kommandoer. Når du trykker på en knapp eller gjør valg framenyene, blir riktig tekstkommando skrevet inn for deg. Det er imidlertid ingen-ting i veien for å lære seg en del kommandoer. Du vil arbeide mer effektivt om dehusker de vanligste kommandoene.

1.1 Tilleggspakker

Det finnes nokså mange utvidelser til Maxima. En del funkasjonalitet som av ulikegrunner ikke er innebygd i Maxima kan lastes inn i programmet ved kommando-en «load». Mange pakker med slike tilleggsfunksjoner ligger klare, for eksempeltil sannsynlighetsregning med binomisk og hypergeometrisk fordeling skriver du«load (distrib)$».I tillegg kan man laste ned pakker som utvider Maximas funkasjonalitet fra In-ternett. Gyldendal Undervisning har laget en samling kommandoer tilpasset norskvideregående skole. Den installeres slik:

1. Last ned filen «gyldendal.mac» fra http://www.gyldendal.no/sigma/til en mappe på din datamaskin, for eksempel i «My Documents».

2. Velg «Åpne» fra Fil-menyen og bla fram til den mappen du lastet ned filentil.

3. Tast inn «gyldendal.mac» til høyre for «File name:» («Filnavn:») og klikk på«Open» («Åpne»).

I noen Maximadistribusjoner kan du også velge «Load package…» fra File-menyen.Per mars 2009 inneholder gyldendal.mac følgende kommandoer.

– sind(u): Finner sin til vinkel u (i grader).– cosd(u): Finner cos til vinkel u (i grader).– tand(u): Finner tan til vinkel u (i grader).

4

Maxima Sigma 1T

– asind(a): Finner hvilken vinkel i grader som har sinusverdi a.– acosd(a): Finner hvilken vinkel i grader som har cosinusverdi a.– atand(a): Finner hvilken vinkel i grader som har tangensverdi a.– ntrt(n,a): Finner n-teroten av a.– lg(a): Finner den logaritmen til a (logaritme med grunntall 10).– grader2radianer(u): Konverterer en vinkel u fra grader til radianer.– radianer2grader(u): Konverterer en vinkel u fra radianer til grader.

2 Regning

2.1 Tallregning

Du taster inn regnestykker omtrent som på en vanlig lommeregner, med «⋆» forgange og «/» for dele. Gangetegnet er obligatorisk, så 2x må tastes inn som «2 ⋆ x».Svaret får du når du trykker enter (linjeskift).Maxima regner eksakt. Det betyr at den unngår avrundinger og desimaltall så oftesom mulig. Dersom du vil ha svaret i desimaltall, må du be spesielt om det. Trykkpå knappen «Til desimaltall», eller tast «float(%)», så får du det siste svaret i desi-maltall.

Du kan også legge til ordet «numer» på slutten av linja etter et komma, så får dudesimaltall.

(%i1) 2/3,numer;(%o1) .6666666666666666

5

Maxima Sigma 1T

2.2 Regnerekkefølge

Vanlig regnerekkefølge er innebygd i programmet. Så vi kan taste rett inn slik detstår.Utregningen 4+5 ·23 taster vi inn som det står og avslutter med enter. Maxima bru-ker cirkumflex (∧) for potenser. På noen datamaskiner må man taste et mellomrometter «∧».

(%i1) 4+5*2^3;(%o1) 44

Dersom vi skal omgå regnerekkefølgen, må vi angi ønsket rekkefølge med paren-teser, som for eksempel i utregningen 7 · (−42 − 5 · (−3))2, som tastes inn slik:

(%i1) 7*(-4^2-5*(-3))^2;(%o1) 7

2.3 Tallet π

For å skrive inn π, taster vi «%pi». Vi kan også trykke på knappen for π nederst ivinduet. Når Maxima viser matematikk på skjermen, skriver den π som «%pi». Ogsom alltid: Vil du ha et desimaltall i stedet, bruker du «float» eller «numer».

(%i1) %pi;(%o1) %pi(%i2) float(%pi);(%o2) 3.141592653589793

2.4 Minne

Du kan enkelt lagre tall eller uttrykk for seinere bruk i programmets minne.Alle svar lagres automatisk i det midlertidige minnet «%». La oss si at du har regnetut (4 + 5) · 23 og fått 72. Om du så taster % ∗ %pi og trykker enter, vil Maximamultiplisere det forrige svaret du fikk, nemlig 72, med π.

(%i1) (4+5)*2^3;(%o1) 72(%i2) %*%pi;(%o2) 72 %pi(%i3) float(%);(%o3) 226.1946710584651

6

Maxima Sigma 1T

I tillegg til «%», fungerer de fleste tegn og kombinasjoner av tegn som minne. Dulagrer en verdi eller et uttrykk i et minne ved å skrive navnet etterfulgt av kolon også verdien du vil lagre.For å lagre forrige verdi i et minne vi kaller «a», gjør vi slik:

(%i4) a:%;(%o4) 226.1946710584651

For å lagre uttrykket 3x− 2 på «sigma» gjør vi slik:

(%i1) sigma:3*x-2;(%o1) 3x - 2

Verdien i minnet får du fram igjen ved å skrive navnet.

(%i1) sigma;(%o1) 3x - 2(%i2) 2*sigma;(%o2) 2(3x - 2)

Slik ser det ut om vi legger 2 og 71 inn i minnene a og b og så regner ut a · b og får142:

(%i1) a:2;(%o1) 2(%i2) b:71;(%o2) 71(%i3) a*b;(%o3) 142

2.5 Kvadratrot

For å regne ut kvadratroten av et tall, bruker du kommandoen «sqrt()», eller trykkerpå kvadratrotknappen.

(%i1) sqrt(5),numer;(%o1) 2.23606797749979

7

Maxima Sigma 1T

2.6 Parenteser

Når vi skriver for hånd, skriver vi ofte brøker og kvadratrottegn uten parenteser, davi er enige om hvordan de skal regnes ut. For eksempel er

5+ 72 · 3 =

126 = 2

Dersom vi vil regne ut svaret uten mellomregning i programmet, må vi hjelpe tilmed å slå parenteser om telleren og nevneren.

(%i1) (5+7)/(2*3);(%o1) 2

Ulike distribusjoner av Maxima håndterer parenteser litt forskjellig. I noen distri-busjoner får man automatisk både høyre- og venstreparentes når man taster «(». Iandre distribusjoner må man passe på å lukke parenteser selv.

2.7 Brøk

Brøker taster du inn med vanlig deletegn i stedet for brøkstrek. Pass på å slå paren-teser om telleren og nevneren dersom de består av flere ledd. Svaret blir oppgitt ibrøk. Dersom du vil ha desimaltall, trykker du som vanlig på «Til desimaltall».Skal vi for eksempel regne ut

2+ 33 − 8

7− 3slår vi parenteser om den første telleren og den siste nevneren og får:

Ved utregning av brudden brøk er det også nødvendig å bruke parenteser. Skal viregne ut brøken

1213

taster vi det inn med parenteser rundt telleren og nevneren i hovedbrøken.

8

Maxima Sigma 1T

2.8 Store og små tall

Når tallene blir svært store eller svært små, skriver programmet dem på standard-form. I utgangspunktet får du 16 desimaler. Du velger selv om du taster inn på stan-dardform eller ikke. Skal du taste inn 6700000000, kan du velge å taste «6.7⋆10∧9.Regnestykket

6700000000 · 0,0002kan du velge å regne ut som 6,7 · 109 · 2 · 10−4 ved å taste slik:

(%i1) 6.7*10^9*2*10^(-4);(%o1) 1340000.0

2.9 Sinus, cosinus og tangens

Maxima har innebygget sinus, cosinus og tangens, men de innebygde funksjonenebruker et annet vinkelmål enn grader, nemlig radianer. Og radianer kommer du ikkeborti før i Vg3. For å regne med grader, må du laste inn Gyldendal Undervisningspakke med tilleggsfunksjoner for videregående skole, jfr. avsnitt 1.1.De trigonometriske funksjonene for grader taster du inn med «sind()», «cosd()» og«tand()». For å finne sin 45, taster du inn «sind(45)».

(%i1) sind(45);(%o1) .7071067811865475

For å gå tilbake, bruker vi «asind()», «acosd()» og «atand()»: For å finne hvilkenvinkel som har cosinus-verdi 1

2 , taster vi «acosd(1/2)».

(%i1) acosd(1/2);(%o1) 60.0

2.10 n-terøtter

Maxima har ikke innebygget noen funksjon for n-terøtter, med du kan laste innGyldendal Undervisnings pakke med tilleggsfunksjoner for videregående skole, jfr.avsnitt 1.1.For å regne ut n-terøtter, bruker vi «ntrt». Eksempel: For å beregne 5

p7,34 gjør vi

slik:

(%i1) ntrt(5,7.34);(%o1) 1.489838565112205

9

Maxima Sigma 1T

2.11 Potenser

Potenser tastes inn med cirkumflex, ∧. Vi regner ut 25 ved å taste 2 ∧ 5.

(%i1) 2^5;(%o1) 32

For å taste inn potenser med flere elementer i eksponenten, slår du en parentes omeksponenten. Vi regner ut 2−5 ved å taste 2 ∧ (−5) og 2 2

3 ved å taste 2 ∧ (2/3).

2.12 Logaritmer

Maxima har ikke innebygget noen funksjon for logaritmer med grunntall 10, meddu kan laste inn Gyldendal Undervisnings pakke med tilleggsfunksjoner for videre-gående skole, jfr. avsnitt 1.1.Vi finner lg 25 slik:

(%i1) lg(25),numer;(%o1) 1.397940008672037

3 Funksjoner

Det er to måter å angi navn på funksjonsuttrykk i Maxima. Du kan tilordne envariabel et navn f slik:

(%i1) f:2*x+5;(%o1) 2 x + 5

Men du kan også lage en maxima-funksjon med funksjonsnavnet slik:

10

Maxima Sigma 1T

(%i1) f(x):=2*x+5;(%o1) f(x) := 2 x + 5

Begge metoder har sine fordeler. I dette heftet har vi brukt den første metoden.

3.1 Tegning av grafer for hånd

Når du tegner grafer for hånd, er det praktisk å bruke digitalt verktøy til å regneut funksjonsverdier for funksjonen. Først definerer vi funksjonen ved å sette envariabel til den funksjonen.Eksempel: Om vi skal arbeide med funksjonen f(x) = 15

x , gjør vi slik:

Så vi setter vi inn 3 for x med funksjonen «ev»:

Dersom vi ønsker å regne ut en flere verdier i en tabell, taster vi inn x-verdiene ien liste inni «[» og «]» slik:

Når vi så har laget verditabellen, merker vi av punktene i et koordinatsystem ogtegner en glatt kurve gjennom dem.

11

Maxima Sigma 1T

x

y

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

3.2 Tegning av grafer på det digitale verktøyet

Vi skal tegne grafen til en funksjon f(x). Ut fra funksjonens definisjonsmengde lagervi verditabell slik det er beskrevet i avsnitt 3.1. Det hender oppgaven ber oss om etspesifikt intervall for x. I så fall bruker vi det.Som eksempel skal vi nå tegne grafen til f(x) = −x2−2x+4 for x ∈ [−5, 5]. Førstdefinerer vi funksjonen:

Så lager vi verditabell. Vi lar tabellen gå fra −5 til 5.

Vi ser av tabellen at om vi lar x gå fra −5 til 5, må y være mellom −35 og 10. Nåvelger vi «Graf 2d…» fra Grafer-menyen. Vi fyller inn feltene for «Uttrykk» og«Variabel» slik:

12

Maxima Sigma 1T

Vi trykker OK og får tegnet grafen:

Dersom du vil forstørre eller forminske grafen, kan du gå på «Grafer 2d…» igjenog endre vindusinstillingene.I eksempelet ovenfor kunne en hevde at den mest interessante delen av grafen erder hvor y er mellom −10 og 6. Endrer vi vinduet tilsvarende, blir grafen slik:

13

Maxima Sigma 1T

3.3 Utregninger på grafen

Maxima gjør ikke beregninger på selve grafen, men regner eksakt. Nedenfor finnerdu metoder for hvordan du kan bruke Maxima til å regne ut svar som også kan finnesfor eksempel ved avlesning på grafen. Maxima gir deg imidlertid det eksakte svaret.

3.3.1 Finne y når du kjenner x

Om vi skal finne funksjonsverdien av en bestemt verdi av x, «bruker vi «ev()».Eksempel: Vi lar f være f(x) = −0,0025x3 + 0,075x2 + 1. Vi regner ut f(12,6) slik:

Altså er f(12,6) = 7,90606.

3.3.2 Nullpunkter

Du finner nullpunkter ved å skrive «solve» (eller klikke på «Nullpunkter»-knappen).Eksempel: La f(x) = x2 − 3x− 5. Vi skal finne nullpunktene.

14

Maxima Sigma 1T

Dersom en av løsningene inneholder konstanten «%i», betyr det at løsningen er etsåkalt komplekst tall. Slike løsninger tar vi ikke med. Eksempel: La f(x) = −x2 −5x− 12. Vi skal finne funksjonens nullpunkter.

Vi ser at begge løsningene inneholder «%i». Funksjonen f har derfor ingen null-punkter.Dersom funksjonen har et nullpunkt, men Maxima ikke finner det eksakt, kan vifinne en tilnærmingsverdi (med så stor nøyaktighet vi måtte ønske). Da må du tegnegrafen til funksjonen, jfr. avsnitt 3.2. Så må du finne et intervall langs x-aksen somnullpunktet ligger i. Så bruker du «find root» til å finne nullpunktet.Eksempel: La f være funksjonen f(x) = 2,3x − 6. Vi prøver først å løse den med«solve»:

Vi tegner grafen.

15

Maxima Sigma 1T

Vi ser at nullpunktet ligger mellom 0 og 4 på x-aksen. Vi bruker «find root»:

3.3.3 Finne x når du kjenner y

Om vi skal finne hvilken x-verdi som svarer til en bestemt y-verdi, løser vi likningenf(x) = a. Dette gjør vi på samme måte som når vi finner nullpunkter, jfr. avsnitt3.3.2, men i stedet for å bruke «solve(f)», bruker vi «solve(f=a)».Eksempel: La f være funksjonen f(x) = x3 − 4x2 + 3x + 12. Vi skal finne når f(x)oppnår verdien 4.

Vi kan kun bruke løsningen som ikke inneholder «%i». Svaret er at f oppnår verdien4 når x = −1.

3.3.4 Topp- og bunnpunkter

Topp- og bunnpunkter finner vi ved å regne ut den deriverte med «diff» og settedenne lik null. For å avgjøre om vi da finner et toppunkt, bunnpunkt eller terrasse-punkt, tegner vi grafen til funksjonen.

16

Maxima Sigma 1T

Eksempel: La f(x) = x2−3x−5. Vi skal finne bunnpunktet. Vi definerer f og trykkerpå «Deriver» (eller skriver «diff(f,x)»):

Deretter finner vi når f′(x) er null («solve») og hvilken verdi f har da («ev»):

Til slutt tegner vi grafen for å avgjøre hva slags ekstremalpunkt det er.

Altså er det et bunnpunkt. Koordinatene er�3

2 ,−294�

.

Dersom det er flere topp- eller bunnpunkter, gjentar du prosessen.

3.3.5 Skjæringspunkter mellom grafer

Skjæringspunkter mellom to grafer f og g finner vi ved å løse likningen f = g. Vitaster «solve(f=g)».

17

Maxima Sigma 1T

Eksempel: Vi skal finne skjæringspunktene mellom f(x) = x2 − 3x − 5 og g(x) =−2x+3. Vi definerer f og g og taster «solve(f=g)». Vi runder av svaret til desimaltall.

Til slutt regner vi ut funksjonsverdien av x-verdiene til skjæringspunktene.

Altså er skjæringspunktene (−2,37, 7,74) og (3,37,−3,74).

3.3.6 Derivert

Du finner den deriverte til en funksjon f med «diff(f,x)».Eksempel: La f være funksjonen f(x) = −0,001x3+ 0,09x2+ 10. Vi skal finne f′(x)og f′(10). Vi definerer f, vi lar f1 være den deriverte av f og finner verdien av denderiverte når x er 10:

Dette betyr at f′(10) = 1, 5

18

Maxima Sigma 1T

3.4 Tangent

Maxima regner ikke ut tangenten for deg, men kan hjelpe deg i utregningen avtangenten for eksempel ved hjelp av ettpunktsformelen. Eksempel: La f være funk-sjonen f(x) = x2− 3x− 5. Vi skal finne likningen til tangenten til kurven for x = 4.Først definerer vi funksjonen f:

Så regner vi ut y-koordinaten til tangeringspunktet:

(%i1) ev(f,x=4);(%o1) -1

Altså går tangenten gjennom punktet (4,−1).Så finner vi stigningstallet til tangenten ved å finne uttrykket for den deriverte også verdien av den deriverte i punktet:

(%i1) f1:diff(f,x);(%o1) 2 x - 3(%i2) ev(f1,x=4);(%o2) 5

Altså er stigningstallet 5. Da kan vi bruke ettpunktsformelen y − y1 = a(x − x1).Vi taster inn ettpunktsformelen med x1 = 4, y1 = −1 og a = 5 og løser uttrykketvi da får med hensyn på y.

(%i1) y-(-1)=5*(x-4);(%o1) y + 1 = 5 (x - 4)(%i2) solve(%,y);(%o2) [y = 5 x - 21]

Altså er likningen til tangenten y = 5x− 21.

4 Lineær regresjon

Velg «Regresjon» fra Funksjonsanalyse-menyen. Der taster du inn x- verdiene ogy-verdiene med komma mellom. Eksempel: Vi legger inn følgende verditabell:

x −2 −1 0 1 2 3 4y 781 766 734 707 670 634 600

19

Maxima Sigma 1T

Da blir det slik:

Så klikker vi på OK. Da åpnes programmet gnuplot som viser et bilde av punktenefra verditabellen. Når vi skifter tilbake til wxMaxima, kommer funksjonsuttrykkettil syne.

Dette betyr at regresjonslinja er y = −31,1x+ 730,0.

5 Likninger

5.1 Likninger av andre og tredje grad

Likninger løser vi med «solve». Eksempel på andregradslikning: Vi løser likningen7x2 + 19x− 6 = 0

slik:

Eksempel på tredjegradslikning:3x3 − x2 − 12x+ 4 = 0

20

Maxima Sigma 1T

Hvis en av løsningene inneholder konstanten «%i», betyr det at tallet er såkalt kom-plekst. Denne løsningen tar vi ikke med. Eksempel: Vi løser likningen

x2 + 3x+ 3:

Begge løsningene inneholder konstanten «%i». Da svarer vi at likningen ikke harnoen løsning.

5.2 Likningssett

Likningssett løses ved å velge «Løs likningssett…» fra Likninger-menyen.Eksempel: Vi skal løse likningssettet�

36x+ 43y = 811x− 21y = 139

�Vi velger «Løs likningssett…» fra Likninger-menyen og taster inn at antall ukjenteer 2. Vi trykker OK. Da får vi opp et vindu hvor vi skriver inn de to likningene våre.

Når vi klikker OK, får vi opp løsningen:

Altså er løsningen x = 5 og y = −4.

6 Sannsynlighetsregning

6.1�n

r�

Antall kombinasjoner av r ut fra n, finner vi ved å velge «Binomialkoeffisient…»fra Sannsynlighet-menyen.

21

Maxima Sigma 1T

Eksempel: Vi skal regne ut �62�. Vi velger «Binomialkoeffisient…» fra Sannsynlighet-menyen og taster inn

Vi klikker på OK og får:

Altså er �62� = 15.

22